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VICERRECTORIA ACADEMICA
CAPACITACIÓN PRUEBA SABER PRO
MAG. VICTOR JAVIER ROMAN JARAMILLO
DOCENTE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA
INSTITUCION UNIVERSITARIA ESCOLME
MEDELLIN
2012
2
TABLA DE CONTENIDO
PÁG
1 INTRODUCCIÓN ......................................................................................................................... 4
2 JUSTIFICACIÓN .......................................................................................................................... 5
3 OBJETIVOS ................................................................................................................................. 6
3.1 GENERAL 6
3.2 ESPECIFICOS 6
4 DESARROLLO ............................................................................................................................. 7
4.1 TEORIA DE CONJUNTOS 7
4.1.1 Definición. 7
4.1.2 Relaciones entre conjuntos 8
4.1.3 Conjuntos especiales 9
4.1.4 Diagrama de Venn o de Euler 10
4.2 Operaciones con conjuntos 11
4.2.1 Unión de conjuntos. 11
4.2.2 Intersección de conjuntos 12
4.2.3 Conjuntos disyuntos: 13
4.2.4 Diferencia de conjuntos 13
4.2.5 Diferencia simétrica de conjuntos. 14
4.2.6 Complemento 14
4.3 Algebra de conjuntos 15
4.3.1 Asociativa. 15
4.3.2 Conmutativa 16
4.3.3 Equipolente 16
4.3.4 Simplificativa 16
4.3.5 Conjunto Vació: Es aquel conjunto que no tiene ningún elemento. 16
4.3.6 Leyes de Morgan 16
5 CUESTIONARIO FORMA DE EVALUAR EXAMEN SABER PRO ...................................................18
5.1 PRUEBA MATEMÁTICAS 18
5.2 PRUEBA DE ESTADISTICA 23
6 Probabilidades ........................................................................................................................27
6.1 Conceptos probabilísticos 27
6.2 ESPERANZA DE OCURRENCIA DE UN NÚMERO 30
6.3 REGLAS BASICAS DE LA PROBABILIDAD 30
6.3.1 Regla de la adición 31
3
6.4 Regla De La Multiplicación. 33
6.4.1 Sucesos Independientes: 33
6.4.2 Sucesos dependientes. 34
6.5 PROBABILIDAD CONDICIONAL 36
7 BIBLIOGRAFIA ..........................................................................................................................39
4
1 INTRODUCCIÓN
Como estrategia para presentar las pruebas SABER PRO programadas por el ICFES, la Institución
Universitaria Escolme prepara a sus estudiantes con un breve repaso presencial y virtual en áreas
de matemáticas y estadística a través de talleres cortos de cómo se evaluarán las mismas.
Cabe destacar que una vez planteada las preguntas las opciones de respuestas son A, B, C, D y no
pueden existir respuestas como “todas las anteriores, ninguna de las anteriores, etc.”. Solamente
debe existir una única respuesta.
Este manual ha sido preparado por Víctor Javier Román Jaramillo docente de tiempo completo de
la Institución, en el área de matemáticas y estadística.
5
2 JUSTIFICACIÓN
Como requisito previo para graduarse como profesional y/o tecnólogo, Escolme capacita a sus
estudiantes próximos a presentar las pruebas Saber Pro, se orientan encuentros en diferentes
áreas entre ellas, matemáticas y estadísticas a fin de darles a conocer a sus estudiantes la forma
como se hacen las preguntas.
Para lograr lo anterior, se preparó este manual de repaso que comprende un resumen teórico de
teoría de conjuntos, planteamientos de pruebas de selección múltiple y un breve repaso de teoría
de probabilidades en estadística.
Debido a la importancia de las pruebas SABER PRO es necesario que el estudiante tenga muy en
claro los decretos y políticas que lo rigen de acuerdo con el enlace extraído de Internet el día 26
de abril a través de Google para ser consultado con fines de capacitación e información.
http://www.icfes.gov.co/index.php?option=com_content&task=view&id=626&Itemid=1104
6
3 OBJETIVOS
3.1 GENERAL
Preparar al estudiante de la Institución Universitaria Escolme en la forma de cómo se evaluarán las
pruebas sabe Pro programadas por el ICFES.
3.2 ESPECIFICOS
Breve repaso de teoría de conjuntos
Planteamiento de ecuación simple
Recordación sobre las medias de tendencia central, de dispersión y asimetrías
Planteamiento de ejercicios matemáticos y estadísticos
Repaso conceptos básicos probabilidades
Ejercicios de aplicación probabilísticos en tablas de contingencia.
7
4 DESARROLLO
4.1 TEORIA DE CONJUNTOS
4.1.1 Definición.
Se entiende por conjunto un grupo de entes con una o más características comunes.
Los conjuntos están formados por elementos, de manera que un conjunto está bien definido si es
posible conocer todos sus elementos.
Para denotar los conjuntos se utilizan con frecuencia letras mayúsculas: A, B, C, etc.; y para
denotar los elementos letras minúsculas: a, b, c, d, etc.; números, símbolos o variables con
subíndices.
