pag. 513 - 520

8/15/2019 pag. 513 - 520

http://slidepdf.com/reader/full/pag-513-520 1/10

La frecvenţe înalte (de exemplu în aplicaţiile din Radiotehnică) ciecuitele ( R), L, C serie(care nu au conectat un rezistor anume, dar în care R este rezistenţa echivalentă pierderilor, î practică relativ mică) au amortizarea L R 2/α = mică în raport cu pulsaţia LC /! " = , adicăα<<ω " (de remarcat căα #iω " au aceea#i dimensiune #i anume $t%&)' în acest caz expresia ( R 2devine, cu o *ună aproximaţie+

,!sine! "

α

"

t L

E i t −= ( R 2 )

care are forma de undă a unor oscilaţii li*ere amortizate, a#a ca cea reprezentată în fi-ura 0upă cum se poate constata din fi-ura . / curentul

i(t ) reprezintă ni#te oscilaţii pseudoarmonice, de formăsinusoidală dar cu valoarea maximă I max 1 I max(t ) 1( E /ω " L) &αt , scăz3nd exponenţial potrivit atenuăii α 1 R/2 L acircuitului, #i av3nd pseudoperioadaT 1 24/! ". La uncircuit ideal (ipotetic fără pierderi), R 1 " #i deci α 1 ", cazîn care oscilaţiile li*ere au amplitudinea constantă(deoarece e&(α1")t 1 #i I max 1 E /ω " L 1 const.), adică devinoscilaţii li*ere ce se întreţin timp nelimitat.

5n cazul în care amortizarea circuitului cre#te,a6un-3nd să satisfacă ecuaţia+

C L R /2")!/α( 2"

=⇒=− ,se produce un re-im tranzitoriu limită (re-im critic)aperiodic, neoscilant, c3nd rădăcinile s ,2 sunt rădăcinireale. 7scest fapt rezultă imediat din relaţia ( R 2 ), în care ar-umentul sinusului devine im(deoarece "ω>α ), transform3ndu&se într&un sinus hiper*olic.

Ecuaţiile diferenţiale pentru modelarea regimului tranzitoriu al circuitelor electrice

Revenindu&se la ecuaţia diferenţială ( R 8) scrisă su* forma+h I qq "

.

/ =+ τ unde I " 1 E / R#i căut3nd soluţia astfel înc3tq(t 9") 1 " (adică o funcţie cu salt în ori-ine) va tre*ui determinderivata în sens distri*uţii a luiq(t ) care este (v. : . .;)+

,00 "

.

"

.δ δ QqqQqq −=∴+=

undeQ" este saltul în ori-ine. 5nlocuindu&se.

q în ( R 8), su* forma precedentă, rezultă+.</0 "" δ+=+ Qh I qq ( R =")

>e nume#te ?soluţie elementară înD + ’” soluţia ecuaţiei+

δ=+ </0 ee qq sau, su* forma produsului de convoluţie+.)</@( δ=∗δ+δ eq

Aăc3ndu&se împărţirea (în sensul inversului de convoluţie) se o*ţine+

....B=

<B2

<</@

</

22

he

t t

hq t e

−=+

−

+=δ+δδ=

7tunci, soluţia ecuaţiei( R =") este+),(e)( ""

</"" δ+∗=δ+∗= − Qh I hQh I qq t

e

Ai-. . /

8/15/2019 pag. 513 - 520


în care ultimul termen are forma+,ee </

""</ hQQh t t −− =δ∗

deoareceδ este unitate în produsul de convoluţie, iarQ" este o constantă.Ce de altă parte+

).()(<

)(<<e

d<ed<)<()<(ee

/"

/"

/""

</"

"

</"

</""

</

τ τ

τ τ

τ τ

t t

t t

t

R

t

ehQeh I

he I I

I t hh I h I h

−−

−−

−−−

−=−=

=−−=−=

==−=∗ ∫ ∫

>e verifică astfel soluţia ( R ) -ăsită anterior, dar cuQ" 1 ".>e poate da acum o interpretare fzică soluţiei -ăsite pentru ecuaţia ( R ="), adică+

( R= ) .e)e( <"

