Partie 1 Évaluations des réserves

Faculté des arts et des sciencesMathématiques et statistique

Partie 1Évaluations des réserves


Triangles de DéveloppementUn triangle de développement est une table affichant l’évolution des sinistres à travers le temps.

Par exemple, voici un regroupement de sinistres payés (en milliers) d'une compagnie d'assurance par années d’accident vue à différentes dates :

Année d’Accident

Vu fin 2006

Vu fin 2007

Vu fin 2008

2006 100 150 1702007 110 1612008 115


Triangles de Développement• Comme on veut analyser le développement d'une année à travers le temps, il sera plus intéressant de regrouper l'information selon l'âge des réclamations :

• L'âge représente le temps entre le début de la période analysée et le moment où l'information est vue. Par exemple, pour l'année d'accident 2006, les sinistres sont âgés de 24 mois au 31 décembre 2007.

Année d’Accident

12 mois 24 mois

36 mois

2006 100 150 1702007 110 1612008 115


Triangles de développementLorsqu'on travaille avec des triangles, on peut analyser l'information selon trois dimensions différentes:

• Lignes horizontales– Chaque ligne représente généralement une année d’accident

différente (ou une année de police, de déclaration...) • Colonnes

– Chaque colonne représente un âge différent • Diagonales

— Chaque diagonale représente l'activité d'une année comptable différente.


Triangles incrémentauxIl sera TRÈS important de noter si l'information à l'intérieur d'un triangle est incrémentale ou cumulative, car cela affectera comment les données seront traitées.

Par exemple, chaque cellule d'un triangle incrémental contenant des sinistres payés représente les sinistres payés durant cette période :

Les sinistres incrémentaux de 2005 âgés de 24 mois représentent les sinistres payés de l'année d’accident 2005 durant l'année comptable 2006.

On remarquera que la somme de chacune des diagonales représenteles sinistres payés d'une certaine année comptable.

Année d’Accident

12 mois

24 mois 36 mois 48 mois

2005 600 620 300 3002006 460 460 2302007 660 6602008 700


Triangles cumulatifs• Pour un triangle de sinistres payés cumulatifs, chaque cellule du triangle représente le cumulatif des sinistres payés depuis le début de la période. Le triangle de la page précédente affiché de façon cumulative donnerait :

• Dans cet exemple, la différence entre chaque diagonale représente les sinistres payés d'une certaine année comptable. Par exemple :

Sinistres payés durant l'année comptable 2008 = ( 700 + 1,320 + 1,150 + 1,820) – (660+920+1,520) = 1,890

Année d’Accident

12 mois 24 mois

36 mois

48 mois

2005 600 1220 1520 18202006 460 920 11502007 660 13202008 700


Triangle – Réserver aux dossiers•Un triangle peut contenir différents types d'information tel que le total des réserves aux dossiers vu à plusieurs âges :

• Lorsqu'on travaille avec des réserves aux dossiers, la dernière valeur de chaque ligne représentera l'estimé le plus à jour des réserves aux dossiers.

Année d’Accident 12 mois

24 mois

36 mois

48 mois

2005 600 1200 1200 12002006 690 920 9202007 990 13202008 1040


Triangles de développementExemple #1 : Basé sur les triangles des pages précédentes, construiser un triangle cumulatif de sinistres déclarés :

Année d’Accident 12 mois 24 mois 36 mois 48 mois

2005

2006

2007

2008


Méthode de développement classiqueLa méthode de développement classique est une méthode de base pour estimer les réserves actuarielles utilisant des triangles. Elle peut être résumé en 7 étapes :

• Étape 1 - Compiler l'information à l'intérieur d'un triangle de développement

• Étape 2 - Calculer les facteurs âge à âge

• Étape 3 - Calculer des moyennes pour ces facteurs

• Étape 4 - Sélectionner un facteur de développement pour chaque âge

• Étape 5 - Sélectionner un «tail factor »

• Étape 6 - Calculer les facteurs de développement cumulatifs

• Étape 7 - Projeter les sinistres à l'ultime


Étape 1 - Compiler l'information à l'intérieur d'un triangle de développement

La première étape consiste simplement à regrouper l'information à l'intérieur d'un triangle de développement comme nous l’avons vu précédemment.

