PAA - Aula9 - Busca Exaustiva (1)

Projeto e Análise de Algoritmos

Força bruta - Busca exaustiva

Prof. Flávio José Mendes Coelho [email protected]

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS�ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA �

NÚCLEO DE COMPUTAÇÃO - NUCOMP

UEA/EST/NUCOMP – Projeto e Análise de Algoritmos – Prof. Flávio José M. Coelho

Busca exaustiva

Busca em profundida em grafos (DFS)

Busca em largura em grafos (BFS)

Nesta aula...

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UEA/EST/NUCOMP – Projeto e Análise de Algoritmos – Prof. Flávio José M. Coelho 3

Busca exaustiva


Muitos problemas importantes pedem a descoberta de um elemento com uma propriedade especial dentro de um espaço de busca que cresce exponencialmente ou pior com o tamanho da instância.

Em geral, tais elementos são objetos

combinatórios tais como permutações, combinações e subconjuntos de um conjunto.

Busca exaustiva

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Muitos deste problemas são problemas de otimização combinatória: descobrir um elemento que maximiza ou minimiza alguma característica desejável.

Definição. Busca exaustiva (enumeração

explícita) é a aplicação da abordagem de força bruta para problemas de otimização combinatória.

Busca exaustiva

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A estratégia de busca exaustiva é simples: 1.  Construa todos os objetos combinatórios do

espaço de busca E para a instância I do problema P.

2.  Escolha o elemento ótimo de E para I.

Como E cresce exponencialmente com o tamanho de P, empregar esta estratégia para instâncias não moderadas de P é computacionalmente inviável.

Busca exaustiva

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Alguns problemas importantes de otimização combinatória:

•  PCV – Problema do Caixeiro Viajante (Traveling Salesman Problema – TSP)

•  Problema da Mochila (Knapsack Problem) •  Problema da alocação

(Assignment Problem)

Busca exaustiva

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Definição. Dadas n cidades com distâncias conhecidas entre cada par de cidades, encontrar o tour mais curto que passe por todas as cidades exatamente uma vez antes de retornar a cidade de origem.

Definição alternativa. Encontrar o circuito Hamiltoniano mais curto em um grafo conectado e ponderado.

PCV

8


PCV

9

2 b

d c

a

7

4 8

5

3


Solução exaustiva 1.  Construa o conjunto de todas as

permutações (tours) das n–1 cidades. 2.  Encontre neste conjunto uma permutação

com o custo mínimo.

PCV

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Tour a – b – c – d – a

a – b – d – c – a

a – c – b – d – a

a – c – d – b – a

a – d – b – c – a

a – d – c – b – a

Custo 2 + 3 + 7 + 5 = 17

2 + 4 + 7 + 8 = 21

8 + 3 + 4 + 5 = 20

8 + 7 + 4 + 2 = 21

5 + 4 + 3 + 8 = 20

5 + 7 + 3 + 2 = 17

PCV

11

2 b

dc

a

7

4 8

5

3

T(n) = (n–1)!

T(n)∈Θ(n!)


Definição. Dados n objetos, seus pesos w1, w2, …, wn, seus valores v1, v2, …, vn e uma mochila (knapsack) de capacidade W, encontrar o subconjunto mais valioso de objetos que caibam na mochila.

Problema da mochila

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Problema da mochila

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mochila

W = 10

w = 3 v = R$12

w = 4 v = R$40

w = 5 v = R$25

w = 7 v = R$42

objeto 1 objeto 2 objeto 3 objeto 4


Solução exaustiva 1.  Construa todos os subconjuntos do

conjunto de n objetos dados, calculando o peso total de cada subconjunto.

2.  Encontre um subconjunto viável com o valor mais elevado entre eles.

Problema da mochila

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1 ∅ 0 R$0

2 {1} 7 R$42

3 {2} 3 R$12

4 {3} 4 R$40

5 {4} 5 R$25

6 {1, 2} 10 R$36

7 {1, 3} 11 inviável

8 {1, 4} 12 inviável

9 {2, 3} 7 R$52

10 {2, 4} 8 R$37

11 {3, 4} 9 R$65

12 {1, 2, 3} 14 inviável

13 {1, 2, 4} 15 inviável

14 {1, 3, 4} 16 inviável

15 {2, 3, 4} 12 inviável

16 {1, 2, 3, 4} 19 inviável

Problema da mochila

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# Subconjunto Peso Total Valor Total

mochila

W = 10

w = 4 v = R$40 objeto 3

w = 5 v = R$25 objeto 4


Como o número de subconjuntos de um conjunto de n elementos é 2n, a busca exaustiva leva a um algoritmo Ω(2n).

