Parabola bis

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Per studenti ed insegnanti scuole secondarie

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  • 1. LA PARABOLA..DEFINIZIONE.EQUAZIONE.INTERSEZIONI CON UNA RETTA.PROBLEMI

2. DEFINIZIONE:La parabola il luogo dei punti del piano equidistanti da un puntodato e da una retta data. Il punto si chiama fuoco, la rettadirettrice.I DATI DELLA PARABOLA SONO : il punto F che costituisce ilfuoco e la retta d che costituisce la direttrice;Se il punto e la retta sono dati, allora si conoscono: la distanza traF e d, indicata con 2c. 1clic F2cd 3. introduciamo un opportuno sistema di assi cartesiani ortogonali y 1 clicasse y la retta per F eperpendicolare a d (orientatoin modo che lintersezione cond preceda il fuoco F); 1clicFO xasse x lasse del segmentoche rappresenta la ddistanza di F dalladirettrice d.1clic 4. LA SCELTA DEGLI ASSI CARTESIANI DETERMINA :LE COORDINATE DEL FUOCO E LEQUAZIONE DELLA DIRETTRICE.il fuoco ha coordinate: F(0;c)yP(x;y)e la direttrice ha equazione: y=c.F c OPer ottenere l equazione cartesiana xdel luogo considero un generico punto-cP(x;y) e impongo che soddisfi lacondizione di equidistanza dal fuoco ed y=cdalla retta direttrice. 1CLIC 5. 1 CLICPreso un punto P(x;y)ycalcolo la distanza PF(1clic) P(x;y) ______________PF = (x 0)2 + (y c)2 F(0;c)O1 CLICxCalcolo la distanza dallay=-cdirettrice: PH (1clic) dHPH =y- (-c) 6. Eguaglio le due distanze:____________ (x 0)2 + (y c )2 =y (-c)Elevando al quadrato entrambi i membri si ottiene:x2 + (y c)2 = | y + c|2e, sviluppando i calcoli, si ha lequazione: 1y = x24c 7. Equazione della parabola Siccome 2c dato anche 1/4c dato,poniamolo uguale ad a;allora lequazione 1 y = x24cdiventa y = ax2 8. Viceversa 1clicSe si tiene conto della sostituzione fatta, dallequazione dellaparabola nella forma:y = ax2,confrontata con lequazione ottenuta dalla def.: y = [1/(4c)] x2, si ha:a = [1/(4c)] , quindi: c = 1/(4a)si ottengono le coordinate del fuoco e lequazione della direttrice,espresse in funzione di a: F(0; 1/(4a))y = - 1/(4a) 9. Propriet algebricheLequazione della parabola,y = ax2,che abbiamo ottenuta, presenta leseguenti caratteristiche algebriche:1. di primo grado in y.2. di secondo grado in x; 10. PROPRIETA GRAFICHE (1/2) Quando nellequazione y = ax2 alla variabile x si assegnanotutti i valori reali positivi e negativi, i corrispondenti valori della yrisultano, con a > 0, non negativi (y > 0).Quindi il grafico della parabola appartiene al 1 e 2 quadrante. 11. PROPRIETA GRAFICHE (2/2)se una retta, parallelaallasse delle ascisse,incontra il grafico,allora ci avviene indue punti simmetrici rispettoallasse y:i grafici presentano simmetriaassialeavente come asse di simmetrialasse y. 12. Esempi di grafici di parabole y = ax2Caso a > 0 (1clic)a = 3/2a=2 a=1 a=1/2 a =1/2; a = 1; a = 3/2; a = 2.Lorigine O detta vertice dellaparabola x 13. Prima generalizzazione dellequazione Possiamo generalizzare lequazione che si ottenuta, y = ax2Se il parametro a negativo, le ordinate dei punti dellaparabola sono sempre non positivi. Il grafico sta nel 3 e 4quadrante: y < 0 14. Grafici di parabole con a < 0 1clica =-1/2a = -1a =-3/2a = -2.a =-3/2Lorigine O dettavertice della parabola a=-2 a=-1 a=-1/2 Ritorno allindice 15. Equazione generaleIn un piano cartesiano Oxy consideriamo una parabola il cui