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TD m? 3 - exercice 3
1) Pour comprendre⑦ Nuage de 3 points : N = ( " i i Yi ) itw ,
2,} modèle
initial⑦ modèle : f44 = 1-
art b
Y a schématiquement
¥ËË...0 1 2
a) modèle linéaire par rapport aux paramètresExemple de la droite :
ff4 = au + b = a fa KI t bfblx )
où : fa : x h x et fb : x h 1
f n' écrit comme une combinaison linéaire ( c. L . ) dans laquelle :.les coefficients a et b sont les coefficients de la C. L
.
•les fonctions fa et fb ne contiennent pas de paramètresà déterminer
Ici : f44 =1- n' a pas
cette structurea) ltb
b) ylnl : ¥,
= axtb ( transformation du modèle initial )
le modèle transformé yest une C. L des fonctions
fa et fb : il a la bonne structure
problème transformé :.modèle transformé y°
. Nuage transformé : Ny
c) Initial Transformé
{ . modèle f -4 . modèle y• nuage N . nuage Ny
y ( x ) = ¥ ,: si inchangés ( abscisses )
y changent ( ordonnées )
( xiiyi ) → lui, ¥ )
N → Ny( 0,11 - l 0,1 )
( 1% ) → ( 1 ,3)
14%1 → le, a)
⇒ N'y
: ( 0,11,11,3 )
,12
,6)
nuage transformé
d) Problème transformé { j'y
"
! ! µ.»
,vos
options :r ) Formules de régression linéaire4 Système des équations normales
Option 2 :
⑦ contraintespour que
le modèle passe exactement parles points :
Vittel, 2,3J ylkil = y i
Oat b = 1
{ % :L : ; ⇐ s Faxai ! ! ) Ati )et Y = § )
le système des équations normales est ( ttF) A =tfy
§ ! )tpf est :
''FF : ( op ? } ) ( { § ) . carrie
• symétrique
TFY
:( ç ; ; )( Ê ) "
inversible- - -
à montrer
tt10Système des équations normales
résonnons :X :) :(%)1%1 l'⇒ toit hum
. "
⇐s bb : 5,b : Tg
{ Ja +36--15 es Ja : 15-34=15 - ¥ : 90 = ¥
on trouve donc
a = É
A :( Il-
- foi :( ¥;)et ya -
- fait Êmodèle transforméoptimal pour Ny
Rem : en suivant le cours
F.
(la " ' bb (x )
|où fa KI ± 0
%! Haut:X"
zet × :( § )
et fb K ) :
µ )avec fb : au 1
1
⇒ E-
% ! )e) Retour au problème initial : trouver ff4
On obtient ftp.yfz , ( transformation qui permet de
car ylx ) = 1revenir au problème initial )
fkl
⇒ ff4 =
1 modèle initial
Êxtz optimal pourN
2) Un cas classique bien utile
Problème initial Problème transformé• Nuage ( ti ,Vili c-Gary . Nuage (Xiii ) ich .
.- il•modèle Ult ) = Va e-tri . modèle yln ) = axtb
Trouver vu et T Trouvera et b
a) transformation { Y = enpupyp.enlultlllun.it )
doncy = lnluoe.tt/=lnluoI+ln ( e
-
%)= lnluo ) t f-¥ ) =
-Êttbnluo )⇒ ylxl = axtb en posant a : - Ê et bien ( Ua )
( context
b) transformation du modèle :
( t, ULHI → (x -- t
, ylx ) -_ yltl -_ lnlulhl )
transformation des points :
( ti , vit → ( xi -- ti, y en lui ) )
=) nuage transformé :
( " iiyilic.gr/..s-y--ltiilnlUillieLy..s- y
c) Système des équations normales (tFF1 A = TFY
"
ï: """
ËËË.it?i::!::l⇒ l : : i. HÏË⇐ - tu :pRex : . ÊÎÉ alien luit = - 2.78 ( moyenne des xiln lui ) )
• ÊÎÉ,
ln ( vit = 0.17 ( moyenne des en lui 1)
solutions : ( ab )-
- fait :( %:L" )Modèle transformé optimal ylx ) = a
*x t E- - 0.41×+1.4
d) On déduit de la question (a) :
{a =
-%
b.- ln ( Vo )
queT =
- Va et va =eb
Ainsi,
le modèle initial optimal est obtenu pour
t' = - Ya * = 2.43 et UE =eb? 4.06
c'est à dire Ultl = 4.06 exp ( ¥z )