Tanto para o PCV quanto para a mochila, a busca exaustiva leva a algoritmos extremamente ineficientes.

Estes problemas são chamados de problemas NP–difícil.

Problema da mochila

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Definição. Dados m pessoas e n tarefas, cada pessoa executando uma tarefa a um custo cij (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n). Determinar a alocação de pessoas a tarefas de custo mínimo.

Problema da alocação

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Pessoa 1 9 2 7 8 Pessoa 2 6 4 3 7 Pessoa 3 5 8 1 8

Pessoa 4 7 6 9 4

Tarefa 1 Tarefa 2 Tarefa 3 Tarefa 4


Solução exaustiva 1.  Construa o conjunto de todas as

permutações de pessoas onde a i-ésima pessoa executa a i-ésima tarefa, calculando o custo total de cada permutação.

2.  Encontre a permutação de custo mínimo.


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Os algoritmos de caminhamento em grafos busca em profundidade (depth-first search - DFS) e busca em largura (breadth-first search - BFS) podem ser admitidos como algoritmos de busca exaustiva.

Busca em profundidade e busca em largura em grafos

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Ideia: o algoritmo caminha no grafo buscando alcançar o seu vértice mais distante (profundo), sempre que possível. Quando alcança, volta para o vértice anteriormente visitado e segue outro caminho, da mesma maneira.

Descobre no grafo uma árvore de busca em profundidade (árvore geradora).

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Busca em profundidade


Cada vértice inicia branco.

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Cada vértice visitado (descoberto) fica cinza.

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Vértice com adjacentes já visitados fica preto.

28













































Árvore de busca em profundidade.

50



Elementos do algoritmo Cada vértice: 1.  Inicia BRANCO. 2.  Muda para CINZA quando é descoberto. 3.  Muda para PRETO quando todos seus

vértices adjacentes já foram visitados.

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Elementos do algoritmo A árvore de busca em profundidade é dada por: Gπ = (V, Eπ ), onde Eπ = {(v.π, v)| : v ∈ V e v.π ≠ NULO} e v.π armazena o vértice predecessor de v.

u.d : guarda o “tempo” em que u é descoberto.

u.f : guarda o “tempo” em que u foi “concluído”.

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DFS(G)paracadavérticeu∈G.Vu.cor=BRANCOu.π=NULOtempo=0paracadavérticeu∈G.Vseu.cor==BRANCODFS-VISITA(G,u)DFS-VISITA(G,u)tempo=tempo+1//descobrevérticebrancou.d=tempou.cor=CINZAparacadavérticev∈G.adj[u]//exploraarestauvsev.cor==BRANCOu.π=vDFS-VISITA(G,v)u.cor=PRETO//pintaudepreto;uestáconcluídotempo=tempo+1u.f=tempo

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DFS(G)1paracadavérticeu∈G.V2u.cor=BRANCO3u.π=NULO4tempo=05paracadavérticeu∈G.V6seu.cor==BRANCO7DFS-VISITA(G,u)

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DFS-VISITA(G,u)1tempo=tempo+1//descobrevérticebranco2u.d=tempo3u.cor=CINZA4paracadavérticev∈G.adj[u]//exploraarestauv5sev.cor==BRANCO6u.π=v7DFS-VISITA(G,v)8u.cor=PRETO//pintaudepreto//uestáconcluído9tempo=tempo+110u.f=tempo

55


Eficiência de tempo Matriz de adjacência: Θ(|V|2). Lista de adjacência: Θ(|V| + |E|).

56



Propriedades da DFS: Todos os vértices são explorados.

Descobre uma floresta de árvores geradoras (Gπ). (árvores de busca em profundidade)

57



Aplicações da DFS Contar componentes conexas de um grafo. Verificar se o grafo é acíclico. Descobrir a saída de labirintos. Verificar estruturas de parênteses (d e f). Utilizada em ordenação topológica.

