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Metodologías de diseño conjunto de controladores y
algoritmos MPPT para sistemas fotovoltaicos.
Paula Andrea Ortiz Valencia
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ingeniería y Arquitectura
Departamento de Eléctrica, Electrónica y Computación
Manizales, Colombia
2017
2
3
Metodologías de diseño conjunto de controladores y algoritmos MPPT para sistemas
fotovoltaicos.
Paula Andrea Ortiz Valencia
Tesis doctoral para optar al título de Doctora en Ingeniería: línea automática
Director:
Carlos Andrés Ramos Paja, Ph.D.
Línea de Investigación: Electrónica y Comunicaciones
Grupo de Investigación: Automática, electrónica y ciencias de la computación
Línea de Investigación: Energías Renovables
Grupo de Investigación: GAUNAL
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ingeniería y Arquitectura
Departamento de Eléctrica, Electrónica y Computación
Manizales, Colombia
2017
4
5
Dedicada a
Felipe, mis padres, mi hermana y amigos.
Al ITM por su apoyo y a mi profesor
Carlos Andrés Ramos Paja, todo mi
agradecimiento para él.
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7
Resumen
Esta tesis doctoral presenta técnicas de control orientadas a incrementar la extracción de
energía generada por los sistemas fotovoltaicos. La primera parte de este trabajo presenta un
análisis de los algoritmos “Perturbar y observar”, y “conductancia incremental”, analizando
sus condiciones de diseño y limitaciones de estos algoritmos de búsqueda del punto de
máxima potencia. Asimismo, se realiza un modelado matemático del convertidor dc/dc tipo
boost y se revisan los principios básicos para diseñar controladores en modos deslizantes. Esta
técnica de control se seleccionó debido a la robustez y estabilidad global que ofrece.
En la segunda parte del trabajo se presenta el diseño de un controlador en modos deslizantes
basado en la medición de la corriente del inductor, en cascada con un algoritmo “Perturbar y
observar” (P&O) y un regulador de voltaje, el cual evita colapsos en el sistema debido a las
caídas en la irradiación solar. Para el diseño del regulador de voltaje se aplican dos técnicas
de control adaptativas: la primera técnica diseñada es un control por modelo de referencia, el
cual asegura una dinámica constante para todo el rango de operación, garantizado así un
tiempo de establecimiento constante, para asegurar la estabilidad del P&O. La segunda
técnica diseñada es un controlador PI auto-ajustable, el cual permite ajustar el tiempo de
perturbación del algoritmo perturbar y observar sin constreñirse a la condición más restrictiva,
i.e. la irradiación más baja, garantizando así una respuesta rápida del sistema fotovoltaico
mediante la reducción del tiempo de perturbación del algoritmo P&O. Con estas soluciones
se logra acelerar el seguimiento del punto de máxima potencia, y al mismo tiempo, garantizar
la estabilidad del sistema, incrementando de esta manera la cantidad de energía producida.
El tercer método de diseño provee una solución con una única etapa de control, la cual realiza
el seguimiento del punto de máxima potencia de una manera rápida y precisa. Este enfoque
evita la dependencia circular en el diseño clásico de controladores en cascada, usados para
optimizar el funcionamiento del sistema fotovoltaico, y al mismo tiempo reduce el número de
controladores y evita el uso de modelos linealizados. Estas características proporcionan
estabilidad global en todo el rango de operación y reducen la complejidad y coste en la
implementación del sistema.
Finalmente, esta tesis analiza los inconvenientes de implementación clásica de los
controladores en modos deslizantes basadas en frecuencia variable. Asimismo, se presenta
8
una nueva metodología de implementación, a frecuencia fija, para controladores en modos
deslizantes aplicados a sistemas fotovoltaicos. Está metodología es aplicable a superficies de
deslizamiento de primer orden.
Las soluciones propuestas son evaluadas usando simulaciones realistas con perturbaciones
tanto en la radiación solar como en el voltaje de la carga. Asimismo, se reportan experimentos
en un prototipo de laboratorio.
Palabras clave: Sistemas fotovoltaicos, Control adaptativo, Control por modos deslizantes,
Convertidor dc/dc, Seguimiento del punto de máxima potencia.
9
Methodologies for the design of controllers and MPPT
algorithms for photovoltaic systems
Abstract
This doctoral thesis presents control techniques oriented to increase the energy extraction
generated by photovoltaic systems. The first part of this work presents an analysis of the
algorithms “Perturb and Observe” and “Incremental Conductance”, analyzing their design
conditions and the limitations of such algorithms to find the maximum power point. In this
way, a mathematical model of a dc/dc boost converter is developed and the basic principles
for designing sliding mode controllers are studied. This control technique has been chosen
due to its robustness and global stability.
In the second part of this work, the design of a controller by using sliding mode theory is
presented, this based in measurements of the inductor current, connected in cascade with a
Perturb and Observe algorithm (P&O) and a voltage regulator which avoids collapses in the
system due to the irradiance drops. For the regulator design two adaptive control techniques
are applied the first one is a control for reference model, which ensures a constan dynamic for
all the operating range, guaranteeing a constant settling time to ensure the P&O stability. The
second technique is a self-adjusting PI controller which allows to adjust the perturbation time
of the Perturb and Observe algorithm with constrain to the most restrictive condition, i.e. the
lowest irradiance, guaranteeing a fast response in the photovoltaic system by means of the
reduction of the perturbation in the P&O algorithm. With these solutions the tracking of the
maximum power point is accelerated and at the same time, the stability of the system is
guaranteed increasing the amount of produced energy.
The third method provides a solution with a unique control stage in which the tracking of the
maximum power point is done in a fast and accurate way. This approach avoids the circular
dependence in the classic design of cascade controllers, used to optimize the functioning of
the photovoltaic system and at the same time, reducing the number of controllers and avoids
10
the use of linear models. These characteristics provide global stability in all the operating
range and reduce the complexity and cost in the implementation of the system.
Finally, this thesis analyses the drawbacks of the implementation of classic controllers in
sliding mode based on variable frequency. In the same way, it presents a new methodology of
implementation, at fixed frequency, for controllers in sliding mode applied to photovoltaic
systems. This methodology is applicable to sliding surfaces of first order.
The proposed solutions are evaluated using realistic simulations with perturbations in the solar
radiation and in the load voltage. In the same way, experiments in a laboratory prototype are
reported.
Keywords: Photovoltaic systems, Adaptive control, Sliding Mode Control, DC/DC converter,
Maximum power point tracking.
11
Prefacio
Esta tesis reporta sobre los resultados de mis estudios de doctorado en el Departamento de
Ingeniería Eléctrica, Electrónica y Computación, Facultad de Ingeniería y Arquitectura,
Universidad Nacional de Colombia. Este trabajo se llevó a cabo entre agosto de 2013 y
septiembre de 2017, y fue Financiado por el instituto Tecnológico Metropolitano (ITM),
mediante la comisión de estudios y los proyectos P14215, P14220. Asimismo, parte del
desarrollo de la tesis se realizó en el marco del proyecto de investigación soportado por la
universidad Nacional de Colombia y Colciencias bajo el proyecto MicroRENIZ-25439
(Código 1118-669-46197).
Las simulaciones se llevaron a cabo utilizando los softwares comerciales Matlab y PSIM.
Esta tesis contiene resultados que se publican en 4 artículos publicados en revistas indexadas
y dos conferencias internacionales, los cuales se detallan a continuación.
1 Artículos:
1. P. A. Ortiz-Valencia, A. Trejos-Grisales, and C. A. Ramos-Paja, “Photovoltaic
System Regulation Based on a PID Fuzzy Controller to Ensure a Fixed Settling
Time,” Tecnológicas, pp. 605–616, 2013.
Revista Indexada como A2 en publindex al momento de la publicación.
2. P. A. Ortiz-Valencia, L. A. Trejos-Grisales, and C. A. Ramos-Paja, “Maximum
power point tracking in PV systems based on adaptive control and sliding mode
control,” Rev. Fac. Ing. Univ. Antioquia, no. 75, pp. 67–79, 2015.
Revista Indexada como A1 en publindex y Q4 en Scopus al momento de la
publicación.
3. P.A. Ortiz-Valencia and C. A. Ramos-Paja, “Auto-tuning of PV controllers to
improve the speed response and stability of the P & O algorithm,” Ing. en Investig.,
vol. 31, no. 1, pp. 5–12, 2015.
12
Revista Indexada como A1 en publindex y Q3 en Scopus al momento de la
publicación.
4. P.A. Ortiz-Valencia and C. Ramos-Paja, “Sliding-Mode Controller for Maximum
Power Point Tracking in Grid-Connected Photovoltaic Systems,” Energies, vol. 8,
no. 11, pp. 12363–12387, 2015.
Revista Indexada como A1 en publindex y Q1 en Scopus al momento de la
publicación.
2. Congresos:
1. P.A. Ortiz-Valencia and C. A. Ramos-Paja, “Auto-tuning of PV controllers to
improve the speed response and stability of the P & O algorithm”. VIII Simposio
Internacional sobre la energía eléctrica en Valparaiso, Chile. 2015.
2. P.A. Ortiz-Valencia, D. Gonzalez and C. A. Ramos-Paja, “Sliding mode control
with fixed frequency for photovoltaic applications”. Cuartas Jornadas
Iberoamericanas de generación distribuida y microrredes eléctricas inteligentes
RIGMEI 2016 en Bucaramanga, Colombia. 2016.
13
Contenido
1 .................................................................................................................................................................. 23
INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................................... 23
1.1 MODELO DEL MÓDULO FOTOVOLTAICO PARA PROPÓSITOS DE CONTROL ................................................................... 25
1.2 ALGORITMO DE BÚSQUEDA DEL PUNTO DE MÁXIMA POTENCIA ............................................................................... 27
1.2.1 Algoritmo Perturbar y Observar (P&O) .......................................................................................... 28
1.2.2 Método de la Conductancia Incremental (IC) .................................................................................. 31
1.3 CONVERTIDOR DE POTENCIA DC/DC PARA SISTEMAS PV CONECTADOS A LA RED ......................................................... 34
1.4 REVISIÓN DE SISTEMAS DE CONTROL APLICADOS A LOS SISTEMAS FOTOVOLTAICOS CONECTADOS A LAS REDES REPORTADAS EN
LA LITERATURA .................................................................................................................................................... 35
2 .................................................................................................................................................................. 43
CONTROL EN MODOS DESLIZANTES BASADO EN LA MEDICIÓN DE CORRIENTE DEL INDUCTOR APLICADO A
LOS SISTEMAS PV CONECTADOS A LA RED ................................................................................................... 43
2.1 MODELO MATEMÁTICO DEL CONVERTIDOR BOOST ............................................................................................... 43
Magnitud del rizado ................................................................................................................................... 45
2.2 CONCEPTOS BÁSICOS DE CONTROL EN MODOS DESLIZANTES ................................................................................... 47
2.2.1 Elección de la superficie de conmutación: ....................................................................................... 47
2.2.2 Condición de transversalidad: .......................................................................................................... 48
2.2.3 Condición de alcanzabilidad: .......................................................................................................... 48
2.2.4 Condición de control equivalente: .................................................................................................... 50
2.3 DISEÑO DEL SMC BASADO EN LA MEDICIÓN DE CORRIENTE DEL INDUCTOR APLICADO AL SISTEMA PV CONECTADO A LA RED 51
2.3.1 Condición de Transversalidad .......................................................................................................... 51
2.3.2 Condición de control equivalente ..................................................................................................... 52
2.3.3 Condición de alcanzabilidad ............................................................................................................ 53
2.3.4 Frecuencia de conmutación .............................................................................................................. 54
2.4 DISEÑO DEL SISTEMA DE CONTROL CONVENCIONAL PI .......................................................................................... 56
2.5 CONCLUSIONES ............................................................................................................................................. 59
3 .................................................................................................................................................................. 61
SEGUIMIENTO DEL PUNTO DE POTENCIA MÁXIMA EN SISTEMAS FOTOVOLTAICOS BASADO EN
CONTROLADORES ADAPTATIVOS Y UN CONTROL EN MODOS DESLIZANTES ................................................ 61
3.1 CONTROL POR MODELO DE REFERENCIA ............................................................................................................. 62
3.1.1 SIMULACIÓN DEL SISTEMA DE CONTROL .......................................................................................................... 67
3.1.2 COMPARACIÓN MRAC-SMC Y PI-SMC ........................................................................................................ 69
3.2 DISEÑO DE LA LEY ADAPTATIVA DEL CONTROLADOR AUTO-AJUSTABLE PI ................................................................... 69
3.2.1 SIMULACIÓN DEL SISTEMA DE CONTROL .......................................................................................................... 75
3.2.2 COMPARACIÓN ENTRE EL PI TRADICIONAL-SMC, MRAC-SMC Y EL PI ADAPTATIVO-SMC ....................................... 77
3.3 CONCLUSIONES ............................................................................................................................................. 78
14
4 .................................................................................................................................................................. 81
CONTROLADOR POR MODOS DESLIZANTES PARA EL SEGUIMIENTO DEL PUNTO DE MÁXIMA POTENCIA EN
LOS SISTEMAS FOTOVOLTAICOS CONECTADOS A LA RED ............................................................................ 81
4.1 SUPERFICIE DE DESLIZAMIENTO Y ESTRUCTURA DE CONTROL ................................................................................... 81
4.2 ANÁLISIS DEL CONTROL EN MODOS DESLIZANTES .................................................................................................. 84
4.2.1 Condición de transversalidad ........................................................................................................... 85
4.2.2 Condición de control equivalente ..................................................................................................... 87
4.2.3 Condición de alcanzabilidad ............................................................................................................ 90
4.3 FRECUENCIA DE CONMUTACIÓN ....................................................................................................................... 96
4.4 DINÁMICA DEL SISTEMA EN MODOS DESLIZANTES ................................................................................................. 99
4.5 EVALUACIÓN DEL DESEMPEÑO ....................................................................................................................... 100
4.6 COMPARACIÓN CON DOS ESTRATEGIAS CONVENCIONALES DE SEGUIMIENTO DEL PUNTO DE MÁXIMA POTENCIA .............. 105
4.7 IMPLEMENTACIÓN Y RESULTADOS EXPERIMENTALES ........................................................................................... 107
4.8 CONCLUSIONES ........................................................................................................................................... 110
5 ................................................................................................................................................................ 113
METODOLOGÍA DE IMPLEMENTACIÓN A FRECUENCIA FIJA DE SISTEMAS DE CONTROL EN MODOS
DESLIZANTES PARA APLICACIONES FOTOVOLTAICOS ................................................................................. 113
5.1 METODOLOGÍA DE DISEÑO DE LA SEÑAL DE HISTÉRESIS ADAPTATIVA ...................................................................... 113
5.2 APLICACIÓN A DIFERENTES SMC DE PRIMER ORDEN EN SISTEMAS PV .................................................................... 116
5.2.1 SMC basada en la medición de la corriente del inductor ............................................................... 118
5.2.2 SMC basado en la medición de corriente del capacitor ................................................................. 122
5.3 CONCLUSIONES ........................................................................................................................................... 128
6 ................................................................................................................................................................ 131
CONCLUSIONES .......................................................................................................................................... 131
REFERENCIAS ............................................................................................................................................. 133
15
Lista de Figuras
Figura 1- 1. Instalación típica de un sistema fotovoltaico conectado a la red ..................................... 23
Figura 1- 2. Estructura básica de un sistema fotovoltaico conectado a la red ..................................... 24
Figura 1- 3. Circuito eléctrico equivalente para una celda fotovoltaica .............................................. 25
Figura 1- 4. Modelos lineales para el PV ............................................................................................ 27
Figura 1- 5. Perfil de un módulo BP585 para diferentes cambios en la irradiación solar y temperatura
............................................................................................................................................................. 27
Figura 1- 6. Desempeño del sistema ante diferentes periodos de perturbación ................................. 29
Figura 1- 7. Algoritmo P&O .............................................................................................................. 30
Figura 1- 8. Desempeño del algoritmo P&O sin perturbaciones en la carga ..................................... 31
Figura 1- 9. Desempeño del algoritmo P&O con perturbaciones en la carga .................................... 31
Figura 1- 10. Algoritmo IC ................................................................................................................ 33
Figura 1- 11. Desempeño del algoritmo IC sin perturbaciones en la carga........................................ 33
Figura 1- 12. Desempeño del algoritmo IC simulando ruido en el sensor de corriente el 2% ........... 34
Figura 1- 13. Arquitectura de conexión típica de PVM de doble etapa conectada a la red ................. 34
Figura 1- 14. Sistema fotovoltaico ...................................................................................................... 35
Figura 1- 15. Esquema del sistema basado en un controlador lineal.................................................. 37
Figura 1- 16. Esquema del sistema basado en el control de corriente del inductor............................ 38
Figura 1- 17. Esquema del sistema basado en el control de corriente del capacitor .......................... 39
Figura 1- 18. Esquema del sistema PV incluyendo el filtro de referencia ......................................... 40
Figura 2- 1. Modelo del sistema con MOSFET en conducción (𝒖 = 𝟏) ............................................ 44
Figura 2- 2. Modelo del sistema con el MOSFET en estado de no conducción (𝑢 = 0) .................... 44
Figura 2- 3. Magnitud del rizado de la corriente del inductor ........................................................... 45
Figura 2- 4. Magnitud de rizado del voltaje PV .................................................................................. 46
Figura 2- 5. Condición de transversalidad y alcanzabilidad................................................................ 48
Figura 2- 6. Condición de transversalidad y alcanzabilidad con banda de histéresis fija ................... 49
Figura 2- 7. Esquema del sistema de control basado en la medición de corriente del inductor ......... 51
Figura 2- 8. Implementación práctica del SMC. ................................................................................ 53
Figura 2- 9. Respuesta del SMC.......................................................................................................... 53
Figura 2- 10. Modelo de pequeña señal .............................................................................................. 55
Figura 2- 11. Respuesta de 𝑹𝑴𝑷𝑷 para diferentes condiciones climáticas ...................................... 56
Figura 2- 12. Diseño del control de voltaje ........................................................................................ 57
Figura 2- 13. PI–SMC implementado en PSIM ................................................................................. 58
Figura 2- 14. Respuesta del sistema para un control PI en cascada con un SMC ............................... 59
Figura 3- 1. Arquitectura del sistema MRAC-SMC ........................................................................... 63
Figura 3- 2. Estructura general del control MRAC ............................................................................ 63
Figura 3- 3. Diagrama de bloques del controlador MRAC ................................................................ 66
Figura 3- 4. SMC-MRAC implementado en PSIM ............................................................................ 68
16
Figura 3- 5. Respuesta del sistema ...................................................................................................... 68
Figura 3- 6. Comparación MRAC-SMC y PI-SMC ........................................................................... 69
Figura 3- 7. Arquitectura del sistema del controlador PI auto-ajustable ............................................. 70
Figura 3- 8. Diagrama de bloques del sistema del PI adaptativo ........................................................ 71
Figura 3- 9. Valores de 𝑲𝒕𝒔 dependiendo de la tolerancia ................................................................ 74
Figura 3- 10. Diagrama de flujo de la ley adaptativa ......................................................................... 75
Figura 3- 11. PI adaptativo-SMC implementado en PSIM ................................................................ 76
Figura 3- 12. Respuesta del sistema ante perturbaciones atmosféricas y en la carga ......................... 77
Figura 3- 13. Parámetros de control ................................................................................................... 77
Figura 3- 14. Comparación de la respuesta dinámica del sistema ...................................................... 78
Figura 4- 1. Curvas de potencia del módulo PV ................................................................................ 82
Figura 4- 2. Diagrama de bloques SMC-PV ....................................................................................... 83
Figura 4- 3. Simulación de la condición de transversalidad ................................................................ 87
Figura 4- 4. Comportamiento dinámico del sistema fotovoltaico ....................................................... 92
Figura 4- 5. Comportamiento periódico de la condición de alcanzabilidad ....................................... 96
Figura 4- 6. Comportamiento de la histéresis del SMC ...................................................................... 96
Figura 4- 7. Principio para el cálculo de la frecuencia de conmutación ............................................. 98
Figura 4- 8. Tiempo de establecimiento estimado ............................................................................ 100
Figura 4- 9. Esquema de simulación e implementación el SMC ...................................................... 102
Figura 4- 10. Respuesta del sistema ante perturbaciones en la radiación solar ................................. 103
Figura 4- 11. Respuesta del sistema ante perturbaciones tanto en la carga como en la radiación solar
........................................................................................................................................................... 103
Figura 4- 12. Esquema circuital detallado de la instalación fotovoltaica conectada a la red ........... 104
Figura 4- 13. Comportamiento del SMC interactuando con el inversor conectado a la red ............. 104
Figura 4- 14. Estructura de una arquitectura MPPT convencional ................................................... 105
Figura 4- 15. Comparación entre el SMC y soluciones basadas en el P&O considerando un 𝐶𝑏 =
200 𝑢𝐹 .............................................................................................................................................. 107
Figura 4- 16. Comparación entre el SMC y soluciones basadas en el P&O considerando un 𝐶𝑏 =
14 𝑢𝐹................................................................................................................................................. 107
Figura 4- 17. Esquema experimental ................................................................................................. 108
Figura 4- 18. Configuración del laboratorio ...................................................................................... 109
Figura 4- 19. Ciclo de trabajo para un cambio en S de 250 W/m2 a 500 W/m2 ................................ 109
Figura 4- 20. Resultado experimental para un cambio en la irradiación solar de 250 W/m2 a 500
W/m2 ................................................................................................................................................. 110
Figura 5- 1. Operación del SMC con banda de histéresis adaptable ................................................. 114
Figura 5- 2. Implementación práctica del SMC con transversalidad positiva con banda de histéresis
adaptable ........................................................................................................................................... 116
Figura 5- 3. Implementación práctica del SMC con transversalidad negativa con banda de histéresis
adaptable ........................................................................................................................................... 116
17
Figura 5- 4. Diagrama esquemático .................................................................................................. 117
Figura 5- 5. Configuración del laboratorio ........................................................................................ 118
Figura 5- 6. Diagrama de bloques del SMC basado en la corriente del inductor a frecuencia constante
........................................................................................................................................................... 119
Figura 5- 7. Respuesta del SMC basado en la medición de corriente del inductor con implementación
a frecuencia constante ....................................................................................................................... 120
Figura 5- 8. Comparación del SMC basado en la medición de la corriente del inductor con frecuencia
constante (FF) y con Frecuencia variable (FV) ................................................................................. 120
Figura 5- 9. Resultado experimental del SMC basado en la medición de la corriente del inductor con
implementación a Frecuencia Constante ........................................................................................... 121
Figura 5- 10. Resultado experimental del SMC basado en la medición de la corriente del inductor
con implementación clásica a Frecuencia Variable. ......................................................................... 122
Figura 5- 11. Esquema del sistema basado en la medición de corriente del capacitor ..................... 123
Figura 5- 12. Diagrama de bloques del SMC basado en la medición de la corriente del capacitor con
frecuencia constante. ......................................................................................................................... 125
Figura 5- 13. Respuesta del SMC basado en la medición de corriente del capacitor con
implementación a frecuencia constante ............................................................................................. 126
Figura 5- 14. Comparación del SMC basado en la medición de la corriente del capacitor con
Frecuencia constante (FF) y con Frecuencia Variable (FV) ............................................................. 126
Figura 5- 15. Resultado experimental del SMC basado en la medición de la corriente del capacitor
con implementación a frecuencia constante ...................................................................................... 127
Figura 5- 16. Resultado experimental del SMC basado en la medición de la corriente del capacitor
con implementación clásica a frecuencia variable. ........................................................................... 128
18
19
Lista de Tablas
Tabla 1. Acrónimos ............................................................................................................................ 21
Tabla 2. Símbolos ............................................................................................................................... 21
Tabla 3. Error presentado a diferentes cambios de radiación solar ..................................................... 89
20
21
Tabla de símbolos y acrónimos
Tabla 1. Acrónimos
Acrónimo Definición
AIE Agencia Internacional de Energía
IC Algoritmo MPPT de conductancia incremental
MPP Punto de máxima potencia
MPPT Seguimiento del punto de máxima potencia
MRAC Control Adaptativo por modelo de referencia
PI Control Proporcional-integral
PID Controla Proporcional-integral-Derivativo
PV Fotovoltaico
PVM Modulo fotovoltaico
P&O Algoritmo MPPT perturbar y observar
SMC Control en modos deslizantes
STC Condiciones estándares
Tabla 2. Símbolos
Símbolos Definición Unidades o valor
𝐵 Corriente de saturación del diodo PV 𝐴
𝐶𝑏 Capacitor de enlace 𝐹
𝐶𝑖𝑛 Capacitor del convertidor boost 𝐹
𝑑 Ciclo de trabajo [−]
𝑓𝑠𝑤 Frecuencia de conmutación 𝐻𝑧
ℎ Histéresis [−]
𝑘 Constante de Boltzmann 1.38 ∗ 10−23 𝐽/𝐾
𝑘𝑝 Ganancia proporcional [−]
𝑘𝑖 Ganancia integral [−] 𝑖𝐶𝑖𝑛 Corriente en 𝐶𝑖𝑛 𝐴
𝑖𝑑 Corriente en el diodo PV 𝐴
𝑖𝐿 Corriente en el MPP 𝐴
𝑖𝑀𝑃𝑃 Corriente en el PVM 𝐴
𝑖𝑝𝑣 Corriente en el PVM 𝐴
𝑖𝑠𝑐 Corriente generada por la radiación solar 𝐴
𝑖𝑠𝑎𝑡 Corriente de saturación del diodo PV 𝐴
𝑖𝑟𝑒𝑓 Corriente de referencia 𝐴
𝐿 Bobina del convertidor boost 𝐹
22
𝑛 Factor de juntura ideal del diodo 𝑛/𝑎
𝑝𝑀𝑃𝑃 Potencia en el MPP 𝑊
𝑝𝑝𝑣 Potencia en el PVM 𝑊
𝑞 Carga en el electrón 1.6 ∗ 10−19 𝐶
𝑅𝑀𝑃𝑃 Resistencia en el MPP Ω
𝑅𝑃𝑉 Resistencia del PVM Ω
𝑆 Irradiación 𝑊/𝑚2
𝑆𝑆𝑇𝐶 Irradiación en STC 1000 𝑊/𝑚2
𝑇𝑎 Periodo de perturbación del P&O 𝑠 𝑇𝑝𝑣 Temperatura del PVM ℃
𝑡𝑠 Tiempo de establecimiento 𝑠
𝑢 Señal de control [−]
𝑢𝑒𝑞 Señal de control equivalente [−]
𝑣𝑏 Voltaje en la carga 𝑉
𝑣𝑀𝑃𝑃 Voltaje en el MPP 𝑉
𝑣𝑝𝑣 Voltaje en el PVM 𝑉
𝑣𝑟𝑒𝑓 Voltaje de referencia 𝑉
𝑤𝑛 Frecuencia natural de amortiguamiento 𝐻𝑧
𝛼𝑖 Coeficiente térmico de corriente (%/℃)
𝜖 Tolerancia de estabilización %
𝜉 Coeficiente de amortiguamiento 𝑠−1
23
1
Introducción
La Agencia Internacional de Energía (AIE) afirma que la sociedad moderna depende en un
80% del petróleo [1] y que, a medida que los países se industrializan y sus poblaciones
aumentan, también crece el consumo de energía, convirtiéndose así en una problemática
mundial, ya que estos recursos se están agotando. Por lo tanto, la energía renovable se
convierte en una opción a dicha problemática mundial.
