1

Plcs koronafogazat tervezse HD transzformcival Dr.Laczik Blint1

Bevezets A fogaskerkhajts legsibb alakja a

plcs fogazattal2 kapcsold

koronakerk volt. Az els ntzses

kultrk vzemel szerkezeteit

mkdtet igsllat a talajon krbe jrt,

a jrgnym fggleges, s a vzemel

ednylnc vzszintes tengelyei kztt

ez az egyszer gpelem pr biztostotta

a mozgs tvitelt. Az vszzadokig

megannyi szerkezetben alkalmazott,

napjainkra immr teljessggel

feledsbe merlt megolds a

frccsnttt manyag termkek kztt

azonban j alkalmazst nyerhet.

Egyszer alakja mellett a plcs kerk

axilis eltolhatsga a konstrukci

elnys tulajdonsga.

1. bra XVI. szzadi csrl ([1])

Ramelli metszetn jl ltszik a fggleges tengely koronakerk s a vele kapcsold plcs fogazat

A skbeli plca fogazatot rszletesen ismerteti a [2] m. A jelen sszelltsban a plcs

koronakerk fogazat tervezsnek matematikai alapjait tekintjk t. A koronakerk

fogprofiljnak meghatrozshoz a leginkbb nylt lnc mechanizmusok vizsglatra

hasznlt Hartenberg-Denavit transzformcit hasznljuk (lsd [3]). A formlis levezetsekhez

s szmtsokhoz a Maple V R8 computeralgebrai rendszert, a fogazat tervezshez az

AUTOCAD 2000-t alkalmaztuk.

A levezetett sszefggsek a szokvnyos mrnki-matematikai trgyalsmd szmra

gyakorlatilag kezelhetetlenl terjedelmesek. Az sszellts emiatt csupn a levezetsek

logikai lpseit mutatja be. Eredmnyeink ellenrzsre avagy hasznostsra azonban a

Maple R8-ban megrt teljes munkalapot a www.manuf.bme.hu oldalon kzztesszk.

Kulcsszavak: plcs fogazat, koronakerk, HD-transzformci

1 laczik@goliat.eik.bme.hu, Budapesti Mszaki Egyetem Gpgyrtstechnolgia Tanszk 2 Magyar nyelven a konstrukci motolla vagy lanterns fogazatknt ugyancsak ismert

2

A Hartenberg-Denavit transzformci A mechanizmusok elmletbl jl ismert Hartenberg-Denavit (HD) transzformci a

mechanizmus egymsra kvetkez karelemei kztt ltest tszmtsi kapcsolatot. A jelen

esetben csak a rotcis mozgsokat vgz rendszerrel foglalkozunk. Az i-edik karelem als

csukljnak tengelye a zi-1, fels csukljnak tengelye a zi koordinta tengely irnyt jelli ki.

A kt rendszer kztti transzformci mtrixa

:= H , i 1 i

( )cos i ( )sin i ( )cos i ( )sin i ( )sin i ( )cos i ai( )sin i ( )cos i ( )cos i ( )cos i ( )sin i ( )sin i ai0 ( )sin i ( )cos i di0 0 0 1

(1)

ahol i az i-1 csukltengely krli forgats szge,

i az az i-1 s i csukltengelyek szge,

ai az i-1 s i csukltengelyek norml transzverzlisnak hossza,

di a norml transzverzlis s az i-edik csukltengely metszspontja, valamint az i-edik

koordinta rendszer kezdpontja kzti tvolsg.

Az n tag szerkezet ered transzformcis mtrixa

:= H = i 1

n

H , i 1 i

(2)

A szerkezet utols pontjnak (az n-edik tag fels csukljhoz tartoz koordintarendszer

orig) plyavektora a

r = H.[0 0 0 1]* (3)

ngyesvektor els hrom koordintja.

2. bra

3

A plcs fogazat koronakereknek fogprofiljt a 2. brasor helyettest mechanizmusnak

felhasznlsval hatrozzuk meg. A szerkezet mkdse sorn a plcs kerk a sajt tengelye

krl forog s a koronakerk tengelye krl kering. Legyen tovbb a koronakerk fogszma

Z1, a plck szma Z2, s z = Z1/ Z2 ltalnos esetben a korona s plcs kerekek tengelyei

/2- szget zrnak be. A koronakerk szg elfordulshoz a plcs kerk - z. szg

elfordulsa tartozik. A HD paramtereket az 1. tblzat tartalmazza.

i i di i ai1 0 /2- 0

2 - z. R( )cos

0 R

3 0 u 0 0

1. tblzat

A plcatengely ltalnos x3 = u koordintj pontjnak helyvektora a szghelyzetben, az

llvny rendszerben:

+ ( )cos ( )cos z r ( )sin ( )sin ( )sin z r ( )sin ( )cos + u

R( )cos

+ ( )sin ( )cos z r ( )cos ( )sin ( )sin z r ( )cos ( )cos + u

R( )cos

+ ( )cos ( )sin z r ( )sin

+ u

R( )cos

(4) r =

A koronakerk fogfellete A koronakerk fogfellete a (4) fellet tvolsg egyenkz alakzata. Az egyenkz fellet

pontja az ltalnos felleti pont normlvektornak irnyban tvolsggal eltolt pont.