Voici un exemple d’un triangle de développement pour sinistres déclarés cumulatifs :


Étape 2 - Calculer les facteurs âge à age

Un facteur âge à âge fréquemment appelé LDF (i.e. Loss Development Factor) mesure la variation des sinistres d'un âge à l’autre.

Par exemple, pour le triangle à l'étape 1, le facteur âge à âge pour la période de 12 mois à 24 mois de l'année d’accident 1998 est :

= Sinistres déclarés à 24 mois pour 1998 / Sinistres déclarés à 12 mois pour 1998 = 43,169,009 / 37,017,487 = 1.166

Par convention, nous le l’appelerons le facteur 12-24 mois (LDF 12-24 mois).


Étape 3 – Calculer des moyennes pour les facteurs âge à âge

Afin de faciliter la sélection d'un facteur de développement final pour chacun des âges, les actuaires calculent généralement plusieurs moyennes des facteurs âge à âge. Leur sélection est ensuite basée sur une ou plusieurs de ces moyennes :

- Moyenne arithmétique simple- Moyenne excluant la valeur la plus haute et la plus basse- Moyenne pondérée- Moyenne géométrique...

Exemple 2 : Selon le triangle à l'étape 1, calculer la moyenne arithmétique simple et la moyenne pondérée 3 ans pour chaque facteur âge à âge.


Étape 4 – Sélectionner les facteurs de développement des sinistres

Une fois les moyennes calculés, l'actuaire devra maintenant utiliser son jugement pour sélectionner les facteurs de développement finaux. Il devra considérer plusieurs points :

• Progression continue des facteurs âge à âge à travers les périodes de développement

– Normalement le développement devrait être de plus en plus petit à travers le temps

• Des facteurs âge à âge stables à l'intérieur d'une même période de développement

– Si le développement pour une certaine année est drastiquement différent des autres, peut-être qu'il s'agit d'une donnée aberrante à ne pas considérer.


Étape 4 – Sélectionner les facteurs de développement des sinistres (Suite)

• Crédibilité de l'expérience– La ligne d'affaire doit avoir une expérience suffisante et relativement

homogène pour chacune des années analysées.

•Changement de tendance– S'il semble y avoir une certaine tendance dans les facteurs âge à âge, il

sera important de la considérer lors de la sélection

• Expérience historique utilisée doit être pertinente– L'actuaire devra s'assurer que l'expérience passé utilisée (pour chaque

année) soit prédictive du futur. Par exemple : Est-ce que les réclamations passés proviennent de polices similaires à celles en force? Est-ce que les réclamations sont arrivées dans un environnement légal similaire à celui

présentement?


Étape 5 – Sélectionner un «tail factor »

Les données disponibles ne sont pas toujours suffisantes pour estimer le développement des sinistres à l'ultime. Afin de déterminer s'il y a encore du développement suivant la dernière période disponible, il faut tout d’abord regarder le dernier facteur de développement.

S'il est encore supérieur à 1, on ne peut certainement pas conclure que les sinistres sont complètement développés et la sélection d'un “tail factor” est nécessaire afin d'estimer le développement futur suivant cette période.

S'il est égal à 1, il est probable mais non certain que les périodes de développements soient suffisantes pour développer complètement les sinistres.

La sélection d'un « tail factor » sera effectuée selon le jugement de l’actuaire.


Étape 5 – Sélectionner un «tail factor »

Il existe plusieurs méthodes pour estimer le « tail factor » , par exemple un modèle basé sur une loi mathématique pourrait être utilisé (i.e. Loi Pareto).

En pratique (et à travers ce cours), les actuaires utiliseront souvent leur jugement afin de le déterminer comme en essayant de trouver une tendance à travers les facteurs âge-à-âge ou simplement en se basant sur des données de l'industrie pour l'estimer.


