Parabola - matematicainrete.it · - La parabola - 70 Disegnare una parabola di equazione assegnata 1) Disegnare la parabola P di equazione 3y =x2 +4x + , determinare le coordinate

- Appunti di Matematica 3 – Liceo Scientifico -

- La parabola -

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Parabola

Nella classe seconda abbiamo già studiato il grafico della funzione cbxaxy ++= 2 , che risulta

essere una curva chiamata “parabola”.

La parabola può essere però più in generale definita come “luogo di punti” che godono della

seguente proprietà:

Definizione

Dati nel piano una retta d e un punto dF ∉ , si dice parabola P di direttrice d e fuoco F il

“luogo geometrico” dei punti P del piano (cioè l’insieme dei punti del piano) equidistanti da d e

da F cioè tali che ),( dPdPF = .


- La parabola -

65

Osservazioni

1. Possiamo subito individuare un punto “particolare” della parabola: il punto che si trova sulla

perpendicolare a d per F viene detto vertice della parabola e indicato con V.

2. Per individuare dei punti di P possiamo tracciare una retta r parallela a d e puntare il

compasso in F con apertura uguale alla distanza tra r e d. Si individuano due punti P , P’

simmetrici rispetto alla retta per F perpendicolare a d che è quindi l’asse di simmetria della

parabola.

3. Osserviamo inoltre che non ci sono punti della parabola “al di sotto” del vertice (se s è la

retta per V parallela a d i punti di P si trovano nel semipiano individuato da s contenente F).

4. Determinando qualche punto di P si osserva che la curva risulta aperta e illimitata.

5. Allontanando il fuoco F dalla direttrice d la “forma” della parabola risulta più “larga”.

La distanza tra F e d viene chiamata parametro della parabola ed indicata con p: maggiore è p e

maggiore è l’apertura della parabola.


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LA PARABOLA NEL PIANO CARTESIANO

Parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y

Cominciamo con il considerare il caso in cui l’asse di simmetria della parabola sia parallelo

all’asse y del sistema di riferimento.

a) Supponiamo inoltre che il vertice coincida con l’origine del sistema di riferimento cioè

)0;0(V .

Consideriamo per esempio )2;0(F 2: −=yd (vedi figura).

Per determinare l’equazione di P consideriamo un generico punto );( yxP e imponiamo che sia

equidistante da F e da d :

),( dPdPF = ( )02: =+yd

Possiamo elevare al quadrato per evitare le radici quadrate e abbiamo quindi:

22

)),(( dPdPF =

E sviluppando:

22222222

8

184444)2()2( xyyxyyyyxyyx ==++=+−++=−+

Quindi l’equazione di P risulta 2

8

1xy = .


- La parabola -

67

In generale, indicando con p il parametro, avremo

2;0

pF e

2:

pyd −=

22

)),(( dirPdPF =

22

2

22

+=

−+ py

pyx

44

22

222 p

pyyp

pyyx ++=+−+ 22

2

12 x

pypyx ==

Generalmente si pone p

a2

1= e quindi l’equazione della parabola con vertice )0;0(V e asse di

simmetria assey≡ risulta:

2axy =

Da notare che se il fuoco si trova sotto alla direttrice, come nella figura seguente, avremo

2

2

1x

py −= e quindi in questo caso si pone

pa

2

1−= .

In conclusione l’equazione della parabola di vertice )0;0(V , asse di simmetria assey≡ e

parametro p (p>0 perché rappresenta la distanza tra fuoco e direttrice) risulta 2axy =

• p

a2

1= se P è rivolta verso l’alto ( )0>a

• p

a2

1−= se P è rivolta verso il basso ( )0<a


- La parabola -

68

b) Consideriamo adesso il caso in cui il vertice V non coincida con (0;0).

Sia per esempio )1;2(V , 4=p e la parabola sia rivolta verso l’alto.

Supponiamo di traslare il sistema di riferimento in modo che il vertice della parabola coincida con

la nuova origine.

La relazione tra le coordinate (x;y) e quelle (x’;y’) sarà:

−=−=

1'

2'

yy

xx

Ma nel nuovo sistema di riferimento possiamo scrivere l’equazione di P :

2)'(8

1' xy = (

8

1

2

1 ==p

a )

e quindi nel sistema di riferimento (O;x;y) avremo

2)2(8

11 −=− xy

In generale se );( VV yxV avremo: 2)( VV xxayy −⋅=−

Se sviluppiamo abbiamo: VVV yxaxaxaxy +⋅+−= 22 2 e ponendo (*)

=+

=−

cyax

bax

VV

V

2

2

Otteniamo

cbxaxy ++= 2

equazione della parabola P con asse di simmetria parallelo all’asse y

Dalle relazioni (*) possiamo ricavare che le coordinate del vertice sono

∆−=−−=

−=

aa

acby

a

bx

V

V

44

)4(

22


- La parabola -

69

Possiamo anche ricavare delle formule per esprimere le coordinate del fuoco e l’equazione della

direttrice in funzione di cba ,, .

