P01

2005/Rudens semestras/1 paskaita ir priedai Naudingumo maksimizavimo uždavinio sprendimas Lagrange’o daugiklių metodu

1

1. Vartotojai renkasi prekių rinkinius. Apskritai tam tikrą rinkinį galima pažymėti vektoriumi , čia atitinkamos prekės kiekis rinkinyje , o prekių skaičius.

(Paprastai simboliu žymėsiu vektorių, nebent iš konteksto būtų aiškiai matyti kitaip. Nors vektorių įprasta žymėti “riebesnio” šrifto simboliu x, tačiau jei laikyčiausi šio susitarimo, tai sugaiščiau žymiai daugiau laiko naudodamas MS Word lygčių redaktorių (equation editor).)

),...,,( 21 nxxxx = ≡ix x ≡nx

2. Apskritai yra prasminga manyti, kad individai iš visų įmanomų galimybių renkasi geriausią (geriausias), taigi ir vartotojai iš visų įperkamų rinkinių renkasi patį geriausią. Jei vartotojo pomėgius galima išreikšti tam tikra naudingumo funkcija , tai jo pasirinkimo problemą galima užrašyti kaip matematinį optimizavimo uždavinį , kai . Šio

uždavinio sprendinys yra prekių paklausų vektorius . Trumpą formalių vartotojo problemos aspektų

aptarimą žiūrėkite santraukos 1 priede.

)(xu)(max xu

xmpx =

)),(),...,,((),...,( 1**

1* mpxmpxxxx nn ==

3. Kai vartotojas renkasi tik dvi prekes ir jam optimaliai renkantis galioja lietimosi sąlyga, tai iš žemesnės pakopos mikroekonomikos studijų žinote, kad optimalų rinkinį galima surasti

sprendžiant dviejų lygčių sistemą

=

=+

2

1

2

1

2211

pp

uu

mxpxp. (Čia ir toliau

ii x

xxu∂

∂=

),( 21u , o tai yra

naudingumo funkcijos dalinė išvestinė – atitinkamos prekės ribinis naudingumas).

Antrąją lygtį (lietimosi sąlygą) galima perrašyti 2

2

1

1

pu

pu

= . Atitinkamus ribinių naudingumų ir

kainų santykius galima prilyginti kol kas nežinomam dydžiui ir tokiu būdu gauti išraišką λ

λ==2

2

1

1

pu

pu

. Pastarąją galima išskaidyti į dvi lygtis λ=1

1

pu

ir λ=2

2

pu

, kurias toliau galima

pertvarkyti į ir u . Galiausiai galima užrašyti naują lygčių sistemą

. Nors pastarosios pavidalas skiriasi nuo pradinės lygčių sistemos

011 =− pu λ=

00

m022 =− pλ

=−=−

+

22

11

2211

pupu

xpxp

λλ

=

+

2

1

2

1

2211

pp

uu

xpxp = m, tačiau iš pirmosios galima lengvai sugrįžti į pastarąją. Taigi nors naujos

lygčių sistemos sprendinys yra tam tikras kintamųjų derinys ( , , ), o pradinės lygčių sistemos – prekių kiekių derinys ( x , ), tačiau atitinkamų prekių kiekiai abejuose sprendiniuose sutampa, nes iš naujos lygčių sistemos galime gauti pradinę.

*1x

*2x

*λ*1 x*

2

4. Nesunku įsitikinti, kad trijų lygčių sistemą galima gauti ieškant tam tikros funkcijos

maksimumo. Tokia funkcija vadinama Lagrange’o funkcija (Lagrangean function, ar tiesiog Lagrangean), ji sudaroma tam tikru būdu į tikslo funkciją įtraukiant ir apribojimą (apribojamus). Jei pradinė naudingumo maksimizavimo problema buvo , kai

, tai dabar ji bus , čia

naujai sudaryta funkcija ir yra Lagrange’o funkcija, o Lagrange’o daugiklis. Toks optimizavimo uždavinio sprendimo būdas vadinamas Lagrange’o daugiklių metodu.

