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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA DE HONDURAS ESCUELA DE FSICA

FS-415 ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO II EXAMEN II PARCIAL

PRIMER PERIODO 2014 MARTES 25 DE MARZO

NOMBRE: _________________________________CUENTA:___________________ PROFESOR: ________________________________SECCIN:__________________ FIRMA (ASISTENCIA) ______________________FIRMA (REVISIN) ______________________

Parte I Seleccin nica [25%, 5% c/u]. A continuacin se le presentan 5 preguntas, elija la opcin correcta justificando su respuesta.

1. [Ley de Lenz] El campo de induccin a travs de la espira mostrada en la figura

se dirige hacia arriba y decrece con el tiempo. Sobre la corriente inducida en la

espira podemos afirmar que:

a) Es cero.

b) Su direccin es contrarreloj vista desde arriba.

c) Su direccin es a favor de las manecillas del reloj vista desde arriba.

d) Se requiere ms informacin para decir algo respecto a la corriente inducida.

e) No podemos afirmar nada sobre la corriente inducida, solo sobre la fem inducida.

2. [Ley de Faraday] Un campo variable en el tiempo genera un campo elctrico . Respecto a este

enunciado podemos afirmar que:

a) El campo es conservativo.

b) La relacin entre estos campos est dada por la ley de Faraday.

c) puede ser calculado a partir de la ley de Coulomb.

d) b) y c) son correctos.

e) Esta afirmacin no es cierta.

3. [Densidad de energa] Sobre la presin magntica en vaco podemos afirmar que:

a) Es la cantidad de energa por unidad de volumen.

b) Es equivalente a una fuerza magntica por unidad de rea.

c) Se puede determinar por la expresin

.

d) Todas las anteriores son correctas.

e) Ninguna es correcta.

4. [Energa magntica] Se tienen tres espiras con corrientes e . Asuma que se conocen todas las

inductancias mutuas y auto-inductancias de las espiras. La energa magntica del sistema es:

a)

b)

c)

d) Cero.

e) Ninguna de las anteriores.

NOTA

PAUTA

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5. [Expansin multipolar] En caso se llegase a confirmar experimentalmente la existencia de monopolos

magnticos, lo siguiente ya no sera vlido para la teora magnetosttica:

a)

b)

c)

d) Todas las anteriores son correctas

e) a) y c) son correctas

Parte II Problemas [75%]. A continuacin se le presentan 3 problemas, resuelva cada uno de ellos en forma clara y ordenada dejando plasmado su procedimiento en hojas en blanco.

1. [25%] La espira que aparece en la figura se halla dentro de un campo de induccin variable en el tiempo dado por . El lado de la espira gira con rapidez angular constante y la espira se encuentra en el plano en el instante . Determine:

a) La fem inducida esttica [5%] b) El campo elctrico de movimiento. [5%] c) La fem inducida de movimiento. [5%] d) La fem total inducida en [5%] e) La corriente total inducida en [5%]

Comentario: similar a problemas propuestos.

2. [25%] La figura muestra un alambre recto muy largo y una espira conductora con

forma de tringulo equiltero.

a) Determine la inductancia mutua entre ambos circuitos. [15%]

b) Suponga que , y que dos corrientes iguales circulan por ambos circuitos. Si la energa de interaccin magntica entre ambos es

, cul es valor de la corriente ? [10%]

Comentario: inciso a) es un problema propuesto, otros libros.

3. [25%] Una corriente constante sigue una trayectoria cerrada enrollada alrededor de un cilindro de radio . En coordenadas cilndricas, el vector de posicin de un punto de este circuito est dado por , donde es una constante y es un entero positivo . a) Encontrar el momento dipolar magntico de esta distribucin de corriente [15%].

b) Si esta espira se sita en un campo de induccin uniforme dado por , cul es el

momento de torsin sobre esta? [5%]

c) Cul es la fuerza neta sobre esta espira debido al campo externo ? [5%] Comentario: inciso a) es un problema propuesto, Wangsness.

