P°edmluva - physics.muni.czjanam/download/Nastrahy-text-2.pdf · a jejich aplikací £asto ani registroatv a i odborník je jen t¥ºko sta£í vst°ebáat.v Supravodi£e, nanostruktury,

P°edmluva

Pro£ jsou tém¥° £ty°i stovky let stará newtonovská mechanika a spolu s níklasická termika a molekulová fyzika tak°ka bez výjimky úvodními £ástmi uni-verzitních i gymnaziálních kurs· obecné fyziky? Rozvoj fyzikálního poznání jep°ece zvlá²´ v poslední dob¥ tak rychlý, ºe laik nesta£í existenci nových poznatk·a jejich aplikací £asto ani registrovat a i odborník je jen t¥ºko sta£í vst°ebávat.Supravodi£e, nanostruktury, neutrina rychlej²í neº sv¥tlo, dal²í a dal²í nobelov-ské objevy... Na druhé stran¥ jsou za£ínající studenti fyziky, kte°í by jednou m¥liv²e nové pochopit a dal²í objevovat, autory u£ebnic a svými u£iteli zatvrzelenuceni d¥lat n¥co, co p°ece ve svém povolání fyzika fakticky nepouºijí po£ítatpohyby t¥les v zemském gravita£ním poli, zabývat se kostkami jezdícími po na-klon¥ných rovinách se zanedbáním £i zapo£tením t°ení, °e²it k°ivo£aré pohybymotocyklist· v zatá£kách a planet kolem Slunce, p°emý²let nad tím, pro£ vodav úzké trubici te£e rychleji neº v ²iroké a chápat stavové rovnice idealizovanýchplyn·.

Práv¥ proto, aby budoucí fyzik, a´ jiº se nakonec bude hloub¥ji zabývatvýzkumem v oblasti kvantové elektrodynamiky, teorií strun, elektronovou mik-roskopií, technickými aplikacemi, nebo bude fyziku u£it, dokázal zvládnout svouprofesi, je t°eba, aby se vedle získání dobrého p°ehledu o klasických i moder-ních fyzikálních disciplínách nau£il takzvanému fyzikálnímu my²lení . Tím je,zhruba °e£eno, specické uvaºování zahrnující nejen logické postupy typické profyziku a spojené s matematickými znalostmi, ale p°edev²ím zku²eností posilo-vanou fyzikální intuici umoº¬ující na základ¥ experiment· formulovat hypotézy,vyvozovat z nich dal²í zákonitosti, navrhovat exprimenty pro jejich ov¥°ení aposoudit, co je a není p°i interpretaci fyzikálních jev· moºné.

K fyzikálnímu bádání ani vyu£ování není moºné p°istoupit bez znalosti zá-kladních disciplín obecné, teoretické i praktické fyziky, i kdyº se mohou jevitpon¥kud historické , z dne²ního pohledu jsou t°eba jiº p°ekonány a jejich vý-sledky platí jiº jen v rámci aproximativního p°ístupu k lep²í teorii. Tak t°ebanewtonovská mechanika, zaloºená na p°edstav¥ absolutního prostoru a £asu a naneexistenci mezní rychlosti, je dávno p°ekonána speciální teorií relativity, v níºroli mezní rychlosti hraje rychlost sv¥tla ve vakuu. P°esto ji v²ak v praktickýchsituacích pouºíváme jako velmi dobrou aproximaci. Klasické vyza°ovací zákony£erného t¥lesa jsou jen aproximacemi Planckova zákona, který otev°el cestu kekvantové teorii. V mikrosv¥t¥ byly Bohr·v a Sommerfeld·v model atomu dávnonahrazeny daleko relevantn¥j²ím popisem v rámci kvantové teorie, p°esto v²ak

1

2

dávají základní p°edstavu o kvantování energie a dal²ích veli£in v atomech. Atak bychom mohli pokra£ovat tak°ka v kaºdé oblasti fyziky.

Studia klasických oblastí fyziky se nelze vzdát, a´ uº pro nutnost ovládatjejich postupy a výsledky jako samoz°ejmou sou£ást vývoje fyzikálního v¥d¥nía my²lení, nebo práv¥ pro pou£ení, co to fyzikální my²lení je a jak si je osvojit.Za£ínat studium kurzu obecné fyziky klasickou mechanikou je proto logické krom¥ toho, co bylo p°ed chvílí °e£eno o nutnosti z klasiky vycházet, je zdeje²t¥ dal²í aspekt. Mechanické jevy jsou p°ístupné na²emu p°ímému pozorovánía smyslovému vnímání. Kuli£ku kyvadla na niti, padající t¥lesa, jedoucí au-tiomobily, kostky na naklon¥ných rovinách, motocyklisty v cirkusu ve smy£cesmrti, d¥ti na koloto£i, tekoucí £i stojatou vodu to v²echno vidíme na vlastnío£i a na ledacos z toho si m·ºeme i sáhnout . Mechanické experimenty lzeproto v¥t²inou sledovat p°ímo. Naproti tomu zji²óvat i tak jednoduchou v¥c,jakou je vztah mezi nap¥tím na kusu drátu a protékajícím proudem, m·ºemejen zprost°edkovan¥, a´ jiº prost°ednictvím ode£ítání údaj· na p°ístrojích s me-chanickým výstupem (údaj, který ukazuje otá£ející se ru£i£ka), nebo digitáln¥pomocí je²t¥ sloºit¥j²í elektroniky. Proto je vhodné fyzikální vzd¥lávání za£ínatmechanikou, i kdyº její konkrétní výsledky t°eba nepovaºujeme pro povolánífyzika dne²ní doby za n¥jak zvlá²´ prakticky vyuºitelné.

Krom¥ toho, co bylo p°ed chvílí °e£eno, má mechanika dal²í velkou výhodu.Názorn¥ lze na ní totiº ukázat ú£innou metodu fyzikálního zkoumání, kterouvelmi zhruba znázor¬uje následující schema:

Vstupní experiment↓

−→ Hypotézy (principy, axiomy) ←−| ↓ |

Matematický aparát −→ Odvozená tvrzení (zákony) || ↓ |−→ Ov¥°ovací experiment

Co schema znamená? Pomocí vstupního experimentu a zobecn¥ním jeho vý-sledk· dospívá fyzik k formulaci hypotéz o tom, jakými principy se zkoumanéjevy °ídí. Na základ¥ t¥chto princip· vyvozuje dal²í fyzikální zákony, které jemoºné cílen¥ p°ipraveným experimentem ov¥°it a hypotézy tak potvrdit, nebovyvrátit. Pokud se hypotézy potvrdí, vzniká teorie, která stojí na uvedenýchprincipech. Ta platí do doby, neº je p°ípadn¥ jemn¥j²ími experimenty vyvrácena.Ani pak ov²em nemusí být zcela opu²t¥na, ale m·ºe slouºit jako aproximativníp°ístup v rámci nové, p°esn¥j²í teorie. Dobrým p°íkladem konkrétního napln¥nívý²e uvedeného obecného schematu je práv¥ newtonovská mechanika. K zá-kladním experiment·m, z jejichº výsledk· mohl Newton vycházet p°i formulacisvých pohybových zákon·, pat°ily jist¥ experimenty Galilea Galileiho a jejichinterpretace. Newtonovy pohybové zákony spolu s principem superpozice sil (vý-po£et výslednice jako vektorového sou£tu jednotlivých sil) p°edstavují principy(axiomy) teorie, p°íkladem odvozených tvrzení jsou impulsové v¥ty pro pohyb

3

t¥les sloºených z více £ástic, nebo t¥les se spojit¥ rozloºenou hmotností, zákonyzachování hybnosti, momentu hybnosti a energie, zákonitosti pro statickou rov-nováhu, resp. pro proud¥ní kapaliny, apod. V²echny tyto zákony je moºné ov¥°itna vhodn¥ p°ipravených experimentech a základní principy tak potvrdit. Teorievychází z p°edstavy, ºe vzájemné p·sobení objekt· se ²í°í nekone£n¥ rychle ,tj. neexistuje mezní rychlost ²í°ení interakce. Výsledky Michelsonova pokusu sesv¥tlem v²ak s tímto p°edpokladem nesouhlasí, stejn¥ jako teoretické úvahy Ein-steinovy, vycházející z poºadavku invariance rovnic elektrodynamiky vzhledemk transformacím sou°adnic. Speciální teorie relativity, jejímº základem je exis-tence mezní rychlosti, tak Newtonovu mechaniku sice p°esn¥ vzato vyvrací, alezahrnuje ji jako aproximativní p°ístup pro malé rychlosti studovaných objekt·(v porovnání s mezní rychlostí).

P°edchozí úvahy snad jiº dostate£n¥ ospravedl¬ují volbu klasické mecha-niky jako úvodní £ásti kurz· obecné fyziky na r·zných úrovních fyzikálníhovzd¥lávání. Kniha, kterou máte v rukou, je u£ebnicí mechaniky, základ· termo-dynamiky a molekulové fyziky pro studenty bakalá°ského univerzitního kurzu.

Na tomto míst¥ si moºná £tená° poloºí otázku, pro£ vzniká dal²í u£ebnice kla-sické mechaniky, kdyº práv¥ s ohledem na jisté výsadní postavení mechaniky vkursech obecné fyziky, jak jsme o n¥m p°ed chvílí mluvili, je dostupných u£ebnicmechaniky aº dost. ím se tedy tato li²í od ostastních, p°inejmen²ím od t¥ch,které sama cituje v seznamu literatury? Odpov¥¤ snad bude z°ejmá z následujícícharakteristiky, která popisuje ur£itá specika na²eho textu:

V kaºdé skupin¥ osob, a tedy i za£ínajících univerzitních student· fyziky,existuje n¥co jako rozd¥lení skupiny podle p°ipravenosti £i momentální schop-nosti p°ijímat informace na ur£ité úrovni a rozum¥t jim. A£koli má p°edná²ejícínebo autor u£ebního textu sebelep²í snahu p°izp·sobit výklad celé skupin¥, na-jdou se v ní vºdy jednotlivci, kte°í nebudou rozum¥t tém¥° ni£emu, ale i takoví,které bude jednoduchost a p°ístupnost výkladu nudit. Proto je ná² text koncipo-ván takzvan¥ pro dvojí £tení. Základem jsou £ásti psané normální velikostí písmaa slouºí pro první £tení. M¥ly by být srozumitelné v²em za£ínajícím student·mbakalá°ské univerzitní fyziky, i kdyº ti, kte°í se pro fyziku p°edtím (t°eba nast°ední ²kole) nijak nep°ipravovali, budou muset ob£as hledat v matematickýchp°íru£kách a vracet se ke gymnaziálním u£ebnicím fyziky. ásti psané petitemp°edstavují nadstavbu ur£enou aº pro druhé £tení. Slouºí k hlub²ímu p°emý²lenía k roz²í°ení znalosti problematiky. Po fyzikální stránce jsou pon¥kud obtíºn¥j²ía £asto jsou také v¥novány podrobn¥j²ím matematickým výpo£t·m. P°i prvním£tení je lze vynechat bez ztráty souvislosti.

Výklad je doprovozen zna£ným mnoºstvím °e²ených p°íklad· takzvanávýuka na p°íkladech se osv¥d£uje ve fyzice stejn¥ jako kdekoli jinde. Teprveschopnost °e²it konkrétní úlohy, tj. aplikovat obecné zákonitosti, je indikátoremtoho, ºe jsme tyto zákonitosti dob°e pochopili.

Krom¥ standardních ukázek °e²ení úloh obsahuje text pon¥kud netradi£níkategorii p°íklad·, tzv. nástrahy. Jedná se o ukázky toho, ºe zdánliv¥ logickyvedená úvaha vycházející z obecných princip· a zákon· m·ºe být zavád¥jící aºchybná. Na n¥kterých z nich se £tená° p°esv¥d£í, ºe zdaleka ne v²e, co se jeví nebo

4

je prezentováno jako jasné , z°ejmé , jednoduché , je takovým doopravdy.Vzhledem k d·leºitosti experimentu ve fyzice obecn¥, ale i vzhledem k jeho

názornosti práv¥ v mechanice, není moºné, aby v u£ebnici jako je tato chyb¥l.Dal²í skupinou p°íklad·, na nichº se má £tená° prost°ednictvím mechaniky u£itfyzikáln¥ p°emý²let , jsou proto experimenty. Není jich uvád¥no mnoho nic senemá p°ehán¥t. Jsou v²ak voleny tak, aby demonstrovaly vysv¥tlovanou fyzikálnízákonitost £i jev pokud moºno zcela pr·hledným zp·sobem. Jsou sestavenypomocí co nejjednodu²²ích pom·cek, aby základní jev nebyl zast°en sloºitostíkonstrukce. Neobsahují ºádné £erné sk°í¬ky , v kaºdém kroku je vid¥t, co sed¥je. Navíc jsou voleny tak, aby byly cenov¥ dostupné a snadno realizovatelné,£asto doslova na kolen¥ . A protoºe ani sebelep²í a opakovaný slovní popisexperimentu nem·ºe nahradit jeho skute£né sledovnání, obsahuje kniha o CD skrátkými videozáznamy pouºitých pokus·.

Jako ve v¥t²in¥ u£ebnic ani zde nechybí testové úlohy a cvi£ení k samostat-nému °e²ení. Kniha obsahuje CD s tzv. uzav°enými testovými úlohami s jednoua více odpov¥¤mi pro testování p°i samostatném studiu kaºdé kapitoly. Úlohyjsou rozt°íd¥ny podle obtíºnosti do kategorií zah°ívací , snadné , obtíºn¥j²í .Vºdy jsou opat°eny £asovým údajem p°edstavujícím standardní dobu pro °e²enía odpo£tem £asu. Úlohy s jednou odpov¥dí nabízejí je kaºdé otázce p¥t moºností,jak odpov¥d¥t, z nichº práv¥ jedna je správná. P°i vyhodnocení se za kaºdousprávn¥ vy°e²enou úlohu p°id¥luje jeden bod. U úlohy s více odpov¥¤mi je vnabídce více neº p¥t moºností odpov¥dí, p°i£emº po£et správných není p°edemznám, m·ºe se pohybovat od nuly aº do po£tu v²ech odpov¥dí. Úloha je hodno-cena dv¥ma metodami: Metoda v²echno, nebo nic p°id¥lí za °e²ení úlohy je-den bod, jsou-li ozna£eny v²echny správné odpov¥di a v²echny chybné odpov¥diz·stanou neozna£eny. Jinak body nejsou p°id¥leny. Tento zp·sob hodnocení svysokou pravd¥podobností zaru£uje, ºe správn¥ vy°e²ená úloha dokládá, ºe stu-dent problematice opravdu porozum¥l. Mírn¥j²í zp·sob hodnocení p°edstavujemetoda pomocných bod·. P°i ní se za kaºdou ozna£enou správnou odpov¥¤p°id¥luje jeden pomocný bod, za kaºdou neozna£enou chybnou odpov¥¤ takéjeden pomocný bod. Sou£et pomocných bod· vyd¥lený celkovým po£tem odpo-v¥dí p°edstavuje výsledné bodové hodnocení úlohy. To se pohybuje mezi nulou ajedním bodem. Pomocí náhodného výb¥ru si m·ºe student sestavit standardnípísemku tvo°enou deseti úlohami pokrývajícími celou problematiku u£ebnice aopat°enou odpo£tem £asu (celková doba 60 minut). Po odevzdání je písemkaobodována a klasikována stupni A (výborn¥), B (velmi dob°e), C (dob°e), D(uspokojiv¥), E (vyhovující) a F (nevyhovující) jako ve ²kole. Pro samostatnéstudium a testování je podstatné, ºe po odevzdání úlohy, resp. písemky, si stu-dent m·ºe zobrazit správné i chybné odpov¥di a jejich zd·vodn¥ní.