Por ejemplo:
Sea A = {1, 2, 3 - - - -}, significa que el conjunto A esta conformada por los elementos 1, 2 , 3,- - - ,
hasta infinito.
Sea B = {a, b, c, d, e}, significa que el conjunto B está conformada por los elementos a, b, c, d, e.
Un conjunto se puede definir por extensión o comprensión.
a) Por extensión: cuando se tiene enumerado uno a uno todos sus elementos del conjunto así:
A = {a, b , c, d} B = {1, 2 , 3 }
A = {2, 4, 6, 8}
B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
C = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19,…}
b) Por comprensión: cuando se cita únicamente la propiedad o propiedades que caracterizan a todos los elementos del conjunto así:
Ejemplo: el conjunto P de los números primos menores que 100
P = {números primos menores que 100}, también se puede representar por
P = {X / X es un número primo menor que 100}
C = {Números impares menores que 10}
8
D = {Vocales}
B = {Dígitos}
E = 90 xRx , en este caso se utiliza un lenguaje muy específico, el cual se lee así:
“E es igual al conjunto de todos los números reales tales que (o que verifican que) cero (0) es
menor o igual a x, y, x a su vez es menor que 9”, esta notación se usa con mucha frecuencia para
describir intervalos, para escribir la solución de una inecuación o para representar el dominio de
una función real.
Existen conjuntos como por ejemplo,
A = xRx 0 ó Z = {x N / x es par} los cuales no se pueden expresar por extensión
debido a que nunca se terminaría de escribir la lista de los números reales que pertenecen al
conjunto A, o, los naturales que pertenecen a Z, este tipo de conjuntos, reciben el nombre de
INFINITOS; mientras que otros, como por ejemplo:
C = {x / x es vocal} ó D = {x / x es dígito par} que están formados por cierto número de elementos
distintos, reciben el nombre de conjuntos FINITOS.
4.1.2 Relaciones entre conjuntos
Enlace que conduce a Youtube sobre explicación en teoría de conjuntos
http://www.youtube.com/watch?v=hdszX2gkLFs
Subconjunto: Un conjunto A es subconjunto de un conjunto B, denotado por A B y se lee “A es subconjunto de B”, si todo elemento del conjunto A es elemento del conjunto B, es decir, XA XB
Ejemplo1
A = {2, 4, 6, 8} B = {X/X es múltiplo de 2} A B
C = {1, 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A C
Igualdad de conjuntos. Dos conjuntos son iguales si todos los elementos del conjunto A pertenecen al conjunto B y todos los elementos de B pertenecen al conjunto A es decir.
A = B si A B y B A
9
Ejemplo 2:
A = {1, 2 , 3 , 5} B = {1, 3 , 3 , 5, 2} se puede observar que A = B
Subconjunto propio. Todo conjunto es subconjunto de sí mismo, es decir,
A A (con A un conjunto cualquiera), si ese subconjunto se llama B, entonces se puede afirmar
que B es un subconjunto propio de A, este hecho se simboliza así:
B A (se lee B está contenido o es igual al conjunto A)
Ejemplo 3
.
Al considerar los conjuntos A = {x / x es vocal} y B = {a, e, i, o, u}, se puede afirmar que A = B, en
particular se observa que A ⊆ B y B ⊆ A, lo cual permite afirmar que A es subconjunto propio de A,
y B es subconjunto propio de A.
Ejemplo 4.
Los conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {1, 3}, C = {0, 2} y D = {1} son todos subconjuntos del conjunto
M = {0, 1, 2, 3}, pero ninguno es un subconjunto propio de M, ya que con ninguno se puede
establecer alguna de las relaciones siguientes:
A M, B M, C M, D M
4.1.3 Conjuntos especiales
Conjunto vacío. Es el que no tiene elementos, y es simbolizado por dos paréntesis así: o
por
Ejemplo. El conjunto de edificios en Colombia con más de 20.000 metros de altura. Es un ejemplo
de conjunto vacío.
Conjunto unitario: Es aquel conjunto que está conformado por un solo elemento
Ejemplo. C = {x / x es un primo par}. El único número que cumple las dos condiciones (ser primo y
a la vez par) es el número 2, por lo tanto C = {2} se llama unitario.
Conjunto universal. Cuando se habla o se piensa en los conjuntos, es conveniente establecer la naturaleza o que los miembros de un conjunto pertenecen a alguna población determinada, por ejemplo:
10
El conjunto universal es denotado por U
El conjunto de entidades financieras que operan en Colombia; el número de clientes que visitan un
almacén de cadena; el número de estudiantes, profesores y empleados de ESCOLME, entre otros.
Sea U = { 1, 2, 3 , - - - , 10}, el conjunto universal para este caso está definido hasta los 10 primeros
números naturales.
Los elementos del conjunto A = {a, e, i} pertenecen al conjunto de las vocales, = {a, e, i, o, u}, es
decir, A V, este conjunto V constituye el universo del conjunto A, por esta razón se dice que V
es un conjunto Universal.
