P02

2005/Rudens semestras/2 paskaita Lyginamosios statikos analizė. Neišreikštinės funkcijos teorema

1

1. Jeigu vartotojo pomėgius galima išreikšti naudingumo funkcija kurios konkreti išraiška

yra žinoma, pvz. n

)(xu

xx 21 , prekių Cobbo-Douglaso funkcija , čia

naudingumo funkcijos parametras ( ), tai visą ekonomiškai reikšmingą∏=

=n

i inixxu

1),...,( β

≡iβ ni ,...,1= informaciją apie tokio vartotojo elgseną galima sužinoti išsprendus naudingumo maksimizavimo uždavinį. Būtų galima tiksliai pasakyti kiek vartotojas pageidaus įsigyti tam tikros prekės, nes tai parodytų atitinkama paklausos funkcija

j

n

iijj pmmpx

= ∑

=1),( ββjx =* . Atitinkami paklausos elastingumai (savos kainos, pajamų,

kryžminiai) apibūdintų kiek vartotojas yra jautrus modelio ekonominių parametrų pokyčiams. Taigi, visą reikšmingą vartotojo elgseną apibūdintume kiekybiškai.

),m( p

2. Jeigu manome ar žinome tik tiek, kad vartotojo pomėgius apskritai galima išreikšti kažkokia naudingumo funkcija , tačiau konkrečios jos išraiškos nežinome, vis tiek galime formuluoti iš principo empiriškai tikrinamus (verifikuojamus arba falsifikuojamus pagal Karlą Raimundą Popperį) teiginius. Tai daryti yra prasminga nes galima pritaikyti lyginamosios statikos – kokybinio

)(xu

pobūdžio analizės – metodą. (Mikroekonomika remiasi neoklasikine metodologija, o pastaroji mokslinėmis išvadomis laiko tik tokias teorines išvadas, kurias iš principo galima tikrinti empiriškai. Teorijos verifikavimas reiškia, kad remiantis šiuo metu žinomais tikrovės faktais tam tikros teorijos dar nepavyko paneigti, o falsifikavimas reiškia, kad pavyko rasti tikrovės faktų prieštaraujančių tam tikroms teorinėms išvadoms.)

3. Jei konkrečios naudingumo funkcijos išraiškos nežinome, tegalime užrašyti lygčių sistemą, kurią reiktų išspręsti jei naudingumo funkciją žinotume.

=−−−−=∂∂=−=∂∂

=−=∂∂=−=∂∂

0...0),...,,(

.....................................................0),...,,(

0),...,,(

2211

21

22122

12111

nn

nnnn

n

n

xpxpxpmLpxxxuxL

pxxxuxLpxxxuxL

λλ

λλ

.

4. Nors ir negalime iš šių lygčių sistemos rasti konkretaus sprendinio , tačiau tarkime, kad apskritai jis egzistuoja – jeigu žinotume konkrečią naudingumo funkcijos išrašką, jį tikrai surastume. Taigi, nors konkrečios naudingumo funkcijos išraiškos nežinome, tačiau bandykime atsakyti į klausimą ar galima ką nors pasakyti apie egzogeninių modelio parametrų, tai yra prekių kainų ir vartotojo gaunamų pajamų ( p ) poveikį endogeniniams kintamiesiems ( ). Atsakyti padėtų dalinių išvestinių

),,...,,( ***2

*1 λnxxx

mpp n ,,...,, 21**

2*1 ,...,, nxxx ip∂jx∂ ir

mx j ∂∂ ženklai. Teigiamas išvestinės ženklas rodytų teigiamą poveikį (pvz. 0x m >j∂ ∂ leistų daryti išvadą, kad padidėjus pajamoms padidės ir pareikalautas prekės kiekis), o neigiamas – neigiamą (pvz. 0j jx p∂ ∂ < leistų daryti išvadą, kad padidėjus savai kainai sumažėtų pareikalautas prekės kiekis). Nors ir nežinotume kiek ribinis parametro pokytis paveiktų tam tikrą endogeninį kintamąjį, tačiau žinotume poveikio kryptį.