Zvlá²tní poznámku zaslouºí otázka matematického aparátu. Charakteristickýmrysem fyziky je to, ºe je v¥dou o zm¥nách . V ºádné £ásti se proto neobejde bezzáklad· matematické analýzy funkcí jedné a více prom¥nných, stejn¥ jako bezteorie i praxe °e²ení diferenciálních rovnic, op¥t alespo¬ na základní úrovni uni-verzitního bakalá°ského studia. Totéº platí pro lineární a multilineární algebru °ada zákonitostí ve fyzice má totiº lineární charakter, p°inejmen²ím v apro-

5

ximativní podob¥. Soub¥ºn¥ se studiem fyziky je proto t°eba intenzivn¥ a syste-maticky p¥stovat a procvi£ovat matematický aparát. Na za£átku studia u£ebnicevysta£í £tená° s matematikou st°ední ²koly, k nimº stále je²t¥ standardn¥ pat°íporozum¥ní pojmu funkce a práce s elementárními funkcemi (lineární funkce,polynom, goniometrické funkce, logaritmické a exponenciální funkce na st°edo-²kolské úrovni), pojem limity, derivace a jednoduchého neur£itého a ur£itéhointegrálu. Chyb¥jící znalosti lze snadno dohnat pomocí doporu£ené literaturycitované v záv¥ru.

Obecn¥ vzato, úsp¥²nost ve studiu fyziky je nejistá (nechceme-li rovnou mlu-vit o jistot¥ neúsp¥²nosti) bez pravidelné systematické práce, procvi£ování fyzi-kální látky na p°íkladech a rutinního °e²ení matematických úloh. Úsp¥²né stu-dium fyziky vyºaduje silné zaujetí pro v¥c, které pomáhá p°ekonávat zdánlivédíl£í neúsp¥chy. A je to hlavn¥ práce. P°ejeme p°i ní ní vám, na²im £tená°·mmnoho trp¥livosti, ale i zdaru a moºná také radosti z toho, kdyº se vám poda°íprost°ednictvím vy°e²ených úloh, ºe jste nové v¥ci správn¥ pochopili a posunulitak své fyzikální i obecn¥ logické uvaºování zase o dal²í p°í£ku.

Tady bude je²t¥ poznámka týkající se grackého zpracování (barevné odli²enídenic, fyzikálních zákon·, atd.) a pod¥kování.

6

Obsah

1 Pojmy klasické mechaniky pohyb a jeho popis 111.1 T¥lesa a jejich modely . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.1 Hmotný bod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.2 T¥leso s diskrétním rozloºením hmotnosti . . . . . . . . . 131.1.3 T¥leso se spojitým rozloºením hmotnosti . . . . . . . . . . 19

1.2 Vztaºné soustavy a volné £ástice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.2.1 asoprostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.2.2 Inerciální vztaºné soustavy . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.3 Mechanický stav £ástice a jeho £asový vývoj . . . . . . . . . . . . 301.3.1 Poloha a její zm¥ny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.3.2 Rychlost a zrychlení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.3.3 Geometrické charakteristiky trajektorie . . . . . . . . . . 361.3.4 Te£né a normálové zrychlení . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.3.5 Úhlové charakteristiky pohybu £ástice . . . . . . . . . . . 511.3.6 Obrácená úloha: Od zrychlení k trajektorii I . . . . . . . . 53

1.4 Popis pohybu r·znými pozorovateli kaºdý to vidí jinak . . . . 581.4.1 Okamºité ²í°ení interakce a absolutnost sou£asnosti . . . . 591.4.2 P°echod mezi soustavami sou°adnic jako geometrický pro-

blém . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591.4.3 Pohyb v r·zných vztaºných soustavách vektorová for-

mulace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621.4.4 Pohyb v r·zných vztaºných soustavách maticová for-

mulace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681.4.5 Aplikace: Transla£ní pohyb vztaºných soustav, Galileiova

transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711.4.6 Aplikace: Pohyb £ástice v laboratorní vztaºné soustav¥ . . 73

1.5 Popis pohybu r·znými pozorovateli II . . . . . . . . . . . . . . . 771.5.1 Existence mezní rychlosti a relativnost sou£asnosti. Mi-

chelson·v Morley·v experiment . . . . . . . . . . . . . . 771.5.2 Interval mezi událostmi a jeho invariantnost jako d·sledek

vlastností £asoprostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801.5.3 Nerovnosti pro intervaly a jejich interpretace, sv¥telný kuºel 831.5.4 Lorentzova transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 841.5.5 Aplikace: kontrakce délek a dilatace £asu . . . . . . . . . 87

7

8 OBSAH

1.5.6 Aplikace: pravidlo pro skládání rychlostí . . . . . . . . . . 881.5.7 Aplikace: paradox dvoj£at . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

1.6 ty°rozm¥rné vektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

2 Principy klasické mechaniky 932.1 První Newton·v zákon a jak mu rozum¥t . . . . . . . . . . . . . 93

2.1.1 Newtonova formulace prvního zákona a související otázky 942.1.2 Odpov¥di na otázky k prvnímu Newtonovu zákonu . . . . 95

2.2 Druhý Newton·v zákon a jeho dvojí £tení . . . . . . . . . . . . . 962.2.1 Newtonova formulace druhého zákona a související otázky 972.2.2 Odpov¥di na otázky k druhému Newtonovu zákonu . . . . 98

2.3 T°etí Newton·v zákon a jeho význam . . . . . . . . . . . . . . . 1022.3.1 Newtonova formulace t°etího zákona a podstata interakce 1022.3.2 Silové zákony a základní interakce . . . . . . . . . . . . . 103

2.4 Newtonovy zákony a pohybové rovnice . . . . . . . . . . . . . . . 1092.4.1 Od interakcí ke zrychlení . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1102.4.2 Pohybové rovnice: Od zrychlení k trajektorii II . . . . . . 1222.4.3 Newtonovy zákony v neinerciálních soustavách . . . . . . 147

2.5 Práce a mechanická energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1512.5.1 Práce síly po k°ivce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1522.5.2 Konzervativní síly a potenciální energie . . . . . . . . . . 1542.5.3 Kinetická energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

3 Mechanika soustav £ástic 1713.1 Impulsové v¥ty a zákony zachování . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

3.1.1 První impulsová v¥ta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1733.1.2 Druhá impulsová v¥ta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1753.1.3 St°ed hmotnosti a jeho význam . . . . . . . . . . . . . . . 1803.1.4 Dvou£ásticová izolovaná soustava . . . . . . . . . . . . . . 186

3.2 Rovnováha a pohyb tuhých t¥les . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1993.2.1 Rovnováha tuhých t¥les . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2003.2.2 Tenzor J jako p°evodník mezi úhlovou rychlostí a mo-

mentem hybnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2063.2.3 Rotace tuhého t¥lesa kolem pevné osy . . . . . . . . . . . 2083.2.4 Rotace tuhého t¥lesa kolem pevného bodu . . . . . . . . . 232

4 Mechanika tekutin 2374.1 Statická rovnováha tekutin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

4.1.1 Podmínky rovnováhy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2374.1.2 Tlak a jeho rozloºení v tekutin¥ . . . . . . . . . . . . . . . 237

4.2 Pohyb tekutin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2374.2.1 Popis pohybu kontinua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2374.2.2 Pohyb ideálních tekutin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2404.2.3 Pohyb reálných tekutin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

OBSAH 9

5 Soustavy mnoha £ástic a zákonitosti jejich chování 2415.1 Zákony termodynamiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2415.2 Makroskopické veli£iny a st°ední hodnoty . . . . . . . . . . . . . 2415.3 xxxxx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

10 OBSAH

Kapitola 1

Pojmy klasické mechaniky

pohyb a jeho popis

Základním cílem klasické mechaniky, která je stejn¥ jako ostatní fyzikální dis-ciplíny zaloºena na obecném principu p°í£innosti, je um¥t p°edpov¥d¥t £asovývývoj mechanického pohybu objekt· a jejich soustav, dokáºeme-li popsat je-jich interakci (vzájemné p·sobení) s okolím a známe-li jejich mechanický stavv ur£itém okamºiku. Abychom dokázali na základ¥ mechanických zákon· po-hyb p°edpovídat , musíme p°edev²ím v¥d¥t, jak jej vhodn¥ popsat. Vstupnímproblémem klasické mechaniky je proto nalezení p°im¥°eného kvantitativníhopopisu pohybu. To je úkolem kinematiky, jedné z díl£ích disciplin mechaniky.Práv¥ kinematice je v¥nována tato kapitola. Klade si za cíl popsat charakteris-tiky pohybu r·zných objekt· co nejd·kladn¥ji. Má-li být takový popis opravdud·kladný, musí být matematický. Výklad se proto m·ºe netrp¥liv¥j²ím £tená-°·m jevit jako místy zdlouhavý, nebo dokonce nudný. Pro získání základníhop°ehledu o kinematických veli£inách, charakterizujících pohyb t¥les, posta£í na-p°ed prostudovat text ur£ený pro první £tení a teprve pozd¥ji se vrátit k textuúplnému. Rozhodn¥ se v²ak pe£livé pro£tení kinematiky vyplatí zhodnotíse p°i studiu dal²ích kapitol.

1.1 T¥lesa a jejich modely

Popis pohybu reálných objekt· m·ºe být zna£n¥ sloºitý p°edstavte si na-p°íklad ví°ící masy vzduchu p°i v¥trné smr²ti. P°edstupn¥m k pochopení nej-d·leºit¥j²ích aspekt· takto sloºitého pohybu musí být popis pohybu mnohemjednodu²²ích model· vystihujících alespo¬ p°ibliºn¥ vlastnosti reálných objekt·.O takových modelech pojednává tento odstavec.

Jednou z charakteristik neodmysliteln¥ spjatých jak s p°edm¥ty, které násobklopují, tak s t¥lesy sv¥ta planet, hv¥zd a galaxií i s £ásticemi mikrosv¥ta,je jejich hmotnost. Rozsah hmotností prozatím známých objekt· je obrovský,od °ádových hodnot 10−30 kg odpovídajících mikro£ásticím aº po hmotnosti

11

12KAPITOLA 1. POJMYKLASICKÉMECHANIKYPOHYBA JEHO POPIS

galaktických kup, pohybující se v rozmezí od 1039kg do 1045kg. Jemn¥j²í ²káluvystihuje následující tabulka.

Tabulka 1.1: Hmotnosti objekt·

Mikrosv¥t Log m Makrosv¥t

elektron −30µmezon (mion) −28proton a neutron −27nejhmotn¥j²í atomy −25velké organické molekuly −20virus −18jednobun¥£ný organismus −8

−5 mravenec

2 £lov¥k

4 slon9 zaoceánská plavidla

24 Zem¥30 Slunce41 na²e Galaxie45 galaktické kupy50 dosud známá hmotnost vesmíru

Vnit°ní struktura makroskopických hmotných objekt·, tzv. t¥les, tvo°ených mnoº-stvím £ástic, které interagují (navzájem na sebe p·sobí) prost°ednictvím r·z-ných typ· vazeb, m·ºe být i velmi sloºitá. Pro popis makroskopického mecha-nického pohybu t¥lesa jako celku, tj. jeho posuv· a zm¥n orientace v·£i okolnímobjekt·m, ani pro popis vzájemného pohybu jeho jednotlivých makroskopických£ástí, tj. deformace, v²ak není podstatná. Je tedy moºné, samoz°ejm¥ s ohledemna to, jaký typ makroskopického pohybu je v dané konkrétní situaci dominantní,charakterizovat objekty a jejich soustavy zjednodu²en¥, pomocí vhodných mo-del· p°im¥°en¥ vystihujících prostorové rozloºení jejich hmotnosti.

Nejsnaz²í popis umoº¬ují dva extrémní modely: model t¥lesa s diskrétnímrozloºením hmotnosti a model t¥lesa se spojitým rozloºením hmotnosti. Kaºdýz nich umoº¬uje pom¥rn¥ jednodu²e denovat a prakticky vypo£ítat dal²í cha-rakteristiky, spjaté se studovanými objekty, které jsou d·leºité z hlediska jejichmechanického pohybu.

1.1. TLESA A JEJICH MODELY 13

1.1.1 Hmotný bod

Nejjednodu²²ím modelem t¥lesa, nesoucím jeho základní charakteristiku hmot-nost, pomíjejícím v²ak její prostorové rozloºení, je hmotný bod, ve zkrácené ter-minologii nazývaný také £ástice.

Hmotný bod

Hmotným bodem rozumíme geometrický bod v prostoru opat°ený údajem o hmot-nosti. Tímto modelem lze nahradit reálné t¥leso, jehoº rozm¥ry nehrají v danékonkrétní situaci roli.

Takovou situaci m·ºe p°edstavovat studium £ist¥ posuvného pohybu t°eba ivelmi rozm¥rného objektu nap°íklad studium pohybu Zem¥ kolem Slunce,nezajímáme-li se o zemskou rotaci. Hmotný bod reprezentující t¥leso jako celekpak umisújeme do vhodn¥ zvoleného místa objektu. Tím je nap°íklad u stejno-rodého kulového t¥lesa jeho geometrický st°ed, mohl by to v²ak být i jiný do-hodnutý bod. Prostor, v n¥mº se reálná t¥lesa pohybují, modelujeme v klasickémechanice trojrozm¥rným euklidovským prostorem R3. Polohu hmotného bodupak charakterizujeme jeho polohovým vektorem r v·£i libovoln¥, av²ak pevn¥zvolenému vztaºnému bodu O, resp. sloºkami tohoto vektoru r = (x1, x2, x3)v·£i kartézské soustav¥ sou°adnic < O; e1, e2, e3 >, zadané po£átkem O a jed-notkovými navzájem kolmými vektory ortonormální báze < e1, e2, e3 >, resp.< O; x1, x2, x3 > (zadání po£átkem a navzájem kolmými osami x1, x2 a x3

opat°ených stejnou délkovou jednotkou.

Poznámka: Volba kartézské soustavy sou°adnic je pro obecné úvahy o popisupohybu hmotných bod· nejvhodn¥j²í je nejjednodu²²í. Existují samoz°ejm¥i dal²í typy sou°adnicových soustav, z nichº ty hlavní v rovin¥ R2 polární,v prostoru R3 válcové a kulové, znáte moºná z matematiky. Pomocí sou°adni-cových p°echod· v²ak lze výsledky zaznamenávané v soustavách sou°adnic r·z-ných typ· navzájem p°evád¥t £ist¥ matematickými metodami. Samotná volbatypu soustavy sou°adnic závisí spí²e na konkrétní mechanické úloze, zejména najejí geometrické symetrii. Vý²e zmín¥né soustavy sou°adnic, souhrnn¥ nazývanék°ivo£arými, v n¥kterých p°íkladech skute£n¥ pouºijeme.

1.1.2 T¥leso s diskrétním rozloºením hmotnosti

O soustav¥ tvo°ené N reálnými objekty, z nichº kaºdý m·ºe být nahrazen hmot-ným bodem, hovo°íme jako o t¥lese s diskrétním rozloºením hmotnosti, resp.soustav¥ hmotných bod· £i soustav¥ £ástic. P°íkladem m·ºe být t°eba slune£nísoustava, p°i jejímº popisu lze za jistých okolností nahradit Slunce i kaºdouz planet hmotným bodem. Z hlediska popisu soustavy jako celku jsou rozhodu-jící nejen hmotnosti jednotlivých £ástic, ale i jejich polohy.