Formlisan:

=

rur

rur

rw (5)

4

A terjedelmes sszefggst az igen hatkony formula manipulcis technikval dolgoz

Maple V. R8 matematikai program - a lehetsges egyszerstseket vgrehajtva a

Mellkletben szerepl alakban lltotta el.

A 3. bra a mozg plcatengely ltal ltestett (4) valamint a (5) egyenkz felleteteket

szemlltei. Az illusztrcik z = 1 esetre, 6 fog plcs ill. 6 fog koronakerkre kszltek.

3.bra

A plcs kerk valamennyi foghoz ellltva s megjelentve az egyes fogakkal kapcsold

koronakerk profilokat, a sajtos szalagminta rendszer kzvetlenl szolgltatja a koronakerk

mkd fellett. A 4. brasor a a szokvnyos CAD mveletekkel (kihzs, forgats, metszs,

stb.) megvalsult fogazatokat szemllteti. A modellek az AUTOCAD 2000 programmal

kszltek.

4. bra

5

A koronafogazat egy fogrknak hatrai, az egymst kvet fogfelletek

thatsi vonalnak koordinti analitikusan is elllthatk. A koronafogazat

egy fognak teljes fellett az (5) vektor rja le. A fogat megelz fog fellett a w1.cos(-) - w2.sin(-)

p = w1.sin(-) + w2.cos(-) (6)

w3 a fogat kvet fog fellett a

w1.cos() - w2.sin()

q = w1.sin() + w2.cos-) (7)

w3 vektor egyenlet jellemzi, ahol a fogak osztsszge =2/Z1.

Az eredeti fogfellet (5) egyenletnek paramterezse w = w(u,), a megelz

(6) fogfellet p = p (u1,1), a soron kvetkez (7) fogfellet q = q (u2,2). Az p

ill. q vektoregyenletekben szerepl w1, w2, w3 komponensek formailag

megegyeznek az (5) alapegyenletben szereplkkel, azonban paramterezsk a

megfelel u1,1 ill. u2,2 vltozkkal trtnik.

A metszsvonalak pontjait a megfelel komponensekbl kpzett

sys1 = {w1(u, ) = p1(u1,1), w2(u, ) = p2(u1,1), w3(u, ) = p3(u1,1)}

sys2 = {w1(u, ) = q1(u2,2), w2(u, ) = q2(u2,2), w3(u, ) = q3(u2,2)}

nemlineris egyenlet rendszerek megoldsa szolgltatja. A hrom-hrom

egyenletbl ll (sys1, sys2) rendszerekben lv ngy-ngy (u, , u1,1) , ill. (u,

, u2,2) ismeretlenek az (u = U1, , u1,1), (u = U2, , u2,2) rtkekkel

egyrtelmen meghatrozhatk.

6

Mellklet A koronakerk fogfelletnek koordinti

w1 ( )cos ( )cos z r ( )sin ( )sin ( )sin z r ( )sin ( )cos + u

R( )cos ( + + :=

( )cos ( )sin ( )cos z r ( )sin ( )sin ( )sin z z r ( )sin ( )sin z r + ( )sin ( )sin z r ( )cos 2 ( )cos ( )cos z z r ( )sin ( )sin u ( )cos + + + ( )sin ( )sin R + ) u2 ( )cos 2 2 ( )sin ( )sin z r u ( )cos (

2 ( )sin z z r u ( )cos 2 u ( )cos R z2 r2 2 ( )sin z z r R + + + +

2 ( )sin ( )sin z r R 2 ( )sin r2 z R2 r2 ( )cos 2 r2 + + )

12

w2 ( )sin ( )cos z r ( )cos ( )sin ( )sin z r ( )cos ( )cos + u

R( )cos ( + + :=

( )sin ( )sin ( )cos z r ( )sin ( )cos ( )sin z z r ( )cos ( )sin z r + ( )cos ( )sin z r ( )cos 2 ( )sin ( )cos z z r ( )sin ( )cos u ( )cos + ( )sin ( )cos R ) u2 ( )cos 2 2 ( )sin ( )sin z r u ( )cos (

2 ( )sin z z r u ( )cos 2 u ( )cos R z2 r2 2 ( )sin z z r R + + + +

2 ( )sin ( )sin z r R 2 ( )sin r2 z R2 r2 ( )cos 2 r2 + + )

12

w3 ( )cos ( )sin z r ( )sin + u

R( )cos ( )cos + :=

( ) + + ( )sin z z r ( )sin ( )sin z r u ( )cos R u2 ( )cos 2(/2 ( )sin ( )sin z r u ( )cos 2 ( )sin z z r u ( )cos 2 u ( )cos R z2 r2 + + +

2 ( )sin z z r R 2 ( )sin ( )sin z r R 2 ( )sin r2 z R2 r2 ( )cos 2 r2 + + + )

12

Irodalom [1] Agostino Ramelli: Le diverse et artificiose machine, Paris, 1588

[2] Ltivin F.L.: Gear Geometry and Applied Theory, Prentice Hall, New York, 1994.

[3] Denavit, J. Hartenberg, R.S.: A kinematic notation for lower pair mechanisms based on

matrices, ASME J. Appl. Math., Vol. 77, 215-221 (1955)

A terjedelmes sszefggst az igen hatkony formula manipulcis technikval dolgoz Maple V. R8 matematikai program - a lehetsges egyszerstseket vgrehajtva a Mellkletben szerepl alakban lltotta el.