Las energías renovables son una fuente natural, las cuales se pueden reponer. Algunas de
ellas provienen del sol, del viento, entre otras [1]. Esta tesis doctoral se enfoca en la generación
de energía eléctrica con base en la radicación solar, específicamente mediante el uso de
paneles fotovoltaicos, siendo estos importantes para el futuro de nuestro planeta debido a su
bajo impacto ambiental, la disponibilidad de energía en el lugar de consumo y la sostenibilidad
[2], [3].
Los sistemas fotovoltaicos conectados a la red están comúnmente compuestos por: módulos
fotovoltaicos, un convertidor de potencia dc/dc y un inversor [4], tal como se ilustra en la
Figura 1- 1. Los módulos fotovoltaicos son comúnmente conocidos por sus siglas en inglés
como PVM (Photovoltaic Module), con los cuales se forman cadenas y arreglos mediante
conexiones en serie y paralelo; el número de módulos depende de las condiciones de potencia,
voltaje y corriente requeridas por la aplicación.
Figura 1- 1. Instalación típica de un sistema fotovoltaico conectado a la red
24
En la Figura 1- 2 se ilustra la estructura clásica de un sistema fotovoltaico conectado a la red,
donde el generador fotovoltaico (PV), interactúa con un convertidor dc/dc regulado por un
controlador especial, denominado algoritmo de seguimiento del punto de máxima potencia,
comúnmente conocido por su sigla en inglés como MPPT (Maximum Power Point Tracking)
[5], [6]. Tal estructura permite modificar las condiciones de operación del arreglo PV de
acuerdo con las condiciones ambientales (cambios principalmente en la radiación solar y la
temperatura) de manera que se logre la máxima producción de potencia [3],[7]. La Figura 1-
2 también ilustra la conexión a la red, la cual se encuentra formada por un capacitor de enlace
𝐶𝑏 y un convertidor dc/ac (inversor). El inversor es controlado para imponer un factor de
potencia requerido (típicamente igual a la unidad), proporcionando sincronización y
protección al sistema. Sin embargo, el inversor debe regular el voltaje entre las etapas dc y
ac, donde se pueden presentar dos posibles casos: primero, el inversor regula apropiadamente
la componente dc del voltaje del capacitor de enlace 𝐶𝑏, pero debido a la inyección de
potencia ac, el capacitor 𝐶𝑏 experimenta una perturbación sinusoidal de voltaje al doble de la
frecuencia de la red, la cual tiene una magnitud inversamente proporcional a la capacitancia
[6]. En el segundo caso, la componente dc del voltaje de 𝐶𝑏 no es correctamente regulada,
produciendo múltiples componentes armónicos con amplitud inversamente proporcional a la
capacitancia [6]. En ambos casos, la salida del conversor dc/dc está expuesto a perturbaciones
de voltaje que pueden ser transferidas a las terminales del generador PV, degradando así el
proceso de seguimiento del punto de máxima potencia, tal como se reportan en [6]. Por lo
tanto, es importante implementar estrategias de control que mitiguen el efecto producido por
las oscilaciones de voltaje en el capacitor 𝐶𝑏.
Figura 1- 2. Estructura básica de un sistema fotovoltaico conectado a la red
25
1.1 Modelo del módulo fotovoltaico para propósitos de control
En la literatura han sido reportados diferentes modelos matemáticos, los cuales consisten en
ecuaciones no lineales debido a las variables físicas que involucran la operación del módulo
fotovoltaico. De esta manera, en el trabajo presentado en [8], se modela el PVM por medio de
un modelo circuital de un solo diodo [9], el cual se ilustra en la Figura 1- 3. Este modelo es
una de las aproximaciones más utilizadas, ya que representa en forma precisa el módulo
monocristalino [9].
Figura 1- 3. Circuito eléctrico equivalente para una celda fotovoltaica
Para la formulación del modelo se aplica las leyes de Kirchhof, con lo que se obtiene (1-1),
donde 𝑖𝑠𝑐 es la corriente generada por la radiación solar y la temperatura del panel como se
describe en (1-2). El subíndice 𝑠𝑡𝑐 se refiere a las condiciones estándares de medición [10], 𝑆
es la radiación solar, 𝑇𝑝𝑣 es la temperatura del módulo fotovoltaico y 𝛼𝑖 es el coeficiente
térmico de corriente [10].
𝑖𝑝𝑣 = 𝑖𝑠𝑐 − 𝑖𝑑 − 𝑖ℎ (1-1)
𝑖𝑠𝑐 = 𝑖𝑠𝑐,𝑠𝑡𝑐 (𝑆
𝑆𝑠𝑡𝑐) + 𝛼𝑖(𝑇𝑝𝑣 − 𝑇𝑠𝑡𝑐)
(1-2)
En (1-1) 𝑖𝑑 es la corriente en el diodo, la cual se calcula aplicando el modelo Shockley, como
se describe en (1-3) [11].
𝑖𝑑 = 𝑖𝑠𝑎𝑡 (𝑒𝑞(𝑣𝑝𝑣+𝑖𝑝𝑣.𝑅𝑠)
𝑛.𝑘.𝑇 − 1) (1-3)
26
En esta expresión (1-3) 𝑖𝑠𝑎𝑡 es la corriente de saturación, 𝑞 la carga del electrón, 𝑇 es la
temperatura absoluta de la unión del diodo, 𝑘 es la constante de Boltzmann, 𝑛 es el factor de
idealidad de la juntura de un diodo P-N y 𝑣𝑝𝑣 es el voltaje del módulo fotovoltaico. En la
Figura 1- 3, 𝑅𝑠 𝑦 𝑅ℎ modelan las pérdidas en el módulo, e 𝑖ℎ es la corriente que circula por la
resistencia 𝑅ℎ, descrita en (1-4).
𝑖ℎ =𝑣𝑝𝑣 + 𝑖𝑝𝑣. 𝑅𝑠
𝑅ℎ
(1-4)
Reemplazando (1-2), (1-3) y (1-4) en (1-1) se obtiene el modelo de un módulo fotovoltaico
expresado en (1-5).
𝑖𝑝𝑣 = 𝑖𝑠𝑐,𝑠𝑡𝑐 (𝑆
𝑆𝑠𝑡𝑐) + 𝛼𝑖(𝑇𝑝𝑣 − 𝑇𝑠𝑡𝑐) − 𝑖𝑠𝑎𝑡 (𝑒
𝑞(𝑣𝑝𝑣+𝑖𝑝𝑣.𝑅𝑠)
𝑛𝑘𝑇 − 1) −𝑣𝑝𝑣 + 𝑖𝑝𝑣. 𝑅𝑠
𝑅ℎ
(1-5)
La ecuación (1-5) se puede simplificar a la ecuación (1-6) considerando que 𝑆 = 𝑆𝑠𝑡𝑐, 𝑇𝑝𝑣 =
𝑇𝑠𝑡𝑐 y despreciando las resistencias serie y paralelo del arreglo PV, es decir 𝑅𝑠 = 0 y 𝑅ℎ =
∞, donde 𝐵 = 𝑖𝑠𝑎𝑡 y 𝐴 =𝑞
𝑛𝑘𝑇, los cuales dependen del panel, la irradiación y la temperatura.
𝑖𝑝𝑣 = 𝑖𝑠𝑐 − 𝐵(𝑒𝐴.𝑣𝑝𝑣 − 1) (1-6)
La solución del modelo implícito (1-5) requiere un proceso matemático basado en la función
LambertW, tal como se describe en [12]. La ecuación (1-5) se utiliza para simular o evaluar
el potencial de generación energético [13], pero introduce una gran complejidad en el análisis
y diseño de sistemas de control. Por otra parte, ya que el objetivo principal de los sistemas
fotovoltaicos es extraer la máxima potencia disponible, el módulo fotovoltaico debe operar en
su punto de máxima potencia, denominado MPP por su sigla en inglés (Maximum Power
Point). Por lo tanto, en la literatura se encuentran tres aproximaciones simples de modelado
para representar el PVM cerca del MPP: resistencia diferencial [14], equivalente Norton [7] y
equivalente Thevenin [4], los cuales se presentan en la Figura 1- 4. En [4] se demostró que el
modelo lineal por equivalente Norton es el más recomendado para aplicaciones de control, ya
que con este modelo es posible incluir en el diseño del sistema de control los efectos de los
cambios ambientales, como se observa en (1-2).
27
Figura 1- 4. Modelos lineales para el PV
1.2 Algoritmo de búsqueda del punto de máxima potencia
Todos los sistemas fotovoltaicos presentan dos grandes problemas: el primero corresponde a
la baja eficiencia de generación de energía eléctrica, sobre todo bajo poca radiación solar; el
segundo problema corresponde a que la cantidad de la energía eléctrica generada por los
paneles solares cambia con las condiciones climáticas (radiación solar y temperatura),
generando un comportamiento eléctrico fuertemente no lineal del PVM [12].
La Figura 1- 5 presenta el perfil eléctrico de un módulo BP585 [4], en el que se observa como
el MPP varía con la radiación solar. Por lo tanto, el MPP no se puede predecir fuera de línea,
este debe ser calculado en línea [3], [9], por medio de un algoritmo de seguimiento del punto
de máxima potencia diseñado para maximizar la potencia extraída del PVM.
Figura 1- 5. Perfil de un módulo BP585 para diferentes cambios en la irradiación solar y
temperatura
En la literatura se reportan diferentes tipos de soluciones para realizar el MPPT, los cuales
difieren en complejidad, numero de sensores, requerimiento de hardware, velocidad de
convergencia, relación costo-beneficio, entre otros [15], [16]. Dos de las técnicas más
utilizadas son: Perturbar y Observar (P&O - Perturb & Observe) y Conductancia Incremental
(IC – Incremental Conductance); la razón de su popularidad es su simpleza de implementación
28
y su relativo buen desempeño [3],[17]. Otras de las soluciones usadas para el seguimiento del
MPP son las técnicas basadas en las cantidades fraccionales del voltaje de circuito abierto y
de la corriente de corto circuito (Fractional Open Circuit – Voltage, Fractional Short-Circuit
Current). Estas soluciones tienen bajo costo y simpleza de implementación, ya que solo
requieren de un sensor, de voltaje o corriente [18], pero su eficiencia es baja en comparación
con las técnicas P&O e IC [19]. Por otra parte, las técnicas basadas en métodos de inteligencia
computacional, como redes neuronales y lógica difusa, representan otra opción que ofrece
velocidad y eficiencia en el seguimiento del punto de máxima potencia ante variaciones en la
radiación solar [20],[21], sin embargo su complejidad y costo de implementación son altos en
comparación con los algoritmos P&O e IC. A continuación, se describe el funcionamiento de
los algoritmos P&O e IC.
1.2.1 Algoritmo Perturbar y Observar (P&O)
Este método se basa en modificar (perturbar) el voltaje a la entrada del convertidor de potencia
asociado al módulo, y observar la variación de la potencia generada. Por lo tanto, si hay un
incremento en la potencia, la perturbación debe continuarse realizando en el mismo sentido
para alcanzar el MPP. Si hay una disminución en la potencia, la perturbación debe realizarse
en sentido contrario [14], [6], [22]. En este algoritmo existen dos parámetros a optimizar: el
periodo de perturbación (𝑇𝑎) y la magnitud de la perturbación a través de variaciones en el
ciclo de trabajo (∆𝑑), donde, la selección de un paso incorrectamente alto de voltaje puede
generar pérdidas en estado estacionario, pero un paso bajo de voltaje incorrecto puede generar
pérdidas en estado transitorio, lo que en ambos casos conlleva a una menor eficiencia de
generación. A su vez, un periodo de perturbación incorrectamente largo genera mayores
pérdidas de potencia debido a la baja velocidad de respuesta del sistema. En contraste si el
tiempo de perturbación 𝑇𝑎 es menor que el tiempo de establecimiento del voltaje del panel
𝑡𝑠, se genera inestabilidad en el sistema. En la Figura 1- 6 se analiza el comportamiento del
sistema para diferentes tiempos de perturbación, donde el tiempo de estabilización del sistema
es de 0,55 ms. En la Figura 1- 6 se observa que un tiempo de perturbación menor al tiempo
de estabilización genera inestabilidad en el sistema, pero mientras mayor sea el 𝑇𝑎 con
respecto a 0,55 ms, se generan más perdidas de energía. En este ejemplo 𝑇𝑎 = 1 𝑚𝑠 para
proveer un compromiso aceptable entre velocidad y estabilidad.
29
Figura 1- 6. Desempeño del sistema ante diferentes periodos de perturbación
El diagrama de flujo del algoritmo P&O se presenta en la Figura 1- 7, donde: primero se
mide el voltaje (𝑣𝑝𝑣) y la corriente (𝑖𝑝𝑣) en el módulo fotovoltaico, con esta medición se
calcula la potencia en el instante actual 𝑝𝑝𝑣(𝑘), la cual se compara con la potencia en el estado
anterior 𝑝𝑝𝑣(𝑘 − 1). Si 𝑝𝑝𝑣(𝑘) > 𝑝𝑝𝑣(𝑘 − 1) se concluye que el punto de operación se está
aproximando al MPP, con lo cual la perturbación siguiente se producirá en la misma dirección
de la anterior (mismo signo algebraico). Si, por el contrario, 𝑝𝑝𝑣(𝑘) < 𝑝𝑝𝑣(𝑘 − 1), se
concluye que el sistema se está alejando del MPP y consecuentemente la perturbación se
realizará en el sentido contrario (signo algebraico opuesto) [14]. Este procedimiento se realiza
cada 𝑇𝑎 segundos.
30
Figura 1- 7. Algoritmo P&O
En las Figuras 1-8 y 1-9 se presenta el comportamiento del P&O aplicado a un convertidor
tipo boost sin y con perturbación en el voltaje de la carga 𝑣𝑏 , respectivamente. Se observa que,
ante perturbaciones en la carga, el algoritmo presenta oscilaciones permanentes alrededor del
valor óptimo lo que reduce la producción de potencia, (como se observa en la Figura 1- 9),
estas perturbaciones se realizan a los 10 s de simulación). Esto se debe a que el ciclo de trabajo
permanece constante durante 𝑇𝑎 segundos, con lo cual las perturbaciones en 𝑣𝑏 se transmiten
al voltaje del módulo 𝑣𝑝𝑣. Esto se demuestra mediante la expresión (1-7), la cual describe el
ciclo de trabajo del convertidor en relación con el voltaje de entrada y salida del convertidor.
Por lo tanto, los sistemas PV conectados a la red requieren controladores para mitigar dichas
perturbaciones.
𝑣𝑏 =1
1 − 𝑑𝑣𝑝𝑣 , 𝑣𝑏 = ∆𝑣𝑏 . sin (𝑤 . 𝑡)
31
𝑣𝑝𝑣 = (1 − 𝑑). ∆𝑣𝑏 . sin (𝑤. 𝑡) (1-7)
Figura 1- 8. Desempeño del algoritmo P&O sin perturbaciones en la carga
Figura 1- 9. Desempeño del algoritmo P&O con perturbaciones en la carga
1.2.2 Método de la Conductancia Incremental (IC)
En este algoritmo el MPP se obtiene mediante la comparación de la conductancia instantánea
(𝑖𝑝𝑣
𝑣𝑝𝑣) con la conductancia incremental (
∆𝑖𝑝𝑣
∆𝑣𝑝𝑣). El algoritmo emplea decrementos o incrementos
de la señal de voltaje y corriente para realizar el seguimiento del MPP [23], [5], [24]. Esta
técnica se fundamenta en que, en el MPP, la variación de la potencia con respecto al voltaje
es nula. En este caso, el cociente entre los valores instantáneos de corriente y voltaje tiene un
32
valor opuesto al cociente entre los incrementos de corriente y voltaje como se expresa en (1-
8).
𝑑𝑝𝑝𝑣
𝑑𝑣𝑝𝑣=𝑑(𝑖𝑝𝑣. 𝑣𝑝𝑣)
𝑑 𝑣𝑝𝑣= 𝑖𝑝𝑣 + 𝑣𝑝𝑣
𝑑 𝑖𝑝𝑣
𝑑𝑣𝑝𝑣 ≈ 𝑖𝑝𝑣 + 𝑣𝑝𝑣
∆𝑖𝑝𝑣
∆𝑣𝑝𝑣= 0
⇒𝑖𝑝𝑣
𝑣𝑝𝑣= −
∆𝑖𝑝𝑣
∆𝑣𝑝𝑣
(1-8)
La Figura 1- 10 presenta el diagrama de flujo del algoritmo IC, aplicado a un convertidor
tipo boost, donde la diferencia de voltaje y corriente se obtienen de forma discreta como
𝑑𝑖𝑝𝑣 = 𝑖𝑝𝑣(𝑘) − 𝑖𝑝𝑣(𝑘 − 1) y 𝑑𝑣𝑝𝑣 = 𝑣𝑝𝑣(𝑘) − 𝑣𝑝𝑣(𝑘 − 1), operando de la siguiente forma:
si 𝑑𝑖𝑝𝑣 = 0 y 𝑑𝑣𝑝𝑣 = 0, el sistema está operando en el MPP por lo tanto no se debe realizarse
ninguna acción de control [23]. Pero, si 𝑑𝑖𝑝𝑣 > 0 y 𝑑𝑣𝑝𝑣 = 0, implica que se ha producido
un aumento en la radiación solar creciendo así el voltaje del MPP, por lo tanto se debe
aumentar 𝑣𝑝𝑣 o disminuir el ciclo de trabajo 𝑑 para seguir al MPP. Por el contrario, si 𝑑𝑖𝑝𝑣 <
0 la radiación solar ha decrecido, disminuyendo el voltaje del MPP, entonces el MPPT debe
decrementar 𝑣𝑝𝑣 o incrementar 𝑑 [23]. Si los cambios en la corriente y voltaje no son nulos,
se deben usar la relación expresada en (1-9) [23].
La principal ventaja del algoritmo IC, sobre el P&O, radica en que el algoritmo IC puede
calcular en cada momento la dirección en la que se debe modificar el punto de trabajo del
generador fotovoltaico para aproximarlo al MPP, determinando además, cuándo se ha
alcanzado. Es por esto que, bajo cambios atmosféricos rápidos, no tomará una dirección
errónea, asimismo, una vez alcanzado el MPP no oscilará significativamente alrededor de este,
tal y como se ilustra en la Figura 1- 11.
El inconveniente de este algoritmo es su alta sensibilidad a ruidos en los sensores, ya que
∆𝑖𝑝𝑣
∆𝑣𝑝𝑣≈
𝑑𝑖𝑝𝑣
𝑑𝑣𝑝𝑣, y la derivada es muy sensible al ruido, lo que afecta el seguimiento del punto de
máxima potencia. La Figura 1- 12 ilustra como el voltaje del panel se aleja del valor óptimo
debido a un ruido en los sensores de corriente y voltaje de solo un 2%, donde 𝑣𝑏, es el voltaje
en la carga.
33
Figura 1- 10. Algoritmo IC
Figura 1- 11. Desempeño del algoritmo IC sin perturbaciones en la carga
34
Figura 1- 12. Desempeño del algoritmo IC simulando ruido en el sensor de corriente el 2%
1.3 Convertidor de potencia dc/dc para sistemas PV conectados a la red
Los sistemas fotovoltaicos requieren de un convertidor de potencia para interconectar el PVM
y la carga. Asimismo, el convertidor de potencia permite al controlador MPPT conducir el
punto de operación del PVM al MPP. Este convertidor puede ser regulado mediante una
acción directa del MPPT, como se muestra en la Figura 1- 13 - caso (a), o por medio de una
acción indirecta del mismo a través de un controlador adicional como se describe en la Figura
1- 13- caso (b).
Figura 1- 13. Arquitectura de conexión típica de PVM de doble etapa conectada a la red
35
Los convertidores dc/dc más utilizados en aplicaciones fotovoltaicas son las topologías boost,
buck y buck-boost, sin embargo, existe gran variedad de topologías reportadas en la literatura,
usadas según la aplicación. i.e. en un sistema reductor se usa el convertidor buck, cuya
principal aplicación fotovoltaica son los cargadores de baterías [25]. En aplicaciones en que
el voltaje de la carga puede variar dependiendo de la configuración de los módulos se usan
convertidores buck-boost [26]. Para aplicaciones fotovoltaicas con conexión a la red, el
convertidor elevador o boost es el más usado, como se confirma en las referencias [6], [7],
[9], [14], [22], [27].
El modelo eléctrico de sistemas PV basados en convertidores boost se ilustra en la Figura 1-
14, la cual presenta un modelo simplificado del PVM (Modelo Norton), el convertidor y una
fuente de voltaje 𝑣𝑏 que modela la carga del sistema. Este modelo de carga es ampliamente
utilizado para representar los inversores en lazo cerrado, conectados a la red, debido a su
relación satisfactoria entre precisión y sencillez, lo que se confirma en las referencias [4], [6],
[7], [9],[14], [22], [27],[28], [29], [30], [31],[32]. En el capítulo 2 se analizará en detalle el
modelo del convertidor boost.