2

O

x

x

x

1

2

31

r1

mm

r mi

ir

2

Nmr

N

Obr. 1.1: Popis t¥lesa s diskrétním rozloºením hmotnosti

Úplná informace o prostorovém rozloºení hmotnosti t¥lesa v daném okamºikuje obsaºena v souboru dvojic

mi, ri, i ∈ 1, . . . , N,

kde index i £ísluje jednotlivé £ástice soustavy. Celková hmotnost t¥lesa je dánasou£tem

m =

N∑i=1

mi = m1 +m2 + . . .+mN . (1.1)

Rozloºení hmotnosti t¥lesa se m·ºe s £asem m¥nit, p°edev²ím se zm¥noupoloh jednotlivých hmotných bod· tvo°ících t¥leso, tj. ri = vecri(t), ale i sp°ípadnou zm¥nou jejich hmotnosti, mi = mi(t). Nej£ast¥j²í jsou p°ípady, kdysamy hmotnosti £ástic (a tedy ani celková hmotnost t¥lesa, ani váhy jednotlivýchpoloh £ástic) na £ase nezávisí. Tam, kde to nebude nezbytn¥ nutné, nebudemevztahy vypisováním £asové závislosti zbyte£n¥ komplikovat. Speciální, ale velmivýznamný p°ípad nastává, kdyº se nejen nem¥ní hmotnosti £ástic, ale dokonceani jejich vzájemné vzdálenosti t¥leso se nedá deformovat. Jedná se o tuhét¥leso. Shr¬me:

T¥leso s diskrétním rozloºením hmotnosti

T¥lesem s diskrétním rozloºením hmotnosti je kaºdá soustava kone£ného po£tuhmotných bod· o hmotnostech mi, i ∈ 1, 2, . . . , N. Rozloºení jeho hmot-nosti je v kaºdém okamºiku ur£eno zadáním dvojic mi, ri, i ∈ 1, 2, . . . , N.Celková hmotnost t¥lesa je dána sou£tem hmotností v²ech £ástic tvo°ících t¥leso.T¥leso se nazývá tuhé, jestliºe jsou hmotnosti bod·, jimiº je tvo°eno, konstantnía také vzdálenost libovolné dvojice hmotných bod· se s £asem nem¥ní.

S rozloºením hmotnosti bezprost°edn¥ souvisí dal²í d·leºité charakteristiky t¥-lesa, které se hodí denovat jiº nyní, kdy jsme pojem rozloºení hmotnosti práv¥


zavedli. Jejich fyzikální význam v²ak hloub¥ji pochopíme teprve v dal²ích kapi-tolách:

St°ed hmotnosti t¥leso s diskrétním rozloºením hmotnosti

St°ed hmotnosti t¥lesa je bod o polohovém vektoru r0(t) denovaném vztahem

r0 =1

m

N∑i=1

miri =m1r1 + . . .+mN rN

m1 + . . .+mN=

N∑i=1

wiri, wi =mi

m. (1.2)

Jedná se o váºený pr·m¥r polohových vektor· £ástic s vahami w1 aº wN , z nichºi-tá je denována jako podíl hmotnosti i-té £ástice a celkové hmotnosti soustavy.Platí 0 < wi < 1.

Vztahem (1.2) je st°ed hmotnosti denován zatím pon¥kud formalisticky , zatov²ak jednozna£n¥. Pozd¥ji uvidíme, jak nás k témuº vztahu p°ivedou fyzikálníúvahy. Pro sloºky polohového vektoru st°edu hmotnosti platí

x0,1 =1

m

N∑i=1

mixi,1, x0,2 =1

m

N∑i=1

mixi,2, x0,3 =1

m

N∑i=1

mixi,3. (1.3)

Dal²í d·leºitou veli£inou denovanou pomocí rozloºení hmotnosti t¥lesa je tenzor momentu

setrva£nosti J , který, jak ukáºeme pozd¥ji, hraje d·leºitou roli p°i popisu otá£ivých pohyb·t¥lesa.

Tenzor momentu setrva£nosti t¥leso s diskrétním rozloºením hmotnosti

Tenzor momentu setrva£nosti pro t¥leso s diskrétním rozloºením hmotnosti je dán ²esti veli-£inami uspo°ádanými do symetrické matice J a nazývanými sloºky tenzoru momentu setrva£-nosti:

J =

J11 J12 J13J12 J22 J23J13 J23 J33

= (1.4)

=

∑Ni=1mi(x

2i2 + x2i3)

∑Ni=1 −mixi1xi2

∑Ni=1 −mixi1xi3∑N

i=1 −mixi1xi2∑Ni=1mi(x

2i1 + x2i3)

∑Ni=1 −mixi2xi3∑N

i=1 −mixi1xi3∑Ni=1 −mixi2xi3

∑Ni=1mi(x

2i1 + x2i2)

.

Veli£iny J11 , J22 , J33 p°edstavují tzv. diagonální sloºky, ostatní, nediagonální sloºky se na-zývají devia£ní momenty.

Zmínili jsme se jiº, ºe speciálním p°ípadem soustavy £ástic je tzv. tuhé t¥leso. V n¥m jevzdálenost kaºdé dvojice £ástic nem¥nná, tj.

| rkj |=| rj − rk |= konst., kde k, j ∈ 1, . . . , N.

ekli jsme také, co tato vlastnost znamená: tuhé t¥leso nelze deformovat. Tuto spí²e kvalitativní

charakteristiku m·ºeme p°eformulovat tak, aby nám to pozd¥ji bylo prosp¥²né p°i kvantita-

tivních úvahách a výpo£tech. Tuhost t¥lesa totiº znamená také to, ºe existují sou°adnicové


soustavy, pevn¥ spjaté s t¥lesem, v·£i nimº jsou polohový vektor st°edu hmotnosti i tenzor

momentu setrva£nosti konstantní. Jedná se o tzv. sou°adnicové soustavy pevné v t¥lese. asto

je uºite£né vybírat z nich ty, jejichº po£átek je umíst¥n ve st°edu hmotnosti t¥lesa op¥t to

ukáºeme, aº se budeme zabývat fyzikálním významem st°edu hmotnosti. Je z°ejmé, ºe sloºky

polohového vektoru st°edu hmotnosti i sloºky tenzoru momentu setrva£nosti závisí na volb¥

soustavy sou°adnic. Ke konkrétnímu °e²ení tohoto problému se vrátíme v dal²ích kapitolách.

Polohové vektory r1(t), . . . , rN (t) £ástic tvo°ících soustavu umoº¬ující jedno-zna£n¥ zjistit, kde kaºdá z £ástic soustavy v daném okamºiku t je. Ur£ují takokamºitou konguraci soustavy. Kongurace soustavy je tedy zadána soubo-rem 3N kartézských sou°adnic xij(t)i∈1, ..., N t¥chto polohových vektor·.Velmi uºite£ná, i kdyº pon¥kud abstraktní, je p°edstava t¥chto N skalárníchveli£in jako sou°adnic bodu v 3N -rozm¥rném euklidovském prostoru R3N , na-zývaném kongura£ní prostor. Nejsou-li na konguraci soustavy £ástic kladenyºádné omezující poºadavky, p°edstavuje kaºdý bod prostoru R3N práv¥ jednuz moºných kongurací soustavy. Omezení mnoºiny kongurací, takzvané vazebnípodmínky, mohou mít tvar nerovností typu aij ≤ xij ≤ bij , i ∈ 1, . . . , N,j ∈ 1, 2, 3, obecn¥ji A ≤ f(x11, . . . , xN3) ≤ B, vymezujících v prostoruR3N 3N -rozm¥rnou oblast p°ípustných kongurací, nebo tvar vztah· mezi sou-°adnicemi xij , redukujících mnoºinu p°ípustných kongurací na kongura£nípodprostor dimenze men²í neº 3N .

P°íklad 1.1. Kongura£ní prostor £ástice.

Situace p°edstavující moºná omezení kongurace soustavy ilustrujeme na p°í-kladu jedné £ástice. Kongura£ním prostorem soustavy tvo°ené jedinou £ásticí,na jejíº polohu r = (x1, x2, x3) nejsou kladeny ºádné poºadavky, je prostor R3.Poloha £ástice je tedy bez omezení ur£ena t°emi sou°adnicemi. íkáme, ºe £ás-tice má t°i stupn¥ volnosti, s = 3. Poºadavek uv¥zn¥ní £ástice v nádob¥ tvarukvádru o hranách a, b a c, resp. koule o polom¥ru R, vede k omezení p°ípust-ných kongurací na oblast prostoru R3 ur£enou nap°. nerovnostmi 0 ≤ x1 ≤ a,0 ≤ x2 ≤ b, 0 ≤ x3 ≤ c, resp. 0 ≤

√x21 + x2

2 + x23 ≤ R.


ϕ

1

x3

O x2

x

s=1

1

x3

O

a

b

c

x2

x

0 x1 a

s=3

x 1=02 x2

3=lx0 x2 b

0 x 3 c

22

ϕ0 ϕ ϕ0

l

ϕ0

Obr. 1.2: Konfigura£ní prostor jedné £ástice

Je-li £ástice zav¥²ena na vlákn¥ neprom¥nné délky l a uvedena do pohybu tak,ºe kývá v rovin¥ x2Ox3 (rovina ur£ená po£átkem soustavy sou°adnic O a osamix2 a x3) s maximální úhlovou výchylkou φ0, je mnoºina jejích kongurací ur£enavztahy x1 = 0, x2

2+x23 = l2 a nerovnostmi −φ0 ≤ φ ≤ φ0. Její pohyb je omezen

na kruhový oblouk, tj. jednorozm¥rný útvar. Polohu £ástice lze v kaºdém oka-mºiku popsat jediným údajem úhlovou výchylkou φ(t). Výchylku lze chápatjako zobecn¥nou sou°adnici (není to sou°adnice kartézská), udávající polohu sou-stavy v podmnoºin¥ jednorozm¥rného kongura£ního prostoru R (prostor úhl·)omezené jiº zmín¥nými nerovnostmi −φ0 ≤ φ ≤ φ0. Soustava tedy má jedinýstupe¬ volnosti, s = 1, na který se vlivem dvou vazebních podmínek redukovalpopis jejích kongurací z p·vodních t°í stup¬· volnosti ur£ených kartézskýmisou°adnicemi x1, x2, x3. ♠

Soustava N £ástic, na jejíº konguraci nejsou kladeny ºádné vazební podmínky,má 3N stup¬· volnosti. Podléhá-li v²ak k nezávislým vazebním podmínkámtvaru

f1(x1, . . . , x3N ) = 0, . . . , fk(x1, . . . , x3N ) = 0,

redukuje se její po£et stup¬· volnosti na hodnotu

s = 3N − k.

Kaºdá z kongurací takové soustavy je reprezentována bodem v s-rozm¥rnémkongura£ním prostoru Rs prost°ednictvím tzv. zobecn¥ných sou°adnic

(q1(t), . . . , qs(t)),

které obecn¥ nemusí mít význam kartézských sou°adnic £ástic soustavy.


P°íklad 1.2. Kongura£ní prostor tuhé £inky.

K tuhé £ince lze p°irovnat soustavu dvou £ástic o hmotnostech m a M s va-zební podmínkou | r1(t) − r2(t) |= l = konst. (odhlédneme-li samoz°ejm¥ odtoho, ºe závaºí skute£né £inky jsou spojena ty£í nezanedbatelné hmotnosti). Ta-ková soustava má s = 5 stup¬· volnosti. Zobecn¥nými sou°adnicemi mohou býtnap°. kartézské sou°adnice jejího st°edu hmotnosti (x01, x02, x03) a dv¥ úhlovésou°adnice φ1(t) a φ2(t), p°edstavující nato£ení £inky kolem dvou navzájemkolmých os o1 a o2, kolmých i ke spojnici £ástic.

2

51

x3

O2

x

x

x03

20x

10x

o1o

s=

Obr. 1.3: Konfigurace tuhé £inky

Kongura£ní prostor soustavy je p¥tirozm¥rný (R5) a kaºdá kongurace je za-dána souborem zobecn¥ných sou°adnic

(q1(t), q2(t), q3(t), q4(t), q5(t)) = (x01(t), x02(t), x03(t), φ1(t), φ2(t)).

♠

Konfigurace t¥lesa s diskrétním rozloºením hmotnosti

Kongurací t¥lesa s diskrétním rozloºením hmotnosti je zadání poloh hmotnýchbod·, jimiº je t¥leso tvo°eno, vhodnými sou°adnicemi v s = 3N − k-rozm¥rnémprostoru, p°i£emº N je po£et £ástic t¥lesa a k po£et vazebních podmínek tvarufα(x1, . . . , x3N ) = 0 kladených na (obvykle kartézské) sou°adnice t¥chto £ástic.

Zkuste p°ijít na to, zda a jaký je rozdíl mezi rozloºením hmotnosti t¥lesa a jehokongurací. Není to nakonec totéº? e ne? Správn¥. A pro£?


1.1.3 T¥leso se spojitým rozloºením hmotnosti

Modelem p°edstavujícím druhý extrém p°i popisu rozloºení hmotnosti objektu,op¥t s odhlédnutím od jeho mikrostruktury, je model t¥lesa se spojitým rozloºe-ním hmotnosti kontinua. Tento model nebere v úvahu sloºení objektu z jed-notlivých hmotných bod·. Odpovídá naopak p°edstav¥ t¥lesa my²lenkov¥ roz-d¥leného na elementární útvary innitezimáln¥ malých rozm¥r·, tzv. hmotnéelementy.

)

O

x

x

x

1

2

3

r

∆V, ∆m ( r

Obr. 1.4: Popis t¥lesa se spojitým rozloºením hmotnosti

Úplnou informaci o rozloºení hmotnosti v daném okamºiku p°edstavuje hustotat¥lesa, skalární funkce £asu a vektorové prom¥nné r, denovaná vztahem

ϱ(t, r) = lim∆V→0

∆m(t, r)

∆V. (1.5)

∆V = ∆x1∆x2∆x3 je objem elementárního kvádru umíst¥ného v bod¥ r (vektorr ur£uje nap°. polohu levého dolního zadního vrcholu kvádru), Deltam(t, r) jejeho hmotnost a podíl ∆m(t, r)

∆V je pr·m¥rná hustota kvádru.

Poznámka: V realistických p°ípadech je funkce ϱ(t, r) spojitá nebo po £ástechspojitá na deni£ním oboru V , jímº je £ást prostoru, kterou práv¥ t¥leso zau-jímá. Spojitost funkce po £ástech znamená, ºe její deni£ní obor lze rozd¥lit nakone£ný po£et £ástí, p°i£emº na kaºdé z nich je funkce spojitá. Také spojitosthustoty se zm¥nou £asu se automaticky p°edpokládá. Denici hustoty pomocílimitního p°echodu si zapamatujte v pr·b¥hu výkladu se setkáme je²t¥ zdal²ími hustotami , které nemusí p°edstavovat zrovna rozloºení hmotnosti, alejiných veli£in. Denice v²ak bude vºdy formáln¥ velice podobná.

T¥leso se spojitým rozloºením hmotnosti kontinuum


T¥lesem se spojitým rozloºením hmotnosti je hmotný objekt popsaný funkcí hus-toty ϱ(t, r), která je spojitou, resp. po £ástech spojitou funkcí £asu a sou°adnic,denovanou vztahem (1.5). Celková hmotnost t¥lesa je dána integrálem

m =

∫V

ϱdV, (1.6)

který pro ná² p°ípad spojitého rozloºení hmotnosti p°edstavuje analogii sou£tuv²ech hmotností (1.1).T¥leso se nazývá tuhé, jestliºe je nelze deformovat, tj. existuje-li taková vztaºnásoustava, ve které hustota nezávisí na £ase, tj. ϱ(t, r) = ϱ(r).

Tuhé t¥leso je samoz°ejm¥ op¥t modelem, který vystihuje realitu pouze p°ibliºn¥ s ohledem na mikrostrukturu t¥les je z°ejmé, ºe nakonec se dá deformovatv²echno, o kdyº t°eba velice obtíºn¥.

V analogii se vztahem (1.2) denujeme také st°ed hmotnosti:

St°ed hmotnosti t¥leso se spojitým rozloºením hmotnosti

St°edem hmotnosti t¥lesa se spojitým rozloºením hmotnosti zadaným hustotouϱ(t, r), resp. ϱ(r)

r0 =1

m

∫V

rϱ dV, (1.7)

kde m je celková hmotnost t¥lesa.

