PDB ORDE SATU

PERSAMAAN PEUBAH TERPISAH

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang melibatkan fungsi dan turunan-turunannya atau diferensialnya

Persamaan diferensial biasa adalah suatu persamaan yang melibatkan fungsi satu peubah dan turunan atau diferensialnya

Ordesuatu PDB adalah indeks tertinggi dari turunan yang terlibat dalam persamaannya.

Derajat suatu PDB adalah pangkat tertinggi dari turunan yang terlibat dalam persamaannya.

SolusiPDB adalah suatu fungsi atau keluarga fungsi yang memenuhi persamaannya.

Solusi UmumPDB adalah suatu keluarga fungsi yang memuat beberapa parameter dan memenuhi persamaannya.

Solusi KhususPDB adalah suatu fungsi yang merupakan anggota dari ke-luarga fungsi solusi umumnya.

Solusi nilai awal PDB adalah suatu keluarga fungsi yang memuat nilai awal dan memenuhi persamaannya

Persamaan Diferensial Terpisah

Banyak PD orde satu yang dapat direduksi ke dalam bentuk implisit berikut.

g(y)y’ = f(x) (1)

Karena

y’ = dy/dx, maka kita lebih sering menuliskan

persamaan (1) sebagai

g(y) dy = f(x) dx (2)

sebagai bentuk eksplisitnya.

Karena dalam persamaan (2) variabel x dan y terpisah, yakni masing-masing berada pada sisi yang berlainan, maka persamaan (2) disebut PD variabel terpisah, atau secara singkat cukup dinamakan persamaan terpisah

Dengan melakukan pengintegralan pada dua sisinya, diperoleh

∫ g(y) dy = ∫ f(x) dx

Reduksi ke Bentuk Terpisah

Ada beberapa PD orde satu yang tidak terpisah, tetapi dengan melakukan perubahan variabel, kita bisa mengubahnya menjadi PD terpisah. Ini berlaku untuk persamaan yang berbentuk

y’ = g(y/x) (3)

di mana g suatu fungsi ( yang diketahui, seperti , sin ( dan sebagainya.

Bentuk persamaan ini menyarankan kepada kita untuk mengambil substitusi ( = u,

dengan tetap mengingat bahwa y dan u merupakan fungsi dari x.

Jadi y = ux.

Dengan penurunan diperoleh

y’ = u + u’x (4)

Dengan memasukkan persamaan (4) dalam persamaan (3) dan mengingat bahwa g (

= g(u) diperoleh

u + u’x = g(u).

Sekarang kita bisa melakukan pemisahan variabel u dan x dan diperoleh ( –u = (

Jika diintegralkan dan kemudian disubstitusikan kembali u dengan ( akan diperoleh

penyelesaian (3).

TENTUKAN SOLUSI UMUM PDB BERIKUT

(2xy + 3y2)dx - (2xy + x2)dy = 0

Misalkan: y = vx maka dy = vdx+xdv, lalu substitusikan ke persamaaan di atas

(2x2v + 3x2v2)dx - (2x2v + x2)(vdx + xdv) = 0

2x2vdx + 3x2v2dx -2x2v2dx - 2x3vdv - x2vdx - x3dv = 0

x2(v + v2)dx - x3(2v - 1)dv = 0

ln x + ln v - 3 ln(1 + v) = c

ln x + ln(y/x) - 3ln(1 + (y/x)) = c

ln x + ln(y/x) - 3 ln(1 + (y/x)) = c adalah solusi umumnya.