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2aAvaliação (MV1) de Matemática I - Turma PMQ 311 - 2014/2
Professor Rafael de Freitas Lopes
Questão 01:
a) Desenvolva(
3√
+1)
2 e(
3√
− 1)
2, usando produtos notáveis.
b) O número x = 4 +2 3√√
− 4− 2 3√√
é racional ou irracional? Justifique cuidadosamentesua resposta.
Questão 02: O número de ouro (φ) é um número real que pode ser obtido tomando a soluçãopositiva da equação do 2o grau x2 =x + 1 (*).
a) Resolva a equação (*) e determine, sem usar aproximações, o valor exato de φ.
b) O número de ouro é racional ou irracional? Justifique cuidadosamente sua resposta.
c) Determine, sem usar aproximações, o valor de y = φ3− 2φ.
Questão 03: Cinco números racionais (A;B;C;D e E) são marcados sobre a reta real de modoque A < B < C < D < E. Sabe-se também que as diferenças B −A, C −B, D −C e E −D
são constantes.
a) Encontre os valores de A, B e D sabendo que C =−1
5e E =
1
4.
b) Dê exemplo de um número irracional compreendido entre A e B.
c) Dê exemplo de um número racional com um número finito de casas decimais compreendidoentre B e C.
d) Dê exemplo de um número racional com um número infinito de casas decimais compreendidoentre C e D.
e) Dê exemplo de um número racional cuja fração irredutivel tem numerador 3 e estejacompreendido entre D e E.
1
Questão 04: Em cada item, diga, justificando suas respostas, se as afirmações a seguir sãoVERDADEIRAS ou FALSAS.
a) o número π√
é racional.
b) 0, 49̄=1
2, onde 0, 49̄ é a dízima periódica 0, 4999
c) 18003√
> 12, 34.
d) se x e y são números reais positivos não nulos então x2 + y2√
<x + y.
e) o resultado da expressão−2−2 +
3
4− 0, 6̄
1−1
3
é igual a −0, 25.
f) se x é um número real compreendido entre 0 e 1 então dentre os números9x
10, x√
, x2 e x3,
o maior é x3.
g)1
(
2√
− 3√ )(
2√
− 5√ ) +
1(
3√
− 2√ )(
3√
− 5√ ) +
1(
5√
− 2√ )(
5√
− 3√ ) ∈Q.
Questão 05: Considere a expressão ax2 + bx + c (*), onde a, b e c são números reais e a� 0.
a) Usando o fato de que (α + β)2 = α2 + 2αβ + β2, mostre que é possível encontrar númerosreais k e h tais que a expressão ax2 + bx + c pode ser reescrita como (x + k)2 +h.
b) Com base no item a), encontre condições para que a equação ax2 + bx+ c=0 (onde a, b e c
são números reais e a� 0) admita solução em R. Aproveite, diga quais são essas soluções.
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