PODSTAWY MECHANIKI I WYTRZYMAŁOŚCI

MATERIAŁÓW

MATERIAŁY DO WYKŁADUOpracował: dr hab. inż. Zygmunt Lipnicki

Instytut PolitechnicznyPaństwowa Wyższa Szkoła Zawodowa

W Głogowie2010.03.15

Literatura wykorzystana w opracowanych materiałach:

1. Misiak Jan: Mechanika techniczna - statyka i wytrzymałość materiałów t.1, WNT, Warszawa, 2006

2. Misiak Jan: Mechanika techniczna – kinematyka i dynamika t.2, WNT, Warszawa,19993. Osiński Zbigniew: Mechanika Ogólna cz. I i II, PWN, Warszawa, 19874. Korzeniewski Zygmunt: Podstawy mechaniki ciała stałego, Wyd. Politechniki Warszawskiej,

Warszawa, 19745. Niziol Józef: Metodyka rozwiązywania zadań z mechaniki, WNT, Warszawa 20026. Gubrynowiczowa Janina: Wytrzymałość materiałów, PWN, Warszawa, 19697. Lejko Jerzy, Szmeltera Jan: Zbiór zadań z mechaniki ogólnej t.2, PWN, Warszawa, 19838. Kowalski J. Stefan, Mielniczuk Janusz, Paszkowicz M. Agnieszka: Mechanika techniczna dla

studentów kierunków niemechanicznych, WSP, Zielona Góra, 19989. Karaśkiewicz Edmund: Zarys teorii wektorów i tensorów, PWN, Warszawa, 1974

I. ELEMENTY RACHUNKU WEKTOROWEGO W MECHANICE.

Skalary i wektory w mechanice

1. Skalar 2. Wektor i jego rodzaje:• wektor swobodny,• wektor posuwny.3. Działania na wektorach:• mnożenie wektora przez liczbę,• dodawanie wektorów,• iloczyn skalarny wektorów,• iloczyn wektorowy wektorów.

Skalar

Skalarami nazywamy wielkości, dla oznaczenia których potrzebne jest podanie jednej liczby, opisującej jej miarę. Przykłady: objętość, masa, temperatura, gęstość, praca, potencjał itp.

Wektor i jego rodzaje

wr

x

z

yα

γ

βkr

ir

jr

ywjr

zwkr

xwir

222zyx wwww ++=

( )zyx

zyx

www

wkwjwiw

,,=

++=rrrr

1coscoscos 222 =++ γβα

Mnożenie wektora przez liczbę

wr

( )1⟩mwm r

( )10 ⟨⟨ mwm r

( )0⟨mwm r

Dodawanie wektorów

21 www rrr+= ( )2121 wwwww rrrrr

−+=−=

dodawanie dwóch wektorów: odejmowanie wektorów:

Dodawanie wektorów

∑=

=+++++=n

iini wwwwww

121 ...... rrrrrr

dodawanie n wektorów:

Iloczyn skalarny wektorów

1wr

2wr

α

αcos1w

αcos2w

αcos2121 wwww =⋅rr

zzyyxx wwwwwwww 21212121 ++=⋅rr

Iloczyn skalarny dwóch wektorów: 21 wiw rr

Iloczyn skalarny wektorów

iloczyn skalarny jest przemienny:

1221 wwww rrrr⋅=⋅

iloczyn wektorów prostopadłych:

02121 =⋅⇒⊥ wwww rrrr

iloczyn wektorów  jednakowych:22 wwww ==⋅

rrr

Składowa  wektora  wzdłuż osi l Wektor  składowy wzdłuż osi l

wr

α

ew rr⋅

er

wr

α

( ) eew rrr⋅

erl l

Iloczyn wektorowy dwóch wektorów 21 www rrr×=

Moduł wektora           ,

wrαsin21www =

Wektor           jest prostopadły do wektorów 

wr

21 wiw rr

zyx

zyx

wwwwwwkji

www

222

11121

rrr

rrr=×=

Iloczyn wektorowy  nie jest przemienny. 1221 wwww rrrr×−=×

Iloczyn wektorowy  dwóch jednakowych wektorów. 0=×ww rr

1wr

2wr21 ww

rr×

12 ww rr×

Wektory mogą być stałe i zależne od czasu. Wektory zależne od czasu tworzą funkcję wektorową czasu:

Funkcje wektorowe

( )tww vv =

( )tww vv=

z

ykr

ir

jr

hodograf funkcji wektorowej

x

Pochodna wektora

( )ttww Δ+= vv

z

ykr

ir

jr

x

( )tww vv=

C

C1 tw ΔΔv

()tw&v ( ) ( )tw

dttwdtw

t ΔΔ

==→Δ

rr&v

0lim

( ) ( ) ( ) ( )ktwjtwitwtw zyxr

&r

&r

&&v ++=

( )[ ] ( ) ( )

ww

wwdt

wdw

dtwd

consttwtwtw

&rr

&rrr

r

r

rv

⊥⇒

=⋅⇒=⋅⇒

=⇒

===

002

0

.2

222

Kierunek pochodnej wektora o stałej długości

II. PODSTAWOWE PRAWA MECHANIKI. OGÓLNE ZASADY

STATYKI.

PODSTAWOWE PRAWA MECHANIKI.

Pierwsze prawo NewtonaJeżeli na ciało nie działają żadne siły lub siły działające równoważą się, to ruch tego ciała przebiega niezmiennie, tzn. jest on spoczynkiem lub co najwyżej ruchem jednostajnym prostoliniowym.

Drugie  prawo Newtona

Siła działająca na ciało wywołuje zmianę prędkości, czyli nadaje ciału przyśpieszenie. Przyśpieszenie to jest wprost proporcjonalne do przyłożonej siły.

Trzecie prawo Newtona

Jeżeli ciało A wywiera na ciało B pewną siłę, to wzajemnie, ciało B wywiera na ciało A siłę równą co do wielkości i kierunku, lecz przeciwnie skierowaną.

Prawo czwarteJeżeli na punkt materialny o  masie m lub układ punktów materialnych działa jednocześnie kilka sił,  to każda z nich działa niezależnie od pozostałych, a wszystkie razem działają tak, jak jedna tylko siła równa wektorowej sumie wektorów danych sił.

PPumdtd n

ii

n

ii

rvr==⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∑∑== 11

Prawo piąte ( grawitacji)Każde dwa punkty materialne przyciągają się wzajemnie z siłą wprost proporcjonalną do iloczynu ich mas, i odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odległości między nimi. Kierunek siły leży na prostej łączącej te punkty.

221

rmm

kP =

III. STATYKA

Statyka jest działem mechaniki i bada warunki równowagi sił (czynnychi biernych) znajdujących się w stanie równowagi, działających na

punkt materialny lub zbiór punktów materialnych względem układu odniesienia.

Metody rozwiązywania zadań stosowane w statyce:

• metoda wykreślna,• metoda analityczna,• metoda wykreślno-analityczna.

.

