70
Technische Universität München April 2010, Lehrstuhltreffen Spitzingsee Miriam Mehl Parallel Multigrid a Scalable Alternative to Parallel CG? Miriam Mehl

Parallel Multigrid a Scalable Alternative to Parallel CG? · • parallel multigrid –examples • parallel multigrid with Peano • conclusions Outline. Technische Universität

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April 2010, Lehrstuhltreffen Spitzingsee Miriam Mehl

Parallel Multigrid –

a Scalable Alternative to

Parallel CG?

Miriam Mehl

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Technische Universität München

April 2010, Lehrstuhltreffen Spitzingsee Miriam Mehl

• different stories about parallel multigrid

• parallel multigrid – theoretical performance

• parallel multigrid – examples

• parallel multigrid with Peano

• conclusions

Outline

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Technische Universität München

April 2010, Lehrstuhltreffen Spitzingsee Miriam Mehl

• different stories about parallel multigrid

• parallel multigrid – theoretical performance

• parallel multigrid – examples

• parallel multigrid with Peano

• conclusions

Outline

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Technische Universität München

April 2010, Lehrstuhltreffen Spitzingsee Miriam Mehl

Can we parallelize a solver iteration in a scalable way?

Story 1

ix 1ix

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Technische Universität München

April 2010, Lehrstuhltreffen Spitzingsee Miriam Mehl

• parallel cg with “optimal” speedup

• #processors ~ #unknowns

Parallel Speedup CG

0

1,5

3

4,5

6

1 4 16 64 256 1024

2^5 2^6 2^7 2^8 2^9 2^10

p

h

CG

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Technische Universität München

April 2010, Lehrstuhltreffen Spitzingsee Miriam Mehl

• parallel smoother with optimal speedup

• #processors ~ #unknowns (on the finest level!)

Parallel Speedup MG

0

1,5

3

4,5

6

7,5

1 4 16 64 256 1024

2^5 2^6 2^7 2^8 2^9 2^10

p

h

MG

CG

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April 2010, Lehrstuhltreffen Spitzingsee Miriam Mehl

Can we parallelize a solver iteration in a scalable way?

cg: yes, we can

mg: probably not

Story 1

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April 2010, Lehrstuhltreffen Spitzingsee Miriam Mehl

Can we parallelize the solver in a scalable way?

Story 2

0x finalx

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• parallel cg with “optimal” speedup per iteration

• #processors ~ #unknowns

Parallel Speedup CG

0500

1000150020002500300035004000

1 4 16 64 256 1024

2^5 2^6 2^7 2^8 2^9 2^10

p…

CG

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April 2010, Lehrstuhltreffen Spitzingsee Miriam Mehl

• parallel smoother with optimal speedup

• #processors ~ #unknowns (on the finest level!)

Parallel Speedup MG

0500

1000150020002500300035004000

1 4 16 64 256 1024

2^5 2^6 2^7 2^8 2^9 2^10

p…

MG

CG

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April 2010, Lehrstuhltreffen Spitzingsee Miriam Mehl

• parallel smoother with optimal speedup

• #processors ~ #unknowns (on the finest level!)

Parallel Speedup MG

01020304050607080

1 4 16 64 256 1024

2^5 2^6 2^7 2^8 2^9 2^10

p…

MG

CG

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April 2010, Lehrstuhltreffen Spitzingsee Miriam Mehl

Can we parallelize the solver in a scalable way?

cg: no, we can’t

almost perfect

Story 2

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• different stories about parallel multigrid

• parallel multigrid – theoretical performance

• parallel multigrid – examples

• parallel multigrid with Peano

• conclusions

Outline

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• parallel cg with “optimal” speedup

• #processors ~ #unknowns

Parallel Speedup CG

)(ln

)1(

pOyx

Oax

T

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April 2010, Lehrstuhltreffen Spitzingsee Miriam Mehl

• parallel cg with “optimal” speedup

• #processors ~ #unknowns

Parallel Speedup CG

)1(

1

141

1

1

141

1

1

O

x

x

pi

i

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April 2010, Lehrstuhltreffen Spitzingsee Miriam Mehl

