Seminar Ib - 1. letnik, II. stopnja

Pakiranje dolgega nematskegapolimera v sferi

Rok Grah

Mentor: doc. dr. Daniel Svensek

Ljubljana, maj 2014

Povzetek

Seminar opisuje modeliranje kondenzata dolge nematske verige znotraj sfere. Nazacetku bomo povedali nekaj o tekocih kristalih in nematikih ter o termodinamskihosnovah opisa nematikov. Nato si bomo ogledali dva modela; prvi je t.i. minimalnimodel, ki za opis potrebuje samo eno spremenljivko in s pomocjo minimizacije prosteenergije pokaze bogato obnasanje razlicnih konfiguracij v faznem diagramu.Drugi model je nekoliko splosnejsi, saj ne potrebuje nikakrsnih nastavkov ali posebnihzacetnih pogojev. Vpelje tudi kiralnost. Pogledali si bomo rezultate, pridobljene spomocjo simulacij; vpliv kiralnosti, razlicnih robnih pogojev in povprecne gostote nadobljen kondenzat polimera.

Rok Grah Pakiranje dolgega nematskega polimera v sferi

Kazalo

1 Nematiki 11.1 Tekoci kristali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Nematski ureditveni parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Frankova elasticna energija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Disklinacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Minimalni model 32.1 Termodinamika pakiranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1 Koaksialno navitje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.2 Prepleteni solenoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.3 Vpliv zvojne in upogibne deformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Kiralni nematiki v sferi 8

4 Zakljucek 11

Uvod

Virusi so eni izmed najpreprostejsih zivih organizmov. Njihova uspesna replikacija temeljina resitvi relativno zahtevnega geometrijskega problema: kako se dolga veriga oblikujeznotraj zaprte sfere. Omenimo, da je veriga priblizno tri velikostne razrede daljsa od precnedimenzije sfere. Opis strukture, kinematike in mehanike nasega problema je torej kljucenza razumevanje virusnega zivljenskega cikla [1-3].Preden se lotimo razlage dveh modelov, ki opisujeta kondenzate dolge verige nematika vzaprti sferi, pa razlozimo nekaj osnovnih pojmov, pomembnih za nadaljno obravnavo.

1 Nematiki

1.1 Tekoci kristali

Tekoci kristali so tekocine, ki kazejo makroskopsko urejenost oziroma tvorijo makroskopskoanizotropno fazo. Po urejenosti bi jih lahko uvrstili nekam med navadne tekocine in kristale zato se jim rece tudi mezofaze ali vmesne faze. Orientacijski red lahko opisemo s t.i.direktorjem n, ki opisuje povprecno molekularno orientacijo. Je vektor posebne vrste, kiima lastnost, da sta pozitivna in negativna smer enakovredni oziroma n n. Obstajavec vrst tekocih kristalov (slika 1 levo), opisimo nekaj najbolj pogostih:

• Nematiki - so tekocine z makroskopskim orientacijskih redom. Sestavljeni so iz podo-logovatih palicastih molekul in so najmanj urejena vrsta tekocih kristalov. Nematiki,sestavljeni iz kiralnih molekul, tvorijo tudi kiralno (holestericno) fazo [1].

• Smektiki - so nematiki, ki so dodatno urejeni se v plasti. Vsebujejo palicaste mo-lekule, ki so urejene v plasti, ki tvorijo 2D tekocino. V smekticni A (Sm A) fazi jedirektor pravokoten na plasti, v smekticni C (Sm C) fazi pa je direktor nagnjen gledena normalo plasti [1].

1

Rok Grah Pakiranje dolgega nematskega polimera v sferi

• Kolumnarni tekoci kristali - je faza, kjer se molekule zdruzujejo v cilindricnestolpce (podobno kot kovanci). Pozicijski red dolgega dosega znotraj stolpcev ne ob-staja, delci pa vendar imajo orientacijski red. Obstaja tudi 2D pozicijski red stolpcev[1].

