P rograma de certificación de Black Belts

1

Programa de certificación de Black Belts

VI. Seis Sigma - MediciónP. Reyes / Abril 2009

2

Fase de medición Propósitos:

Determinar req. de información para el proyecto

Definir las Métricas de los indicadores del Proceso

Identificar los tipos, fuentes y causas de la variación en el proceso

Desarrollar un Plan de Recolección de Datos Realizar un Análisis del Sistema de Medición

(MSA) Llevar a cabo la recolección de datos

Salidas Diagnóstico de la situación actual del problema

3

VI. Seis Sigma - MediciónA. Características del procesoB. Colección de datos

C. Sistemas de mediciónD. Estadística básica

E. ProbabilidadF. Capacidad de procesos

4

VI.A Características del proceso

5

VI.A Características del proceso1. Variables de entrada y de salida

2. Métricas de flujo de proceso

3. Herramientas de análisis de proceso

6

VI.A.1 Variables de entrada y salida

7

Mapa de procesos SIPOC

Provee-dores

Clientes

Banco de información

EntradasProcesos y sistemas Salidas

Mapa de proceso SIPOC (Proveedores, Entradas, Salidas, Clientes)

Retroalimentación Retroalimentación

8

Elementos de procesos - SIPOC

Un cambio en la Salida debe estar relacionado con algún cambio en los pasos anteriores SIPs. Esto forma un ciclo cerrado entre SIPs y Os.

Proveedoresde recursos

Entradas,insumos

Procesos,actividades

que agreganvalor

Salidas,producto o

servicio

Clientes,reciben elproducto

Modelo SIPOC

9

Matriz de causa efectoRelación entre entradas y salidas de procesos La matriz lista variables clave de salida del

proceso en forma horizontal y las de entrada en forma vertical

Para cada variable de salida se le asigna una prioridad

Dentro de la matriz se asignan números que indican el efecto que tiene cada variable de entrada en las variables de salida

Se obtiene la suma producto de estos números internos por la prioridad de salida como resultados y se saca el porcentaje relativo

10

Matriz de causa efectoEntradas y salidas del proceso – Matriz de causa

efecto Antes de mejorar un proceso, primero debe medirse,

identificando sus variables de entrada y de salida, y documentando su relación en diagramas de causa efecto, matrices de relación, diagramas de flujo, etc.

184232Ent 5100236Totales

92246Ent 4112515Ent 327633247Ent 23584632Ent 1

%Res410613Impor-tancia

EDCBASalidas

184232Ent 5100236Totales

92246Ent 4112515Ent 327633247Ent 23584632Ent 1

%Res410613Impor-tancia

EDCBASalidas

11

VI.A.2 Métricas de flujo de proceso

12

Métricas de flujo Términos Lean

Panel Andon – dispositivo de control visual en un área productiva

Flujo de manufactura continua (CFM) – proceso donde hay un flujo de una pieza, sin WIP de acuerdo a la demanda del cliente

Tiempo de ciclo – tiempo para completar un ciclo de una operación

13


Vueltas de inventario – número de veces que se consume el inventario en un periodo de tiempo

JIT – sistema para producir los artículos correctos en el momento y en la cantidad requerida

Nivelación de carga – balanceo de las cargas de trabajo en todos los pasos del proceso

14


Muda – cualquier actividad que consuma recursos pero no cree valor al cliente

Sin valor agregado – cualquier actividad que no agregue valor al producto o al servicio

Perfección – eliminación completa de muda

Punto de uso del inventario – inventario surtido directamente donde será consumido

15


Poka Yoke – dispositivo o procedimiento a prueba de error para prevenir o detectar un error

Diagrama de flujo del proceso – Diagrama del flujo o la secuencia de eventos en un proceso

Jalar (Pull) – sistema en que el proveedor anterior no produce nada hasta que el siguiente cliente indica la necesidad

16


Tiempo en cola – el tiempo de espera de un producto antes de su siguiente proceso

SMED (Single Minute Exchange of Die) – técnicas para cambios rápidos en las máquinas de producción. SU objetivo es cero tiempo de ajuste y preparación

Flujo de una sola pieza – una situación donde un producto pasa por las diferentes operaciones sin interrupciones o desperdicios

17


Matriz de habilidades – control visual de celda de trabajo describiendo todas las actividades, para visualizar el estatus del entrenamiento de miembros del equipo

Principio de lotes pequeños – reducción efectiva de tamaño de lote hasta que se llega al flujo de una sola pieza

Trabajo estandarizado – descripción de cada actividad de trabajo, indicando tiempo de ciclo, takt time, secuencia de trabajos, e inventario mínimo

18


Takt Time – tiempo disponible de producción dividido por la tasa de demanda del cliente

Cadena de valor – actividades específicas requeridas para proporcionar un producto desde su pedido hasta su entrega

Control visual – colocación a la vista de todas las herramientas, partes, actividades de producción, e indicadores del desempeño del sistema de producción

19


Muda – toda la sobreproducción, esperas, transportes innecesarios, inventarios excesivos, movimientos innecesarios, y partes defectivas de producción

Celda de trabajo o manufactura – acomodo de diferentes máquinas o procesos de negocio, realizadno diferentes operaciones en una secuencia estricta, con forma típica en U o L

Centro de trabajo – estación de trabajo en una celda de manufactura

20

Pensamiento Lean Womack sugiere convertir la planta de producción

masiva a una organziación esbelta, con los siguientes principios guía: Especificar valor por producto

Identificar la cadena de valor para cada producto

Hacer el flujo de valor

Permitir que el cliente jale valor del proveedor

Perseguir la perfección

21

Valor El valor es definido por el cliente

En EUA los gerentes no tienen contacto con clientes

En Alemania se hace énfasis en el producto y proceso

En Japón se enfocan a crear valor desde la manufactura

22

Valor El valor es definido por el cliente

El cliente quiere productos específicos, con capacidades específicas a precios específicos, su definicón es el primer paso para el pensamiento Lean

El costo objetivo es una mezcla de de los precios de venta de la competencia y de la eliminación de muda por métodos Lean

23

Cadena de Valor Se pueden maximizar los beneficios de reducir

Muda al concentrarse en las actividades que ligan los procesos, deben considerarse:

La solución de problemas (nuevos productos) La gestión de información (pedidos a entregas) La transformación física (materias primas a

productos)

En Lean se analiza un solo producto, para reducción de Muda, tiempo de ciclo y mejora de calidad

24

Cadena de Valor El mapa de cadena de valor se crea para

identificar las actividades involucradas en el producto. Incluye proveedores, actividades preoductivas y clientes. Se consideran los criterios siguientes:

Agrega valor de acuerdo a la percepción del cliente

No agrega valor, pero es encesaria por el proceso

No agrega valor y puede eliminarse

25

Cadena de Valor Lean sugiere cambiar de proceso en lotes a

flujo continuo, algunos obstáculos son: Siempre se ha trabajado en lotes La planta tiene una multitud de funciones La planta no puede soportar cambios de

herramental rápidos La planta tiene maquinaria con gran inercia e

inflexible Mover la maquinaria tiene un alto costo

26

Cadena de Valor Para un flujo continuo o flujo de una pieza se

requiere lo siguiente: Usar celdas de manufactura en U, el operador

debe ser confiable en su operación

Con el TPM se esperan cero fallas en máquinas

El nivel de calidad es muy alto con Poka Yokes

La programación de la producción es suave, de flujo continuo, sin movimientos innecesarios ni WIP

27

Valor de jalar El producto se fabrica solo cuando el cliente lo

demanda, resultando en: Tiempo de ciclo reducido Inventario terminado reducido WIP reducido Cliente con pedidos estables El precio se estabiliza

En una planta de producción masiva, cada operación trata de tener la máxima eficiencia creando inventarios

28

Perfección Se logra con:

Equipos que trabajan con el cliente para especificar valor, mejorar el flujo y lograr Jalar

Colaboración entre socios de la cadena de valor para descubrir un mayor valor

Usar tecnología para eliminar Muda

Desarrollar nuevos productos

29

Takt time Es el tiempo neto disponible de producción

dividido entre la tasa de demanda del cliente en un cierto periodo

Se sugiere revisar la distribución de la celda para: Mejorar los tiempos de ciclo Reducir los defectos Reducir los tiempos de cambio Atender problemas de confiabilidad de los

equipos

30

Métricas de Lean Las métricas de TPM incluyen:

Disponibilidad, tasa de velocidad de operación (OSR), tasa neta de operación (NOR), eficiencia de desempeño (PE), y efectividad total del equipo (OEE)

Tasa de thoughput = 1 / Tiempo de ciclo

La ley de Little estable que:

Inventario WIP = Throughput * Tiempo de flujo Tiempo de flujo = WIP * Tiempo de ciclo

31

Métricas de LeanTiempo total de espera (Lead) = No. Artículos en

proceso /Tasa promedio de

terminación

Eficiencia del ciclo de proceso = Tiempo de valor agregado /

Tiempo total de espera

Si hay 30,000 unidades planeadas, y se pueden producir 3,000 por día, ¿Cuál es el tiempo de espera total?

TLT = 30,000 / 3,000 = 10 días

32

Métricas de LeanSe tienen 21 cotizaciones pendientes, ofrecen tres

días de tiempo de respuesta a sus clientes. ¿Cuál es la tasa de terminación para cumplir con la meta?

Tasa de terminación = WIP / TLT = 21 / 3 = 7 cotiz./día

33

VI.A.3 Herramientas de análisis de procesos

34

Análisis y documentación del proceso

Un proceso es un conjunto de recursos y actividades que transforman entradas en salidas agregando valor. Las actividades deben ser documentadas y controladas.

Se analizan los tópicos siguientes:

1. Herramientas2. Entradas y salidas del proceso

35

Análisis y documentación del proceso - Herramientas

Diagramas de flujo Mapas de proceso

Procedimientos escritos Instrucciones de trabajo

Análisis de proceso Documentación del proceso

36

Diagrama de flujo Un diagrama de flujo o mapa de proceso es

útil para comprender el proceso. Puede describir la secuencia del producto, contenedores, papeleo, acciones del operador o procedimientos administrativos.

Es el paso inicial para la mejora de procesos, ya que facilita la generación de ideas.

37

Diagrama de flujo Organizar un equipo para examinar el proceso

Construir un mapa de proceso para representar los pasos del proceso

Discutir y analizar cada paso en detalle

Preguntarse ¿Por qué lo hacemos de esta manera?

Comparar el proceso actual a un proceso imaginario “perfecto”

38

Diagrama de flujo ¿Hay complejidad innecesaria? ¿Existe duplicación o redundancia? ¿Hay puntos de control para evitar errores y

rechazos? ¿Se realiza el proceso de acuerdo a como está

planeado? ¿Puede realizarse el proceso de manera

diferente? ¿las ideas de mejora pueden venir de procesos

muy diferentes?

39

Diagrama de flujoSímbolos de Diagramas de flujo

40

Diagrama de flujoDiagramas de flujo - Ejemplo

41

Diagrama de flujoBeneficios Permiten visualizar el proceso que se está

describiendo Describen el proceso con símbolos, flechas y

palabras sin necesidad de oraciones La mayoría usa simbología estandarizada

(ANSI Y15.3) Si se usa software el número de símbolos

puede llegar a 500

42

Diagrama de flujo Diagramas de flujo o mapas de proceso

Permiten comprender la operación del proceso Normalmente representan el punto de inicio para la

mejora

Pasos para elaborarlo (Símbolos ANSI Y15.3) Organizar un equipo para examinarlo Construir un diagrama de flujo representando cada

paso Discutir y analizar detalladamente cada paso Preguntarse ¿Porqué lo hacemos de esta forma? Comparar esta forma con la del proceso “perfecto” Existe demasiada complejidad, duplicidad o

redundancia ¿Se opera el proceso como está planeado y puede

mejorarse?

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Proceso Desición Documento Datos

Proceso Preparación Operación EntradaPredefinido Manuales

Conector Con. página Display Almacen Terminador

Símbolos de diagrama de flujo

44

Símbolos para Diagramas de Flujo

Iniciar/Detener Transmisión

Operaciones(Valor agregado)

Decisión

Inspección /Medición

Transportación

Almacenar

Entrada/Salida

Líneas de Flujo

Retraso

45

Diagrama de flujo del Proceso:

Inicio

Fin

Paso 2A Paso 2B Paso 2C

Paso 1

Paso 3

¿Bueno?Retrabajo SíNo

Es el diagrama de flujo de un proceso

que muestra cómo se realiza un trabajo.

46

Diagrama de flujo / Análisis del valor

Actividades sin valor agregado

Actividades con valor agregado

47

¿Cómo Ayuda un Mapa de Proceso?

Una vez que podemos ver las cosas -podemos hablar de ellas.

Los pasos que no agregan valor se hacen más evidentes.

El retrabajo y las reparaciones son obvias.

Se puede llegar a acuerdos.

48

Diagramas de Flujo Existentes

Creados para un propósito diferente.

Con frecuencia no reflejan los puntos de inicio y Fin adecuados.

No son “cómo es”. “Quieren ser” No señalan el

desperdicio.

49

Aprovecha al Equipo

Haz recorridos, entrevistas y revisiones de los diagramas de flujo y los estándares existentes.

50

¡Haz el Mapa del Proceso lo más Pronto Posible!

señala con claridad la región en la que el equipo se debe enfocar.

evita que el equipo salga de los límites del proyecto.

El mapa de un proceso...

51

El Inicio y el Fin Se Deben Poder Medir

Selecciona los puntos de Inicio y Fin donde se llevan a cabo acciones que se pueden medir.

52

Ejercicio Rápido - Inicio y FinProceso Inicio Fin

Ensamble de Asiento

Dibujos de Ingeniería

Manufactura en Riel de Asientos

Cuentas por Pagar

53

Ejemplos - Inicio y FinProceso Inicio Fin

Ensamble deAsiento

Marco de metalpuesto en línea

Inspección Final

Dibujos deIngeniería

Requerimientosdel Cliente

Cliente Recibeel Archivo CAD

Manufactura enRiel de Asiento

Operación dePérfiles

Estampados

Inspección Final

Cuentas porPagar

Recepción de laFactura delProveedor

DepósitoElectrónico

54

Permite que la Gente vea el Mapa del Proceso

De ser posible, la gente que trabaja en el proceso debe poder ver una copia grande a escala del mapa del proceso.

¡Las revisiones, sugerencias y correcciones son bienvenidas!

55

Herramientas de un Mapa de Proceso

Rotafolios y Marcadores.

Hojas para Rotafolio y Notas Autoadheribles.

56

Pasos para Elaborar un Mapa de Proceso

1. Establezcan los puntos de Inicio y Fin del proceso.

2. Hagan una lista de los pasos del proceso mediante una tormenta de ideas.

3. Realicen el primer recorrido y entrevistas.

4. Elaboren una lista de los proceso clave en las notas autoadheribles.

5. Discutan, revisen y modifiquen.

6. Hagan un segundo recorrido y entrevistas.

7. Añadan pasos de inspección, retrabajo, reparación y desperdicio en las notas autoadheribles.

8. Elaboren un mapa de proceso “cómo es”.

Como equipo...

57

¡Hazlo fácil!

En este momento, el mapa de proceso “cómo es” debe ser de “alto nivel”, pero debe incluir todos los pasos primarios necesarios para obtener la mejora deseada (es decir, los pasos con valor agregado relativos a los CTQ, CTC, CTD).

Idealmente, muestra de cinco a diez pasos.

Agrega más detalles posteriormente.

58

Paso 1: Puntos de Inicio y Fin

Revisen la declaración del problema.

Describan los procesos que causan el problema.

Comenten los puntos de Inicio y Fin que se pueden medir.

Pónganse de acuerdo y regístrenlos.

Declaración del Problema: El cliente espera los dibujos modificados demasiado tiempo.

Proceso: Proceso de revisión de dibujos.

Pregunta:¿Cuál podría ser el punto de Inicio?

Pregunta: ¿Cuál podría ser punto de Fin?

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Puntos de Inicio y Fin Declaración del Problema:

“El Cliente espera demasiado tiempo los dibujos modificados.”

Proceso:Proceso de revisión de dibujos.

Inicio:El Cliente solicita un formato de cambio de dibujos.

Fin:Se entrega el archivo de dibujos (CAD) al Cliente.

60

Paso 2: Tormenta de Ideas sobre los Pasos del Proceso

Escriban Inicio y Fin donde todos lo puedan ver.

El equipo aporta ideas sobre los pasos del proceso que existen entre el inicio y el fin.

Inicio:El Cliente solicita un formato de cambio de dibujos.

Pregunta:¿Cuáles son algunos de los probables pasos del proceso entre los puntos de inicio y fin?

Fin:El archivo CAD se entrega al Cliente.

61

Pasos del Proceso Inicio:

El Cliente solicita un formato de cambio de dibujos.

Pasos a seguir: Bosquejar el cambio requerido. Calcular el impacto del cambio. Determinar cuáles dibujos necesitan

cambiarse. Cambiar los dibujos apropiados.

Fin:El archivo CAD se entrega al Cliente.

62

Paso 3: Primer Recorrido y Entrevistas

El equipo recorre el proceso existente.

Observen cómo se hace el trabajo.

Platiquen con la gente (entrevisten).

Tomen notas. Enfóquense en los pasos

del proceso.

63

Paso 4: Notas Autoadheribles Escriban los pasos

del proceso en notas autoadheribles.

Coloquen las notas sobre la pared.

Por ahora sólo dejen las notas.

Reunión con el grupo

Encontrar Especif.

Crear Boceto

Localizar Archivos

CAD Cambiar Dibujos

Calcular Impacto

Hacer Café

CrearPaquete

de Archivos

Enviar al Cliente

64

Paso 5:Comentar, Revisar, Modificar Comenten, repasen y

modifiquen el mapa del proceso en las notas autoadheribles.

Pónganse de acuerdo en los pasos que se deben conservar.

Pónganse de acuerdo en los pasos que se deben eliminar.

Retengan solo los pasos importantes del proceso.

65

Pasos “Importantes” del Proceso Información

suficiente para facilitar la mejora.

Resultados que se puedan medir.

Podrían producirse defectos (CTQ, CTC, CTD).

Un inicio y un fin definidos.

66

Pasos Importantes

¿Qué pasos podrían ser importantes en el mapa del proceso que aparece a la derecha?

Reunión con el grupo

Encontrar Especif.

Crear Bósquejo

Localizar Archivos

CAD Cambiar Dibujos

Calcular Impacto

Hacer Café

CrearPaquete

de Archivos

Enviar al Cliente

67

Paso 6: Segundo Recorrido y Entrevistas

Vuelvan a recorrer el proceso.

Busquen pasos que hayan pasado por alto.

Revisen pasos de inspección, retrabajo, reparación y desperdicio.

Tomen notas.

68

Paso 7: Añadir Cambios Agreguen notas

autoadheribles. Añadan

inspecciones. Añadan retrabajo y

reparaciones. Añadan desperdicio. Por ahora dejen

todas las notas.

Crear Bósquejo

Cambiar Dibujo

Calcular Impacto

Crear paquete de

archivos

Enviar a Cliente

Solicitud de Cambio del

Cliente

Cliente recibe archivos CAD

Impacto ¿OK?

Dibujo ¿OK?

Reunión con Ventas

Sí

No

No

Sí

69

Paso 8: Mapa del Proceso “Cómo Es”

El equipo establece un mapa del proceso “tal cual”.

Tiene el detalle suficiente para incluir los pasos importantes.

Sin demasiado detalle para que se entienda rápidamente.

Crear Bósquejo

Cambiar Dibujo

Calcular Impacto

Crear paquete de

archivos

Enviar a Cliente

Solicitud de cambio del

Cliente


Impacto ¿OK?

Dibujo ¿OK?

Reunión con Ventas

Sí

No

No

Sí

70

Cuándo Recolectar DatosDurante la elaboración del mapa de proceso….

Identifica los puntos para la recolección de datos, pero

¡no recopiles los datos!

Después de haber creado el Mapa “Cómo Es” …planea la recolección de datos sobre los pocas

salidas vitales.• Generalmente, cuando se recolectan datos durante la

elaboración del mapa, se toman datos sobre puntos equivocados.

• ¡La recolección de datos se debe planear y enfocar sobre los factores de alta prioridad que son críticos para el cliente!

Precaución

(consulta el módulo “Planeación de la Recolección de Datos”)

71

Mapa del Proceso “Cómo Es”

Crear Bósquejo

Cambiar Dibujo

Calcular Impacto

Crear paquete de

archivos

Enviar al Cliente

Solicitud de cambio del Cliente


Impacto ¿OK?

Dibujo ¿OK?

Reunión con Ventas

Sí

No

No

Si

• Es la condición base del proceso.

• Es el inicio de tu viaje hacia la mejora.

• Es la oportunidad para la estrategia de impacto de Six Sigma.

72

El Mapa de Proceso “Cómo Debe Ser”

Una vez que se identifiquen las soluciones durante la fase de MEJORA…

Crea el nuevo mapa de proceso.

El nuevo mapa muestra el flujo de trabajo mejorado que ahora tiene- menos pasos- menos actividades sin valor agregado

Este nuevo mapa muestra el proceso “cómo debe ser” que “será” una vez que se implementen todas las soluciones.

NOTA

73

74

La cadena de valor Son todas las actividades que la empresa debe

realizar para diseñar, ordenar, producir, y entregar los productos o servicios a los clientes.

La cadena de valor tiene tres partes principales: El flujo de materiales, desde la recepción de

proveedores hasta la entrega a los clientes.

La transformación de materia prima a producto terminado.

El flujo de información que soporta y dirige tanto al flujo de materiales como a la transformación de la materia prima en producto terminado.

75

La cadena de valorBeneficios del Mapeo de la cadena de valor Ayuda a visualizar el flujo de producción; las

fuentes del desperdicio o Muda Suministra un lenguaje común sobre los

procesos de manufactura y Vincula los conceptos ytécnicas Lean

Forma la base del plan de ejecución, permitiendo optimizar el diseño del flujo de puerta a puerta

Muestra el enlace entre el flujo de información y el flujo de material

Permite enfocarse en el flujo con una visión de un estado ideal o al menos mejorado

76

Flujo de informaciónAdemás del flujo de materiales en el proceso de

producción, se tiene otro flujo que es el de información que indica a cada proceso lo que debe producir o hacer en el paso siguiente. Son dos caras de la misma moneda y se deben trazar ambos.

77

78

Simbología utilizada

79


80


81


82

Identificando mapa actual

83

Tips para la cadena de valor Recolecte siempre información del estado

actual mientras se realizan las operaciones normales tanto en flujos de información como de materiales.

Inicie con una caminata rápida a través de la cadena de valor completa puerta a puerta, para obtener un sentido del flujo y secuencia de procesos. Después regrese y colecte información en cada proceso.

Inicie desde el final de embarque y de ahí para atrás. Así se iniciará el mapeo con los procesos que están más ligados directamente al cliente, el cual debe establecer los pasos para otros procesos.

84

Tips para la cadena de valor Utilice el cronómetro y no dependa de tiempos

estándar o información que no obtenga personalmente.

Trazar uno mismo la cadena de valor completa. Entendiendo que el flujo completo lo encierra el mapeo de la cadena de valor.

Siempre trace a mano y a lápiz. Ir al piso de producción al realizar el análisis de estado actual, y afinarlo más tarde. Se debe resistir la tentación de usar la computadora.

85

Tips para la cadena de valor

86

Información para la cadena de valor

Tiempo del ciclo (C/T – tiempo que transcurre entre la salida de dos partes consecutivas)

Tiempo de cambio o de preparación (C/O – para cambiar de un producto a otro)

Tiempo disponible de máquina (De acuerdo a la demanda)

Tamaño de lote de producción (EPE – every part every…..)

Número de operadores

87

Información para la cadena de valor

Número de productos diferentes Contenido de la unidad de empaque o

contenedor

Tiempo de trabajo (sin los descansos obligatorios)

Tasa de desperdicio

Capacidad del proceso (tiempo disponible/ tiempo de ciclo * porcentaje de disponibilidad del equipo), sin tiempos de cambio de tipo.

Takt time (tiempo disponible para cubrir la demanda de productos).

88

Ejemplo de aplicación: Empresa Guden

89

Mapa del estado actualProceso de manufactura

90

Mapa incluyendo información

91

Mapa incluyendo tiempos de ciclo y tiempo de entrega

92

Mapa futuro reduciendo tiempos de entrega

93

Mapa futuro reduciendo tiempos de entrega

94

Beneficios

95

Beneficios

96

Mapa de proceso de laEmpresa ABC - final

97

Documentación

98

Procedimientos escritos Los procedimientos deben ser desarrollados

por los que tienen la responsabilidad del proceso de interés

La documentación del proceso en un procedimiento facilita la consistencia en el proceso.

Los procedimientos críticos deben tener su diagrama de flujo correspondiente

99

Instrucciones de trabajo Las instrucciones de trabajo proporcionan los

pasos detallados de la secuencia de actividades

Los diagramas de flujo pueden usarse con las instrucciones de trabajo para mostrar las relaciones de los pasos del proceso.

Las copias controladas de estas instrucciones se guardan en el área de trabajo

100

Diagrama de espaguetti Se pueden usar para describir el flujo de

personas, información, o material en casi cualquier tipo de proceso. La mayoría de las acpliaciones considera flujos de personas, información y materiales.

101

Diagramas de Venn Se pueden utilizar para analizar las cargas de trabajo,

por ejemplo:

El tiempo de ocupación es 0.30+0.20+0.25+0.10-0.06-0.04 = 0.75, es decir de cada turno de 8 horas tiene 2 horas disp.

102

V.C Capacidad de los sistemas de medición

103

ContenidoV.C.1 Métodos de medición

V.C.2 Análisis de sistemas de medición

V.C.3 Sistemas de medición en la empresa

V.C.4 Metrología

104

V.C.1 Métodos de medición

105

Métodos de medición Cuidado de instrumentos de medición

Los instrumentos de medición son costosos y deben tratarse con cuidado, deben calibrarse en base a un programa así como después de sospecha de daño

Superficies de Medición / Referencia Es la superficie de referencia para realizar las

mediciones.

Herramientas de transferencia No tienen escala de lectura, por ejemplo, los

calibradores de resorte. La medición es transferida a otra escala de medición para lectura directa.

106

Métodos de medición Gages o escantillones por atributos

Son gages fijos para inspección pasa no – pasa. Por ejemplo gages maestros, plug gages, gages de contorno, thread gages, gages de límite de longitud, gages de ensamble. Sólo indican si el producto es bueno o malo.

Gages o escantillones por variables Proporcionan una dimensión física. Por ejemplo

reglas lineales, calibradores verniers, micrómetros, indicadores de profundidad, indicadores de excentricidad, etc. Indican si el producto es bueno o malo respecto a las especificaciones para capacidad.

107

Métodos de medición Selección por atributos

Son pruebas de selección realizadas en una muestra con dos resultados posibles, aceptable o no aceptable.

Como se realiza a toda la población o a una proporción grande de la misma, debe ser de naturaleza no destructiva.

108

Métodos de medición Selección por atributos, características

principales: Un propósito claramente definido Alta sensibilidad al atributo evaluado. Equivale a

una tasa baja de negativos falsos.

Alta especificidad al atributo que está siendo medido. Esto equivale a una baja tasa de positivos falsos.

Los beneficios del programa sobrepasan los costos

Los atributos medidas identifican problemas importantes (series y comunes)

Los resultados guían a acciones útiles

109

Métodos de medición Gages (gauges) bloques patrón:

Carl Johansson desarrolló bloques de acero como estándares de medición con exactitud de unas pocas millonésimas de pulgada

Los bloques patrón o “Jo” se hacen de acero con aleación al alto carbón y cromo, carburo de tungsteno, carburo de cromo o cuarzo fundido

Se usan para establecer una dimensión de longitud de referencia para una medición de transferencia, y para calibración de varios instrumentos de medición

110


111


Se pueden apilar con la ayuda de una capa delgada de aceite que expulsa el aire. Usar poca presión en el proceso

112

Métodos de medición Juegos de Gages (gauges) de bloques patrón:

El contenido de un juego de 81 piezas son:

Bloques de diezmilésimas (9): 0.1001, 1002,..,0.1009

Bloques de una milésima (49): 0.101, 0.102…0.149

Bloques de 50 milésimas (19): 0.050, 0.100…0.950

Bloques de una pulgada (4): 1.000, 2.000,…, 4.000

113

Métodos de medición Calibradores:

Los calibradores se utilizan para medir dimensiones de longitud, internas, externas, de altura, o profundidad.

Son de los siguientes tipos: Calibradores de resorte, calibradores de reloj, verniers y calibradores, calibradores digitales

114

Métodos de medición Calibradores de resorte:

Los calibradores proporcionan una exactitud de aproximadamente 1/16” al transferir a una regla de acero

115

Métodos de medición Calibradores verniers:

Usan una escala para indicar la medición de longitud. Ahora se han reemplazados con reloj o indicador digital.

Para el caso de una longitud de 1.069” se leería como sigue:

116

Métodos de medición Calibradores de reloj:

La lectura se hace en la escala con resolución cercana a 0.1” y un reloj con resolución de 0.001”.

Calibradores digitales Usan un display digital con lectura en pulgadas

o en milímetros y un cero que puede ser puesto en cualquier punto del viaje. La resolución es del orden de 0.0005

117

Métodos de medición Comparadores ópticos

Usan un haz de luz dirigido hacia la parte a ser inspeccionada, y la sombra resultante es amplificada y proyectada en una pantalla.

La imagen puede medirse al comparar con una plantilla maestra o medir la silueta en la pantalla o tomando las lecturas. Para pasar la inspección, la silueta de la sombra debe encontrarse entre los límites de tolerancia predeterminados.

118

Métodos de medición Micrómetros

Los “mics” se pueden adquirir con tamaños de cuerpo para 0.5” a 48”. La mayoría tiene una exactitud de 0.001” y con un vernier o indicador puede llegar a 0.0001”. En cuartos con temperatura y humedad controlada se pueden hacer medidas lineales de hasta millonésimas de pulgada

Pueden hacer mediciones de interiores, exteriores, porfundidad, cuerdas, etc. Las dos escalas utilizadas son la del cuerpo y la del tambor, a continuación se muestra un ejemplo:

119

Métodos de medición Micrómetros

120

Métodos de medición Mediciones de resistencia a la tensión

La resistencia a la tensión es la habilidad de un metal a resistir su rotura. Se aplica una carga a una barra de prueba y se incrementa gradualmente hasta que la barra se rompa. Se pueden analizar los datos de tensión usando curvas de esfuerzo – deformación, que muestra la carga vs la elongación.

Prueba de corte Es la habilidad para resistir un esfuerzo de

“cuchilla cortante” cuando se aplican fuerzas paralelas ligeramente fuera de eje.

121

Métodos de medición Prueba de compresión

La comprensión es el resultado de fuerzas actuando unas contra otras. Se aplica una carga y se registra la deformación. Se puede obtener una curva de esfuerzo – deformación con los datos

Prueba de fatiga La fatiga es la habilidad del material a resistir

cargas repetitivas. En varios niveles de esfuerzo, se cuenta el número de ciclos hasta que ocurre la falla

122

Métodos de medición Titulación

Es un método de análisis que permite la determinación de cantidades precisas de reactivos en el matraz. La solución a ser analizada se prepara en el matraz Erlenmeyer. Un indicador como el azul de metileno es adicionado a la solución. Se usa una bureta para liberar el segundo reactivo al matraz y un indicador o medidor de pH se utiliza para determinar el punto final de la reacción. El indicador cambia de color cuando se llega al punto final.

123

Métodos de medición Medición de dureza

La medición de dureza se realiza al crear una marca en la superficie del material con un balín duro o una pirámide de diamante y después se mide la profundidad de penetración

124

Métodos de medición Medición de dureza

125

Métodos de medición Medición de torque

Esta medición se requiere cuando el producto se sujeta con tornillos y tuercas. El torque es una fuerza que produce rotación alrededor de un eje

(Torque = fuerza x Distancia)

Prueba de impacto La resistencia al impacto es la habilidad del

material para resistir el impacto. Las pruebas de Charpy e Izod usan muestras que son golpeadas por un péndulo calibrado

126

Métodos de medición La regla de acero

La regla de acero se utiliza para lecturas directas. Sus divisiones están en fracciones de pulgada milímetros

Placas de medición (mármol) Son planos de referencia para mediciones

dimensionales. Usualmente son utilizados con accesorios planos, angulares, paralelos, bloques en V y bloques cilíndricos apilados

127

Métodos de medición Indicadores de reloj

Son instrumentos mecánicos para medir variaciones de distancia. Muchos indicadores de reloj amplifican la lectura de un punto de contacto por medio de un mecanismo interno de engranes. Tienen resoluciones de 0.00002” a 0.001” con un rango amplio de mediciones.

