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Projeto de Filtros.
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Tcnicas de Projeto de Filtros
Carlos Alexandre Mello [email protected]
Carlos Alexandre Mello
Tcnicas de Projeto de Filtros O projeto de um filtro tem trs passos:
Especificaes Determinada pela aplicao
Aproximaes
2Carlos Alexandre Mello [email protected]
Aproximaes Projeto do filtro especificamente (H(z))
Implementaes Transcrio do projeto para hardware ou software
2
Tcnicas de Projeto de Filtros Em diversas aplicaes como
processamento de voz ou som, filtros digitais so usados para implementar operaes seletivas de frequncia
3Carlos Alexandre Mello [email protected]
operaes seletivas de frequncia Assim, especificaes so necessrias no
domnio da frequncia em termos de magnitude desejada e resposta em fase do filtro
3
Tcnicas de Projeto de Filtros Em geral, uma resposta em fase linear na
banda de passagem desejada
4Carlos Alexandre Mello [email protected] 4
Tcnicas de Projeto de Filtros As especificaes de magnitude so dadas
de duas possveis formas: Especificaes absolutas
Requisitos da magnitude |H(ejw)|
5Carlos Alexandre Mello [email protected]
Requisitos da magnitude |H(ejw)| Especificaes relativas
Requisitos definidos em decibis (dB)
Escala dB =
5
Tcnicas de Projeto de Filtros Consideraes:
Banda de Passagem 1 - 1 |H(jw)| 1 + 1, para 0 |w| wp
6Carlos Alexandre Mello [email protected]
Banda de Corte |H(jw)| 2, para |w| ws
Banda de Transio Largura finita igual a ws wp
6
Tcnicas de Projeto de FiltrosEspecificaoAbsoluta
7Carlos Alexandre Mello [email protected] 7
Tcnicas de Projeto de FiltrosEspecificaoRelativa
8Carlos Alexandre Mello [email protected] 8
Tcnicas de Projeto de Filtros
9Carlos Alexandre Mello [email protected] 9
Tcnicas de Projeto de Filtros Exemplo: As especificaes de um FPB
definem as ondulaes da banda de passagem em 0,25 dB e a atenuao na banda de corte em 50 dB. Determine 1 e 2banda de corte em 50 dB. Determine 1 e 2 Rp = 0,25 = -20 log10 [(1 - 1)/(1 + 1)]
1 = 0,0144 As = 50 = -20 log10 [2/(1 + 1)]
2 = 0,0032
10Carlos Alexandre Mello [email protected] 10
Tcnicas de Projeto de Filtros Objetivo:
Projetar um filtro passa baixa (i.e., achar H(z)) que tenha banda de passagem [0, wp] com que tenha banda de passagem [0, wp] com tolerncia 1 (ou Rp em dB) e uma banda de passagem [ws, pi] com tolerncia 2 (ou As em dB)
11Carlos Alexandre Mello [email protected] 11
Tcnicas de Projeto de Filtros Vantagens de filtros FIR
Resposta em fase linear O que implica que filtros de ordem M ou M-1 tm
uma ordem de M/2 operaes Fceis de implementar Eficientes TDF pode ser usada em sua implementao
12Carlos Alexandre Mello [email protected] 12
Tcnicas de Projeto de Filtros FIR
Carlos Alexandre Mello [email protected]
Carlos Alexandre Mello
Tcnicas de Projeto de Filtros FIR Tanto a aproximao quanto a
implementao podem ser realizadas de diversas maneiras diferentes, com o resultado de que no existe uma soluo
14Carlos Alexandre Mello [email protected]
resultado de que no existe uma soluo nica para o problema de projeto de filtros com um conjunto prescrito de especificaes
14
Tcnicas de Projeto de Filtros FIR Todavia, podemos mencionar trs diferentes
abordagens para o projeto de filtros analgicos e digitais: Abordagem analgica
15Carlos Alexandre Mello [email protected]
Abordagem analgica Abordagem de analgico para digital Abordagem digital direta
15
Tcnicas de Projeto de Filtros FIR Para o projeto de filtros FIR, as tcnicas so
divididas nas seguintes categorias: Projeto usando janelas
16Carlos Alexandre Mello [email protected]
Projeto usando janelas Mtodo da amostragem em frequncia Projeto equirriple timo ....
