Departamento

deMatem

aticayFısicaAplicad

as-UCSC2011

Pau

taCertamen

3–Calculo

II(IN1005C)

UNIVERSIDAD CATOLICA DE LA SANTISIMA CONCEPCION

FACULTAD DE INGENIERIA

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Y FISICA APLICADAS

Pauta CERTAMEN 3CALCULO II (IN1005C)

Problema 1. [15 Puntos] Sea la region encerrada por las curvas

x = −(y − 3)2 + 1 y y = 4− x,

a) Explique porque es recomendable usar el metodo de las capas cilındricas para calcular el

volumen del solido de revolucion, cuando se hace girar la region en torno a y = −1.

b) Calcule el volumen del solido de revolucion formado, cuando se hace girar la region en torno

a la recta y = −1.

Solucion:

a) Si se utilizar el metodo de las capas cilındricas para las funciones x = 1 − (y − 3)2 y

x = 4 − y, los radios de giro y las altura respectivas son polinomios, los cuales son facil

de integrar, en cambio al utilizar el metodo de los discos a partir de x = 1 − (y − 3)2 se

tendrıa que definir la(s) funcione(s) radicales y = f(x). [3 Puntos]

b) Veamos donde se intersectan las curvas x = −(y − 3)2 + 1 y x = 4 − y

−(y − 3)2 + 1 = 4− y ⇒ −y2 + 6y − 8 = 4 − y

⇒ y2 − 7y + 12 = 0

⇒ (y − 3)(y − 4) = 0

⇒ y = 3 ∨ y = 4

[3 Puntos]

1

2

3

4

−1

x

y

x = −(y − 3)2 + 1

x = 4 − y

y = −1

[2 Puntos]

Departamento

deMatem

aticayFısicaAplicad

as-UCSC2011

Pau

taCertamen

3–Calculo

II(IN1005C)

2 IN1005C - Certamen 3

Luego el volumen queda

V = 2π

(∫

4

3

(y + 1)(

1 − (y − 3)2)

dy −∫

4

3

(y + 1)(4 − y) dy

)

[4 Puntos]

= 2π

(∫

4

3

(y + 1)(

6y − y2 − 8)

dy −∫

4

3

(−y2 + 3y + 4) dy

)

= 2π

(∫

4

3

(

5y2 − y3 − 2y − 8)

dy −∫

4

3

(−y2 + 3y + 4) dy

)

= 2π

(∫

4

3

(6y2 − y3 − 5y − 12) dy

)

= 2π

(

2y3 −1

4y4 −

5

2y2 − 12y

) ∣

∣

∣

∣

4

3

=3π

2

[3 Puntos]

Problema 2. [15 Puntos] Considere la region encerrada por las curvas

f(x) =

{ √−x , −2 ≤ x ≤ 0

x2 , 0 ≤ x ≤ 2

x = −2, x = 2 y el eje X. Hallar el area de superficie del solido de revolucion que se genera al

girar la region alrededor del eje X.

Solucion: Claramente la region esta dada por

2−2

x

y

√−x

x2

[3 Puntos]

S = 2π

∫

0

−2

√−x

√

1 +

( −1

2√−x

)2

dx +

∫

2

0

x2

√

1 + (2x)2 dx

[4 Puntos]

= 2π

(

∫

0

−2

√−x

√

1 +1

−4xdx +

∫

2

0

x2√

1 + 4x2 dx

)

= 2π

(

∫

0

−2

√−x

√

1 − 4x

−4xdx +

∫

2

0

x2√

1 + 4x2 dx

)

= 2π

(

∫

0

−2

√−x

√1− 4x

2√−x

dx +

∫

2

0

x2√

1 + 4x2 dx

)

= 2π

(

1

2

∫

0

−2

√1 − 4x dx +

∫

2

0

x2√

1 + 4x2 dx

)

[2Puntos]