V p°edchozích integrálních vztazích mohou nejen hustota t¥lesa, ale i samotnýintegra£ní obor V , záviset na £ase. Jejich prost°ednictvím budou na £ase obecn¥záviset i výsledné veli£iny (celková hmotnost, poloha st°edu hmotnosti). Prozjednodu²ení jsme v²ak ani tentokrát £asovou závislost explicitn¥ nevypisovali.

Pro sou°adnice st°edu hmotnosti platí

x0,j =1

m

∫V

xjϱ(x1, x2, x3) dx1 dx2 dx3, j ∈ 1, 2, 3.

Integrály v p°edchozích vztazích moºná je²t¥ neumí kaºdý po£ítat. Nevadí.Vlastnosti takových integrál· a postupy jejich výpo£tu lze najít v matema-tických u£ebnicích. Navíc se v dal²ím textu pro druhé £tení s nimi seznámímepomocí p°íklad·, na nichº se praktický postup výpo£tu alespo¬ v základníchrysech ukáºe.Sloºky tenzoru momentu setrva£nosti t¥lesa se spojitým rozloºením hmotnosti mají rovn¥ºintegrální vyjád°ení:

∫V

ϱ(xj)(x22 + x23) dV

∫V

−ϱ(xj)x1x2 dV∫V

−ϱ(xj)x1x3 dV

∫V


ϱ(xj)(x21 + x23) dV

∫V

−ϱ(xj)x2x3 dV

∫V



ϱ(xj)(x21 + x22) dV

. (1.8)


Symbol ϱ(xj) je zkráceným vyjád°ením závislosti hustoty na poloze, ϱ(xj) ≡ ϱ(x1, x2, x3).

Poznámka: Integra£ními prom¥nnými ve vztazích (1.6), (1.7) a (1.8), vyjad°ujících celkovouhmotnost, polohu st°edu hmotnosti a sloºky tenzoru momentu setrva£nosti, jsou sou°adnicex1, x2 a x3. Vid¥li jsme, ºe hustota t¥lesa je obecn¥ závislá i na £ase. Stejn¥ tak m·ºe na £asezáviset integra£ní obor V . T¥leso se totiº m·ºe nejen pohybovat, ale i deformovat. V d·sledkutoho jsou sloºky vektoru r0, sloºky tenzoru J a v n¥kterých p°íkladech i celková hmotnostobecn¥ funkcemi £asu.

Op¥t existují sou°adnicové soustavy pevn¥ spojené s t¥lesem, vzhledem k nimº je hustota£asov¥ nezávislá a veli£iny r0 a J jsou tedy konstantami.

P°íklad 1.3. Tenzor momentu setrva£nosti.

Ur£íme hmotnost, st°ed hmotnosti a tenzor momentu setrva£nosti stejnorodého (homogen-ního) rota£ního kuºele o hustot¥ ϱ0, polom¥ru podstavy R a vý²ce v vzhledem k soustav¥sou°adnic pevn¥ s kuºelem spojené podle Obr. 1.5.

=r

ϕ

sinϕ

1

x3

x2

x

Rv

O rϕ

( x1 , x

2 , 3x )

=z3

x

x1=r

x 2

cos

Obr. 1.5: K p°íkladu 1.3

Plá²´ kuºele je popsán rovnicí

x3 =v

R

√x21 + x22.

P°i výpo£tu pouºijeme válcových sou°adnic. Jejich p°evod na sou°adnice kartézské a zp¥t,v£etn¥ vyjád°ení objemového elementu, najdeme v kterékoli p°íru£ce praktické matematiky.

x1 = r cosφ, x2 = r sinφ, x3 = z, dV = r dr dφ dz, z ∈[vrR, v], r ∈ [0, R], φ ∈ [0, 2π].

Následující výpo£ty integrál· se °ídí postupem vyplývajícím z jednoho ze základních tvrzeníintegrálního po£tu Fubiniovy v¥ty. Podle ní po£ítáme vícenásobné integrály z (spojitých)funkcí více prom¥nných tak, ºe integrujeme postupn¥ podle jednotlivých prom¥nných. Fu-biniovu v¥tu rovn¥º najdeme v kaºdé u£ebnici základ· vysoko²kolské matematické analýzy.Abychom v²ak stále neodkazovali za jiné zdroje, i kdyº jejich prostudování je uºite£né, ne-linezbytné, uvedeme zde alespo¬ v zjednodu²ené podob¥ a bez d·kazu £i zd·vodn¥ní postupintegrace: Dejme tomu, ºe na²ím úkolem je integrovat funkci n prom¥nných f(ξ1, . . . , ξn)p°es n-rozm¥rný integra£ní obor V v Rn. Vypo£teme nejprve integrál z funkce poslední


prom¥nné, jejíº integra£ní meze dokonce nemusí být konstantní, ale mohou záviset na pro-m¥nných p°edchozích . Integrujeme tak, ºe s ostatními prom¥nnými v integrandu zacházíme,jako kdyby to byly konstanty. (V analogii s parciálním derivováním je to jakési parciální inte-grování .) Pak dosadíme meze. Jedna integrace z násobného integrálu je tím provedena. Nynítutéº proceduru provedeme s p°edposlední prom¥nnou. Takto postupujeme, aº uº ºádnýintegrál nezbývá. Pro p°ípad funkce t°í prom¥nných ξ1, ξ2 a ξ3 v mezích

ξ2 ∈ [ϕ(ξ1, ξ2), ψ(ξ1, ξ2)], ξ1 ∈ [α(ξ1), β(ξ2)], ξ1 ∈ [a, b]

vypadá výpo£et takto:

∫V

f(ξ1, ξ2, ξ3) dV =

b∫a

β(ξ1)∫α(ξ1)

ψ(ξ1,ξ2)∫ϕ(ξ1,ξ2)

f(ξ1, ξ2, ξ3) dξ3

dξ2

dξ1.

Situace je zvlá²t¥ jednoduchá, jsou-li integra£ní meze v²ech prom¥nných konstantní. A je²t¥se dál zjednodu²²í, je-li navíc integrand sice funkcí více prom¥nných, ale takovou, která jesou£inem funkcí pouze jedné prom¥nné, nap°íklad f(ξ1, ξ2, ξ3) = f1(ξ1)f2(ξ2)f3(ξ3) pro ξ1 ∈[a1, b1], ξ2 ∈ [a2, b2], ξ3 ∈ [a3, b3] . Pak je vícenásobný integrál roven sou£inu integrál·jednonásobných,

b1∫a1

b2∫a2

b3∫a3

f(ξ1, ξ2, ξ3) dξ1 dξ2 dξ3 =

b1∫a1

f1(ξ1) dξ1

b2∫a2

f2(ξ2) dξ2

b3∫a3

f3(ξ3) dξ3

.

Postupná integrace je názorn¥ vid¥t hned na následujícím výpo£tu celkové hmotnosti kuºele.Platí

m =

∫V

ϱ0 dV = ϱ0

∫V

r dr dφ dz.

Prom¥nnými jsou ξ1 = φ, ξ2 = r, ξ3 = z. Ur£íme jejihc meze. Uvaºme v p·dorysné rovin¥bod o sou°adnicích (x1, x2), x1 = r cosφ, x2 = r sinφ, jak jej vidíme v Obr. 1.5. Prom¥nnáz = x3 se pohybuje v mezích

z ∈ [v −vr

R, v], tj. ϕ(r, φ) = v −

vr

R, ψ(r, φ) = v.

Prom¥nná r se pohybuje v konstatních mezích, r ∈ [0, R], tj. α(φ) = 0, β(φ) = R. Proprom¥nnou φ je jiº situace jednoduchá, φ ∈ [0, 2π], tj. a = 0, b = 2π. Postupnou integracídostaneme

m = ϱ0

2π∫0

R∫0

v∫vrR

r dz

dr

dφ = ϱ0

2π∫0

R∫0

r(v −

vr

R

)dr

dφ =

=

2π∫0

1

2R2v −

1

3R2v

dφ = 2πvϱ0

(R2

2−R3

3R

)=

1

3πR2vϱ0.

Stejný zp·sob integrace je uplatn¥n p°i výpo£tu sou°adnic st°edu hmotnosti. pro jeho lep²ípochopení jej prove¤te sami ve stejných postupných krocích jako p°i výpo£tu hmotnosti apak si porovnejte výsledky:

x0,1 =ϱ0

m

2π∫0

R∫0

v∫vrR

r2 cosφ dz dr dφ =ϱ0

m

2π∫0

cosφ dφ

R∫0

r2(v −

vr

R

)dr = 0,

x0,2 =ϱ0

m

2π∫0

R∫0

v∫vrR

r2 sinφ dz dr dφ =ϱ0

m

2π∫0

sinφ dφ

R∫0

r2(v −

vr

R

)dr = 0,

1.2. VZTANÉ SOUSTAVY A VOLNÉ ÁSTICE 23

x0,3 =ϱ0

m

2π∫0

R∫0

v∫vrR

rz dz dr dφ =πϱ0

m

R∫0

r

(v2−

v2r2

R2

)dr =

πϱ0v2

m

(R2

2−R4

4R2

)=

3v

4.

J11 = ϱ0

2π∫0

R∫0

v∫vrR

(r2 sin2 φ+ z2)r dz dr dφ =

= ϱ0

2π∫0

R∫0

[r3 sin2 φ

(v −

vr

R

)+r

3

(v3 −

v3r3

R3

)]dr dφ =

= πϱ0

(R4v

4−R5v

5R

)+

2πϱ0

3

(R2v3

2−R5v3

5R3

)=πϱ0R2v

20(R2 + 4v2) =

3

20m(R2 + 4v2),

J22 = ϱ0

2π∫0

R∫0

v∫vrR

(r2 cos2 φ+ z2)r dz dr dφ = . . . =3

20m(R2 + 4v2),

J33 = ϱ0

2π∫0

R∫0

v∫vrR

(r2 cos2 φ+ r2 sin2 φ)r dz dr dφ =

= 2πϱ0

R∫0

r3(v −

vr

R

)dr = 2πϱ0v

(R4

4−R5

5R

)=πϱ0R4v

10=

3

10mR2,

J12 = ϱ0

2π∫0

R∫0

v∫vrR

r2 sinφ cosφ r dz dr dφ = 0, J13 = 0, J23 = 0.

P°i výpo£tu jsme pouºili vztah·2π∫0

sin2 φ dφ = π a2π∫0

cos2 φ dφ = π, jejichº platnost snadno

ov¥°íte. Sta£í pouºít vztah· sin2 φ = (1−cos 2φ)/2 a cos2 φ = (1+cos 2φ)/2. Nyní jiº shrnemevýsledky p°edchozích výpo£t·:

m =πr2vϱ0

3, r0 = (0, 0,

3v

4), J =

320m(R2 + 4v2) 0 0

0 320m(R2 + 4v2) 0

0 0 310mR2

.

V·£i zvolené soustav¥ sou°adnic je tenzor momentu setrva£nosti kuºele popsán diagonální

maticí, p°i£emº dva prvky diagonály jsou shodné. Devia£ní momenty jsou nulové. Co myslíte,

jak tyto výsledky souvisejí se symetrií rozloºení hmotnosti kuºele vzhledem k sou°adnicové

ose x3? ♠

1.2 Vztaºné soustavy a volné £ástice

V p°edchozím odstavci jsme pro ur£ování polohy hmotných bod·, pop°ípad¥objemových element· kontinua, pouºívali polohový vektor r, který p°edstavovalorientovanou spojnici po£átku soustavy sou°adnic a daného hmotného bodu £iobjemového elementu. Konstatovali jsme také, ºe konkrétní matematické vyjá-d°ení rozloºení hmotnosti t¥lesa je závislé na volb¥ soustavy sou°adnic. V¥t²i-nou pracujeme s kartézskou soustavou sou°adnic, ur£enou po£átkem O a t°eminavzájem kolmými osami x, y a z, na nichº jsou vyzna£eny shodné délkové


jednotky. Z fyzikálního hlediska je krom¥ toho d·leºité, s jakým konkrétnímobjektem, vztaºným t¥lesem, je soustava sou°adnic pevn¥ spojena. Dvojici tvo-°enou vztaºným t¥lesem a soustavou sou°adnic nazýváme vztaºnou soustavou azna£íme S. asto také zna£íme S =< O; x, y, z >, nebo S =< O; e1, e2, e3 >,kde O a x, y, z jsou po£átek a osy kartézské soustavy sou°adnic spojené pevn¥se vztaºným t¥lesem, alternativní zadání p°edstavují vektory e1, e2 a e3 orto-normální báze, které ur£ují sm¥r sou°adnicových os. Pochopení pojmu vztaºnésoustavy si trochu usnadníme, p°edstavíme-li si s ní spojeného pozorovatele,který v ní provádí m¥°ení poloh hmotných bod· £i element·. Taková p°edstavaje samoz°ejm¥ pouze pom·ckou, subjektivní pocity pozorovatele nehrají roli. Vdal²ím v²ak budeme alternativn¥ pouºívat jak pojmu vztaºná soustava , takpojmu pozorovatel .

1.2.1 asoprostor

asoprostorem, jak název napovídá, budeme mít na mysli terén pro popisudálostí. Kaºdý d¥j lze totiº povaºovat za £asový sled událostí, p°i£emº kaºdáudálost je charakterizována polohou místa, kde k ní do²lo, a okamºikem, kdynastala. Událostí tak stejn¥ dob°e m·ºe být t°eba rozpad jádra radioaktivníhovzorku, jako start letadla, zahájení závodu b¥ºc·, apod. as ani polohu místav prostoru v²ak nem·ºeme ur£it absolutn¥. Dnes jiº víme, ºe Newton·v abso-lutní £as a absolutní prostor nemají reálný podklad. Polohu místa v prostoru(který v klasické newtonovské mechanice povaºujeme za trojrozm¥rný a eu-klidovský) ur£ujeme vºdy v·£i konkrétn¥ vymezeným okolním objekt·m, £asm¥°íme vzhledem ke zvolenému po£áte£nímu okamºiku.

Jak jsme se jiº zmínili v úvodu k tomuto odstavci, je t°eba pro popis polohyhmotného bodu zvolit vztaºnou soustavu, v·£i níº budou jednotlivé polohy ur-£ovány. M¥°ení £asu je vztaºeno k p°edem zvolenému po£átku £asové osy a takéjednotka m¥°ení £asu musí být p°edem stanovena. Znamená to, ºe i pro m¥°ení£asu je t°eba zvolit soustavu sou°adnic, t°eba ve tvaru S0 =< O0; e0 >, kde O0

je po£átek £asové osy a e0 v podstat¥ ur£uje jednotku m¥°ení £asu.Událost U je vzhledem ke zvolené vztaºné soustav¥ a zvolenému po£áte£nímu

okamºiku popsána £tve°icí údaj·

U = (t, r) = (t, x1, x2, x3). (1.9)

Tuto £tve°ici lze chápat jako soubor sou°adnic bodu ve £ty°rozm¥rném prostoruR × R3, kde R je £asová osa, p°edstavovaná jednorozm¥rným euklidovskýmprostorem, a R3 je trojrozm¥rný euklidovský prostor pro popis údaj· o polozeudálostí. Prostor R×R3 nazýváme £asoprostorem. Situaci si m·ºeme p°edstaviti tak, ºe v kaºdém bod¥ £asové osy je umíst¥na jedna kopie trojrozm¥rného eu-klidovského prostoru se vztaºnou soustavou S a práv¥ v ní se vyzna£í vektoremr(t) poloha hmotného bodu v okamºiku t. Pokud bychom takto zaznamenalipolohu hmotného bodu v kaºdém okamºiku vºdy v té kopii prostoru, která da-nému okamºiku p°íslu²í, p°ímo bychom tak zviditelnili £asový pr·b¥h pohybu


tohoto bodu dostali bychom graf parametrického vyjád°ení trajektorie bodu.Podrobn¥ji o tom ale aº pozd¥ji.