• parallel cg with “optimal” speedup

• #processors ~ #unknowns

Parallel Speedup CG

ln

44332211

34341212p)O(

yxyxyxyx

yxyx

yx

TTTT

TT

T

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Parallel Speedup CG

#iterations?

h h/2 h/4 h/8

#iterations until e

#iterations until discretization accuracy

O(1/h)

O(ln(1/h)/h)

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Parallel Speedup CG

total time

to solve?

h h/2 h/4 h/8

O(1/h)

O(ln(1/h)/h)

iterations#

1ln

11

iteration 1

ln 2121

hhd

hdpcc

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Parallel Speedup MG

• parallel smoother with optimal speedup

• #processors ~ #unknowns (on the finest level!)

• #processors = const on all levels

time T time T/4

computation > communication

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April 2010, Lehrstuhltreffen Spitzingsee Miriam Mehl

Parallel Speedup MG

• parallel smoother with optimal speedup

• #processors ~ #unknowns (on the finest level!)

• #processors = const on all levels

time T time T time T/2

computation < communication

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Parallel Speedup MG

• parallel smoother with optimal speedup

• #processors ~ #unknowns (on the finest level!)

• #processors = const on all levels

time T

#dof < #proc

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April 2010, Lehrstuhltreffen Spitzingsee Miriam Mehl

Parallel Speedup MG

• parallel smoother with optimal speedup

• #processors ~ #unknowns (on the finest level!)

• #processors = const on all levels

time T time T time T

#dof < #proc

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April 2010, Lehrstuhltreffen Spitzingsee Miriam Mehl

Parallel Speedup MG

#dof < #proc

Tcomp < Tcomm

Tcomp > Tcomm

level 0

level L1

level L2

level Lmax

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April 2010, Lehrstuhltreffen Spitzingsee Miriam Mehl

Parallel Speedup MG

#dof < #proc

Tcomp < Tcomm

Tcomp > Tcomm

level 0

level L1

level L2

level Lmax

d

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Parallel Speedup MG

#dof < #proc

Tcomp < Tcomm

Tcomp > Tcomm

level 0

level L1

level L2

level Lmax

d

)(3

4 time maxLT

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Parallel Speedup MG

#dof < #proc

Tcomp < Tcomm

Tcomp > Tcomm

level 0

level L1

level L2

level Lmax

d

c

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Parallel Speedup MG

#dof < #proc

Tcomp < Tcomm

Tcomp > Tcomm

level 0

level L1

level L2

level Lmax

d

c

)(4

2)(2time max2 LTLT

d

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Parallel Speedup MG

#dof < #proc

Tcomp < Tcomm

Tcomp > Tcomm

level 0

level L1

level L2

level Lmax

d

c

ln(p)

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Parallel Speedup MG

#dof < #proc

Tcomp < Tcomm

Tcomp > Tcomm

level 0

level L1

level L2

level Lmax

d

c

ln(p)/2

)()ln(24

1time max1

LTpcd

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Parallel Speedup MG

total time

per iteration?

0

ln(p)

ln(p)+c

ln(p)+c+d

p

max1total

3

4

4

2

24

lnLT

pT

dcd

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Parallel Speedup MG

total time

to solve?

iterations#

1lnd

iteration 1

3

4

4

2

24

ln21max1total

hdLT

pT

dcd

h h/2 h/4 h/8

O(1)

O(ln(1/h))

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• different stories about parallel multigrid

• parallel multigrid – theoretical performance

• parallel multigrid – examples

• parallel multigrid with Peano

• conclusions

Outline

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April 2010, Lehrstuhltreffen Spitzingsee Miriam Mehl

First Example

Berger / Aftosmith / Adomavicius

2000 (Intl. Conf. on Parallel CFD)

transsonic flow

adaptive octree grids

partitioning: Hilbert-Peano SFC

(levelwise)

106 unknowns

SGI Origin 2000

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April 2010, Lehrstuhltreffen Spitzingsee Miriam Mehl

First Example

Berger / Aftosmith / Adomavicius

2000 (Intl. Conf. on Parallel CFD)

transsonic flow

adaptive octree grids

partitioning: Hilbert-Peano SFC

(levelwise)

106 unknowns

SGI Origin 2000

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6 levels mg

single grid solver

p

First Example – Berger et Al.