128

Métodos de medición Ring gages o gages de cuerdas

Se usan para inspeccionar dimensiones cilíndricas externas y frecuentemente se denominan “gages go no go”. Un ring gage de cuerdas se usa para checar cuerdas macho

129

Métodos de medición Plug gages o gages de diámetros

Se usan para inspeccionar dimensiones cilíndricas internas y frecuentemente se denominan “gages go no go” o “gages pasa no pasa”. Un plug gage de cuerdas se usa para checar cuerdas hembra. En lado se indica en verde la sección de Pasa y en el otro lado se indica en roja la No Pasa.

Go No go

130

Métodos de medición Gages neumáticos

Los tipos de gages de amplificación neumática incluyen unos accionados variando la presión de aire y otros al variar la velocidad del aire con presión constante. Las mediciones pueden ser leídas en millonésimas de pulgada.

Interferometría Se forma interferencia cuando dos o más haces

de luz monocromática de la misma longitud de onda se defasan 180º viajando en diferentes distancias. Las irregularidades se evidencian alternando las bandas obscura y de luz

131

Métodos de medición Gages diseñados con Laser

El haz de luz Laser se transmite a un receptor del lado puesto del gage. Las mediciones se realizan cuando el haz es obstaculizado por un objeto y el receptor registra esta dimensión.

Máquina de Medición por Coordenadas (CMM) Las partes a medir se colocan en la placa de

mármol y un sensor se manipula para tener varios puntos de contacto usando el sistema de mediciones controlado por computadora tomados en tres ejes perpendiculares entre sí.

132

Métodos de medición Pruebas no destructivas (NDT) y evaluaciones no

destructivas (NDE) Son técnicas para evaluar las propiedades de los

materiales sin afectar la utilidad futura de los artículos probados. Incluyen el uso de automatización, prueba al 100% del producto y la garantía de adecuación interna. Algunos resultados requieren considerable habilidad para su interpretación.

Inspección visual La inspección visual de color, textura y apariencia

proporciona información valiosa. EL ojo humano es apoyado por lentes de aumento u otros instrumentos. Esta inspección también se denomina inspección de exploración (scanning)

133

Métodos de medición Pruebas ultrasónicas

Las ondas ultrasónicas se generan en un transductor y se transmiten a través de un material que puede tener defectos. Parte de las ondas chocan en el defecto y se reflejan como ecos a la unidad receptora, que las convierte en picos en la pantalla. Para pruebas no destructivas se utiliza un rango de frecuencias de 200 a 250,000 Khz.

134

Métodos de medición Pruebas con partículas magnéticas

La inspección con partículas magnéticas es un método no destructivo de detectar la presencia de defectos o poros ya sean superficiales o internos en metales o aleaciones ferromagnéticos.

Se magnetiza la parte y después se aplican partículas de acero en la superficie de la parte bajo prueba. Las partículas se alinean con el campo magnético y se concentran en lugares donde las líneas entran o salen de la parte.

135

Métodos de medición Pruebas con partículas magnéticas

La parte bajo prueba se examina en las áreas de concentración de partículas magnéticas que indicarían presencia de discontinuidades

Se usa corriente alterna para descubrir la presencia de defectos superficiales, mientras que con corriente directa proporciona mayor sensibilidad para la localización de defectos internos. Se cuenta con métodos secos y húmedos

136

Métodos de medición Pruebas con líquidos penetrantes

La inspección con líquidos penetrantes es un método rápido para detectar defectos en la superficie en todo tipo de materiales. El líquido aplicado contiene una tinta que penetra en el defecto por capilaridad contrastado por una limpieza. Requiere observación cuidadosa.

Pruebas con corrientes parásitas de Eddy Las corrientes parásitas son inducidas en un

objeto bajo prueba al pasar una corriente alterna en una bobina colocada cerca de la superficie del objeto bajo prueba.

137

Métodos de medición Pruebas con corrientes parásitas de Eddy

Un campo electromagnético es producido en el objeto bajo prueba que puede ser comparado con un estándar.

Defecto

138

Métodos de medición Pruebas con Radiografía

Se pueden dirigir Rayos X o Rayos Gama a través de un objeto bajo prueba sobre una placa fotográfica y las características internas de la parte pueden ser reproducidas y analizadas.

Para un análisis adecuado, se deben establecer estándares de referencia para evaluar los resultados. Una radiografía puede mostrar poros, inclusiones, y fracturas si se encuentran en el plano adecuado y son suficientemente grandes.

139

Métodos de medición Pruebas con Radiografía de neutrones

Los neutrones son partículas atómicas sin carga que se mueven por los materiales sin afectar su densidad. Son dispersados o absorbidos por partículas en el nucle atómico en vez de los electrones. El objeto se coloca en un haz de neutrones en frente de un detector de imagen.

Otras técnicas relacionadas Aplicaciones recientes incluyen fluoroscopia,

radiografía gama, rayos X televisados, pruebas con microondas e inspección holográfica

140

V.C.2 Análisis de Sistemas de Medición

141

Contenido1. Errores en la medición2. Carta de tendencias de gage – Minitab3. Estudios de R&R – metodo corto del rango4. Estudios de R&R – método largo (cruzado)5. Estudios de R&R – método largo (anidado)6. Estudios de linealidad y sesgo7. Estudios de R&R por atributos – método

analítico8. Estudios de R&R por atributos – acuerdo entre

evaluadores

142

Análisis de Sistemas de Medición

1. Errores en la medición

143

Metrología Metrología es la ciencia de las mediciones

Apoya a la organización en la evaluación cuantitativa de las variables del proceso (longitudes, dimensiones, pesos, presiones, etc.)

Factores considerados para determinar el periodo de calibración de los equipos de medición Intensidad de uso del equipo Posibles desgastes por el uso o degradación Errores identificados durante las calibraciones

periódicas

144

Correlación de mediciones

Es la comparación o correlación de las mediciones de un sistema de medición con los valores reportados por uno o más sistemas de medición diferentes

Un sistema o dispositivo de medición puede usarse para comparar valores contra un estándar conocido, a su vez puede compararse a la media y desviación estándar de otros dispositivos similares

Todas las mediciones reportadas de artefactos iguales o similares, son referidos como prueba de proficiencia o prueba de Round Robin.

145

Correlación de mediciones

También se pueden comparar valores obtenidos de diferentes métodos de medición usados para medir diferentes propiedades. Por ejemplo la medición de dureza y resistencia de un metal, temperatura y expansión lineal de un artículo al ser calentado, y peso y número de pequeñas partes

El manual MSE de la AIAG clasifica los errores del sistema de medición en cinco categorías: Sesgo o exactitud Repetibilidad Reproducibilidad Estabilidad Linealidad

146

Porcentaje de acuerdo El porcentaje de acuerdo ya sea entre el sistema

de medición y los valores de referencia o el valor verdadero de la variable medida

Puede estimarse con el coeficiente de correlación, r, con valores r=1 100% de acuerdo y r= 0 sin acuerdo.

147

Precisión a Tolerancia P/T Es la razón (P/T) entre el error estimado de la

medición (precisión) y la tolerancia de la característica medida.

Donde 6 sigma es la variabilidad de las mediciones. Los supuestos son: Las mediciones son independientes Los errores de medición se distribuyen

normalmente Los errores de medición son independientes de

la magnitud de las mediciones

Tolerancia

TPl e6/Re

148

Precisión a Variación Total P/TV

Es la razón (P/TV) entre el error estimado de la medición (precisión) y la variación total de la característica medida.

Se debe minimizar P/TV para reducir el efecto de la variación de las mediciones en la evaluación de la variación del proceso

Conforme P/T y P/TV se incrementan, la habilidad de discriminar un cambio en el proceso disminuye, en todo caso utilizar un sistema de medición con variación más pequeña

MedicionVariacionoductoVariacion

MedicionVariacionTotalVariacion

TVPl e

Pr6

/Re

149

DefinicionesExactitud

Desviación respecto del valor verdadero del promedio de las mediciones

Valor verdadero:Valor correcto teórico / estándares NIST

SesgoDistancia entre el valor promedio de todas las

mediciones y el valor verdadero.Error sistemático o desviación

150

Definiciones

EstabilidadLa variación total en las mediciones obtenidas

durante un período de tiempo prolongadoLinealidad

Diferencia en los valores de la escala, a través del rango de operación esperado del instrumento de medición.

PrecisiónMedición de la variación natural en mediciones

repetidas

151

Definiciones

Proceso deTransformación

Proceso deMedición

Datos, información, observaciones

22 2Sistema de mediciónproducto total

Variabilidad del producto

+ =Variabilidad del Sist. De Medición

Variabilidad total

(Observada)

Sistema de mediciónproducto total em m

152

Errores en la medición• Todo proceso tiene variabilidad y los procesos

de medición no son la excepción;

• Los valores observados son el resultado del comportamiento verdadero más el “ruido” de la medición, por lo que es necesario evaluar el sistema de medición de la variable de respuesta para determinar si este es aceptable para la necesidad.

153

Errores en la medición

PromediosmObservada = mproceso + mmedición

Variabilidad

Observada = proceso + medición2 2 2

Determinada por un estudio de calibración

Determinada por un estudio

R&R

154

Posibles Fuentes de la Variación del Proceso

La “Repetibilidad” y “reproducibilidad” (R&R), son los errores más relevantes en la medición.

Variación del proceso, real Variación de la medición

Variación del proceso, observado (Zlp/Zlt y/ó DPMO)

Reproducibilidad

Repetibilidad

Variación dentro de la muestra

Estabilidad Linealidad Sesgo

Variación originada

por el calibrador

Calibración

155

Análisis de Sistemas de Medición Sensibilidad

El gage debe ser suficientemente sensible para detectar diferencias en las mediciones en al menos un décimo de la tolerancia especificada o de la dispersión del proceso

156

Sesgo es la diferencia entre el promedio observado de las mediciones y el valor verdadero (patrón).

si Exactitud > 10% : Ajustar el equipo de

medición Utilizar factores de

corrección

Definición del Sesgo o exactitud

Valor Verdadero

Sesgo

% Exactitud = | Exactitud |*Tolerancia 100

157

Definición de la Repetibilidad o precisión

REPETIBILIDAD

Repetibilidad: Es la variación de las mediciones obtenidas con un instrumento de medición, cuando es utilizado varias veces por un operador, al mismo tiempo que mide las mismas características en una misma parte

158

Definición de la Reproducibilidad

Reproducibilidad: Es la variación, entre promedios de las mediciones hechas por diferentes operadores que utilizan un mismo instrumento de medición cuando miden las mismas características en una misma parte en diferentes tiempos

Reproducibilidad

Operador-A

Operador-C

Operador-B

159

Errores en la medición

Preciso pero Exacto pero Exacto yNo exacto no preciso preciso

160

Estabilidad (o desviación) es la variación total de las mediciones obtenidas con un sistema de medición, hechas sobre el mismo patrón o sobre las mismas partes, cuando se mide una sola de sus características, durante un período de tiempo prolongado.

Estabilidad= x1-x2=Exactitud1 - Exactitud2

Definición de la Estabilidad

Tiempo 1

Tiempo 2

% Estabilidad =| Estabilidad |*Tolerancia

100

5% > Recomendación si Estabilidad > 10% • Modificar frecuencias de calibración

(Programa)• < 5% espaciar periodos de uso entre

calibración• >10% acortar periodos entre calibraciones

Patrón

161

Linealidad es la diferencia en los valores real y observado, mayor menos menor a través del rango de operación esperado del equipo.

Definición de la Linealidad

Rango de Operación del equipo

Valor verdadero

Valor verdadero

(rango inferior) (rango superior)

Sesgo Menor

Sesgo mayor

Graficar el sesgo versus los valores de exactitud de la parteen todo el rango de operación del instrumento. El porcentaje deLinealidad es igual a la pendiente, b, de la línea de regresión Multiplicada por la variación del proceso. L = b VpEl sesgo en cualquier punto se puede estimar de la pendiente yLa intersección con eleje Y (Yo) de la mejor línea de ajuste B = Yo + b X

% Linealidad = | Linealidad | *Tolerancia 100 Recomendación si Linealidad > 10% :

• Restringir su uso• Aplicar factores de corrección

162

Estabilidad del CalibradorCómo Calcularla…

• Para calibradores que normalmente se utilizan sin ajuste, durante periodos de tiempo relativamente largos.

» Realizar un segundo estudio R&R del Calibrador justo antes de que venza el tiempo de re calibración.

» La estabilidad del calibrador es la diferencia entre los promedios sobresalientes de las mediciones resultantes de los dos estudios.

Causas posibles de poca estabilidad…

• El calibrador no se ajusta tan frecuentemente como se requiere

• Si es un calibrador de aire, puede necesitar un filtro o un regulador

• Si es un calibrador electrónico, puede necesitar calentamiento previo.

163

Estudios de incertidumbre Para evaluar la desviación estándar poblacional del

sistema de medición de los pocos vitales, haremos un ajuste a la desviación estándar muestral con la t-student, por lo que se requiere :

No out-liers : De tener presentes, proceder a investigarlos y eliminarlos o sustituirlos.

Normalidad de los datos : de no haber normalidad se puede aplicar el teorema de límite central utilizando da desviación estándar de las medias grupos de tamaño m

164

Estudios de incertidumbreIncertidumbre = Desv.Std.Sist.medic.Incertidumbre

5.15 med

99.02%

Incertidumbre

Incertidumbre estandar :u = sistema de medicion = s*(t0.005,n-1) Öm /(2.575)

Incertidumbre expandida : U = 5.15*u= k*s*(t0.005,n-1)Öm

Donde : k= factor de cobertura (Generalmente k=2)

%U = U*100/Tolerancia

165

Estudios de R&RLos métodos para estudios de Repetibilidad y

Reproducibilidad pueden clasificarse por la naturaleza de las mediciones en :

Métodos para mediciones de datos continuos Para pruebas no destructivas

Método Corto ó Rangos (Mediciones cruzadas) Método Largo ó Medias y Rangos (Cálculos manuales) Método ANOVA (Exacto, pero recomendable software)

Para pruebas destructivas ANOVA modificado (Diseños anidados)

Métodos para mediciones de atributos o datos discretos. Indice Kappa (Pruebas binarias) Índice Kendall (Multiples caracteristicas)

166

Estudios de R&R Todos ellos generalmente consideran un nivel

de confianza del 99.02%, esto es :

GR&R = 5.15 sigma de la medición

167

Estudios R&R – Datos continuosEstudios de GR&Rdatos continuosEstudios sobre la varianza

Ho:El sistema de medición es aceptable para

la necesidad.GR&R Método

de Rangos (Corto)

%GR&Raceptable

Se cuenta con software

estadístico

Método Mediasy Rangos (Largo)

Método Análisis deVarianzas (ANOVA)

% GR&Raceptable

Reproducibilidadaceptable

Repetibilidadaceptable

Estudios de Incertidumbrey/o caracterización.

Estandarizar métodos,operaciones, equipos y/oprocedimientos utilizados.

Documentar estudioy definir siguiente

fecha de evaluación.

NO

SI

NO SI

NO

SI

NO

SI

NO

SINO

168

Precisión en relación a la variación total

Identificar qué porcentaje de la variación total debe absorberse como error de medición.

<10% Aceptable10-30%. Puede ser aceptable, dependiendo qué tan crítico es el grado de la medición.>30%. ¡Inaceptable!

%R&RVar Total

= R&R *100

Error R&R = RPT2 + REPR2

Para la fase de control del proyecto, sólo substituya la Tolerancia por Variación Total. TV= R&R + PVPV= variación de parte = Rp x K3

169

EL VALOR DEL R&R ES UN PORCENTAJE DE LA VARIACION TOTAL DEL PROCESO:

Mientras más mayor sea el % del R&R, mayor será el área de incertidumbre para conocer la dimensión verdadera de las partes.ERROR TIPO 1: Pueden estarse aceptando partes que están fuera de especificacionesERROR TIPO 2: Pueden estarse rechazando partes que están dentro de especificaciones

Lo que fue

medido

VARIACIÓN DE PARTE A PARTE

LSL USLOBJETIVO

La dimensión verdadera de las partes se encuentra en algún lugar de la la región sombreada…

170

Estudios de Repetibilidad y Reproducibilidad Carta de Tendencias

Método del Rango (corto)

Método de Medias Rangos

Método de ANOVA

171

Método de Medias RangosI. Método de Medias - Rango

Permite separar en el sistema de medición lo referente a la reproducibilidad y a la Repetibilidad.

Los cálculos son más fáciles de realizar.

172

Método de Medias RangosI. Método de Medias - Rango

Un modelo matemático de este método con r réplicas, con K evaluadores en n partes, el rango medio encontrado es:

n

i

k

j

ij

nkR

R1

1

173

Método de ANOVAII. Método ANOVA Permite separar en el sistema de medición lo

referente a la reproducibilidad y a la Repetibilidad.

También proporciona información acerca de las interacciones de un operador y otro en cuanto a la parte.

Calcula las varianzas en forma más precisa. Los cálculos numéricos requieren de una

computadora.El Método ANOVA es Más Preciso

174

Método de ANOVAII. Método ANOVA

El valor observado usando el método ANOVA es:

Valor observado = Promedio + sesgo + Efecto de la parte + Efecto del evaluador + Error de réplica o

Valor observado = Valor de referencia + Desviación ijmiijm xY e

175

Método de ANOVAII. Método ANOVA

Con Yijm como la m-ésima medición tomada por el evaluador J en la parte j-ésima. Si las Xi son independientes y normalmente distribuidas con media m y varianza 2, la varianza total está dada por:

Donde son las varianzas debidas al efecto de la parte, el efecto del evaluador, y el error de réplica

2222)( ijmYVAR

222 ,,

176

Método de ANOVAEjemplo de Corrida: 5 partes, 3 técnicos y 2

réplicas

La repetibilidad es la varianza del error contribuye con 50.85% del total de variación de los datos.

177

Método de ANOVAEjemplo de Corrida: La reproducibilidad es la variación entre

técnicos que contribuye con el 2.34% de la variación

La variación del proceso contribuye con un 46.81% de la variación total de los datos

Se usa la prueba F para determinar las diferencias significativas

178


2. Carta de tendencia de gages

179

Carta de tendencias de gages

Una carta de tendencias es una gráfica de todas las observaciones por operador y partes. La línea horizontal de referencia es la media, calculada de los datos o proporcionada en base al historial.

Esta carta muestra las diferencias entre los diferentes operadores y las partes.

Un proceso estable mostrará una dispersión aleatoria horizontal; el efecto de un operador o parte mostrará un patrón definido no aleatorio.

180


Operator

Resp

onse

Mean

1.0

0.8

0.6

0.4

1.0

0.8

0.6

0.4

Mean

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

Operator

3

12

Gage name:Date of study:

Reported by:Tolerance:Misc:

Panel variable: Part

Gage Run Chart of Response by Part, Operator1 File > Open worksheet > GAGEAIAG.MTW.2 Stat > Quality Tools > Gage Study > Gage Run Chart.3 En Part numbers, seleccionar Part.4 En Operators, seleccionar Operator.5 En Measurement data, seleccionar Response. Click OK.

181


Interpretando los resultados Para cada parte, se puede comparar la variación entre

mediciones hechas los operadores y sus diferencias Se puede comparar la media de referencia con las

mediciones específicas.

La mayor parte de la variación se debe a diferencias entre las partes, algunos patrones menores aparecen también.

Por ejemplo el operador 2 en su segunda medición es consistentemente (7/10) más pequeña que la primera, y sus mediciones son consistentemente (8/10) más pequeñas que las del operador 1.

182


3. Estudios R&R Método del rango

183

Método del rangoRequiere pocas muestras pero no proporciona

información detallada de las fuentes de variación, se usa cuando:

Diagnostico para identificar los sistemas de medición con mayor variabilidad.

Monitoreo/control periódico de sistemas de medición aceptables para asegurar que se mantiene su confiabilidad

Cuando solo participa una persona (Operador, auditor, inspector, analista) en el sistema de medición, entonces se busca otra fuente de información o auditoria a la medición para realizar una medición cruzada.

184

Método del rango Es un método que proporciona un valor

aproximado del error R&R sin que muestre las diferencias entre errores por el equipo y por los operadores.

Se usan dos evaluadores y cinco partes. Cada evaluador mide cada parte una sola vez.

Se calcula el rango de la medición de cada parte y al final el rango promedio.

La desviación estándar de R&R se aproxima con la formula de rango medio entre d2*

El % de R&R se calcula comparando la desv. Estándar de R&R con la del proceso

185

Método del rango

Partes Evaluador A Evaluador B Rango A,B1 0.85 0.80 0.052 0.75 0.70 0.053 1.00 0.95 0.054 0.45 0.55 0.105 0.50 0.60 0.10

Rango medio = 0.35/5 = 0.07

GRR = Rmedio / d2* = 0.07 / 1.19 = 0.0588Desv. Estándar del proceso = 0.0722%GRR = 100 (GRR / Desv. Est. Proceso ) = 81.4%

Por tanto el sistema de medición requiere mejora

Error máximo 10%

186

Método del rangoContra tolerancia: Determine la Tolerancia total de variación permitida

para la variable :

Para Especificaciones bi-laterales : Tolerancia = LSE - LIE

Para Especificaciones uni-laterales : Tolerancia = 2* |y – LIE| ó Tolerancia = 2* |LSE – y|Donde : LSE = Límite Superior de Especificación

LIE = Límite Inferior de Especificación y = Media histórica de la variable bajo estudio ó valor promedio objetivo

187

Método del rango Calcular los rangos de cada par de lecturas por

parte/muestra. Calcular el rango promedio de dichos rangos. Calcular el GR&R mediante: GR&R = (5.15) x (rango

promedio) Cálculo del %GR&R: %GR&R = GR&R*100/Tolerancia

Determinar si el sistema de medición es confiable para la necesidad:

%R&R <10% es aceptable

%R&R >30% es inaceptable

10%<%R&R<30% dependiendo la variación de proceso

188

Método del rangoPieza Inspector 1 Inspector 2 Rango

1

2

3

4

5

Rango promedio ( R ) =

GR&R = 5.15*R/d2* = 5.15 * ( )/( ) =

GR&R*100 ( )*100Tolerancia ( )

%GR&R = = =

Form

ato

5.1

189


4. Estudios R&R (cruzado)Método de Medias Rangos

– Método largo

190

Determinación sólo de la repetibilidad

Se tienen veinte unidades de producto, el operador que toma las mediciones para el diagrama de control usa un instrumento para medir cada unidad dos veces. Los datos son mostrados en la tabla siguiente

191


Parte Medición 1 Medición 2 Media Rango1 21 20 20,5 12 24 23 23,5 13 20 21 20,5 14 27 27 27,0 05 19 18 18,5 16 23 21 22,0 27 22 21 21,5 18 19 17 18,0 29 24 23 23,5 110 25 23 24,0 211 21 20 20,5 112 18 19 18,5 113 23 25 24,0 214 24 24 24,0 015 29 30 29,5 116 26 26 26,0 017 20 20 20,0 018 19 21 20,0 219 25 26 25,5 120 19 19 19,0 0

Promedio 22,3 1

192


La desviación estándar del error de medición,, es calculada mediante la siguiente fórmula:

Para obtener una buena estimación de la capacidad del error de medición utilizamos: y vs Tolerancia

887.0128.11

2

dR

=

R= Rango promediod2 = Valor de tablas.

LSLUSLTP mediciòn

632.5)887.0(66 mediciòn

193


En este ejemplo USL = 60, LSL = 5

Los valores P/T de 0.1 o menores generalmente implican una capacidad de error de medición adecuada.

La varianza total observada es: Y la sigma del proceso es:

Por lo tanto la desviación estándar del proceso = 2.93

=

097.05532.5

TP

4249.9)07.3( 222 STotal

proceso2 medicióntotal 22 = =9.4249 - .79 = 8.63

194


El error de medición es expresado como un porcentaje de la variabilidad del proceso:

Al ser el error de medición mayor al 10%, concluimos que no tenemos un sistema de medición confiable, por lo cual tenemos que realizar las acciones correctivas correspondientes.

=

%73.2510007.3

79.

total

medicion

195

R&R - Método de medias rangos

Los estudios de repetibilidad y reproducibilidad determinan cuanto de la variación observada como variación de proceso es debida a variación del sistema de medición.

Se proporcionan dos métodos para evaluar la repetibilidad y la reproducibilidad: Método de cartas X-R y Método de ANOVA.

El Método X-R divide la variación total dentro de tres categorías: parte a parte, repetibilidad y reproducibilidad. El método ANOVA presenta un componente adicional, la interacción operador – parte.

196

Método de medias rangos

197

Generalmente intervienen de dos a tres operadores

Generalmente se toman 10 unidades Cada unidad es medida por cada operador, 2 ó 3

veces.

Estudio de R&R – Medias Rangos

198

Estudio R&R – Medias rangos La resolución del equipo de medición debe ser

de al menos el 10% del rango de tolerancia o del rango de variación del proceso.

Las partes deben seleccionarse al azar, cubriendo el RANGO TOTAL DEL PROCESO . Es importante que dichas partes sean representativas del proceso total (80% DE LA VARIACION)

10 partes NO son un tamaño de muestra significativo para una opinión sólida sobre el EQUIPO DE MEDICIÓN a menos que

199

Procedimiento para realizar un estudio de R&R

1. Ajuste el calibrador, o asegúrese de que éste haya sido calibrado.

2. Marque cada pieza con un número de identificación que no pueda ver la persona que realiza la medición.

3. Haga que el primer operador mida todas las muestras una sola vez, siguiendo un orden al azar.

200


4. Haga que el segundo operador mida todas las muestras una sola vez, siguiendo un orden al azar.

5. Continúe hasta que todos los operadores hayan medido las muestras una sola vez (Este es el ensayo 1).

6. Repita los pasos 3-4 hasta completar el número requerido de ensayos

201


7. Utilice el formato proporcionado para determinar las estadísticas del estudio R&R Repetibilidad Reproducibilidad %R&R Desviaciones estándar de cada uno de los

conceptos mencionados Análisis del % de tolerancia

8. Analice los resultados y determine los pasos a seguir, si los hay.

202

Planteamiento del problema: Las partes producidas en el área de producción, fallaron por errores dimensionales 3% del tiempo.

Ejemplo:

CTQ: Mantener una tolerancia ± 0.125 pulgadas

Sistema de Medición: Se miden las partes con calibradores de 2”.

Estudio R&R del La dimensión A es medida por dos Calibrador: operadores, dos veces en 10 piezas.

203

Repetibilidad y Reproducibilidad de calibrador

Método X-media y Rango:

Operador A Operador BSerie # 1er. Ensayo 2o. Ensayo Rango 1er. Ensayo 2o. Ensayo Rango Porción Xbar

1 9.376 9.358 9.354 9.3612 9.372 9.320 9.372 9.3723 9.378 9.375 9.278 9.2774 9.405 9.388 9.362 9.3705 9.345 9.342 9.338 9.3396 9.390 9.360 9.386 9.3707 9.350 9.340 9.349 9.3498 9.405 9.380 9.394 9.3819 9.371 9.375 9.384 9.38510 9.380 9.368 9.371 9.376

TotalesX-barA X-barB

R-barA R-barB

Porción R

204

Cálculo de las X-mediasOperador A Operador B

Serie # 1er. Ensayo 2o. Ensayo Rango 1er. Ensayo 2o. Ensayo Rango Porción Xbar1 9.376 9.358 9.354 9.361 9.3622 9.372 9.320 9.372 9.372 9.3593 9.378 9.375 9.278 9.277 9.3274 9.405 9.388 9.362 9.370 9.3815 9.345 9.342 9.338 9.339 9.3416 9.390 9.360 9.386 9.370 9.3777 9.350 9.340 9.349 9.349 9.3478 9.405 9.380 9.394 9.381 9.3909 9.371 9.375 9.384 9.385 9.37910 9.380 9.368 9.371 9.376 9.374

Totales 93.772 93.606 93.588 93.580X-barA 9.3689 X-barB 9.3584

R-barA R-barB

Porción R


205

Cálculo de los RangosOperador A Operador B

Serie # 1er. Ensayo 2o. Ensayo Rango 1er. Ensayo 2o. Ensayo Rango Porción Xbar1 9.376 9.358 0.018 9.354 9.361 0.007 9.3622 9.372 9.320 0.052 9.372 9.372 0.000 9.3593 9.378 9.375 0.003 9.278 9.277 0.001 9.3274 9.405 9.388 0.017 9.362 9.370 0.008 9.3815 9.345 9.342 0.003 9.338 9.339 0.001 9.3416 9.390 9.360 0.030 9.386 9.370 0.016 9.3777 9.350 9.340 0.010 9.349 9.349 0.000 9.3478 9.405 9.380 0.025 9.394 9.381 0.013 9.3909 9.371 9.375 0.004 9.384 9.385 0.001 9.37910 9.380 9.368 0.012 9.371 9.376 0.005 9.374

Totales 93.772 93.606 0.174 93.588 93.580 0.052X-barA 9.3689 X-barB 9.3584

R-barA 0.0174 R-barB 0.0052Porción R 0.0630


206

Ancho de tolerancia====>Número de intentos (m)=>Número de partes (n)==>Número de operadores

K1 ========> 4.56(=4.56 para 2 ensayos, 3.05 para 3 ensayos)

K2 =========> 3.65

X-media máx.=>X-media mín. =>Diferencia X-dif

R-media doble

K3 ======> 1.62

Identificación de Parámetros del Estudio y Cálculos

Totales 93.772 93.606 0.174 93.588 93.580 0.052X-barA 9.3689 X-barB 9.3584

R-barA 0.0174 R-barB 0.0052Porción R 0.0630

(=3.65 para 2 operadores; 2.7 para 3 operadores)

0.25

2

102

9.3689

9.35840.0105

0.0113

207

0.0515DV = R x K1 =

Repetibilidad: La variación del dispositivo de medición (VD) se calcula sobre cada grupo de mediciones tomadas por un operador, en una sola parte.

0.03655

Reproducibilidad: La variación en el promedio de las mediciones (AV) se calcula sobre el rango de los promedios de todas las mediciones, para cada operador, menos el error del calibrador (vale si la raíz es negativa)

AV = (Xdif * K2)2 - (DV2/(r*n)) =

Cálculo de R&R

208

R&R = DV2 + AV2 =

El componente de varianza para repetibilidad y reproducibilidad (R&R) se calcula combinando la varianza de cada componente.

PV = Rpart x K3 = 0.1021

El componente de varianza para las partes (PV), se calcula sobre el rango de los promedios de todas las mediciones, para cada parte.

TV = R&R2 + PV2 = 0.1142

La variación total (TV) se calcula combinando la varianza de repetibilidad y reproducibilidad y la variación de la parte.