),(max 21, 21

xxuxx

)2211 xpxp −mxpxp =+ 2211

≡λ

(),(),,(max 2121,, 21

mxxuxxLxx

−+= λλλ

)(),() 221121 xpxpmxxu −−+= λ,,( 21 xxL λ

5. Norint rasti pasirinkimo kintamųjų reikšmes kurios suteiktų maksimalią reikšmę Lagrange’o funkcijai reikia rasti jos atitinkamas dalines išvestines ir prilyginti jas nuliui. Tokiu būdu


2

gauname sistemą, kuri yra sudaryta iš lygčių dar vadinamų sprendinio radimo būtinosiomis arba pirmos eilės sąlygomis (necessary, first-order conditions). Šiuo konkrečiu atveju jos yra

0111

=−=∂∂ puxL λ ,

0222

=−=∂∂ puxL λ ,

02211 =−−=∂∂ xpxpmLλ

.

6. Verta atkreipti dėmesį į tai, kad kartais Lagrange’o funkcija sudaroma ir šiek tiek kitaip, tai

yra . Įsitikinkite, kad maksimizuodami tokią funkciją gausite tas pačias būtinąsias sąlygas kaip ir anksčiau. Kita vertus, jei būtinosios sąlygos yra tokios pačios tai ir uždavinio sprendinys bus tas pats.

)(),(),,( 22112121 mxpxpxxuxxL −+−= λλ

7. Dabar pažiūrėkime kas atsitiktų jei Lagrange’o funkciją sudarytume dar kitaip, . Iš būtinų sąlygų gautume tokią sistemą

. Tačiau ir iš pastarosios galima gauti

)(),(),,( 22112121 mxpxpxxuxxL −++= λλ

=+=+=+

mxpxppupu

2211

22

11

00

λλ

=

=+

2

1

2

1

2211

pp

uu

mxpxp

*λ

, taigi abi

sistemas tenkins tie patys prekių kiekiai. Galima daryti išvadą, kad rasite tą patį optimalų prekių rinkinį nesvarbu kuriuo iš nurodytų būdų sudarytumėte Lagrange’o funkciją. Tačiau taikydami pirmuosius du būdus gautumėte teigiamo ženklo , o taikydami trečiąjį – neigiamo.

8. Dabar apie Lagrange’o daugiklių metodo taikymo ribas. Jei vartotojo pirmenybės yra tokios, kad vartotojui optimaliai renkantis galioja biudžetinės tiesės ir abejingumo kreivės lietimosi sąlyga ( jijiij ppuuMRS ==|

)()(), pxmxux −+= λλ

| , ) , tai vartotojo problemą visada galima spręsti Lagrange’o daugiklių metodu. Kai vartotojas renkasi prekių kiekius, jo uždavinys yra

, primenu, kad čia . Jei renkantis

optimaliai galioja lietimosi sąlyga, tai vartotojas renkasi vidinį optimumą – rinkinį kuris nėra biudžetinės tiesės ir kurios nors iš ašių susikirtimo taške (tai jau būtų kraštinis optimumas). Lagrange’o daugiklių metodas gerai tinka vidinių optimumų radimui. Tačiau ypatingais atvejais vartotojas gali rinktis ir kraštinius optimumus (pvz. jei prekės visiškai pakeičia viena kita). Tokiu atveju Lagrange’o daugiklių metodą reiktų papildyti Kuhno-Tuckerio sąlygomis (besidomintys gali apie jį pasiskaityti specialioje literatūroje, pvz. labai prieinamai parašytame Alpha Chiango vadovėlyje), arba bandyti uždavinį išspręsti ne Lagrange’o daugiklių metodu, o kaip nors kitaip surandant kurį kraštutinumą pasirinks vartotojas. Dar vienas ypatingas atvejis gali pasitaikyti kai vartotojas renkasi rinkinį susidedantį iš tobulų papildinių. Nors pasirinktas rinkinys nebus “kraštinis”, tačiau lietimosi sąlyga negalios – per abejingumo kreivės “alkūnę” galima nubrėžti be galo daug tiesių ir nei viena iš jų netenkins liestinės apibrėžimo. Kita vertus, tokį uždavinį visai lengva spręsti netaikant diferencialinio skaičiavimo metodų.