graficoabbia il vertice in un punto V(x0;y0), diverso dallorigine.y Y Eseguiamo la traslazione che porta lorigine O nel vertice della parabola. Le equazioni della traslazione sono: x = X + x0y = Y + y0 (1clic)rispetto a tale sistema di riferimento,la parabola risulta avere equazione:O= V (x0;y0) XOY = a X2.x 16. Per ottenere lequazione della parabola riferita al sistema Oxyoccorre applicare le equazioni della traslazione inversa X = x - x0 t-1 : Y = y - y0 Lequazione diventa: y - y0 = a(x - x0)2 Che lequazione di una parabola con asse di simmetria parallelo allasse y e con il vertice in V(x0;y0) .Se si sviluppano i calcoli, si ottiene:y = ax2 2ax0x + ax02 + y0 ;Ponendo -(2ax0) = b e ax02 +y0= cSi ha : y = ax2 + bx + c 17. In conclusione si dimostrato che una qualsiasi parabola, con asse di simmetria parallelo allasse y , ha equazione del tipo: y = ax2 + bx + cLe informazioni relative:1. alle coordinate del Vertice,2. allequazione dellasse di simmetria ,3. alle coordinate del Fuoco e4. allequazione della Direttricerisultano contenute nei tre coefficienti: a, b, c. 18. Le coordinate del vertice:Tenendo presente che x0 ed y0 sono le coordinate del vertice, si conclude:(1clic)V ( _ b ; _ b2- 4ac )2a4a 2. Equazione dellasse di simmetriaSe si tiene conto che lasse di simmetria della parabolay = ax2 coincide con lasse y, di equazione x = 0, pereffetto della traslazione operata, lequazione diventa: x = - b/(2a) 19. 3. Le coordinate del FUOCO FPer effetto della traslazione t le coordinate del fuoco F(0; 1/4a)diventano:xF = 0 + (b/(2a)) e yF = 1/(4a) + (b2+4ac)/(4a)1clicIn conclusione: b 1F ( - ; - + )2a 4a4a 20. 4. Lequazione della direttricePer effetto della traslazione inversa t -1 , lequazione delladirettricey= - 1/(4a)diventa:y = (b2+4ac)/(4a) - 1/(4a)cio: 1 y = - - 4a4a 21. RELAZIONI TRA V, F,d1clic yF-/4a+1/(4a) 1/(4a)-/(4a) V 1/(4a)d-/(4a)-1/(4a)x 22. ViceversaViceversa, ogni equazione del tipoy = ax2 + bx + crappresenta, per a 0, una parabola con asse di simmetria parallelo allassey.[N.B. in realt unequazione generale di 1 grado in y e di 2 in x del tipo:mx2 + nx + py + q= 0Se si esplicita rispetto ad y si ha:y = -(m/p)x2 (n/p)x (q/p)e sostituendo:- (m/p) = a; -(n/p) = b; - (q/p) = csi ottiene lequazione nella forma canonica: y = ax2 + bx + c ] 23. y = ax2 + bx + c y = a[x2 + (b/a)x ] + cMetodo del completamento dei quadrati:y = a[x2 + (b/a)x + (b/2a )2 - (b/2a )2] + cy = a[x + (b/2a )]2 b2/4a + cy = a[x + (b/2a )]2 [(b2 - 4ac)/4a] , sostituendo: (b2 -4ac) = y + /4a = a[x + (b/2a )]2se si pone: /4a = -y0 eb/2a = -x0,Lequazione diventa:y - y0 = a(x - x0)2Che coincide con lequazione di una parabola con asse disimmetria parallelo allasse y e con il vertice in V(x0;y0) . 24. Dati della parabolaVertice: Asse di simmetria: b V(_ b ;_ b2-4ac ) x = - 2a4a2aFuoco direttrice:b -1+1 F ( - ; - )y = - 2a4a4a 25. Esempio di grafico di una parabola di data equazione: 1clic y = x2 4x + 6 FDi vertice V(2;2) 1clic VDi direttricedy =7/4 1clic ODi fuoco F(2; 9/4) x 1clic 26. Problemi relativi alla ricerca dellequazione di una parabola soddisfacente a date condizioni.Premessa:Siccome le equazioni di una parabola con asse di simmetriaparallelo ad un asse cartesiano dipendono da tre parametrioccorrono tre condizioni . 