Se l’equazione della parabola è cbxaxy ++= 2 con 0>a abbiamo (vedi figura):

+∆−=+−−=+=+=

−==

aaa

acb

ay

pyy

a

bxx

VVF

VF

4

1

4

1

4

)4(

4

1

2

22

e quindi

+∆−−aa

bF

4

1;

2

Per l’equazione della direttrice avremo:

aydirettrice

aa

acby

pyy V

4

1:

4

1

4

)4(

2

2 −∆−=−−−=−=

Se 0<a abbiamoa

p2

1−= ma il fuoco sta sotto al vertice e quindi dobbiamo sottrarre 2

p

mentre la direttrice sopra al vertice e quindi dobbiamo sommare 2

p e quindi si ottengono le stesse

formule.


- La parabola -

70

Disegnare una parabola di equazione assegnata

1) Disegnare la parabola P di equazione 342 ++= xxy , determinare le coordinate del suo

fuoco F, l’equazione della direttrice d e l’equazione del suo asse di simmetria.

Per disegnare una parabola occorre innanzitutto individuare il suo vertice V.

Sappiamo che 22

4

2−=−=−=

a

bxV

Per determinare l’ordinata del vertice possiamo utilizzare la relazione a

acbyV

4

)4( 2 −−= ma,

più semplicemente, possiamo sostituire l’ascissa del vertice nell’equazione della parabola

(infatti ∈V P e quindi le sue coordinate verificano l’equazione di P ).

Quindi avremo: 13)2(4)2( 2 −=+−⋅+−=Vy

Per disegnare la parabola possiamo poi individuare qualche altro punto, per esempio le

intersezioni con gli assi del sistema di riferimento:

=++=

0

342

y

xxy

==++

0

0342

y

xx

=−=0

1

1

1

y

x ∪

=−=0

3

2

2

y

x

=++=

0

342

x

xxy

==

0

3

x

y

Quindi avremo:


- La parabola -

71

L’equazione dell’asse di simmetria di P è 2−=x .

Come possiamo determinare le coordinate di F e l’equazione della direttrice d ?

La parabola è rivolta verso l’alto e quindi p

a2

1= .

Possiamo allora ricavare il parametro p :

2

1

2

11 == p

p

Ricordando che il vertice dista 2

p sia da F che dalla direttrice d , avremo

−−=

+−−4

3;2

4

11;2F

4

5

4

11: −=−−= yyd

2) Disegnare la parabola di equazione 322 ++−= xxy .

Procedendo come nel precedente problema si ottiene

)4;1(V , 2

1

2

1 =−= pp

a

e quindi:

=

−4

15;1

4

14;1F

4

17

4

14: =+= yyd

asse di simmetria: 1=x


- La parabola -

72

Problemi

Determinare l’equazione di una parabola con asse parallelo all’asse y conoscendo:

a) Vertice V e fuoco F Possiamo determinare il parametro p e quindi a e quindi l’equazione sarà:

2)( VV xxayy −⋅=− .

Esempio: )2;3(V e )3;3(F

4

1

2

121

2====

pap

p

P: 2)3(4

12 −=− xy

b) Vertice V e direttrice d Possiamo determinare il parametro p da cui troviamo a e poi utilizziamo l’equazione

2)( VV xxayy −⋅=− .

Esempio: )2;1(−V 4: =yd

422

== pp

8

1

2

1 −=−=p

a

P: 2)1(8

12 +−=− xy

c) Vertice V e un punto A appartenente alla parabola

Esempio: )3;1(V )2;2(A

L’equazione di P sarà : 2)1(3 −⋅=− xay

Sostituendo le coordinate di A:

1)12(32 2 −=−⋅=− aa

E quindi P : 2)1(3 −−=− xy


- La parabola -

73

d) Le coordinate di tre punti A,B,C appartenenti alla parabola

In questo caso dobbiamo utilizzare l’equazione cbxaxy ++= 2 .

Esempio: )5;1(−A )2;0(B )5;3(C

Sostituiamo le coordinate dei punti nell’equazione generale:

→→→

C

B

A

++=++=

+−=

cba

cba

cba

395

242

5

….. →

=−=

=

2

2

1

c

b

a

Quindi l’equazione della parabola è 222 +−= xxy

e) Fuoco F e direttrice d

Esempio: )1;0(F 3: =yd

Possiamo ricavare )2;0(V 4

1

2

12 −=−==

pap e quindi l’equazione della parabola

sarà:

P : 24

1

4

12 22 +−=−=− xyxy

Oppure possiamo utilizzare la definizione:

22

)),(();( dirPdPFyxP =⇔Ρ∈

24

1.....)3()1( 2222 +−=−=−+ xyyyx


- La parabola -

74

f) Il fuoco F e le coordinate di un punto A ∈ P

Esempio: )1;0(F )1;2(−A

→→→

A

y

x

F

F

+−=

=−−

=−

cba

a

acb

a

b

241

14

)4(1

02

2

…… →

==

=

0

0

4

1

1

1

c

b

a

∪

==

−=

2

0

4

1

2

2

c

b

a

Anche in questo caso abbiamo ottenuto un sistema di 2° grado e abbiamo trovato due

soluzioni distinte cioè due parabole. Puoi risolvere il problema con un procedimento

“geometrico”?

g) L’equazione della direttrice d e le coordinate di due punti appartenenti alla

parabola

Esempio: 4

9: =yd )1;1(−A )2;2( −B

d

B

A

→→

=−+−

++=−+−=

4

9

4

)41(

242

1

2

a

acb

cba

cba

…….