Figura 1- 14. Sistema fotovoltaico
1.4 Revisión de sistemas de control aplicados a los sistemas fotovoltaicos conectados a
las redes reportadas en la literatura
El mayor problema del uso de algoritmos MPPT tradicionales, actuando directamente en el
ciclo de trabajo del convertidor, concierne a las grandes perturbaciones ocasionadas por los
cambios en la radiación solar en el punto de operación, las cuales generan un seguimiento
lento del MPP. Esta condición también se presenta cuando el sistema es puesto en marcha, ya
36
que el algoritmo MPPT toma una gran cantidad de tiempo en alcanzar el MPP [6]. Para
mitigar dichas perturbaciones y acelerar el seguimiento del MPPT, generalmente se utiliza
una estructura de control de dos etapas, las cuales involucran habitualmente un algoritmo
MPPT en cascada con un controlador de voltaje (e.g. basado en controles lineales o no
lineales) como se ilustró en la Figura 1- 13 - caso (b). Esa estructura permite modificar las
condiciones de operación del PVM de acuerdo con las condiciones ambientales
(principalmente cambios en la radiación solar y la temperatura) de manera que se alcance la
máxima producción de potencia [3],[7]. La Figura 1- 13 - caso (b) también ilustra la conexión
a la red del sistema PV, la cual consiste en un capacitor de enlace 𝐶𝑏 y un convertidor dc/ac
(inversor). Por otra parte, también se necesita una estructura de este tipo para incrementar la
fiabilidad de los sistemas PV de doble etapa conectados a la red: la oscilación sinusoidal en el
enlace dc causado por la operación del inversor se debe mitigar, de lo contrario el
funcionamiento del algoritmo MPPT puede ser ineficiente como se reporta en [6]. Dicha
mitigación se realiza, tradicionalmente, utilizando capacitores de gran tamaño para Cb, sin
embargo, el uso de estos capacitores electrolíticos introduce problemas de fiabilidad debido a
su alta tasa de fallo [33]. Entonces, la arquitectura presentad en la Figura 1- 13 - caso (b)
permite mitigar las oscilaciones de voltaje ocasionadas por el uso de condensadores no
electrolíticos, mejorando así la fiabilidad del sistema [6], [33], [34].
Múltiples soluciones han sido reportadas en la literatura para mitigar las oscilaciones
producidas por el inversor [14],[35]. Usualmente, la primera alternativa es el diseño de
controladores lineales (PI o PID) que garanticen un seguimiento adecuado al voltaje de
referencia 𝑣𝑟𝑒𝑓, generado por el algoritmo MPPT, tal y como se describe en Figura 1- 15.
37
Figura 1- 15. Esquema del sistema basado en un controlador lineal
Cuando el regulador de voltaje se implementa usando técnicas de control lineal, se requiere
linealizar el modelo del sistema alrededor de un punto de operación, el cual usualmente es el
MPP para alguna condición de radiación solar [6]. Sin embargo, debido a la naturaleza no
lineal de módulo PV y del convertidor de potencia dc/dc, el rendimiento (e incluso la
estabilidad) del control lineal se limita a la zona alrededor del MPP [15]. Esta limitación pone
en riesgo el desempeño y seguridad del sistema, ya que los cambios en el punto de operación
debido a perturbaciones ambientales son impredecibles e inevitables.
Otros tipos de control propuestos en la literatura están basados en leyes adaptativas [36],[37],
[38]; sistemas difusos [39],[20],[40] y teoría de control en modos deslizantes [41], [42]. En
particular, los sistemas en modos deslizantes ofrecen robustez y estabilidad en todo el rango
de operación, sin afectarse sensiblemente por las perturbaciones inherentes al sistema, tales
como los cambios atmosféricos y perturbaciones en la carga. Además, los controles en modos
deslizantes (SMC) son más sencillos de implementar y diseñar en comparación con otras
técnicas de control no lineal [41].
Algunas soluciones basadas en SMC propuestas para garantizar el seguimiento del MPP ante
perturbaciones en el sistema se encuentra [42], donde se presenta la implementación de un
SMC, para regular la corriente del inductor de un convertidor boost asociado a un módulo PV,
permitiendo así garantizar la estabilidad global en todo el rango de operación. La solución
propuesta en ese trabajo considera tres controles en cascada, tal como se ilustra en la Figura
38
1- 16: el SMC que genera la activación de la señal para el MOSFET, un controlador PI
diseñado para proporcionar la señal de referencia al SMC dependiendo de la señal generada
por el algoritmo P&O, el cual a su vez está encargado de optimizar la potencia en el PVM.
Sin embargo, el diseño del controlador PI requiere un modelo linealizado del sistema
alrededor del MPP, por lo tanto, no se puede garantizar el mismo funcionamiento en todo el
rango de operación. De hecho, un mal diseño del controlador PI puede generar inestabilidad
en el algoritmo P&O debido a los cambios producidos en el tiempo de establecimiento y un
mal diseño de los parámetros del algoritmo P&O puede generar un mal diseño de los
parámetros del controlador PI, por lo tanto, tanto el controlador PI como el algoritmo P&O
presentan una dependencia circular entre sus parámetros.
Figura 1- 16. Esquema del sistema basado en el control de corriente del inductor
De forma similar, el trabajo reportado en [22] regula la corriente del capacitor del convertidor
boost utilizando un SMC. El esquema implementado se reporta en la Figura 1- 17. Esa
solución presenta una ventaja con respecto al trabajo reportado en [42]: la solución reportada
en [22] no requiere de un modelo linealizado, ya que la función de transferencia entre la
corriente del capacitor y el voltaje es lineal y no depende de las condiciones atmosféricas tales
como temperatura y radiación solar. Por lo tanto, esa solución garantiza el rendimiento
deseado en todo el rango de operación. Sin embargo, al igual que en el trabajo anterior, los
tres controladores son diseñados por separado, dificultando el diseño de sus parámetros: un
periodo de perturbación mal diseñado en el algoritmo P&O podría llevar al sistema a la
inestabilidad, además, en esta solución también se genera una dependencia circular entre los
parámetros del controlador PI y del algoritmo P&O, dado que, un mal diseño del controlador
39
PI puede generar inestabilidad en el algoritmo P&O debido a los cambios producidos en el
tiempo de establecimiento y un mal diseño de los parámetros del algoritmo P&O puede
generar un mal diseño de los parámetros del controlador PI, por lo tanto, tanto el controlador
PI como el algoritmo P&O presentan una dependencia circular entre sus parámetros.
Figura 1- 17. Esquema del sistema basado en el control de corriente del capacitor
Buscando mejorar el desempeño del sistema PV, en [43] se presenta un SMC basado en los
requisitos de las técnicas de MPPT, el cual forza al voltaje del PV a seguir la señal de
referencia (𝑣𝑟𝑒𝑓) impuesto por el algoritmo P&O. La superficie de conmutación es la
combinación lineal entre la corriente del condensador de entrada y el error del voltaje del PV
como se presenta en la Figura 1- 18. El diseño propuesto en [43] exhibe ventajas con respecto
a la solución reportada en [22], pero, también se presenta una dependencia circular entre los
parámetros del controlador y del algoritmo MPPT, debido a la dependencia existente entre el
diseño de los parámetros del algoritmo P&O y del controlador.
40
Figura 1- 18. Esquema del sistema PV incluyendo el filtro de referencia
Para evitar la dependencia circular entre el controlador y el algoritmo MPPT, se requiere un
único controlador encargado de ambas operaciones. Este problema se trata en los trabajos
desarrollados en [44],[45],[46], [47] mediante el uso de la técnica de control en modos
deslizantes. Sin embargo, esos trabajos se basan en dos consideraciones difíciles de aplicar a
los sistemas fotovoltaicos conectados a la red: primero, no se considera un capacitor que
enlace el arreglo fotovoltaico y el convertidor dc/dc; segundo, la impedancia de la carga se
considera constante.
En cuanto a la primera consideración, el sistema PV comúnmente considera un capacitor entre
la fuente PV y el convertidor dc/dc para estabilizar el voltaje del PV lo que, a su vez, estabiliza
la potencia producida. De lo contrario, el rizado de la corriente a la entrada del convertidor
dc/dc producirá oscilaciones no deseadas que degradan el seguimiento del punto de máxima
potencia [47]. Hay que señalar que este condensador define el comportamiento dinámico del
voltaje y potencia del sistema PV, por lo tanto, debe ser considerado en el diseño del
controlador.
La segunda consideración, i.e. impedancia de la carga constante, no es aplicable a sistemas
conectados a la red como se demuestra en [48]. Esto se debe a que los inversores de sistemas
en cascada se controlan para proporcionar un valor medio de voltaje en 𝐶𝑏 . Por lo tanto, la
mejor representación para la carga del convertidor dc/dc es una fuente de voltaje y no una
impedancia constante.
41
Otro diseño de controlador para sistemas PV usando control en modos deslizantes se presenta
en [49], en el cual se considera un convertidor tipo buck. A pesar de que este trabajo considera
el condensador entre la fuente fotovoltaica y la etapa de potencia, no es aplicable a sistemas
fotovoltaicos conectados a la red, puesto que el convertidor dc/dc proporciona un voltaje de
salida inferior a la proporcionada por la fuente fotovoltaica [48],[50]. Por otra parte, estos
trabajos asumen constante la impedancia de la carga, y no analizan la frecuencia de
conmutación, el cual es un parámetro importante al momento de implementar la solución.
Un problema importante asociado a la implementación tradicional del SMC, basada en los
comparadores con histéresis, es la variabilidad de la frecuencia de conmutación, la cual afecta
directamente el rendimiento del sistema [42], [51],[52]. Asimismo, esta condición dificulta
el diseño de filtros y el cálculo de los elementos del convertidor dc/dc. Además, la variación
en la frecuencia de conmutación puede generar oscilaciones no deseada con frecuencia y
amplitud finita [53],[54],[55].
Teniendo en cuenta los trabajos y consideraciones anteriores, esta tesis doctoral presenta
técnicas de control orientadas a mejorar la producción de energía generada en los sistemas
fotovoltaicos. El capítulo 2 presenta un modelado matemático tanto del convertidor boost, así
como de los conceptos básicos de los controladores en modos deslizantes. En capítulo 3 se
presenta el diseño de un control en modos deslizantes basado en la medición de la corriente
del inductor en cascada con un regulador de voltaje y un algoritmo P&O, inicialmente el
diseño del regulador de voltaje se realiza con técnicas convencionales para proveer un marco
de referencia. Con el objetivo de mejorar el desempeño del sistema se interviene el regulador
de voltaje con un controlador por modelo de referencia, el cual asegura una dinámica constante
para todo el rango de operación. Posteriormente, el regulador de voltaje se implementó con
un controlador PI auto-ajustable, el cual garantiza una respuesta rápida del sistema PV,
mediante la reducción del tiempo de perturbación del algoritmo P&O. Con estas soluciones
se logra acelerar el seguimiento del punto de máxima potencia y al mismo tiempo garantizar
la estabilidad del sistema, incrementando de esta manera la cantidad de energía producida por
el sistema PV. Para eliminar el problema de diseño de controladores por separado, i.e.
imposibilidad de garantizar el desempeño óptimo del conjunto de los controladores, en el
capítulo 4, se propone y analiza matemáticamente un controlador en modo deslizante con un
42
seguimiento hacia el punto de máxima potencia rápido y preciso, formado por una única etapa
de control. Este enfoque evita la dependencia circular en el diseño clásico de controladores en
cascada, usados para optimizar el funcionamiento del sistema fotovoltaico, al mismo tiempo
reduce el número de controladores y evita el uso de modelos linealizados, proporcionando así
estabilidad global en todo el rango de operación. Tal solución compacta también reduce la
complejidad y coste en la implementación del sistema.
Finalmente, en el último capítulo se propone una metodología de implementación a frecuencia
constante aplicada a los controladores en modos deslizantes cuya superficie sea de primer
orden, el cual es el caso de los controladores propuestos en el capítulo 3. Este desarrollo se
realizó dado que los controladores en modos deslizantes tradicionales, basados en los
comparadores de histéresis, generan frecuencias variables, las cuales afectan directamente el
rendimiento del sistema, dificultan el diseño de filtros y el cálculo de los elementos del
convertidor dc/dc.
43
2
Control en modos deslizantes basado en la medición de
corriente del inductor aplicado a los sistemas PV
conectados a la red
En este capítulo se presentan los conceptos básicos para el análisis y modelado del convertidor
dc/dc tipo boost y del SMC. Estos fundamentos matemáticos son la base del desarrollo de esta
tesis doctoral. Como se analizó en el capítulo 1, el convertidor boost es el más usado para
aplicaciones fotovoltaicas con conexión a la red, como se confirma en las referencias [6], [7],
[9], [14], [22], [27]. Por otro parte, el controlador en modos deslizantes ofrece robustez y
estabilidad al sistema PV, sin afectarse sensiblemente ante las perturbaciones inherentes al
sistema, tales como cambios atmosféricos y perturbaciones en la carga. Además, los SMC son
más sencillos de implementar y diseñar en comparación con otras técnicas de control no lineal
[41].
Finalmente, se presenta un ejemplo de un SMC basado en la medición de corriente del
inductor del convertidor boost, asociado al módulo PV, operando en cascada con un
controlador convencional y un algoritmo P&O, la cual fue propuesta en [42]. Este diseño es
el punto de partida para los controladores de voltaje propuestos en el capítulo 3, los cuales
tiene como objetivo incrementar la potencia generada por el módulo PV. Asimismo, este
ejemplo provee un marco de comparación para los diseños propuestos en esta tesis.
2.1 Modelo matemático del convertidor boost
Para encontrar el modelo matemático del convertidor tipo boost, ilustrado en la Figura 1- 14
se aplican las leyes de Kirchoff. Inicialmente se considera el MOSFET en estado de
conducción (𝑢 = 1), obteniendo el modelo que se ilustra en Figura 2- 1 y las ecuaciones dadas
en (2-1), luego, el MOSFET se considera en estado de no conducción (𝑢 = 0), obteniendo el
modelo de la Figura 2- 2 y las ecuaciones dadas en (2-2).
44
Figura 2- 1. Modelo del sistema con MOSFET en conducción (𝒖 = 𝟏)
𝑣𝐿 = 𝑣𝑝𝑣
𝑖𝐶𝑖𝑛 = 𝐶𝑖𝑛𝑑𝑣𝑝𝑣
𝑑𝑡= 𝑖𝑝𝑣 − 𝑖𝐿
(2-1)
Figura 2- 2. Modelo del sistema con el MOSFET en estado de no conducción (𝑢 = 0)
𝑣𝐿 = 𝑣𝑝𝑣 − 𝑣𝑏
𝑖𝐶𝑖𝑛 = 𝐶𝑖𝑛𝑑𝑣𝑝𝑣
𝑑𝑡= 𝑖𝑝𝑣 − 𝑖𝐿
(2-2)
Al combinar las ecuaciones (2-1) y (2-2) se obtiene el modelo dinámico del convertidor dc/dc,
el cual se reporta en las ecuaciones (2-3) y (2-4), donde 𝑖𝐿 representa la corriente del
inductor, 𝑣𝑝𝑣 es el voltaje del PV, 𝑖𝑝𝑣 representa la corriente del módulo PV, 𝑣𝑏 es el voltaje
en la carga, 𝐿 y 𝐶𝑖𝑛 representan los valores del capacitor e inductor respectivamente y 𝑢
representa la señal binaria que controla el MOSFET. Este modelo se utilizará en el diseño de
los controladores propuestos en la tesis doctoral.
𝑑𝑖𝐿𝑑𝑡
=𝑣𝑝𝑣 − 𝑣𝑏(1 − 𝑢)
𝐿 (2-3)
45
𝑑𝑣𝑝𝑣
𝑑𝑡=𝑖𝑝𝑣 − 𝑖𝐿
𝐶𝑖𝑛 (2-4)
Magnitud del rizado
El rizado se define como la amplitud de la forma de onda alrededor del valor en estado
estacionario de una variable de estado. Tales magnitudes de rizado se calculan a partir de las
ecuaciones diferenciales del sistema, i.e. ecuaciones (2-3) y (2-4) donde 𝑑 representa el ciclo
de trabajo impuesto al sistema.
A partir de la ecuación (2-3) se calcula el rizado de la corriente del inductor (∆𝑖𝐿): con 𝑢 = 1
se obtiene (2-5) y con 𝑢 = 0 se obtiene (2-6). El comportamiento del rizado en la corriente
del inductor se ilustra en la Figura 2- 3, donde (2-5) y (2-6) producen el mismo resultado para
∆𝑖𝐿.
|𝑑. 𝑇𝑠.𝑑𝑖𝐿𝑑𝑡| = 𝑑. 𝑇𝑠
𝑣𝑝𝑣
𝐿= ∆𝑖𝐿 para 𝑢 = 1, 𝑑 = 1 −
𝑣𝑝𝑣
𝑣𝑏
(2-5)
|𝑑′. 𝑇𝑠.𝑑𝑖𝐿𝑑𝑡| = 𝑑′. 𝑇𝑠
𝑣𝑝𝑣 − 𝑣𝑏
𝐿= ∆𝑖𝐿 para 𝑢 = 0, 𝑑′ =
𝑣𝑝𝑣
𝑣𝑏
(2-6)
Figura 2- 3. Magnitud del rizado de la corriente del inductor
46
Cuando la corriente del capacitor 𝑖𝐶𝑖𝑛es positiva, la carga se almacena en el capacitor y el
voltaje del capacitor 𝑣𝑝𝑣 crece. Por lo tanto, en el intervalo de tiempo en el cual 𝑖𝐶𝑖𝑛 es positiva
el voltaje del capacitor cambia entre sus extremos mínimo y máximo. Como la forma de onda
es simétrica, la carga total del voltaje pico a pico de salida es 2. ∆𝑣𝑝𝑣, obteniendo (2-7):
𝑞 = 𝐶𝑖𝑛(2. ∆𝑣𝑝𝑣) (2-7)
Como se observa en la Figura 2- 4, el área del triángulo superior es la carga total q depositada
en el capacitor:
𝑞 =1
2∆𝑖𝐿 .
𝑇𝑠2
(2-8)
La magnitud de rizado del voltaje ∆𝑣𝑝𝑣 se obtiene igualando (2-7) con (2-8):
∆𝑣𝑝𝑣 =∆𝑖𝐿. 𝑇𝑠8. 𝐶𝑖𝑛
(2-9)
Figura 2- 4. Magnitud de rizado del voltaje PV
47
2.2 Conceptos básicos de control en modos deslizantes
Los sistemas de control de estructura variable son un tipo de sistema de control no lineal,
donde la estructura del controlador varía de tal forma que un punto representativo del sistema
sigue una trayectoria definida en el espacio de estados. Los sistemas de control en modos
deslizantes, conocidos por sus siglas en inglés como SMC (Sliding Mode Controllers), son un
tipo especial de sistemas de estructura variable, en los cuales el estado de las dinámicas del
sistema es atraído hacia una superficie en el espacio de estado, conocida como superficie de
deslizamiento [56]. Cuando se satisfacen ciertas condiciones, el estado se “desliza” sobre esta
superficie, permaneciendo insensible a variaciones en los parámetros de la planta y a las
perturbaciones externas, lo que constituye la característica fundamental para su aplicación en
los sistemas de control. Por lo tanto, el objetivo principal consiste en llevar las trayectorias
del sistema a la superficie de deslizamiento (Ψ = 0) y forzarlas a evolucionar en ellas. Así, el
comportamiento dinámico del sistema en estas condiciones queda determinado por las
ecuaciones que definen la superficie en el espacio de estados [56]. Luego, mediante la
conmutación del sistema a frecuencias muy elevadas, idealmente infinitas, se forza a las
trayectorias del sistema a evolucionar sobre la superficie. Cuando la frecuencia de
conmutación no es infinita, como sucede en cualquier implementación práctica, o en el caso
de que existan dinámicas no modeladas, las conmutaciones generan oscilaciones de amplitud
finita en las trayectorias sobre la superficie de deslizamiento. A ese este fenómeno se lo
denomina efecto de “chattering” (término del inglés que significa oscilación o parloteo) y
constituye el principal defecto de los modos deslizantes, ya que, la presencia del chattering
puede excitar las dinámicas no modeladas, introducir perdidas por calor en circuitos de
potencia y reducir la exactitud del controlador [57],[58].
2.2.1 Elección de la superficie de conmutación:
El primer paso al diseñar un SMC es elegir la función de conmutación (Ψ), tal que Ψ = 0
defina la superficie de deslizamiento en el espacio de estado.
Existen diferentes alternativas para determinar la función de conmutación, y en general se
puede elegir cualquier función del estado 𝑓(𝑥), tal que el error en estado estable se haga cero.
Considerando la superficie (2-10):
48
Ψ = 𝑓(𝑥) − 𝑘 = 0 (2-10)
donde 𝑓(𝑥) representa las variables del sistema y 𝑘 es una función objetivo, tal que en estado
estable 𝑓(𝑥) llegue a ser igual a 𝑘. Una vez definida la superficie de conmutación se debe
asegurar que el sistema sea estable. Para asegurar la estabilidad del SMC, tal como se
demostró en [59], se deben cumplir tres condiciones: transversalidad, alcanzabilidad y control
equivalente. A continuación, se describe estas condiciones.
2.2.2 Condición de transversalidad: Evalúa la habilidad del SMC de modificar la trayectoria
del sistema. En la práctica, se evalúa la presencia de la señal de control 𝑢 en la derivada de la
función de conmutación 𝑑Ψ
𝑑𝑡 [60]. Esta condición se formaliza con la siguiente expresión:
𝑑
𝑑𝑢(𝑑Ψ
𝑑𝑡) ≠ 0
(2-11)
2.2.3 Condición de alcanzabilidad: Evalúa la capacidad del SMC de llevar el sistema hacia
la superficie de deslizamiento [60]. En la práctica, esta condición de alcanzabilidad depende
del signo de la transversalidad, como se ilustra en la Figura 2- 5.
Figura 2- 5. Condición de transversalidad y alcanzabilidad
Si la transversalidad es positiva, 𝑢 = 1 impone a la función de conmutación una derivada
positiva. Por lo tanto, la condición de alcanzabilidad está dada por:
49
lim Ψ→0−
dΨ
dt|𝑢=1
> 0
limΨ→0+
dΨ
dt|𝑢=0
< 0
(2-12)
Si la transversalidad es negativa, 𝑢 = 0 impone a la función de conmutación una derivada
positiva. Por lo tanto, la condición de alcanzabilidad está dada por:
lim Ψ→0−
dΨ
dt|𝑢=0
> 0
limΨ→0+
dΨ
dt|𝑢=1
< 0
(2-13)
Además, en la práctica no es posible implementar el SMC con frecuencia infinita, por lo tanto
la superficie se limita dentro de una banda, conocida como banda de histéresis (h), tal y como
se ilustra en la Figura 2- 6.
Figura 2- 6. Condición de transversalidad y alcanzabilidad con banda de histéresis fija
La condición de control para una transversalidad positiva, ó negativa, está dada por las
ecuaciones (2-14) y (2-15), respectivamente.
50
{
Ψ > ℎ
2|𝑢=0
→ Mosfet OFF
Ψ < − ℎ
2|𝑢=1
→ Mosfet ON}
(2-14)
{
Ψ > ℎ
2|𝑢=1
→ Mosfet ON
Ψ < − ℎ
2|𝑢=0
→ Mosfet OFF }
(2-15)
2.2.4 Condición de control equivalente: evalúa la ley de control que restringe la trayectoria
de estado a la superficie Ψ = 0. Esta condición se analiza en términos del valor análogo
equivalente (𝑢𝑒𝑞) de la señal de control discontinua 𝑢. La condición de control equivalente
𝑢𝑒𝑞 debe ser impuesta dentro del rango de operación de la variable de control 𝑢. Para el
convertidor dc/dc, el rango debe estar entre 0 y 1.
0 < 𝑢𝑒𝑞 < 1 (2-16)
La condición de control equivalente es analizada dentro de la superficie:
Ψ = 0 Λ 𝑑Ψ
𝑑𝑡= 0
(2-17)
Si se cumple la condición de control equivalente, se garantiza que no se satura el ciclo de
trabajo cumpliéndose así la condición de alcanzabilidad, la cual implica que la acción de
control alcance el punto de operación deseado. Por lo tanto, la condición de control
equivalente y alcanzabilidad son equivalentes como demostró Sira-Ramírez en [59].
Estas condiciones, aseguran la existencia del modo deslizante, el cual también impone las
condiciones definidas en (2-17) [52]. Esas expresiones proporcionan información sobre la
superficie y su derivada.
