Luca Pacio li

LA DIVINA PROPORCIÓN Introducción de

Antonio l. González Rodríguez

Trttducción de Juan Calalr::tva

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NOTA A LA EDICION

La presente edición del tratado de fra Luca Pacioli LA DIVINA PROPORCION ha sido realizada a partir del ejemplar manuscrito existente en la Biblioteca Ambrosiana de Milán, que fuera regalado por el propio autor a Gianga­leazzo Sanseverino. De los tres códices que Luca Pacioli man­dó copiar sólo se conservan en la actualidad el mencionado y el que fue dedicado al Duque de Milán Ludovico il Moro (Biblioteca Cívica de Ginebra). Más tarde sería impreso en Venecia en 1509, en los talleres de Paganino Paganini junto a otros escritos (el Tractato de la architectura, el Libellus in tres partiales tractatus divisus, traducción en vulgar de la obra de Piero della Francesca De corporibus regularibus y las instrucciones para construir el Alfabeto).

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~< ... Entonces fue cuando todos Los géneros constitui­dos de esta manera recibieron de él su figura, por la ac­ción de las 1 deas y los Números. Pues, en la medida en que era posible, de estos géneros ... el Demiurgo ha he­cho un conjunto, el más belio y mejor.,.

PLATÓN, Timeo, 53 b

ASPECTOS BIOGRAFICOS DE FRA LUCA PACIOLI.-«Me complace sumamen­te, oh magnífico Andrea, la suerte que tiene el actual siglo de que esté recién publicado el li­bro SOBRE LA DIVINA PROPORCION, escrito por el maestro Luca Pacioü da Borgo Sansepolcro, esclarecidísimo representante de la o rden minoritana, de quien dudo que poda­mos en lo sucesivo encontrar algún émulo en materia matemática.» 1 Así escribía Danicle Gae­tani, el 9 de mayo de 1509, al patricio veneciano Andrea Mocenigo, expresando lo que debía ser, sin duda, una opinión muy extendida en los ambientes artísticos y científicos de la Italia del Norte, en los primeros años del siglo XVI. Sin embargo, la fama de Luca Pacioli quedaría en el olvido poco tiempo después de su muerte. Tan sólo algunos eruditos matemáticos y algunos tratadistas conocerán su obra. Es a partir de mediados del siglo XlX, en la Italia del Rissorgimento, cuando su obra adquiere de nuevo inusitado interés.

El franciscano Luca Pacioli nace en 1445 en la pequeña localidad de Borgo San Sepol­cro, aldea situada en el valle superior del Tíber, al pie de Monte Maggiore, en los confines de la Toscana y de la Umbría y a unos 38 km. de Arczzo1

. Dicha localidad perteneció a fi­nales del siglo XV a la república de Florencia. En ella transcurre su juventud. Todo lo que se sabe de su familia se reduce a unos cuantos datos suministrados, fundamentalmente, por su testamento. Así, su padre se llamaba Banolomeo y uno de sus tíos, Benedetto; tuvo como sobrinos a Ambrosio y a Ziniperio (hijos de su hermano Piero) y a Antonio Marsi Pacioli, llamado Barbaglia. En cuanto a la ortografía de su nombre, él mismo se hacía llamar «Frater Lucas de Borgo Sancti Sepulcri •, sin ningún tipo de referencia familiar. En su testamento de 1508 escribe, sin embargo, «frater Lucas bartolomeis de paciolis de burgo sancti sepolcri,., mientras que su notario Pedreni le llama .. fratem Lucam de Patiolis» . En su testamento de 1511 es denominado .. o ominus Luca O lim bartolomei Pacioli de burgo Sancti Sepulcri», y algunas Líneas más abajo aparece la ortografía Pacioli.

La localidad de San Sepolcro gozaba de una larga tradición franciscana. El mismo San

1 Cf. PACIOLI, L.: La diuina proporrión, Buenos Aires, Ed. Losada, 1946, p. 55. 2 Cf. STEJGMÜLLER, H.: • Lucas Paciuolo. Eine biographische Skizze•, en Zeitschrifi fiir Marht matik und

Physik. Hisrorische Liurarisch~t Abceilung, 1889, XXXfV, pp. 81-102 ¡ d. M o RRJSON, S.: Fra Luca Paooli del Sorgo, Nueva York, The Grolier Club, 1933.

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Francisco había pasado en varias ocasiones por ella, siguiendo el camino que conducía desde Asís hasta Monte Alverne, donde había fundado un convento floreciente y recibido los fa­mosos estigmas. El ambiente en el que transcurrieron sus primeros años debió de pesar a la hora de entrar en la Orden Menor de San Francisco. Su primera instrucción laica tuvo lugar en casa de la familia de Folco de Belfolci, en calidad de «apprenti». Las frecuentes visitas que Piero della Francesca realizó, a partir de 1460, a su Borgo nataJ de San Sepolcro, dio a Pacioli la oportunidad de trabar profunda amistad con él, así como asistir a sus lecciones. Es por entonces cuando tienen lugar sus primeros contactos con la corre de U rbino. Dada la gran relación que Piero mantenía con dicha corte, no sería extraño que fuera él el que le sirviera de introductor en ella. Sin duda, debió de encontrar en la espléndida biblioteca de Federico de Momefeltro, duque de Urbino, los textos antiguos que estimularon su ávido espíritu y marcaron su trayectoria de estudioso de las ciencias.

Parece ser que gozó de una cierta predilección en el favor de su tío Benedetto, cuyo so­~renombre era Baiardo. Este había sido militar al servicio del condotiero Baldaccio d ' Ang­hiari y capitán de infantería bajo el rey Alfonso V; participó en la conquista de Nápoles en 1442 y en el año 1466 aparece formando parte de la guardia de la ciudad de Padua. Gran parte de los conocimientos que Pacioü poseía en materia miJitar, en especial en arquitectura, pudieron provenir de su tío.

Hacia los veinte años abandona su localidad natal para dirigirse a Venecia. Se instala en la Giudeca, en casa del rico mercader Antonio Rompiasi, en calidad de preceptor de sus hijos Francesco y Paolo. Los innumerables viajes que debió de realizar mientras estuvo al servi­cio de Rompiasi, acompañándolo en sus caravanas de mercancías, acrecentaron sus notables conocimientos de comercio, que puso de manifiesto en algunos de sus escritos. Durante su primera estancia veneciana mejoró su formación asistiendo a las • lecciones públicas" de ma­temáticas del patricio Doménico Bragadino. En Venecia escribe un libro de álgebra que de­dica a los hijos de Rompiasi 3 •

Durante los años 1470 y 1471 se encuentra en Roma, alojado en casa de Albeni. Dicha estancia coincide con la presencia en la ciudad eterna de su maestro Piero, quien había sido contratado por el papa Nicolás V para decorar una parte de las «stanze• vaticanas, lo que sugiere que fue el propio pintor quien le sirvió, nuevamente, de introductOr. El mismo Pa­cioü nos ofrece noticias de este encuentro: • Non so pensare carissimi miei perché el nostro compatriota Leon Batista de li Alberti florentino, con lo quale piu e piu mesi ne l'alma Roma, al tempo del pontífice Paulo Barbo da Vinegia, in proprio domicilio con lui a sue spesi sempre ben trattato, omo certamente de grandissima perspicacit3 e dottrina in umanita e retOrica,. 4•

Pacioli contaba aproximadamente unos veinticinco años por esta época. En Roma, sin duda, debió de frecuentar la alta sociedad, entre cuyos miembros podría citarse la poderosa familia Delia Rovere (Giuliano, el futuro papa Julio II, lo distinguió con su amistad). Asimismo, pudo tener contacto con el ambiente del Cardenal Riario, interesado, por entonces, en los es­tudios sobre Vitruvio (la Editio Princeps de Los diez libros de arquitectura, preparada por Sulpicio Verulano, aparecerá en Roma en 1490).

3 Cf. PACIOLI, L.: Summa de Arithmeríca Geometría Proporcione et Proporciona/ita, Venecia, 1494, folio 67: •Nostri relevati discipuli ser Bart.• e Fr~ncesco e Paulo fratelli de Rompiasi da la Giudeca: degni merc:mmi in Vi­negia: figliuoli gia de ser Antonio. •

• Cf. PACIOI.I, L.: De Divina Proporuone, Venecia, Talleres de Paganius Paganinus, 1509, JI parte, cap. Vlll (Cfr.la selección realizada por BRUSCHI, A., en Scriui Rinascimentali di Archirmura, Milán, lJ Poli filo, 1978, p. 121.)

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Alrededor de 1472 roma la decisión de enrrar en la orden de los Franciscanos Menores. Piero della Francesca lo retrata en la figura de San Pedro Mártir, del célebre cuadro «LaMa­donna col Bambino, Santi e Angeli e il duca Federico Il da Montefcltro» (Galr. Brera), pin­tado entre 1472 y 1474 5 . La presencia del duque Federico en la pintura podría ser una prue­ba de la estancia del Frate en la corte de Urbino. Es muy probable que en estos años entre en contacto, a su vez, con Bramante, Francesco di Giorgio, etc. 6

. En 1475 aparece como lec­tor de matemáticas en Perugia, a propuesta de los jóvenes estudiantes. De esta época, tal vez, sea un manuscrito encontrado en el Vaticano y que lleva el número 3.129. En 1477 figura en documentos y registros del Studio de Perugia. En dicha ciudad se le contratará para que en­señe matemáticas con el estipendio de 30 fiorines anuales y por un período de dos años, ac­tividad que abandona para realizar algunos viajes dentro y fuera de Italia con vistas a la re­dacción de algunos manuscritos. En 1481 se encuentra en Zara (Dalmacia), en donde com­pone un tratado de álgebra. D espués de una corta estancia en Florencia vuelve a Perugia. Aquí obtiene el alto título académico de Magíster, que le da derecho a obtener una cátedra en la referfda ll!'iversidad: enseñará el «Abaco» («ad docendum abacum») de 1486 a 1487 '. Abandona la docencia , como él mismo señala, por agotamiento y por su quebrantada salud, y se dirige de nuevo a Roma. En 1488 aparece en casa de Piero Valletari, obispo de Carpen­trasso, tal vez en funciones de secretario del prelado. En 1490 se encuentra en Nápoles, en donde enseñará teología y matemáticas. En esta ciudad realiza una colección de poliedros re­gulares que regalará, más tarde, a Guidubaldo de Monrefeltro. De 1490 a 1493 se encuentra en su pueblo natal, Borgo de San Sepolcro, para preparar la publicación de su obra Summa de A rithmetica. En 1493 da lecciones públicas de aritmética y geometría en Padua. Sus superiores le ordenan ir a Asís ese mismo año, con la amenaza de proceder a la exco­munión ( .. latae sententiae,.) y privación de su magisterio de no obedecer. Parece ser que su actitud de hombre libre y su condición de docente universitario no era del agrado de sus hermanos de orden. Aiorrunadamente, no pasó de una simple amonestació n. En 1494 se tras­lada a Venecia para imprimir su Summa de Arithmetica Geometría Proportioni et Proportio­nalita, y se hospeda en el convento que la orden tiene en el Ca' Grande. Conoce al joven Marino Sanuto, importante historiógrafo de la república, de quien hablará en la dedicatoria de su obra.

Después de la publicación de la Summa, Pacioli regresa a Urbino, presumiblemente a finales de ese mismo año. En esta ciudad gozará, esta vez, de gran prestigio. Su biógrafo Bal­di nos cuenta que fue acogido con gran gentileza por innumerables cortesanos 8 • Entre ellos se encontraban el conde Octaviano Ubaldino, secretario de Federico de Montefeltro y exce­lente matemático, y el futuro obispo de Fossombrone, Paolo de Middeburgo, considerado el

J Cf. CLARK, K.: Piero del/a Francesca, Londres, Phaidon, 1969, p. 23 1; cfr. DE VECCHI, P.: •Analisi dell'o­pera pittorica di Piero della Franccsca•. <'n /'tero de/la Fra>teesca, Milán, Rizzoli, p. IC6.

' Vid. infra nota 0 -1) p. 15. 7 En la Summa relata que se cncontr.1h.1 en el convento de Santa C roce de Florencia, donde había leído el tra­

tado de San Ambrosio H examnon, . el año pasado·; en otro lugar de la misma obra alude a la reciente tdición del De A rchiun ura de Alberti (realizada en 1485). Por lo tanto, si en 1487 aparece en Perugia la esuncia florentina podría fe·charse en 1486.

~ Cf. BALDI, B. : Vua di L uca Paoo!t, en BUONC0~1PAGNI, B.: • lntorno alle vi te inedite dí tre matematíci (Gio­vanní Danck de Sassonia, Gío,•anni di Lineriis e f r;¡ Luc;¡ Pacioli da Borgo San Scpo lcro) scrine da Bernudino Bal­dí., en Bollettmo dt bibliografia r dt storia del/e scil'nze matt'mattehe e fisiche, Roma, 1879, vol. XII ; cf. también del mismo auror Crom ca dl''matl'matio ot:vero Epuome dl'll'scona dl'lll' ~'Ítl' loro, Urbino, 1707.

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representante moderno más importante de las matemáticas astrológicas por el propio Pacio­Ü, en el prefacio de la Summa 9 .

De esta época es la famosa pintura que lo represema explicando uno de los teoremas de Euclides y acompañado de un joven de aspecto noble, probablemente su protector, Guidu­baldo de Momefeltro. En la parte inferior derecha de esta pintura aparece la siguiente leyen­da, escrita en un «cartellino .. : «Jaco . Bar. Vigennis. P. 1495.» Se ha discutido bastante acerca de la paterrudad de este lienzo. Adolfo Venturi interpretó la inscripción, en un primer mo­mento, como Jaco[po de'] Bar[bari], que más tarde rechazaría, atribuyéndola a un pintor de la Italia central, tal vez un discípulo de Piero della Francesca 10

• En efecto, Jacopo de'Bar­bari no podía haber sido el artista al que hace referencia la inscripción, pues, de ser así, debía contar, en 1495, veinte años de ed ad ( «vigennis» ), circunstancia que no concuerda con una noticia que señala haber recibido, en 1511, una pensión de Margarita de Austria, dada su muy avanzada edad y precaria salud 11

• En cambio, para L. Servolini el autor sería un pintor y arquitecto que trabajó, por esta época, en la corte de Urbino, llamado Jacopo Barocci 12•

Para Berenson se trata, más bien, de un a rtista veneciano próximo a Giovanni Bellini n. Los rasgos estereométricos que presenta el rostro del Frate inducen, sin embargo, a considerarlos dentro de la órbita de Antonello da Messina, pintor que frecuentaba los medios científicos en donde nuestro matemático gozaba de alto e indiscutible prestigio 14

• Finalmente, se ha ma­nejado la hipótesis que sostiene que la abreviatura de Bar podría corresponder al apellido Bar[baglia], sobrenombre utilizado en el entorno familiar del propio Pacioli, y que aparece en el testamento de nuestro autor, escrito en noviembre del año 1511. En él, Pacioli hace un legado a la esposa de su sobrino Antonio Marsi Pacioli, Llamado Barbaglia (alicer dictus bar­baglia), lo que sugiere la idea de un pintor miembro de su familia.