</ t t hQQhq −− +−= 7stfel, se o*servă căQ" are rolul ?condiţiei iniţialeD care Eîn cazul de faţăE este sarcina

iniţială a conmdensatorului. 0acă lat 1 " condensatorul este descărcat, atunciQ" 1 ", deci rezultăsoluţia arătată anterior. >oluţia ( R = ) este vala*ilă oricare ar fiQ. 5n particular, se poate presupune că iniţial condensatorul este încărcat chiar cu sarcina electricăQ"' atunci+

," hQq =adică sarcina electrică a condensatorului răm3ne constantă pentrut F". 5ncărcarea *ruscă acondensatorului cuQ" la t 1 " −adică termenulQ" din ecuaţia ( R =")− corespunde unui curent

,"" Qi δ = ceea ce se verifică imediat prin derivarea lui hQq "= (sursă instantanee, lat 1 ").>e va verifica acum soluţia ( R = ) pentru ecuaţia ( R ="). >e o*ţine+

,e<

ee<

e0 </"

</"

</</ hQQhQQQq t t t t −−−− −δ++δ−δ=

însă+',)"()(e),()(,e </</ >ϕδ<=ϕ>=ϕδ<>=ϕδ< −− QQt t Qt Q t t

a#adar+

,e

<

e

<

0 </""

</ hQQhQq t t −− −δ+=

care Eintrodusă în ecuaţia ( R =")E conduce la+

.e<

e<<

e<

e< ""

</"

</</""

</ δ+=+−+−δ+ −−−− Qh I hQhQQhhQQhQ t t t t

5nsă+

"< I

R E

EC RC

Q ===

#i astfel se o*ţine verificarea soluţiei ( R = ) pentru ecuaţia ( R =").>e va considera acum un exemplu, importamt pentru c3teva aplicaţii din Glectronică&

Radiotehnică, care conduce la un sinstem de ecuaţii diferenţiale de ordinul înt3i, #i anume două

circuite R

, L

,C

serie cuplate ma-netic, cu o inductivitate mutuală M

(a#a ca în fi-ura . / ), alcărui model este un sistem de două ecuaţii diferenţiale.

2

Ai-. . /

8/15/2019 pag. 513 - 520


>e #tie (v. Hatematica) că sistemele de ecuaţii de ordin superior (liniare #i cu coeficonstanţi) pot fi aduse întotdeauna la forma unui sistem de ecuaţii diferenţiale de ordinu(reciproca nefiind adevărată), ceea ce face #i mai reprezentativ exemplul schemei din fi-uraHodelul circuitelor din această schemă este+

=+++

=+++

"dd

dd

d

d

d

d

2

2222

2

t i Lq

C i R

t i M

et

i M

t

i Lq

C i R

Glimin3ndu&se t i d/d 2 din prima ecuaţie #i t i d/d din a doua ecuaţie se o*ţine+

=

=

−+

−−

−+

−−

−=

−+

−−

−+

−−

−=

22

2

2

2

22

22

2

22

2

2

2

22

2222

22

222

2

22

2

22

2

2

dddd

)()(dd

)()(dd

it

q

it

q

q L L M C

Lq

L L M C M

i L L M

L Ri

L L M

MRe

L L M M

t

i

q M L LC

M q

M L LC

Li

M L L

M Ri

M L L

L Re

M L L

L

t

i

Centru rezolvarea acestui sistem se introduce următoarea notaţie vectorială (matricealxI 1 $i , i2, q , q2%,

un vector (matrice) linie, care reprezintă transpusul vectorului (matricei) coloanăx. Jot3ndu&se cu

A #iB matricele corespunzătoare ultimului sistem de ecuaţii se o*ţine+ x 1 Ax K B e ( R =2)în care matricele pătraticeA #iB au structura (oarecum rară)+

, )()(

)()(

A−

−−−

−−

−−−

−−−

=

"""

"""

222

22

22

222

222

22

2

22

222

2

M L LC

L

M L LC M

M L L

L R

M L L M

R

M L LC M

M L LC

L

M L L M

R M L L

L R

=

8/15/2019 pag. 513 - 520


8/15/2019 pag. 513 - 520


aceasta fiind soluţia ?li*erăD, ca efect al condiţiilor iniţiale x". 0acă x" 1 " iar u ≠", atunci rezultăsoluţia ?forţatăD a ecuaţiei, dar în soluţie mai apare un termen (datorită produsului de concare reprezintă soluţia ?proprieD a reţelei.

