1.7.4 Teorema de la Dualidad o SimetríaSea x(t)⇔X(f ), entonces X(t)⇔x(−f )

Si x(f) es par, entonces X(t)⇔x(f )

Ejemplo 1.22. Transformada de una Señal SinusoidalEl Teorema de Dualidad permite determinar en forma muy sencilla la transformada

de Fourier de una señal sinusoidal. En efecto, el dual de la expresión (1.81), Ejemplo 1.15, es A exp(± j2πfct)⇔Aδ(f ± fc )

1.7.5 Teorema de la Traslación o Desplazamiento en FrecuenciaSi x(t)⇔X(f ) entonces, para una constante real fc

x(t) exp(±j2πfct)⇔X(f ± fc )

Teorema de la ModulaciónEn este contexto, la señal x(t), que puede contener información, se denomina “señal

modulante, moduladora o modulatriz”, la sinusoide A cos(2πfc t) la “portadora”, la frecuencia fc la “frecuencia de portadora” y el producto x(t)Acos(2πfc t) la “señal modulada”. Estas son denominaciones que estaremos utilizando continuamente. Se tiene entonces que

Se obtiene,

1.7.6. Teorema de la Diferenciación e Integración en el TiempoLa Transformada de Fourier se puede emplear para resolver ecuaciones

diferenciales lineales. En esta aplicación particular, las transformadas de las señales que son diferenciadas o integradas son importantes.

Si x(t)⇔X(f ), entonces

1.8. TRANSFORMADA DE FOURIER DE SEÑALES PERIODICASPara las señales periódicas dicha información se obtuvo a partir

del desarrollo en Serie de Fourier. Sin embargo, para unificar el análisis, es conveniente extender el uso de la Transformada de Fourier a señales periódicas. No obstante, mediante un proceso de límites se puede representar una señal periódica en términos de laTransformada de Fourier siempre que a esta transformada se le permita incluir impulsos Delta Dirac.

1.9. DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIA

DefiniciónEl espectro de densidad de potencia de una señal x(t), determinística o aleatoria,

representada por Sx (f ), se puede definir partiendo de la premisa de que su integral (área) debe ser la potencia promedio de x(t), es decir,

La densidad espectral de potencia es una potente herramienta en el análisis de sistemas de comunicación y en otros aspectos de la ingeniería eléctrica. En particular es de gran utilidad en la descripción de cómo el contenido de potencia de señales útiles y ruido es afectado por los filtros. La densidad espectral de potencia de una señal también se puede determinar en forma indirecta evaluando la transformada de la función de autocorrelación de la señal, método que veremos más adelante (Teorema de Wiener-Kintchine).

1.10. RELACION ENTRE EL ANCHO DE BANDA Y LA DURACION DE UNA SEÑAL

De acuerdo con la propiedad escalar de la Transformada de Fourier, una señal de duración infinita (existe para todo t) tiene un espectro contenido dentro de una banda de frecuencias B, es decir,

En este caso se dice que x(t) es una señal de “banda limitada B”.

El problema de la duración de una señal es finalmente una cuestión de convención, y lo mismo se puede decir de su ancho de banda. Todo depende de la aplicación particular considerada y conviene entonces definir la duración de la señal y su ancho de banda de la manera más apropiada a la aplicación en cuestión.

1.11. FUNCIONES DE CORRELACION

Las funciones de correlación, surgidas de la teoría moderna de la información, son muy útiles en el análisis de señales reales tanto determinísticas como aleatorias. Si un proceso físico produce diferentes señales del tiempo, una descripción completa de ellas se puede obtener mediante un análisis correlativo. Esta forma de análisis es muy importante en dos grandes áreas de aplicación: (1) en la “Autocorrelación”, y (2) en la “Intercorrelación”.

1.11.2. AutocorrelaciónEn términos más formales, la “Función de Autocorrelación” de una

señal real x(t) de potencia se define en la forma

(1.100)

Tiempo de CorrelaciónEl tiempo de correlación τ, denominado también “tiempo de coherencia”, es el

tiempo que tarda la función de autocorrelaciòn en caer a un determinado porcentaje p% de su valor máximo en el origen. Este porcentaje es variable y por lo general es del 1 al 8 por ciento. Este tiempo de correlación es de mucha aplicación en la práctica. Se define el tiempo de correlación mediante la expresión:

Propiedades de la Función de Autocorrelación

1. La potencia promedio de x(t) es igual a Rx(0). En efecto, para τ = 0,

2. La función de autocorrelación es una función par de τ.3. La función de autocorrelación es máxima en el origen. Esto se

sigue a partir de la desigualdad [válida para x(t) real].

4. Si x(t) es periódica de período T, entonces Rx (τ) será también periódica con el mismo período. En efecto, si x(t) es periódica de período T, entonces

donde n es un entero ≥ 1de donde, se obtiene:

5. Si el valor promedio (componente continua) de x(t) es distinto de cero, entonces Rx (τ) poseerá una componente continua de valor igual al cuadrado del valor promedio de x(t).

6. Si y , se puede demostrar que:

y .

1.11.3. Teorema de Wiener-KintchineHemos visto que las señales de potencia se pueden caracterizar

mediante la densidad espectral de potencia y sería muy conveniente averiguar si hay alguna operación que utilizando las funciones de correlación permita relacionarlas con la densidad espectral de potencia.

Este resultado, de gran importancia en el análisis espectral de señales, se conoce con el nombre de “Teorema de Wiener-Kintchine” o “Relación de Wiener-Kintchine”. Este teorema establece que la función de autocorrelación y la densidad espectral de potencia conforman un par de transformadas de Fourier.

1.11.5. IntercorrelaciónLa intercorrelación, llamada también “correlación cruzada” o “correlación

mutua”, permite la comparación entre dos señales diferentes pero coherentes. La función de intercorrelación contiene información respecto a las frecuencias comunes a ambas señales y a la diferencia de fase entre ellas.

La intercorrelación entre dos señales x(t) e y(t) se define en la forma

En cuanto al dominio de la frecuencia, la “densidad interespectral de potencia” o “densidad espectral mutua” o “densidad espectral cruzada” de dos señales, se define como la transformada de Fourier de su función de intercorrelación (del Teorema de Wiener-Kintchine).