0.05277

Cálculo de R&R

209

Basado en la tolerancia:

%DV = 100*DV/Ancho de tolerancia=

%AV = 100*AV/Ancho de tolerancia=

%R&R = 100*R&R/Ancho de tolerancia =

Basado en la variación Total de las Partes:

%DV = 100*DV/Variación total=

%AV = 100*AV/ Variación total =

%R&R = 100*R&R/ Variación total =

%PV = 100*PV /Variación total =

20.61

45.09

14.62

21.108

32.00

46.20

89.40

Cálculo de R&R

210

Ejercicios

Para un estudio de R&R 2 operadores midieron con el mismo equipo de medición 10 partes en 3 intentos cada uno,obteniendo:

Mediciones Mediciones Número de operador A de operador Bde parte 1 2 3 1 2 3 1 50 49 50 50 48 51 2 52 52 51 51 51 51 3 53 50 50 54 52 51 4 49 51 50 48 50 51 5 48 49 48 48 49 48 6 52 50 50 52 50 50 7 51 51 51 51 50 50 8 52 50 49 53 48 50 9 50 51 50 51 48 49 10 47 46 49 46 47 48

211

R&R por Medias Rangos

Calculo con Excel

(usar la hoja de trabajo R&R.xls)

212

Datos del operador 1

No. de Parte y

Nombre: 4600066 PARTE A

Tolerancia

Especificada: 0.0060

No. y Nombre de

GAGE: 8881-H Calibrador Digital

RECOLECCIÓN DE DATOS

OPERADOR A.-

columna 1 columna 2 columna 3 columna 4 Promedio

Muestra 1er Intento 2do Intento 3er Intento Rango X

1 0.0045 0.0045 0.0045 - 0.0045

2 0.0045 0.0055 0.0045 0.0010 0.0048

3 0.0045 0.0045 0.0045 - 0.0045

4 0.0050 0.0050 0.0045 0.0005 0.0048

5 0.0045 0.0045 0.0045 - 0.0045

6 0.0050 0.0055 0.0045 0.0010 0.0050

7 0.0050 0.0045 0.0045 0.0005 0.0047

8 0.0050 0.0050 0.0050 - 0.0050

9 0.0050 0.0045 0.0050 0.0005 0.0048

10 0.0040 0.0040 0.0040 - 0.0040

Totales 0.0470 0.0475 0.0455 0.0035 0.0467

Suma 0.1400 RA : 0.00035

XA : 0.004666667

RA : 0.00035 # Intentos D4

RB : 0.0004 3 2.58

RC : 0.0005

SUM: 0.00125 LSCR = R x D4

R: 0.000416667 LSCR = 0.001075

213

Datos del operador 2C.-

columna 9 columna 10 columna 11 columna 12 Promedio Prom. Parte

1er Intento 2do Intento 3er Intento Rango X Xp=

0.0050 0.0045 0.0045 0.0005 0.0047 0.004556

0.0055 0.0045 0.0045 0.0010 0.0048 0.004889

0.0045 0.0045 0.0040 0.0005 0.0043 0.004444

0.0050 0.0050 0.0050 - 0.0050 0.004944

0.0045 0.0045 0.0040 0.0005 0.0043 0.004333

0.0050 0.0050 0.0050 - 0.0050 0.005111

0.0045 0.0050 0.0050 0.0005 0.0048 0.004833

0.0060 0.0050 0.0050 0.0010 0.0053 0.005111

0.0055 0.0045 0.0045 0.0010 0.0048 0.004778

0.0045 0.0045 0.0045 - 0.0045 0.004167

0.0500 0.0470 0.0460 0.0050 0.0477 Xp= 0.004717

Suma 0.1430 RC : 0.0005 Rp= 0.000944

XC : 0.004766667

X Máx: 0.004766667 LSCX = X + A2 R A2 = 1.023

X min: 0.004666667 LSCX = 0.005142917

X Diff: 0.0001000000 LICX = X - A2 R

LICX = 0.0043

214

Carta de Rangos en control RANGOS LSCR = 0.001075 R = 0.00042 LICR = 0

LSCR

LICR

R

Los rangos deben estar en control indicando que Las mediciones se hicieron adecuadamente, de otra Forma se debe repetir la medición en la parte

215

Carta de Medias fuera de control

LSCX = 0.005143 X = 0.004717 LICX = 0.004290417

LICX

LSCX

X

Al menos el 50% de los puntos debe salir De control para validar la discriminación deLas partes

216

Resultados (AIAG)MÉTODO LARGO

Aseguramiento de Calidad

No. de Parte y

Nombre:

4600066 PARTE A Fecha:

01/07/2003

Tolerancia

Especificada: 0.0060 Elaborado por: 0

No. y Nombre de

GAGE: 8881-H Calibrador Digital Característica: Diametro

RESULTADOS DE LA HOJA DE DATOS AC-008

R= 0.00041667 X Diff = 0.0001000000 Rp = 0.000944444 Análisis Unitario de Medición % Total de Variación ( TV )

Repetibilidad - Variación del Equipo (EV) % EV = 100 [ EV/TV ]

EV= R x K1 = INTENTOS K1 % EV = 63.74%

EV= 0.00127083 2 4.56 3 3.05 % EV vs Tol. = 21.18%

Reproducibilidad - Variación del Operador (AV) % AV = 100 [AV/TV]

AV = [(XDiff x K2)2 - (EV2/nr)]1/2 % AV = 6.93%

AV = 0.00027 % AV vs Tol = 2.30%

AV = 7.29E-08 n=partes = 10

AV = 5.3834E-08 r = intentos = 3

AV = 1.9066E-08 OPERADOR 2 3

AV = 0.00013808 K2 3.65 2.7

Repetibilidad y Reproducibilidad ( R & R ) PARTES K3 % de R & R = 100 [ R & R /TV ] R & R

= [EV2 + AV2]1/2 5 2.08 % de R & R = 64.1164% R & R2

= 1.6341E-06 6 1.93 % de R & R vs Tol

= 21.31% R & R

= 0.00127831 7 1.82

Variación de la Parte ( PV ) 8 1.74 % PV = 100 [ PV/TV ]

PV = RP x K3 9 1.67 % PV = 76.7403%

PV = 0.00153 10 1.62

VARIACIÓN TOTAL ( TV ) TV = 3.97E-06 PV / R&R x d2= d2 = 1.693

TV = ( R & R2 + PV2 )1/2 TV = 0.001994 2.0 Categoria de Datos

217

Resultados AIAG Para los cálculos e utilizan 5.15 sigmas para

un 99% de nivel de confianza

El porcentaje de error R&R no debe exceder del 10%, si el equipo se usa para liberar producto terminado la referencia es la tolerancia del cliente;

Si el equipo se usa para control del proceso, la referencia es la variación total del proceso.

El número de categorías debe ser de al menos 4 indicando que el equipo distingue las partes que son diferentes.

218

R&R por Medias Rangos

Calculo con Minitab

(se puede usar la hoja de trabajo Gageaiag.mtw)

219

R&R – Medias Rangos Minitab :Datos originales

OPERADOR A.- B.- C.-

columna 1 columna 2 columna 3 columna 5 columna 6 columna 7 columna 9 columna

10 columna

11

Muestra 1er Intento 2do Intento 3er Intento 1er Intento

2do Intento 3er Intento 1er Intento

2do Intento 3er Intento

1 0.0045 0.0045 0.0045 0.0045 0.0045 0.0045 0.0050 0.0045 0.0045

2 0.0045 0.0055 0.0045 0.0055 0.0050 0.0045 0.0055 0.0045 0.0045

3 0.0045 0.0045 0.0045 0.0045 0.0045 0.0045 0.0045 0.0045 0.0040

4 0.0050 0.0050 0.0045 0.0050 0.0050 0.0050 0.0050 0.0050 0.0050

5 0.0045 0.0045 0.0045 0.0040 0.0045 0.0040 0.0045 0.0045 0.0040

6 0.0050 0.0055 0.0045 0.0060 0.0050 0.0050 0.0050 0.0050 0.0050

7 0.0050 0.0045 0.0045 0.0055 0.0045 0.0050 0.0045 0.0050 0.0050

8 0.0050 0.0050 0.0050 0.0050 0.0050 0.0050 0.0060 0.0050 0.0050

9 0.0050 0.0045 0.0050 0.0045 0.0045 0.0050 0.0055 0.0045 0.0045

10 0.0040 0.0040 0.0040 0.0040 0.0040 0.0040 0.0045 0.0045 0.0045

Totales 0.0470 0.0475 0.0455 0.0485 0.0465 0.0465 0.0500 0.0470 0.0460

220

R&R – Medias Rangos Minitab :Datos cargados (3 cols.)

Partes Operadores Medición Partes Operadores Medición Partes Operadores Medición 1 1 0.0045 1 2 0.0045 1 3 0.005 2 1 0.0045 2 2 0.0055 2 3 0.0055 3 1 0.0045 3 2 0.0045 3 3 0.0045 4 1 0.005 4 2 0.005 4 3 0.005 5 1 0.0045 5 2 0.004 5 3 0.0045 6 1 0.005 6 2 0.006 6 3 0.005 7 1 0.005 7 2 0.0055 7 3 0.0045 8 1 0.005 8 2 0.005 8 3 0.006 9 1 0.005 9 2 0.0045 9 3 0.0055 10 1 0.004 10 2 0.004 10 3 0.0045 1 1 0.0045 1 2 0.0045 1 3 0.0045 2 1 0.0055 2 2 0.005 2 3 0.0045 3 1 0.0045 3 2 0.0045 3 3 0.0045 4 1 0.005 4 2 0.005 4 3 0.005 5 1 0.0045 5 2 0.0045 5 3 0.0045 6 1 0.0055 6 2 0.005 6 3 0.005 7 1 0.0045 7 2 0.0045 7 3 0.005 8 1 0.005 8 2 0.005 8 3 0.005 9 1 0.0045 9 2 0.0045 9 3 0.0045 10 1 0.004 10 2 0.004 10 3 0.0045 1 1 0.0045 1 2 0.0045 1 3 0.0045 2 1 0.0045 2 2 0.0045 2 3 0.0045 3 1 0.0045 3 2 0.0045 3 3 0.004 4 1 0.0045 4 2 0.005 4 3 0.005 5 1 0.0045 5 2 0.004 5 3 0.004 6 1 0.0045 6 2 0.005 6 3 0.005 7 1 0.0045 7 2 0.005 7 3 0.005 8 1 0.005 8 2 0.005 8 3 0.005 9 1 0.005 9 2 0.005 9 3 0.0045 10 1 0.004 10 2 0.004 10 3 0.0045

221

R&R – Medias Rangos Minitab : Instrucciones

Seleccione en el menú de la barra de herramientas STAT>QUALITY TOOLS>GAGE STUDY > Gage R&R (Crossed)

Seleccione C1 (parte), C2 (operador), C3 (Medición)

Método de Análisis X Bar and R

En Options Seleccionar: Staudy variation 5.15 Process tolerante 0.006

222

R&R – Medias Rangos Minitab : Resultados

Gage R&R Study - XBar/R Method %Contribution Source VarComp (of VarComp) Total Gage R&R 0.0000001 41.00 Repeatability 0.0000001 40.52 Reproducibility 0.0000000 0.48 Part-To-Part 0.0000001 59.00 Total Variation 0.0000001 100.00 Study Var %Study Var %Tolerance Source StdDev (SD) (5.15 * SD) (%SV) (SV/Toler) Total Gage R&R 0.0002476 0.0012750 64.03 21.25 Repeatability 0.0002461 0.0012675 63.65 21.12 Reproducibility 0.0000269 0.0001384 6.95 2.31 Part-To-Part 0.0002970 0.0015295 76.81 25.49 Total Variation 0.0003867 0.0019913 100.00 33.19 Number of Distinct Categories = 1

% Error R&R debe ser menor Al 10% ya sea para control delProceso o para producto final.Repetibilidad – InstrumentoReproducibilidad - Operador

Número mínimo 4

223

R&R – Medias Rangos Minitab : Interpretación de

Resultados

Interpretación de los resultados:

El error de R&R vs tolerancia es 64.03% y vs variación total del proceso es 21.25% lo que hace que el equipo de medición no sea adecuado para la medición.

Por otro lado el número de categorías es sólo de 1 cuando debe ser al menos 4 indicando que el instrumento discrimina las diversas partes diferentes.

224

R&R – Medias Rangos Gráficas

Perc

ent

Part-to-PartReprodRepeatGage R&R

80

40

0

% Contribution% Study Var% Tolerance

Sam

ple R

ange 0.0010

0.0005

0.0000

_R=0.000417

UCL=0.001073

LCL=0

1 2 3

Sam

ple M

ean 0.0050

0.0045

0.0040

__X=0.004717

UCL=0.005143

LCL=0.004290

1 2 3

Partes10987654321

0.006

0.005

0.004

Operadores321

0.006

0.005

0.004

Partes

Aver

age

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

0.0050

0.0045

0.0040

Operadores123



Components of Variation

R Chart by Operadores

Xbar Chart by Operadores

Datos by Partes

Datos by Operadores

Operadores * Partes Interaction

Gage R&R (Xbar/ R) for Datos

La gráfica R se mantiene en control indicando que las mediciones se realizaron en forma adecuada.La gráfica X barra sólo presenta 5 de 30 puntos fuera de control, debería ser al menos el 50%, indicando que el equipo no discrimina las diferentes partes.

225

R&R por ANOVA

Calculo con Minitab

(con los datos del ejemplo anterior)

226

R&R por ANOVAInstrucciones de Minitab

Seleccione en el menú de la barra de herramientas STAT>QUALITY TOOLS>GAGE STUDY > Gage R&R (Crossed)

Seleccione C1 (parte), C2 (operador), C3 (Medición)

Método de Análisis ANOVA

En Options Seleccionar: Study variation 5.15 Process tolerance 0.006 Alfa to remove interaction 0.25

227

R&R por ANOVAResultados de Minitab

Gage R&R Study - ANOVA Method Two-Way ANOVA Table With Interaction Source DF SS MS F P Partes 9 0.0000086 0.0000010 12.2885 0.000 Operadores 2 0.0000002 0.0000001 0.9605 0.401 Partes * Operadores 18 0.0000014 0.0000001 0.7398 0.757 Repeatability 60 0.0000063 0.0000001 Total 89 0.0000165 Los operadores y la interacción no fueron significativos, sólo las partes

Gage R&R %Contribution Source VarComp (of VarComp) Total Gage R&R 0.0000001 50.93 Repeatability 0.0000001 50.93 Reproducibility 0.0000000 0.00 Operadores 0.0000000 0.00 Part-To-Part 0.0000001 49.07 Total Variation 0.0000002 100.00 Study Var %Study Var %Tolerance Source StdDev (SD) (5.15 * SD) (%SV) (SV/Toler) Total Gage R&R 0.0003150 0.0016222 71.36 27.04 Repeatability 0.0003150 0.0016222 71.36 27.04 Reproducibility 0.0000000 0.0000000 0.00 0.00 Operadores 0.0000000 0.0000000 0.00 0.00 Part-To-Part 0.0003092 0.0015923 70.05 26.54 Total Variation 0.0004414 0.0022731 100.00 37.88 Number of Distinct Categories = 1

La interacción no es significativa, y los errores de R&R indican queequipo de medición no es adecuadoni el número de categorías.

228

R&R por ANOVAResultados de Minitab

Pe

rcen

t


80

40

0


Sam

ple

Rang

e 0.0010

0.0005

0.0000

_R=0.000417

UCL=0.001073

LCL=0

1 2 3

Sam

ple

Mea

n 0.0050

0.0045

0.0040

__X=0.004717

UCL=0.005143

LCL=0.004290

1 2 3

Partes10987654321

0.006

0.005

0.004

Operadores321

0.006

0.005

0.004

Partes

Aver

age

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

0.0050

0.0045

0.0040

Operadores123




R Chart by Operadores

Xbar Chart by Operadores

Datos by Partes

Datos by Operadores

Operadores * Partes Interaction

Gage R&R (ANOVA) for Datos Las conclusiones son similares que con el método de X barra – R.No hay interacción parte - operador

229


4. Estudios R&R (anidado)Método de Medias Rangos

– Método largo

230

R&R Anidado Los estudios de repetibilidad y reproducibilidad

determinan cuanto de la variación observada del proceso es debida a la variación del sistema de medición.

Usar la opción Gage R&R (Nested) cuando cada parte sea medida por un solo operador, tal como en pruebas destructivas.

El estudio de R&R (anidado) utiliza el método ANOVA para evaluar la repetibilidad y reproducibilidad, para analizar la reproduciblidad dentro de sus componentes operador y operador

231

R&R Anidado

232

R&R Anidado De ser necesario hacer pruebas destructivas, se debe

procurar que todas las partes dentro de un mismo lote sean lo suficientemente idénticas para considerarlas similares. Si no se puede hacer ésta consideración entonces la variación entre parte y parte dentro de un lote enmascarará la variación del sistema.

Para el caso de pruebas destructivas si cada lote es medido por cada operador entonces realizar el estudio R&R (Nested); si todos los operadores miden partes de cada uno de los lotes, entonces utilizar el estudio R&R (Crossed).

En resumen siempre que cada operador mida partes diferentes se tiene un estudio R&R anidado.

233

R&R Anidado - datosEjemplo: Archivo gagenest.mtw de Minitab En este ejemplo, 3 operadores mide cada uno 5 partes

diferentes dos veces, para un total de 30 mediciones. Cada una de las partes es única al operador; no se presenta el caso de que dos operadores midan la misma parte. PartNum Operator Measure PartNum Operator Measure 1 Daryl 1.48 1 Daryl 1.48 1 Daryl 1.43 1 Daryl 1.43 2 Daryl 1.83 2 Daryl 1.83 2 Daryl 1.83 2 Daryl 1.83 3 Daryl 1.53 3 Daryl 1.53 3 Daryl 1.52 3 Daryl 1.52 4 Beth 1.38 1 Beth 1.38 4 Beth 1.78 1 Beth 1.78 5 Beth 1.33 2 Beth 1.33 ... ... ... ... ... ...

234

R&R Anidado – Instrucciones de Minitab

1 File > Open worksheet > GAGENEST.MTW.

2 Seleccionar Stat > Quality Tools > Gage Study > Gage R&R Study (Nested).

3 En Part or batch numbers, poner Part.

4 En Operators, seleccionar Operator.

5 En Measurement data, seleccionar Response.

6 Dar OK.

235

R&R Anidado – Resultados de Minitab

Gage R&R (Nested) for Response Source DF SS MS F P Operator 2 0.0142 0.00708 0.00385 0.996 Part (Operator) 12 22.0552 1.83794 1.42549 0.255 Repeatability 15 19.3400 1.28933 Total 29 41.4094 Gage R&R %Contribution Source VarComp (of VarComp) Total Gage R&R 1.28933 82.46 Repeatability 1.28933 82.46 Reproducibility 0.00000 0.00 Part-To-Part 0.27430 17.54 Total Variation 1.56364 100.00 Study Var %Study Var %Tolerance Source StdDev (SD) (5.15 * SD) (%SV) (SV/Toler) Total Gage R&R 1.13549 5.84777 90.81 116.96 Repeatability 1.13549 5.84777 90.81 116.96 Reproducibility 0.00000 0.00000 0.00 0.00 Part-To-Part 0.52374 2.69725 41.88 53.95 Total Variation 1.25045 6.43984 100.00 128.80 Number of Distinct Categories = 1 El método no es adecuado ni para control del proceso o liberación debe logra

La contribución de diferencia entre partes del 17.54% es << que la variación del sistema de medición (total Gage R&R ) de 82.46%.Indica un alto error del sistema de medición.Con categorías de 1 el sistema de medición no distingue las partes.

236

R&R Anidado – Resultados gráficos de Minitab

Perc

ent


100

50

0


Sam

ple

Rang

e 4

2

0

_R=1.313

UCL=4.290

LCL=0

Billie Nathan Steve

Sam

ple

Mea

n

18

16

14

__X=15.147

UCL=17.617

LCL=12.678

Billie Nathan Steve

OperatorPart

SteveNathanBillie543211514131211109876

18

16

14

OperatorSteveNathanBillie

18

16

14




R Chart by Operator

Xbar Chart by Operator

Response By Part ( Operator )

Response by Operator

Gage R&R (Nested) for Response

Sistema de medición inadecuado

237


6. Estudios de Linealidad y sesgo

238

Estudios de linealidad y sesgo

La Linealidad del Gage indica que tan exacto son las mediciones a través del rango esperado de las mediciones. Contesta a la pregunta ¿Mi gage tiene la misma exactitud para todos los tamaños de objetos a medir?.

El bias o exactitud del gage examina la diferencia entre la media de los datos observados y un valor de referencia o patrón. Contesta a la pregunta, ¿Qué tan exacto es mi gage comparado con un patrón?.

239

Estudios de linealidad y sesgoDatos y ejemplo

Los datos se estructuran de manera que cada fila contiene una parte, el valor de referencia, y la medición observada en esa parte (la respuesta). Las partes pueden ser textos o números

Ejemplo: Un supervisor selecciona 5 partes que representan el

rango esperado de las mediciones. Cada parte fue medida por inspección de Layout para determinar su valor de referencia (patrón). Un operador mide aleatoriamente cada parte 12 veces.

Se obtiene la variación del proceso (14.1941) del estudio Gage R&R usando el método ANOVA (renglón Total variation de la columna Study Var (6*SD)).

240

Estudios de linealidad y sesgoDatos y ejemplo

Part Master Response Part Master Response 1 2 2.7 3 6 6 1 2 2.5 3 6 6.1 1 2 2.4 3 6 6.4 1 2 2.5 3 6 6.3 1 2 2.7 3 6 6 1 2 2.3 3 6 6.1 1 2 2.5 4 8 7.6 1 2 2.5 4 8 7.7 1 2 2.4 4 8 7.8 1 2 2.4 4 8 7.7 1 2 2.6 4 8 7.8 1 2 2.4 4 8 7.8 2 4 5.1 4 8 7.8 2 4 3.9 4 8 7.7 2 4 4.2 4 8 7.8 2 4 5 4 8 7.5 2 4 3.8 4 8 7.6 2 4 3.9 4 8 7.7 2 4 3.9 5 10 9.1 2 4 3.9 5 10 9.3 2 4 3.9 5 10 9.5 2 4 4 5 10 9.3 2 4 4.1 5 10 9.4 2 4 3.8 5 10 9.5 3 6 5.8 5 10 9.5 3 6 5.7 5 10 9.5 3 6 5.9 5 10 9.6 3 6 5.9 5 10 9.2 3 6 6 5 10 9.3 3 6 6.1 5 10 9.4

241

Estudios de linealidad y sesgoInstrucciones de Minitab

1 File > Open worksheet > GAGELIN.MTW.

2 Seleccionar Stat > Quality Tools > Gage Study > Gage Linearity and Bias Study.

3 En Part numbers, seleccionar Part.4 En Reference values, seleccionar Master.

5 En Measurement data, seleccionar Response.

6 En Process Variation, teclear 14.1941. Click OK.

242

Estudios de linealidad y sesgoInstrucciones de Minitab

Reference Value

Bias

108642

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0

0

Regression95% CI

DataAvg Bias

Perc

ent

BiasLinearity

10

5

0

Gage Linearity

Slope -0.13167 0.01093 0.000

Predictor Coef SE Coef PConstant 0.73667 0.07252 0.000

S 0.23954 R-Sq 71.4%Linearity 1.86889 % Linearity 13.2

Gage Bias

2 0.491667 3.5 0.0004 0.125000 0.9 0.2936 0.025000

Reference

0.2 0.6888 -0.291667 2.1 0.000

10 -0.616667 4.3 0.000

Bias %Bias PAverage -0.053333 0.4 0.040



Percent of Process Variation

Gage Linearity and Bias Study for Response

243

Estudios de linealidad y sesgoInterpretando los resultados

El porcentaje de linealidad (valor absoluto de la pendiente * 100) es 13.2, que significa que la Linealidad del gage es del 13% de la variación total.

El porcentaje de sesgo para el promedio de referencia es 0.4, lo que significa que el sesgo del gage es menor que 0.4% de la variación total observada.

244


7. Estudios R&R por atributos-Método analítico

245

R&R por Atributos- Método analítico

Se deben tomar al menos 8 partes para realizar un estudio del gage por atributos.

La parte más pequeña debe tener cero aceptaciones, y la parte más grande debe tener el número máximo de posibles aceptaciones. Para la AIAG, exactamente 6 partes deben tener un número mayor que cero aceptaciones y menos que 20 (máximo número de aceptaciones permitidas).

Por el método de regresión, se pueden tener más de seis partes entre los extremos de valores de referencia.

246

R&R por Atributos- Método analítico: Datos

Partes Referencia Aceptaciones

1 1.35 02 1.4 33 1.45 84 1.5 135 1.55 156 1.6 187 1.65 198 1.7 20

Summarized Data

Estructura de datos resumidos de tal forma que cada fila contiene el número o nombre de la parte, el valor de referencia y la cuenta resumida.

Partes Referencia Respuesta1 1.35 Rechazo1 1.35 Rechazo1 1.35 Rechazo1 1.35 Rechazo... ... ...8 1.7 Aceptación8 1.7 Aceptación8 1.7 Aceptación8 1.7 Aceptación

Raw Data

Estructura de datos individaules de manera que cada fila contiene el número o nombre de la parte, valor de referencia y respuesta binaria (aceptación o rechazo).

247


Ejemplo: Un fabricante de automóviles quiere medir

el sesgo y repetibilidad de un sistema automatizado de medición.

El sistema tiene una tolerancia inferior de -0.020 y una tolerancia superior de 0.020.

El fabricante corre 10 partes, a través del gage 20 veces, las partes tienen valores de referencia en intervalos de 0.005 desde - 0.05 hasta 0.005.

248


Ejemplo: Cada parte se prueba 20 veces con el Gage (Dimensión 0.020 a 0.020)Partes Referencia Aceptaciones

1 -0.05 02 -0.045 13 -0.04 24 -0.035 55 -0.03 86 -0.025 127 -0.02 178 -0.015 209 -0.01 2010 -0.005 20

249

R&R por Atributos- Método analítico: Instr. Minitab

1. File > Open worksheet > AUTOGAGE.MTW.

2. Seleccionar Stat > Quality Tools > Gage Study > Attribute Gage Study (Analytic Method).

3. En Part numbers, seleccionar Part number.4. En Reference values, seleccionar Reference.5. Seleccionar Summarized counts y teclear

Acceptances. En Number of trials, teclear 20.

6. Seleccionar Lower limit y teclear -0.020. OK.

250

R&R por Atributos- Método analítico: Resultados

Reference Value of Measured Part

Perc

ent o

f Acc

epta

nce

-0.01-0.02-0.03-0.04-0.05

99

95

80

50

20

5

1

Reference Value of Measured Part

Prob

abilit

y of

Acc

epta

nce

0.000-0.025-0.050

1.0

0.5

0.0

L Limit

Bias: 0.0097955Pre-adjusted Repeatability: 0.0494705Repeatability: 0.0458060

Fitted Line: 3.10279 + 104.136 * ReferenceR - sq for Fitted Line: 0.969376

AIAG Test of Bias = 0 vs not = 0T DF P-Value

6.70123 19 0.0000021



Attribute Gage Study (Analytic Method) for Acceptances

251

R&R por Atributos- Método analítico: Resultados

Interpretación

El Sesgo en el sistema de gage por atributos es de 0.0097955

La repetibilidad ajustada es de 0.0458060.

La prueba de sesgo indica que es significativamente diferente de cero (t = 6.70123, df = 19, p = 0.00), sugiriendo que el sesgo está presente en el sistema de medición por atributos.

252


8. Estudios R&R por atributos-Método de acuerdo por

atributos

253

Método GR&R por atributosEstudios sobre la varianza Estudios de GR&R

datos discretos

¿ Cuántos atributosSe evalúan ?

UnoVarios

Técnica Kappa(Clasificación

Nominal)

Técnica Kendall(ClasificaciónMulti-nominal)

Documentar estudioy definir siguiente

fecha de evaluación.

ÍndiceKappa > 0.7

SI

Estandarizar criterios de evaluación, ayudas(visuales, estandares, etc.), tips, Capacitación,

Práctica, entrenamiento, etc.

NO

254

Estudios R&R por atributosMétodo de acuerdo por atributos Usar el análisis de acuerdo por atributos para

evaluar las calificaciones nominales u ordinales proporcionadas por varios evaluadores.

Las mediciones son calificaciones subjetivas de la gente en vez de mediciones físicas. Algunos ejemplos incluyen: Calificaciones de desempeño de los automóviles Clasificación de calidad de las fibras como

“buena” o “mala”. Calificaciones de color, aroma y gusto del vino

en una escala de 1 a 10.

255

Estudios R&R por atributosMétodo de acuerdo por atributos En estos casos la característica de calidad es difícil

de definir y evaluar.

Para obtener clasificaciones significativas, más de un evaluador debe calificar la medición de respuesta.

Si los evaluadores están de acuerdo, existe la posibilidad de que las apreciaciones sean exactas.

Si hay discrepancias, la utilidad de la evaluación es limitada.

256

Estudios R&R por atributosAcuerdo por atributos - Datos

Los datos pueden ser texto o numéricos. Las calificaciones asignadas pueden ser Nominales u ordinales.

Los datos nominales son variables categóricas que tienen dos o más niveles sin orden natural. Por ejemplo, los niveles en un estudio de gustación de comida que puede incluir dulce, salado o picoso.

Los datos ordinales son variables categóricas que tienen tres o más niveles con ordenamiento natural, tales como: en desacuerdo total, en desacuerdo, neutral, de acuerdo, y completamente de acuerdo.

257


Los datos pueden estar apilados o en diferentes columnas

Sample Appraiser Response1 A Good1 A Good1 B Bad1 B Good2 A Good2 A Good2 B Good2 B Good3 A Bad3 A Good3 B Bad3 B Bad4 A Good4 A Good4 B Good4 B Good5 A Bad5 A Bad5 B Good5 B Bad

Attribute column data

Sample Appraiser A Trial 1

Appraiser A Trial 2

Appraiser B Trial 1

Appraiser B Trial 2

1 Good Good Bad Good2 Good Good Good Good3 Bad Good Bad Bad4 Good Good Good Good5 Bad Bad Good Bad

Multiple columns data

258

Estudios R&R por atributosMétodo Kappa

Una técnica utilizada para evaluar la confiabilidad de mediciones de datos discretos es el índice Kappa, el cual está dado por la siguiente formula :

Suponga que se evalúan 12 muestras por 2 inspectores obteniendo los siguientes resultados :

K=Pobservada

- P chance1 - P chance

259

Estudios R&R por atributosMétodo Kappa

Parte Inspector A Inspector BBuena

BuenaBuenaBuenaBuenaMala

BuenaBuenaBuenaMala BuenaMala

BuenaBuenaBuenaMala BuenaMala BuenaBuenaBuenaMala BuenaMala

123456789

101112

0.667 0.000 0.6670.080 0.250 0.333 0.750 0.250

Tabla de ContingenciaInspector A

Inspector B

Buena MalaBuena

Mala

-0.917K =

0.5835=1- 0.5835 0.8

Pobservada = S xii = xbb + xmm = 0.667 + 0.25 = 0.917

Pchance = SS Pcci*Pccj

= PbbA*PbbB

+ PmmA*PmmB

Pchance = (0.75)(0.667) + (0.25)(0.33) = 0.5835

260

Método KappaDetermine si el sistema de medición es

confiable:

El valor máximo posible de Kappa es 1.0, cuanto más cercano esté a este valor el sistema de medición es confiable. En términos generales se puede decir que si K es menor a 0.7, el sistema de medición no es aceptable.

261

Método KendallCuando se tienen varios inspectores y la

clasificación de la muestra puede ser multi-nominal, se puede utilizar el índice de Kendall

Para explicarlo consideraremos el siguiente ejemplo, en el cual participan 5 inspectores y analizan 10 muestras las cuales clasifican en 5 categorías distintas.

262

Método KendallCostura ancha

Costura angosta

Costura incompleta

Costura dispareja

Costura perfecta S5

x 2 ij

i=1

Muestra

123456789

10

0230040003

00002040028

11003010006

00200005007

4205010050

12 17

179

1325131717252513

1740.240.76

0.160. 84

0.120.88

0. 140. 86

0. 340. 66

pq

Fp =50

F

263

Método Kendall El indice Kappa para cada categoría está dado por:

Donde : Kcategoria j = Índice Kappa de la Categoría j n = Número de unidades m = Número de inspectores k = Número de categorías pi = evaluación dentro de la categoría i/(n x m) qi = 1 - pi

KCategoría j= 1-S

n

i=1

x 2 ij x ij(m- )

nm(m-1) p qj j

264

Método KendallEl numerador del índice Kappa para la categoría

“Costura ancha” sería entonces :

El denominador del índice Kappa para la categoría “Costura ancha” sería entonces :

10 x 5 x (5-1) x 0.24 x 0.76 = 36.48

Por lo tanto, el índice Kappa para la categoría “Costura ancha” sería :

[0 x (5-0)] + [2 x (5-2)] + [3 x (5-3)] + [0 x (5-0)] + [0 x (5-0)] + [4 x (5-4)] + [0 x (5-0)] + [0 x (5-0)] + [0 x (5-0)] + [3 x (5-3)] =22

KCostura ancha

= 1- 2236.48

= 0.4

265

Método KendallEl índice Kendall de todo el estudio está dado por la

siguiente fórmula::

Donde : Ktotal = Índice Kendall n = Número de unidades m = Número de inspectores k = Número de categorías pi = evaluación dentro de la categoría i/(n x m) qi = 1 - pi

K total= 1 -

nm2 - S Sn k

x 2 ij

i=1 j=1

nm(m-1)Sk

j=1

p qj j

266

Método KendallEl índice Kendall para el ejemplo dado es:

El valor máximo posible de Kendall es 1.0, cuanto más cercano esté a este valor el sistema de medición es confiable. En términos generales se puede decir que si K es menor a 0.7, el sistema de medición no es aceptable.

K total= 1-

10 x (5)2 -174

10 x 5 x 4[( (0.24 X 0.76) + (0.16 X 0.84) + (0.12 X 0.88) + (0.14 X 0.86) + (0.34 X 0.66)

)]=1- (76/153.44) = 0.5

267


Ejemplo: Una empresa está entrenando a cinco evaluadores para

la porción escrita de un examen estándar de doceavo grado.

Se requiere determinar la habilidad de los evaluadores para calificar el examen de forma que sea consistente con los estándares.