0acă reţeaua este asimptotic sta*ilă, atunci rezultă+."x"xlim ""

7 ≠∀⇒=∞→

t

t he

>e nume#te ?re-im tranzitoriuD soluţia pentru un interval de timp în care soluţia li*er proprie nu pot fi ne-li6ate. 0urata re-imului tranzitoriu este deci sta*ilită convenţional, în fde acurateţa măsurării, #i se determină prinintervalul de timp după care mărimile caracteristicefenomenelor tranzitorii nu mai pot fi măsurate.

0acă parametrii R, L, C din reţeaua electricăsunt toţi strict pozitivi, atunci reţeaua este sta*ilă însensul că se respectă condiţia+

"lim xe A t

t h

∞→ 9 ∞ ,ceea ce înseamnă că mărimile de stare electrică alerelaţiei, su* efectul condiţiilor iniţiale, sunt cel puţin măr-inite' evident, reţeaua poate fi #i

asimptotic sta*ilă dacă există elemente disipativeîn circuit (adică RF"). ondiţia necesară #isuficientă ca reţeaua să fie asimptotic sta*ilă esteca valorile proprii ale matricei 7 să ai*ă toată partea reală ne-ativă. 0acă matricea 7 are valori proprii cu partea reală zero, dar cu ordin demultiplicare unu, atunci reţeaua este sta*ilă, adicăhe7 t x" răm3ne măr-inită c3ndt →∞ . 0acă he7 t x"

nu este măr-inită pentrut →∞ , atunci reţeaua este insta*ilă (de exemplu c3nd conţine rezistdinamice ne-ative R9", ceea ce este posi*il practic prin existenţa în circuitele electrice a ucomponente cu parametri neliniari, cum ar fi Ede exempluE dioda ?tunelD).

Centr cazul particular al reţelei din fi-ura . / , dacă în *ucla R , L , C se introduce *rusc(prin închiderea rapidă a unui întreruptor) o sursă de curent continuu cu t.e.m. E , decie1 Eh (t ),atunci se produce un re-im tranzitoriu oscilatoriu amortizat în care Ede exempluE curentuli2(t ) areforma de undă arătată în fi-ura . / . 7u loc două puilsaţii de oscilaţie+

k k II −=+= /!!#i/!! "" , unde+ LC /! " = cu condiţia ca L 1 L2 1 L #iC 1C 21C ),

iar 2/ L L M k = este coeficientul de cupla6 ma-netic al celor două *ucle.

Alte aplicaţii specifice regimului tranzitoriu

>e vor comenta, aici, trei exemple specifice de re-im tranzitoriu, care apar în spec

circuitele electronice din sistemele automate #i din procesarea semnalelor.Eşantionarea . >e consideră un semnal f (t ) astfel înc3t oricăruit îi corespunde o valoare (#anume una) notată cu f (k ). >e ale- pe scara timpului puncte echivalentet k în care se măsoară f (t k )#i se exprimă numeric. 7le-3ndu&se scara timpului într&un mod convena*il, punctele de t pot fik ∈ J. ?0istanţaD între punctele alese pe axa timpului, adică intervale de timpt k &t k-1, numit pas de eşantionare , tre*uie ales suficient de mic pentru a se reda numeric c3t mai *ine formundă a semnalului f (t ). 0acă însă este ales prea mic, în calculul numeric pot apărea erori mdatorită unor diferenţe prea mici ce pot rezulta în timpul calcului #i, eventual, al împărţiraceste valori infime. 7le-erea pasului de e#antionare este, în fapt, o pro*lemă de optimizareoptim depinz3nd #i de alte criterii (v. cursul eoria transmiterii informaţiei).

