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Sylvie Braibant
Giorgio Giacomelli
Maurizio Spurio
Particelle e Interazioni
Fondamentali
– Problemi e soluzioni di problemi scelti –
Ottobre 2009
Springer
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Avvertenza
In questo documento troverete proposti una serie di esercizi e problemisui temi trattati nel libro, seguendo la suddivisione dei capitoli. Alcuni deiproblemi sono semplici, altri estremamente complessi: si raccomanda comun-que di affrontarli in seconda lettura del libro. Dei circa cento quesiti proposti,oltre un terzo sono risolti, ed altri presentano la risposta.
Intendiamo aumentare sia il numero dei problemi proposti, che il numerodelle risoluzioni. Per questo motivo, abbiamo scelto di non includere questasezione nella versione a stampa del libro, ma di lasciarla a disposizione on-line.
Intendiamo ringraziare esplicitamente negli aggiornamenti chiunque (par-ticolarmente tra gli studenti delle lauree magistrali o di dottorato) vogliainviarci un nuovo problema, o la soluzione di un esercizio non risolto o risoltoin modo differente da quanto proposto.
Gli autori Bologna, Ottobre 2009
http://www.springer.com/physics/elementary/book/978-88-470-1160-1
Problemi e soluzioni di problemi scelti
2. Rivelazione e rivelatori di particele
2.1 Ordini di grandezza. E importante acquistare familiarita con gli ordinidi grandezza tipici dei sistemi submicroscopici. Le molecole hanno di-mensioni di qualche 10−8 cm. Il protone e il neutrone hanno dimensionidell’ordine di 10−13 cm. Le dimensioni dei quark sono inferiori a un cen-tesimo delle dimensioni del protone. Quindi si puo pensare che anche unprotone sia un sistema vuoto (ma e da ricordare che anche il vuoto e unsistema complesso).a) Se potessimo prendere le molecole H2O di un centimetro cubo di acquae potessimo metterle in fila indiana, otterremmo un filo sottilissimo aventequale lunghezza?b) Gli atomi hanno dimensioni dell’ordine di 10−8 cm; un atomo e unsistema sostanzialmente vuoto: se per l’atomo di idrogeno immaginiamoche il protone abbia le dimensioni di 1 mm, l’elettrone si troverebbe aquale distanza?[R. a) 20 volte la distanza terra–sole. b) circa 100 m]
2.2 Nell’interazione di particelle (o nuclei) con la materia, il numero di col-lisioni dipende anche dal numero di centri diffusori presenti nell’unita divolume. Spesso, i centri diffusori sono nuclei atomici. Consideriamo adesempio il caso del carbonio, che ha numero di massa A = 12 e densita(massa specifica) ρ ≃ 2.265 g cm−3. Determinare (a) il numero di atomiper cm3; (b) il numero di atomi per grammo.[Vedi soluzioni]
2.3 Nel sistema di unita naturali con ~ = c = 1 ricavare l’equazionedimensionale fra massa e lunghezza e fra massa e tempo.[R. [M ] = [L−1] = [T−1], vedi Appendice A2 ].
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2.4 Calcolare la massima energia νmax trasferita a un elettrone inizialmentefermo da una particella carica con massa M ed energia totale E:(a) nel caso non relativistico (T ≪Mc2);(b) nel caso relativistico con M ≫ me;(c) nel caso generale.
[R. c) νmax = 2mec2(E2−M2c4)
M2c4+m2ec
4+2Emec2]
2.5 Utilizzando la conservazione dell’energia e dell’impulso descrivere la ci-nematica dell’effetto Compton e ricavare la relazione (2.19) Ricavarel’energia massima dell’elettrone di rinculo (2.21).
2.6 Calcolare il numero medio di particelle presenti in uno sciame elettroma-gnetico iniziato da un fotone di 50 GeV dopo 10, 13 e 20 cm di ferroattraversato.[Vedi soluzioni]
2.7 Considerare il decadimento π+ → µ+νµ partendo da un π+ a riposo.Calcolare l’energia cinetica del µ+ e valutare approssimativamente il rangedel µ+ in idrogeno liquido (massa specifica ρ = 0.07 g cm−3).[Vedi soluzioni]
3. Acceleratori di particelle ed esempi di rivelazione
3.1 Una particella reale avente massa m, energia totale E e impulso p soddisfal’equazione E = +
√
p2c2 +m2c4. Per m = mπ+ , calcolare E per p =0.1, 1, 10 e 100 GeV/c.NOTA: Una particella virtuale, per esempio il fotone scambiato nell’urtoelastico e−e− → e−e−, ha un’esistenza transitoria e non soddisfa l’equa-zione sopra scritta. Una particella con E2 − p2c2 = m2c4 < 0 avrebbemassa immaginaria e velocita superiore a quella della luce; sarebbe untachione.
3.2 Calcolare il raggio di curvatura dell’orbita di protoni con impulso 10, 103,105 MeV/c in un campo magnetico B = 1 Tesla.[Vedi soluzioni]
3.3 Calcolare l’energia a disposizione nel sistema del centro di massa (c.m.)nell’urto πp e nell’urto πe per pioni incidenti di 10 GeV/c2 di energiacinetica nel laboratorio.
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3.4 Un positrone e un elettrone prodotti in un processo di creazione di coppiehanno quadrimpulsi nel sistema del laboratorio P+ = (E+,p+) e P− =(E−,p−). (a) Quale energia ha ogni particella nel sistema in cui la coppiae+e− ha impulso zero? (b) Qual e la velocita relativa?
3.5 Calcolare l’energia di soglia nel c.m. e nel lab. per la produzione:(a) di un mesone π0 nella reazione pp→ ppπ0;(b) di mesoni π nella reazione πp→ ππp;(c) di mesoni K+ nella reazione pp→ pΛ0K+;(d) di iperoni Σ+ nella reazione pp→ pΣ+.In tutti i casi, assumere che i protoni bersaglio siano fermi.(N.B. La reazione pp→ pΣ+ e possibile solo tramite l’interazione debole).[Vedi soluzioni]
3.6 Si consideri la produzione di antiprotoni da un fascio di protoni conimpulso p=5.5 GeV
p + p → p p p p
(a) su protoni di un bersaglio d’idrogeno(b) su protoni di un bersaglio di ferro.Calcolare l’energia di soglia e l’energia nel centro di massa. Puo avvenirela produzione in entrambi i casi ?[Vedi soluzioni]
3.7 (a) Qual e l’energia di soglia della reazione pp→ pppp ? (b) Determinarel’energia cinetica disponibile nel caso che il protone bersaglio si trovi inun nucleo e si muova con un momento di Fermi pF (i) verso il protoneincidente, (ii) in direzione opposta e (iii) ortogonalmente.[Aiutarsi con la soluzione dell’esercizio precedente.]
3.8 Nel collisionatore HERA di Amburgo, collidono frontalmente protoni di820 GeV con elettroni di 30 GeV.(a) Calcolare l’energia nel centro di massa.(b) Perche si e scelto un’energia di solo 30 GeV per gli elettroni, mentresono usati protoni di 820 GeV?(c) Quale sarebbe l’energia nel centro di massa con protoni di 850 GeV(820+30) che entrano in collisioni con elettroni a riposo ? Per quale motivoquesta situazione sarebbe meno preferibile ?[Vedi soluzioni]
3.9 Si vuol misurare l’impulso di una particella veloce elettricamente caricamediante un campo magnetico solenoidale coassiale con il fascio. Sia L ilraggio del rivelatore centrale (supposto cilindrico), B il campo magnetico(costante),R il raggio di curvatura e s la sagitta dell’orbita della particella,
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pt la proiezione dell’impulso su un piano ortogonale al campo magnetico.Determinare (vedi Fig. 3.9c):(a) la relazione che lega pt a s;(b) l’errore percentuale sulla misura di pt e di p, noti L, R, B e l’angoloθ fra B e p;(c) la precisione della misura di pt se B = 20 kGauss, L = 1 m e δs =100µm (dove δs e l’errore sulla sagitta).(Trascurare la diffusione coulombiana multipla).
3.10 Si misura il tempo di volo (ToF) in uno spettrometro di massa aventeun magnete che misura l’impulso con σp/p = 0.1%. Dopo aver stimato,argomentandolo, qual e il miglior potere risolutivo in tempo ottenibile conscintillatori, determinare:(a) quale precisione e necessaria nella misura di ToF per separare π± daK± a 5 GeV/c.(b) Fino a che impulso puo funzionare lo spettrometro per separare π daK?
3.11 Calcolare la luminosita del Tevatron Collider di Fermilab: (a) nella regioned’interazione denominato B0, assumendo i seguenti parametri: circonfe-renza C = 2πR = 6.28 km, numero di protoni per pacchetto Np = 6 ·1010,numero di antiprotoni per pacchetto Np = 2 · 1010, numero di pacchettiNB = 6, fattore di correzione per lunghezza pacchetti G = 0.9, raggiomedio trasverso di ciascun fascio rB0
= 43 µm; (b) Calcolare la lumi-nosita nella regione d’interazione E0, dove il raggio trasverso medio erE0
= 380 µm.[Vedi soluzioni]
3.12 Calcolare il tempo di dimezzamento per interazione nucleare di un fasciodi protoni circolanti in un anello di accumulazione di 100 m di raggio pervuoti di 10−6 e 10−9 mm Hg supponendo che il gas residuo sia H e che lasezione d’urto totale pp sia 40 mb.
3.13 (Dai compiti per l’ammissione al dottorato di ricerca in Fisica - Bologna-X Ciclo - 1994).Si misurano tracce di raggi cosmici utilizzando delle camere a scintilla:ogni camera ha una efficienza pari a 93%. Per ricostruire una traccia sirichiedono almeno 3 punti (e quindi l’utilizzo di almeno 3 camere). Quantovale l’efficienza per la ricostruzione di tracce di un sistema di 4 camere?E se si utilizzano 5 camere?
3.14 (Dai compiti per l’ammissione al dottorato di ricerca in Fisica - Pisa-XVIII Ciclo - 2002).
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Si consideri la produzione di coppie particella-antiparticella da parte di unfascio di positroni di alta energia incidenti sugli elettroni di un bersagliofisso.a) Calcolare l’energia minima del fascio di positroni per produrre coppiedi pioni (Mπ = 140 MeV/c2).b) Determinare l’angolo massimo di diffusione dei pioni rispetto alla dire-zione del fascio nel sistema del laboratorio per un fascio di positroni conenergia di 150 GeV.c) Dimostrare che, per energie del fascio molto maggiori della soglia di pro-duzione, l’angolo massimo di apertura nel laboratorio della coppia prodot-ta diventa indipendente dall’energia e calcolare il valore di questo angoloper una coppia di pioni. (Se θ1 e l’angolo di diffusione della particella eθ2 della antiparticella l’angolo di apertura θ e definito θ = θ1 + θ2).