En la siguiente subsección se presenta un ejemplo de un SMC aplicado al sistema PV
conectado a la red basado en la medición de corriente del inductor. Este controlador será
utilizado como referencia de comparación para los controladores de voltaje propuestos en el
capítulo 3, los cuales tienes como objetivo incrementar la potencia generado por el PV.
51
2.3 Diseño del SMC basado en la medición de corriente del inductor aplicado al sistema
PV conectado a la red
La función de conmutación Ψ𝑖𝐿 y la superficie de control Φ𝑖𝐿 se basan en la medición de la
corriente del inductor del convertidor tipo boost, tal y como se ilustra en la Figura 2- 7. La
función de conmutación, compuesta por la corriente del inductor 𝑖𝐿 y la corriente de referencia
𝑖𝑟𝑒𝑓 , se reporta en (2-18).
Ψ𝑖𝐿 = 𝑖𝐿 − 𝑖𝑟𝑒𝑓 ∧ Φ𝑖𝐿 = {Ψ𝑖𝐿 = 0} (2-18)
Figura 2- 7. Esquema del sistema de control basado en la medición de corriente del inductor
La derivada de la función de conmutación se presenta en (2-19).
𝑑Ψ𝑖𝐿𝑑𝑡
=𝑑𝑖𝐿𝑑𝑡
−𝑑𝑖𝑟𝑒𝑓
𝑑𝑡
(2-19)
La ecuación (2-19) se utiliza para analizar las condiciones de transversalidad, alcanzabilidad
y control equivalente.
2.3.1 Condición de Transversalidad
Para analizar la condición de transversalidad se reemplaza (2-3) en (2-19), y considerando
condiciones en estado estable (𝑖𝑟𝑒𝑓 constante → 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑓
𝑑𝑡= 0), se obtiene:
52
𝑑Ψ𝑖𝐿𝑑𝑡
=1
𝐿(𝑣𝑝𝑣 − 𝑣𝑏(1 − 𝑢))
(2-20)
Derivando (2-20) con respecto a 𝑢 se obtiene (2-21), demostrando así el cumplimiento de la
condición de transversalidad, ya que tanto 𝑣𝑏 y 𝐿 son valores positivos, i.e. diferentes de cero.
𝑑
𝑑𝑢(𝑑Ψ𝑖𝐿𝑑𝑡
) =𝑣𝑏𝐿≠ 0
(2-21)
2.3.2 Condición de control equivalente
El siguiente paso es analizar la condición de control equivalente, el cual debe ser impuesto
dentro del rango de operación de la variable de control. Para el convertidor dc/dc, el rango
debe estar entre 0 y 1 ( 0 < 𝑢𝑒𝑞 < 1). Este análisis se presenta en (2-22):
𝑑Ψ𝑖𝐿𝑑𝑡
= 0 → 0 < 𝑢𝑒𝑞 < 1 (2-22)
Con 𝑑Ψ𝑖𝐿
𝑑𝑡=
𝑑𝑖𝐿
𝑑𝑡−𝑑𝑖𝑟𝑒𝑓
𝑑𝑡 y sustituyendo 𝑢 por 𝑢𝑒𝑞 en (2-20), es decir en la condición de
existencia del modo deslizante, y reemplazando en (2-22) se obtiene la desigualdad presentada
en (2-23):
0 < 𝑢𝑒𝑞 =𝑣𝑏 − 𝑣𝑝𝑣
𝑣𝑏+𝐿
𝑣𝑏
𝑑𝑖𝑟𝑒𝑓
𝑑𝑡< 1
(2-23)
Despejando de (2-23) la derivada de la corriente de referencia se obtiene:
−𝑣𝑏 − 𝑣𝑝𝑣
𝐿<𝑑𝑖𝑟𝑒𝑓
𝑑𝑡<𝑣𝑝𝑣
𝐿
(2-24)
donde −𝑣𝑏−𝑣𝑝𝑣
𝐿 corresponde a la pendiente de la corriente del inductor cuando el MOSFET
está en OFF, y 𝑣𝑝𝑣
𝐿 corresponde a la pendiente de la corriente del inductor cuando el MOSFET
está en ON. Por lo tanto, si la pendiente de la corriente de referencia se encuentra limitada a
la pendiente de la corriente del inductor se garantiza la existencia del modo de deslizamiento
en todo el rango de operación [42].
53
2.3.3 Condición de alcanzabilidad
Para comprobar la condición de alcanzabilidad, y teniendo en cuenta que la transversalidad es
positiva, se obtiene (2-25). Debido a las limitaciones físicas del convertidor boost (𝑣𝑝𝑣 > 0 y
𝑣𝑏 > 𝑣𝑝𝑣), la expresión (2-25) demuestra el cumplimento de la condición de alcanzabilidad
en cualquier punto de operación.
lim Ψ𝑖𝐿
→0−
dΨ𝑖𝐿dt
|𝑢=1
=𝑣𝑝𝑣
L >
ℎ
2
lim Ψ𝑖𝐿
→0+
dΨ𝑖𝐿dt
|𝑢=0
=𝑣𝑝𝑣 − 𝑣𝑏
L < −
ℎ
2
(2-25)
La Figura 2- 8 ilustra la implementación de la ley de conmutación (2-25), y la Figura 2- 9
presenta el comportamiento del SMC para un cambio en la referencia (𝑖𝑟𝑒𝑓) de 5A a 7A,
donde se comprueba el correcto funcionamiento del SMC.
Figura 2- 8. Implementación práctica del SMC.
Figura 2- 9. Respuesta del SMC
54
2.3.4 Frecuencia de conmutación
La frecuencia de conmutación debe ser calculada con el fin de proporcionar directrices
prácticas para la implementación del SMC. La frecuencia de conmutación se calcula a partir
de las ecuaciones diferenciales del convertidor dc/dc y las magnitudes de las señales de rizado,
tal y como se reporta en [34].
Teniendo en cuenta que el rizado de la corriente del inductor es impuesto por el valor de la
histéresis (ℎ), se tiene que ∆𝑖𝐿 = ℎ. A partir de (2-5) se despeja 𝑓𝑠𝑤.
𝑓𝑠𝑤 =𝑣𝑝𝑣
𝐿. ℎ. 𝑑, 𝑑 = 1 −
𝑣𝑝𝑣
𝑣𝑏
(2-26)
A partir de la expresión (2-26), es evidente que la frecuencia de conmutación depende del
valor de la inductancia, de las características del módulo PV y del punto de operación del
sistema. Por lo tanto, si 𝐿 cambia debido al envejecimiento o por otros efectos, tales como la
saturación del inductor, la frecuencia de conmutación también puede cambiar. Sin embargo,
en (2-21) y (2-24) se hace evidente que el sistema es robusto ante cambios en 𝐿, no importa
el valor de 𝐿 la igualdad siempre se cumple. En conclusión, la tolerancia en los parámetros
del convertidor debido al envejecimiento o saturación del inductor no comprometen la
estabilidad del sistema.
2.3.5 Dinámica equivalente en lazo cerrado
Como se demostró en el capítulo 1, con el fin de simplificar el sistema, el modelo del panel
se puede aproximar a un modelo Norton, siendo este el más recomendado en la literatura para
aplicaciones de control, ya que con este modelo es posible incluir en el diseño del sistema de
control los efectos de los cambios ambientales. Debido a la regulación de corriente impuesta
por el SMC, es posible aproximar el convertidor dc/dc, en lazo cerrado, a un generador de
corriente tal y como se describe en la Figura 2- 10.
55
Figura 2- 10. Modelo de pequeña señal
El comportamiento dinámico del voltaje del PV con respecto a la corriente de referencia del
SMC se presenta en (2-27). Esta función de transferencia depende de la impedancia 𝑅𝑀𝑃𝑃 =
𝑣𝑝𝑣 (𝑖𝑠𝑐 − 𝑖𝑝𝑣)⁄ , la cual varía con las condiciones de radiación solar y/o temperatura como se
demuestra en la Figura 2- 11.
𝐺𝑣𝑖 =𝑣𝑝𝑣(𝑠)
𝑖𝑟𝑒𝑓(𝑠)= −
𝑅𝑀𝑃𝑃𝐶𝑖𝑛. 𝑅𝑀𝑃𝑃 𝑠 + 1
(2-27)
A partir de la ecuación (2-27) se concluye: 1) Para el diseño del sistema de control es necesario
linealizar en un punto de operación, para ello, se debe seleccionar el caso más critico. 2) El
sistema es siempre estable, ya que el polo equivalente esta ubicado en 𝒔 = −𝟏
𝑪𝒊𝒏.𝑹𝑴𝑷𝑷 , siendo
siempre negativo dado que 𝑪𝒊𝒏 y 𝑹𝑴𝑷𝑷 son valores positivos. 3) dado que la función de
transferencia tiene una ganancia negativa, la acción del controlador deberá de ser de acción
inversa, de manera que un incremento en el voltaje del panel se genera debido a una
disminución en la corriente de referencia.
56
Figura 2- 11. Respuesta de 𝑹𝑴𝑷𝑷 para diferentes condiciones climáticas
2.4 Diseño del sistema de control Convencional PI
En esta subsección se diseña y analiza el controlador de voltaje, el cual se utiliza para evitar
el colapso sobre del sistema debido a caídas en el irradiación, como se reporta en [42]. Para
el diseño del controlador de voltaje PI, se linealiza el sistema para un punto de operación, es
decir el caso más restrictivo (𝑅𝑀𝑃𝑃 = 10 Ω que corresponde a la irradiación más baja de
100 𝑊/𝑚2). El diseño se realiza teniendo en cuenta las siguientes condiciones: Un módulo
fotovoltaico BP585 con parámetros 𝐵 = 0,894 𝑢𝐴 y 𝐴 = 0,703 𝑉−1, un convertidor dc/dc
con 𝐿 = 270𝑢𝐻, 𝐶𝑖𝑛 = 110𝑢𝐹 y 𝑣𝑏 = 20 𝑉 a una frecuencia de conmutación de 100kHz.
Reemplazando estos valores en (2-27) se obtiene el modelo numérico del sistema:
𝐺𝑝(𝑠) = −10
0.0011𝑠 + 1
(2-28)
El controlador PI se diseña utilizando el criterio del lugar geométrico de las raíces como se
presenta en la Figura 2- 12, donde se adopta un diseño clásico para el sistema fotovoltaico
[42], [4]. Los parámetros de diseño del controlador son: un tiempo de establecimiento de
2,3 ms y un coeficiente de amortiguamiento de 0,707, obteniendo así el controlador reportado
en la ecuación (2-29). El controlador 𝐺𝑐𝑐(𝑠) debe tener ganancia negativa para compensar el
signo negativo de 𝐺𝑝(𝑠).
57
𝐺𝑐𝑐(𝑠) = −0,019917(𝑠 + 3083)
𝑠
(2-29)
Figura 2- 12. Diseño del control de voltaje
El controlador diseñado en (2-29) se valida utilizando PSIM, usando el sistema ilustrado en
la Figura 2- 13, en el cual se logró un tiempo de estabilización igual a 2,32 ms y un sobrepaso
igual al 2,5%. Con el objetivo de asegurar la estabilidad, se configuró el algoritmo P&O con
un tiempo de perturbación Ta igual a 2,5ms.
58
Figura 2- 13. PI–SMC implementado en PSIM
La Figura 2- 14, ilustra el comportamiento del sistema, donde se puede observar que, para el
rango de tiempo de 0 s a 0,03 s, el sistema responde acorde a los parámetros de diseño, pero,
cuando el sistema se somete a perturbaciones (cambio en la irradiación solar), modificando
así el punto de operación, se presentan sobrepasos indeseables que se reflejan en pérdidas
adicionales de potencia. Esto se debe a que el controlador se diseñó con un modelo linealizado
alrededor del punto de operación (𝑠 = 100𝑤
𝑚2 , 𝑇 = 25℃).
100k
SMC
ILIpv
Vpv
isc
Modelo PV
Convertidor boost
Vpv
IpvVref
MPPT
PI
S
R
Q
Q
IL SMC
Iref
h/2
- h/2
SMC
Vpv
Vref
IrefKp
Ki
P&O
59
Figura 2- 14. Respuesta del sistema para un control PI en cascada con un SMC
2.5 Conclusiones
Los sistemas fotovoltaicos son comúnmente controlados utilizando estructuras PI o PID, las
cuales no pueden asegurar estabilidad global, así como un tiempo de establecimiento
constante. Por ello, en este capítulo se presentó el análisis de un sistema en cascada SMC-PI,
donde el SMC permite mitigar las perturbaciones del sistema y garantiza la estabilidad global,
mientras que el controlador PI define la referencia del SMC. Para no afectar la estabilidad del
sistema, el diseño del control PI se debe realizar para el caso más crítico, lo cual produce una
búsqueda lenta del punto de máxima potencia (MPP) para gran parte del rango de operación,
dando como resultado perdidas de potencia adicional. Por lo tanto, con el objetivo de superar
este inconveniente, en el siguiente capítulo se interviene el control de voltaje por medio de
dos técnicas de control adaptativo, en los cuales se busca incrementar la potencia generada
por el sistema PV, asegurando la estabilidad y el rechazo de perturbaciones.
60
61
3
Seguimiento del punto de potencia máxima en sistemas
fotovoltaicos basado en controladores adaptativos y un control en
modos deslizantes
Como se analizó en el capítulo anterior, el diseño de un controlador en cascada PI-SMC
introduce al sistema perdidas dinámicas de potencia ya que, para asegurar la estabilidad del
sistema, el controlador PI debe ser diseñado para la condición más crítica (tiempo de
establecimiento más largo en el rango de operación), lo que produce una búsqueda lenta del
MPP para gran parte del rango de operación.
Por lo tanto, con el objetivo de mejorar el desempeño del sistema presentado en el capítulo
anterior, este capítulo propone diseñar el controlador de voltaje con dos tipos diferentes de
estrategias adaptativas: en el primer caso se implementa un controlador por modelo de
referencia (MRAC), con el cual se asegura una dinámica constante para todo el rango de
operación, garantizando así un tiempo de establecimiento constante y por tanto su diseño no
se realiza en el peor de los casos, lo que incrementa la energía producida por el sistema PV y
garantiza estabilidad del P&O. Esta solución se publicó en la revista Facultad de ing.
Universidad de Antioquia, indexada en A1 por publindex y Q4 por Scopus, bajo el título
“Maximum power point tracking in PV systems based on adaptive control and sliding mode
control” [61] . En el segundo caso se propone un controlador PI auto-ajustable, donde, los
parámetros del controlador PI se ajustan para reducir el tiempo de estabilización, ajustando
además el tiempo de perturbación del P&O, para garantizar así una respuesta rápida del
sistema PV. Esta solución se publicó en la revista Ingeniería e investigación, indexada A1
por publindex y Q3 por scopus, bajo el título “Auto-tuning of PV controllers to improve the
speed response and stability of the P&O algorithm” [62]. Con estas soluciones se logra
acelerar el seguimiento del punto de máxima potencia y, al mismo tiempo, garantizar la
estabilidad del sistema, incrementando así la cantidad de energía producida por el sistema PV.
62
3.1 Control por modelo de referencia
La Figura 3- 1 ilustra la arquitectura propuesta para el controlador MRAC-SMC, donde el
controlador de voltaje se diseña con un control por modelo de referencia. La estrategia de
control MRAC se basa en la selección del modelo de referencia que satisfaga las condiciones
de operación necesarias para el sistema. Entonces, el mecanismo de control se desarrolla para
forzar al sistema a seguir el modelo de referencia seleccionado [63]. La Figura 3- 2 presenta
la estructura general del control MRAC, el cual está compuesto por tres partes fundamentales:
el modelo de referencia, el cual define el comportamiento dinámico impuesto al sistema; el
controlador primario, el cual actúa directamente sobre el sistema para seguir el modelo de
referencia; y la ley de adaptación, la cual se ocupa de modificar los parámetros del controlador.
La ley adaptativa se puede diseñar utilizando tres métodos diferentes. El primero es el método
de la sensibilidad, el cual está basado en el uso de modelos de sensibilidad para adaptar los
parámetros del controlador. Con este método, si no se elige de forma adecuada el modelo de
referencia o si la ganancia de adaptación se escoge excesivamente grande, el sistema se podría
volver inestable y por tanto no garantiza la estabilidad del sistema de control. La segunda
técnica es el método de hiperestabilidad [63], la cual permite obtener una ley de adaptación
estable y se basa en el criterio de Popov [63]. Por último, se tiene el método de Lyapunov, en
el cual se establece que un sistema tiene un equilibrio 𝑥 = 0 asintóticamente estable [63],[61].
Este último método se adopta para desarrollar la solución propuesta en esta subsección debido
a su generalidad.
63
Figura 3- 1. Arquitectura del sistema MRAC-SMC
Figura 3- 2. Estructura general del control MRAC
Inicialmente, para el diseño del sistema de control MRAC es necesario especificar el modelo
de referencia, el cual define la respuesta dinámica del sistema. En este caso, y dado que el
modelo dinámico del sistema impuesto por el SMC es de primer orden como se reporta en (2-
27), se forzará al sistema en lazo cerrado para que se comporte como un sistema de primer
orden, donde el modelo de referencia 𝐺𝑀(𝑠) está dado por (3-1).
𝐺𝑀(𝑠) =𝐺𝑟𝑒𝑓
𝑣𝑟𝑒𝑓=
𝑎
𝑠 + 𝑎
(3-1)
64
El segundo paso es calcular la señal de error entre la señal de referencia (𝐺𝑟𝑒𝑓) y el voltaje del
PV:
𝑒 = 𝐺𝑟𝑒𝑓 − 𝑣𝑝𝑣 (3-2)
Del modelo de pequeña señal encontrado en el capítulo anterior (2-27), representando en el
dominio del tiempo, se obtiene (3-3).
𝑑𝑣𝑝𝑣
𝑑𝑡= −
1
𝑅𝑀𝑃𝑃 . 𝐶𝑖𝑛𝑣𝑝𝑣 −
1
𝐶𝑖𝑛𝑖𝑟𝑒𝑓
(3-3)
Para simplificar el diseño matemático se realiza un cambio de variables dado por: 𝐴 =
1
𝑅𝑀𝑃𝑃.𝐶𝑖𝑛 y 𝐵 = −
1
𝐶𝑖𝑛, obteniendo la expresión simplificada reportada en (3-4).
𝑑𝑣𝑝𝑣
𝑑𝑡= −𝐴. 𝑣𝑝𝑣 + 𝐵. 𝑖𝑟𝑒𝑓
(3-4)
Reescribiendo (3-1) en el dominio del tiempo se obtiene (3-5).
𝑑𝐺𝑟𝑒𝑓
𝑑𝑡= −𝑎. 𝐺𝑟𝑒𝑓 + 𝑎. 𝑣𝑟𝑒𝑓
(3-5)
Para que el error en estado estable de la tensión fotovoltaica del panel sea cero, se debe
cumplir que el voltaje en el panel presente el mismo comportamiento dinámico que el voltaje
de referencia i.e. 𝑑𝑣𝑝𝑣
𝑑𝑡=
𝑑𝐺𝑟𝑒𝑓
𝑑𝑡. Por lo tanto, igualando las ecuaciones (3-4) y (3-5) se obtiene
la expresión reportada en (3-6).
−𝐴. 𝑣𝑝𝑣 + 𝐵. 𝑖𝑟𝑒𝑓 = −𝑎. 𝐺𝑟𝑒𝑓 + 𝑎. 𝑣𝑟𝑒𝑓 (3-6)
Despejando 𝑖𝑟𝑒𝑓 de (3-6) se obtiene (3-7):
𝑖𝑟𝑒𝑓 =𝑎
𝐵 𝑣𝑟𝑒𝑓 −
𝑎 − 𝐴
𝐵𝑣𝑝𝑣
(3-7)
65
Con el objetivo de simplificar el análisis matemático, se introducen dos nuevas constantes:
𝑋 =𝑎
𝐵 y 𝑌 =
𝑎−𝐴
𝐵. Reemplazando estas constantes en (3-7) se obtiene la ley de control
presentada en (3-8):
𝑖𝑟𝑒𝑓 = 𝑋. 𝑣𝑟𝑒𝑓 − 𝑌. 𝑣𝑝𝑣 (3-8)
Los valores apropiados de X y Y, que se adapten al sistema de control, se calculan para
garantizar que, tanto el error como la velocidad de cambio de este, sean cero:
𝑒 = 𝐺𝑟𝑒𝑓 − 𝑣𝑝𝑣 = 0
𝑑𝑒
𝑑𝑡=𝑑𝐺𝑟𝑒𝑓
𝑑𝑡−𝑑𝑣𝑝𝑣
𝑑𝑡= 0
(3-9)
Remplazando (3-3) y (3-5) en (3-9), y simplificando, se obtiene la expresión (3-10).
𝑑𝑒
𝑑𝑡= −𝑎. 𝑒 + (𝐵. 𝑌 + 𝐴 − 𝑎)𝑣𝑝𝑣 + (𝑎 − 𝐵. 𝑋)𝑣𝑟𝑒𝑓
(3-10)
Luego, se diseña un sistema que lleve los parámetros 𝑋 y 𝑌 a los valores deseados; para
este propósito se define la función de Lyapunov (3-11), donde γ es un valor de ajuste, el
cual debe ser positivo [63],[64].
𝑉(𝑒, 𝑋, 𝑌) =1
2[𝑒2 +
1
𝐵𝛾(𝑎 − 𝐴 − 𝐵. 𝑌)2 +
1
𝐵𝛾(𝑎 − 𝐵. 𝑋)2]
(3-11)
Esta función es cero cuando 𝑒 = 0 y los parámetros del controlador presenten su valor
óptimo.
Derivando parcialmente (3-11) con respecto a los parámetros (e, 𝑋, 𝑌) se obtiene (3-12).
𝛿𝑉
𝛿𝑒+𝛿𝑉
𝛿𝑌+𝛿𝑉
𝛿𝑋= �̇�(𝑒,𝑋,𝑌) = [𝑒 �̇� +
1
𝛾(𝑎 − 𝐴 − 𝐵. 𝑌) �̇� +
1
𝛾(𝑎 − 𝐵. 𝑋) 𝑋 ̇ ]
(3-12)
Reemplazando (3-10) en (3-12) se obtiene (3-13).
66
�̇�(𝑒,𝑋,𝑌) = −𝑎. 𝑒2 +
1
𝛾(−𝑎 + 𝐴 + 𝐵. 𝑌)(𝛾. 𝑒. 𝑣𝑝𝑣 + �̇�) +
1
𝛾(𝑎
− 𝐵. 𝑋)(𝛾. 𝑒. 𝐺𝑟𝑒𝑓 − 𝑋)̇
(3-13)
De acuerdo con la teoría de la estabilidad de Lyapunov [65], el sistema es estable si �̇� es
semidefinida negativa, esto se cumple si la ecuación (3-13) satisface las expresiones
presentadas en (3-14) [66].
�̇� = 𝛾. 𝑒. 𝐺𝑟𝑒𝑓, 𝑋 = ∫𝛾. 𝑒. 𝐺𝑟𝑒𝑓 + 𝑋0
�̇� = −𝛾. 𝑒. 𝑣𝑝𝑣 , 𝑌 = −∫𝛾. 𝑒. 𝑣𝑝𝑣 + 𝑌𝑜
(3-14)
La ecuación (3-14) representa la ley de adaptación, en la cual X y Y son las ganancias
adaptativas y γ es una constante positiva que se utiliza para ajustar el desempeño dinámico.
La Figura 3- 3, el diagrama de estado del sistema PV implementado con las ecuaciones (2-3)
y (2-4), la ley de control del SMC implementado con (2-26) y el diseño del control MRAC
implementado con las ecuaciones (3-8), (3-9) y (3-14).