1.2 Nematski ureditveni parameter

Nematski ureditveni parameter opisuje stopnjo orientacijske urejenosti molekul. Definiranje na osnovi casovnega in prostorskega povprecja drugega Legendrovega polinoma

P xP2pcos θqy

B3 cos2 θ 1

2

F, (1)

kjer je θ kot med molekulo in direktorjem (spomnimo, direktor predstavlja povprecno smermolekul). Ce so vse molekule usmerjene v smeri direktorja, tako da imamo θ 0 za vsemolekule, sledi S 1. To pomeni popolno nematsko urejenost. Za popolnoma izotropnoorientacijo molekul imamo xcos2 θy 13 in S 0; izotropna faza. V primeru, ko sovse molekule pravokotne na direktor (takrat imamo θ π2 za vse molekule), dobimoS 12. Realni nematiki dosezejo urejenost nekje do S 0.6 [1].

1.3 Frankova elasticna energija

Zunanje sile lahko privedejo do neurejenosti nematskih molekul. Za parameter, ki ga bomouporabljali pri opisu teh neurejenosti, si izberemo kar najbolj naravno izbiro, to je direktorn. Za opis uporabimo Frankovo teorijo elasticne energije, kjer preucujemo prostorske spre-membe v direktorju n. Poudarimo, da so te spremembe majhne, saj L∇n ! 1, kjer je Ldolzina molekul. Privzeli smo naslednje predpostavke o deformacijski elasticni energiji Fd[1]:

• Fd je soda v ∇n, saj sta n in n nelocljiva;

• Fd lahko zapisemo kot potence ∇n, tako da v uniformnem nematiku Fd izgine;

• Fd ne vsebuje linearnih clenov v ∇n; dva potencialna tipa clenov bi bila mozna, ∇ n(ki spremeni predznak, ko gre n Ñ n in je torej prepovedan) ter n ∇ n (kispremeni predznak, kot gre r Ñ r in je torej tudi prepovedan);

• ne vsebuje clenov oblike ∇u, kjer je u poljuben vektor; v takem primeru bi lahkointegral po volumnu transformirali na integral po povrsini, kjer Fd ni vec odvisna odprostornine, temvec samo od povrsine.

Iz teh predpostavk lahko dobimo deformacijsko elasticno energijo na enoto volumna fd:

fd K11

2p∇ nq2

K22

2pn ∇ nq2

K33

2pn∇ nq2 . (2)

Zgornji cleni predstavljajo pahljacno deformacijo (splay), zvojno deformacijo (twist) in upo-gibno deformacijo (bend) (slika 1 desno) [1].

2

Rok Grah Pakiranje dolgega nematskega polimera v sferi

Slika 1: Levo: Shematicni prikaz preprostih faz tekocih kristalov; zgoraj levo izotropnatekocina, sledi nematicna faza, nato zgoraj desno smekticna A faza. Spodaj vidimo shemokolumnarnih tekocih kristalov [2]. Desno: prikaz deformacij, (a) pahljacna, (b) zvojna in(c) upogibna deformacija [1].

1.4 Disklinacije

V strukturi tekocih kristalov se velikokrat pojavijo obmocja, kjer je direktor lokalno nede-finiran. Tam se pojavijo hitre spremembe v izgledu in opticnih lastnostih materiala. Tockein linije, kjer je direktorsko polje nedefinirano, imenujemo defekti oziroma disklinacije.

Moc linijskega defekta k je definirana s stevilom, ki opise, kolikokrat se direktor zavrti,ce defekt obkrozimo. Ker velja, da je n n, je lahko ta sprememba orientacije direktorjapolceli veckratnik 2π: ¾

dθ

dsds 2πk, (3)

kjer je k 12,1,32 . . . . Lahko imamo tudi k 0, ki predstavlja konfugiracijo brezdefektov [1].

2 Minimalni model

Prvi od modelov opisa pakiranja dolgega nematskega polimera v sferi je minimalni model.To je model, ki opisuje polimerni nematik nematik v obliki dolge verige sestavljen iz mo-nomerov. Minimalni model je preprost model, ki za opis potrebuje samo eno spremenljivko.Za opis konfiguracije dolge verige znotraj sfere uvedemo nov parameter; vektorsko polje t,ki opisuje lokalni ”tok” polimera.

t ρprqnprq, (4)

kjer nprq predstavlja lokalno smer polimera in ρprq ravninsko gostoto verig v ravnini, pravo-kotni na n. ρprq vsebuje informacije o povprecni gostoti verig ter o ureditvenem parametru[2], [3]. Ohranitev mase neposredno nic ne omenimo.

