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fracciones
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SEMINARIO TALLER DE COMPETENCIAS
SECCION 01
Prof. Rebeca D. Ganuza
23/04/2012 2
Las fracciones representan partes de una unidad.
Constan de dos términos:
El numerador, que indica las partes iguales que
se toman de la unidad.
El denominador, que indica las partes iguales en que
se divide la unidad.
1. Términos de una fracción
23/04/2012 3
En las figuras:
La parte coloreada de azul es la misma, luego 15
6
5
2
15
6
5
2
1 2 3 4 5 3 6 9 1215
Dos fracciones son equivalentes cuando valen lo mismo.
4,05
2
4,015
6
Dos fracciones son equivalentes si los
productos del numerador de cada una de ellas
por el denominador de la otra son iguales.
También podemos observar que:
2 · 15 = 5 · 6 15
6
5
2
Los productos cruzados son iguales
cbdad
c
b
a··
2. Fracciones equivalentes (I)
23/04/2012 4
Observa las partes coloreadas de naranja que se representan:
8
6y
4
3indican lo mismo.
4
3
8
6
8
6y
4
3están en el mismo punto de la recta numérica.
0 1
3 : 4 = 0,75
6 : 8 = 0,75 8
6y
4
3dan el mismo cociente.
4
3de 16 = 12
8
6de 16 = 12
8
6y
4
3actúan sobre un número de la misma manera.
Cuando dos fracciones son equivalentes:
Indican lo mismo. Se representan en el mismo punto de la recta numérica.
Dan el mismo cociente. Actúan de la misma forma sobre un número.
2. Fracciones equivalentes (II)
23/04/2012 5
Fíjate en las 64 casillas del tablero de ajedrez.
Dos fracciones son equivalentes si los productos del numerador de cada una
de ellas por el denominador de la otra son iguales.
8
2
16
4
¿Qué parte del tablero ocupan las 16 figuras
blancas?
Puedes decirlo de muchas maneras:
64
16
32
8
16
4
8
2
4
1
Observa:
32
8
64
16 5128643216
16
4
32
8 128432168
Vamos a comprobar que estas fracciones son equivalentes mediante la
regla de los productos cruzados.
4 8 = 16 2
2. Cómo comprobar si dos fracciones son equivalentes
23/04/2012 6
Observa las fracciones:
16
12
32
24
... 4
3
4:16
4:12
8
6
2:16
2:12
16
12
Multiplicando sus términos por un mismo número.
... 48
36
316
312
32
24
216
212
16
12
48
36
Las fracciones ... , 48
36 ,
32
24son fracciones ampliadas de
16
12equivalentes a
16
12
Observa estas otras fracciones:
Las fracciones ... , 4
3 ,
8
6son fracciones reducidas de
16
12equivalentes a
16
12
Podemos obtener fracciones equivalentes a una fracción:
Dividiendo sus términos por un mismo número.
(Este número debe ser distinto de cero.)
3. Ampliación y simplificación de fracciones (I)
23/04/2012 7
Observa las partes coloreadas de azul de las fracciones que se representan:
2
1
6
3
4
2
Las fracciones 6
3y
4
2son fracciones ampliadas de
2
1y equivalentes a ella.
Observa:
16
12
8
6
4
3
Las fracciones 4
3y
8
6son fracciones reducidas de
16
12y equivalentes a ella
Es evidente que: 4
3
4:16
4:12
8
6
2:16
2:12
16
12 Fracción irreducible:
no se puede reducir más.
Si multiplicamos o dividimos los términos de una fracción por
un mismo número, la fracción obtenida es equivalente a la dada.
Son equivalentes: 3
1
6:18
6:6
54
18
36
12
18
6
irreducible
3. Ampliación y simplificación de fracciones (II)
23/04/2012 8
En la figuras siguientes, las partes coloreadas de azul son iguales.
Las fracciones que representan son equivalentes.
16
12
8
6
Este proceso se denomina simplificación de fracciones.
Observa que: 16
12
Ejemplo: 5
3
40
24
400
240
8
6
2:16
2:12
4
3
4:16
4:12
4
3
16
12Hemos transformado la fracción en ,
4
3que es equivalente a ella e irreducible.
Simplificar una fracción es convertirla en otra equivalente e irreducible. Para ello se
dividen los dos términos de la fracción por todos los divisores comunes de ambos.
Dividiendo por 8
Dividiendo por 10
3 y 5 son primos entre sí.
3. Simplificación de fracciones
23/04/2012 9
Las 22 fotos de igual tamaño ocupan mas de 2 hojas del álbum.
Otro ejemplo:
9
4En concreto, 2 hojas completas y de otra.
9
42Esto se puede escribir así:
Si observamos que cada foto ocupa un noveno de hoja, una hoja completa será 9
9
Por tanto: 9
9
9
9
9
4+ + =
9
22=
9
42
Para convertir una fracción en un número entero y otra fracción hay que dividir el
numerador entre el denominador.
