Pal Cask Erek Sz Amol As

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Fogaskerék

Citation preview

  • 1

    Plcs koronafogazat tervezse HD transzformcival Dr.Laczik Blint1

    Bevezets A fogaskerkhajts legsibb alakja a

    plcs fogazattal2 kapcsold

    koronakerk volt. Az els ntzses

    kultrk vzemel szerkezeteit

    mkdtet igsllat a talajon krbe jrt,

    a jrgnym fggleges, s a vzemel

    ednylnc vzszintes tengelyei kztt

    ez az egyszer gpelem pr biztostotta

    a mozgs tvitelt. Az vszzadokig

    megannyi szerkezetben alkalmazott,

    napjainkra immr teljessggel

    feledsbe merlt megolds a

    frccsnttt manyag termkek kztt

    azonban j alkalmazst nyerhet.

    Egyszer alakja mellett a plcs kerk

    axilis eltolhatsga a konstrukci

    elnys tulajdonsga.

    1. bra XVI. szzadi csrl ([1])

    Ramelli metszetn jl ltszik a fggleges tengely koronakerk s a vele kapcsold plcs fogazat

    A skbeli plca fogazatot rszletesen ismerteti a [2] m. A jelen sszelltsban a plcs

    koronakerk fogazat tervezsnek matematikai alapjait tekintjk t. A koronakerk

    fogprofiljnak meghatrozshoz a leginkbb nylt lnc mechanizmusok vizsglatra

    hasznlt Hartenberg-Denavit transzformcit hasznljuk (lsd [3]). A formlis levezetsekhez

    s szmtsokhoz a Maple V R8 computeralgebrai rendszert, a fogazat tervezshez az

    AUTOCAD 2000-t alkalmaztuk.

    A levezetett sszefggsek a szokvnyos mrnki-matematikai trgyalsmd szmra

    gyakorlatilag kezelhetetlenl terjedelmesek. Az sszellts emiatt csupn a levezetsek

    logikai lpseit mutatja be. Eredmnyeink ellenrzsre avagy hasznostsra azonban a

    Maple R8-ban megrt teljes munkalapot a www.manuf.bme.hu oldalon kzztesszk.

    Kulcsszavak: plcs fogazat, koronakerk, HD-transzformci

    1 [email protected], Budapesti Mszaki Egyetem Gpgyrtstechnolgia Tanszk 2 Magyar nyelven a konstrukci motolla vagy lanterns fogazatknt ugyancsak ismert

  • 2

    A Hartenberg-Denavit transzformci A mechanizmusok elmletbl jl ismert Hartenberg-Denavit (HD) transzformci a

    mechanizmus egymsra kvetkez karelemei kztt ltest tszmtsi kapcsolatot. A jelen

    esetben csak a rotcis mozgsokat vgz rendszerrel foglalkozunk. Az i-edik karelem als

    csukljnak tengelye a zi-1, fels csukljnak tengelye a zi koordinta tengely irnyt jelli ki.

    A kt rendszer kztti transzformci mtrixa

    := H , i 1 i

    ( )cos i ( )sin i ( )cos i ( )sin i ( )sin i ( )cos i ai( )sin i ( )cos i ( )cos i ( )cos i ( )sin i ( )sin i ai0 ( )sin i ( )cos i di0 0 0 1

    (1)

    ahol i az i-1 csukltengely krli forgats szge,

    i az az i-1 s i csukltengelyek szge,

    ai az i-1 s i csukltengelyek norml transzverzlisnak hossza,

    di a norml transzverzlis s az i-edik csukltengely metszspontja, valamint az i-edik

    koordinta rendszer kezdpontja kzti tvolsg.

    Az n tag szerkezet ered transzformcis mtrixa

    := H = i 1

    n

    H , i 1 i

    (2)

    A szerkezet utols pontjnak (az n-edik tag fels csukljhoz tartoz koordintarendszer

    orig) plyavektora a

    r = H.[0 0 0 1]* (3)

    ngyesvektor els hrom koordintja.

    2. bra

  • 3

    A plcs fogazat koronakereknek fogprofiljt a 2. brasor helyettest mechanizmusnak

    felhasznlsval hatrozzuk meg. A szerkezet mkdse sorn a plcs kerk a sajt tengelye

    krl forog s a koronakerk tengelye krl kering. Legyen tovbb a koronakerk fogszma

    Z1, a plck szma Z2, s z = Z1/ Z2 ltalnos esetben a korona s plcs kerekek tengelyei

    /2- szget zrnak be. A koronakerk szg elfordulshoz a plcs kerk - z. szg

    elfordulsa tartozik. A HD paramtereket az 1. tblzat tartalmazza.

    i i di i ai1 0 /2- 0

    2 - z. R( )cos

    0 R

    3 0 u 0 0

    1. tblzat

    A plcatengely ltalnos x3 = u koordintj pontjnak helyvektora a szghelyzetben, az

    llvny rendszerben:

    + ( )cos ( )cos z r ( )sin ( )sin ( )sin z r ( )sin ( )cos + u

    R( )cos

    + ( )sin ( )cos z r ( )cos ( )sin ( )sin z r ( )cos ( )cos + u

    R( )cos

    + ( )cos ( )sin z r ( )sin

    + u

    R( )cos

    (4) r =

    A koronakerk fogfellete A koronakerk fogfellete a (4) fellet tvolsg egyenkz alakzata. Az egyenkz fellet

    pontja az ltalnos felleti pont normlvektornak irnyban tvolsggal eltolt pont.