Étape 6 – Calculer les facteurs de développements cumulatifs

Les facteurs de développements cumulatifs (CDF) sont calculés en multipliant le « tail factor » avec les facteurs de développements âge à âge suivant l’âge analysé. Par exemple, pour les sélections de facteurs ci-dessous :

CDF à 120 mois = 1.000 car le “tail factor” (to Ult) est de 1.000

CDF à 108 mois = 1.000 *1.000 = 1.000

CDF à 96 mois = 1.002 *1.000 = 1.002

CDF à 84 mois = 1.003 *1.002 = 1.005

...

CDF à 12 mois = 1.164 *1.110 = 1.292


Étape 7 – Projeter les sinistres à l'ultime

Une fois les facteurs de développements cumulatifs calculés, on peut maintenant projeter les sinistres à leur niveau ultime. Cette valeur représentera l'estimé de la valeur finale que prendra les sinistres.

Comme les CDF représentent le développement cumulatifs des sinistres d'une période d'un âge à l'ultime, la méthode de développement classique suggère de simplement multiplier le niveau actuel des sinistres par le CDF correspondant à l'âge de ces sinistres.

Par exemple, si l'année 2008 est vu à fin 2010, donc âgé de 36 mois, les sinistres ultimes de 2008 =

(Sinistres déclarés 2008 vu à fin 2010) * (CDF à 36 mois)


Étape 7 – Projeter les sinistres à l'ultime (Suite)Exemple 3 : Selon le triangle ci-dessous, développer les sinistres à l'ultime pour chacune des années.

À noter : La méthode de développement classique peut être autant appliquée sur des sinistres payés que déclarés, tant que les CDF ont été calculés sur la même base.


Déclaration des sinistresÀ l'aide des CDF, il sera possible de déterminer le montant espéré du % de sinistres déclarés à différentes âges (ou entre différents âges) .

Pour chaque âge :% de sinistres déclarés espérés = Sinistres déclarés / Sinistres ultimes= Sinistres déclarés / (Sinistres déclarés * CDF) = 1/CDF


Distribution des paiementsDe la même façon, il sera aussi possible de déterminer une distribution espéré des paiements futurs à l'aide des CDF pour sinistres payés.

Pour chaque âge :% de sinistres payés = Sinistres payés / Sinistres ultimes= Sinistres payés / (Sinistres payés * CDF) = 1/CDF

La distribution de la déclaration des sinistres ou des paiements sera utilisée plus tard dans le cours pour certaines méthodes actuarielles servant à estimer les sinistres non-payés ainsi que pour suivre le développement des sinistres à travers les années.

Exemple 4 : À partir des facteurs âges à âges de l’exemple 3, déterminer les sinistres déclarés espérés de l’année comptable 2008 pour chaque année d’accident.


Désavantages de la méthode classique de développement des sinistresLa méthode de développement classique des sinistres suppose que la déclaration des sinistres passés sera similaire à celle du futur. Cependant, ce ne sera pas toujours le cas :

• Changement du niveau de suffisance des réserves aux dossiers– Si les ajusteurs augmentent/diminuent les montants alloués en réserve aux

dossiers en moyenne à un certain point, le développement des sinistres déclarés passés ne représentera plus le futur.

• Changement de la distribution des risques– Si les nouveaux risques assurés ne sont plus comparables aux risques

passés, l'expérience passé sera moins prédictive des sinistres futurs.

• Changement de l'environnement légal– Si les sinistres passés sont arrivés dans un environnement légal différent,

l'expérience passé risque encore une fois d’être moins prédictive des sinistres futurs.


Calcul des RéservesMaintenant qu'on sait comment projeter les sinistres à l’ultime. Il ne reste qu'à déterminer les réserves actuarielles nécessaires (= IBNR + IBNER) pour être certain de couvrir les sinistres non-payés de la compagnie.