16
Tcnicas de Projeto de Filtros FIRProjeto Usando Janelas
A ideia bsica de um projeto por janelas selecionar um filtro seletor de frequncias ideal apropriado (que sempre no-causal e de resposta ao impulso infinita) e ento truncar sua
17Carlos Alexandre Mello [email protected]
resposta ao impulso infinita) e ento truncar sua resposta ao impulso em uma janela para obter um filtro FIR causal e de fase linear Assim, o foco est na escolha de uma funo de
janelamento e um filtro ideal apropriados
17
Tcnicas de Projeto de Filtros FIRProjeto Usando Janelas
Vamos considerar o FPB ideal Hd(ejw) com magnitude 1 e fase linear na banda de passagem e resposta zero na banda de corte:
1.e-jw , |w| wc
18Carlos Alexandre Mello [email protected]
onde wc chamada de frequncia de corte (cut-off) e o atraso da amostra (sample delay)
18
Hd(ejw) =1.e , |w| wc0 , wc < |w| pi
Tcnicas de Projeto de Filtros FIRProjeto Usando Janelas
A resposta ao impulso desse filtro infinita e dada por:
19Carlos Alexandre Mello [email protected]
Para obter um filtro FIR a partir de hd[n], precisamos truncar hd[n] em ambos os lados.
19
Tcnicas de Projeto de Filtros FIRProjeto Usando Janelas
Para obter um filtro FIR causal de fase linear h[n] de comprimento M, devemos ter:
20Carlos Alexandre Mello [email protected]
e = (M - 1)/2 Essa operao chamada de janelamento
20
Tcnicas de Projeto de Filtros FIRProjeto Usando Janelas
Em geral, h[n] pode ser pensado como sendo formado pelo produto de hd[n] e uma janela w[n] tal que: h[n] = h [n].w[n]
21Carlos Alexandre Mello [email protected]
h[n] = hd[n].w[n] onde w[n] alguma funo simtrica com respeito
a no intervalo 0 n M 1 e 0 fora desse intervalo
21
Tcnicas de Projeto de Filtros FIRProjeto Usando Janelas
Dependendo de como obtivermos w[n] acima, temos diferentes projetos de filtros
Por exemplo:
22Carlos Alexandre Mello [email protected]
uma janela retangular
22
Tcnicas de Projeto de Filtros FIRProjeto Usando Janelas
No domnio da frequncia, a resposta H(ejw) dofiltro FIR causal dada pela convoluo de Hd(ejw)e a resposta da janela W(ejw):
23Carlos Alexandre Mello [email protected] 23
Tcnicas de Projeto de Filtros FIRProjeto Usando Janelas
24Carlos Alexandre Mello [email protected] 24
Tcnicas de Projeto de Filtros FIRProjeto Usando Janelas
Observaes: 1. Como a janela w[n] tem comprimento finito igual a M,
sua resposta em frequncia tem uma regio de pico central (lbulo principal) cuja largura proporcional a 1/M e tem lbulos laterais com pesos menores.
25Carlos Alexandre Mello [email protected]
2. A convoluo gera uma verso da resposta ideal Hd(ejw), mas com algumas distores (ondulaes).
3. A largura da banda de transio proporcional a 1/M. 4. Os lbulos laterais produzem ondulaes que tm
forma similar tanto na banda de passagem quanto na de corte.
25
Tcnicas de Projeto de Filtros FIRProjeto Usando Janelas
Projeto usando janelas: Para uma dada especificao de filtro, escolha um filtro de comprimento M e uma funo janela w[n] para a mais estreita largura do lbulo
26Carlos Alexandre Mello [email protected]
para a mais estreita largura do lbulo principal e a menor atenuao nos lbulos laterais possvel.