4. Il paradigma delle interazioni: il caso elettromagnetico
4.1 L’interazione debole e dovuta allo scambio di bosoni W± (o Z0). Nell’am-bito di un modello d’interazione debole alla Yukawa, assumendo che il Wabbia una massa di M = 80 GeV/c2, calcolare il range dell’interazionedebole e confrontarlo con le dimensioni di un nucleone.[R. R=~/Mc ≃ 3 × 10−16 cm ]
4.2 Dimostrare che il decadimento e → eγ (Fig. 4.2a) non puo soddisfarela conservazione dell’energia e dell’impulso al vertice se tutte e tre leparticelle sono libere (questi processi sono quindi proibiti).[Vedi soluzioni]
4.3 Dimostrare tramite argomentazioni cinematiche classiche la relazione traangolo di diffusione θ, energia cinetica Ec = (p2/2m) della particella in-cidente e parametro d’impatto b nel caso dello scattering coulombiano
elastico, data da (Fig. 4.10b) tg θ2 = zZe2
2Ecb
5. Primo sguardo alle altre interazioni fondamentali
5.1 Come si distingue un neutrone da un antineutrone? Come si distingue unneutrino dall’antineutrino corrispondente?
5.2 Stimare le dimensioni di un ipotetico atomo d’idrogeno legato solamentedalla forza gravitazionale.
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5.3 Disegnare i diagrammi di Feynman che illustrano le reazioni seguenti;indicare la forza fondamentale coinvolta.a) e− p → e− pb) e+ e− → νe νec) e− p → νe nd) u d→ u d d d[Vedi soluzioni]
6. Principi di invarianza e di conservazione
6.1 Se il neutrone ha un momento di dipolo elettrico p diretto parallelamente(o antiparallelamente) allo spin, p = αS, dimostrare che α = 0, a menoche l’interazione non violi la parita e l’inversione temporale.[Vedi soluzioni]
6.2 Si consideri il processo n → p + e− + νe e si applichi l’operatore parita;il processo risultante esiste in natura? Si applichi poi l’operatore coniu-gazione di carica. Che processo si ottiene? Che cosa si puo concludereriguardo all’operatore CP nel decadimento β ?
6.3 (Dai compiti per l’ammissione al dottorato di ricerca in Fisica - Pisa-XXII Ciclo - 2006).Il mesone π0 e una particella a spin zero e di massa 150 MeV/c2 chedecade in due fotoni.(a) Si determini la distribuzione angolare dei fotoni emessi nel sistema diriposo del π0 e la loro energia. Nel sistema in cui il π0 ha un’energia di 3GeV si determinino l’energia massima e minima dei fotoni emessi.(b) Si determini l’angolo minimo tra i due fotoni nel decadimento di unπ0 di 3 GeV di energia.(c) Si mostri come la misura delle caratteristiche dei fotoni nello statofinale ci fornisce indicazioni sullo stato di spin/parita dei π0.
7. Interazioni tra adroni a basse energie e il modello statico a
quark
7.1 Nonostante il fatto che i quark entro un neutrone o un protone intera-giscono tramite lo scambio di gluoni, l’interazione forte fra un protone eun neutrone puo essere vista come dovuta allo scambio di un pione. Se ilπ ha una massa di 140 GeV/c2, calcolare la distanza in cui e efficace la
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forza forte.[Vedi soluzioni]
7.2 Per il decadimento Λ0 → pπ− a riposo, calcolare l’impulso pπ− se pp = 50MeV/c e θπp = 40.
7.3 Verificare se le seguenti reazioni soddisfano le leggi di conservazione:
i) K0p→ K−pπ+
ii) π−p→ K−Σ+
iii) π−p→ Σ−Σ0p
iv) pp→ π+π+π−π−
v) π+p→ K+Σ+
7.4 Gli antiprotoni vengono catturati a riposo in deuterio dando luogo allareazione pd→ nπ0. Determinare l’energia totale del mesone π0.
7.5 Calcolare nel sistema del laboratorio l’energia cinetica del K0
e del K0
necessaria perche possano avvenire le reazioni:
K0
+ p → Λ0 + π+
K0 + p → Λ0 +K0 +K+
[Vedi soluzioni]
7.6 Spiegare perche il bosone vettoriale φ(1020) non puo decadere in duemesoni π0.[Vedi soluzioni]
7.7 Con riferimento alle Fig. 7.17 e 7.18, dire qual e lo spin isotopico deimesoni π−, K−, D0, D+
s e dei barioni Σ−, Σ0c , Ξ
+cc e Ω+
cc.
7.8 Spiegare perche i mesoni K0 e ρ0, che decadono entrambi prevalentementein π+π−, hanno vite medie molto diverse. Spiegare la diversita delle vitemedie dei mesoni π+ e π0.
7.9 Calcolare la sezione d’urto elastica π+p al picco della risonanza ∆++
(1232)(a) quando il π+ ha un’energia cinetica nel laboratorio Tπlab
= 195MeV/c2; (b) per un’energia cinetica del π+ nel laboratorio T ′
πlab= 300
MeV/c2.
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7.10 Per un bersaglio di grafite (ρ = 2.265 g cm−3) calcolare il numero Nn dinuclei di carbonio per cm3, il coefficiente di assorbimento µ e la lunghezzadi collisione λ. Per la sezione d’urto usare σ = 0.331 · 10−24 cm2.[Vedi soluzioni]
7.11 Un bersaglio di idrogeno liquido (densita ρ = 0.06 g cm−3) ha un volumedi 100 cm3. Un fascio monoenergetico di π− di 300 MeV/c incide sul ber-saglio. Il fascio e largo, uniforme e ha un’intensita di Φ = 107 π−m−2s−1.La sezione d’urto per la reazione π−p→ π0n a 300 MeV/c e σ = 45 mb.(a) Calcolare il numero di raggi γ prodotti per secondo (ricordare che ilmesone π0 decade in due γ, π0 → 2γ, in un tempo molto breve).(b) Calcolare il libero cammino medio dei π− da 300 MeV/c in idrogenoliquido.[Vedi soluzioni]
7.12 La risonanza ∆0 (udd) decade principalmente in p π−. Disegnare il dia-gramma di Feynman. Stimare la vita media della ∆0. Vi e un altro pos-sibile canale di decadimento?[Vedi soluzioni]
7.13 A una data energia nel sistema del centro di massa, qual e il rapportodelle sezioni d’urto per le reazioni pd→3He π0, pd→3H π+ ?[R. σ(pd→3He π0)/σ(pd→3H π+) ≃ 1/2]
7.14 Determinare lo spin–parita della risonanza ρ0 prodotta in π−p → ρ0n ,ρ0 → π−π+. Nella reazione citata si osserva un picco alla massa invariantemρ = mπ+π− = 775 MeV, con larghezza Γ = 149 MeV. In reazionianaloghe non si osserva alcuna risonanza alla stessa massa in π+π+ e inπ0π0.[Vedi soluzioni]
7.15 Spiegare perche il decadimento ψ(3685) → J/ψ(3097)π0 e proibito perl’interazione forte, mentre il decadimento ψ(3685) → J/ψ(3097)η epermesso.
8. Caratteristiche delle interazioni deboli e i neutrini
8.1 La forza debole si manifesta con le stesse caratteristiche e la stessa in-tensita nel decadimento nucleare beta, nel decadimento del muone e nel-la cattura nucleare del muone negativo. Illustrare il motivo utilizzandodiagrammi di Feynman con scambio di W+, W−.
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8.2 Tenendo presente che la vita media del neutrone e τn = 887 s, e quella delmuone τµ = 2.2 · 10−6 s, dimostrare che gli accoppiamenti in questi duecasi hanno lo stesso ordine di grandezza (tener conto del fattore di spaziodelle fasi).
8.3 Disegnare i diagrammi di Feynman relativi ai seguenti decadimenti einterazioni:
µ− → e−νeνµ , τ+ → e+νeντ , νee− → νee
− , µ+e− → νµνe
8.4 Considerare il decadimento τ− → e− +X.(a) Di quali particelle neutre e costituito il sistema X?(b) Per tale processo disegnare i diagrammi di Feynman all’ordine piubasso.
8.5 Stimare il rapporto di decadimento Γ (∆++ → pe+νe)/Γ (∆++ → pπ+).
8.6 I mesoni ρ0 e K0 decadono principalmente in π+π−. Spiegare perche lavita media della ρ0 e dell’ordine di 10−23 s e quella della K0 dell’ordinedi 0.87 · 10−10. Disegnare i diagrammi di Feynman per entrambi i decadi-menti.[Vedi soluzioni]
8.7 Spiegare perche l’iperone Σ0 decade in Λ0γ invece che in nπ0.[Vedi soluzioni]
8.8 Discutere i possibili modi di decadimento dell’iperone Ω− permessi dal-le leggi di conservazione. Mostrare che il decadimento debole e il solopossibile.
8.9 Disegnare i diagrammi di Feynman, specificare gli accoppiamenti e com-mentare i seguenti decadimenti:
(a) Λ0 → pe−νe , Ξ− → Λ0π− , νµp→ µ−∆++
(b) D+ → K0π+ , D0 → K+µ−νµ , D0 → K−µ+νµ
8.10 Si trova sperimentalmente che il rapporto NC/CC per i decadimenti K e(K+ → π+νν)/(K+ → π0µ+νµ) < 10−5. Questa e una delle evidenzesperimentale che i decadimenti deboli a corrente neutra con cambio distranezza ∆S = 1 sono soppressi.Verificare che passando dalla (8.52) alla (8.63) (ipotizzando cioe l’esistenzadel quark c), la probabilita di transizione indotta da una corrente neutra∆S = 1 e nulla.
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8.11 Disegnare i diagrammi di Feynman dei vari decadimenti seguenti delmesone D0. Stimare le ampiezze relative per questi 3 decadimenti.a) D0 → K−π+
b) D0 → π−π+
c) D0 → K+π−
[Vedi soluzioni]
8.12 Analizzare i decadimenti delle Σ+, Σ− in πN tramite l’introduzione del-lo “spurione”, un oggetto fittizio con I = 1/2, Iz = −1/2. Ricavare larelazione a triangolo fra le ampiezze di decadimento A0(Σ+ → pπ0),A+(Σ+ → nπ+) e A−(Σ− → nπ−).[R. A+ +
√2A0 ≃ A−]
8.13 (Dai compiti per l’ammissione al dottorato di ricerca in Fisica - Pisa-XXII Ciclo - 2006).Il muone e una particella carica di massa 106 MeV/c2, di vita media 10−6
s, che decade in elettrone, neutrino, antineutrino (me=0.5 MeV/c2).(a) L’elettrone e l’unica particella misurata nel decadimento, dalla suamisura, dal decadimento del muone a riposo e possibile capire se il deca-dimento e in due o in piu di due corpi. Si mostri in quale modo.(b) Nel caso del decadimento in tre particelle, si calcoli l’energia massimadell’elettrone dal decadimento del muone a riposo.(c) Il leptone τ (mτ=2000 MeV/c2) puo decadere anch’esso come il muone.Si stimi la vita media del τ .
9. Scoperte con collisioni positrone - elettrone
9.1 Stimare, utilizzando i dati in Fig. 9.5 e la forma del potenziale data dalla(9.16), il valore della costante di accoppiamento forte αs in corrispondenzadelle energie del charmonio. Assumere che mcc
2 = 1550 MeV.[Vedi soluzioni]
9.2 In un collider elettrone–positrone il raggio dell’anello e R = 10 m; ciascunfascio ha un’intensita di corrente I = 10 mA con un’area trasversa S =0.1 cm2. Assumendo che i due fasci di e− ed e+ siano raggruppati ciascunoin un pacchetto e che collidano frontalmente due volte per giro, calcolare laluminosita L in cm−2 s−1. Sapendo che le sezione d’urto per la reazionee+e− → π+π−π0 al picco della risonanza ω e σ = 1.5 µb, calcolare ilnumero di eventi osservati ogni ora per questo processo assumendo che laluminosita sia quella calcolata sopra.[Vedi soluzioni]
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9.3 In un acceleratore per elettroni il vuoto nella ciambella ha una pressionep = 3 · 10−4 tor. Il fascio di elettroni corrisponde a una corrente mediai = 60 mA. Se consideriamo una porzione di acceleratore lunga l = 1 m,supponendo che il gas presente all’interno della ciambella sia costituitoda atomi di idrogeno e sapendo che la sezione d’urto degli elettroni suiprotoni del gas per la reazione e−p→ e−p e σ = 1 µb, calcolare il numerodi eventi beam–gas che ci si aspetta al secondo.