V nasem modelu opisujemo dolge polimere, kjer so konci redki. Tako lahko predposta-vimo, da v limiti konci izginejo, tok verige se ohranja:

∇ t 0. (5)

3

Rok Grah Pakiranje dolgega nematskega polimera v sferi

Pravtako robni pogoj ob predpostavki dolgega polimera zahteva, da je smer toka v radialnismeri enaka nic:

r tpr Rq 0. (6)

Zapisimo brezdivergencni tok t kot

t tφpr, θqφ∇

Ψpr, θq

r sin θφ

, (7)

kjer smo t zapisali v sfernih koordinatah pr, θ, φq. tφpr, θq v splosnem nima omejitev, medtemko mora funkcija Ψpr, θq zadostiti dolocenim pogojem opisanim spodaj. Hitro lahko vidimo,da je ∇ t 0 [2].

Kot prvo mozno konfiguracijo si oglejmo koaksialno navitje (slika 2 a), kjer imamo tφ 0in Ψ 0. Kot je razvidno s slike 2 a, se tu veriga navija samo okoli polarne osi. Zaradipotrebnega pogoja o tangentnosti toka na sfero pri r R, topologija problema zahtevaprisotnost disklinacij z mocjo k 2 za aksialno simetricne probleme kot je nas, dobimodve disklinaciji na polu, vsaka z mocjo k 1, torej skupna moc disklinacij je res 2.Zaradi polarne simetrije orientacije verige v koaksialnem navitju, se ti disklinaciji razsiritav disklinacijsko linijo, ki poteka po polarni osi. Znotraj disklinacij pa mora biti tok t 0,da je tok sploh lahko definiran [2], [4].

Slika 2: Tri topologije nematika znotraj sfere, ki so azimutalno simetricne: (a) koaksialnonavijte, (b) preprosti solenoid in (c) prepleteni solenoid. Tokovnice kazejo orientacijo direk-torja v posamezni topologiji: (a) nematik se navija le okoli polarne osi, ima le φ komponento;(b) nematik se navija le okoli komponent pravokotnih na φ; (c) nematik se navija v vsehtreh smereh (r, φ, θ), ta konfiguracija je superpozicija prvih dveh [2].

Druga mozna kofiguracija je preprosti solenoid (slika 2 b). Tu definiramo tφ 0 inΨ 0. Ψpr, θq je poznana Stokes-ova tokovna funkcija, ki jo lahko zapisemo kot

trpr, θq r1BθΨ

r sin θ, tθpr, θq

BrΨ

r sin θ. (8)

Hitro lahko vidimo, da robni pogoji podajo mocno omejujejo Stokesovo tokovno funkcijoΨ. Iz enacbe (8) sledi, da se mora v limiti r sin θ Ñ 0 tokovna funkcija obnasati kot

4

Rok Grah Pakiranje dolgega nematskega polimera v sferi

Ψ 9 r2 sin2 θ, da lahko ohranimo definirano vrednost tprq. Dobimo torej Ψ Ñ 0 na polarniosi. Dodaten pogoj za trpr Rq iz enacbe (6) pomeni konstantno vrednost Ψ na povrsini.Ker pa se povrsina in polarna os srecata na polih (kjer imamo zaradi zgoraj opisanegarobnega pogoja vrednost toka enako nic), dobimo nicelno vrednost Ψ 0 na povrsini sferein na polarni osi, ki povezuje disklinacije na polih spomnimo, da je tudi preprosti solenoidaksialno simetricen problem z disklinacijo na vsakem od polov [2].Mozne netrivialne konfiguracije Ψ lahko opisemo s ploskvami konstantne funkcije Ψ, ki se nesekajo in torej tvorijo set gnezdenih torusov (slika 2 b). Dobljena konfiguracija tvori zaprtisolenoid, ki ima tok po vertikalni osi znoraj sfere t 0 in torej reducira disklinacijskolinijo celotne osi, ki smo jo imeli pri koaksialnem navitju, na dva tockasta defekta na polih.Vendar, tokrat pride do nastanka disklinacijske zanke, ki se navija po notranjosti solenoida,kar privede do nicelnosti ∇Ψ 0 Ñ tprq 0 vzdolz zanke [2].