26
Tcnicas de Projeto de Filtros FIRProjeto Usando Janelas
Da observao 4 anterior, podemos notar que a tolerncia 1 da banda de passagem e a tolerncia 2 da banda de corte no podem ser especificadas de forma
27Carlos Alexandre Mello [email protected]
podem ser especificadas de forma independente
Geralmente, toma-se 1 = 2
27
Tcnicas de Projeto de Filtros FIRTipos de Janelas
Janela Retangular
Resposta em frequncia
28Carlos Alexandre Mello [email protected]
Resposta em frequncia
28
Tcnicas de Projeto de Filtros FIRTipos de Janelas
Magnitude da funo sen[w(M+1)/2]/sen(w/2)
29Carlos Alexandre Mello [email protected] 29
Tcnicas de Projeto de Filtros FIRTipos de Janelas
A largura do lbulo central wm = 4pi/(M + 1) para uma janela retangular
Observa-se tambm que a magnitude do primeiro lbulo lateral aproximadamente em w =
30Carlos Alexandre Mello [email protected]
lbulo lateral aproximadamente em w = 3pi/(M+1) e dada por:
30
Tcnicas de Projeto de Filtros FIRTipos de Janelas
medida que M cresce, a largura de cada lbulo lateral diminui, mas a rea sobre eles permanece constante Assim, as amplitudes relativas dos picos laterais vo
permanecer constantes e a atenuao da banda de passagem permanece em cerca de 21 dB
31Carlos Alexandre Mello [email protected]
passagem permanece em cerca de 21 dB Isso significa que as ondulaes vo sofrer um
pico perto das bordas das bandas Isso conhecido como fenmeno de Gibbs Esse fenmeno ocorre por causa da transio
brusca de 0 para 1 (e de 1 para 0) da janela retangular
31
Tcnicas de Projeto de Filtros FIRTipos de Janelas
32Carlos Alexandre Mello [email protected] 32
Tcnicas de Projeto de Filtros FIRTipos de Janelas
Janela Triangular ou de Bartlett Bartlett sugeriu uma transio mais suave para
evitar o fenmeno de Gibbs. Isso seria conseguido atravs de uma janela triangular da
33Carlos Alexandre Mello [email protected]
conseguido atravs de uma janela triangular da forma:
33
Tcnicas de Projeto de Filtros FIRTipos de Janelas
34Carlos Alexandre Mello [email protected] 34
Tcnicas de Projeto de Filtros FIRTipos de Janelas
Janela de Hanning
35Carlos Alexandre Mello [email protected] 35
Tcnicas de Projeto de Filtros FIRTipos de Janelas
Janela de Hamming
36Carlos Alexandre Mello [email protected] 36
Tcnicas de Projeto de Filtros FIRTipos de Janelas
Janela de Blackman
37Carlos Alexandre Mello [email protected] 37
Tcnicas de Projeto de Filtros FIRTipos de Janelas
Caractersticas das funes
38Carlos Alexandre Mello [email protected] 38
Tcnicas de Projeto de Filtros FIRTipos de Janelas
Janela de Kaiser Esta a melhor janela Ela e considerada tima porque prov um
lbulo principal largo para a dada atenuao da
39Carlos Alexandre Mello [email protected]
lbulo principal largo para a dada atenuao da banda de corte, o que implica a mais brusca banda de transio
39
Tcnicas de Projeto de Filtros FIRTipos de Janelas
Janela de Kaiser
40Carlos Alexandre Mello [email protected] 40
I0(.) a funo de Besselmodificada de ordem zero
Tcnicas de Projeto de Filtros FIRTipos de Janelas
Janela de Kaiser Variadas formas da Janela de Kaiser
41Carlos Alexandre Mello [email protected] 41
Tcnicas de Projeto de Filtros FIRTipos de Janelas
Janela de Kaiser Na expresso de w[n], existem dois parmetros:
O comprimento M O parmetro
Se = 0, temos a janela retangular
42Carlos Alexandre Mello [email protected]
Se = 0, temos a janela retangular Variando e M, possvel ajustar a amplitude
dos lbulos laterais Kaiser encontrou duas frmulas que permitem
achar M e de modo a atender s especificaes do filtro
42
Tcnicas de Projeto de Filtros FIRTipos de Janelas
Janela de Kaiser considerando 1 = 2
w = wS - wP A = -20log10
43Carlos Alexandre Mello [email protected]
A = -20log10
43
Tcnicas de Projeto de Filtros FIRTipos de Janelas
Janela de Kaiser O procedimento para projetar um filtro passa-baixa
digital FIR usando a janela de Kaiser consiste nos seguintes passos:
i) Estabelecer as especificaes wP, wS e . i) Estabelecer as especificaes wP, wS e . ii) Estabelecer a frequncia de corte wc do filtro passa-baixa
ideal ao qual se aplicar a janela (wc = (wP + wS)/2). iii) Calcular A = 20log10 e w = wP - wS e usar as frmulas de
Kaiser para encontrar os valores de M e . iv) Encontra a resposta ao impulso do filtro atravs de
h[n]=hd[n]w[n], onde w[n] a janela de Kaiser ehd[n] = -1[Hd(ejw)].