9.4 Determinare la luminosita teorica del LEP utilizzando i parametri del-l’acceleratore: K = numero di pacchetti circolanti = 4 ; f = frequenza dirivoluzione = 11240 Hz ; I = intensita della corrente circolante = 3 mAper fascio ; σx = larghezza del fascio = 75 µm; σy = altezza del fascio =3 µm.
9.5 Determinare la luminosita del LEP a√s = 91 GeV in un punto di col-
lisione in cui si trovi un rivelatore dell’urto elastico e+e− → e+e−, checopre l’angolo solido definito da 40 mrad< θ <150 mrad, 0 < ϕ < 2π,sapendo che la frequenza di eventi e+e− → e+e− misurati e R = 0.20 s−1.
[R. (8πα2~2c2)
E2 ( 11−cos θmin
− 11−cos θmax
) = 3 · 1030 cm−2s−1]
9.6 Nel caso di emissione di un fotone con energia Eγ dal positrone o elettrone
iniziale, l’energia nel centro di massa,√s′, e minore di quella iniziale,
√s.
Calcolare s′. Come si presenta un evento a due getti adronici in questocaso?[R. s′ ≃ s− 2Eγ
√s; i due getti sono acollineari.]
9.7 La larghezza della risonanza J/ψ e inferiore alla risoluzione sperimentale(circa 2 MeV nei primi esperimenti), ma puo essere ottenuta indiretta-mente da quantita che non dipendono dalla risoluzione. Consideriamola reazione e+e− → J/ψ → e+e−. Si misura l’integrale della sezioned’urto:
∫
risonanzaσe+e−d
√s ≃ 790 nb MeV. Sapendo che la massa del-
la risonanza e MJ/ψ ≃ 3097 MeV e che il Branching Ratio in e+e− eBR (J/ψ → e+e−) ≃ 0.06, ricavare il valore della larghezza ΓJ/ψ.
10. Interazioni ad alta energia ed il modello dinamico a quark
10.1 Un elettrone con energia cinetica di 20 GeV collide con un protone fermo.L’elettrone diffonde a θ = 5 con un’energia di 12 GeV. Calcolare lamassa effettiva del sistema adronico.
10.2 La distribuzione in impulso dei quark u nel protone puo essere para-metrizzata con la formula Fu(x) ≃ xu(x) = a(1 − x)3. Determinare la
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costante a nell’ipotesi che i quark u trasportino il 33% dell’impulso delprotone.
10.3 Il rapporto σν/σν per interazioni di antineutrini e neutrini su bersaglioisoscalare e R ≃ 0.5. Determinare il rapporto del contenuto in impulsodi antiquark e quark nel nucleone.
10.4 Assumendo che le distribuzioni dei quark u nel protone e dell’antiquark dnell’antiprotone abbiano le forme: Fu(x) = xu(x) = a1(1− x)3, Fd(x) =
xd(x) = a2(1 − x)3, dove x e la variabile di Bjorken, cioe la frazione delmomento del nucleone portato da un quark, e assumendo che i quarkcontribuiscano alla meta del momento del nucleone, calcolare a1 e a2.
10.5 Si ritiene che la funzione di struttura dei gluoni all’interno dei nucleoni,g(x), aumenti fortemente al diminuire di x. Stimare il numero di gluoniche sarebbe possibile risolvere nell’urto inelastico profondo ep → e +Xa Q2 = 104 GeV2 a bassi x (negli intervalli 0.0001 ÷ 0.001, 0.001 ÷0.01, 0.01÷ 0.1) se a questi valori di Q2 la funzione di distribuzione delgluone fosse g(x) = 0.36 x−0.5.[Vedi soluzioni]
10.6 Negli esperimenti UA1 ed UA2 al collider SppS del CERN, che hannoportato alla scoperta dei bosoni vettorali W±, Z0 dell’interazione debole,venivano fatti collidere protoni e antiprotoni con energia totale nel c.mdi 540 GeV (successivamente, 630 GeV).Discutere in termini di quark a quale energia si ottiene la produzione diW±, Z0.[Vedi soluzioni]
11. Il Modello Standard del Microcosmo
11.1 Calcolare il valore predetto dal modello elettrodebole per la larghezzaparziale in νe, Γνe
, all’energia del picco della risonanza Z0.
[R. Γν = NcGFm
3Z
6√
2(v2f + a2
f ) ≃ 166 MeV]
11.2 Utilizzando la seconda parte della (11.111), calcolare αS(Q2) per (a)Q = 8 GeV (in questo caso nf = 4), (b) Q = 90 GeV (nf = 5) e (c)Q = 500 GeV (nf = 6), assumendo Λ = 300 MeV (in realta Λ varia inmodo discontinuo quando supera la soglia corrispondente alla massa diun nuovo quark).[R. (a) 0.28; (b) 0.144; (c) 0.121]
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11.3 Confrontare il risultato del calcolo della costante αS ottenuto con laseconda parte della (11.111) nel caso delle energie del charmonio, con ilrisultato ottenuto nell’esercizio 9.1.
11.4 Che cosa significa fisicamente una teoria non-abeliana?[Vedi soluzioni]
11.5 Spiegare che cosa sono i gruppi SU(2) e U(1). Dire se si tratta o menodi gruppi abeliani (per la definizione di gruppo abeliano vedi soluzioneesercizio precedente).[Vedi soluzioni]
12. Violazione di CP e oscillazioni di particelle
12.1 Il neutrone e l’antineutrone sono l’uno l’antiparticella dell’altro e sononeutri, proprio come il sistemaK0 eK0. Perche traK0 eK0 puo avvenireil mescolamento, mentre non avviene tra neutrone e antineutrone?
12.2 Descrivere come produrre un fascio puro di mesoni K0. Per un tale fascioche si propaga nel vuoto calcolare numericamente l’intensita di K0 eK0 in funzione del tempo proprio, assumendo una differenza di massa∆m = m2 −m1 = 1/τ1. Disegnare un grafico.[R. Vedere §12.2.1]
12.3 Un fascio di K0 puo decadere nel vuoto. A una distanza corrispondentea 20 volte la vita media del K1 e posta un bersaglio che assorbe il 10%dei K0 incidenti. Se la sezione d’urto per i K0 e tre volte quella per iK0, calcolare le ampiezze relative di K1 e K2 nel fascio: (a) all’inizio (b)subito prima del bersaglio (c) subito dopo il bersaglio.
13. Microcosmo e Macrocosmo
13.1 Si pensa che i Raggi Cosmici siano accelerati tramite un meccanismoiterativo (il cui modello teorico e dovuto a Fermi), che consiste in unasequenza di urti di particelle cariche con l’onda di shock prodotta dal-l’esplosione di una Supernova. In ciascun urto, la particella guadagnauna piccola quantita di energia. A causa della deflessione provocata daicampi magnetici, la particella ha una bassa probabilita di fuggire dallaregione di accelerazione e per questo motivo subisce numerosi urti. Se,tramite qualche meccanismo, viene prodotto un neutrone, questo non e
14
soggetto ai campi magnetici e puo fuggire dalla regione di accelerazione.a) Indicare un meccanismo con il quale possono essere prodotti neutro-ni. b) Qual e l’energia minima di un neutrone (τn = 887 s) perche possauscire dalla regione di accelerazione con una probabilita ≥ 1/e? Assu-mere che le dimensioni della regione siano dell’ordine di un anno luce.c) Quale sarebbe il valore massimo dell’angolo formato dall’elettrone (odal neutrino) di decadimento con la direzione di volo del neutrone?[Vedi soluzioni]
13.2 Valutare per un muone con energia E = 10 GeV e per un ipoteticomonopolo magnetico (MM) avente carica magnetica g = 68.5e = gD evelocita v1 = 0.01c che attraversino uno strato di scintillatore liquidodell’esperimento MACRO al Gran Sasso (spessore dello scintillatore: 25cm, densita ρ = 0.85 g cm−3):(a) l’energia totale persa;(b) l’energia persa che produce luce nello scintillatore;(b) l’energia totale persa dal MM per v2 = 0.3c. Mostrare che nel caso diMM con β > 0.1 questi si comportino come particelle con carica elettricaequivalente a Ze = gβ.Consultare il grafico di perdita di energia per particelle cariche (Fig.2.2(b) del Capitolo 2) e la Fig. 0.1 (sotto riportata) sulla perdita dienergia di particelle con carica magnetica.[Vedi soluzioni]
Figura 0.1. (a) Perdita di energia di monopoli magnetici con carica magneticag = 1, 2, 3, 6, 9gD in funzione di β in Si (densita ρ = 4.3 g cm−3; e una densitaelevata, molto simile a quella all’interno della terra). (b) Quantita di luce per unitadi percorso prodotta da un monopolo magnetico con carica g = gD, 3gD, 9gD e daun muone in uno scintillatore in funzione di β.
15
13.3 Il rivelatore Kamiokande aveva un volume fiduciale di 1000 t di acqua.Calcolare il numero di protoni presenti nel rivelatore in questione. Se ilprotone avesse una vita media di 1032 anni, quanti protoni decadrebberonel rivelatore ogni anno?[Vedi soluzioni]
13.4 Negli esperimenti che studiano la struttura in tempo degli sciami adroni-ci prodotti dai raggi cosmici di piu alta energia possono essere ricercatenuove particelle X pesanti, per esempio di massa mX = 100 GeV. Assu-mendo che tali particelle viaggino 2 km prima di decadere:(a) calcolare l’energia di soglia per produrre una coppia di particelle X;(b) qual e l’energia nel laboratorio di una particella X alla soglia?(c) Calcolare il ritardo temporale della particella X rispetto al frontedella cascata adronica (che viaggia alla velocita c).
13.5 (a) Dimostrare che l’energia potenziale gravitazionale di una massa sfe-rica M di densita uniforme e raggio R e VG = −3GNM
2/5R.(b) Calcolare l’energia potenziale gravitazionale di una massa solare dimateriale di densita uniforme e raggio R uguale a (i) 1 anno luce, (ii) 1raggio solare, (iii) 1000 km, (iv) 10 km.
13.6 La supernova (SN) 1987A era localizzata nella Grande Nube di Magel-lano a circa 170000 anni luce dalla terra. Sono state osservate circa 10interazioni di neutrini dalla SN in circa 1000 t di acqua nell’intervallo ditempo di meno di 10 secondi (assumere nel calcolo 3 secondi). L’energiamedia dei ν da supernova e di circa 12 MeV (varia da Emin= 5 MeV aEmax=20 MeV). Assumendo che i neutrini abbiano massa non nulla, cisi puo aspettare che neutrini con energia maggiore giungano prima deineutrini di energia minore. Stimare:(a) un limite superiore per la massa del ν dai dati osservati;(b) l’energia totale liberata sotto forma di ν dalla SN;(c) stimare, in confronto, l’ordine di grandezza dell’energia di legamegravitazionale VG = −3GNM
2/5R, tenendo conto che la stella di neu-troni che si e formata dall’esplosione ha 1.4M⊙ e raggio R=10 km .[Vedi soluzioni]
13.7 (Dai compiti per l’ammissione al dottorato di ricerca in Fisica - Pisa-XXII Ciclo - 2006).L’universo e riempito di radiazione di fondo a 3 K (E = 10−3 eV). La den-sita media di fotoni e di 300 cm−3. Raggi gamma di alta energia possonointeragire con questa radiazione attraverso il processo γ + γ → e+ + e−
con una sezione d’urto σ = (8π/9)r2e (re e il raggio classico dell’elettrone,re = 2.8 × 10−15 m).(a) Si determini l’energia di soglia del gamma di alta energia perche la
16
reazione possa avvenire. (me = 0.5 MeV/c2).(b) Si determini la distanza media che il gamma di alta energia percorreprima di essere convertito, e la si paragoni con la dimensione dell’uni-verso.(c) Anche i protoni cosmici di alta energia possono interagire con la ra-diazione di fondo attraverso la reazione: protone fotone in π+ neutrone(p+γ → π+n). Si stimi l’energia di soglia dei protoni per questa reazione.(mπ+ = 140 MeV/c2,mp = mn = 1 GeV/c2).