Kot smo videli, topoloske zahteve disklinacijskih linij v prvih dveh moznih konfiguracijahprivedejo do lokalne nicelnosti toka tprq po volumnu sfere. Ali je mogoce dobiti konfiguracijo,kjer dobimo neniceln tok znotraj celotne sfere? Odgovor lezi v tretji mozni konfiguraciji,to je superpozicija koaksialnega navitja in preprostega solenoida. Tedaj dobimo tφ 0 inΨ 0, kar imenujemo prepleteni solenoid (slika 2 c) [2].V prepletenem solenoidu dobimo direktor t, ki tece enako kot pri preprostem solenoidu,z izjemo, da se tu tok navija tudi okoli polarne osi, podobno kot pri koaksialnem navitju.Razlika od koaksialnega navitja pa je, da je tz vzdolz polarne osi. Pri prepletenem solenoidudobimo niceln tok tprq 0 samo pri defektih na polu, saj koaksialno navijte in preprostisolenoid zapolnita nastalo praznino, ki jo naredi ena od teh dveh konfiguracij [2], [5].

2.1 Termodinamika pakiranja

Ogledali si bomo konfiguracije polimera znotraj sfere z iskanjem minimalne proste energije.V duhu Landauove teorije, lahko zapisemo gostoto proste energije f v najnizjem netrivial-nem redu kot

f κ

2p|t|2 t0q

2 K

2p∇ tq2, (9)

kjer prvi clen opise termodinamiko pakiranja s stisljivostjo κ in preferirano velikostjo tokat0. Drugi clen enacbe (9) pa predstavlja elasticno energijo z elasticno konstanto K. Tu jepahljacna deformacija enaka nic zaradi pogoja o nicelnosti divergence (enacba 5). Vidimotudi, da v zgornji enacbi ne locimo med zvojno in upogibno deformacijo [2]. Iscemo torejnajbolj ugodno konfiguracijo; znotraj tega modela lahko dobimo tudi (lokalno ali globalno)prazno konfiguracijo. Gostota toka se spreminja zvezno.

2.1.1 Koaksialno navitje

Za zacetek si oglejmo, kaksna je termodinamika koaksialnega navitja. Iz [2] sledi, da nastabilnost dobljene konfiguracije vpliva en sam parameter, Rλ, kjer je

λ

K

κt20

12

. (10)

λ predstavlja velikostno skalo oziroma razmerje med elasticno energijo in potrebno energijopakiranja. Na majhnih skalah, t.j. R ! λ, prevladuje elasticna energija konfiguracije inkoaksialno navitje se izkaze za neugodno. Na vecjih skalah, t.j. R " λ, pa prevladuje

5

Rok Grah Pakiranje dolgega nematskega polimera v sferi

energija pakiranja in t se asimptoticno priblizuje preferirani vrednosti t0. Prehod iz praznekonfiguracije v konfiguracijo navitja naj bi se zgodil pri Rpraznonav 2.3λ, kar je v dobremujemanju z numericno minimizacijo enacbe (9), ki kazejo prehod pri Rpraznonav 2.0λ [2].

Vendar za dovolj velike skale R " λ, ponovno nastane praznina. Ceprav se konfiguracijastabilizira, ko se tok priblizuje svoji preferirani vrednosti, zaradi vecanja volumna sferenastane praznina in koaksialno navijte ni vec najbolj ugodna konfiguracija [2].

