Parte I - Geodesiapeople.dicea.unifi.it/suracelu/empoli-pianificazione... · 2005. 12. 13. · 1 PARTE I – GEODESIA GEODESIA FISICA Introduzione La Topograﬁa è una scienza applicata

progettodidattica in rete

prog

etto

dida

ttica

in re

teDipartimento di Georisorse e TerritorioPolitecnico di Torino, dicembre 2000

Lezioni di TopografiaParte I - Geodesia

A. Manzino

otto editore

DISPENSE DI TOPOGRAFIA

P

ARTE

I – G

EODESIA

A

.

MANZINO

Otto Editore P.zza Vittorio Veneto 14 – 10123 Torinowww.otto.to.it

INDICE

PARTE PRIMA – GEODESIA FISICA

Introduzione ...........................................................................................1

1. IL PROBLEMA DELLA RAPPRESENTAZIONE DELLA TERRA ............................................................................................2

1.1 CENNI DI TEORIA DELLA GRAVITAZIONE .............................................4La gravitazione ........................................................................................4Moti terrestri e potenziale di gravità .......................................................5Il geoide ...................................................................................................7Lo sferoide ............................................................................................ 10Il calcolo di alcune costanti geometriche ............................................. 14Equazione dello sferoide in funzione dei parametri geometrici .......... 16Espressione della gravità normale in funzione dei parametri geometrici ... 16Dallo sferoide all'ellissoide .................................................................... 17

2. SISTEMI DI COORDINATE ....................................................18

2.1 LE COORDINATE GEODETICHE .......................................................... 18Passaggio dalle coordinate geodetiche alle coordinate cartesiane geocen-triche e viceversa ................................................................................... 19

2.2 LE COORDINATE ASTRONOMICHE O NATURALI ............................... 22La correzione gravimetrica nella livellazione geometrica ..................... 25

2.3 COORDINATE CARTESIANE LOCALI OD EULERIANE .......................... 28

i

2.4 DIMENSIONI DELL’ELLISSOIDE TERRESTRE ....................................... 29

3. L'ELLISSOIDE COME SUPERFICIE DI RIFERIMENTO PLANIMETRICA .........................................................................32

3.1 RAGGI DI CURVATURA E SEZIONI NORMALI ..................................... 32

3.2 LINEE GEODETICHE ............................................................................ 35

3.3 LE EQUAZIONI DELLE GEODETICHE PER SUPERFICI DI ROTAZIONE E PER L'ELLISSOIDE ................................................................................. 36

3.4 TEOREMI DELLA GEODESIA OPERATIVA ............................................ 38Premessa ............................................................................................... 38Gli azimut e le distanze su sezioni normali .......................................... 39

3.5 CAMPO GEODETICO E CAMPO TOPOGRAFICO ................................. 40

4. PROBLEMI PLANIMETRICI RISOLUBILI NEL CAMPO GEODETICO ..............................................................................43

4.1 IL TEOREMA DI LEGENDRE ................................................................. 43

4.2 COORDINATE GEODETICHE POLARI E RETTANGOLARI ................... 44

4.3 IL TRASPORTO DELLE COORDINATE GEODETICHE: PROBLEMA DIRETTO .............................................................................................. 45

4.4 IL TRASPORTO DELLE COORDINATE GEOGRAFICHE: PROBLEMA INVERSO ............................................................................................... 48

5. LE RAPPRESENTAZIONI CARTOGRAFICHE ...................50

5.1 CLASSIFICAZIONE DELLA RAPPRESENTAZIONI ................................... 52

5.2 EQUAZIONI DIFFERENZIALI DELLE RAPPRESENTAZIONI ................... 53

5.3 EQUAZIONI DIFFERENZIALI DELLE RAPPRESENTAZIONI CONFORMI 56

5.4 EQUAZIONI DIFFERENZIALI DELLE RAPPRESENTAZIONI EQUIVALENTI ........................................................................... 60

5.5 LA RAPPRESENTAZIONE CONFORME DI GAUSS ................................. 61

5.6 CARATTERISTICHE GEOMETRICHE E PARAMETRI DELLA CARTA DI GAUSS .................................................................................................. 67Convergenza delle trasformate ............................................................. 69Le trasformate delle geodetiche nella carta di Gauss ............................ 70

5.7 LA CARTOGRAFIA UFFICIALE ITALIANA .............................................. 72L'inserimento della cartografia nazionale nel sistema UTM ............... 75

ii

Le nuove carte alla scala 1:50000 e 1:25000 ....................................... 79Le carte da satellite ................................................................................ 80

5.8 LE CARTE CATASTALI E LA RAPPRESENTAZIONE DI CASSINI SOLDNER ..................................................................................80

iii

1

PARTE I – GEODESIA

GEODESIA FISICA

Introduzione

La Topografia è una scienza applicata che si prefigge la determinazione e la rappre-sentazione metrica della superficie fisica terrestre, nasce e si inserisce nella Geodesiail cui scopo è la determinazione della figura della terra e del suo campo gravitazio-nale esterno in funzione del tempo. Per figura della terra si intende qui la sua super-ficie fisica e matematica; si intende per superficie fisica il limite tra l’atmosfera e lasuperficie liquida o solida della terra e per figura matematica la superficie equipo-tenziale del campo gravitazionale della terra (a potenziale convenzionale

W=W

0

).Per comprendere meglio la Topografia è quindi necessario dare dei cenni di Geode-sia, chiarendo per i nostri fini, quale è la forma della terra e quali sono le forze cheagiscono su di essa.

2

1. IL PROBLEMA DELLA RAPPRESENTAZIONE

DELLA TERRA

Per descrivere la superficie fisica della terra

T

, supponiamo, solo per comodità, dipoter stabilire dapprima un sistema di riferimento cartesiano ortogonale con ori-gine nel centro di massa

CM

della terra (figura

1.1

). Sappiamo ormai da secoli chela superficie terrestre si approssima abbastanza bene a quella di una sfera di circa6370 km di raggio e meglio ancora a quella di un ellissoide di rotazione che chia-meremo

Σ

.

Fig. 1.1 –

Descrizione variazionale della superficie terrestre.

Facciamo l’ipotesi che il centro di massa della terra coincida con il centro dell’ellis-soide

Σ

, potremo allora decidere di rappresentare la forma vera della terra

T

attra-verso la misura degli scostamenti di

T

da

Σ

. Proiettando perpendicolarmente ilpunto

A

su

Σ

definiamo la coordinata altimetrica

h

A

di

A

come la distanza

AA

’

e,individuato

A

’

, le coordinate planimetriche di

A

sono definite attraverso una cop-pia di coordinate di superficie: (

ϕ

A

,

λ

A

) =(

ϕ

A

’

,

λ

A

’

). Ogni punto di

T

è definito dun-que dalle tre coordinate (

ϕ

,

λ

,

h

).

CM

B

B'A

A'

T

hA

Y

Z

X

n'

hBΣ

=( ϕA

λA ) ( ϕ

A' λ

A' )

IL

PROBLEMA

DELLA

RAPPRESENTAZIONE

3

Questo metodo di rappresentazione, che chiamiamo variazionale (rispetto ad unasuperficie di riferimento) è operativamente pratico e si adatta alla realtà, in quantogli scostamenti rappresentabili, dalle fosse oceaniche alle vette più alte, sonodell’ordine di 1/1000 del raggio terrestre. Il problema è tuttavia risolto solo teorica-mente, perché rimane ancora da capire se e come si riesce ad individuare fisica-mente la superficie dell’ellissoide

Σ

, e se si riesce in qualunque punto, a trovare lanormale alla superficie

Σ

. La risposta è negativa: l’ellissoide rimarrà per questimotivi solo una superficie matematica teorica, che consente di avvicinarci al pro-blema della rappresentazione e della misura della superficie terrestre: non è cioèpossibile misurare direttamente posizioni e spostamenti di punti riferitiall’ellissoide di rotazione. Recentemente tuttavia le moderne tecniche di osser-vazione satellitare (le misure GPS sono fra queste le più frequenti), consentonodi misurare tali parametri con sufficiente precisione. In tal caso il problema sisposta dalla individuazione dell’ellissoide all’individuazione e alla stabilità delsistema di riferimento.

Ci domandiamo: esiste allora una più comoda superficie

Γ

che meglio approssimila superficie

T

? Quali strumenti abbiamo a disposizione per misurare in qualunquepunto di

T

almeno la direzione verso la superficie

Γ

(figura

1.2

). Quali sarannoforma e dimensioni di

Γ

?

Fig. 1.2 –

La determinazione di una superficie equipotenziale.

Prescindendo dai metodi satellitari,

la direzione che è sempre misurabile in ogni puntodella superficie terrestre è quella del «filo a piombo»

, perpendicolare cioè alla superficieequipotenziale passante per il punto di misura. Possiamo inoltre misurare (con lalivellazione ortometrica ad esempio)

le differenze di altezze

H

AB

rispetto alle super-fici equipotenziali passanti per

A

e per

B

ed infine

il modulo del vettore della forzaagente su una massa unitaria

posta in

A

o

B

. In sintesi, per capire con precisione qualè la forma della terra e poterla misurare nella pratica è dunque indispensabile stu-diare il suo campo di gravità.

TA

B

ΣΣ Γ

Γ

∆HAB

IL

PROBLEMA

DELLA

RAPPRESENTAZIONE

4

1.1 C

ENNI

DI

TEORIA

DELLA

GRAVITAZIONE

La gravitazione

Il campo di gravità è causato dall’attrazione gravitazionale propria, da quella deicorpi celesti, dal moto rotatorio e da altri moti e fattori perturbativi statici o dina-mici del corpo terrestre. Partiamo dall’attrazione gravitazionale. L’attrazione gravi-tazionale fra masse elementari (figura

1.3

) vale, secondo la legge di Newton:

1.1

F

è attrattiva e diretta secondo il vettore

QP

, G è la costante gravitazionale che vale:.

Fig. 1.3 –

Attrazione fra due masse elementari.

Si ha cioè:

1.2

Nel caso in cui si debba considerare un corpo non puntiforme come la terra e cer-care l’effetto gravitazionale sull’unità di massa posta in

P

, si può cercare di ricavare

F

come:

1.3

In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, chiamando (

a, b, c

) le coordi-nate del centro di massa ed (

x

,

y

,

z

) le coordinate di un punto

P

, si ha:

1.4

ed integrando, con si ottiene la forza gravitazionale:

1.5

F Gmm '

l2----------=

G 6.67259 10 11–× m kg 1– s 1–=

mQ

m'

P

F

I

F

τ

F Gmm '

l2----------= l

l-----⋅

F ∆Fi∑∆m 0→lim∆mil i

2---------∑

∆m 0→lim= =

F Gdml2

------------ Gdmx a–( )2 x b–( )2 x c–( )2+ +

--------------------------------------------------------------------= =

dm ρ dτ=

F G ρ x y z, ,( )dτx a–( )2 x b–( )2 x c–( )2+ +

--------------------------------------------------------------------∫τ∫∫=

IL

PROBLEMA

DELLA

RAPPRESENTAZIONE

dove

ρ

è la densità, variabile da punto a punto e d

τ

è l’elemento di volume infini-tesimo. La forza gravitazionale ammette potenziale

V

che si ottiene per integrazionedella relazione:

dove

x

è ila direzio

e quindi

Il calcolo

presuppo

scopo che

per la cro

non cono

Moti terre

I moti ter

1. MnTsi

Le

2. Mradti

Consider(figura 1.