Similarmente, si A = {x N / x es primo} sus elementos son elementos del conjunto
Conjunto de partes o conjuntos de conjuntos. Si A es un conjunto, el conjunto de partes de A, escrito como P(A) está formado por todos los subconjuntos que se pueden formar del conjunto A.
Ejemplo 1.
Si A = {1, 3, 5}, entonces el conjunto partes de A esta formado por los siguientes subconjuntos: P
(A) = {{1}, {3}, {5}, {1,3}, {1,5}, {3, 5}, {1, 3, 5}, }.
Como se analizó en la sección anterior, el conjunto vacío está en todo conjunto y este caso no es la
excepción, por esta razón P(A). Además, se puede anotar que los elementos del conjunto A
son a su vez conjuntos, por lo que se dice que el conjunto P(A) constituye una familia de
conjuntos.
El número de elementos del conjunto P(A) depende del número de elementos de A; en el ejemplo,
A tiene 3 elementos y P(A) tiene 8 = 23 elementos, en general, “Si A tiene n-elementos se pueden
formar 2n subconjuntos del conjunto A”.
Ejemplo 2.
Sea B = {2, {1, 3}, 4, {2, 5}}. B no es una familia de conjuntos porque algunos elementos de B son
conjuntos y otros no. Para que el conjunto B fuera un conjunto de partes o una familia de
conjuntos debería estar expresado de la siguiente forma:
B = {{2}, {1,3}, {4}, {2,5}}.
4.1.4 Diagrama de Venn o de Euler
11
Es la forma de representar de una
manera visual los conjuntos y los
conceptos de la teoría de conjuntos, las
cuales permiten ver las relaciones de
pertenencia, inclusión y operaciones con
conjuntos.
La región cerrada representa el conjunto universal, y los círculos los subconjuntos A, B y C
Ejemplo 1. Sea Ụ = {1, 2, 3 4, 5, 6,7 ,8 ,9} y A = {1, 2, 3} B = {1} C = {8, 9} D = {8}, entonces:
Por lo tanto A U B U C U B A D C
4.2 OPERACIONES CON CONJUNTOS
4.2.1 Unión de conjuntos.
“U” dados dos conjuntos A o B es el nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen a
A o B o ambos conjuntos. Simbólicamente se representan así:
A U B = {X/ X A V x B}
En el diagrama de Venn su representación es:
AB
C U
2
A
1
3
C
D
8
9
6
7
5
5
4
U
12
Ejemplo 1
Sea U = {1, 2, ---, 9}
A = {1, 2, 3, 4} B = {2, 3, 5, 7, 8}
A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8}
Gráficamente su representación queda así:
4.2.2 Intersección de conjuntos “∩”
Dados dos conjuntos A y B es el nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y
B, es decir se encuentran conformados por los elementos comunes entre ellos. Simbólicamente se
representan así:
A B = {X / XA Λ X B}
En la representación grafica corresponde a “C”
Ejemplo.
Con base en el ejercicio anterior Nº 1 determine el conjunto intercepto
Solución:
A B = {2, 3}, gráficamente su representación es:
2
3
1
4
5
8
7
U
A
B
A
BC
13
4.2.3 Conjuntos disyuntos:
Son aquellos conjuntos que no tienen elementos comunes.
En la primera figura se observa que A B = B porque B A
En la segunda figura no hay región sombreada puesto que los conjuntos son disyuntos y por lo
tanto su intersección es vacía
4.2.4 Diferencia de conjuntos. “– “
Se llama así a la diferencia del conjunto formado por los elementos del conjunto A que no
pertenecen al conjunto B. se denota por:
A – B = {X/X A Λ X B}
Ejemplo 3
Sea U = {a, b, c, d, e, f, g }
A = {a, b, c, f } B = {a, d, e, f, g }
3
1
4 2 5
873
1
4 2 5
87
1
4 2 5
87
14
4.2.5 Diferencia simétrica de conjuntos.
Es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A ó a B, pero no pertenecen
simultáneamente a ambos conjuntos.
Simbólicamente A B {X/ X A V x B Λ XA B}
Ejemplo 3
Sea U = {a, b, c, d, e, f, g }
A = {a, b, c, f } B = {a, d, e, f, g }
En el diagrama se puede apreciar que los conjuntos
sombreados corresponden respectivamente a los conjuntos A –
B y B – A, pero también se puede representar por:
A B = {A - B} {B - A}
A B = {A B} - {B A}
En el ejemplo se puede apreciar que la diferencia simétrica entre los dos conjuntos no incluyen los
elementos de la intersección { a, f}
4.2.6 Complemento “A´“.
El complemento de un conjunto A con respecto al conjunto U, es denotado por A´, es el conjunto
formado por los elementos de U que no pertenecen a A.