>istemul de e#antionare are următorul model din teoria distri*uţiilor (v.: . .;)+;

Ai-, . /

8/15/2019 pag. 513 - 520


.,)(,)()()(

)()(,)()(,,)(

N k t k f k k f

t t f t t f t f

k k

k

k k k k

k k

∈>ϕδ=<ϕ=

>=ϕδ<>=ϕδ>=<ϕδ<

∑∑∑ ∑∑

∞

=

∞

=

∞

= =

∞

=

>eria+∑∞

=ϕ )()(

k

k k f este local finită, deoarece oriceϕ∈0 are suport compact, adică pentru

fiecareϕ seria conţine un număr finit de termeni, deci este însuma*ilă pentru oriceϕ. Crin urmare

se poate considera că *locl (eta6ul) de e#antioane prime#te la intrare semnalul continuu f (t ),rezult3nd la ie#ire un răspuns de forma ,)(∑

∞

k k f δ unde f (k ) reprezintă valorile funcţiei de la

intrare în punctele de e#antioanek ∈ J. >istemul de e#antioane descris se nume#teon!ertor analo"-numeri , funcţionarea lui const3nd dintr&un #ir de re-imuri tranzitorii cu o constantă detimp foarte mică în raport cu pasul de e#antioane.

Restabilirea. Gste procesul prin care, pe *aza unui #ir de valori discrete f (k ), se ?refeceDfuncţia continuă de timp f (t ). 0ispozitivul (aparat, eta6, sistem etc.) care realizează resta*ilirea senume#te #i on!ertor numeri -analo"i . 7cest dispozitiv păstrează (memorează) valoarea fiecăruie#antion pe durata pasului de e#antioane. >emnalul este ?netezitD apoi prin faptul că toate canalel prin care se transmite au *andă de trecere limitată. Hodelul resta*ilirii este următorul+

),)((α)("

∑∞

δ∗= k r k f t f

unde+

.%,"$"

%,"$α

∉⇒

∈⇒=

t

t

7cest model arată că+

∑ ∑∫ ∑ ∫

∑∑∞ ∞ ∞

∞∞

+ϕ=+ϕ>=+ϕ=<

>>=+ϕ−δ<>=<ϕδ∗<

" " " " "

""

),()()()()()(),(α

)<()(),<(),(α,)(α

k t k f k t k f k t k f t

t k f k t k f k

care reprezintă distri*uţia -enerată de funcţia+

+∉⇒

+∈⇒=

%,$"

%,$)()(

k k t

k k t k f t f r .

Q

8/15/2019 pag. 513 - 520


5n fi-ura . / " este reprezentat semnalul f#t ), acela#i semnal e#antionat #i EapoiE semn

reste*ilit, f r (t ).ntegratorul analogic . n *loc inte-rator (utilizat în numeroase aplicaţii, în spec

aparatele de măsurat electronice) se reprezintă prin schema, tip sim*ol, din fi-ura . / .>e consideră că x(t 9")1" #i ,")"( =<t x iar condiţia iniţială se notează cu x" 1 x(").

0eoarece x(t ) are salt în ori-ine, derivata sa tre*uie considerată în sens distri*uţii, adică+,0 " δ+= x x x

care de fapt descrie funcţionarea inte-ratorului în acest re-im tranzitoriu. Centru veriftre*uie determinată primitiva în D + ’ a lui 0 x' va rezulta+

),(@)0( t x x xh xh =∗δ=∗δ∗=∗sau+

,)( "" h x xh x xh +∗=δ+∗

astfel înc3t+

,)()<(d<)<(d<)<()<( "

"

" h xt x x x xt h xht

t

R−===−=∗ ∫ ∫

verificare fiind o*ţinută.>emificaţia fizică este următoarea+ pentrut 9" la toate cele trei *orne semnalele sunt zer

La t 1" se aplică *rusc condiţia iniţială (sursa instantanee) determinată de x", iar pentrut F" rezultăsemnalul inte-rat x(t ) care porne#te, lat 1", din x". / /2"

Ai-. . / "