Per un pu

dove r è l

Anche qudella 1.9;

1.6dF Vd∂x∂

--------- Gdml 2------=–=

5

l generico asse di direzione della forza; si ha allora (la forza è diretta lungone l ):

1.7

il potenziale gravitazionale risulta:

1.8

di questo integrale, oltre alla conoscenza della funzione ρ all’interno di τ,ne anche di conoscere la superficie esterna di τ, ma questo è, purtroppo, lo vogliamo raggiungere. Conosciamo ad esempio che il valore medio di ρsta è ρ = 2.67 g/cm3, mentre la densità media terrestre è ρ = 6.53 g/cm3,sciamo tuttavia il variare di ρ all’ interno di τ.

stri e potenziale di gravità

restri principali sono:

oto di rotazione attorno ad un asse polare, che ai nostri fini per ora rite-iamo costante nel tempo e con velocità angolare media dove

t, che è il periodo di passaggio attorno ad una stella fissa, è detto giornoderale medio: Tt = 86,164.091 s.

’accelerazione centrifuga dovuta alla rotazione vale ; la forzasercitata sulla massa m vale .

oto di rivoluzione attorno al sole, con periodo Ts= 1 anno side-le= 365.256360 giorni di tempo solare medio e descrivente il piano

ell’eclittica. L’asse terrestre si inclina durante l’anno, sul piano dell’eclit-ca, di ±23°.5 circa durante l’evolversi delle stagioni.

iamo ora la combinazione dell’effetto gravitazionale F e centrifugo f4).

nto di massa unitaria la forza centrifuga f vale:

1.9

a distanza di un punto della superficie dall’asse di istantanea rotazione.

esta forza ammette potenziale centrifugo v che si ottiene per integrazionesi ha:

dV Gdml

-------=

V G ρ x y z, ,( )dτx a–( )2 x b–( )2 x c–( )2+ +

------------------------------------------------------------------------∫τ∫∫=

ω 2Π Tt⁄=

a ω2 r=f m2 r=

f ω2r=

IL PROBLEMA DELLA RAPPRESENTAZIONE

1.10

dove (x,y) è il piano normale all’asse di rotazione.

Fig. 1.4 – Combinazione degli effetti gravitazionale e centrifugo: g=F+f.

Il potenziale di gravità W è definito dalla somma dei due potenziali:

1.11

1.12

Per derivazione il vettore gravità vale:

Il potenziale W ha derivate prime calcolabili, finite e continue, mentre le derivateseconde sono discontinue in corrispondenza di discontinuità di ρ. Si può dimo-strare che nello spazio esterno il potenziale gravitazionale V soddisfa alla equazione:

1.14

(leggasi: Laplaciano di V=0).

Tali funzioni (per le quali il Laplaciano si annulla) vengono dette armoniche.All’interno del corpo il potenziale V segue invece la legge di Poisson:

Per il p

v ω2r2

--------- v x y,( )= =

ω

r P f

Fg

W V v+=

W W P( ) Gρl---dτ ω

2 r2

---------+∫τ∫∫==

∆Vx2

2

∂∂ V

y2

2

∂∂ V

z2

2

∂∂ V+ +=

1.15V 4Gρ P( )–=

ot

1.13g F f gradW–=+=

6

enziale di gravità W, nello spazio esterno si ha invece:

1.16W 2ω2=


Si può dimostrare che tutte le funzioni armoniche sono analitiche, vale a dire conti-nue e con derivate continue di qualunque ordine.

Le superfici equipotenziali: sono anche superfici di livello, valea dire:

1.17

Cioè la derivata del potenziale in una direzione è uguale alla proiezione in quelladirezione del vettore gravità; in particolare, siccome su una generica superficie equi-potenziale dW = 0 questa superficie è sempre normale al vettore g.

Il geoide

Per la descrizione variazionale della superficie terrestre e per il posizionamento deipunti sulla stessa scegliamo per Γ una superficie di livello convenzionale

. La convenzione che si è scelta è quella di stabilire per questa costanteil potenziale della superficie di livello che corrisponde al potenziale della superficiemedia del mare in quiete W=W0. Stabilita questa costante convenzionale possiamoimmaginare di prolungare la superficie W=W0, definita analiticamente, anche al disotto delle terre emerse: questa superficie si chiama geoide. Rimane tuttavia il pro-blema di come determinare analiticamente l’equazione del geoide. È vero che que-sta equazione può scriversi in forma integrale:

ma rimadeti sondel geoisuperfici

In realtàcon quadeviaziosuperfici

W W P( ) cost==

W cost W 0 g ds g ds g ds( )cos=⇒=d⇒ 0= =

W cost=( )

1.18W0 Gρ x y z,,( )l x y z,,( )-------------------dx dy dz∫

τ∫∫– ω2 r 2 x y,( )2------------------------– 0=

7

ngono anche qui irrisolti tutti i problemi emersi per il calcolo di V. I geo-o riusciti, però, ad arrivare ad una buona approssimazione nella conoscenzade attraverso la misura del potenziale in molti e ben distribuiti punti dellae terrestre.

è stato possibile realizzare ciò con misure di funzionali del potenziale, (cioèntità dipendenti dal potenziale) quali ad esempio anomalie di gravità,ne della verticale ecc. eseguite in genere in punti prossimi od esterni allae Γ del geoide.


Anche se non è compito del topografo arrivare a determinare il geoide, vediamocome si possono raggiungere queste approssimazioni ed il loro significato fisico.

Fig. 1.5 – Espressione di l in funzione di σ , σ 'e ϑ .

Nella formula integrale 1.18 il vettore l può esprimersi (figura 1.5):

1.19

cioè:

Fig.

Z

X Y

dmP

Q (X,Y,Z)

τ

lc

a

b

O=CMσ

σ'ϑ

l 2 σ2= σ '2 2σσ ' ϑcos–+

1.20l 2 σ2 1 σ 'σ---- 2 2 σ 'σ----

ϑcos–+ =

8

1.6 – L’elemento di volume dr in funzione delle tre coordinate (Ψ, λ , σ ).

X

Y

Z

O

λ

ψ'

ψ'

ψ

λ'

λ' cos

σ'σ'

σ'σ

d

dd

d


Le coordinate polari (ψ, λ, σ) descritte in figura 1.6 sono legate alle coordinate ret-tangolari (X, Y, Z ) attraverso le relazioni:

Utilizzando l’espressione , dalle 1.21 si ricava allora:

confront

Nell’inte

Il potenz

Essendoarmonichche dalla

Si può sc

Anm e Bnzione di di superfiricorsiva;

l 2 ∆X2 ∆Y 2 ∆Z2+ +=

1.22l 2 σ 2= σ '2 2σσ ' ψsin ψ 'sin ψ ψ 'cos λ λ '–( )coscos+( )–+

ando la 1.22 con la 1.20 si ricava infine:

1.23

grale 1.18 l’elemento di volume (dx dy dz) vale (figura 1.6):

1.24

iale V può allora esprimersi in coordinate polari:

1.25

V una funzione armonica, siamo certi di poter sviluppare V in serie die sferiche. Ci si attende che questi sviluppi dipendano da ψ, λ e da σ, oltre densità ρ. rivere infatti per tutte le funzioni armoniche ed in particolare per V:

ϑcos ψsin ψ 'sin ψ ψ 'cos λ λ '–( )coscos+=

dτ σ '2 ψ ψ 'coscos dλ ' dσ '=

VGσ----

ρ σ '2 ψ 'cos dψ ' dλ ' dσ '

1 σ 'σ---- 2 2 σ 'σ----

ϑcos–+1 2⁄--------------------------------------------------------------------∫

τ∫∫=

1.26V P( ) AnmRnm ψ λ,( )

σ n 1+------------------------ Bnm

Snm ψ λ,( )σn 1+

-----------------------+m 0=

n

∑n 0=

∞

∑=

m sono delle costanti, in genere incognite, che dipendono dalla distribu-massa e dalla forma della terra, mentre Rnm ed Snm sono dette armonichecie, funzioni note, ricavabili attraverso i polinomi di Legendre in forma le riportiamo sino ad ordine n e grado m uguali a due.

1.27

R00 1= S00 0=

R10 ψsin= S10 0=

R11 ψ λcoscos= S11 ψ λsincos=

R20 3 2 ψsin2⁄= 1 2⁄– S20 0=

R21 3 ψcos= ψ λcossin S21 3 ψcos= ψ λsinsin

R22 3 ψ 2λcoscos2= S22 3 ψ 2λcoscos2=

ecc… ecc…

1.21

X σ ψ λcoscos=Y σ ψ λsincos=Z σ ψsin=

9


A loro volta i coefficienti Anm e Bnm si ricavano dalle equazioni integrali:

1.28a

1.28b

1.29

ritornando così evidente che per ricavarli occorre conoscere ρ e la forma di τ.

Lo sferoide

È possibile tuttavia calcolare almeno i primi termini della 1.26, note le funzioni Red S. È subito evidente ad esempio che:

Proseguendo nella sostituzione negli integrali 1.28 ed 1.29 dei valori disi può notare che, a parte la costante G, i termini relativi a queste

prime funzioni armoniche esprimono i momenti statici del corpo terrestre.

Siccome è arbitraria la scelta dell’origine degli assi, basta porre l’origine coincidentecon il centro di massa (geocentro) affinché questi, per definizione, si annullino

. Tenendo conto delle 1.27 e 1.21, con qualche passaggio si rica-vano gli altri termini che valgono:

essendo

Definenricava:

An0 An G ρ dτ∫τ∫∫= =

Anm 2Gn m–( )!m n+( )!

-------------------- σ '( )n Rnm ψ ' λ',( )ρ dτ∫τ∫∫=

Bnm 2Gn m–( )!m n+( )!

-------------------- σ '( )n Snm ψ ' λ',( )ρ dτ∫τ∫∫=

A00 G ρ dτ∫τ∫∫ GM= =

R10 R11 S10 S11,,,

A1m B1m 0= =( )

1.30A20 GX '2 Y '2+

2---------------------- Z '2–

ρ dτ∫τ∫∫ G A B+2------------- C– = =

10

.

do A, B e C i tre momenti principali di inerzia rispetto agli assi X, Y e Z si

σ ψsin Z=

A20 GA B+

2------------- C–

=


11

Con calcoli analoghi si ottiene poi:

che rappresenta il momento d’inerzia misto, che si annulla se si sceglie come assedi rotazione. Proseguendo su questa via ricaviamo:

Anche questo termine è nullo essendo un momento d'inerzia misto come il termine A21.

Anche il termine:

rappresenta un momento d'inerzia misto della terra che è nullo se si scelgono ed come assi principali d'inerzia.