En el año 1496, y tras una invitación del duque Ludovico Sforza, se traslada a la ciudad de Milán para enseñar matemáticas. Entra aquí en contacto con uno de los más importantes centros científicos y artísticos de la Italia del Renacimiento 15

. Por esta misma época, Leo­nardo da Vinci se encontraba también en la capital lombarda, al servicio del duque, para quien realizaba su famosa estatua equestre. Pacioli entabla muy pronto con él una gran amis­tad, que queda reflejada en los elogiosos y encendidos comentarios que le dedica en algunas de sus obras, y en el cariñoso tratamiento de «querido Leonardo». Fruto de esta amistad fue­ron, sin duda, los sesenta dibujos de los cuerpos regulares que el artista realizó para la edi­ción de la obra que el Frate estaba preparando, y que titularía DE DIVINA PROPORTIO­NE, obra que termina el 14 de diciembre de 1498 16

• Con la calda de Ludovico il Moro, acae·

9 Cf. C HASTEL, A.: ¡\farsile Ficin etl'art, Ginebra, Ed. Oroz., 1954, p. 20, nota 38. l() Cf. VENTURI, A.: . 11 p iu antico quadro di jacopo de'Barbari• , en L'A rte, VI, 1903, pp. 95 ss.; d . también

del mismo auto r, Storia dei/'Arte lta/ia,ta, Milán, H oepli, 1923, vol. Vll , pane 11, pp. 112 ss. 11 Cf. RtccJ, C.: Rassegna d 'Arte, 1905, lll, pp. 75 ss. ll Cf. SE.RVOUNI, L.: }acopo de'Barbari, Padua, 1944, p. 149. 1 CL BERENSON, B.: Vent ilan Paim ing in America, Nueva Yo rk, 1916, pp. 222 ss.; cf. CHASTEL, A.: 1 cemri

del RinaKimenco. A rte ttaliana (1460·1500), Milán, Ed. Riu.o li, 1979, pp. 46· 50. 1

• Cf. BENESCH, 0 .: · A New Contribut ion to thc Pro blcm of the Po n rait of Fra Luca Pacioli•, en Gazette des Beaux-A rts, 1954, serie VI, vol. XLIV, pp. 203-206.

IS Cf. MALAGUZZI VALERI, F.: La corte di Ludovico il Moro, Milán, 1913- 1923, en especial los capítulos 1 y Ill. 16 Cf. PAO OU, L.: De divina Proportúme, op. cit., II pane, cap. VL ·Comme apien in le disposizioni de nmi li

corpi regulari e dependcnú di so pra in questo vedete, quali so nno stati fatti daJ degnisstmo pÍttore, prosperúvo, ar­chírcuo, musico e de tune vinu do tato Lionardo da Vinci fiorentino nella cita de Milano, quando a li stipendii deUo

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cicla en septiembre de 1499, ambos deben abandonar la ciudad de Milán, y emprenden un periplo que los llevaría hasta la corte de Mantua y tal vez Venecia, ames de asentarse, por un tiempo, en Florencia. Quizás, en agradecimiento a la hospitalidad de los duques de Man­tua, Francesco Gonzaga e Isabelle d'Este, Pacioli les dedicará una de sus obras, el De L11dis in genere o Schífanoia.

De lSOO a lSOS desempeñará diversos puestos como docente en los centros de estudios y universidades de Pisa (lSOO), Perugia (lSOO), Bolonia (de 1 SOl a 1 S02) y Florencia (de 1 S02 a JSOS). La estancia en la docta Bolonia debió de ser de corta duración; tal vez, no quisiera medirse con el sabio matemático Scipione dal Ferro, que por entonces enseñaba en su uni­versidad, al no poder mostrarle descubrimientos propios. Durero emprendió un viaje a esta ciudad, a instancias de su amigo Jacopo de'Barbari, en 1S06, para ser iniciado en la «secre­tissima scientia .. , con la esperanza, sin duda, de encontrar en ella a Pacioli, dada la fuerte amis­tad del artista veneciano con nuestro Frate 17• En Florencia, Pacioli contará con la protección y amistad de Pietro Soderini, que sería nombrado, el 20 de septiembre de 1S02 y a perpe­tuidad, Gonfalonero de Justicia de la República. En una Epístola de 1S09 dedicada a él, muer­to ya Ludovico, Jo. reivindicará como el destinatario moral de la edición de su DE DIVINA PROPORTIONE: « ... conforme a la expectativa de todos, hice entrega públicamente a Lu­dovico Sforza, duque de Milán, del pequeño libro titulado Divina Proportione. Y con tanto entusiasmo que incluí en él esquemas hechos por la mano de nuestro Leonardo da Vinci, para serlo más instructivo a la vista. Y, como había recibido de él grandísimos favores, se lo ofrecí cuando aún vivía. Y a esa donación nuestra dieron especial lustre dos lumbreras de la Iglesia Romana, allí presentes: el cardenal Estense y vuestro sapientísimo señor hermano el carde­nal. Manifestaron su aprobación Francesco Pepo, [ ... ], a la par que vuestro hermano. Dicho libro, en verdad, Excelencia, puede con todo derecho, reivindicarlo para sí, pues se había per­dido cuando cayó el principado de Ludovico, y vuestra Excelencia lo recobró. En él recrea­réis vuestro ánimo y olvidaréis vuestras preocupaciones públicas» 18

•

En 1 SOS lo vemos en Roma, hospedado en la corte del vicecanciller Galeotto Franciotci. Permanecerá en esta ciudad hasta 1S08, año en que Julio II le otorga, el 28 de abril, una Bula que le permite la posesión de bienes materiales, prohibidos por las reglas de la Orden Fran­ciscana. En este mismo año solicita de su protector Pietro Soderini la concesión durante quin­ce años del privilegio de la publicación de su traducción de los Elementos de Euclides 19

• A mediados de 1S08 realiza un último viaje a Venecia con objeto de preparar la impresión de los Elementi di Euclides. El 11 de agosto de ese mismo año pronuncia una lección sobre el V Libro de Euclides en la iglesia de San Bartolomeo y ante una concurrencia de más de SOO personas. El 9 de noviembre redacta, en casa del notario Pedretti, su primer testamento ma-

eccellentissimo duca di qucJio, Ludovic:o Maria Sforza Anglo, ci retrovavarno nelli anni de nostra salute 1496, fin al '99; donde poi da siemi per divcrsi sucessi in quelle pani ci panemmo e a Firenze, pur insiemi, traemmo domi­cilio et cetera• (en la edició n de A. BRUSCHI, p. 117).

17 Cf. BORTOLOTII, E.: L 'Ecole marhematique de Bologn~. Bolonia, Ed. Zanichclli, 1928, p. 18. 11 Cf. • Epístola de Luca Pacioli a Pier Soderini•, Veneci3, 9 de mayo de 1509, en PACIOLI, L.: La d1vma pro­

porción, op. cit., p. 53. 19 Los El~mencos de Euclides habían sido traducidos del árabe al latín por Campano, y publicados por éste en

1482. Bartolomeo Zamberti criticó los errores venidos en la traducción y su terminología bárbara. Publica en Ve­necia (J. Tacuino), en 1505, una nueva traducción, realizada a partir de un manuscrito g riego. Pacioli consideró esta traducción de escaso rigor matemático, u tilizando, no obstante, la de Campano tras corregir algunos errores.

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nuscrito. Permanece en Venecia hasta 1509, cuidando personalmente de la edición de DE DI­VINA PROPORTIONE, que saJdría impresa en este mismo año, a primeros de junio. En la portada del libro aparecen inscritos los nombres de los impresores y tipistas, M. Antonio Capella y A. Paganius Paganinus. Los elogios que en ella se registran dan idea de la satisfac­ción que experimentó el Frate por su belJa presentación: «Characteribus elegantissimis accu­ratissime imprimebat.» 20

Finalizada la edición de su DE DIVINA PROPORTIONE, deja Venecia y se traslada a Perugia, en cuya universidad imparte de nuevo docencia. Es muy probable que acabara en esta ciudad su De viribus quantitatis 21

• Pero esta vez Pacioli siente que está muy cercana su muerte ( «ad inclinan te iam aetate mea»). El peso de los años, el cansancio y la quebrantada salud merman sus fuerzas y dificultan el ejercicio de su docencia. En más de una ocasión so­licitará de sus discípulos comprensión y paciencia. En febrero de 151 O es nombrado comisa­rio del monasterio de Borgo San Sepolcro. El 21 de noviembre de 1511, en casa de su sobri­no Antonio y ante la presencia del notario de su villa natal, redacta un nuevo testamento. Ante los requerimientos del papa León X, se traslada a Roma en 1514, para hacerse cargo de la cátedra de matemáticas en la Sapienza. Todavía hay noticias suyas el 30 de agosto de 1514. Su muerte debió de ocurrir en el propio Borgo de San Sepolcro el año 1517 22•

LOS TRATADOS DE LUCA PACIOLI.-Aunque con dificultades, que deja traslu­cir en más de una ocasión, Pacioli pudo hacer compatible su larga e intensa labor docente con su corta, aunque interesante, producción científico-literaria. En sus escritos se advierte el carácter oral y apresurado de sus reflexiones; su estilo está lleno de digresiones, de recuer­dos personales, de anécdotas y de repeticiones. Constituyen, por esta razón, un inapreciable documento de gran importancia para el conocimiento de la biografía de nuestro autor, a la vez que una notable fuente para el estudio de artistas y científicos que mantuvieron con él estrecha amistad. A lo largo de su vida sólo se imprimieron dos de sus obras, la Summa de Arithmetica, Geometria, Proportione et Proportionalita y DE DIVINA PROPORTIONE. Las restantes o se perdieron como el De Ludís in Genere o permanecieron inéditas como el De Viribus quantitatis.

La Summa fue impresa en Venecia, en los talleres de Paganius Paganínus, en 1494, y dedicada a su protector Guidubaldo de Montefeltro, duque de Urbino. Parece ser el fruto del trabajo de muchos años. Fue comenzada, tal vez, en su primera estancia en la ciudad de Perugia, y concluida antes de 1492 23

• En 1523, ya muerto su autor, fue reimpresa en los mis-

20 En la ya aludida cana de Daniele G.1etani a Andrea Mocenigo, se dice, a propósito de la impresión vene­ciana, lo siguiente: "Y he aquí que cuando fui a verlo (pues, según acostumbro muy a menudo, había ido de im­proviso a saludarlo a su casa) lo encontré ocupado en la revisión del libro, le pregunté si me necesitaba para algo y él me contestó: "Nada, sino que me quieras y conozcas mi DIVTNA PROPORCION, que los calcógrafos están imprimiendo•. Al instante me regocijé sobremanera oe que favoreciese a nuestro siglo con el tesoro de un grande, extraordinario e incógnito arcano, sin duda, aumenta la fama del autor. pero también el conocimiento de los demá.s•.

21 El manuscrito De viribus quancítatis, inédito hasta el momento, se conserva casi completo en la Biblioteca Universitaria de Bolonía (Códice núm. 250).

22 Cf. RICCI, l. : Fra Luca Pacioli, l'uomo e lo menziaw, Sansepolcro, 1940. 23 En un pasaje de la Summa (dist. Vl, trat. l, art. 11) se nos dice que Pi ero compuso su De Prospectiva pingendi

•in qucsti di• (en nuestros días o bien, en nuesrro tiempo) y que estaba aún vivo. Si Piero muere el 12 de octubre de 1492, la obra no podía, entonces, ser escrita después. Cf. NICCO FASOLA, G.: •lntroduzione•, en PIERO DE­LLA FRANCESCA, De Prospectiva pingendi, Florencia, Sansoni cd., 1974, pp. 45 s.

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mos taHeres, lo que da idea del interés despertado por la obra y de su gran difusión 1 4• Al

igual que las grandes Summae medievales, pretende ser una especie de enciclopedia del saber matemático y geométrico de la época, s iendo, por ello, única en su género. Algunos histo­riadores de la ciencia han puesto de manifiesto la escasa originalidad de su contenido, si bien han resaltado el papel de gran recopilador y divulgador de la cultura científica de su autor; para Cantor, por ejemplo, la obra respondió satisfactoriamente a las necesidades culturales de su tiempo 15

. Consta de unos 308 pliegos in folio, que hacen un total de 616 páginas, dis­tribuidas en S partes, cada una de ellas subdividida en «distintioni .. , «trattati », «articoli» y •Capitoli• , sucesivamente. El contenido responde al anuncio de su título, pero incluye otras cuestiones de interés general. La parte que más puede interesarnos para la comprensión de su DE DIVINA PROPORTIONE es, la que está dedicada a la exposición de la Teoría de las Proporciones y que se encuentra en el primer «trattato» de la sexta «distintione».

Ya en el prefacio de la Summa, Pacioli insistirá en el carácter fundamental de la ciencia matemática, cuyos principios deben servir como guía en todas las ciencias y las artes. El cua­dro de artistas matemáticos que incluye refleja, sin duda, las ideas del ambiente artístico y científico del ú ltimo tercio del siglo XV: Alberti, Piero della Francesca,'Giovanni Bellini, Man­tegna, Melozzo da Forli, Cortona, Botticelli, Lippi, Perugino, Glllrlandaio, Verrocchio, etc. La relación tiene, en efecto, un valor publicitario, al resaltar aquellos talentos que, según nues­tro autor, han abogado en favor de las artes del «dissegno». El uso riguroso de la escuadra y el compás confiere la proporción que hace perfectas y admirables las obras de estos artistas ( •quali sempre con libello e circino lor opere proportionando a perfection mi rabile condu­cano») 26• Los tratados sobre pintura de Alberti y Piero deiia Francesca pusieron de mani­fiesto la preocupación que los movía por sacar conclusiones prácticas de la teoría matemática de la visión. La perspectiva matemática constituyó una garantía para lograr la corrección y verosimilitud en la representación del espacio y, lo que es más, una garantía de perfección estética. Dicha corrección era interpretada en términos de proporciones, convirtiéndose en una de las grandes preocupaciones del humanismo renacentista 27.