Cada uno de los evaluadores califica 15 exámenes en una escala de cinco puntos (-2, -1, 0, 1, 2):

268


Appraiser Sample Rating Attribute Holmes 8 0 0Simpson 1 2 2 Duncan 8 0 0

Montgomery 1 2 2 Hayes 8 0 0Holmes 1 2 2 Simpson 9 -1 -1Duncan 1 1 2 Montgomery 9 -1 -1Hayes 1 2 2 Holmes 9 -1 -1

Simpson 2 -1 -1 Duncan 9 -2 -1Montgomery 2 -1 -1 Hayes 9 -1 -1

Holmes 2 -1 -1 Simpson 10 1 1Duncan 2 -2 -1 Montgomery 10 1 1Hayes 2 -1 -1 Holmes 10 1 1

Simpson 3 1 0 Duncan 10 0 1Montgomery 3 0 0 Hayes 10 2 1

Holmes 3 0 0 Simpson 11 -2 -2Duncan 3 0 0 Montgomery 11 -2 -2Hayes 3 0 0 Holmes 11 -2 -2

Simpson 4 -2 -2 Duncan 11 -2 -2Montgomery 4 -2 -2 Hayes 11 -1 -2

Holmes 4 -2 -2 Simpson 12 0 0Duncan 4 -2 -2 Montgomery 12 0 0Hayes 4 -2 -2 Holmes 12 0 0

Simpson 5 0 0 Duncan 12 -1 0Montgomery 5 0 0 Hayes 12 0 0

Holmes 5 0 0 Simpson 13 2 2Duncan 5 -1 0 Montgomery 13 2 2Hayes 5 0 0 Holmes 13 2 2


Holmes 6 1 1 Simpson 14 -1 -1Duncan 6 1 1 Montgomery 14 -1 -1Hayes 6 1 1 Holmes 14 -1 -1

Simpson 7 2 2 Duncan 14 -1 -1Montgomery 7 2 2 Hayes 14 -1 -1

Holmes 7 2 2 Simpson 15 1 1Duncan 7 1 2 Montgomery 15 1 1Hayes 7 2 2 Holmes 15 1 1


269

Estudios R&R por atributosAcuerdo por atributos – Instr.

Minitab1 Abrir el archive ESSAY.MTW.2 Seleccionar Stat > Quality Tools > Attribute

Agreement Analysis.3 En Attribute column, poner Rating.

4 En Samples, poner Sample.5 En Appraisers, poner Appraiser.6 En Known standard/attribute, poner Attribute.7 Checar Categories of the attribute data are

ordered y poner OK 8 In Addition seleccionar coeficientes Kappa y

Kendall

270

Resultados

Each Appraiser vs Standard Assessment Agreement Appraiser # Inspected # Matched Percent 95 % CI Duncan 15 8 53.33 (26.59, 78.73) Hayes 15 13 86.67 (59.54, 98.34) Holmes 15 15 100.00 (81.90, 100.00) Montgomery 15 15 100.00 (81.90, 100.00) Simpson 15 14 93.33 (68.05, 99.83) # Matched: Appraiser's assessment across trials agrees with the known standard.

271

Resultados

All Appraisers vs Standard Assessment Agreement # Inspected # Matched Percent 95 % CI 15 6 40.00 (16.34, 67.71) # Matched: All appraisers' assessments agree with the known standard.

Between Appraisers Assessment Agreement # Inspected # Matched Percent 95 % CI 15 6 40.00 (16.34, 67.71) # Matched: All appraisers' assessments agree with each other.

272

Resultados

Appraiser

Perc

ent

SimpsonMontgomeryHolmesHayesDuncan

100

80

60

40

20

0

95.0% CIPercent

Date of study: Reported by:Name of product:Misc:

Assessment Agreement

Appraiser vs Standard

273

Resultados

Índice Kappa de Cohen Un estadístico popular para medir el nivel de acuerdo

entre dos personas calificadoras con un intento o dentro de un calificador con dos intentos.

El índice Kappa de Cohen Kappa es calculado de manera diferente que el índice de Kappa de Fleiss.

Los rangos de Kappa van de -1 a +1. Entre mayor sea el valor de Kappa, es más fuerte el acuerdo. Si Kappa = 1, existe un acuerdo perfecto. Si Kappa = 0, el acuerdo es similar a lo que pudiera ser esperado por el azar.

274

Resultados

Minitab muestra tres tablas de acuerdo: Cada evaluador vs el estándar, Entre evaluadores y Todos los evaluadores vs estándar.

Los estadísticos de Kappa y Kendall también se incluyen en cada una de las tablas. En general estos estadísticos sugieren buen acuerdo.

El coeficiente de Kendall entre evaluadores es 0.966317 (p = 0.0); para todos los evaluadores vs estándar es 0.958192 (p = 0.0). Sin embargo la observación del desempeño de Duncan y Haues indica que no se apegan al estándar.

275

Resultados

La gráfica de Evaluadores vs. Estándar proporciona una vista gráfica de cada uno de los evaluadores vs el estándar, pudiendo comparar fácilmente la determinación de acuerdos para los cinco evaluadores.

Se puede concluir que Duncan, Hayes y Simpson requieren entrenamiento adicional.

276

Sistema de Medición de AtributosEjemplo comparación pasa no

pasa

Un sistema de medición de atributos compara cada parte con un estándar y acepta la parte si el estándar se cumple.

La efectividad de la discriminación es la habilidad del sistema de medición de atributos para discriminar a los buenos de los malos.

277

Sistema de Medición de Atributos

Ejemplo comparación pasa no pasa

1. Selecciona un mínimo de 20 unidades del proceso. Estas unidades deben representar el espectro completo de la variación del proceso (buenas, erroneas y en límites).

2. Un inspector “experto” realiza una evaluación de cada parte, clasificándola como “Buena” o “No Buena”.

3. Cada persona evaluará las unidades, independientemente y en orden aleatorio, y las definirá como “Buenas” o “No Buenas”.

4. Ingresa los datos en el archivo Attribute Gage R&R.xls para cuantificar la efectividad del sistema de medición.

278

GR&R de Atributos - EjemploREPORTELegenda de Atributos

FECHA:1G = Bueno NOMBRE:2NG = No Bueno PRODUCTO:SBU:

COND. DE PRUEBA:Población Conocida Persona #1 Persona #2

Muestra # Atributo #1 #2 #1 #2

% DE EFECTIVIDAD DE DISCRIMINACION (3) -> 85.00%(4) -> 85.00%

1 G G G G G Y Y2 G G G G G Y Y3 G G G G G Y Y4 G G G G G Y Y5 G G G G G Y Y6 G NG G G G N N7 G G G G G Y Y8 G G G G G Y Y9 NG G G NG NG N N

10 NG NG NG G G N N11 G G G G G Y Y12 G G G G G Y Y13 NG NG NG NG NG Y Y14 G G G G G Y Y15 G G G G G Y Y16 G G G G G Y Y17 NG NG NG NG NG Y Y18 G G G G G Y Y19 G G G G G Y Y20 G G G G G Y Y

% DEL EVALUADOR (1) -> 95.00% 100.00%% VS. EL ATRIBUTO (2) -> 90.00% 95.00%

Esta es la medida

general de consistencia

entre los operadores

y el “experto”. ¡90% es lo mínimo!

Acuerdo

Y=Sí N=NoAcuerdo

Y=Sí N=No

% DE EFECTIVIDAD DE DISCRIMINACION VS. EL ATRIBUTO

279

Sistema de Medición de Atributos

Pasa no pasa – Datos en MinitabMuestra Atributo Persona 1A Persona 1B Persona 2A Persona 2B

1 G G G G G2 G G G G G3 G G G G G4 G G G G G5 G G G G G6 G NG G G G7 G G G G G8 G G G G G9 NG G G NG NG10 NG NG NG G G11 G G G G G12 G G G G G13 NG NG NG NG NG14 G G G G G15 G G G G G16 G G G G G17 NG NG NG NG NG18 G G G G G19 G G G G G20 G G G G G

280

Sistema de Medición de AtributosPasa no pasa –Instrucciones en

Minitab1 Usar los datos anteriores.2 Seleccionar Stat > Quality Tools > Attribute

Agreement Analysis.

3 En Multiple columns, con Persona 1ª - Persona – 2B.

4 En Number of appraisers, 2.5 En Number of trials, 2.

6 En Known standard/attribute, poner Atributo7 no Checar Categories of the attribute data

are ordered y poner OK

281

Sistema de Medición de AtributosPasa no pasa – Resultados de

MinitabAttribute Agreement Analysis Persona 1A, Persona 1B, Persona 2A, Persona 2B Within Appraisers Appraiser # Inspected # Matched Percent 95 % CI 1 20 19 95.00 (75.13, 99.87) 2 20 20 100.00 (86.09, 100.00) # Matched: Appraiser agrees with him/herself across trials. Fleiss' Kappa Statistics Appraiser Response Kappa SE Kappa Z P(vs > 0) 1 G 0.82684 0.223607 3.69774 0.0001 NG 0.82684 0.223607 3.69774 0.0001 2 G 1.00000 0.223607 4.47214 0.0000 NG 1.00000 0.223607 4.47214 0.0000 Each Appraiser vs Standard Appraiser # Inspected # Matched Percent 95 % CI 1 20 18 90.00 (68.30, 98.77) 2 20 19 95.00 (75.13, 99.87) Between Appraisers # Inspected # Matched Percent 95 % CI 20 17 85.00 (62.11, 96.79) Fleiss' Kappa Statistics Response Kappa SE Kappa Z P(vs > 0) G 0.663222 0.0912871 7.26524 0.0000 NG 0.663222 0.0912871 7.26524 0.0000 All Appraisers vs Standard # Inspected # Matched Percent 95 % CI 20 17 85.00 (62.11, 96.79) # Matched: All appraisers' assessments agree with the known standard. Fleiss' Kappa Statistics Response Kappa SE Kappa Z P(vs > 0) G 0.792005 0.111803 7.08391 0.0000 NG 0.792005 0.111803 7.08391 0.0000

282

Sistema de Medición de AtributosPasa no pasa – Resultados de

Minitab

Appraiser

Perc

ent

21

100

95

90

85

80

75

70

95.0% CIPercent

Appraiser

Perc

ent

21

100

95

90

85

80

75

70

95.0% CIPercent

Date of study: Reported by:Name of product:Misc:

Assessment Agreement

Within Appraisers Appraiser vs Standard

283

Interpretación de Resultados1. % del Evaluador es la consistencia de una

persona.2. % Evaluador vs Atributo es la medida de el

acuerdo que hay entre la evaluación del operador y la del “experto”.

3. % de Efectividad de Selección es la medida de el acuerdo que existe entre los operadores.

4. % de Efectividad de Selección vs. el Atributo es una medida general de la consistencia entre los operadores y el acuerdo con el “experto”.

284

Estudio de Repetibilidad y Reproducibilidad de Atributos -

Guías de AceptabilidadAunque el 100% es el resultado que deseamos obtener, en un estudio de repetibilidad y reproducibilidad de atributos, la siguiente guía se usa frecuentemente:

Porcentaje GuíaDe 90% a 100%De 80% a 90%Menos de 80%

AceptableMarginalInaceptable

285

Método sencillo Tomar 50 piezas, 40 de las cuales dentro de

especificaciones y 10 fuera de especificaciones

Probarlas con dispositivos “pasa” y “no pasa” por medio de 3 operadores

Si no coinciden todos los operadores en al menos el 90%, los dispositivos o gages “pasa, no pasa” no son confiables

286

V.C.3 Sistemas de medición en la empresa

287

Medición de desempeño en la empresa

Contadores automáticos Reportes generados por computadora

Auditorías internas y externas Evaluación de proveedores

Reportes gerenciales

Encuestas internas y externas Reportes diversos

288

Medición de desempeño en la empresa - Aspectos

Proveedores No. De desviaciones Porcentaje de entregas a tiempo Porcentaje de entregas anticipadas Costo de embarque por unidad Porcentaje de cumplimiento en especificaciones Costo unitario actual vs costo unitario histórico Monto de lo rechazado vs monto de las compras Oportunidad de la asistencia técnica

289


Ventas y mercadotecnia Crecimiento en ventas por periodo de tiempo Porcentaje de participación de mercado Monto de ventas / mes Monto promedio de ventas por transacción Tiempo promedio de clientes en visita al sitio

Web Efectividad de eventos de ventas Monto vendido vs monto gastado en publicidad

290


Satisfacción de cliente externo Comparación ponderada vs competencia Valor percibido medido por el cliente Rango de satisfacción del producto / servicio Evaluación de la competencia técnica Porcentaje de clientes retenidos

291


Satisfacción de cliente interno Tasa de satisfacción del empleado Tasa de satisfacción en el puesto Indicador de efectividad de la capacitación Evaluación de avance en imparcialidad Retroalimentación sobre principales políticas y

procedimientos Conocimiento de metas y avances de la

empresa

292


Investigación y desarrollo No. De proyectos en desarrollo Porcentaje de proyectos dentro del presupuesto No. De proyectos fuera de programa Gastos de desarrollo vs ingresos por ventas Confiabilidad de solicitudes de cambios al

diseño

293


Ingeniería Evaluación del desempeño del producto No. De requerimientos de acción correctiva Porcentaje de acciones correctivas cerradas Evaluación de control de mediciones Disponibilidad de asistencia técnica

294


Manufactura Capacidad de proceso de máquinas y procesos

clave Porcentaje de tiempos muertos de máquina Tiempos de ciclo promedio (líneas clave) Medición del control de orden y limpieza Adecuación de la capacitación a operadores

295

V.C.4 Metrología

296

Metrología Metrología. Es la ciencia de las mediciones. Deriva del

griego “metrón” medida y “logos” lógica. Sus elementos clave son:

El establecimiento de estándares de medición que sean internacionalmente aceptados y definidos

El uso de equipo de medición para correlacionar la extensión que los datos del producto y proceso están conforme a especificaciones

La calibración regular de equipos de medición, rastreables a estándares internacionales establecidos

297

Metrología Unidades de medición

El sistema internacional de unidades SI clasifica las mediciones en 7 categorías: Longitud (metro) Tiempo (segundo) Masa (kilogramo) Corriente eléctrica (ampere) Temperatura (Kelvin) Iluminación (candela) Cantidad de sustancia (mole)

298

299

Metrología Temperatura

Temperatura en ºF = 1.8 (Temp ºC) +32

Temperatura en ºC = (Temp ºF – 32) / 1.8

Temperatura en ºK = Temp ºC + 273.15

300

Metrología Calibración

Es la comparación de un estándar de medición o instrumento de exactitud conocida con otro instrumento para detectar, correlacionar, reportar o eliminar por ajuste, cualquier variación en la exactitud del instrumento que se está comparando.

La eliminación del error es la meta primaria del sistema de calibración

301

Metrología Variabilidad total del producto

La variabilidad total en el producto incluye la variabilidad del proceso de medición.

Errores de medición El error del instrumento de medición es el valor

del instrumento de medición menos el valor verdadero.

mediciónprocesototal 222

patronmedicionerror 222

errorpatronmedicion 222

302

Metrología Errores de medición

El intervalo de confianza para la media de las mediciones se reduce tomando mediciones múltiples de acuerdo al teorema del límite central con la siguiente relación:

nlecturasmedicion

303

Metrología Errores de mediciónHay muchas razones para que un equipo de medición

genere variaciones por error, incluyendo las categorías siguientes: Variación por el operador Variación de operador a operador Variación del equipo Variación de los materiales Variación en procedimientos Variación en el software Variación de laboratorio a laboratorio

304

Metrología Intervalo de calibración

Es aceptado generalmente que el intervalo de calibración del equipo de medición se base en la estabilidad, propósito y grado de uso.

La estabilidad se refiere a la habilidad de un instrumento de medición para manejar de manera consistente sus características metrológicas durante el tiempo.

305

Metrología Intervalo de calibración

El propósito es importante, en general las aplicaciones críticas incrementan la frecuencia y las aplicaciones menores disminuyen la frecuencia.

El grado de utilización o uso se refiere a que tan frecuentemente se utiliza el instrumento y a que condiciones ambientales se expone.

El equipo de medición y prueba debe ser trazable a registros que indiquen la fecha de la última calibración, por quién fue calibrado y cuando está planeada su próxima calibración. Algunas veces se usa la codificación.

306

Metrología Estándares de calibración

El valor verdadero reconocido de acuerdo al SI se denomina Estándar

Los estándares primarios de referencia son copias del kilogramo internacional y los sistemas de medición que responden a definiciones de las unidades fundamentales a las unidades derivadas de la tabla SI.

Los estándares nacionales se toman como la autoridad central para evaluar la exactitud, y todos los niveles de estándares de trabajo son trazables a este “ gran” estándar

307

Estándares internacionales En México se tiene el CENEAM o el Centro Nacional de Metrológia

• En EUA se tiene el NIST (National Institute of Standards and Technologý)

• Un Estándar primario es certificado por NIST o por una organización alterna que use procedimientos de calibración actualizados

• Los Estándares secundarios son calibrados por el depto. de Metrología de las empresas en base a los estándares primarios, para efectos de calibración.

308

Estándares internacionales• Los Estándares secundarios se

transfieren a Estándares de trabajo en producción.

• Para determinar la exactitud de los sistemas de medición se debe conocer su rastreabilidad a Estándares nacionales e internacionales.

Resolución: Para que el equipo de medición tenga una discriminación adecuada en la evaluación de las partes, su resolución debe ser al menos 1/10 de la variabilidad del proceso ( LTNS - LTNI = 6 )

309

Metrología Estándares de calibraciónLa trazabilidad hacia debajo de la trazabilidad se

muestra a continuación

National Institute Standards and Technology Laboratorios de Estándares Laboratorios de Metrología Laboratorios de Sistema de Control de Calidad Centros de Trabajo

310

Metrología Resumen del ISO 10012

“Quality assurance requirement for measuring euipment – Part 1: Metrological confirmation system for measuring equipment”.

Contiene requerimientos de aseguramiento de calidad para asegurar que las mediciones sean hechas con la exactitud intencionada.

311

Metrología Resumen del ISO 10012 – Elementos clave

Todos los equipos de medición deben ser identificados, controlados, y calibrados. Deben mantenerse los registros de la calibración y trazabilidad a estándares nacionales

Debe determinarse la incertidumbre de la medición

Se deben tener disponibles los procedimientos para asegurar que el equipo de medición no conforme no sea utilizado

312

Metrología Resumen del ISO 10012 – Elementos clave

Debe establecerse un sistema de etiquetado que muestre la identificación única y su estado

Se debe establecer la frecuencia de recalibración

Las calibraciones deben ser trazables a estándares nacionales

Se requieren procedimientos documentados para la calificación y entrenamiento del personal

313

V.D Estadística básica

314

V.D Estadística básica1. Términos básicos

2. Teorema del límite central

3. Estadística descriptiva

4. Métodos gráficos

5. Conclusiones estadísticas válidas

315

V.D.1 Términos básicos

“La estadística descriptiva nos proporciona métodos para organizar y resumir información, la estadística inferencial se usa para obtener conclusiones a partir de una muestra”

Por ejemplo, sí deseamos saber el promedio de peso de las personas en una población tenemos dos opciones:

Pesar a todas y cada una de las personas, anotar y organizar los datos, y calcular la media.

Pesar solo una porción o subconjunto de la población (muestra). Registrar y organizar los datos y calcular la media de la muestra, tomándola para pronosticar o Inferir la media de toda la población.

Estadística

317

Población y muestra

Población: Es la colección de todos los elementos (piezas, personas, etc.). En nuestro caso sería un número infinito de mediciones de la característica del proceso bajo estudio.

Muestra: Es una parte o subconjunto representativo de la población, o sea un grupo de mediciones de las características.

318

Estadísticos y parámetros

Estadístico: Es una medición tomada en una muestra que sirve para hacer inferencias en relación con una población (media de la muestra, desviación estándar de la muestra se indican con letras latinas X, s, p).

Normalmente es una variable aleatoria y tiene asociada una distribución.

Parámetro: Es el valor verdadero en una población (media, desviación estándar, se indican con letras griegas , m, )

319

Tipos de datos

Datos continuos Los datos que tienen un valor real (temperatura, presión, tiempo, diámetro, altura )

Datos discretos: Datos que toman valores enteros (0, 1, 2, 3, etc.)

Datos por atributos: Bueno - malo, pasa - no pasa, etc.

320

V.D.2 Teorema del límite central

321

Teorema del límite central La distribución de las medias de las muestras

tiende a la normalidad independientemente de la forma de la distribución poblacional de la que sean obtenidas. Es la base de las cartas de control X-R.

322

Teorema del límite central Por lo anterior la dispersión de las medias es

menor que para los datos individuales

Para las medias muestrales, el error estándar de la media se relaciona con la desviación estándar de la población como sigue:

XXs

n

323

Teorema del Límite Central La distribución de las medias de las muestras tienden a

distribuirse en forma normal

Por ejemplo los 300 datos (cuyo valor se encuentra entre 1 a 9) pueden estar distribuidos como sigue:

0

10

20

30

40

50

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Frec.

Población con media m y desviación estándar y cualquier distribución.

Seleccionando muestras de tamaño n y calculando la X-media o promedio en cada una

X-media 1 X-media 2 X-media 3Conforme el tamaño de muestra se incrementa las muestras se distribuyen normalmente con media de medias m y desviación estándar de las medias de las muestras / Ön. También

se denomina Error estándar de la media.

Teorema del Límite Central

325

La distribución de las medias de las muestras tienden a distribuirse en forma normal

Tomando de muestras de 10 datos, calculando su promedio y graficando estos promedios se tiene:

0

2

4

6

8

10

3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5

Frec.

Teorema del Límite Central

326

DEFINICIONEs una ayuda gráfica para el control de las variaciones de

los procesos administrativos y de manufactura.

CausaespecialCausas

normales ocomunes

Cartas de Control

327

Variación observada en una Carta de Control

Una Carta de control es simplemente un registro de datos en el tiempo con límites de control superior e inferior, diferentes a los límites de especificación.

El patrón normal de un proceso se llama causas de variación comunes.

El patrón anormal debido a eventos especiales se llama causa especial de variación.

328

Variación – Causas comunes

Límiteinf. deespecs.

Límitesup. deespecs.

Objetivo

329

Variación – Causas especialesLímiteinf. deespecs.

Límitesup. deespecs.

Objetivo

“Escuche la Voz del Proceso” Región de control, captura la variaciónnatural del proceso

original

Causa Especialidentifcada

El proceso ha cambiado

TIEMPO

Tendencia del proceso

LSC

LIC

Aplicación en la carta de controlMEDIDAS

CALIDAD

331

Corridas 7 puntos consecutivos de un lado de X-media.

Puntos fuera de control 1 punto fuera de los límites de control a 3 sigmas en cualquier dirección (arriba o abajo).

Tendencia ascendente o descendente 7 puntos consecutivos aumentando o disminuyendo.

Adhesión a la media15 puntos consecutivos dentro de la banda de 1 sigma del centro.

Otros2 de 3 puntos fuera de los límites a dos sigma

Patrones Fuera de Control

332

Proceso en Control estadístico

Sucede cuando no se tienen situaciones anormales y aproximadamente el 68% (dos tercios) de los puntos de la carta se encuentran dentro del 1 de las medias en la carta de control.

Lo anterior equivale a tener el 68% de los puntos dentro del tercio medio de la carta de control.

Patrón de Carta en Control Estadístico

333

Aplicación en Intervalos de confianza

Intervalo de confianza para la media: A) Sigma conocida y n>30 (n es tamaño de

muestra)

B) Sigma desconocida y n<30, los grados de libertad son gl = n-1.

2

2

X Zn

X tn

m

m

334

Aplicación en Intervalos de confianza

Intervalo de confianza para proporciones y varianza: Para proporciones, p es la proporción y n>30

Para la varianza

2

(1 )p pp Zn

2 22

2 2

, 1 1 , 12 2

( 1) ( 1)

n n

n s n s

335

V.D.3 Estadística descriptiva

336

No existen en la naturalezados cosas exactamente iguales,

ni siquiera los gemelos, por tanto la variación es inevitable y es analizada por la Estadística

Estadística Descriptiva

337

Estadística descriptiva La estadística descriptiva incluye:

Medidas de tendencia central

Medidas de dispersión

Funciones de densidad de probabilidad

Distribuciones de frecuencia y

Funciones acumulativas de distribución

338

Estadística descriptiva Medidas de tendencia central

Representan las diferentes formas de caracterizar el valor central de un conjunto de datos

Media muestral poblacional

nxix

nxim

Ejemplo 1: En un equipo de fútbol, una muestra de estaturas de sus integrantes son las siguientes: 1.70,1.79,1.73,1.67,1.60,1.65,1.79,1.84,1.67,1.82, 1.74. Calcule la media.

73.11119

nxix

339


Mediana: es el valor medio cuando los datos se arreglan en orden ascendente o descendente, en el caso de n par, la mediana es la media entre los valores intermedios

Ejemplo 2: Para el ejemplo anterior cual es la mediana? Ordenando los datos de mayor a menor se obtiene: 1.60,1.65,1.67,1.67,1.70,1.73,1.74,1.79,1.79,1.82,1.84; como tenemos 11 datos el número es non por lo que (n+1)/2 = 12/2 = 6, buscando el número que ocupa la sexta posición en los datos ordenados encontramos el valor de la mediana

73.1~ x

2

122~

nnX

340


Moda: Valor que más se repite, puede haber más de una

Media acotada (Truncated Mean): Se elimina cierto porcentaje de los valores más altos y bajos de un conjunto dado de datos (tomando números enteros), para los valores restantes se calcula la media.

341


Ejemplo 3: Para la siguiente serie de datos calcule la media acotada al 20%: 68.7,34.3,97.9,73.4,8.4,42.5,87.9,31.1,33.2,97.7,72.3,54.2,80.6,71.6,82.2, Como tenemos 11 datos, el 20% de 11 es 2.2, por lo cual eliminamos 2 datos el más bajo y el más alto, ordenado los datos obtenemos: 8.4,31.1,33.2,34.3,42.5,54.2,68.7,71.6,72.3,73.4,80.6,82.2,87.9,97.7,97.9, los valores a eliminar son: 8.4 y 97.9; calculando la media de los datos restantes obtenemos 82.6320,. x

342

Estadística descriptiva

343

Estadística descriptiva Medidas de dispersión:

Rango: Es el valor mayor menos el valor menor de un conjunto de datos

Por ejemplo para el conjunto de datos siguiente: 2.0,2.1,2.4,2.5,2.6,2.8,2.9,2.9,3.0,3.1,3.6,3.8,4.0,4.0 Su rango es R = 4.0 – 2.0 = 2.0

344


Varianza: es el promedio de las desviaciones al cuadrado respecto a la media (n para población y n-1 para muestra para eliminar el sesgo)

n

xxi 22 )(

1)( 2

2

nxxis

345


Desviación estándar: es la raíz cuadrada de la varianza ya sea poblacional o muestral S

1)( 2

2

nxxis

1)( 2

nxxis

Ejemplo 4: La resistencia al rompimiento de dos muestras de botellas es la siguiente: Muestra 1: 230 250 245 258 265 240

Muestra 2: 190 228 305 240 265 260

s = 5

790 = 12.56 s =

57510

= 38.75

346


Coeficiente de variación: es igual a la desviación estándar dividida por la media y se expresa en porcentaje

)100(var..

XsCViacióndeeCoeficient

Por ejemplo si la media de tiempos de espera es de 78.7 y su desviación estándar es 12.14, el CVt:

%05.12)100(7.78

14.12tCV

Por otra parte si la media de salarios es de 10 y su desviación estándar de 2, el CVs de salarios es:

%20)100(102

sCV

Por tanto la dispersión de los salarios es mayor que la de los tiempos de espera, es posible comparar estas dispersiones con el CV aunque los dos conjuntos de datos sean completamente disímbolos.

347

Estadística descriptiva Función de densidad de probabilidad

El área bajo la curva de densidad de probabilidad a la izquierda de un valor dado x, es igual a la probabilidad de la variable aleatoria en el eje x para X<= x

Para distribuciones continuas

Para distribuciones discretas

1)()( xdxf

n

xf0

1)(

348

Estadística descriptiva Función de distribución acumulada

xtdtfxF )()()(

Función de

densidad

Función dedistribución acumulada

349

Métodos gráficos Se incluyen los métodos siguientes:

Diagramas de caja Diagramas de tallo y hojas Diagramas de dispersión

Análisis de patrones y tendencias

Histogramas Distribuciones de probabilidad normales Distribuciones de Weibull

350

V.D.4 Métodos gráficos

351

Diagrama de cajaPERCENTILES, DECILES Y QUARTILES Cada conjunto de datos ordenado tiene tres cuartiles que lo

dividen en cuatro partes iguales.

El primer cuartil es ese valor debajo del cual clasifica el 25% de las observaciones y sobre el cual se encuentra el 75% restante.

El segundo cuartil divide a los datos a la mitad similar a la mediana.

El tercer cuartil es el valor debajo del cual se encuentra el 75% de las observaciones.

Los deciles separan un conjunto de datos ordenado en 10 subconjuntos iguales y los percentiles en 100 partes

352

Diagrama de cajaPERCENTILES, DECILES Y QUARTILES La ubicación de un percentil se encuentra en:

Donde:Lp es el sitio del percentil deseado en una serie ordenadan es el número de observacionesP es el percentil deseado

100

)1( PnLp

353

Diagrama de caja Por ejemplo para los datos siguientes:

3 10 19 27 34 38 48 56 67 74

4 12 20 29 34 39 48 59 67 74

7 14 21 31 36 43 52 62 69 76

9 15 25 31 37 45 53 63 72 79

10 17 27 34 38 47 56 64 73 80

Diagrama de cajaLa localización del percentil 35 se halla en:

O sea que el percentil 35 está al 85% del trayecto comprendido entre la observación 17 que es 29 y la observación 18 que es 31 o sea L35 = 29 + (0.85)(31-29) = 30.7. Por tanto el 35% de las observaciones están por debajo de 30.7 y el 65% restante por encima de 30.7.

De la misma forma los percentiles 25, 50 y 75 proporcionan la localización de los cuartiles Q1, Q2 y Q3 respectivamente.

Q1: es el número que representa al percentil 25

Q2 o Mediana: es el número que representa al percentil 50

Q3: es el número que representa al percentil 75 (hay 75% de los datos por debajo de este).

Rango o Recorrido intercuartílico: es la diferencia entre Q1 y Q3.

85.17

10035)150(35 L

DEFINICION: Es una ayuda gráfica para ver la variabilidad de los datos.

• Permite identificar la distribución de los datos, muestra la mediana, bases y extremos.

• Mediana = dato intermedio entre un grupo de datos ordenados en forma ascendente

Mediana

Valormínimo

Valormáximo

Primer cuartil Tercer cuartil

Gráficas de caja

356

Métodos gráficos Diagramas de caja

Representan un resumen de los datos. La línea media es la mediana, los lados son el primer y tercer cuartil. El máximo y el mínimo se dibuja como puntos al final de las líneas (bigotes)

357

Métodos gráficos Diagramas de tallo y hojas

El diagrama consiste del agrupamiento de los datos por intervalos de clase, como tallos y los incrementos de datos más pequeños como hojas.

HojasTallos

358

Métodos gráficos Diagramas de dispersión

Es una gráfica de muchos puntos coordenados X-Y que representan la relación entre dos variables. También se denomina carta de correlación. Se puede tomar la variable dependiente para el eje Y y la dependiente en el eje X.

La correlación tiene las siguientes fuentes: Una relación de causa efecto Una relación entre dos causas Una relación entre una causa y dos o más causas

359

Métodos gráficos Diagramas de dispersión

Positiva débil Positiva fuerte Sin correlación

Negativa fuerte

Relaciones no lineales

360

Métodos gráficos Coeficiente de correlación

El coeficiente de correlación “r” determina el grado de asociación entre dos variables X y Y

361

Métodos gráficos Análisis de correlación

Busca descubrir relaciones, aplicar el sentido común

La línea de “mejor ajuste” es la línea de regresión, sin embargo un análisis visual debiera ser suficiente para identificar si hay o no hay relación

Los diagramas de dispersión deben ser analizados antes de tomar decisiones sobre correlación estadística

362

Métodos gráficos Análisis de patrones y tendencias

Para visualizar el comportamiento de los datos en el tiempo

Tendencia creciente

Tendencia decrecienteCorrida de proceso

Valores anormales Ciclos Variabilidad creciente

363

Métodos gráficos Análisis de patrones y tendencias

Para visualizar el comportamiento de los datos en el tiempo Tendencia

creciente

364

Histogramas

365

Métodos gráficos Histogramas

Son gráficas de columnas de frecuencia que muestran una imagen estática del comportamiento del proceso y requieren un mínimo de 50 a 100 puntos

La frecuencia en cada barra o intervalo es el número de puntos que caen dentro de ese intervalo

Un proceso estable muestra un histograma con forma de campana unimodal, es predecible

366

Métodos gráficos Histogramas

Un proceso inestable muestra un histograma que no tiene una forma acampanada. Sin embargo los procesos que siguen una distribución exponencial, lognormal, gamma, beta, Weibull, Poisson, binomial, hipergeométrica, geométrica, etc. existen como procesos estables

Cuando la distribución es acampanada, la variación alrededor de la media es aleatoria, otras variaciones son debidas a causas especiales o asignables.