A212G6

------- 3σ 2 3 ψ ψ λcossincos( )ρ dτ∫τ∫∫=

A21 G X ' Z '( ) ρ dτ∫τ∫∫=

Z '

A22G12------ ψ λcos2cos2 3 ψ ψsin2cos2–( )σ '2 ρ dτ∫

τ∫∫=

A22G4---- Y '2– X '2+( )ρ dτ∫

τ∫∫ G4---- B A–( )= =

B20 0 in quanto S20 0==

B21 G Y 'Z '( ) ρ dτ∫τ∫∫=

B22 G X 'Y '( ) ρ dτ∫τ∫∫=

X 'Y '


Riassumendo vediamo dunque come si esprime il potenziale gravitazionale arre-stando lo sviluppo armonico all'ordine n=2 e grado m=2.

Possiamo, in forma più compatta scrivere:

1.31

dove T è il potenziale residuo di ordine e grado superiore a 3 detto potenziale anomalo.

Ricordando l'espressione del potenziale di gravità W si può scrivere:

1.32

chiamiamo con U la somma, definita potenziale normale della gravità:

Il potenziale di gravità è la somma del potenziale normale e del potenziale anomalo:

Inserendo nella 1.33 i valori di Rnm ed Snm della tabella 1.27 si ottiene:

È noto che i due momenti principali di inerzia A e B sono circa uguali, in quanto laforma della terra è molto prossima ad un solido di rotazione; si può ammettere allorala seguente semplificazione:

Ci si fica c

V A00R00

s-------- B00S00s------- ++=

+ A10R10σ 2-------- B10

S10σ 2------- +

A11R11σ 2

----------------B11S11

σ 2---------------- ++ +

+ A20R20σ 3-------- B20

S20σ 3------- +

A21R21σ 2

----------------B21S21

σ 3----------------

A22R22σ 3

----------------B22S22

σ 3---------------- T+ + + + +

V V ' T+=

W V ' ω2σ 2 ψcos2

2---------------------------- T+ +=

U V ' ω2σ2 ψcos2

2---------------------------+=

WGM

σ---------- 11

2σ 2M--------------- C A B+

2--------------–

1 3 ψsin2–( ) 34σ 2--------- B A–

M-------------

ψcos2 2λcos+ +=

ω2σ 2 ψcos2

2----------------------------- T+ +

A B+( ) 2⁄ A≅ B A–( ) 0≅

Anm

1.34WGM

σ---------- 11

2σ 2---------C A–

M------------- 1 3 ψsin2–( )+ ω

2σ 2 ψcos22

---------------------------- T U T+=+ +=

è fehe e B

1.33W U T+=

12

rmati ad ordine n=2 e grado m=2 nello sviluppo armonico, ciò non signi-non si possa ricavare il potenziale anomalo T, questo dipende dai termini

che sono ricavabili note la densità e la forma della terra.nm


In pratica T è ricavabile attraverso la misura su tutta la superficie terrestre τ di valoridipendenti dalla densità e da T, quali ad esempio i valori della gravità.

È così possibile proseguire lo sviluppo in serie di armoniche sino ad un certo ordinee grado, quindi ricavare il potenziale W con una approssimazione sufficiente permolti scopi geodetici e topografici.

Se si pone nella 1.34:

si ottiene l'equazione di una superficie equipotenziale che, per una particolare sceltadi W0 prende il nome di geoide; esso esprime la forma della terra o meglio la formadel suo campo di gravità ad una certa quota equipotenziale .

Se si pone nella 1.34:

1.35

si ottiene invece, l'equazione approssimata sino ad ordine e grado due del geoide.Questa equazione rappresenta una superficie che prende il nome di sferoide; è facilenotare che l'equazione dello sferoide rappresenta una superficie. Evidenziando lecoordinate polari (ψ,σ ) e le tre costanti (per ora inco-gnite), si comprende che lo sferoide è una superficie di rotazione, in quanto nondipende da λ.Si può dimostrare che, per il posizionamento planimetrico di un punto, (che siricorda è eseguito attraverso la proiezione di questo su una superficie di riferi-mento), lo sferoide è già una approssimazione adeguata di τ , in quanto le normalialla superficie sono sufficientemente prossime alla direzione della verti-cale, cioè (vedi figura 2.3):

Ritornando alla 1.34 e ricordando la 1.15, anche per il potenziale T vale la proprietàdi armonicità:

1.36

In modo analogo alle relazioni 1.6 e 1.13 per il potenziale gravitazionale ed il poten-ziale di gravità, si può scrivere per il potenziale normale:

1.37

Il vettore γγγγ viene chiamato gravità normale.Volendo ricavare il modulo di γγγγ attraverso le sue componenti, occorre derivare Urispetto agli assi X, Y, Z e sommare pitagoricamente i tre contributi. Si dimostratuttavia che, con buona approssimazione, il valore si ricava derivando Urispetto a σ, dove σ è la distanza di un punto dello sferoide dal centro di massa.Così facendo si ottiene:

W U T+ W0 cost= = =

W W0=

U U0 cost= =

GM C A–( ) M ω2,⁄,

U cost=

grad W( ) grad U( )– n n '– ε 0≅= =

∆T 0=

γγγγ gradU–=

γγγγ

1.38γ GMσ 2

---------- 11

2σ 2---------C A–

M------------- 1 3 ψsin2–( )+ ω2σ 2 ψcos2–=

13


14

La differenza tra il modulo dei vettori g e γγγγ si chiama anomalia di gravità e vale:

1.39

ed è il funzionale del campo anomalo più diffusamente misurato ed utilizzato per ilcalcolo del geoide.

Il calcolo di alcune costanti geometriche

Nell'equazione dello sferoide, espressa in forma estesa 1.34, compaiono costantimeccaniche come , le quali non definiscono esplicitamente laforma e le dimensioni dello sferoide.

Ricaveremo ora le costanti geometriche: il semiasse polare c e quello equatoriale a.Scriviamo l'equazione dello sferoide:

e definiamo:

1.40

Si ha:

1.41

dividendo tra loro i due termini dell’equazione si ha:

siccome:

si può sviluppare in serie binomiale il denominatore, approssimando:

che si semplifica in:

∆g

∆g g γ–=

GM C A–( ) M⁄,

U ψ 0=( ) U ψ 90°=( ) U0 cost= = =

kC A–

M-------------

=

GMa

---------- 1 k2a2-------- ω

2a 3

2GM-------------+ +

GMc

---------- 1 kc2----–=

ca--- 1 k

c 2-----–

= 1 k2a2-------- ω

2a 3

2GM-------------+ +

1–

kc 2----- 0≅ e k

2a2-------- ω

2a 3

2GM-------------+ 0≅

ca--- 1

kc 2-----–

1 k2a2-------- ω

2a3

2GM-------------+–

=≅

1 k2a2-------- ω

2a3

2GM-------------– k

c 2----- k

2 a 2c 2--------------- ω

2 k a3

2 c2 GM-------------------+ +––=

ka2----- k

c 2-----≅


Definiamo schiacciamento geometrico dello sferoide il termine:

1.42

si ha:

Questo risultato mostra come, attraverso l'utilizzo di quantità meccaniche, si è rica-vata la quantità geometrica schiacciamento α dello sferoide.Dalla 1.38 ricaviamo poi il valore della gravità normale all'equatore ed ai poli:

Sviluppapreceden

Definiam

Possiamo

Si vede fa

e, grazie

ca--- 1

32--- k

a2-----– ω

2 a3

2GM-------------– ≅

α a c–a

---------- 1 ca---–= =

1.44

γaGMa2

---------- 132--- k

a2----- ω

2 a3

2GM-------------–+=

γcGMc 2

---------- 1 3kc2------–=

γcγa----

a2

c 2----- 1 3k

c 2------–

1 3k2a2-------- ω

2 a3

GM-------------–+

1–=

1.43α 32--- k

a 2----- ω

2a3

2GM-------------+=

15

ndo in serie binomiale, moltiplicando ed approssimando come visto inza per il rapporto si ricava:

o infine β lo schiacciamento di gravità:

1.45

scrivere:

1.46

cilmente che:

al fatto che , ricaviamo la relazione di Clairaut:

1.47

c a⁄

γcγa---- 1 3k

2a2--------– 2ω

2 a3

GM----------------+=

βγcγa---- 1–=

β 32--- k

a2-----– 2

ω2 a3GM------------+=

α β+ 52---ω

2 a3

GM------------=

γa GM a2⁄≅

α β+ 52---ω

2 aγa

----------=


Equazione dello sferoide in funzione dei parametri geometrici

Riscriviamo ora la 1.34 in questo modo:

ricordando la prima delle 1.41 ed eguagliando queste quantità si ricava:

Sviluppando come al solito il denominatore e semplificando, con qualche passaggiosi ottiene:

cioè:

Questaespressadipende

Espressi

Ricordi

e ricord

dividensemplifi

che equ

Questa latitudin

UGM

σ---------- 1k

2σ------- 1 3 ψsin2–( ) ω

2σ 3 ψcos22GM

-----------------------------+ + U0= =

σa---- 1 k 1 3 ψsin

2–( )2σ 2

--------------------------------- ω2σ 3 ψcos2

2GM----------------------------+ + 1 k

2a2-------- ω

2 a3

2GM-------------+ +

1–

σ a 1 3k2a2-------- ω

2a3

2GM-------------+

ψsin2–=

1.48σ a 1 α– ψsin2( )=

è finalmente l'equazione dello sferoide nelle coordinate polari in funzione delle quantità geometriche . Come si nota la 1.48 non da λ.

one della gravità normale in funzione dei parametri geometrici

amo la 1.38 che ora esprimiamo come:

i

dc

i

è

σ ψ,( )a α,( )

1.49γ GMσ 2

---------- 13k2a 2-------- 1 3 ψsin2–( ) ω

2σ 3 ψcos2GM

----------------------------+ +=

16

amo anche l'espressione della gravità normale all'equatore 1.44:

o fra loro i due valori di γ, sviluppando binomialmente al primo ordine eando si ricava:

vale a scrivere:

1.50

l'equazione della gravità normale che, come si vede, dipende solo dallae sferoidica.

γaGMa 2

---------- 132--- k

a 2----- ω

2 a3

2GM-------------–+=

γγa---- 1 3k

2a2--------– 2ω

2 a3

GM----------------+

ψsin2+≅

γ γa 1 β+ ψsin2( )=


Dallo sferoide all'ellissoide

Proviamo a scrivere la 1.48 in coordinate cartesiane. Si ha:

in quanto .

La formula ricavata è di difficile utilizzo. Partendo allora dalla 1.48, vediamo comequesta può semplificarsi.

Possiamo scrivere:

Trascurando il termine moltiplicativo di a meno di errori dell’ordine di a(infatti e ) si ha:

Quest'ultima approssimazione è tollerabile in quanto moltiplica α che èun termine piccolo.