Ze zku²enosti vyplývá, ºe údaje o poloze a £ase jsou sice relativní, tj. závisléna volb¥ vztaºné soustavy a po£átku £asové osy, m¥°ení prostorové a £asovéodlehlosti dvou událostí v newtonovské mechanice v²ak jsou absolutní. Co semyslí slovem relativní , pokud jde o údaje o poloze a £ase a slovem absolutnív p°ípad¥ prostorové a £asové odlehlosti? Jestliºe soubory

U1 = (t1, r1)S , U ′1 = (t′1, r1

′)S′ ,

U2 = (t2, r2)S , U ′2 = (t′2, r

′2)S′

popisují události U1 a U2 ve vztaºných soustavách S =< O; e1, e2, e3 > aS0 =< O0; e0 >, resp. S ′ =< O′; e ′

1, e′2, e

′3 > a S ′0 =< O′

0; e′0 >, pak obecn¥

r1 = r ′1, t1 = t′1, r2 = r ′

2, t2 = t′2, av²ak

∆r = r2 − r1 = r ′2 − r ′

1, ∆t = t2 − t1 = t′2 − t′1. (1.10)

Tyto vztahy charakterizují nejobecn¥j²í vlastnosti £asoprostoru, tzv. homogenitua izotropnost prostoru a homogenitu £asu. Homogenitu a izotropnost prostorulze vyjád°it i konstatováním, ºe prostorová okolí v²ech geometrických bod· sejeví pozorovateli jako identická, homogenita £asu p°edstavuje identi£nost okolív²ech bod· na £asové ose.

Díky homogenit¥ £asu je moºné, a pro praktické výpo£ty je to velmi výhodné,pouºívat pro vyjád°ení £asu jednu spole£nou soustavu sou°adnic < O0; e0 >.Znamená to, ºe v²ichni myslitelní pozorovatelé pouºívají stejnou £asovou jed-notku a v dohodnutém okamºiku si sou£asn¥ vynulují hodiny. as pak budeplynout pro v²echny stejn¥ a sta£í, abychom se zabývali jiº jen vyjád°ením po-hybu v soustavách S a S ′.

1

e3

O

1e

2e

3e

O

e2

e1

r1

r2

1r

r2

∆r

t2= t1 t2 0=t

t1 t2 t1=t2=

Obr. 1.6: Popis událostí v £asoprostoru


Poznámka: Matematické vyjád°ení obecných vlastností £asoprostoru pomocí rovnic (1.10) je

omezeno na newtonovskou mechaniku. V mechanice relativistické, v jejímº rámci se uplatní

existence mezní rychlosti, je vyjád°ení t¥chto vlastností odli²né. Dokonce ani pojem sou£as-

nosti, který jsme v p°edchozím textu pouºili pro poºadavek vynulování hodin, není zdaleka tak

jednoduchý jakým se nám zdá být na základ¥ praktických zku²eností s klasickou newtonovskou

mechanikou.

Následující tabulky poskytují p°ehled o rozmezí vzdáleností D [m] a trvání d¥j·T [s] od mikrosv¥ta aº po sv¥t vesmírných objekt·.

Tabulka 1.2: Rozm¥ry a vzdálenosti objekt·

Objekt Log D Interakce

proton −15 silná nebo slabájádro −14 silná nebo slabá

vzdálenost atom· v krystalu −10 elektromagnetickávelké organické molekuly −9 elektromagnetickávzdálenosti molekul ve vzduchu −8 elektromagnetickákrvinka −5 elektromagnetická

£lov¥k 0 elektromagnetická

hora 4 gravita£níZem¥ 7 gravita£níSlunce 9 gravita£níslune£ní soustava 13 gravita£ník nejbliº²í hv¥zd¥ 16 gravita£nína²e Galaxie 20 gravita£nímezigalaktická vzdálenost 22 gravita£níkupy galaktických kup 25 gravita£ní


Tabulka 1.3: asové intervaly

D¥j mikro Log T D¥j makro

γpaprsky v kosmickém zá°ení −27jaderné γzá°ení −21rentgenové zá°ení −18sv¥tlo −15kmity atom· v m°íºce −13rotace molekul −12 elektronické oscilace

−6 rádiové vlny−3 zvukové vlny−1 rotace pulzar·

0 tep srdce

5 den rotace Zem¥7 rok ob¥h Zem¥9 ob¥h Halleyovy komety

12 precese zemské osy15 ob¥h Kohoutkovy komety16 rotace Galaxie

1.2.2 Inerciální vztaºné soustavy

Úvahy o obecných vlastnostech £asoprostoru navozují p°edstavu, ºe v²echnyvztaºné soustavy jsou rovnocenné. Z jistého hlediska tomu tak skute£n¥ je. Tímjistým hlediskem je popis událostí. Dokáºeme-li rozhodnout, zda zadání U =(t, r) a U ′ = (t′, r ′) p°edstavují jednu a tutéº událost, ale v r·zných vztaºnýchsoustavách S a S ′, bude skute£n¥ v principu jedno, v jaké vztaºné soustav¥události vyjad°ujeme.

P°esto existuje ur£itá kategorie preferovaných vztaºných soustav, jejichº pre-ference v²ak není dána poºadavky kinematiky. I tak je vhodné specikovat je jiºnyní. Abychom to mohli ud¥lat, musíme trochu p°edejít událostem a zabývatse úvahami, jak je £i m·ºe být dané t¥leso ovliv¬ováno okolními objekty. Pre-ferovány budou tzv. inerciální vztaºné soustavy, spojené s volnými hmotnýmibody, ve zkrácené terminologii volnými £ásticemi. Název historicky souvisí sezákonem setrva£nosti: inertia setrva£nost. I kdyº není p°íli² vhodný, je velmivºitý, a proto jej budeme také uºívat.

Co je to tedy volný hmotný bod, resp. volná £ástice? Kaºdé t¥leso v pro-storu je vystaveno vlivu okolních objekt·. V praktických situacích nem·ºemeºádne t¥leso od vlivu okolních objekt· oprostit. ádné t¥leso na zem¥kouli senem·ºe zbavit zemské p°itaºlivosti. T¥lesa klidn¥ leºící na stole jsou krom¥


zemské p°itaºlivosti je²t¥ vystavena tlakovému p·sobení stolu. Pohybující se t¥-lesa nem·ºeme oprostit od odporujícího prost°edí. A v tomto vý£tu m·ºemetak°ka libovoln¥ pokra£ovat. Jednodu²e °e£eno t¥lesa na sebe navzájem p·-sobí, interagují. Tím vzájemn¥ ovliv¬ují sv·j pohyb. T¥leso, nahrazené mode-lem hmotného bodu, které je od okolních objekt· vzdáleno natolik, ºe jejichvliv je zanedbatelný, p°edstavuje tzv. volnou (izolovanou) £ástici. Model volné£ástice je samoz°ejm¥ idealizací, která se v²ak v konkrétních p°ípadech m·ºerealit¥ velmi p°iblíºit. Nap°íklad slune£ní soustava nahrazená hmotným bodemumíst¥ným t°eba v jejím st°edu hmotnosti je velmi dobrým p°edstavitelem volné£ástice, nebo´ je od nejbliº²ího vesmírného objektu (Proxima, αCentauri) vzdá-lena zhruba £ty°i sv¥telné roky, tj. °ádov¥ 1016 metr·. Ztotoºníme-li po£átek Ovztaºné soustavy s volnou £ásticí a sou°adnicové osy volíme tak, aby libovolné t°ivolné £ástice tvo°ící s O tuhý £ty°st¥n byly v·£i nim v klidu (viz Obr. 1.7), zís-káme inerciální vztaºnou soustavu. Ostatní vztaºné soustavy, tj. ty, které nejsouinerciální, se nazývají neinerciální.

TUHY CTYRSTEN

A

B

C

Da

aa 1

2

3

Obr. 1.7: Inerciální vztaºná soustava

Inerciální vztaºná soustava spojená se slune£ní soustavou (po£átkem je nap°í-klad st°ed Slunce, nebo st°ed hmotnosti slune£ní soustavy, osy jsou namí°eny kestálicím, Slunce i stálice jsou chápány jako hmotné body) se nazývá Galileiova.Je jasné, ºe praktické uºívání Galileiovy vztaºné soustavy by muselo být pon¥-kud nepohodlné. asto uºívaná je tzv. soustava laboratorní, spojená s povrchemZem¥ (viz Obr. 1.8).


SZ

1

x2

x

x3

místní rovnobezka

místní poledník

Obr. 1.8: Laboratorní vztaºná soustava

Tato soustava je samoz°ejm¥ neinerciální Zem¥ rozhodn¥ není volná £ástice(dokáºete zd·vodnit, pro£?) a navíc rotuje kolem vlastní osy, takºe rotují i osyvztaºné soustavy, které jsou se Zemí spojené. Neinerciálnost laboratorní sou-stavy v²ak lze zanedbat, neprovádíme-li p°íli² p°esná £i dlouhotrvající m¥°ení.(Význam tohoto tvrzení pozd¥ji vysv¥tlíme na základ¥ kvantitativních odhad·.

Úvahy o inerciálních soustavách stru£n¥ shrneme:

Volné £ástice a vztaºné soustavy

Volnou £ásticí rozumíme hmotný bod vzdálený od okolních objekt· natolik,ºe vliv ºádného z nich na pohyb hmotného bodu je zanedbatelný (dostupnýmip°ístroji a metodami není m¥°itelný).Vztaºná soustava se nazývá

• inerciální, lze-li ji pevn¥ spojit s tuhým £ty°st¥nem tvo°eným volnýmihmotnými body jako vrcholy,

• neinerciální v ostatních p°ípadech,

• Galileiova, je-li to inerciální soustava s po°átkem ve st°edu Slunce,

• laboratorní, je-li pevn¥ spojena s povrchem Zem¥ (tato soustava je neiner-ciální, za inerciální ji lze povaºovat jen p°ibliºn¥).

V tuto chvíli se m·ºe zdát, ºe vztaºným soustavám v¥nujeme aº p°íli² mnoho po-zornosti fyzikální zákony jsou p°ece fyzikální zákony a jejich platnost nem·ºebýt ovlivn¥na tím, jak si n¥jaký poozorovatel zvolí vztaºné t¥leso a soustavusou°adnic. Fyzikální význam pojm· inerciální a neinerciální soustava jiº moºnátu²íme, ve v²ech d·sledcích jej v²ak pochopíme teprve v dal²í kapitole.


1.3 Mechanický stav £ástice a jeho £asový vývoj

Pohyb £ástice (hmotného bodu) je vzhledem k dané vztaºné soustav¥ pln¥ po-psán závislostí polohy na £ase, tj. vektorovou funkcí £asu r(t). Vektorová funkcer(t) v trojrozm¥rném prostoru je p°itom pln¥ ur£ena t°emi skalárními funkcemix(t), y(t) a z(t), p°edstavujícími sou°adnice hmotného bodu, op¥t v závislostina £ase. Pokud bychom pro danou £ástici závislost r(t) zadali, nemáme uº v·-bec nic na práci. Otázkou je, zda a jak nám p°íroda umoºní zjistit vektorovoufunkci £asu r(t), která pohyb £ástice pln¥ ur£uje. Experiment ukazuje, ºe zá-kony mechaniky fungují tak, ºe na základ¥ znalosti interakcí £ástice s okolnímiobjekty a znalosti její polohy ve dvou r·zných okamºicích lze v principu ur£itjejí polohu v libovolném okamºiku. Slova v principu zde znamenají, ºe n¥coje sice moºné, otázkou v²ak je, nakolik je to prakticky sch·dné, jak vypadá for-mulace fyzikálních zákonitostí a jaké jsou matematické postupy, které k takovép°edpov¥di reáln¥ povedou. P°i praktickém °e²ení není nap°íklad výhodné vy-cházet ze zadání polohy ve dvou okamºicích. Ukazuje se, ºe d·leºitými pojmy prop°edpov¥¤ pohybu £ástice jsou rychlost a zrychlení. Poloha a rychlost £ástice vdaném okamºiku zadávají mechanický stav £ástice v tomto okamºiku. Veli£inou,která je bezprost°edn¥ ur£ena interakcemi sledované £ástice s okolními objekty,je zrychlení. V dal²ím textu proto oba pojmy vybudujeme. Jak si m·ºeme býtposledními dv¥ma tvrzeními jisti? No p°ece vyplývají z experimentu!

1.3.1 Poloha a její zm¥ny

Sledujme pohyb £ástice vzhledem k vztaºné soustav¥ S v £asovém intervalu[α, β]. Informace o pohybu £ástice bude úplná, zadáme-li v kaºdém okamºikut ∈ [α, β] její polohový vektor r(t).

Trajektorie hmotného bodu

Vektorová funkce r skalární prom¥nné t

r = r(t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ [α, β], (1.11)

zadaná t°emi skalárními funkcemi x(t), y(t) a z(t), popisuje závislost polohovéhovektoru £ástice na £ase. Nazývá se parametrické vyjád°ení trajektorie hmotnéhobodu, zkrácen¥ trajektorie £ástice.

Pro zjednodu²ení zápis· jsme místo x1, x2, x3 pouºili pro ozna£ení kartézskýchsloºek vektoru r neindexovaných symbol· x, y, z.) Koncový bod vektoru r umís-t¥ného v kaºdém okamºiku v po£átku soustavy sou°adnic opisuje k°ivku C, jejíºparametrické vyjád°ení p°edstavuje práv¥ vztah (1.11). Roli parametru hraje£as. Pohyb £ástice nazýváme p°ímo£arým, je-li její trajektorií £ást p°ímky. Po-hyb po obecné k°ivce je k°ivo£arý.

1.3. MECHANICKÝ STAV ÁSTICE A JEHO ASOVÝ VÝVOJ 31

m

y

x

z

r∆

C

( )t∆r t

O

r (t)

Obr. 1.9: Trajektorie hmotného bodu

Zm¥na polohy hmotného bodu v £asovém intervalu [t, t+∆t] je charakterizovánavektorem posunutí (viz Obr. 1.9)

∆r = r(t+∆t) − r(t) . (1.12)

Poznámka: Uv¥domme si, ºe jedna a táº k°ivka, chápaná jako mnoºina bod·v prostoru R2, nebo R3, m·ºe být parametricky vyjád°ena r·znými zp·soby.Ty p°edstavují r·zné trajektorie £ástice. Tak t°eba závislosti r(t) = (at, bt, 0)pro t ∈ [0, 2] s a (2at, 2bt, 0) pro t ∈ [0, 1] s, kde a = 1ms−1 a b = 1ms−1 jsoukonstanty, jsou r·zná parametrická vyjád°ení téºe úse£ky v rovin¥ spojující bodyo sou°adnicích A = (0, 0, 0)m a B = (2, 2, 0)m. V £em je tedy odli²nost, kdyº£ástice projde v obou p°ípadech tutéº úse£ku? Odli²ná parametrická vyjád°eníp°edstavují r·zné zp·soby, jak £ástice po úse£ce postupuje. V prvním p°ípad¥dosp¥je £ástice z po£áte£ního bodu úse£ky A do koncového bodu B za dv¥sekundy, v druhém p°ípad¥ postupuje dvakrát rychleji a v bod¥ B je uº zajednu sekundu.