FS-415 Solucion Examen II

Parte I

1. Segun la Ley de Lenz la corriente inducida fluira en una direccion tal que el flujo que producetienda a cancelar el cambio en el flujo. En este caso el flujo a traves de la espira decrece con eltiempo pues el campo decrece y la espira esta fija. Por tal razon la corriente fluira en contra

de las manecillas del reloj para intentar cancelar este cambio. La respuesta correcta es b)

[5 %]

2. Si el campo E se debe a una induccion B variable en el tiempo no podemos afirmar queel campo es conservativo y tampoco puede ser calculado a partir de la Ley de Coulomb dela electrostatica. La relacion que se cumple en este caso es la Ley de Faraday. La respuesta

correcta es b) [5 %]

3. La presion magnetica o densidad de energa magnetica, por definicion es la cantidad de energapor unidad de volumen, tambien es equivalente a la fuerza magnetica por unidad de area.Ademas, se puede calcular mediante la ecuacion B2/20. Por tanto, la respuesta correcta es

d) [5 %]

4. Requerimos unicamente expandir la relacion de energa en funcion de la inductancia paraN = 3 circuitos. Tomando en consideracion que Mjk = Mkj y que Mjj = Lj :

Um =1

2

Nj=1

Nk=1

MjkIjIk =1

2[(M11I1I1 +M12I1I2 +M13I1I3) + (M21I2I1 +M22I2I2 +M23I2I3)

+ (M31I3I1 +M32I3I2 +M33I3I3)]

=1

2

[L1I

21 + L2I

22 + L3I

23 + 2M21I1I2 + 2M31I1I3 + 2M32I2I3

]=

1

2L1I

21 +

1

2L2I

22 +

1

2L3I

23 +M21I1I2 +M31I1I3 +M32I2I3

Por tanto, ninguna de las listadas es correcta, inciso e) . [5 %]

5. En caso existiesen monopolos magneticos esperaramos que B 6= 0 sino que dependa dela carga magnetica. Como consecuencia tampoco podramos expresar B como el rotacionalde un campo (el potencial vectorial) ya que la divergencia de un rotacional debe ser cero. No

esperaramos cambios en la Ley de Ampere. La opcion correcta es e) . [5 %]

Parte II

1. a) En general, para un medio en movimiento en una induccion variable estan presentes tantola fuerza electromotriz estatica como la cinetica:

= S

B

t da

s

+

L

(v B) ds m

1

La fuerza electromotriz estatica es, considerando la espira estacionaria en algun angulo cualquiera (constante) y eligiendo da = da:

s = S

B

t da =

S

t(Botx) ddz

= B0Sx ddz

= B0S

(cos sin) ddz

= B0 sin

Sddz

= B0 sin

00

z00

ddz

= B00z0 sin [5 %]

b) El campo electrico debido al movimiento es:

Em = v B= ( r)B= [z (+ zz)]B = ()B= (B0t cosB0t sin)= B0t cosz = B0t cos(t+ pi/2)z= B0t sin(t)z [5 %]

c) La fem cinetica o de movimiento es:

m =

CEm ds

=

DC

(B00t sin(t)z) dzz

= B00t sin(t)

0z0

dz = B00t sin(t)(z0)

= B00z0t sin(t) [5 %]

Ya que solo el lado DC de la espira contribuira a este fem: el lado en el eje z pasa a travesdel eje de rotacion ( = 0) y para los otros dos lados dl es perpendicular a Em.

d) La fem total sera la fem estatica mas la fem de movimiento:

= s + m

= B00z0 sinB00tz0 sin(t)= B00z0 sin(t+ pi/2)B00tz0 sin(t)= B00z0 cos(t)B00tz0 sin(t)= B00z0[cos(t) t sin(t)]

2

Donde B0 = 0.02 T, 0 = 0.04 m, z0 = 0.03 m y = 100pi rad/s. Entonces, para t = 1 ms:

20.5V [5 %]

e) La corriente inducida es:

i =

R=B00z0R

[cos(t) t sin(t)]

Para t = 3 ms:i 41.9A [5 %]

2. a) El campo debido al alambre recto muy largo, en coordenadas cilndricas, esta dado por:

B =0I

2pi

Consideremos la circulacion en la espira en sentido horario; ademas, escojamos el origen denuestro sistema de referencia en la linea infinita y de tal manera que este al mismo nivel queel centro del triangulo.