Departamento

deMatem

aticayFısicaAplicad

as-UCSC2011

Pau

taCertamen

3–Calculo

II(IN1005C)

IN1005C - Certamen 3 3

Haciendo w2 = 1− 4x ⇒ dx = −w

2dw y si x = −2 ⇒ w = 3 y x = 0 ⇒ w = 1, ademas

2x = senh z ⇒ 2dx = cosh z dz y si x = 0 ⇒ z = 0 y cuando x = 2 ⇒ z = arcsenh 4,

con lo cual [3 Puntos]

S = 2π

(

−1

4

∫

1

3

w2 dw +1

4

∫

arcsenh 4

0

senh2 z

√

1 + senh2 z cosh z dz

)

=π

2

(

w3

3

∣

∣

∣

∣

3

1

+

∫

arcsenh 4

0

senh2 z cosh2 z dz

)

=π

2

(

26

3+

∫

arcsenh 4

0

1

4senh2 2z dz

)

=π

2

(

26

3+

1

4

∫

arcsenh 4

0

cosh 2z − 1

2dz

)

=π

2

(

26

3+

1

8

(

senh 2z

2− z

) ∣

∣

∣

∣

arcsenh 4

0

)

= π

(

13

3+

1

32senh(2 arcsenh 4) −

1

16arcsenh 4

)

= π

(

13

3−

3

64ln 2 +

33

16

√17 −

1

64ln

(

1

2+

1

8

√17

))

[3 Puntos]

Problema 3. [12 Puntos] Expresar el perımetro de la elipsex2

16+

y2

4= 1.

Solucion:

2

−2

4−4

x

y

x2

16+

y2

4= 1 ⇔ y = ±

1

2

√

16 − x2

[4 Puntos]

Ası por simetrıa se tiene

L(f) = 4

∫

4

0

√

1 +

( −x

2√16 − x2

)2

dx

= 4

∫

4

0

√

64 − 3x2

64 − 4x2dx

[8 Puntos]

Departamento

deMatem

aticayFısicaAplicad

as-UCSC2011

Pau

taCertamen

3–Calculo

II(IN1005C)

4 IN1005C - Certamen 3

Problema 4. [18 Puntos] Calcular el area comun a las cardioides r = a(1 − cos θ) y r = a(1 + cos θ),

con a > 0.

Solucion: Veamos donde se intersectan estas funciones

a(1− cos θ) = a(1 + cos θ) ⇒ −a cos θ = a cos θ

⇒ cos θ = 0

⇒ θ =π

2∨ θ =

3π

2

[3 Puntos]

Ademas la rectas tangente al polo de r = a(1 + cos θ) es θ = π y para r = a(1− cos θ) es

θ = 0 [3 Puntos]

Luego la grafica de ambas es

r = a(1 + cos θ)r = a(1− cos θ)

[4 Puntos]

y como esta cardioides son simetrica con respecto al eje polar, se tiene que el area en comun

entre ambas cardioides es

A =1

2· 2(

∫ π

2

0

a2(1− cos θ)2 dθ +

∫

π

π

2

a2(1 + cos θ)2 dθ

)

[5 Puntos]

= a2

(

∫ π

2

0

(1− 2 cos θ + cos2 θ) dθ +

∫

π

π

2

(1 + 2 cos θ + cos2 θ) dθ

)

= a2

(

∫ π

2

0

(

1 − 2 cos θ +1 + cos 2θ

2

)

dθ +

∫

π

π

2

(

1 + 2 cos θ +1 + cos 2θ

2

)

dθ

)

= a2

[(

θ − 2 sen θ +θ + 1

2sen 2θ

2

)

∣

∣

∣

∣

π

2

0

+

(

θ + 2 sen θ +θ + 1

2sen 2θ

2

)

∣

∣

∣

∣

π

π

2

]

=

(

3π

2− 4

)

a2

[3 Puntos]

mg/cv/mt/ap Miercoles 21 de Diciembre de 2011