Con ciò otteniamo:

1.51

ponendo :

1.52

Cerchiamo quanto vale sviluppando come al solito :

si ottiene in definitiva dalla 1.51:

che è ltesianetopogrquella

σ X 2 Y 2 Z 2+ + a 1 α Z2

σ 2-------–

a 1 α Z2

X 2 Y 2 Z 2+ +------------------------------------–

= = =

ψsin Z σ⁄=

σ 2 a 2 1 α 2 ψsin4 2α ψsin2–+( )=

α 2 10 5–

α 1 297⁄( )≅ α 2 10 5–=

σ 2 a 2 1 2α Z2

σ 2-------–

= a 2 1 2α Z2

a2------–

≅

Z 2 σ 2⁄

X 2 Y 2 Z 2+ + a2 2α Z 2–=

X 2 Y 2+a2

-------------------- Z 21 2α+( )

a2---------------------+ 1=

1 2α+ t2=

X 2

a2------- t

2Z 2

a2-----------+ 1=

a t⁄ 1 t⁄

at--

a

1 2α+-------------------- a 1 α–( ) a 1 a c–

a----------–

c= =≅=

1.53X 2 Y 2+

a2-------------------- Z

2

c2------+ 1= Σ≡

17

'equazione di un ellissoide di rotazione Σ attorno all'asse Z in coordinate car-. Questa sarà la superficie planimetrica di riferimento per i rilievi geodetici eafici. A causa delle approssimazioni, la superficie dell'ellissoide si discosta dadello sferoide di valori massimi dell'ordine di .10 5– σ

18

2. SISTEMI DI COORDINATE

2.1 L

E

COORDINATE

GEODETICHE

Abbiamo già visto che la posizione di un punto può essere espressa per mezzo di:

– coordinate cartesiane rettangolari geocentriche

– coordinate polari.

Vediamo ora come si esprime la posizione di un punto attraverso le

coordinate geo-detiche

(o geografiche) definite dalla terna (

ϕ

,

λ

,

h

), chiamate anche rispettivamente

latitudine

,

longitudine geodetiche

ed

altezza geodetica

(o quota ellissoidica).

Utilizziamo come riferimento l’ellissoide definito dalla

1.53

, sia

P

un punto esternoe

Q

la sua proiezione su di esso (vedi figura

2.1

):

–

h

è definita dalla distanza

QP

– la latitudine è l’angolo che il versore normale all’ellissoide forma colpiano equatoriale

– la longitudine è l’angolo che il piano meridiano passante per

P

forma colpiano del meridiano convenzionale di riferimento

π

.

Fig. 2.1 –

Latitudine, longitudine ed altezza geodetica.

La latitudine e longitudine geodetiche di

P

coincidono sia con quelle di

Q

che inpratica con la direzione del campo normale in quanto si può dimostrare che vale:

n '

X

Y

Z

O

λϕ

Σ

π Qn'

h

P (x,y,z)

SISTEMI

DI

COORDINATE

ed anche se non fosse trascurabile la correzione per strumenti di alta precisione equote elevate, si deve ammettere che nei rilievi tradizionali ciò che conta è la varia-zione di

ϕ

e quella di

h

che spesso rendono costante questa correzione. Osserviamoche le componenti del versore sugli assi

XYZ

sono:

Passaggio dalle coordinate geodetiche alle coordinate cartesiane geocentriche e viceversa

Essendo (

ϕ

,

λ

,

h

) le coordinate riferite ad un ellissoide di rotazione, per molti scopiesplicativi possiamo considerare una sola sezione meridiana

Γ

, visibile in figura

2.2

.

Fig. 2.2 –

Parametri di una sezione meridiana dell’ellissoide.

L’ellisse

Γ

può essere costruito geometricamente attraverso due circonferenze diraggi

a

e

c

. L’equazione in forma parametrica è:

Ricavia

ϕP ϕQ≅ 0.17 ''– h ϕsin2⋅ h in km, ϕQ φQ=

n '

Z

O

Q

N

Ha

c

z

u

R Nr

(r=XY)

δ

ϕ

ϕ

ϕ

βΨ

Γ

2.2Γr a βcos=Z c βsin=

=

mo:

2.3Zr--- c

a-- tgβ=

2.1n ' ϕ λ ϕ λ ϕsin;sincos;coscos( )=

19

SISTEMI

DI

COORDINATE

20

ed ancora cercando la tangente alla curva si può scrivere:

2.4

Dalla

2.2

otteniamo i differenziali che entrano nella

2.4

:

2.5

Siccome vale la

2.3

si ha:

cioè:

2.6

Esprimiamo ora , che entrano nelle

2.2

in funzione di attraverso illegame con .

Si usano le relazioni:

2.7

2.8

e, definita eccentricità quadratica o eccentricità, il valore:

2.9

si ricava:

2.10

Ricordando, la prima delle

2.2

e la

2.6:

2.11a

tgδ ctgϕ– dZdr-------= =

dr a β dβ ;sin–= dZ c β dβ cos=

tgϕ drdZ-------– a

c-- tgβ ;= = tg β c

a-- tgϕ=

Zr---

ca-- tg β c

2

a2----- tgϕ= =

Z r c2

a2----- tgϕ=

βsin βcos tgϕtg β

β tg β

1 tg2β+------------------------=sin

βcos 1

1 tg2β+------------------------=

e2 1 c2

a2-----–=

β 1

1c2

a2-----tg2ϕ+

-----------------------------=cosϕcos

1 e 2 ϕsin2–-------------------------------=

βsin ϕ 1 e2–sin

1 e 2 ϕsin2–-------------------------------=

r a ϕcos

1 e 2 ϕsin2–-------------------------------=

SISTEMI

DI

COORDINATE

2.11b

L’ipotenusa del triangolo

NHQ

, che indichiamo con

RN vale:

con:

Ricordan

Per un pficano in

che rappcartesian

Possiamogeograficequazionconsiste

Si calcol

Con qua

Z r 1 e 2–( ) tgϕ a 1 e2–( ) ϕsin2

1 e 2 ϕsin2–-----------------------------------= =

2.12RNr

ϕcos----------- a

1 e 2 ϕsin2–------------------------------- a

w---= = =

do la 2.12 le tre coordinate cartesiane del punto Q sull’ellissoide valgono:

unto P a quota ellissoidica h, ricordando ancora la 2.1, le formule si modi-:

resentano le formule di passaggio dalle coordinate geografiche (ϕ ,λ ,h) allee geocentriche (X, Y, Z).

cercare ora le formule inverse: il passaggio dalle coordinate cartesiane allehe. L’inversione delle 2.16 è complessa e può essere fatta risolvendo unae del quarto grado od anche perturbativamente. Il metodo perturbativo

in questi passaggi: è possibile da prima ricavare direttamente λ , infatti:

2.17

a poi:

X Q( ) RN ϕ λcoscos=

Y Q( ) RN ϕ λsincos=

Z Q( ) RN 1 e2–( ) ϕsin=

2.14

2.15

2.16

X P( ) RN h+( ) ϕ λcoscos=

Y P( ) RN h+( ) ϕ λsincos=

Z P( ) RN 1 e2–( ) ϕsin h ϕsin+=

Y X⁄ tg λ=

2.18r X 2 Y 2+ RN h+( ) ϕcos= =

2.19

lche passaggio si può ricavare da queste formule:

Z 1 e2–( )RN h+[ ] ϕsin=

2.20Zr--- 1

e2 RNRN h+----------------–

tgϕ=

2.13w 1 e2 ϕsin2–=

21

SISTEMI DI COORDINATE

22

Dalla 2.20 si ricava ϕ , trascurando, alla prima iterazione, il secondo termine inparentesi. Attraverso la seconda espressione delle 2.12 si calcola RN ed infine si puòricavare h dalla 2.18. Inserita h nella 2.20 può iniziare una seconda iterazione, rica-vando un valore più corretto di ϕ e così di seguito si itera sino alla stabilizzazionedei valori di ϕ ed h ricavati.

2.2 LE COORDINATE ASTRONOMICHE O NATURALI

Le coordinate naturali sono definite dalla terna (Φ,Λ,Η ) nella quale Φ,Λ sonodette latitudine e longitudine astronomica ed Η è detta altezza ortometrica o quota edè la distanza di un punto P sul geoide misurata lungo la linea di forza. Sia il ver-sore diretto nella direzione del campo di forza per P (e quindi normale alla superfi-cie di livello passante per P) (figura 2.3). Il versore può essere espresso attraverso lecomponenti del vettore g :

2.21

La latitudine Φ è definita allora attraverso:

e siccome:

Fig. 2.3 – Direzione della normale al geoide.

si ricava la coordinata Λ per mezzo della:

n

ngxg----

gyg----

gzg----,,

– φ Λ , φ Λ , φsinsincoscoscos( )= =

Φsingzg----

–=

gx g Φ Λcoscos–=

gy g Φ Λsincos–=

Γ

Q''Q'

n'n

h

N

H

Po

P

ε

T

Sferoide Ellissoide

Geoide (campo reale)

tgΛgygx----=


23

La terza coordinata H (la quota ortometrica) è la lunghezza dell’arco di linea di forzache congiunge il punto P al geoide: in topografia si indica più spesso con il simbolo Q.

L’angolo ε che formano i versori ed (figura 2.3) è detto deviazione della verti-cale ed è la quantità che esprime lo scostamento delle linee di forza del campo reale,dalle linee di forza del campo normale.

Si ricorda infatti che l’ellissoide è la superficie che approssima la superficie equipo-tenziale del campo normale .

Possiamo separare le componenti di ε lungo ϕ e λ e ricavare così il legame tra lecoordinate geodetiche e le coordinate naturali:

2.22a

I valori comuni delle componenti delle deviazioni della verticale (ξ,η ) sono dipoche decine di secondi sessaggesimali, aumentano il loro valore assoluto e la lorovariabilità in luoghi montagnosi. Grazie a questi valori modesti di deviazione dellaverticale possiamo sempre scrivere con rigore (vedasi la figura 2.3):

2.23

ove N è detta ondulazione del geoide e misura lo scostamento di questa superficiedall’ellissoide geocentrico (del campo normale).

In approssimazione sferica (che si definirà al § 3.5) si dimostrano le seguenti rela-zioni che legano l’ondulazione del geoide alle deviazioni della verticale:

L’ondulazione N ha su tutto il globo segno alterno e valori medi di ± 50 m (vedifigura 2.5). In Italia l’ondulazione varia da + 37 m in Calabria a + 52 m in Vald’Aosta; il suo calcolo, compito dei geodeti, viene detto «calcolo del geoide». Que-sti calcoli assumono grande importanza in questi ultimi tempi nei quali l’utilizzo ditecniche satellitari consente di ricavare differenze di altezze ellissoidiche molto pre-cise: attraverso la 2.23, note le ondulazioni relative tra due punti è possibile ricavareil dislivello ortometrico con precisione che dipende appunto dalla precisione concui è noto il geoide.

n' n

U U0 W0= =

ε n n'–= ξ , η( )≡

2.22b

2.22cξ Φ ϕ–=η Λ λ–( ) ϕcos=

h H N+=

2.24a

2.24b

ξ 1R---

ϕ∂∂N

–=

η 1R ϕcos---------------

λ∂∂N

–=


24

Fig. 2.4 – Ondulazione del geoide.

