P y E 2014 Clase 2Gonzalo Perera1 3. Modelos aleatorios, espacios muestrales, probabilidad. *Lanzamiento de un dado equilibrado: “Probabilidad de que salga

P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera 1

3. Modelos aleatorios, espacios muestrales, probabilidad. *Lanzamiento de un dado equilibrado:

“Probabilidad de que salga un cinco=1/6=0.1666666......”

n= número de lanzamientos (independientes)N(n)= veces que sale el 5p(n)= frecuencia del 5= N(n)/n

n N(n) p(n)

10 3 0.30

100 15 0.15

1000 167 0.167

10000 1665 0.1665

100000 16661 0.16661

Para n tendiendo a infinito, p(n) se aproxima a 1/6.


NOTA:Este es el significado de la PROBABILIDAD pero como definición no es consistente por NOTA:Este es el significado de la PROBABILIDAD pero como definición no es consistente por ser experimental y depender de una infinidad de intentos, lo cual no es realizable).ser experimental y depender de una infinidad de intentos, lo cual no es realizable).

Un experimento aleatorio es aquel que por su complejidad y variabilidad no aspiraremos a predecir “caso por caso”, sino solamente en frecuencias.

Dado un experimento aleatorio,

= conjunto de todos los resultados posibles.

Ejemplo: en el lanzamiento del dado, ={1,2,3,4,5,6}

Para cada resultado posible , su probabilidad, p() representa la

frecuencia con que ocurre el resultado en un gran número de intentos independientes.


Un suceso o evento A es un subconjunto de .

Ejemplo: en el lanzamiento del dado,

A= “sale un resultado par”= {2,4,6}.

Representación conjuntista:

Si A y B son sucesos

“Ocurren A y B” = A B“Ocurre A o (incluyente) B” = A B“No ocurre A” = Ac

“Ocurre algo”(suceso cierto) = “No ocurre nada” (suceso imposible) = Ø


Si es finito y A un suceso, la probabilidad de A es

Algunas propiedades de la Probabilidad:

1) P( )=1 2) P(AB)=P(A)+P(B) si A y B incompatibles (AB = Ø)

3) P(Ac)=1-P(A) 4) P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)

P(A)= A p()


¿Qué es la inferencia estadística, qué tiene que ver con las probabilidades?

Ejemplo (de alto contenido dramático):

En un depósito sucio, bastión de la Ciudad Vieja..........

n= número de lanzamientos (independientes)N(n)= veces que sale el 5p(n)= frecuencia del 5= N(n)/n

n N(n) p(n)

10 1 0.10

100 23 0.23

1000 258 0.258

10000 2497 0.2497

100000 25006 0.25006


Mmmmmm…….

No parece sensato suponer la hipótesis

H0: p(5)=1/6 (del modelo equiprobable)

ESTE FUE UN PRIMER EJEMPLO DE INFERENCIA ESTADISTICA

Conclusión: Rajemos!!!


Inferencia Estadística: cómo funca?????

Datos empíricos Predicciones (Frecuencias)

Modelo

Estadística Cálculo de Probabilidades

KOLMOGOROV: ¿COMO HACER TEORIA, CALCULO Y COMPARACIONES TOTALMENTE RIGUROSOS?


Axiomática de Kolmogorov y Continuidad de la Probabilidad Hoja de ruta.

1.Algebras de Boole y Sigma-álgebras.

2.Axiomática Finita (AF). Propiedades básicas

3.Axiomática de Kolmogorov (AK). Propiedades básicas y comparación con AF.

4.Teorema de Continuidad de la Probabilidad (TCP) (Bajo AK)

5.Ejemplo de que el TCP no es cierto bajo AF

6.Explicación del término “Continuidad” en el TCP


En un conjunto cualquiera, una familia A de subconjuntos de se dice un ALGEBRA DE BOOLE en si cumple que:

a) A b)Si B A, entonces Bc A c)Si B A y C A , entonces BC

A

1. Algebras de Boole y Sigma-álgebras.


Ejemplos:

Hay dos ejemplos triviales, que son el álgebra más grande

P( )={ todos los subconjuntos de } ( llamado “conjunto de partes de ”, o “conjunto potencia de ”)

y el algebra más chica

T( )={ , Ø}

Un ejemplo no trivial: = Números naturales, A ={ B: B es finito o Bc es finito}(Para comprobarlo, recordar De Morgan (B C) c = Bc Cc )

Otro ejemplo no trivial:

= Números reales A ={ B: B es numerable o Bc es numerable}


En un conjunto cualquiera, una familia A de subconjuntos de se dice una ALGEBRA (SIGMA ALGEBRA ) en si cumple que:

a) A b)Si B A, entonces Bc A

c)Si para todo n natural Bn A, entonces

{n N} Bn A

De a) y b) resulta que Ø A De la observación anterior aplicada a c)resulta

que: TODA SIGMA ALGEBRA ES UN ALGEBRA DE BOOLE


Un ejemplo de un ALGEBRA DE BOOLE que NO ES una SIGMA ALGEBRA.