44
Tcnicas de Projeto de Filtros FIRTipos de Janelas
Janela de Kaiser Devido complexidade de clculos com
funes de Bessel, o projeto dessas janelas no fcilno fcil
A equao de w[n] definida por Kaiser tem valores encontrados empiricamente e so definidos sem prova
45
Tcnicas de Projeto de Filtros FIRTipos de Janelas
Janela de Kaiser Exemplo: Projetar, usando janelas de Kaiser, um filtro
passa-baixa com as seguintes especificaes: wP= 0,4pi, wS = 0,6pi e = 0,001
w = (w + w )/2 = 0,5piwc = (wS + wP)/2 = 0,5piw = wS - wP = 0,2piA = -20log10 = 60 dBComo A > 50:
= 0,1102(A 8,7) 5,633M = (A - 8)/(2,285w) 36,219 M = 37 (M inteiro)
46
Tcnicas de Projeto de Filtros FIRTipos de Janelas
Janela de Kaiser Exemplo: Projetar, usando janelas de Kaiser, um filtro
passa-baixa com as seguintes especificaes: wP= 0,4pi, wS = 0,6pi e = 0,001
A resposta ao impulso A resposta ao impulso
com w[n] dado pela definio da janela de Kaiser
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Tcnicas de Projeto de Filtros FIRTipos de Janelas
Implementaes no MatLab O MatLab tem diversas funes para
implementar janelas: w = rectwin(M): Janela retangular w = rectwin(M): Janela retangular w = bartlett(M): Janela de Bartlett w = hanning(M): Janela de Hanning w = hamming(M): Janela de Hamming w = blackman(M): Janela de Blackman w = kaiser(M, Beta): Janela de Kaiser
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Tcnicas de Projeto de Filtros FIRExemplos no MatLab
Funo 1:function hd = ideal_lp(wc, M)% Ideal low pass filter% wc = cutoff frequency% M = length of the ideal filteralpha = (M - 1)/2
Funo 2:function [db, mag, pha, w] = freqz_m(b, a)% Versao modificada da funcao freqz[H, w] = freqz(b, a, 1000, 'whole');H = (H(1:501))';w = (w(1:501))';alpha = (M - 1)/2
n = [0:(M-1)];m = n - alpha + eps;hd = sin(wc*m)./(pi*m);
w = (w(1:501))';mag = abs(H);db = 20*log10((mag + eps)/(max(mag)));pha = angle(H);
49
Tcnicas de Projeto de Filtros FIRExemplos no MatLab
Exemplo 1: Projetar um filtro passa-baixa FIR com as seguintes
especificaes wP = 0,2pi, RP = 0,25 dB, wS = 0,3pi e AS= 50 dB.
Tanto a janela de Hamming quanto a de Blackman Tanto a janela de Hamming quanto a de Blackman provem atenuao de mais de 50 dB
Vamos escolher a janela de Hamming que prov a menor banda de transio e assim tem a menor ordem
50
Tcnicas de Projeto de Filtros FIRExemplos no MatLab
Exemplo 1:wp = 0.2*pi; ws = 0.3*pi;tr_width = ws - wp;M = ceil(6.6*pi/tr_width) + 1n = [0:M-1];n = [0:M-1];wc = (ws + wp)/2;hd = ideal_lp (wc, M);w_ham = (hamming(M))';h = hd.*w_ham;[db, mag, pha, w] = freqz_m(h, [1]);delta_w = 2*pi/1000;Rp = -(min(db(1:wp/delta_w+1)))As = -round(max(db(ws/delta_w+1:501)))
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Tcnicas de Projeto de Filtros FIRExemplos no MatLab
Exemplo 1:
M = 67alpha = 33Rp = 0,0394As = 52As = 52
52
stem(hd)stem(h)stem(mag)stem(w_ham)
Tcnicas de Projeto de Filtros FIRExemplos no MatLab
Exemplo 2: Resolver o exemplo anterior com janela de Kaiser
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Tcnicas de Projeto de Filtros FIRExemplos no MatLab
Exemplo 3: A resposta em frequncia de um filtro rejeita-faixa ideal
dada por:
Usando uma janela de Kaiser, projete um filtro rejeita-faixa de comprimento 45 com atenuao na banda de corte de 60 dB
54
Tcnicas de Projeto de Filtros FIRExemplos no MatLab
Exemplo 3: Observe que a largura da banda de transio
no foi dada Ela ser encontrada a partir do comprimento Ela ser encontrada a partir do comprimento
M = 45 e do parmetro da janela de Kaiser Das equaes de projeto da janela de Kaiser,
podemos determinar a partir de As:
55
Tcnicas de Projeto de Filtros FIRExemplos no MatLab
Exemplo 3: Vamos agora implementar a janela de Kaiser e
observar a atenuao na banda de corteM = 45; As = 60; n=[0:M-1];M = 45; As = 60; n=[0:M-1];beta = 0.1102*(As - 8.7)w_kai = (kaiser(M, beta))';wc1 = pi/3; wc2 = 2*pi/3;hd = ideal_lp(wc1, M) + ideal_lp(pi, M) - ideal_lp(wc2, M);h = hd.*w_kai;[db, mag, pha, w] = freqz_m(h, [1]);
beta = 5,6533
56
Tcnicas de Projeto de Filtros FIRExemplos no MatLab
Exemplo 3:
Problema.Abaixo de 60 dB
57
Tcnicas de Projeto de Filtros FIRExemplos no MatLab
Exemplo 3: Observe que, com esse valor, a mnima atenuao da
banda de corte menor que 60 dB (em mdulo) Assim, precisamos aumentar para aumentar a
atenuao para 60 dB.atenuao para 60 dB. Vamos colocar um acrscimo no valor calculado de
para conseguir uma atenuao maior Observamos que, assim, a atenuao fica maior que 60
dB na banda de corte
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Tcnicas de Projeto de Filtros FIRExemplos no MatLab
Exemplo 3: Vamos agora implementar a janela de Kaiser e
observar a atenuao na banda de corteM = 45; As = 60; n=[0:M-1];M = 45; As = 60; n=[0:M-1];beta = 0.1102*(As - 8.7) + 0.3w_kai = (kaiser(M, beta))';wc1 = pi/3; wc2 = 2*pi/3;hd = ideal_lp(wc1, M) + ideal_lp(pi, M) - ideal_lp(wc2, M);h = hd.*w_kai;[db, mag, pha, w] = freqz_m(h, [1]);
beta = 5,9533
59
Tcnicas de Projeto de Filtros FIRExemplos no MatLab
Exemplo 3:
Acima de 60dB OK!