Osserviamo che si ottiene un sistema di 2° grado: in questo caso abbiamo due soluzioni

distinte ),,( 111 cba ),,( 222 cba cioè due parabole che verificano le condizioni assegnate.

In quali casi si ha una sola parabola oppure nessuna parabola con asse parallelo all’asse

y? Puoi trovare le parabole con un procedimento “geometrico”?


- La parabola -

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PARABOLA E RETTA

Per determinare le intersezioni tra una parabola con asse parallelo all’asse y, quindi di equazione

cbxaxy ++= 2 e una retta qmxy += , quindi non parallela all’asse y, basterà risolvere il

sistema formato dalle due equazioni.

+=++=

qmxy

cbxaxy 2

Il sistema è di secondo grado e potremo avere tre casi:

• la retta è secante cioè ha due intersezioni distinte con la parabola e quindi in questo caso il

discriminante dell’equazione risolvente è positivo ( 0>∆ );

• la retta è tangente alla parabola cioè ha due intersezioni coincidenti con la parabola ( 0=∆ );

• la retta è esterna alla parabola cioè non ha nessuna intersezione con la parabola ( 0<∆ )


- La parabola -

76

Esempi

Consideriamo la parabola 542 +−= xxy .

a) Consideriamo la retta 32 −= xy e vediamo come risulta rispetto alla parabola.

Risolviamo il sistema

→

Quindi la retta è secante e i due punti di intersezione sono ( ) ( )5;4,1;2

b) Consideriamo la retta 42 −= xy e vediamo come risulta rispetto alla parabola.


Quindi la retta è tangente e il punto di tangenza è ( )2;3 .

c) Consideriamo la retta 52 −= xy e vediamo come risulta rispetto alla parabola.


In questo caso la retta è esterna e non ci sono intersezioni tra la retta e la parabola.

NOTA

Se invece la retta è parallela all’asse y cioè ha equazione kx =

avremo sempre un solo punto di intersezione con la parabola.

Esempio

Consideriamo sempre la parabola 542 +−= xxy .

Consideriamo per esempio la retta 3=x

Avremo

−=±=−±=→=+−→−=+−

32

138930863254 2,1

22

xy

xxxxxx

−=+−=

42

542

xy

xxy → ( )

−==→=−→=+−→−=+−

42

3030964254222

xy

xxxxxxx

−=+−=

32

542

xy

xxy

−=<∆→=+−→−=+−

32

001065254 22

xy

xxxxx

−=+−=

52

542

xy

xxy →

=+−=

3

542

x

xxy →

==

2

3

y

x


- La parabola -

77

Rette tangenti ad una parabola

Esempio 1

Dato un punto P appartenente ad una parabola P , con asse parallelo all’asse y, come si

determina la retta per P tangente alla parabola?

Riprendiamo per esempio la parabola di equazione 542 +−= xxy e consideriamo il suo punto

( )2;3P .

Consideriamo l’equazione di una generica retta passante per P:

( ) ( )3232 −+=→−=− xmyxmy

Consideriamo il sistema

( )( ) ( )

==+++−→−+=+−

→

−+=+−=

....

03343254

32

54 222

y

mxmxxmxx

xmy

xxy

Per determinare l’inclinazione della retta tangente basta imporre che l’equazione di secondo

grado ( ) 03342 =+++− mxmx abbia discriminante uguale a zero (si dice anche imporre la

“condizione di tangenza”) cioè:

( ) ( ) ( ) 20204403344222 =→=−→=+−→=+−+ mmmmmm

Quindi l’equazione della tangente in P alla parabola sarà: ( ) 42232 −=→+−= xyxy


- La parabola -

78

Esempio 2

Consideriamo : P : xxy −= 2

4

1 e il punto esterno alla parabola )4;0( −P : come si determinano

le rette per P tangenti alla parabola?

Consideriamo l’equazione di una retta generica passante per P

44 −=→=+ mxymxy

Per determinare le tangenti dobbiamo impostare il sistema e imporre la “condizione di

tangenza”:

−=

−=

4

4

1 2

mxy

xxy →

−=−

....

44

1 2 mxxx →

=++−....

016)1(42 xmx

016)1(44

2 =−+=∆m 4:1 11 −=→= xytm

43:3 22 −−=→−= xytm

Osservazione Se P è “interno” alla parabola non ci sono rette tangenti.


- La parabola -

79

Esempio 3

Come si determina l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y sapendo che deve avere

in un punto T una tangente assegnata t e passare da un dato punto A ?

Consideriamo per esempio 33: −= xyt )0;1(T )2;2(A

Scriviamo l’equazione generale della parabola con asse parallelo all’asse y

cbxaxy ++= 2

Impostiamo il sistema formato dall’equazione della retta e della parabola e imponiamo la

condizione di tangenza:

++=−=

cbxaxy

xy

2

33 →

−=++....

332 xcbxax→

=++−+.....

03)3(2 cxbax

0)3(4)3( 2 =+−−=∆ cab (condizione di tangenza)

Quindi avremo:

gcond

A

T

tan.