Figura 3- 3. Diagrama de bloques del controlador MRAC
67
3.1.1 Simulación del sistema de control
La solución propuesta se evalúa usando un simulador circuital (PSIM), como se ilustra en la
Figura 3- 4. El módulo fotovoltaico adoptado fue el BP585 con parámetros 𝐵 = 0.894 𝑢𝐴 y
𝐴 = 0.703 𝑉−1, y el convertidor dc/dc tiene los siguientes parámetros: 𝐿 = 270𝑢𝐻, 𝐶𝑖𝑛 =
110𝑢𝐹 y 𝑣𝑏 = 20 𝑉 a una frecuencia de conmutación de 100 kHz. Como valor de ajuste se
tomó 𝛾 = 10, el cual se calculó por método de ensayo y error. Para ilustrar la utilidad del
enfoque MRAC, este desarrollo tiene como objetivo reducir el tiempo de establecimiento
alcanzado con el controlador PI presentado en el capítulo anterior, i.e. 1.5 ms tomando (2-29)
como referencia de comparación. La Figura 3- 5, presenta la simulación de la instalación
fotovoltaica, incluyendo el MRAC en cascada con el SMC, donde el algoritmo P&O
proporciona la referencia de voltaje al MRAC. La simulación reporta la forma de onda de 𝑣𝑝𝑣
para diferentes condiciones de radiación solar y temperatura, considerando también
oscilaciones generadas por la red en 𝑣𝑏, donde una oscilación de voltaje de 20 V pico a pico
se superpone al componente dc de 60 V, lo que corresponde a una perturbación del 33%. Estos
resultados ponen en evidencia el seguimiento satisfactorio del modelo de referencia, el cual
garantiza el cumplimiento de las restricciones dinámicas deseadas: tiempo de establecimiento
igual a 1,5 ms y respuesta adecuada ante las perturbaciones del sistema (radiación, temperatura
y carga) para toda condición de operación. Por otra parte, la simulación también demuestra el
comportamiento correcto del algoritmo P&O diseñado con 𝑇𝑎 = 𝑡𝑠 = 1,5 𝑚𝑠. Esta condición
permite diseñar el tiempo de perturbación de P&O sin constreñirse a la condición más
restrictiva, i.e. la irradiación más baja.
68
Figura 3- 4. SMC-MRAC implementado en PSIM
Figura 3- 5. Respuesta del sistema
100k
SMC
ILIpv
Vpv
isc
Modelo PV
Convertidor boost
Vpv
IpvVref
MPPT
MRAC
P&O
S
R
Q
Q
IL SMC
Iref
h/2
- h/2
SMC
Vref
Vref
e
e
e
Vref
So
Vpv
Iref
V
So K
V
69
3.1.2 Comparación MRAC-SMC y PI-SMC
Con el objetivo de validar las ventajas del controlador MRAC-SMC, la Figura 3- 6 presenta
la comparación entre las respuestas dinámicas de la solución PI-SMC presentada en el
capítulo anterior y del MRAC-SMC. La simulación reporta que el SMC garantiza la
estabilidad global en ambos casos. Sin embargo, el enfoque basado en el MRAC proporciona
un tiempo de establecimiento constante, lo que permite reducir el tiempo de perturbación del
algoritmo P&O, logrando así extraer más energía del panel PV ya que el P&O no se diseña
para el caso más restrictivo. Además, también se observa que, bajo fuertes perturbaciones,
e.g. ante grandes cambios en las condiciones atmosféricas (radiación solar y/o temperatura),
la solución MRAC mitiga con mayor eficiencia las perturbaciones en comparación con el
controlador PI. Esto confirma que el enfoque de control MRAC presenta ventajas cuando hay
cambios en la irradiación, con lo que se reduce las pérdidas de potencia, incrementando así la
producción de energía en un 4.3% como se ilustra en la Figura 3- 6.
Figura 3- 6. Comparación MRAC-SMC y PI-SMC
3.2 Diseño de la ley adaptativa del controlador auto-ajustable PI
La Figura 3- 7 presenta la arquitectura de control propuesta y la Figura 3- 8 describe el
diagrama de bloques del sistema. La ley adaptativa modifica la ganancia proporcional (𝑘𝑝 ) y
la ganancia integral (𝑘𝑖) del controlador PI descrito en (3-15), con el objetivo de reducir el
70
tiempo de estabilización (𝑡𝑠). Así mismo, la ley adaptativa actualiza el tiempo de perturbación
(𝑇𝑎) del algoritmo P&O [62] para acelerar la búsqueda del MPP, siempre garantizando
estabilidad, i.e. 𝑡𝑠 ≥ 𝑇𝑎.
Figura 3- 7. Arquitectura del sistema del controlador PI auto-ajustable
71
Figura 3- 8. Diagrama de bloques del sistema del PI adaptativo
El controlador PI actúa sobre el modelo de pequeña señal expuesto en el capítulo 2 (ver ec (2-
27)). Entonces, la función de transferencia de lazo cerrado incluyendo el controlador PI (3-
15), se presenta en (3-16). Ya que la función de transferencia depende de la impedancia del
sistema (𝑅𝑀𝑃𝑃 =𝑣𝑝𝑣
𝑖𝑠𝑐−𝑖𝑝𝑣), la cual varía dependiendo del punto de operación, es necesario
realizar una identificación en línea de 𝑅𝑀𝑃𝑃.
𝑖𝑟𝑒𝑓(𝑠)
𝑣𝑟𝑒𝑓(𝑠) − 𝑣𝑝𝑣(𝑠)= 𝑘𝑝 +
𝑘𝑖𝑠
(3-15)
𝑣𝑝𝑣(𝑠)
𝑣𝑟𝑒𝑓(𝑠)=
𝑅𝑀𝑃𝑃(𝑘𝑝. 𝑠 + 𝑘𝑖)
𝐶𝑖𝑛 . 𝑅𝑀𝑃𝑃𝑠2 + 𝑠(1 + 𝑅𝑀𝑃𝑃 . 𝑘𝑝) + 𝑅𝑀𝑃𝑃 . 𝑘𝑖
(3-16)
72
La referencia del controlador PI es impuesta por el algoritmo P&O, por lo tanto, los cambios
de referencia se definen por los cambios de magnitud (∆𝑣 = 𝑣𝑟𝑒𝑓(𝑠) − 𝑣𝑝𝑣(𝑠)). Por otra
parte, la señal de salida del controlador PI (𝑖𝑟𝑒𝑓) es la corriente de referencia para el SMC, tal
y como se describe en (3-17). La derivada de 𝑖𝑟𝑒𝑓 con respecto al tiempo se presenta en (3-
18).
𝑖𝑟𝑒𝑓(𝑡) = ∆𝑣 (𝑘𝑝 + 𝑘𝑖 . ∫ 𝑡) (3-17)
𝑑𝑖𝑟𝑒𝑓
𝑑𝑡= ∆𝑣 ∗ 𝑘𝑖
(3-18)
Para asegurar la estabilidad del sistema, se debe cumplir la condición de control equivalente
analizada en el capítulo 2 (ver ec. (2-24)), reemplazando (3-18) en (2-24) se obtiene la
ecuación (3-19), la cual define los límites de 𝑘𝑖 que garantizan la estabilidad del sistema,
evitando así la saturación del ciclo de trabajo.
−(𝑣𝑝𝑣 − 𝑣𝑏
∆𝑣 ∗ 𝐿) < 𝑘𝑖 <
𝑣𝑏∆𝑣 ∗ 𝐿
(3-19)
Comparando los coeficientes del denominador de la función de transferencia obtenida en (3-
16) con un sistema clásico de segundo orden, cuyo denominador está dado por:
[𝑠2 + 2 ∗ 𝜉 ∗ 𝑤𝑛 𝑠 + 𝑤𝑛2)], es posible calcular la frecuencia natural, dada por (3-20). Ya que,
en los sistemas de segundo orden, el tiempo de establecimiento es inversamente proporcional
a la frecuencia natural [67], se requieren valores altos de 𝑤𝑛 para acelerar la respuesta del
sistema; por lo tanto, son deseables valores altos en 𝑘𝑖.
𝑤𝑛 = √𝑘𝑖𝐶𝑖𝑛
(3-20)
Sin embargo, para asegurar la estabilidad, el valor de 𝑘𝑖 debe cumplir los límites impuestos
por (3-19). Por lo tanto, para asegurar tanto la estabilidad como la respuesta rápida del sistema,
𝑘𝑖 se selecciona igual al 80% del límite más restrictivo, lo que provee un margen de seguridad
del 20% ante tolerancias constructivas y de saturación en L:
73
𝑘𝑖 = 0,8 𝑣𝑏
∆𝑣 ∗ 𝐿 →
𝑣𝑏𝑣𝑝𝑣
> 2
𝑘𝑖 = 0,8 (𝑣𝑝𝑣 − 𝑣𝑏
∆𝑣 ∗ 𝐿) →
𝑣𝑏𝑣𝑝𝑣
< 2
(3-21)
Con el fin de proveer una respuesta lo más rápida posible y sin sobrepaso en la señal de voltaje,
condiciones que reducen las pérdidas de potencia, el coeficiente de amortiguamiento del
sistema se selecciona como 𝜉 = 1. El método propuesto en [10] reporta que la respuesta
dinámica de un sistema de segundo orden, con una relación de amortiguamiento unitaria, está
dado por (3-22) donde 𝑡𝑠 corresponde al tiempo de establecimiento, 𝑤𝑛 es la frecuencia natural
de amortiguamiento y 𝑡𝑁 es un tiempo normalizado (𝑡𝑁 = 𝑡𝑠 ∗ 𝑤𝑛)
𝐶(𝑡𝑁) = 1 − (1 + 𝑡𝑁)𝑒−𝑡𝑁 (3-22)
Puesto que (3-22) no tiene componentes sinusoidales, el tiempo de establecimiento ocurre en
𝐶(𝑡𝑝𝑁) = 1 − 𝜖 [10], donde 𝜖 representa la tolerancia de estabilización (clásicamente 𝜖 =
2%). Resolviendo 𝐶(𝑡𝑝𝑁) = 𝐶(𝑡𝑁) conduce al valor del tiempo de establecimiento reportado
en (3-23), donde LambertW es una función no-lineal discutida en [12].
Las ecuaciones (3-21) y (3-22) permiten imponer el 𝑡𝑠 que está al 20% por encima del límite
de estabilidad, por lo tanto, 𝑡𝑠 es adaptativo.
𝑡𝑠 = − 𝐿𝑎𝑚𝑏𝑒𝑟𝑡𝑊(−1, 𝜖 ∗ 𝑒−1) + 1
𝑤𝑛=𝐾𝑡𝑠𝑤𝑛
(3-23)
En tal expresión, 𝐾𝑡𝑠 = 𝐿𝑎𝑚𝑏𝑒𝑟𝑡𝑊(−1, 𝜖 . 𝑒−1) + 1 es una constante que depende de la
tolerancia 𝜖. Figura 3- 9 ilustra los valores de 𝐾𝑡𝑠 para diferentes tolerancias, la cual se puede
aproximar con la función polinómica dada en (3-24), con un error de 0,65%.
𝐾𝑡𝑠 = 73981𝜖4 − 20589𝜖3 + 2208.7𝜖2 − 126,37𝜖 + 6497 (3-24)
74
Figura 3- 9. Valores de 𝑲𝒕𝒔 dependiendo de la tolerancia
Finalmente, 𝑘𝑝 se calcula a partir de la comparación de los coeficientes de la ecuación (3-
16) con un sistema clásico de segundo orden, obteniendo (3-25).
𝑘𝑝 =2. 𝜉. 𝑤𝑛. 𝑅𝑝𝑣. 𝐶𝑖𝑛 − 1
𝑅𝑝𝑣
(3-25)
De esta forma, la ley de adaptación modifica los parámetros del controlador PI (𝑘𝑝 y 𝑘𝑖)
usando (3-21) y (3-25), asegurando así la estabilidad del sistema y un tiempo de
establecimiento corto (𝑡𝑠), el cual a su vez impone el tiempo de perturbación adaptativo (Ta)
del algoritmo P&O, con Ta = 𝑡𝑠. Esta condición garantiza una rápida respuesta del MPPT,
incrementando así la potencia generada por el sistema PV. El diagrama de flujo de la ley
adaptativa se reporta en la Figura 3- 10, y la implementación en lenguaje C de la ley adaptativa
se reporta en la Figura 3- 11.
75
Figura 3- 10. Diagrama de flujo de la ley adaptativa
3.2.1 Simulación del sistema de control
La solución propuesta fue evaluada usando simulaciones realizadas en PSIM, tal y como se
ilustra en la Figura 3- 11. El módulo fotovoltaico adoptado fue el BP585 con los siguientes
parámetros: 𝐵 = 0,894 𝑢𝐴 , 𝐴 = 0,703 𝑉−1. Los parámetros del convertidor dc/dc son:𝐿 =
76
100 𝑢𝐻, 𝐶𝑖𝑛 = 50𝑢𝐹, 𝑣𝑏 = 60𝑉 . El periodo de perturbación (Ta) del algoritmo P&O se
ajusta automáticamente con la ley de adaptación; por lo tanto, no es necesario predefinir Ta,
lo que simplifica el diseño del P&O.
La Figura 3- 12, presenta la simulación para diferentes condiciones climáticas, incluyendo
además oscilaciones en 𝑣𝑏. Estos resultados reportan un seguimiento satisfactorio del MPP
por parte del controlador PI adaptativo. Por otra parte, la Figura 3- 13 presenta el autoajuste
de los parámetros del controlador (𝑘𝑝 y 𝑘𝑖), así como del cambio resultante del tiempo de
establecimiento de la tensión fotovoltaica y el período de perturbación del algoritmo P&O.
En estas simulaciones se observa que, al incrementar la irradiación solar, el controlador reduce
el tiempo de estabilización, y por tanto el periodo de perturbación, lo que acelera la
convergencia al nuevo MPP.
Figura 3- 11. PI adaptativo-SMC implementado en PSIM
77
Figura 3- 12. Respuesta del sistema ante perturbaciones atmosféricas y en la carga
Figura 3- 13. Parámetros de control
3.2.2 Comparación entre el PI tradicional-SMC, MRAC-SMC y el PI adaptativo-SMC
Con el objetivo de ilustrar el rendimiento de la solución propuesta, la Figura 3- 14 presenta la
comparación del comportamiento dinámico del SMC basado en el controlador tradicional PI-
SMC [22], el controlador MRAC-SMC [61] presentado anteriormente y la nueva solución
propuesta. La simulación reporta que el SMC garantiza estabilidad global para las tres
soluciones.
El controlador PI tradicional no garantiza un tiempo de establecimiento constante para todo
el rango de operación, esta condición no permite acelerar el seguimiento del MPP. En
contraste, el auto–ajuste del controlador adaptativo PI reduce el tiempo de establecimiento,
78
esto debido a la adaptación de 𝑘𝑖 con la restricción de estabilidad del SMC. Por lo tanto, la
solución propuesta extrae más energía del PV. Finalmente, el control propuesto requiere un
diseño menos complejo en comparación con el MRAC.
Figura 3- 14. Comparación de la respuesta dinámica del sistema
3.3 Conclusiones
Con el fin de incrementar la extracción de potencia generada por los sistemas fotovoltaicos,
se propuso un controlador MRAC-SMC para garantizar la estabilidad global y la capacidad
de adaptación del sistema a un comportamiento dinámico preestablecido, mitigando además
las perturbaciones ambientales y/o en la carga. El comportamiento del sistema bajo la
supervisión del MRAC exhibe un tiempo de estabilización constante para la tensión
fotovoltaica, lo que permite diseñar el algoritmo P&O de forma segura. Tal condición revela
una importante mejora respecto a las soluciones clásicas: el control MRAC evita definir el
tiempo de perturbación del algoritmo de P&O para el caso más restrictivo (el mayor tiempo
de establecimiento), lo que mejora el rendimiento dinámico del sistema, incrementando la
producción de energía. Los resultados de la simulación validan las ventajas de la solución
propuesta frente a las perturbaciones ambientales y de carga. Pero, la implementación de este
sistema de control es más compleja en comparación al controlador PI convencional, además,
existen parámetros de ajuste que dificultan la calibración del control MRAC.
El diseño del SMC en cascada con un controlador autoajustable PI se utiliza para incrementar
la potencia generada por los sistemas fotovoltaicos. Esta solución garantiza una rápida
79
respuesta del algoritmo P&O y la estabilidad global a pesar de las perturbaciones ambientales
y de carga. El comportamiento del sistema, bajo la supervisión de la ley de adaptación,
presenta un tiempo de estabilización dinámico que reduce el tiempo necesario para alcanzar
el MPP, lo que a su vez permite extraer más energía de la fuente PV.
Las soluciones propuestas anteriormente presentan una dependencia circular en el diseño del
sistema de control en cascada, ya que el SMC depende del controlador de voltaje, el cual a su
vez depende del algoritmo MPP. Este enfoque presenta un inconveniente: ya que los
controladores se diseñan por separado, se puede garantizar que cada uno opere de una forma
óptima, pero no se puede garantizar la operación optima del conjunto. Por lo tanto, con el fin
de evitar esta característica, y al mismo tiempo reducir el número de controladores, en el
Capítulo 4 se presenta el diseño y análisis matemático de un controlador en modos deslizantes,
el cual se basa en una única etapa de control, garantizando tanto el seguimiento del punto de
máxima potencia como el rechazo a perturbaciones en los sistemas fotovoltaicos conectados
a la red.
80
81
4
Controlador por modos deslizantes para el seguimiento del punto
de máxima potencia en los sistemas fotovoltaicos conectados a la
red
En este capítulo se propone y analiza matemáticamente un controlador por modos deslizantes
para proveer un seguimiento del punto de máxima potencia rápido y preciso, aplicado a los
sistemas fotovoltaicos conectados a la red, el cual está compuesto por una única etapa de
control. Este enfoque evita la dependencia circular en el diseño clásico de controladores en
cascada, usados para optimizar el funcionamiento del sistema fotovoltaico, y al mismo tiempo
reduce el número de controladores y evita el uso de modelos linealizados, proporcionando así
estabilidad global en todo el rango de operación. Asimismo, esta solución compacta también
reduce la complejidad y coste de la implementación del sistema.
Para asegurar la estabilidad de la solución propuesta se llevan a cabo análisis matemáticos
detallados, los cuales demuestran el cumplimiento de las condiciones de transversalidad,
alcanzabilidad y control equivalente. Finalmente, el rendimiento de la solución propuesta se
valida usando simulaciones detalladas, ejecutadas en el simulador circuital PSIM. Esta
solución se publicó en el Journal Energies, el cual está indexado como A1 por publindex y Q1
por Scopus bajo el título “Sliding-Mode Controller for Maximum Power Point Tracking in
Grid-Connected Photovoltaic Systems”
4.1 Superficie de deslizamiento y estructura de control
La relación matemática reportada en (4-1) describe la condición de máxima potencia del
módulo, tal y como se ilustra en la Figura 4- 1. En el MPP, la derivada de la potencia con
respecto al voltaje (o corriente) es cero, por ello los controladores en modo deslizante
propuestos en [54,55,56,57,58] se basan en (4-1). De manera similar, este capítulo propone
una superficie de deslizamiento basada en (4-1) [68], pero con modificaciones, considerando
82
el capacitor de enlace entre el arreglo fotovoltaico y el convertidor dc/dc, y asumiendo la
impedancia de la carga no constante.
𝑑𝑝𝑝𝑣
𝑑𝑣𝑝𝑣= 0 𝑦
𝑑𝑝𝑝𝑣
𝑑𝑖𝑝𝑣= 0 (4-1)
Figura 4- 1. Curvas de potencia del módulo PV
Teniendo en cuenta que 𝑝𝑝𝑣 = 𝑣𝑝𝑣. 𝑖𝑝𝑣, el MPP cumple la relación reportada en (4-2), donde
𝑖𝑝𝑣 está dada por la ecuación (4-3), tal y como se analizó en el capítulo introductorio.
𝑑𝑝𝑝𝑣
𝑑𝑖𝑝𝑣=
𝑑
𝑑𝑖𝑝𝑣(𝑣𝑝𝑣. 𝑖𝑝𝑣) = 𝑣𝑝𝑣 + 𝑖𝑝𝑣
𝑑𝑣𝑝𝑣
𝑑𝑖𝑝𝑣= 0 (4-2)
𝑖𝑝𝑣 = 𝑖𝑠𝑐 − 𝐵(𝑒𝐴.𝑣𝑝𝑣 − 1) (4-3)
Entonces, la relación (4-4) define la condición de máxima potencia, i.e. en el MPP:
𝑑𝑣𝑝𝑣
𝑑𝑖𝑝𝑣+𝑣𝑝𝑣
𝑖𝑝𝑣= 0 para 𝑣𝑝𝑣 = 𝑣𝑀𝑃𝑃 y 𝑖𝑝𝑣 = 𝑖𝑀𝑃𝑃 (4-4)
Para correlacionar la condición en el MPP (4-2) con las ecuaciones del convertidor dc/dc en
el dominio del tiempo (2-3) y (2-4), la condición (4-4) se expresa en términos de las derivadas
con respecto al tiempo, tanto para el voltaje como para la corriente del PV, obteniendo la
expresión (4-5):
𝑑𝑣𝑝𝑣 𝑑𝑡⁄
𝑑𝑖𝑝𝑣 𝑑𝑡⁄+𝑣𝑝𝑣
𝑖𝑝𝑣= 0 para 𝑣𝑝𝑣 = 𝑣𝑀𝑃𝑃 y 𝑖𝑝𝑣 = 𝑖𝑀𝑃𝑃 (4-5)
83
A partir de la expresión (4-5), se define la función de conmutación Ψ y la superficie de
deslizamiento Φ, reportadas en (4-6), las cuales son el fundamento de la solución propuesta
en este capítulo.
Ψ =𝑑𝑣𝑝𝑣 𝑑𝑡⁄
𝑑𝑖𝑝𝑣 𝑑𝑡⁄+𝑣𝑝𝑣
𝑖𝑝𝑣 ∧ Φ = {Ψ = 0} (4-6)
Entonces, el modelo en espacio de estado para el convertidor dc/dc, el módulo fotovoltaico y
el SMC están formado por las ecuaciones (2-3), (2-4), (4-3) y (4-6). El diagrama de bloques
presentado en la Figura 4- 2 relaciona esas ecuaciones, haciendo evidente el procesamiento
de señales y el intercambio de variables entre la instalación fotovoltaica y el SMC. Las
perturbaciones del sistema PV están dadas por la corriente de cortocircuito (definida por la
radiación solar y temperatura) y el voltaje de carga. En el SMC se deriva tanto el voltaje como
la corriente del PV para construir la función de conmutación, e incluye un comparador para
implementar la función signo que genera los cambios en la señal 𝒖.
Figura 4- 2. Diagrama de bloques SMC-PV
84
4.2 Análisis del control en modos deslizantes
Como se analizó en el capítulo 2, el SMC requiere cumplir tres condiciones para garantizar la
estabilidad global y el rendimiento deseado: transversalidad, alcanzabilidad y control
equivalente [43]. Estas condiciones aseguran la existencia del modo de deslizamiento, lo que
impone las condiciones definidas en (4-7) [52]:
Ψ = 0 Λ 𝑑Ψ
𝑑𝑡= 0 (4-7)
Tales expresiones proporcionan información concerniente a la superficie y su derivada.
Reescribiendo (4-6) y derivando esta nueva ecuación se obtiene la derivada de la función de
conmutación, como se reporta en (4-8).
Ψ =𝑑𝑣𝑝𝑣
𝑑𝑡. 𝑖𝑝𝑣 +
𝑑𝑖𝑝𝑣
𝑑𝑡. 𝑣𝑝𝑣 = 0
𝑑Ψ
𝑑𝑡=𝑑2𝑣𝑝𝑣
𝑑𝑡2 𝑖𝑝𝑣 +
𝑑2𝑖𝑝𝑣
𝑑𝑡2 𝑣𝑝𝑣 + 2(
𝑑𝑣𝑝𝑣
𝑑𝑡.𝑑𝑖𝑝𝑣
𝑑𝑡)
(4-8)
Para analizar la expresión (4-8) se requiere derivar las expresiones (2-4) y (4-2), lo que
conduce a las expresiones (4-9), (4-10) y (4-11), las cuales son componentes de (4-8).