Simbólicamente se representa por A´ = Se define como {X/X U Λ X A }
15
Ejemplo:
Dados los conjuntos A = {1,2,3 } B = {1,2,3,4,5,8 }
A´ = {4,5,8 }
Sea = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
A = {2, 4, 6, 8}
A`= {1, 3, 5, 7}
4.3 ALGEBRA DE CONJUNTOS
4.3.1 Asociativa.
A (B C ) = (A B) C
Ejemplo: A = {a, b, c } B = {c, d } C = {d, e, f }
Sea H = B C = {c, d, e, f }
Entonces A H = {a, b, c, d, e, f }
16
4.3.2 Conmutativa:
A B = B A
Ejemplo: A = {a, b, c } B = {c, d }
A B = {a, b, c, d }
B A = {a, b, c, d }
4.3.3 Equipolente: A A = A AA = A
Ejemplo:
A = {1 ,2 3}, entonces A A = {1, 2, 3} A A = {1, 2, 3}
4.3.4 Simplificativa.
A (BA) = A A (BA) = A
Ejemplo:
A = {a, b, c, d, e} B = {d, e, f, g}
Sea R = A B = {d, e}, por lo tanto A R = {a, b, c, d, e}
4.3.5 Conjunto Vació: Es aquel conjunto que no tiene ningún elemento.
Por ejemplo:
Sea {X/ 5 X 10} el conjunto solución de los números menores de 5 y mayores de 10 es vacío
porque no existe ningún elemento que cumpla la condición dada.
4.3.6 Leyes de Morgan.
Constituyen la base de una dualidad entre las operaciones de la unión y la intersección de
conjuntos, viene dado por:
a) (A B)` A` B`
b) (A B)` = A` B`
17
Condiciones
Ø = Conjunto vacío
U = Conjunto universal
18
5 CUESTIONARIO FORMA DE EVALUAR EXAMEN SABER PRO
5.1 PRUEBA MATEMÁTICAS
1. El conjunto universal conformado por los elementos 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9, 10; tiene los
siguientes conjuntos definidos así
El conjunto solución que determina (A Π C) U (B Π C) es :
A. 5, 8
B. 5, 6
C. 5, 6, 8
D. 4, 5, 6, 8
Respuesta Opción C
2. El conjunto universal conformado por los elementos (1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 Y 11 ) tiene los
siguientes conjuntos definidos así
6
5
4
8
1
2
3
7 9
A
B
C
19
El conjunto solución que determina (A - C)
A. 5, 8 ,9
B. 5, 6, 7
C. 5, 6, 9
D. 1, 2, 11,
Respuesta D
3. Un comprador dispone de $ 100.000 para comprar camisetas y camisas, los precios de los
productos son fijos. El costo de una camisa es de $ 20.000 cada una y el de una camiseta es de $
10.000, partiendo del hecho de que el comprador puede gastar todo su dinero en algunas
combinaciones de camisas y camisetas dando origen a la ecuación 20.000X + 10.000Y = 100.000 ; X
representa cantidad de camisas , Y cantidad de camisetas. De lo anterior se puede afirmar que el
comprador puede comprar
A. 3 camisas y 5 camisetas
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5
Camisas
Cam
iseta
s
6
5
7
4
8
1
2
11 8
3
3
3 10
9
A B
C
20
b. 2 camisas y 6 camisetas
c. 4 camisas y 8 camisetas
d. 5 camisas y una camiseta
Respuesta Opción B
4. Una línea de demanda se identifica mediante la función Y = 100 – 5X, en donde “Y” representa
la demanda de un bien, y “X“el precio del bien. Si la cantidad demandada es de 50 unidades, el
precio del bien será
A. X = -10
B. X = 30
C. X = 50
D. X = 10
5. El costo de un bien es de $400 si se desea obtener una utilidad bruta del 25% del costo del bien,
el precio de venta es
A. $50
B. $75
C. $100
D. $125
Respuesta Opción D
6. Se tiene la función 1+= 2xY al calcular su primera derivada el resultado es
A. 1_
12x
B. 1+x
x
C. 1+
1+2
2
x
xx
21
D. 1+2x
x
Respuesta Opción D
2. La ecuación lineal dado un punto está definida como )_(=_ 0 oXXmyy , en donde Xo , Yo
son los puntos dados y m es la pendiente. Por lo anterior si m= - 2 y los puntos por los que
atraviesa la ecuación lineal son (3 , -1) se puede afirmar que la línea recta es
Respuesta Opción B
8. La solución de la siguiente operación fraccionaria 4
5
4
1
4
3 , es:
A. 4
9
B 4
3
C. 4
9
D 4
1
Respuesta: D
22
9. Sea 132 2
1 YXP Y 543 2
2 YXP la solución de la suma polinomios es:
A. 5125 42 YX
B. 5126 42 YX
C. 45 2 YX
D. 45 YX
Respuesta: C
10. La solución de la raíz cúbica 3 63.27 YX es:
A. 9XY2
B. 3X2Y2
C. 3XY4
D. 3XY2
Respuesta: D
11. Sea 15
2 2
1 XP ; XP2
12 , el producto de P1.P2 es
A. 15
1 2 X
B. 15
1 3 X
C. 15
1 2 X
D 15
1 3 X
Respuesta: B
23
5.2 PRUEBA DE ESTADISTICA
1. En una facultad se quiere conocer el número de cursos que matriculan en un semestre
académico los estudiantes que además trabajan. Para ello se consulto a 16 estudiantes
obteniendo las siguientes respuestas como lo ilustra el cuadro de frecuencias
Cursos matriculados
No. estudiantes
1 1
2 2
3 3
4 4
5 4
6 2
Total 16
Para facilitar la lectura de la información presentada, la grafica de barras que ilustra la anterior
información es
Opción A Opción B
Opción C Opción D
2.
