“Fungsi Distribusi Peluang Kontinyu Lanjut” Soal Distribusi Peluang Gabungan Kontinyu Contoh Soal Fungsi Distribusi Peluang Gabungan Kontinyu Sebuah perusahaan coklat mendistribusikan

Adam Hendra Brata

Probabilitas dan

Statistika“Fungsi Distribusi Peluang Kontinyu

Lanjut”

Distribusi Peluang Gabungan

KontinyuDistribusi Peluang Gabungan Kontinyu

Untuk variabel random kontinyu, analog dengan

kasus diskrit, fungsi rapat probabilitas bersama

f(x,y) didefinisikan sebagai :

1. f(x,y) ≥0 untuk seluruh x dan y

2. Total integral di seluruh area =1

3. Probabilitas nilai X=x dan Y=y di dalam

area tertentu diberikan oleh hasil

integral f(x,y) dengan (x,y) dalam area

termaksud

Distribusi

Peluang

Gabungan

Kontinyu

Fungsi

Distribusi

Peluang

Acak

Kontinyu

Fungsi Rapat

Peluang

Distribusi

Peluang

Kontinyu

Kumulatif

1),( dxdyyxf

A

dxdyyxfAYXP ),(]),[(

Distribusi Peluang Gabungan

KontinyuDistribusi Peluang Gabungan Kontinyu

Untuk variabel random kontinyu, analog dengan

kasus diskrit, fungsi rapat probabilitas bersama

f(x,y) didefinisikan sebagai :

1. f(x,y) ≥0 untuk seluruh x dan y

2. Total integral di seluruh area =1

3. Probabilitas nilai X=x dan Y=y di dalam

area tertentu diberikan oleh hasil

integral f(x,y) dengan (x,y) dalam area

termaksud

Distribusi

Peluang

Gabungan

Kontinyu

Fungsi

Distribusi

Peluang

Acak

Kontinyu

Fungsi Rapat

Peluang

Distribusi

Peluang

Kontinyu

Kumulatif

1),( dxdyyxf

A

dxdyyxfAYXP ),(]),[(

Contoh Soal Distribusi Peluang

Gabungan Kontinyu Contoh Soal Fungsi Distribusi Peluang Gabungan Kontinyu

Sebuah perusahaan coklat mendistribusikan kotak-kotak cokelat

yang berisi isian jenis: krim, kopi dan kacang. Terdapat dua tipe

cokelatnya yaitu : coklat gelap dan putih. Misalkan dipilih acak

1 kotak, dan variabel random X dan Y menyatakan persentase

dari coklat putih dan gelap yang berisi krim, dengan fungsi

rapat probabilitas bersamanya :

a. Periksalah apakah integral f(x,y) di seluruh daerah = 1

b. Carilah probabilitas untuk 0<x<1/2 dan ¼<y<1/2

lainnya

yxyxyxf

,0

10,10)32(5

2

),(

Contoh Soal Fungsi Distribusi

Peluang KontinyuContoh Soal Fungsi Distribusi Peluang Kontinyu

a. Integral di seluruh wilayah x,y :

b. P(0<X<1/2,1/4<Y<1/2)

1

0

1

0

1)32(5

2),( dxdyyxdxdyyxf

2/1

4/1

2/1

0

2/1

4/1

2/1

0

160/13)32(5

2),( dxdyyxdxdyyxf

Distribusi Peluang Marginal

KontinyuDistribusi Peluang Marginal Kontinyu

Fungsi distribusi kumulatif dan densitas

kemungkinan untuk univariat Fx1 (x1) dan fx(x1)

dari distribusi bivariat (atau multivariat) pada

seluruh rentang variabel random pasangannya

(x2) dikenal sebagai distribusi marginal kontinyu

Distribusi

Peluang

Gabungan

Kontinyu

Distribusi

Peluang

Marginal

Kontinyu

Fungsi Rapat

Peluang

Distribusi

Peluang

Kontinyu

Kumulatif



Misalkan f(x,y) fungsi kerapatan peluang

bersama dari X dan Y

Perhatikanlah peristiwa a<X<b dengan a < b

Peristiwa ini ekuivalen dengan peristiwa

a < X < b , -∞ < Y < ∞, dengan demikian maka :

Akan tetapi,

Distribusi

Peluang

Gabungan

Kontinyu

Distribusi

Peluang

Marginal

Kontinyu

Fungsi Rapat

Peluang

Distribusi

Peluang

Kontinyu

Kumulatif

𝑃 𝑎 < 𝑥 < 𝑏= 𝑃 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 ,−∞ < 𝑌 < ∞

𝑃 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 ,−∞ < 𝑌 < ∞ =

b

a

dydxyxf ,

x, y kontinu



Oleh karena itu kita peroleh :

Dimana :