5. Kad būtų paprasčiau toliau nagrinėkime tik dviejų prekių ( ) atvejį. Tada turėsime lygčių

sistemą

2=n

=−−=∂∂=−=∂∂=−=∂∂

00),(

0),(

2211

22122

12111

xpxpmLpxxuxLpxxuxL

λλλ

),,( 211*1 mppxx = *

2x =

, ir jei apskritai egzistuoja jos sprendinys

susidedantis iš , ir , tai jis tenkina ),,( 212 mppx ),,( 21 mppλ*λ =


2

minėtą lygčių sistemą. Todėl iš tiesų turime lygčių sistemą

=−−=−=−

0)),,(),,(0),,()),,(),,,((0),,()),,(),,,((

21222111

2212122112

1212122111

mppxpmppxpmpmppmppxmppxupmppmppxmppxu

λλ

m

=∂∂

−∂∂

−

=∂∂

−∂∂

+∂∂

=∂∂

−∂∂

+∂∂

01

0),(),(

0),(),(

22

11

22

21221

2121

12

21121

2111

mxp

mxp

mp

mxxxu

mxxxu

mp

mxxxu

mxxxu

λ

λ

6. Tarkime, kad mus domina kuria kryptimi pasikeistų vartotojo pasirinkimas jei padidėtų jo pajamos . Taikant lyginamosios statikos metodą visų pirma reikia diferencijuoti1 būtinąsias (pirmos eilės) sąlygas dominančio parametro atžvilgiu. Laikykime, kad naudingumo funkcija yra bent du kartus diferencijuojama (galima rasti ir antros eilės išvestines), todėl gauname tris

lygtis . Diferencijuoti bus lengviau, jei

atsiminsite, kad funkcijos išvestinė yra taip pat funkcija, ji priklauso nuo tų pačių kintamųjų kaip ir pirmykštė funkcija. Pavyzdžiui jei naudingumo funkcija yra , tai jos

atitinkamos eilės dalinės išvestinės taip pat yra funkcijos:

),( 21 xxu1 2

1 11

( , )( , xu x 2 ) u xxx

∂=

∂ ir

21

212

1

211 ),(),(xxxu

xxxux

∂∂

=∂

∂=

),( 21 xxui ,( 1 xxi

2 )111 ,(xu . Ieškodami išvestinių taip pat nepamirškite, kad

dalinė išvestinė yra sudėtinė funkcija u . )),,,(() 12112 mpppxui= ,(), 12 pxm7. Gautos lygtys yra tiesinės ieškomų išvestinių mx ∂∂ 1 , mx ∂∂ 2 ir m∂∂λ atžvilgiu. Jas

galima perrašyti matricų pavidalu

−=

∂∂∂∂∂∂

−−−−

100

02

1

21

22221

11211

mmxmx

pppuupuu

λ. Nesunku matyti,

Cramerio taisyklę bus prasminga taikyti tik tada, kai lygčių sistemos koeficientų matricos determinantas nebus lygus nuliui. Šiuo atveju koeficientų matrica yra vadinama įrėmintu Hessianu (žr. priedą).

8. Tačiau šios mums itin svarbios matricos determinantas yra reikšmingas ir naudingumo maksimizavimo su apribojimu uždavinio sprendinio egzistavimui. Savo ruožtu, sprendinio egzistavimas siejasi su naudingumo funkcijos ir biudžetinės aibės kreivumo pobūdžiu (žr. priedą). Biudžetinė aibė yra iškila kai atkarpa jungianti bet kuriuos du aibės taškus taip pat priklauso aibei. Biudžetinė aibė visada bus iškila, jei biudžetinis apribojimas tiesinis (pvz. vartotojas, pirkdamas didesnius prekių kiekius, negauna kainų nuolaidų). Naudingumo funkcija yra kvaziįgaubta, jei neblogesnių rinkinių aibės (weakly preferred sets)

yra iškilosios. Pavyzdžiui, neblogesnių rinkinių aibės nebus iškilosios, jei viena iš prekių yra blogybė. Tobulųjų pakaitalų ar tobulųjų papildinių atveju pirmenybės yra silpnai iškilosios (du abejingumo kreivės taškus jungianti atkarpa gali būti abejingumo kreivės dalimi), tačiau Cobbo-Douglaso pomėgių atveju turėsime griežtą iškilumą. Pasirodo, kad naudingumo funkcijos kvaziįgaubtumo ir tiesinio biudžetinio apribojimo pakanka tam, kad egzistuotų naudingumo maksimizavimo uždavinio sprendinys.