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April 2010, Lehrstuhltreffen Spitzingsee Miriam Mehl

m

p

m+c+d

m+c

First Example – Berger et Al.

)(7

8

83

42 maxtotal LTaT

d

mq

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April 2010, Lehrstuhltreffen Spitzingsee Miriam Mehl

Second Example

Sampath / Biros 2009 (SIAM SISC)

linear elastoplastics

adaptive octree grids

partitioning: modified Morton

(levelwise)

#unknowns ~ #processors

Ranger / Bigben

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April 2010, Lehrstuhltreffen Spitzingsee Miriam Mehl

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

2^0 2^2 2^4 2^6 2^8 2^10

run

tim

e

p/12

MG linear elastoplastics

Second Example

Sampath / Biros 2009 (SIAM SISC)

linear elastoplastics

adaptive octree grids

partitioning: modified Morton

(levelwise)

#unknowns ~ #processors

Ranger / Bigben

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April 2010, Lehrstuhltreffen Spitzingsee Miriam Mehl

mg reducing p

mg constant p

0

20

40

60

80

100

2^0 2^2 2^4 2^6 2^8 2^10

run

tim

e

p/12

direct solver

p

Second Example – Sampath/Biros

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April 2010, Lehrstuhltreffen Spitzingsee Miriam Mehl

p

m

ln(p)/4+c

ln(p)/4+c+d

Second Example – Sampath/Biros

)(7

8

48

)ln(2 maxtotal LT

mcpaT

d

mq

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April 2010, Lehrstuhltreffen Spitzingsee Miriam Mehl

Third Example

Rüde/Gradl 2008 (PASA)

Poisson equation

hierarchical hybrid grids

Partitioning: Metis on the coarse grid

#unknowns ~ #processors

SGI Altix 4700 (HLRB II, LRZ)

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April 2010, Lehrstuhltreffen Spitzingsee Miriam Mehl

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

4 8 16 32 64 128 256

134,2 268,4 536,9 1073,7 2147,5 4295 8455,7

run

tim

e

p

elements

HGG 3D

Third Example

Rüde/Gradl 2008 (PASA)

Poisson equation

hierarchical hybrid grids

Partitioning: Metis on the coarse grid

#unknowns ~ #processors

SGI Altix 4700 (HLRB II, LRZ)

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Technische Universität München

April 2010, Lehrstuhltreffen Spitzingsee Miriam Mehl

0

1

2

3

4

5

6

7

504 2040 4080

16911,4 68451 136902,1

run

tim

e

p

elements

HHG

Third Example

Rüde/Gradl 2008 (PASA)

Poisson equation

hierarchical hybrid grids

Partitioning: Metis on the coarse grid

#unknowns ~ #processors

SGI Altix 4700 (HLRB II, LRZ)

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April 2010, Lehrstuhltreffen Spitzingsee Miriam Mehl

01234567

504 2040 4080

16911,4 68451 136902,1

run

tim

e

p…

HHG

p

Third Example – Gradl/Rüde

mg constant p

single grid solver /

AMG

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April 2010, Lehrstuhltreffen Spitzingsee Miriam Mehl

p

m

m+d

Third Example – Gradl/Rüde

)(7

82 maxtotal LTaT mq

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April 2010, Lehrstuhltreffen Spitzingsee Miriam Mehl

p

ln(p)

ln(p)+c

ln(p)+c+d

Third Example – Gradl/Rüde

)(7

8

83

4maxtotal LTpaT

d

q

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Fourth Example

Griebel/Zumbusch 2002 (NIC Series)