Dan selanjutnya 𝑓1 𝑥 kita sebut sebagai

fungsi marginal dari x karena jelas bahwa

𝑓1 𝑥 adalah fungsi kerapatan peluang dari x

saja

Distribusi

Peluang

Gabungan

Kontinyu

Distribusi

Peluang

Marginal

Kontinyu

Fungsi Rapat

Peluang

Distribusi

Peluang

Kontinyu

Kumulatif

𝑃 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 = b

a

dxxf1 x kontinyu

𝑓1 𝑥 =

dyyxf , x, y kontinyu



Analog dengan 𝑓1 𝑥 , maka 𝑓2 𝑦 adalah :

Dimana :

Dan selanjutnya 𝑓2 𝑦 kita sebut sebagai

fungsi marginal dari y

Distribusi

Peluang

Gabungan

Kontinyu

Distribusi

Peluang

Marginal

Kontinyu

Fungsi Rapat

Peluang

Distribusi

Peluang

Kontinyu

Kumulatif

𝑃 -∞ < y < ∞ =

dyyf2 y kontinyu

𝑓2 𝑦 =

dxyxf , x, y kontinyu

Distribusi Peluang Bersyarat

KontinyuDistribusi Peluang Bersyarat Kontinyu

Fungsi distribusi kumulatif dan densitas

kemungkinan untuk univariat 𝐹𝑥1(𝑥1) dan

𝑓𝑥(𝑥1) dari distribusi bivariat (atau multivariat)

pada sebagian rentang variabel random

pasangannya (𝑥2) dikenal sebagai

kemungkinan distribusi bersyarat

Misalkan 𝑓 𝑥 , 𝑦 , 𝑓1𝑥 , dan 𝑓

2𝑦 masing-

masing fungsi kerapatan peluang.bersama dari

X dan Y, fungsi kerapatan peluang marginal dari

X, dan fungsi kerapatan peluang marginal dari

Y. Misalkan a dan b dua bilangan real

sembarang

Distribusi

Peluang

Gabungan

Kontinyu

Distribusi

Peluang

Marginal

Kontinyu

Distribusi

Peluang

Bersyarat

Kontinyu



Jika :

𝐴 = 𝑥, 𝑦 𝑥 = 𝑎,−∞ < 𝑦 < ∞𝐵 = 𝑥, 𝑦 −∞ < 𝑥 < ∞, 𝑦 = 𝑏

Maka

Akan tetapi 𝑃 𝐵 𝐴 = 𝑃 𝑌 = 𝑏 𝑋 = 𝑎 . Karena a

dan b sembarang. Kita temukan bahwa peluang

bersyarat dari Y diketahui X = x, adalah

Distribusi

Peluang

Gabungan

Kontinyu

Distribusi

Peluang

Marginal

Kontinyu

Distribusi

Peluang

Bersyarat

Kontinyu

af

baf

aXP

bYaXP

AP

BAP

1

,,

𝑃 𝐵 𝐴 =

)(

),(

1 xf

yxf0)(1 xfdengan



Bila harga x ditetapkan, maka peluang tersebut

merupakan fungsi dari y. Jelas fungsi itu

merupakan suatu fungsi kerapatan peluang,

sebab :

Fungsi kerapatan peluang tersebut selanjutnya

diberi lambang 𝑓 𝑦 𝑥

Distribusi

Peluang

Gabungan

Kontinyu

Distribusi

Peluang

Marginal

Kontinyu

Distribusi

Peluang

Bersyarat

Kontinyu

0)(

),(

1

xf

yxf

1)(

)(),(

)(

1

)(

),(

1

1

11

xf

xfyxf

xfxf

yxf

y y



Dengan 𝑓1(𝑥) adalah distribusi marginal untuk X

saja, yaitu distribusi probabilitas 𝑓(𝑥, 𝑦) yang

dijumlahkan terhadap seluruh nilai y :

Fungsi kerapatan peluang 𝑓 𝑦 𝑥 ini dinamakan

fungsi kerapatan peluang bersyarat dari Y jika

diketahui nilai X = x

Distribusi

Peluang

Gabungan

Kontinyu

Distribusi

Peluang

Marginal

Kontinyu

Distribusi

Peluang

Bersyarat

Kontinyu

𝑓1(𝑥) =

𝑦

)𝑓(𝑥, 𝑦



Secara analog fungsi kerapatan peluang

bersyarat dari X diketahui Y = y atau

𝑓2(𝑦) adalah distribusi marginal untuk 𝑌 saja,

yaitu distribusi probabilitas 𝑓(𝑥, 𝑦) yang

dijumlahkan terhadap seluruh nilai 𝑥, maka :

Distribusi

Peluang

Gabungan

Kontinyu

Distribusi

Peluang

Marginal

Kontinyu

Distribusi

Peluang

Bersyarat

Kontinyu

𝑓2(𝑦) =

𝑥

)𝑓(𝑥, 𝑦


KontinyuSifat Distribusi Peluang Bersyarat Kontinyu

Dalam hal X dan Y kontinu, maka :

a. 𝑃 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 𝑌 = 𝑦 =

adalah peluang bersyarat dari 𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏jika diketahui Y = y