14. Aspetti fondamentali delle interazioni tra nucleoni
14.1 Ricavare l’espressione per il tempo di dimezzamento t partendo dallavita media τ .[t = τ ln 2]
14.2 (Dai compiti per l’ammissione al dottorato di ricerca in Fisica - Bologna-X Ciclo - 1994).Sia pari a 5×10−11 la probabilita di decadimento in 1 secondo di un ato-mo di una sostanza radioattiva. Un campione statistico di tale sostanzasia costituito da 9 × 1010 atomi. Quale e la probabilita che in 1 secondoabbiano luogo 5 decadimenti? E che ne avvengano 15?
14.3 (Dai compiti per l’ammissione al dottorato di ricerca in Fisica - RomaIII- XVIII Ciclo - 2002).Un reattore nucleare produce 2 × 109 Watt. Calcolare quanti eventi difissione provenienti dalle reazioni
U235 → NA1Z +NA2
92−Z + k neutroni+ ≃ 200MeV
sono prodotti in un secondo. Calcolare inoltre quanti chilogrammi diuranio si consumano in un anno.
14.4 Illustrare e discutere il processo della cattura nucleare di un µ− in idro-geno, µ−p → nνµ, e in un nucleo piu pesante, per esempio in alluminio(Z = 13, A = 27); la vita media di µ− liberi e τ = 2.16 µs, mentre lavita media di µ− in Al e τAl = 0.88 µs.Determinare il cammino libero medio di µ− in Al.[Vedi soluzioni]
14.5 (a) Nell’ambito della teoria atomica di Bohr, determinare il raggio R0
dell’atomo mesico costituito da un protone e da un µ−.(b) Per un atomo mesico formato da un nucleo e da un µ−, calcolarelo Z del nucleo per cui le dimensioni nucleari eguagliano le dimensionidell’atomo mesico.
17
(c) Per il carbonio (Z = 6), determinare la distanza ℓ percorsa dal µ−,in una vita media, all’interno della materia nucleare.[R. (a) R0 = 258 fm; (b) Z = 50; (c) ℓ = 0.41 cm]
14.6 Assumendo (i) che una stella di neutroni, di massa m = 1.4M⊙ prodottadal collasso di un nucleo stellare, sia un nucleo atomico gigantesco tenutoinsieme dalla sua stessa forza gravitazionale, (ii) che la densita della stelladi neutroni sia costante, (iii) che si possa applicare alla stella il modellodel gas di Fermi, calcolare il raggio della stella di neutroni e il momentodi Fermi.
14.7 In una miniera viene effettuato un esperimento per rivelare i neutriniprodotti dal sole facendo uso della reazione νe + 37Cl → 37Ar + e−. Ilrivelatore contiene v≃ 4 · 105 litri di tetracloretilene (C2Cl4). Stimare ilnumero di atomi di 37Ar che avrebbe dovuto essere prodotto al giornofacendo le seguenti ipotesi:(i) la costante solare e S = 2 cal cm−2min−1;(ii) il 7% dell’energia termonucleare del sole appare sotto forma di neu-trini di energia media 〈E〉 ≃ 1 MeV;(iii) lo 0.1% di tali neutrini ha un’energia sufficiente ad innescare la rea-zione (νe + Cl);(iv) la sezione d’urto per i neutrini attivi sul nucleo di 37Cl e σ =10−43cm2;(v) l’abbondanza isotopica di 37Cl e il 25%;(vi) la densita di C2Cl4 e ρ = 1.5 g cm−3 e il suo peso molecolare eP = 164 g mole−1.[Vedi soluzioni]
14.8 (Dai compiti per l’ammissione al dottorato di ricerca in Fisica - Pisa-XXIV Ciclo - 2008).Un reattore nucleare ha un moderatore di grafite. I nuclei di carboniopossono essere considerati effettivamente liberi di rinculare quando sonourtati dai neutroni veloci. Un neutrone veloce, di energia cinetica 1 MeV,urta elasticamente contro un nucleo di carbonio 12.(a) Quali sono le velocita iniziali delle due particelle nel sistema di centrodi massa?(b) Nel sistema c.m., la velocita del nucleo di carbonio e ruotata di 135o
dalla collisione. Quali sono direzione ed energia cinetica del neutrone nellaboratorio dopo l’urto?(c) Quante collisioni elastiche sono necessarie in media per il neutrone,assumendo che le deviazioni angolari siano distribuite uniformemente nels.c.m., affinche la sua energia nel sistema del laboratorio sia ridotta da 1MeV a 1 KeV? Si assuma come perdita media di energia il valor mediofra la minima e la massima.
18
14.9 I meccanismi astrofisici che generano sistemi planetari (quali il sistemasolare) e quelli che accelerano i Raggi Cosmici (RC) sono strettamenteconnessi, come si vede in Fig. 14.12. Questi meccanismi sono legati aicollassi gravitazionali stellari di oggetti con massa maggiore di quellasolare (M ∼ 10M⊙). Tuttavia, in Fig. 14.12 e evidente la differenzarelativa alle abbondanze degli elementi Li, Be, B nei RC e nel sistemasolare. Questi, fungono da catalizzatori delle reazioni termonucleari nellestelle (§14.10.1) e ci si aspetta una scarsa abbondanza nel caso di collassostellare, che avviene quando la stella non ha piu a disposizione materialeper la fusione. Come si puo giustificare una tale differenza?L’esercizio mostra la stretta connessione tra l’astrofisica e il modo del-le particelle. Chiamati complessivamente gli elementi (Li, Be, B) conelementi L e degli elementi (C,N,O) con elementi M, per spiegare ladifferenza:a) si determini il libero cammino medio degli elementi L e degli elementiM;b) si imposti un sistema di equazioni differenziali per il cammino dei RCnella Galassia, separatamente per gli elementi M e gli elementi L;c) si risolva il sistema di equazioni differenziali;d) si determini l’effettivo valore del cammino dei RC nella Galassia, im-ponendo che il rapporto tra elementi L/M sia uguale a 0.25, come sipuo evincere dai dati di Fig. 14.12.Si tenga conto che la probabilita che un nucleo M produca un nucleoL nell’interazione col mezzo interstellare e PML = 0.28 (questo valoree ottenibile con misure in laboratorio di frammentazione di nuclei suprotoni).Infine, sapendo che la densita del materiale interstellare corrisponde a 1protone cm−3, determinare il tempo medio di permanenza dei RC nellaGalassia.[Vedi soluzioni]
Svolgimento di alcuni problemi selezionati
Problema 2.2
Se i centri diffusori sono gli atomi (o i nuclei atomici) del materiale si ha:(
Nc =centri diffusori
cm3
)
=
(
Na =atomi
cm3
)
=
[
n. di grammomolecole
cm3·NA·H
]
dove H e il numero di atomi per molecola, NA e il numero di Avogadro,ossia il numero di molecole in una grammomolecola. Il numero di atomi cm−3
e Na = mM
1vNAH = ρ
MNAH, dove m e la massa in grammi; M e il pesomolecolare in grammi, v e il volume in cm3 e ρ = m/v e la massa specifica.Nel caso di un elemento monoatomico, per il qualeH = 1 eM = A (A = massaatomica), si ha Na = ρNA/A. Per esempio, nel caso del carbonio (A = 12 eρ ≃ 2.265 g cm−3) il numero di atomi per cm3 e:
Na =ρNAA
≃ 2.265 · 6.03 · 1023
12
g
cm3
molecole
g moli= 1.137 ·1023 atomi di carbonio
cm3
Il numero di atomi per grammo e:
Naρ
≃ 1.137 · 1023
2.265
atomi
g= 5.02 · 1022 atomi di carbonio
g
Problema 2.6
Il processo qui considerato e la creazione di coppie da parte di fotoni, e labremsstrahlung degli elettroni e positroni (ossia, la radiazione di un fotonedi alta energia e il conseguente frenamento dell’elettrone). In entrambi i casi(si veda la Fig. 4.6) possiamo approssimare il processo come quello in cui,in media, vengono prodotte due particelle che si suddividono l’energia dellaparticella genitore. Il processo si arresta pero quando ciascuna particella scen-de sino ad una energia pari o inferiore al valore dell’energia critica. Da quelpunto in poi, le particelle non perdono energia per moltiplicazione ma per iprocessi di eccitazione e ionizzazione.
L’energia posseduta da una particella dopo aver percorso un tratto x dimateriale e dato dalla (2.14). La lunghezza di radiazione e il percorso delleparticelle in ferro (riportato in Tab. 2.1) sono rispettivamente 13.84 g cm−2 e1.76 cm. Dopo 10 cm di ferro, l’energia media di ciascuna particella e dunque:
20
E10 = E0e−x/Lrad = (5 × 104) · e−10/1.76 = 170.4 MeV
dunque, superiore all’energia critica Ec = 27.4 MeV in ferro (vedi sempre Tab.2.1). Poiche in media tutte le particelle hanno la stessa energia, il numero diparticelle presenti nello sciame e:
n10 = E0/E =5 × 104
170.4= 293 .
Ripetendo lo stesso argomento dopo 13 cm di ferro, si trova E13 = 31.0 MeV.Questo valore e di poco superiore all’energia critica, e il corrispondente numerodi particelle e n13 = 1613. Oltre 13 cm di ferro, l’energia media delle particellediventa inferiore a quella critica. Il processo moltiplicativo non avviene piu ele particelle cominciano ad arrestarsi per i meccanismi continui di perditadi energia. Alla distanza di 20 cm, il numero di quelle presenti sara quindiinferiore a n13.
Problema 2.7
Possiamo schematicamente descrivere i quadrivettori delle particelle coinvoltenel decadimento π+ → µ+νµ come:
(mπ; 0) → (Eµ,pµ) + (pν ,pν)
dove abbiamo tenuto conto che la massa del neutrino e trascurabile, percui Eν = pν . La condizione sugli impulsi delle particelle nello stato finalee semplicemente:
pν = pµ
mentre quella sull’energia e:
mπ = Eµ + Eν = Eµ + pν = Eµ + pµ −→ pµ = mπ − Eµ .
Possiamo infine determinare Eµ utilizzando la relazione massa-energia-impulso:
m2µ = E2
µ − p2µ = E2
µ − (mπ − Eµ)2
da cui
Eµ =m2µ +m2
π
2mπ=
(105)2 + (138)2
2 × 138= 109 MeV .
e l’impulso del muone emesso e:
pµ = mπ − Eµ = 138 − 109 = 29 MeV .
La Fig. 2.3 permette di determinare il range noto l’impulso della particella.Infatti, nel nostro caso:
21
βγ = pµ/mµ = 29/105 ≃ 0.3
a cui corrisponde un valore R/M = R/mµ = 1 g cm−2 GeV−1 (dalla figura).Per determinare il percorso in cm, occorre tener conto della massa specificadell’idrogeno liquido (ρ= 0.07 g cm−3), e della massamµ = 0.105 GeV; quindi:
range =R/mµ
ρ·mµ =
1 × 0.105
0.07≃ 1.5 cm .
Problema 3.2
Basta applicare la (3.20b). Nel caso di protoni da 10 MeV/c
R(m) = p(GeV/c)/(0.3 · B(Tesla)) = 0.33 × 10−2 m .