→→

=+−−++=

++=

0)3(4)3(

242

0

2 cab

cba

cba

→

−==

−=

4

5

1

c

b

a

P : 452 −+−= xxy


- La parabola -

80

Parabola con asse di simmetria parallelo all’asse x

Consideriamo adesso il caso in cui l’asse di simmetria della parabola sia parallelo all’asse x del

sistema di riferimento.

a) Se il vertice )0;0(≡V avremo: 22

)),(( dirPdPF =

2

2

2

22

+=+

− pxy

px

Sviluppando otteniamo l’equazione della

parabola

P : 2

2

1y

px = e ponendo

pa

2

1=

P : 2yax ⋅=

Analogamente se P è rivolta verso sinistra, cioè

− 0;2

pF e

2:

pxd = otteniamo 2

2

1y

px −= .

Quindi, in generale, l’equazione di una parabola P con )0;0(V , asse di simmetria assex≡ e

parametro p risulta 2yax ⋅=

dove

• p

a2

1= se P è rivolta verso destra

• p

a2

1−= se P è rivolta verso sinistra


- La parabola -

81

b) Se il vertice );( VV yxV trasliamo il sistema di riferimento.

Poiché le equazioni le collegano le vecchie e le nuove coordinate sono

−=−=

V

V

yyy

xxx

'

'

avremo quindi P: 2)'(' yax ⋅= cioè 2)( VV yyaxx −⋅=−

Sviluppando otteniamo : VVV xyayayayx +⋅+−= 22 2

Ponendo (* )

=+⋅

=−

cxya

bay

VV

V

2

2 abbiamo

P : cbyayx ++= 2

il cui vertice V ha coordinate

−∆−a

b

aV

2;

4 che si ricavano da (*) ;

il cui fuoco F ha coordinate

−+∆−a

b

aF

2;

4

1 (basta svolgere considerazioni analoghe a quelle

viste per la parabola con asse parallelo all’asse y);

la cui direttrice ha equazione a

xd4

1:

−∆−=

In pratica sia nell’equazione di P che nelle coordinate di V, F e nell’equazione della direttrice x

e y sono scambiati rispetto alla parabola con asse parallelo all’asse y.

I problemi relativi a parabole con asse parallelo all’asse x sono del tutto analoghi a quelli

considerati per parabole con asse parallelo all’asse y.


- La parabola -

82

Parabola con asse di simmetria non parallelo agli assi coordinati

Facciamo solo un esempio: determiniamo l’equazione della parabola avente fuoco )4;0(F e

direttrice xyd =: ( quindi 0=− yx ).

Applichiamo la definizione:

22

)),(( dirPdPF = 2

)()4(

222 yx

yx−=−+

Sviluppando otteniamo:

P : 03216222 =+−++ yxyyx

Osserviamo che abbiamo ottenuto un’equazione di 2° grado in x e y in cui compare, a differenza

di quanto accade per la circonferenza, il termine in xy.

Nota: il nostro studio si limiterà alle parabole con asse di simmetria parallelo all’asse y o all’asse

x.


- La parabola -

83

PARABOLA E FASCIO DI RETTE

1) Consideriamo il seguente sistema contenente una “limitazione”:

≤≤+=−=

30

2

22

x

kxy

xxy

Risolverlo significa studiare le intersezioni rea l’arco di parabola in figura e il fascio di rette

kxy += 2 .

Osserviamo che occorre determinare i valori di k corrispondenti alle rette del fascio passanti

per gli estremi dell’arco di parabola ∩

OA e il valore di k corrispondente alla retta tangente.

Ok 000 =→+= Okk

Ak 363 −=→+= Akk

tk

+=−=

kxy

xxy

2

22

→ +=−......

222 kxxx →

=−−......

042 kxx

La condizione di tangenza risulta: 4044

−=→=+=∆tkk

Osservando il disegno abbiamo quindi:

1 soluzione (intersezione) 03 ≤<− k

2 soluzioni (intersezioni) 34 −≤≤− k


- La parabola -

84

2) Consideriamo adesso l’intersezione dello stesso arco di parabola con un fascio di rette

passanti per un punto:

≤≤=−−

−=

30

02

22

x

ykx

xxy

fascio di rette passanti per P(0;-2) con rette generatrici 0

20

=→∞=−=→=

xk

yk

In questo caso il valore di k corrispondente alla retta del fascio per (0;0) è ∞=k

Ak 3

50233 =→=−− Akk

tk

=−−=

ykx

xxy

2

22

→ −=−.....

222 kxxx →

=++−.......

02)2(2 xkx

La condizione di tangenza è : 22208)2( 2,1

2 ±−==−+=∆ kk

Osservando come aumentano i valori di k, si deduce che il valore che ci interessa è quello

positivo cioè 222 +−=tk .

In conclusione abbiamo:

1 soluzione (intersezione) 3

5>k

2 soluzioni (intersezioni) 3

5222 ≤≤+− k


- La parabola -

85

Problemi di “massimo e minimo”

Esempio 1

Vogliamo costruire un recinto rettangolare ed abbiamo un filo lungo 10 metri. Qual è la massima

area che possiamo recintare?

