PARÁBOLA, ELIPSE E HIPÉRBOLE

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

SEÇÕES CÔNICAS

ME. Gilcimar Bermond Ruezzene

SEÇÕES CÔNICASSEÇÕES CÔNICAS

APLICAÇÕES

ELIPSE

•SAÚDE;

•ACÚSTICA;

•ASTRONOMIA;

APLICAÇÕES

PARÁBOLA

•ANTENAS

PARABÓLICAS;

•FAROIS DE VEÍCULOS;

•FORNOS SOLARES;

•TELESCÓPIOS; 

•PONTES SUSPENSAS;

APLICAÇÕES

HIPÉRBOLE

TELESCÓPIO;

ARQUITETURA;

TORRES DE

REFRIGERAÇÃO DE USINAS

NUCLEARES;

NAVEGAÇÃO DE LONGA

DISTÂNCIA;

PARÁBOLAPARÁBOLA

• Uma parábola é o conjunto de pontos em um plano cujas distâncias a um ponto fixo F (denominado foco) e a uma reta fixa (chamada diretriz) são iguais.

PARÁBOLAPARÁBOLA

• Obteremos uma equação particularmente simples para uma parábola se colocarmos o vértice na origem O e sua diretriz paralela ao eixo x.

PARÁBOLAPARÁBOLA

1º CASO 2º CASO

PARÁBOLAPARÁBOLA

3º CASO 4º CASO

• Nos exemplos 1 e 2 encontre o vértice, o foco e a diretriz da parábola e esboce seu gráfico.

1) x² = 8y

2) x = 2y²

EXEMPLOSEXEMPLOS

ELIPSEELIPSE

• Uma elipse é o conjunto de pontos em um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos F1 e F2 é uma constante.

• Esses dois pontos são chamados focos.

ELIPSEELIPSE

• Uma das Leis de Kepler é que as órbitas dos planetas no sistema solar são elipses, com o Sol em um dos focos.

EIXO MAIOR DA ELIPSE SOBRE XEIXO MAIOR DA ELIPSE SOBRE X

• Os pontos correspondentes (a, 0) e (-a, 0) são chamados vértices da elipse, e o segmento de reta que une os vértices é dito eixo maior.

ELIPSEELIPSE

• Para encontrar as interseções com o eixo y fazemos x = 0 e obtemos y2 = b2.

ou seja, y = ± b.

Observe que, se os focos coincidirem, então c = 0, portanto, a = b e a elipse torna-se um círculo com raio r = a = b.

EIXO MAIOR DA ELIPSE SOBRE YEIXO MAIOR DA ELIPSE SOBRE Y

• Se os focos de uma elipse estiverem localizados no eixo y em

(0, ± c), então podemos encontrar sua equação trocando x e y.

ELIPSEELIPSE

EXEMPLOSEXEMPLOS

HIPÉRBOLE

Observe a hipérbole representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos:

vértices: os pontos A1 e A2

centro da hipérbole: o ponto O,

que é o ponto médio de

semi-eixo real: a

semi-eixo imaginário: b

semidistância focal: c

• Excentricidade•         Chamamos de excentricidade o número real e tal que:

•     Como c > a, temos e > 1. 

• Equações•    Vamos considerar os seguintes casos:

• a) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Ox

semi-eixo real: a semi-eixo imaginário: b semidistância focal: c

distância focal:

eixo real:

eixo imaginário:

ELEMENTOS

HIPÉRBOLEHIPÉRBOLE

• Observe que a definição de uma hipérbole é similar àquela de uma elipse.

A única mudança é que a soma das distâncias torna-se uma diferença das distâncias.

• De fato, a dedução da equação de uma hipérbole é também similar àquela dada anteriormente para uma elipse.

EQUAÇÃO DA HIPÉRBOLE – FOCOS NO EIXO XEQUAÇÃO DA HIPÉRBOLE – FOCOS NO EIXO X

2 2

2 21

x y

a b

HIPÉRBOLEHIPÉRBOLE

• Observe que:

• As interseções com o eixo x são novamente ± a.

• Os pontos (a, 0) e (–a, 0) são os vértices da hipérbole.

RAMOSRAMOS

• Portanto, temos

x ≥ a ou x ≤ –a

• Isso significa que a hipérbole consiste em duas partes, chamadas

ramos.

ASSÍNTOTASASSÍNTOTAS

• Ao desenhar uma hipérbole, tenha em mente que é útil desenhar primeiro suas assíntotas, que são as retas y = (b/a)x e y = –(b/a)x.

HIPÉRBOLEHIPÉRBOLE

• Se os focos de uma hipérbole estiverem no eixo y, então, trocando os papéis de x e y, obtemos a seguinte informação.

EQUAÇÃO DA HIPÉRBOLE – FOCOS NO EIXO Y EQUAÇÃO DA HIPÉRBOLE – FOCOS NO EIXO Y

HIPÉRBOLEHIPÉRBOLE

• Veja a ilustração

EXEMPLOSEXEMPLOS

1) Encontre os focos e as assíntotas da hipérbole 9x2 – 16y2 = 144 e esboce seu gráfico.

2) Encontre os focos e a equação da hipérbole com vértices (0, ±1) e assíntota y = 2x.

EXEMPLO