I calcoli moderni del geoide, sempre più precisi e complessi, partono dall’utilizzo dimisure gravimetriche, satellitari e di ogni quantità fisica misurabile legata al campoanomalo T. Si può dimostrare inoltre che vale la relazione di Bruns:

2.25

che mostra che l’ondulazione è direttamente proporzionale al campo anomalo.

Fig. 2.5 – Ondulazione del geoide italiano.

ZΣ

Γ

n'

n

N

Ellissoide

Geoide

N Tγ----=


25

Le coordinate naturali (Φ,Λ,Η ) sono quantità misurabili direttamente: le primedue attraverso l’utilizzo combinato di strumenti come il teodolite o l’universale geo-detico (a seconda della precisione richiesta) e cronometri di precisione. Con questistrumenti è sempre possibile individuare con precisione la direzione e misurareangoli a partire da questa direzione verso astri di «orbita apparente» nota congrande precisione.

2.26

Anche l’altezza ortometrica è facilmente determinabile (o meglio la differenza dialtezze ortometriche) attraverso operazioni come la livellazione geometrica, dopol’applicazione di opportune «correzioni gravimetriche».

Fig. 2.6 – Determinazione astronomica della latitudine.

La correzione gravimetrica nella livellazione geometrica

La quota di un generico punto P vale per definizione:

n

ΛtM tE–

gs---------------- 360⋅–=

Φ ZE ZM–=

X t

Y

Z

PπGreenwich

Λ

ΦZ E

t M

Z M

E

n=zenith

ZM = zenit massimo apparente.

gs = giorno siderale.

tM = tempo al massimo zenit.

tE = tempo delle effemeridi della stella.

ZE = zenit delle effemeridi della stella.


La figcon: sonomaremisuseguipercoquanquanremo

Scriv

cioè:

Defin

si ha:

Appl

2.27HP Hd

P0

P

∫ Wdg--------P0

P

∫–= =

ura 2.6a porta l’esempio in cui si voglia misurare il dislivello tra A e B definito

. Si noti che le superfici W=cost, cioè le superfici dW=0 non fra di loro parallele. Si noti infine che scrivere dW=0 equivale anche ad affer- dH=0 per la 2.27. Ipotizziamo di avere a disposizione uno strumento cheri le quantità in intorni sufficientemente prossimi al punto P. Possiamore con tale strumento da A verso B percorsi diversi. Sono due i casi limite: ilrso ed il percorso . Nel primo caso misureremo into lungo WB si ha ; nel secondo caso misureremo into lungo WA si ha: . Compiendo un qualunque altro percorso misure- dei valori compresi tra questi due valori limite.

iamo allora per comodità l’integrale 2.27 come:

endo come valore medio integrale della gravità:

2.28

2.29

icando la 2.29 a 2 punti A e B si ha:

∆AB HB HA–=

qδ

AA ''B AB ''B Σ q AA ''=δqδ 0= Σ q BB ''=δ

qδ 0=

HPWdγ0

--------γ0g-----

P0

P

∫ 1γ0----- W γ0g----- dP0

P

∫ 1γ0----- W 1 γ0 g–g-------------+ dP0

P

∫= = =

HP–WP W0–

γ0---------------------

1γ0-----– g H

γ0 g–( )g

------------------d

P0

P

∫=

g1

HP------- g Hd

P0

P

∫=

HPW0 WP–

γ0---------------------= HP

γ0 g–γ0

--------------+

2.30∆AB HB HA–WB WA–

γ0----------------------–= = HB

γ0 gB–γ0

---------------- HA

γ0 gA–γ0

---------------- –+

26


27

Fig. 2.6a – Principio per il quale è necessaria la correzione gravimetrica.

Con misure di livellazione geometrica di precisione si misura il dislivello, che chia-miamo tra punti distanti fra loro al massimo 20-30 m.

Anche ponendo per semplicità di ragionamento si vede dalla figura 2.6che lungo è diverso da . Il dislivello ∆AB non si ottiene dunquesolo dalla sommatoria dei singoli , detti incrementi di livellazione, a causa delnon parallelismo tra A e B delle superfici equipotenziali.

Questa sommatoria dipende ora dal percorso seguito tra A e B per cui la 2.27diviene:

2.31

La differenza tra dislivello ortometrico tra A e B e dislivello geometrico si chiamacorrezione ortometrica CO e vale:

2.32

Dividendo per le 2.31 si ha:

e ricordando la 2.30, la 2.32 si trasforma in:

δδ

δ

δ

HδH

HHB

A"

W=W

W=W

W=W

B

B

W3

W2

A

HA

A0B0

B"Geoide 0

qδq

q1

2

A =3

2

3

1

qδHA HB ''=

Σqi AA'' HB HA–qiδ

qδA

B

∑ Wdg--------A

B

∫≅ HB HA–≠

CO HB HA–( ) qδA

B

∑–=

γ g⁄

WB WA–γ0

----------------------–g qδγ0

----------A

B

∑g γ0–

γ0------------- 1+

qδA

B

∑ qδA

B

∑g γ0–

γ0-------------

qδA

B

∑+= = =

qδA

B

∑g γ0–

γ0-------------

WB WA–γ0

----------------------+A

B

∑=


28

2.33

dove per HA e HB è sufficiente inserire valori approssimati.

2.3 COORDINATE CARTESIANE LOCALI OD EULERIANE

Sono definite dalla terna (x, y, z) di figura 2.7. L’asse z è diretto secondo il versore normale ellissoidica. L’origine degli assi è posta in P e l’asse x appartiene al pianomeridiano passante per P (vedi figura 2.6).

Si può passare dal sistema locale a quello cartesiano geocentrico e viceversa, note lecoordinate geodetiche. Siano i tre assi che si ottengono ruotando attorno aZ di un angolo antiorario λ gli assi (X Y Z ).

Fig. 2.7 – Coordinate cartesiane locali od euleriane.

Si avrà:

Siano ora (z x y) i corrispondenti assi che si ottengono ruotando attorno all’asse ξ diun angolo ϕ orario. Si noti tuttavia che l’asse ξ è diretto in senso sinistrorso rispettoagli assi . Perciò si avrà:

COg γ0–

γ0-------------- qδ

A

B

∑–= HAgA γ0–

γ0---------------- HB

gB γ0–γ0

----------------+–

n'

ζ ξ η( )

X

Y

Z

O ϕ

P

λ

y

x

z // n'

ξ

η

ζQ

ζξη

λcos λsin 0

λsin– λcos 00 0 1

X XQ–

Y YQ–

Z ZQ–

Rλ

∆X∆Y∆Z

= =

ζ η( )

zxy

ϕcos 0 ϕsin

0 1 0ϕsin– 0 ϕcos

∆ζ

∆ξ∆η

Rϕ

∆ζ∆ξ∆η

= =


Si avrà dunque:

Sviluppando i calcoli si ha in definitiva:

2.34a

Essendo R una matrice di rotazione, si ha: , per cui la relazione inversavale:

2.34b

È meno frequente la possibilità di misura diretta delle coordinate geodeticherispetto a quelle naturali. In questo caso l’asse z è materializzato dall’asse di un teo-dolite che fa stazione in P; misurata la direzione del Sud astronomico che rappre-senta la direzione opposta all’asse y (che con l’asse z individua il piano meridiano),nelle formule 2.34 vengono sostituite allora le coordinate alle coordinategeodetiche .

2.4 DIMENSIONI DELL’ELLISSOIDE TERRESTRE

Si è visto che il potenziale di gravità è definito come somma dei potenziali.

Si è cercato poi qual è la superficie che meglio descrive il campo normale U e, attra-verso lo sferoide, si è arrivati all’ellissoide di rotazione. Ci si chiede ora quali sono ledimensioni e le caratteristiche dell’ellissoide che, in base alle più accurate e recentimisure, definisce con precisione il campo anomalo U. La risposta generica manon approssimativa è: quell’ellissoide che in media, sulla superficie σ, rende ilcampo anomalo uguale a zero, perché è quello che più si adatta al metodo didescrizione variazionale della superficie terrestre. Quali sono e come si calcolanole sue dimensioni?

Partiamo dall’ipotesi:

dove M

zxy

Rϕ Rλ

∆X∆Y∆Z

=

xyz

λsin– λcos 0

ϕ λcossin– ϕ λsinsin– ϕcosϕ λcoscos ϕ λsincos ϕsin

X XP–

Y YP–

Z ZP–

R∆X∆Y∆Z

= =

R 1– R T=

∆X∆Y∆Z

R Tzxy

=

Φ Λ,( )ϕ λ,( )

W U T+=

2.35Mσ T[ ] 0=

29

rappresenta l’operatore media . Applicando questo operatore alM •[ ]


30

campo reale W, grazie alla proprietà di linearità dell’operatore si ottiene:

ma se vale la 2.35:

cioè è il potenziale di gravità costante del geoide che è una superficie di livello.La superficie dello sferoide σ invece non è una superficie di livello, lo è solo inmedia. Non sono superfici di livello anche le superfici .

La costante W0, fissa in pratica le dimensioni dell’ellissoide ricercate.

Vogliamo capire quali e quanti sono i parametri fisici e geometrici indipendenti cheunivocamente definiscono il potenziale . Ciò si ottiene analiz-zando la 1.33 che può essere riscritta:

che evidenzia così che le coordinate (σ , ψ ) sono funzione solo dei seguenti quattroparametri indipendenti:

2.36

quest’ultimo valore, come già detto, deve essere scelto in modo tale che sulla super-ficie che in prima approssimazione è lo sferoide ed in seconda l’ellissoide,valga la 2.35. La ricerca dei termini 2.36 o di altri, da essi dipendenti come a, α , ecc.(vedi 1.43) è in passato avvenuta sfruttando misure gravimetriche, osservazioniastronomiche e satellitari, congiuntamente a misure di tempo. Tutti questi calcolihanno condotto a risultati a via a via più precisi.

Bessel, nel 1841 definì un ellissoide di parametri geometrici:

a = 6377397.155m

α = 1/299.1528128 L’ellissoide internazionale di Hayford del 1909 è fra i più utilizzati ed ha parametrigeometrici:

a = 6378388.000m

α = 1/297.0000000Mentre con due parametri geometrici si definiscono solo forma e dimensionedell’elissoide terrestre, con quattro si definisce compiutamente un sistema di riferi-mento. Nella seguente tabella riportiamo i parametri dei più conosciuti sistemi diriferimento (GRS, significa Sistema di Riferimento Globale) che internazional-mente si convenne di utilizzare nel 1967 e quelli successivi del 1980.