ji,∀n

(max,L

x λ),...,,( 21 nxxxx =

8.1. Toliau laikysime, kad vartotojas renkasi prekių kiekius, o naudingumo maksimizavimo uždavinio sprendinys yra vidinis optimumas. Suradę atitinkamas Lagrange’o funkcijos dalines išvestines ir jas prilyginę nuliui gauname sprendinio radimo būtinąsias sąlygas (pirmos eilės sąlygas)

n


3

0111

=−=∂∂ puxL λ ,

0222

=−=∂∂ puxL λ ,

………………….. ,

0=−=∂∂

nnn

puxL λ ,

0...2211 =−−−−=∂∂

nn xpxpxpmLλ

.

8.2. Jei rūpi tik naudingumą maksimizuojantys prekių kiekiai, tai iš lygčių sistemos, kuriose yra Lagrange’o daugiklis , galima gauti lygčių sistemą be minėto daugiklio, šią sistemą sudarytų ribinių pakeitimo normų ir kainų santykių lygybės. Sprendžiant šių lygčių ir biudžetinės tiesės lygties sistemą galima apskaičiuoti optimalius prekių kiekius arba prekių paklausas. Kitose paskaitose įsitikinsime, kad Lagrange’o daugiklis vartotojo naudingumo maksimizavimo uždavinyje turi įdomią ekonominę prasmę – tai ribinis pajamų naudingumas. Kitaip tariant, Lagrange’o daugiklio reikšmė parodo, kiek pasikeistų vartotojo naudingumas (jam renkantis optimaliai) jei jo pajamas pakeistume ribiniu dydžiu. Kita vertus, nors šis kintamasis ir turi ekonominę prasmę, tačiau dažniausiai nelabai rūpi uždavinių sprendime, juk ribiniai naudingumai nėra stebimi dydžiai.

nλ 1−n

λ

9. Įsitikinkime kaip Lagrange’o daugiklių metodas veikia konkrečiu atveju. Laikykime, kad vartotojas gauna pajamas , renkasi dviejų prekių kiekius, prekės atitinkamai kainuoja ir

, o jo pomėgius (pirmenybes) išreiškia Cobbo-Douglaso naudingumo funkcija . Toks vartotojas rinksis lyg spręstų naudingumo maksimizavimo uždavinį

. Šio uždavinio būtinosios sąlygos , o

sprendinys (patikrinkite)

m

p−

1p

00

2pxu(

max, 21 xx

ba xxx 2121 ), =

(21,mxx ba + λ

λ)2211 xxp−

=+=−

=−−

−

mxpxppxbxpxax

ba

a

2211

21

21

121

1

λ

λ

( ) ( ) ( )( )1−+babm1

2121,,) −−

++ += pba

paba

pm

bab

pm

baa ba**

2 ,x λ*1 ,x( .

10. Dabar tarkime, kad vartotojas renkasi trijų prekių kiekius, o jo naudingumo funkcija yra

. Toks vartotojas rinksis lyg spręstų naudingumo maksimizavimo uždavinį . Tačiau naudingumo funkciją galima

teigiamai monotoniškai transformuoti jei mus domina tik tai kokius prekių kiekius renkasi vartotojas (tikrovėje stebima elgsena). Naudingumo funkciją patogu logaritmuoti ir gauti