Aksjomaty statyki:

1.Zasada równoległoboku ‐ dowolne dwie siły i przyłożone do jednego punktu O można zastąpić jedną siłą , przyłożoną do tegoż punktu i będącąwektorem, którego miarą jest przekątna równoległoboku zbudowanego na wektorach sił składowych.

21 PPWrrr

+=

2. Zasada równowagi dwóch sił ‐ dwie siły działające na ciało sztywne są w równowadze, gdy działają wzdłuż jednej prostej, są równe i przeciwnie skierowane.

3.    Zasada równoważności - działanie dowolnego układu sił przyłożonych do ciała sztywnego nie ulegnie zmianie, jeśli dodamy do niego inny dowolny układ sił, ale równoważny zeru (układ sił równoważących się).

21 PPrr

−=C2

C11Pr

2Pr

=BFr

Pr B

Fr

A

Pr

−

4.Zasada zesztywnienia - równowaga sił działających na ciało odkształcalne nie zostanie naruszona przez zmianę go na ciało sztywne. Zasada ta może byćstosowana w ograniczonym zakresie i pod pewnymi warunkami.

5.  Zasada działania i przeciwdziałania ‐ każdemu działaniu towarzyszy równe co do miary, leżące na tej samej prostej i przeciwnie skierowane przeciwdziałanie.

Rr

Gr GR

rr−=C

6.    Zasada oswobodzenia z więzów - każde ciało nieswobodne można umownie oswobodzić z więzów, zastępując ich działanie siłami, zwanymi siłami reakcji i rozpatrywać je jako ciało swobodne, na które działają siły czynne i siły reakcji więzów.

Rr

GrC

Rr

GrC

A

→

A

Fr

A

B

Ck l

Fr

B

Ck l

Pr

→

metoda przecięć

układ równoważny

STOPNIE SWOBODY, WIĘZYI UWALNIANIE OD WIĘZÓW.

Stopnie swobody określają liczbę współrzędnych koniecznych i wystarczających do wyznaczenia położenia punktu materialnego lub układu punktów materialnych w przestrzeni.

trzy liczby określą położenie punktu materialnego- trzy stopnie swobody

pięć liczb określa położenie odcinka AB- pięć stopni swobody

sześć liczb określa położenie ciała sztywnego- sześć stopni swobody

translacja , rotacja

Odcinek

Punkt materialny Stopnie swobody :

x

z

y0rr m

x

z

y0rr

A

B

m

x

z

y0

rr

m

Ciało sztywne

Siły działające na ciało sztywne dzielimy na:• siły czynne,• siły reakcji (siły bierne).

Rodzaje niektórych podpór stosowanych w praktyce:

Więzy tworzą warunki ograniczające ruch ciała w przestrzeni, dzielimy je na: obustronne, jednostronne, wewnętrzne, zewnętrzne i idealne (bez tarcia).

Przegub walcowyPrzegub kulowyz

Rr

x

0

zRr

0x

sworzeń

Podpora przegubowa i przegubowo- przesuwna

Pręt sztywny przegubowy

BA

Pr

BRr

ARr

pręt przegubowy

Gr

C1Rr

2Rr

3Rr

IV. RÓWNOWAGA STATYCZNA PUNKTU I UKŁADU PUNKÓW

MATERIALNYCH.

Moment siły

Pr

0

A

rr

lz,

0Mr

zl MMrr

=

γ

x

y

kMMl

rrγcos0=

( ) ( )zyxzyx PPPkPjPiPPzyxkzjyixr ,,;,, =++==++=rrrrrrrr

zyx PPPzyxkjr

PrM

rrr

rrr=×=0

Moment siły względem punktu O

Moment siły względem osi l

Wektor położenia i siła

Przekształcenia momentu siły

( )( )PMMPrPr

PrrPrM

C

Crrrrrrr

rrrrrr

+=×+×

=×+=×′=

00

0

)(PM Crr

Pr

( )Pr

0

A

Cr ′r

rr

0rr

y

x

z

biegun pierwotny

CMr

0Mr

0Mr

Moment siły względem nowego bieguna C jest równy momentowi siły względem bieguna pierwotnego O plus moment względem nowego bieguna C siły (P), przeniesionej do punktu O.

Zbieżny układ sił

5Pr

2Pr

3Pr

4Pr

Wr

0

1Pr

∑=

=n

iiPW

1

rr

1Pr

Wr

5Pr

4Pr

3Pr

2Pr

0

0,0,0111

=== ∑∑∑===

n

iiz

n

iiy

n

iix PPP

Zbieżny układ sił w równowadze

0=Wr

Siły równoległe o zgodnych zwrotach

Wr

Wr

B

C

D

1Pr

2Pr

2Wr

1Wr 2W

r

Sr

A

1Wr

Sr

−

ABPP

PDBABPP

PAD21

2

21

1 ,+

=+

=

21 PPW +=

ABDBADPP

BDAD

=+= ,1

2

BD A

1Pr

Sr

−

1Wr

1Wr W

r

Wr

C

2Pr

Sr

2Wr

2Wr

21 PPW −=

ABPP

PDBABPP

PAD21

2

21

1 ,−

=−

=

ABDADBPP

DADB

+== ,1

2

Siły równoległe o przeciwnych zwrotach

BA

1Pr

Sr

−

1Wr

2Pr

Sr

2Wr

21 PP =

=

Para sił ‐ nowy element w statyce

Para sił jest układem  dwóchsił równych, równoległych iprzeciwnie skierowanych. Nie da  się jej zastąpić jedną siłą.

P

płaszczyzna wyznaczonaprzez parę sił

constPrM p =×=rrr

Pr

− rr

1rr

2rr

( )constPr

PrrPrPrM p

=×=

×−=×−×=rr

rrrrrrrr2121

Para sił tworzy swobodny wektor momentu.

Pr

Równoległe przesunięcie siły

Metoda Poinstona

AA A BBBPr P

rPr

Pr

rr

rrrrr

r

Pr

−

PrMrrr

×=para sił

Siły skośne - sprowadzenie do pary sił i jednej siły

Układ dwóch sił skośnych można zawsze sprowadzić do pary sił i siły wypadkowej.

1Wr

1Pr

2Pr

2Pr

− 2Pr

para sił

1Wr0M

r

Redukcja dowolnego układu siłdo siły i pary sił

Dodanie wektorówzerowych

Dodanie wektorówi par  sił

1A

iA

nA

1Pr

iPr

nPr

iPr

nPr

1Pr

iPr

−nPr

−

1Pr

−

+ 0

układ zerowy siłukład pierwotny sił

1A

iA

nA

1Pr

iPr

nPr

iPr

nPr

1Pr

iPr

−nPr

−

1Pr

−

OMr

para sił

+0

0

wektor sumymomentów

wektor sumysił

Wr

Równowaga dowolnego płaskiego układu sił

0==WRrr

00 =Mr

.0,0,01

011

=== ∑∑∑===

n

ii

n

iiy

n

iix MPP

, .