2.1.2 Prepleteni solenoid

V prejsnjem poglavju smo pokazali, da preprosti solenoid in koaksialno navitje skupaj tvo-rita t.i. prepleteni solenoid, ki najbolj enakomerno zapolni prostor od vseh treh moznihtopologij. Kot smo ze omenili, za velika razmerja Rλ koaksialno navitje ni vec najboljugodna konfiguracija in dobimo strukturni prehod koaksialno navitje Ñ prepleteni solenoid.Da bi to pokazali, uvedemo nov nastavek:

Ψpr, θq r2 sin2 θ ψpsprq cos πr

2R

, (11)

kjer kosinus zagotavlja, da izpolnjujemo pogoj o tangencialnosti toka na povrsini iz enacbe(6), podpisano ime ps pa predstavlja ime konfiguracije prepleteni solenoid [2].Tok prepletenega solenoida lahko zapisemo kot superpozicijo navitja in preprostega soleno-ida,

tpsprq Φtsolprq tnavprq, (12)

kjer tps predstavlja tok prepletenega solenoida, tsol predstavlja tok preprostega solenoidain tnav predstavlja tok koaksialnega navitja. Φ predstavlja tok v srediscu sfere in sluzi kotparameter spremembe simetrije iz koaksialnega navitja (Φ 0) k prepletenemu solenoidu(Φ 0). Na sliki 3 levo vidimo konfiguracije danega nastavka iz enacb (11) in (12) zaΦ P r0, 1s [2].

Ce sedaj vstavimo nas nastavek za tok tps v enacbo (9), dobimo prosto energijo preple-tenega solenoida:

Fps g0pRλq g2pRλqΦ2 g4pRλqΦ

4, (13)

kjer vidimo, da je prosta energija soda v parametru simetrije Φ. Clena g0 in g4 sta obapozitivno definitna in monotoni funkciji Rλ, medtem ko funkcija g2 (ki vsebuje prispevkaelasticne energije in energija pakiranja k prosti energiji) zavzema pozitivne in negativnevrednosti, odvisno od velikosti parametra. Pokazati se da, da je g2pRλq ¡ 0 za majhnevrednosti Rλ tam prevladuje elasticna prosta energija in dobljena konfiguracija je koa-ksialno navitje. Z vecanjem parametra Rλ pride do strukturnega prehoda drugega reda,ko dobimo prehod iz navitja v prepleteni solenoid. Kriticna vrednost, kjer se prehod zgodi,je Rnav,ps 4.7λ.Na kratko omenimo, da v odsotnosti kiralnosti ta stukturni prehod prikazuje spontan zlomsimetrije in ga torej lahko opisemo z eksponenti povprecnega polja [2].

Slika 3 desno prikazuje odvisnost parametra simetrije Φ od velikosti Rλ, kjer primer-jamo rezultate dobljene z nastavki enacb (11) in (12) in numericno minimizacijo enacbe (9).Ceprav pride do razlik v tocki prehoda, obe metodi pokazeta strukturni prehod drugegareda konfiguracij koaksialno navitje Ñ prepleteni solenoid. Z dobljeni rezultati smo zado-voljni, saj je nasa teorija resnicno minimalna, vendar vseeno prikaze lastnosti strukturnegaprehoda relativno dobro [2].

6

Rok Grah Pakiranje dolgega nematskega polimera v sferi

Slika 3: Levo: Konfiguracije tokovnic za prepleteni solenoid za razlicne vrednosti parametraΦ. Barvna skala prikazuje magnitudo toka od modre (|tprq| 0) do rdece (|tprq| ¥ t0)[2]. Desno: Ravnovesne vrednosti toka v srediscu sfere v odvisnosti od velikostne skaleRλ. Rdeca krivulja prikazuje rezultate dobljene z variacijskim racunom, medtem ko crne,zapolnjene tocke prikazujejo rezultate dobljene z numericnimi simulacijami. Obe metodiuporabita enacbo 9 in prikazujeta strukturni prehod drugega reda iz konfiguracij koaksialnonavitje Ñ prepleteni solenoid. Notranji graf prikazuje graf x|tprq|yΩ p4πq1

³dΩ|tpr,Ωq|,

za vsako konfiguracijo tokovnic v levi sliki [2].