367

DEFINICION Un Histograma es la organización de un número de

datos muestra que nos permite visualizar al proceso de manera objetiva.

Permite ver la distribución que tienen los procesos de manufactura y administrativos vs. especificaciones

Permiten ver la frecuencia con la que ocurren las cosas.

La variabilidad del proceso se representa por el ancho del histograma, se mide en desviaciones estándar o .Un rango de ± 3 cubre el 99.73%.

Métodos gráficos

368

Histograma de Frecuencia

En un proceso estable las mediciones se distribuyen normalmente, a la derecha y a la izquierda de la media adoptando la forma de una campana.

TAMAÑO TAMAÑO

TAMAÑO TAMAÑO

TAMAÑO

MEDICIONES

Media

MEDICIONES

DEFINICION Un Histograma es la organización de un número de datos

muestra que nos permite visualizar al proceso de manera objetiva.

• Permite ver la distribución de la frecuencia con la que ocurren las cosas en los procesos de manufactura y administrativos.

• La variabilidad del proceso se representa por el ancho del histograma, se mide en desviaciones estándar o , ± 3 cubre el 99.73%.

LSELIE

Histograma de Frecuencia

Las distribuciones pueden variar en:

POSICIÓN AMPLITUD FORMA

… O TENER CUALQUIER COMBINACION

Media - Promedio numérico o centro de gravedad del histograma de mediciones

Medidas de Tendencia central

- Usa todos los datos - Le afectan los extremos

Donde, Fi = Frecuencia de cada mediciónxi = Valor de cada medición

individual

Mediana - Es el valor que se encuentra en medio de los datos o mediciones

Moda - Es el valor que más se repite

n

ii

n

iii

F

XFX

1

1

*

Medidas de variabilidad o Dispersión – Desviación Estándar

S es usada cuando los datos corresponden a una muestra de la población. Como es el caso de una muestra de mediciones.

típicamente es usada si se está considerando a toda la población

1

/**1

2

1

2

n

nXFXFs

n

iii

n

iii

n

nXFXFn

iii

n

iii /**

1

2

1

2

Rango: Valor Mayor – Valor menor

Coeficiente de variación: (Desv. Estándar / Media )*100%,Se usa para comparar datos en diferentes niveles de media o

tipo. Por ejemplo:

Material No. de Media Desviación Coeficiente Observaciones Aritmética Estándar de Variación

n s Srel A 160 1100 225 0,204 B 150 800 200 0,250

El Material A tiene una menor variabilidad relativa relativa que el material B

Error estándar de la Media: Es la desviación estándar de las medias de las muestras de mediciones, se representa como la desviación estándar de la población entre la raíz de n = número de mediciones por muestra.

Medidas de Dispersión- Rango, CV

374

Histogramas con Datos agrupadosEl Histograma es una gráfica de las frecuencias que presenta los diferentes datos o valores de mediciones agrupados en celdas y su frecuencia.

Una tabla de frecuencias lista las categorías o clases de valores con sus frecuencias correspondientes, por ejemplo:

CLASE FRECUENCIA1-5 76-10 1211-15 1916-20 1621-25 826-30 4

Definiciones - datos agrupadosLímite inferior y superior de clase Son los numeros más pequeños y más grandes de las clases (del ejemplo, 1 y 5; 6 y 10; 11 y 15; 16 y 20; 21 y 25; 26 y 30)

Marcas de claseSon los puntos medios de las clases (del ejemplo 3, 8, 13, 18, 23 y 28)

Fronteras de clase Se obtienen al incrementar los límites superiores de clase y al decrementar los inferiores en una cantidad igual a la media de la diferencia entre un límite superior de clase y el siguiente límite inferior de clase (en el ejemplo, las fronteras de clase son 0.5, 5.5, 10.5, 15.5, 20.5, 25.5 y 30.5)

Ancho de claseEs la diferencia entre dos límites de clase inferiores consecutivas(en el ejemplo, es 5).

Construcción del histograma - datos agrupadosPaso 1. Contar los datos (N)Paso 2. Calcular el rango de los datos R = (Valor mayor- valor menor)

Paso 3. Seleccionar el número de columnas o celdas del histograma (K). Como referencia si N = 1 a 50, K = 5 a 7; si N = 51 - 100; K = 6 - 10. También se utiliza el criterio K = Raíz (N)

Paso 4. Dividir el rango por K para obtener el ancho de clase

Paso 5. Identificar el límite inferior de clase más conveniente y sumarle el ancho de clase para formar todas las celdas necesarias

Paso 6. Tabular los datos dentro de las celdas de clasePaso 7. Graficar el histograma y observar si tiene una forma normal

Ejemplo: Datos para histogramaDatos:

19 21 25 33 30 27 31 25 35

37 44 43 42 39 43 40 38 37

36 42 41 44 32 45 46 47 45

54 52 50 48 49 47 48 49 47

52 51 50 49 58 59 61 62 63

59 61 66 76 70

Ejemplo: Construcción del histograma

Paso 1. Número de datos N = 50

Paso 2. Rango R = 76 - 16 = 60

Paso 3. Número de celdas K = 6;

Paso 4. Ancho de clase = 60 / 6 = 10

Paso 5. Lím. de clase: 15-24, 25- 34, 35- 44, 45- 54, 55 - 64, 65-74, 75-94Paso 6. Número de datos: 2 7 14 17 7 2 1

Marcas de clase 19.5 29.5 39.5 49.5 59.5 69.5 79.5

Paso 7. Graficar el histograma y observar si tiene una forma normal

379

• Accesar el menu de análisis de datos con HERRAMIENTAS, ANALISIS DE DATOS, HISTOGRAMAS

• Marcar los datos de entrada en RANGO DE ENTRADA, marcar el rango de los límites superiores de clase en RANGO DE CLASES, indicar GRAFICA, marcar el área de resultados con RANGO DE SALIDA y obtener resultados y gráfica

NOTA: Los datos deben estar en forma no agrupada, Excel forma los grupos en forma automática o se le pueden proporcionar los límites de las celdas.

Histograma en Excel

380

Construcción del histograma

02468

1012141618

15-24

25-34

35-44

45-54

55-64

65-75

Frec.

381

Rango: Valor Mayor – Valor menor

Coeficiente de variación: (Desv. Estándar / Media *100%Se usa para comparar datos en diferentes niveles de media o

tipo. Por ejemplo:

Material No. de Media Desviación Coeficiente Observaciones Aritmética Estándar de Variación

n s Srel

A 160 1100 225 0,204 B 150 800 200 0,250

El Material A tiene una menor variabilidad relativa relativa que el material B

Otras medidas de Dispersión- Rango, CV

Media - Promedio numérico o centro de gravedad del histograma

Cálculo de la media - datos agrupados

- Usa todos los datos - Le afectan los extremos

Donde, Fi = Frecuencia de cada observaciónxi = Valor de cada marca de clase

Mediana - Es el valor que se encuentra en medio de los datos

Moda - Es el valor que más se repite

n

ii

n

iii

F

XFX

1

1

*

Desviación Estándar - Datos agrupados S es usada cuando los datos corresponden a una muestra de la población

Nota: Cada Xi representa la marca de clase

típicamente es usada si se está considerando a toda la población

NOTA: Para lo cálculos con Excel, se puede utilizar el mismo método que para datos no agrupados, tomando como Xi los valores de las marcas de clase.

1

/**1

2

1

2

n

nXFXFs

n

iii

n

iii

n

nXFXFn

iii

n

iii /**

1

2

1

2

384

Ejercicio de Histogramas

Datos:

6.40 6.39 6.41 6.39 6.40 6.39 6.40 6.37 6.40 6.38

6.42 6.38 6.40 6.38 6.416.40 6.41 6.41 6.43 6.39

6.41 6.35 6.39 6.41 6.436.38 6.40 6.42 6.37 6.40

6.37 6.43 6.43 6.39 6.426.40 6.42 6.39 6.42 6.38

6.42 6.40 6.38 6.45 6.416.39 6.44 6.36 6.44 6.36

385

V.D.5 Conclusiones estadísticas válidas

386

Estadística descriptiva e inferencial

Estudios descriptivos enumerativos : Los datos enumerativos son los que pueden

ser contados.

Para Deming: En un Estudio enumerativo la acción se toma en

el universo. En un estudio analítico la acción será tomada en

un proceso para mejorar su desempeño futuro

387

Obteniendo conclusiones válidas

Obtención de conclusiones estadísticas válidas El objetivo de la estadística inferencial es

obtener conclusiones acerca de las características de la población (parámetros , m, ) con base en la información obtenida de muestras (estadísticos X, s, r)

Los pasos de la estadística inferencial son: La inferencia La evaluación de su validez

388


Los pasos de la estadística inferencial son: Definir el objetivo del problema en forma precisa

Decidir si el problema se evaluará con una o dos colas

Formular una hipótesis nula y la alterna

Seleccionar una distribución de prueba y un valor crítico del estadístico reflejado el grado de incertidumbre que puede ser tolerado (alfa, riesgo)

389


Los pasos de la estadística inferencial son: Calcular el valor del estadístico de prueba con la

información de la muestra

Comparar el valor del estadístico calculado vs su valor crítico y tomar una decisión de aceptar o rechazar la hipótesis nula

Comunicar los hallazgos a las partes interesadas

390


Hipótesis nula a ser probada (Ho) y alterna (Ha)

La hipótesis nula puede ser rechazada o no ser rechazada no puede ser aceptada

La hipótesis alterna incluye todas las posibilidades que no están en la nula y se designa con H1 o Ha.

Ho: Ya = Yb Ha: Ya Yb Prueba de dos colas Ho: A B Ha: A<B Prueba de cola

izquierda

391


Estadístico de prueba: Para probar la hipótesis nula sobre un

parámetro poblacional, se debe calcular un estadístico de prueba de la información de la muestra

El estadístico de prueba se compara con un valor crítico apropiado

Se toma una decisión de rechazar o no rechazar la hipótesis nula

392


Tipos de errores: Error tipo I: resulta cuando se rechaza Ho

siendo verdadera, se denomina como alfa o riesgo del productor

Error tipo II: resulta cuando no se rechaza Ho siendo que es falsa, es denominado beta o riesgo del consumidor

Incrementando el tamaño de muestra se reducen alfa y beta. Alfa es normalmente 5%. Alfa y beta son inversamente relativos

393

V.E Probabilidad

394

Conceptos básicos de probabilidad

Principios básicos: La probabilidad de un evento varia entre 0 y 1

(éxito) Un evento simple no puede descomponerse El conjunto de resultados posibles del experimento

se denomina espacio muestral La suma de las probabilidades en el espacio

muestra es 1 Si se repite un experimento un gran número de

veces N y el evento E es observado nE veces, la probabilidad de E es aproximadamente:

( ) EnP EN

395

Conceptos básicos de probabilidad

Eventos compuestos (conjunto de dos o más eventos): La unión de A o B contiene elementos de A o de

B

La intersección de A y B contiene elementos comunes que se localizan al mismo tiempo en A y en B

396

ProbabilidadIntroducción:Diferencia entre experimento deterministico y aleatorio (estocastico).

Deterministico. Se obtienen el mismo resultado, con condiciones experimentales similares • La caída de un cuerpoAleatorio. Se obtienen distintos resultados , aunque se repitan en condiciones similares.• Tiempo de vida de un componente eléctrico

397

Conceptos relacionados a experimentos aleatorios:

Variable aleatoria. Es el nombre Que se le da a la característica (s) de interés observada en un experimento. Dicha variable es denotada por letras mayúsculas. Pueden ser Continuas o Discretas.

Espacio muestra. Es el conjunto de todos los posibles valores Que toma una variable aleatoria en un experimento. Puede ser finito o infinito.

Evento. Puede ser uno o una combinación de los valores Que toma una variable aleatoria

398

Espacio MuestralConsiste en todos los posibles resultados de un

experimento.Para el lanzamiento de una moneda es (A,S).

399

Probabilidad histórica o frecuentista.

Una forma de conocer algo acerca del comportamiento de una variable aleatoria es conociendo como se comporto en el pasado. Note Que si un experimento se realizo un gran numero de veces, N, y la se observo Que en n veces sucedía el evento A, entonces n/N es un estimación razonable de la proporción de tiempos Que el evento A sucederá en el futuro. Para un gran numero de experimentos N, se puede interpretar dicha proporción como la probabilidad de del evento A.

P EventoAnNN

( ) lim

400

Ejemplo

prob

abilid

ad d

e ca

ras

n0 500 1000

0

.5

1

» en los 1900-s , Karl Pearson lanzo una moneda 24,000 veces y obtuvo 12,012 caras, dando una proporción de 0.5005.

Definición Clásica de Probabilidad. La probabilidad de un evento A, puede ser calculada mediante la relación de el numero de respuestas en favor de A, y el numero total de resultados posibles en un experimento.

P EventoAFavorable A

Total resultados( )

##

Note Que para las dos definiciones dadas de probabilidad esta será un numero entre 0 y 1.Ejemplo 1. Se observa si 3 artículos tienen defecto o no , con defecto (m) o sin defecto (v).S={vvv,mvv,vmv,vvm,vmm,mvm,mmv,mmm} es el espacio muestral . Asociada a este espacio muestral se puede definir la variable aleatoria X=# de defectos, la cual toma los valores {0,1,2,3}

402

Probabilidades de Eventos 1. P(E) 0 2. P(S) = 1 3. Si E1,En son mutuamente disjuntos

entonces

n

ii

n

ii EPEP

11

)(

Resultados 1. Si A B entonces P(A) P(B) 2. Si P(Ec)=1-P(E) 3. P(AB) = P(A) + P(B) P(AB) 4. Si B1B2…Bn = S entonces

n

iiBEPEP

1

)()(

403

Ejemplo:Datos (N=20):650 740 760 810 850 850 880 900 930 930 950 960960 980 980 980 1000 1000 1000 1070

El experimento:Seleccionamos al azar un numero ?

Cuál es S?

Sea E el evento en el que elegimos el 1000?P(E) =

Sea E el evento él numero es menor o igual a 760.P(E) =P(Ec) =

404

Sea E1 el evento en el cual elegimos 1000 y E2 es elevento en el cual elegimos un numero menor o igual a760.P(E1

E2) =

Sea E1 el evento en el cual elegimos 850 y E2 sea elevento el cual obtenemos un numero menor a 880.P(E1

E2) =

Leyes de probabilidades1. En un experimento, si P(A) e la probabilidad de un evento A, entonces la probabilidad de Que no suceda A es: P A P A( ) ( ) 1

2. En un experimento, si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes entonces la probabilidad de Que ocurra A o el evento B es

P A o B P A P B( ) ( ) ( )

Para el caso de dos eventos A y B Que no son mutuamente excluyentes.P A o B P A P B P AyB( ) ( ) ( ) ( )

A las dos ecuaciones se les conoce como Leyes de adición de probabilidad

406

Reglas de la probabilidad

• Ley de la AdiciónSi 2 eventos A y B no son mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad que el evento A o el evento B ocurra es:

• Ley de la Multiplicación probabilidad que ambos A y B ocurran es

Cuando los eventos A y B son independientes, entonces P(A|B) = P(A) y

P(AB)P(B)P(A)B)orP(A

A)P(A)|P(BB)P(B)|P(AP(AB)

P(A)P(B)P(AB)

Permutaciones Definición.

Un arreglo ordenado de r objetos diferentes es llamado una permutación .

El numero resultante de ordenar n objetos diferentes tomando r a la vez será representado por el símbolo n

rP

Antes revisemos el concepto de factorial !!!!!!

Considere el siguiente caso: Hay 3 libros: Uno de Historia (H), Uno de Física (F), Otro de Matemáticas (M). Note Que existen 6 formas de acomodar dichos libros.

{ HFM, HMF, FHM, FMH, MHF, MFH } Aquí importa el orden

3*2*1=6

408

Diagramas de árbolEn casos simples resultan útiles los diagramas de árbol para enumerar objetos en forma sistemática.Ejemplo: Se desea conocer todas las formas posibles de hacer un experimento que consiste en 4 componentes de auto a {L1, L2, L3, L4}, entonces cada componente es sometido a tres diferentes temperaturas de {A1, A2, A3} hasta que se obtiene una falla.

L2

L3

L4

L1A1

A1

A1

A2

A2

A2

A3

A3

A3

A2A1

A3

12 tratamientos

409

El numero de formas de ordenar n objetos distintos en n lugares diferentes es :

n n n n! ( )( )...( )( ) 1 2 2 1

n! se lee como n factorial¿ Que pasa cuando tenemos solo r lugares para acomodar n objetos, tal Que n es mayor o igual que r?En este caso el numero de arreglos resulta ser:

n n n n r n r P

Pn

n r

rn

rn

( )( )...( [ ])( [ ])!

( )!

1 2 2 1

410

Ejemplo: Suponga que a un grupo de motores se les aplicara un tratamiento que consiste en dos aplicaciones de diferentes intensidades de presión. Hay 10 diferentes intensidades y el orden de administrar las intensidades es importante, ¿ cuantos motores se ocupan si cada tratamiento se tiene que llevar a cabo?.10 intensidades (i1,i2,…,i10 ) y 2 aplicaciones.Nos interesa contar los pares (i1,12),(i1,i3),…..

P2

10 10!8!

90 .

411

CombinacionesUna combinación es un arreglo de distintos elementos , en donde una combinación difiere de otra solamente si el contenido del arreglo es distinto.

!! En este caso no es importante el orden de los objetos !!

Definición. (Combinaciones). El numero de combinaciones de n objetos tomando r a la vez es el numero de maneras de formar un subconjunto de tamaño r de los n objetos. Esto se denota como:

nr

nC

r

412

Cnr

Pr

nr n rr

n rn

!!

!( )!

Teorema 2.

Ejemplo: En un lote de producción 100 chips de computadora, un comprador desea adquirir 10 chips, ¿ de cuantas formas se pueden seleccionar 10 chips de ese lote?.

Cnr

nr n rr

n

!

!( )! )!100!

10!(100 10

413

V.E.2 Distribuciones de probabilidad

414

Distribuciones usadas por los Black Belts

Distribución Binomial Distribución Poisson

Distribución Normal Distribución Chi Cuadrada

Distribución t de Student Distribución F

415

Tipos de variables aleatorias

Tipos de variables aleatorias Discretas Continuas

Variable aleatoria: Es aquella función que a cada resultado posible de un experimento le asocia un numero real.Se denotan con letras Mayúsculas: X,Y,Z,etc....

416

Variables aleatorias discretasEs aquella variable que únicamente toma valores susceptibles de contarse.Ejemplo 1: Considere el experimento de tomar al azar una ficha de asistencia de un numero de empleados. Sea X la variable numero de ausencias al año de un empleado. Note que X toma valores 0,1,2,...,250.

Ejemplo 2: Considere un experimento que consiste en medir el numero de artículos defectos de un lote de producto. Si Y es la variable numero de defectos , toma valores 0,1,2,...

417

Distribuciones y funciones de probabilidad

Toda variable aleatoria tiene asociada una función de probabilidades

Ejemplo : Se lanzan dos monedas y observamos el numero Y de caras.

Espacio muestral:{a, as, sa, ss}Y toma valores 0,1,2.

418

Función de probabilidades para Y.

y P(Y=y)

0 1/4

1 1/2

2 1/4

-0.2 0.3 0.8 1.3 1.8y

0.26

0.31

0.36

0.41

0.46

0.51

pGráfica

Y

P(Y=y)

419

La distribución de probabilidades puede ser una Tabla, una Gráfica o una formula.

Formula para la distribución de probabilidades de la tabla

anterioryy

yyYPyP )5(.)5(.

3)()( 3

420

Requisitos para una distribuciónde probabilidad discreta

)()(

).(.21)(0.1

xXPxf

yP

yP

X

ytoda

En algunas ocasiones la notación usada es:

421

Funciones de distribución acumulativa

La función de distribución de probabilidades acumulativa es calcula sumando las probabilidades obtenidas hasta un determinado valor de la variable aleatoria.

)()( xXPxFX Esta función tiene propiedades.

0)(1)(

1)(0

xFLimxFLim

xF

x

x

422

Función de distribución acumulativa para Y=#de caras

-0.2 0.3 0.8 1.3 1.8y

0.3

0.5

0.7

0.9

F(x)

0 1 2

423

Valor Esperado o Media de una variable aleatoria

discreta

La media o valor esperado de una variable aleatoria discreta X , denotada como o E(X), es Xm

xx

XX xXxPxxfXE )()()(m

La media es el centro de la masa del rango de los valores de X.

424

Calculo de la media para la variable de No. De defectos

Xm

215.004003.03014.02178.01805.00

)(4

0

x

X XXxPm

En este caso note que esta media no toma un valor entero como X

425

0 1 2 3 4x

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

prob

Media Xm

426

Ejercicio: La demanda de un producto es -1,0,1,2 por dia (-1 significa devolución). Con probabilidades dadas por 1/5,1/10,2/5,3/10. Calcular la demanda esperada. Xm

427

Varianza de una variable aleatoria

Sea Y una variable aleatoria discreta con distribución de probabilidades P(X=x). Entonces , la varianza de Y es:

x

XXX xXPxXE )()(])[( 222 mm

Medida de dispersión

428

2147.00)215.04(003.0)215.03(

014.0)215.02(

178.0)215.01(805.0)215.00(

)()(

22

2

22

22

x

XX xXPx m

429

La desviación estándar de una variable aleatoria es simplemente la raíz cuadrada de la varianza

2XX

430

Distribuciones Discretas Uniforme discreta. La variable aleatoria toma un numero finito de n valores , cada uno con igual probabilidad.

nxXPxf 1)()(

4310 2 4 6 8 1e+001

x

0.05

0.07

0.09

0.11

0.13

0.15

prob

Uniforme discreta con n=10

432

121

2)1(

22

n

n

X

X

m

La media y varianza de la distribución Uniforme discreta son:

Aplicaciones

433

Distribución hipergeométrica Se aplica cuando la muestra (n) es una

porporción relativamente grande en relación con la población (n > 0.1N).

El muestreo se hace sin reemplazo P(x,N,n,D) es la probabilidad de exactamente x

éxitos en una muestra de n elementos tomados de una población de tamaño N que contiene D éxitos. La función de densidad de distribución hipergeométrica:

Nn

DNxn

Dx

CCC

xP)(

)!(!!

xnxnC n

x

434

Distribución hipergeométrica La media y la varianza de la distribución

hipergeométrica son:

NnD

m

112

NnN

ND

NnD

435

Distribución hipergeométricaEjemplo: De un grupo de 20 productos, 10 se

seleccionan al azar para prueba. ¿Cuál es la probabilidad de que 10 productos seleccionados contengan 5 productos buenos? Los productos defectivos son 5 en el lote.

N = 20, n = 10, D = 5, (N-D) = 15, x = 5

P(x=5) = 0.0183 = 1.83% 0183.0

!10!10!20

!10!5!15

!0!5!5

)5(

P

436

Distribución BinomialEnsayo Bernoulli. Es un experimento aleatorio que solo tiene dos resultados. Éxito o fracaso. Donde la probabilidad de éxito se denota por p

• Suponga se realizan n experimentos Bernoulli independientes.

• Suponga que la variable X de interés es el numero de éxitos.

• X toma valores 0,1,2,...,n

437

Distribución binomial Se utiliza para modelar datos discretos y se

aplica para poblaciones grandes (N>50) y muestras pequeñas (n<0.1N).

El muestreo binomial es con reemplazamiento. Es apropiada cuando la proporción defectiva

es mayor o igual a 0.1. La binomial es una aproximación de la

hipergeométrica La distribución normal se paroxima a la

binomial cuando np > 5

438

nxppxn

xXPxf xnx ,...,1,0)1()()(

La variable aleatoria X tiene una distribución binomial

)1()(

)(2 pnpXV

npXE

X

X

m

Tiene media y varianza.

439

Distribución de Poisson Se utiliza para modelar datos discretos Se aproxima a la binomial cuando p es igual o

menor a 0.1, y el tamaño de muestra es grande (n > 16) por tanto np > 1.6

440

Distribución de Poisson Una Variable aleatoria X tiene distribución Poisson si toma probabilidades con.

,...1,0!

)(

xx

exfx

pn

pn

m

m

441

La Distribución Normal

Los primeros industriales frecuentemente se basaban en el conocimiento de limites normales para clasificar artículos o procesos como correctos o de otro modo.

Por ejemplo, el colesterol arriba de 250 mg/dl es ampliamente conocido que incrementa el riesgo de un paro cardiaco. Una determinación precisa - pudiera ser asunto de vida o muerte.

Sin embargo , no todas las variables son normales. Por ejemplo: urea y ph

IMPORTANCIA DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

Abraham Simon de Carl Francisde Moivre Laplace Gauss Galton

CARACTERISTICAS DE UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL

La distribución normal es simétrica alrededor de su media.

Es asintotica - la curva se acerca a eje x pero nunca lo toca.

La curva normal es acampanada y tiene un solo pico en toda la distribución.

La media, mediana, y moda de la distribución son las mismas y están localizadas en el pico.

La mitad del área de la curva esta arriba del punto central (pico), y la otra mitad esta abajo.

CARACTERISTICAS DE UNA DISTRIBUCION NORMAL

Teóricamente, la curva se extiende a - infinito

Teóricamente, la curva se extiende a + infinito

Media, mediana, y moda son iguales

Cola Cola

La Normal is simétrica - -

445

446

f t t( ) exp

12

12

2

m

Distribución de la Función Normal

Función de Densidad de Probabilidad Normal

Distribución Normal

m = 500 = 30 = 50 = 70

0.0000

0.0020

0.0040

0.0060

0.0080

0.0100

0.0120

0.0140

200 400 600 800 1000Tiempo

f(t)

Curvas Normales con Medias iguales pero Desviaciones estándar diferentes

m20

3.13.9 = 5.0

Normales con Medias y Desviaciones estándar diferentes

m= 5, = 3m = 9, = 6m = 14, = 10

449

La distribución Normal estándar

La distribución normal estándar es una distribución de probabilidad que tiene media 0 y desviación estándar de 1.

El área bajo la curva o la probabilidad desde menos infinito a más infinito vale 1.

La distribución normal es simétrica, es decir cada mitad de curva tiene un área de 0.5.

La escala horizontal de la curva se mide en desviaciones estándar, su número se describe con Z.

Para cada valor Z se asigna una probabilidad o área bajo la curva mostrada en la Tabla de distribución normal

450

Las distribuciones pueden variar en:POSICIÓN AMPLITUD FORMA

… O TENER CUALQUIER COMBINACION

451

x x+s x+2s x+3sx-sx-2sx-3s

Xm3 m2 m m m m2 m3

Para la población - se incluyen TODOS los datos

Para la muestra

La Distribución Normal

452

z0 1 2 3-1-2-3

x x+ x+2 x+3x-x-2x-3X

La desviación estándarsigma representa la distancia de la media alpunto de inflexión de la curva normal

La Distribución Normal Estándar

Alrededor de 68 % del area bajo la curva normal está entre más una y menos una desviación estándar de la media. Esto puede ser escrito como: m ± 1s.

Cerca del 95 % del área bajo la normal está entre más y menos 2 desviaciones estándar de la media, m ± 2s.

Prácticamente toda (99.74 %) el área bajo la normal esta entre 3 desviaciones de la media m ± 3s.

AREA BAJO LA CURVA NORMAL

454

Distribución normal estándar con media = 0 y desviación estándar = 1: Para Z = (X - Xmedia )/ s1. Área desde menos infinito a un valor de Z se obtiene como sigue:- Colocarse en una celda vacía- Accesar el menú de funciones con Fx, ESTADÍSTICAS,

DISTR.NORM.ESTAND, dar valor de Z y obtener el área requerida

Z Area

2. Un valor de Z específico para una cierta área (por ejemplo 0.05) se obtiene como sigue:

- Colocarse en una celda vacía- Accesar el menú de funciones con Fx, ESTADÍSTICAS, o

DISTR.NORM.ESTAND.INV, dar valor del área y se obtiene la Z

Cálculos con Excel – Dist. Normal Estándar

m m1 m2 m3m1m2m3

Entre:

1. 68.26%

2. 95.44%

3. 99.97%

456

68%34% 34%

95%

99.73%

+1s

+2s

+3s

Características de la Distribución Normal

El valor de ZDetermina el número de desviaciones estándar entre algún valor x y la media de la población, mu Donde sigma es la desviación estándar de la población.

En Excel usar Fx, ESTADISTICAS, NORMALIZACIÓN, para calcular el valor de Z

z = x - m

68%34% 34%

95%68%

99.73%68% 2.356%2.356%

Proceso con media =100y desviación estándar = 10

70 80 90 100 110 120 130

90 110

80 120

70 130

459

Áreas bajo la curva normal

Distribución normal estándar con media = 0 y desviación estándar = 1: Para Z = (X - Xmedia )/ s1. Área desde menos infinito a un valor de Z se obtiene como sigue:- Colocarse en una celda vacía- Accesar el menú de funciones con Fx, ESTADÍSTICAS,

DISTR.NORM.ESTAND, dar valor de Z y obtener el área requerida

Z Area

2. Un valor de Z específico para una cierta área (por ejemplo 0.05) se obtiene como sigue:

- Colocarse en una celda vacía- Accesar el menú de funciones con Fx, ESTADÍSTICAS, o

DISTR.NORM.ESTAND.INV, dar valor del área y se obtiene la Z

Cálculos con Excel – Dist. Normal Estándar

Distribución normal, dadas una media y desviación estándar: 1. Área desde menos infinito a X se obtiene como sigue:- Colocarse en una celda vacía- Accesar el menú de funciones con Fx, ESTADÍSTICAS,

DISTR.NORM, dar el valor de X, Media, Desviación Estándar s, VERDADERO y se obtendrá el área requerida

X Area

2. Un valor de X específico para una cierta área (por ejemplo 0.05) se obtiene como sigue:

- Colocarse en una celda vacía- Accesar el menú de funciones con Fx, ESTADÍSTICAS,

DISTR.NORM.INV, dar el valor del área, Media y Desviación Estándar y se obtendrá el valor de la X

Cálculos con Excel – Distr. Normal

1. Identificar la variable de interés.2. Identificar los parámetros de la variable (su

media y desv. estándar).3. ¿Cual es la pregunta área bajo la curva de

probabilidad normal?4. Convertir los valores a la distribución normal

estándar (estandarización Z = (X-Media)/S) .5. Encuentre la probabilidad en tabla de la normal

estándar o por Excel.

Calculo de Probabilidades normales

El agua usada diariamente por persona en México está distribuida normalmente con media 20 litros y una desviación de 5 lts..

¿Entre que valores cae cerca del 68% el agua usada por una persona en Mexico?

m ± 1s = 20 ± 1(5). Esto es, cerca del 68% de la cantidad usada por persona cae entre 15 lts. y 25 lts..

De manera similar para 95% y 99%, el intervalo será de 10 lts a 30 lts y 5 lts a 35 lts.

Ejemplo

El agua usada diariamente por persona en México es distribuida normalmente con media 20 litros y una desviación de 5 lts. Sea X el uso diario de agua.

Cual es la probabilidad que una persona seleccionada al azar use menos de 20 lts./dia?

El valor z asociado es z = (20 - 20)/5 = 0. entonces,

P(X < 20) = P(z < 0) = 0.5.

Ejemplo

Que porciento usa entre 20 y 24 lts? El value z asociado con X = 20 es z = 0 y con

X = 24, z = (24 - 20)/5 = 0.8. Entonces, P(20 < X < 24) = P(0 < z < 0.8) =

P(0.8) - P(0) = 0.7881- 0.5 = 0.2881 o 28.81%.

¿Que porciento usa entre 16 y 20 lts?

El valor z1 para X = 16 es z1 = (16 - 20)/5 = -0.8,

y para X = 20, z2 = 0. Entonces, P(16 < X < 20) = P(-0.8 < z < 0) = P(0) - P(-0.8) = 0.5 - 0.2119 = 0.2881 = 28.81%.

Ejemplo

0.8

P(0 < z < 0.8) = 0.2881.

Cual es la probabilidad que una persona seleccionada al azar use mas de 28 lts?

El valor z asociado a X = 28 es

z = (28 - 20)/5 = 1.6. Ahora, P(X > 28) = P(z > 1.6) = 1 - P(z < 1.6) = 1 - 0.9452 = 0.0548.

Ejemplo

P(z > 1.6) =1 - 0.9452=0.0548

Area = 0.9452

1.6 z

• ¿Que porcentaje usa entre 18 y 26 lts?

El valor z asociado con X = 18 es z = (18 - 20)/5 = -0.4, y para X = 26, z = (26 - 20)/5 = 1.2. entonces, P(18 < X < 26)= P(-0.4 < z < 1.2) = F(1.2) - F(-0.4)= 0.8849 - 0.3446 = 0.5403.