En la sexta «distintione» del primer «trattato», Pacioli aborda extensamente el tema de la proporción, que es considerada no sólo en lo concerniente a la matemática y a las artes, sino también a la estructura misma del universo. Entre los autores antiguos que escribieron

z• A propósito de estas dos ediciones, cf. NAROUCCI, E.: lntorno a due edizúmi del/4 Summa de arithmerica., Roma, 1863; sobre la Summa, cf., asimismo, HAVLOTIE, R. (STEVELINCK, E.], Luca Pacioli. Sa vie. Son oeuvre, Pa· ñs, Ed. Pragnos, 1975.

zs Cf. CANTOR, M.: Vorlesungen uber Geschichte der Mathematik, Lipsiae, 1894-1913; cf., además, LORIA, G.: Storia del/a Geometria Descriuiva dalle origini ai nostri giorni, Milán, 1921; cf. VAGNETI, L.: .De naturali et :mi­ficiali perspectiva•, en Studi e Documenti di Architew.ra, Florencia, Ed. della Cattedra di Composizione archit. IA di Firenze e deUa LEF, 1979, 9-10, pp. 223 ss. y 266.

l6 Cf. MVNTZ, E.: Les archi'IJes des arts, 1.' serie, París, 1890, pp. 32-42. Ideas que concuerdan con las expre­

sadas por PLATÓN en Filebo, 51 e: • ... lo que yo quiero expresar por la belleza de las fonnas no es lo que compren­dería el vulgo, la belleza de los cuerpos vivos o de las pinturas; yo me rdiero, y es en lo que se apoya el argumento, a líneas rectas y a líneas circulares, a las superficies o ;¡ los sólidos que proceden de elbs, hechos o bien con la ayuda de tomos, de reglas o de escuadras, si me comprendes bien. Esas formas así, en efecto, afinno yo que son bellas siempre, en sí mismas, por naturaleza•; m:is abajo, añade: •··· En todas ellas [las construcciones de na,•íos y las ca­sas], según tengo entendido, se sirve uno de la regla, del torno, del compás, del cordel y de ese instrumento que es la escuadra•.

27 Cf. WmKOWER, R.: ·BruneUeschi y la uProporción en la Perspectiva"~, en Sobre la arquittctura en la edad del humanumo, Barcelona, Ed. Gustavo Gilí, 1978, pp. 543 ss.

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acerca de la proporción son citados Platón, Euclides y Boecio; y entre los modernos, Alber­to de Sajo nia (Albertuccio), Biagio Pelacani y Giordano Nemorario 28• Tanto la figura de Pla­tón como la de Euclides son resaltadas como los verdaderos padres de la Teoría de la Pro­porción. Del primero destaca, sobre todo, su Timeo, y del segundo sus Elementos. Señala, además, que, según el magisterio de los antiguos filósofos, no puede existir conocimiento de las cosas del universo, si éstas no nos vienen dadas a través de la proporción. De ahí la ne­cesidad de encontrar las relaciones que ligan las cosas entre sí, subrayando que las propor­ciones han de establecerse entre objetos análogos. Especial interés cobran las referencias a las artes, para quienes la proporción es «madre y reina». Po r medio de la perspectiva geométrica y del color bien proporcionado el artista representa de manera conveniente las cosas de la naturaleza.

Las partes de la Summa dedicadas al álgebra, la geometría y la aritmética se apoyan fun­damentalmente en Euclides y, sobre todo, en los escritos de Leonardo de Pisa (1175-1240), conocido con el sobrenombre de Fibonacci [Filius Bonacci) y considerado el más grande ma­temático de la Edad Media que introdujo, en el occidente cristiano, el cálculo aritmético ára­be, de enorme repercusión en la matemática europea 29

• Entre las obras más destacadas del matemático pisano, se encuentran el Liber Abaci, la Practica Geometriae y el Líber Quadra­torum 30• El mismo Pacioli reconocerá, explícitamente, cuánto debía a este insigne matemáti­co: «E perche noi seguitiamo per la magiar parte Leonardo Pisano, io intendo dechiarire che quando si porra a.lcune proposta senza autore, quella sia di detto Leonardo» 31 •

En 1539, Gerolamo Cardano, en su Practica arithmeticae, reprochará, no obstante, a Pa­cioli el haber consultado mallos diversos autores que cita en la Summa, obra que a su juicio estaba plagada de errores. Precisamente, uno de los capítulos de su obra lleva el título: «De erroribus F. Lucae q uos vel traosferendo non diligenter examinavit, vel describendo per in­curiam praeteriit, vel inveniendo deceptus est» 32

• En realidad, tiene razón Cardano, pues, si como algebrista fue muy notable, en lo teórico, deja mucho que desear. Sin embargo, la obra tuvo un valor representativo y desempeñó un gran papel histórico en su época. El propio Cardano le reconoció dicho mérito, al afirmar que si no hubiera sido por su trabajo, no ha­bría podido escribir él su Ars Magna 33•

En los años de su estancia en la corte de Ludovico il Moro y estimulado, sin duda, por la presencia de Leonardo da Vinci y de Bramante, Pacioli elabora su DE DIVINA PRO-

21 Los tres últimos maestros reseñados son, preciu mente, los que se encuemran en la base de las reflexiones de Leonardo sobre el problema de la proporción y su aplicación a la teoría del movimiento; cf. DA VrNCl, L.: The liurary works of Leonardo da Vind (ed. de J. P. Richter), Londres, Phaidon, 1970, vol. 1!, pp. 355, 358 y 373-374.

29 El cálculo aritmético árabe ciene como fundamento la numeración de posición y el uso de signos que repre­semaban los números comprendidos desde la unidad hasu. el nueve, incluido el cero; símbolo, este último, necesario para el asentamiento sobre base definitiva de la ari1mética de posición. Cf. LOklA, G.: •Leonardo Pisano e leMa­tematiche nel secolo di Dante•, en Periodico di matematica. Storia, .Jidattica, filosofia, 2.• serie, IV, vol. fV/2, 1924, pp. 134-139.

10 De esta última d. la edición castellana, con introducción de Paul Ver Eecke, El libro de los Números cua-drados, Buenos Aires, Eudeba, 1973.

11 Cf. PACIOU, L. : Summa, pane Il, folio l. n Cf. CARDANO, G.: Practica arithmtticae, 1539. n C f. CAROANO, G .: Op. cit.: •no lo hice por anlÍpaúa hacia él, que fue un hombre amante de las virtudes

y muy laborioso, y que si no hubiera existido, ciertameme, no habría podido yo realizar el Ane (Ars Magna) tal como lo hice•.

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PORTIONE que concluye el 14 de diciembre de 1498". Mandó realizar tres manuscrüos que fueron regalados a Ludovico, a Giangalcazzo Sanscvcrino y a Pietro Soderini. El prime­ro de los tres manuscritos se encuentra depositado en la Biblioteca Pública de Ginebra. Está encuadernado en pergamino blanco y consta de 132 pliegos, de los cuales, 2 constituyen la dedicatoria, 120 el texto, 9 el índice y un pliego en blanco. Junto al manuscrito van los 60 dibujos coloreados «de mano de Lionardo da Vinci». Presenta las armas del duque, la divisa de éste («In tuto el va»), así como una miniatura en la que aparece el Frate en el acto de ofre­cer a Ludovico su DE DIVINA PROPORTIONE. Sobre la miniatura un cartucho rojo re­coge la siguiente inscripción: EX[cellenrissi]MO P[rincipi] LUDOVICO M[ariae] SF(ortiae] AN[gliae] MEDIOLANE(nsi] DUCIINCLITO PACIS ET BELLI ORNAMENTO FR[a­tris] LUCE EX BURGO S[ancti] SEPULCRI OR[dinis] Ml[norum] SACRAE THEOL[o­giae] PROFES[soris] DE DIVINA PROPORT[ione] EPISTOLA. El códice se encontraba en la colección de manuscritos y miniaturas del Consejero Petau que fueron comprados en 1720 por Lulljn. A la muerte de éste, en 1756, pasó a la referida BibJjoteca )S.

El segundo manuscrito se conserva en la Biblioteca Ambrosiana desde el 21 de enero de 1637, cuando el marqués Galeazzo Arconati efectúo la famosa donación de los manuscritos de Leonardo. En dicha donación aparecen reseñados doce volúmenes ( «dodeci volumi di Leo­nardo da Vinci» ). Una revisión posterior realizada en 1790 por el prefecto de la Ambrosiana, Stefano Bonsignori, fija en once el número de los mismos, lo que indica haber reconocido entre ellos el códice de Pacioli, circunstancia que impidió su requisición por el ejército na­poleónico en 1796. Parece ser que Leonardo tuvo un especial cariño hacia dicho manuscrito, tal y como se desprende de una carta de Monseñor Giovanni Galbiati que afirma que ~fu a Leonardo stesso carissimo ... G. Masotti, en su estudio introductorio a la edición del ma­nuscrito de la Ambrosiana, refiere haber encontrado en dicha biblioteca, entre los manuscri­tos del cardenal Federigo (Códice G 9 P. Inf. ins. 4, fol io 117), una carta del arquitecto e ingeniero militar Muzio Oddi, proveniente de Lucca y con fecha de 10 de abril de 1628, en la que éste responde a los requerimientos del cardenal, que pedía información sobre un tal Guillermo Zelandrino, constructor de esferas astronómicas. En ella se dice: «Hor quanro me · dolgo di non haver potuto dare a V.S. quella piena notizia di quella sfera che ella desiderava, non sapendo in mano di chi prevenisse mai doppo il sacco di Pavia, non havendo mai veduto altra reliquia di essa [librería] che il Virgilio del Petrarca e illibro De Divina proporcione di fra Luca, che ha il signor Galeazzo Arconati•• . Este documento muestra que el manuscrito de Pacioli se encontraba, antes del «sacco», en la biblioteca del castillo de Pavía. Es probable

3• Cf. BRUSCHI, A.: Bramante, Bui, Ed. Laten.a, 1973, pp. 125 y 235. La presencia de Bramante en Milán, en el período que Pacioli pcnnanccc en la corte de Ludovico, es testimoniada por varios documentos . . B~chi señala que es probable que dejase la ciudad a raíz de los hechos que provoco.ron la huida de ludovico (6 de septiembre de 1499); alude, asimismo, a su ami~tad con Pacioli y a t. po>iblc inOuenoia de éste sobre el arquitecto en los años posteriores a 1492. l a presencia y encuentro en Milán, entre 1482 y iinales del siglo, de Bramante, Leonardo, Fr:m· cesco di Giorgio, Luca Fancelli, Giuliano da Sangallo y luca Pacioli constiruyó, a juicio de Malaguzzi, un aconte­cimiento de notable repercusión en la historia de la arquitectura, al sentar las bases pua el paso de las escuelas re­gion:Ues del quattrocento a la época de la •maniera matura• de los primeros decenios del siglo XVI; cf. MALAGUZZI, VALERI, F.: op. cit. 1, pp. 541 ss. y IV, pp. 105 ss.

lS cr. AUBE.RT, H.: Notices sur les manuscriu Petau romeroés a la Ribliotheque de Geneve, París, 1911; d . SENEBIE.R, Catalogue raisonné des mss. conservés dans la Bibliocheque de la Vil/e et Rep,.b/iqul' de Gentvt, Ginebra, 1779, en especial p. 464 ; cf. SPEZIA!.I, P.: •Léonard de Vinci et la Divina Proportione de Luca Pacioli., en Biblior­heque d'Humanisme et Renaissance, XV/ 1!1, 1953, p. 300 ss.

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que fuera el propio Leonardo el que lo rescatara y se lo llevara consigo a Francia, dado el aprecio que siempre guardó hacia este manuscrito. Francesco Melzi lo trajo de nuevo a Italia, junto a los códices leonardescos. Las vicisitudes de dicho legado son harto conocidas. Lo que quedó en manos del desaprensivo Pompeo Leoni, después de su deplorable actitud, pasó pos­teriormente al ya referido Galeazzo Arconati, quien compró, a su vez, otros manuscritos a Calch.i en 1622, entre los que se encontraba el Codex Atlanticus 36.

Por último, el tercer manuscrito fue regalado a Pietro Soderini tal vez por los estrechos lazos de amistad que los unían 37. Se desconoce su actual paradero, e incluso se ha cuestio­nado si realmente existió. Lo que sí es cierto es que Pacioli hará a Pietro Soderini destinata­rio moral de dicha obra a la muerte de Ludovico.

El códice DE D IVINA PROPORTIONE no sería impreso hasta 1509 en Venecia, en los talleres de Paganius Paganinus 38

• La edición incluye, además del manuscrito dedicado a Ludovico, dos trabajos que llevan los siguientes títulos : Tractato de la architectura, (de ins­piración netamente vitruviana y dedicado a sus alumnos y amigos del Borgo San Sepolcro 39),

36 En el legado de Arconati, en la descripción que se hace del 2.• volumen, se dice: •Un libro in foglio ordi­nario il qual'e copeno di corame rosso, stampato con fregi e fiori d'oro, e di dentro tutto illibro e di pergamena, e comincia in leuera rossa con quesre parole, Tavola della preseme ... •. Se trata, sin duda, del manuscrito de DE DIVINA PROPORTIONE que comienza, efectivamente, con la « Tavola• que contiene el sumario de los 71 capí­tulos. A propósito del manuscrito de la Ambrosiana (Ms. E 170 sup.) cf. MASOTTI BJGGIOGERO, G. : «DeUa vita e delle opere di Luca Pacioli», en L. PACIOLI, De divina Proportione, Milán, Mediobanca, 1956 (edición al cuidado de C. Casriglione-P. Riva), pp. 120-231; cf., además, la edición facsímil, con estudio introductorio de A. Marinoni, realizada en Milán, Silvana Editoriale, 1982. Para las diferentes vicisitudes de los manuscritos de Leonardo, cf. Do. ZIO, G.: Degli scritti e disegni di Leonardo da Vino' e specialmente dei possedJ<ti un tempo e dei posseduti adesso d11.1la Bibliote<a Ambrositl.na, Milán, 1871, p. 21; cf. UZIELLI, G.: Ri<erche intomo 11. Leonardo da Vind, Roma, 1884, serie seconda, p. 238; cf. CARUSI, E.: •Lettere di Galeazzo Arconato e Cassiano da! Pozzo per lavori sui M:moscriui di Leonardo•, en Accademie e Biblioteche d'l!alia, Roma, 1930; cf. RICHTER, J. P.: •The history of the manus­cripts•, en LEON ARDO DA VINCI, The literary works of Leonardo da Vinci, op. cit., vol. 11, pp. 393-399; cf. Sa!LOSSER, J.: La /iteraJura artística, Madrid, Ed. Cátedra, 1976, p. 156¡ cf. DE TONI, G. B., e Leonardo da Vinci e Luca Paciolo,., en Aui del reale i.rtituJo Vllltcto di sciem;e, lettere rd artt; 1906, vol. LXV, pp. 1145 ss; cf. UZIEW, G.: Ricerche intomo a Leonardo da Vina; Roma, 1884, serie seconda, p. 238.