Respuesta Opción C
0
2
4
6
8
2 3 3 3 3 2
cursos matriculados
estu
dia
nte
s
0
1
2
3
4
1 2 3 4 5 6
Cursos matriculados
estu
dia
nte
s
0
2
4
6
8
1 2 3 4 4 2
Cursos matriculados
No
estu
dia
nte
s
0
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5 6
Cursos matriculados
Estu
dia
nte
s
24
Una empresa que presta servicios de CAFÉ INTERNET evalúo los servicios prestados durante una
semana, habiéndose obtenido los datos condensados en la tabla de frecuencia
Calificación Porcentaje
Excelente 22%
Buena 54%
Regular 13%
deficiente 11%
Total 100%
De los datos anteriores se puede afirmar que la mejor medida de tendencia central que evalúa el
mejor servicio es
A. Promedio Aritmético
B. La Mediana
C. La Moda
D. La media geométrica
Respuesta Opción C
3. Una empresa produce 4 productos diferentes A, B, C y D el promedio de producción y sus
desviaciones estándar lo ilustra el cuadro adjunto
Producto Promedio de producción
diaria
Desviación estándar
A 300 15
B 375 25
C 400 30
D 420 20
El coeficiente de variación (CV) esta determinado por la desviación estándar dividida el promedio
aritmético expresado en porcentaje, es decir, CV = S/X x 100
Al determinar el coeficiente de variación para cada producto se obtuvo los siguientes resultados:
CVA = 5%; CVB = 6.66%; CVC = 7.5% CVD = 4.76% en cuanto a su variabilidad relativa el mejor
producto es
A. A
25
B. B
C. C
D. D
Respuesta Opción D
4. En una distribución de frecuencias se obtuvo que el promedio aritmético es de 300 unidades, la
mediana de 310 y la moda de 320, la desviación estándar es de 25 unidades. Con lo anterior se
puede afirmar que la distribución presenta
A. Una asimetría positiva
B. Una asimetría negativa
C. Simetría
D. Simetría y asimetría positiva.
Respuesta Opción B
5. Se tienen dos variables Ingresos y Egresos expresados en millones de pesos
Egresos Ingresos
10 18
15 23
20 28
25 33
30 41
35 46
40 51
De los anteriores datos se expresa la siguiente grafica lineal
La correlación entre los ingresos y egresos que presenta la grafica es
A. Excelente
0
10
20
30
40
50
60
10 15 20 25 30 35 40
26
B. Buena
C. Regular
D. Deficiente
Respuesta Opción A
27
6 PROBABILIDADES
El concepto de probabilidades es utilizado como el grado de creencia que se tiene sobre la
ocurrencia de un suceso, es decir, se refiere a algo que puede suceder con base en la experiencia
que se tenga. En ocasiones muchas personas pronostican o predicen ciertos hechos que pueden
ser ciertos o falsos, por ejemplo las personas fanáticas del futbol, siempre afirman “hoy si vamos a
ganar”, si hace buen clima mañana, saldré al parque de diversiones con mi familia, mañana me
gano la lotería, es decir .se realizan pronósticos con la esperanza que sucedan.
Algunos autores consideran que las probabilidades es una creencia basada en la experiencia y se
puede definir como el número de casos favorables entre el número de casos posibles, expresado
en términos porcentuales (Ciro Martínez Bencardino).
Además toda probabilidad debe estar comprendido entre 0 y uno, o expresado en términos
porcentuales entre o y 100%, es decir:
1)(0 XP o %100)(0 XP
P(X) es probabilidad de éxito
q(X) probabilidad de fracaso o no éxito en donde q(x)=1 – p(x)
La definición de probabilidad se expresa mediante Cp
CfXP )( , en donde
Cf es el número de casos favorables de un suceso
Cp es el número de casos posibles de un suceso.
6.1 CONCEPTOS PROBABILÍSTICOS
Enlace de YOUTUBE que conduce a la explicación sobre conceptos probabilísticos
http://www.youtube.com/watch?v=cKeWnqxSPk0&feature=relmfu
Suceso de un evento. Se denomina suceso a cada caso posible, es decir, a la realización de un acontecimiento.
Probabilidad empírica o práctica. Es aquella que toda persona establece subjetivamente en actuaciones especiales, por ejemplo:
La probabilidad de ganar hoy el examen de estadística
La probabilidad de que llueva mañana es……………..
28
La probabilidad de salir el próximo domingo al parque de diversiones es…….
Evento: es el conjunto de uno o más puntos muestrales
Espacio Muestral: es un conjunto de resultados posibles asociado a un experimento
determinado.
Ejemplos de aplicación: (tomados del libro Estadística básica aplicada, escrita por Ciro Martínez
Bencardino pág. 189)
Primer experimento: se lanza una moneda. Determine el espacio muestral y los puntos
muestrales.