9. Taigi galime būti tikri, kad visada egzistuos vartotojo, kuris mėgsta vartoti daugiau (pirmenybės yra monotoninės) ir mėgsta įvairovę (neblogesnių rinkinių aibė yra iškiloji), naudingumo maksimizavimo uždavinio sprendinys. Tačiau jei laikome, kad galioja

1 Diferencijuoti reiškia rasti funkcijos ( )f x išvestinę ( )df x dx .


3

pakankamoji apriboto maksimumo radimo sąlyga (žr. priedą), tai mums rūpimas determinantas yra ne tik, kad nenulinis, tačiau ir teigiamas. Taigi, lyginamosios statikos metodą galima taikyti daugumai vartotojo pasirinkimo atvejų.

10. Jeigu jau žinome, kad dėl padarytų prielaidų apie naudingumo funkcijos ir biudžetinės aibės kreivumą galioja 02 >= HA , tai toliau belieka rasti kitus determinantus, kurių prireiks ieškant mus dominančių išvestinių ir taikant Cramerio taisyklę. Randame

,))(1()1(01

00

12221212221213

2

222

112

1 pupupupup

pupu

A −=+−−−=−−

−−

= +

,))(1()1(01

00

21111211221123

1

212

111

2 pupupupup

pupu

A −=+−−−=−−

−−

= + ir

( ) )(1 122212211 pupuHAAmx −==∂∂ 212 puö0, nes ö0 ir122 pu−

( ) )(1 211112222 pupuHAAmx −==∂∂ 112 pö0, nes u ö0. 211 pu−11. Matome, kad apie naudingumo funkcijos pobūdį žinodami tik tiek, kad galioja jos

kvaziįgaubtumo pakankamoji sąlyga, mažai ką galime pasakyti apie pajamų padidėjimo poveikį vartotojo elgsenai. Prekių paklausos gali ir padidėti ir sumažėti – tai priklauso ar prekė yra normali ar blogesnės kokybės.

12. Nors paprastai mus domina tik dydžiai stebimi tikrovėje (empiriškai tikrinami teiginiai), tačiau galime pasidomėti kaip pajamų padidėjimas paveiktų pajamų ribinį naudingumą . Deja, ir vėl poveikio vienareikšmiškai nustatyti negalima, nes

λ

2211212

2122211

33

21

2221

1211

2

))(1()1(1

00

1 uuuuuuppuuuu

HAAm −=−−−=

−−−==∂∂ +

λλ ö 0.

13. Panagrinėkime padidėjimo poveikį. Pilnai diferencijuodami būtinąsias uždavinio sprendimo sąlygas šio parametro atžvilgiu gauname

1p

=−−∂∂

−

=∂∂

−∂∂

∂∂

=−∂∂

−∂∂

∂∂

0

0),(),(

0),(),(

121

11

12

1

22122

1

12121

11

1

22112

1

12111

xppxp

pp

pxxx

pxxxu

pp

pxxx

pxxxu

λ

λλ

∂∂

+

+

1

2

px

u

u

. Toliau perrašome matricų pavidalu

=

∂∂∂∂∂∂

−−−

11

12

11

21

2221

1211

0xp

pxpx

ppuuuu λ

λ

−

2

1

0pp

ir taikome Cramerio taisyklę. Kadangi

121212222

21

222

112

1 )(0

0 xpupuppx

pupu

A −+−=−

= λλ

−−

,


4

111221121

11

212

111

2 )(0

0 xpupuppxp

pupu

A −+=−

−−

= λλ

, tai

AApx 111 =∂∂ , AApx 212 =∂∂ ir AAp 31 =∂λ∂ .

( ) ( 1212222 upup −+−λ(1 211 Hpx =∂∂

)122212 pupu −

(( 21121 upupp −+λ

) 122112 (1 pupuH −

14. Ieškodami pirmos prekės kainos ribinio pokyčio poveikio tos pačios prekės paklausai gauname

)) 12 xp ( ) ( ) 12121222222 )(1 xpupuHHp −+−= λ .