" BA.RDI, B. , op. cit.: « ... da quali sempre insin da giovaneno era srato amorevolmente raccolto et accarezz.ato».

3S La Biblioteca Nacional de Madrid cuenta, entre sus fondos, con un ejemplar de esta beUísima edición en perfecto estado de conservación (vid. R/20 168). No deja de tener interés para la teoría del ane en España la pre· sencia de las obras impresas de Pacioli en las bibliotecas de algunos de nuesrros humanistas. En la entrega de 1576 de la Biblioteca de Felipe Il a El Escorial aparece reseñada la siguiente obra: ·<161 4, Frater Lucas, de aritmética, Venecia, 1533, 40-VI-2•; en el inventario de la Biblioteca de Don Pedro Fajardo Marqués de los Vélez encontra­mos: •50, Arithmetica de Fater Luca, impresión antigua; en folio, Venecia, año 1564• (cfr. Documentos para la his­toria del Monasterio de San Lorenzo el Real de El Escorial, VIl, Edición, prólogo y notas por el P. GR.EGORIO DE ANDRES, O. S. A., Madrid, 1964, pp. 89 y 367). En la Biblioteca de Juan de Herrera se encontraba una «Aricmét:ica y gemetría de frater lucas en ytaliano• (cfr. RUIZ Df. ARCAtfTE, A.:Juan de Herrera, Madrid, 1936, p. 155). Aparece asimismo un ejemplar de Pacioli en la Biblioteca de Juan Bautista de Toledo (cfr. CERVERA VERA, L., .Libros del arquitecto Juan Bautista de Toledo•, en La c1udad de Dios, CLXll, 1950, pp. 583·622 y C LXHI, 1951 , pp. 161-.188). Por úJrimo, en el inventario de los libros de Juan Bautista Monegro, realizado a su muene el 7 de marzo de 1621, se registran con los números 129 y 151 dos obras del Frate: «Lucio paciolo de dibina proportione• (firmado y ca­menudo por el propio Monegro, lo que hace doblemente interesante este ejemplar) y . Luci de burgo suma de aris­metica. (dr. MARIAS, F.: •Juan Bautista de Monegro, su Biblioteca y "De divina Proporrione•• , en Academia, 53, 1981, p. 94).

19 .... A li suoi carissimi discipuli Cesare dal Sasso, Cera dd Cera, Raincr Franccsco de Pippo, Bernardino e

Marsilio da Monte, Geronimo del Secciarino, e ammici de Borgo San Sepolcro, degni lapidici de scultura e arcbi­tectOnica faculta soltrrissimi sectatori.• Esta parte aparece incorporada a la primera en el texto original.

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y Libellus in tres partiales tractatus divisus quinque corpomm regularium et dependentium activae perscrutationis (traducción en vulgar del códice Libellus de quinq1'e corporibus de Pie­ro della Francesca, que aparece dedicado a Pietro Soderini 40). La edición veneciana recoge, a su vez, un pequeño tratado en donde se dan instrucciones para construir un alfabeto basa­do en el cuadrado y en el círculo y en la aplicación de La DIVINA PROPORCION. El texto no es muy prolijo en explicaciones, pero sí lo suficientemente claro como para que se pueda llevar a efecto. Estos escritos eran, de hecho, bastante frecuentes en la época. El mismo Du­rero publicaría uno en 1525. El famoso humanista Geofroy Tory acusó en 1529 a Pacioli de haber usurpado la paternidad de dicho alfabeto al mismo Leonardo. La estrecha amistad que el Frate mantuvo con el maestro es una razón de peso para desechar tal acusación 41

•

El De viribus quantitatis es el último de los escritos conocidos de Pacioli. Fue comen­zado quizás en 1496, durante su estancia milanesa, y acabado en Perugia en 1508-1509, in­mediatamente antes de la publicación del DE DIVINA PROPORTIONE. Se desconoce el nombre del personaje a quien está dedicado por encontrarse ilegible la parte del manuscrito donde estaba consignado. El códice, que se encuentra en la Biblioteca Universitaria de Bo­lonia, ha permanecido inédito hasta hoy "2

• Está redactado, al igual que los otros, en vulgar. Consta de tres partes, cuyos títulos son los siguientes : l. Delle forze numerali cioe de arit­metica; II. DelL:t virtu e forza linea/e et geometrica; y Ill. De documenti morali utilissimi. El contenido es, fundamentalmente, matemático, si bien, intercala noticias personaJes y de otros artistas, así como la referencia a su DE DIVINA PROPORTIONE y a los famosos d ibujos de Leonardo para la misma 43

. El tratado recoge, también, una serie de juegos de prestidigi-

40 •B. Petro Soderino Principi perpetuo populi florenrini ... paniculariter dicarus feliciter incipiL• Vasari acusó de plagio a Pacioli por haber publicado cor. su nombre la obra de Picro deUa Franccsca, De quinque corporibus¡ cf. VASARI, G.: Le Vite de' pi1< eccellemi pittori, scultori ed archittecori, ed. de G. Milanesi, Florencia, Ed. Sansoni, 1906, tomo 11, pp. 488, • V ita di Pie ro della Francesca•. Se desconocen las razones que llevaron a Vasari a proferir tal acusación. Por otra parte, resulta significativo que dicho juicio haya quedado atemperado en la 2.' edición de su obra ( 1568), en la que se suprime el polémico epitafio del final de la biografía de la 1.' edición (f orrentiniana). La cuestión vueh•e a suscitarse, con cierta vehemencia, a finales del siglo XIX cuando Jordan descubre entre los códices vaticanos pertenecientes a Piero el referido tratado (núm. 632). Los juicios de jordan son muy duros y no duda en censurar a Pacioli su impostura. Winterberg señaló que podría tratarse de un trabajo común. De todas formas sería demasiado arriesgado e injusto utili.zar el moderno concepto de plagio referido a una época en la que el sentido de la propiedad intelectual o no existía o difería sustancialmente del actual. Par2 tOda esta polémica, cf. jORDAN, M.: •Der vermisste Traktat des Picro deUa Francesca über die fünf regelmassigen Korper•, en jabrbucb der Konigl. preuss Kumtsamml, 1880, pp. 112 ss.; d. WINTERBERG, C.: • Der Traktat des P. dei Franccschi über die fünf regel­müsigen Korpcr u. L. Pacioli·, en Repert. f Kunstw., 1882, pp. 33 ss.; H ARZEN, E. : ·Uber den Maler Piero degli Franceschi und seinen vermeindichen plagiarius, dcr Franziskancrmonch Luca Pacioli•, en Archiv fiir dit zeichnen­den Kunst., Lipsia, 1856, 11 ; cf. MANCINI, G.: •L'opera "De corporibus regularibus~ di Piero Franceschi usurpata da L. Pacio li•, en Memoria del/a Reale Accademia dei Lmcez, Roma, 1909-1915, pp. 441 -580; cf. ARRIGHJ, G.: .Pie­ro della Franccsca e Luca Pacioli, Rassegna della questione del plagio e nuove valutazioni•, en Aui de/la Fondazione Giorgio Ronchi, 23, 1968.

41 Cfr. TORY, G.: Champ-Fleury ou /'are dt la due et vraye proportíon des lettres. París, Giles Gou.rmont, 1529 (vid. ed. de COHf.N, G., en París, Libr. Charles Bosse, 1931); cfr. MORISON, S.: Fra Luca Panoli del Sorgo Sansepolcro, op. cit.

42 Cfr. AGosn, A.: ·MDe viribus quantitatis" dj Luca Pacioli•, en Pertodico di Matematíca, Bolonia, 1927, pp. 165 ss. El autor realiza una selección de los textos más significarivos del rratado, entre ellos la Dedjcatoria.

<l Pacioli menciona en dicho manuscrito la condición 7.urda de Leonardo: • ... scrivesi ancora alla rovescia e mancína che non si posson legere se non con lo specchio, owero guardando la carta dal suo rovescio contro alla luce, come so m'intendi senz'ahro, dico e come fa il nostro Leonardo da Vinci, lume della pittura, qualle e mancino, come piu volte e derto•; d., además, R¡c¡ mR, J. P., o p. cit., vol. l, p. 119.

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tacto n ( .. giuochi di prestigi") que, a juicio de Govi, son en gran parte invenciones de Leonardo «.

Casi al final de la primera parte, Pacioli alude a los llamados cuadrados mágicos, refe­rencia que lo convierte en el primer tratadista occidental del Renacimiento que recoge ral in­formación. Los cuadrados mágicos fueron, de hecho, introducidos en la Europa cristiana por el humanista bizantino Moscópulos (1282-1328), que escribió el primer tratado sobre dichos cuadrados, tal vez inspirado por la tradición hindú 45

• Uno de estos cuadrados aparece en el célebre grabado de Durero, de 1514, Melancolía I, que fue considerado por Panofsky como la más conmovedora autorrevelación de la persona.lidad melancólica o saturnina del propio artista 46

•

E L TRATADO «DE DIVINA PROPORTIONE ... -EI tratado DE DIVINA PRO­PORTIONE es el fruto, en gran parte, de los encuentros de Milán, y sobre todo de las dis­cusiones mantenidas con Leonardo da Vioci. Tal vez po r ello sea la obra que mejor sintetice las preocupaciones estéticas de su autor. La peculiaridad del ambiente que rodeó la corte de Ludovico en los años finales del Quamocento fue el marco científico y artístico que sirvió de fondo a su reflexió n.

E~ 9 de febrero de 1498, y en un • laudable y científico duelo" mantenido en su fortaleza de Milán, el duque, «con sus áureas y melifluas palabras», señaló que era · digno de grandí­sima consideración de Dios y del mundo aquel que, estando dotado de alguna virtud, la co­munica a los demás de buen grado». Pacioli, sintiéndose impresionado por estas palabras, y a través de una forma retórica, da .a entender que la disposición final de su obra, se debió a esta recomendación: « ... grandemente excitado por las mencionadas palabras -dice- reco­bré aliento en la solitaria pendiente para disponer este breve compendio y utilísimo tratado titulado LA DIVINA PROPORCION, para fundamento de todas nuestras obras sobre si­milares materias, para ofrecer a Vuestra Alteza el sumo gusto y deleite de todas las mencio ­nadas ciencias y disciplinas matemáticas, para utilidad de vuestros reverentes súbditos y para decoro y ornato de vuestra distinguidísima biblioteca, llena de innumerables volúmenes so­bre t~das las materias y doctrinas" "7

.

•• Cf. Gov1, G.: Saggio delle opere di Leonardo da Vi11ci, Milán, 1872, p. 22. •Si dilettó Leonardo di giuochi de prestigi e molu ne dcscrissc, che si leggono poi reportati dal Pacioli nel suo libro Viribus quantitJJtis, che, se non tutti, sono ceno in gnm pute inven~ioni del VincÍ.•

" Un cuadrado mágico de orden n está constituido por los números enteros de 1 al cuadrado de n, dispuestos de tal forma que siempre se obtenga idéntica cifn sumando todos los de la misma línea o columna; si ademis coin­cide la suma en las diagonales reciben el nombre de cuadrados mágicos perfectos. Cf. PACIOI.I, L.: De viribus quan­titatis, J pane, problema 72: ·A l'astronomia summamenre hanno mostrato gli supremi di qudla, commo Ptolomeo, AJbumasar, Ali, Alfragano, Geber ct gli altri tutti, la forza et virtu de numeri eserli necessaria et principalmente doverlise acomodarecommo scn~a loro per alcun modo p01er farc. Onde ali piancti tutti separatamente a cadauno hanno trovato numeri per via de figure quadrate esscrli apropriati secondo diverse spetie de numeri quali per ogni verso pressi fanno sempre la medessima somma ... ogni figura si compone de tune le figure numerali excepto la cifra over nulla ...

46 Cf. PANOFSI(Y, E.: Vida y aru de Alberto Durero, Madrid, Alianza Editorial, 1982, pp. 171-185; cf., tam­bién, VAN LENNEP, J.: Arll! y alquimia. Estudio de la iconografía hermética y de sus influencias, Madrid, Editora Nacional, 1978, pp. 209 ss.

47 · M a de quelle grandamente eccitato, represi lena a la piagia diserta, e per condimento de ogn'altra opera nos­Ira de simili facu lta composta, e a summo e dcletevil gusto de tune le prefate scienze e matematici discipline, a vos­tra ducale celsitudine e a utilita de li reverenti sudditi di quell:l •• a decore ancora e perfetto ornamento de la sua dig-

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El libro, con abundantes referencias esotéricas y místicas, no está destinado al gran pú­blico, a pesar de su redacción en «vulgar». Más bien es una muestra de sutil y admirable doc­trina, necesaria para el conocimiento de aquella •secretissima scienza• que tanto preocupó a los artistas de entonces 48

• Va dirigida a los • ingenios perspicaces y curiosos• que mostraban vivo interés por el estudio de la filosofía, de las diferentes artes y de las matemáticas 49•

Las fuentes teóricas más importantes del tratado son el Timeo de Platón, los Elementos de Euclides, la obra de Vitruvio y las especulaciones de los Neoplatónicos florentinos. No obstante, y como señala el propio Pacioü, son utilizadas otras muchas elaboraciones prove­nientes del mundo clásico, de la Edad Media y del Humanismo de la época. El rigor lógico y la claridad expositiva de las argumentaciones que se contienen en él se deben, sin duda, al profundo conocimiento que el autor tiene de la filosofía escolástica. Si no fuera porque grao parte de sus reflexiones conecta con las preocupaciones del momento, DE DfVINA PRO­PORTIONE podría considerarse una obra medieval.