V. TARCIE.

Tarcie jest zjawiskiem polegającym na powstawaniu sił reakcji na powierzchni kontaktu dwóch ciał. Siły tarcia przeciwstawiająsię potencjalnemu ruchowi. Przyczyną tarcia, przede wszystkim, jest chropowatość powierzchni.

NTT g μ=≤ ρtgNTg =

ρ - maksymalny kąt tarcia

Warunek spoczynku: ρϕ ≤

gT

- siła tarciaT

- tarcie rozwinięte

Gr

PrN

r

Tr

Rs

ϕ

ρ ρ

x

y

stożektarcia

Zależność między siłą tarcia i siłą czynną

P

T

tarcie ślizgowe kinetyczne

tarcie ślizgowe statyczne

tarcie rozwinięte,graniczne

ruchspoczynek

TARCIE TOCZNE.

Toczenie walca wywoła minimalna siła P.

Brak odkształcenia podłoża i walca

TPiGN ==

Warunek braku poślizgu

GNPT μμ =≤=

Odkształcalne podłoże

,TPiGN == NfhP ≤

GNhfNTP μμ =⟨==

μ⟨hf

f - współczynnik oporu toczenia

Tarcie toczne jest bardziej korzystne, niż posuwiste.

Warunek toczenia walca bez poślizgu:

μ<<hf

h

Równania równowagi:

Moment tarcia w łożysku poprzecznym

Moment tarcia:

RGdrrRG

rrdrRG

rdrrdRGrdTM

R

R

R

AT

⋅==

⋅=

⋅=⋅=

∫

∫

∫ ∫∫∫

μμ

ππ

μ

ϕπ

μπ

322

2

0

22

02

0

2

02

TARCIE CIĘGNA O KRĄŻEK

( )

( ) .02

sin2

sin

,02

cos2

cos

=−+−

=+++−

ϕϕ

ϕμϕ

dSddSSdN

dSdNddSS

ϕμ SddS ⋅=

równowaga w kierunku x:

dNdS μ=⇒

równowaga w kierunku y:

ϕSddN =⇒

porównując równania równowagi otrzymujemy równanie różniczkowe:

Rozdzielając zmienne w równaniu różniczkowym mamy:

.ϕμdS

dS=

Całkując powyższe równanie otrzymujemy wzór na siłęnapięcia w linie:

CS lnln += μϕ ( ).exp μϕ⋅= CS

Stałą C wyznaczamy z warunku brzegowego:

,0=ϕ GS = .GC =

Napięcie w dowolnym punkcie cięgna wynosi:

( ).exp μϕ⋅= GS

μπ

μϕ

emg

eSSP

⋅=

⋅== 12

Przykład. Siła P potrzebna do podniesienia ciężaru o masie m

VI. WIADOMOŚCI WSTĘPNE Z WYTRZYMAŁOŚCI

MATERIAŁÓW.

1. Cele nauki o wytrzymałości materiałów.2. Przedmiot badań wytrzymałości materiałów. 3. Elementy konstrukcyjne.4. Pojęcia podstawowe.5. Zasady wytrzymałości materiałów:

•Zasada de Saint-Venanta,•Zasada superpozycji.

6. Rodzaje naprężeń:•Rozciąganie i ściskanie,•Ścinanie,•Skręcanie,•Zginanie,•Stany naprężeń.

7. Podstawy projektowania.

Ad-1. Cele nauki o wytrzymałości materiałów

Badanie zachowania się materiałów i konstrukcji z nich wykonanych pod wpływem działających na nie różnych obciążeń zewnętrznych. Uwzględnienie ich zdolności do odkształceń. Poznanie odpowiednich metod obliczeniowych.

Przedmiotem badań wytrzymałości materiałów są modele ciałstałych, zbliżonych własnościami do ciał rzeczywistych. Modele ciał stosowane w wytrzymałości materiałów :•ciała jednorodne - własności fizyczne i struktura niezmienna w objętości ciała,

•ciała izotropowe - własności fizyczne ciał nie zależą od kierunku,• ciała anizotropowe – własności fizyczne ciałzależą od kierunku.

Ad-2. Przedmiot badań wytrzymałości materiałów

Ad-3. Podstawowe elementy konstrukcyjne badanych ciał:

• blok - wszystkie wymiary ciała są tego samego rzędu,• płyta - dwa wymiary przeważają nad trzecim,• pręt (belka, słup, oś, wał, cięgno) – jeden wymiar przeważanad pozostałymi.

(Oś pręta: miejsce geometryczne środków ciężkości przekrojów poprzecznych)

1Pr G

r

ARr

BRr

2Prq

A B

- obciążenia zewnętrzne

Ad-4. Pojęcia podstawowe

- obciążenia wewnętrzne

naprężenie styczne

naprężenie normalne

p

naprężenie

ατ cosp= ασ sinp=

Ad-5. Główne zasady wytrzymałości materiałów

• Zasada de Saint-Venanta

Jeśli na pewien niewielki obszar ciała sprężystego w równowadze działa ją statycznie równoważne obciążenia (siły skupione), to w odległości od obszaru przewyższającej wyraźnie jego rozmiary, powstają praktycznie jednakowe stany naprężenia i odkształcenia.

P

naprężenia skupione naprężenia równomierne

l

• Zasada superpozycji:

Skutek w określonym miejscu i kierunku, wywołany przez zespół przyczyn działających równocześnie, można uważać za sumę algebraiczną skutków wywołanych w tym miejscu i kierunku przez każdą przyczynę z osobna.

• rozciąganie i ściskanie

P

płaszczyzna przecięcia

P P

P

siły wewnętrzne

AP

±=σ

Na pręt działają dwie siły równe, przeciwnie skierowanei działające wzdłuż osi pręta.

Ad-6. Rodzaje naprężeń

• ścinanie technologiczne:Pod wpływem szczególnego obciążenia zewnętrznego elementu konstrukcji mogą powstawać naprężenia styczne.

AP

AT

2==τT

P

P

Tpowierzchnia ścinana

P

τ

τ

TP 2=

• skręcanie:

PP

PP

l

PP

0maxτ

maxτ

Płaszczyznatnąca

Powodowane jest działaniem dwóch par sił przyłożonych do pręta w dwóch różnych płaszczyznach prostopadłych do jego osi. Moment taki nazywamy skręcającym.

lPM s ⋅=

• zginanie:P P

P P

l l

płaszczyzna przecięcia

P

maxσ

P

l

płaszczyzna przecięcia

maxσ−

(rozciąganie)

(ściskanie)

PlM g =

Na belkę działają dwie pary sił w płaszczyźnie belki, w przekroju belki powstają zmienne naprężenia normalne.

• stany naprężeń:

jednoosiowy płaski przestrzenny

Projektowanie konstrukcji oparte jest na spełnieniu dwóchgłównych warunków: wytrzymałości i sztywności.