Poiche la formula dipende linearmente dall’impulso, negli altri due casi ilraggio di curvatura sara 102, 104 volte maggiore, rispettivamente.
Problema 3.5
(a) Consideriamo l’invariante relativistico E2−p2 (c = 1) nel sistema del c.m.e del laboratorio:
E∗2 − p∗2 = E2lab − p2
lab .
Nel sistema del c.m. p∗2 = 0, nel sistema del lab. Elab = (E1 + m2),plab = p1; quindi
E∗2 = (E1 +m2)2 − p2
1 = E21 +m2
2 + 2E1m2 − p21 =
m21 +m2
2 + 2(T1 +m1)m2 = (m1 +m2)2 + 2T1m2
avendo espresso l’energia della particella in termini di somma di energiacinetica piu energia di massa, E1 = T1 +m1. Da questo, indicando s = E∗2:
T1 =s− (m1 +m2)
2
2m2
=⇒p+ p
s− 4m2p
2mp
(nell’ultima eguaglianza abbiamo assunto che sia la particella incidente che ilbersaglio fossero protoni, m1 = m2 = mp). Per pp→ ppπ0 la minima energianecessaria per produrre il sistema di 3 particelle nello stato finale e ugualea√s = 2mp + mπ0 . Nel sistema c.m., ciascun protone deve possedere, oltre
alla propria massa a riposo, una energia cinetica pari a meta della massa dellaparticella da produrre (in questo caso, circa 70 MeV).
Nel caso del sistema del laboratorio, il protone 1 incide sul protone 2 inquiete:
22
T1 =(2mp +mπ0)2 − 4m2
p
2mp=
4m2p +m2
π0 + 4mpmπ0 − 4m2p
2mp=
=m2π0 + 4mpmπ0
2mp
=⇒(mπ ≪ mp) 2mπ0 ≃ 270 MeV .
Problema 3.6
(a) Produzione su idrogeno (protoni): si tratta d’una reazione “economica” intermine della conservazione del numero barionico : 1 + 1 → 1 + 1 + (−1) + 1.L’energia di soglia e uguale a Es = 4 ·mp = 4 · 0.938 = 3.75 GeV.
L’energia del protone incidente e E1 =√
m2p + p2
p =√
0.9382 + 5.52 = 5.58
GeV. Il modulo quadro della somma dei quadrimpulsi e un invariante relati-vistico (come abbiamo visto nell’esercizio precedente) per cui l’energia totalenel sistema del centro di massa e uguale a:
s = |P1 + P2|2 = | (E1,p1) + (mp, 0) |2 = | (E1 +mp,p1) |2
= E21 +m2
p + 2E1mp − p2
1= 2m2
p + 2E1mp = 2mp(mp + E1)
√s =
√
2mp(mp + E1)= 3.48 GeV
√s = 3.48 GeV e inferiore all’energia di soglia Es = 3.75 GeV. Quindi l’energia
disponibile nel centro di massa e insufficiente a creare lo stato finale desiderato.
(b) Produzione su nuclei di ferro: i protoni del bersaglio hanno un momentodi Fermi di modulo pF ≃ 200 MeV/c (vedi Cap. 14). L’energia del protonedel bersaglio e, nel caso piu favorevole, E2 =
√0.9382 + 0.22 = 0.959 GeV.
L’energia totale nel sistema del centro di massa e uguale a:
s = (E1 + E2)2 − (p1
2 + p22)2
= 2m2p + 2E1E2 − 2p1p2
= 2(m2p + E1E2 + p1p2)
√s =
√
2(m2p + E1E2 + p1p2)
√s =
√
2(m2p + 5.58 · 0.959 + 5.5 · 0.2)= 3.83 GeV
√s = 3.83 GeV e superiore all’energia di soglia Es = 3.75 GeV. Quindi l’ener-
gia disponibile nel centro di massa, nel caso di urti con protoni del bersagliocon impulso di Fermi favorevole, e sufficiente a creare lo stato finale desiderato.
23
Problema 3.8
(Per prima cosa, lo studente mostri che a energie cosı alte come quelle diquesto problema, non vi e sostanzialmente differenza tra impulso ed energia,e risulta pertanto comodo utilizzare il sistema di unita naturali in cui c = 1).(a) Il quadrato dell’energia totale nel sistema del centro di massa e uguale a:
s = m21 +m2
2 + 2E1E2 − 2p1 · p2
dove, nel sistema del c.m., p1 = −p2.Per le particelle relativistiche, si ha: E ≃ p≫ m. Quindi:
s = m21 +m2
2 + 2E1E2 + 2p1p2 ≃ 4E1E2
√s ≃ 2
√
E1E2 = 2√
820 · 30 = 314 GeV .
(b), (c) Elettroni perdono energia per radiazione di sincrotrone con una di-pendenza dall’energia del tipo (E4); dunque e meglio tenere l’energia deglielettroni relativamente bassa.In effetti, per elettroni a riposo e protoni di 850 GeV si ha:
s = m21 +m2
2 + 2m2E1
√s ≃
√
2m2Ep ≃√
2meEp ≃√
2 · 850 · 0.511 · 10−3 = 0.93 GeV .
In questo caso, l’energia disponibile nel sistema del c.m. e molto piu bassa.
Problema 3.11
(a) La formula che lega la luminosita ai parametri del collisionatore e:
L =fNpNpNBG
4πr2B0
(1)
periodo di rivoluzione τ = 2πR/c = 6.28 · 103/3 · 108 = 20.93 µsfrequenza di rivoluzione f = 1/τ = 1/2.093 · 10−5 = 4.78 · 104 Hz
Il fattore G ≃ 0.9 tiene conto della lunghezza finita di un pacchetto (50 cm).Con i dati del problema si ha per la luminosita nella regione B0:
LB0=
4.78 · 104 × 6 · 1010 × 2 · 1010 × 6 × 0.9
4π(4.3 · 10−3 cm)2≃ 1.3 · 1030 cm−2s−1 .
L’espressione a denominatore nella (1), A = 4πr2B0, contiene il rag-
gio medio traverso del fascio rB0, che e in realta piu largo in orizzontale
che in verticale. Tecniche piu accurate permettono di tener conto di questadistorsione.
24
(b) In E0 la luminosita rispetto a B0 si riduce del fattore (rE0/rB0
)2 =(380/43)2 = 78. Quindi:
LE0= LB0
/78 ≃ 1.7 × 1028 cm−2s−1 .
Problema 4.2
Consideriamo per esempio e → eγ e vediamo se nel sistema di riferimentoin cui l’elettrone iniziale e a riposo (sistema del centro di massa dell’elettro-ne) e possibile soddisfare contemporaneamente la conservazione dell’energia edell’impulso.
L’impulso iniziale e nullo. Per avere un valore nullo anche nello stato fi-nale dobbiamo avere il fotone emesso con impulso uguale e opposto a quellodell’elettrone di rinculo (pe = −pγ). Ma in tal caso l’energia nello stato finalee:
Ee + Eγ =√
m2ec
4 + p2ec
2 + |pγ |cche e sempre maggiore dell’energia iniziale Ei = mec
2, a meno che non siaEγ = 0 e quindi pe = 0.
Problema 5.3
a) La forza fondamentale coinvolta e l’interazione elettromagnetica.
d
u
duu
p p
e- e-
γ
u
Figura 0.2. (a) Reazione e− p → e− p
b) La forza fondamentale coinvolta e l’interazione debole. Come si vedra inmaniera dettagliata nel Cap. 8, l’interazione debole puo avvenire tramite loscambio di un bosone vettoriale massivo carico, W±, oppure neutro, Z0. Nelprimo caso, l’interazione si chiama a corrente carica (CC), nel secondo acorrente neutra (NC). In questo caso specifico, la reazione puo avvenire siaper NC che per CC, come si vede in figura.
25
e+
e-
νe
νe
Z0
(NC)
e+
e-
W (CC)
νe
νe
Figura 0.3. (b) Reazione e+ e− → νe νe
c) La forza fondamentale coinvolta e l’interazione debole a corrente carica conuno dei quark di tipo u del protone:
dduu
p
e-
ud
n
W
νe
Figura 0.4. (c) Reazione e− p → νe n
d) La forza fondamentale coinvolta e l’interazione forte.
u ud
ddd
Figura 0.5. (d) u d → u d d d
26
Problema 6.1
Consideriamo ad esempio una grandezza scalare, quale l’energia potenzialeU = −p · E = −αS · E in un campo elettrico E. Nel caso venga applicatol’operatore parita su una grandezza scalare, questa deve risultare invariante.Non e questo il caso di αS·E, che cambia di segno sotto l’azione dell’operatoreparita (si veda Tab. 6.3). La sola opzione possibile e che α = 0. Lo stessoargomento vale per l’operatore di inversione temporale.
Problema 7.1
Dal principio di indeterminazione, si ha:
∆E ·∆t ≥ ~
∆E ≥ ~
∆t.
La distanza percorsa in un tempo ∆t e:
∆r = c ·∆t .Quindi, la distanza efficace e data da:
∆r ≃ ~ c
∆E=
~ c
m c2=
197 MeV fm
140 MeV= 1.4 · 10−15 m = 1.4 fm .
Problema 7.5
Indichiamo le masse delle particelle che partecipano alla reazione in MeV/c2.Per la prima reazione si ha:
K0
+ p → Λ + π+
498 938 1116 140 MeV/c2 .
La somma delle masse iniziali e 1436 MeV/c2; la somma delle masse finali e1256 MeV/c2, inferiore a quella iniziale; quindi non e richiesta energia cineticaperche la reazione possa aver luogo (siamo sempre al di sopra della soglia).Per la seconda reazione si ha:
K0 + p → Λ + K0 + K+
498 938 1116 498 494 MeV/c2 .
La somma delle masse dello stato finale e mf = mΛ + 2mK = 2108 MeV/c2.Nel sistema del lab. pp = 0; nel sistema del c.m. p∗tot = 0. Ricordando che(
E2 − p2)
lab= (E2 − p2)c.m. si ha:
27
(EK −mp)2 − p2
K = E2c.m. = (2mK +mΛ)2 .
Cioe
EK =(2mK +mΛ)2 −m2
p −m2K
2mp
=m2f −m2
K −m2p
2mp=
21082 − 4942 − 9382
2 · 938= 1770 MeV/c2 .
L’energia cinetica che deve possedere il K0 incidente e dunque 1770 − 498 ≃1270 MeV/c2.
Problema 7.6
Il bosone vettoriale φ ha spin 1, il mesone π0 ha spin 0. La conservazionedel momento della quantita di moto nell’ipotetico decadimento φ→ π0π0 im-plicherebbe un momento orbitale relativo ℓ = 1 (onda P). Ma cio e proibitodalla statistica di Bose–Einstein perche avremmo un sistema di due bosoniidentici (π0π0) in onda P, il che implicherebbe una funzione d’onda antisim-metrica. Con lo stesso ragionamento si esclude la possibilita del decadimentoZ0 → H0H0, assumendo che il bosone H0 abbia spin zero. Si escludono cosıtutti i decadimenti di un bosone vettoriale (J = 1) in due particelle scalariidentiche (J = 0), per esempio ρ0 → π0π0.
Problema 7.10
Il numero di centri diffusori si determina come Nn = Na = ρANA:
Nn = Na = 1.137 · 1023(nuclei di C per cm3)
µ = Nnσ = Naσ = 1.137 · 1023 · 0.331 · 10−24
= 3.76 · 10−2(nuclei per cm di spessore)
λ = 1/µ = 26.5 cm λ = ρ/µ = 60.2 g cm−2 .