El tratado asume. ya desde el principio, una cuestión fundamental: la primacía de las matemáticas sobre cualquier otra disciplina. Todo cuanto ha sido creado cae, necesariamente, bajo el número, el peso y la medida. La ciencia matemática se encuentra relacionada estre­chamente con eJ acto de ver. La visión constituye, pues, el elemento primordial que hace posible el conocimiento, de ahí que la vista sea el más noble de los sentidos: la puerta por la que el intelectO entiende y gusta. Pacioli, en estas primeras referencias, no hace sino conti­nuar las especulaciones filosóficas y científicas que se venían realizando a lo largo del Quat­trocento y que cobran especial interés en los ambientes humanísticos de fines de siglo. Si bien es verdad que toma como punto de partida la autoridad de Aristóteles, es el pensamien­to platónico el que está en la base de dichas reflexiones, aunque no cite, expresamente, el co­noc.ido pasaje del Timeo en el que Platón hace a la vista el origen mismo de la ciencia matemática 50.

Como disciplinas matemáticas entiende, además de las tres propiamente dichas -arit­mética, geometría y astronomía-, la música, la perspectiva, la arquitectura y la cosmografía. Las disquisiciones en torno al verdadero número de las matemáticas (si éstas deben, en efec­to, ser tres, cuatro o cinco) permiten al Frate disertar acerca de las cualidades y prerrogativas de la música, la perspectiva y la pintura, mostrándose acorde con el espíritu de la época que inventó la perspectiva y ejercitó su maestría en innumerables pinturas. La superioridad de la

nissima biblioteca de inumerabile multirudine de volumi in ogni faculta e domina adorna, a disponere questo breve compendio e utilissimo trattato detto ~De Divina Proportione· ...

48 Recuérdese que Durcro emprendió un viaje hast3 Bolonia para ser inici:~.do en la •Sccretissima scienza• por nuenro matemático.

49 •Opera, a tutti gl'ingegni perspicaci e curiosi, necessaria, ove ciascun srudioso di Filosofía, Prospetdva, Pit­tura, Scultura, Architeuura, Musica e ahre MatemaLice, suavissima, souile e admirabile dottrina deletterassi con va­ríe questione de secretissima scien:r.a.•

5° Cf. PLATÓN, Timto, 47 a-c. •Lo que ahora hemos de tratar es la utilidad esencial de los ojos, en orden a la cual nos lo ha dado el dios. De hecho, la vista, según yo lo razono, ha sido creada para ser, en beneficio nuestro, el principio de la mayor utilidad. En efecto, de todas las disertaciones que actualmente cabe hacer acerca de Mundo, ninguna podría haberse hecho nunca, si los hombres jamás hubieran visto ni los Utros, ni el sol, ni el cielo. En cam­bio, en la situación actual, existen el día y la noche, los meses, los períodos regulares de las estaciones, los equinoc­cios, los solsticios, todas las cosas que vemos, que nos han procurado el conocimiento del número, que nos han dado el conocimiento del tiempo y nos han permitido especular sobre la naturaleza del universo. Gracias a ello nos ha sido dada esta especie de ciencia, de tal calidad que ningún bien mayor fue dado ni será dado a los monales por los dioses. Este es, digo, el beneficio más considerable que nos dan los ojos.•

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vista sobre cualquier otro sentido le lleva a establecer un • parangón" entre la música y la pin­tura, en el que se decide en favor de la excelencia de esta última, si bien reivindica su carácter musical. Es interesante destacar esta condición, pues constituirá uno de los grandes temas del tratado: la concepción armónica o musical de la pintura y, por extensión, del arte 51 .

A partir del capítulo V se aborda la cuestión central del tratado, es decir, la DIVINA PROPORCION, que desarrolla «in extenso» la Teoría de la Proporción esbozada en la Sum­ma. La proporción que Pacioli escoge y muestra aquí como ejemplar es la que aparece des­crita en el libro VI de los Elementos de Euclides, y que Platón ya había recogido en su Ti­meo: «la división de un segmento en media y extrema razÓn» 52

. Dicha proporción es deno­minada DIVINA por las numerosas correspondencias de semejanza que guarda con las pro­piedades de la Divinidad: así, la DIVINA PROPORCIONes «una sola y no más, y no es posible asignarle otras especies ni diferencias», del mismo modo que la unidad constituye el supremo epíteto de dios; la DIVINA PROPORCION ha de encontrarse en tres términos al igual que la sustancia divina se encuentra en tres personas; no admite definición por lo mis­mo que no la admjte la esencia divina, ni puede cambiar, permaneciendo siempre idéntica; por último, confiere, cual «virtud celeste», el ser formal a todo lo creado. Kepler llamó a esta proporción, siguiendo a Pacioli, «Secrio divina» sJ. La denominación de «sección áurea» (o «dorada»), con la que también se la conoce, es relativamente reciente 54

•

Una línea A CB (fig. 1) está dividida según rucha proporción cuando la relación de la par­te mayor con la parte menor sea igual a la relación de toda la linea con la parte mayor. Esta es, sin duda, la partición asimétrica más lógica y la que mejor concuerda con el principio del mínimo esfuerzo (ley de economía de los conceptos que fuera expuesta por Ockham a través de la fórmula «Entia non sunt multiplicanda» ):

A e (Fig. 1)

La expresión matemática de esta proporción sería:

alb =da

B

st El .Parangón• de las artes constituyó uno de los grandes • loci• de la reflexión anística del último tercio del Quattrocemo, que: intcrc~ó tanto a lo5 teóricos como a los propios artist.u; cf. PErE, M.: •ll "Paragone" lra pittura escultura nella leneratura artistica rinascimenulc•, en Cultura e scuola, núm. 30, 1969, pp. 113 ss.; cf. SAVONARO­LA, G.: Apologetícus de ratione poeticae artis, Venecia, 1542, p. 17: •At perspectiva [pictura] simplicirer viderur esse dignior musica, quía obiectum visus est nobilius obiecto auditus.• En lo que respecta a la superioridad de la pintura. Pacioli sigue las ideas de Leonardo da Vinci, aunque con cierus discrepancias; cf. CHASTEL, A.: Arte y humanismo en Floreneül en la época de Lorenzo el Magnífico, Madrid, Ed. Cátedra, 1982, pp. 410 ss.

H La teoría acerca de la razón y de la proporción euclidea.na se ba.sa en los trabajos del discípulos de Platón Eudoxio. Par~ Euclides el concepto de • razón• (l.oyoo) significa la relación cuantitativa existente entre dos magni­tudes homogéneas; el de •proporción• (ava/.oyta) la igualdad de razones (Elementos, V, 3, 6).

SJ Cf. KEPL.ER, J. : Mysterium Cosmograpbicum de admirabi/i proportione orbium caelestium, Tubinga, 1569: •La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras; el otro es la división de una línea en una proporción extrema y una media. Podemos comparar el primero a una medida de oro; al segundo lo podemos lla­mar una joya preciosa. •

!>1 El origen exaeto del término .sección áurea• ( .. section d'or• o •goldener Sdmin•) es bastante incieno. Ge· neralmcnte es situado en Alemania. en la primera mitad del s iglo XIX; cf. S CHOLFIELO, P. H.: Teorfa de la propor­cién en arquiter:ura, Barcelona, Ed. Labor, 1971, pp. 11 S ss.

20

Al ser e = a + b, la fórmula anterior equivale a:

a!b =a+ b!a

Si hacemos a = x y b = 1, la igualdad se transforma en:

X= X+ Jlx

de donde:

x 1 = X + 1 Ó x 2 - X - 1 = 0

Tenemos, pues, una ecuación de segundo grado en x, con dos raíces (positiva y negativa):

X= 1 ± Vs/2 de la que sólo tomamos la positiva. El resultado numérico de esta operación es:

X= 1,618033 ...

que se caracteriza, fundamentalmente, por su inconmensurabilidad. Para mayor simplifica­ción, este número es representado por letra griega ( <1> ) .

La demostración gráfica de dicha propiedad viene dada a través de la s iguiente construc­ción geométrica: Dado un segmento AB =e, se toma sobre BY, perpendicular aAB, un seg­mento BD = AB/2 = c/2; se une A con D, y se obtiene DE= DB = c/2. Con A, como cen­tro, se describe el arco de círculo EC, y Ces el punto buscado (es decir, nuestra propor­ción), tal que ACICB = ABIAC (fig. 2):

~

~· : ·· .. j ·· -....

h ' e

(Fig. 2)

y

D

e i

B

Sobre esta línea se puede construir un rectángulo, de tal forma que el lado mayor del mismo sea toda la línea, y el lado menor el segmento mayor. Dicho rectángulo puede des­componerse, a su vez, en un cuadrado de lado igual al menor del rectángulo, y en un rec­tángulo cuyo lado mayor es igual al del cuadrado y el lado menor al segmento menor de di­cha línea (fig. 3) ss:

" El interés que han suscitado las propiedades matemáticas del número 4> en especial su conexión con la geometría de la sección áurea o divina, se debió, fundamentalmente, a sus peculiucs características y, sobre todo, a

21

G a F D· -- ---------- -- ---· . ..

' ' \\

' a . ' ' ' ' ' ' . 1 A" - A e B A (l o e b B 2

(Fig. 3)

Los diferentes «effetci» y propiedades de la DIVINA PROPORCION, así como su tra­tamiento científico, son descritos de forma prolija y argumentada a partir del capítulo VII hasta el XXIII. En ellos señala que dichos «effetti» son infinitos e inabarcables; sin embargo, debido a las limitaciones propias del tratado, son reducidos a 13. Las razones que da para la elección de dicho número son de índole mística y estética: « ... hemos elegido -dice- sólo estos trece, en honor del grupo de doce y de su jefe, nuestro Santísimo Redentor C risto Je­sús. Pues habiéndoseles atribuido el nombre de divinos, se les debe poner final con el núme­ro de nuestra salvación»; además, «entiendo que Vuestra Ducal Alteza tiene una especial de­voción por haberlo hecho representar en el mencionado lugar del muy sagrado templo de las Gracias por el también nombrado Leonardo, con su airoso pince],._ Cada uno de los •effetti" es mencionado por un distinto y elogioso adjetivo: esencial, singular, inefable, admirable., in­nominable, inestimable, supremo, excelentísimo, dignísimo, etc. En realidad, se limita a re­coger las primeras proporciones contenidas en el libro XIII de los Elementos de Euclides, si bien sustituye las complicadas demostraciones geométricas del megarense, por sencillas de­mostraciones aritméticas.

Resultan particularmente interesantes los capítulos que van del XXIV al LIV, pues cons­tituyen la parte más característica del tratado. Están destinados al análisis y construcción de

su conexión con la famosa serie de Fibonacci. Este matemático había inrroducido en su Liber Abaci (1202) una serie (1, 1, 2, S, 8, 13, 21, 34...) creada al tratar de calcular el número de conejos nacidos de una pareja determinada que produce c~da mes una nueva pareja, que, a su vez, después de un mes ya está apta p~ra reproducirse, y así sucesi· vameme. Encontró que el número de parejas agregadas cada mes se sucedía según la referida serie. Serie que se cons­tituía a través de una propiedad aditiva de sus términos, formando una progresión geométrica rigurosa, cuya razón entre dos términos consecutivos es constante y tiende hacia un límite que es, precisamente, el número <1> = 1,6180 ... Una serie de operaciones con este número presema rasgos peculiares, como es la persistencia del mismo decimal: 1/ <j> = 0,6180; cp2 = 2,6180. La progresión geométrica sobre el número áureo~ sería: 114>, ~. <j>2, cp3 ... Dicha pro­gresión resulta de la siguiente ecuación: 4>2 = cp + 1 y de su variante <jl - 1 = 1/ cp. Las propiedades aditivas de la proporción áurea han tenido enorme importancia en el diseño. Sobre el rectingulo áureo Durero const ruyó su fa­mosa espira!. A propósito del análisis matemático y geométrico de la DIVINA PROPORCION, cf. GHYKA, M. C.: Estitica de Lu proporciones en la naturaleza y en las artts, Buenos Aires, Ed. Poseidón, 1977; cf. IDEM: El nú­mero de oro, Buenos Aires, Ed. Poseidón, 1968, 2 vols.; cf. PEDOE, D.: La geometría en el artt>, Barcelona, Ed. Gustavo Gili, 1976; cf. SCIIOLFIEL, P. H .: Teoría de In proporción en arquitectura, Barcelona, Ed. Labor, 1971; cf. W mKOWER, R.: •Sistemas de proporciones• , en Sobre la arquill!crura en la edad del humanismo, Barcelona, Ed. Gustavo Gilí, 1978, pp. 527-539; cf. W ARUSFEI., A.: Los números y sus misten-os, Barcelona, Ed. Martínez Roca, 1968.