Ad-7. Podstawy projektowania

Stanobciążenia

Naprężenia dopuszczalne

Warunki sztywności

rozciąganie lub ściskanieścinanie

lub skręcanie

zginanie

crcr k ,, ≤σ dopεε ≤

stk ,≤τ dopϕϕ ≤

gg k≤σ dopfy ≤

gcr στσ ;;,

y;; ϕε

- naprężenia: rozciągające (ściskające), ścinającezginające,

- odkształcenie rozciągające (ściskające) i skręcające,ugięcie

VII. ROZCIĄGANIE I ŚCISKANIE PRĘTÓW.

Prawo Hooke’a. Odkształcenie przy rozciąganiu

i ściskaniu.

Odkształcenie pręta przy rozciąganiu.

Siły są równoległe do osi pręta.

P P

ll1

d d1

- wydłużenie bezwzględne pręta:

lll −=Δ 1l

llll −=

Δ= 1ε

- wydłużenie względne pręta:

- zmiana wymiarów poprzecznych:

ddd

dd

pop−

=Δ

= 1ε νεεεε

ν −== poppop lub

- liczba Poissona:

P2

Δll

P2Δl

A

A

P

P2A

A

Δl/2

Δl

l

l

P

PA

A

2l 2Δl

Δl

Prawo Hooke’a:

EAPll =Δ

Eσε =⇒

AP

=σ;llΔ

=ε - wydłużenie względne i naprężenie normalne

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

2mNE - moduł sprężystości przy rozciąganiu (moduł Younga )

- przykłady rozciągania pręta

Próba rozciągania.

Maszyna wytrzymałościowa INSTRON

l0d0

d1

l1

Próbka rozciągana:

Próbka po rozciągnięciu: szyjka

AB

C

D

E

HσSσ

rm R=σ

σ

ε

plσuσ

0

Wykres rozciągania pręta.

1. Granica proporcjonalności ‐ ( 0A-odcinek linii prostej)Hσ2. Granica sprężystości - sσ ( AB, po zdjęciu obciążenia próbka

nie ma trwałych odkształceń. Energia nagromadzona w ciele podczas odkształcenia (praca odkształcenia ) zostaje w całości zwrócona)

3. Fizyczna (wyraźna ) granica plastyczności - plσ (BC, przy tymnaprężeniu następuje nagłe wydłużenie próbki:

Punkt C jest początkiem płynięcia plastycznego ( próbka wydłuża się bez wzrostu siły odkształcającej). Dla materiałów kruchych ten punkt ustala się umownie %2,0=plσ

4. Doraźna wytrzymałość na rozciąganie 0max APRr =wielkość ta jest potrzebna do obliczenia naprężeńdopuszczalnych.

0APplpl =σ

5. Rzeczywiste naprężenie rozrywające -

6. Wydłużenie plastyczne po zerwaniu -

7. Przewężenie przekroju poprzecznego

%1000

0 ⋅−A

AA u %10012

0

⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ddr

uA

rd

- pole najmniejszego przekroju po zerwaniu,

- najmniejsza średnica próbki w miejscu zerwania.

1APuu =σ

( ) %1000 ⋅− lll

⇒

Praca odkształcenia przy rozciąganiu

Praca odkształcenia określa odporność materiału na uderzenie.

A

lΔ0

PAP

AlΔ

( )

AA

A

A

lP

ldPL

Δ⋅=

Δ⋅= ∫−

21

00

Zakres stosowalnościprawa Hooke’a

Praca odkształcenia sprężystego będzie zwrócona po odciążeniu pręta.

VIII. ANALIZA STANU NAPRĘŻEŃ.

1. Jednowymiarowy stan naprężenia.2. Dwuwymiarowy stan naprężenia.3. Trójwymiarowy stan naprężenia.4. Uogólnione prawo Hooke’a. 5. Odkształcenia postaciowe a

naprężenie styczne.

Ad.-1. Jednowymiarowy stan naprężenia

xσ

P

ασ

ατα

α

A

x

P

α0

0

6π 3π

2.0

4.0

6.0

8.0

0.1

xστα

xσσα

xσσα

xστα

2π

22sincos

0coscos

sincos

0sincos

coscos

2 αστασσ

αα

ταα

σ

αα

ταα

σσ

αα

αα

αα

xx

y

xx

i

AAP

AAAP

==⇒

=−=

=++−=

∑

∑

2; πααα +=′

- naprężenia w pierwszym przekroju pręta (l) sąidentyczne jak w wyżej rozpatrywanym przypadku,

- naprężenia w drugim przekroju (k ) wynoszą

22sin

22

2sin

22sin

,sin2

coscos 222

ασ

πασαστ

ασπασασσα

xxx

xxx

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=′

=′

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=′=′

Naprężenia styczne w dwóch wzajemnie prostopadłych przekrojach są sobie równe co do modułu.

x xσ

α

'α

xσ

l

k

Pręt jest przekrojony dwiema płaszczyznami ( l ) i ( k ), obróconymi względem siebie o kąt :2π

Ad -2. Dwuwymiarowy stan naprężenia

Naprężenia w przekroju ( k ) :

Przy obciążeniu płytki naprężeniami xσw tym przekroju naprężenia normalnei styczne są równe:

22sin

,cos2 αστασσ x

x =′=′

Przy obciążeni płytki naprężeniami yσw tym samym przekroju naprężenia normalnei styczne są równe:

22sin

,sin 2 αστασσ y

y −=′′=′′

α

α′

r

x

y

xσ

xσ

yσyσ

l

k

Całkowite naprężenia normalne:

ασασσσσ 22 sincos yx +=′′+′=

całkowite naprężenia styczne:

ασσασασ

τττ 2sin22

2sin2

2sin yxyx −=−=′′+′=

Wartości ekstremalne naprężeń:- dla

12sin4

3;12sin4 −=⇒==⇒= απααπα

2lub

2 maxmaxyxyx σσ

τσσ

τ−

−=−

=

Przekroje, w których naprężenia normalne będą osiągały wartości ekstremalne:

( ).

20202

02sin

sincos2sincos2

πααπαα

ασσ

αασαασασ

==⇒==

⇒=−=

+−=

alboalbo

dd

xy

yx

Naprężenia normalne są największe lub najmniejsze w przekrojach równoległych i prostopadłych do kierunków działania naprężeń . yx i σσ

Koło Mohra

A C E B

D

α2

τασ

yσ

xσ

ατ

σ

,2

yxACσσ −

=

,2sin2

2sin ασσ

αταyxCD

−==

ασασσα22 sincos yxCEACOA +=++=

Koło Mohra służy do określania naprężeń normalnych w dowolnym ukośnym przekroju nachylonym do płaszczyzn głównych.

Ad.-3 Trójwymiarowy stan naprężeń

3σ

1σ

1σ

2σ 2σ

3σ

Ad.-4. Uogólnione prawo Hooke’a . Związek między odkształceniami i naprężeniami wielokierunkowymi.

