Unidad II

Distribuciones de probabilidad

Las más simples de todas las distribuciones

de probabilidad discreta es donde la variable

aleatoria toma cada uno de los valores con

una probabilidad idéntica.

Tal distribución de probabilidad se denomina

distribución uniforme discreta

Si la variable aleatoria X toma valores x1, x2,

x3, …, xk, con idénticas probabilidades,

entonces la distribución uniforme discreta

está dada por

kxxxxx

kkxf ,...,,, ,

1;

321

Ejemplo

Cuando se selecciona un foco al azar de una caja

que contiene un foco de 40 watts, uno de 60, uno

de 75 y uno de 100, cada elemento del espacio

muestral S= {40, 60, 75, 100} ocurre con una

probabilidad de 1/4 . Por lo tanto tenemos una

distribución uniforme con

100 ,75 ,60 ,40 , 4

14; xxf

Ejemplo

Cuando se lanza un dado, cada elemento de

espacio muestral S= {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Ocurre con

una probabilidad 1/6. por lo tanto tenemos una

distribución uniforme con

6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1 , 6

14; xxf

La media y varianza de la distribución

uniforme discreta f(x;k) son

k

x

k

x

k

i

i

k

i

i

1

2

21 y

Esta distribución fue elaborada por Jacobo

Bernoulli y es aplicable a un gran número de

problemas de carácter económico y en

numerosas aplicaciones como:

Juegos de azar.

Control de calidad de un producto.

En educación.

En las finanzas.

La distribución binomial posee las siguientes

propiedades esenciales:

1. El espacio muestral contiene n ensayos

idénticos.

2. Las observaciones posibles se pueden obtener

mediante dos diferentes métodos de muestreo.

Se puede considerar que cada observación se

ha seleccionado de una población infinita sin

reposición o de una población finita con

reposición.

La distribución binomial posee las siguientes

propiedades esenciales:3. Cada observación se puede clasificar en una de dos

categorías conocidas como éxito E o fracaso E', las

cuales son mutuamente excluyentes es decir E E' = 0.

4. Las probabilidades de éxito p y de fracaso q = 1 - p en

un ensayo se mantienen constantes, durante los n

ensayos.

5. El resultado de cualquier observación es independiente

del resultado de cualquier otra observación.

Un experimento de Bernoulli puede tener como resultado

un éxito con probabilidad p y un fracaso con probabilidad

q=1-p. Entonces la distribución de probabilidad de la

variable aleatoria binomial X. el numero de exitos en n

pruebas independientes es

.,...,3 ,2 ,1 , ,; nxqpx

npnxb

n-xx

.,...,3 ,2 ,1 , !!

!,; nxqp

xxn

npnxb

n-xx

La media y la varianza de la distribución binomial son:

npqnp2

y

Ejemplo

La probabilidad de que cierta clase de componente sobreviva a

una prueba de choque dada es de ¾ . Encuentre la probabilidad de

que sobrevivan exactamente dos de los siguientes cuatro

componentes que se prueben

2

4,4;2

2

4

12

4

3

4

3b

128

272

4

12

4

3

4

3

!2!2

!4,4;2b

Ejemplo

La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad

sanguinea es de 0.4. si se sabe que 15 personas contraen esta enfermedad. ¿Cuál

es la probabilidad de que (a) sobrevivan al menos 10, (b) sobrevivan de 3 a 8 y

(c) sobrevivan exactamente 5?

Si una prueba dada puede conducir a los k

resultados E1, E2, E3, …, Ek con

probabilidades p1, p2, p3, …, pk , entonces la

probabilidad de las variables aleatorias X1,

X2, X3, …, Xk, que representan el número de

ocurrencias para E1, E2, E3, …, Ek en n

pruebas independientes es

kx

k

xx

k

kkppp

xxx

nnpppxxxf ...

, .... , ,, , .... , ,; , .... , , 21

21

21

2121

kx

k

xx

k

kkppp

xxx

nnpppxxxf ...

! ......! !

!, , .... , ,; , .... , , 21

21

21

2121

Ejemplo

Calcular la probabilidad de obtener dos veces

el número 4, dos veces el número 5 y una vez

el número 2, en el lanzamiento de un

dado 5 veces.

00385.0!1 !2 !2

!55,,,;1,2,2

1

6

12

6

12

6

1

6

1

6

1

6

1f

.,...,3 ,2 ,1 ,

!!

!

!!

!.

!!

!

,,; nx

nnN

N

xnxnkN

kN

xxk

k

knNxh

N

k

N

kn

N

nNianza

N

nkmedia

11

:var

:

2

Ejemplo

Considerando que en la urna hay un total de 10

objetos, 3 de los cuales son defectuosos, si de

seleccionan 4 objetos al azar, ¿cuál es la

probabilidad de que 2 sean defectuosos?

Ejemplo

Para evitar que lo descubran en la aduana, un

viajero ha colocado 6 tabletas de narcótico en

una botella que contiene 9 píldoras de

vitamina que son similares en apariencia. Si el

oficial de la aduana selecciona 3 tabletas

aleatoriamente para analizarlas,

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea

arrestado por posesión de narcóticos?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea arrestado

por posesión de narcóticos?.

Ejemplo

Ejemplo

De un lote de 10 proyectiles, 4 se

seleccionan al azar y se disparan. Si el lote

contiene 3 proyectiles defectuosos que no

explotarán, ¿cuál es la probabilidad de

que…

a) los 4 exploten?

b) al menos 2 no exploten?

Consideremos un experimento donde las

propiedades son las mismas que las que se

indican par un experimento binomial, con la

excepción de que las pruebas se repetiran

hasta que ocurra un número fijo de éxitos.

Si pruebas independientes repetidas pueden

tener como resultado un éxito con

probabilidad p y un fracaso con probabilidad

q=1-p, entonces la distribución de

probabilidad de la variables aleatoria x, el

número de la prueba en que ocurre el k-

ésimo éxito, es

....2,1, , 1

1,;

*kkkxqp

k

xpkxb

kxk

Si pruebas independientes repetidas pueden

tener como resultado un éxito con

probabilidad p y un fracaso con probabilidad

q=1-p, entonces la distribución de

probabilidad de la variables aleatoria x, el

número de la prueba en que ocurre el primer

éxito, es

.... 3, 2, ,1 , ;1

xpqpxgx

2

2 1 :var

1 :

p

pianza

pmedia

Se sabe que en cierto proceso de fabricación,

en promedio, uno de cada 100 artículos está

defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que

el quinto articulo que se inspecciona sea el

primer defectuoso que se encuentra?

La distribución de probabilidad de la variable

aleatoria de Poisson X, que representa el

número de resultados que ocurren en un

intervalo dado o región especifica que se

denota con t, es

Donde es el número promedio de

resultados por unidad de tiempo o región y

e=2.71828

.... ,2 ,1 ,0 , !

; xx

tetxp

xt

t :var , ianzamedia