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los cinco poliedros regulares que Platón había recogido en su Timeo y atribuido, no sin ra­zones, a los cuatro elementos simples de la naturaleza, incluido el Todo. Son éstos, el tetrae­dro, el cubo, el octaedro, el icosaedro y el dodecaedro, que corresponden, respectivamente, al fuego, la tierra, el aire, el agua y el Todo 56• Para la fabricación de tales figuras son nece­sarios los triángulos rectos. Señala, asimismo, que sin la ayuda de la DIVINA PROPOR­CION no sería posible la formación de dichos cuerpos, demostrando, a través de argumen­tos matemáticos y filosóficos, por qué no pueden ser más de cinco (cap. XXV). Una de las peculiaridades de estos cuerpos es la inclusión progresiva de cada uno en el siguiente, hasta el punto de que el último, el dodecaedro (o la esfera), los contiene a todos 57

• A partir de estos poliedros (sólidos o vacíos), y con la ayuda de la divina proporción, se pueden cons­truir otros cuerpos dependientes de ellos, bien sean los «abscisas» (por extracción de otros cuerpos geométricos), o bien los «elevados» (por adición). Las láminas o dibujos que ilustran el texto, que suman un total de bO, hacen referencia al contenido de estos capítulos. Fueron realizados, al menos los originales que acompañaban el manuscrito regalado a Ludovico, por

S6 Cf. PLATÓN, Timeo, 53 b/ 58 c. La teoría de los cinco cuerpos regulares que Platón expone en su obra per­U!nece, sin duda, a la mdición pitagórica. Proclo, In Euclid., 65 (15 Friedlein), afirmó que fue Pitigoras quien des­cubrió las cinco figuras cósmicas. Sin embargo, otros t~stimonios señalan que, al menos una parte de ellos, fueron construidos por Teeteto, el gran matemático amigo de Sócrates y Platón; cf. EsCOLIO: In Euclid. XIII (Heiberg, p. 654, 1-10): . En este decimotercer libro son construidos los cinco cuerpos platónicos, que no son de Platón mis­mo. Tres de los cinco cuerpos ... son de Pit.igoras: el cubo, la pirámide y el dodecaedro. Pero el octaedro y el ico­saedro son de Teereto, }' han recibido el nombre de cuerpos platónicos porque Platón los cita en el T1meo. Este decimotercer libro lleva también el nombre de Euclides, porque Euclides le ha dado un lugar en sus Elementos.• En su conjunto, mos sólidos debieron de ser novedad en la época de Platón; en el mismo Timeo (48 b) se nos dice que •hasta el momento, nadie nos ha Cll:plicado el origen de los elementOS•. Es muy probable que los descubrimien­tos de Teeteto tuvieran lugotr después de la redotcción del libro VII de la República. Platón, con ese sentido de ac­tualidad tan característico en él, los ha incorporado a su obra nada más conocerlos. Su aparicjón en el contexto del relato cosmológico del di.ilogo, muestra la regularidad ideal de las figuras elementales. La severidad que Platón man­tuvo con respecto a la utilidad de las artes se debe, sin duda, al reconocimiento de su influencia irracional. Para con­trarrestarla recurre al idealismo moral y matemático. El gran Demiurgo (escultor) crea el mejor de los mundos po­sibles •por la acción de las ideas y los números• (Timeo, 53 b). Para todo lo concerniente a la estereometr ía clásica, cf. SACHS, E.: · Die fünf platonischen Korper•, en Philologischi! Umersuchungerz, Berlín, 1917; cf. FRANK, E.: Placo und die sogenannten Pychagoreer. Ein Kapitel aus der Gescbichte des griechischm Geisces, Halle, 1923 (apéndice XVf); cf. ÜLSCHK!, L.: Geschichte der neusprachlicben Literatur, Leipzig, '1 919; cf. MUCLER, CH.: Platon et la re­cherche mathématique de son époque, Estrasburgo, 1948¡ cf. fOEM : •Les dimensions de l'univers platonicien d 'apres Timée 32b•, en Revue des E tu des Grecques, enero-junio, 1963; cf. SCHUHL, P. M.: .Imagination et science des cris­taux, ou platonisme et minéralogie•, en journal de Psychologie, París, l , 1949, pp. 27-34; cf. CORNI'ORn, F. M.: Pla1o's Cosmology. The Timaeus of Placo, Nueva York, Lib. of Liberal Arts, 1937; cf. TAYLOR, A. E.: A commen­tary on Plato's Timaeus, Oxford, At thc C larendon Press, 1962; cf. DUHEM, P. M.: Le Systhne du Monde. Hiscoire des doctrines cosmologiques de Platon a Copernic, París, 1913· 1959, en especial el volumen 1.

S? Cf. PAC!OU. L.: De divina Proporcione, cap. LV. • ... La forma de doce bases pem~gonales la atribuyó al cielo como a aquello que es receptáculo de todas las cosas, del mismo modo que el dodecaedro es receptáculo y albergue de todos los otros cuerpos regulares, como se puede comprobar por la inscripción de un cuerpo en otro. • Platón en el célebre pasaje de Timeo, SSc, no menciona el dodecaedro de forma explícita, ni describe su construc­ción. Tal vez calle por respeto al •silencio• pitagórico. El pentágono era la figura sagrada de los seguidores de Pi­tágoras. El texto platónico en cuestión dice: • Todavía quedaba una quima combinación, el dios se sirvió de ella para disponer el Todo.• Por el context.o parece referirse a la esfera. Sin embargo, en otro lugar, (Fedón, l!Ob), se dice: • ... La t ierra se presenta a la vista, si alguien la contempla desde arriba, como las bolas de doce pieles, abigarrada. con franjas de diferentes colores.» Estos doce colores podrían ser, en efecto, aquellos que aparecen en Timeo, 67e passim. Si los doce pentágonos del dodecaedro se curvaran un poco, daría, sin duda, la forma de la esfera. La tra­dición neoplatónica, pc>r o tra pane, vio en esta enigmática figura el dodecaedro.

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Leonardo da Vinci. Al final del tratado da algunas instrucciones acerca de la utilización de dichos dibujos 58

.

El capítulo LIV constituye, en sí mismo, un pequeño tratado de arquitectura. Comienza con la descripción del poliedro de 72 caras, muy utilizado, según afirma, por los arquitectos contemporáneos. Este cuerpo se revela de gran utilidad en la construcción de tribunas, bó­vedas o cielos. Pacioli considera que, aunque en estas estructuras arquitectónicas no se em­plean tantas caras, puede, sin embargo, resultar una guía óptima para las mismas, dada la si­militud que guardan con este poliedro, sobre todo si se tiene en cuenta una tercera o cuarta parte de él. Entre los numerosos edificios, antiguos o contemporáneos, que asegura han sido inspirados en este cuerpo, cita el Panteón romano, la capilla de San Scettro de Milán y la tri­buna del altar mayor de Santa Maria delle Grazie, también de Milán 59

• Esta afirmación no deja de ser sorprendente, pues un atento examen de los referidos edificios no permite una constatación literal con lo manifestado en el texto. De ser cierta, se trataría de una de las ma­yores novedades para nuestro conocimiento de la teoría arquitectónica del Renacimiento 60•

Ni en Vitruvio (incluida la edición de 1521 de Cesariano), ni en ningún teórico de la arqui­tectura renacentista (Alberti, Filarete, Francesco di Giorgio, Serlio, Cataneo, Palladio, etc.) se encuentra indicación alguna del uso de] poliedro de 72 caras de Pacioli. Parece ser que es­tos cuerpos geométricos fueron utilizados como meros elementos de decoración. Hay noti­cias que aseguran que Miguel Angel encargó al orfebre Giovanni di Baldassarre una bola con la forma de este cuerpo para que coronara su capilla Médici, en plena identificación con las ideas platónicas del Frate 6 1• Es muy probable que Pacioli, como advirtió Chastel, haya que­rido, después de Piero della Francesca, dar a entender que la elaboración de las formas de­corativas tienen los mismos fundamentos que la representación científica de la naturaleza 62•

58 Cf. el cap. LXX de De Divina Proportione; cf., también, De viribus quantitatís: •... supreme et legiadrissi­me figure de runi i platonici et mathematici rtguhri et dcpendenti, ch'in prospectivo disegno non i: possibile al mon­do farli meglio, quando bene Apelle, Mirone, Policrcro (sic) er gli altri fra noi tornassero, facte er formate per quella ineffabile senima mano a ruue discipline m:uhematici acomodatissima del prencipe oggi fra monali, pro prima fio­rentino, Lionardo nostro da Vinci, in quel fdici tempo ch'insiemi a medesimi stipendü nella mirabilissima citta di Milano ci trovammo; d. MASsorn BIGGIOGERO, G.: Op. cit., p. 227. Pua lo referente a los dibujos de Leonardo, cfr. DE TONI, G. B. : •lnrorno un codice sforzesco d.i Luca Pacioli nella Biblioteca di Ginevra e i disegni geometrici dell'opera "De divina proporcione" auribuiti a Leonardo da Vinci•, en Per el IV centenario della morte di Leonardo da Vinci, Bergamo, lnstiruro Vincíano di Roma, 1919.

$9 La capilla en cuestión es la carolingia (hoy llamada de San Sátiro) que tanto impresionó a Bramante y a Leo­

nardo. Parece, no obstante, referirse a la iglesia o a la sacristía de Bramante. La tribuna del altar mayor de Santa M.' ddle Grazic fue realizada, probablemente, sobre proyecto bramantesco (aprox. en 1492).

60 Cf. RACKUSIN, B.: • The Arcbüectural theory of Luca Pacioli: De Divina Proporrione, chapter 54•, en Bi­blioteque d'Humamsme et Renaissance, 1977, p. 487: cf. PoRTOGHESl, P.: •Luca Pacioli e la "Divina Proportione··, e o Civilta del/e machim~. 1957, pp. 21-28.

61 Cf. BRUSCHl, A.: • Nota introduttiva•, en Scritti rinascimemali di archicettJ•ra, op. cit., p. 41, n. 1; cf. DE TOLNAY, CH.: Miguel AngeL Esc~tltor, pintor y arqt~Jtecto, Madrid, Alianza Forma, 1975, p. 134 (en especial, cap. lll).

62 Cf. CHASTEL, A.: 1 centri del Rinascimento. Arte italiana (1460-1500), Milán, Ed. Rizzoli, 1979, p. 263: •La posesión de tales normas tenia una inmensa resonancia de tipo doctrinario. Adquirían el valor de un "mysterium" de una iniciación oculta y maravillosa. En esto, sin duda, el secreto que Durero en 1506 estab¡¡ ávidamente intentando encontrar o conocer en Bolonia: "u m dcr kunst willcn in hcimlichcr Perspectiva" •; cf. IDEM: •Marqueterie et pers­pective au XV• siecle•, en Rl!1.!ue des Arts, 1953, 1!1, pp. 141-154; cf. IDEM: Marsile Ficin et I'Art, Ginebra, Ed. Droz, 1954. El autor señal~. a su vez, que Fra Giova.nni da Verona, excelente •taraceísta• del Renacimiento, realizó en Momeoliveto Maggiore una espléndida obra en donde aparece representado, junto a otros elementos propios de un •srudiolo• de humanista, el poliedro de 72 caras de Pacioli.

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En la última parte del capítulo, Pacioli recomienda, muy encarecidamente, el estudio de la obra de Vitruvio, en un ataque lanzado contra los arquitectos de la época que todavía se­guían operando fuera de las normas matemáticas: • Quien de Vitruvio se aparta, cava en el agua y cimenta en la arena y muy pronto malogra el arte.» A juzgar por el término «moder­no» que el autor emplea para referirse a los edificios construidos en su época sin las debidas proporciones, las opiniones aquí vertidas tienen que ver, sin duda, con la polémica sostenida, en Milán, a finales del siglo XV, a propósito de las obras del Duomo. Aunque no da nombres es probable que Pacioli se refiera a algún grupo en concreto, conocido de todos, que no hacía necesaria su mención. Este grupo de arquitectos «modernos» (es decir, «góticos») podían ser los responsables de la ruina de edificios habida en Milán durante el proceso de reconstruc­ción emprendido por Ludovico. Una verdadera «querelle» entre «antiguos» y «modernos» que, ya por entonces, dominaba los ánimos de artistas y teóricos 63•

El elogio a Vitruvio va unido a la exaltación del «ángulo recto» (angulus iustitiae), sin cuyo conocimiento, dice, no es posible «distinguir el bien del mal en ninguna de nuestras proporciones ni en modo alguno se puede dar medida cierta». Sus afirmaciones se hacen eco de las ideas dominantes en los ambientes humanistas, que alentaban la exigencia del rigor mo­ral como vía segura para el perfeccionamiento del arte. La otÜnea recta» era símbolo de cas­tidad, simplicidad de vida y moralidad contra las ;(extravagancias» del virtuosismo técnico de las • líneas curvas» muy del gusto del espíritu gótico, considerado, ahora, como el exponente de la corrupción y exhibición lujuriosa de riquezas. La rectitud moral y el deseo de renova­ción de la arquitectura se ligan, en Pacioli, a la esmerada preparación científica (matemática) del arquitecto 64.

En general, todo el discurso de la DIVINA PROPORCION podría resumirse en una sola propuesta: la arquitectura (como codo el arre) debe reflejar, como «allo specchio• , la es­tructura matemática del Universo. La PROPORCION MATEMATICA, principio univer­sal y objetivo de belleza, debe convertirse en punto de referencia obligado para todo arte.

La edición veneciana del DE DIVINA PROPORTIONE incluía una parte específica dedicada a la arquitectura, que no aparece, en cambio, en los manuscritos. De inspiración vi­truviana, su contenido se aparta en cierta medida de los presupuestos apuntados en la prime­ra, al menos en lo que toca a la aplicación de la «Sección divina,., Queremos destacar, no obs-

63 Filarete, en 1453, experimentó el rechazo de algunos técnicos milaneses durante sus trabajos en el Castcllo di Pona Giovia. Para vengarse de ellos lanza, años más tarde, un duro ataque al llamado .estile moderno•: •Ma las­ciamo m .re al presente dire di queste chiese moderne loro mancamenti, i queli sono procceduti quasi da una oppi· nione universale de chi fa fare alcuna cosa che appancnga a questo esercizio d'edificare, e a ognuno gli pare essere buono architetto. E per questo e pi u maestri di questa arte che di ni una altra, ma meno se ne truova buoni che dell'al· tre ... Accio che sl possi no avedersi degli crrori e anche da loro guardarsi, leggendo questo vedranno li falli che com­mettono e fanno commettere a chi di loro si fida. Aviene questo, come ho derto, perche no ne intendono n~ misure, né proporzioni delle cose che s'apanengono allo edificare•; cf. FtLARETE: Trattato di art:hitettura, lib. 1, fol. 2r,v (edición de L. Grassi, Milán, 11 Polifilo, 1972, ''01. 1; vid., en especial, la nota 1, p. 6, así como la nota 3, p. 117). De todas formas, a juzgar por los términos empleados por Pacioli y las referencias a los artesanos (albañiles, zapa­teros, etc.), podría, a su vez, ser un •locus classicus-; cf. VITRUVIO: Los diez libros de arquiuctura, lib. Vl, introducción.