60
Tcnicas de Projeto de Filtros FIRProjeto por Amostragem em Frequncia
Nessa tcnica, usamos o fato de que a funo de sistema H(z) pode ser obtida a partir de amostras H(k) da resposta em frequncia H(ejw)frequncia H(e )
Seja h[n] a resposta ao impulso de um filtro FIR com M amostras, H[k] sua transformada discreta de Fourier com M-pontos e H(z) sua funo de sistema
61
Tcnicas de Projeto de Filtros FIRProjeto por Amostragem em Frequncia
62
Tcnicas de Projeto de Filtros FIRProjeto por Amostragem em Frequncia
Observaes (da figura anterior): 1) O erro de aproximao a diferena entre a
resposta ideal e a atual zero nas freqncias amostradas2) O erro de aproximao nas outras 2) O erro de aproximao nas outras freqncias depende da forma da resposta ideal, ou seja, quanto mais sharp a resposta ideal, maior o erro de aproximao
3) O erro maior perto das fronteiras das bandas e menor dentro das bandas
63
Tcnicas de Projeto de Filtros FIRProjeto Equirriple timo
Os mtodos de janelamento e de amostragem na frequncia tm alguns problemas: 1) No podemos especificar wP e wS precisamente nos
projetos.2) No podemos especificar e simultaneamente 2) No podemos especificar 1 e 2 simultaneamente
Ou consideramos 1 = 2 (como no janelamento) ou otimizamos 2 (como na amostragem).
3) O erro de aproximao no distribudo uniformemente nas bandas
Ele mais alto perto das fronteiras das bandas e menor quanto mais distante delas
64
Tcnicas de Projeto de Filtros FIRProjeto Equirriple timo
O mtodo equirriple timo evita esses problemas. No entanto ele bastante difcil de utilizar e requer computador na sua implementao
O objetivo minimizar o erro mximo de aproximao (minimax do erro)aproximao (minimax do erro) Otimizao
Tais filtros so chamados de equirriple porque o erro distribudo de maneira uniforme na banda de passagem e de corte o que resulta em um filtro de menor ordem
65
Tcnicas de Projeto de Filtros FIRProjeto Equirriple timo
Exemplo:
66
Tcnicas de Projeto de Filtros IIR
Carlos Alexandre Mello [email protected]
Carlos Alexandre Mello
67
Tcnicas de Projeto de Filtros IIR A tcnica bsica de projeto de filtros IIR transforma filtros
analgicos bem conhecidos em filtros digitais A vantagem dessa tcnica est no fato que tanto tabelas
de filtros analgicos quanto as converses esto vastamente disponveis na literaturaEssa tcnica chamada de transformao de filtro
68Carlos Alexandre Mello [email protected]
Essa tcnica chamada de transformao de filtro analgica-digital (A/D)
No entanto, as tabelas de filtros s esto disponveis para filtros passa-baixa Para gerar outros filtros seletores de frequncia, temos que aplicar
transformaes a filtros passa-baixa Essas transformaes tambm esto disponveis na literatura.
68
Tcnicas de Projeto de Filtros IIR Existem duas formas de projeto de filtros IIR
69Carlos Alexandre Mello [email protected] 69
Tcnicas de Projeto de Filtros IIR Para projetar filtros IIR, vamos:
1) Projetar FPB analgicos; 2) Aplicar transformaes no filtro para obter FPB
digitais;3) Aplicar transformaes de frequncia nas bandas
70Carlos Alexandre Mello [email protected]
3) Aplicar transformaes de frequncia nas bandas para obter outros filtros digitais a partir do FPB.