27. CASO : assegnati tre punti non allineatiA(x1;y1), B(x2;y2), C(x3;y3)(1 clic) Si imposta il sistema costituito dalle tre condizioni di appartenenza dei tre punti dati alla parabola: y = ax2 + bx +c (1 clic)Appartenenza di A alla parabola y = ax2 += ax c + bx + c y bx + 2 (1 clic)1 11 (1 clic)Appartenenza di B alla parabola y = ax22 = ax2c + bx2+ c y + bx + 2 (1 clic) (1 clic) y 2 = ax3 + bx3+ Appartenenza di C alla parabola: y = ax3 + bx +2c (1 clic) c 28. Si ottiene un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite a, b, c y1 = ax12+ bx1+ c y2 = ax22+ bx2+ c y3 = ax32+ bx3+ cche ammette una ed una sola soluzione (per il teorema di Cramer)Fine problema 29. CASO : assegnati il vertice V e un puntoSiano dati: il vertice V(xV;yV) e il punto A(x1;y1)1) si impone il passaggio per il punto A(x1;y1)y1 = ax12+ bx1+ c 2) Il passaggio per V(xV;yV)yV = axV2+ bxV+ c 3) Si impone che lasse di simmetria x = -(b/2a) coincida con lascissa del vertice:-(b/2a) = xVRitorno al problema 30. Dati concernentiil Vertice, il Fuoco, la DirettriceCasi in cui sono noti 2 dei seguenti 3 dati:il vertice V, il fuoco F, la direttrice d.Dalle combinazioni dei tre dati, presi a due a due, si possono presentare iseguenti TRE casi: (1clic)Il fuoco F e la direttriceIl vertice V e laIl vertice V e ild direttrice d fuoco F 31. Primo caso:noti il fuoco F e la direttrice dDati:F(xF;yF) e d: y = hSi perviene subito allequazione della parabola utilizzando F e y = hnella definizione di parabola: equidistanza da F e da d di un genericopunto P(x;y): 32. _____________ (x xF)2 + (y yF)2 = | y h |Da cui, sviluppando i calcoli, si perviene allequazione richiesta.Fine problema 33. Secondo caso: noti il Vertice e la direttrice d. Dati:V(xV;yV) e d: y = hPer via algebrica. Si imposta il sistema, di tre equazioni in tre incognite,utilizzando i dati del problema:(1clic)lascissa del vertice: -b/(2a) = xV ;Lordinata del vertice:- /(4a) = yV ;Lequazione della direttrice: - /(4a) 1/(4a) = h; 34. Parabola di dato Fuoco e per un Punto dato Dati: il fuco F(xF;yF) e un punto P(xo;yo)Osservazione: da unaprima analisi si deduce Pche vi sono DUE FP Fparabole che soddisfanole condizioni delproblema. 1 CLIC 35. (1clic) (1clic)PF P F 36. Risoluzione del problema per via algebrica.Per via algebrica. Si imposta il sistema, di tre equazioni in tre incognite,utilizzando i dati del problema:(1clic)lascissa del fuoco: -b/(2a) = xF ;Lordinata del fuoco:- /(4a) 1/(4a) = yF ;Appartenenza di P:axo2+bxo+c = yo -b/(2a) = xF -b2 +4ac 1 = yF4a axo2+bxo+c = yoFine problema 37. Intersezione tra Retta e ParabolaPer ricercare gli eventuali punti di intersezione tra unadata retta ed una data parabola ,cio quei punti le cuicoordinate soddisfano contemporaneamente lequazionedella retta e della conica, si mettono a sistema lerispettive equazioni formando cos un sistema di 2 grado :y = mx + qy = ax2 + bx + c Dal punto di vista algebrico il sistema ammette due soluzioni (x1;y1) e (x2;y2), che possono essere: (1clic)due reali e distinte, due reali e coincidenti, due complesse coniugate 38. Nel primo caso la retta e la conica hanno due punti distinti incomune e si dice che la retta secante; (1clic)(x2;y2)(x1;y1) 39. nel secondo caso hanno due punti coincidenti in comune e si diceche la retta e la parabola sono tangenti; (1clic)(x1;y1) 40. In questo caso la tangente e la parabola hanno due punti coincidenti incomune 1 clicMentre la retta secante sviene spostata sparallelamente