'-' Cf. BRUSCiil, A.: .Nota introduttiva•, en op. cit., p. 37; cf. BAXANDALL, M.: Pintura y vida cotidiana m c/ Renacimiento. Arte y cxperitmcia en el Quattrocento, Barcelon;~., Ed. Gustavo Gilí, 1978, p. 131: •En verdad, es posible que las calidades pictórica~ que nos parecen teológicamente neutrales -la proporción, la perspectiva, el co­lor, la variedad, por ejempll>-- no lo fueran. Un imponderable lo constituye el ojo moral y espiritual capaz de in­terpretar varios tipos de interés visual en términos morales y espirituales.•

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tante, las referencias que hace, tanto en el Proemio como en el primer capítulo, a las concep­ciones antropomórficas y antropocéntricas de las proporciones y de la arquitectura. Todas las medidas, afirma, se derivan del cuerpo humano y en él están señaladas por el dedo del Altísimo toda suerte de proporciones y proporcionalidades respecto a sus miembros. El hom­bre aparece aquí de nuevo como la medida de todas las cosas: el espejo del universo. Por eso, los antiguos, señala, considerando la disposición del cuerpo humano «conformaban to­das sus obras, máxime los templos sagrados, de acuerdo con la proporción de dicho cuerpo, pues en aquél encontraban las dos figuras principales sin las cuales no es posible hacer nada, es decir, la circular, la más perfecta ... La otra es la figura cuadrada equilátera» 65• A su vez, el cuerpo humano sirve de modelo para la estructura de las ciudades, donde todos sus ele­mentos guardan perfecta correspondencia con los diferentes miembros de aquél. Las referen­cias a la inscripción del cuerpo humano en la arquitectura que Pacioli recoge en esta parte, fueron muy comunes en la tratadística de la época. Se encuentran, sobre todo, en Francesco di Giorgio, para quien el hombre es el protagonista de la naturaleza y de la ciencia. 66.

El carácter inconmensurable de la DIVINA PROPORCION fue la causa de su restrin­gida aplicación real en la arquitectura y en la pintura del Renacimiento. Se sabe que jugó un papel considerable en la geometría medievl\1. Wittkower sostiene, no sin cierta razón, que las propiedades irracionales de la «sección áurea• son difíciles de conciliar con «una anotación fidedigna y conmensurable de las dimensiones», objetivo fundamental de los arquitectos re­nacentistas 67• Señala, además, no haber encontrado mención alguna a este tipo de magnitu­des en los centenares de estudios que, sobre proporciones humanas y arquitectónicas, se es­cribieron a lo largo del Renacimiento. El atractivo de la DIVINA PROPORCION era de otra especie. Sus propiedades constituyeron una fuente de «ebriedad .. intelectual, más que de satisfacción puramente visual. Sólo algunos siglos más tarde, cuando en el XIX surja de nuevo el interés por las proporciones inconmensurables, la «sección áurea,. será una pieza clave en las especulaciones artísticas y estéticas 68.

En una carta dirigida a Matila Ghyka, el poeta Paul Valery escribía: «El equilibrio entre el saber, el sentir y el poder está hoy roto en las artes. El instinto sólo da fragmentos; pero el arte magno debe corresponder al hombre completo. LA DIVINA PROPORCION es la medida generalizada ...

~ Cf. PACIOLI, L. : De Divina Propomone, ed. iuliana A. Bruschi, Scrittí, o p. cit. , p . 95; ed. castellana, op. ck, p. 152.

64 Cf. Trauati di Archicettura, ingegneria e arte militare, Milán, JI Polifilo, 1967, fol. 3, tav. 1; cf. PAPINI, R.: Frances¡;o Giorgío Architeuo, Florencia, Electra Ed., 1946, p. 199; cf., además, FAVARO, G .: e l e proporzioni del corpo umano in un codice anonimo del Quaurocento postil ato de Leonardo• , en Reale A ce. d'!talia. Memorie dalla sdenza fi.sica, 1934, vol. V, pp. 592 ss.; cf. MARCONI, P.: • La cittadella come microcosmo, una chiave per l'inter· pretnione dell'urbanistica rinascimentale•, en Quademi ddl'istit uro di stona dell'archirertura, serie XV, 1968, pp. 53-94; cf. MURATORE, G.: La citta rinascimtmtale. Típi e modellt auraverso i trattati, Mil:in, G. Mazzotu , 1975, pp. 197 SS.

67 Cf. WITTKOWER, R.: ·Sistemas de proporciones~, en Sobre la arquttectura en la edad dtl humanismo, op. cit., pp. 535 ss. •Resuha evidente que las proporciones irracionales habrían planteado a los artistas del Renacimiento un dilema insoluble, pues la actitud renacentista ante las proporciones venía determinada por una nueva aproxima· ción orgánica a la naturaleza que implicaba un procedimiento empírico de medición y pretendía demostrar que to­das las cosas estaban relacionadas entre sí mediante los números.•

41 Cf. ScHOLFIELD, P. H .: Op. cit., pp. 97-149.

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EXCELLENTISSIMO PRINCIPI LUDOVICO M. SF. ANGLO ME­DIOL. D., PACIS ET BELLI ORNAMENTO, FRATRIS LUCE EX BURGO S. SEPUL. OR. MI. SACE. THEOL. PROFES. DE DIVINA PROPOR. EPISTOLA ::-

E stando, Excelso Duque, en el 9 de febrero del año de nuestra salvación de 1498, en la inexpugnable fortaleza

de vuestra ínclita ciudad de Milán, dignísimo lugar de vuestra acostumbrada residencia, constituido con vuestra presencia en laudable y científico duelo, con la concurrencia de toda clase de hombres celebérrimos y sapientísimos, tanto religiosos como seglares, de los cuales abunda habitualmente vuestra magnífica corte; de ellos, además de las Reverendísimas Se­ñorías de los obispos, protonotarios y abades, estuvieron pre­sentes, de nuestra sagrada y seráfica orden, el Reverendo Pa­dre y sublime teólogo maestro Gometio, con el dignísimo pregonero de la Sagrada Escritura Fray Domenico, apellida­do Ponzone, el Reverendo Padre maestro Francesco Busti, ac­tualmente regente diputado en nuestro digno convento de Mi­lán; y, de entre los seglares, primero mi particular protector, el señor Galeazzo Sforza, el señor Severino, valerosísimo ge­neral de Vuestra Excelencia, capitán a nadie inferior en las ar­mas y diligente seguidor de nuestra disciplina. Asistieron tam­bién egregios oradores de preclaras potencias, así como los hombres más sabios en medicina y astronomía; y Ambrogio Rosa, agudísimo investigador de Serapion y de Avicena y de

'' Al Excelentísimo Príncipe Ludovico Maria Sforza, Duque de Mi­lán, Ornamento de la paz y de la guerra, Epístola sobre la Divina Pro­porción, del hermano Luca de Borgo San Sepolcro, de la orden de los me­nores, profesor de Sagrada Teología.

? .F. Dotmmnu ponzon.

. M .fr:ancoÍnu Bu O..

•ttt.o. Galu.couuf.v .S$ .

29

1

a

b

los cuerpos superiores e intérprete de las cosas futuras; el doc­tísimo sanador de todos los males Alvise Marliano; el saga-

AlutCuu marl~ntu. císimo observador de cada una de las partes de la Medicina

G•bnd pu·ouantu N t«>>aus cuf.tmu.

A.n.drcas not,.ncnlis.

Gabriel Pirovano; y el muy admirado y venerado por todos los anteriores Nicolo Cusano, junto con Andrea Novarese, hombre expertísimo en las mismas profesiones, y otros muy eximios y sapientísimos doctores utriusque iuris, así como consejeros, secretarios y cancilleres de vuestra honorable ma­gistratura; y, en compañía de los muy perspicaces arquitec­tos, ingenieros y asiduos inventores de cosas nuevas, Leonar­do da Vinci, nuestro compatriota florentino, cuyo renombre

L~vmmu. f en los campos de la escultura, undición o pintura es atesti-

Equdlns n.nua

~ f rAncúaiuf. Phy<f•as

5 f'ra:mdcs ~

guado por todos, como demuestra la admirable y magnífica estatua ecuestre, cuya altura desde la cabeza hasta el suelo es de 12 brazas, es decir, 36 veces la presente línea ab, y cuya masa de bronce asciende en total acerca de doscientas mil li-bras, de doce onzas comunes cada libra, dedicada a vuestra santísima e invicta memoria paterna, obra que nada tiene que envidiar a las de Fidias y Praxíteles en Monte Cavallo ; o tam­bién el hermoso simulacro del ardiente deseo de nuestra sal­vación pintado por su mano en el digno y devoto lugar, de

~ corporal y espiritual confortación, del sagrado lemplo de las -g rcmplum granu.. Gracias, obra ante la cual se estima hoy que cederían Apeles, ~ ..:::::-, Mirón o Policleto rindiéndose ante su fama. Y, no satisfecho

A pdks ~ con todo ello, habiendo terminado ya con toda diligencia su

Mn'O "- Poh.mrus gran libro de la pintura y los movimientos humanos y ha-

biéndose entregado al inestimable estudio del movimiento lo­cal, de las percusiones y pesos y de todas las fuerzas, es de­cir, de los pesos accidentales, se emplea con aplicación en lle­var a buen término semejante empresa. Y su fraternal Giaco-

lacolnuand=u~. mo Andrea de Ferrara, apasionado seguidor de las obras de Vtfl~tiiLU archtt=? Vitruvio, aunque ello sin menoscabo de su singular arte

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militar. Vuestra Alteza dijo, con sus aureas y melifluas palabras,

que es digno de grandísima consideración de Dios y del mun­do aquel que, estando dotado de alguna virtud, la comunica a los demás de buen grado, cosa que es caridad para con el prójimo y alabanza y honor para él mismo, imitando el sa-

grado dicho quod ne sine figmento didice et sine invidia li­benter comunico. Tan firmemente retuve en mi pensamiento el alcance de estas suavísimas palabras que nunca se grabó en mármol inscripción más duradera. Y, aunque anteriormente casi por mi propia naturaleza me era natural hacer lo indica­do con todos, máxime tratándose de aquellas facultades con las que el Altísimo, en su inmensa benignidad, tuvo a bien dis­tinguirme entre los demás hombres, es decir, las necesarias ciencias y disciplinas matemáticas, sin embargo, ya agobiado por los laboriosos afanes diurnos y nocturnos, corporales y espirituales - todo lo cual resultará obvio para quien haya examinado con diligencia nuestra gran obra sobre semejantes disciplinas y facultades, dedicada al magnánimo duque de Ur-bino Guido Ubaldo, afina Vuestra Alteza, junto con las otras Guuio Vh>ldu.s.Pu,.vrbom.

incluidas en su quinta distinción-, ya me había puesto con los demás en un lugar soleado a contar los años. Pero, gran-demente excitado por las mencionadas palabras, recobré alien-to en la solitaria pendiente para preparar este breve compen-dio y utilísimo tratado titulado La Divina Proporción, para fundamento no sólo dé todas nuestras obras sobre similares materias, sino también para ofrecer a Vuestra Alteza el sumo gusto y deleite de todas las mencionadas ciencias y discipli-nas matemáticas, así como para utilidad de vuestros reveren-tes súbditos y para decoro y ornato de vuestra distinguidísi- D••rah~ Bobh<>thma r"f''oCa

ma biblioteca, llena de innumerables volúmenes sobre todas las materias y doctrinas. Este tratado, con todas las formas materiales de los cuerpos que en él se contienen, causará a quien visite dicha biblioteca una admiración no menor que to-dos los demás volúmenes con todas las demás cosas valiosas que en ella se guardan, por haber permanecido hasta ahora ocultas dichas formas a los hombres. En este volumen dire-mos cosas elevadas y sublimes que constituyen, ciertamente, la piedra de toque de todas las exquisitas ciencias y discipli-nas, y de ellas deriva cualquier otra operación especulativa científica, práctica y mecánica; sin su conocimiento es impo-sible, como se demostrará, entender bien o realizar cualquier operación humana.

Por ello Vuestra Alteza Ducal, con avisada inteligencia,

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exhortará a sus familiares y a sus reverentes súbditos a dis­currir sobre él con deleite y con sumo placer y fructífera uti­lidad, pues no se trata de fábulas seniles ni de otras ridículas y falsas falacias, ni de mendaces e increíbles invenciones poé­ticas que engañan a nuestros oídos. Y, aunque las cosas falsas son útiles, según el filósofo, porque de ellas se sigue el cono­cimiento de las cosas verdaderas como el reverso al derecho y a cada cosa su opuesto, lo verdadero nos será, sin embargo, más útil y provechoso aunque de ello derive lo no verdadero. Pero, como afirman Aristóteles y A verroes, nuestras mate­máticas son las más verdaderas de las cosas verdaderas, en el primer grado de la certeza, y a ellas siguen todas las demás ciencias naturales. Baste esto, pues, como introducción y ar­gumento de las explicaciones que aquí siguen, siempre con la humildad y reverencia debida a Vuestra Alteza, a quien de continuo me encomiendo encarecidamente. Quae felicissime ad vota valeat.