Supponiamo di indicare con x una dimensione del nostro recinto rettangolare ABCD : avremo

chiaramente che

50 ≤≤ x

L’altra dimensione sarà quindi x−5 (il semiperimetro è 5 metri).

Quindi l’area del recinto sarà: ( ) ( )xxxA −= 5

Sviluppando abbiamo ( ) 25 xxxA −=

cioè un’espressione di secondo grado e quindi il grafico dell’area sarà l’arco di parabola in figura:

E’ quindi chiaro che l’area massima si avrà

prendendo 2

5=x e risulterà 4

25.

Osserviamo che per 2

5=x l’altra dimensione del

rettangolo risulta 2

5

2

55 =−=BC e quindi il recinto

di area massima è un quadrato.


- La parabola -

86

Esempio 2

Dato il quadrato ABCD di lato l considera il quadrato A’B’C’D’ inscritto in ABCD costruito

prendendo '''' DDCCBBAA === (vedi figura).

Quali valori può assumere l’area di A’B’C’D’?

E’ chiaro che l’area di A’B’C’D’ sarà al massimo 2l (= area di ABCD). Inoltre si osserva che per

ogni valore possibile dell’area ci sono sempre due quadrati A’B’C’D’ che hanno quell’area (vedi

figura).

Ma cerchiamo di calcolare l’area del quadrato A’B’C’D’.

Possiamo porre 'AAx = con la limitazione lx ≤≤0 .

L’area di A’B’C’D’ allora risulta (applicando il teorema di Pitagora al triangolo A’BB’):

22222

22)('')( llxxxlxBAxA +−=−+==


- La parabola -

87

Ma nel piano cartesiano il grafico di )(xA è una parabola ed ha vertice

2;

2

2llV

Quindi osservando il grafico dell’area abbiamo che :

• l’area minima risulta 2

2l (cioè metà dell’area del quadrato ABCD) e si ha quando

2

lx =

cioè quando A’ coincide con il punto medio del lato AB;

• l’area massima è 2l (area del quadrato ABCD) e si ha quando lxx == ,0 cioè quando

A’ coincide con A o con B.

Inoltre è anche chiaro che per ogni valore k dell’area compresa tra 2

2l e 2l ci sono sempre due

diversi quadrati inscritti con quel valore dell’area.


- La parabola -

88

Esempio 3

Considera la parabola di equazione 24 xxy −= con 40 ≤≤ x e un punto ∩

∈ OVP dove V è il

vertice della parabola.

Traccia il rettangolo PQRS inscritto nella parte di piano delimitata dall’arco di parabola a e

dall’asse x : come varia il perimetro ?

Puoi provare a disegnare l’arco di parabola con Geogebra e ad inscrivere il rettangolo (vedi

scheda relativa): variando la posizione di P possiamo farci un’idea di come varia il perimetro di

PQRS….

Proviamo ad esprimere il perimetro di PQRS in funzione dell’ascissa x del punto P.

Innanzitutto abbiamo che ( )24; xxxP − con 20 ≤≤ x e quindi .

Per la simmetria della parabola avremo poi che xPQ 24 −= .

In conclusione:

( ) ( ) ( ) ( ) 8422242422 22 ++−=→−+−= xxxpxxxxp

Quindi il perimetro del rettangolo è espresso da un’espressione di secondo grado ed il suo grafico

sarà una parabola.


- La parabola -

89

Disegniamo quindi la parabola ( ) 8422 2 ++−= xxxp per 20 ≤≤ x : il vertice sarà ( )10;1V e

avremo per 820 =→= px e per 822 =→= px .

Quindi :

• il perimetro minimo sarà 8 quando 0=x cioè quando OP ≡ e quando 2=x cioè quando

VP ≡ ;

• il perimetro massimo sarà 10 e si avrà per 1=x cioè quando ( )3;1P .

E’ anche chiaro che fissando un valore del perimetro compreso tra 8 e 10 si avranno sempre due

diversi rettangoli con quel perimetro.


- La parabola -

90

ESERCIZI

I) Disegna le seguenti parabole con asse di simmetria parallelo all’asse y e determinane

fuoco e direttrice:

1) xxy 22 −= [ )1;1( −V

−4

3;1F

4

5: −=yd ]

2) 442 +−= xxy [ )0;2(V

4

1;2F

4

1: −=yd ]

3) 21 xy −= [ )1;0(V

4

3;0F

4

5: =yd ]

4) 22xxy −= [

8

1;

4

1V

0;

4

1F

4

1: =yd ]

5) xxy 32

1 2 −= [

−2

9;3V ( )4;3 −F 5: −=yd ]

6) 24 xy −= [ ( )4;0V

4

15;0F

4

17: =yd ]

7) 12 += xy [ ( )1;0V

4

5;0F

4

3: =yd ]

8) xxy −= 2

4

1 [ ( )1;2 −V ( )0;2F 2: −=yd ]

9) 12 −−= xy [ ( )1;0 −V

−4

5;0F

4

3: −=yd ]

10) 42 2 −= xy [ ( )4;0 −V

−8

31;0F

8

33: −=yd ]


- La parabola -

91

II) Determina l’equazione della parabola avente:

11) )0;0(F 2: −=yd [ ]14

1 2 −= xy

12) )2;2(F 3: =yd [ ]2

12

2

1 2 ++−= xxy

13) )1;0(F )1;0( −V [ ]18

1 2 −= xy

14) )0;3(V 3: −=yd [ ]4

3

2

1

12

1 2 +−= xxy

15) Asse parallelo asse y , )1;1(V , passante per )2;3(P [ ]4

5

2

12

41 +−= xxy

16) Asse parallelo asse y , passante per )0;1(A )0;3(B )3;4(C [ ]342 +−= xxy

17) Asse parallelo asse y, passante per

−2

3;1A )1;0( −B

−2

5;1C [ ]12

2

1 2 −−= xxy

18) Asse di simmetria parallelo asse y, )0;0(F , passante per )0;2(A

[ 14

1 2 −= xy ; 14

1 2 +−= xy ]

19) Direttrice 0: =yd , passante per )2;0(A e )1;2(B

[ 24

1 2 +−= xxy ; 234

5 2 +−= xxy ]

20) Direttrice 4

3: =yd ,passante per )2;0(A e )5;3(B

[ 222 +−= xxy ; 23

1

9

2 2 ++= xxy ]

21) Direttrice 4

5: −=yd , passante per )0;0(A e )3;3(B

[ xxy 22 −= ; xxy3

1

9

2 2 += ]

22) Direttrice 1: −=yd , passante per )0;1(A e )1;3(B

[ 2)1(4

1 −= xy ; 5

4

5

9

4

52

−

−= xy ]

23) Direttrice 0: =yd ,passante per )1;1(−A e )1;1(B [2

1

2

1 2 += xy ]

24) Asse di simmetria parallelo asse y, )1;0(F ,passante per )2;0(P [ 24

1 2 +−= xy ]


- La parabola -

92

III) Disegna le seguenti parabole con asse di simmetria parallelo all’asse x e determinane

fuoco e direttrice:

25) 232 +−= yyx [

−2

3;

4

1V

2

3;0F

2

1: −=xd ]

26) 24 yx −= [ )0;4(V ;

0;

4

15F

4

17: =xd ]

27) yyx += 2

4

1 [ )2;1( −−V ; )2;0( −F 2: −=xd ]

28) 22

1 2 +−= yx [ )0;2(V ;

0;

2

3F

2

5: =xd ]

29) 12 += yx [ )0;1(V ;

)0;

4

5F

4

3: =xd ]

IV) Determina l’equazione della parabola avente:

30) )0;1(F 0: =xd [ ]2

1

2

1 2 += yx

31) )0;0(F )0;2(V [ ]28

1 2 +−= yx

32) )1;1(−V 1: =xd [ ]8

9

4

1

8

1 2 −+−= yyx

33)Asse parallelo asse x , )0;0(V , passante per )1;2(−P [ ]2 2yx −=

34)Asse parallelo asse x , passante per )0;0(A )1;2(B )2;1(C [ ]2

7

2

3 2 yyx +−=

35)Asse di simmetria parallelo asse x, )1;0(F , passante per )2;0(A

[ yyx +−= 2

2

1 ; yyx −= 2

2

1 ]


- La parabola -

93

V) Problemi vari

36) Disegna la parabola P : xxy 22 −= e determina l’equazione della tangente t a P in (0;0)

e le equazioni delle tangenti 2,1t uscenti dal punto P(3;-1).

[ xyt 2: −= ; 1:1 −=yt , 258:2 −= xyt ]

37) Disegna la parabola P : 24 yx −= e determina le equazioni delle tangenti nei suoi punti di

intersezione con l’asse y.

[ 24

1 +−= xy ; 24

1 −= xy ]

38) Disegna la parabola P : 12 += yx e determina le equazioni delle tangenti uscenti

dall’origine.

[ xy2

1±= ]

39) Determina l’equazione della parabola P con asse di simmetria parallelo all’asse y , tangente

in T(-1;0) alla retta 22: += xyt e passante per A(2;-3).

[ 21 xy −= ]

40) Determina l’equazione della parabola P con asse di simmetria parallelo all’asse x , tangente

in T(0;0) alla retta xyt =: e passante per A(3;2).

[ yyx += 2

4

1 ]

41) Determina le equazioni delle parabole con asse parallelo all’asse y, tangenti alla retta

012: =++ yxt e passanti per A(0;0) e B(1;1).

[ 2xy = ; xxy 89 2 −= ]

42) Determina le equazioni delle parabole con asse parallelo all’asse x, tangenti alla retta

022: =++ yxt e passanti per A(0;0) e B(2;2).