Korzystając z zasady superpozycji możemy napisać:- wydłużenie w kierunku x:

( )[ ]zyxyyx

x EEEEσσνσ

σν

σν

σε +−=−−=

1

( )[ ]zxyzxy

y EEEEσσνσ

σν

σν

σε +−=−−=

1

( )[ ]yxzyxz

z EEEEσσνσ

σν

σν

σε +−=−−=

1

- wydłużenie w kierunku y:

- wydłużenie w kierunku z:

Względny przyrost objętości:

( )( )( ) 11110

0 −+++=−

zyxVVV

εεε

Po odrzuceniu małych wyższego rzędu mamy:

( )zyxzyx EVVV

σσσνεεε ++−

=++=− 21

0

0

Jeżeli wszystkie naprężenia są równe:

σν 321

0

0

EVVV −

=−

Współczynnik sprężystości objętościowej (współczynnik ściśliwości sprężystej):

( ) 00 213 VVKE

VVK Δ

=⇒−

=Δ

= σν

σ

( )5.0=ν ∞→KDla materiału nieściśliwego współczynnik ściśliwości

Ad.-5 Odkształcenia postaciowe a naprężenie styczne.Czyste ścinanie

dbac

Jaka występuje zależność między odkształceniem kątowym a skróceniemwzględnym przekątnej lub wydłużeniem względnym przekątnej .

Naprężenia w przekroju ab przy czystymścinaniu są równe:

.02sin2

,,02

≠−

=

−==+

=

ασσ

τ

σσσσ

σ

yx

yxyx

bd

xσx

τ

ττ

τ

xσ

yσyσ

y4π

c

a

( )νσε+==′ 1

22 Eaa xx ''daad =

21

2==

acad22

12

''' ==adpa

( )νσ+== 1

222''

Eaaea x

( ) ( )νσνσγ+=

+== 1

22221

''

2 EEpaea xx

( ) ( )ντνσ

γ +=+= 1212

EEx

Wydłużenie połowy przekątneji połowy boku kwadratu:

Kąt odkształcenia postaciowego:

Długość odcinka ea'

(*)

dγπ +2

e

b

2γ

c

0

p

τ

τ τ

τ

2γ

c ′

a

a ′

d ′ b′

τγ

( )ν+=12EG

Prawo Hooke’a dla czystego ścinania:

Zależność między modułem Younga i współczynnikiemsprężystości postaciowej wynika ze wzoru

.

W stanie czystego ścinania wprowadzamy pojęcie współczynnika sprężystości postaciowej , który nazywany jest modułemGKirchhoffa. Współczynnik ten jest równy stosunkowi sprężystego odkształcenia postaciowego do naprężenia stycznego .

Gτγ =

(*)

IX. SKRĘCANIE WAŁÓW.

Kątem skręcenia  wału     nazywamy kąt,  o jaki obrócą sięwzględem siebie przekroje  prostopadłe do osi wału i oddalone o l, do których przyłożone sąmomenty skręcające        .

x d x

l

SMSM γ

ϕ

Skręcenie wału powstaje pod wpływem działania dwóch par sił o przeciwnych zwrotach , znajdujących się w dwóch różnych płaszczyznach prostopadłych do osi wału i oddalonych od siebie o l.

ϕModel skręcania wału

sM

Założenia modelowe:

• oś wału pozostaje linią prostą;• tworzące, początkowo równoległe do osi wału, po skręceniu

przyjmują kształt linii śrubowej nachylonej pod kątem ;• prostokąty przekształcają się w równoległoboki;• okręgi na powierzchni wału zachowują swój kształt i nie zmieniają

swojej średnicy, przekrój czołowy dalej jest płaski;• promienie przekrojów czołowych po odkształceniu wału dalej są

płaskie;• przekrój utwierdzony jest nieruchomy, pozostałe przekroje

obracają się dookoła osi wału, kąt obrotu względem siebiedwóch dowolnych przekrojów jest wprost proporcjonalny do odległości między nimi;

• odległości pomiędzy przekrojami jest stała.

γ

Związek między odkształceniami i naprężeniami wału:d x

rϕd

ϕd

ργρ

o 1o

d

a

c′

c

b

b′

γ

γ

Porównując długość łuku bb’mamy:

dxdrrddx ϕγϕγ =→=

podobnie dla mniejszego promienia ρ:

dxdddx ppϕργϕργ =→=

Zgodnie z prawem Hooke’a naprężenia styczne określają wzory:

maxτ

r

o

.ρ rdA

dAρτ

o

dxdGrG ϕγτ ==max dx

dGG ϕργτ ρρ ==

Suma elementarnych momentów stycznych wynosi:

0

2

JdxdG

dAdxdGdA

dxdGdAM

AAAs

ϕ

ρϕρϕρρτ ρ

=

=== ∫∫∫

, gdzie jest biegunowymmomentem bezwładności.

0J

Przekształcając dalej otrzymujemy wzór na kąt skręcenia na długości l:

00 00 GJlM

GJdxM

GJM

dxd s

lss ==→= ∫ϕϕ

Naprężenia styczne w zależności od momentu skręcającego określają wzory :

rJW 0

0 =

Wprowadzając wskaźnik wytrzymałości przekroju przy skręcaniu:

0max

0 JrMi

JM ss == τρτ ρ

Warunki wytrzymałościowe ze względu na naprężenia dopuszczalne i sztywność są odpowiednio równe:

gdzie jest dopuszczalnym naprężeniem na ścinanie,a dopuszczalnym kątem skręcenia.

,00

max dops

ts

GJlMik

WM ϕϕτ ≤=≤=

dopϕtk

Skręcanie wałów obrotowych

Wał obrotowy o promieniu r przenosi moment M i moc N .

Strumień pracy L (moc ) przenoszony przez wał jest równy:

dtdLLN == &

Średnia moc:

602Pr2 nMM

tM

ttLN πωϕϕ

=====

gdzie n oznacza ilość obrotów na minutę.

.

,

.

Sprężyny

P

P P

PR

RP

P′

P ′′

r

0

RPMS ⋅=

oś sp

ręży

ny

r

maxτ′τ ′′

+

Superpozycja naprężeń stycznych

→==′′==′23

0max

2r

PAPi

rPR

WM s

πτ

πτ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=′′+′= 12

2max rR

rP

πτττ

X. ZGINANIE PRĘTÓW (BELEK) PROSTYCH.

Moment zginający i siła poprzeczna:

0>gM

0<gM 0<T

0>T

Wykresy momentów zginających i sił poprzecznych:

A B

P

AR BR

x

1x

2xa

l

_

+

+

x

xAR

BR

P

gM

T

maxgM

ax ≤≤ 10przedział :

( ) ( )111 x

lalPxRxM A

−==

( ) ( )l

alPRxT A−

==1

przedział:  lxa ≤≤ 2

( ) ( ) ( )2222 xll

PaaxPxRxM A −=−−=

( )l

PaPRxT A −=−=2

Zależności różniczkowe pomiędzy obciążeniem zewnętrznym, siłąpoprzeczną i momentem zginającym.

