ix

PERSAMAAN KUADRATIK

• Jika ax2 + bx + c = 0,

x = –b ± b2 – 4ac2a

• Penyempurnaan kuasa dua p(x + q)2 + r = 0

• Jika punca bagi ax2 + bx + c = 0ialah α dan β, maka

hasil tambah punca

= α + β = – ba

hasil darab punca = αβ = ca

• b2 – 4ac > 0 : Dua punca berbeza

b2 – 4ac = 0 : Dua punca sama b2 – 4ac < 0 : Tiada punca

nyata

INDEKS DAN LOGARITMA

• Indeks am × an = am+n

am ÷ an = am–n

(am)n = amn

• loga N = x ⇔ N = ax

• Logaritma loga xy = loga x + loga y

loga xy

= loga x – loga y

loga x p = p loga x

logab = logc blogc a

GEOMETRI KOORDINAT

• Jarak

= (x2 – x1)2 + (y2 – y1)

2

• Titik tengah

= � x1 + x2

2,

y1 + y2

2 �• Titik yang membahagi suatu

tembereng garis: Koordinat titik P pada AB dengan keadaan AP : PB = m : n ialah

P = � nx1 + mx2

m + n,

ny1 + my2

m + n �• Luas segitiga

= 12 |

x1

y1 x2

y2 x3

y3 x1

y1|

= 12

[(x1 y2 + x2 y3 + x3 y1)

– ( y1x2 – y2x3 – y3x1)]

• Kecerunan, m = y2 – y1

x2 – x1

• Bagi dua garis lurus yang selari, m1 × m2

• Bagi dua garis lurus yang berserenjang, m1 × m2 = –1

STATISTIK

• Min, x = ∑xN

= ∑ fx∑ f

RUMUS

WTMTRumus(ix-xi).indd ixWTMTRumus(ix-xi).indd ix 9/1/12 10:57:22 AM9/1/12 10:57:22 AM

26

TIN

GK

ATA

N

4

3.1 Fungsi Kuadratik dan Grafnya

1 Bentuk am satu fungsi kuadratik ialah f (x) = ax2 + bx + c dengan keadaan a, b dan c ialah pemalar dan a ≠ 0.

2 Graf fungsi kuadratik berbentuk parabola. 3 Jika a > 0, f(x) mempunyai nilai minimum dan grafnya berbentuk

Paksisimetri

Titik minimum

4 Jika a < 0, f(x) mempunyai nilai maksimum dan grafnya berbentuk

Paksisimetri

Titik minimum

5 Bentuk dan kedudukan graf fungsi kuadratik, f (x) = ax2 + bx + c, bergantung kepada nilai a dan nilai b2 – 4ac.(a) b2 – 4ac > 0: Graf bersilang dengan paksi-x pada dua titik.

x xataua > 0 a < 0

(b) b2 – 4ac = 0: Graf menyentuh paksi-x pada satu titik.

x

x

ataua > 0 a < 0

(c) b2 – 4ac < 0 : Graf tidak bersilang dengan paksi-x.

x

x

ataua > 0 a < 0

Tingkatan 4

FUNGSI KUADRATIK

WTMT4_03_(26-37).indd 26WTMT4_03_(26-37).indd 26 1/11/11 10:57:04 AM1/11/11 10:57:04 AM

3 Fungsi Kuadratik 27

4

TIN

GK

ATA

N

Cari julat nilai k jika lengkung f (x) = 10 – 3x – (k – 1)x2

(a) bersilang dengan paksi-x pada dua titik,

(b) tidak bersilang dengan paksi-x.

1

Penyelesaian(a) a = –(k – 1), b = –3, c = 10 b2 – 4ac > 0 (–3)2 – 4(–k + 1)(10) > 0 9 + 40k – 40 > 0 40k > 31

k > 3140

(b) a = –(k – 1), b = –3, c = 10 b2 – 4ac < 0 (–3)2 – 4(–k + 1)(10) < 0 9 + 40k – 40 < 0 40k < 31

k < 3140

Klon Klon SPM

Klon

‘10

Rajah berikut menunjukkan graf bagi fungsi kuadratik y = f(x).

2 7

y

x

(a) Selesaikan persamaan y = f(x) = 0.(b) Nyatakan persamaan paksi

simetri bagi fungsi tersebut.

