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Poincar versus Russell sur le rle de la logique dans les
mathmatiques
Michael Detlefsen
1/ Introduction
Poincar et Russell furent engags dans un clbre dbat concernant
la nature des mathmatiques (et, en particulier, la nature du
raisonnement mathmatique) dans les premires annes du XXme sicle)1.
Poincar, en kantien dclar, soulignait sans surprise le caractre
synthtique et intuitif du raisonnement mathmatique2. Ceci, bien
videmment, rendait son opposition gnrale la conception logiciste du
raisonnement mathmatique invitable, dans la mesure o les logicistes
voyaient ce type de raisonnement comme une succession dtapes de mme
nature que celles du raisonnement logique tapes que Kant aurait
dcrites comme tant de nature analytique. Frege lui aussi considrait
linfrence logique comme tant de nature analytique, et ainsi, en
plaidant pour le caractre logique du raisonnement mathmatique, il
se considrait lui-mme comme partisan dune approche fortement
anti-kantienne. De fait, rfuter Kant sur prcisment ce point
constituait la partie principale du crdo logiciste3. En consquence,
Poincar voyait juste lorsquil considrait que sa conception
kantienne du raisonnement mathmatique constituait le point focal de
son dsaccord avec les logicistes.
Il y a cependant quelque chose dtrange dans lchange entre
Russell et Poincar, et cest par cette tranget que nous allons
dbuter notre enqute. Ltranget consiste en ceci quil y a un apparent
manque dengagement des deux cts. Russell attaquait les conceptions
kantiennes en se fondant sur le fait que les dveloppements modernes
en mathmatiques et en logique manifestaient linvraisemblance dun
tel point de vue4. Mais, suggrer que Poincar, un des plus grands
esprits mathmatiques de tous les temps, ignorait ces dveloppements
(spcialement le travail de Dedekind et de Weierstrass en analyse !)
ou quil navait pas russi percevoir leur potentiel rductionniste,
dfie toute vraisemblance. De fait, il est clair que ce ntait pas le
cas. Il semble donc que Poincar et Russell taient simplement en
dsaccord sur la manire approprie dvaluer la porte de ces
dveloppements pour la philosophie kantienne des mathmatiques. De
plus, comme nous le montrerons plus bas, ce dsaccord semble avoir t
bas sur un dsaccord plus fondamental portant sur ce qui est requis
pour rfuter la conception kantienne. Ce qui est trange, cest quil
semble que cela nait jamais t identifi comme tant le point focal de
leur dsaccord -- ce qui a eu pour consquence que Poincar et Russell
ne parvinrent jamais pointer les diffrences qui les sparaient aussi
clairement quils auraient pu le faire.
Une autre tranget du mme genre est la divergence non explicite
de leurs interprtations de la notion cl du synthtique. Poincar, de
faon cohrente, dveloppait son objection contre Russell en faisant
valoir le caractre synthtique du raisonnement mathmatique, suggrant
par l que Russell dfendait une conception analytique de linfrence
mathmatique. Ce que tout le monde bien entendu sait, cest que
Russell lui-mme affirmait (y compris dans le compte rendu de
Poincar
1 Les uvres dans lesquelles ce dbat a pris place sont, du ct de
Poincar, [1906a], [1906b] et [1909]. Du ct de Russell, elles
incluent [1905], [1906a], [1906b] et [1910]. 2 Cf. Poincar [1908],
livre II, chap. 3, section 1. 3 Cf. Russell [1903], pp. 4, 158,
259, 454, 456-61. Cf. galement Poincar [1908], livre II, chap. 3,
section 1. 4 Cf. [1903], pp. 4, 456-61 pour un jugement sur
limportance du progrs en logique et pp. 158, 259 pour une
apprciation de limportance des progrs dans larithmtisation des
mathmatiques en ce qui concerne la rfutation du point de vue
kantien.