En el caso de 9
2222 : 9 = 2, resto 4.
9
42
La fracción ,12
54
12
53 pues 53 : 12 = 4, resto 5.
A estas fracciones
también se les llama
números mixtos
4. Fracciones con numerador mayor que el denominador
23/04/2012 10
4
1
4
4
4
4
4
9
Los números fraccionarios escritos de esta forma se llaman números mixtos.
Ejercicio resuelto:
Hay fracciones que representan un número entero de unidades más una parte
fraccionaria. Son fracciones mayores que 1. La parte coloreada de la figura es:
4
12
Si divides: 9 : 4 = 2, resto 1 4
12
4
9
Podemos escribir una fracción mayor que 1, como suma de la parte entera y
de una fracción menor que 1:
4
12
4
9 El número
4
12
4
12se escribe así:
Escribe como número mixto y como fracción. 3
17
3
41
Dividiendo : 41 : 3 = 13 y resto 2 3
213
3
213
3
41
3
17
3
22
3
1
3
21
3
17
4. Números mixtos
23/04/2012 11
Tenemos las fracciones:
3
2
y queremos encontrar tres fracciones equivalente a cada una de ellas que tengan el
mismo denominador.
Escribimos fracciones equivalentes:
Por tanto, el denominador común tiene que ser múltiplo de 3, 4 y 6 a la vez.
Por ejemplo, 24.
4
1
6
5
... 30
20
24
16
18
12
9
6
3
2
... 36
9
28
7
24
6
16
4
4
1
... 48
40
36
30
24
20
18
15
6
5
Sus denominadores son múltiplos de 3.
Sus denominadores son múltiplos de 4.
Sus denominadores son múltiplos de 6.
3
2
24
16
4
1
24
6
6
5
24
20
5. Reducción de fracciones a común denominador (I)
23/04/2012 12
Para reducir fracciones a común denominador
72
48
)64(3
)64(2
3
2
Hay una forma directa de conseguir fracciones con común denominador.
Lo aplicamos a las fracciones:
Como 3 x 4 x 6 es múltiplos de 3, 4 y 6, se tendrá:.
3
2
4
1
6
5
Halla un múltiplo común a los denominadores.
Escribe las fracciones equivalentes con ese denominador.
72
18
)63(4
)63(1
4
1
72
60
)43(6
)43(5
6
5
Otro ejemplo:
5
2y
4
3Las fracciones:
20
15
54
53
4
3
20
8
45
42
5
2
5. Reducción de fracciones a común denominador (II)
23/04/2012 13
Puedes calcular el m.c.m. de varios números así:
Vamos a ver otra forma de reducir fracciones con común denominador.
Lo aplicamos a las fracciones: 6
1y
4
3
Descompones los números en factores primos.
El m.c.m. es igual al producto de los factores primos comunes
y no comunes, elevados al mayor exponente.
El denominador común tiene que ser múltiplo de 4 y de 6.
Múltiplos de 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 ...
Múltiplos de 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 ...
Múltiplos comunes: 12 24 36 ...
El menor es 12. Se llama mínimo común múltiplo de 4 y 6.
Escribimos:
m.c.m. (4, 6) = 12
Observa: 4 = 22
6 = 2 3
El m.c.m. debe tener: el 22 por ser múltiplo de 4;
el 2 y el 3 por ser múltiplo de 6. El 2 ya está en 22.
Luego, m.cm. (4, 6) = 22 3 = 12
12
2y
12
9
6. Mínimo común denominador
23/04/2012 14
El mínimo común denominador será 120.
Para reducir fracciones a mínimo común denominador se elige
como denominador común el m.c.m. de los denominadores.
Lo aplicamos a las fracciones: 8
3y
12
5 ,
10
7
Descomponemos los denominadores en factores primos:
Luego:
10 = 2 5 12 = 22 3
m.cm. (10, 12, 8) = 23 3 5 = 120
8 = 23
120
?
10
7
120
?
12
5
120
?
8
3
12 10 15
120
?
10
7
120
?
12
5
120
?
8
3
120
84
120
50
120
45
6. Reducción de fracciones a mínimo común denominador (I)
23/04/2012 15
Las fracciones 4
3y
6
5 ,
3
1son equivalentes a:
72
54y
72
60 ,
72
24
12
9y
12
10 ,
12
4reduciendo
El denominador 12 es el menor de los denominadores comunes, y coincide con el
mínimo común múltiplo de 3, 6 y 4.
Para calcular el mínimo común denominador de varias fracciones se procede como
sigue: 1º. Se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores. 2º. Los numeradores de cada fracción se multiplicarán por el cociente
entre ese m.c.m. y los denominadores respectivos.