    Formlisan:

    =

    rur

    rur

    rw (5)

  • 4

    A terjedelmes sszefggst az igen hatkony formula manipulcis technikval dolgoz

    Maple V. R8 matematikai program - a lehetsges egyszerstseket vgrehajtva a

    Mellkletben szerepl alakban lltotta el.

    A 3. bra a mozg plcatengely ltal ltestett (4) valamint a (5) egyenkz felleteteket

    szemlltei. Az illusztrcik z = 1 esetre, 6 fog plcs ill. 6 fog koronakerkre kszltek.

    3.bra

    A plcs kerk valamennyi foghoz ellltva s megjelentve az egyes fogakkal kapcsold

    koronakerk profilokat, a sajtos szalagminta rendszer kzvetlenl szolgltatja a koronakerk

    mkd fellett. A 4. brasor a a szokvnyos CAD mveletekkel (kihzs, forgats, metszs,

    stb.) megvalsult fogazatokat szemllteti. A modellek az AUTOCAD 2000 programmal

    kszltek.

    4. bra

  • 5

    A koronafogazat egy fogrknak hatrai, az egymst kvet fogfelletek

    thatsi vonalnak koordinti analitikusan is elllthatk. A koronafogazat

    egy fognak teljes fellett az (5) vektor rja le. A fogat megelz fog fellett a w1.cos(-) - w2.sin(-)

    p = w1.sin(-) + w2.cos(-) (6)

    w3 a fogat kvet fog fellett a

    w1.cos() - w2.sin()

    q = w1.sin() + w2.cos-) (7)

    w3 vektor egyenlet jellemzi, ahol a fogak osztsszge =2/Z1.

    Az eredeti fogfellet (5) egyenletnek paramterezse w = w(u,), a megelz

    (6) fogfellet p = p (u1,1), a soron kvetkez (7) fogfellet q = q (u2,2). Az p

    ill. q vektoregyenletekben szerepl w1, w2, w3 komponensek formailag

    megegyeznek az (5) alapegyenletben szereplkkel, azonban paramterezsk a

    megfelel u1,1 ill. u2,2 vltozkkal trtnik.

    A metszsvonalak pontjait a megfelel komponensekbl kpzett

    sys1 = {w1(u, ) = p1(u1,1), w2(u, ) = p2(u1,1), w3(u, ) = p3(u1,1)}

    sys2 = {w1(u, ) = q1(u2,2), w2(u, ) = q2(u2,2), w3(u, ) = q3(u2,2)}

    nemlineris egyenlet rendszerek megoldsa szolgltatja. A hrom-hrom

    egyenletbl ll (sys1, sys2) rendszerekben lv ngy-ngy (u, , u1,1) , ill. (u,

    , u2,2) ismeretlenek az (u = U1, , u1,1), (u = U2, , u2,2) rtkekkel

    egyrtelmen meghatrozhatk.

  • 6

    Mellklet A koronakerk fogfelletnek koordinti

    w1 ( )cos ( )cos z r ( )sin ( )sin ( )sin z r ( )sin ( )cos + u

    R( )cos ( + + :=

    ( )cos ( )sin ( )cos z r ( )sin ( )sin ( )sin z z r ( )sin ( )sin z r + ( )sin ( )sin z r ( )cos 2 ( )cos ( )cos z z r ( )sin ( )sin u ( )cos + + + ( )sin ( )sin R + ) u2 ( )cos 2 2 ( )sin ( )sin z r u ( )cos (

    2 ( )sin z z r u ( )cos 2 u ( )cos R z2 r2 2 ( )sin z z r R + + + +

    2 ( )sin ( )sin z r R 2 ( )sin r2 z R2 r2 ( )cos 2 r2 + + )

    12

    w2 ( )sin ( )cos z r ( )cos ( )sin ( )sin z r ( )cos ( )cos + u

    R( )cos ( + + :=

    ( )sin ( )sin ( )cos z r ( )sin ( )cos ( )sin z z r ( )cos ( )sin z r + ( )cos ( )sin z r ( )cos 2 ( )sin ( )cos z z r ( )sin ( )cos u ( )cos + ( )sin ( )cos R ) u2 ( )cos 2 2 ( )sin ( )sin z r u ( )cos (

    2 ( )sin z z r u ( )cos 2 u ( )cos R z2 r2 2 ( )sin z z r R + + + +

    2 ( )sin ( )sin z r R 2 ( )sin r2 z R2 r2 ( )cos 2 r2 + + )

    12

    w3 ( )cos ( )sin z r ( )sin + u

    R( )cos ( )cos + :=

    ( ) + + ( )sin z z r ( )sin ( )sin z r u ( )cos R u2 ( )cos 2(/2 ( )sin ( )sin z r u ( )cos 2 ( )sin z z r u ( )cos 2 u ( )cos R z2 r2 + + +

    2 ( )sin z z r R 2 ( )sin ( )sin z r R 2 ( )sin r2 z R2 r2 ( )cos 2 r2 + + + )

    12

    Irodalom [1] Agostino Ramelli: Le diverse et artificiose machine, Paris, 1588

    [2] Ltivin F.L.: Gear Geometry and Applied Theory, Prentice Hall, New York, 1994.

    [3] Denavit, J. Hartenberg, R.S.: A kinematic notation for lower pair mechanisms based on

    matrices, ASME J. Appl. Math., Vol. 77, 215-221 (1955)

    A terjedelmes sszefggst az igen hatkony formula manipulcis technikval dolgoz Maple V. R8 matematikai program - a lehetsges egyszerstseket vgrehajtva a Mellkletben szerepl alakban lltotta el.