O

P(x, y)

y

x

rrrrrrr r r r

rrrPQ 由 2 2( ) ( )x yh k r ，

1 122 2( ) ( )x yQ h kA r 則

一、圓的標準式一、圓的標準式1. 圓的意義：平面上與定點 ( 圓心 ) 的距離是定值 ( 半徑 ) 的

所有點所成的圖形稱為圓。

2. 圓的標準式：以 Q(h k) 為圓心， r 為半徑的圓方程式為(xh)2 + (yk)2 = r2 。

證明：若 P(x y) 是圓 C 上任意一點，

因此圓上的點 P(x y) 都滿足方程式(xh)2 + (yk)2 = r2 。

反之，若點 A(A(xx1 1 yy11)) 滿足方程式 (xxh)2 + (yyk)2 = r2 。

即所有滿足方程式的點 AA 到 Q 的距離都等於 r 。因此， (xh)2 + (yk)2 = r2 即為圓 C 的方程式。稱之為圓 C 的標準式。

Q(h, k)

= r 。

本段結束本段結束

2 半徑為 倍

2 所求圓半徑為 。

3. 範例： (1) 求圓心為點 (2, 3) ，半徑為 4 的圓方程式。

(2) 設圓 C ： (x3)2 + (y+1)2 = 1 ，求與圓 C 有相同的圓心且面積為圓 C 面積 2 倍的圓方程式。

解： (1) 圓心 (2 3) ，半徑 4 (x 2)2 + [y (3)]2 = 42

(x2)2 + (y+3)2 = 16 。

(2) 圓 C ： (x3)2 + (y+1)2 = 1 的圓心為 (3 1) ，半徑為 1 ，

圓面積為 22 倍

故所求圓方程式為 (x3)2 + (y+1)2 = 2 。

Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !

馬上練習： (1) 求圓心為點 (0, 0) ，半徑為 1 的圓方程式。

(2) 與圓 C ： (x3)2 + y2 = 16 有相同的圓心，且圓周長為圓 C 一半的圓方程式。

解： (1) 圓心 (0 0) ，半徑 1 (x0)2 + (y0)2 = 12 x2 + y2 = 1 。

(2) 圓 C ： (x3)2 + y2 = 42 的圓心為 (3 0) ，半徑為 4 ，

圓周長為一半一半 半徑為一半一半

所求圓半徑為 22 。

故所求圓方程式為 (x3)2 + y2 = 44 。＃＃

AB求以 為直徑的圓方程式。

AB 的中點即為圓心4 6 9 3

,2 2

(5,6)Q

，

1

2r AB 2 21

(4 6) (9 3)2

QA(4, 9) B(6, 3)

AB求以 為直徑的圓方程式。

AB 的中點即為圓心2 6 3 ( 1)

,2 2

(4,1)Q

，

1

2r AB 2 21

(6 2) ( 1 3)2

4. 範例：設 A(4, 9) ， B(6, 3) ，

解：

故所求圓方程式為 (x5)2 + (y6)2 = 10 。

馬上練習：設 A(2, 3) ， B(6, 1) ，解：

故所求圓方程式為 (x4)2 + (y1)2 = 8 。

QA(2, 3) B(6,

1)

10 ，

2 2 ，

Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !

＃＃

rPQ

PQ r

rPQ

r

Q(h, k)

P

PPP

22(5 2) 1 ( 3) 5r 半徑

2 2(6 2) (0 3)AQ

2 2( 2 2) ( 1 3) 20BQ

2 2 2(0 2) 9(2 3)CQ 點 CC 在圓外。

點 B 在圓內。

點 A 在圓上。

圓： (x2)2 + (y+3)2 = 25 。解：

範例：求以點 Q(2, 3) 為圓心，通過點 P(5, 1) 的圓方程式，並判斷 A(6 0) ， B(2 1) ， C(0 2) 是在圓內、圓外還是圓上。

(3) 點 PP 在圓 C 外部

(2) 點 P 在圓 C 上

(1) 點 P 在圓 C 內部

5. 點與圓的關係：設點 P(x0 , y0) 與圓 C ： (xh)2 + (yk)2 = r2 ，令圓心為 Q ，半徑為 r ，

= 5

< 5

> 5Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !

(1) ( 3, 1)C A k若圓 通過 ，求 的值。

(1) ( 3, 1)C 圓 過2 2( 3) ( 1) k 4k 。

馬上練習：設圓 C ： x2 + y2 = k ，

(2) 若 P(1 2) 在圓 C 內部， Q(3 3) 在圓 C 外部，求 k 的範圍。

解：

(2) P(1 2) 在圓內部 12 + (2)2 < k k > 5 。

QQ((3 3 3 ) 3 ) 在圓外部 ((3)3)22 + 3 + 322 > k k < 1818 。

故 5 < k < 18 。＃＃

6. 範例：自 P(1, 2) 作圓 x2 + y2 4x + 2y 4 = 0 的兩條切線，得切點 A 、 B ，求 PAB 的外接圓方程式。

解： x2 + y2 4x + 2y 4 = 0 (x2)2 + (y+1)2 = 9 ， 令 Q(2 1)

3 1( , )2 2

PQ且 中點 為所求圓的圓心，

1 10

2 2PQ 又半徑 。

2 23 1( ) ( )

2 2

10

4x y 故所求為 ，

注意：若四邊形的對角互補對角互補 圓內接四邊形 ( 四點共圓四點共圓 )

即 x2 + y2 3x y = 0 。

PAQB 四點共圓。因為 PAQ + PBQ = 180

A

Q

B

P

Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !

得切點 P 、 Q ，求 OPQ 的外接圓方程式。馬上練習：自原點 O 作圓 x2 + y2 + 2x 4y + 1 = 0 的兩條切線，

令 C(1 2) (x+1)2 + (y2)2 = 4 ，解： x2 + y2 + 2x 4y + 1 = 0

1( ,1)

2OC 且 中點 為所求圓的圓心，

1 5

2 2OC 又半徑 。

2 21( ) ( 1)

2

5

4x y 故所求為 ，

P

C

Q

O

OPCQ 四點共圓。因為 OPC + OQC = 180

即 x2 + y2 + x 2y = 0 。＃＃

2 1

2 1ABm

3:AB x yL

中垂 線 ，

r yQA 又

2 2(2 ) ( 1)y y y 1 5 y 解 得 或

(2, 1) 1 ( 2, 5) 5Q r Q r ， 或 ， 。

A(1,1)

Q

LL

x

B(2,2)

y

1LAB

中垂 線 的斜率 ，

3 3( , )2 2

BL A 過 中 點

2 2(3 1) ( 1)y yy

2 2( 1) ( 1)x y y ，

注意：圓心到切線的垂直距離等於圓的半徑 r 。

故所求為 (x2)2 + (y1)2 = 1 或 (x+2)2 + (y5)2 = 25 。

7. 範例：求過 A(1, 1) ， B(2, 2) ，且與 x 軸相切的圓方程式。

解：

設圓心 Q(x, y)

= 1

x + y = 3 ，

Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !

r

r

4 ( 2)