Ejemplo

470

El tiempo de vida de las baterías del conejito tiene una distribución aproximada a la normal con una media de 85.36 horas y una desviación estándar de 3.77 horas.

¿Qué porcentaje de las baterías se espera que duren 80 horas o menos?

¿Cuál es la probabilidad de que una batería dure entre 86.0 y 87.0 horas?

¿Cuál es la probabilidad de que una batería dure más de 87 horas?

Ejemplos

¿Que porcentaje de las baterías se espera que duren 80 horas o menos?

Z = (x-mu) / sZ = (80-85.36)/(3.77)= - 5.36/ 3.77 = -1.42

85.3680

-1.42 0

Área bajo la curva normal

0 1

86 8785.36

¿Cuál es la probabilidad de que una batería dure entre 86.0 y 87.0 horas?


85.36 87

¿Cuál es la probabilidad de que una batería dure más de 87 horas?

1.67 = .33 ó 33% de las veces una batería durará más de 87 horas


474

Considere una media de peso de estudiantes de 75 Kgs. con una desviación estándar de 10Kgs. Contestar lo siguiente:

¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante pese más de 85Kgs.?

2. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante pese menos de 50Kgs.?

3. ¿Cuál es la probabilidad de que pese entre 60 y 80 Kgs.?.

4. ¿Cuál es la probabilidad de que pese entre 55 y 70 Kgs.?

5. ¿Cuál es la probabilidad de que pese entre 85 y 100Kgs.?

Ejercicios

475

Distribuciones muestrales

476

A las distribuciones de los estadísticas muestrales se les llama distribuciones muestrales.

POBLACION

477

Distribuciones Derivadas del muestreo de Poblaciones Normales

Población

Muestra

Aparecen distribuciones muestrales:Normal, Chi-cuadrada, t-student, F

478

Distribución de la Media:

Si es una muestra aleatoria de una Poblacion (X) con distribución normal .Entonces se

distribuye normal con media y varianza

nXXX ,...,, 21

),( 2mn X

,m n/2

)/,( 2 nnX m

479

Distribuciones usadas normalmente

Distribución Chi Cuadrada

Esta distribución se forma al sumar los cuadrados de las variables aleatorias normales estándar.

Si Z es una variable aleatoria normal, entonces el estadístico Y siguiente es una variable aleatoria Chi cuadrada con n grados de libertad.

223

22

21 .... nzzzzy

480

Distribución de la varianza.

Repaso de la distribución ji-cuadrada.

La función de densidad de probabilidad con k grados de libertad y la función gama Γ es:

.0,

22

1)( 21

2

2

xex

kxf

xk

k

k=grados de libertad. (1,2,...)

481

K=1 K=5

K=25K=50

Gráficas de la distribución ji-cuadrada

Con k grande ji-cuadrada se hace normal

482

Media y varianza de una ji-cuadrada.E(X)=kV(X)=2k

Calculo de puntos críticos usando las tablas de ji-cuadrada

)( 2,kXP

483

Ejemplo: Calcule el valor critico que satisface

05.)( 220,05.0 XP

41.31220,05.0

De tablas de ji-cuadrada con alfa=.05 y k=20

484

Resultado:

Si es una muestra aleatoria de una Poblacion (X) con distribución normal .Entonces se

distribuye ji-cuadrada con k= n-1 grados de libertad.

Donde S cuadrada es la varianza muestral.

nXXX ,...,, 21

),( 2mn 22

)1( Sn

21

22

)1(

nSn

485

Distribución t-student

Si es una muestra aleatoria de una Población (X) con distribución normal . Entonces se distribuye t-student con n-1 grados de libertad.

nXXX ,...,, 21

),( 2mn

)/()( nsX m

1)/()( ntnsX m

486

),(]12/][2/[

]2/)1[()(2/)1(2

xxkk

kxfk

Función de Distribución t-student

K=1 K=10

K=100

487

Función de Distribución t-student

488

Distribución t de Student La media y la varianza de la distribución t son:

De una muestra aleatoria de n artículos, la probabilidad de que

Caiga entre dos valores especificados es igual al área bajo la distribución de probabilidad t de Student con los valores correspondientes en el eje X, con n-1 grados de libertad

0m

3;2

kk

k

3;2

kk

k

nsxt/m

489

Distribución t de StudentEjemplo:

La resistencia de 15 sellos seleccionados aleatoriamente son: 480, 489, 491, 508, 501, 500, 486, 499, 479, 496, 499, 504, 501, 496, 498

¿Cuál es la probabilidad de que la resistencia promedio de los sellos sea mayor a 500?. La media es 495.13 y la desviación estándar es de 8.467.

t = -2.227 y el área es 0.0214

3;2

kk

k

227.215/467.850013.495

t

490

Distribución F

Surge de dividir dos ji-cuadradas independientes

F=(W/u)/(Y/v)

W se distribuye ji-cuadrada con u g.l.Y se distribuye ji-cuadrada con v g.l.

El uso de esta distribución es para comparar varianzas (Recuerde el análisis de varianza)

491

Distribución F.

),0(

]1][2/[)2/(

/]2/)[()(2/)(

1)2/(2

x

xvuvu

xvuvuxfvk

uu

u=10

v=5

u=20

v=20

Función de densidad de la Distribución F

492

Distribución F.Función de densidad de la Distribución F

493

Distribución F Para determinar la otra cola de la distribución

F se determina con la expresión.

Falfa, k1, k2 = 1 / F(1-alfa), k2, k1

Dado K1 = 8 y K2 = 10, F0.05 = 3.07, encontrar el valor de F0.05 con K1 = 10 y K2 = 8

F0.05,10,8 = 1/ F0.95,8,10 = 1/ 3.07 = 0.326

494

V.E.3 Otras distribuciones

495

Distribución Bivariada La distribución conjunta de dos variables es

llamada una distribución bivariada. El coeficiente de correlación es :

496

Distribución Exponencial Se usa para modelar artículos con una tasa de

falla constante y está relacionada con la distribución de Poisson.

Si una variable aleatoria x se distribuye exponencialmente, entonces el recíproco de x, y = 1/x sigue una distribución de Poisson y viceversa.

La función de densidad de probabilidad exponencial es: Para x >= 0 x

x

eexf

1)(

497

Distribución Exponencial Donde Lambda es la tasa de falla y theta es la

media La función de densidad de la distribución

exponencial

498

Distribución Exponencial Es usada como el modelo, para la parte de

vida útil de la curva de la bañera, i.e., la tasa de falla es constante

Los sistemas complejos con muchos componentes y múltiples modos de falla tendrán tiempos de falla que tiendan a la distribución exponencial

Desde una perspectiva de confiabilidad, es la distribución más conservadora para predicción.

Distribución Exponencial

La forma de la exponencial siempre es la misma

El modelo exponencial, con un solo parámetro, es el más simple de todo los modelos de distribución del tiempo de vida. Las ecuaciones clave para la exponencial se muestran:


h

@

)(:FALLA DETASA

1:VARIANZA

693.02ln:MEDIANA

1:MEDIA

)(:PDF)(:DADCONFIABILI

1)(:CDF

2

t

m

etfetR

etF

t

t

t

Función de Densidad de Probabilidad Exponencial

0.0000

0.0005

0.0010

0.0015

0.0020

0.0025

0.0030

0.0035

0 500 1,000 1,500 2,000Tiempo

f(t)

= 0.003, MEDIA = 333

= 0.002, MEDIA = 500

= 0.001, MEDIA = 1,000

500

R(t) = e(-t) (Confiabilidad)

Función de Confiabilidad Exponencial

0.000

0.200

0.400

0.600

0.800

1.000

1.200

0 500 1,000 1,500 2,000Tiempo

R(t)

= 0.003, MTBF = 333

= 0.002, MTBF = 500

= 0.001, MTBF = 1,000


501

h(t) = 1MEDIA(Velocidad de Falla)

Función de la Tasa de Falla Exponencial

0.000

0.001

0.002

0.003

0.004

0 500 1,000 1,500 2,000Tiempo

h(t)

= 0.001, MTBF = 1,000

= 0.002, MTBF = 500

= 0.003, MTBF = 333


Note que la tasa de falla tiende a ser una constante para cualquier tiempo. La distribución exponencial es la única que tiene una velocidad de falla constante

502

Distribución Lognormal La transformación más común se hace

tomando el logaritmo natural, pero también se puede hacer con los logaritmos base 2 y base 10.

Y = x1 x2 x3Ln y = ln x1 + ln x2 + ln x3

La función de densidad de probabilidad lognormal es con Y = ln(t): 2

21

21)(

y

yy

y

et

tf

m

503

Distribución Lognormal La media y la varianza de la distribución

lognormal son las siguientes:

)2/( 2meMedia

)1)((22 )2( m eeVar

504

Un tiempo de falla se distribuye según una Lognormal si el logaritmo del tiempo de falla está normalmente distribuido.

La Distribución Lognormal es una distribución sesgada hacia la derecha.

La PDF comienza en cero, aumenta hasta su moda y diminuye después.

Distribución Lognormal

505

Si un tiempo t está distribuido Lognormal, t~LN(mt, t) y si Y = ln(t) entonces Y~N(my, y)


2

21

21)(

y

yy

y

et

tf m

2

21

21)(

y

yy

y

eyf m

y

TttF

)ln(

)( 50

y

yyyF

m

)(

2exp

2

50y

yt T

mm )ln( 50Ty m

2

250

1

)exp(

t

t

tyT

m

mm

ym

PDF

CDF

MEDIA

MEDIANA

t y = ln(t)

2

2

1lnt

t

m 1)exp()exp( 222

50 yyT VARIANZA

(z) es la CDF de la Normal estándar

506

La Distribución de vida Lognormal, como la Weibull, es un modelo muy flexible que puede empíricamente ajustar a muchos tipos de datos de falla.

En su forma de dos parámetros tiene los parámetros sln(t) = sy parámetro de forma, y T50 = la mediana (un parámetro de escala)

Si el tiempo para la falla t, tiene una distribución Lognormal, entonces el logaritmo natural del tiempo de falla (y =ln(t)) tiene una distribución normal con media my = ln T50 y desviación estándar sy.


507

Esto hace a los datos lognormales convenientes para trabajarlos así:

Determine los logaritmos naturales de todos los tiempos de falla y de los tiempos censurados (y = ln(t)) y analice los datos normales resultantes.

Posteriormente, haga la conversión a tiempo real y a los parámetros lognormales usando y como la forma lognormal y T50 = exp(my como (mediana) el parámetro de escala.


508


Ejemplo: Dado t~LN(25,4), encuentre P(t<18) Calculemos los valores que nos permiten

usar la tabla normal estándar

Para poder usar las Tablas de la Normal Estándar:P(t<18) = P{Z<[ln(t/ T50)]/ y] =

P{Z<[ln(18/24.7)]/0.159} = P(Z<-1.99) = 0.023

68.242541251

2

2

2

50

t

ttT

m

m

02527.02541ln1ln

2

2

22

t

ty m

1589.002527.0 y

509

Función de Distribución Lognormal

f tt

t( ) exp

ln( )

12

12

2

m

donde m y son funciones de ln’sFunción de Densidad de Probabilidad Lognormal

0.0000

0.1000

0.2000

0.3000

0.4000

0.5000

0 1 2 3 4 5 6 7Tiempo

f(t)

m = 0 = 0.5

m = 0 = 1

m = 1 = 0.5

m = 1 = 1


510

R t f t dt f t d t z dzt t z t

( ) ( ) [ln( )] [ln( )] ( )ln( ) [ln( )]

Función de Distribución Lognormal donde z[ln(t)] = [ln(t)-m/]

(z) = normal estandarizada normal pdfFunción de Confiabilidad Lognormal

0.000

0.200

0.400

0.600

0.800

1.000

0 1 2 3 4 5 6 7Tiempo

R(t)

m = 0 = 0.5

m = 0 = 1

m = 1 = 0.5

m = 1 = 1


511

h ( ) ( )( )

t f tR t

Función de Distribución Lognormal

Función Tasa de Falla Lognormal

0.0000

0.1000

0.2000

0.3000

0.4000

0.5000

0.6000

0.7000

0 1 2 3 4 5 6 7Tiempo

h(t)

m = 0 = 0.5

m = 0 = 1

m = 1 = 0.5

m = 1 = 1


512

Número de ciclos de falla en la fatiga de los metales y partes metálicas, en niveles de tensión mucho menores que sus límites

Representa bien el tiempo de falla de los dispositivos mecánicos, especialmente en el caso de uso

La resistencia de materiales frecuentemente sigue una distribución Lognormal

Las variables de peso son frecuentemente bien representadas con una distribución Lognormal

Es una buena distribución para cualquier variable La medida de cualquier resultado el cual es el resultado de

una proporción o efecto multiplicativo es Lognormal


513

Distribución de Weibull La distribución de Weibull es una de las más

utilizadas en confiabilidad y estadística.

La versión de dos parámetros forma y escala (que representa la vida característica) no incluye el parámetro de localización es cero.

La versión de tres parámetros tiene una parámetro de localización cuando hay un tiempo de falla diferente de cero para la primera falla

514

Distribución de Weibull La función de densidad de probabilidad de

Weibull de 3 parámetros es:

Para x es el parámetro de forma es el parámetro de escala es el parámetro de localización

xxxf exp)(

1

515

Distribución de Weibull La función de densidad de probabilidad de

Weibull de 3 parámetros también se puede expresar como:

Para t 0 es el parámetro de forma es el parámetro de escala es el parámetro de localización diferente de cero

También es la vida característica si el parámetro

de localización es cero, de otra forma será +

tytf exp)(

1

516

Distribución de Weibull La media y la varianza de la distribución de

Weibull es:

m 11

1121 222

517

Distribución de Weibull Efecto del parámetro de forma Beta con Theta

= 100 y Delta = 0

518

Distribución de Weibull Efecto del parámetro de escala Theta

519

Distribución de Weibull Efecto del parámetro de escala Delta

520

El Modelo Weibull En muchas aplicaciones de confiabilidad, el

supuesto de tasa de riesgo constante no es apropiado.

Los artículos mecánicos tienen Failure Rate Creciente.

Otros artículos pueden ser Failure Rate Decreciente.

0

1

2

3

4

5

6

0 0.5 1 1.5 2

Time (t)

h(t)

Failure Rate Constante

Failure RateCrecienteFailure

Rate Decreciente

521

Un modelo que puede representar un amplio espectro de comportamientos es el modelo Weibull.

La densidad del modelo Weibull puede tomar muchas y diferentes formas.

Note que si = 1 entonces se tiene el modelo exponencial como caso particular del modelo Weibull.

1

1

)(

)(

exp)(

)(

tth

tttf

etS t

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.5 1 1.5 2

Time (t)

f(t)

= 0.5

= 2

= 3

= 1

Modelo Weibull

522

Modelo Weibull El modelo Weibull es

FRC si = 1 FRI si > 1 FRD si < 1

Entonces el parámetro muestra la forma de la función de riesgo.

0

1

2

3

4

5

6

0 0.5 1 1.5 2

Time (t)

h(t)

= 0.5 = 3

= 1FRC

FRIFRD

523

Modelo Weibull Que es ?

Entonces presenta la escala de h(t).

0

1

2

3

4

5

6

0 0.5 1 1.5 2

Time (t)

h(t) = 3 = 2 = 1

524

Modelo Weibull Los momentos de la distribución Weibull son:

11211][][)(

)(][

111)(][

22

22

0

22

0

TETETVar

dttftTE

dtttfTE

0

1 exp dxxxk k

525

El tiempo de vida (sobre horas) de cierto tipo de resorte usado continuamente bajo condiciones de funcionamiento, es sabido que tiene una distribución de Weibull con parámetro de forma 0.00022 y de escala 1.28.

Cuál es el tiempo medio de falla?

Cuál es la probabilidad de que un resorte funcionará por 500 horas?

Cuál es la probabilidad que un resorte que ha funcionado por 200 horas funcione por otras 500 horas?

Modelo Weibull

526

Se tiene un sistema de n componentes. Los componentes son independientes e

idénticamente distribuidos de acuerdo a una distribución Weibull.

Cual es la distribución del tiempo de vida del sistema?

Se sabe que

Entonces

},,min{ 1 nTTT

)},,(min{ 1 tTTPtTP n

Modelo Weibull

527

Distribución Weibull

La distribución de Weibull es un modelo de distribución de vida útil muy flexible, para el caso de 2 parámetros:

1

2

2

1

1

:FALLA DETASA

1121:VARIANZA

2ln:MEDIANA

11:MEDIA

)(:PDF

)(:DADCONFIABILI

1)(:CDF

t

ettf

etR

etF

t

t

t

Donde h (etha) es un parámetro de escala (la vida característica) y beta se conoce como el parámetro de forma (pendiente) y G es la función Gamma con G(N)=(N-1)! para N entero

528


1

2

2

1

1

:FALLA DETASA

1121:VARIANZA

2ln:MEDIANA

11:MEDIA

)(:PDF

)(:DADCONFIABILI

1)(:CDF

t

ettf

etR

etF

t

t

t

Una forma más general de 3 parámetros de la Weibull incluye un parámetro de tiempo de espera localización ó desplazamiento). Las fórmulas se obtienen reemplazando t por (t-g). No puede ocurrir una falla antes de g horas, el tiempo comienza en g no en 0.

529

Función de Distribución Weibullf t t t( ) exp

1

Función de Densidad de Probabilidad Weibull

0.0000

0.0010

0.0020

0.0030

0 500 1000 1500 2000 2500 3000Tiempo

f(t)

= 0.5 = 1000

= 1.0 = 1000

= 3.4 = 1000


530

Funciones de Distribución Weibull R t t( ) exp

Función de Confiabilidad Weibull

0.000

0.200

0.400

0.600

0.800

1.000

0 500 1000 1500 2000 2500 3000Tiempo

R(t)

= 0.5 = 1000

= 1.0 = 1000

= 3.4 = 1000


531

Funciones de Distribución Weibull h

( )tt

1

Función Tasa de Falla Weibull

0.0000

0.0020

0.0040

0.0060

0 500 1000 1500 2000 2500 3000Tiempo

h(t)

= 3.4 = 1000

= 1.0 = 1000

= 0.5 = 1000


532

Distribución Weibull La función pdf de la distribución exponencial

modela la característica de vida de los sistemas, la Weibull modela la característica de vida de los componentes y partes

Modela fatiga y ciclos de falla de los sólidos Es el traje correcto para datos de vida

La función de distribución Weibull pdf es una distribución de la confiabilidad de los elementos de una muestra

Muy flexible y puede tomar diferentes formas


533

Distribución Weibull Tiene usted una Distribución Weibull con =2 y =2, ¿Cuál es la media y la varianza?

2

2 1121varianza

11

m

12 3

Archivo Weibull.xls

534

tiempo

Índi

ce d

e fa

lla

Tiempo de vida útilFallastempranas

Desgaste

decreciente

< 1

constante

= 1

creciente

> 1

< 1 disminuye la tasa de riesgo, implica mortalidad infantil = 1 tasa de riesgo constante, fallas aleatorias1< < 4 aumenta la tasa de riesgo, fallas por corrosión, erosión > 4 aumenta rápidamente la tasa de riesgo, implica fallas por desgaste y envejecimiento

Las tres porciones de la curva de tina de la bañera tienen diferentes índices de falla. Las fallas tempranas se caracterizan por un índice de falla decreciente, la vida útil por un índice de falla constante y el desgaste se caracteriza por un índice de falla creciente. La distribución de Weibull puede modelar matemáticamente estas tres situaciones.


< 1 (Tasa de riesgo decreciente)

• Implica mortalidad infantil

• Si esto ocurre, puede existir: Carga, inspección o prueba inadecuada Problemas de Manufactura Problemas de reparación

• Si un componente sobrevive la mortalidad infantil , la resistencia a fallar mejora con la edad.

= 1 (Tasa de riesgo constante)

• Implica fallas aleatorias(Distribución Exponencial)

• Una parte vieja es tan buena como una nueva

• Si esto ocurre: Mezcla de modos de falla Las fallas pueden deberse a eventos

externos, como:luminosidad o errores humanos

Fundido y removido antes de su desgaste1 <4 (Tasa de Riesgo creciente)

• Si esto ocurre La mayoría de los baleros y engranes

fallan Corrosión o Erosión El reemplazo programado puede ser

efectivo en costo- =3.44aprox. Normal, =2Rayleigh

4 (La tasa de riesgo crece rápidamente)

• Implica edad avanzada y rápido desgaste

• Si esto ocurre, sospeche de: Propiedades del material Materiales frágiles como la cerámica Variabilidad pequeña en manufactura o

material

La Distribución Weibull - Interpretación

536

• Cuando = 2.5 la Weibull se aproxima a la distribución Lognormal(estas distribuciones son tan cercanas que se requieren tamaños de muestra mayores a 50 para distinguirlas).

• Cuando se modela el tiempo que se necesita para que ocurran reacciones químicas, se ha mostrado que la distribución Lognormal usualmente proporciona un mejor ajuste que la Weibull.

• Cuando = 5 la Weibull se aproxima a una Normal puntiaguda.


537

Debido a su flexibilidad,hay pocas tasas de falla observadas que no pueden modelarse adecuadamente mediante la Weibull. Algunos ejemplos son.

1.La resistencia a la ruptura de componentes o el esfuerzo requerido para la fatiga de metales.

2.El tiempo de falla de componentes electrónicos.

3.El tiempo de falla para artículos que se desgastan, tales como las llantas de un automóvil.

4.Sistemas que fallan cuando falla el componente más débil del sistema(la distribución Weibull representa una distribución de valor extremo).


538

• ¿Qué pasa en una distribución Weibull si el tiempo tiene el valor de la vida característica, t = ?


6321.0)(1)(

3678.0exp)(

t si

exp)(

1

tRtF

etR

ttR

Al llegar al tiempo de vida igual a la vida característica el 63.2% de los elementos habrá fallado. Este hecho se usa en las gráficas para identificar el valor de h (eta)

Este mismo resultado se obtiene para el caso exponencial, recordando que la Weibull se puede reducir a una exponencial cuando b = 1.

539

V.F Capacidad de procesos

540

V.F Capacidad de procesos1. Índices de capacidad de procesos2. Índices de desempeño de procesos

3. Capacidad a corto y a largo plazo4. Capacidad de proceso de datos no normales

5. Capacidad de proceso para datos por atributos

6. Estudios de capacidad de procesos7. Desempeño de procesos vs. especificaciones

541

V.F.1 Índices de capacidad del proceso

Nigel´s Trucking Co.

Teoría del camión y el túnel• El túnel tiene 9' de ancho (especificación). El camión tiene 10’ y el chofer es perfecto(variación del proceso). ¿Pasaría el camión? NO, la variabilidad del proceso es mayor que la especificación.• Centrar es hacer que el promedio del proceso sea igual al centro de laespecificación. Si el camión tiene 8 pies de ancho ¿pasará el camión?, Si. Siel chofer puede mantener el centro del camión en el centro del túnel. De otra forma chocará con las paredes del túnel y no pasará a pesar de ser más angosto.

Ancho 9´

El proceso debe estar en control, tener capacidad y estar centrado

543

Objetivos de la capacidad del proceso

1. Predecir que tanto el proceso cumple especificaciones

2. Apoyar a diseñadores de producto o proceso en sus modificaciones

3. Especificar requerimientos de desempeño para el equipo nuevo

4. Seleccionar proveedores

5. Reducir la variabilidad en el proceso de manufactura

6. Planear la secuencia de producción cuando hay un efecto interactivo de los procesos en las tolerancias

544

Análisis de la capacidad de proceso – Estudios de capacidad La capacidad del proceso es un patrón

predecible de comportamiento estadístico estable donde las causas de variación se comparan con las especificaciones.

545

_Xxi

s

Z

LIEEspecificación inferior

LSEEspecificación superior

p = porcentaje de partes fuera de Especificaciones

Análisis de la capacidad de proceso – Estudios de capacidad

546

¿Cómo vamos a mejorar esto?

Podemos reducir la desviación estándar...

Podemos cambiar la media...

O (lo ideal sería, por supuesto) que podríamos cambiar ambas

Cualquiera que sea la mejora que lleve a cabo,asegúrarse que se mantenga

547

Procedimiento1. Seleccionar una máquina donde realizar el estudio

2. Seleccionar las condiciones de operación del proceso

3. Seleccionar un operador entrenado

4. El sistema de medición debe tener habilidad (error R&R < 10%)

5. Cuidadosamente colectar la información

6. Construir un histograma de frecuencia con los datos

7. Calcular la media y desviación estándar del proceso

548

Objetivos: Establecer un estado de control sobre el

proceso de manufactura mantenerlo en el tiempo.

Al comparar el proceso vs los límites de especificación pueden ocurrir los siguientes eventos: No hacer nada Cambiar las especificaciones Centrar el proceso+ Reducir la variabilidad Aceptar las pérdidas


549

Identificación de características: Deben ser indicativas de un factor clave en la

calidad del producto o proceso

Debería ser posible ajustar el valor de la característica como factor de control

Las condiciones de operación que afecten la característica medida deben ser identificadas y controladas

El PPAP indica la evaluación una inicial de la capacidad


550

La desviación estándar del proceso cuando se encuentra en control se determina como sigue con base en una carta de control X-R siempre que esté bajo control estadístico:

Desv. Est. st

(Within)=

Rango medio

Constante d2 de acuerdo al tamaño de subgrupo en X-R

D2 = 1.128 para carta I-MR con n=2D2= 2.326 para carta X-R con n=5

Estimación de la desviación estándar

con el proceso normal o en control

551

Límites de tolerancia natural del proceso

LTNS = Media + 3*sigma

LTNI = Media – 3*sigma

Si los límites de especificación son: LIE y LSE

El Cp = (LSE – LIE) / (LTNS – LTNI) debe ser mayor a 1

552

Los valores de Z inferior y Z superior se calculan de acuerdo a las fórmulas siguientes:

Zi = LIE - promedio del procesoDesviación Estándar - st

LSE - Promedio del proceso

Desviación Estándar - st

La fracción defectiva se calcula con la distribución normal estándar:

P(Zi) = Área en tabla (-Z) P(Zs) = 1 – Área corresp. a Zs en tabla (+Z)

Zs =

Fracción defectiva = P(Zi) + P(Zs)

Capacidad del procesoZ’s y P(Z’s) Fracción defectiva

553

El índice de capacidad potencial del Proceso (Cp) mide la variación del proceso en relación con el rango de Especificación.

Cp = ToleranciaVariación del proceso

=LSE - LIE

6 Desviaciones Estándar - st

La relación de capacidad (CR) es la inversa del cálculo de Cp. Este índice le indica que porcentaje de la especificación está siendo usado por la variación del proceso.

CR = Rango del procesoTolerancia

= 6 desviaciones estándar - stLSE - LIE

Índices de Capacidad Potencial del proceso en control – Corto

plazo

Otro índice que toma en cuenta el centrado del proceso vsMedia de Especificaciones M es:

22 )(6 MX

LIELSECpm

554

Cpk es una medida de la capacidad real del proceso en función de la posición de la media del proceso (X) en relación con con los límites de especificación.

Con límites bilaterales da una indicación del centrado.

Es el menor de:

Cpk = LSE - promedio del proceso3 desviaciones Est. - st y

Promedio del proceso - LIE3 desviaciones Estándar - st

Índice de capacidad real del proceso

en control estadístico – corto plazo

555

Cálculo de la capacidad del proceso

Habilidad o capacidad potencial Cp = (LSE - LIE ) / 6 st

Debe ser 1.33, si está entre 1 – 1.33 requiere mucho control, <1 inac.para tener el potencial de cumplir con especificaciones (LIE, LSE)

Habilidad o capacidad real Cpk = Menor | ZI y ZS | / 3El Cpk debe ser 1.33 para que elproceso cumpla especificaciones, entre 1 y 1.33 requiere control, <1 inac.

556

Tasa de falla vs Cp

557

Tasa de capacidad

Tasa de capacidad l Cp = 6 st/ (LSE - LIE )

Debe ser <= 0.75 si está entre 0.75 y 1 requiere mucho control, >1 inac.para tener el potencial de cumplir con especificaciones (LIE, LSE)

Índice Cpm basado en el índice de Taguchi, equivale al Cp tomando en cuenta el centrado:T = valor objetivo

558

Los valores de Z inferior y Z superior se calculan de acuerdo a las fórmulas siguientes:

Zi = LIE - promedio del procesoDesviación Estándar - st

LSE - Promedio del proceso

Desviación Estándar - st

La fracción defectiva se calcula con la distribución normal estándar:

P(Zi) = Área en tabla (-Z) P(Zs) = 1 – Área corresp. a Zs en tabla (+Z)

Zs =

Fracción defectiva = P(Zi) + P(Zs)

Capacidad del procesoZ’s y P(Z’s) Fracción defectiva

559

Capacidad de proceso a partir de Histogramas y Distribución

normal

560

EjemploSe tomaron los datos siguientes:

265 205 263 307 220 268 260 234 299197 286 274 243 231 267 281 265 214346 317 242 258 276 300 208 187 264280 242 260 321 228 250 299 258 267265 254 281 294 223 260 308 235 283200 235 246 328 296 276 264 269 235221 176 248 263 231 334 280 265 272265 262 271 245 301 280 274 253 287261 248 260 274 337 250 278 254 274278 250 265 270 298 257 210 280 269215 318 271 293 277 290 283 258 275251

561

Ejemplo (cont…)Agrupando los datos en celdas se tiene:

Intervalo Marca Frecuencia Frecuencia de clase de clase Frecuencia Relativa Absoluta170 - 189 179.5 2 0.02 0.02190 - 209 199.5 4 0.04 0.06210-229 219.5 7 0.07 0.13230-249 239.5 13 0.13 0.26250-269 259.5 32 0.32 0.58270-289 279.5 24 0.24 0.82290-309 299.5 11 0.11 0.93310-329 319.5 4 0.04 0.97330-349 339.5 3 0.03 1.00 .

562

Ejemplo (cont…)

El histograma es el siguiente (se observa con forma normal):

05

101520253035

170-189

210-229

250-269

290-309

330-349

Frec.

563

Ejemplo (cont…)

Calculando la media y la desviación estándar se tiene:

X-media = 264.06 s = 32.02

La variabilidad del proceso se encuentra en 6 = 192.12Si las especificaciones fueran LIE = 200 y LSE = 330

Cp = (330 - 200 ) / 192.2 < 1 no es hábil el proceso

Zi = (330 - 264.06) / 32.02 Zs = (200 - 264.06) / 32.02

Cpk = menor de Zi y Zs < 1 el proceso no cumple especificaciones

564

EjercicioCalcular la capacidad del proceso con la distribución de frecuencias siguiente considerando LIE = 530 y LSE = 580:

Intervalo Frecuencia Frecuenciade clase Marca de clase Frecuencia Relativa Absoluta .

531 - 535 533 6536 - 540 538 8541 - 545 543 12546 - 550 548 13551 - 555 553 20556 - 560 558 19561 - 565 563 13566 - 570 568 11571 - 575 573 8

565

Ejemplo de capacidad de proceso

13.612.812.011.210.49.6

LSL USLProcess Data

Sample N 50StDev(Within) 0.85577StDev(Overall) 0.80259

LSL 9.00000Target *USL 14.00000Sample Mean 11.74400

Potential (Within) Capability

CCpk 0.97Overall Capability

Pp 1.04PPL 1.14PPU 0.94Ppk

Cp

0.94Cpm *

0.97CPL 1.07CPU 0.88Cpk 0.88

Observed PerformancePPM < LSL 0.00PPM > USL 0.00PPM Total 0.00

Exp. Within PerformancePPM < LSL 671.85PPM > USL 4191.66PPM Total 4863.51

Exp. Overall PerformancePPM < LSL 314.35PPM > USL 2470.24PPM Total 2784.59

WithinOverall

Process Capability of Viscosidad

566

Interpretación de salida Minitab

Desviación estándar “Within” se determina con R / d2, se usa para determinar los índices de capacidad a corto plazo Cp, Cpk y PPM “Within”

Desviación estándar “Overall” det. Con la desviación estándar de los datos S/C4, donde C4=4(n–1)/(4n-3)), se usa para determinar los índices de Desempeño Pp, Ppk y PPM “Overall”

El “Observed Perfomance” se determina comparando los datos de la muestra con las especificaciones

567

Capacidad a partir de cartas de control

568

EN CASOS ESPECIALES COMO ESTOSDONDE LAS VARIACIONES PRESENTES SON TOTALMENTE INESPERADASTENEMOSUN PROCESO INESTABLE o “IMPREDECIBLE”. ?

? ? ? ?? ?