A B x

( )xqq =

x d x

Zależności różniczkowe pomiędzy obciążeniem zewnętrznym, siłą poprzeczną i momentem zginającym.

d x

x

q d x

0

( ) d MxM +( )xM

( )xT( ) dTxT +

( ) ( ) ( )( ) 0=+−−=∑ xdTxTqdxxTX

⇒( ) ( )xq

dxxdT

−=

( ) ( )

( ) ( )( ) 02

=+−

−+=∑xdMxM

dxqdxxMdxxTM o

⇒ ( ) ( )xTdx

xdM=

( ) ( ) ( )xqdx

xdTdx

xMd−==2

2

⇒

Naprężenia i odkształcenia przy czystym zginaniu,

0==∑ ∫ dAPA

xx σ 00 =−=∑ ∫ dAyMMA

xz σ, .

oMz

yy z

dA

dAxσ

x x

σ−

σ+

( ) ( ) αρ dydsdds +=+

Zmiana długości włókna elementu:

Wydłużenie włókna wynosi:

( ) ( )( ) ( )ααρ

αρydd

dydsdsddsdsd=−

+=−+=

Wydłużenie względne:

( )ραρ

αε yd

yddsdsd

===

Naprężenie określa prawo Hooke’a:EyE

ρεσ ==

.

a b

cd

y

y

zx

ds

b ′a′

d ′c′

ds

( )dsdds+

αd

M

ρ

0

σ−

σ+

y

Mściskanie

rozciąganie

warstwaobojętna

Moment zginający w przekroju belki jest równy:

zA

g IEdAyEMMρρ

=== ∫ 20

Wzór na krzywiznę zgiętej osi belki:

z

g

EIM

=ρ1

i naprężenie:

yI

M

z

g=σ

Wzór powyższy określa naprężenie w przekroju belki w odległości od osi obojętnej w zależności od zadanegoobciążenia i momentu bezwładności przekroju poprzecznego belki.

ygM zI

Wskaźnik wytrzymałości na zginanie :

maxyIW z

z = gz

g kWM

≤=maxσ

Wskaźniki wytrzymałościowe dla różnych przekrojów:

32

3dWzπ

=

- pierścienia:

DdDWz

44

32−

=π

- prostokąta :

6

2bhWz =

.

,

‐ koła:

.

Linia ugięcia belki

Wielkość krzywizny określa się w geometrii różniczkowej równaniem:

2

2

23

2

2

2

1

1dx

yd

dxdy

dxyd

±≈

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

±=ρ

Różniczkowe równanie uproszczone linii ugięcia ma postać:

,2

2

z

g

EIM

dxyd

±=

0>gM 0<gM02

2

<dx

yd02

2

>dx

yd, ,

xx

y y

0 0

Dodatnim wartościom momentu zginającego odpowiadająwartość ujemna drugiej pochodnej linii ugięcia

z

g

EIM

dxyd=2

2

Druga pochodna linii ugięcia:

Dwukrotne scałkowanie powyższego równania przyjmuje postacie:

11 CdxM

EIdxdy

gz

+= ∫

[ ] 211 CxCdxdxM

EIy g

z

++= ∫ ∫Stałe całkowania wylicza się z warunków brzegowych (zgodności) .

Środek  krzywizny  jest umieszczony w kierunku dodatnich   y

Przykład:P

ARx

x

l

x~

PlE Iy z2

~

1

PxxRM Ag ==

1

2

1 21 C

EIPxCdxPx

EIdxdy

zz

+−=+= ∫

21

3

6CxC

EIPxy

z

++=

Korzystając z warunków brzegowych otrzymujemy stałe: 0,0 21 == CC

Linia ugięcia belki w bezwymiarowej postaci ma postać: 6~~ 32 xPlEIy z =

.

z

g

EIM

dxyd=2

2

lxxlyy == ~,~- wielkości bezwymiarowe:

XI. WYBOCZENIEPRĘTÓW.

Wzór Eulerax

y

y

x

l

P

EJM

=ρ1

( )[ ]32

22

1

1

dxdy

dxyd

+±=

ρ

2

2

dxyd

EIM

=

( ) yPxM kr−= EIyP

dxyd

dxyd

EIM kr−=⇒= 2

2

2

2

Zależność krzywizny osi pręta od momentu zginającego:

krzywiznę osi pręta określa równanie:

Przybliżone równanie osi pręta:

Równanie różniczkowe

022

2

=+ ykdx

ydEIP

k kr=

będzie rozwiązane przy warunkach brzegowych:

0010 =⇒= yxdla020 =⇒= ylxdla

gdzie

dla

kxCkxCy cossin 21 +=

02 =⇒C0102 π⋅=⇒ nkl

2

22

lEInPkr

π=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= x

lCy πsin11=n

Rozwiązanie równania różniczkowego

2min

22

lEIn

Pkrπ

=

Wzór Eulera na siłę krytyczną

‐ nietrywialne rozwiązanie 

Naprężenie w prętach wybaczanych

APkr

kr =σ

wkAP≤=σ

wk

wkrw nk σ=

- naprężenie dopuszczalne przy wyboczeniu

wn - współczynnik bezpieczeństwa przy wyboczeniu

Naprężenie krytyczne

sprawdzenie na wyboczenie (stateczność)

Ramię bezwładności i smukłość pręta określają równania:

AIiiAI =⇒= 2

ils =

2

2

2

2

2

22

sE

il

El

iEkr

πππσ =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

==

i  

a naprężenia krytyczne zależność

.  

XII. ELEMENTY KINEMATYKI.

ZARYS KINEMATYKI PUNKTU MATERIALNEGO.

Przedmiotem kinematyki jest geometria ruchu (sam ruch bez analizy przyczyn jego powstania) punktu materialnego i układu punktów materialnych.

Położenie punktu materialnego

- droga i wektor położenia punktu materialnego:

( ) ( )trrtss rr== ;

- prędkość i przyśpieszenie punktu materialnego:

zyx vkvjvizkyjxirdtrdv

rrr&r

&r

&r&r

rr

++=++===

zyx akajaizkyjxirdt

rdvarrr

&&r

&&r

&&r&&r

r&rr

++=++==== 2

2

Płaszczyzna najbardziej „dopasowana” do rozpatrywanego toru punktu materialnego.

Płaszczyzna ściśle styczna

br

tr

nr

binormalna

styczna

normalna gło

wna

płaszczyznastyczna

płaszczyznanormalna

ρ

N

płaszczyznaprostująca

tor

Układ naturalny

tor

0

z

y

xir j

r

kr

br

tr

nrN

płaszczyzna ściśle styczna

normalna główna

Przyśpieszenie normalne i styczne

ta

na

- przyśpieszenie styczne,

- przyśpieszenie normalne

ruch punktu N w płaszczyźnie ściśle stycznej

N

N’

0

C

ϕd

torNrr

Nr ′r

vr

1vr

arnar

tar

ρ

n

ϕρddsNN ==′

,vdtdvadvdta tt &==⇒=

ρ

2vnvtanata ntr

&rrrr

+=+=

,2

ρρρρvvv

dtdsvadsvdta nn ===⇒=

hodograf prędkości

C’ ϕdvr

1vr

P Q

dtatr

dtanr

P ,dtar

Z analizy hodografu prędkościwynika:

,, dtaPQdtaPQ nt =′= ,dvPQ =

,

sin

ρ

ϕϕϕdsv

vddPCdPCPQ

=

=′′=′′=′

Przyśpieszenie punktu N jest równe:

Ruch złożony punktu.