Notare che µ rappresenta anche la frazione di superficie ricoperta da nuclei dicarbonio (≃ 3.76%) per un bersaglio avente spessore 1 cm.
Dalla (7.8) si ottiene una semplice formula pratica:
∣
∣
∣
∣
−dII
∣
∣
∣
∣
= σ · ρANAn · dx ≃ σ 0.6
n
A
dove σ e espressa in barn, lo spessore ρdx in g cm−2, n e il numero di bersagliper atomo (qui n = 1; se l’urto fosse su elettrone si avrebbe n = Z) e A e ilpeso atomico.
28
Problema 7.11
Il numero di interazioni al secondo (ossia, di π0 prodotti al secondo) e datoda Rπ0 = ΦσN , dove N e il numero di centri diffusori nel volume V = 100cm3 dato. Quindi: N = ρNAV/A = 3.6 1024 cm3, dove NA e il numero diAvogadro e A = 1 per l’idrogeno. Il numero di gamma prodotti al secondo:
Nγ = 2Rπ0 = 2 × 103cm−2s−1 × 45 10−27cm2 × 3.6 1024 = 324 s−1
Il libero cammino medio: λ = A/(NAσ) = 37 g cm−2.
Problema 7.12
La risonanza ∆0 (udd) decade principalmente in p π−. La larghezza della
u u
d
π-
d
∆0
ddu
u
p
Figura 0.6. Decadimento ∆0→ pπ− .
risonanza ∆0 e Γ ≃ 100 MeV. Con ∆E ≃ Γ e ∆t ≃ τ , e il principio diindeterminazione ∆E ·∆t ≥ ~, si trova:
τ ≥ ~/Γ =6.6 · 10−22 MeV s
100 MeV= 6.6 · 10−24 s ≃ 10−23 s .
L’altro decadimento e ∆0 → n π0.
u u
d
π0
d
∆0
ddd
n
d
Figura 0.7. Decadimento ∆0→ nπ0 .
29
Problema 7.14
Le informazioni date sono sufficienti per stabilire che la risonanza ρ decadeper interazione forte, che possiede Iρ = 1 e ha L dispari, vedi problema 7.6.Per determinare il momento angolare della risonanza (J = L), si noti che ilsistema dei due pioni, essendo bosoni, deve avere un’autofunzione simmetricaper lo scambio dei due pioni, incluso l’isospin. Ma la funzione di isospin eantisimmetrica perche Iρ = 0; pertanto L deve essere dispari. Il valore piubasso e L = 1. Si verifica sperimentalmente che Jρ = L = 1 sulla base delladistribuzione angolare della direzione di volo dei due pioni nel c.m. rispettoalla direzione del loro centro di massa. Infatti, scegliendo come asse z la di-rezione della ρ0 nel sistema del c.m. e considerando la distribuzione angolaredei 2π nel sistema a riposo della ρ0, si ha Lz = 0; l’autofunzione dei due pio-ni di decadimento contiene YL0
, il che comporta una distribuzione angolare|YL0
(θ, ϕ)|2, che per L = 1 diventa cos2 θ. Si osserva, in pratica, una lieve de-viazione da cos2 θ, cioe una distribuzione A+B cos θ+C cos2 θ, che si spiegain termini di interferenza dell’ampiezza del fondo, che e sfericamente simme-trica, con quella della risonanza. Si ha L = J = 1 e parita P negativa. Quindiper la ρ si ha JP IG = 1−1+. Notare che l’assegnazione di JP a una risonanzacome la ω, che decade in 3π, e piu complessa e richiede l’uso del diagramma
di Dalitz.
Problema 8.6
Il decadimento della ρ0 in due pioni e dovuta all’interazione forte (SI). Lavita media e quindi quella caratteristica della SI. In termini di quark: ρ0 =1√s(uu− dd)
u u
d
d
dd
du
g g
u d
u
u
π+
π+
π-
π-
ρ0
Figura 0.8. Decadimento ρ0→ π+π− .
Il K0 e un mesone ds ed e troppo leggero per decadere in altre particellestrane. Non puo decadere tramite l’interazione forte e conservare la stranezzaallo stesso tempo. Deve decadere tramite l’interazione debole con una vitamedia molto piu lunga. In termini di quark: K0 = ds
30
dd
us
d
u
π+
π-K
0
W+
Figura 0.9. Decadimento K0→ pπ− .
Problema 8.7
In termini di quark di valenza, le due particelle Σ0 e Λ0 hanno la stessa strut-tura: (uds). La Σ0 rappresenta la particella neutra di uno stato di triplettodi isospin I=1, mentre la Λ0 e uno stato di singoletto di isospin, I=0. Il de-cadimento della Σ0 in una Λ0 e proibito dall’interazione forte (che conserval’isospin), ma e permesso dall’interazione elettromagnetica (vedi Tab. 6.5). Ildecadimento in neutrone e π0 e un decadimento che viola la conservazionedella stranezza, ed e quindi proibito.
Problema 8.11
In tutti e tre i casi, si tratta di decadimenti deboli non-leptonici. In terminidi quark di valenza, la composizione delle particelle coinvolte e:D0 = cu, K− = su, K+ = su, π+ = ud e π− = du
a) D0 → K−π+
E un decadimento Cabibbo favorito: gli accoppiamenti dei due vertici uni-ti dal bosone vettoriale W corrispondono a transizioni del tipo c → s eu → d, rispettivamente. Entrambe le ampiezze di probabilita sono propor-zionali a cos2θC . Quindi l’ampiezza totale (prodotto delle due ampiezze) eproporzionale a [cos2θC ]2 ≃ 0.90.
u
d
u
π+
D0
W+
u
c sK
-
Figura 0.10. Decadimento D0→ K−π+ .
b) D0 → π−π+
E un decadimento Cabibbo sfavorito: l’accoppiamento corrispondente allatransizione c → d e proporzionale a sinθC ; l’accoppiamento corrispondente
31
alla transizione u→ d e proporzionale a cosθC . Quindi l’ampiezza di probabi-lita totale e proporzionale al quadrato delle costanti di accoppiamento, ossiasin2θC cos2θC ≃ (0.22)2 ≃ 0.05.
u
d
u
π+
D0
W+
u
c dπ
-
Figura 0.11. Decadimento D0→ π−π+ .
c) D0 → K+π−
E un decadimento doppiamente Cabibbo sfavorito: l’accoppiamento al verticedella transizione c → d e proporzionale a sinθC ; l’accoppiamento al verticedella transizione s → u e proporzionale a sinθC . Quindi l’ampiezza totaledi probabilita e proporzionale al prodotto dei quadrati degli accoppiamenti,[sin2θC ]2 ≃ 3 × 10−3.
u
s
u
D0
W+
u
c dπ
-
K+
Figura 0.12. Decadimento D0→ K+π− .
I tre processi hanno quindi ampiezze relative a) : b) : c) = 0.90 : 0.05 :0.003. Le branching ratios misurate (vedere Review of Particle Physics) sononei rapporti a) : b) : c) = 3.8% : 0.14% : 0.015%, in buon accordo con laprevisione.
Problema 9.1
Il positrone e l’elettrone, i cui stati sono descritti dalla Fig. 9.15a, possono for-mare stati legati (chiamati positronio) analoghi a quelli dell’atomo di idrogeno.Il sistema puo essere completamente descritto dalla meccanica quantistica, es-sendo noto il potenziale d’interazione Vem = −α/r, dove r e la distanza trapositrone ed elettrone. I livelli energetici possono essere trovati o risolvendo
32
l’equazione di Schrodinger non relativistica, o piu semplicemente con le regoledi quantizzazione dell’atomo di Bohr (esattamente come nel caso atomico). Si
ottiene (n= numero quantico principale): En = −α2mec2
n2
Nel caso del charmonio (stato legato di un quark ed antiquark di tipo c),possiamo assumere il potenziale d’interazione dato dalla (9.16), trascurandoil secondo termine (che diventa grande solo per valori grandi di r, quindi nonsicuramente nel caso di stati legati). Cio comporta che la soluzione dell’e-quazione di Schrodinger produrra gli stessi autovalori nel caso del charmonio,con la sostituzione α → (4/3)αs. Cio permette di stimare αs utilizzando ledifferenze energetiche dei livelli mostrati in Fig. 9.15b.
Consideriamo gli stati con n = 1, n = 2. Nella figura, sono rappresentatirispettivamente come 11S0, 2
1S0. La differenza energetica tra i due livelli ecirca ∆E = 500 − (−100) MeV= 600 MeV. Utilizzando la relazione per ilivelli energetici En (con le sostituzioni me → mc e α→ 4/3αs) si ottiene:
∆E = E2 −E1 =
(
4αs3
)2
mcc2
(
1 − 1
4
)
.
Imponendo questo valore pari alla differenza ∆E misurata, e utilizzandomcc
2 = 1550 MeV, si ottiene α2s ≃ 0.3. Ovviamente, si tratta di una sti-
ma grossolana, ma comunque sufficiente a mostrare come il valore di αs siamolto grande rispetto alle altri costanti di accoppiamento.
Problema 9.2
Una corrente di I=10 mA corrisponde al fatto che un certo numero Ne diparticelle cariche si muovano praticamente alla velocita c; tenendo conto delperiodo T = (c/2πR) = 2.1 10−7 s di percorrenza di un giro dell’acceleratoree della carica elettrica (in modulo) di elettroni e positroni e = 1.6 × 10−19 Csi ha:
I = (Ne · e/T ) C/s .
Il numero di e+/e− presenti in ciascun pacchetto e quindi:
Ne = [2πR · I/(c · e)] = 1.3 1010 .
La luminosita della macchina, considerando che vi sono due urti per giro,che si ripetono con frequenza f = 1/T , e:
L =
(
Ne+Ne−nf
S
)
=2N2
e
ST=
2 · (1.3 1010)2
(2.1 10−7 × 0.1)= 1.6 1028 cm−2s−1 .
La frequenza di eventi R si ottiene moltiplicando la luminosita per la sezioned’urto del processo (1 b=10−24 cm2):
R = Lσ = (1.6 1028 × 1.5 10−30) = 0.024 s−1
che, moltiplicato per il numero di secondi in un’ora, da 86 eventi/ora.
33
Problema 10.5
Il numero approssimato di gluoni nell’intervallo 0.0001 < x < 0.001 e dato da(per Q2 = 104 GeV2):
Ng(10−4 − 10−3) =
∫ 0.001
0.0001
xg(x)
xdx =
∫ 0.001
0.0001
0.36 x−1.5dx ≃ 49 .
Analogamente Ng(10−3−10−2) ≃ 15, Ng(0.01−0.1) ≃ 5, Ng(0.1−1) ≃ 2.Un numero piu elevato di gluoni si ha per Q2 piu alti e per valori di x piubassi.
Problema 10.6
In termini di quark, la produzione avviene tramite le annichilazioni descrittenella (8.69a), (8.69b) per il bosone W± e (8.69c) per la Z0. I quark di valenzae del mare del p trasportano una frazione dell’impulso mostrata in Fig. 10.13.Per gli antiquark nel p, si hanno le stesse distribuzioni. Si nota che il contributodei quark del mare puo essere, in prima approssimazione, trascurato.
Detta E l’energia trasportata dal protone (antiprotone), l’energia traspor-tata dal quark di tipo i e xiE. Dalla (8.70) si nota che la massima produzionedi W si ha all’energia nel centro di massa dei quark pari alla massa del bosone(circa 80 GeV). In tal modo, riferendoci alle (10.67), sappiamo che vi sono:- 2 (anti)quark u nel p (p) che trasportano in media il 20% dell’impulso delp (p);- 1 (anti)quark d nel p (p) che trasporta in media il 10% dell’impulso del p(p).L’energia nel centro di massa del sistema composto da un quark del p eun antiquark del p capace di produrre una delle reazioni (8.69a), (8.69b) emediamente:
√
xqxqEpEp =
√
2(0.2) × (0.1) + 1(0.2) × (0.1)
3
√s = 0.14
√s .