Tenga presente que una moneda esta conformada por dos lados: caras y sellos, por lo tanto el
espacio muestral es
U = (C,S), en donde C = caras y S = sellos., por lo tanto sus puntos muestrales serán
Probabilidad de salir caras es ½ = 0.5 o 50%
Probabilidad de salir sello es ½ = 0.5 o 50%
2
1,2
1)( XP .
Segundo experimento: elegir a un estudiante en forma aleatoria del curso de estadística:
(Pedro, Juana, Martín, …………,Juan diego)
Tercer experimento: se lanza un dado, determinar el espacio muestral y los puntos muestrales:
U = (1, 2, 3, 4, 5, 6), recuerde que un dado tiene 6 caras, por lo tanto la probabilidad de al lanzarse
el dado aparezca el número uno es uno de 6 (1/6) y el resultado de los puntos muestrales es
6
1,6
1,6
1,6
1,6
1,6
1)( XP
Cuarto experimento: se lanzan dos monedas, determine el espacio muestral y los puntos
muestrales
U = (CC, CS, SS, SC), la probabilidad que caiga cara cara es ¼, por lo tanto los puntos muestrales
será 4
1,4
1,4
1,4
1)( XP
Diagrama del árbol
Ejemplo: una pareja recién casada desean proyectar con el tiempo tener tres hijos. Determine su
espacio muestral y los puntos muestrales
29
U = (HHH, HHM, HMH, HMM, MHH, MHM, MMM, MMH)
8
1,8
1,8
1,8
1,8
1,8
1,8
1,8
1)( XP
El mismo ejercicio se desarrolla a través del diagrama del árbol
Ejercicio de aplicación: Se lanzan dos dados una sola vez y en forma simultánea. Determine las
siguientes probabilidades y su espacio muestral
Recuerde que dos dados el total de casos posibles son 36 parejas
Que la suma de sus caras sea 7 El espacio muestral será U = (3,4) (5,2) (1,6) (6,1) (2,5) (4,3) y la probabilidad es
Casos favorables = 6 parejas
Casos posibles = 36
P(x=7) = 6/36 = 1/6
Que la suma de sus caras sea menor de 5 El espacio muestral es U = (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (3,1) P(x<5) = 6/36 = 1/6
Que en una cara aparezca un 3 y en la otra un valor mayor de 4
30
El espacio muestral es U = (3,5) (3,6) (5,3) (6,3) y la probabilidad es
P(x) = 4/36 = 1/9
6.2 ESPERANZA DE OCURRENCIA DE UN NÚMERO
Su fórmula matemática es E(x) = np, en donde
E (X) = ESPERANZA MATEMÁTICA
n = tamaño del evento
p = probabilidad de ocurrencia del evento
Ejercicio:
El número de accidentes que ocurren en un cruce de una esquina los días viernes de 5 y 30 a 6 y
30 p.m pueden ser: 0, 1, 2, 3 ó 4, con probabilidades asociadas del 90%, 4%, 3%, 2%, 1%
respectivamente. Calcular
1. el número esperado de accidentes durante dicho periodo.
E(x) = np por lo tanto se reemplaza los valores de ocurrencia multiplicada el número probabilístico
de ocurrencia, entonces
E (x) = 0(0.90) + 1(0.04) + 2(0.03) + 3(0.02) + 4(0.01) = 0.1. Se concluye que se espera que se
presenten 10% de accidentes.
2. Si en el ejercicio anterior se presentaron los accidentes durante un periodo de 200 veces, cual es
su esperanza matemática.
E(x) = 200 (0.1) = 20 accidentes.
6.3 REGLAS BASICAS DE LA PROBABILIDAD
Enlaces que explican por youtube las reglas básicas de probabilidad
Teoría:
31
http://www.youtube.com/watch?v=7xZ_kKMiqGU&feature=relmfu
http://www.youtube.com/watch?v=RtBZ-swY13M&NR=1&feature=endscreen
Para dar solución al planteamiento de un problema probabilístico se debe tener en cuenta las
siguientes reglas:
6.3.1 Regla de la adición.
En esta regla se debe identificar si los sucesos o eventos son excluyentes o mutuamente
excluyentes.
Sucesos mutuamente excluyentes: si dos o más sucesos son tales que solamente uno de ellos puede ocurrir en un solo ensayo, se dice que son mutuamente excluyentes. Se denomina probabilidad aditiva y será igual a la suma de las probabilidades. P = P1+P2+ + + + Pn.
La anterior definición indica que solamente un suceso puede ocurrir o sea que las demás no se
pueden presentar al mismo tiempo y e representa así:
P(AUB) = P(A) + P(B)
Ejemplo de aplicación: Se tiene una urna con 16 fichas de diferentes colores: 3 de color azul, 6 de
color negro, 2 de color blancas y 5 de color verdes. Se extrae aleatoriamente una ficha, calcular las
siguientes probabilidades:
a. Que la ficha extraída haya sido de color verde o azul b. Que la ficha extraída haya sido de color negro o blanco
Solución: Se definen los eventos así:
Sea A ficha de color azul
Sea V ficha de color verde,
Sea B ficha de color blanco
Sea N ficha de color negro.