569

Bases del CEP

SI LAS VARIACIONES PRESENTES SON IGUALES, SE DICE QUE SE TIENE UN PROCESO “ESTABLE”. LA DISTRIBUCION SERA “PREDECIBLE” EN EL TIEMPO

Predicción

Tiempo

570

Control y Capacidad de Proceso Control de Proceso:

Cuando la única fuente de variación es normal o de causa común, se dice que el proceso esta operando en “CONTROL”.

Capacidad de Proceso:

Medición estadística de las variaciones de causa común que son demostradas por un proceso. Un proceso es capaz cuando la causa común de variación cae dentro de las especificacionesdel cliente. La capacidad no se puede determinar a menos que el proceso se encuentre en Control y Estable.

571

Proceso en Control Estadístico La distribución de la mayoría de las características medidas forman una curva en forma de campana o normal, si no hay causas especiales presentes, que alteren la normalidad . ¿cuales son las causas comunes?|

Distribucióndel Proceso

Area entre 0 y 1s -Probabilidad de Ocurrencia

_ x= media s= sigma; es la desviación estándar; medida de la variación del proceso.14 % 14 %

2% 2%-3s -2s -1s x +1s +2s 3s

99.73%

34% 34%

x

572

Ejemplo de carta de control X-R

Sample

Sam

ple

Mea

n

18161412108642

90

80

70

60

__X=72.69

UCL=86.84

LCL=58.53

Sample

Sam

ple

Rang

e

18161412108642

48

36

24

12

0

_R=24.54

UCL=51.89

LCL=0

Xbar-R Chart of Pulse1

573

Desviación estándar: Si el proceso sigue una distribución normal y

está en control estadístico, entonces la desviación estándar puede ser estimada de:

Para procesos nuevos, se puede estimar la capacidad del proceso de una producción piloto

Estudios de capacidad

2dR

R

574

Desviación Estándar del proceso

Donde, = Desviación estándar de la poblaciónd2 = Factor que depende del tamaño del subgrupo en la carta de control X - RC4 = Idem al anterior para una carta X - S

NOTA: En una carta por individuales, d2 se toma para n = 2 y Rango Medio= Suma rangos / (n -1)

= R o = S d2 c4

575

Capacidad de procesoCuando las causas comunes son la única variación:

Cp El índice de capacidad potencial del proceso compara la amplitud del proceso con la amplitud especificada. Cp = (LSE - LIE) / 6

Cpk El índice de capacidad real del proceso compara la media real con el límite de especificaciones más cercano (LE) a esta.

Cpk = LE – Xmedia Cpk = menor |Z1 ; Z2| / 3 3

576

Ejemplo (carta X - R) De una carta de control X - R (con subgrupo n = 5) se obtuvo lo siguiente, después de que el proceso se estabilizó quedando sólo con causas comunes:

Xmedia de medias = 264.06 Rmedio = 77.3

Por tanto estimando los parámetros del proceso se tiene:

m = X media de medias = Rmedio / d2 =77.3 / 2.326 = 33.23

[ d2 para n = 5 tiene el valor 2.326]

Si el límite de especificación es: LIE = 200. El Cpk = (200 - 264.06) / (77.3) (3) = 0.64 por tanto el proceso no cumple con las especificaciones

577

Ejemplo (carta X - S)

De una carta de control X - S (con subgrupo n = 5) se obtuvo lo siguiente, después de que el proceso se estabilizó quedando sólo con causas comunes:

Xmedia de medias = 100 Smedio = 1.05

Por tanto estimando los parámetros del proceso se tiene:

m = X media de medias = Smedio / C4 = 1.05 / 0.94 = 1.117

[ C4 para n = 5 tiene el valor 0.94 ]Si el límite de especificación es: LIE = 85 y el LSE = 105. El Cpk = (105 - 100) / (1.117 ) (3) = 1.492El Cp = (105 - 85) / 6 (1.117 ) = 2.984por tanto el proceso es capaz de cumplir con especificaciones

578

Ejercicios 1) De una carta de control X - R (con subgrupo n = 8) se obtuvo lo siguiente, después de que el proceso se estabilizó quedando sólo con causas comunes (LIE = 36, LSE = 46):

Xmedia de medias = 40 Rmedio = 5

2) De una carta de control X - S (con subgrupo n = 6) se obtuvo lo siguiente, después de que el proceso se estabilizó quedando sólo con causas comunes (LIE = 15, LSE = 23):

Xmedia de medias = 20 Smedio = 1.5

579

V.F.2 Índices de desempeño del proceso

580

Se toman todos los datos del proceso históricos, no importa que el proceso no esté en control o no sea normal.

Desv. Est. lt(Overall)

=

Estimación de la desviación estándar

con el proceso a largo plazo

44

1

2

)(

34)1(4

1

)(

CdatosDesvest

CS

nnn

XXin

i

lt

581

El índice de desempeño potencial del Proceso (Pp) mide la variación del proceso en relación con el rango de Especificación.

Pp = ToleranciaVariación del proceso

=LSE - LIE

6 Desviaciones Estándar - lt

La relación de capacidad (CR) es la inversa del cálculo de Cp. Este índice le indica que porcentaje de la especificación está siendo usado por la variación del proceso.

CR = Rango del procesoTolerancia

= 6 desviaciones Est. - ltLSE - LIE

Índices de desempeño Potencial del proceso – Largo plazo

582

Ppk es una medida del desempeño real del proceso en función de la posición de la media del proceso (X) en relación con con los límites de especificación.

Con límites bilaterales da una indicación del centrado.

Es el menor de:

Ppk = LSE - promedio del proceso3 desviaciones est. - lt y

Promedio del proceso - LIE3 desviaciones Estándar - lt

Índice de desempeño real del proceso – largo plazo

583

Cálculo del desempeño del proceso a lago plazo

Índice de desempeño potencial Pp = (LSE - LIE ) / 6 lt

Debe ser 1 de preferencia >1.33para tener el potencial de cumplir con especificaciones (LIE, LSE)

Índice de desempeño real Ppk = Menor | ZI y ZS | / 3El Ppk debe ser 1 para que elproceso cumpla especificacionesde preferencia > 1.33

584

IIIF.5 Capacidad a corto y a largo plazo

585

Corto y largo plazos Corto plazo:

Es un periodo corto de tiempo en el cual no hay cambios significativos en el proceso en relación a las 6M’s (personal, materiales, métodos, medio ambiente, mediciones, máquinas)

Largo Plazo Es el periodo de tiempo en el cual ya han

ocurrido todos los cambios posibles en el proceso, se trata de información histórica

586

Carta de corridas cortas Se puede utilizar una carta X-R modificada

para corridas cortas, con base en subgrupos de 3 a 10 piezas.

Inicialmente se utilizan A2 y D4 para calcular los límites de control que se modifican al tomar más puntos

El Cpk calcualdo de esta forma se considera preliminar

587

V.F.4 Análisis de la Capacidad de procesos no normales

588

Procesos no normales Los datos no siempre se ajustan a la

distrubución normal. Una estrategia es traansformar los datos no normales para lograr un comportamiento normal

Una alternativa es la transformación de potencia de Box-Cox dada por:

0;1)(

2

xx

0;)ln()( x

589

Procesos no normales Dadas las observaciones X1, X2, X3,….., Xn,

seleccionar la potencia que maximice el logaritmo

Con la media aritmética de los datos transformados dada por:

n

ii

n

i

i xn

xxnxf11

2

)ln()1())()((

ln2

)(

n

iix

nx

1

)(1)(

590

Capacidad de procesos no normales y transformaciones de

datos Para procesos no normales, utilizar la

distribución de Weibull

Para transformaciones de datos no normales en normales utilizar la transformación de Box Cox

591

Capacidad de procesos no normales usando la distribución

de Weibull Con archivo de Minitab TILES.MTW

7.56.04.53.01.50.0

LSL USLProcess Data

Sample N 100Shape 1.69368Scale 3.27812


Overall CapabilityPp 0.81PPL 1.03PPU 0.73Ppk 0.73

Observed PerformancePPM < LSL 0PPM > USL 20000PPM Total 20000


Process Capability of WarpingCalculations Based on Weibull Distribution Model

592

Capacidad de procesos no normales transformando datos

con Box - Cox Con archivo de Minitab TILES.MTW, lamda =

0.5

Lambda

StDe

v

543210-1-2

20

15

10

5

0

Lower CL Upper CL

Limit

Lambda

0.500000

(using 95.0% confidence)Estimate 0.345504Lower CL 0.052120Upper CL 0.642093Best Value

Box-Cox Plot of Warping

593

Capacidad de procesos no normales transformando datos

con Box - Cox Con la raíz cuadrada de los datos y de los límites de

especificaciones se tiene:

2.82.42.01.61.20.80.40.0

LSL USLProcess Data

Sample N 100StDev(Within) 0.51337StDev(Overall) 0.53934


Potential (Within) Capability

CCpk 0.92Overall Capability

Pp 0.87PPL 1.00PPU 0.74Ppk

Cp

0.74Cpm *

0.92CPL 1.05CPU 0.78Cpk 0.78

Observed PerformancePPM < LSL 0.00PPM > USL 20000.00PPM Total 20000.00

Exp. Within PerformancePPM < LSL 781.08PPM > USL 9472.66PPM Total 10253.74


WithinOverall

Process Capability of Transf

594

Capacidad de procesos por Pearson

• Independientemente de si los datos siguen una distribución normal o no, se pueden calcular los índices de capacidad y habilidad de proceso determinando los valores de los “Percentiles” o “límites de control” equivalentes a un área bajo la curva de 0.135% de cada lado de la misma.

• Este método ha sido propuesto por Clements (1989) con base en las curvas de Karl Pearson (1893), para ello, es necesario caracterizar la curva de distribución de acuerdo a su posición (Media), dispersión (Desviación Estándar) y forma (Grado de asimetría mediante el Sesgo y grado de “achatamiento” o Kurtosis).

595


Procedimiento : Identificar los límites de especificación de la

variable de interés (LSE, LIE) Calcular la Media (y). Calcular la Desviación estándar (s ó s) Calcular el coeficiente de sesgo (a3)

596


Cálculo del sesgo:

Donde : momento 3 = m3 = (S(yi – y)3)/n

a3 = n .(n-1)(n-2) S

i=1

n ( ) yi – y s

3O bien :

a3 > 0 a3 < 0a3 = 0

597


Calcular el coeficiente de curtosis (a4 -3)

a4 = m4 / 4 Donde : momento 4 = m4 = (S(yi – y)4)/n

a4-3 = n (n+1) .(n-1)(n-2)(n-3) S

i=1

n ( ) yi – y s

4{ } 3 (n-1)2 .(n-2)(n-3) -

O bien :

Curva Leptocúrtica : a4 > 3

Curva Mesocúrtica : a4 = 3Curva Platicúrtica : a4 < 3

598

Con Minitab Stat > Basic Statistics > Display descriptive statistics >> Graphs... >> Graphical Summary

1.000.850.700.550.40

95% Confidence Interval for Mu

0.580.530.48

95% Confidence Interval for Median

Variable: Dist.1

0.47619

0.12829

0.51402

Maximum3rd QuartileMedian1st QuartileMinimum

NKurtosisSkewnessVarianceStDevMean

P-Value:A-Squared:

0.52875

0.17075

0.57338

1.111110.588240.513160.454550.34483

962.485151.44751

2.15E-020.1464900.543699

0.0003.073

95% Confidence Interval for Median

95% Confidence Interval for Sigma

95% Confidence Interval for Mu

Anderson-Darling Normality Test

Descriptive Statistics

599

Con MinitabDe la tabla 2 de las curvas de Pearson obtenga

la Mediana estandarizada (M’) :Para coeficiente de sesgo positivo cambie el signo a

M’.Para coeficiente de sesgo negativo deje el signo de

M’.Calcular el percentil 0.135 estimado (PI) :

PI = y – s * PI’Calcular percentil 99.865 estimado

(PS) : PS = y + s * PS’Calcular la Mediana estimada (M) :

M = y + s * M’

600

Con MinitabCalcular el índice de capacidad potencial de proceso

(Pp). LSE - LIE PS - PI

Pp =

Calcular el índice de habilidad del proceso (Ppk)

Ppk = min {Ppi, Pps}

M - LIE M - PI

Ppi =

LSE – M PS - M

Pps =

Tabla 1a de PearsonCurtosis Sesgo Curtosis

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0-1.4 1.512 1.421 1.317 1.206 1.092 0.979 0.868 0.762 -1.4-1.2 1.727 1.619 1.496 1.364 1.230 1.100 0.975 0.858 0.747 -1.2-1.0 1.966 1.840 1.696 1.541 1.384 1.232 1.089 0.957 0.836 -1.0-0.8 2.210 2.072 1.912 1.736 1.555 1.377 1.212 1.062 0.927 0.804 0.692 -0.8-0.6 2.442 2.298 2.129 1.941 1.740 1.539 1.348 1.175 1.023 0.887 0.766 0.656 -0.6-0.4 2.653 2.506 2.335 2.141 1.930 1.711 1.496 1.299 1.125 0.974 0.841 0.723 0.616 -0.4-0.2 2.839 2.692 2.522 2.329 2.116 1.887 1.655 1.434 1.235 1.065 0.919 0.791 0.677 0.574 -0.20.0 3.000 2.856 2.689 2.500 2.289 2.059 1.817 1.578 1.356 1.163 1.000 0.861 0.739 0.630 0.531 0.00.2 3.140 2.986 2.834 2.653 2.447 2.220 1.976 1.726 1.485 1.269 1.086 0.933 0.801 0.686 0.583 0.20.4 3.261 3.088 2.952 2.785 2.589 2.368 2.127 1.873 1.619 1.382 1.178 1.008 0.865 0.742 0.634 0.536 0.40.6 3.366 3.164 3.045 2.896 2.714 2.502 2.267 2.015 1.754 1.502 1.277 1.087 0.931 0.799 0.685 0.583 0.469 0.60.8 3.458 3.222 3.118 2.986 2.821 2.622 2.396 2.148 1.887 1.625 1.381 1.172 1.000 0.857 0.736 0.629 0.533 0.81.0 3.539 3.266 3.174 3.058 2.910 2.727 2.512 2.271 2.013 1.748 1.491 1.262 1.072 0.917 0.787 0.675 0.575 0.484 1.01.2 3.611 3.300 3.218 3.115 2.983 2.817 2.616 2.385 2.132 1.876 1.602 1.357 1.149 0.979 0.840 0.721 0.617 0.510 1.21.4 3.674 3.327 3.254 3.161 3.043 2.893 2.708 2.488 2.243 1.981 1.713 1.456 1.230 1.045 0.894 0.768 0.659 0.562 0.475 1.41.6 3.731 3.349 3.282 3.199 3.092 2.957 2..787 2.581 2.345 2.089 1.821 1.556 1.316 1.113 0.950 0.815 0.701 0.600 0.510 1.61.8 3.782 3.367 3.306 3.229 3.133 3.011 2.855 2.664 2.438 2.189 1.925 1.664 1.404 1.185 1.008 0.863 0.743 0.638 0.546 0.461 1.82.0 3.828 3.382 3.325 3.255 3.167 3.055 2.914 2.736 2.524 2.283 2.023 1.755 1.494 1.261 1.068 0.913 0.785 0.676 0.580 0.494 2.02.2 3.870 3.395 3.342 3.277 3.196 3.093 2.964 2.800 2.600 2.369 2.116 1.850 1.584 1.339 1.132 0.964 0.828 0.714 0.615 0.526 0.445 2.22.4 3.908 3.405 3.356 3.295 3.220 3.126 3.006 2.855 2.669 2.448 2.202 1.940 1.673 1.420 1.198 1.018 0.873 0.752 0.649 0.557 0.475 2.42.6 3.943 3.415 3.367 3.311 3.241 3.153 3.043 2.904 2.730 2.521 2.283 2.026 1.760 1.501 1.267 1.073 0.918 0.791 0.683 0.589 0.504 2.62.8 3.975 3.423 3.378 3.324 3.259 3.177 3.075 2.946 2.784 2.586 2.358 2.107 1.844 1.581 1.338 1.131 0.965 0.830 0.717 0.620 0.533 2.83.0 4.004 3.430 3.387 3.326 3.274 3.198 3.103 2.983 2.831 2.646 2.427 2.183 1.924 1.661 1.410 1.191 1.013 0.870 0.752 0.651 0.562 3.03.2 4.031 3.436 3.395 3.346 3.288 3.216 3.127 3.015 2.874 2.699 2.491 2.254 2.000 1.738 1.483 1.253 1.063 0.911 0.787 0.681 0.590 3.23.4 4.056 3.441 3.402 3.356 3.300 3.233 3.149 3.043 2.911 2.747 2.549 2.321 2.072 1.813 1.555 1.317 1.115 0.953 0.822 0.712 0.618 3.43.6 4.079 3.446 3.408 3.364 3.311 3.247 3.168 3.069 2.945 2.790 2.602 2.383 2.140 1.884 1.626 1.381 1.169 0.996 0.858 0.744 0.646 3.63.8 4.101 3.450 3.414 3.371 3.321 3.259 3.184 3.091 2.974 2.829 2.651 2.440 2.205 1.953 1.695 1.446 1.224 1.041 0.895 0.775 0.674 3.84.0 4.121 3.454 3.419 3.378 3.329 3.271 3.200 3.111 3.001 2.864 2.695 2.494 2.265 2.018 1.762 1.510 1.281 1.088 0.932 0.807 0.702 4.04.2 4.140 3.458 3.423 3.384 3.337 3.281 3.213 3.129 3.025 2.895 2.735 2.543 2.321 2.080 1.827 1.574 1.338 1.135 0.971 0.839 0.730 4.24.4 4.157 3.461 3.428 3.389 3.344 3.290 3.225 3.145 3.047 2.923 2.771 2.588 2.374 2.138 1.889 1.636 1.396 1.184 1.011 0.872 0.758 4.44.6 4.174 3.464 3.431 3.394 3.350 3.299 3.236 3.160 3.066 2.949 2.805 2.629 2.424 2.194 1.948 1.697 1.453 1.234 1.052 0.905 0.786 4.64.8 4.189 3.466 3.435 3.399 3.356 3.306 3.246 3.173 3.084 2.972 2.835 2.668 2.470 2.246 2.005 1.756 1.510 1.285 1.094 0.939 0.815 4.85.0 4.204 3.469 3.438 3.403 3.362 3.313 3.256 3.186 3.100 2.994 2.863 2.703 2.513 2.296 2.059 1.813 1.566 1.336 1.137 0.975 0.844 5.05.2 4.218 3.471 3.441 3.406 3.367 3.320 3.264 3.197 3.114 3.013 2.888 2.735 2.562 2.342 2.111 1.867 1.621 1.387 1.181 1.010 0.874 5.25.4 4.231 3.473 3.444 3.410 3.371 3.326 3.272 3.207 3.128 3.031 2.911 2.765 2.589 2.386 2.160 1.920 1.675 1.438 1.225 1.047 0.904 5.45.6 4.243 3.475 3.446 3.413 3.375 3.331 3.279 3.216 3.140 3.047 2.933 2.793 2.624 2.427 2.206 1.970 1.727 1.489 1.270 1.085 0.935 5.65.8 4.255 3.477 3.448 3.416 3.379 3.336 3.286 3.225 3.152 3.062 2.952 2.818 2.656 2.465 2.250 2.019 1.778 1.539 1.316 1.123 0.966 5.86.0 4.266 3.478 3.451 3.419 3.383 3.341 3.292 3.233 3.162 3.076 2.970 2.841 2.685 2.501 2.292 2.065 1.827 1.588 1.361 1.162 0.999 6.06.2 4.276 3.480 3.453 3.422 3.386 3.345 3.297 3.240 3.172 3.089 2.987 2.863 2.713 2.535 2.332 2.109 1.874 1.635 1.407 1.202 1.031 6.26.4 4.286 3.481 3.454 3.424 3.389 3.349 3.303 3.247 3.181 3.100 3.003 2.883 2.739 2.567 2.369 2.151 1.919 1.682 1.452 1.242 1.065 6.46.6 4.296 3.483 3.456 3.426 3.392 3.353 3.308 3.254 3.189 3.111 3.017 2.902 2.763 2.597 2.405 2.191 1.962 1.727 1.496 1.282 1.099 6.66.8 4.305 3.484 3.458 3.429 3.395 3.357 3.312 3.260 3.197 3.122 3.030 2.919 2.785 2.624 2.438 2.229 2.004 1.771 1.540 1.323 1.134 6.87.0 4.313 3.485 3.459 3.431 3.398 3.360 3.316 3.265 3.204 3.131 3.043 2.936 2.806 2.651 2.469 2.265 2.044 1.814 1.583 1.363 1.169 7.07.2 4.322 3.486 3.461 3.432 3.400 3.363 3.321 3.270 3.211 3.140 3.054 2.951 2.825 2.675 2.499 2.300 2.083 1.855 1.625 1.403 1.204 7.27.4 4.330 3.487 3.462 3.434 3.403 3.366 3.324 3.275 3.218 3.148 3.065 2.965 2.843 2.698 2.527 2.333 2.120 1.895 1.666 1.443 1.240 7.47.6 4.337 3.488 3.464 3.436 3.405 3.369 3.328 3.280 3.224 3.156 3.075 2.978 2.860 2.720 2.554 2.364 2.155 1.933 1.706 1.482 1.276 7.67.8 4.344 3.489 3.465 3.437 3.407 3.372 3.331 3.284 3.229 3.164 3.085 2.990 2.876 2.740 2.579 2.394 2.189 1.970 1.744 1.521 1.311 7.88.0 4.351 3.490 3.466 3.439 3.409 3.374 3.335 3.289 3.235 3.171 3.094 3.002 2.891 2.759 2.603 2.422 2.221 2.005 1.782 1.559 1.347 8.08.2 4.358 3.491 3.467 3.440 3.411 3.377 3.338 3.292 3.240 3.177 3.103 3.013 2.906 2.777 2.625 2.449 2.252 2.040 1.818 1.596 1.382 8.28.4 4.365 3.492 3.468 3.442 3.412 3.379 3.340 3.296 3.244 3.183 3.111 3.023 2.919 2.794 2.646 2.475 2.282 2.073 1.854 1.632 1.418 8.48.6 4.371 3.492 3.469 3.443 3.414 3.381 3.343 3.300 3.249 3.189 3.118 3.033 2.932 2.810 2.666 2.499 2.310 2.104 1.888 1.667 1.452 8.68.8 4.377 3.493 3.470 3.444 3.416 3.383 3.346 3.303 3.253 3.195 3.125 3.042 2.943 2.825 2.685 2.522 2.337 2.135 1.921 1.702 1.486 8.89.0 4.382 3.494 3.471 3.445 3.417 3.385 3.348 3.306 3.257 3.200 3.132 3.051 2.955 2.839 2.703 2.544 2.363 2.164 1.953 1.736 1.520 9.09.2 4.388 3.495 3.472 3.447 3.418 3.387 3.351 3.309 3.261 3.205 3.138 3.059 2.965 2.853 2.720 2.565 2.388 2.192 1.984 1.768 1.553 9.29.4 4.393 3.495 3.473 3.448 3.420 3.388 3.353 3.312 3.265 3.209 3.144 3.067 2.975 2.866 2.736 2.585 2.411 2.219 2.014 1.800 1.586 9.49.6 4.398 3.496 3.473 3.449 3.421 3.390 3.355 3.315 3.268 3.214 3.150 3.075 2.985 2.878 2.752 2.604 2.434 2.245 2.042 1.831 1.617 9.69.8 4.403 3.496 3.474 3.450 3.422 3.392 3.357 3.317 3.272 3.218 3.156 3.082 2.994 2.890 2.766 2.622 2.456 2.271 2.070 1.861 1.648 9.810.0 4.408 3.497 3.475 3.451 3.424 3.393 3.359 3.320 3.275 3.222 3.161 3.088 3.003 2.901 2.780 2.639 2.476 2.295 2.097 1.890 1.679 10.010.2 3.425 3.395 3.361 3.322 3.278 3.226 3.166 3.095 3.011 2.911 2.793 2.655 2.496 2.318 2.123 1.918 1.708 10.210.4 3.396 3.363 3.325 3.281 3.230 3.171 3.101 3.019 2.921 2.806 2.671 2.515 2.340 2.148 1.945 1.737 10.410.6 3.364 3.327 3.283 3.233 3.175 3.107 3.026 2.930 2.818 2.686 2.533 2.361 2.172 1.972 1.765 10.610.8 3.329 3.286 3.237 3.179 3.112 3.033 2.940 2.829 2.700 2.551 2.382 2.196 1.998 1.793 10.811.0 3.289 3.240 3.184 3.118 3.040 2.948 2.840 2.714 2.567 2.401 2.218 2.023 1.819 11.011.2 3.243 3.188 3.123 3.046 2.956 2.851 2.727 2.583 2.420 2.240 2.047 1.845 11.211.4 3.191 3.128 3.053 2.964 2.861 2.739 2.598 2.438 2.261 2.070 1.870 11.411.6 3.195 3.132 3.058 2.972 2.870 2.751 2.613 2.456 2.281 2.093 1.895 11.611.8 3.137 3.064 2.979 2.879 2.762 2.627 2.473 2.301 2.115 1.919 11.812.0 3.141 3.070 2.986 2.888 2.773 2.641 2.489 2.320 2.136 1.942 12.012.2 3.075 2.993 2.896 2.784 2.653 2.505 2.338 2.157 1.965 12.2

Sesgo 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0

Tabla 1b de PearsonCurtosis Sesgo Curtosis

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0-1.4 1.512 1.584 1.632 1.655 1.653 1.626 1.579 1.516 -1.4-1.2 1.727 1.813 1.871 1.899 1.895 1.861 1.803 1.726 1.636 -1.2-1.0 1.966 2.065 2.134 2.170 2.169 2.131 2.061 1.966 1.856 -1.0-0.8 2.210 2.320 2.400 2.446 2.454 2.422 2.349 2.241 2.108 1.965 1.822 -0.8-0.6 2.442 2.560 2.648 2.704 2.726 2.708 2.646 2.540 2.395 2.225 2.062 1.885 -0.6-0.4 2.653 2.774 2.869 2.934 2.969 2.968 2.926 2.837 2.699 2.518 2.314 2.114 1.928 -0.4-0.2 2.839 2.961 3.060 3.133 3.179 3.194 3.173 3.109 2.993 2.824 2.608 2.373 2.152 1.952 -0.20.0 3.000 3.123 3.224 3.303 3.358 3.387 3.385 3.345 3.259 3.116 2.914 2.665 2.405 2.169 1.960 0.00.2 3.140 3.261 3.364 3.447 3.510 3.550 3.564 3.546 3.488 3.378 3.206 2.970 2.690 2.412 2.167 0.20.4 3.261 3.381 3.484 3.570 3.639 3.688 3.715 3.715 3.681 3.603 3.468 3.264 2.993 2.687 2.398 2.149 0.40.6 3.366 3.485 3.588 3.676 3.749 3.805 3.843 3.858 3.844 3.793 3.693 3.529 3.290 2.984 2.658 2.366 2.119 0.60.8 3.458 3.575 3.678 3.768 3.844 3.905 3.951 3.978 3.961 3.953 3.883 3.758 3.561 3.283 2.945 2.609 2.322 0.81.0 3.539 3.654 3.757 3.847 3.926 3.991 4.044 4.080 4.096 4.087 4.043 3.952 3.797 3.561 3.243 2.881 2.547 2.269 1.01.2 3.611 3.724 3.826 3.917 3.997 4.066 4.124 4.167 4.194 4.208 4.177 4.115 3.998 3.808 3.529 3.172 2.798 2.476 1.21.4 3.674 3.786 3.887 3.978 4.060 4.131 4.193 4.243 4.278 4.296 4.290 4.252 4.168 4.020 3.789 3.463 3.075 2.705 2.399 1.41.6 3.731 3.842 3.942 4.033 4.115 4.189 4.253 4.308 4.351 4.378 4.386 4.367 4.311 4.200 4.015 3.736 3.364 2.961 2.609 1.61.8 3.782 3.891 3.990 4.081 4.164 4.239 4.307 4.365 4.414 4.449 4.468 4.472 4.431 4.352 4.209 3.979 3.646 3.238 2.840 2.511 1.82.0 3.828 3.936 4.034 4.125 4.208 4.285 4.354 4.416 4.468 4.511 4.539 4.549 4.532 4.479 4.372 4.189 3.907 3.522 3.095 2.719 2.02.2 3.870 3.976 4.073 4.164 4.248 4.325 4.396 4.460 4.517 4.564 4.600 4.620 4.619 4.587 4.510 4.369 4.137 3.796 3.370 2.949 2.603 2.22.4 4.908 4.013 4.109 4.199 4.283 4.361 4.433 4.500 4.559 4.611 4.653 4.682 4.693 4.678 4.627 4.521 4.336 4.047 3.648 3.201 2.808 2.42.6 3.943 4.046 4.142 4.231 4.315 4.394 4.467 4.535 4.597 4.653 4.700 4.736 4.757 4.756 4.725 4.649 4.506 4.269 3.916 3.471 3.033 2.62.8 3.975 4.077 4.172 4.261 4.344 4.423 4.498 4.567 4.631 4.690 4.741 4.783 4.812 4.824 4.809 4.758 4.650 4.460 4.160 3.745 3.280 2.83.0 4.004 4.105 4.199 4.287 4.371 4.450 4.525 4.596 4.662 4.723 4.777 4.824 4.860 4.882 4.881 4.850 4.771 4.623 4.376 4.007 3.544 3.03.2 4.031 4.131 4.224 4.312 4.396 4.475 4.550 4.622 4.689 4.752 4.810 4.861 4.903 4.932 4.944 4.929 4.875 4.762 4.563 4.347 3.813 3.23.4 4.056 4.155 4.247 4.335 4.418 4.498 4.573 4.645 4.714 4.779 4.839 4.893 4.940 4.976 4.997 4.996 4.963 4.880 4.723 4.461 4.072 3.43.6 4.079 4.177 4.269 4.356 4.439 4.518 4.594 4.667 4.737 4.803 4.865 4.922 4.973 5.015 5.044 5.055 5.038 4.980 4.859 4.647 4.311 3.63.8 4.101 4.197 4.288 4.375 4.458 4.537 4.614 4.687 4.757 4.825 4.888 4.948 5.002 5.049 5.085 5.106 5.103 5.066 4.976 4.806 4.524 3.84.0 4.121 4.217 4.307 4.393 4.476 4.555 4.631 4.705 4.776 4.845 4.910 4.972 5.029 5.080 5.122 5.150 5.159 5.139 5.075 4.943 4.712 4.04.2 4.140 4.234 4.324 4.410 4.492 4.571 4.648 4.722 4.794 4.863 4.929 4.993 5.052 5.107 5.153 5.189 5.208 5.202 5.159 5.059 4.873 4.24.4 4.157 4.251 4.340 4.425 4.508 4.587 4.663 4.737 4.809 4.879 4.947 5.012 5.074 5.131 5.181 5.223 5.250 5.257 5.232 5.159 5.012 4.44.6 4.174 4.267 4.355 4.400 4.522 4.601 4.677 4.752 4.824 4.895 4.963 5.029 5.093 5.152 5.207 5.253 5.288 5.305 5.295 5.244 5.131 4.64.8 4.189 4.281 4.369 4.454 4.535 4.614 4.691 4.765 4.838 4.909 4.978 5.045 5.110 5.172 5.229 5.280 5.321 5.346 5.349 5.318 5.233 4.85.0 4.204 4.295 4.383 4.467 4.548 4.627 4.703 4.778 4.851 4.922 4.992 5.060 5.126 5.190 5.249 5.303 5.350 5.383 5.396 5.381 5.320 5.05.2 4.218 4.308 4.395 4.479 4.560 4.638 4.715 4.789 4.862 4.934 5.004 5.073 5.141 5.206 5.267 5.325 5.376 5.415 5.437 5.436 5.395 5.25.4 4.231 4.321 4.407 4.090 4.571 4.649 4.725 4.800 4.873 4.945 5.016 5.086 5.154 5.220 5.284 5.344 5.399 5.443 5.474 5.483 5.460 5.45.6 4.243 4.332 4.418 4.501 4.581 4.659 4.736 4.810 4.884 4.956 5.027 5.097 5.166 5.233 5.299 5.361 5.418 5.468 5.505 5.525 5.516 5.65.8 4.255 4.343 4.429 4.511 4.591 4.669 4.745 4.820 4.893 4.966 5.037 5.108 5.177 5.246 5.312 5.376 5.436 5.491 5.533 5.571 5.565 5.86.0 4.266 4.354 4.439 4.521 4.600 4.678 4.754 4.829 4.902 4.975 5.046 5.117 5.188 5.257 5.325 5.390 5.452 5.511 5.558 5.593 5.608 6.06.2 4.276 4.364 4.448 4.530 4.609 4.695 4.763 4.837 4.911 4.983 5.055 5.126 5.197 5.267 5.336 5.403 5.467 5.529 5.581 5.621 5.645 6.26.4 4.286 4.373 4.457 4.538 4.618 4.703 4.771 4.845 4.919 4.991 5.063 5.135 5.206 5.276 5.346 5.440 5.480 5.542 5.600 5.646 5.678 6.46.6 4.296 4.382 4.466 4.547 4.626 4.710 4.778 4.853 4.926 4.999 5.071 5.143 5.214 5.285 5.356 5.425 5.492 5.557 5.618 5.669 5.706 6.66.8 4.305 4.391 4.474 4.554 4.633 4.717 4.785 4.860 4.933 5.006 5.078 5.150 5.222 5.293 5.364 5.434 5.503 5.569 5.634 5.688 5.732 6.87.0 4.313 4.399 4.481 4.562 4.640 4.724 4.792 4.867 4.940 5.013 5.085 5.157 5.229 5.301 5.372 5.443 5.513 5.581 5.648 5.706 5.754 7.07.2 4.322 4.406 4.489 4.569 4.647 4.730 4.799 4.873 4.946 5.019 5.091 5.164 5.236 5.308 5.380 5.451 5.522 5.591 5.658 5.722 5.775 7.27.4 4.330 4.414 4.496 4.576 4.654 4.736 4.805 4.879 4.952 5.025 5.097 5.170 5.242 5.314 5.387 5.459 5.530 5.601 5.669 5.736 5.792 7.47.6 4.337 4.421 4.503 4.582 4.660 4.742 4.811 4.885 4.958 5.031 5.103 5.175 5.248 5.320 5.393 5.466 5.538 5.609 5.679 5.749 5.808 7.67.8 4.344 4.428 4.509 4.588 4.666 4.747 4.817 4.890 4.963 5.036 5.109 5.181 5.253 5.326 5.399 5.472 5.545 5.617 5.688 5.760 5.823 7.88.0 4.351 4.434 4.515 4.594 4.672 4.753 4.822 4.896 4.969 5.041 5.114 5.186 5.259 5.331 5.404 5.478 5.551 5.624 5.696 5.771 5.836 8.08.2 4.358 4.441 4.521 4.600 4.677 4.758 4.827 4.901 4.974 5.046 5.118 5.191 5.263 5.336 5.410 5.483 5.557 5.631 5.704 5.775 5.847 8.28.4 4.365 4.447 4.527 4.605 4.682 4.762 4.832 4.905 4.978 5.051 5.123 5.195 5.268 5.341 5.414 5.488 5.562 5.637 5.710 5.783 5.858 8.48.6 4.371 4.452 4.532 4.611 4.687 4.767 4.837 4.910 4.983 5.055 5.127 5.200 5.272 5.345 5.419 5.493 5.567 5.642 5.717 5.790 5.867 8.68.8 4.377 4.458 4.538 4.616 4.692 4.772 4.841 4.914 4.987 5.059 5.132 5.204 5.276 5.349 5.423 5.497 5.572 5.647 5.722 5.797 5.875 8.89.0 4.382 4.463 4.543 4.621 4.697 4.776 4.845 4.918 4.991 5.063 5.135 5.208 5.280 5.353 5.427 5.501 5.576 5.652 5.727 5.803 5.883 9.09.2 4.388 4.468 4.548 4.625 4.701 4.780 4.850 4.923 4.995 5.067 5.139 5.211 5.284 5.357 5.431 5.505 5.580 5.656 5.732 5.808 5.883 9.29.4 4.393 4.473 4.552 4.630 4.705 4.784 4.854 4.926 4.999 5.071 5.143 5.215 5.287 5.361 5.434 5.509 5.584 5.660 5.736 5.813 5.889 9.49.6 4.398 4.478 4.557 4.634 4.710 4.788 4.857 4.930 5.002 5.074 5.146 5.218 5.291 5.364 5.437 5.512 5.587 5.663 5.740 5.817 5.894 9.69.8 4.403 4.483 4.561 4.638 4.714 4.791 4.861 4.934 5.006 5.078 5.149 5.222 5.294 5.367 5.440 5.515 5.590 5.667 5.744 5.821 5.898 9.810.0 4.408 4.487 4.565 4.642 4.717 4.795 4.865 4.937 5.009 5.081 5.156 5.225 5.297 5.370 5.443 5.518 5.593 5.670 5.747 5.825 5.903 10.010.2 4.721 4.798 4.868 4.940 5.012 5.084 5.156 5.228 5.300 5.373 5.446 5.521 5.596 5.673 5.750 5.828 5.906 10.210.4 4.871 4.943 5.015 5.087 5.158 5.230 5.303 5.375 5.449 5.523 5.599 5.675 5.753 5.831 5.910 10.410.6 4.874 4.947 5.018 5.090 5.161 5.233 5.305 5.378 5.451 5.526 5.601 5.678 5.755 5.834 5.913 10.610.8 4.949 5.021 5.092 5.164 5.236 5.308 5.300 5.454 5.528 5.603 5.680 5.757 5.836 5.915 10.811.0 5.024 5.095 5.166 5.238 5.310 5.383 5.456 5.530 5.605 5.682 5.760 5.838 5.918 11.011.2 5.098 5.169 5.240 5.312 5.385 5.458 5.532 5.607 5.684 5.762 5.840 5.920 11.211.4 5.171 5.243 5.314 5.387 5.460 5.534 5.609 5.686 5.763 5.842 5.922 11.411.6 5.173 5.245 5.316 5.389 5.462 5.536 5.611 5.687 5.765 5.844 5.924 11.611.8 5.247 5.318 5.391 5.464 5.538 5.613 5.689 5.767 5.845 5.925 11.812.0 5.249 5.320 5.393 5.465 5.539 5.614 5.690 5.760 5.847 5.927 12.012.2 5.322 5.394 5.467 5.500 5.616 5.692 5.769 5.848 5.928 12.2

