Paradoxo de Zeno Um dos paradoxos de Zeno chamado Aquiles, e afirma que um corredor mais lento nunca ser alcanado pelo corredor mais veloz, porque o que est atrs tem que primeiro alcanar o ponto no qual o que est na frente comeou, de maneira que o mais lento sempre ficaria na frente.

Zeno (ou Zeno) de Elea foi um filsofo grego (c. 500 B.C.) cujo nome foi

associado com paradoxos do infinito, sendo o mais simples deles o que

envolveu a fbula do heri da guerra de Tria: Aquiles e a tartaruga.

Paradoxo: Em sentido

amplo, paradoxo significa o

que contrrio opinio

recebida e comum, ou

opinio admitida como

vlida.

Conta-se que Aquiles, disputando uma corrida com uma tartaruga,

num mpeto de generosidade, resolveu dar a ela uma pequena

vantagem, deixando que a tartaruga partisse alguns centmetros sua

frente.

Em Filosofia, paradoxo

designa o que

aparentemente

contraditrio, mas que

apesar de tudo tem sentido.

O paradoxo formulado por Zeno o seguinte:

Em Matemtica, fala-se

muitas vezes de paradoxo

matemtico ou paradoxo

lgico, ou seja, de uma

contradio deduzida nos

sistemas lgicos.

Suponha uma corrida entre Aquiles e uma tartaruga.

Na linha de partida, Aquiles d 100 metros de vantagem ao animal. que se

move com metade da velocidade do heri.

Assim, quando Aquiles percorrer estes 100 metros, a tartaruga ter

avanado 50.

Quando Aquiles percorrer estes novos 50 metros, a tartaruga ter

percorrido mais 25.

Quando Aquiles percorrer estes 25, a tartaruga ter percorrido 12,5, e

assim por diante.

Desta forma, Aquiles nunca vencer esta corrida.

Isto : cada vez que Aquiles percorre determinada distncia num

espao de tempo, a tartaruga j percorreu uma outra distncia.

Se Aquiles se movimentar mais uma distncia para alcanar a

tartaruga, ter que se defrontar com o fato de que a tartaruga j ter

percorrido mais uma distncia, por menor que seja. Esse fato se

repetir infinitamente. Por mais que Aquiles corra, sempre haver um

espao a separ-lo da tartaruga.

Ento, considerando que:

Antes de Aquiles poder ultrapassar a tartaruga, que comea adiantada,

ele tem que superar o atraso;

Por mais rpido que seja Aquiles, ele gastar algum tempo para chegar

ao ponto de onde a tartaruga partiu;

Por mais lenta que seja a tartaruga (e ela lenta), durante esse tempo

ela se adianta pelo menos um pouquinho mais na corrida;

Isso vale tambm para o prximo pedacinho da corrida. Aquiles corre

at o ponto onde a tartaruga chegou enquanto ele estava diminuindo a

vantagem da tartaruga; mas, enquanto isso, a tartaruga avana de

novo; um pouco menos longe de Aquiles, verdade, mas sempre sobra

um pouquinho. Aquiles fica cada vez mais perto, mas nunca recupera

inteiramente o trecho perdido.

segundo Zeno, por mais rpido que Aquiles se movesse, ele jamais

conseguiria ultrapassar a tartaruga.

As concluses de Zeno contrariam o senso comum, que aponta para

uma vitria de Aquiles, claro.

Se Aquiles desloca-se de um ponto A para um ponto B ele deve primeiro

viajar a metade da distncia, ento a metade novamente, e assim por

diante.

Supondo-se que a distncia de A para B 1km, a distncia que Aquiles

deve percorrer a srie:

O paradoxo surge ao supor intuitivamente que a soma de infinitos

intervalos de tempo infinita, de tal forma que seria necessrio passar

um tempo infinito para Aquiles alcanar o seu destino.

No entanto, os infinitos intervalos de tempo descritos no paradoxo

formam uma P. G. (progresso geomtrica) e sua soma converge para

um valor finito, em que Aquiles encontra o seu destino.

Nesta caso, uma PG (progresso geomtrica) de razo

Assim,

Ou seja, e sua soma converge para 1 o que significa que Aquiles

encontra o seu destino.

Zeno no tinha como inteno que esse questionamento no fosse

resolvido, j que obvio que Aquiles ultrapassa a tartaruga, mas sua

inteno era gerar esse colapso em nossa lgica.