Penyelesaian(a) Selesaikan persamaan f(x) = 0

bermaksud mencari nilai x apabila y = 0.

Maka, x = 2 dan 7 apabila f(x) = 0.

Nota: Nilai x juga dinamai punca bagi persamaan kuadratik.

(b) Persamaan paksi simetri

x = 2 + 72

= 92

Klon SPM

Suatu fungsi f ditakrifkan oleh f (x) = 2(x – 5)(3x + 1).(a) Tentukan bentuk graf f (x).(b) Tentukan kedudukan graf

f (x).(c) Lakar graf f (x) pada paksi-x.

Penyelesaian(a) f (x) = 2(x – 5)(3x + 1) f (x) = 6x2 – 28x – 10 Nilai a = 6 > 0, maka bentuk

graf f(x) ialah .

(b) a = 6, b = –28, c = –10 b2 – 4ac = (–28)2 – 4(6)(–10)

= 1024 > 0. Maka, graf f(x) menyilang

paksi-x pada dua titik.

(c)

x

‘10

WTMT4_03_(26-37).indd 27WTMT4_03_(26-37).indd 27 1/12/11 11:35:12 AM1/12/11 11:35:12 AM

3 Fungsi Kuadratik34

TIN

GK

ATA

N

4

Klon

Klon Klon SPM ‘09, ‘10

Cari julat nilai p jika persamaan kuadratik 2p – (p – 1)x2 = 0 tidak mempunyai punca nyata.

Penyelesaian– (p – 1)x2 + 2p = 0a = –p + 1, b = 0, c = 2p

b2 – 4ac < 002 – 4(–p + 1)(2p) < 0 (4p – 4)(2p) < 0 8p (p–1) < 0

10

Maka, julat nilai p ialah 0 < p < 1.

x2 – 12x + 20 ≤ 0 (x – 10)(x – 2) ≤ 0 2 ≤ x ≤ 10

102

Gabungkan kedua-dua ketaksamaan

–8 2 10

2 ≤ x ≤ 10

x

x ≥ 8

Maka, julat nilai x yang memenuhi kedua-dua ketaksamaan ialah 2 ≤ x ≤ 10.

3 Cari julat nilai k jika lengkung x2 + (1 – k)x = k tidak bersilang dengan paksi-x.

4 Diberi lengkung f(x) = x2 + 2px + p2 – 5p – 3 menyilang paksi-x pada satu titik sahaja. Cari nilai p.

5 Graf bagi fungsi kuadratik f(x) = 2x2 + 8x + k bersilang dengan paksi-x pada dua titik berbeza. Cari julat nilai k.

3.1 Fungsi Kuadratik dan Grafnya

1 Tentukan kedudukan graf bagi fungsi-fungsi berikut apabila f(x) = 0.(a) f(x) = 3x2 + 5x – 7(b) f(x) = x(3 – x) + 2x + 10

2 Persamaan kuadratik mx2 – 4mx + 4m – 5 = 0 tidak mempunyai punca nyata. Cari julat nilai m.

3PRAKTIS SPMKertas 1

WTMT4_03_(26-37).indd 34WTMT4_03_(26-37).indd 34 1/11/11 10:57:09 AM1/11/11 10:57:09 AM

KER

TAS

MO

DEL S

PM

341

1 Rajah 1 menunjukkan graf f(x) = 3|1 – x| bagi domain –1 ≤ x ≤ 2.

Rajah 1

Nyatakan(a) nilai a,(b) objek bagi 6,(c) julat bagi f(x) yang sepadan dengan domain yang diberi,(d) jenis hubungan bagi fungsi di atas. [4 markah]

2 Diberi fungsi f : x → x2 – 1

2 dan g : x → 5 – 2x, cari

(a) fg–1(1),(b) nilai-nilai x dengan keadaan gf(x) = –3. [4 markah]

3 Diberi fungsi v : t → t2 + 3 dan s : t → 8t + k dengan keadaan k ialah pemalar. Cari nilai-nilai k yang mungkin jika vs–1(–2) = 4. [3 markah]

Jawab semua soalan.

Masa: 2 jamKERTAS 1 [80 markah]

WTMT_KM(341-353).indd 341WTMT_KM(341-353).indd 341 31/10/11 4:18:04 PM31/10/11 4:18:04 PM