Tačiau ieškodami pajamų pokyčio poveikio sužinojome, kad ( )(1 21 Hmx =∂∂ . Todėl ( ) 112

2211 )( xmxHppx ∂∂−−=∂∂ λ

1x

ö 0. Dabar galime matyti, kad gavome Slutsky’o lygtį – pilnąjį kainos poveikį išskaidėme į pakeitimo ir pajamų efektus. Pakeitimo efektas (pirmasis narys) neabejotinai neigiamas, tačiau antrasis narys (pajamų efektas) gali būti teigiamas ( normalioji prekė 0>1 ∂∂⇔ mx ) arba neigiamas ( blogesnės kokybės prekė 1x 01 <∂∂ mx⇔ ).

15. Ieškodami pirmos prekės kainos ribinio pokyčio poveikio kitos prekės paklausai gauname ( ) ))1 1112212 xpHpx =∂∂

( ) ( 11221 )xHpp += λ ( ) ( ) 12221 xmxHpp ∂∂−= λ ö0. Tai ir vėl Slutsky’o lygtis, tačiau čia į pakeitimo ir pajamų efektus skaidome pilną kitos prekės kainos poveikį. Pirmasis narys neabejotinai teigiamas, o antrasis gali būti ir teigiamas ir neigiamas priklausomai nuo antrosios prekės tipo (normali ar blogesnės kokybės). Jei antroji prekė yra blogesnės kokybės, tai, padidėjus pirmos prekės kainai, vartotojas neabejotinai pirks daugiau antrosios prekės.

Priedas: Matematiniai lyginamosios statikos metodo pagrindai 1. Šio matematinio priedo tikslas – pateikti kiek galima trumpesnį lyginamosios statikos metodo

pagrindimą. Todėl dažnai pateiksiu tik metodą pagrindžiančias galutines išvadas, o siekiantys gilesnio ir griežtesnio nagrinėjimo gali pasiskaityti šiuos šaltinius: Chiang, psl. 204-214, 332-352, 369-432, arba Silberberg, psl. 144-148, 156-189. Daugumos šiame priede pateikiamų dalykų nebūtina įsiminti, tačiau šį priedą verta įdėmiai perskaityti – lyginamosios statikos metodas turėtų tapti aiškesnis.

2. Jei naudingumo funkcija yra žinoma, tai išsprendę maksimizavimo uždavinį randame išreikštines paklausų funkcijas. Pavyzdžiui, jei naudingumo funkcija yra , tai prekių paklausų funkcijos yra

ba xxu 21=( )( 1) pmb )211 (),,( aamppx += ir

( )( 2212 )(),,( pmbabmppx += ). Dešiniau lygybės ženklo matome konkrečias išraiškas, taigi šios funkcijos yra išreikštinės.

3. Jei naudingumo funkcija nėra žinoma, tai spręsdami Lagrange’o daugiklių metodu, tegalime rasti Lagrange’o funkcijos dalines išvestines. Kiekvieną iš jų prilyginę nuliui gautume lygčių sistemą. Neišreikštinės funkcijos teorema (Chiang, psl. 204-214, Silberberg, psl. 144-148) nurodo sąlygas, kurioms galiojant egzistuoja tokios sistemos sprendinys.

4. Tačiau iš pradžių išnagrinėkime labai paprastą neišreikštinės funkcijos teoremos taikymo pavyzdį dviejų kintamųjų atveju. Įsivaizduokime, kad duota lygtis . Neišreikštinės funkcijos teorema teigia, kad egzistuoja šios lygties sprendinys jei galioja sekančios sąlygos. Pirma, tam tikrame taške tenkinančiame