Ai-. . /

8/15/2019 pag. 513 - 520


!.!.". #omportarea circuitelor electrice $n radiofrec%enţ&

5n cadrul acestui para-raf va fi analizat modul de comportare al unor circuite electricetipice, cu parametri R$ L$ C constanţi (în timp, faţă de temperatură #i alte condiţii de mediu) #iliniari (relativ la tensiunea la *orne, curenţii electrici #i frecvenţă), atunci c3nd mărimile electricede circuit (t.e.m.e, tensiuniu, #i curenţii) sunt de formă armonică, dar au o pulsaţie!(frecvenţă f 1 ! /2 4 ) varia*ilă #i situată în domeniulvalorilor foarte înalte, utilizate practic în radiocomunicaţii (de

aceea, frecvenţele foarte înalte, în -ama " SPzT "" HPz,se mai numesc #i radiofrecvenţe).

Regimul armonic al circuitului serie

>e consideră circuitul R$ L$ C serie din fi-ura . / 2, încare mărimile electrice de circuit sunt reprezentate fazorial, prin E #i l (vezi : . .=.).

0upă cum se #tie (vezi su*capitolul .;), modelul acestui circuit este+

$ RK6(! L&C !

)% I 1 E ,

de unde rezultă+ I 1 E

)!!( C L % R −+ . (R )

7#a cum arată expresia (R ), curentul electric depinde de frecvenţă. 7ceastă dependenţăinteresează în mod deose*it în pro*lemele de circuite radio' de aceea se va analiza dependenţacurentului de frecvenţă, presupun3ndu&se re-imul armonic permanent (deoarece în cazul uneivariaţii rapide în timp, d! /dt mare, se produc efecte tranzitorii). 5n aceste condiţii, dacă pulsaţiaia valori în intervalul! 1 $",∞%, fiecare determinare (valoare a lui! ) fiind în re-im armonic permanent, se o*servă că pentru o anumită pulsaţie (notată cu"! ), cele două reactanţe devin

e-ale+ "!

L 1 / "!

C , de unde rezultă+"! 1 LC

, (R2)care se nume#te pulsa&ia os ila&iilor li'ere sau pulsa&ia proprie a ir uitului sau−încăE pulsa&iade re(onan&) . La această valoare a pulsaţiei, curentul devine+

I = R E

−fazorial sau R E

I = − în valori efective. (R=)

Relaţia (R=) caracterizează fenomenul de re(onan&) din circuitul R$ L$ C serie (fi-ura. / 2). Centru a se studia comportarea circuitului în 6urul rezonanţei, se va analiza separat

variaţia modulului fazorului I , adică| I | 1 I E valoarea efectivă a curentului electric din *ucla R$ L$ C serie, adică+

22 )!!( C L R E I

−+=

(R8)0eoarece, în aplicaţiile practice din radiotehnică, pierderile din condensator sunt mici, se

poate accepta ca fa tor de alitate (notat cuQ) expresia+ R LQ "!= (R;)

care, introdusă în expresia (R8), conduce la+

Ai-. . / 2

8/15/2019 pag. 513 - 520


8/15/2019 pag. 513 - 520


frecvenţe (pulsaţie), delimitat de pulsaţiile! #i 2! pentru care raportul curenţilor scade p3nă lavaloarea / 2 (în care caz puterea din circuit scade la 6umătate)+

(R ")2)!(

)!()!()!(

!2!!"

2

22

==⇒∆=− I I

I I

'

+

.

Centru determinarea acestor două pulsaţii în conformitate cu definiţia (R "), se e-aleazămem*rul drept al expresiei lui I*I max cu / 2 , adică+

2"2 )!!(82 'Q ∆+=

,

de unde rezultă+2

"

2 )!

!(82 'Q ∆+=

sau+

(R )α2

!!2 ===∆

L R

Q'

adică #iα! =∆ '

,unde "2" !!!!! −=−=∆ ' (v.fi-. / / =).

Crin urmare, lăr-imea de *andă a circuitului R$ L$ C serie (adică diferenţa 2! &! 12∆'! ) este invers proporţională cu factorul de calitateQ al circuitului. u c3t acest factor de

calitate este mai ridicat, cu at3t *anda de trecere se în-ustează cur*a de rezonanţă a circuituluifiind mai NselectivăD pe pulsaţia"! .

"

Documents

pag. 513 - 520