𝑑2𝑣𝑝𝑣
𝑑𝑡2=
1
𝐶𝑖𝑛(𝑑𝑖𝑠𝑐𝑑𝑡
− 𝐵. 𝐴𝑑𝑣𝑝𝑣
𝑑𝑡𝑒𝐴.𝑣𝑝𝑣 −
𝑑𝑖𝐿𝑑𝑡) (4-9)
𝑑 𝑖𝑝𝑣
𝑑𝑡=𝑑𝑖𝑠𝑐𝑑𝑡
− 𝐵. 𝐴𝑑𝑣𝑝𝑣
𝑑𝑡𝑒𝐴.𝑣𝑝𝑣 (4-10)
𝑑2 𝑖𝑝𝑣
𝑑𝑡2=𝑑2𝑖𝑠𝑐𝑑𝑡2
− 𝐵. 𝐴𝑑2𝑣𝑝𝑣
𝑑𝑡2𝑒𝐴𝑣𝑝𝑣 − 𝐵. 𝐴2 (
𝑑𝑣𝑝𝑣
𝑑𝑡)
2
𝑒𝐴.𝑣𝑝𝑣 (4-11)
En las ecuaciones anteriores se introduce la admitancia de pequeña señal para el módulo PV,
𝑦 = −𝐵. 𝐴. 𝑒𝐴.𝑣𝑝𝑣, es de pequeña señal porque el análisis se realiza a través de un punto de
operación calculada alrededor de 𝑣𝑝𝑣, la cual describe los cambios de la corriente del panel
con respecto al voltaje alrededor de un punto de operación, esto con el fin de simplificar las
expresiones matemáticas así:
85
𝑑2𝑣𝑝𝑣
𝑑𝑡2=
1
𝐶𝑖𝑛(𝑑𝑖𝑠𝑐𝑑𝑡
+ 𝑦𝑑𝑣𝑝𝑣
𝑑𝑡−𝑑𝑖𝐿𝑑𝑡) (4-12)
𝑑 𝑖𝑝𝑣
𝑑𝑡=𝑑𝑖𝑠𝑐𝑑𝑡
+ 𝑦𝑑𝑣𝑝𝑣
𝑑𝑡 (4-13)
𝑑2 𝑖𝑝𝑣
𝑑𝑡2=𝑑2𝑖𝑠𝑐𝑑𝑡2
+ 𝑦𝑑2𝑣𝑝𝑣
𝑑𝑡2+ 𝐴. 𝑦 (
𝑑𝑣𝑝𝑣
𝑑𝑡)
2
(4-14)
Reemplazando (2-4), (4-12), (4-13) y (4-14) en (4-8), y realizando algunas manipulaciones
matemáticas, se obtiene la derivada de la función de conmutación reportada en (4-15).
dΨ
dt=𝑑𝑖𝑠𝑐𝑑𝑡
(𝑖𝑝𝑣 + 𝑦. 𝑣𝑝𝑣
𝐶𝑖𝑛) −
𝑣𝑝𝑣 − 𝑣𝑏(1 − 𝑢)
𝐿(𝑖𝑝𝑣 + 𝑦. 𝑣𝑝𝑣
𝐶𝑖𝑛)
+𝑑𝑣𝑝𝑣
𝑑𝑡(𝑦 (
𝑖𝑝𝑣 + 𝑦. 𝑣𝑝𝑣
𝐶𝑖𝑛) + 𝑦. 𝐴. 𝑣𝑝𝑣
𝑑𝑣𝑝𝑣
𝑑𝑡+ 2
𝑑𝑖𝑠𝑐𝑑𝑡
+ 2. 𝑦𝑑𝑣𝑝𝑣
𝑑𝑡)
+ 𝑣𝑝𝑣𝑑2𝑖𝑠𝑐𝑑𝑡2
(4-15)
La ecuación (4-15) se utiliza para analizar las condiciones de transversalidad, la alcanzabilidad
y control equivalente en las siguientes subsecciones.
4.2.1 Condición de transversalidad
Para asegurar la capacidad del controlador de actuar sobre el sistema, debe cumplirse la
condición de transversalidad dada en (4-16) [52].
𝑑
𝑑𝑢(𝑑Ψ
𝑑𝑡) ≠ 0 (4-16)
Derivando (4-15) con respecto a la señal u se obtiene la expresión (4-17).
𝑑
𝑑𝑢(𝑑Ψ
𝑑𝑡) = −
𝑣𝑏𝐿(𝑖𝑝𝑣 + 𝑦. 𝑣𝑝𝑣
𝐶𝑖𝑛) (4-17)
Es necesario analizar en la ecuación (4-17) las condiciones en las que el MPP ocurre: teniendo
en cuenta que 𝑝𝑝𝑣 = 𝑣𝑝𝑣 ∙ 𝑖𝑝𝑣, la condición (4-1) corresponde a la expresión (4-18). Por lo
tanto, las expresiones (4-16) y (4-17) conllevan a la condición de transversalidad reportada en
(4-19).
86
𝑑𝑝𝑝𝑣
𝑑𝑣𝑝𝑣= 𝑣𝑝𝑣 ∙ (−𝐵. 𝐴. 𝑒
𝐴.𝑣𝑝𝑣) + 𝑖𝑝𝑣 = 𝑣𝑝𝑣. 𝑦 + 𝑖𝑝𝑣 = 0 (4-18)
𝑑
𝑑𝑢(𝑑Ψ
𝑑𝑡) ≠ 0 𝑠í 𝑣𝑝𝑣 ≠ 𝑣𝑀𝑃𝑃 (4-19)
La Figura 4-3 presenta la simulación de la ecuación (4-17), considerando las siguientes
condiciones: Un módulo BP585 con parámetros 𝐵 = 0,894 𝑢𝐹 y 𝐴 = 0,703 𝑉−1, un
convertidor dc/dc con 𝐿 = 100𝑢𝐻, 𝐶𝑖𝑛 = 44𝑢𝐹 y 𝑣𝑏 = 29 𝑉. La simulación ilustra la
condición de transversalidad reportada en (4-19):
A la izquierda del MPP (voltajes inferiores al 𝑣𝑀𝑃𝑃): la condición de transversalidad
se cumple, por lo tanto el SMC es capaz de actuar sobre el sistema fotovoltaico
conduciéndolo hacia el MPP.
A la derecha del MPP (voltajes superiores al 𝑣𝑀𝑃𝑃): se cumple también la condición
de transversalidad, i.e. el SMC actúa sobre el sistema.
En el MPP (𝑣𝑝𝑣 = 𝑣𝑀𝑃𝑃) la condición de transversalidad no se cumple. Este no implica
un problema de control ya que el sistema PV se encuentra operando en el MPP. Por
otra parte, si el sistema se aleja del MPP se cumple una de las dos condiciones de
transversalidad anteriormente descritas.
Las condiciones anteriores imponen un comportamiento similar a la aplicación clásica de
histéresis del SMC para convertidores dc/dc, es decir, el sistema oscila alrededor de la
superficie formando una trayectoria con histéresis. En las siguientes subsecciones se
demostrará que dicha banda de histéresis es impuesta por la amplitud pico a pico del rizado
de voltaje en las terminales del módulo PV.
87
Figura 4- 3. Simulación de la condición de transversalidad
4.2.2 Condición de control equivalente
La condición de control equivalente analiza la habilidad del sistema de permanecer dentro de
la superficie de deslizamiento [59],[43]. Esta condición, se analiza en términos del valor
análogo equivalente (𝑢𝑒𝑞) de la señal de control discontinua 𝑢: se cumple la condición de
control equivalente si 𝑢𝑒𝑞 se encuentra dentro de los límites de funcionamiento del sistema.
Puesto que la señal de control 𝑢 corresponde a la señal de activación del MOSFET, el límite
de operación es entre 0 y 1. Por otra parte, ya que el análisis considera que el sistema se
encuentra dentro de la superficie, se da la condición 𝑑Ψ
𝑑𝑡= 0. Entonces, igualando la expresión
(4-15) a cero y reemplazando 𝑢 por 𝑢𝑒𝑞, se obtiene el valor de 𝑢𝑒𝑞 reportado en (4-20)
𝑢𝑒𝑞 = 1 −𝑣𝑝𝑣
𝑣𝑏+1
𝑣𝑏
𝑑𝑖𝑠𝑐𝑑𝑡
+𝑦
𝑣𝑏
𝑑𝑣𝑝𝑣
𝑑𝑡
+𝐶𝑖𝑛
𝑣𝑏(𝑖𝑝𝑣 + 𝑦. 𝑣𝑝𝑣)
𝑑𝑣𝑝𝑣
𝑑𝑡. (𝑦. 𝐴. 𝑣𝑝𝑣
𝑑𝑣𝑝𝑣
𝑑𝑡+ 2
𝑑𝑖𝑠𝑐𝑑𝑡
+ 2. 𝑦𝑑𝑣𝑝𝑣
𝑑𝑡)
+𝐶𝑖𝑛. 𝑣𝑝𝑣
𝑣𝑏(𝑖𝑝𝑣 + 𝑦. 𝑣𝑝𝑣)
𝑑2𝑖𝑠𝑐𝑑𝑡2
(4-20)
88
Esa expresión se reescribe como en (4-21), donde 𝑢1 and 𝑢2 son reportadas en (4-22) y (4-
23), respectivamente.
𝑢𝑒𝑞 = 𝑢1 + 𝑢2 (4-21)
𝑢1 = 1 −𝑣𝑝𝑣
𝑣𝑏 (4-22)
𝑢2 =1
𝑣𝑏[𝑑𝑖𝑠𝑐𝑑𝑡
+ 𝑦𝑑𝑣𝑝𝑣𝑑𝑡
+𝐶𝑖𝑛
𝑖𝑝𝑣 + 𝑦. 𝑣𝑝𝑣
𝑑𝑣𝑝𝑣𝑑𝑡
(𝑦. 𝐴. 𝑣𝑝𝑣𝑑𝑣𝑝𝑣𝑑𝑡
+ 2𝑑𝑖𝑠𝑐𝑑𝑡
+ 2. 𝑦𝑑𝑣𝑝𝑣𝑑𝑡
)
+𝐶𝑖𝑛. 𝑣𝑝𝑣
𝑖𝑝𝑣 + 𝑦. 𝑣𝑝𝑣
𝑑2𝑖𝑠𝑐
𝑑𝑡2]
(4-23)
El análisis de (4-21) se realiza reescribiendo la derivada de la ecuación (4-6) así:
𝑑Ψ
𝑑𝑡=
𝑖𝑝𝑣2 (𝑑2𝑣𝑝𝑣
𝑑𝑡2 𝑑𝑖𝑝𝑣𝑑𝑡
−𝑑2𝑖𝑝𝑣𝑑2𝑡
𝑑𝑣𝑝𝑣𝑑𝑡 )
+ (𝑑𝑖𝑝𝑣𝑑𝑡
)2
(𝑑𝑣𝑝𝑣𝑑𝑡
. 𝑖𝑝𝑣 −𝑑𝑖𝑝𝑣𝑑𝑡
. 𝑣𝑝𝑣)
𝑖𝑝𝑣2 (𝑑𝑖𝑝𝑣𝑑𝑡
)2 (4-24)
Dado que la radiación solar no presenta cambios rápidos en comparación con la frecuencia de
conmutación del convertidor, se asume [𝑑𝑖𝑠𝑐
𝑑𝑡≈ 0] ; simplificando así el análisis de las
ecuaciones (4-15), (4-23) y (4-24), para obtener las expresiones simplificadas (4-25) y (4-26).
Es importante tener en cuenta que el factor 𝑖𝑝𝑣(𝑦 − 𝑖𝑝𝑣. 𝐴) − 𝑦2. 𝑣𝑝𝑣 es siempre positivo.
dΨ
dt=𝑑𝑣𝑝𝑣
𝑑𝑡(𝑖𝑝𝑣(𝑦 − 𝑖𝑝𝑣. 𝐴) − 𝑦
2. 𝑣𝑝𝑣
𝑦. 𝑖𝑝𝑣) (4-25)
𝑢2 =𝑦
𝑣𝑏
𝑑𝑣𝑝𝑣
𝑑𝑡(1 +
𝐶𝑖𝑛
𝑖𝑝𝑣+𝑦.𝑣𝑝𝑣
𝑑𝑣𝑝𝑣
𝑑𝑡(𝐴. 𝑣𝑝𝑣 + 2))
(4-26)
Teniendo en cuenta que 𝑖𝑝𝑣 ≠ 0 es una condición realista, ya que en 𝑖𝑝𝑣 = 0 no ocurre el
MPP, la condición de modo deslizante dΨ
dt= 0 se alcanza en (4-25) cuando
𝑑𝑣𝑝𝑣
𝑑𝑡= 0.
89
Entonces, sustituyendo las condiciones [𝑑𝑣𝑝𝑣
𝑑𝑡= 0 , 𝑖𝑝𝑣 ≠ 0] en (4-26) se obtiene que 𝑢2 =
0. Por lo tanto, en la expresión (4-21) 𝑢𝑒𝑞 es aproximadamente igual a 𝑢1. Para evaluar la
validez de este análisis, se simula 𝑢𝑒𝑞 a partir de (4-21) para diferentes cambios de radiación,
comparando su valor con el de 𝑢1 calculada usando (4-22): el primer test considera un cambio
en 1 segundo desde la radiación solar más alta promedio posible en la tierra a la más baja, i.e.
1 sol por segundo o 𝑑𝑆 𝑑𝑡⁄ = 1 𝑘𝑊/(𝑚2 ∙ 𝑠). El segundo test considerada un cambio de 10
sol por segundo 𝑑𝑆 𝑑𝑡⁄ = 10 𝑘𝑊/(𝑚2 ∙ 𝑠), y el tercero considera un cambio de 100 sol por
segundo 𝑑𝑆 𝑑𝑡⁄ = 100 𝑘𝑊/(𝑚2 ∙ 𝑠), el cual es un valor significativamente grande. Los
resultados se presentan en la Tabla 3, donde se observa que el error generado por la
aproximación 𝑢𝑒𝑞 ≈ 𝑢1 es menor al 1% para el caso de la mayor derivada, y los errores para
los otros casos están entre el 0.1% y 0.01%. Por lo tanto, el análisis del control equivalente
basado en la expresión (4-27) no introduce un error significativo.
𝑢𝑒𝑞 ≈ 1 −𝑣𝑝𝑣
𝑣𝑏 (4-27)
Tabla 3. Error presentado a diferentes cambios de radiación solar
𝑑𝑆 𝑑𝑡⁄ Error (%) = ((𝑢𝑒𝑞 − 𝑢1)/𝑢𝑒𝑞) ∗ 100%
1 𝑘𝑊 (𝑚2. 𝑠)⁄ 0,0075% < 𝑒 < 0,008%
10 𝑘𝑊 (𝑚2. 𝑠)⁄ −0,0912% < 𝑒 < 0,04%
100 𝑘𝑊 (𝑚2. 𝑠)⁄ −0,989% < 𝑒 < 0,6883%
Finalmente, ya que la condición del control equivalente para el convertidor dc/dc es
0 < 𝑢𝑒𝑞 < 1, (4-27) conduce a la expresión (4-28):
0 < 1 −𝑣𝑝𝑣
𝑣𝑏< 1 → 0 < 𝑣𝑝𝑣 < 𝑣𝑏 (4-28)
La condición (4-28) siempre se cumple, ya que el análisis del sistema fotovoltaico considera
un convertidor boost. Por lo tanto, la condición de control equivalente está garantizada.
90
4.2.3 Condición de alcanzabilidad
La condición de alcanzabilidad analiza la habilidad del sistema para alcanzar la condición
deseada Ψ = 0. En el trabajo presentado en [43] se demostró que un sistema que cumple con
la condición de control equivalente también cumple con la condición de alcanzabilidad, dado
que la alcanzabilidad implica que la acción de control alcanza el punto de operación deseado
sin saturar el ciclo de trabajo y el control equivalente garantiza que el controlador impone
condiciones que no saturen el ciclo de trabajo 0 < 𝑢𝑒𝑞 < 1, por lo tanto son equivalentes.
Para un valor positivo en la condición de transversalidad se impone las siguientes condiciones
de alcanzabilidad:
limΨ→0−
𝑑Ψ
𝑑𝑡|𝑢=1
=𝑑Ψ
𝑑𝑡|𝑢=1
> 0 (4-29)
𝑙𝑖𝑚𝛹→0+
𝑑𝛹
𝑑𝑡|𝑢=0
=𝑑𝛹
𝑑𝑡|𝑢=0
< 0 (4-30)
Por otra parte, para un valor negativo en la condición de transversalidad se impone las
siguientes condiciones de alcanzabilidad:
limΨ→0−
𝑑Ψ
𝑑𝑡|𝑢=0
=𝑑Ψ
𝑑𝑡|𝑢=0
> 0 (4-31)
limΨ→0+
dΨ
dt|𝑢=1
=dΨ
dt|𝑢=1
< 0 (4-32)
Además, la condición de alcanzabilidad define la implementación de la ley de conmutación
[43]. Sin embargo, en la subsección 4.2.1 se analizó la condición de transversalidad, la cual
puede ser positiva o negativa dependiendo del punto de operación. De tal manera, a partir de
la Figura 4- 3, se observa que el rango de voltaje donde la transversalidad es negativa,
[𝑣𝑝𝑣 < 𝑣𝑀𝑃𝑃], es mucho mayor que el rango de voltaje donde la transversalidad es positiva,
[𝑣𝑝𝑣 > 𝑣𝑀𝑃𝑃]; por lo tanto, la implementación y análisis del SMC propuesto se lleva a cabo
considerando la condición de transversalidad negativa, imponiendo la siguiente ley de control:
{Ψ < 0 → 𝑢 = 0 ∧ Ψ > 0 → 𝑢 = 1}. Entonces, la alcanzabilidad de la superficie cumple las
siguientes condiciones: 𝑑Ψ
𝑑𝑡< 0 con 𝑢 = 1 y
𝑑Ψ
𝑑𝑡> 0 con 𝑢 = 0. Sin embargo, de (4-25) se
91
observa que la señal de 𝑑Ψ
𝑑𝑡 presenta el mismo signo que la señal de
𝑑𝑣𝑝𝑣
𝑑𝑡. Por lo tanto, debido
a (4-31) y (4-32) se cumplen las siguientes condiciones:
Sí el MOSFET está ON (𝑢 = 1), el voltaje decrementa, i.e. 𝑑𝑣𝑝𝑣
𝑑𝑡< 0.
Sí el MOSFET está OFF (𝑢 = 0), el voltaje incrementa, i.e. 𝑑𝑣𝑝𝑣
𝑑𝑡> 0.
Hay que señalar que el convertidor dc/dc siempre presenta un rizado de voltaje periódico
alrededor del valor medio [69]. De hecho, el voltaje del PV corresponde al voltaje del
capacitor de entrada 𝐶𝑖𝑛. Por tanto, a partir de la ecuación diferencial del convertidor dc/dc
(2-3) se concluye que la corriente del inductor exhibe una forma de onda triangular debido a
la estructura de filtro de segundo orden [34]. Esto implica que la corriente del capacitor se
incrementa cuando el MOSFET está en OFF (𝑢 = 0). Este comportamiento se observa en la
simulación de la Figura 4- 4, la cual incluye el SMC propuesto con la acción de control
implementada como:[𝑢 = 1 para Ψ < 0 y 𝑢 = 0 for Ψ > 0], y adopta los parámetros
eléctricos descritos previamente en la subsección 4.2. La simulación también confirma que la
corriente del capacitor 𝑖𝑐𝑖𝑛 se decrementa con el MOSFET en ON (𝑢 = 1). Por otra parte, se
observa que con un valor constante para 𝑢 (𝑢 = 0 ó 𝑢 = 1) el capacitor exhibe corrientes
positivas, negativas y valores iguales de cero.
92
Figura 4- 4. Comportamiento dinámico del sistema fotovoltaico
Esto significa que, como se reporta en la ecuación diferencial del convertidor dc/dc (2-4) y en
la Figura 4-4, el rizado de voltaje es una serie de formas de onda cuadráticas generada por la
integral de la corriente del capacitor 𝑖𝐶𝑖𝑛 = 𝑖𝑝𝑣 − 𝑖𝐿. Debido a lo anterior, el voltaje del PV
exhibe tanto derivadas positivas como negativas para ambos estados de 𝑢, tal y como se
observa en la Figura 4- 4. Por lo tanto, dado que la derivada de la función de conmutación
presenta el mismo signo de la derivada del voltaje del PV, como se reporta en (4-25), se
cumple la condición de alcanzabilidad en una fracción de tiempo durante el cual el MOSFET
se encuentra en estado ON ó OFF, lo que significa que en los otros intervalos de tiempo el
sistema diverge de la superficie. Tal condición genera un comportamiento periódico, debido
al cual el sistema converge y diverge hacia/desde la superficie. Para ilustrar el comportamiento
periódico de la condición de alcanzabilidad, y el comportamiento periódico resultante de la
operación del SMC, la Figura 4- 5 presenta dos diagramas: un diagrama de flujo que describe
los estados de convergencia y divergencia en la Figura 4- 5 (a) y la forma de onda de función
de conmutación en la Figura 4- 5 (b). Para ilustrar el análisis del sistema se considera
inicialmente los siguientes valores: Ψ < 0 y con una derivada de la función de conmutación
dΨ
dt< 0, que corresponde a un valor negativo en la derivada del voltaje
𝑑𝑣𝑝𝑣
𝑑𝑡< 0 cómo se
reporta en (4-25). Debido a las ecuaciones diferenciales que gobiernan al capacitor 𝐶𝑖𝑛,
93
𝑑𝑣𝑝𝑣
𝑑𝑡= 𝑖𝐶𝑖𝑛, la condición
dΨ
dt< 0 también corresponde a un valor negativo en la corriente del
capacitor, i.e . 𝑖𝐶𝑖𝑛 < 0. Estas condiciones iníciales se observa en la parte superior de la Figura
4- 5 (a). Entonces, debido a la acción de control implementada para el SMC, la señal de control
se establece en 𝑢 = 0 comenzando con el primer estado de funcionamiento del sistema. A
continuación se describe la evolución del sistema siguiendo la Figura 4- 5 (a):
1. Diverge del MPP: 𝑢 = 0, Ψ < 0, dΨ
dt< 0 (i𝐶𝑖𝑛 < 0). En esta primera etapa (bloque 1
en la Figura 4- 5 (a)), el sistema diverge del MPP, tal y como se observa en la Figura
4- 5(b). Tal condición se debe al valor negativo de la derivada de la función de
conmutación, lo que reduce aún más el valor de Ψ. Por ello, la condición deseada Ψ =
0 no se alcanza. Sin embargo, la acción de control 𝑢 = 0 forza el incremento de 𝑖𝐶𝑖𝑛,
llevando al sistema a 𝑖𝐶𝑖𝑛 = 0 (dΨ
dt= 0) y eventualmente a 𝑖𝐶𝑖𝑛 > 0 (
dΨ
dt> 0), que
corresponde a la segunda etapa de operación del SMC.
2. Converge hacia el MPP: 𝑢 = 0, Ψ < 0, dΨ
dt> 0 (𝑖𝐶𝑖𝑛 > 0). En esta segunda etapa se
cumple la condición de alcanzabilidad (4-31), entonces el sistema converge hacia el
MPP, tal y como se observa en la Figura 4- 5 (b). En este caso, el valor positivo de la
derivada de la función de conmutación incrementa el valor de Ψ, llevando al sistema
a la condición deseada Ψ = 0. Sin embargo, cuando la condición Ψ = 0 se alcanza la
derivada de la función de conmutación sigue siendo positiva, i.e. dΨ
dt> 0 (i𝐶𝑖𝑛 > 0),
por lo tanto Ψ se convierte en positiva. Por otra parte, cuando Ψ > 0 el SMC impone
𝑢 = 1, lo que corresponde a la tercera etapa de operación.
3. Diverge del MPP: u = 1, Ψ > 0, dΨ
dt> 0 (i𝐶𝑖𝑛 > 0). En esta tercera etapa no se cumple
la condición de alcanzabilidad, por lo que el sistema diverge del MPP. Tal condición
se debe al valor positivo en la derivada de la función de conmutación, que incrementa
aún más el valor Ψ, y por lo tanto la condición deseada Ψ = 0 no se alcanza.
Sin embargo, la acción de control 𝑢 = 1 forza un decremento en 𝑖𝐶𝑖𝑛, conduciendo al
sistema a 𝑖𝐶𝑖𝑛 = 0 (dΨ
dt= 0) y eventualmente a 𝑖𝐶𝑖𝑛 < 0 (
dΨ
dt< 0), lo que corresponde
a la cuarta etapa de operación del SMC.
94
4. Converge hacia el MPP: 𝑢 = 1, Ψ > 0, dΨ
dt< 0 (𝑖𝐶𝑖𝑛 < 0). En esta cuarta etapa, la
condición de alcanzabilidad (4-32) se cumple y el sistema converge hacia el MPP. En
este caso, el valor negativo de la derivada de la función de conmutación decrementa
el valor de Ψ, llevando al sistema a la condición deseada Ψ = 0. Sin embargo, cuando
la condición Ψ = 0 se alcanza, la derivada de la función de conmutación continua
siendo negativa, i.e. dΨ
dt< 0 (𝑖𝐶𝑖𝑛 < 0), por lo tanto Ψ se hace negativo. Por otra parte,
cuando Ψ < 0 el SMC impone u = 0, lo que corresponde a la primera etapa de la
operación del SMC.
