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Parcial I(Electricidad Y Magnetismo).
Javier Alexander Lopez [email protected]
Electricidad Y Magnetismo
Departamento de Fsica
Facultad Experimental de Ciencias y Tecnologa
Universidad de Carabobo
Ejercicio 2.10 Una carga q se sienta en la esquina trasera de un
cubo, como se muestra en la Figura 1.Cual es el flujo de E a traves
del lado sombreado?
Figura 1:
Solucion:
El flujo E(E) esta dado por la Ley de Gauss,
E =
SE dS = Qenc
0(1)
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2
Ahora puesto que la carga q no esta encerrada totalmente dentro
del cubo de la Figura 1 , se tiene unproblema de contorno. Para
estimar entonces Ep a traves del lado sombredeada de nuestro cubo,
se debeaprovechar una superficie imaginaria y geometricamente igual
a la superficie del cubo en cuestion tal quela carga q este
completamente encerrada y el lado sombreada por el cual se desea
buscar el flujo sea unaporcion de nuestra superficie imaginaria.
Esta superficie imaginaria es un cubo mas grande; cuyo flujo netoa
traves de este cubo imaginario es,
Eg =
Cg
E dS = Qenc0
(2)
Figura 2:
Ahora como se puede apreciar en la Figura 2, el cubo en cuestion
es uno de los 8 cubos que formaneste cubo mas grande y este
envuelve la carga q completamente. y cada lado de este cubo mas
grande esequivalente a 4 lados de nuestro cubo en cuestion, por
tanto hay un total de 24 lados que forman al cubomas grande. Sin
embargo el problema solo pide hallar el flujo (Ep) a traves de un
solo lado de un cuboque forma este cubo mas grande. Por lo tanto,
el flujo Ep a traves de una solo lado de uno de los cubospequenos
sera el flujo neto del cubo mas grande (Eg) dividido entre el
numero de lados de los cubos maspequenos que lo forman a este, es
decir 24 lados, as que el flujo a traves de un lado es,
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Ep =Eg24
1 lado Cp
E dS = 124
Cg
E dS
Ep =q
240
Ejercicio 2.29 Verifique que la ecuacion 3 satisface la ecuacion
de Poisson 4, pero aplicando el Lapla-ciano y usando la ecuacion
5
V (r) =1
40
(r)
rd (3)
2V = 0
(4)
2 1r
= 43(r) (5)
Solucion:
Aplicando el Laplaciano a la ecuacion 3
2V (r) = 140
(r)2 1
rd (6)
En la ecuacion 6 se sustituye la igualdad de la ecuacion 5.
Obteniendose as,
2V (r) = 140
(r)
[43(r)
]d (7)
Donde r = r r. Entonces la ecuacion 7 queda de la siguiente
manera
2V (r) = 440
(r)3(r r)d (8)
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A continuacion se simplifica y se resuelve el delta de Dirac
2V (r) = (r)0
(9)
De modo que queda demostrado que la ecuacion 3, despues de
aplicarle el Laplaciano y haciendo uso dela ecuacion 5, se
satisface la ecuacion de Poisson.
Ejercicio 3.2 En una oracion, justifique el teorema de Earshaw:
Una partcula cargada no puede serretenida en un estado de
equilibrio por solo fuerzas electrostaticas. Como un ejemplo,
considere un arreglocubico de cargas fijadas como en la Figura 3.
Pareciera como si una carga positiva en el centro estuvie-ra
suspendida en el aire, ya que es repelida lejos de cada esquina.
Donde esta la fuga en esta botellaelectrostatica?[para aprovechar
la fusion nuclear como fuente de energa practica, es necesario
calentar unplasma (sopa de partculas cargadas) a fantasticas
temperaturas tan calientes que el contacto podra vapo-rizar
cualquier olla comun. El teorema de Earnshaw dice que la contencion
electrostatica tambien esta fuerade la cuestion. Afortunadamente,
es posible contener un plasma caliente magneticamente].
Figura 3:
Respuesta:
Para que una partcula cargada electricamente se encuentre en
estado de equilibrio, debe estar a unpotencial de energa electrico
bajo (es decir un mnimo). Dicho potencial de energa esta dado por
qV . Perola ecuacion de Laplace no permite ni maximos ni mnimos
para V. Por lo tanto, lo que pareciera como unmnimmo en la Figura
3, podra ser de hecho un punto de silla o inflexion, y las fugas de
la caja podra sera traves del centro de cada cara de esta por
ejemplo.
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Ejercicio 3.32 Tres cargas puntuales estan localizadas como se
muestra en la Figura 4, cada una a unadistancia a desdde el origen.
Encuentre el campo electrico aproximado en puntos lejos del origen.
Expresela respuesta en coordenadas esfericas, e incluya los dos
ordenes mas bajos en la expansion multipolar.
Figura 4:
Solucion:
El problema pide hallar el campo electrico aproximado en puntos
lejos del origen, pero con expansionmultipolar del potencial hasta
los dos ordenes mas bajos (monopolo y dipolo). Pues bien, el
potencial apro-ximado con expansion multipolar esta dado por,
V u Vmonopolar + Vdipolar (10)
Donde,
Vmonopolar =Q
40rQ carga total (11)
Vdipolar =
P r
40r2P momento dipolar total (12)
Ahora,
Q = q1 + q2 + q3
Q = q q + qQ = q
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y
P = p1 +p2 +p3P = qa(y) qa(y) + qa(z)P = qa(z)
Por lo tanto
Vmonopolar =q
40r
Vdipolar =qa(z) r40r2
=qa(cos r sin ) r
40r2=qa cos
40r2
As que
V(r,) uq
40r+qa cos
40r2=
q
40
(a cos
r2 1r
)(13)
Finalmente para hallar el campo electrico aproximado en puntos
lejos del origen en coordenadas esfericasse aplica la ecuacion 14
sobre la ecuacion 13
E(r,,) = Er + E + E = V
r r 1
r
V
1
r sin
V
(14)
De la ecuacion 14 se tiene que
E(r,,) =q
40
(2a cos
r3 1r2
) r + qa sin
40r3 + 0
E(r,) =q
40
[ 1r2
+qa
r3(2 cos r + sin )
]
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