2.1.3 Vpliv zvojne in upogibne deformacije

V najnizjem netrivialnem redu proste energije v enacbi (9) opisemo elasticno energijo zenim samim parametrom, t.j. elasticna konstanta K. To je v nasprotju s Frankovo elasticnoenergijo (enacba (2)), ki v splosnem razlikuje med zvojno (twist, t ∇ t 0) in upogibno(bend, t ∇ t 0) deformacijo. Spomnimo, da pahljacne deformacije v nasem modelunimamo, saj smo predpostavili odsotnost divergence (enacba 5).Prosti energiji obeh deformacij sta v splosnem neodvisni in drugi clen v prosti energiji izenacbe (9) lahko zapisemo kot

δf K2

2rt p∇ tqs2

K3

2rt p∇ tqs2 , (14)

kjer sta K2 in K3 ustrezni elasticni konstanti zvojne in upogibne deformacije. Z uporaboenakih parametrov in nastavkov kot pri prejsnjem poglavju (enacbe (10), (11), (12)), dobimose vpliv zvojne in upogibne deformacije na dobljeno konfiguracijo [2].

Ta locitev prispevkov k prosti energiji mocno spremeni termodinamsko obnasanje nasegamodela. Z upostevanjem upogibne deformacije destabiliziramo konfiguracijo navitja, karprivede do monotone odvisnosti Rpraznonav od K3. Izkaze se, da se za K3 ¡ 6Kt20 vzpo-stavi obmocje stabilnosti za preprosti solenoid in prehod iz prazne konfiguracije v preprostisolenoid se zgodi pri Rpraznosol 3.8λ [2].

Upostevanje zvojne deformacije vodi k pozitivnemu prispevku g2pRλq za velike vredno-sti pRλq to vodi k eksponentni odvisnosti kriticne velikosti, kdaj pride do strukturnegaprehoda iz koaksialnega navitja v preprosti solenoid, Rnavps exp pK2κq [2].

7

Rok Grah Pakiranje dolgega nematskega polimera v sferi

Na sliki 4 prikazimo dobljeni fazni diagram za nematike brez koncev, ki ga opisemos tremi parametri Rλ, K2t

20K in K3t

20K. Vidimo, da praznina, navitje in prepleteni

solenoid skupaj eksistirajo vzdolz prve trojne crte; praznina, preprosti solenoid in prepletenisolenoid pa eksistirajo vzdolz druge trojne crte. Fazno zaporedje praznina Ñ navitje Ñprepleteni solenoid, ki je predvideno vzdolz K2 K3 0, se ohrani za dovolj majhnevrednosti K3; seveda se kriticna tocka prehoda Rλ premakne. Ob dovolj veliki prisotnostiupogibne deformacijske energije pa za srednje velike vrednosti Rλ navitje izgine zaradi boljugodne konfiguracije preprostega solenoida [2].

Slika 4: Fazni diagram za vse tri opisane topologije nematika znotraj sfere v odvisnosti odvelikostne skale sfere λR ter elasticnih modulov za zvojno (K2) in upogibno deformacijo(K3) [2].

3 Kiralni nematiki v sferi

V naslednjem poglavju si poglejmo kondenzacijo dolgih kiralnih nematskih polimerov zno-traj zaprte sfere. Model, ki ga bomo opisali, je sposoben opisati kondenzacijo, kar je najvecjarazlika med tem in minimalnim modelom. Tu nimamo nikakrsnih nastavkov ali posebnihzacetnih pogojev celotna struktura se zgradi sama iz zacetnega suma. Sistem sam de-finira povrsino kondenzata in s tem tudi obliko direktorskega polja t.i. samousklajenirobni pogoj. Z bolj splosnim nastavkom si sedaj oglejmo kako na dobljene konfiguracijevplivajo razlicni robni pogoji in kiralnost, ki je pri minimalnem modelu nismo upostevali.

Model, ki ga bomo opisovali, se razlikuje od zgornjega v nekaj fundamentalnih predpo-stavkah. Parameter, ki ga bomo uporabili, je ponovno tok t. Tokrat s to razliko, da imamodve glavni spremenljivki, ki obe nastopata znotraj toka polimera,

tprq ρprql0aprq, (15)

kjer je ρprq povprecen tok verig polimera; aprq ne-enotski direktor, ki opisuje orientacijo inureditvenost nematika (pomembna razlika od direktorja v minimalnem modelu je, da je vtem modelu direktor pravi vektor, ki loci med a in a); l0, dolzina posameznih segmentovverige, ki jo opisujemo [6].