Las cuatro etapas anteriores se repiten continuamente formando un ciclo limite [70], la
cual impone el comportamiento de histéresis de la función de conmutación del SMC
alrededor de la superficie Ψ = 0. Por otra parte, en la Figura 4- 5 (b) se observa que la
banda de histéresis se define por la condición 𝑑Ψ
𝑑𝑡= 0, que corresponde a
𝑑v𝑝𝑣
𝑑𝑡= 0 y 𝑖𝑐𝑖𝑛 =
0 cómo se reporta en (4-25). Esta dependencia se observa en la Figura 4- 4, y se confirma
en la Figura 4- 6, la cual presenta las señales Ψ, 𝑑Ψ
𝑑𝑡 y u generadas por la misma simulación
utilizada para generar la Figura 4- 4. Además, la Figura 4- 6 también confirma el ciclo
límite de la función de conmutación. Finalmente, se observa que la banda de histéresis del
SMC se define por el rizado de voltaje del capacitor de entrada, el cual puede modificarse
cambiando el valor del capacitor.
95
(a) Condición de convergencia y divergencia
96
(b) Comportamiento de la señal de histéresis
Figura 4- 5. Comportamiento periódico de la condición de alcanzabilidad
Figura 4- 6. Comportamiento de la histéresis del SMC
4.3 Frecuencia de conmutación
La frecuencia de conmutación se calcula a partir de las ecuaciones diferenciales del
convertidor dc/dc y las magnitudes de las señales de rizado como se describe en [34]. En un
convertidor boost, el rizado de la corriente del inductor y del voltaje del condensador están
dadas por (4-33) y (4-34), respectivamente, donde 𝑇𝑠 representa el periodo de conmutación,
𝑑 representa el ciclo de trabajo y 𝑓𝑠𝑤 =1𝑇𝑠⁄ es la frecuencia de conmutación.
97
∆𝑖𝐿 =𝑣𝑝𝑣
2. 𝐿𝑑. 𝑇𝑠, 𝑑 = 1 −
𝑣𝑝𝑣
𝑣𝑏
(4-33)
∆𝑣𝑝𝑣 =∆𝑖𝐿8. 𝐶𝑖𝑛
𝑇𝑠 (4-34)
La Figura 4- 7 presenta una simulación de lazo cerrado, destacando los intervalos de tiempo
en los cuales el MOSFET esta encendido (Ton) y apagado (Toff). En esa figura se observa que
la magnitud del rizado del voltaje ∆𝑣𝑝𝑣 se mide a partir del promedio de voltaje del PV 𝑣𝑝𝑣̅̅ ̅̅ ,
y hasta voltaje pico (maximo) 𝑣𝑝𝑣−𝑚𝑎𝑥, obteniendo ∆𝑣𝑝𝑣 = 𝑣𝑝𝑣−𝑚𝑎𝑥 − 𝑣𝑝𝑣̅̅ ̅̅ . Entonces,
aproximando el voltaje medio del PV al voltaje del MPP, la magnitud del rizado de voltaje se
convierte en ∆𝑣𝑝𝑣 ≈ 𝑣𝑝𝑣−𝑚𝑎𝑥 − 𝑣𝑀𝑃𝑃, donde el voltaje en el MPP se calcula a partir de (4-
18) como 𝑣𝑀𝑃𝑃 =𝐿𝑎𝑚𝑏𝑒𝑟𝑡𝑊(exp(1)(𝐵+𝑖𝑠𝑐))−1
𝐴 [12].
El voltaje máximo del PV 𝑣𝑝𝑣−𝑚𝑎𝑥 se alcanza cuando 𝑑𝑣𝑝𝑣
𝑑𝑡= 0, lo que también corresponde
a dΨ
dt= 0 y u = 1 como se demostró en la subsección anterior. Entonces, reemplazando estos
valores en (4-15), y asumiendo 𝑖𝑠𝑐 constante, se obtiene la ecuación (4-35):
0 = −𝑣𝑝𝑣−𝑚𝑎𝑥
𝐿(𝑖𝑝𝑣 + 𝑦 . 𝑣𝑝𝑣−𝑚𝑎𝑥
𝐶𝑖𝑛)
(4-35)
Finalmente, reemplazando las expresiones (4-33) y (4-35) en (4-34), con 𝑣𝑝𝑣 ≈ 𝑣𝑀𝑃𝑃 y
∆𝑣𝑝𝑣 ≈ 𝑣𝑝𝑣−𝑚𝑎𝑥 − 𝑣𝑀𝑃𝑃 , se calcula el intervalo 𝑇𝑜𝑛:
𝑇𝑜𝑛 =√16. 𝐿. 𝐶𝑖𝑛 (−
𝑖𝑝𝑣𝑦|𝑣𝑝𝑣=𝑀𝑃𝑃
− 𝑣𝑀𝑃𝑃)
𝑣𝑀𝑃𝑃 . 𝑑
(4-36)
Similarmente, teniendo en cuenta que valor mínimo del voltaje del PV 𝑣𝑝𝑣−𝑚𝑖𝑛 se calcula
cuando 𝑑𝑣𝑝𝑣
𝑑𝑡= 0,
dΨ
dt= 0 y u = 0, el rizado de voltaje ∆𝑣𝑝𝑣 ≈ 𝑣𝑀𝑃𝑃 − 𝑣𝑝𝑣−𝑚𝑖𝑛 se puede
aproximar a ∆𝑣𝑝𝑣 ≈ 𝑣𝑝𝑣−𝑚𝑎𝑥 − 𝑣𝑀𝑃𝑃. Entonces el intervalo 𝑇𝑜𝑓𝑓 se calcula como en (4-37),
donde d’ = 1-d, es decir el ciclo de trabajo complementario.
98
𝑇𝑜𝑓𝑓 =√16. 𝐿. 𝐶𝑖𝑛 (−
𝑖𝑝𝑣𝑦 |
𝑣𝑝𝑣=𝑀𝑃𝑃− 𝑣𝑀𝑃𝑃)
𝑣𝑀𝑃𝑃 . 𝑑′
(4-37)
Finalmente, la frecuencia de conmutación impuesta por el SMC es se calcula en (4-38). En tal
expresion el ciclo de trabajo se evalua utilizando (4-33).
𝑓𝑠𝑤 =1
𝑇𝑜𝑛 + 𝑇𝑜𝑓𝑓=
1
√16. 𝐿. 𝐶𝑖𝑛 (−
𝑖𝑝𝑣𝑦 |
𝑣𝑝𝑣=𝑀𝑃𝑃− 𝑣𝑀𝑃𝑃)
𝑣𝑀𝑃𝑃 (√
𝑣𝑏𝑣𝑏 − 𝑣𝑀𝑃𝑃
+ √𝑣𝑏𝑣𝑀𝑃𝑃
)
(4-38)
Figura 4- 7. Principio para el cálculo de la frecuencia de conmutación
La precisión de la expresión anterior se ilustra mediante el cálculo de la frecuencia de
conmutación de la instalación fotovoltaica simulada en la Figura 4- 7: la ecuación (4-38)
predice una frecuencia de conmutación igual a 27,4 kHz, en cuanto la simulación reporta una
frecuencia de conmutación igual a 28,41 kHz, lo que corresponde a una predicción aceptable
con un error del 3,5%.
Por otra parte, a partir de la expresión (4-38), es evidente que la frecuencia de conmutación
depende tanto de los valores de la inductancia y capacitancia, de las características del módulo
PV y del punto de operación del sistema. Por lo tanto, si 𝐶𝑖𝑛 or 𝐿 cambian debido al
envejecimiento, o por otros efectos tales como la saturación del inductor, la frecuencia de
conmutación también puede cambiar. Sin embargo, las subsecciones anteriores demostraron
99
la robustez del SMC propuesto ante cambios en 𝐶𝑖𝑛 y 𝐿, a través del análisis de las condiciones
de transversalidad y alcanzabilidad. En conclusión, la tolerancia en los parámetros del
convertidor debido al envejecimiento o saturación no comprometen la estabilidad del sistema.
4.4 Dinámica del sistema en modos deslizantes
La dinámica del sistema en modos deslizantes proporciona información concerniente al
voltaje promedio y al comportamiento instantáneo, lo que es útil para predecir criterios de
rendimiento basados en el tiempo, por ejemplo, el tiempo de establecimiento. La dinámica
considera que el sistema se encuentra dentro de la superficie de control, entonces la expresión
(4-5), conduce a la ecuación (4-39):
𝑑𝑣𝑝𝑣
𝑑𝑡= −
𝑣𝑝𝑣
𝑖𝑝𝑣.𝑑𝑖𝑝𝑣
𝑑𝑡 (4-39)
De forma similar, a partir de la ecuación diferencial de segundo orden del convertidor dc/dc
(2-4) se obtiene la relación 𝑖𝑝𝑣 = 𝐶𝑖𝑛𝑑𝑣𝑝𝑣
𝑑𝑡+ 𝑖𝐿 , donde, la derivada de 𝑖𝑝𝑣 es:
𝑑𝑖𝑝𝑣
𝑑𝑡= 𝐶𝑖𝑛
𝑑2𝑣𝑝𝑣
𝑑𝑡2+𝑑𝑖𝐿𝑑𝑡
(4-40)
Entonces, sustituyendo (2-3) y (4-39) en (4-40), y teniendo en cuenta que la impedancia
instantánea del módulo PV es 𝑅𝑝𝑣 =𝑣𝑝𝑣
𝑖𝑝𝑣, se obtiene la relación (4-41).
𝑅𝑝𝑣. 𝐶𝑖𝑛 . 𝐿 𝑑2𝑣𝑝𝑣
𝑑2𝑡+ 𝐿
𝑑𝑣𝑝𝑣
𝑑𝑡+ 𝑅𝑝𝑣. 𝑣𝑝𝑣 = 𝑅𝑝𝑣 . 𝑣𝑏 . 𝑑′ (4-41)
Expresando (4-41) en el dominio de Laplace conduce al modelo reportando en (4-42).
𝑣(𝑠)
𝑑′(𝑠)=
𝑅𝑝𝑣. 𝑣𝑏
𝑅𝑝𝑣. 𝐶𝑖𝑛 . 𝐿 . 𝑠2 + 𝐿. 𝑠 + 𝑅𝑝𝑣 (4-42)
Ese modelo de segundo orden describe la dinámica del sistema, en lazo cerrado, alrededor de
un punto de operación, exhibiendo una frecuencia natural 𝑤𝑛 = √1 (𝐶𝑖𝑛. 𝐿)⁄ y un coeficiente
de amortiguamiento 𝜉 = 1 (2. 𝑅𝑝𝑣. 𝐶𝑖𝑛 ⁄ √1 (𝐶𝑖𝑛. 𝐿)⁄ ). A partir del análisis de un sistema
clásico de segundo orden [71], el tiempo de establecimiento es aproximadamente 𝑡𝑠 =
6,4. 𝑅𝑝𝑣. 𝐶𝑖𝑛 para una banda del 2%. Para evaluar esa aproximación, el sistema PV controlado
100
por el SMC, y teniendo en cuenta los parámetros descritos en la subsección 4.2.1, se simuló
bajo cambios en la radiación solar tanto ascendentes como descendentes. La primera
simulación considera un cambio ascendente en la radiación de 600 W/m2 a 1000 W/m2, lo
que corresponde a un cambio en isc de 3A a 5 A, obteniendo el resultado presentado en la
Figura 4- 8(a): en tal condición la impedancia en el módulo PV es de 5,1 , lo que implica
un 𝑡𝑠 = 1,4 𝑚𝑠. Para proporcionar un cálculo más claro del tiempo de establecimiento, el
voltaje del PV se filtró para remover el rizado, permitiendo así verificar con exactitud la
estimación. La segunda simulación considera un cambio descendente en la radiación solar de
1000 W/m2 a 600 W/m2, obtenido el resultado presentado en la Figura 4- 8(b), donde se
verifica la estimación del tiempo de establecimiento, i.e. ts = 1,4 ms. Las dos simulaciones
confirman la validez de la aproximación propuesta.
Figura 4- 8. Tiempo de establecimiento estimado
4.5 Evaluación del desempeño
El SMC propuesto fue implementado en el simulador circuital PSIM usando lenguaje C. Este
procedimiento permite obtener resultados realistas, los cuales verifican el desempeño del
SMC mediante la emulación de la implementación del controlador en un procesador digital
de señales (DSP). Adicionalmente, la simulación de PSIM incluye el código en ANSI C
(mediante el bloque C), el cual se puede ejecutar directamente en una DSP sin realizar
mayores modificaciones.
101
La Figura 4- 9 presenta el esquema de simulación, el cual considera los siguientes cuatro
dispositivos para la implementación del controlador: un bloque en C que emula el DSP, dos
comparadores clásicos y un flip-flop tipo S-R que genera la señal 𝑢. Tal estructura es adoptada
ampliamente en la literatura para implementar la función de conmutación debido a su
simplicidad y fiabilidad [43]. Sin embargo, dado que en este trabajo el SMC realiza
simultáneamente las acciones de regulación de voltaje y MPPT, no hay necesidad de
controladores o moduladores en cascada. La Figura 4- 9 también presenta el código ANSI C,
el cual se utiliza para calcular la función de conmutación, emulando además el convertidor
digital-análogo (DAC) que interactúa con el circuito de conmutación del MOSFET.
La Figura 4- 10 presenta dos simulaciones: la Figura 4- 10(a) presenta la respuesta dinámica
del sistema para una cambio en la radiación solar de 600 W/m2 a 1000 W/m2, mientras que
en la Figura 4- 10 (b) presenta la respuesta dinámica para un cambio en la radiación solar de
1000 W/m2 a 600 W/m2. En ambos casos el SMC lleva al sistema PV a operar en la condición
óptima dentro del tiempo de establecimiento estimado. Por otra parte, las simulaciones
también describen los puntos de la curva de I-V en los cuales opera el sistema PV: (1)
corresponde a la condición inicial en estado estacionario, luego la condición (2) se genera por
una perturbación en la radiación, y (3) es el nuevo MPP detectado por el SMC. Las
simulaciones demuestran que el SMC detecta satisfactoriamente los MPP en las dos
condiciones de cambio de irradiación.
Teniendo en cuenta que los sistemas fotovoltaicos conectados a la red están expuestos a
perturbaciones en la carga, se evaluó el SMC en presencia de oscilaciones sinusoidales de
voltaje en Cb. Tal prueba se presenta en la Figura 4- 11, donde una oscilación de voltaje de 20
V pico a pico se superpone al componente dc de 29 V, lo que corresponde a una perturbación
del 69%. La simulación también considera una perturbación en la radiación solar de 1000
W/m2 a 600 W/m2 en t = 0,03 s, demostrando que, incluso bajo esta fuerte perturbación en la
carga, el SMC es capaz de imponer el comportamiento esperado para alcanzar el nuevo MPP.
102
Figura 4- 9. Esquema de simulación e implementación el SMC
(a) Transiente de 600 W/m2 a 1000 W/m2
103
(b) Transiente de 1000 W/m2 a 600 W/m2
Figura 4- 10. Respuesta del sistema ante perturbaciones en la radiación solar
Figura 4- 11. Respuesta del sistema ante perturbaciones tanto en la carga como en la
radiación solar
Un segundo esquema de simulación se utiliza para evaluar el SMC interactuando con un
inversor conectado a la red. El esquema se presenta en la Figura 4- 12 [50], el cual incluye
un inversor en lazo cerrado con dos lazos de control: uno para proporcionar un factor de
104
potencia dado y otro para regular el voltaje del enlace dc. El inversor se diseñó para operar a
110 VAC@60 Hz con un voltaje medio de enlace dc igual a 220V. El enlace de dc está
formado por un capacitor 𝐶𝑏 = 14 𝑢𝐹, el cual experimenta una oscilación pico a pico de
120V superpuesto sobre la componente dc, lo que corresponde a una perturbación del 55%.
Además, el capacitor de entrada se cambió por 𝐶𝑖𝑛 = 150 𝑢𝐹 para evitar grandes oscilaciones
de voltaje del PV debido a la relación de voltaje impuesto por el conversor dc/dc. Por lo tanto,
la frecuencia de conmutación, calculada en (4-38), es aproximadamente igual a 100 kHz.
Finalmente, la simulación también considera una perturbación en la radiación solar de
1000 W/m2 a 300 W/m2 en t = 0,65s para ilustrar la operación MPPT. Los resultados
presentados en la Figura 4- 13 confirman que, aún bajo perturbaciones, el SMC asegura
alcanzar el nuevo MPP.
Figura 4- 12. Esquema circuital detallado de la instalación fotovoltaica conectada a la red
Figura 4- 13. Comportamiento del SMC interactuando con el inversor conectado a la red
105
4.6 Comparación con dos estrategias convencionales de seguimiento del punto de
máxima potencia
Con el objetivo de evaluar el rendimiento del SMC, su desempeño se contrastó con dos
soluciones clásicas basadas en el algoritmo P&O. La estructura de las dos soluciones se
presenta en la Figura 4- 14: (a) el algoritmo P&O define el ciclo de trabajo del PWM llamada
(P&O+PWM) y (b) el algoritmo P&O define el voltaje de referencia de un controlador PID,
el cual a su vez define del ciclo de trabajo del PWM llamada (P&O+PID+PWM).
Figura 4- 14. Estructura de una arquitectura MPPT convencional
El algoritmo P&O se diseñó siguiendo las directrices dadas en [6], [14], cuyo objetivo es
garantizar un tiempo de perturbación mayor al tiempo de estabilización del voltaje del PV.
Los parámetros de diseño del controlador P&O son: (a) Periodo de perturbación Ta = 0,5 ms
y amplitud de perturbación d = 0,2; (b) el PID se basó en la linealización del modelo del
sistema diseñado con las ecuaciones (2-3),(2-4),(4-3) para una radiación solar de 100 W/m2
como se sugiere en [6]. Entonces, la función de transferencia entre el voltaje del PV y el ciclo
de trabajo se calcula en (4-43). Es importante recordar que 𝑅𝑝𝑣 cambia con la radiación solar
y la temperatura, por lo que el tiempo de establecimiento 𝑡𝑠 del voltaje del PV cambia
constantemente [61].
𝑣𝑝𝑣(𝑠)
𝑑(𝑠)= −
𝑅𝑝𝑣. 𝑣𝑏
𝐿. 𝐶𝑖𝑛. 𝑅𝑝𝑣 . 𝑠2 + 𝐿 . 𝑠 + 𝑅𝑝𝑣
(4-43)
106
Por lo tanto, los diseños de los controladores lineales convencionales se deben realizar con el
mayor valor del tiempo de establecimiento, el cual se obtiene para el valor más alto 𝑅𝑝𝑣 (baja
radiación solar, en este ejemplo 100 W/m2). Entonces, el controlador (4-44) se diseñó usando
la técnica del lugar geométrico de las raíces. El periodo de perturbación del algoritmo P&O
se diseñó para el caso más crítico (mayor valor de 𝑡𝑠) siguiendo las directrices dadas en [6],
lo que conlleva a Ta = 0,5 ms y vref = 0,25 V (amplitud de perturbación aplicada a la
referencia del PID).
Finalmente, para proporcionar una comparación justa, tanto el P&O+PWM como el
P&O+PID+PWM se diseñaron con una frecuencia de conmutación igual a 100 kHz, es decir,
la misma frecuencia de conmutación impuesta por el SMC.
𝐺𝑐(𝑠) = −10,1302(𝑠 + 2,25𝑒4)(𝑠 + 1423)
𝑠(𝑠 + 8,453𝑒5)
(4-44)
Se realiza un primer test considerando un valor de 𝐶𝑏 = 200 𝑢𝐹, el cual reduce las
oscilaciones de voltaje generadas por el inversor. Este test también incluye una perturbación
en la radiación solar en t = 0,65 s. Los resultados de simulación se presentan en la Figura 4-
15, donde se observa que el método propuesto realiza un seguimiento más rápido del MPP,
en comparación con las otras soluciones. La simulación también reporta para los tres sistemas
unas pequeñas oscilaciones de voltaje en 𝐶𝑏, lo que permite la correcta operación de la
solución P&O+PWM. Finalmente, la rápida respuesta del SMC se traduce en mayor
generación de potencia, lo que con incrementa la rentabilidad del sistema.
Se realizó una segunda validación, considerado un valor pequeño de 𝐶𝑏 = 14 𝑢𝐹. Los
resultados de simulación se reportan en la Figura 4- 16, donde de nuevo el SMC exhibe un
seguimiento más rápido del MPP, presentando una mayor producción de energía. Por otra
parte, la solución más simple (P&O+PWM) presenta inestabilidad, ya que las oscilaciones en
𝐶𝑏 se transfieren a las terminales del arreglo PV, lo que confunde al algoritmo P&O. En
contraste, la solución (P&O+PID+PWM) es estable, pero requiere de un tiempo de
estabilización mucho más largo para alcanzar el MPP en comparación con el SMC.
107
Figura 4- 15. Comparación entre el SMC y soluciones basadas en el P&O considerando un
𝐶𝑏 = 200 𝑢𝐹
Figura 4- 16. Comparación entre el SMC y soluciones basadas en el P&O considerando un
𝐶𝑏 = 14 𝑢𝐹
4.7 Implementación y resultados experimentales
Esta sección presenta la validación experimental del controlador y del procedimiento de
diseño propuesto. El banco de pruebas experimentales consiste en: un emulador de panel
62050H-600s, un convertidor dc/dc tipo Boost, una carga electrónica BOP50-20GL, un
dispositivo DSP con un DAC (convertidor análogo-digital) MCP4822, como se ilustra en las
108
Figuras 4-17 y 4-18. El banco de pruebas presenta una frecuencia máxima de 60 kHz. Dado
que la frecuencia del SMC cambia en condiciones dinámicas por encima del límite impuesto
por la plataforma la validación experimental del SMC se realizó pre-calculando el ciclo de
trabajo impuesto al sistema para diferentes puntos de operación. Este ciclo de trabajo se
impuso al sistema a través del DSP. En la Figura 4- 19 se ilustra el comportamiento del
sistema para un cambio en la irradiación solar de 250 𝑊 𝑚2⁄ a 500 𝑊 𝑚2⁄ , lo que impone
condiciones de operación en MPP de 23 W y 44W, respectivamente.
Figura 4- 17. Esquema experimental
109
Figura 4- 18. Configuración del laboratorio
Figura 4- 19. Ciclo de trabajo para un cambio en S de 250 W/m2 a 500 W/m2
110
La Figura 4- 20 ilustra el comportamiento experimental del sistema para las condiciones
descritas anteriormente, validando así el correcto funcionamiento del SMC propuesto: se
verifica que el sistema alcanza el nuevo MPP rápidamente.
Figura 4- 20. Resultado experimental para un cambio en la irradiación solar de 250 W/m2 a
500 W/m2
4.8 Conclusiones
En este capítulo se propuso y analizó detalladamente un controlador MPPT basado en la teoría
de control por modos deslizantes. Esta solución está dirigida a reducir el número de
controladores en sistemas PV y, al mismo tiempo, incrementar la velocidad de búsqueda de
las condiciones óptimas de operación.
Este enfoque evita la dependencia circular entre los controladores conectados en cascada,
asegurando la estabilidad global en todo el rango de funcionamiento. Estas características son
mejoras importantes con respecto a las soluciones MPPT clásicas basadas en controladores en
cascada y en modelos linealizados.
111
La solución propuesta se evaluó usando simulaciones realistas con perturbaciones tanto en la
radiación solar como en el voltaje de la carga, obteniendo resultados satisfactorios. Por otra
parte, el controlador en modos deslizantes se evaluó frente a una solución clásica de MPPT
basada en el algoritmo P&O, donde el SMC proporciona una búsqueda más rápida del MPP,
incrementado así la producción de energía. Por lo tanto, el SMC permite incrementar la
rentabilidad de las instalaciones fotovoltaicas.
Finalmente, la validación experimental demuestra la aplicabilidad de esta nueva solución a
instalaciones fotovoltaicas reales. Asimismo, la implementación experimental pone en
evidencia los inconvenientes generados por la variabilidad de la frecuencia de conmutación
presente en estructuras basadas en modos deslizantes con histéresis.
Para contribuir a la solución de este problema, el siguiente capítulo propone una metodología
para implementar controladores en modos deslizantes a frecuencia fija en sistemas
fotovoltaicos.