O principal problema dessas tcnicas que no temos controle sobre a fase do filtro Assim, os projetos de filtros IIR sero apenas em
magnitude
70
Tcnicas de Projeto de Filtros IIR Escala Relativa
Seja Ha(j) a resposta em frequncia do filtro analgico
Ento as especificaes do FPB quanto
71Carlos Alexandre Mello [email protected]
Ento as especificaes do FPB quanto resposta quadrtica de magnitude so dadas por:
71
onde o parmetro de ondulao da banda de passagem, P a frequncia de corte da banda de passagem, A o parmetro de atenuao da banda de corte e S a frequncia da banda de corte
Tcnicas de Projeto de Filtros IIREspecificaes de um filtro passa-baixa analgico
Da figura temos:
72Carlos Alexandre Mello [email protected] 72
Tcnicas de Projeto de Filtros IIR Escala Relativa
Os parmetros e A esto relacionados aos parmetros RP e AS na escala dB como:
73Carlos Alexandre Mello [email protected] 73
Tcnicas de Projeto de Filtros IIR Escala Relativa
As tolerncias 1 e 2 da escala absoluta so relacionados a e A por:
74Carlos Alexandre Mello [email protected] 74
Tcnicas de Projeto de Filtros IIR Escala Relativa
Especificaes de filtros analgicos no tm informao de fase
Para calcular a funo de sistema Ha(s) no
75Carlos Alexandre Mello [email protected]
Para calcular a funo de sistema Ha(s) no domnio-s considere :
75
Tcnicas de Projeto de Filtros IIR Escala Relativa
Ento temos :
76Carlos Alexandre Mello [email protected] 76
Tcnicas de Projeto de Filtros IIR Observao:
A transf. apresentada no plano-s indicando o uso da transf. de Laplace (por ser no domnio analgico)
O domnio-s ou plano-s o nome do plano complexo no qual a transformada de Laplace apresentada
77Carlos Alexandre Mello [email protected]
qual a transformada de Laplace apresentada graficamente
A transf de Laplace se relaciona com a transf de Fourier, mas enquanto a transf de Fourier mapeia um sinal ou funo em termos de vibraes (senides), a transf de Laplace mapeia uma funo em relao aos seus momentos
77
Tcnicas de Projeto de Filtros IIRCaractersticas de Prottipos Analgicos
O projeto de filtros IIR reside na existncia de filtros analgicos para obter filtros digitais
Esses filtros analgicos so chamados de filtros prottipos
78Carlos Alexandre Mello [email protected]
Trs prottipos so largamente usados na prtica: Butterworth, Chebyshev (tipo I e II) e Elptico
Vamos ver as caractersticas das verses passa-baixa desses filtros.
78
Tcnicas de Projeto de Filtros IIRCaractersticas de Prottipos Analgicos
Filtro de Butterworth A principal caracterstica desse filtro que a resposta
em magnitude plana (flat) na banda de passagem e de corte
A resposta quadrtica de magnitude de um FPB de N-
79Carlos Alexandre Mello [email protected]
A resposta quadrtica de magnitude de um FPB de N-sima ordem dada por:
onde N a ordem do filtro e c a frequncia de corte
79
Tcnicas de Projeto de Filtros IIRCaractersticas de Prottipos Analgicos
Filtro de Butterworth
80Carlos Alexandre Mello [email protected] 80
Tcnicas de Projeto de Filtros IIRCaractersticas de Prottipos Analgicos
Filtro de Butterworth Do grfico, podemos observar:
i) Em = 0, |Ha(j0)|2 = 1, para todo N. ii) Em = c, |Ha(jc)|2 = 0,5, para todo N, o que
81Carlos Alexandre Mello [email protected]
c a c
implica 3 dB de atenuao em c iii) |Ha(j)|2 uma funo monotonicamente
decrescente em iv) |Ha(j)|2 se aproxima de um FPB ideal em N . V) |Ha(j)|2 maximamente plano em = 0
81
Tcnicas de Projeto de Filtros IIRCaractersticas de Prottipos Analgicos
Filtro de Butterworth Sua funo de sistema Ha(s) :
82Carlos Alexandre Mello [email protected] 82
Tcnicas de Projeto de Filtros IIRCaractersticas de Prottipos Analgicos
Filtro de Butterworth Para projetar o filtro, precisamos encontrar as
razes e plos da funo do sistema Os plos so dados por:
p = ejpi(2k + 1)/2N.ejpi/2 , k = 0, 1, 2,..., 2N-1
83Carlos Alexandre Mello [email protected]
pk = ejpi(2k + 1)/2N.ejpi/2c, k = 0, 1, 2,..., 2N-1 Assim, os plos esto em um crculo de raio c
nos ngulos k = (pi/N)k + (pi/2N) + pi/2, k = 0, ..., 2N 1
E os zeros so sk = (-1)1/2N.j c = cejpi(2k+N+1)/2N, k = 0, 1, ..., 2N 1.