1.3.2 Rychlost a zrychlení

Jiº jsme avizovali, ºe rychlost spolu s polohou ur£uje mechanický stav hmot-ného bodu a zrychlení je podstatné pro posouzení vývoje stavu. Zd·vodn¥níjsme si tak trochu, ale zase ne p°íli², zjednodu²ili odkazem na experiment.P°ijmeme-li to v²ak pro tuto chvíli jako fakt, je z°ejmé, ºe pojmy rychlost azrchlení musíme nejprve denovat. N¥kdo m·ºe namítnout, ºe tyto pojmy jsoup°ece jasné i laik·m kaºdý ví, co znamená t°eba novinové sd¥lení, ºe ...oba°idi£i, kte°í se srazili a zavinili tak nehodu, jeli v obci nedovolenou rychlostíp°es 70 kilometr· v hodin¥..." , nebo reklamní lákadlo pro potenciální kupceautomobilu "...tento nejnov¥j²í model dosahuje zrychlení aº 100 kilometr· vhodin¥ b¥hem p¥ti sekund..." . Tato námitka není tak docela oprávn¥ná a ur£it¥by ji nevznesl n¥kdo, kdo uº o fyzice n¥co sly²el. Fyzika totiº pot°ebuje pojmydob°e vybudované, tak, aby nebyla moºná jejich chybná interpretace. U pojm·


pouºívaných v praktickém ºivot¥ a v b¥ºné °e£i tak striktní poºadavky nejsou.V²imn¥me si, kde m·ºe být v p°edchozích vyjád°eních nejasnost. Novinové sd¥-lení operuje p°i popisu rychlosti vozidel jediným £íselným údajem. Je to údaj,který z°ejm¥ ukazovaly ru£i£ky tachometr· v autech, zji²t¥ný bu¤ p°ímo z vý-pov¥dí °idi£·, nebo t°eba pomocí brzdných stop. Z n¥j ale není z°ejmé, zda se°idi£i srazili £eln¥ (to by jist¥ byla po°ádná nehoda), nebo bo£n¥, a nebo tenzadní byl o n¥co málo rychlej²í a do toho p°edního jen tak mírn¥ úknul (pakby z°ejm¥ jen trochu sk°ípaly plechy). Je vid¥t, ºe noviná°i neuvedli informaci osm¥ru obou rychlostí. Stejn¥ tak pokud jde o údaj o zrychlení vychvalovanéhomodelu. Je z n¥j jasné, ºe kdyº °idi£ nastartuje, za°adí a rozjede se, je moºné,aby od okamºiku rozjezdu dosáhl údaje na tachometru 100 km/h b¥hem prvníchp¥ti sekund. Nevíme ale, jak se automobil zrychluje v pr·b¥hu první, druhé adal²ích sekund a jak je schopen se dále urychlovat poté, co bylo stovky do-saºeno. Rychlost a zrychlení jsou fyzikální veli£iny, jejichº charakteristikou jekrom¥ velikosti také údaj o sm¥ru a navíc se obecn¥ s £asem také m¥ní. Budouto tedy také vektorové funkce £asu, podobn¥ jako polohový vektor.

Podíl

⟨v⟩[t,t+∆t] =∆r

∆t=

r(t+∆t)− r(t)

∆t= (1.13)

=

(x(t+∆t)− x(t)

∆t,y(t+∆t)− y(t)

∆t,z(t+∆t)− z(t)

∆t

)ur£uje pr·m¥rnou rychlost £ástice v intervalu [t, t + ∆t]. Jeho limitní hodnotapro ∆t → 0

v(t) = lim∆t→0

⟨v⟩[t,t+∆t] = lim∆t→0

r(t+∆t)− r(t)

∆t, (1.14)

která je z matematického hlediska derivací vektorové funkce r(t) podle £asu, jeokamºitá rychlost (zkrácen¥ rychlost) £ástice v £ase t. Zna£íme

v(t) =dr(t)

dt=

(dx(t)

dt,dy(t)

dt,dz(t)

dt

)(1.15)

nebov(t) = ˙r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (vx(t), vy(t), vz(t)).

Poznámka: V²imn¥te si, ºe zatímco se pr·m¥rná rychlost vztahuje k £asovémuintervalu, je rychlost okamºitá závislá pouze na jediné hodnot¥ t.

Okamºitá rychlost

Okamºitá rychlost £ástice v(t), zkrácen¥ rychlost, je limitou pr·m¥rné rychlostiv intervalu [t, t + ∆t] pro ∆t → 0. Matematicky je derivací parametrickéhovyjád°ení trajektorie £ástice podle £asu,

v(t) = lim∆t→0

r(t+∆t)− r(t)

∆t= ˙r(t) = (x(t), y(t), z(t)) .


Z denice okamºité rychlosti jako limity rychlosti pr·m¥rné je z°ejmé, ºe oka-mºitá rychlost má vºdy sm¥r te£ny k trajektorii. Velikost okamºité rychlostije

v(t) =| v(t) |=√v2x(t)+v2y(t)+v2z(t) =

√x2(t)+y2(t)+z2(t) . (1.16)

Pohyb £ástice nazýváme rovnom¥rným, je-li velikost její rychlosti nezávislá na£ase, tj. v(t) = konst.

P°íklad 1.4. Pr·m¥rná a okamºitá rychlost prakticky.

Parametrické vyjád°ení trajektorie £ástice je dáno vztahy

r(t) =

(2, 00 cos

πt

2, 2, 00 sin

πt

2, 0, 00

)m,

kde π/2 je hodnota veli£iny v jednotkách s−1 (kruhová frekvence). Okamºitárychlost je

v(t) = ˙r(t) =

(−2, 00π

2sin

πt

2, 2, 00

π

2cos

πt

2, 0, 00

)ms−1 ,

v(t) = π.= 3, 14m s−1 = konst.

Platí√x2(t) + y2(t) = 2, 00m a z = 0, 00m. Trajektorií £ástice je tedy kruºnice

o polom¥ru R = 2, 00m se st°edem v po£átku soustavy sou°adnic, leºící v rovin¥z = 0, 00m. ástice se pohybuje rovnom¥rn¥ a vykoná jeden ob¥h za dobuT = 2πR

v = 4, 00 s. Ur£íme pr·m¥rnou rychlost v £asových intervalech [t +∆t, t] pro t = 1, 00 s a ∆t postupn¥ 1, 00 s, 0, 50 s, 0, 25 s, 0, 12 s, 0.06 s, 0.03 sa okamºitou rychlost v £ase t = 1.00 s. Budeme sledovat chování pr·m¥rnérychlosti se zmen²ující se hodnotou ∆t. Výsledky shrnuje následující tabulka, vníº α je úhel, který svírá pr·m¥rná rychlost s osou x:

Tabulka 1.4: Okamºitá rychlost jako limita pr·m¥rné rychlosti


∆t [s] 1,00 0,50 0,25 0,12 0,06 0,03 ∆t → 0

x(t+∆t)[m] -2,00 -1,41 -0,77 -0,38 -0,19 -0,09 0,00

y(t+∆t)[m] 0,00 1,41 1,85 1,96 1,99 2, 00 2,00

⟨vx⟩ [ms−1] -2,00 -2,83 -3,06 -3,12 -3,14 -3,14 −3, 14

⟨vy⟩ [ms−1] -2,00 -1,17 -0,61 -0,30 -0,15 -0,07 0,00

| ⟨v⟩ | [ms−1] 2,83 3,06 3,12 3,14 3, 14 3, 14 3, 14

α[0] 225 202 191 185 183 181 180

=2s

=1,5st2∆t

t ∆t =1,25s3

y

x

1st=

v3

y

x

1st=v

y

x

1st=

y

x

v2

1st=

v1

t ∆ t1

Obr. 1.10: Pr·m¥rná rychlost p°i ∆t→ 0

♠

Analogickým postupem jako okamºitou rychlost denujeme okamºité zrychlení.


Podíl

⟨a⟩[t,t+∆t] =∆v

∆t=

v(t+∆t)− v(t)

∆t(1.17)

je tzv. pr·m¥rné zrychlení £ástice v intervalu [t, t+∆t] . Jeho limitou pro ∆t →0

a(t) = lim∆t→0

⟨a⟩[t,t+∆t] = lim∆t→0

v(t+∆t)− v(t)

∆t(1.18)

je okamºité zrychlení £ástice v £ase t. Matematicky jde op¥t o derivaci, tentokrátderivaci okamºité rychlosti £ástice podle £asu.

z

v(t ∆t)v (t)

r (t)

v (t)

v(t ∆t)

v∆C

r (t ∆ t)

O

x

y

Obr. 1.11: K definici zrychlení

a(t) =dv(t)

dt=

d2r(t)

dt2=

(dx2(t)

dt2,dy2(t)

dt2,dz2(t)

dt2

), (1.19)

neboa(t) = ˙v(t) = ¨r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (ax(t), ay(t), az(t)).

Shr¬me:

Okamºité zrychlení

Okamºité zrychlení £ástice a(t), zkrácen¥ zrychlení, je limitou pr·m¥rného zrych-lení v intervalu [t, t+∆t] pro ∆t → 0. Matematicky je denováno jako derivace(okamºité) rychlosti, tj. druhá derivace parametrického vyjád°ení trajektorie,

a(t) = lim∆t→0

v(t+∆t)− v(t)

∆t= ˙v(t) = ¨r(t) = (x(t), y(t), z(t)) .

Pro velikost zrychlení platí

a(t) =| a(t) |=√a2x(t)+a2y(t)+a2z(t) =

√x2(t)+y2(t)+z2(t).

Pro zji²t¥ní základních veli£in charakterizujících pohyb £ástice sta£í znát pa-rametrické vyjád°ení její trajektorie a um¥t derivovat. Konkrétními p°íkladyvýpo£tu rychlosti a zrychlení se budeme zabývat soub¥ºn¥ s výpo£tem dal²íchcharakteristik trajektorie, jakmile je v dal²ích odstavcích denujeme.


1.3.3 Geometrické charakteristiky trajektorie

Rychlost a zrychlení jsou nejd·leºit¥j²í kinematické veli£iny spjaté s trajektorií£ástice. Budeme-li v¥°it experimentální zku²enosti, z níº vyplývá, ºe pochopenít¥chto pojm· jiº posta£í k tomu, abychom mohli formulovat zákony pohybu apomocí nich se pustili do p°edpov¥dí trajektorií £ástic, nemuseli bychom se jiºkinematikou zabývat. Sta£ilo by vysv¥tlit si postupy, jakými m·ºeme na zá-klad¥ znalosti vzájemného p·sobení studované £ástice s jejím okolím a znalostimechanického stavu £ástice v jednom okamºiku (zadání polohy a rychlosti) pa-rametrické vyjád°ení trajektorie vypo£ítat. asto v²ak m·ºe být uºite£né ud¥latsi názornou geometrickou p°edstavu, jak k°ivka, po které se £ástice v prostorupohybuje, vypadá. K tomu slouºí její dal²í charakteristiky, které lze práv¥ z para-metrického vyjád°ení pom¥rn¥ snadno ur£it. Nejprve je ov²em pot°eba tyto cha-rakteristiky denovat. Jsou jimi délka oblouku, jednotkové vektory te£ny, hlavnínormály a binormály, k°ivost a torze. První dva pojmy jsou pravd¥podobn¥ kaº-dému intuitivn¥ jasné. Leccos napovídá i dal²í název, hlavní normála . Sm¥r·kolmých ke k°ivce, tj. k její te£n¥, v daném bod¥ je totiº nekone£n¥ mnoho.Hlavní normálou bude jist¥ ten z nich, který je n¥jakým zp·sobem prefero-ván. K°ivost a torze jsou veli£iny, které n¥jakým zp·sobem m¥°í, jak se k°ivkakroutí v rovin¥ £i prostoru. V dal²ím p°evedeme tyto kvalitativní charakteris-tiky do matematické podoby a jednotlivé veli£iny denujeme, postupn¥ v tompo°adí, v jakém jsou vyjmenovány. P°ed formulací vlastních denic uvedeme,pokud to bude rozumné, p°íklady praktických situací, které pomáhají denicivybudovat.

P°edstavme si °idi£e automobilu, který v £asovém intervalu [α, β] jede tak,aby tachometr stále ukazoval stejnou hodnotu v. Víme z praxe, ºe tachometrukazuje velikost rychlosti. Popisovaný pohyb je tedy rovnom¥rný. Na otázku,jakou dráhu auto za dobu T = β − α ujede, odpoví kaºdý ²kolák je rovnas[α,β] = vT = v(β − α). O tuto hodnotu se také zvý²í údaj na ukazateli uje-tých kilometr·. Výsledek v·bec nezávisí na tom, jaký tvar má k°ivka, podél níºautomobil jede. Je stejný, a´ jede °idi£ po p°ímé dálnici, nebo v serpentinách.

Poznámka: P°estoºe pro na²i úvahu není d·leºité, jak se docílí toho, ºe tacho-metr ukazuje, jak rychle auto jede, v²imn¥me si podstaty alespo¬ zhruba. Veskute£nosti se m¥°í tzv. otá£ky motoru, p°esn¥ji °e£eno, kolikrát se oto£í kli-ková h°ídel za minutu. Na základ¥ znalosti r·zných p°evodových pom¥r· v aut¥lze z otá£ek zjistit, jak velká je okamºitá rychlost bodu na obvodu kola. Pokudkolo nepodkluzuje, je rychlost st°edu kola a tím celého auta stejn¥ velká (zadobu jedné otá£ky kola se po silnici odvalí celá délka jeho obvodu a o stejnouvzdálenost se posune st°ed kola).

Te¤ p°edchozí úlohu trochu zkomplikujeme. idi£ pojede v intervalu [α, β] tak,ºe po dobu ∆t1 ukazuje tachometr hodnotu v1, potom po dobu ∆t2 s údajemv2, atd., aº nakonec po dobu ∆tn pojede rychlostí o velikosti vn. Platí T =β − α = ∆t1 + · · · + ∆tn. Jízda v jednotlivých úsecích je op¥t rovnom¥rná, vkaºdém v²ak s jinak velkou rychlostí. Ani te¤ není pochyb o tom, jak spo£ítat


celkovou uraºenou dráhu,

s[α,β] = v1∆tt + · · ·+ vn∆tn =n∑

i=1

vi∆ti.

Pozorn¥j²í £tená°i hned namítnou, ºe taková jízda není moºná, °idi£ nem·ºedocílit skokové zm¥ny velikosti rychlosti. Mají samoz°ejm¥ pravdu. Zadání v²akm·ºeme zp°esnit tak, ºe £asové úseky, v nichº se velikost rychlosti auta m¥ní,vyjmeme ze hry a budeme po£ítat jen ty, kdy je jiº op¥t pohyb rovnom¥rný.Pop°ípad¥ m·ºeme p°echodové £asové intervaly a délku odpovídajících drá-hových úsek· prohlásit za zanedbatelné.

Pokud by °idi£ úseky ∆ti neustále zkracoval (po£et úsek· v intervalu [α, β]by p°ibýval), m¥nila by se velikost rychlosti tak £asto, ºe bychom nakonec tém¥°nemohli hovo°it o rovnom¥rných pohybech. Dráhu, kterou auto urazí intervalu[t, ∆t] bychom pak mohli napsat ve tvaru ∆s[t,∆t]

.= v(t)∆t. Dokáºete zd·vod-

nit, pro£ je p°edchozí vztah jen p°ibliºný, co by spí²e pat°ilo na místo velikostiokamºité rychlosti v(t) a jakým zp·sobem bychom mohli vztah zp°es¬ovat? Na-konec m·ºeme napsat

ds = v(t) dt =⇒ s[α,β] =

β∫α

v(t) dt

a hned uvést denici délky oblouku:

Délka oblouku

Délkou oblouku trajektorie, opsanou hmotným bodem v £asovém intervalu [α, β],je dráha, kterou hmotný bod urazil mezi okamºiky α a β. Ozna£íme-li s(t) dráhuuraºenou od okamºiku α do okamºiku t, je

v(t) =ds(t)

dt, tj. s[α,β] = s(β) =

β∫α

v(t)dt. (1.20)

Vztah (1.20) pro délku oblouku je sice velmi názorný, zaslouºí v²ak korektn¥j²í zd·vodn¥ní.Budeme uvaºovat obdobn¥ jako v p°ípad¥ °idi£e jedoucího rovnom¥rn¥ v r·zných £asovýchúsecích, pouºijeme v²ak jiº korektních matematických postup·.


s

(trj)

(trj+1

)

r∆ j

y

x

z

O

t=β

t= tj+1

t=α

t= tj

∆

Obr. 1.12: K výpo£tu délky oblouku

asový interval op¥t rozd¥líme na úseky. D¥lením D £asového intervalu [α, β] soubor okamºik·D = t0, t1, . . . , tn, kde α = t0 < t1 < . . . < tn = β. V okamºicích t0, t1, . . ., tn se hmotnýbod nachází na trajektorii v bodech B0, B1, . . ., Bn, které jsou koncovými body vektor· r0,r1, . . ., rn. Tyto body rozd¥lí oblouk trajektorie B0Bn na úseky o délkách ∆s0, ∆s1, . . .,∆sn−1, p°i£emº platí

s[α,β] =

n−1∑j=0

∆sj .