Se realiza un simulacro de lo que se presenta al interior de la urna
Se realiza el planteamiento respectivo
32
a) P(V U A) = P(V) + P(A) = %502
1
16
8
16
3
16
5 la probabilidad que la ficha extraído
haya sido de color verde o azul es del 50%.
b) P(N U B) = P(N) + P(B) = %502
1
16
8
16
2
16
6 la probabilidad que la ficha extraído
haya sido de color negra o blanca es del 50%.
(Clave) En la pregunta se plantea la proposición O la cual es equivalente a una suma
Sucesos Compatibles o no excluyentes: dos sucesos son compatibles o que no son mutuamente excluyentes cuando la probabilidad de que ocurra un suceso no afecta la ocurrencia del otro.
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A B)
Ejercicio 1:
La probabilidad de que un estudiante tenga un libro de matemáticas es del 70%, un libro de
estadística 40% y que tenga ambos libros es del 30%. ¿Cuál es la probabilidad que un estudiante
tenga un libro de matemáticas o estadística o ambos?
Se a M: libro de matemáticas
E: libro de estadística
P(M E): ambos libros
P(MUE) = P(M) + P(E) – P(M E)
= 0.70 + 0.40 – 0.30 = 0.80
La probabilidad de tener un libro o ambos es de 80%
33
Ejercicio 2
En un grupo de Estudiantes la probabilidad de obtener un puntaje bajo es del 20%, que se haya
graduado en La universidad del 50% y que se den ambos del 5%. ¿Cuál es la probabilidad que un
estudiante obtenga un puntaje bajo o se haya graduado en la universidad o se den ambas cosas?
Sea A: suceso de obtener puntaje bajo
B : suceso de graduarse en la universidad
P(A B): probabilidad de que se den ambos
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A B)
0.20 + 0.50 – 0.05 = 0.65
La probabilidad es del 65%
6.4 REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN.
6.4.1 Sucesos Independientes:
Si se tienen dos o más eventos y son además independientes entre sí, la ocurrencia de uno de ellos
no afecta la ocurrencia del otro. Viene dado por
P(A B) = P(A)*P(B)
Ejercicios 1:
Juan y Gabriel estudian en un mismo curso. La probabilidad de que Juan no pierda ninguna
materia es del 80% y que Gabriel obtenga el mismo resultado es del 90%. ¿Cuál es la probabilidad :
a. Los dos no pierdan ninguna materia
b. Juan pierda por lo menos una y Gabriel ninguna
c. Los dos pierdan la materia.
Se define el suceso:
Sea A = Juan Gane la materia à = Juan pierde la materia
B = Gabriel gane la materia B = Gabriel Pierde la materia
Explicación: al ser dos compañeros diferentes aunque estén en el mismo curso ambos son
independientes, pues tienen que estudiar por separado para aprobar la materia.
34
Solución:
a) 72.0)90.0)(80.0()(*)()( BPAPBAP La probabilidad de que ninguna pierda
materias es del 72%
b) )90.0)(20.0()(*)()( BPAPBAP = 0.18 La probabilidad de que Juan pierda y Gabriel
ninguna materia es del 18%
c) %202.0)10.0)(20.0()(*)()( BPAPBAP La probabilidad de que ambos pierdan
alguna materia es del 2%
Ejercicio 2
En un taller se disponen de dos máquinas. En la primera se produce 1.5% de unidades defectuosas
y en la segunda el 3%. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una unidad de cada máquina las
dos sean defectuosas?.
Sea A = producción de unidades defectuosas de la primera maquina
Sea B = Producción de unidades defectuosas de la segunda máquina
004.0)03.0)(015.0()(*)()( BPAPBAP La probabilidad de que las dos unidades
extraídas sean defectuosas es del 4%
6.4.2 Sucesos dependientes.
Dos o más sucesos son dependientes cuando la ocurrencia de uno de ellos depende de la
ocurrencia de otro u otros sucesos. Viene dado por: )(*)()( ABPAPBAP
Observación.
Sucesos con reemplazamiento: se tiene un experimento, en él se extraen aleatoriamente
un suceso, se verifica y nuevamente se regresa a su sitio inicial quedando la misma cantidad.
Por ejemplo: cuando se lava la loza, se escurre y se regresa a su sitio inicial, es decir al locero.
Sucesos sin reemplazamiento: se tiene un experimento, en él se extraen aleatoriamente un
suceso, se verifica y no se regresa a su sitio inicial quedando una cantidad menor.
Por ejemplo: cuando una persona analiza un par de zapatos para comprarlos, si le gusta cancela el
producto en la caja y se retira quedando de esta manera un par menos en inventario del almacén.
35
1. Ejercicio de aplicación:
Una caja contiene 3 fichas de color blanco y dos de color negro. ¿cuál es la probabilidad de que en
la primera y segunda extracción la ficha sea de color negro?. Asuma el evento sin reposición
Sea A: suceso primera ficha negra extraída
B: suceso segunda ficha negra extraída
P(A) = 5
2
4
1)( BAP
)(*)()( ABPAPBAP = %1020
2
4
1*5
2
Ejercicio 3.