83
Tcnicas de Projeto de Filtros IIRCaractersticas de Prottipos Analgicos
Filtro de Butterworth O FPB analgico especificado pelos
parmetros P, S, RP e AS Assim, a essncia do projeto no caso do filtro
84Carlos Alexandre Mello [email protected]
Assim, a essncia do projeto no caso do filtro de Butterworth obter a ordem N e a frequncia de corte dada c
84
Tcnicas de Projeto de Filtros IIRCaractersticas de Prottipos Analgicos
Filtro de Butterworth Assim, dadas essas especificaes, queremos:
85Carlos Alexandre Mello [email protected] 85
Tcnicas de Projeto de Filtros IIRCaractersticas de Prottipos Analgicos
Filtro de Butterworth Resolvendo as equaes para N = c, temos:
86Carlos Alexandre Mello [email protected] 86
Tcnicas de Projeto de Filtros IIRCaractersticas de Prottipos Analgicos
Filtro de Butterworth Como N deve ser inteiro, ento consideramos:
N = N Obviamente, isso ir gerar um filtro com ordem
87Carlos Alexandre Mello [email protected]
Obviamente, isso ir gerar um filtro com ordem maior do que o necessrio
Para satisfazer exatamente as especificaes do projeto em P:
87
Tcnicas de Projeto de Filtros IIRCaractersticas de Prottipos Analgicos
Filtro de Butterworth Para satisfazer exatamente as especificaes
do projeto em S:
88Carlos Alexandre Mello [email protected] 88
Tcnicas de Projeto de Filtros IIRCaractersticas de Prottipos Analgicos
Filtro de Butterworth: Exemplo Projete um filtro Butterworth satisfazendo:
Ponto de corte na banda de passagem: P = 0,2pi Ripple na banda de passagem: RP = 7 dB Ponto de corte na banda de corte: S = 0,3pi
89Carlos Alexandre Mello [email protected]
Ponto de corte na banda de corte: S = 0,3pi Ripple na banda de corte: AS = 16 dB
89
Tcnicas de Projeto de Filtros IIRCaractersticas de Prottipos Analgicos
Filtro de Butterworth: Exemplo Soluo:
90Carlos Alexandre Mello [email protected]
Para satisfazer as especificaes em P
Para satisfazer as especificaes em S
90
Tcnicas de Projeto de Filtros IIRCaractersticas de Prottipos Analgicos
Filtro de Butterworth: Exemplo Soluo:
Podemos escolher c entre esses dois valores, por exemplo c = 0,5Temos que projetar um filtro Butterworth com N = 3 e
91Carlos Alexandre Mello [email protected]
Temos que projetar um filtro Butterworth com N = 3 e c = 0,5
Ou seja:
Como = s/j, temos:
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Filtro de Butterworth: Exemplo Soluo:
Os plos pk da funo anterior podem ser calculados no MatLab como:
>> a = [-64 0 0 0 0 0 1];>> b = roots(a) >> b = roots(a)
b = -0.5000 -0.2500 + 0.4330i -0.2500 - 0.4330i 0.5000 0.2500 + 0.4330i 0.2500 - 0.4330i
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Filtro de Butterworth: Exemplo Soluo:
Para termos um filtro causal e estvel, usamos os plos do semi-plano esquerdo:
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Filtro de Butterworth: Exemplo Soluo:
Vamos ajustar o numerador para que o ganho na frequncia zero seja unitrioOu seja, no denominador, quando s = 0, temos: Ou seja, no denominador, quando s = 0, temos:
(s + 0,5)(s2 + 0,5s + 0,25) = 0,5.0,25 = 0,125 Logo, o numerador multiplicado por um fator de 1/8
e temos:
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Filtro de Butterworth: Exemplo Soluo:
Para transformar o filtro em digital, podemos usar o mtodo de transformao bilinearNele, consideramos: Nele, consideramos:
onde T um parmetro
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OBS: Explicao nas notas de aula.