Je-li d¥lení dostate£n¥ jemné, lze kaºdý z úsek· ∆sj p°ibliºn¥ nahradit délkou úse£ky BjBj+1,tj.

s[α,β].=

n−1∑j=0

| ∆rj |=n−1∑j=0

∣∣∣∣ r(tj+1)− r(tj)

tj+1 − tj

∣∣∣∣ (tj+1 − tj) =

n−1∑j=0

| ⟨v⟩[tj ,tj+1]| ∆tj , (1.21)

kde ∆tj = tj+1 − tj . Zjem¬ováním d¥lení se vyjád°ení délky oblouku s[α,β] pomocí vztahu(1.21) zp°es¬uje. Kritériem jemnosti d¥lení D je jeho norma (velikost nejv¥t²ího dílku)

ν(D) = max∆tj | j ∈ 0, . . . , n− 1.

Pro ν(D) → 0 p°echází diskrétní indexovaná prom¥nná tj v prom¥nnou spojitou, pr·m¥rnárychlost ⟨v⟩[tj ,tj+1]

v rychlost okamºitou a sumace v integraci:

s[α,β] = limν(D)→0

n−1∑j=0

| ⟨v⟩[tj ,tj+1]| ∆tj =

β∫α

| v(t) | dt. (1.22)

Vztahem (1.22) je z matematického hlediska sou£asn¥ denován k°ivkový integrál prvého typu

z identicky jednotkové funkce po k°ivce C. Zna£íme

s[α,β] =

∫C

ds =

β∫α

√x2(t) + y2(t) + z2(t) dt, (1.23)

kde r(t) = (x(t), y(t), z(t)) p°edstavuje parametrické vyjád°ení integra£ního oboru C.Zobecníme denici k°ivkového integrálu prvého typu na p°ípad libovolné funkce p°edepsa-

ných vlastností: Nech´ C : r = r(t) = (x(t), y(t), z(t)) je k°ivka s t¥mito vlastnostmi:


• derivace x(t), y(t) a z(t) spojité na intervalu [α, β],

• v(t) = 0, s výjimkou nejvý²e kone£ného po£tu bod·,

• integrál (1.23) má kone£nou hodnotu

(tzv. po £ástech hladká rektikovatelná k°ivka). Nech´ f(x, y, z) je funkce spojitá na otev°enémnoºin¥ A ⊂ R3 obsahující k°ivku C. Pak existuje integrál

∫C

f(x, y, z) ds =

β∫α

f(x(t), y(t), z(t))√x2(t) + y2(t) + z2(t) dt. (1.24)

Nazýváme jej k°ivkovým integrálem prvého typu z funkce f(x, y, z) po k°ivce C.

V dal²í £ásti textu denujeme jednotkovéo vektory te£ny, hlavní normály a bi-normály. S vektorem te£ny je v¥c jednoduchá. Víme totiº, ºe sm¥r te£ny k tra-jektorii v damém okamºiku je ur£en okamºitou rychlostí £ástice. Jednotkovývektor daného sm¥ru získame standardním zp·sobem normováním, tj. vyd¥-lením rychlosti její velikostí.

Jednotkový vektor te£ny

Jednotkový vektor te£ny τ(t) k trajektorii v bod¥, v n¥mº se nachází £ásticev okamºiku t, je denován vztahem

τ(t) =v(t)

v(t). (1.25)

V²echny sm¥ry kolmé k vektoru te£ny, tj. k samotné k°ivce v daném bod¥ tvo°írovinu. Vezmeme-li z nich v úvahu jen vektory jednotkové, dostaneme neko-ne£n¥ mnoho jednotkových normál. Kterou z nich v²ak preferovat, povaºovat zahlavní? P°istoupíme-li k otázce pon¥kud formáln¥, pom·ºe nám skute£nost,ºe vektor τ(t) je jednotkový. Tu lze totiº zapsat nejen ve tvaru |τ(t)| = 1, aletaké

τ(t)τ(t) = τ(t)2 = 1 tj. τ2x(t) + τ2y (t) + τ2z (t) = 0.

Derivováním tohoto vztahu dostaneme

2τx(t)τx(t) + 2τy(t)τy(t) + 2τz(t)τz(t) = 0 =⇒ 2τ(t) ˙τ(t) = 0.

Odtud je z°ejmé, ºe vektory ˙τ(t) a τ(t) jsou kolmé. Tento postup umoºnil znekone£n¥ mnoha normál vybrat jednu, konkrétn¥ ˙τ . Normováním dostanemeop¥t jednotkový vektor.

Jednotkový vektor hlavní normály

Jednotkovým vektorem hlavní normály k trajektorii v bod¥, v n¥mº se £ásticenachází v okamºiku t je vektor

n(t) =˙τ(t)

| ˙τ(t) |(1.26)


Pro p°ímo£arý pohyb je ˙τ = 0 a vektor hlavní normály není denován. (Dokáºetepro to najít geometrickou interpretaci?)

Jednotkový vektor binormály denujeme tak aby vektory τ(t) a n(t) doplnilna pravoto£ivou ortonormální bázi.

Jednotkový vektor binormály je denován vztahem

ν(t) = τ(t)× n(t). (1.27)

Pro p°ímo£arý pohyb není vektor binormály rovn¥º denován.Vektory < τ(t), n(t), ν(t) > tvo°í ortonormální pravoto£ivou bázi, spjatou

s bodem trajektorie, v n¥mº se £ástice nachází v okamºiku t. V geometrickéterminologii se tato báze nazývá pohyblivý reper.

Uº jsme konstatovali, ºe jednotkový vektor n(t), ur£ený vztahem (1.26), p°edstavuje jedenz nekone£n¥ mnoha sm¥r· kolmých k te£n¥ trajektorie v daném bod¥. Tyto sm¥ry vypl¬ujícelou rovinu. Vektor n(t) jsme v²ak získali tak trochu formáln¥. Vzniká otázka, zda existujen¥jaký geometrický d·vod, pro£ práv¥ tento sm¥r je mezi ostatními preferován. Uvidíme, ºeödpov¥¤ na ni je kladná. Preference souvisí s problémem náhrady obecné prostorové k°ivkyC v okolí daného bodu k°ivkou rovinnou.

O

τ ( t)τ ( t+∆ t)

r ( t)

( t+∆ t)B

( t)B

τ ( t+∆ t) τ ( t)

σt,t+∆ t

r ( t+∆ t)

y

x

z

Obr. 1.13: K definici hlavní normály


Ozna£me podle Obr. 1.13 σ[t,t+∆t] rovinu ur£enou koncovým bodem B(t) polohového vek-toru r(t) a jednotkovými vektory τ(t) a τ(t + ∆t). Tato rovina se p°imyká ke k°ivce Cv okolí bodu B(t) tím lépe, £ím je ∆t men²í. Limitním p°ípadem rovin σ[t,t+∆t] pro ∆t → 0je tzv. oskula£ní rovina σ(t). Vzhledem k tomu, ºe p°i ∆t → 0 vektory τ(t) a τ(t + ∆t)splynou, je t°eba najít jiný vhodný vektor, který spolu s bodem B(t) a vektorem τ(t) ur£ujerovinu σ(t), av²ak p°i ∆t→ 0 z·stává s vektorem τ(t) nekolineární. Tuto vlastnost má vektorτ(t+∆t)−τ(t)

∆t, jehoº limitním p°ípadem je vektor

˙τ(t) = lim∆t→0

τ(t+∆t)− τ(t)

∆t.

Oskula£ní rovina σ(t) je tedy ur£ena bodem B(t) a vektory τ(t) a n(t). Na základ¥ tohoto

výsledku je preference vektoru n(t) mezi v²emi sm¥ry kolmými k te£n¥ pochopitelná.

Jak moc je která k°ivka k°ivá? To je²t¥ neumíme ur£it. Intuitivn¥ v²ak víme,ºe p°ímka není k°ivá v·bec, kruºnice je k°ivá po celé své délce stejn¥. Hyper-bola se nám jeví nejk°iv¥j²í v okolí svých vrchol·, zatímco jak se její v¥tve blíºíasymptotám, k°ivost se zmen²uje. Veli£inu zvanou k°ivost musíme denovattak, aby mj. spl¬ovala i tuto na²i p°edstavu. Nejprve uvaºme speciální p°ípad rovinnou k°ivku. Taková k°ivka celá leºí v jedné rovin¥. Uvaºujme nejprve op°ímce. A´ je její konkrétní parametrické vyjád°ení jakékoli, jednotkový vektortau(t) se nem¥ní. Indikuje nulová zm¥na vektoru τ nulovou k°ivost a naopak?Nepochybn¥. K°ivost by tedy mohla být dána tím, jak rychle se m¥ní jednotkovývektor te£ny ke k°ivce. Rychlost zm¥ny je ov²em derivace, takºe veli£inou ur£u-jící k°ivost by mohla být t°eba velikost vektoru ˙τ(t). Poloºme si otázku, zda tedym·ºeme denovat k°ivost jako skalární v¥li£inu ur£enou velikostí £asové derivacevektoru τ . Uplatníme-li p°edchozí intuitivní p°edstavu, ºe kruºnice by m¥la býtpo celé své délce stejn¥ k°ivá, hned vidíme, ºe p°edchozí denice vhodná ne-bude. Pokud by se totiº £ástice pohybovala po kruºnici nerovnom¥rn¥, pak byse velikost vektoru ˙τ(t) s £asem, a tedy i s polohu £ástice na kruºnici, m¥nila.Ov¥°íme to výpo£tem. Dejme tomu, ºe se £ástice pohybuje v sou°adnicové ro-vin¥ xOy po kruºnici x2+y2 = R2 tak, ºe úhel, který svírá její polohový vektors osou x je φ(t), p°i£emº φ(0) = 0. Trajektorie £ástice je pak vyjád°ena vztahy

x(t) = R cosφ(t), y(t) = R sinφ(t), z(t) = 0. (1.28)

Platí (propo£ítejte sami a uváºením skute£nosti, ºe cosφ(t) a sinφ(t) jsou slo-ºené funkce prom¥nné t a za zjednodu²ujícího p°edpokladu, ºe úhel φ(t) stáleroste, tj. φ(t) > 0)

τ(t) =

(− φ(t)

|φ(t)|sinφ(t),

φ(t)

|φ(t)|cosφ(t), 0

)= (− sinφ(t), cosφ(t), 0) , (1.29)

τ(t) = (−φ(t) cosφ(t), −φ(t) sinφ(t), 0) , | ˙τ(t)| = |φ(t)| = φ(t). (1.30)

P°i nerovnom¥rném pohybu je tato veli£ina v kaºdém okamºiku, a tedy i vkaºdé poloze £ástice na kruºnici, obecn¥ jiná. Jiný, moºná jednodu²²í zp·-sob odhalení nevhodnosti denice k°ivosti jako | ˙τ(t)| spo£ívá v p°edstav¥,ºe v²echny kruºnice o stejném polom¥ru musí být stejn¥ k°ivé, a´ uº po nich


£ástice obíhají jakkoli. Pokud nap°íklad dv¥ £ástice obíhají po kruºnicích o stej-ném polom¥ru sice rovnom¥rn¥, ale r·zn¥ rychle, nap°íklad tak, ºe první £ásticeobíhá dvakrát rychleji neº druhá, m¥ní se i sm¥r vektoru τ(t) v p°ípad¥ první£ástice dvakrát rychleji, takºe k°ivost | ˙τ(t)| první kruºnice by vycházela takédvakrát v¥t²í. Vyjád°íme-li i tuto skute£nost po°ádn¥ matematicky, z výsledkuuvidíme, jak bychom mohli k°ivost vhodn¥ denovat. Dejme tomu, ºe £ásticeobíhá po kruºnici o polom¥ru R rovnom¥rn¥ a velikost její rychlosti je v. Za £as ttedy polohový vektor £ástice opí²e úhel vt/R. Parametrické vyjád°ení trajektorie£ástice má tvar

r(t) =

(R cos

vt

R, R sin

vt

R, 0

),

takºe

τ(t) =

(− sin

vt

R, cos

vt

R, 0

), ˙τ(t) =

v

R

(− cos

vt

R, − sin

vt

R, 0

),

| ˙τ(t)| = v

R=⇒ | ˙τ(t)|

v=

1

R.

Vidíme, ºe veli£ina 1v | ˙τ(t)| je stejná pro v²echny kruºnice se stejným polom¥rem,

bez ohledu na to, jak rychle po nich £ástice obíhá. Navíc je rovna p°evrácenéhodnot¥ polom¥ru kruºnice, coº také odpovídá intuitivní p°edstav¥ o k°ivosti kruºnice s malým polom¥rem je k°iv¥j²í neº kruºnice s polom¥rem velkým,pro R→∞ se kruhové úseky blíºí p°ímkovým, které jiº mají nulovou k°ivost.

Pro dal²í úvahy si uv¥domme, ºe pro velikost rychlosti platí vztah (1.20).P°edpokládejme navíc, ºe funkce s(t) je na ur£itém intervalu [α, β] rostoucí.Existuje k ní tedy funkce inverzní, t = t(s). Proto lze vektor τ vyjád°it jakofunkci délky oblouku, τ = τ [t(s)]. Platí∣∣∣∣dτdt

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣dτ [s(t)]dt

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣dτds dsdt∣∣∣∣ .

Odtud ∣∣∣∣dτ [t(s)]ds

∣∣∣∣ = | ˙τ(t) |v(t). (1.31)

Nyní jiº m·ºeme vyslovit denici k°ivosti v obecné podob¥, platné dokoncei pro prostorové k°ivky:

K°ivost trajektorie

K°ivost trajektorie v daném bod¥ B(t) je skalární veli£ina, která názorn¥ cha-rakterizuje zm¥nu sm¥ru te£ny vztaºenou k jednotkové délce oblouku:

κ(s) =

∣∣∣∣ lim∆s→0

∆τ

∆s

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ lim∆s→0

τ(s+∆s)−τ(s)∆s

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣dτds∣∣∣∣ . (1.32)


τ

r ( t)

τ ( t)

τ ( t+∆ t)

r ( t+∆ t)

∆τ

∆ s

y

x

O

za( t)

y

x

O

z

( t)

n( t)

an

( t)

τ ( t)

a

Obr. 1.14: K definici k°ivosti a torze, k rozkladu zrychlení

Polom¥r k°ivosti je p°evrácenou hodnotou k°ivosti:

R(t) = κ−1(t) =v(t)

| ˙τ(t) |. (1.33)

Torze trajektorie

Analogickým zp·sobem je denována torze trajektorie v daném bod¥, kterácharakterizuje odchylku k°ivky od rovinnosti:

γ(s) =

∣∣∣∣ lim∆s→0

∆ν

∆s

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ lim∆s→0

ν(s+∆s)−ν(s)∆s

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣dνds∣∣∣∣ , (1.34)

γ(t) =| ˙ν(t) |v(t)

. (1.35)

Oskula£ní kruºnicí nazveme kruºnici, která v okolí daného bodu nejlépe apro-ximuje k°ivku C. Leºí v oskula£ní rovin¥, její polom¥r je R(t) a její st°ed S(t)je koncovým bodem vektoru r(t) +R(t)n(t).

P°íklad 1.5. Charakteristiky ²roubovice.Trajektorie £ástice je na intervalu [0, 2π

ω ] parametricky zadána takto:

r(t) = (R cosωt, R sinωt, bt),

kde a, b, a ω jsou kladné konstanty. (Trajektorií je jeden závit ²roubovice vizObr. 1.15.) Ur£íme v²echny doposud denované kinematické veli£iny trochapo£ítání nikomu neu²kodí.