CAPITULO II

Proemio del presente tratado llamado La Divina Pro­porción

P ropter admirari ceperunt philosophari. Según la reconoci­da autoridad, Excelso Duque, del maestro de aquellos

que saben, el saber tuvo su origen en la vista, tal y como afir­ma él mismo en otro lugar cuando dice nihil est in intellectu quin prius fuerit in sensu, es decir, que no hay nada en el in­telecto que previamente no se haya ofrecido de alguna mane­ra a los sentidos. Y los sabios concluyen que la vista es el más noble de nuestros sentidos. De ahí que también vulgarmente se diga, no sin fundamento, que la vista es la primera puerta por la que el intelecto entiende y gusta. Como se explica en el lugar mencionado, al ver los sacerdotes egipcios un eclipse de luna quedaron grandemente admirados y, al buscar la ra­zón de tal suceso, encontraron, con ciencia verdadera, que el mismo ocurría por la interposición de la tierra entre el Sol y

la Luna, con lo cual quedaron satisfechos; y, desde entonces en adelante, sus sucesores, aguzando cada vez más las cinco ventanas del intelecto, llenaron, para nuestro provecho, mul­titud de volúmenes con sus profundas ciencias. Así, tal y como una idea surge de otra, de aquel hecho derivaron otros muchos. Meditando sobre ello decidí escribir este utilísimo compendio de las ciencias matemáticas y, al mismo tiempo, dar con mi propia mano, para bien de todos, la debida y par­ticular forma material de sus cuerpos y ofrecerla a Vuestra Al­teza Ducal junto con el presente compendio. No dudo que, pór su inusitado aspecto, como cosa en nuestros tiempos ve­nida del cielo, vuestro sutil y perspicaz intelecto encontrará en ellos un grandísimo placer, máxime cuando, con la luz an­tes dicha y con menor empeño que los antiguos egipcios en el mencionado eclipse, encontrareis las causas de tales formas y de su dulcísima armonía con la ayuda y el sufragio del pre­sente tratado. Por eso estoy seguro de que, si en el pasado ofrecisteis vuestro vasto y amplio apoyo a quien conociese al­guna parte de tales ciencias, en el futuro habreis de mostraros aún más magnánimo y generoso y, con tOda diligencia y em­peño, exhortareis a su adquisición a vuestros amados familia­res, reverentes súbditos y demás personas queridas. Pues di­chas matemáticas son el fundamento y la escala para llegar al conocimiento de cada una de las demás ciencias, por encon­trarse en el primer grado de la certeza, como afirma el filó­sofo cuando dice Mathematicae enim scientiae sunt in primo grado certitudinis et naturales sequuntur eas. Como se ha di­cho, las ciencias y disciplinas matemáticas se encuentran en el primer grado de la certeza y las siguen todas las ciencias naturales; y sin el conocimiento de aquéllas se hace imposi­ble entender bien ninguna otra ciencia. Igualmente está escri­to en la sabiduría que omnia consistunt in numero, pondere et mensura, es decir, que todo aquello que se encuentra dis­tribuido por el universo inferior y superior se reduce necesa­riamente a número, peso y medida. Y dice el excelso Agustín en De Civitate Dei que en estas tres cosas recibe el Sumo Ha­cedor gran alabanza porque en ellas fecit stare ea quae non erant. Y, gracias a esta amorosa exhortación, pienso que mu-

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Syr.acuf~na (uut:U

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chos que ignoran la utilidad de este suavísimo fruto desper­tarán de su sopor y de su sueño mental y se aplicarán con to­tal diligencia y solicitud a la investigación de tales materias y habrá en ellas razón para que en su tiempo se renueve el siglo y para llegar con mayor realidad y presteza a la perfección en todos sus estudios de cualquier ciencia. Y, además de la fama y digno renombre de Vuestra Alteza Ducal en su excelso do­minio, se acrecentará vuestra no escasa probidad hacia vues­tros queridos familiares y amados súbditos, siempre dispues­tos a defenderlo en no menor medida de lo que hizo por su patria el noble e ingenioso geómetra y dignísimo arquitecto Arquímedes, quien, como está escrito, con sus nuevas y di­versas invenciones de máquinas, mantuvo incólume durante largo tiempo a la ciudad de Siracusa contra el Ímpetu y los belicosos avances de los romanos, cuando trataron de expug­narla bajo las órdenes de Marco Marcelo. Y no se oculta a Vuestra Alteza, por su cotidiana experiencia -pues por mu­chos años ya su santísima memoria paterna fue autor, precep­tor y norma para toda Italia y ambas Galias, Cisalpina y Tran­salpina- que la defensa de las grandes y pequeñas repúbli­cas, por otro nombre conocida como arte militar, es imposi­ble de practicar con nobleza, honor y utilidad sin el conoci­miento de la geometría, la aritmética y la proporción. Y jamás ningún digno ejército de asedio o de defensa podrá considerarse totalmente equipado si en él no se encuentran ingenieros y algún maquinador de cosas nuevas especialmente destinado a esta misión, como anteriormente hemos relatado a propósito del gran geómetra Arquímedes en Siracusa. Si se mira bien, cualquiera de las artillerías, ya sean bastiones u otros reparos, bombardas, trabucos, manganillas, ronfeas, ba­listas, catapultas, arietes, testudos, casias y todas las demás in­numerables máquinas, ingenios e instrumentos, siempre se en­contrarán fabricados y dispuestos a base de número, medida y proporciones. ¿Qué otra cosa son las ciudadelas, torres, re­vellines, muros, antemuros, fosos, puentes, torreones, merlo­nes, manteletes y otras fortificaciones terrestres, ciudades y castillos, sino geometría y proporciones, con sus debidos ni­veles y arcos calibrados y ajustados? No por otra razón fue-

ron tan a menudo victoriosos los antiguos romanos, como es­criben Vegecio, Frontino y otros ilustres autores, sino por el gran cuidado y diligente preparación de sus ingenieros y otros especialistas de tierra y de mar, cuya suficiencia no hubiera sido posible sin las disciplinas matemáticas, es decir, aritmé­tica, geometría y proporciones, como demuestran de modo claro y manifiesto las antiguas historias de Livio, Dionisio, Plinio y otros autores, de las que Ruberto Valtorri, sapientí­simo hijo de Rímini, extrajo todas las que figuran en su digna obra De instrumentis bellicis, dedicada al ilustre Señor Segis­mundo Pandolfo. Lo mismo podría decirse, entre otras co­sas, del puente artificial de Julio César que figura en sus Comentarios.

Y con dichas máquinas e instrumentos, como relata en su libro el mencionado autor riminense, y así con muchas otras más, la felicísima memoria del pariente y estrecho afín a Vues­tra Alteza Federigo Feltrense, ilustrísimo duque de Urbino, mandó adornar todo el magnífico edificio de su noble y ad­mirable palacio de U rbino, rodeándolo con un friso de bella piedra viva realizado por expertísimos canteros y escultores. Y también hasta hoy, en la digna ciudad Tudertina de Um­bría, en la iglesia de San Fortunato, nuestro sagrado conven­to, vuestra santísima memoria paterna mandó disponer un gran número de muy gruesas maromas para un puente sobre el Tíber, a fin de lograr su célebre victoria.

Y no por otros medios llega nuestro sutilísimo Escoto a sus grandes especulaciones de sagrada Teología sino gracias al conocimiento de las disciplinas matemáticas, como es evi­dente en todas sus sagradas obras; máxime si se mira con aten­ción la cuestión del segundo libro de sus Sentencias, cuando se pregunta si el ángel tiene un lugar propio para su existen­cia y demuestra haber entendido muy bien todo el sublime volumen de nuestro muy perspicaz filósofo megarense Eucli­des. Igualmente, si todos los textos del príncipe de aquellos que saben física, metafísica, posteriora, y los demás, parecen difíciles no es sino por la ignorancia de las ya mencionadas disciplinas matemáticas. Y si hay escasez de buenos astróno­mos ello no se debe sino a la falta de aritmética, geometría,

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proporciones y proporcionalidad; nueve de cada diez astró­nomos se rigen en sus juicios por tablas, apuntes y otros da­tos calculados por Tolomeo, Albumasar, Ali Alfragano, Ge­ber, Alfonso, Bianchino, Prodocimo y otros que, por el poco cuidado de los copistas, pueden presentar datos erróneos y vi­ciados y, consiguientemente, al fiarse de ellos, incurren en grandísimos y evidentes errores, con no poco daño y perjui­cio de quienes confían en ellos. Igualmente, la suprema suti­leza de todas las leyes municipales consiste, como más de una vez me han expuesto quienes son expertos en estas materias, en juzgar y tener en cuenta los aluviones y circunluviones de las aguas en sus inundaciones, cosas acerca de las cuales com­puso el eximio Bartolo da Sassoferrato un tratado que tituló Tiberina, en cuyo proemio alababa grandemente a la geome­tría y a la aritmética afirmando que aprendió tales disciplinas de un fraile nuestro llamado Guido, profesor de sagrada teo­logía, en su tratado sobre las agregaciones y desagregaciones que en ocasiones provoca el Tíber con sus inundaciones, par­ticularmente en las tierras de Perugia en las que contiene su curso. En su obra siempre se sirvió de figuras geométricas rec­tilíneas y curvilíneas, citando continuamente a nuestro agu­dísimo filósofo Euclides, y la concluyó con gran sutileza.

Nada digo de la dulce y suave armonía musical ni de la suma confortación intelectual de la perspectiva, ni de la dis­posición de la arquitectura, la descripción del universo marí­timo y terrestre o la doctrina de los cursos y los aspectos celestes, porque lo dicho hasta ahora acerca de todas esas ma­terias está claro. Para menor cansancio del lector, dejo otras ciencias muy prácticas y especulativas, junto con todas las ar­tes mecánicas necesarias para las cosas humanas, sin cuya ayu­da es imposible alcanzar éstas y conservar en ellas el orden debido. Y no debe, pues, causar admiración el hecho de que en nuestros tiempos sean pocos los buenos matemáticos, por­que la causa de ello reside en la escasez de buenos maestros, junto con la gula, el sueño y las plumas ociosas y, en parte, la debilidad de los más recientes ingenios. De ahí que entre los sabios se acostumbrara a decir, según proverbio común: Aurum probatur ignis et ingenium mathematicis, es decir, que

la bondad del oro la demuestra el fuego y la calidad de los ingenios las disciplinas matemáticas. Y esta sentencia preten­de expresar que el genio apto para las matemáticas lo es tam­bién para las otras ciencias, ya que aquéllas son de grandísi­ma abstracción y sutileza al tener que considerarse siempre fuera de la materia sensible. Y ciertamente son tales que, como dice un proverbio toscano, cortan un pelo en el aire, por lo que el antiguo y divino filósofo Plató n negaba, no sin razón, a los que ignorasen la geometría la entrada en su celebérrimo gimnasio, sobre cuya puerta principal colocó, en letras gran­des y bien inteligibles, una breve inscripción con estas for­males palabras: N emo hu e geometriae expers ingrediatur, es decir, que no entrase quien no fuese un buen geómetra; e hizo esto porque en la geometría se encuentra oculta toda otra ciencia. Y, anteriormente, el estudiosísimo contemplador de la naturaleza Pitágoras, lleno con la suavísima dulzura de esta ciencia, hizo, según cuenta Vitruvio, sacrificar cien bueyes a los dioses, con grandísima fiesta y júbilo, por el descubri­miento del ángulo recto, como más abajo se dirá.

Y sea esto, en el presente, suficiente recomendación de los matemáticos, cuyo número comienza a crecer no poco en est.ra nuesta ínclita ciudad gracias a Vuestra Alteza Ducal y a la asidua lectura pública de sus obras que habéis nuevamente introducido para provecho de los egregios oyentes, a cuyo jui­cio, con toda diligencia y conforme a la gracia que me ha sido claramante concedida por el Altísimo, expongo el subli­me volumen del mencionado Euclides sobre las ciencias de la aritmética, geometría, proporciones y proporcionalidades. Y ya he puesto dignísimo final a sus diez libros, interponiendo siempre nuestra práctica en su teoría para su mayor utilidad y comprensión, y dedicando a la redacción del presente m · tado el resto del tiempo.

Tnfo1 m prou.,.¡,um •

Pl• rv ph&l.{C!fñul·

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S. "BocrLLU Srucnnm S. V(ocioru ~

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CAPITULO III

Lo que debe entenderse por los vocablos .cmatemático» y 4(disciplinas matemáticas»

E ste vocablo, Excelso Duque, es griego, derivado de la palabra que en nuestra lengua equivale a decir discipli­

nable; y, para nuestro propósito, por ciencias y disciplinas matemáticas se entienden la aritmética, la geometría, la astrono­mía, la música, la perspectiva, la arquitectura y la cosmogra­fía, así como cualquier otra dependiente de éstas. Sin embar­go, comúnmente, los sabios consideran como tales a las cua­tro primeras, es decir, la aritmética, geometría, astronomía y música, llamando a las demás subalternas, es decir, depen­dientes de estas cuatro. Así lo quieren Platón y Aristóteles, Isidoro en sus Etimologías y Severino Boecio en su Aritmé­tica. Pero nuestro juicio, aunque bajo e inexperto, las reduce a tres o a cinco, es decir, a aritmética, geometría y astrono­mía, excluyendo a la música por las mismas razones por las que ellos excluyen a la perspectiva, o añadiendo esta última a las cuatro citadas por las mismas razones por las que ellos añaden la música a nuestras tres. Si dicen que la música con­tenta al oído, uno de los sentidos naturales, no es menos cierto que la perspectiva contenta a la vista, tanto más digna cuan­to que es la primera puerta del intelecto. Si dicen que aquélla se remite al número sonoro y a la medida del tiempo de sus prolaciones, ésta, por su parte, se refiere al número natural se­gún todas sus definiciones y a la medida de la línea visual. Si la música recrea el ánimo mediante la armonía, la perspectiva nos deleita en gran medida gracias a la distancia debida y a la variedad de colores. Si aquélla considera sus proporciones ar­mónicas, también ésta hace lo propio con las aritméticas y geométricas. Y, en resumen, Excelso Duque -y ya hace va­rios años que me asalta esta idea-, nadie ha conseguido acla­rarme por qué deban ser cuatro las disciplinas y no tres o cin­co. Pienso que tan gran número de sabios no ha de equivo­carse, pero, a pesar de todas sus sentencias, mi ignorancia no cede. ¡Oh, dios! ¿Quién, al ver una airosa figura, bien dis-

puesta, con sus debidas alineaciones y a la que sólo parezca faltar el aliento, no la juzgaría como cosa más divina que hu­mana? Hasta tal punto de perfección imita la pintura a la na­turaleza. Y es algo que se hace patente ante nuestra vista en el exquisito simulacro del ardiente deseo de nuestra salvación, en el que no es posible imaginar a los apóstoles prestando ma­yor atención al sonido de la voz de la infalible verdad cuando dijo: unus vestrum me traditurus est; escena ésta en la que, con actos y gestos, parece que se hablan unos a otros con viva y afligida admiración: tan dignamente lo representó nuestro Leonardo con su airosa mano. Igualmente se puede leer en Plinio, en su D e Picturis, cómo Zeuxis y Parrasio se enfren­taron en un mismo ejercicio pictórico; hizo aquél una cesta de uvas con sus pámpanos que, una vez expuesta al público, hizo que los pájaros se lanzaran sobre ella como si fuese ver­dadera; éste, en cambio, pintó un velo y, tras exponerlo igual­mente en público, Zeuxis, creyendo que se trataba de un velo que cubría la obra con la que él competía, le dijo: «Alza el velo y deja ver a todos tu obra, como he hecho yo con la mía.» Y de este modo quedó derrotado, porque mientras que él había engañado a los pájaros, que son animales irraciona­les, Parrasio había engañado a uno racional y maestro, si no me engaña mi gran deleite y amor por la pintura (aunque sea ignorante de ella). Y, universalmente, no es un espíritu gentil aquel que no gusta de la pintura, cuando ésta atrae tamo al animal racional como al irracional. D e ahí que, por el mo­mento, si no ocurre otra cosa, me atendré a la idea de que son tres las principales ciencias y subalternas las demás, o bien cinco si se hace entrar a la música, ya que en modo alguno me parece que se pueda postergar a la perspectiva, no menos digna de elogio. Y estoy seguro de que, por no ser esta ma­teria artículo de fe, me será tolerada esta opinión. Todo ello en cuanto al mencionado nombre se refiere.

lconArdus Vrncws. 'X rur.u l'lanlll\ P.m'3f.u;

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