0),( 21 =xxF)( 12

*2 xxx =

0),( 21 =xxF),( *2

*1 xx


5

egzistuoja funkcijos tolydžios dalinės išvestinės abiejų jos argumentų atžvilgiu

(

),( 21 xxF

11 x

FF∂∂

= ir 2

2 xFF

∂∂

= ) ir antra, . 02 ≠F

2 dxdx

22+ dxF

4=24 21 += xxF

22 =F

2x

,...,,

211

21

−n

pxpxx

( 1x,,,..., **

3x λ

1

1

21

11

n

LLLL

LLLL

λ

5. Neišreikštinės funkcijos teorema ypač svarbi tuo, kad ja remdamiesi galime rasti neišreikštinės funkcijos išvestinę 1

=

net jei negalime (ar nenorime) surasti pačios neišreikštinės funkcijos konkrečios išraiškos. Toks teoremos pritaikymas vadinamas neišreikštinės funkcijos taisykle. Lygtis yra ir tapatybė tam tikro taško aplinkoje, kurioje apibrėžiama neišreikštinė funkcija , todėl galima pilnai diferencijuoti abi lygties puses. Gauname . Padalijame abi puses iš , pertvarkę gautą išraišką randame išvestinę

)( 12 xx

1dxF

0),( 21 =xxF)( 12 xx

01 1dx

21 FF−=1dx2dx . 6. Teoremos ir taisyklės veikimą galima paaiškinti labai paprastu pavyzdžiu. Turime lygtį

, ją perrašę pavidalu gauname lygtį , kuri apibrėžia neišreikštinę funkciją . Randame

tolydžias išvestines ir , taigi pirmoji teoremos sąlyga galioja. Be to galioja ir antroji sąlyga , taigi neišreikštinė funkcija egzistuoja. Tuo lengva įsitikinti – tereikia išreikšti kito kintamojo atžvilgiu. Gauname . Nors galime lengvai rasti išreikštos

24 21 + xx),( 21 xxF

0),( 21 =xxF

x

)22( 1 −=′− x

04 =−41 =

0≠

)( 12 xx22 =F

2′x

)( 12 x

2x2

122 x−= funkcijos išvestinę , tačiau pritaikykime neišreikštinės

funkcijos taisyklę. Gauname =

22 −=421 −=− FF12 dx =dxn

. 7. Kai vartotojas renkasi prekių kiekius randame atitinkamas Lagrange’o funkcijos dalines

išvestines, kiekvieną jų prilyginam nuliui ir gauname lygčių sistemą

Sistemos sprendinys – neišreikštinės (jų

išraiškos nežinomos) funkcijos ir – egzistuoja, jei galioja toliau išvardintos sąlygos

1+n

.0...

,,...,1 ,0)(

2

=−−====

nn

iii

xpxmLnipxuL

λ

),(* mpxx ii =

−− λ

),(* mpλλ =

8.1. Egzistuoja funkcijų iL ir tolydžios dalinės išvestinės visų argumentų atžvilgiu – ir endogeninių kintamųjų ir egzogeninių parametrų . Kitaip tariant, galima surasti Lagrange’o funkcijos antrąsias dalines išvestines prekių kiekių, Lagrange’o daugiklio, prekių kainų ir pajamų atžvilgiu.

λL,1 xx ),,...,( 2 λnx ),,...,,( 21 mppp n

8.2. Matricos, kurią sudaro ir , tai yra funkcijų ir dalinės išvestinės endogeninių kintamųjų atžvilgiu, įvertintos tam tikrame taške

tenkinančiame būtinąsias sąlygas, determinantas nelygus nuliui. Atkreipdami dėmesį į tai, kad , ir , galime

užrašyti

ijL,..., nx

,...,2

jLλ)λ,mn

iL

ijL =

λL

ij

,, 2x,1 ppp ),( *

2*1 xx

u ii pL −=λ 0=λλL

0≠

0

2

1

−−

−−

n

nn

n

n

ppu

pupu

2

2

22

12

n

p1

1

221

111

−−

=

nn

pu

uu

λλ

λ

λ

λ

2

2

222

112

n

LL

LL

λ

2

1

n

LL

LL

n

nn

n

n

λ

u

uu

. Taigi mus

dominančią matricą sudaro antrosios naudingumo funkcijos išvestinės įrėmintos stulpeliu ir eilute susidedančia iš kainų vektoriaus ir nulio. Tokia matrica vadinama įrėmintu Hessianu (bordered Hessian matrix). Ji paprastai žymima nH , nors jos dimensijos yra

. Šios matricos determinanto )1()1( +×+ nn || ženklą lemia naudingumo funkcijos ir biudžetinio apribojimo įgaubtumo (iškilumo) pobūdis. Kaip matysime toliau, šios sąlygos

nH


6

bus tenkinamos jei galios pakankama naudingumo funkcija kvaziįgaubtumo sąlyga, o biudžetinis apribojimas bus tiesinis.