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Ideia em grafos 1. Partindo de um vértice-origem s do grafo, o

algoritmo visita (descobre) todos os vértices a uma distância k = 1 do vértice s.

2. Depois, visita os vértices a uma distância k + 1 de s, e assim por diante, até os vértices mais distantes de s.

Busca em largura


Busca em largura


Escolha um vértice s de origem.

Busca em largura

s


Visite todos os seus adjacentes.

Busca em largura

s



Busca em largura

s



Busca em largura

s



Busca em largura

s



Busca em largura

s


Pinte s de preto após visitar seus adjacentes.

Busca em largura

s


Busca em largura

1

2

3

4s


Busca em largura

s


Busca em largura

s


Busca em largura

s


Busca em largura

s


Busca em largura

s


Busca em largura

s


Busca em largura

s


Busca em largura

s


Busca em largura

s


Busca em largura

s


Busca em largura

s


Busca em largura

s


Busca em largura

s


Busca em largura

s


Busca em largura

s


Busca em largura

s


Busca em largura

s

1

2

3

4

5 6

7

8


Busca em largura

s


Busca em largura

s


Busca em largura

s


Busca em largura

s


Busca em largura

s


Busca em largura

s


Busca em largura

s


Busca em largura

s


Busca em largura

s


Descobre uma árvore de busca em largura.

Busca em largura

s


Elementos do algoritmo Cada vértice: 1.  Inicia BRANCO. 2.  Muda para CINZA quando é descoberto. 3.  Muda para PRETO quando todos seus

vértices adjacentes já foram visitados.

Busca em largura


Elementos do algoritmo A árvore de busca é dada por: Gπ = (V, Eπ ), onde Eπ = {(v.π, v)| : v ∈ V e v.π ≠ NULO} e

v.π armazena o vértice predecessor de v.

u.d : acumula a “distância” da origem s até u.

Busca em largura


BFS(G,s)1paracadavérticeu∈G.V–{s}2u.cor=BRANCO3u.d=∞4u.π=NULO5s.cor=CINZA6s.d=07s.π=NULO8Q=ø9ENFILEIRA(Q,s)10enquantoQ≠øfaça11u=DESENFILEIRA(Q)12paracadavérticev∈G.adj[u]13sev.cor==BRANCO14v.cor=CINZA15v.d=u.d+116v.π=u17ENFILEIRA(Q,v)18u.cor=PRETO


BFS(G,s)1paracadavérticeu∈G.V–{s}2u.cor=BRANCO3u.d=∞4u.π=NULO5s.cor=CINZA6s.d=07s.π=NULO

inicialização


BFS(G,s)...8Q=ø9ENFILEIRA(Q,s)10enquantoQ≠ø11u=DESENFILEIRA(Q)12paracadavérticev∈G.adj[u]13sev.cor==BRANCO14v.cor=CINZA15v.d=u.d+116v.p=u17ENFILEIRA(Q,v)18u.cor=PRETO

principal


Eficiência de tempo Matriz de adjacência: Θ(|V|2). Lista de adjacência: Θ(|V| + |E|).

Busca em largura


Propriedades da BFS: Todos os vértices são explorados.

A busca em largura obtém o caminho mínimo de um vértice origem s até outro vértice qualquer v.

Procedimento BFS constrói uma árvore de busca em largura armazenada em Gπ.

Busca em largura


Aplicações da BFS:

Modelo para o algoritmo de Dijkstra para caminho mínimo de origem única e o algoritmo de Prim para árvore geradora mínima.

Busca em largura


Força bruta é simples, mas ineficiente para instâncias de tamanho significativo.

Busca exaustiva é uma estratégia força bruta para problemas de otimização combinatória (ou caminhamento em certas estruturas).

Estratégia de busca exaustiva: gere todos os objetos combinatórios do problema e selecione um que satisfaça as restrições do problema.

Conclusões

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Bibliografia

•  A. Levitin. Introduction to the Design and Analysis of Algorithms. 3rd edition. Addison-Wesley, 2007.

•  T. H. Cormen, C.E. Leiserson, R.L. Rivest, C. Stein, Introduction to Algorithms, 3rd edition, MIT Press, 2009.

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