Mentre a√s = 630 GeV la relazione predice un valore di 88 GeV, si puo
notare che√s = 540 GeV sembrano non sufficienti perche la produzione dei
bosoni vettori W avvenga tramite annichilazioni di quark e antiquark di va-lenza. Occorre tener conto del fatto che nel calcolo si sono utilizzati valorimedi; le code nelle distribuzione degli eventi che trasportano piu impulso pos-sono raggiungere l’energia necessaria alla produzione. E’ facile verificare chesarebbe stato estremamente piu difficoltoso, invece, utilizzare una macchinapp dove il processo di produzione sarebbe dovuto avvenire con un antiquarkdel mare di uno dei protoni. L’innovazione tecnologica (dovuta a S. Van derMeer) del raffreddamento stocastico degli antiprotoni ha permesso di ottenerealte luminosita di p nell’acceleratore, ed e dunque risultato un punto decisivo.
Situazione analoga si ha per il bosone Z0, la cui sezione d’urto di produ-zione e piu piccola.
34
Problema 11.4
Il termine non-abeliano proviene dalla teoria dei gruppi: non-abeliano significache A×B 6= B×A e coinvolge l’algebra delle matrici. Il significato fisico puoessere meglio visto in termini di diagrammi di Feynman.
La QED e una teoria abeliana. In termini di diagrammi di Feynman si-gnifica che non esiste un diagramma con 3 o piu fotoni che si incontrano inun punto: i fotoni non interagiscono direttamente fra loro. L’interazione trafotoni puo solo avvenire tramite diagrammi del tipo di Fig. 11.14.
La QCD e una teoria non-abeliana. I gluoni di QCD interagiscono fra loroe danno luogo a diagrammi dove 3 oppure 4 gluoni si incontrano in un punto,Fig. 11.13.
La teoria elettrodebole non e abeliana. Un fotone puo interagire diretta-mente con una coppia W+W− e analogamente una Z0 interagisce diretta-mente con una coppia W+W−.
Problema 11.5
SU(2) e il set di matrici 2 × 2 del tipo
(
a bc d
)
dove a, b, c e d possono essere numeri complessi e sono tali che:
a∗ = −db∗ = −cc∗ = −b
ad− bc = 1
In questa rappresentazione rientra per esempio il gruppo delle rotazioni in unospazio tridimensionale di una particella di spin 1/2. Tale gruppo puo esseregenerato dalle matrici di Pauli. U(1) corrisponde a eix dove x e un numeroreale. U(1) e un gruppo abeliano, mentre SU(2) non lo e.
Problema 13.1
(a) Neutroni possono essere prodotti dall’interazione di protoni con la radiazio-ne elettromagnetica presente nell’ambiente circostante la supernova attraversola formazione risonante di una ∆:
p+ γ → ∆+ → π+ + n .
Altrimenti, neutroni possono essere prodotti nell’interazione di protoni di altaenergia con altri protoni del resto di supernova.
35
(b) Un neutrone di alta energia nel sistema dell’osservatore ha la vita propriadilatata di un fattore γ = E/(mnc
2), durante la quale potra percorrere untratto pari a L = γτnc. E immediato verificare che la probabilita che la parti-cella ha di decadere dopo aver percorso questo tratto e 1/e. Richiedendo cheL sia pari a un anno luce (in un anno ci sono 3.15 107 s) otteniamo:
L = 3.15 107 c = γτnc −→ γ =3.15 107
887= 3.5 104
che corrisponde ad una energia del neutrone di:
E = γmnc2 = 32885 GeV = 32.9 TeV .
(c) L’energia massima che puo competere all’elettrone (o al neutrino) neldecadimento beta e Eβ= 1.2 MeV. Assumiamo che venga emesso nella di-rezione perpendicolare alla direzione del moto del neutrone; nel sistemadell’osservatore l’angolo di emissione sara:
tgθ ≃ θ = Eβ/E ≃ 3.7 10−8 .
Mentre l’elettrone (essendo carico) puo essere deflesso nel suo moto da campimegnetici, i neutrini eventualmente emessi “ricordano” la direzione del neu-trone originario. La rivelazione di neutrini di origine astrofisica potrebbe per-mettere di identificare le sorgenti (ancora sconosciute) che originano i RaggiCosmici rivelati sulla Terra.
Problema 13.2
(a) Un muone che abbia E = 10 GeV/c2 ha in pratica impulso p = 10 GeV/c.La perdita di energia per unita di percorso si puo ricavare dalla Fig. 2.2(b),dove si ha (dE/dx)µ ≃ 2 MeV g−1 cm2. Gli scintillatori che venivano usatiin MACRO, avevano dimensioni 12m × 75m × 0.25m e densita ρ = 0.85 gcm−3. Una particella incidente dall’alto verso il basso attraversava 25 cm discintillatore, pertanto l’energia persa dal muone nello scintillatore era: ∆Eµ ≃(2 · 25 · 0.85) ≃ 43 MeV. La perdita di energia specifica per un MM aventecarica magnetica g = 68.5e si puo ricavare dalla Fig. 0.1(a) riportata neltesto (curva piu in basso). In corrispondenza della velocita v1 = 10−2c, siha (dE/dx) ≃ 1(GeV/cm)/4.3(g cm−3) ≃ 0.2 GeV g−1 cm2. La perdita dienergia di un MM nello scintillatore sarebbe stata: ∆E ≃ (0.2 · 25 · 0.85) GeV≃ 4.3 GeV, cioe un fattore circa 100 volte maggiore di quello di un µ al minimodi ionizzazione-(b) Dalla Fig. 0.1(b), per un muone si ha (dL/dx)µ ≃ 0.05 MeV/cm; quindi∆Eµ = (0.05 · 25) MeV = 1.25 MeV. Si puo verificare che la frazione di per-dita di energia che produce luce nel visibile corrisponda a circa il 3% per unaparticella come i muoni al minimo di ionizzazione. Per un MM con β = 10−2,
36
si ha (dL/dx) ≃ 2 MeV; percio ∆E ≃ 50 MeV, che corrisponde percentual-mente a circa 1% della perdita di energia totale. I processi che emettono luceaumentano drasticamente per β > 0.1, come si vede in figura.(c) Un MM con β = 0.3 perde invece (dE/dx) ≃ 18/4.3 ≃ 4.1 GeV g−1 cm2
(vedi Fig. 0.1(a)) e quindi ∆E ≃ 90 GeV. Assumendo che il MM si comporticome una particella con carica equivalente e = gβ, poiche la perdita di energiaper eccitazione-ionizzazione dipende dal quadrato della carica della particella,si ottiene:
(dE/dx)MM ≃ (dE/dx)µ(g/e)2β2
che approssima la curva di Fig. 0.1(a) per β ≥ 0.1. Nel caso di β = 0.3, ciocorrisponde per un muone un impulso:
pµ = mµvγ = mµβc(1 − β2)−1/2 ≃ 105 · 0.3(1 − 0.09)−1/2 ≃ 33 MeV/c .
Un muone con questo impulso perde 7 MeV g−1 cm2. Quindi:
(dE/dx)MM ≃ 0.007 · (68.5)2 · 0.09 ≃ 3.0 GeV g−1cm2
che differisce (ma non troppo) da 4.1 GeV g−1 cm2.
Problema 13.3
Il numero di atomi presenti in un cm3 di materia di numero di massa A edato da NAρ/A, dove NA e il numero di Avogadro. Nel caso della molecola diacqua, A = 18, e il numero di protoni presenti per molecola e Z = 8 + 1 + 1.Poiche 1000 t di acqua occupano un volume di V = 109 cm3, il numero totaledi protoni presenti nel volume fiduciale del rivelatore Kamiokande era:
N =NAρV Z
A=
6 1023 × 109 × 10
18= 3.3 1032.
Indicando con τp la vita media del protone, dopo un intervallo di tempo trimangono in vita N(t) = Ne−t/τp = N(1− t
τp), avendo utilizzato lo sviluppo
in serie al I ordine essendo t ≪ τp. Il numero di protoni che decadono in unanno e:
ND = N −N(t) = Nt
τp= 3.3 1032 × 10−32 = 3.3 .
Vari esperimenti, oltre Kamiokande, hanno cercato eventi riconducibili al de-cadimento del protone. Nessun candidato plausibile e stato trovato, e i limitisulla vita media del protone sono maggiori di 1033 anni (almeno nel canale didecadimento che si riteneva piu semplice da osservare, p→ e+π0).
Problema 13.6
Il processo principale che puo essere osservato e la reazione νep → ne+ sunuclei di idrogeno.
37
(a) Da γ = 1√1−(v2/c2)
e E = γmν (misurando sia le masse che le energie in
MeV) si ha
v
c=
(
1 − 1
γ2
)1/2
≃ 1 − m2ν
2E2.
Nel caso di massa non nulla del neutrino, si ha:
vminc
= 1 − m2ν
2E2min
;vmaxc
= 1 − m2ν
2E2max
Cio comporta una differenza di velocita:
∆v
c=m2ν
2
(
1
E2min
− 1
E2max
)
(1)
Un valore relativamente grande di mν potrebbe comportare un ritardosufficientemente lungo tra l’arrivo dei neutrini di piu alta energia e quelli dipiu bassa. In particolare, gli esperimenti avrebbero dovuto rivelare eventi la cuienergia diminuiva in funzione del tempo di arrivo (all’inizio giungono i neutrinidi energia maggiore; in istanti successivi quelli di energia minore). Nulla dicio e stato osservato, ed e stato dunque possibile porre un limite superiore
alla massa del neutrino. Utilizziamo i dati riportati nel testo, assumendo cheil ritardo temporale relativo nell’arrivo dei neutrini sulla terra dipenda dadiversa velocita di propagazione:
∆t
D=tmax − tmin
D=
1
vmin− 1
vmax=
∆v
vminvmax≃ ∆v
c2(2)
avendo qui assunto v ≃ vmax ≃ vmin ≃ c.Uguagliando l’equazione (1) con la (2):
c∆t
D=∆v
c=m2ν
2
(
1
E2min
− 1
E2max
)
mν = 0 comporta quindi ∆t = 0. Poiche del punto di vista sperimentale∆t < 3 s, si ottiene il limite sulla massa m del neutrino pari a:
mν ≤√
2c∆t
D · ( 1E2
min
− 1E2
max)
=
√
2 · 3 · c5.3 1012 · c · ( 1
55 − 1202 )
≃ 5.5 10−6 MeV
ossia, mν < 6 eV.(b) L’energia totale emessa sotto forma di neutrini e ∼ Ntot ·〈E〉 con 〈E〉 ≃ 12MeV. Se indichiamo con Φν il flusso di neutrini per unita di superficie misuratosulla terra, il numero totale di neutrini emessi alla sorgente (assumendo unaemissione isotropica) sara: Ntot = Φν · 4πD2. Il valore del flusso misurato Φνsi ottiene imponendo che ΦνσNber = numero di eventi osservati ≃ 10.
38
Se le interazioni avvengono solo con i nuclei di idrogeno di H2O, la sezioned’urto del processo e data dalla (8.28):
Nber ≃ 21000 t
18/NA≃ 7 · 1031 protoni
σ ≃ 7 10−44 cm2〈E〉2 ≃ 1 · 10−45 m2
Φν ≃ 10/(σNber) ≃ 1.5 · 1014 m−2
Ntot = Φν4πD2 ≃ 6 1057
Energia totale ≃ Ntot〈Eν〉 ≃ 6 1058 MeV.
