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PC II für BiochemikerEberhard-Karls-Universität Tübingen, Institut für Physikalische und Theoretische Chemie, Prof. Dr. J. Enderlein, http://www.joerg-enderlein.de
Elektronenstreuung am Doppelspalt
2 1 1, , ,x y x y x y
319.12 10 kgem
310 m sv
Längeneinheit m
Re 2
Einzelspalt-Lösung
2 310 m syv
PC II für BiochemikerEberhard-Karls-Universität Tübingen, Institut für Physikalische und Theoretische Chemie, Prof. Dr. J. Enderlein, http://www.joerg-enderlein.de
Das lokalisierte Teilchen
2
2~ exp
4
x
Wir suchen: Wellenfunktion eines freien Teilchens mit räumlicher Lokalisierung
2x dx x
022 2x dx x
2
Wir hatten bereitsdie generelle Beziehung
2
2 22
~ exp ~ exp4
xdk ikx k
2 2
exp 2 exp2 2
k xdk ikx
PC II für BiochemikerEberhard-Karls-Universität Tübingen, Institut für Physikalische und Theoretische Chemie, Prof. Dr. J. Enderlein, http://www.joerg-enderlein.de
Intermezzo: Fourier-Transformation
2
2 22
~ exp ~ exp4
xdk ikx k
2 m
100nm
Re exp ikx
2
PC II für BiochemikerEberhard-Karls-Universität Tübingen, Institut für Physikalische und Theoretische Chemie, Prof. Dr. J. Enderlein, http://www.joerg-enderlein.de
Das lokalisierte Teilchen
Welche Energie hat das Teilchen?Impuls k
Energie 22E k k m
Wie ändert sich Wellen-funktion mit der Zeit für
eine gegebene Energie E(k)?
2
exp exp2
i i k tE k t
m
2
2 2, ~ exp2
i k tx t dk ikx k
m
2
2 22
~ exp ~ exp4
xdk ikx k
PC II für BiochemikerEberhard-Karls-Universität Tübingen, Institut für Physikalische und Theoretische Chemie, Prof. Dr. J. Enderlein, http://www.joerg-enderlein.de
Das lokalisierte Teilchen: Wellenpaket
2
2exp exp4
ydk ikx k
2
22
1, ~ exp
4 22
xx t
i t mi t m
2, 1dx x t
NormierungWas fehlt?
2
2 2, ~ exp2
i k tx t dk ikx k
m
eine altbekannteBeziehung ()
PC II für BiochemikerEberhard-Karls-Universität Tübingen, Institut für Physikalische und Theoretische Chemie, Prof. Dr. J. Enderlein, http://www.joerg-enderlein.de
Das lokalisierte Teilchen: Normierung
2zdze
2
22
1, ~ exp
4 22
xx t
i t mi t m
2 22
22 44
1, ~ exp
2 22
xx t
t mt m
eine andere altbekannteBeziehung ()
2
1 4 22
1, exp
4 22 2
xx t
i t mi t m
PC II für BiochemikerEberhard-Karls-Universität Tübingen, Institut für Physikalische und Theoretische Chemie, Prof. Dr. J. Enderlein, http://www.joerg-enderlein.de
Das lokalisierte Teilchen: Wellenpaket
2x dx x
0 22 2x dx x
22 2t m
22char
mT
2
22 142 80kg 100nm1.5 10 s 4.8 10 aEnderleinT
2 22
22 44
1, exp
2 2 22
xx t
t mt m
22 100nm
173pseelectron
mT
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Das lokalisierte Teilchen: Wellenpaket
20 m
319.11 10 kg
100nm
0 500ps
em
t
Re2
Beispiel: Elektron
PC II für BiochemikerEberhard-Karls-Universität Tübingen, Institut für Physikalische und Theoretische Chemie, Prof. Dr. J. Enderlein, http://www.joerg-enderlein.de
Das lokalisierte sich bewegende Teilchen
2
2 2, ~ exp2
i k tx t dk ikx k
m
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Das lokalisierte sich bewegende Teilchen
2
220, ~ exp
2
i k tx t dk ikx k k
m
0gv k m
2
01 4 22
1, exp
4 22 2
gx v tx t ik x
i t mi t m
222
22 44
1, exp
2 2 22
gx v tx t
t mt m
Gruppengeschwindigkeit
PC II für BiochemikerEberhard-Karls-Universität Tübingen, Institut für Physikalische und Theoretische Chemie, Prof. Dr. J. Enderlein, http://www.joerg-enderlein.de
Der unendliche PotentialwallU = ∞
L/2
2 2
, exp2
ikx ikxi kx t t Ae Be
m
Freies Teilchen
2 2
exp cos sin2
i kt A kx B kx
m
Randbedingungen: , , 02 2
L Lt t
L/2
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Der unendliche PotentialwallU = ∞
L
1cos 0
2n
sin 0n
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Der unendliche PotentialwallU = ∞
L
1
2 2
kLn
~ cos kx
2
kLn ~ sin kx
Restriktion zulässiger k-Werte!