Poisson equation

octree grids

Partitioning: space-filling curves

#unknowns ~ #processors

ASCI Blue Pacific

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Fourth Example

Griebel/Zumbusch 2002 (NIC Series)

Poisson equation

octree grids

Partitioning: space-filling curves

#unknowns ~ #processors

ASCI Blue Pacific

0

1

2

3

4

5

6

7

1 4 16 64 256

1089 4834 16948 64251 251468

run

tim

e

p

nodes

MG Poisson 2D

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April 2010, Lehrstuhltreffen Spitzingsee Miriam Mehl

BPX

• for comparison: multiplicative mg

smooth

smooth

smooth

smooth

smooth

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BPX

• preconditioned CG

• additive multigrid preconditioner r(A) = O(1)

smooth

smooth

smooth

smooth

smooth

smooth

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April 2010, Lehrstuhltreffen Spitzingsee Miriam Mehl

• different stories about parallel multigrid

• parallel multigrid – theoretical performance

• parallel multigrid – examples

• parallel multigrid with Peano

• conclusions

Outline

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The PDE Framework Peano

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Peano

• tree-oriented partitioning

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April 2010, Lehrstuhltreffen Spitzingsee Miriam Mehl

Peano

• tree-oriented partitioning

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Technische Universität München

April 2010, Lehrstuhltreffen Spitzingsee Miriam Mehl

Peano

• tree-oriented partitioning

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Technische Universität München

April 2010, Lehrstuhltreffen Spitzingsee Miriam Mehl

Peano

• tree-oriented partitioning

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Technische Universität München

April 2010, Lehrstuhltreffen Spitzingsee Miriam Mehl

Peano

• tree-oriented partitioning

1. join

2. fork

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April 2010, Lehrstuhltreffen Spitzingsee Miriam Mehl

Peano

• tree-oriented partitioning

efficient parallel partitioning

efficient parallel rebalancing

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April 2010, Lehrstuhltreffen Spitzingsee Miriam Mehl

Peano

• additive multigrid local operations

• dehierarchization

• compute residual

• smooth

• restrict residual

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April 2010, Lehrstuhltreffen Spitzingsee Miriam Mehl

Peano

• all level communication

process 1 process 2

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April 2010, Lehrstuhltreffen Spitzingsee Miriam Mehl

Peano

Results 2009

Tobias Weinzierl

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Technische Universität München

April 2010, Lehrstuhltreffen Spitzingsee Miriam Mehl

Peano

Results 2009

Tobias Weinzierl

2D #vertices:

6.70e05

5.00e07

3.95e09

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Technische Universität München

April 2010, Lehrstuhltreffen Spitzingsee Miriam Mehl

Peano

Results 2009

Tobias Weinzierl

3D #vertices:

1.60e07

4.40e08

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April 2010, Lehrstuhltreffen Spitzingsee Miriam Mehl

Peano

• multiplicative multigrid idea

grid coarsening

input stream stacks output stream

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April 2010, Lehrstuhltreffen Spitzingsee Miriam Mehl

Peano

• multiplicative multigrid idea

grid refinement

input stream stacks output stream

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April 2010, Lehrstuhltreffen Spitzingsee Miriam Mehl

Peano

0

ln(p)

ln(p)+c

ln(p)+c+d

p

maxtotal

3

4

4

2

24

lnLT

pT

dcd

2D

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Technische Universität München

April 2010, Lehrstuhltreffen Spitzingsee Miriam Mehl

Peano

0

ln(p)

ln(p)+c

ln(p)+c+d

p

maxtotal

7

8

8

2

48

lnLT

pT

dcd

3D

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• different stories about parallel multigrid

• parallel multigrid – theoretical performance

• parallel multigrid – examples

• parallel multigrid with Peano

• conclusions

Outline

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Conclusion

• correct measure: time until convergence

• cg superior to mg on petascale systems?

• non-optimal scalability: time ~ ln(p)

• good results for octree-like or partly structured grids

• can we find an optimal O(lnp) parallel solver?

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