(c) La massa del sole e M⊙ = 2 1030 kg. L’energia di legame gravitazionalerilasciata per formare una stella a neutroni di raggio 10 km e massa 1.4 M⊙e (unita del SI):
VG = −3 × 6.6 10−11 × (2.8 1030)2
5 × 104= −3 1046 J.
Poiche 1 J= (1/1.6 10−19) eV = (1/1.6 10−12) MeV, |VG| ≃ 5 1058 MeV. Contidettagliati mostrano che nel processo di collasso gravitazionale stellare il 99%dell’energia di legame gravitazionale viene rilasciata sotto forma di neutrini.
Problema 14.4
In analogia con la teoria atomica di Bohr, si puo calcolare che il raggio dell’or-bita dell’atomo muonico (ossia, un atomo in cui un normale elettrone e statosostituito, per cattura, da un µ−) per un nucleo con Z protoni e
rµZ = r0 ·me/(mµ · Z) .
r0 ≃ 0.53 A e il raggio di Bohr. Si ricordi (Appendice A5) che il raggio di Bohre inversamente proporzionale alla massa della particella: nel caso dell’atomomesico, il raggio dell’orbita e un fattore me/mµ = 1/207 inferiore al casodell’elettrone. Per lo stato fondamentale dell’atomo di idrogeno, ad esempio,rµ0 = 2.58 10−3 A .
Definiamo τlib la vita media del muone libero. Nel caso vi sia un processocompetitivo, quale la cattura dei muoni negativi da parte di nuclei atomici,con tempo medio di attesa del processo pari a τcatt, la vita media risultante eottenibile dalla relazione:
1/τ = 1/τlib + 1/τcatt .
In altre parole, 1/τcatt rappresenta la probabilita del processo di cattura perunita di tempo, mentre 1/τlib rappresenta quella di decadimento spontaneo.
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Poiche la vita media misurata dei µ− in alluminio e 0.88 µs, si ricava τcatt ≃1.49 µs.
La cattura del µ− in idrogeno o in un nucleo piu pesante dipende dallafrazione di tempo che il muone “trascorre” all’interno del nucleo. Assumendoche il muone sia nell’orbita fondamentale (sferica), cio corrisponde al fattoche la densita di probabilita di trovare il muone e costante all’interno dellasfera. La probabilita f che il muone sia all’interno del nucleo, e proporzionaleal rapporto tra il volume del nucleo e quello della sfera di raggio rµZ , ossia:f ≃ (Vnucleo/Vorbita) = (RA/r
µZ)3, dove RA e il raggio medio di un nucleo di
peso atomico A. Questo (vedi eq. 14.7) puo essere descritto dalla formula RA ≃1.2 · 10−5 3
√A (in A). Quindi la frazione di tempo che il muone “trascorre”
all’interno della materia nucleare, dove il muone ha la possibilita di interagirecon un protone, e:
f ≃ (RA/rµZ)3 ≃ 1.03 · 10−7AZ3 .
Nel caso dell’idrogeno, fH = 1.03 · 10−7; per l’alluminio, fAl ≃ 0.61 · 10−2.Possiamo ora calcolare il cammino libero medio dei muoni negativi λcatt.
Questo dipende dal tempo medio in cui avviene il processo di cattura, τcatt,dalla velocita del muone e dalla frazione di tempo f percorsa nel nucleo:λcatt = fτcattv , dove v = Zcα = Zc/137 e la velocita del muone in una orbitaatomica (esattamente come se fosse un elettrone). Nel caso dell’alluminio siottiene λcatt ≃ 26 cm.
Problema 14.7
La frequenza della reazione, cioe il numero di interazioni prodotte per unita ditempo e R = σΦN , dove σ (cm2) e la sezione d’urto, N e il numero totale dinuclei 37Cl presenti nel rivelatore e Φ (cm−2s−1) e il flusso di neutrini “attivi”.La massa totale del liquido nel rivelatore e
m = ρv = (1.5 g cm−3)(4 · 108 cm3) = 6 · 108 g
Il numero di moli presenti e n = mP = 6·108
164 = 3.6 · 106 moli.Detto NA il numero di Avogadro, il numero di molecole di C2Cl4 e:
Nmol = nNA = (3.6 · 106 moli)(6 · 1023 moli−1) ≃ 2.2 · 1030 molecole.
Il numero totale di atomi di cloro nel rivelatore e:
NCl = 4Nmol = 4 · 2.2 · 1030 ≃ 8.8 · 1030 .
La costante solare e:
S = 2cal
cm−2 min−1 =2 · 4.2
1.6 · 10−19eV
1
60cm−2 s−1 = 8.8 · 1011 MeV
cm2s.
40
Il flusso di neutrini e:
Φν = 0.07S
〈E〉 = 0.078.8 · 1011 MeV cm−2 s−1
1 MeV= 6 · 1010 cm−2 s−1 .
Il flusso di neutrini con energia sufficiente a dar luogo alla reazione e:
Φ = Φν/1000 = 6 · 107 cm−2 s−1
Sostituendo i valori trovati per Φ e ricordando che σ = 10−43 cm2 si ha (ilfattore 1/4 finale tiene conto dell’abbondanza isotopica del 37Cl):
R = σΦN = (10−43 cm2)(6 · 107 cm−2 s−1)(4 × 2.2 · 1030) × 1
4
= 1.3 · 10−5 eventi s−1 = 1.3 · 10−5 · 3600 · 24 = 1.1 eventi giorno−1
Per tradizione, il numero di eventi dovuti a neutrini solari si esprime inSNU (1 SNU= 1 conteggio/s per 1036 atomi bersaglio). La predizione teoricaper l’esperimento in oggetto e dunque di circa 6 SNU (basta inserire N = 1036
nel calcolo di R appena sopra riportato). Il valore ottenuto con calcoli piudettagliati corrisponde a 8 SNU. Il valore misurato dall’esperimento, mediatosu un periodo di oltre 20 anni, e stato 2.6 SNU. Cio ha dato origine al cosıdetto problema dei neutrini solari, Raymond Davis Jr. e stato insignito perquesto del premio Nobel nel 2002. Il problema e stato risolto ipotizzando chei neutrini abbiano una piccolissima massa e che possano oscillare (vedi Cap.12).
Problema 14.9
L’interpretazione della differenza e dovuta al fatto che i RC (in questo caso,consideriamo i nuclei M) si propagano nella galassia, continuamente deflessidai campi magnetici galattici. Durante il cammino, interagiscono coi protonidel mezzo interstellare e possono frammentare. Il processo di frammentazione(spallazione) che comporta produzione di nuclei L a partire da M e dato da:
NM + p→ NL +X ; con PML = 0.28
a) Il libero cammino medio e dato da λ/(NAσ), dove NA e il numero diAvogadro e σ la sezione d’urto del nucleo con protoni. Poiche il raggio nuclearescala con la radice cubica del numero atomico A (eq. 14.7), la sezione d’urtodi un nucleo A sara data da σ ≃ (πR2
0)A2/3 ≃ 45 A2/3 mb. Nel caso dei nuclei
M si ottiene σM ≃ 280 mb; nel caso dei nuclei L si ottiene σL ≃ 200 mb.I liberi cammini medi sono rispettivamente λM ≃ 6.0 g cm−2 e λL ≃ 8.4 gcm−2.b),c) Definiamo la grandezza ξ = xρ, dove x e il cammino (in cm) e ρ ladensita del mezzo (in g cm−3). I nuclei M propagandosi possono frammentare,
41
mutando specie. In tal caso, non saranno piu osservati sulla terra come nucleidi quella specie. L’equazione che descrive il loro cammino e semplicemente:
d
dξNM(ξ) = −NM(ξ)
λM(1)
Gli elementi L, invece, non sono prodotti dalle sorgenti (collassi stellari), bensıdalla frammentazione di elementi piu pesanti (in particolare, degli elementi Mimmediatamente successivi e particolarmente abbondanti). L’equazione che nedescrive il numero in funzione del percorso avra un termine di sorgente ed unodi attenuazione:
d
dξNL(ξ) = +
PMLλM
NM(ξ) − NL(ξ)
λL(2)
Le due equazioni sono accoppiate, in quanto il numero di nuclei di tipo Ldipende da NM(ξ). L’equazione (1) e immediatamente risolvibile come:
NM(ξ) = N0Me−ξ/λM (3)
Per risolvere la (2) occorre qualche manipolazione algebrica. Prima, si inseriscala (3) in luogo di NM(ξ); poi si moltiplichi ambo i membri per eξ/λL ; i duetermini contenentiNL possono essere considerati come la derivata del prodottodi due funzioni:
d
dξ(NL(ξ) · eξ/λL) =
PMLλM
N0M · e(ξ/λL−ξ/λM) (4)
Poiche l’equazione contiene funzioni esponenziali, la soluzione e della forma:NL(ξ) = c · (e−ξ/λL − e−ξ/λM), dove c e una costante da determinarsi e con lacondizione al contorno NL(0) = 0. Inserendo la soluzione di prova nella (4) si
ottiene una identita se la costante c vale: c =PML·N0
M
λM· λMλL
λL−λLLa soluzione
della (2) e quindi:
NL(ξ) =PMLλM
·N0M · λMλL
λL − λL· (e−ξ/λL − e−ξ/λM) (5)
che soddisfa la condizione al contorno NL(0) = 0. Le due funzioni (3) e (5)sono riportate in figura, dove si e assunto il parametro incognito N0
M = 1.d) Il parametro N0
M e non misurabile (rappresenta quanti nuclei M vengonoimmessi nella galassia dalla sorgente). La grandezza misurata e il rapportotra NL/NM, che non dipende dal termine N0
M. Imponendo che il rapporto siauguale al valore misurato 0.25, si determina (sia in via algebrica, usando la (3)e la (4), sia tramite il grafico di Fig. 1.2) che i RC devono aver percorso unaquantita ξT = xT ρ = 5 g cm−2. Poiche il valore della densita del materialeinterstellare e ρ = 1 p/cm
3= 1.6 10−24 g cm−3, il percorso x corrisponde a:
xT = ξT /ρ = 5 g cm−2/1.6 10−24g cm−3 = 3 1024 cm = 1 Mpc
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NM(ξξξξ)
Fra
zion
e re
lati
va d
i nuc
lei
NL(ξξξξ)
Fra
zion
e re
lati
va d
i nuc
lei
ξξξξ (g cm-2)
Figura 0.13. Andamento col parametro ξ del numero di nuclei di tipo M e ditipo L. In prossimita delle sorgenti (ξ = 0) nuclei L sono assenti. Al crescere delpercorso ξ, aumentano perche sono prodotti dalla frammentazione di nuclei M. Seil percorso fosse pari a ξ = 15 g cm−2, si troverebbe NL/NM = 1. Il valore delrapporto misurato NL/NM ≃ 1/4 corrisponde al valore del percorso ξT = xT ρ = 5g cm−2.
(1 parsec=3 1018 cm) molto maggiore dello spessore del disco (∼ 300 pc)che del raggio (∼ 15 kpc) galattico. Cio conferma che il percorso dei RC econtinuamente deflesso dai campi magnetici galattici.
Il tempo di permanenza dei RC nella galassia e pari a xT /c = 1014 s =3 My. Si noti che questo valore non dipende dalla posizione dell’osservatore:in qualsiasi altra posizione nella galassia (ad esclusione della regione centrale,il buldge, dove sono in prevalenza situate le sorgenti) un ipotetico osservatoremisurerebbe lo stesso rapporto NL/NM, deducendo lo stesso valore del tempodi permanenza dei RC.