Mσ W[ ] W0 Mσ U[ ] Mσ T[ ]+= =

Mσ W[ ] M U[ ] W0 U0= = =

W0

U cost U0≠=

W U0 W0= =

UGM

σ---------- 11

2σ2--------- C A–

M------------- 1 3 ψsin2–( )+ ω

2σ2 ψcos22

---------------------------- U0=+=

GM,C A–

M-------------, ω , U U= 0

f σ ψ,( )


31

Come si nota, fra i quattro parametri indipendenti si è scelto di riportare il semiasseequatoriale ed il termine J20. Questo termine è in relazione con A20 della 1.30 permezzo della:

da cui si ricava anche:

Tutti gli altri termini geometrici e fisici sono da questi dipendenti, ad esempio nelsistema GRS67 da questi quattro valori si ricava α= 1/298.25, nel sistema GRS 80, siha α= 1/298.257224; . Con i valori del sistema GRS80 si può poi ottenere la formula della gravità normale:

2.37

valida per ogni punto posto sulla superficie ellissoidica (9.780327 è il valore per della 1.49). Come si può notare dipende solo da come è logico atten-

dersi sulla superficie di rotazione . Per ottenere il valore di γ, gravità normale, inun punto di altezza ellissoidica h, si applica (riportiamo sempre la formula con ivalori GRS 80):

2.38

Essendo un gal (sta per Galileo) l’unità di misura della gravità ,si ha che ogni 3 m circa in quota la gravità diminuisce di 1 mgal. Un sistema di rife-rimento utilizzato nel posizionamento satellitare, è quello denominato WGS84;questo sistema ha parametri praticamente coincidenti il sistema GRS 80. In questosistema:

a=6378137m;

α =1/298.25722356 I valori non sono coincidenti in quanto si è adottato convenzionalmente per i para-metri derivati da A20 un troncamento all’ottava cifra decimale.

Tab. 2.1

Sistema a(m) GM (m3/s2) J20 ω (r/s)x105

GRS 67 6378160 398603.0x109 1082.70x10-6 7.2921151467

GRS 80 6378137 398600.5x109 1082.63x10-6 7.2921150000

J20 A20– a2GM( )⁄=

k J20– a2

=

U0 62.63686 106⋅= m2 s 2–

γ0 9.780327 1 0.0053024 ϕsin2 5.8 10 6– 2ϕsin2⋅–+( ) m s2⁄[ ]=

γψ 0= γ0 ϕ

σ0

h∂∂γ

00.30877– 1 0.00142– ϕsin2+( )10

5–

s2----------=

1 gal 10 2– m s2⁄=

32

3. L'ELLISSOIDE COME SUPERFICIE DI

RIFERIMENTO PLANIMETRICA

Abbiamo visto che, per individuare un punto o una serie di punti di un rilievo e poirappresentarli, si passa attraverso una superficie di riferimento che, per la planime-tria, è l'ellissoide (ciò vuol dire che due delle tre coordinate che individuano unpunto sono le coordinate ellissoidiche

ϕ

e

λ

). Vedremo in queste pagine di appro-fondire le proprietà delle misure che teoricamente si possono compiere su questasuperficie, in relazione anche al tipo ed alla precisione delle misure topografiche chesono in pratica eseguibili sul terreno.

3.1 R

AGGI

DI

CURVATURA

E

SEZIONI

NORMALI

Sia la normale all’ellissoide in

P

, si dice

sezione normale

una qualunque

curva

otte-nuta per intersezione dell'ellissoide con un piano avente per direttrice il versore

(figura

3.1

).

Fig. 3.1 –

Sezioni normali.

n 'n '

X

Y

Z

O

α

µ

Q n'

P

λ

L

’

ELLISSOIDE

COME

SUPERFICIE

DI

RIFERIMENTO

PLANIMETRICA

Fra queste vi è la sezione meridiana, che contiene e l'asse

Z

.

Definiamo l'azimut tra

P

e

Q

come l'angolo orario che la sezione meridiana formacon la sezione normale in

P

che passa anche per

Q

.

Esistono ovviamente infinite sezioni normali passanti per

P

, ciascuna con diversoraggio di curvatura

1

. Cerchiamone le proprietà:

– possiamo intuitivamente capire che, essendo l'ellissoide una superficie dirotazione, per tutte le sezioni normali di generico azimut, tutti i raggi dicurvatura

R

appartengono al piano meridiano;

– i valori

R

variano con continuità al variare dell'azimut

α

, da un valoreminimo

ρ

ad un valore massimo (si vedrà in seguito che, per il teoremadi Meusnier coincide col valore

2.12

);

– si definiscono sezioni normali principali le sezioni normali corrispondentiai raggi

ρ

e ;

– si può infine dimostrare che, per qualunque superficie di rotazione, unadelle sezioni normali principali è la

curva meridiana

. Su questa curva giaceil raggio di minimo

ρ

(e non massimo) a causa del fatto che l'ellissoide èschiacciato ai poli;

– ancora è possibile dimostrare che le sezioni normali principali sono fra loronormali, cioè la sezione normale relativa al raggio si ha per .(Non si confonda questa sezione, disegnata in figura

3.1

con il parallelo per

P

, che non è una sezione normale anche se è tangente alla sezione normale);

– per le sezioni normali vale la

legge di Eulero

:

c

c

Fig. 3.2

1

Si noti ch

n '

RNRN

RN

RN α 90°=

3.11

Rα------ αcos

2

ρ--------------αsin2

RN-------------+=

33

he esprime la variazione continua di R in funzione di α e dei due raggi diurvatura principali.

– Raggio di curvatura di una sezione meridiana.

e una sezione parallela che non sia equatoriale non è una sezione normale.

X

Z

O

ϕd

rds

ρ

dz

dr

r = x 2 + y 2

L

’

ELLISSOIDE

COME

SUPERFICIE

DI

RIFERIMENTO

PLANIMETRICA

Vediamo come si ricava il raggio principale di curvatura di una sezione meridiana,come quella descritta in figura

3.2

. In termini differenziali:

3.2

con:

3.3

Ricordiamo le

2.11

:

Differenziando rispetto a

r

e

Z

si ricava, dopo alcuni passaggi:

Di cons

cioè, defi

Per trov

Meusnier

Il rasezi

qua

Ciò sign

dunque:

ottenen

grannor

ρ sdϕd

-------=

s2d r2 Z 2d+d=

r a ϕcos1 e2 ϕsin2–

-------------------------------=

Z a 1 e2–( ) ϕsin

1 e2 ϕsin2–--------------------------------=

3.4arda 1 e2–( ) ϕsin1 e2 ϕsin2–( ) 3 2⁄

-------------------------------------- ϕd–=

3.4b

eguenza per la 3.3:

3.5

nendo w come la 2.13:

Zda 1 e2–( ) ϕcos1 e2 ϕsin–( ) 3 2⁄

------------------------------------- ϕd=

sda 1 e2–( )

1 e2 ϕsin2–( ) 3 2⁄-------------------------------------- ϕd–=

3.6ρ a 1 e2–( )

1 e2 ϕsin2–( ) 3 2⁄---------------------------------------– a 1 e

2–( )w 3

---------------------= =

34

are il raggio di curvatura , detto grannormale applichiamo il teorema di:ggio di curvatura di una sezione obliqua è uguale al raggio di curvatura dellaone normale corrispondente al piano che contiene la tangente alla sezione obli-, moltiplicato per il coseno dell'angolo formato tra i piani delle sue sezioni.

ifica nel nostro caso:

3.7

do con ciò il risultato 2.12, ricavato prima che sapessimo che fosse lamale. Si può notare poi che e, dalla figura 2.2, che può essere

RN

r RN ϕcos=

RNr

ϕcos----------- a

1 e2 ϕsin2–-------------------------------= =

RNρ R< N RN

L’ELLISSOIDE COME SUPERFICIE DI RIFERIMENTO PLANIMETRICA

35

ottenuto dall'intersezione tra il versore e l'asse Z ed è misurato da questa interse-zione al punto Q sull'ellissoide.

Si definisce curvatura totale, l'inverso del raggio di curvatura della sfera osculatrice(bitangente) che vale:

3.8

In sintesi i raggi di curvatura dell'ellissoide sono:

3.2 LINEE GEODETICHE

Su una superficie definita da:

3.9

si ha il problema di definire e di misurare la distanza tra due punti P e Q. Esistonoinfinite linee che li possono congiungere, fra queste viene definita geodetica quellalinea che ha la minor lunghezza.

È possibile dimostrare che la geodetica può essere definita come quella linea g sullasuperficie che ha la normale alla curva g coincidente in ogni punto con la normalealla superficie (vale a dire il cui piano osculatore è sempre normale a Σ).

Fig. 3.3 – Linea geodetica.

n'

R ρ RNa 1 e2–( ) 1 2⁄1 e2 ϕsin2–----------------------------= =

RNaw--- ;= ρ a 1 e

2–( )w 3

--------------------- ;= ra ϕcos

w-------------- ;= R a 1 e

2–w2

--------------------=

Σ :=f x y z,,( ) 0=

X

Y

Z

O

α

Σ

Q

P

g

s'


Si dimostra che se P e Q (vedi figura 1.5) non sono troppo distanti (θ < π) la geode-tica è unica, inoltre è in genere una curva gobba, cioè non contenuta in un piano.Cerchiamo di ricavare le equazioni della geodetica in base all'ultima defini-zione data.

I coseni direttori della normale alla superficie 3.9 valgono rispettivamente:

dove s è l'elemento di arco:

La curva g, data in forma parametrica in funzione della coordinata corrente curvili-nea s ha equazioni:

dunque i coseni direttori della tangente alla geodetica g valgono:

con R raggio della sezione normale corrispondente all'azimut.

Eguagliando i coseni direttori, si ottiene l'equazione differenziale della geodetica:

3.3 LEL'E

Ogni sdel tipo

Ad esem

può ess

12s----

X∂∂f

;12s----

Y∂∂f

;12s----

Z∂∂f

sX∂

∂f

2

Y∂∂f

2

Z∂∂f

2

+ +=

g

X X s( )=Y Y s( )=Z Z s( )=

≡

Rαd2Xds2--------- , Rα

d2Yds2--------- , Rα

d2Zds 2----------

3.10X∂

∂f

d2Xds2------------------

Y∂∂f

d2Yds 2------------------

Z∂∂f

d2Zds 2------------------= =

36

EQUAZIONI DELLE GEODETICHE PER SUPERFICI DI ROTAZIONE E PER LLISSOIDE

uperficie di rotazione attorno a Z si può esprimere con un'equazione:

3.11

pio la nota equazione dell'ellissoide:

ere scritta anche:

X 2 Y 2 g Z( )–+ 0=

X 2 Y 2+a2

----------------- Z2

c2------ 1=+


Scritta in questa forma è facile calcolare le derivate da inserire nella 3.10, ad esempio:

Dunque utilizzando la prima equazione delle 3.10:

ovvero:

cioè:

3.12

Ricordiamo ora che se r è il raggio del parallelo e λ è la longitudine:

3.13

e, siccome sia r sia λ dipendono da ds, le derivate della 3.12 possono scriversicompiutamente:

3.14

3.15

Queste derivate, inserite nella 3.12 permettono di scrivere:

cioè:

X 2 Y 2 a2 Z2

1 e2–-------------–

0=–+

X∂∂ f

2X ;= Y∂∂ f

2Y=

Xd2Yds 2--------- Y d

2Xds 2--------- 0=–

dds----- X

dYd s------ Y

dXd s-------–

0=

XdYd s------ Y

dXd s-------– cost=

X r λ ;cos= Y r λsin=

dXds------- r λ dλ

ds------ λ dr

ds-----cos+sin– Y dλ

ds------ λ dr

ds-----cos+–= =

dYds------ r λ dλ

ds------ λ dr

ds-----sin+cos X dλ

ds------ λ dr

ds-----sin+= =

X 2dλds------ X λ dr

ds-----sin Y 2

dλds------ Y λ dr

ds----- cost=cos–+ +

dλds------ r 2( λcos2 r 2 λ ) dr

ds-----+sin2 r λcos λsin r λcos λsin–( )+ cost=

3.16r 2dλds------ cost=

37


38

Fig. 3.4 – Arco di una geodetica in termini differenziali.