8

Rok Grah Pakiranje dolgega nematskega polimera v sferi

Prosto energijo zapisimo z nastavkom, kjer parametri v elasticni prosti energiji nisoodvisni od stopnje urejenosti (v prejsnjem, minimalnem modelu smo prosto energijo za-pisali s standardnimi Frankovimi prispevki za pahljacno, zvojno in upogibno deformacijodirektorja, ki pa ne opisujejo kiralnega nematika). Dobljena prosta energija ima clene, kizagotovi, da [6], [7]

• nematska urejenost ostane omejena, |a| 1,

• je ureditvena prosta energija sorazmerna stevilu molekul oziroma gostoti ρ,

• je elasticna prosta energija sorazmerna ρ2, kot velja za energijo interakcij,

• je upostevana kontinuitetna enacba,

• gostota ostane pozitivna in manjsa od maksimalne gostote ρc.

Z minimizacijo proste energije ob fiksirani dolzini nematika lahko dobimo ravnovesne kon-figuracije, ki so opisane z gostoto polimera in nematskim direktorjem. Ogledali si bomodobljene numericne rezultate za dva razlicna robna pogoja. Prvi pogoj predpostavlja, da neprihaja do stika polimera s povrsino sfere, kar kaze na odbojno interakcijo kratkega dosega tu je gostota na povrsini enaka nic. Drugi pogoj pa postavlja gostoto polimera na povrsinisfere na povprecno gostoto znotraj sfere, kar posnema privlacno interakcijo kratkega dosega[6].

Z vsemi parametri simulacij se v seminarju ne bomo ukvarjali, vec o tem v [6]. Za zaceteksi oglejmo gostoto in urejenost nematika v odvisnosti od kiralnosti (slika 5). Upostevalismo prvi robni pogoj, torej odbojno povrsino sfere oziroma nicelno gostoto na povrsinisfere. Odsotnost kiralnosti kaze na torusno obliko nematika (slika 5 a), majhna kiralnostpovzroci zvijanje orientacijskega reda znotraj torusa, kjer se direktor polimera zvija okolisredisca sfere v polarni smeri. Vecanje kiralnosti veca zvojno deformacijo torusa (slika 5 a,b), primarna oblika torusa se ne spremeni. Z dodatnim vecanjem kiralnosti se tudi toruszacne zvijati (slika 5 c), medtem ko direktor v centru ostaja poravnan s simetrijsko osjonekiralnega torusa. Z dodatnim vecanjem kiralnosti opazimo spremembo zvitega torusa vstrukturo, podobno clenu verige (slika 5 d). Pri velikih kiralnosti se pojavi nova konfiguracijanematika (slika 5 e-h), kjer direktor tece vzdolz vsake od cevk in se navija vijacno okoli nje[6].

Da bi bolje razumeli prehod iz izotropne v nematsko fazo, si oglejmo lokalno gostotoin urejenost polimera za razlicne vrednosti povprecne gostote oziroma dolzine polimera(slika 6). Tudi tu upostevamo prvi robni pogoj, to je nicelna gostota na povrsini sfere.Vidimo, da prehod vodi k zlomu sfericne simetrije lokalne gostote in urejenosti, kar takojvodi v urejeno obliko kondenzata torus. Torus se najprej izogiba povrsini sfere, nato sespremeni v nekaksen sferoid z vecanjem gostote se priblizuje pravilni obliki krogle [6].

Drugacne rezultate dobimo, ce upostevamo drugi robni pogoj, t.j. privlacna interakcijamed povrsino sfere in polimerom (slika 7). Tu pride do zloma simetrije na drugacen nacin,kot pri primeru prvega robnega pogoja (slika 6). Kondenzat tu sili k povrsini, kar vodi kzlomu sferne simetrije. Torusna oblika kodenzata se ”prilepi” na povrsino, kar deformiraosnovno torusno obliko (slika 7 a, b, c). Za vecje gostote se del simetrije ponovno vzpostavi,nastane kondenzat casaste oblike. V limiti velikih gostot, se kondenzat bliza sferni obliki,kar vodi v enako obliko kot pogoj odbojne interakcije (slika 6 d) [6].

