Pearsonův test dobré shody chí kvadrát

nei četnosti experimentální

noi četnosti očekávané (teoretické)

Test se nehodí pro soubory s velmi malými četnosti v jednotlivých kategoriích!!! Zde je vhodnější Kolmogorovův test.

k

i oi

oiei

nnn

1

22 )(

Pozor!!!Všimněte si analogie mezi párovým testem (t-test, Wilcoxon) a testy shody (Smirnov, test dobré shody): v obou případech se sledují

rozdíly mezi párovými hodnotami.

Pearsonův i Smirnovův a Kolmogorovův test lze použít i pro diskrétní, ordinální i

nominální data.

III.

Závislost• Funkční

• Stochastická• Korelační• Regresní

» Lineární» Nelineární

Závislost dvou proměnných

• Grafické nebo tabelární zobrazení dat

• Hledání základních konfigurací a tendencí v datech

• Výpočet numerických charakteristik

Závislost dvou proměnnýchrozptylový graf (scatter plot)

kvadranty

Závislost dvou proměnných

Konfidenční elipsa pro danou hl. významnosti

Závislost dvou proměnných

Konfidenční elipsa pro danou hl. významnosti

Střed elipsy:

Osa x svírá s delší osou elipsy úhel

Plocha elipsy:

yx,0

22

22

yx

yx

sssrs

tg

21 rssQ yx

Pearsonův koeficient korelace

yx

xyxy ss

sr

1

))((1

n

yyxxs

n

iii

xy

kovariance

y

in

i x

ixy s

yys

xxn

r11

1

Standardizované hodnoty

0 ≤ r ≤ 1

• Vyjadřuje pouze sílu lineárního vztahu.

• Je velmi ovlivněn odlehlými hodnotami.

• Nerozlišuje mezi závisle a nezávisle proměnnou.

• Obě proměnné musí mít náhodný charakter.

• Korelace sama o sobě neznamená přítonmost příčinného vztahu!!!

Pearsonův koeficient korelace

Odhad a testování Pearsonova k. k.

• H0: r = 0

21 2

nr

rt

Síla asociace /r/

Malá 0,1 – 0,3Střední 0,3 – 0,7Silná 0,7 – 1,0

-1 ≤ r ≤ 1

r2 = koeficient determinace

Odhad a testování Pearsonova k. k.

• H0: r = ρ0

rrz

11ln

21

0

0

11

ln21

z

31

n

s z

z – tsz ≤ μz ≤ z + tsz

11

2

2

z

z

eer

3 nzzZ r

Odhad a testování Pearsonova k. k.

1

1111ln

21

rrz

31

31

21

21

nn

zzu

2

2211ln

21

rrz

•H0: r1 = r2

Pořadová korelace• Spearmanův

Hodí se spíše pro zařazovací ordinální data, pro zařazovací ordinální data se však běžně používá.

Di jsou rozdíly v pořadí hodnot xi a yi vzhledem k ostatním hodnotám výběru.

• KendallůvSleduje počet a charakter rozdílů v pořadí - pro j > i:

yj > yi konkordance (kladná asociace) P

yj < yi diskordance (kladná asociace) Q

Hodí se spíše pro porovnávací ordinální data

)1(6

1 2

2

nnD

r is

2/)1(

nnQPtk

Druhy korelace

• Formální korelace: u percentuálních dat

• Korelace způsobená společnou příčinou

• Korelace způsobená nehomogenitou

Závislost a asociace nominálních dat

Kontingenční tabulky čtyřpolní tabulka – pro dichotomická data

Marginální četnosti

Asociace v kontingenčních tabulkách

))()()((

2

dbcadcbaadbc

n

))()()(()( 2

2

dbcadcbanbcad

))()()(()2/( 2

2

dbcadcbannbcad

Je formálně shodný s Pearsonovým k. k.

Yatesova korekce na nespojitost

Chí kvadrát test nezávislosti

Fisherův exaktní (kombinatorický) test– pro malé četnosti

Asociace v kontingenčních tabulkách

!!!!1

!)!()!()!()!(

dcbandbcacdbaP

Zjišťujeme pravděpodobnost, že se vyskytne daná konfigurace četností a, b, c, d nebo jakákoli jiná, nulové hypotéze ještě nepříznivější(sloupcové a řádkové součty jsou stejné). Pokud je součet nižší než zvolená hladina významnosti – H0 se zamítá.

Woolfův G test nezávislosti

Asociace v kontingenčních tabulkách

G = 2[a.ln(a) + b.ln(b) + c.ln(c) + d.ln(d) – (a + b).ln(a + b) – (a + c).ln(a + c) –(b + d).ln(b + d) – (c + d).ln(c + d)]

Pro výběry malého rozsahu se použije korekce na nespojitost dle Yatese:

je-li empirická četnost menší než teoretická přičteme 0,5

je-li empirická četnost větší než teoretická odečteme 0,5

Získaná hodnota se srovná s kritickou hodnotou rozdělení chí kvadrát pro (r-1)(s-1) stupně volnosti.

Koeficienty asociace

• Yule:

• Simple matching (pozorovaná shoda):

• Rusell – Rao:

• Rogers – Tanimoto:

• Sneath:

bdacbdacQ

dcbadaRT

22

dcbaaRR

dcbadaSM

dcbacbDC

• Jaccard:

• Kulczynski 1:

• Sorensen – Dice:

• Anderberg:

• Ochiai – Otsuka:

Koeficienty asociace

cbaaA22

cbaaSD

22

cbaaJ

cbaK

1

))(( cabaaO

Kontingenční tabulky

Chí kvadrát test nezávislosti

r

i

s

j ji

ijr

i

s

j ji

jiijr

i

s

j ji

jiij

nnn

n

nnnnnn

n

ppnppnn

1 1 ..

2

1 1 ..

2..

1 1 ..

2..2 1

ˆˆ

)ˆˆ(

nn

p ii

..ˆ

nn

p jj

..ˆ

Asociace nominálních dat

Koeficienty kontingence

- odvozené od koeficientu χ 2, pro čtyřpolní tabulky jsou shodné s koeficientem Φ.

Cramerův koeficient kontingence

Čuprovův koeficient kontingence

Asociace v kontingenčních tabulkách

)1,1min(.

2

1

srnK

)1)(1(.

2

2

srnK

• Goodmanův – Kruskalův koeficient

• Kendallovo tau-c

kde m je menší z obou dimenzí v kontingenční tabulce.

Asociace ordinálních kategorií

QPQP

)1()(2

2

mn

QPmtc

Testy shody pro párová dichotomická data

Dichotomická data: Mc Nemarův test

H0: p12 = p21

Pro malé četnosti (b + c < 30):

cbcb

nnnn

2

2112

221122 )()(

cbcb

nnnn

2

2112

221122 )1()1(

Yatesova korekce na nespojitost

• Kappa koeficient shody

))(())(()(2

1 badbdccabcad

AeAeAo

Dichotomická data: srovnání 2 metod

Nominální data: Bowkerův test symetrie

Zobecnění McNemarova testu pro nominální znak s r úrovněmi:

r

i

r

j jiij

jiij

nnnn

1 1

22 )(

Kritérium má přibližně chí kvadrát rozdělení s r(r-1)/2 stupni volnosti.