Una industria posee para la elaboración de su producto 3 maquinas A, B y C. La maquina A ha
producido 10 artículos de los cuales 8 son buenos y dos defectuosos, la maquina B ha producido 4
artículos defectuosos y 5 buenos, la maquina C ha producido 7 artículos buenos y 5 defectuosos.
Todos los artículos se colocan en un mismo lugar. Hallar las siguientes probabilidades:
a) si se escogen artículos buenos o que hayan sido producidos por la maquina B. b) Si se escoge un articulo al azar que haya sido por la maquina A o C c) Si se escogen artículos con reemplazamiento o sustitución que el primero sea bueno y el segundo defectuoso d) Si se escogen 2 artículos sin reemplazamiento uno sea bueno y el otro defectuoso.
Solución
ARTICULOS Maq A Maq B Maq C Total
Art buenos 8 5 7 20
Art. defectuoso 2 4 5 11
total 10 9 12 31
a) %77
31
5
31
9
31
20
)()()()(
BbPBPbPBbP
36
b) %7031
22
31
12
31
10)()()( CPAPCAP
c) %2231
11*
31
20)( dbP
d) %1.4630
19*
31
11
30
11*
31
20)()()(*)()( dbPdPbdPbPbddbP
Ejercicio 2.
Una caja contiene 4 fichas de color blancas y dos fichas de color negra ; otra caja contiene 3 fichas
de color blanca y 5 de color negro. Hallar las siguientes probabilidades.
a) Ambas sean de color negras b) Ambas sean de color blancas c) Una sea de color blanca y la otra de color negra Solución
a) %83.20
48
10
8
5*6
2)()()( 2121 NPNPNNP
b) %25
48
12
8
3*6
4)()()( 2121 BPBPBBP
c) %54
6
2*8
3
8
5*6
4)()()()()( 12211221 NPBPNPBPNBNBP
6.5 PROBABILIDAD CONDICIONAL
En esta probabilidad se da el concepto de que los eventos son dependientes, es decir cuando se
vio el concepto de ley de multiplicación se obtuvo
37
)(*)()( ABPAPBAP y despejando la probabilidad condicional, entonces
)(
)()(
AP
BAPBAP
y se lee: la probabilidad de que ocurra el evento A dado que esta
ocurriendo el evento B.
1. Ejemplo:
Por investigaciones realizadas recientemente se encontró que el 10% de los conductores de taxi en
la ciudad son hombres con estudios universitarios. También se sabe que el 80% de los conductores
de taxi son hombres ¿Cuál es la probabilidad al abordar un taxi resulte ser hombre y que tenga
estudios universitarios?.
Solución:
Sea A: Conductor de taxi hombre con estudios universitarios
Sea B: conductor de taxi hombre
P(B) = 80%
%10)( BAP
%5.1280.0
10.0
)(
)()(
AP
BAPBAP
Ejercicio de aplicación 1.
El gerente de un almacén de electrodomésticos desea determinar la relación de pago y el tipo de
cliente. Para dicho estudio recopiló los datos del año anterior como lo ilustra el cuadro siguiente:
FORMA DE PAGO
Cliente Contado Crédito total
Regular 42 40 82
Irregular 50 56 106
total 92 96 188
Se selecciona aleatoriamente un cliente, cual es la probabilidad:
38
a) Que pague de contado b) Que sea cliente regular o pague de contado c) Que sea cliente regular y pague a crédito d) Que pague de contado si se sabe que es un cliente regular
Solución:
a) %8.48188
92)( CP
%78188
50
188
92
188
106)()()()() CRCPRPCRPb
c) %16188
56*
188
106)()()( R
WPRPWRP
d) 106
50
188
106188
50
)(
)()(
RP
RCPRCP
39
7 BIBLIOGRAFIA
Ron Larson, Robert Hostetler y Bruce H. Edwards Cálculo Esencial .México: Cengage
Learning 2010.
LEITHOLD, Louis: El cálculo 7 ediciones Oxford University Press, 2009.
George B. Thomas. .Cálculo en una variable México: Pearson 12. ed. Educación 2010
URIBE Calad, Julio A. Matemáticas básicas operativas. Ediciones Susaeta, Medellín
1986, 369p
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LEITHOLD, Louis El cálculo con geometría analítica, 6 ed. México Editorial Harla 1992,
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MARTÍNES, Bencardino Ciro. Estadística Básica Aplicada. 2 ed. Santa Fé de Bogotá: Ecoe Ediciones,
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KOTLER, Philip, ARMSTRONG, Garay. Fundamentos de mercadotecnia. 2 ed. México : Prentice Hall,
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MORELL, Art. Ventas de calidad mundial. México : Ventura ediciones. 1992. 217 p.
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http://www.youtube.com/watch?v=7xZ_kKMiqGU&feature=relmfu
http://www.youtube.com/watch?v=RtBZ-swY13M&NR=1&feature=endscreen
www.aulafacil.com.co