Si ha poi (vedi figura 3.4):

Allora la 3.16 può anche scriversi:

3.17

che viene detta relazione di Clairaut ed esprime che:in ciascun punto di una geodetica è costante il prodotto del seno dell'azimut dellageodetica per il raggio del parallelo.

Si dimostra che questo teorema vale per tutte le superfici di rotazione.

Per non creare confusione tra sezioni normali e geodetiche chiariamo che questecurve sull'ellissoide non coincidono (coincidono sulla sfera) e che l'azimut α di unpunto fa riferimento alle sezioni normali.

3.4 TEOREMI DELLA GEODESIA OPERATIVA

Premessa

Se escludiamo i sistemi di posizionamento satellitare, gli strumenti geodetici etopografici a nostra disposizione mostrano una incongruenza tra la teoria fin quiesposta, che vuole queste misure riferite all'ellissoide e la pratica operativa.

Si vedrà infatti che questi strumenti fanno riferimento alla direzione della verticalepassante per il punto di stazione e quindi al campo reale e non al campo normale dellagravità: tutte queste misure dovrebbero cioè riferirsi più convenientemente al geoide.

Nel definire una distanza sull'ellissoide come: la geodetica passante per due punti,abbiamo implicitamente ipotizzato di poterla misurare, in realtà anche nell'ipotesisemplificativa di campo anomalo nullo nei punti di misura (T = 0) con i nostristrumenti saremmo al massimo in grado di misurare lunghezze di archi su sezioninormali e angoli fra sezioni normali.

λ λλ

λ

αϕ

ϕ ϕd

d

A

P

B+

+

ds

r d

r dλ ds αsin=

r αsin cost=


Occorre che nelle approssimazioni del campo normale e nelle prossime che segui-ranno, si tenga conto della precisione del rilievo che deve essere eseguito, tale preci-sione è funzione della sensibilità degli strumenti da utilizzarsi, dell'estensione delrilievo e delle modalità operative. È dunque logico partire da criteri operativi pervedere, a ritroso, sino a quale ambito sono valide le approssimazioni che possiamocompiere che, come si comprende, sono di tipo operativo. Per questa ragione parle-remo di geodesia operativa.

Gli azimut e le distanze su sezioni normali

Chiamando s' la distanza su una sezione normale, s la corrispondente distanza geo-detica, Az l’azimut misurato su questa sezione normale ed infine α l'azimut geode-tico (cioè della geodetica), si dimostra che:

3.18

Questa differenza relativa porta ad avere per s = 1000 km, ∆s = 1 cm, cioè un errorerelativo ∆s /s di ; questa precisione è praticamente irraggiungibile con stru-mentazioni topografiche classiche.

Si dimostra poi che, per l'errore angolare vale:

Questo e

Tab.3.1

Premessquasi sememerge cmedio st

PossiamoQualdei supe

s ' s–s '

----------- 1360--------- s

4

RN2 Rα

2--------------- e

2

1 e 2–-------------

2α ϕcos4sin2≅

1 10 8–⋅

3.19∆α AZ αs 2

12RN Rα--------------------- e

2

1 e2–-------------

2α ϕcos2sin=–=

39

rrore ∆α assume i valori massimi riportati in tabella 3.1:

– Scostamenti tra azimut della geodetica e azimut della sezione normale.

o che, condizioni di visibilità a parte, a causa della curvatura terrestre èpre impossibile osservare punti a 300 km di distanza, dalla tabella 3.1

he l'errore che si commette è sempre minore o uguale all'errore quadraticorumentale degli strumenti di misura angolare oggi a nostra disposizione.

dunque affermare che (Teorema della geodesia operativa):unque misura di azimut, angolo o distanza eseguita con i mezzi a disposizionetopografi può ritenersi eseguita con riferimento ad archi di geodetica sullarficie di riferimento.

S ϕ = 0 ϕ = 45°

100 km 0.03" 0.01"

200 km 0.14" 0.07"

300 km 0.26" 0.13"


3.5 CAMPO GEODETICO E CAMPO TOPOGRAFICO

Sia (x, y, z ) una terna locale orientata come in figura 3.5 e con origine in P, α sial'azimut della sezione normale PQ ed s l'arco PQ.

Le tre coordinate cartesiane locali possono essere ricavate dalle due coordinate disuperficie(α ,s ) definite coordinate geodetiche polari attraverso gli sviluppi in serie diPuiseux- Wiengarten:

Fig. 3.5 – Coordinate x, y e z ricavate in funzione di s ed α.

3.20a

3.20b

3.20c

dove Rα si ricava dalle 3.1.

Arrestando al secondo ordine lo sviluppo si può scrivere:

Y

z

Z

O

αQ

P

y

x

s

z

ϕp

x s α 1 s2

6 RN Rα-----------------–

13--- s

3

RN2 Rα

-------------- e2

1 e2–------------- ϕ ϕ αcoscossin …+ +

sin=

y s α 1 s2

6 ρRα------------–

124------ s

3

ρRα--------- e

2

1 e2–------------- ϕ ϕcossin

αcos---------------------- 9 αcos

2

ρ--------------αsin2

RN-------------+

…+ +

sin=

z s– s2 Rα--------- s

3

RN2 Rα

--------------–e2

1 e2–------------- ϕ ϕ αcoscossin …+

=

3.21a

3.21b

3.21c

xe s α 1s 2

6ρRN------------- 1 e

2 α ϕcos2sin2

1 e2 ϕsin2–--------------------------------––

sin=

ye s α 1s 2

6ρRN------------- 1 e

2 α ϕcos2cos2

1 e2–---------------------------------+–

cos=

zes 2

6 Rα---------–=

40


Proviamo ora ad approssimare ulteriormente le 3.21 con un'approssimazione che chia-miamo sferica in quanto poniamo , ed e = 0. Si ottiene:

Ci si poquanto

I valoriα =90°

La precdell'ord

Si può sostituicampo g

Cosa av

I valori

Tab.3.2

Si dimoriori ai possibilezione trcon distcui soprerrori, strigono

Rα R ρRN= =

3.22a

3.22b

3.22c

xs s α 1s 2

6R 2---------–

sin=

ys s α 1s 2

6R 2---------–

cos=

zss 2

2R-------–=

41

ne la domanda: quando sono lecite queste approssimazioni o, in pratica,differiscono le 3.21 dalle 3.22?

massimizzati per ϕ =0 e per α =0 oppure pervalgono per un arco s di 100 km:

isione massima raggiungibile dagli strumenti topografici moderni è ancoraine di questo errore massimo relativo che vale .

concludere allora, che per scopi planimetrici in un raggio s di 100 km si puòre all'ellissoide, la sfera locale passante per P. Questa è la definizione deleodetico.

viene per le quote? La differenza z vale:

di ∆z sono visibili in tabella 3.2.

– Scostamenti altimetrici tra ellissoide e sfera locale.

stra che nelle operazioni di livellazione trigonometrica, per distanze supe-20 km occorre riferirsi all'ellissoide (utilizzando dunque la 3.21c) e non è riferirsi alla sfera locale. È tuttavia raro che in un'unica misura di livella-igonometrica si superino queste distanze, come pure è quasi mai possibileanziometri ad onde misurare singole distanze di 100 km con le precisioni dia. Si preferisce, per motivi di visibilità e per limitare la propagazione deglipezzare in più tratte sia la misura delle distanze che la misura di dislivellimetrici.

s 1 km 10 km 20 km 50 km 100 km

∆z 0.13 mm 1.3 cm 5.4 cm 0.33 m 1.3 m

xe xs–( ) ye ys–( ) ze zs–( ),,

∆x ∆y 27 mm±==

2.7 10 7–⋅

∆z s2

2----- 1

Rα------ 1

ρRN---------------–

=


42

Le 3.22, in un ambito ancora più ristretto possono scriversi per la parte planimetrica:

3.23a

3.23b

L'errore planimetrico ∆s risultante, differenza tra le 3.22 e le 3.23 vale .

Tab.3.3 – Errore planimetrico nel campo topografico.

Siccome la precisione massima di distanziometri EDM è dell’ordine di possiamo affermare che, (definizione di campo topografico):

in un'intorno di 10-15 km, per misure planimetriche possiamo sostituire alla sferalocale il piano locale tangente in P.

Non è mai possibile riferire le quote nel campo topografico al piano locale maoccorre utilizzare ancora la 3.22c.

L'errore altimetrico ∆Z risultante, che si commette in caso contra-rio, assume i valori riportati in tabella 3.4.

Tab.3.4 – Errore altimetrico nel campo topografico.

Già a poche centinaia di metri l'errore che si commette è paragonabile alla sensibi-lità del metodo di misura dei dislivelli della livellazione trigonometrica (o di quellatacheometrica) se le distanze sono misurate con i moderni distanziometri ad onde.

s 10 km 20 km 50 km

∆s

s 100 m 500 m 1 km 5 km 10 km

∆Z 0.8 mm 2 cm 8 cm 2 m 7.8 m

X s αsin=

Y s αcos=

s 2 2R2⁄

4 10 7–⋅ 1.6 10 6–⋅ 10.2 10 5–⋅

1 10 6–⋅

∆Z s 2 2R⁄=

43

4. PROBLEMI PLANIMETRICI RISOLUBILI

NEL CAMPO GEODETICO

4.1 I

L

TEOREMA

DI

L

EGENDRE

Si può dimostrare attraverso le

3.19

che, nel

campo geodetico

, una figura ellissoidicapuò essere risolta con i teoremi della trigonometria sferica. I teoremi della trigono-metria sferica non sono tuttavia di facile utilizzo; il teorema di Legendre permetteallora di risolvere

in questo intorno

, un qualunque triangolo sferico con gli algoritmidella trigonometria piana.

La somma degli angoli interni di un triangolo sferico

A

,

B

,

C

vale:

dove 3

ε

, è detto

eccesso sferico

e si ricava da:

4.1

con

S

superficie del triangolo e

R

raggio della sfera locale. Il teorema di Legen-dre afferma:

Sia dato un triangolo sferico i cui lati siano piccoli rispetto ad

R

, tali che

l /R

siassuma come quantità del 1° ordine. Commettendo un errore di gli angolidi un triangolo piano che ha i lati della stessa lunghezza dei lati del triangolo sfe-rico possono essere derivati degli angoli di quest'ultimo sottraendo a questi 1/3dell'eccesso sferico.

Per triangoli di 60 km di lato, ad esempio,

;

( ); l'erroreresiduo vale .

Dal teorema deriva il corollario:

a meno di errori di , l'area del triangolo sferico è la stessa del triangolopiano costruito come già detto.