9. Funkcijos įgaubtumas ar iškilumas yra svarbus jos kreivumo pobūdžio apibūdinimas. Galima išskirti įvairius atvejus – kvazi, griežtą, negriežtą įgaubtumą ar iškilumą (pvz. griežtas kvaziįgaubtumas). Nuo funkcijos kreivumo pobūdžio priklauso tai ar galima surasti maksimumo ar minimumo tašką.

10. Jei norime rasti kažkokios vieno kintamojo diferencijuojamos funkcijos maksimumą nesant jokių apribojimų reikšmėms (įsivaizduokite, kad vartotojas nėra saistomas jokio biudžetinio apribojimo), tai visų pirma reikia rasti , po to sudaryti lygtį ir ją išspręsti. Nors ši sąlyga yra būtina, kad galiotų , tačiau jos nepakanka, nes galėjome rasti ne maksimumą, o minimumą, tai yra . Jei funkcija didėtų (u ) iki taško , už taško mažėtų ( ), tai taške funkcijos liestinės nuolydis būtų lygus nuliui (u ) ir minėtame taške funkcijos reikšmė būtų maksimali. Kita vertus, jei funkcija iš pradžių mažėtų, o po to didėtų, tai taške funkcijos reikšmė būtų minimali.

)(xu

ux

*

)(xu′ux >)*

u()( <′ x

0)( =′ xxxu ∀),((ux < ()*

0uxx ∀),x

x

0)( >′ x x *x *

*

0)( =′ x

11. Tačiau jei funkcijos nuolydis (pirmosios išvestinės reikšmė) visą laiką mažėtų, tai to pakaktų, kad lygties sprendinys būtų maksimumo taškas. Kita vertus, , pakanka, kad funkcija būtų (griežtai) įgaubta (concave), o , kad būtų (griežtai) iškila (convex).

0)( =′ xu *x xxu ∀<′′ ,0)(xxu ∀>′′ ,0)(

12. Toliau panagrinėkime geometrinius apibrėžimus (Chiang, psl. 340-352), jie lengviausia suprantami.

12.1. Funkcija yra griežtai įgaubta jei atkarpa jungianti bet kuriuos du skirtingus jos kreivės taškus yra ištisai po jos kreive išskyrus atkarpos galus. Negriežtai įgaubtos funkcijos atveju atkarpa gali sutapti su kreive. Griežtas įgaubtumas yra ypatingas įgaubtumo atvejis.

12.2. Funkcija yra griežtai iškila jei atkarpa jungianti bet kuriuos du skirtingus jos kreivės taškus yra ištisai virš jos kreive išskyrus atkarpos galus. Negriežtai iškilos funkcijos atveju atkarpa gali sutapti su kreive. Griežtas iškilumas yra ypatingas iškilumo atvejis.

12.3. Nežemiau už žemesnį: Funkcija yra kvaziįgaubta jei visi taškai jos kreivės dalyje tarp bet kurių dviejų skirtingų taškų , išskyrus pačius ir u , yra nežemiau už

. Neaukščiau už aukštesnį: Funkcija yra kvaziiškila jei visi taškai jos kreivės dalyje tarp bet kurių dviejų skirtingų taškų , išskyrus pačius ir , yra neaukščiau už . Esant griežtam kvaziįgaubtumui tarpiniai taškai turi būti griežtai aukščiau už žemesnį galą, o esant griežtam kvaziiškilumui – griežtai žemiau už aukštesnį galą. Griežto kvaziįgaubtumo pavyzdys – varpo pavidalo funkcija, griežto kvaziiškilumo – apversto varpo pavidalo funkcija.