Przyśpieszenie punktu w ruchu złożonym

ruch bezwzględny punktu P:

11100 zkyjxirrrrrrrrrr

+++=+= ρ

prędkość punktu P:

( ),

1

1

1

0

1110

111

11111100

wuwv

wzkyjxiv

wziyixiv

zkyjxizkyjxirrrv

O

rrrrrr

rrrrrr

rrrrrrrr&r

&r

&r&r&r&r&r&r&r&rr

+=+×+=

+++×+=

+×+×+×+=

++++++=+==

ρω

ω

ωωω

ρ

0

z

y

xir j

r

kr

P

1O

ir jr

kr

1z

1y

1x

ωr

0rrrr

ρr

Wektory jednostkowe obracają się

( )( )

( )10

111111

111

naww

zkyjxizkyjxi

zkyjxidtd

rrrvrrrr

&r&r&rr&r

&r

&rr

rrrr&rr

+×=××+×=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++×+++×=

++×=×

ωρωωω

ωω

ωρω

ρερωrrr&rr

×=×=1tOa

( )ρωωrrrr

××=10na

Przyśpieszenie:

wvva &r&rrr&r&r&rr+×+×+== ρωρω

10przyśpieszenie styczne:

przyśpieszenie normalne:

( )( )

wawkjiw

kjidtdw

rrr&&

r&&

r&&

rrr

&r

&r

&r&r

+×=+++×=

++=

ωζηξω

ζηξ

przyśpieszenie względne

przyśpieszenie względne:

Cwu aaaa rrrr++=

przyśpieszenie unoszenia:

111 000 ntu aava rr&rr++=

przyśpieszenie względne:

war

przyśpieszenie Coriolisa:

( )waCrrr

×= ω2

Przyśpieszenie punktu P

Przykłady z ruchu złożonego:

Wzdłuż południka kuli, obracającej się z prędkością kątową , porusza się punkt materialny P ze stałą prędkością

ωr

R

r

0 ϕ

PCar

wr

uar

war

ωr

P

0

R

ϕ

wr

war

uarr

ωr

ϕω

ϕω

sin2

,cos, 22

wa

RaRwa

c

uw

=

==

.wr

( ) ( ) ( )

( )ϕωϕω

ωϕϕωϕω

2222

4224

22

222

22

sin12cos

2coscos2cos

+++=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=++

wRwR

wRwR

RwRaaa Cwu

rrr

uar

war

ϕπ −

ϕ

war

Car

uar

ϕCwu aaa rrr

++

wu aarr

+

Obliczenie przyśpieszenia wypadkowego punktu P:

Kinematyka ciała sztywnego

ABAB rrr rrr−=

( ) 022 =⋅= ABABAB rrrdtd &rrr

BABAABABAB vrvrrr rrrr&rr⋅=⋅⇒=⋅ 0

βαβα coscoscoscos BABABAAB vvvrvr =⇒=⇒

Prędkości punktów ciała sztywnego są ze sobą związane.

Ruch obrotowy ciała sztywnego

ϕεε

ϕωω

&&r

&r

==

==( )tϕϕ = - kąt obrotu

- przyśpieszenie kątowe

- prędkość kątowa

Ciało sztywne w ruchu obrotowym ma jeden stopień swobody.

ϕϕϕω &r

&r

&

rrr

rrr xjyizyx

kjirv +−==×= 00

naavrva rrrrrr&rr+=×+×== τωε

Prędkość i przyśpieszenie w ruchu obrotowym

Ruch płaski ciała sztywnego

W ruchu płaskim punkty ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do płaszczyzny kierującej.

środek obrotu chwilowego

BCv

ACv BA

C ==ω

Chwilowa prędkość kątowa odcinka AB :

rvrvv AABABrrrrrrr

×+=×+= ωω

prędkość punktu B:

przyśpieszenie punktu B:

( )

( ) 22 ωεωωωε

ωωεωω

rrarrra

rradtrdr

dtd

dtvda

AA

AA

B

rrrrrrrrrrr

rrrrrrr

rrrr

r

−×+=−⋅⋅+×+=

××+×+=×+×+=

Prędkość i przyśpieszenie w ruch płaskim.

Przykład ruchu płaskiego (mechanizm korbowy):

ωϕ

r r

x

y

O BBv

AAv

kω

ϕ

ϕ

nBAa

nAa

tAa

nBAa

tBAa

Ba

nAa

tAa

Av

BAv

⇒−=⋅−==⇒= ϕωϕϕϕ sin2sin2cos2 rdtdrdtdxvrx BBB

( ) ( )ϕεϕωϕωϕω sincos2sincos2 22 +−=⋅+−== rdtdrdtdva BB

Rozwiązanie analityczne:

( ) ( )

kABA

AAB

BAAB

rvv

rvvv

vvv

ωωω

ϕωϕϕϕ

ϕπϕπϕ

=⇒==

===

⇒−

=−

=

,sin2sin2cos

2sin2sin2sin2sin

AvBAv

Bv

ϕ2

ϕπ −2ϕπ −2

,,,

ABkkBA

ABkABAAB

rborvrvvvv

rr

rrrrrr

⊥=×+=+=

ωωω

Wyznaczenie prędkości kątowej korbowodu:

trójkąt prędkości

Z twierdzenia sinusów dla trójkąta prędkości wynika:

.,,

,,,

,

2

2

raraaaa

raraaaa

aaa

ktBAk

nBA

tBA

nBABA

tA

nA

tA

nAA

BAAB

εω

εω

==+=

==+=

+=

rrr

rrr

rrr

Przyśpieszenie punktu B mechanizmu korbowego:

Składowa styczna przyśpieszenia względnego jest nieznana, znany jest natomiast kierunek przyśpieszenia punktu B. Wykorzystując te informacje i rzutując składowe przyśpieszenia na kierunek y i x mamy:

( ).cossin2

cossincossin

cossincossin

,cossincossin

sincossincos

2

22

22

ϕωϕε

ϕωϕεϕωϕε

ϕϕϕϕ

ϕεϕωϕεϕω

ϕϕϕϕ

+−=

−−−−=

−−−−=

=−+=

−+=

r

rrrr

aaaaa

rrrr

aaaa

nA

tA

nBA

tBAB

nA

tA

nBA

tBA

XIII. DYNAMIKA PUNKTU.

Równanie różniczkowe ruchu punktu materialnego

( )trrPrm ,, r&rr

&&r =

Ruch punktu materialnego opisuje równanie Newtona:

przy danych warunkach początkowych:

( ) ( ) .0,0 00 vrrr r&rrr==

Zadania główne z dynamiki punktu materialnego można podzielić na dwa rodzaje:1.Zadania proste sprowadzają się do wyznaczenia siły, wywołującej ruch punktu materialnego, na podstawie równania ruchu.2.Zadania odwrotne sprowadza się do wyznaczenia równania ruchu, jeżeli znamy masę punktu i siłę

Szczególne przypadki ruchu, w zależności od siły wywołującej ruch:

1.Siła jest stała:

2.Siła zależy od czasu:

3.Siła zależy od prędkości:

4. Siła zależy od położenia:

constP =r

)(tPPrr

=

)(rPP &rrr

=

Pr

)(rPP rrr=

Twierdzenie o pędzie i popędzie

Ogólny zapis drugiej zasady Newtona:

( ) Pvmdtd rr

=

Zmiana pędu ciała jest równa popędowi przekazywanemu temu ciału.

Jeżeli na układ ciał nie działają siły zewnętrzne to suma pędów tych ciałjest stała.

constvm i

n

ii =∑

=

r

1

XIII. ZASAD RÓWNOWAŻNOŚCI ENERGII KINETYCZNEJ I

PRACY.

Praca i pole sił

Praca mechaniczna jest iloczynem skalarnym siły i przesunięcia.

( )( )ϕ

ϕcos

cosdrP

drPrdPdL=

==rr

( )∫

∫++=

=

AB

AB

ZdzYdyXdx

dLL

Pr

A

Brr

m

z

xy0

ϕ

W potencjalnym polu sił praca jest równa różnicy potencjałów.

( ) mLVVVmL BAAB −=−= ;

W przypadku obecności więzów praca jest równa:

m

ϕ.

Rr

Tr

Nr

sdr TdsRds

RdssdRdL

−=−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +==

ϕ

ϕπ

sin2

cosrr

Pochodna pracy, moc (siły) określona jest wzorem:

( ) ,1 vPrdPdtdt

dLN rrrr===

gdy siła     jest stała.    Pr

Zasada równoważności energii kinetycznej i pracy.

.22

21

2

1

22

∫ ∫=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇒=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇒

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⇒=⇒=

t

t AB

rdPdtmvdtd

dtrdPmv

dtd

dtrdPvv

dtdmvP

dtvdvmP

dtvdm

rrrr

rrrrrrr

rrr

LEE =− 12

Zasada równoważności energii kinetycznej i pracy:

,22

21

22 ∫=−

AB

rdPmvmv rrPo scałkowaniu otrzymano:

gdzie 2

2mvE = wyraża energię kinetyczną.

Zasada zachowania energii mechanicznej

.2211

2112

constVEVEVE

VVEE

=+⇒+=+⇒

−=−

W potencjalnym polu sił suma energii kinetycznej i potencjalnej (energia mechaniczna) punktu materialnego jest stała.

Praca i moc w ruchu obrotowym

Pr

A

rr

m

0

ϕd

l

Cvr

0Mv

γ

γcos0MMl

rv=

ωr

( )( ) ( )

ωγωω

ωω

lMMM

PrrP

vPrdPdtdt

dLN

==⋅=

×⋅=×⋅=

===

cos

1

00rrrr

rrrrrr

rrrr

XIV. DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ.

Ruch obrotowy bryły dookoła osi stałej

0

z

y

x

ωr rrεr vr

lr.

P

Mr

l

Zmianę pędu punktu P opisuje równanie:

,lrv ω=

MI =ε

( ) ,2PlP Mrm

dtd

=ω

( ) ,2 Mdmrdtd

l =∫ω

( ) ,MIdtd

=ω

∫= dmrI l2

Zmianę pędu całej bryły:

‐masowy moment bezwładności bryły

Ruch płaski ciała sztywnego

CC

CyC

CxC

MI

PymPxm

=

==

ϕ&&

&&

&&

Ruch płaski ciała sztywnego opisują równania:

Cϕy

x

Energia  kinetyczna  ciała  (suma energii kinetycznej ruchu postępowego środka masy i energii kinetycznej ruchu obrotowego dookoła osi przechodzącej przez środek masy):

22

21

21 ωCCk ImvE +=

Cϕ

xA

f

NT

Pr

m

Przykład: koło o masie m i promieniu r toczy się bez poślizgu po poziomej płaszczyźnie pod wpływem siły P :

Równania ruchu:

NfTrINmgTPxm

C

C

−=−=−=

ϕ&&

&&

0

gdzie : axxrmrI CCC === &&&&&& ,,21 2 ϕ

XV. DRGANIA PUNKTU MATERIALNEGO.

stkS λ⋅=0

kmgmgk stst =⇒=⋅ λλ

( )

0

,

,

20 =+

=+−=

−=

xx

kxxkmgxm

Smgxm

st

ω

λ

&&

&&

&& ( )stxkS λ+⋅=

mk

=02ω

- reakcja statyczna sprężyny

Drgania swobodne:

tCtCx 0201 sincos ωω +=

( )00cos ϕω += tAx

1

20

22

210201 ,,sin,cos

CCtgCCAACAC =+=== ϕϕϕ

gkmT stλππ

ωπ 222

0

===

000 xixt &⇒=

tCtCx 0201 sincos ωω +=

tCtCx 002001 cossin ωωωω +−=&0

0201 ,

ωx

CxC&

==

Warunki początkowe:

Przebieg drgań

Drgania swobodne tłumione

02

,2,

,

20

20

=++

==

−−=

xxnx

mcn

mk

xckxxm

ω

ω

&&&

&&&

rtex =

( ) 02 20

2 =++ ωnrrert

02 20

2 =++ ωnrr

2202,1 ninr −±−= ω

równanie charakterystyczne:

0ω⟩n

( )[ ] ( )[ ]tnnCtnnCx 20

22

20

21 expexp ωω −−−+−+−=

0ω=n

( )tCx 0exp ω−⋅=

0ω⟨n

( ) ( )000 cosexp ϕωω +⋅⋅−⋅= ttAx

220 n−= ωω

2. Tłumienie krytyczne

1. Tłumienie nadkrytyczne

3. Tłumienie podkrytyczne

- częstość drgań tłumionych

Drgania swobodne tłumione

Drgania wymuszone

( )

tmP

xx

tPkxtPxkmgxm

tPSmgxm

st

ωω

ωωλ

ω

sin

,sinsin

,sin

020

00

0

=+

+=++−=

+−=

&&

&&

&&

21 xxx +=

tCtCx 02011 sincos ωω += tAx ωsin2 =

tmP

tCtCx ωωω

ωω sin1sincos 220

00201 −++=

tm

Pt

mP

tx

txx ωωω

ωω

ωωω

ωω

ω sin1sin1sincos 220

022

0

00

0

000 −

+−

−+=&