Sesgo 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0

Tabla 2 de PearsonCurtosis Sesgo Curtosis

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0-1.4 0.000 0.053 0.111 0.184 0.282 0.424 0.627 0.754 -1.4-1.2 0.000 0.039 0.082 0.132 0.196 0.284 0.412 0.591 0.527 -1.2-1.0 0.000 0.031 0.065 0.103 0.151 0.212 0.297 0.419 0.586 -1.0-0.8 0.000 0.026 0.054 0.085 0.123 0.169 0.231 0.317 0.439 0.598 0.681 -0.8-0.6 0.000 0.023 0.047 0.073 0.104 0.142 0.190 0.254 0.343 0.468 0.616 0.653 -0.6-0.4 0.000 0.020 0.041 0.064 0.091 0.122 0.161 0.212 0.280 0.375 0.504 0.633 0.616 -0.4-0.2 0.000 0.018 0.037 0.058 0.081 0.108 0.141 0.183 0.237 0.311 0.413 0.542 0.638 0.574 -0.20.0 0.000 0.017 0.034 0.053 0.073 0.097 0.126 0.161 0.206 0.266 0.347 0.456 0.579 0.621 0.531 0.00.2 0.000 0.015 0.032 0.049 0.068 0.089 0.114 0.145 0.183 0.233 0.299 0.388 0.501 0.605 0.582 0.20.4 0.000 0.014 0.029 0.045 0.063 0.082 0.105 0.132 0.165 0.208 0.263 0.336 0.433 0.545 0.607 0.536 0.40.6 0.000 0.013 0.028 0.043 0.059 0.077 0.097 0.122 0.151 0.188 0.235 0.297 0.379 0.481 0.579 0.579 0.589 0.60.8 0.000 0.013 0.026 0.040 0.055 0.072 0.091 0.113 0.140 0.172 0.213 0.266 0.336 0.425 0.527 0.590 0.533 0.81.0 0.000 0.012 0.025 0.038 0.053 0.068 0.086 0.106 0.130 0.159 0.196 0.242 0.301 0.379 0.474 0.563 0.569 0.484 1.01.2 0.000 0.011 0.024 0.036 0.050 0.065 0.082 0.100 0.122 0.148 0.181 0.222 0.274 0.341 0.426 0.520 0.576 0.524 1.21.4 0.000 0.011 0.023 0.035 0.048 0.062 0.078 0.095 0.116 0.140 0.169 0.206 0.252 0.310 0.385 0.474 0.554 0.555 0.475 1.41.6 0.000 0.010 0.022 0.034 0.046 0.060 0.075 0.091 0.110 0.132 0.159 0.192 0.233 0.285 0.351 0.432 0.518 0.564 0.510 1.61.8 0.000 0.010 0.021 0.032 0.044 0.057 0.072 0.087 0.105 0.126 0.151 0.180 0.217 0.264 0.323 0.396 0.480 0.549 0.540 0.461 1.82.0 0.000 0.009 0.020 0.031 0.043 0.065 0.069 0.084 0.101 0.120 0.143 0.171 0.204 0.246 0.299 0.365 0.443 0.521 0.552 0.494 2.02.2 0.000 0.009 0.020 0.030 0.042 0.054 0.067 0.081 0.097 0.115 0.137 0.162 0.193 0.231 0.279 0.338 0.410 0.488 0.544 0.522 0.445 2.22.4 0.000 0.009 0.019 0.029 0.040 0.052 0.065 0.078 0.094 0.111 0.131 0.155 0.183 0.218 0.261 0.315 0.381 0.456 0.524 0.538 0.475 2.42.6 0.000 0.008 0.018 0.029 0.039 0.051 0.063 0.076 0.091 0.107 0.126 0.148 0.175 0.207 0.246 0.295 0.355 0.426 0.498 0.539 0.503 2.62.8 0.000 0.008 0.018 0.028 0.038 0.049 0.061 0.074 0.080 0.104 0.122 0.143 0.167 0.197 0.233 0.278 0.333 0.398 0.470 0.526 0.522 2.83.0 0.000 0.008 0.017 0.027 0.037 0.048 0.059 0.072 0.085 0.101 0.118 0.138 0.161 0.189 0.222 0.263 0.313 0.374 0.443 0.506 0.530 3.03.2 0.000 0.008 0.017 0.027 0.037 0.047 0.058 0.070 0.083 0.098 0.114 0.033 0.155 0.181 0.212 0.250 0.296 0.352 0.417 0.483 0.525 3.23.4 0.000 0.008 0.017 0.026 0.036 0.046 0.057 0.068 0.081 0.095 0.111 0.129 0.150 0.174 0.203 0.239 0.281 0.333 0.394 0.460 0.513 3.43.6 0.000 0.007 0.016 0.025 0.035 0.045 0.056 0.067 0.079 0.093 0.108 0.125 0.145 0.168 0.196 0.228 0.268 0.316 0.373 0.437 0.495 3.63.8 0.000 0.007 0.016 0.025 0.034 0.044 0.054 0.066 0.078 0.091 0.105 0.122 0.141 0.163 0.188 0.219 0.256 0.301 0.354 0.415 0.475 3.84.0 0.000 0.007 0.015 0.025 0.034 0.043 0.053 0.064 0.076 0.089 0.103 0.119 0.137 0.158 0.182 0.211 0.246 0.288 0.337 0.395 0.495 4.04.2 0.000 0.007 0.015 0.024 0.033 0.043 0.053 0.063 0.075 0.087 0.101 0.116 0.133 0.153 0.176 0.204 0.236 0.276 0.322 0.376 0.435 4.24.4 0.000 0.007 0.015 0.024 0.033 0.042 0.052 0.062 0.073 0.085 0.099 0.113 0.130 0.149 0.171 0.197 0.228 0.265 0.308 0.359 0.416 4.44.6 0.000 0.007 0.015 0.023 0.032 0.041 0.051 0.061 0.072 0.084 0.097 0.111 0.127 0.145 0.167 0.191 0.220 0.255 0.296 0.344 0.399 4.64.8 0.000 0.006 0.015 0.023 0.032 0.041 0.050 0.060 0.071 0.082 0.095 0.109 0.124 0.142 0.162 0.186 0.213 0.246 0.285 0.330 0.382 4.85.0 0.000 0.006 0.014 0.023 0.031 0.040 0.049 0.059 0.070 0.081 0.093 0.107 0.122 0.139 0.158 0.181 0.207 0.238 0.274 0.317 0.367 5.05.2 0.000 0.006 0.014 0.022 0.031 0.040 0.049 0.058 0.069 0.080 0.092 0.105 0.119 0.136 0.155 0.176 0.201 0.231 0.265 0.306 0.353 5.25.4 0.000 0.006 0.014 0.022 0.030 0.039 0.048 0.057 0.068 0.078 0.090 0.103 0.117 0.133 0.151 0.172 0.196 0.224 0.257 0.295 0.340 5.45.6 0.000 0.006 0.014 0.022 0.030 0.039 0.047 0.057 0.067 0.077 0.089 0.101 0.115 0.131 0.148 0.168 0.191 0.218 0.249 0.285 0.328 5.65.8 0.000 0.006 0.014 0.022 0.030 0.038 0.047 0.056 0.066 0.076 0.087 0.100 0.113 0.128 0.145 0.164 0.186 0.212 0.242 0.277 0.317 5.86.0 0.000 0.006 0.014 0.021 0.029 0.038 0.046 0.055 0.065 0.075 0.086 0.098 0.111 0.126 0.142 0.161 0.182 0.207 0.235 0.268 0.307 6.06.2 0.000 0.006 0.013 0.021 0.029 0.037 0.046 0.055 0.064 0.074 0.085 0.097 0.110 0.124 0.140 0.158 0.178 0.202 0.229 0.261 0.298 6.26.4 0.000 0.006 0.013 0.021 0.029 0.037 0.045 0.054 0.063 0.073 0.084 0.096 0.108 0.122 0.137 0.155 0.175 0.197 0.223 0.254 0.289 6.46.6 0.000 0.006 0.013 0.021 0.028 0.037 0.045 0.054 0.063 0.073 0.083 0.094 0.107 0.120 0.135 0.152 0.171 0.193 0.218 0.247 0.281 6.66.8 0.000 0.006 0.013 0.021 0.028 0.036 0.044 0.053 0.062 0.072 0.082 0.093 0.105 0.118 0.133 0.150 0.168 0.189 0.213 0.241 0.273 6.87.0 0.000 0.005 0.013 0.020 0.028 0.036 0.044 0.053 0.061 0.071 0.081 0.092 0.104 0.117 0.131 0.147 0.165 0.185 0.209 0.236 0.267 7.07.2 0.000 0.005 0.013 0.020 0.028 0.036 0.044 0.052 0.061 0.070 0.080 0.091 0.103 0.115 0.129 0.145 0.162 0.182 0.205 0.230 0.260 7.27.4 0.000 0.005 0.013 0.020 0.027 0.035 0.043 0.052 0.060 0.070 0.079 0.090 0.101 0.114 0.128 0.143 0.160 0.179 0.201 0.226 0.254 7.47.6 0.000 0.005 0.012 0.020 0.027 0.035 0.043 0.051 0.060 0.069 0.079 0.089 0.100 0.113 0.126 0.141 0.157 0.176 0.197 0.221 0.249 7.67.8 0.000 0.005 0.012 0.020 0.027 0.035 0.043 0.051 0.059 0.068 0.078 0.088 0.099 0.111 0.124 0.139 0.155 0.173 0.193 0.217 0.243 7.88.0 0.000 0.005 0.012 0.019 0.027 0.034 0.042 0.050 0.059 0.068 0.077 0.087 0.098 0.110 0.123 0.137 0.153 0.170 0.190 0.213 0.238 8.08.2 0.000 0.005 0.012 0.019 0.027 0.034 0.042 0.050 0.058 0.067 0.076 0.086 0.097 0.109 0.121 0.135 0.151 0.168 0.187 0.209 0.234 8.28.4 0.000 0.005 0.012 0.019 0.260 0.034 0.042 0.050 0.058 0.067 0.076 0.086 0.096 0.108 0.120 0.134 0.149 0.165 0.184 0.205 0.229 8.48.6 0.000 0.005 0.012 0.019 0.026 0.034 0.041 0.049 0.057 0.066 0.075 0.085 0.095 0.107 0.119 0.132 0.147 0.163 0.181 0.202 0.225 8.68.8 0.000 0.005 0.012 0.019 0.026 0.033 0.041 0.049 0.057 0.066 0.075 0.084 0.094 0.106 0.118 0.131 0.145 0.161 0.179 0.199 0.221 8.89.0 0.000 0.005 0.012 0.019 0.026 0.033 0.041 0.049 0.057 0.065 0.074 0.084 0.094 0.105 0.116 0.129 0.143 0.159 0.176 0.196 0.218 9.09.2 0.000 0.005 0.012 0.019 0.026 0.033 0.040 0.048 0.056 0.065 0.073 0.083 0.093 0.104 0.115 0.128 0.142 0.157 0.174 0.193 0.214 9.29.4 0.000 0.005 0.012 0.019 0.026 0.033 0.040 0.048 0.056 0.064 0.073 0.082 0.092 0.103 0.114 0.127 0.140 0.155 0.172 0.190 0.211 9.49.6 0.000 0.005 0.012 0.019 0.025 0.033 0.040 0.048 0.055 0.064 0.072 0.082 0.091 0.102 0.113 0.125 0.139 0.153 0.170 0.188 0.208 9.69.8 0.000 0.005 0.012 0.018 0.025 0.032 0.040 0.047 0.055 0.063 0.072 0.081 0.091 0.101 0.112 0.124 0.137 0.152 0.168 0.185 0.205 9.8

10.0 0.000 0.005 0.011 0.018 0.025 0.032 0.040 0.047 0.055 0.063 0.071 0.080 0.090 0.100 0.111 0.123 0.136 0.150 0.166 0.183 0.202 10.010.2 0.000 0.032 0.039 0.047 0.054 0.063 0.071 0.080 0.089 0.099 0.110 0.122 0.135 0.149 0.164 0.181 0.200 10.210.4 0.000 0.032 0.039 0.047 0.054 0.062 0.071 0.079 0.089 0.099 0.109 0.121 0.133 0.147 0.162 0.179 0.197 10.410.6 0.000 0.039 0.046 0.054 0.062 0.070 0.079 0.088 0.098 0.109 0.120 0.132 0.146 0.160 0.177 0.195 10.610.8 0.000 0.046 0.054 0.061 0.070 0.078 0.088 0.097 0.108 0.119 0.131 0.144 0.159 0.175 0.192 10.811.0 0.000 0.053 0.061 0.069 0.078 0.087 0.097 0.107 0.118 0.130 0.143 0.157 0.173 0.190 11.011.2 0.000 0.061 0.069 0.078 0.087 0.096 0.106 0.117 0.129 0.142 0.156 0.171 0.188 11.211.4 0.000 0.069 0.077 0.086 0.095 0.105 0.116 0.128 0.141 0.154 0.169 0.186 11.411.6 0.000 0.068 0.077 0.086 0.095 0.104 0.116 0.127 0.139 0.153 0.168 0.184 11.611.8 0.000 0.076 0.085 0.094 0.104 0.115 0.126 0.138 0.152 0.166 0.182 11.812.0 0.000 0.076 0.085 0.094 0.104 0.114 0.125 0.137 0.150 0.165 0.181 12.012.2 0.000 0.084 0.093 0.103 0.113 0.124 0.136 0.149 0.163 0.179 12.2

Sesgo 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0

Procedimiento : Obtener el índice de capacidad potencial de proceso a

corto plazo (Cp) y el índice de capacidad real de proceso aen el largo plazo (Ppk).

Calcular el índice de desempeño potencial de proceso (Zcp).

Zst = 3 Cp (P/especif. Bilaterales) Zst = 3 Cpk (P/especif. Unilaterales)

Calcular el índice de desempeño real de proceso (Zlp): Zlt = 3 Ppk

Calcule el índice de desempeño entre grupos (Zshift): Zshift = Zst - Zlt

Índices de desemepeño

Índices de desempeño Analice la información; se consideran como

valores aceptables los siguientes: Zlt > 3 ; Zst > 4 ; Zshift < 1.5

Zst4.0 6.0

Zshi

ft

2.00.00.0

1.0

2.0

3.0

Zlp =

4Zlp

=5Zlp

=3

Zlp =

2

Zlp =

1

Zlp =

0Zlp =

-1

Cont

rol

Capacidad/Diseño/TecnologíaZst

4.0 6.0

Zshi

ft

2.00.00.0

1.0

2.0

3.0

Cont

rol

Capacidad/Diseño/Tecnología

Buen

oM

alo

Malo Bueno

Estado deseado

Pobre control

Pobre capacidad

Pobre control y pobre capacidad

606

Capacidad de procesos bajo Seis Sigma

607

Capacidad de procesos bajo Seis Sigma

Motorola notó que muchas operaciones en productos complejos tendían a desplazarse 1.5 sobre el tiempo, por tanto un proceso de 6 a la larga tendrá 4.5 hacia uno de los límites de especificación, generando 3.4 DPMOs (defectos por millón de oportunidades)

608

Variación a Corto Plazo (periodo durante el cual no se presenta ningún cambio en el proceso)Zst = Zlt + 1.5

Variación a largo plazo (periodo en el cual ya se han presentado todos los cambios posibles en el proceso) - Zlt

Variación Global - Zbench.

609

DNOSAJJMAMFEDNOSAJJMAMFE

3.5

Salida

Mes

Variabilidad Total

(Natural)

Variabilidad “entre subgrupos”

Variabilidad combinada“dentro del subgrupo”+=

2.5

1.5

LIE

Capacidad a Largo Plazo

LSE

Capacidad a Corto Plazo

Capacidad en el corto y largo plazo

610

Rendimiento de la capacidad realRecibo de partes del proveedor

45,000 Unidades

desperdiciadas

51,876 Unidades

desperdiciadas

Correcto la primera

vez

Después de la inspección de recepción

De las operaciones de Maquinado

En los puestos de prueba - 1er intento

125,526 unidades desperdiciadaspor millón de oportunidades

28,650 Unidades

desperdiciadas

95.5% de rendimiento

97% de rendimiento

94.4% de

rendimiento

YRT = .955*.97*.944 = 87.4%

1,000,000 unidades

611

Ejemplos de defectos / unidad

Determinar DPU en la producción de 100 unidades

DPU = D/U = (20+10+12+4)/100=0.46Si cada unidad tiene 6 oportunidades para defecto

(características A, B, C, D, E y F), calcular DPO y DPMO

DPO = DPU / O = 0.46/6 = 0.078 DPMO = 78,333

Defectos 20 10 12 4Unidade

s70 20 6 4

612

Relaciones de sigmas La probabilidad de uno o más defectos es:

P(d) = 1- Yrt = 1 – FPY o P(d) = 1 – Yrt para varios procesos

Si se tiene FPY = 95% P(d) = 0.05

Entonces la Z a largo plazo se encuentra en tablas como Zlt = 1.645 sigma y por tanto la Zst a corto plazo es:

Zst = 1.645 + 1.5 (corrimiento) = 3.145

613

¿Como calcular la capacidad Seis Sigma para un proceso (equivale a la Zst de corto plazo)?

¿Qué proceso se considera? Facturación y CxC ¿Cuántas unidades tiene el proceso? 1,283 ¿Cuántas están libres de defectos? 1,138

Calcular el desempeño del proceso 1138/1283=0.887 Calcular la tasa de defectos 1 - 0.887 = 0.113

Determinar el número de oportunidades que pueden ocasionar un defecto (CTQs) 24

Calcular la tasa de defecto por caract. CTQ 0.113 / 24 = .004709

Calcular los defectos x millón de oportunidades DPMO = 4,709

Calcular #sigmas con tabla de conversión de sigma 4.1

614

V.F.5 Capacidad de procesos por atributos

615

Capacidad de proceso para datos por atributos

En este caso la capacidad del proceso es la proporción media de producto no conforme

Para cartas p y np, la capacidad del proceso es la p media de fracción no conforme. Se puede usar 1 – p.

Para cartas c, la capacidad del proceso es el promedio de las no conformidades, c media, para una muestra fija de tamaño n.

Para cartas u, la capacidad del proceso es el promedio de las no conformidades por unidad, u media

616

Planta escondida

$1/Unit $1/Unit $1/Unit $1/Unit 100 100

10Rework Rework Rework Rework

100 100 100

10 10 10

Y1=0.90 Y2=0.90 Y3=0.90 Y3=0.90 100 90 81 73 66

10 9 8 7

617

La eficiencia rolada$1/Unit $1/Unit $1/Unit $1/Unit

100 100

10Reproceso Reproceso Reproceso Reproceso

100 100 100

10 10 10

1 – YRT = Probabilidad de un defecto/unidad = 1 – 0.67 = 0.33 = 33%1 + (1 – YRT) = Numero de unidades equivalentes iniciadas para producir una unidad buena = 1 + (1 - 0.67) = 1.33

YRT = e- DPU = e- (40/100) = e- 0.4 = 0.67 = 67%

Aproximando de Binomial a Poisson :

0.9 x 0.9 x 0.9 x 0.9 = 0.94 = 66/100 = 0.66 = 66%

YRT = pi=1

nYi =

618

Costos de pobre calidad

$1/Unit $1/Unit $1/Unit $1/Unit 100 100

10Rework Rework Rework Rework

100 100 100

10 10 10

Considerando :• No existe scrap ni costos de inventarios• Precio de Ventas = $5.00/Unidad

Por lo tanto :• Como el número de unidades equivalentes iniciadas para producir

una unidad buena = 1.33• Costo de producir una unidad buena = 1.33*$4 = $5.32• Utilidades = $5.00 - $5.32 = -$0.32/Unidad• COPQ = ($5.32-$4.00)/$5.00 = 26.4% de las ventas

619

Eficiencias y DPMOs PPMs

El desempeño de un proceso también puede ser expresado en términos de eficiencia. Las 3 eficiencias más usadas son :

Eficiencia de primer paso (bien a la primera vez), eficiencia final (Yfinal) o “First Time Yield” (YFT)

Eficiencia rolada o “Rolled-Throughput Yield” (YRT)

Eficiencia Normalizada (Ynorm)

620

Eficiencias y DPMOs PPMs Eficiencia de primer paso (bien a la primera

vez), eficiencia final (Yfinal) o “First Time Yield” (YFT)Yfinal = Número de unidades buenas antes de retrabajo

Número de unidades probadas ó evaluadas

621

Eficiencias y DPMOs PPMs Eficiencia rolada o “Rolled-Throughput Yield”

(YRT)Y1=S1/E Y2=S2/S1 Y3=S3/S2 Yn=Sn/Sn-1 ....

. E S1 S2 S3 Sn-1 Sn

Donde : e = 2.71828182845 m = Número de oportunidades por unidad

Para datos continuos : YRT = p

i=1

nYi = Y1 x Y2 x Y3 x....x Yn

Para datos discretos (Aproximación de Binomial a Poisson) :YRT = e-TDPU

YRT = e-(DPO)m

Donde : Y1, Y2, Y3,...., Yn son “first time Yield” de los pasos 1, 2, 3,...,n

622

Eficiencias y DPMOs PPMs

Eficiencia Normalizada (Ynorm)

Ynorm = (YRT)1/k

Cálculo de DPU a partir de la Eficiencia :

DPU = 1 - Y

Eficiencia a partir de PPM’s :Y = 1 – (PPM/1’000,000)

Cálculo de la Eficiencia Normalizada (Ynorm) :

623

V.F.7 Desempeño de proceso vs especificaciones

624

Símbolos utilizadosD = Defectos O = Oportunidades para defectoU = Unidades Yrt = Rendimiento (lo bueno)

Relaciones de defectos:Total de oportunidades = TO = TOP = U x ODefectos por unidad = DPU = D/U = - ln (Y)Defectos por unidad normalizada = -ln (Y norm)Defectos por oportunidad = DPU/O = D/ (U xO)Defectos por millón de oportunidades = DPMO =

DPO x 1 millón

625

Relaciones con el rendimiento Y

La probabilidad de encontrar X defectos con la distribución de Poisson es:

X es un entero y DPU > 0 Para el caso de que X sea cero se tiene

Rendimiento o FRC = P(X=0) = Exp(-DPU)

626

Fórmulas de desempeño

627

Rolled Troughput Yield (Yrt) Yrt es el cálculo acumulativo del índice de

defectos a lo largo de procesos múltiples

La probabilidad de un defecto es 1 – P(Yrt) = 0.05

628

Tablero de control de variable discreta

Se utiliza cuando se va a evaluar el desempeño de un CTQ, pero hay desempeños parciales en el tiempo.

Defina el defecto, la unidad y el número de oportunidades por unidad

Defina que es un corto plazo

Evalúe el desempeño en DPMO y Z del CTQ en varios (k) cortos plazos

629


Evalúe el desempeño en DPMO del largo plazo, considerando lo siguiente

Dlt = S Dsti i = 1

k

TotOplt = S [Ui*(Op/U)i ] i = 1

k

DPMOlt = Dlt .TotOplt* 106

Donde :Dlt = Defectos de largo plazoDst = Defectos de corto plazoU = Número de unidades

Op/U = Oportunidades por unidadTotOp = Total de oportunidades

DPMOlt = Defectos por Millón de Oportunidades k = Número total de características críticas

630


Con los DPMOlt evalúe la Zlt Identifique la Z de corto plazo más pequeña y

ésta será la Zst Calcule la Zshift considerando que :

Zshift = Zst - Zlt

631

Tablero de control de variable continua

Se utiliza cuando se va a evaluar el desempeño de un CTQ, pero hay desempeños parciales en el tiempo.

Determine la variable y los Límites de Especificación

Defina que es un periodo de tiempo

Recolecte datos de cada periodo y calcule la desviación estándar de Corto plazo (Sst) y las PPM’s de cada periodo de tiempo

Calcule la Zst y Zlt de cada periodo de tiempo

632


Calcule la Sst total del CTQ mediante:

Calcule la Zst total del CTQ Calcule los PPM’s totales mediante un

promedio ponderado

g (nj-1) sj

2j=1 (n-g)sst =Donde : n = Número Total de Datos

nj = Número de datos del grupo j

sj = Desviación Estándar del grupo j

g = Número de grupos

633


Con los PPM’s totales obtenga Zlt total del CTQ Calcule la Zshift considerando que :

Donde : PPM = PPM Totales PPMj = PPM’s del periodo i ni = Número de datos del

periodo i N = Número total de datos

PPM = S PPMi niN i = 1

k

634


Con los DPMOlt evalúe la Zlt Identifique la Z de corto plazo más pequeña y

ésta será la Zst Calcule la Zshift considerando que :

Zshift = Zst - Zlt

635

Tablero de control de variable múltiple

Se utiliza cuando se va a evaluar el desempeño de un Producto, Proceso ó Sistema a partir del desempeño de varios CTS’s, CTQ’s ó CTP’s

Defina el Producto, Proceso ó Sistema a evaluar

Identifique los CTS’s, CTQ’s ó CTP’s del Sistema a evaluar

Evalúe de forma individual cada CTS, CTQ ó CTP en términos de DPMOlt

636


• Calcule la eficiencia (Yftlt) de cada CTS, CTQ ó CTP considerando que:

• Evalúe desempeño potencial de cada característica crítica expresado en DPMOst, el cual se puede obtener a partir de la Zst ó los menores DPMO que el proceso ha demostrado generar a corto plazo.

yftlti = 1 –

Donde :yftlti

= Eficiencia de la característica crítica iDPMOlti

= Defectos por Millón de Op. de la caract. i

DPMOlti

106

637


Calcule la eficiencia (yftst) de cada CTS, CTQ ó CTP considerando que :

yftsti = 1 – DPMOsti

106

Calcule las eficiencias roladas (YRT) de Corto (st) y largo plazo (lt) del Producto, Proceso ó Sistema mediante :

YRTlt = P yftlti i = 1

k Donde :YRTlt = Eficiencia rolada total del sistemaYRTst = Eficiencia rolada potencial del sistemayftlti

= Eficiencia de la característica crítica iyftsti

= Eficiencia potencial de la característica crítica i k = Número total de características

YRTst = P yftsti i = 1

k

638


Calcule la Eficiencia Normalizada (ynorm) de corto (st) y largo plazo (lt) :Ynormst

= (YRTst)1/k

Ynormlt = (YRTlt)1/k

En caso de que cada Característica Crítica tenga un diferente nivel de importancia, entonces la Eficiencia Normalizada se puede obtener ponderando las eficiencias de cada Característica usando la siguiente fórmula :

Ynorm = (d1I1) x (d2

I2) x … x (dnIn)

(1/SIi)

I es la importancia. La característica crítica con mayor valor de I es ponderado con mayor peso al calcular el valor total compuesto Y

639


• Calcule los DPMO totales del sistema mediante:

• Con los DPMOst obtenga la Zst, con los DPMOlt obtenga la Zlt

Calcule la Zshift del sistema mediante :

DPMOst = (1 – Ynormst)*106 DPMOlt = (1 – Ynormlt

)*106

Zshift = Zst - Zlt

Documents

P rograma de certificación de Black Belts