)~()ˆ( xuxu ≤

(u

)ˆ(xu )~(x

(u)ˆ(xu

)~()ˆ xux ≤ )x̂ )~(xu)~(xu

13. Jei funkcija yra griežtai įgaubtoji, tai būtinoji sąlyga leis surasti vienintelį maksimumą, nes jos nuolydis griežtai mažėja. Jei funkcija yra negriežtai įgaubtoji, surastas maksimumas nebūtinai bus vienintelis. Taigi, jei tai to pakanka, kad naudingumo funkcija būtų įgaubtoji ir taikydami būtinąją sąlygą ( ) rasime funkcijos maksimumą.

)(xu 0)( =′ xu

x∀< ,0)(′ xu

xu ′′ )(0=

14. Kai sprendžiame vartotojo naudingumo maksimizavimo uždavinį, vartotojas paprastai renkasi prekių kiekius ir negali pažeisti biudžetinio apribojimo. Pritaikę Lagrange’o daugiklių metodą, vartotojo uždavinį galime užrašyti , čia

ir . Radę atitinkamas dalines išvestines ir kiekvieną jų prilyginę nuliui turėsime būtiną sąlygą. Kadangi būtinosios sąlygos susijusios su pirmosiomis optimizuojamos funkcijos išvestinėmis, tai jos dažnai vadinamos pirmos eilės sąlygomis.

n

,...,

)()(),(max,

pxmxuxLx

−+= λλλ

)( 1 nxxx = ),...,( 1 nppp =1+n


7

15. Pakankamosios sąlygos galiojimą galima tikrinti determinantų testu. Sudarome įrėmintą

Hessiano matricą

−−−−

−−

=

=

021

21

222221

111211

21

21

222221

111211

n

nnnnn

n

n

n

nnnnn

n

n

n

ppppuuu

puuupuuu

LLLLLLLL

LLLLLLLL

H

λλλλλ

λ

λ

λ

22×

. Jei

iš šios įrėmintos Hessiano matricos išmestume visas eilutes išskyrus paskutines dvi ir visus stulpelius išskyrus paskutinius du, tai gautume įrėmintą matricą 1H

33×. Jei išmesdami

paliktume paskutines tris eilutes ir paskutinius tris stulpelius tai gautume įrėmintą matricą 2H

4×. Jei paliktume paskutines keturias eilutes ir paskutinius keturis stulpelius tai

gautume įrėmintą matricą 4 3H ir taip toliau. Jei šių matricų determinantams galioja

02 >H , 03 <H , 04 >H , …, 0)1( >− nn H , tai to pakanka, kad, iš būtinųjų sąlygų būtų

galima rasti maksimumą (Chiang, psl. 384-385, Silberberg, psl. 173-180). Determinantų ženklų sąlyga yra pakankamoji arba antros eilės sąlyga, pastarasis pavadinimas kilęs iš to, kad šiai sąlygai suformuluoti prireikia antrųjų išvestinių. Kaip jau buvo minėta, pakankamoji maksimumo radimo sąlyga glaudžiai siejasi su naudingumo funkcijos kreivumo pobūdžiu. Jei biudžetinis apribojimas yra tiesinis, tai pakankamos maksimumo radimo sąlygos galiojimas reikš ir naudingumo funkcijos kvaziįgaubtumo pakankamosios sąlygos galiojimą (Chiang, psl. 394-397). Taigi, norint taikyti lyginamosios statikos metodą pakanka padaryti prielaidą, kad vartotojo pomėgius galima išreikšti bent du kartus diferencijuojama kvaziįgaubta naudingumo funkcija.

16. Jei vartotojas renkasi dviejų prekių kiekius ( atvejis), tai tereikia sudaryti matricą 2=n

−−−−

=021

22221

11211

2

pppuupuu

H ir apskaičiuoti jos determinantą (tik vieną)

=+−− + ))1() 12123

2122 puppu2 2

21 1 2 12 1 2 11 2u p p u p p u p+ = −

−( 112 pu

22 12 u p−

+−−−= + ()1( 21213

12 pupH2 2

12 1 2 22 1 11 2u p p u p u p= − − ei galioja 02 >H , tai to pakanka, kad galėtume rasti maksimizavimo uždavinio sprendinį, kita vertus tai taip yra ir pakankama naudingumo funkcijos kvaziįgaubtumo sąlyga.

. J

Documents

P02