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Filtro de Butterworth: Exemplo Soluo:
No nosso caso, consideramos T = 1:
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Filtro de Chebyshev Existem dois tipos de filtros de Chebyshev
O Chebyshev do tipo I tem resposta equirriple na banda de passagem
e o tipo II, na banda de cortee o tipo II, na banda de corte Os filtros Butterworth tm resposta monotnica em
ambas as bandas Lembramos que um filtro de resposta equirriple tem
menor ordem Assim, um filtro de Chebyshev tem menor ordem que
um de Butterworth para as mesmas especificaes
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Filtro de Chebyshev
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Filtro de Chebyshev A resposta quadrtica de magnitude de um filtro
Chebyshev tipo I dada por:
onde N a ordem do filtro, o fator de ondulao da banda de passagem e TN(x) o polinmio de Chebyshev dado por (podemos considerar x = /c):
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Filtro de Chebyshev Para um filtro Chebyshev tipo II:
Ou seja, x = (/c) substitudo por seu inverso e 2TN2(x) tambm
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Filtro de Elptico Esses filtros apresentam ondulaes na banda
de passagem e de corte So similares em magnitude a filtros FIR
equirripleequirriple So filtros timos no sentido que eles alcanam
a menor ordem N para as dadas especificaes So muito difceis de projetar e analisar
No possvel projet-los com ferramentas simples, sendo necessrio uso de tabelas e computadores
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Filtro de Elptico A resposta quadrtica de magnitude dada por:
onde N a ordem do filtro, o fator de ondulao da banda de passagem e UN(x) a funo elptica Jacobiana de ordem N
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Filtro de Elptico Apesar da anlise complexa, o clculo da ordem do
filtro simples e dado por:
Onde:
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Transformaes em Frequncia Como dissemos anteriormente, o projeto de filtros
seletores de frequncia como passa-alta, passa-faixa ou rejeita faixa, so feitos a partir de um prottipo do tipo passa baixaA partir desse prottipo, possvel aplicar uma A partir desse prottipo, possvel aplicar uma transformao algbrica para construir o filtro desejado
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Transformaes em Frequncia Seja HPB(Z) a funo do sistema de um filtro
passa-baixa dado o qual se quer transformar para obter uma nova funo H(z)
Observe que as variveis complexas Z e z esto associadas ao filtro passa-baixa prottipo e ao associadas ao filtro passa-baixa prottipo e ao filtro obtido pela transformao, respectivamente
O que se deseja uma funo Z = G(z) tal que:
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Transformaes em Frequncia Se HPB(Z) a funo racional de um
sistema causal e estvel, uma exigncia natural que a funo transformada H(Z) tambm apresente essas caractersticas. Isso implica que:Isso implica que: 1. G(z-1) deve ser uma funo racional de z-1. 2. O interior do crculo unitrio do plano Z deve
mapear o interior do crculo unitrio do plano z. 3. O crculo unitrio do plano Z deve mapear no
crculo unitrio do plano z.
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Transformaes em Frequncia Denotando por e w as variveis (ngulos)
associados, respectivamente, aos planos Z e z, a transformao Z-1 = G(z-1) pode ser re-escrita como:
De forma que:
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Transformaes em Frequncia A forma mais geral da funo G(z-1) que satisfaz
s condies acima :
com |k| < 1 Dependendo da escolha de N e k, diversos
mapeamentos podem ser obtidos O mais simples (N = 1, 1 = ):
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Transformaes em Frequncia
Agora, escolhendo uma ordem apropriada N e os coeficientes {k}, podemos obter uma variedade de mapeamentos
As transformaes mais comuns esto na As transformaes mais comuns esto na tabela a seguir...
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Transformaes em Frequncia
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Comparao entre Filtros FIR e IIR Seja M o comprimento (nmero de coeficientes)
de um filtro FIR de fase linear e N a ordem de um filtro elptico (IIR)
Se assumimos que ambos os filtros atendem exatamente s mesmas especificaes, os dois exatamente s mesmas especificaes, os dois filtros so equivalentes e atendem relao:
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Comparao entre Filtros FIR e IIR Isso mostra que, para a maior parte das
aplicaes, filtros IIR elpticos so desejveis do ponto de vista computacional
As condies mais favorveis para filtros FIR so: 1. Grandes valores de 1; 2. Pequenos valores de 2; 3. Grande largura da banda de transio.
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Tcnicas de Projeto de Filtros Referncias:
Digital Signal Processing using MatLab, V.Ingle, J.G.Proakis, Brooks/Cole, 2000
Discrete-Time Signal Processing, A.Oppenheim
113Carlos Alexandre Mello [email protected]
Discrete-Time Signal Processing, A.Oppenheim e R.W.Schafer, Prentice-Hall, 1989
Digital Signal Processing Using MatLab and Wavelets, M.Weeks, Ed. Infinity Science, 2007
Digital Signal and Image Processing, T.Bose, John Wiley and Sons, 2004
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