- catatan : ruas kiri biasa ditulis

𝑃 𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏 𝑦

b. 𝑃 𝑐 < 𝑌 ≤ 𝑑 𝑋 = 𝑥 =

adalah peluang bersyarat dari 𝑐 < 𝑌 ≤ 𝑑jika diketahui X = x

Distribusi

Peluang

Gabungan

Kontinyu

Distribusi

Peluang

Marginal

Kontinyu

Distribusi

Peluang

Bersyarat

Kontinyu

b

a

dxyxf

d

c

dyxyf

Contoh Soal Distribusi Peluang

Bersyarat Kontinyu Contoh Soal Fungsi Distribusi Peluang Bersyarat Kontinyu

Fungsi rapat probabilitas bersama antara variabel random X dan

Y, dengan X adalah perubahan temperatur dan Y adalah

persentase pergeseran spektrum dari suatu atom diberikan

oleh :

a. Carilah fungsi rapat probabilitas marginal g(x) dan h(y)

b. Carilah fungsi rapat probabilitas bersyarat f(y|x)

c. Carilah probabilitasnya bahwa spektrum akan bergeser

lebih dari 50% dari seluruh pengamatan, jika temperatur

dinaikkan 0.25 unit

lainnya

yxxyyxf

0

1010),(

2



a. Fungsi Rapat Probabilitas Marginal :

b. Fungsi probabilitas bersyarat f(y|x)

10,510),()( 22

0

2

yyxdxxydxyxfyh

y

10),1(3

1010),()( 3

1

2

xxxdyxydyyxfxgx

101

3

)1(3

10

10

)(

),()|(

3

2

3

2

yxx

y

xx

xy

xg

yxfxyf



c. Probabilitas spektrum akan bergeser > 50% dari seluruh

pengamatan, jika temperatur dinaikkan 0,25 unit, maka

kasus ini dapat dianggap dengan P (y>0,5|x=0,25)

9

8

25.01

3)25.0|()25.0|5.0(

1

5.0

3

21

5.0

dyy

dyxyfxyP

Tugas 7

• Mengerjakan soal – soal yang berada di beberapa

slide selanjutnya secara individu

• Mengerjakan soal – soal tersebut dengan cara

menghitung dan ditulis di kertas

• Dikumpulkan pada pertemuan berikutnya (Rabu

minggu depan)

Tugas 7

1. Hasil pengukuran arus listrik pada suatu generator

telekomunikasi nirkabel merupakan distribusi probabilitas

acak kontinyu dengan fungsi kerapatan :

a. Apakah total luas dari fungsi tersebut = 1 ?

b. Hitung P(3,5 < X < 4,5) !

𝑓(𝑥)

0,075𝑥 + 0,2 3 ≤ 𝑥 ≤ 5

0 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎

Tugas 7

2. Jika ada data fungsi kerapatan peluang sebagai berikut :

a. Apakah f(x,y) memenuhi syarat fungsi rapat peluang ?

b. Hitung P((x,y), 0 < x <1 ; 0 < y < 1) !

lainnya yangy x,; 0

1 y 0

2 x 0 ; 4

)3yx(1 y)f(x,

2

Tugas 7

3. Fungsi rapat probabilitas bersama antara variabel random X

dan Y, dengan X adalah perubahan amplitudo dan Y

adalah persentase pergeseran frekuensi dari sebuah

gelombang adalah sebagai berikut :

a. Carilah fungsi rapat probabilitas marginal g(x) dan h(y)

b. Carilah fungsi rapat probabilitas bersyarat f(y|x)

c. Carilah probabilitasnya bahwa frekuensi akan bergeser

lebih dari 70% dari seluruh pengamatan, jika amplitudo

dinaikkan 0,5 unit

lainnya

yxyxyxf

0

1023),(

32

Sekilas Info

• Diberitahukan pada semua mahasiswa di kelas ini,

minggu depan kita akan adakan Quiz 3

• Ruang Lingkup Quiz 3

- Variabel Acak dan Fungsi

Distribusi Peluang Diskrit

- Variabel Acak dan Fungsi

Distribusi Peluang Kontinyu

• Sifat Quiz Close Book, tetapi

Diperbolehkan membawa

1 “lembar harapan”

• Quiz akan diadakan pada hari

Rabu, 1 April 2015

Selamat belajar v^^

Terimakasih dan Semoga

Bermanfaat v^^

Documents

“Fungsi Distribusi Peluang Kontinyu Lanjut” Soal Distribusi Peluang Gabungan Kontinyu Contoh Soal Fungsi Distribusi Peluang Gabungan Kontinyu Sebuah perusahaan coklat mendistribusikan