. Tada vartotojo uždavinys , o jo būtinosios sąlygos

. Jei ir toliau liekame nuoseklūs ir laikome, kad mus domina tik

tikrovėje stebimi dydžiai, tai galime pertvarkyti lygčių sistemą ir atsikratyti Lagrange’o

cba xxxxxxv 321321 ),,( =

max 21,,, 321

xx ba

xxx λ

1321 ln),,( xaxxxu +=lnlnmax 21,,, 321

xbxaxxx

+λ

=++=−

=−

=−

−

−

−

xpxpxppcxpbxpax

332211

31

3

21

2

11

1

00

0

λ

λ

λ

)( 3322113 xpxpxpmxc −−−+ λ

32 lnln xcxb +(ln 22113 xpxpmxc −−++ λ

m

)33xp−


4

daugiklio . Nors dėl to ir prarasime galimybę sužinoti jo reikšmę, tačiau šiuo atveju ji mums ir nerūpi. Po tam tikrų pertvarkymų gauname tiesinių

λ

−−

pcpbp

(2 −

lygčių sistemą (iš pirmosios

lygties dalijant likusiais) . Ją galima užrašyti matricomis (žr. 2

priedą) . Apskaičiuojame koeficientų matricos determinantą

(patogu skleisti stulpeliu ar eilute kur bent vienas elementas yra 0, pvz. antruoju stulpeliu): , nes ,

taigi šią lygčių sistemą galima spręsti Cramerio būdu (žr. 2 priedą).

=++=+−=+−

mxpxpxpxapxcpxapxbp

332211

3311

2211

00

=

mxxx

p000

3

2

1

3

3

()() 3123 +=−− aaapbppp

pap

ap0

21

1

21

131 − appcpap 0)|| 321 ≠+−= pppcbA 0,,, >ipcba

( )1

322*

1 |1

pm

cbaapp

Ax

++== 1

321)( mapppcbaa ++= −

32

3

2

00

|ppap

ap00

m,

( )2pm

c31*2 ))((

|1

babapbpm

Ax

++=−−= 1

3213 )( pppcbaa ++= −

31

1

1

000

|pmapcp

bp

p−−

,

( )3

21*3 |

1pm

cbacpmacp

Ax

++== 1

321)( pppcbaam

++= −

21

1

21

000

|p

cpapbp

p−−

.

=X n+

n

{ mpxXx ≤,

=px

} ≡ip

∑=

n

iii xp

1

xB = | ≡m∈

xxpm = { }xppxXxx ≤∈ ,|B =

x yx x x

zyx ,,∀ x y y

x̂ x~ )ˆ(xu

yx,

)~()ˆ( xuxu >

x ∈*

1 priedas: Keturi vartotojo pasirinkimo problemos aspektai

1. Visi fiziškai įmanomi rinkiniai sudaro vartojimo aibę — , pastarasis užrašas reiškia, kad

bet kurį vartojimai aibei priklausantį rinkinį sudaro prekių kiekiai ir jie yra neneigiami. 2. Visi ekonomiškai įmanomi (įperkami) rinkiniai sudaro įmanomą aibę

, čia atitinkamos prekės kaina, vartotojo (pastovios)

piniginės pajamos, . Pradinio išteklių rinkinio (endowment) modelyje

vartotojas gali parduoti savo turimą pradinį išteklių rinkinį ir gauti pinigines pajamas . Šiuo atveju .

3. Pirmenybės santykis leidžia palyginti (išrikiuoti) prekių rinkinius. Racionalaus vartotojo pomėgiai (pirmenybės) arba pirmenybės santykis tenkina šias tris aksiomas

i. Pirmenybės santykis visiškas: t arba d arba abu, tai yra ~ , ∀ . x y x yii. Refleksyvus: ∀ galioja t . iii. Tranzityvus: , jei t ir t tai t . z x ziv. Jei pirmenybės santykis visiškas, refleksyvus, tranzityvus, o taip pat dar ir tolydus bei

monotoninis, tai egzistuoja tolydi naudingumo funkcija tokia, kad tada ir tik tada kai ê , bei , tada ir tik tada kai ~ . (Jei pirmenybės santykis tolydus, tai abejingumo kreivės yra tolydžios ir, jei monotoninis, tai abejingumo kreivės yra “siauros” ir neigiamo nuolydžio.)