[ 2

2

1yx = ; yyx 8

2

9 2 −= ]


- La parabola -

94

VI) Parabola e fasci di rette

43)

≤≤−+=−=

11

1 2

x

kxy

xy

[1 sol. 11 <≤− k ; 2 sol. 4

51 ≤≤ k ]

44)

≤≤+=

+=

10

12

y

kxy

yx

[2 sol. 4

31 −≤≤− k ]

45)

≤≤+−=

+−=

20

22

x

kxy

xxy

[1 sol. 20 <≤ k ; 2 sol. 4

92 ≤≤ k ]

46)

≤≤=−+−

−=

50

02)23(

52

x

xyxk

xxy

[1 sol. 5

1−≥k ]

47)

≤≤−=+−+

+−=

21

0)2(

12

y

yyxk

yx

[1sol.3

2

3

1 <<− k ;2sol.3

11

3

2 −=∪≤≤ kk ]

48)

≤≤=+−+

−=

40

0)1(2

42

x

kykx

xxy

[1 sol. 11 ≥∪−≤ kk ]

49)

≤≤+=

−=

20

22

x

kxy

xxy

[1 sol. 02 ≤<− k ,2 sol. 24

9 −≤≤− k ]


- La parabola -

95

VII) Esercizi di ricapitolazione

50) Determina l’equazione della parabola avente fuoco )2

1;0(F e direttrice d:

2

1−=y .Disegnala,

indica con V il suo vertice e sia A il suo punto di ascissa x =1. Determina l’equazione della

tangente t alla parabola in A e , detta B l’intersezione di t con la direttrice d , determina l’area

del triangolo ∆

ABV .

[ 2

2

1xy = ;

2

1−= xy ; 4

1)( =

∆ABVarea ]

51) Determina l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y tangente in T(0;-3) alla retta

4x-y-3=0 e passante per A(-5;2). Disegnala ed indica con V il suo vertice. Determina per quali

valori di k le rette del fascio kxyF += 2: intersecano l’arco ∩

VT della parabola e in quanti

punti.

[ 342 −+= xxy ; 2 intersezioni 34 −≤≤− k ]

52) Determina le equazioni delle parabole con asse parallelo all’ asse x aventi come direttrice

l’asse y e passanti per i punti A(-5;-2) e B(-5;6). Disegnale. Detta P la parabola avente il

vertice di ascissa maggiore, determina per quali valori di k le rette del fascio

0)3(2: =+−− kxkyF intersecano, e in quanti punti, l’arco ∩

AB di P.

[ 1)2(4

1 2 −−−= yx ; 4)2(16

1 2 −−−= yx ;1 inter. 4

1

4

1 ≥∪−≤ kk ]

53) Determina l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse x avente vertice V(-1;1) e

passante per A(3;3). Disegnala e detto B il punto della parabola simmetrico di A rispetto

all’asse della parabola, determina un punto P appartenente all’arco ∩

VA della parabola tale che

area(∆

VPB ) = 3.

[ yyx 22 −= ; P(0;2)]

54) Determina l’equazione della parabola avente fuoco )1;0(F e direttrice d: 3=y . Disegnala,

indica con V il suo vertice e sia P il suo punto di scissa x = 2. Determina l’equazione della

tangente t alla parabola in P.

[ 24

1 2 +−= xy 3+−= xy ]

55) Determina l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y tangente in T(0;2) alla retta

2x+y-2=0 e passante per A(6;8). Disegnala ed indica con V il suo vertice. Determina l’area del

triangolo ∧

TVA .

[ 222

1 2 +−= xxy ; 12)( =∆

TVAarea ]


- La parabola -

96

56) Determina le equazioni delle parabole con asse parallelo all’asse x aventi come fuoco F(0;0) e

passanti per il punto A(-2

3;2). Disegnale.

[ 28

1 2 −= yx ; 2

1

2

1 2 +−= yx ]

57) Determina l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse x avente vertice V(-1;0) e

passante per A(8;3). Disegnala e determina per quali valori di k le rette del fascio

kxyF +=3

1: intersecano l’arco

∩VA della parabola e in quanti punti. Per quale punto P

∩∈VA

il triangolo ∆

VPA ha area massima?

[ 12 −= yx ; 2 inters. 12

13

3

1 ≤≤ k ; )2

3;

4

5(P ]

58) Disegna la parabola di equazione 2

3

12 xxy −= e indica con A e B i suoi punti di intersezione

con l’asse x. Determina la retta parallela all’asse x che interseca l’arco ∩

AB della parabola in

C e D tali che, detti C’ e D’ le proiezioni ortogonali di C e D sull’asse x, si abbia

3

34)''(2 =DDCCp .

3

5[ =y ]

VIII)Problemi di massimo e minimo

59) Dato un rettangolo ABCD avente aAB 10= e aBC 6= ,considera A’, B’, C’, D’ tali che

'''' DDCCBBAA === . Come varia l’area del parallelogramma A’B’C’D’ ?

[ ]60,28 2

max

2

min aAaA ==

60) Dato un triangolo isoscele ∆

ABC avente perimetro ap 162 = e base aAB 6= ,considera un

punto P appartenente al lato AC e, tracciata per P la parallela alla base AB che interseca in Q il

lato BC, studia l’ )(∆

PQHarea , dove H è il punto medio di AB.

[ 2

maxmin 3,0 aAA == ]

61) Dato il triangolo rettangolo ∆

ABC avente cateti aAB 4= e aAC 3= , considera P

appartenente ad AC e tracciata la parallela per P ad AB e detto Q il punto di intersezione con

BC, studia l’ )(APQRarea dove R è la proiezione ortogonale di Q su AB.