112
113
5
Metodología de implementación a frecuencia fija de sistemas de
control en modos deslizantes para aplicaciones fotovoltaicos
Las implementaciones tradicionales de controladores de modos deslizantes, basadas en
comparadores con histéresis, generan frecuencias de conmutación variable que afectan el
rendimiento del sistema, asimismo dificulta el diseño de filtros y el cálculo de los elementos
del convertidor dc/dc. Para superar estos problemas, este capítulo propone una metodología
de implementación a frecuencia fija de los sistemas de control en modos deslizantes para
aplicaciones fotovoltaicas, considerando superficies de control de primer orden. La
metodología propuesta se válida ante soluciones convencionales, las cuales son ampliamente
utilizadas en la literatura.
5.1 Metodología de diseño de la señal de histéresis adaptativa
Esta sección presenta una metodología de implementación a frecuencia fija para SMC con una
superficie de primer orden aplicado a sistemas PV.
La superficie de control de un SMC es de primer orden si se cumple que, para un valor definido
para la señal de control 𝑢, la derivada de la superficie de control es constante:
𝑑Ψ
𝑑𝑡= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒, para un valor de de 𝑢 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 (5-1)
Puesto que la señal de control 𝑢 corresponde a la señal de activación del MOSFET, los límites
de operación son 0 y 1, con lo que se obtiene (5-2), donde 𝑐𝑡𝑒1 y 𝑐𝑡𝑒2 son valores constantes.
𝑢 = 1 → 𝑑Ψ
𝑑𝑡= 𝑐𝑡𝑒1
𝑢 = 0 → 𝑑Ψ
𝑑𝑡= 𝑐𝑡𝑒2
(5-2)
Con el objetivo de asegurar una frecuencia de conmutación fija, la superficie de deslizamiento
(Ψ = 0) se modifica, encerrando el sistema dentro de una banda de histéresis diferente de
114
cero, la cual se adapta dependiendo del punto de operación como se ilustra en la Figura 5- 1.
En esta implementación el tiempo de subida (𝑇𝑢𝑝) y el tiempo de bajada (𝑇𝑑𝑤) dependen del
valor de la derivada de la superficie (𝑑Ψ 𝑑𝑡⁄ ), que a su vez depende de los cambios en el punto
de operación, como se describe en (5-1). Por lo tanto, para asegurar una frecuencia fija, el
ancho de la histéresis se debe adaptar dependiendo de los cambios en el punto de operación.
Figura 5- 1. Operación del SMC con banda de histéresis adaptable
𝑇𝑢𝑝 =ℎ
𝑑Ψ𝑢𝑝𝑑𝑡
; 𝑇𝑑𝑤 = −ℎ
𝑑Ψ𝑑𝑤𝑑𝑡
(5-1)
La frecuencia de conmutación para un sistema con periodo 𝑇 = 𝑇𝑢𝑝 + 𝑇𝑑𝑜𝑤𝑛 está dada por (5-
2).
𝑓𝑠𝑤 =1
𝑇𝑢𝑝 + 𝑇𝑑𝑜𝑤𝑛 (5-2)
El valor de 𝑓𝑠𝑤 en términos de la histéresis ℎ, se calcula reemplazando (5-1) en (5-2):
𝑓𝑠𝑤 =1
ℎ𝑑Ψ𝑢𝑝𝑑𝑡
− ℎ
𝑑Ψ𝑑𝑤𝑑𝑡
(5-3)
115
Finalmente, se despeja de la ecuación (5-3) el valor de la histéresis ℎ, el cual depende de la
frecuencia de conmutación impuesta para el sistema y de la derivada positiva y negativa de la
función de conmutación, i.e. 𝑑Ψ𝑢𝑝
𝑑𝑡 y 𝑑Ψ𝑑𝑤
𝑑𝑡 respectivamente. Por lo tanto, la señal de histéresis
varia con los cambios en el sistema PV y en la carga.
ℎ =
𝑑Ψ𝑢𝑝𝑑𝑡
.𝑑Ψ𝑑𝑤𝑑𝑡
𝑓𝑠𝑤 (𝑑Ψ𝑑𝑤𝑑𝑡
−𝑑Ψ𝑢𝑝𝑑𝑡
)
(5-4)
Por lo tanto, la superficie se limita dentro de una banda de histéresis adaptativa, tal y como se
ilustra en la Figura 5- 1. Finalmente, la ley de control para una transversalidad positiva ó
negativa, está dada por las ecuaciones (5-5) y (5-6), respectivamente.
{
Ψ >
ℎ|𝑣𝑝𝑣,𝑣𝑏,𝑖𝑠𝑐2
|𝑢=1
→ Mosfet ON
Ψ < − ℎ|𝑣𝑝𝑣,𝑣𝑏,𝑖𝑠𝑐
2|𝑢=0
Mosfet OFF }
(5-5)
{
Ψ >
ℎ|𝑣𝑝𝑣,𝑣𝑏,𝑖𝑠𝑐2
|𝑢=0
→ Mosfet OFF
Ψ < − ℎ|𝑣𝑝𝑣,𝑣𝑏,𝑖𝑠𝑐
2|𝑢=1
→ Mosfet ON }
(5-6)
Las Figuras 5-2 y 5-3 ilustran la implementación de la ley de control tanto para el sistema con
transversalidad positiva como negativa, respectivamente. Para la construcción del SMC se
usaron dos comparadores, un flip-flop S-R y un bloque en C donde se programa la ecuación
de la histéresis adaptativa analizada en (5-4), la cual depende del punto de operación del
sistema PV.
116
Figura 5- 2. Implementación práctica del SMC con transversalidad positiva con
banda de histéresis adaptable
Figura 5- 3. Implementación práctica del SMC con transversalidad negativa con
banda de histéresis adaptable
5.2 Aplicación a diferentes SMC de primer orden en sistemas PV
Para la evaluación de las diferentes superficies a analizar, se consideraron los siguientes
parámetros: Un módulo PV BP585 con 𝐴 = 0,703 𝑉−1y 𝐵 = 0,894 𝑢𝐴; un convertidor
dc/dc tipo boost con 𝐿 = 44𝑢𝐻, 𝐶𝑖𝑛 = 44𝑢𝐹, 𝑣𝑏 = 26 𝑉; un rango de operación de
irradiación solar 100𝑊/𝑚2 ≤ 𝑆 ≤ 1000 𝑊/𝑚2; un voltaje MPP entre 16,39 V y 18,13 V
y una frecuencia de conmutación a 60 kHz. La histéresis adaptativa fue implementada en
PSIM usando lenguaje C. Para validar la metodología propuesta se consideró dos soluciones
reportadas en la literatura para sistemas PV conectados a la red: 1) SMC basado en la medición
de la corriente del inductor, 2) SMC basado en la medición de la corriente del capacitor.
117
Finalmente, la validación experimental se realizó en un banco de pruebas compuesto por: un
panel PV; un convertidor dc/dc tipo Boost; una carga electrónica BOP 50-20GL; un
dispositivo DSP donde se implementó el algoritmo P&O y la banda de histéresis adaptativa;
y un circuito basado en amplificadores operacionales donde se configuró el SMC, como se
ilustra en la Figuras 5-4 y 5-5.
Figura 5- 4. Diagrama esquemático
118
Panel
Figura 5- 5. Configuración del laboratorio
5.2.1 SMC basada en la medición de la corriente del inductor
En el Capítulo 2 se analizó el SMC basado en la medición de la corriente del inductor, el cual
se implementó con una histéresis fija, lo que conduce a una frecuencia de conmutación
variable. En esta subsección se interviene la histéresis, para garantizar una 𝑓𝑠𝑤 fija.
De la condición de alcanzabilidad dada en (2-26) se obtiene 𝑑Ψ𝑢𝑝
𝑑𝑡 y
𝑑Ψ𝑑𝑤
𝑑𝑡:
𝑑Ψ𝑢𝑝
𝑑𝑡= 𝑙𝑖𝑚
𝛹𝑖𝐿→0−
𝑑𝛹
𝑑𝑡|𝑢=1
=𝑣𝑝𝑣
𝐿 > 0
𝑑Ψ𝑑𝑤𝑑𝑡
= 𝑙𝑖𝑚 𝛹𝑖𝐿→0
+
𝑑𝛹
𝑑𝑡|𝑢=0
=𝑣𝑝𝑣 − 𝑣𝑏
𝐿 < 0
(5-7)
Reemplazando (5-7) en (5-4), se obtiene la ecuación de la histéresis ℎ para este controlador:
119
ℎ =𝑣𝑝𝑣
𝐿. 𝑓𝑠𝑤(𝑣𝑏 − 𝑣𝑝𝑣
𝑣𝑏) (5-7)
La Figura 5- 6 presenta el diagrama de bloques del sistema. Dado que la transversalidad del
sistema es positiva, la ley de control se implementa con (5-5), por tanto, el diagrama de estados
del sistema PV se realiza con las ecuaciones (2-3) y (2-4); el controlador de voltaje se
implementa con un control PI convencional, el cual se analizó en el capítulo 2 en (2-30).
Asimismo, la Figura 5- 6 también ilustra el código en C usado para calcular dinámicamente
el valor de la histéresis.
Figura 5- 6. Diagrama de bloques del SMC basado en la corriente del inductor a frecuencia
constante
120
La simulación presentada en la Figura 5- 7 demuestra el correcto funcionamiento del sistema,
ya que la histéresis se adapta a los cambios en la carga, garantizando así una frecuencia de
conmutación constante igual a 60 kHz, sin afectar el rendimiento del sistema. Esto se
evidencia en el perfil de tres puntos presente en el voltaje del panel, lo que implica la operación
en el MPP.
Figura 5- 7. Respuesta del SMC basado en la medición de corriente del inductor con
implementación a frecuencia constante
Con el objetivo de ilustrar el rendimiento de la implementación a frecuencia constante, su
desempeño se contrasta con la solución clásica a frecuencia variable, presentada en el capítulo
2. Los resultados de simulación se reportan en la Figura 5- 8, donde se emula el
comportamiento del sistema para la misma perturbación en la carga (𝑣𝑏) reportado en la figura
5-7, se observa que las dos soluciones convergen al MPP (perfil de tres puntos), pero la
solución clásica impone frecuencia de conmutación variable.
Figura 5- 8. Comparación del SMC basado en la medición de la corriente del inductor
con frecuencia constante (FF) y con Frecuencia variable (FV)
121
Las Figuras 5-9 y 5-10 presentan los resultados experimentales del sistema SMC basado en la
medición de corriente del inductor con implementación a frecuencia constante y frecuencia
variable, el experimento reportado en la Figura 5-9 verifica la adaptabilidad de la banda de
histéresis para mantener la frecuencia constante a 60 kHz, tal y como lo reporta el
osciloscopio. De forma similar, el experimento reportado en la Figura 5-8 demuestra que una
banda de histéresis fija impone una frecuencia de conmutación variable. La variación en la
frecuencia de conmutación se observa en los diferentes niveles de obscuridad de la función de
conmutación Ψ: entre más obscura la señal mayor frecuencia de conmutación. Así, en el
experimento reportado en la Figura 5-10 se observa que reducciones en 𝑣𝑏 generan un
incremento en la frecuencia de conmutación, e incrementos en 𝑣𝑏 producen una reducción de
esa frecuencia. Finalmente, comparando estas figuras se comprueba que el método propuesto
provee las mismas ventajas que el SMC a frecuencia variable: robustez ante perturbaciones
en la carga, velocidad de respuesta y estabilidad global.
Figura 5- 9. Resultado experimental del SMC basado en la medición de la corriente del
inductor con implementación a Frecuencia Constante
122
Figura 5- 10. Resultado experimental del SMC basado en la medición de la corriente del
inductor con implementación clásica a Frecuencia Variable.
5.2.2 SMC basado en la medición de corriente del capacitor
La Figura 5- 11 presenta el esquema del sistema de control propuesto en [22], donde el SMC
se basa en la medición de corriente del capacitor. Esta técnica de controlador requiere pocos
componentes y permite compensar variaciones en la irradiación solar con gran velocidad,
siendo además capaz de rechazar las perturbaciones de baja frecuencia que afectan al voltaje
en 𝑐𝑏 en aplicaciones conectadas a la red. Adicionalmente, la medición de la corriente del
condensador es más fácil de implementar en comparación con la medición de la corriente del
inductor [22].
La operación del sistema es similar al SMC basado en la medición de corriente del inductor,
pero en este caso la función de conmutación Ψ y la superficie de deslizamiento Φ están
definidas por (5-8).
Ψ = 𝑖𝑐𝑖𝑛 − 𝑖𝑟𝑒𝑓 ∧ Φ = {Ψ = 0}
(5-8)
123
Derivando (5-8), y considerando que 𝑖𝑐𝑖𝑛 = 𝑖𝑝𝑣 − 𝑖𝐿 y 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑓
𝑑𝑡≈ 0, se obtiene la siguiente
expresión:
dΨ
𝑑𝑡=𝑑𝑖𝑝𝑣
𝑑𝑡−𝑣𝑝𝑣 − 𝑣𝑏(1 − 𝑢)
𝐿
(5-9)
Figura 5- 11. Esquema del sistema basado en la medición de corriente del capacitor
La condición de transversalidad está dada por:
𝑑
𝑑𝑢(𝑑𝛹
𝑑𝑡) ≠ 0,→
𝑑
𝑑𝑢(𝑑𝛹
𝑑𝑡) = −
𝑣𝑏𝐿< 0 (5-10)
Como se observa en (5-10) el signo de la transversalidad es negativa, por lo tanto, la condición
de alcanzabilidad está dada por:
𝑙𝑖𝑚𝛹→0−
𝑑𝛹
𝑑𝑡|𝑢=0
= 𝑑𝑖𝑝𝑣
𝑑𝑡−𝑣𝑝𝑣 − 𝑣𝑏
𝐿> 0
𝑙𝑖𝑚𝛹→0+
𝑑𝛹
𝑑𝑡|𝑢=1
= 𝑑𝑖𝑝𝑣
𝑑𝑡−𝑣𝑝𝑣
𝐿< 0
(5-11)
Esta condición impone la siguiente restricción:
𝑣𝑝𝑣 − 𝑣𝑏
𝐿<𝑑𝑖𝑝𝑣
𝑑𝑢<𝑣𝑝𝑣
𝐿 (5-12)
En la práctica, esta limitación informa que la variación máxima de la corriente del PV es
impuesta por la corriente del inductor, es decir, la máxima variación de la irradiación que se
124
puede compensar sin perder el control de modo deslizante está limitada por las derivadas de
corriente del inductor en los estados ON y OFF del MOSFET. Finalmente, la condición de
control equivalente está dada por:
𝑢𝑒𝑞 =𝑣𝑏 − 𝑣𝑝𝑣
𝑣𝑏, 0 < 𝑢𝑒𝑞 < 1 (5-13)
El diseño del controlador de voltaje 𝐺𝐶𝐶 se basa en la función de transferencia presentada en
(5-14). Este enfoque de control presenta una mejora con respecto al SMC basado en la
medición de corriente del inductor, dado que, la función de transferencia no depende de
ninguno de los parámetros del sistema PV. Por lo tanto, el cambio del punto de operación no
altera la dinámica del sistema PV.
𝑣𝑝𝑣
𝑖𝑟𝑒𝑓= −
1
𝐶𝑖𝑛𝑠 (5-14)
Para el cálculo de la señal de histéresis, la ecuación (5-11) se introduce en (5-4), para obtener
(5-15):
ℎ =(𝑑𝑖𝑝𝑣𝑑𝑡
−𝑣𝑝𝑣 − 𝑣𝑏
𝐿 ) . (𝑑𝑖𝑝𝑣𝑑𝑡
−𝑣𝑝𝑣𝐿 )
𝑓𝑠𝑤 (𝑣𝑝𝑣𝐿 −
𝑣𝑝𝑣 − 𝑣𝑏𝐿 )
(5-15)
Derivando (1-6) se obtiene el cambio de 𝑖𝑝𝑣 con respecto al tiempo:
𝑑 𝑖𝑝𝑣
𝑑𝑡=𝑑𝑖𝑠𝑐𝑑𝑡
− 𝐵. 𝐴𝑑𝑣𝑝𝑣
𝑑𝑡𝑒𝐴.𝑣𝑝𝑣 (5-16)
Luego, reemplazando (2-4) en (5-16) se obtiene:
𝑑 𝑖𝑝𝑣
𝑑𝑡=𝑑𝑖𝑠𝑐𝑑𝑡
− 𝐵. 𝐴. 𝑒𝐴.𝑣𝑝𝑣 (𝑖𝑝𝑣 − 𝑖𝐿
𝐶𝑖𝑛) (5-17)
En [22] se demuestra que el punto de equilibrio del SMC es definido por {𝑖𝑝𝑣 = 𝑖𝐿 , 𝑖𝑠𝑐 =
𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 → 𝑑𝑖𝑠𝑐
𝑑𝑡= 0}, por lo tanto (5-17) implica que en el en el punto de equilibrio
𝑑 𝑖𝑝𝑣
𝑑𝑡=
0. Finalmente, combinando (5-15) y (5-17) para un tiempo lo suficientemente pequeño donde
𝑑𝑖𝑠𝑐
𝑑𝑡= 0, se obtiene la expresión para la señal de histéresis adaptativa:
125
ℎ =𝑣𝑝𝑣. (𝑣𝑝𝑣 − 𝑣𝑏)
𝑓𝑠𝑤 . 𝐿. 𝑣𝑏 (5-18)
El diagrama de bloques del sistema se ilustra en la Figura 5- 12, cuyo diseño tuvo en cuenta
el signo negativo de la transversalidad.
Figura 5- 12. Diagrama de bloques del SMC basado en la medición de la corriente del
capacitor con frecuencia constante.
En la Figura 5- 13 se observa como la histéresis se adapta a los cambios en 𝑣𝑏 , garantizando
una frecuencia de conmutación fija y un adecuado seguimiento del MPP (perfil de los tres
puntos).
126
Figura 5- 13. Respuesta del SMC basado en la medición de corriente del capacitor con
implementación a frecuencia constante
El desempeño del SMC a frecuencia constante se contrasta con la implementación clásica
basada en una banda de histéresis fija. La comparación se presenta en la Figura 5- 14, en la
cual 𝑣𝑏 presenta el mismo comportamiento reportado en la Figura 5-13, donde se observa que
las dos soluciones convergen al MPP, pero la nueva solución garantiza una frecuencia de
conmutación constante. En contraste la solución clásica impone una frecuencia de
conmutación variable cuando se presentan perturbaciones en 𝑣𝑏.
Figura 5- 14. Comparación del SMC basado en la medición de la corriente del capacitor
con Frecuencia constante (FF) y con Frecuencia Variable (FV)
127
Las Figuras 5-15 y 5-16 reportan los resultados experimentales del SMC basado en la
medición de corriente del capacitor, tanto con implementación a frecuencia constante como a
frecuencia variable. De la Figura 5-15 se comprueba la adaptabilidad de la banda de histéresis
ante los cambios en la carga, para imponer una frecuencia constante de 60kHz. Además, al
comparar las Figuras 5-15 y 5-16 se demuestra que el sistema propuesto cumple con las
mismas ventajas: estabilidad global, robustez y velocidad de respuesta. Finalmente, la Figura
5-16 pone en evidencia la variación de la frecuencia de la implementación a través de los
diferentes tonos de obscuridad presentes en Ψ.
Figura 5- 15. Resultado experimental del SMC basado en la medición de la corriente del
capacitor con implementación a frecuencia constante
128
Figura 5- 16. Resultado experimental del SMC basado en la medición de la corriente del
capacitor con implementación clásica a frecuencia variable.
5.3 Conclusiones
En este capítulo se propuso una metodología de implementación a frecuencia constante para
SMC de primer orden aplicada a sistemas fotovoltaicos.
La solución propuesta se evaluó usando simulaciones realistas obteniendo resultados
satisfactorios. Asimismo, el comportamiento de la solución propuesta se comparó con la
implementación clásica de banda de histéresis constante, comprobando que, pese a que el
sistema propuesto presenta un grado de libertad menos (la frecuencia), no afecta el desempeño
del sistema, garantizando la estabilidad global, robustez ante perturbaciones atmosféricas y en
la carga, y velocidad de respuesta. Por lo tanto, esta nueva metodología de implementación de
controladores en modos deslizantes facilita el diseño de filtros y el cálculo de los elementos
del convertidor dc/dc, logrando así superar los problemas que presentan los SMC
implementados con frecuencia variable.
129
Finalmente, esta metodología se debe extender a superficies de alto orden, e.g la superficie
propuesta en el capítulo 4. Esto permitirá incrementar el rango de controladores SMC a los
cuales se le puede aplicar la nueva metodología de implementación.
130
131
6
Conclusiones
En esta tesis doctoral se revisaron las principales estrategias de control aplicadas a los sistemas
fotovoltaicos conectados a la red, identificando la necesidad de optimizar la producción de
energía, reducir el número de controladores y asegurar la estabilidad global en todo el rango
de operación. La revisión ilustra los problemas asociados a los sistemas PV reportados en la
literatura, donde el uso de algoritmos MPPT tradicionales actuando directamente en el ciclo
de trabajo del convertidor tiene mayores desventajas debido a las grandes perturbaciones
ocasionadas por los cambios en la irradiación solar, los que genera un seguimiento lento del
MPP. Para mitigar dichas perturbaciones y acelerar el seguimiento del MPPT, en el capítulo
2 se presenta un ejemplo de diseño de un SMC, el cual tiene como objetivo regular la corriente
del inductor del convertidor Boost asociado a un módulo PV, donde se tienen tres
controladores en cascada: un algoritmo P&O, un controlador de voltaje PI y un SMC que
genera la señal de activación del MOSFET. Este enfoque permitió mitigar las perturbaciones
del sistema, garantizando estabilidad local, pero presenta perdidas dinámicas de potencia
debido a que el controlador de voltaje PI se diseña para el caso más restrictivo, lo que produce
una búsqueda lenta del MPP en gran parte del rango de operación. Por lo tanto, en el capítulo
3 se interviene el controlador de voltaje mediante dos nuevas estrategias de control basadas
en la teoría de los sistemas de control adaptativos. La primera estrategia de control propuesta
es un sistema de control MRAC, el cual garantiza un tiempo de estabilización constante, por
lo tanto, su diseño no se realiza para el peor de los casos, garantizando mayor velocidad de
respuesta y estabilidad del P&O. La segunda estrategia de control propuesta es un PI-
adaptable, el cual se ajusta para reducir el tiempo de establecimiento, definiendo a su vez el
tiempo de perturbación del P&O, logrando así reducir el tiempo necesario para alcanzar el
MPP, para extraer más energía de la fuente PV.
El problema con las soluciones basadas en estructuras en cascada concierne a la dependencia
circular en el diseño de los controladores, dado que, el SMC depende del controlador voltaje,
132
el cual a su vez depende del algoritmo MPPT. Por tanto, no es posible garantizar la operación
optima del conjunto.
Para evitar esta dependencia circular, en el capítulo 4, se propuso una nueva estrategia de
control MPPT basado en la teoría de control en modos deslizantes. Este enfoque evita la
dependencia circular entre los controladores en cascada, reduciendo el número de dispositivos
de control y asegurando la estabilidad global en todo el rango de operación. Asimismo, el
nuevo controlador proporciona un seguimiento más rápido del MPP, incrementado así la
producción de energía y la rentabilidad de las instalaciones fotovoltaicas.
Otro de los problemas encontrados en la revisión de la literatura, concierne la implementación
clásica de controladores en modos deslizantes con frecuencia de conmutación variable, lo que
afecta el rendimiento del sistema, dificultando el diseño de filtros y el cálculo de los elementos
del convertidor dc/dc. Para superar estos problemas, en el capítulo 5, se propone una
metodología de implementación a frecuencia constante para sistemas de control en modos
deslizantes en aplicaciones fotovoltaicas. Esta nueva metodología está diseñada implementar
superficies de control de primer orden. En este momento se está trabajando en la extensión
de esta metodología para cubrir superficies de alto orden, como por ejemplo la superficie
propuesta en el capítulo 4.
En conclusión, esta tesis doctoral proporciona un panorama teórico sobre nuevas técnicas de
control para sistema de generación fotovoltaica, demostrando que las soluciones propuestas
son alternativas viables para maximizar la producción de energía y la rentabilidad de los
sistemas PV.
133
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