)(xu)~(xu= x̂ x~

4. Elgsenos prielaida: vartotojas renkasi geriausią įperkamą rinkinį. Išspręsti vartotojo pasirinkimo problemą reiškia rasti tokį, kad t , . Jei vartotojo pomėgius B *x x x∀


5

(pirmenybės santykį) galima išreikšti tam tikra naudingumo funkcija , tai jo pasirinkimo problemą galima užrašyti kaip matematinį optimizavimo uždavinį.

)(xu

2 priedas: Kai kurių matematikos sąvokų ir metodų (matricų algebros ir diferencialinio skaičiavimo) pakartojimas

m eilučių ir stulpelių matrica ( matrica): n nm×

=

mnmmm

n

n

aaaa

aaaaaaaa

…

……

321

2232221

1131211

A

Kvadratinės matricos eilučių skaičius lygus stulpelių skaičiui ( ): nm =

=

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

21

22221

11211

A

Matricų sudėtis A ir - matricos. B nm×

=

mnmmm

n

n

aaaa

aaaaaaaa

…

……

321

2232221

1131211

A ,

=

mnmmm

n

n

bbbb

bbbbbbbb

…

……

321

2232221

1131211

B

++

++=+

mnmnmm

nn

baba

baba

11

111111

BA

Matricos daugyba iš skaičiaus (skaliaro): A - matrica, - bet koks skaičius. nm× c

=

mnmmm

n

n

cacacaca

cacacacacacacaca

c

…

……

321

2232221

1131211

A


6

Matricų daugyba:

i

Jei - matrica, B - n matrica, tai - matrica. A nm× s× AB sm×

=

=

∑∑

∑∑

∑∑

==

==

==

n

iismi

n

iimi

n

iisi

n

iii

n

iisi

n

iii

nsn

s

s

s

mnmmm

n

n

baba

baba

baba

bb

bbbbbb

aaaa

aaaaaaaa

111

12

112

11

111

1

331

221

111

321

2232221

1131211

…

……

AB

Ypatingas atvejis – matricos daugyba iš vektoriaus: nm× 1n×

11

11 12 1 1

21 22 2 2 21

1 2

1

n

i ii

n n

n ii

m m mn n n

mi ii

a ba a a ba a a b a b

a a a ba b

=

=

=

= =

∑

∑

∑

AB

……

…

Kvadratinės matricos determinanto skaičiavimas

Kvadratinės matricos 22× A

=

2221

1211

aaaa

determinantas 211222112221

1211| aaaaaaaa

A −==| .

Kvadratinės matricos 33× A

=

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

determinantą galima apskaičiuoti skleidžiant Laplaso metodu pagal laisvai pasirinktą eilutę arba stulpelį, pvz. pirmą eilutę:

3231

222113

31

3331

232112

21

3332

232211

11

333231

232221

131211

)1()1()1(aaaa

aaaaa

aaaaa

aaaaaaaaaa

A +++ −+−+−==

. )()()( 223132211323313321122332332211 aaaaaaaaaaaaaaa −+−−−= Skleisdami antru stulpeliu gautume

2321

131132

23

3331

131122

22

3331

232112

21

333231

232221

131211

)1()1()1(aaaa

aaaaa

aaaaa

aaaaaaaaaa

A +++ −+−+−==

. )()()( 132123113213313311222331332112 aaaaaaaaaaaaaaa −−−+−−=


7

Nesunku įsitikinti, kad abejais atvejais galiausiai gautume tą pačią išraišką. Bet kokios kvadratinės n matricos n×

=

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

21

22221

11211

A

determinantą galima apskaičiuoti skleidžiant i eilute:

| , čia | matricos elemento minoras, tai yra matricos, gautos

išmetus -ąją eilutę ir -ąjį stulpelį, determinantas.

|)1(||1

ij

n

jij

ji MaA ∑=

+−=

i j

≡|ijM ij

Cramerio taisyklės taikymas sprendžiant tiesinių lygčių sistemą Tiesinių lygčių sistemą

=+++

=+++=+++

nnnnnn

nn

nn

dxaxaxa

dxaxaxadxaxaxa

.............................................