= Números naturales, A ={ B: B es finito o Bc es finito}

Ya vimos que es álgebra de Boole.

Si Bn={2n} para todo natural n, la unión de todos los Bn nos da el conjunto de los pares, que no es finito, y cuyo complemento, los impares, tampoco lo es, por lo cual no pertenece a la clase A.

Por ende la clase A NO ES UNA SIGMA ALGEBRA


Una PROBABILIDAD FINITA ( o PROBABILIDADSEGUN LA AXIOMATICA FINITA) en es unafunción con dominio en A álgebra de Boole en quecumple los siguientes axiomas AF1) P(B) ≥ 0 para todo B A

AF2) P( )=1 AF3) P(AB)=P(A)+P(B) si A , B A y son

incompatibles (AB = Ø)

2. Axiomática Finita (AF). Propiedades básicas


Ejemplos.

1)Si es el conjunto de los naturales y pn es una sucesión de números no-negativos cuya serie converge a 1, A es el conjunto de partes de para todo B contenido en se define

P(B)=∑ {n B} pn, entonces P cumple AF.

2) Si = Números naturales, A ={ B: B es finito o Bc es finito} y se define P(B)=0 si B es finito y P(B)=1 si Bc es finito entonces AF1) y AF2) son obvias. Para AF3) observar que si B y C pertenecen a A y son incompatibles, entonces no puede ser cierto a la vez que Bc es finito y que Cc es finito , pues la incompatibilidad y De Morgan implican que Bc Cc = . Podemos suponer sin pérdida de generalidad que B es finito. AF3) se verifica discutiendo si C es finito o de complemento finito.


Propiedades básicas.

1)P(Bc )= 1- P(B) (aplicar AF3)2)P(Ø )=0 (AF2 y punto anterior)3)Si B,C son elementos de A y B C y definimos C-B= C Bc entonces P(C-B)=P(C)-P(B) y por ende P(B)≤ P(C)(Poner C=B [C Bc ] , aplicar AF1 y AF3)4) ) Fórmula de Inclusión-Exclusión. Si B,C son elementos de A entonces: P(BC)=P(B)+P(C)-P(BC)(Poner: C=[CB] [C Bc ], BC=B [C Bc ] y usar AF3)

5) Si n natural y B1,….,Bn son elementos de A que son incompatibles (la intersección de dos cualquiera de ellos es vacía) entonces

P({1≤i≤n} Bi )= ∑ {1≤i≤n} P(Bi ) (AF3 e inducción completa en n)


3. Axiomática de Kolmogorov (AK).Propiedades básicas

Una PROBABILIDAD ( o PROBABILIDAD SEGUN LA AXIOMATICA DE KOLMOGOROV) en es una

función con dominio en A SIGMA-ALGEBRA en quecumple los siguientes axiomas:AK1) P(B) ≥ 0 para todo B A

AK2) P( )=1 AK3) Si para todo n natural Bn A y la intersección de dos

cualquiera de ellos es vacía) entonces

P({n N} Bn )= ∑ {n N} P(Bn ) (esto implica la convergencia

de la serie a la derecha)


Propiedades básicas.

1)P(Ø )=0 (poner Bn=Ø para todo n en AK3, son incompatibles y la serie divergería si no fuera P(Ø )=0 )

2)AK Implica AF: una sigma-álgebra es álgebra de Boole, AK1 y AK2 coinciden con AF1 y AF2 y para probar AF3, usar AK3 con B1=B, B2=C y Bn=Ø para todo n ≥ 3 y aplicar el punto anterior.

Se aplican entonces las propiedades básicas vistas en el slide 8 a las Probabilidades según Kolmogorov, y cada vez que digamos “Probabilidad” nos referiremos a la axiomática de Kolmogorov.


Como no toda álgebra de Boole es sigma-álgebra, una probabilidad según AF no tiene por qué serlo según AK, pero es razonable ahondar en la diferencias entre ambos axiomáticas y preguntarse:

¿ Qué tan diferentes son AF y AK? ¿ No será que, por ejemplo, AF3) y AK3) son en realidad la misma propiedad?

La lectura apresurada de 5) del slide 8 a veces nos hace responder “SI” a la segunda pregunta, por ejemplo, PERO LA RESPUESTA CORRECTA ES “NO”.

DAREMOS DOS EJEMPLOS MOSTRANDO CUAN DIFERENTES SON AF Y AK.


Primero:Ejemplo de P que no cumple AF en una -álgebra A, aunque cumple AF en un álgebra de Boole A* más pequeña que A (“Cuanto más grande el dominio, más cuesta conservar una determinada propiedad”)

Observaremos además que P no cumple AK ni

siquiera en A*.

Ergo, AK3) y AF3) NO son lo mismo: AK3)es más exigente que AF3)


Sean = N, A* ={ B: B es finito o Bc es finito}.