3 1ABm

1

3MAB

中垂 線 的斜率 ，

: 3 5MAB x y

中垂線

3 5

2 4

x y

x y

解

22( 1 1) 2 ( 2)r QA 又 半徑

2 2( 1) ( 2) 20x y 故所求為 。

A

Q

B

L( , ) ( 1, 2)Q x y 圓心 ，

(2, 1)ABM 過 中 點

馬上練習：設一圓通過 A(1, 2) ， B(3, 4) ，且圓心

解：

在直線 L ： 2x y + 4 = 0 上，求此圓的方程式。

MM

r

r

20 ，

＃＃

= 3

( )) (S P 時間差 到達時 縱波 波波 波 間橫 到達時間

)) ((S P 震央與測站距離 震

縱波橫波 波央與測站距離

率 波速 速率 。

To be continued To be continued 範 例範 例

8. 地震波：地震發生時會產生兩種波：

(1) 縱波 ( 又稱 P 波 ) ：振動方向與傳播方向一致，傳播速度快。

(2) 橫波 ( 又稱 S 波 ) ：振動方向與傳播方向垂直，傳播速度慢。

由於縱波速度比橫波快，因此地震時先感覺到上下振動，

再感覺到左右搖晃。

觀測站所接收到的第一個訊號為縱波，而後才是橫波，

利用兩者的時間差，可估算出觀測站與震央的距離。

(1) 5 甲的時間差 秒

10乙的時間差 秒

13丙的時間差 秒

5 12 60( )d 甲 公里 ，

10 12 120( )d 乙 公里 ，

13 12 156( )d 丙 公里 ，

4 6

d d 甲 甲

4 6

d d 乙 乙

4 6

d d 丙 丙

12

d 甲

12

d 乙

12

d 丙

To be continued To be continued (2)(2)

範例：設某地震發生時，甲、乙、丙三個測站測得 P 波與 S 波的時間差分別為 5 秒、 10 秒、 13 秒，

若此地區的 P 波速率為 6 ( 公里 / 秒 ) ， S 波速率為 4 ( 公里 / 秒 ) ，(1) 求震央到甲、乙、丙三個測站的距離。

(2) 若坐標平面的 1 單位長為 12 公里，且甲、乙、丙三個測站在坐標平面上的位置分別為 O(0, 0) ， A(3, 12) ， B(8, 16) ，

求震央在坐標平面上的位置。

解：

O(0,0)

B(8,16)

A(3,12)

(3, (3, 4)4)

4 13

11 4 49

x y

x y

3 4x y ， ，

2 2 260( )12

x y

2 2 2120( 3) ( 12) ( )

12x y

2 2 2156( 8) ( 16) ( )

12x y

2 2 25x y 2 2 6 24 53x y x y 2 2 16 32 151x y x y

( )60d 甲 公里 ， 120( )d 乙 公里 ， (6 )15d 丙 公里 。

(2) 若坐標平面的 1 單位長為 12 公里，且甲、乙、丙三個測站在坐標平面上的位置分別為 O(0, 0) ， A(3, 12) ， B(8, 16) ，

求震央在坐標平面上的位置。解：

(2)

故所求為 (3, 4)(3, 4) 。＃＃

展開

半徑為 。

配方

二、圓的一般式二、圓的一般式

1. 圓的一般式：將圓的標準式 (xh)2 + (yk)2 = r2

展開得 x2 + y2 2hx 2ky + h2 + k2 r2 = 0 ，

這是形如 x2 + y2 + dx + ey + f = 0 的方程式，稱之為圓的一般式。

反之，圓的一般式，分別對 x ， y 配方，也可化成標準式。

(3) 若 < 0 ，則圖形中沒有點，即圖形不存在。

(2) 若 = 0 ，則圖形為一點，即點 (h k) 。

(1) 若 > 0 ，則圖形為一圓，圓心為 (h k) ，

即 x2+y2+dx+ey+f=0 ( 一般式 ) (xh)2+(yk)2 = ( 標準式 ) 。

本段結束本段結束

2. 範例：說明下列方程式所代表的圖形。(1) x2 + y2 2x + 6y + 6 = 0 (2) x2 + y2 2x + 6y + 10 = 0

(3) x2 + y2 2x + 6y + 16 = 0 。

解： (1) 利用配方法，得 (x22x+1) + (y2+6y+9) = 6 + 1 + 9 ， (x1)2 + (y+3)2 = 4 ，

其圖形為圓心 (1 (1 3)3) ，半徑為 2 的圓。

(2) 利用配方法，得 (x22x+1) + (y2+6y+9) = 10 + 1 + 9 ， (x1)2 + (y+3)2 = 0 ，

可得 ((x x yy) = (1 ) = (1 3)3) ，其圖形為一點一點 (1 (1 3)3) 。

(3) 利用配方法，得 (x22x+1) + (y2+6y+9) = 16 + 1 + 9 ，

(x1)2 + (y+3)2 = 6 ，此方程式沒有實數解，其圖形不存在。

Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !

馬上練習：試判斷下列方程式所代表的圖形：

(3) x2 + y2 4x + 6y + 17 = 0 。(1) x2 + y2 4x + 6y 12 = 0 (2) x2 + y2 4x + 6y + 13 = 0

解： (1) 利用配方法，得 (x24x+4) + (y2+6y+9) = 12 + 4 + 9 ， (x2)2 + (y+3)2 = 25 ，

其圖形為圓心 (2(2 3)3) ，半徑為 5 的圓。(2) 利用配方法，得 (x24x+4) + (y2+6y+9) = 13 + 4 + 9 ，

可得 ((xx yy)=(2)=(2 33) ，其圖形為一點 一點 (2(2 3)3) 。

(3) 利用配方法，得 (x24x+4) + (y2+6y+9) = 17 + 4 + 9 ，

(x2)2 + (y+3)2 = 4 ，

此方程式沒有實數解，其圖形不存在。

(x2)2 + (y+3)2 = 0 ，

＃＃

( 2,1)C 代入

(1,1)A 代入(1, 1)B 代入

2 2( 2) 1 2 0d e f

2 21 1 0d e f 2 21 ( 1) 0d e f

2 5d e f

2d e f

2d e f

3. 範例：求通過 A(1, 1) ， B(1, 1) ， C(2, 1) 三點的圓方程式。

解：設所求的圓方程式為 x2 + y2 + dx + ey + f = 0

則

解得 d = 1 ， e = 0 ， f = 3 ，

故所求為 x2 + y2 + x 3 = 0 。

Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !

(1,1)

(4,2)

(0,0)

Q

O

P

代

代入代入

則： 入2

2 2

24 2 4 2 0

0

1 1 0

d e f

d e f

f

4 2 0

0

2

2d e

d e

f

。

求其圓心與半徑。馬上練習：設一圓通過 O(0 0) ， P(1 1) ， Q(4 2) 三點，

解：設所求的圓方程式為 x2 + y2 + dx + ey + f = 0

解得 d = 8 ， e = 6 ， f = 0

x2 + y2 8x + 6y = 0 ，

即 (x4)2 + (y+3)2 = 25 ，其圓心 (4 , (4 , 3)3) ，半徑 55 。＃＃

O

Q(2, 1)

y

x

A(0, A(0, 1)1)

4. 範例：已知實數 x ， y 滿足 x2 + y2 4x 2y + 4 = 0 ，求 x2 (y1)2 的最大值。

(x2)2 (y1)2 = 1解： x2 + y2 4x 2y + 4 = 0

x2 (y1)2 即為點 (x y) 與 A(0 A(0 1) 1) 兩點距離的平方平方。

2 1rAQ 為

由右圖可知圓上的點與 A(0 A(0 1) 1) 的最大距離

故所求最大值為 3 2

= 33 ，

Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !

= 9 。3

5 3rAQ 為

Q(2, 1)

A(A(5 5 5) 5)

求 (x+5)2 (y5)2 的最小值。

馬上練習：已知實數 x ， y 滿足 (x+2)2 (y1)2 = 9 ，

解： (x+2)2 (y1)2 = 32

(x+5)2 (y5)2 即為點 (x y) 與 A(A(5 5 5) 5) 兩點距離的平方平方。

由右圖可知圓上的點與 A(A(5 5 5) 5) 的最小距離

= 2 ，

故所求最小值為 2 2= 4 。＃＃

2

2PA PB且 ，

2 PA PB

A B

y

x

PP2 2 22 ( 30 2 )x y x y

5. 範例： A(0 0) ， B(30 0) ，若 P(x y) 為平面上動點，

求所有 P 點所成軌跡的方程式。

故所有 P 點所成的圖形為一圓一圓，圓心 (40 0) ，半徑為 20 。

(x 40)2 y2 = 400 。

x2 + y2 = 4[ (x30)2 + y2 ]

解：

Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !

2PA PB 且 ，

2PA PB

22 22( 3) 3) 2 (x yx y

6 2半徑為 。

A B

y

x

PP

馬上練習：已知 A(3 0) ， B(3 0) ，若 P(x y) 為平面上動點，

求所有 P 點所成軌跡的方程式。

解：

(x+3)2 + y2 = 2[ (x3)2 + y2 ]

(x 9)2 y2 = 72 。

故所有 P 點所成的圖形為一圓一圓，圓心 (9 0) ，

＃＃To be continued To be continued 注 意注 意

PA k PB且 ，則：

AB 的中垂線。

1

2k

kk=3=3

A B

kk=2=21

2k

A B

PPP

P

注意：阿波羅尼斯圓：設 A 、 B 為平面上兩相異點， P 為動點，

(1) 當 k = 1 時，

所有點 P 的圖形為

(2) 當 k k 1 1 時，所有點 P 的圖形為一圓。

例如： k = 2 ， 的情形，k = 3 ，

如右圖所示。

本段結束本段結束

AP BP求所有滿足

AP BP由

2 2 2 2 2 2( 4) ( 9) ( 6) ( 3) ( ) (6 4 3 )9x y x y

A(4, 9)

B(6, 3)

P(x, y)

QQ2 2 2

AP BP AB

6. 範例：設 A(4, 9) ， B(6, 3) ，之 P 點的軌跡方程式。

解：設 P(x y) ，

整理得 x2 + y2 10x 12y + 51 = 0 。

故所求軌跡為一圓： x2 + y2 10x 12y + 51 = 0 ，其中 P A 、 B 。

Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !

AP BP求所有滿足

AP BP由

2 2 2 2 2 2( 2) ( 3) ( 5) ( ( 1)) ( ) (5 )2 1 3x y x y

A(2, 3)

B(5, 1)

P(x, y)

QQ2 2 2

AP BP AB

馬上練習：設 A(2, 3) ， B(5, 1) ，之 P 點的軌跡方程式。

解：設 P(x y) ，

整理得 x2 + y2 7x 2y + 7 = 0 。

故所求軌跡為一圓： x2 + y2 7x 2y + 7 = 0 ，其中 P A 、 B 。＃＃

OP AP

2 2 2OP AP OA

2 2 2 2 2 2( 0) ( 0) ( 2) ( 0) (2 0) (0 0)x y x y

O

P

AA

7. 範例：設點 A(2, 0) ，求圓 x2 + y2 = 9 中過點 A 的

所有弦中點的軌跡方程式。

解：設 P(x y) 為過點 A 的弦之中點，

整理得 x2 + y2 2x = 0 。

故所求的軌跡圖形為一圓： x2 + y2 2x = 0 。Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !

QP AP

2 2 2QP AP QA

2 2 2 2 2 2( 2) ( 1) ( 0) ( ( 1)) (2 ) (1 )0 ( 1)x y x y

P

Q

AA

求過 A 點的所有弦中點的軌跡方程式。馬上練習：已知 A(0, 1) 為圓 (x2)2 + (y1)2 = 16 內部一點，

解：設 P(x y) 為過點 A 的弦之中點，

整理得 x2 + y2 2x 1 = 0 。

故所求的軌跡圖形為一圓： x2 + y2 2x 1 = 0 。＃＃

2 2

0

0

ax by c

x y dx ey f

且方程組 ： 。

L

QQ

d(Q, L) < r

LQQ

d(Q, L) = r

L

QQ

d(Q, L) > r

三、直線與圓的關係三、直線與圓的關係1. 直線與圓：設一直線 L ： ax+by+c=0 與圓 C ： x2+y2+dx+ey+f=0 ，

令圓心 QQ ，

方程組有兩相異實數解。(1) d(Q, L) < r L 與圓 C 交於兩點 ( 相割 )

(2) d(Q, L) = r

(3) d(Q, L) > r L 與圓 C 不相交 ( 相離 )

L 與圓 C 交於一點 ( 相切 ) 方程組恰有一實數解。

方程組沒有實數解。

本段結束本段結束

L ： xy+1=0

O

y

x

2. 範例：求直線 L ： x y + 1 = 0 與圓 C ： x2 + y2 = 5 的交點。

於 (1 2) 和 (2 1) 兩點。

即直線 L 與圓 C 和相交

解得 x = 1 或 2 。

得 x2 + (x+1)2 = 5 ，

解：將 L ： y = x + 1 代入 x2 + y2 = 5 ，

(1, 2)