......

2211

22222121

11212111

Galima užrašyti matricų pavidalu,

=

nnnnnn

n

n

d

dd

x

xx

aaa

aaaaaa

2

1

2

1

21

22221

11211

čia yra kvadratinė koeficientų matrica ir jei | , tai sprendinį galima rasti taikant Cramerio taisyklę:

A nn× 0|≠A

nnnnn

n

n

jj

adaa

adaaadaa

AAA

x

21

222221

111211

*

||1

||||== ,

čia Aj matrica gaunama iš matricos A kai stulpelis j pakeičiamas vektoriumi d. Pavyzdys: Lygčių sistemą

=+=+

12293

21

21

xxxx

perrašome matriciniu pavidalu ( ): dAx =


8

=

129

2113

2

1

xx

, čia A= , x ir d= .

2113

=

2

1

xx

129

Po to apskaičiuojame atitinkamus determinantus:

0511232113

|| ≠=⋅−⋅==A , 61122921219

|1 =⋅−⋅==A| , ir

279112312193

|| 2 =⋅−⋅==A .

Randame sprendinį:

2.156

|||| 1*

1 ===AAx , 4.5

527

|||| 2*

2 ===AAx , taigi x*

=

=

4.52.1

*2

*1

xx

.

Vieno kintamojo funkcijos diferencijavimas. Nepriklausomo kintamojo pokytis: 01 xxx −=∆Funkcija: ( )xfy =Funkcijos pokytis: ( ) ( ) ( ) ( )0001 xfxxfxfxfy −∆+=−=∆

Funkcijos ir argumento pokyčių santykis : ( ) ( )

xxfxxf

xy

∆−∆+

=∆∆ 00

(funkcijos kitimo vidutinis greitis)

Funkcijos išvestinė: ( ) ( ) ( )x

xfxxfxy

dxdyxf

xx ∆−∆+

=∆∆

==→∆→∆

00

00limlim'

(funkcijos kitimo greičio riba, ribinis arba momentinis greitis) Kai kurių funkcijų išvestinės:

0=cdxd

1=xdxd

ccxdxd

=

1−= nn nxxdxd

xx

dxd 1ln =

xx eedxd

=


9

Sumos išvestinė:

dxxdh

dxxdg

dxxdfxhxgxf

dxd )()()())()()(( ++=++

Sandaugos išvestinė:

( ) ( )[ ] ( ) ( )dxxdgxfxg

dxxdfxgxf

dxd )()(

+=

Santykio išvestinė:

( )( )

( ) ( )

( )( )2

)()(

xgdxxdgxfxg

dxxdf

xgxf

dxd −

=

Sudėtinės funkcijos išvestinė:

( )( ) ( )( )( ) dx

xdgxdgxgdfxgf

dxd )(

×=

(pavyzdys: dxxdfee

dxd xfxf )()()( = .)

Dalinės išvestinės radimas Galioja iš esmės tos pačios taisyklės kaip ir ieškant vieno kintamojo funkcijos išvestinės. Tik svarbu

kintamieji yra laikomi pastoviais dydžiais ir su jais reikia elgtis lyg jie būtų skaičiai. atsiminti, kad, išskyrus atitinkamą kintamąjį kurio atžvilgiu norite rasti dalinę išvestinę, visi kiti

Pavyzdžiui dviejų kintamųjų funkcijos dalinė išvestinė atžvilgiu yra 2121 lnln),( xbxaxxu += 2x

( ) ( ) ( )22

22

21

221

22

21 ln0lnlnlnln),(xb

xxbxb

xxa

xxbxa

xu

xxxu

=∂

∂+=

∂∂

+∂∂

=+∂∂

=∂

∂.

Documents

P01