Zmerna kiralnost ne spremeni oblike kondenzata drasticno, vpliva pa na smer direktorjaznotraj toroida. Oglejmo si dobljen kondenzat za spreminjajoco se gostoto nematika prizmerni kiralnosti q0 0.1 in fiksno povprecno gostoto ρ na povrsini sfere (drugi robni pogoj).

9

Rok Grah Pakiranje dolgega nematskega polimera v sferi

Slika 5: Zaporedje narascujoce kiralnosti polimera v sferi. Povprecna gostota je bila vbrezdimenzijskih enotah postavljena na ρ 1, gostota prehoda ρ 0.5 in maksimalnagostota ρc 5. Uporabljen je prvi robni pogoj, t.j. nicelna gostota na povrsini sfere oziromaodbojna interakcija med polimerom in povrsino sfere. Za boljso prikaznost je direktor vslikah (e)-(h) prikazan samo lokalno [6].

Slika 6: Zaporedje narascujoce povprecne gostote polimera v sferi. Gostota prehoda je bila vbrezdimenzijskih enotah postavljena na ρ 0.5, maksimalna gostota ρc 5 in kiralnost nanic. Uporabljen je prvi robni pogoj, t.j. nicelna gostota na povrsini sfere oziroma odbojnainterakcija med polimerom in povrsino sfere [6].

Slika 7: Zaporedje narascujoce povprecne gostote polimera v sferi. Gostota prehoda je bilav brezdimenzijskih enotah postavljena na ρ 0.5, maksimalna gostota ρc 5 in kiralnostna nic. Uporabljen je drugi robni pogoj, t.j. povprecna gostota na povrsini sfere oziromaprivlacna interakcija med polimerom in povrsino sfere [6].

10

Rok Grah Pakiranje dolgega nematskega polimera v sferi

Na sliki 8 vidimo vijacno navijanje direktorja po torusu, kar pa se zmeraj ne spremeni splosneoblike kondenzata velika podobnost kondenzata pri odsotnosti ali zmerni kiralnosti ostaja.Kot zanimivost omenimo, da so konfiguracije v kondenzatu vedno toroidalne oblike [6].

Slika 8: Zaporedje narascujoce povprecne gostote polimera v sferi. Gostota prehoda je bilav brezdimenzijskih enotah postavljena na ρ 0.5, maksimalna gostota ρc 5 in kiralnostq0 0.1. Uporabljen je drugi robni pogoj, t.j. povprecna gostota na povrsini sfere oziromaprivlacna interakcija med polimerom in povrsino sfere. Vpliv kiralnost je viden samo vsmeri direktorja, ki se sedaj vijacno navija po torusu [6].

4 Zakljucek

Ogledali smo si dva modela opisa kondenzata dolge verige nematika v zaprti sferi. V pr-vem minimalnem modelu smo pokazali kako velikostna skala problema vpliva na dobljenekonfiguracije. Z locitvijo zvojne in upogibne deformacije smo dobili celoten fazni diagramvseh moznih konfiguracij. Drugi model, ki je bil bolj realisticen, je pokazal, kako kiralnost,robni pogoji in dolzina polimera vplivajo na dobljene konfiguracije v sferi.Iskanje resitev nasega problema je zelo aktualna tema, ki pa ni nujno vezana samo na vi-ruse, temvec lahko opise katererekoli nematike znotraj zaprte sfere in ima torej potencialnosiroko uporabo.

Literatura

[1] P. Ziherl, Physics of Soft Matter (http://www-f1.ijs.si/ ziherl/smt.pdf, 27.04.2014).

[2] H. Shin in G. M. Grason, EPL, 96 (2011) 36007.

[3] D. Svensek , G. Veble in R. Podgornik, Phys. Rev. E, 82 (2010) 011708.

[4] W. C. Earnshaw, J. King, S.C. Harrison in F. A. Eiserling, Cell, 14 (1978) 559.

[5] M. Kleman in O. D. Lavrentovich, Soft Matter Physics: an introduction (Springer-Verlag, New York, 2003).

[6] D. Svensek in R. Podgornik, EPL, 100 (2012) 66005.

[7] C. Blanc, D. Svensek, S. Zumer in M. Nobili, Phys. Rev. Lett., 95 (2005) 097802.

11