[ 2

maxmin 3,0 aAA == ]


- La parabola -

97

62) Dato il triangolo isoscele ∆

ABC avente ap 362 = e base aAB 10= considera un rettangolo

PQRS inscritto in esso, con PQ parallelo ad AB e RS sulla base AB, e studia l’ )(PQRSarea .

[ ]30,0 2

maxmin aAA ==

63) Dato il trapezio rettangolo ABCD avente altezza aAD 4= , base minore aCD 4= e lato

obliquo aCB 5= , considera un punto P sul lato obliquo e, tracciata la perpendicolare per P a

BC e detto Q il punto di intersezione con AB, studia l’ )(∆

PQBarea .

[ ]3

50,0 2

maxmin aAA ==

64) Una palla viene lanciata verticalmente verso l’alto dall’altezza di 1 metro da terra con velocità

iniziale smvo /10= . Dopo quanto tempo raggiunge la massima altezza? Qual è la massima

altezza raggiunta? (Considera l’accelerazione di gravità 2/10 smg ≅ )

[ 1 s ; mh 6max = ]

65) Considera un triangolo ABC avente 10,30,60 =°=°=∧∧

ABABCCAB . Considera un punto

P appartenente al lato AC e disegna il rettangolo PQRS “inscritto” nel triangolo ABC cioè

avente PQ parallelo ad AB (Q appartenente al lato BC) e RS su AB . Qual è la massima area

del rettangolo inscritto PQRS ?

[ 34

25max =A ]

66) Sia ABCD un rombo di perimetro a20 e avente la diagonale maggiore ACBD ⋅=3

4 .

Considera un rettangolo PQRS inscritto nel rombo. Qual è l’area massima di PQRS ?

[ 2

max 12aA = ]

67) Considera un triangolo acutangolo ABC avente base aAB = e altezza hCH = .

Considera il rettangolo PQRS inscritto nel triangolo (P appartenente al lato AC, Q appartenente

al lato BC con PQ parallelo ad AB ed RS su AB): qual è il massimo valore dell’area di PQRS?

[ 4

max

ahA = ]

68) Una compagnia aerea decide di stabilire il prezzo di un biglietto di un volo nel modo

seguente: 200 euro + 10 euro per ogni posto che resta libero. Sapendo che l’aereo dispone di

150 posti, quanti posti devono rimanere liberi perché la compagnia aerea ottenga il massimo

ricavo? Quanto risulta il massimo ricavo?

[ 65; € 72250]


- La parabola -

98

APPROFONDIMENTO

Il “fuoco” della parabola

Perché il fuoco della parabola si chiama così?

Se consideriamo una qualunque retta r parallela all’asse di simmetria della parabola, indicato con

P il suo punto di intersezione con la parabola, tracciata la tangente t in P alla parabola e la

perpendicolare n alla tangente, l’angolo formato dalla retta r e n è uguale all’angolo formato tra n

e la retta per P e F.

Se quindi immaginiamo che la retta r sia un raggio di luce “incidente” su uno specchio abbiamo

che il raggio “riflesso” passa per il fuoco della parabola (per la legge della riflessione infatti

l’angolo di incidenza è uguale all’angolo di riflessione): se abbiamo un fascio di raggi paralleli

all’asse della parabola, tutti i raggi riflessi passeranno per il fuoco e quindi nel fuoco ci sarà

concentrazione di luce e calore.

Verifichiamolo con un esempio.

Consideriamo P : 2xy = , raggio incidente 011 =−→= xx , punto di incidenza )1;1(P .


- La parabola -

99

Calcolato

4

1;0F possiamo determinare la retta PF:

0143)1(4

31

4

3 =+−→−=−→= yxxymPF .

Vogliamo vrificare che ∧∧

= ri (vedi figura).

Troviamo innanzitutto l’equazione della normale e per farlo dobbiamo prima determinare il

coefficiente angolare tm della tangente t alla parabola in P(1;1).

=−=−

2

)1(1

xy

xmy

=−+−→+−=+−=

011

1

22 mmxxmmxx

mmxy

Ponendo 0=∆ dell’equazione di secondo grado ottenuta abbiamo

20)1(42 ==−−=∆ mmm

Quindi l’equazione della normale n sarà : 032)1(2

11 =−+→−−=− yxxy .

Se ∧∧

= ri allora n e t devono essere le bisettrici degli angoli formati dalla retta 01 =−x e dalla

retta 0143 =+− yx .

Per determinare le equazioni delle bisettrici calcoliamo e uguagliamo la distanza dalle due rette di

un generico punto P(x;y):

5

1431

+−=−

yxx

Quindi

0325

1431 =−+→+−=− yx

yxx che è l’equazione della retta n

0125

)143(1 =−−→+−−=− yx

yxx retta t

Nota: questa proprietà vale anche se consideriamo onde elettromagnetiche in generale (infatti la

luce è una particolare onda elettromagnetiche) e ci spiega perché le antenne che servono a

raccogliere un segnale elettromagnetico hanno forma “parabolica”: le onde riflesse si

concentreranno nel fuoco dell’antenna!

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Parabola - matematicainrete.it · - La parabola - 70 Disegnare una parabola di equazione assegnata 1) Disegnare la parabola P di equazione 3y =x2 +4x + , determinare le coordinate