Questo teorema permette di risolvere agevolmente il problema inverso del tra-sporto di coordinate geografiche ed il passaggio dalle coordinate geodetiche polarialle rettangolari.

A B C π 3ε+=+ +

3ε SR2-----=

l R⁄( )4

3ε 24= cc 1cc 10 4– gon=1 R⁄( )4 0.006cc=

l R⁄( )4

PROBLEMI

PLANIMETRICI

RISOLUBILI

NEL

CAMPO

GEODETICO

4.2 C

OORDINATE

GEODETICHE

POLARI

E

RETTANGOLARI

Definito sull'ellissoide un polo , la posizione di un secondo puntorispetto ad

O

può essere ricavata attraverso le

coordinate geodetiche polari

(azimut e geodetica) o attraverso le coordinate dette

coordinate

geode-tiche rettangolari

e così definite:

Condotta da

O

la curva meridiana e da

P

la sezione normale perpendicolare a que-sta curva in

Q

, gli archi di sezione normale

QP

e

QO

definiscono il sistema geo-detico rettangolare (figura 4.1).

Fig. 4.1 –

Applicazione del teorema di Legendre.

Applicando il teorema di Legendre al triangolo

OQP

, costruendo cioè un triangolopiano

O'P'Q'

come indicato in figura

4.1

, si può scrivere:

ma, essendo

ε

piccolo, si possono trascurare i termini del secondo ordine, cioè:

si può scrivere allora:

dove:

Le

4.2

,

4

polari

Ricaviam

O ϕ0 λ 0,( )P ϕ λ,( )α s,( ) X Y,( )

X Y,( )

O'

λ

α

α

α

ϕ

πQ'

N

P'

ε

ε

ε

_

_

_

/2

π/2 +2

Q

O

YS

( )ο ο

λϕ( )P ,

X

Xα ε–( )sin

------------------------ Yα 2ε–( )cos

---------------------------- sεcos

----------= =

ε 1 ε2 2 1≅⁄–≅cos

α(

4.2

4.3

X s α ε–( )sin=

Y s α 2ε–( )cos=

44

4.4

.3 e 4.4 sono le formule dirette di passaggio dalle coordinate geodetiche alle coordinate geodetiche rettangolari .

o ora le formule inverse. Sviluppando i seni e i coseni:

3ε s2 α αcossin

2R 2---------------------------=

s, ) X Y,( )

X s= α ε s α ε s α ε s αcos–sin≅sincos–cossin

Y s= α 2 α 2εsinsin+coscos( ) s α 2ε s αsin+cos≅

PROBLEMI

PLANIMETRICI

RISOLUBILI

NEL

CAMPO

GEODETICO

Dalla seconda e dalla prima espressione, in ordine, ricaviamo:

Le

4.5

4.3 I

L

Formu

d

lu

n

Fig. 4

s α Y 2ε s αsin–=cos

s α X ε s αcos+=sin

X s α ε Y 2ε s αsin–( ) s α ε Y–sin≅–sin=

Y s α 2ε X ε s αcos+( ) s α 2ε X+cos≅+cos=

s α X ε Y+= ; s α Y 2ε X–=cossin

X Y,(

4.5

4.6

4.7

tgα X ε Y+Y 2ε X–-------------------=

s 2 s αsin( )2 s αcos( )2 =+= = X ε Y+( ) 2 Y 2ε X–( )2+

3ε XY2R 2---------=

45

, 4.6 e 4.7 definiscono il passaggio dalle coordinate geodetiche rettangolari alle polari .

TRASPORTO DELLE COORDINATE GEODETICHE: PROBLEMA DIRETTO

lazione:ato un punto O di cui si conoscono le coordinate geografiche e nota langhezza della geodetica tra O e P e l'azimut in O, calcolare le coordi-ate di P e l'azimut α della geodetica in P.

.2 – Problema diretto del trasporto di coordinate.

) α s,( )

ϕ0 λ0,( )α α 0=

ϕP λP,( )

O

P

α

α

N

s

0

( ϕ0 , λ0 )

( ϕ0 , λ0 )

PROBLEMI PLANIMETRICI RISOLUBILI NEL CAMPO GEODETICO

Sull'ellissoide (figura 4.2) un punto qualsiasi appartenente alla geodetica OP puòessere espresso in forma parametrica, in funzione della coordinata curvilinea cor-rente s , dalle espressioni:

Indichiamo in seguito per brevità la derivata di una qualsiasi variabile u rispettoad s. Sviluppando in serie le espressioni parametriche di s otteniamo:

Fig. 4.3 – Triangolo infinitesimo con ipotenusa un arco di geodetica.

Consideriamo ora un triangolo infinitesimo di cateti sul meridiano, sul parallelo e di ipotenusa ds (figura 4.3); si ha:

cioè:

ϕ ϕ s( )=λ λ s( )=α α s( )=

u s,

ϕ ϕ 0 ϕ s, ϕ ss,s2

2!----- ϕ sss,

s 3

3!----- …+ + + +=

λ λ 0 λ s, λ ss,s 2

2!----- λ sss,

s 3

3!----- …+ + + +=

α α 0 α s, α ss,s 2

2!----- α sss,

s 3

3!----- …+ + + +=

α

ϕdρ

BC

A

ds.

λ.r d

ρdϕ( ) rdλ( )

ρ dϕ ds αcos=

r dλ ds αsin=

4.8ϕ s,dϕds------ αcosρ-----------= =

46


4.9

Rimane, per applicare operativamente lo sviluppo di α , da ricavare . Sfruttiamo allo scopo il teorema di Clairaut: ; si ha così:

Ricordando la 3.4a e la 4.8 si ricavano le prime due derivate:

) 4.10

Similmente dalla 4.8 e seguenti si calcolano le derivate seconde e terze tenendoconto che:

Si ottiene in definitiva:

Quun

Pertre

λ s,dλds------ αsin

r-----------= =

dαds------

r αsin cost=

drds----- α dα

ds------r α 0=cos+sin

drdϕ------ dϕ

ds------ αsin

r αcos-------------- dα

ds------=–

drdϕ------ ρ ϕ dϕ

ds------ αcosρ-----------

dαds------ ϕ αsinsin

r----------------------=;=;sin=–

ϕ ss,dds----- αcosρ-----------

λ ss,dds----- αsin

r-----------

α ss,dds----- α ϕsinsin

r-----------------------

=;=;=

0

4.13

0

α α 0s tgϕ0 α0sin

RN0----------------------------- + +=

s 2 α 0 α 0cossin

RN0------------------------------------ 1

ρ0-----

2tg2ϕ 0RN0

----------------+ …+ +

est err

di ma

4.11

ϕ ϕ 0s α 0cos

ρ0-----------------

s 2 ϕ0sin2ρ0

------------------α 0sin2

RN0 ϕ 0cos------------------------

3e2 ϕ α 0cos2cosρ0 1 e2 ϕ0sin2–( )----------------------------------------+

+–+=

s 3 α 0 α0cossin2

6ρ 3------------------------------------- 1 …+( )–

s

4.12

λ λ 0s α 0sin

RN0 ϕ 0cos----------------------

s 2 ϕ0 2α 0sinsin2RN0

2 ϕ0cos2----------------------------------- ++ +=

s3

6RN02 ϕ0cos2

-----------------------------+2α0 α 0cossin

ρ0------------------------------

2tg2ϕ0 3 α 0sin

RN-----------------------------------+

47

e formule, nei limiti del campo geodetico, permettono di ricavare conore massimo di 0.001" pari a circa 3 cm per s = 100 km.

tanze inferiori od uguali a 10 km può essere trascurato il termine in , men-i può essere trascurato il termine in .

ϕ λ,( )

s 3

s 2


Per il trasporto dell'azimut 4.13 non occorre raggiungere la medesima approssima-zione in quanto stesso può essere misurato con approssimazione massima dipochi decimi di secondo. Per s =50 km il termine in garantisce già l'approssima-zione di 0.1". Si può dimostrare che, con la stessa approssimazione vale:

4.14

con:

4.15

Si definisce convergenza del meridiano (vedi figura 4.2) il termine:

4.16

4.4 IL TRASPORTO DELLE COORDINATE GEOGRAFICHE: PROBLEMA INVERSO

Il problema si esprime: note le coordinate di e di determi-nare le coordinate geodetiche polari di P2 rispetto a P1.

Fig. 4.4 – Problema inverso del trasporto di coordinate.

Le coordinate geodetiche rettangolari di P2 sono ; applichiamo ora gli svi-luppi 4.11, 4.12, all'arco P2P3 adottando l'origine nel punto P3, e arrestandoli altermine in . Tenendo conto che e che :

α 0s 2

α α 0 λ λ 0–( ) ϕ msin+=

ϕm ϕ 0 ϕ+( ) 2⁄=

Cm α α 0–( ) λ λ 0–( ) ϕmsin= =

P1 ϕ 1 λ 1,( ) P2 ϕ 2 λ 2,( )α s,( )

X

Y

Z

O

α

N

P1

P'3

s

P3

P2Y

X

( ϕ1 , λ

1 )

( ϕ2 , λ

2 )

X Y,( )

s 2 α π 2⁄= s X=

4.18λ2 λ3X

RN3 ϕ3cos----------------------- λ3

XRN2 ϕ2cos-----------------------+≅+=

4.17ϕ2 ϕ3X 2 ϕ3sin

2ρ3 RN3 ϕ3cos--------------------------------- ϕ3

X 2

2ρ2 RN2------------------- tgϕ2–≅–=

48


49

ma, siccome (vedi figura 4.4) dalla 4.18 ricaviamo:

4.19

sostituendo il valore di X così ricavato nella 4.17 si ottiene:

4.20

Allo stesso modo, fissando l'origine in P1 si ricava dalla 4.11:

4.21

sostituendo nella 4.21 ed eguagliando la 4.20 e la 4.21 si estraeda quest'ultima l'espressione di Y in funzione di .

Si può dimostrare che, in alternativa e con la stessa precisione vale:

4.22

dove è ricavata dalla 4.20 e ρm è il raggio di prima curvatura ricavato utilizzandouna latitudine media .

Ricavati dunque dalle 4.19 e 4.22, dalle 4.5, 4.6 e 4.7 si ottengono final-mente le incognite .

λ 1 λ3=

RN2 λ2 λ1–( ) ϕ2 X=cos

ϕ2 ϕ3λ2 λ1–( )2 RN2 ϕ2 ϕ2cossin

2ρ2--------------------------------------------------------------–=

ϕ3

ϕ3 ϕ1Yρ1-----

3Y 2 ϕ1 ϕ1 e 2cossin

2ρ12 1 e2 ϕ1sin2–( )

--------------------------------------------–+=

Y 2 ρ12 ϕ 3 ϕ 1–( )≅

ϕ 1 λ 1,( ) ϕ 2 λ 2,( ),

Y ρm ϕ3 ϕ1–( )=

ϕ3ϕm ϕ3 ϕ1+( ) 2⁄=

X Y,( )α s,( )

50

5. LE RAPPRESENTAZIONI CARTOGRAFICHE

Come già visto è stato scelto l'ellissoide come

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