(2, 1)

Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !

x+y3=0

(1, 2)

Q(10)

馬上練習：求直線 L ： x + y 3 = 0 與圓 C ： (x+1)2 + y2 = 8 的交點。

解：將 L ： y = 3 x 代入 (x+1)2 + y2 = 8 ，

得 (x+1)2 + (3x)2 = 8 ，

解得 x = 1 。

即直線 L 與圓 C 和相切相切於點 (1 2) 。

＃＃

22( 1) 23 5 ( )QP 且

2 22 r PQ 長所 弦求

12 16 3

(

13

2)5QP

又 的斜率為

2

3得所求直線斜率為 ，

3. 範例：若 P(3, 5) 為圓 C ： x2 + y2 2x + 4y 11 = 0 的弦中點，求此弦長及弦所在直線方程式。

解：由 x2 + y2 2x + 4y 11 = 0 (x1)2 + (y+2)2 = 16 ，得圓心 Q(1, Q(1, 2)2) ，半徑 r = 4 ，

因弦心距必垂直平分弦，

且過 P(3, P(3, 5)5) ， 故所求為 2x 3y 21 = 0 。

LQQ

PP

13 。

2 3 。

3

2 ，

413

Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !

2 2( 1) 1)1 2(QP 且

2 22 r PQ 長所 弦求

52 9

1 1

2 1QP

又 的斜率為

馬上練習：若 P(1, 2) 為圓 C ： x2 + y2 2x 2y 7 = 0 的弦中點，求此弦長及弦所在直線方程式。

得圓心 Q(1, 1)Q(1, 1) ，半徑 r = 3 ，

(x1)2 + (y1)2 = 9 ，解：由 x2 + y2 2x 2y 7 = 0

L

PP

QQ

= 4 。

5 。

1

2 ，

53

得所求直線斜率為 2 ，

故所求為 2x y + 4 = 0 。且過 P(P(1, 2)1, 2) ，

因弦心距必垂直平分弦，

＃＃

2 2

2

1

y mx

x y

解 2 2( 1) 4 3 0m x mx

2 2(4 ) 4 ( 1) 3m m 判別式

4( 3)( 3) 0m m

3 3m m 或 。

4( 3)( 3) 0m m

3 m 。

4( 3)( 3) 0m m

3 3m 。

24( 3)m

O

y

x

3 2y x

3 2y x

A(0 2)

4. 範例：試就實數 m 的範圍，討論直線 L ： y = mx + 2 與圓 C ： x2 + y2 = 1 的相交情形。

解：

直線 L 恆過點 A(0 2) 。注意：直線 L ： y=mx+2 的點斜式為 y2=m(x0)

此時圓 C 和直線 L 不相交。(3) 判別式判別式 < 0

此時圓 C 和直線 L 相切於一點。(2) 判別式判別式 = 0

此時圓 C 和直線 L 相交於兩點。

(1) 判別式判別式 > 0

2 2( 2) 1x mx

4( 3)( 3)m m

Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !

2 2 2

y x k

x y

2 22 2 ( 2) 0x kx k

2 2( 2 ) 4 2 ( 2)k k 判別式

4( 2)( 2) 0k k 2 2k 。

4( 2)( 2) 0k k 2 k 。

4( 2)( 2) 0k k

2 2k k 或 ，

O

y

x

y=x+2

y=x2

24( 4)k

馬上練習：試就實數 k 的範圍，討論直線 L ： y = x k與圓 C ： x2 + y2 = 2 的相交情形。

解：

(1) 判別式判別式 > 0

此時圓 C 和直線 L 相交於兩點。

(2) 判別式判別式 = 0

此時圓 C 和直線 L 相切於一點。(3) 判別式判別式 < 0

此時圓 C 和直線 L 不相交。

2 2( ) 2x x k

4( 2)( 2)k k

＃＃

( 2

4

)

1

2QAm

3

4m 切線 ，

3x + 4y = 20

A(4, 2)

Q(12)

5. 「圓上」已知點的切線方程式：( 圓心到切點的斜率 )( 切線的斜率 ) = 1 。

範例：求通過圓 (x1)2 + (y+2)2 = 25 上一點 A(4 2) 的切線方程式

解：令圓心 Q(1 2)

設切線： 3x + 4y = kk 。

又切線過 A(4 2 ) kk = 34 + 42

故所求切線為 3x + 4y = 20 。

4

3

= 2020 。

Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !

( 1

1

)

2

4QAm

1

5m 切線 ，

x 5y + 19 = 0

A(1, 4)

Q(2Q(21)1)

相切的直線方程式。

馬上練習：求通過 A(1 4) 且與圓 (x2)2 + (y+1)2 = 26

解：令圓心 Q(2 Q(2 1)1)

故所求切線為 x 5y + 19 = 0 。

kk = 1 54又切線過 A(1 4 )

設切線： x 5y = kk 。

= 19 19 。

= 5 5 。

＃＃

8

3Lm

1( 1, )

2Q 令圓心 ，

11

2( 1)QPm

c

1( 1, )

2Q

6. 範例：直線 L ： 8x 3y + a = 0 與圓 x2 + y2 + 2x y + b = 0 ，

相切於點 P(c 1) ，求 a 、 b 、 c 。

解：

c = 3 切點 P(3 1) 。

得 a = 27 。

得 b = 17 。

P(3 1) 代入 L ： 8x 3y + a = 0 ，

P(3 1) 代入 x2 + y2 + 2x y + b = 0 ，

故所求 a = 27 ， b = 17 ， c = 3 。

8x 3y 27 = 0

(3, 1)P

＃＃

8

3 ，

3

8 。

2 2 2

2

4 0x

y k

y y

x

解

2 2( ) 22 2( ) 4 0x x k x k 2 25 4( 1) ( 2 4) 0x k x k k

2 24( 1) 4 5( 2 4) 0k k k

2 2 24 0k k

y=2x+6

Qy=2x4

∵ 相切 ∴ 判別式 = 0

6 4k 或 。

7. 已知切線斜率為 m 的切線方程式：設切線 y = mx + k ，利用相切 判別式 = 0 。

範例：設圓 C ： x2 + y2 2y 4 = 0 ，求斜率為 2

且與圓 C 相切的直線方程式。

解：設切線 L ： y = 2x + k ，

故所求切線為 y = 2x + 6 或 y = 2x 4 。Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !

2 2

2

5

y

x y

x k

解

2 22( ) 5x kx 2 25 4 ( 5) 0x kx k

2 2( 4 ) 4 5( 5) 0k k

2 25k

Q y=2x+5

y=2x5∵ 相切 ∴ 判別式 = 0

5 5k 或 。

馬上練習：設圓 C ： x2 + y2 = 5 ，求斜率為 2

且與圓 C 相切的直線方程式。

解：設切線 L ： y = 2x + k ，

故所求切線為 y = 2x + 5 或 y = 2x 5 。＃＃

2 21(1) (4 ) (3 2)PQ 2 2 2 2( 10) ( 5)PA PQ AQ 所求

2 2( 4) ( ) 5

2

3

y

y

m

x

x m

解

2 2( 4) 2( 3) 5mx mx

2 2 2 2( 1) (2 2 8) ( 2 12) 0m x m m x m m 22 2 2(2 2 8) 4( 1)( 2 12) 0m m m m m

22 3 2 0m m

P(1, 2) Q(4,

3)

L

A10 ，

5 。

∵ 相切∴判別式 =0 1

22

m 或 。

L

8. 「圓外」已知點 (x0 , y0) 的切線方程式：設切線 y y0 = m(xx0) ， 利用相切 判別式 = 0 。

範例： (1) 求點 P(1 2) 到圓 C ： (x4)2 + (y3)2 = 5 的切線段長。(2) 求過點 P(1 2) 且圓 C ： (x4)2 + (y3)2 =5 相切的直線方程式。

解：

(2) 設切線斜率為 m 切線： y2=m(x1) ，

因為切線必過點 (1 2) ，故所求切線為 x + 2y = 5 或 2x y = 0 。

10

5

Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !

5

2 2(1) ( 0) (5 15 0)PO 2 2 2 2(5 10) (5)PA PO AO 所求

2 2

1

25

5 5

x

y m

y

x m

解 2 2( 215) 55mx mx

2 2 2 2( 1) ( 10 30 ) (25 150 200) 0m x m m x m m

2 2 2 2( 10 30 ) 4( 1)(25 150 200) 0m m m m m 4

3m 解 得 ，

P(5,15)

O

LL

A

∵ 相切 ∴ 判別式 = 0

5 10 ，

注意：當點在圓外且切線斜率只能求出一解時，則另一條切線無斜率無斜率 ( 即鉛垂線鉛垂線 ) 。

馬上練習： (1) 求點 P(5 15) 到圓 C ： x2 + y2 = 25 的切線段長。(2) 求過點 P(5 15) 且與圓 C ： x2 ＋ y2 ＝ 25 相切的直線方程式。

又切線必過 (5 15)

因為 P 在圓外，必有兩條切線，所以另一條切線為過 P(5 15) 而無斜率的鉛垂線，即 x = 5 。故所求為 4x 3y + 25 = 0 與 x = 5 。

(2) 設切線斜率為 m 切線： y 15 = m(x5) ，

一條切線 L 的方程式： 4x 3y + 25 = 0 。

解：= 1515 。

5 10

1515

55

＃＃

2 2

7 5

( 1) 1

y mx m

x y

解 2 27( 15 1)mx mx

2 2 2 2( 1) (14 8 ) (49 56 15) 0m x m m x m m

248 56 15 0m m 5 3

, 12 4

m 。

0y 當 1( 5)

3AB 故所求為

P(7,5)

B

Q(01)

A

L

L

2 2 2 2(14 8 ) 4( 1)(49 56 15) 0m m m m m

∵ 相切 ∴ 判別式 = 0

本 節 結 束本 節 結 束

因為切線必過點 (7 5) ，即切線為 5x 12y = 25 與 3x 4y = 1 ，

解：設切線斜率為 m 切線： y 5 = m(x7) ，

9. 範例：在坐標平面上 (7 5) 處有一光源，求將圓 x2 + (y1)2 = 1 投影到 x 軸的影長。

1 5 ,

3x 。 16

3 。

y = 0(x 軸)

2 2 4 7 10 0x y x y 若圓 與直線

2 2 4 7 10 0x y x y 由 2 2 4 7 10 0

3

x y x y

y mx m

解

2 2 2 2( 1) (6 7 4) (9 21 10) 0m x m m x m m

1 2 0x x

2 21

29 21 100

1mx

mx

m

2 29 21 10 0 1m m m 恆正

(3 2)(3 5) 0m m 2 5

3 3m 2 5

3 3a b ， 。

(2 1)

y=m(x+3)

7( 2 , )

2Q

(3 0)

(x1 y1)

(x2 y2)

馬上練習： 設 m 為實數， y = m(x+3) 在坐標平面上的兩個交點位於不同的象限，而滿足此

條件的 m 之最大範圍為 a < m < b ，則 a = ? b = ? ( 化成最簡分數 )

解： <102 數甲 >

此圓在 x 軸上方，設兩交點為 (x1 y1) 、 (x2 y2)

x

2 227( 2) ( )

5( )

2 2x y ，

2 2( 3 ) 4 7( 3 ) 10 0x mx m x mx m

則必在一、二象限，y

O

若兩交點位於不同象限，

＃＃To be continued To be continued 注 意注 意

2 5

3 3m

Q

7( 2 , )

2

(3 0)

(0 5)

(0 2)

O

y

x

2

3m

5

3m

注意：若圓與直線 y = m(x+3) 兩交點兩交點位於不同象限，

由圖可知：

y = m(x+3)

本 節 結 束本 節 結 束