Veamos otro ejemplo: 3
2y
12
5 ,
8
7Reducir a mínimo común denominador
1º Como 8 = 23, 12 = 3 · 22 y 3 = 3, el m.c.m. (8, 12, 3) = 23 · 3 = 24
2º. Dividimos 24 entre 8, 12 y 3:
24 : 8 = 3
24 : 12 = 2
24 : 3 = 8
24
21
24
3 · 7
8
7
3
24
10
24
2 · 5
12
5
2
24
16
24
8 · 2
3
2
8
6. Reducción de fracciones a mínimo común denominador (II)
23/04/2012 16
Con el mismo denominador:
8
3 Si dos fracciones tienen el
mismo denominador, es mayor
la que tiene mayor numerador 8
5 8
3
8
5
5
4 Si dos fracciones tienen el
mismo numerador, es mayor
la que tiene menor denominador 7
4 7
4
5
4
Con el mismo numerador:
Con numeradores y denominadores distintos:
Comparamos: 5
4y
6
5
Reducimos a común denominador: 30
25
6
5
30
24
5
4
Como 30
24
30
25
5
4
6
5
Para comparar dos
fracciones cualquiera se reducen a común
denominador.
Será mayor la que tenga
nuevo mayor numerador.
7. Comparación de fracciones
23/04/2012 17
Con el mismo denominador:
+ 5
3
5
12
5
1
5
2
Se suman los
numeradores Suma
7
3
7
25
7
2
7
5
Se restan los
numeradores Resta
Con distinto denominador:
Se reducen antes a común denominador:
4
1
6
5Suma
12
13
12
3
12
10
4
1
6
5Resta
m.c.m (6, 4) = 12
12
7
12
3
12
10
Para sumar o restar fracciones con
distinto denominador:
· Se reducen a común denominador.
· Se suman o restan las fracciones
obtenidas con el mismo denominador.
En ambos casos se deja el mismo denominador.
8. Suma y resta de fracciones
23/04/2012 18
Ejercicio 1 11
6
11
8
11
7
Para sumarlas hay que reducirlas a común denominador:
Calcula:
10
7
5
4
9
2
Como tienen el mismo denominador, para operar se suman o restan los numeradores.
11
9
11
687
11
6
11
8
11
7
Ejercicio 2 Calcula:
Como 9 = 32, 5 = 5 y 10 = 2 · 5, el m.c.m (9, 5, 10) = 32 · 2 · 5 = 90.
Luego:
90
9 · 7
90
18 · 4
90
10 · 2
10
7
5
4
9
2
90
29
90
637220
90
63
90
72
90
20
90 : 9 = 10
90 : 5 = 18
90 : 10 = 9
El numerador será el mismo.
Luego:
Observa que cada numerador se
multiplica por el cociente entre el m.c.m
(90) y los denominadores respectivos
8. Suma y resta de fracciones. Ejercicios (I)
23/04/2012 19
Ejercicio 3
Por tanto:
13860 : 11 = 1260
Escritos en factores: 11 = 11, 20 = 22 · 5, 9 = 32 y 35 = 5 · 7
13860
·17
13860
·5
13860
·11
13860
·13
35
17
9
5
20
11
11
13
13860
9725
13860
67327700762316380
35
17
9
5
20
11
11
13 Calcula:
Calculamos el m.c.m de los denominadores:
Luego, m.c.m (11, 20, 9, 35) = 11· 22 · 5 · 32 · 7 = 13860
Observa: 13860 : 20 = 693
13860 : 9 = 1540 13860 : 35 = 396
1260 693 396 1540
Sumando o restando los numeradores, queda:
8. Suma y resta de fracciones. Ejercicios (II)
23/04/2012 20
4
12
Para sumar un número entero y una fracción:
1º. Se expresa el número entero como fracción, multiplicado y dividiendo por
el denominador de la fracción.
2º. Se suman como dos fracciones de igual denominador.
Tenemos dos cuadrados completos y un cuarto de otro:
2
+
4
1+
4
1+
4
8
+
4
9=
Observa que: 4
8
4
4 · 22
Otro ejemplo
8
125 Calcula: 8
13
8
125
8
25
8
1
8
24
8
1
8
8 · 3
8. Suma de un número entero y una fracción
23/04/2012 21
7
51
Tenemos un rectángulo completo y deseamos
quitarle cinco séptimos del mismo:
7
5
1 7
7
7
5
7
2
7
2
7
5
7
7
7
51 Luego:
Para restar un número entero y una fracción:
1º. Se expresa el número entero como fracción, multiplicado y dividiendo por
el denominador de la fracción.
2º. Se restan como dos fracciones de igual denominador.
Otro ejemplo 32
9Calcula:
2
2 · 3
2
93
2
9
2
3
2
6
2
9
8. Resta de un número entero y una fracción