Réserves actuarielles par année = Sinistres Ultimes – Sinistres Déclarés = Sinistres déclarés * CDF - Sinistres déclarés = Sinistres déclarés (CDF-1)

Réserves totales pour sinistres non-payés par année= Réserves actuarielles + Réserves aux dossiers = Sinistres Ultimes – Sinistres Déclarés + Réserves aux dossiers = Sinistres Ultimes – Sinistres payés

Notes : Dans l'équation ci-dessus, on assume que les facteurs de développement ont été déterminés à partir de triangles de sinistres déclarés


Triangles de développement - Diagnostic

Afin de valider si la méthode de développement classique est optimale ou si certaines années devraient être exclues de l'analyse, on devra analyser divers ratios :

• Ratio de sinistres payés / sinistres déclarés • Ratio du # total de réclamations fermées / # total de réclamations• Ratio du # total de réclamations fermées avec (ou sans) paiement / # total de réclamations fermées• Montant moyen de la réserve au dossier• Sinistre payé moyen pour réclamations fermées• Sinistre payé moyen• Sinistre déclaré moyen

Chacun de ces ratios apportent de l'information intéressante sur l’évolution de nos sinistres à travers les périodes.


Test 1 : Ratio de sinistres payés / sinistres déclarésLe ratio de sinistres payés / sinistres déclarés est facile à calculer et permet à l'actuaire d'évaluer la stabilité des réserves aux dossiers. Par exemple, pour ces deux triangles de développement :


Test 1 : Ratio de sinistres payés / sinistres déclarésOn obtient ce triangle de ratio de sinistres payés / sinistres déclarés :

Idéalement, ce ratio devrait être relativement constant pour chaque âge. Cependant, un changement de la suffisance des réserves aux dossiers ou un changement dans le type de réclamations déclarées pourraient expliquer certains comportements aberrants.

Pour ce triangle, on remarque que les ratios des années 2004-2006 sont particulièrement bas pour les âges 12 et 24. Cela pourrait être expliqué par un niveau élevé de réserves aux dossiers ou un faible niveau de paiement de sinistres. Il faudra effectuer d’autres tests pour en être certain.


Test 2 : Sinistres payés et réserves aux dossiers moyens En examinant l’évolution de sinistres payés moyens et réserves aux dossier moyennes à travers les années, on peut évaluer si le type de réclamation ou la suffisance des réserves aux dossiers change à travers les périodes :

NoteSinistres payés moyens = Sinistres payés / # de réclamations ferméesRéserves aux dossiers moyennes = Réserves aux dossiers / # de réclamations ouvertes


Test 2 : Sinistres payés et réserves aux dossiers moyens

On remarque :

• Les sinistres payés moyens changent à peine à travers le temps, il y a une certaine tendance à la hausse, mais une inflation annuelle est normale. À première vue, le type de réclamations ne semble pas avoir changé.

• Contrairement aux sinistres payés, les réserves aux dossiers moyenne s augmentent drastiquement sur la diagonale des années 2005-2006. Ceci est un indicateur que la suffisance des réserves aux dossiers à augmenté durant ces années comptables.


Test 3 : Ratio # sinistres fermés / # sinistres déclarésEn analysant le ratio du nombre de sinistres fermés divisé par le nombre de sinistres déclarés, on peut voir si la vitesse de règlement des réclamations change à travers le temps.

Un changement de la vitesse de règlement aurait un impact sur le développement des sinistres, car les sinistres seraient payés plus rapidement d’année en année diminuant ainsi leur développement futur.

Dans le triangle ci-dessus, on remarque que les sinistres commencent à être réglés en moyenne beaucoup plus tôt à partir de l’année comptable 2006. Ceci indiquerait que le développement des années suivant 2006 serait surestimé.


ExercicesVoici quelques exercices des examens antérieurs de la CAS pertinents à la matière de cette section :

Exam 5 – Spring 2012 : #17, #22a), #30Exam 5 – Spring 2011 : #22, #23, #24, #30a)-b)Exam 6 - Fall 2010 : #13, #15Exam 6 - Fall 2009 : #8, #12, #16a)Exam 6 - Fall 2008 : #2b), #6, #9a), #27chain ladder ou link ratio = méthode de développement classique

NoteLes exercices sont disponibles sur le site de la CAS aux adresses suivantes : http://www.casact.org/admissions/studytools/exam6/ ethttp://www.casact.org/admissions/studytools/exam5/

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Partie 1 Évaluations des réserves