,
1 2
2e nk nL
,
2u nk n
L
PC II für BiochemikerEberhard-Karls-Universität Tübingen, Institut für Physikalische und Theoretische Chemie, Prof. Dr. J. Enderlein, http://www.joerg-enderlein.de
EnergiequantisierungU = ∞
L
,
1 2
2e nk nL
,
2u nk n
L
2 22
,
1 2
2 2e nE nm L
222
,
2
2u nE nm L
0, 1, 2,n
1, 2,n
Grundzustandsenergie:2 2
,0 20
2eEmL
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Der unendliche Potentialwall
Ene
rgie
(10
-22 J
)
319.11 10 kg
200nmem
L
23,0 5.95 10 JeE
,0 11.4km/sev
x (nm) x (nm)
||2
Zahl der Null-stellen von
(nodes) = Nummer der Eigenfunktion
PC II für BiochemikerEberhard-Karls-Universität Tübingen, Institut für Physikalische und Theoretische Chemie, Prof. Dr. J. Enderlein, http://www.joerg-enderlein.de
ParitätLösungen der
Wellenfunktionsind gerade (e) bzw.
ungerade (u) Funktionen
Bei Spiegelunggehen sie insich selbstbzw. in ihr
Negatives über
Ene
rgie
(10
-22 J
)
x (nm) x (nm)
||2
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Symmetrien, Operatoren, Eigenfunktion
ˆ ,S x t ,x t
Eigenfunktion eines Operators: ˆ , ,S x t s x t
ˆ cos cos cosS kx kx kx Zum Beispiel: 1s
ˆ sin sin sinS kx kx kx 1s
ˆ , ,H x t E x t
Schon bekanntes Beispiel: Eigenfunktionen des Hamilton-Operators
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Symmetrieerhaltung
ˆ , ,S x t s x t
ˆ ˆˆ ˆ, ,SH x t HS x t Wenn ein System eine Symmetrie Ŝ hat,
dann gilt (Definition von Symmetrie)
Betrachten wir eine Wellenfunktion, die zum Zeitpunkt t Eigenfunktion von Ŝ ist
Entwicklung der Wellenfunktion mit der Zeit:
,ˆ ˆ, ,x t
S x t t S x t tt
ˆ, ,i t
s x t Hs x t
ˆ ˆ, ,i t
S x t H x t
,s x t t
Wenn Ŝ und Ĥ kommutieren, ist Symmetrie von eine Erhaltungsgröße
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Symmetrieerhaltung: CO2-Molekül
Wenn Ŝ und Ĥ kommutieren, können Eigenfunktionen von Ĥ nach den Symmetrie-Eigenwerten s klassifiziert werden
SpiegelsymmtrieO C O
s = 1 s = 1 s = 1
2 ×
Schwingungszustände des CO2-Molküls
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Der quantenmechanische harmonische Oszillator
Teilchen im harmonischen Potential (U = k∙x2/2):
H x E x
Gesucht: Eigenzustände des Hamiltonoperators
2 2
222 2
d kx x E x
m dx
, expi
x t x Et
Gesamte Wellenfunktion:
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Die Operatormethode
22 2
2ˆ dh x
dx
2 2a b a b a b
ˆ ˆ d dA A x x
dx dx
2 22
2ˆ
2 2
d kH x
m dx
2
2ˆ ˆ ,m mk m
h H
22 2
2
dx
dx h
22 2
2ˆˆ ˆ d d d
AA x x x hdx dx dx
Kreisfrequenzdes klassischen Oszillators
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Die Operatormethode2
2 22
ˆˆ ˆ d d dA A x x x h
dx dx dx
0 0ˆˆ ˆ 0A A x h x Angenommen es gibt ein (x) so daß
0 0h x x Dann ist 0(x) Eigenfunktion von ĥ !
00 0
ˆ 0d x
A x x xdx
Wir suchen:
22 2
2ˆˆ ˆ d d d
AA x x x hdx dx dx
PC II für BiochemikerEberhard-Karls-Universität Tübingen, Institut für Physikalische und Theoretische Chemie, Prof. Dr. J. Enderlein, http://www.joerg-enderlein.de
Intermezzo: Komplettierung des totalen Differentials
00 0
ˆ 0d x
A x x xdx
Multiplizieren mit f(x): 00 0
d xf x xf x x
dx
Produktregel invers angewandt: falls df x
xf xdx
00 0
d x df x xf x x f x x
dx dx
2
exp2
xf x
2 2
0exp exp2 2
x d xx
dx
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Grundzustand des harmonischen Oszillators
2 2
0 0ˆ exp exp 0
2 2
x d xA x x
dx
2
0 exp2
xx C
0 0h x x 0 2E x
1 4 2
0 exp2
m m xx
x (nm)
E (
J)
= 100 mm = 12 D