El flujo de este campo a traves de la espira sera dos veces el flujo a traves de la mitad deltrangulo, entre z = 0 y z = b/2. Recordemos tambien que la altura de triangulo equilateroes

3/2 veces la longitud de la base b. Con estas consideraciones el flujo total sera:

= 2

SB da = 2

SB() da

= 2

S

0I

2pidzd =

0I

pi

S

1

dzd

Ahora, notemos que podemos escoger los lmites de integracion para de d hasta d+

3b/2;mientras que z vara desde 0 hasta la lnea dada por:

z = m+ Iz

Donde la pendiente m esta dada por m = (b/2)/(

3/2b) = 1/

3 y el intercepto en z, Iz, lopodemos encontrar notando que = d cuando z = 0:

z = m+ Iz 0 = 13d+ Iz Iz = d

3

3

As, z vara de 0 hasta z = 13 d

3. Por tanto:

=0I

pi

d+32b

d

d3

0

1

dzd

=0I

pi

d+32b

d

d3

d

=0I

3pi

d+32b

d

(1 d

)d

=0I

3pi

[3

2b d ln

(d+

32 b

d

)]

=0I

3pi

[3

2b d ln

(1 +

3b

2d

)]

=0I

pi

[b

2 d

3ln

(1 +

3b

2d

)]

Pero este es el flujo del campo generado por el alambre sobre la espira, relacionado con lainductancia mutua por medio de la relacion:

= M12I M12 = I

Por tanto:

M12 =0pi

[b

2 d

3ln

(1 +

3b

2d

)][15 %]

b) La energa magnetica del sistema es:

Um =1

2L1I

21 +M12I1I2

Um0

+1

2L2I

22

Siendo el termino central la energa de interaccion. Si circulan corrientes iguales entoncesUm0 = M12I

2, y la corriente sera:

Um0 = M12I2 I =

Um0M12

Bajo estas condiciones y dado que d = 0.2 m, b = 0.4 m y Um0 = 8.4 107 J, obtenemosmediante el resultado obtenido en a):

M12 3.358 108 H

La corriente que circula en ambos circuitos es:

I =

8.4 107

3.358 108 = 5.0 A [10 %]

4

3. a) Para un circuito filamental, el momento dipolar magnetico m esta dado por:

m =1

2

Cr ds

El elemento diferencial de desplazamiento en coordenadas cilndricas es

ds = d+ d+ dzz

Siendo = a en este caso, lo cual lleva a:

ds = ad+ dzz

Entonces:

m =I

2

Cr ds =

C

[a+ b sinnz] [ad+ dzz]

=I

2

C

[a2dz+ adz() + ab sinnd() + 0

]Ademas, notemos del vector de posicion que z vara acorde a z = b sinn de modo quedz = nb cosnd, as:

m =I

2

C

[a2dz adz ab sinnd

]=

I

2

2pi0

[a2dz abn cosnd ab sinnd

]=

I

2

2pi0

a2dz

:0 2pi0

abn cosnd

:

0 2pi0

ab sinnd

=

I

2(2pia2)z = pia2I z [15 %]

b) El momento de torsion sobre la espira debido a la induccion uniforme sera:

= mB = pia2I z [B0xx+B0yy]= pia2IB0xy + pia

2IB0y(x)= pia2I (B0yx+B0xy) [5 %]

c) La fuerza sobre la espira debido al campo de induccion esta dada por:

F = (m )B = pia2I z

[B0xx+B0yy]

= 0 [5 %]

Como esperabamos para una induccion uniforme.

5