Como ya vimos en el slide 5 , A* es álgebra de Boole y no -álgebra.

Dejamos como ejercicio verificar que la menor -álgebra A que contiene a A* (lo que se llama “-álgebra generada por A* ”) es el conjunto partes de N, A=P( N).

Definimos P(B)=1 si Bc es finito y 0 en cualquier otro caso.


Como vimos en el slide 7, sobre A* , P cumple AF.

Pero no en A: consideremos B el conjunto de los pares y C el de los impares, que son incompatibles. Como Bc es C, que es infinito, y viceversa, P(B)=P(C)=0. Si P cumpliera AF en A entonces:1=P(N)=P(BC)=P(B)+P(C)=0+0=0, lo cual es ABSURDO.

Para todo n natural tomemos Bn={n}, que son elementos de A* ,

incompatibles entre sí. Observando que N={n N} Bn, que es un

elemento de A* , y que 1=P(N)=P({n N} Bn), mientras que

∑ {n N} P(Bn ) =0, ya que P(Bn ) =0 para todo n, se concluye que P

no cumple AK3) ni siquiera en A* .


Segundo: Ejemplo de P que verifica AF en una -álgebra pero que no verifica AK.

Consideremos =[0,1 ], A=P( ). El gran matemático polaco S. Banach construyó una P definida en la -álgebra A que es muy “natural” como modelo de sorteo al azar pues a un intervalo le asigna como probabilidad su longitud.

Banach mostró que dicha P CUMPLE AF pero NO CUMPLE AK.¡Asi que la “longitud” es el ejemplo en que AK no vale y AF si!

Naturalmente, la definición rigurosa de la “longitud” para un conjunto arbitrario asi como la verificacion de que vale AF y no AK, la referimos a libro como el de R.M. Dudley o P. Halmos (ver texto)


Break: ARIEL ROCHE LOWCZY


4.Teorema de Continuidad de la Probabilidad (TCP) (Bajo AK)

Si P una Probabilidad (por última vez remarcamos que en el sentidoAK) en definida sobre la -álgebra A y Bn es un elemento de A para todo n natural, entonces:

a)Si Bn Bn+1 para todo n natural, entonces

P({n N} Bn)= lim n P(Bn).

b) Si Bn+1 Bn para todo n natural, entonces

P({n N} Bn)= lim n P(Bn).


Esquema de la prueba:

a)Tomar C1= B1 y Cn= Bn – Bn-1 para todo n natural de 2 en adelante (anillos). Estos conjuntos son incompatibles, su unión es igual a la de los B´s y usando la propiedad 3) del slide 8 resulta que la serie de sus probabilidades es telescópica.

b) Se reduce al caso anterior tomando complemento.


5.Ejemplo de que el TCP no es cierto bajo AF

• Sean = N, A*={ B: B es finito o Bc es finito}.

Definimos P(B)=1 si Bc es finito y 0 en cualquier otro caso.

Ya vimos que P cumple AF.

Si Bn={0,1,…,n}, tenemos una sucesión creciente de sucesos, con P(Bn)=0, por lo que su límite es 0, mientras que

{n N} Bn=N y P(N)=1.

• El ejemplo de Banach de “longitud” aporta un caso de AF en una -álgebra, y donde no vale TCP.


De hecho puede probarse el siguiente teorema:

Si P cumple AF sobre una -álgebra, entonces cumple AK si y sólo si cumple el teorema de continuidad.

O incluso el siguiente teorema, aún más elocuente:

Si P cumple AF sobre una -álgebra, entonces cumple AK si y sólo si es “continua en el vacío”( esto es, para toda sucesión decreciente de sucesos cuya intersección es Ø, el límite de las P de los sucesos es 0).


6. Explicación del término “Continuidad” en el TCP

Inspirados en la definición de lim sup y lim inf para sucesiones reales y de lim cuando lim inf = lim sup ( siempre se tiene que lim inf ≤ lim sup) se definen el lim inf y el lim sup de sucesiones de conjuntos y el lim inf siempre está contenido en el lim sup. Cuando el lim inf y el lim sup coinciden se dice que la sucesión de conjuntos tiene límite.

Si Bn es una sucesión cualquiera de conjuntos, el TCP permite probar que:

P( lim inf Bn ) ≤lim inf P(Bn ) (llamado a menudo “Lema de Fatou”)P( lim sup Bn ) ≥lim sup P(Bn )


Si existe lim Bn se concluye que existe lim P(Bn ) y que

P(lim Bn )= lim P(Bn )

Como la propiedad que caracteriza la continuidad de una función en términos de sucesiones es “la intercambiabilidad” de la aplicación de la función y el pasaje al límite, el resultado

anterior indica que la Probabilidad, como función definida sobre los conjuntos, es una función continua (gracias a Kolmogorov).

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P y E 2014 Clase 2Gonzalo Perera1 3. Modelos aleatorios, espacios muestrales, probabilidad. *Lanzamiento de un dado equilibrado: “Probabilidad de que salga