-2

-1

0

1

2 -2

-1

0

1

2

Obr. 1.15-a: K p°íkladu 1.5

2

1

0

-1

-22

10

-1-2

0

2

4

6

8

10

12

Obr. 1.15-b: K p°íkladu 1.5 jiný pohled

Nejprve se v²ak pokusme o n¥kolik p°edb¥ºných geometricko-fyzikálních úvah,


pomocí kterých si ov¥°íme, zda dokáºeme alespo¬ n¥které výsledky intuitivn¥odhadnout, resp. uvid¥t z parametrického vyjád°ení trajektorie.

• Pr·m¥tem k°ivky, po které se £ástice pohybuje, do osy xOy je kruºnice sparametrickým vyjád°ením (R cosωt, R sinωt), 0).

• Pr·m¥t do osy z je naopak dán vektorem (0, 0, bt), takºe pohyb £ásticepodél osy z je rovnom¥rný, stoupání závit· ²roubovice je stálé.

• Délka oblouku odpovídajícího jednomu závitu ²roubovice, tj. £asovému in-tervalu [0, 2π

ω ], nebo obecn¥ [t0, t0+ 2πω ] pro libovolné t0 vyjde nepochybn¥

v¥t²í neº obvod kruºnice, tj. s[0, 2π/ω] > 2πR.

• O k°ivosti trajektorie m·ºeme usuzovat, ºe bude rovn¥º konstantní, av²akmen²í neº k°ivost kruºnice o polom¥ru R. tj. κ(t) < R−1. Závit ²rouboviceje totiº oproti kruºnici nataºen¥n¥j²í .

• Vzhledem k tomu, ºe ²roubovice není rovinná k°ivka, lze o£ekávat nenu-lovou torzi. Dokonce lze p°edvídat, ºe torze bude konstantní. Dokáºete tozd·vodnit?

• Zkusme se také zamyslet nad oskula£ní rovinou. Ta je ur£ena bodem, vn¥mº se £ástice v daném okamºiku t práv¥ nachází, a vektory τ(t) a n(t).Vzhledem ke konstantnímu stoupání ²roubovice, danému z-ovou sloºkouvektoru τ(t) m·ºeme o£ekávat, ºe i sklon α(t) oskula£ní roviny v·£i ose zv·£i sou°adnicové rovin¥ xOy bude stálýp. Pokud je tato názorná geome-trická úvaha oprávn¥ná, m¥la by z-ová sloºka vektoru hlavní normály n(t)vyjít nulová.

S p°edchozími úvahami se nem·ºeme zcela spokojit. Geometrická p°edstava £iintuice nás £ast· m·ºe zkladmat. Ov¥°it, nebo vyvrátit výsledek t¥chto úvahlze spolehliv¥ jedin¥ výpo£tem. Vypo£teme proto postupn¥ jednotlivé charakte-ristiky trajektorie pomocí jejího parametrického vyjád°ení.

Rychlost a zrychlení:

v(t)= ˙r(t) = (−Rω sinωt, Rω cosωt, b),

v(t) =√R2ω2 + b2 = konst.,

a(t) = ¨r(t) = (−Rω2 cosωt, −Rω2 sinωt, 0), a(t) = Rω2 = konst..

Délka oblouku:

s(t) =

t∫0

√R2ω2 + b2 dt = t

√R2ω2 + b2, s

(2π

ω

)=

2π

ω

√R2ω2 + b2.


Délka oblouku jednoho závitu vychází skute£n¥ v¥t²í neº 2πR, podle o£ekávání.

Pohyblivý reper:

τ(t) =

(− Rω√

R2ω2 + b2sinωt,

Rω√R2ω2 + b2

cosωt,b√

R2ω2 + b2

),

˙τ(t) =

(− Rω2

√R2ω2 + b2

cosωt, − Rω2

√R2ω2 + b2

sinωt, 0

),

n(t) = (− cosωt, − sinωt, 0),

ν(t) =

(b√

R2ω2 + b2sinωt, − b√

R2ω2 + b2cosωt,

Rω√R2ω2 + b2

),

˙ν(t) =

(bω√

R2ω2 + b2cosωt,

bω√R2ω2 + b2

sinωt, 0

).

Sklon oskula£ní roviny vzhledem k ose xOy m·ºeme po£ítat bu¤ jako úhel mezijednotkovým vektorem z0 = (0, 0, 1) ve sm¥ru kladn¥ orientované osy z, tj.

cosα(t) =z0 ν(t)

|z0||ν(t)|= νz(t) =

Rω√R2ω2 + b2

,

nebo m·ºeme pouºít skute£nosti, ºe z-ová sloºka jednokového vektoru hlavnínormály vy²la nulová a po£ítat jej jako úhel mezi vektorem τ(t) a jeho kolmýmpr·m¥tem τ0(t) do sou°adnicové roviny xOy, tj. kosinus úhlu mezi oskula£nírovinou a rovinou xOy je p°ímo roven velikosti vektoru τ0(t). Platí

τ0(t) =

(− Rω√

R2ω2 + b2sinωt,

Rω√R2ω2 + b2

cosωt, 0

)=⇒ cosα(t) =

Rω√R2ω2 + b2

.

K°ivost a torze:

κ(t) =Rω2

R2ω2 + b2, R(t) = R+

b2

Rω2, γ(t) =

bω

R2ω2 + b2,

takºe i v p°ípad¥ k°ivosti a torze se ná² odhad potvrdil. ♠

Poznámka: P°im¥°enost obecných denic k°ivosti a torze posoudíme tak, ºe prov¥°íme, zdav p°ípadech zvlá²t¥ názorných dávají o£ekávané výsledky. V p°ípad¥ rovinné k°ivky je o£eká-vaná hodnota torze nulová. Sou£asn¥ je ν(t) = konst., takºe ˙ν(t) ≡ 0. Odtud skute£n¥ γ(t) ≡ 0.U kruºnice o£ekáváme, ºe její polom¥r k°ivosti bude bez ohledu na konkrétní parametrizacikonstantní a roven polom¥ru kruºnice, zatímco u p°ímky bude k°ivost trvale nulová.

Zvolme parametrické vyjád°ení kruºnice o polom¥ru R ve tvaru

r(t) = (R cosφ(t), R sinφ(t), 0),

kde φ(t) je libovolná rostoucí funkce £asu, tj. φ(t) > 0.


v(t) = (−φ(t)R sinφ(t), φ(t)R cosφ(t), 0), v(t) =| φ(t) | R = φ(t)R,

τ(t) = (− sinφ(t), cosφ(t), 0),

˙τ(t) = (−φ(t) cosφ(t), −φ(t) sinφ(t), 0) | ˙τ(t) |=| φ(t) |= φ(t).

Pak

R(t) =v(t)

| ˙τ(t) |= R,

coº odpovídá p°edstav¥.

P°ímku vyjád°íme parametricky takto: r(t) = r0 + τ f(t), kde τ je jednotkový sm¥rový vektorp°ímky a f(t) je libovolná rostoucí funkce £asu. Pak

v(t) = f(t)τ , v(t) = f(t), τ(t) = τ , ˙τ ≡ 0, κ(t) ≡ 0.

Poznamenejme, ºe pro p°ímkovou trajektorii nejsou výrazy (1.26) a (1.27) de-novány. Vektory n(t) a ν(t) nejsou ur£eny jednozna£n¥, stejn¥ jako oskula£nírovina.

P°íklad 1.6. Geometrické charakteristiky trajektorie pomocí r(t).

V p°edchozích úvahách i p°íkladech týkajících se kinematických veli£in popisujících pohyb ageometrických charakteristik trajektorie jsme volili zp·sob postupných výpo£t·. Víme v²ak,ºe v²echny tyto veli£iny jsou zcela ur£eny parametrickým vyjád°ením trajektorie £ástice C :r = r(t), t ∈ [α, β], kde parametrem je £as. Proto je nyní vyjád°íme pomocí vektorové funkcer(t) a jejích derivací. Vyuºijeme p°i tom operace skalárního a vektorového sou£inu. Tentozp·sob nepochybn¥ ocení ti, kte°í rádi po£ítají neuvádíme proto v²echny mezivýsledky aponecháváme na £tená°íchpo£tá°ích, aby v²emi nutnými výpo£etními kroky sami poctiv¥pro²li. Pro zjednodu²ení zápisu upustíme od explicitního vypisování argumentu t u £asov¥závislých funkcí.

• Délka oblouku trajektorie:

s[α,β] =

β∫α

| ˙r | dt =β∫α

√˙r2dt.

• Pohyblivý reper:

τ =˙r√˙r2,

˙τ =d

dt

˙r√˙r2

=¨r ˙r

2 − ˙r( ˙r¨r)

( ˙r2)32

=˙r × (¨r × ˙r)

( ˙r2)32

,

˙τ2=

[¨r( ˙r2)− ˙r( ˙r¨r)]2

( ˙r2)3

=˙r2¨r

2 − ( ˙r¨r)2

( ˙r2)2

=⇒ | ˙τ |=

√˙r2¨r

2 − ( ˙r¨r)2

˙r2

,

n =˙r × (¨r × ˙r)√[ ˙r × (¨r × ˙r)]2

=¨r ˙r

2 − ˙r( ˙r¨r)√˙r2[ ˙r

2¨r2 − ( ˙r¨r)2]

,


ν =˙r√˙r2×

¨r ˙r2 − ˙r( ˙r¨r)√

˙r2[ ˙r

2¨r2 − ( ˙r¨r)2]

=˙r × ¨r√

˙r2¨r

2 − ( ˙r¨r)2=

˙r × ¨r

| ˙r × ¨r |.

• K°ivost a torze:

˙ν =1

| ˙r × ¨r |2

[(˙r ×

d3r

dt3

)| ˙r × ¨r | −( ˙r × ¨r)

d | ˙r × ¨r |dt

],

| ˙ν |=

√(r × r)2( ˙r × (d3r/dt3))2 − [( ˙r × ¨r)( ˙r × (d3r/dt3))]2

( ˙r × ¨r)2,

κ=

√√√√ ˙r2¨r

2−( ˙r¨r)2

( ˙r2)3

, γ=

√(r × r)2( ˙r × (d3r/dt3))2−[( ˙r × ¨r)( ˙r × (d3r/dt3))]2√

˙r2( ˙r × ¨r)2

=| [ ˙r, ¨r, d

3rdt3

] |

( ˙r × ¨r)2.

1.3.4 Te£né a normálové zrychlení

Jist¥ jiº mnohého £tená°e napadla otázka, k £emu vlastn¥ je pohyblivý reper< τ, n, ν >, kdyº p°ece vºdy m·ºeme mít k dispozici vhodn¥ zvolenou pevnouvztaºnou soustavu spojenou s kartézskou soustavou sou°adnic < O; x, y, z >.Odpov¥¤ je jednoduchá: Pohyblivý reper b¥ºí po k°ivce spolu s pohybujícíse £ásticí, takºe vyjád°ení klí£ových kinematických veli£in, konkrétn¥ rychlostia zrychlení, ve sloºkách práv¥ v bázi < τ, n, ν > m·ºe být nejen jednodu²²íneº v pevné bázi, ale m·ºe dokonce p°inést i ur£ité názorné fyzikální záv¥ry.Je to vid¥t hned na p°íklad¥ rychlosti ta má neustále sm¥r vektoru τ , jejínormálová a binormálová sloºka jsou nulové. Co m·ºeme o£ekávat v p°ípad¥rozkladu zrychlení do této pohyblivé báze? tato p°edstava uº není tak názorná,musíme proto rozklad provést. Uºijeme p°i tom vztah· (1.25), (1.26) a (1.33), ataké b¥ºných pravidel pro derivování. Platí

v(t) = v(t)τ(t),

a(t) =d

dt(v(t)τ(t)) = v(t)τ(t) + v(t) ˙τ(t) = v(t)τ(t) +

v2(t)

R(t)n(t).

V²imn¥me si výsledku, který jsme získali. Vektor zrychlení je sou£tem dvoup°ísp¥vk· pr·m¥tu do sm¥ru jednotkového vektoru te£ny a pr·m¥tu do sm¥rujednotkového vektoru hlavní normály. To, ºe se pr·m¥t do sm¥ru binormály p°ivýpo£tu neobjevil, znamená, ºe je nulový. M·ºeme proto psát

a(t) = aτ (t) + an(t), (1.36)

kde vektory

aτ (t) = v(t)τ(t), an(t) =v2(t)

R(t)n(t) (1.37)


p°edstavují te£né a normálové zrychlení. Ze vztahu (1.37) vidíme, ºe v p°ípad¥rovnom¥rného pohybu, kdy v(t) je konstantní, je te£né zrychlení nulové. V p°í-padech, kdy vektor n není denován (p°ímo£arý pohyb), je celkové zrychleníshodné se zrychlením te£ným. Normálové zrychlení an = a − aτ je pak nulové.Pr·m¥ty zrychlení do sm¥ru te£ny a hlavní normály mají tedy velmi názornouinterpretaci: Te£né zrychlení souvisí se zm¥nou velikosti rychlosti a zrychlenínormálové ur£uje zm¥nu sm¥ru rychlosti.

Te£né a normálové zrychlení

Okamºité zrychlení je sou£tem zrychlení te£ného a normálového

a(t) = v(t)τ(t) +v2(t)

R(t)n(t)

a leºí v oskula£ní rovin¥. Je-li v ur£itém £asovém intervalu te£né zrychlení nulové,je pohyb v tomto intervalu rovnom¥rný a naopak. Je-li normálové zrychlenív ur£itém £asovém intervalu nulové, je pohyb v tomto intervalu p°ímo£arý anaopak.

Poznámka: P°i výpo£tu normálového zrychlení £asto s výhodou pouºívámevztahu an = a− aτ .

P°íklad 1.7. Obecný pohyb po ²roubovici.

V p°íkladu 1.5 jsme d·kladn¥ probrali v²echny geometrické charakteristiky ²roubovice s kon-stantním stoupáním. Parametrické vyjád°ení ²roubovice bylo ov²em speciální pohyb £ásticebyl rovnom¥rný. Víme, ºe p°i rovnom¥rném pohybu po jakékoli k°ivce je te£né zrychlení nulovéa normálové zrychlení je rovno zrychlení celkovému. Pomocí výsledk· p°íkladu 1.5 dosp¥jemek témuº záv¥ru i pro danou konkrétní situaci, tj. aτ = 0, an = a. Poloºme si v²ak otázku,zda by £ist¥ geometrické charakteristiky ²roubovice (délka závitu, k°ivost a torze), která byvypadala stejn¥ jako ta z p°íkladu 1.5, vy²ly stejn¥ i p°i její jiné parametrizaci, tj. kdyby se£ástice po ní pohybovala v závislosti na £ase jinak, neº tomu bylo v p°íkladu 1.5. Geometrickáp°edstava nám napovídá, ºe nepochybn¥ ano. Tyto veli£iny totiº t¥ºko mohou záviset na tom,jak se r·zné £ástice po téºe geometrické k°ivce pohybují. Uvaºujme tedy o ²roubovici, jejímºpr·m¥tem do roviny xOy je kruºnice x2 + y2 = R2, a která má konstatní stoupání s vý²-kou závitu 2πb/ω. Její nejobecn¥j²í parametrické vyjád°ení musí mít, pro ur£itost p°i volb¥r(0) = (R, 0, 0), tvar

r(t) =

(R cosφ(t), R sinφ(t),

b

ωφ(t)

),

kde φ(t) je libovolná funkce, která má derivace do pot°ebného druhého °ádu a plstí pro niφ(0) = 0. Dokáºete toto parametrické vyjád°ení zd·vodnit? Vypo£teme pro tento p°ípad délkuoblouku, k°ivost a torzi. P°i výpo£tu m·ºeme £áste£n¥ pouºít vztah· (1.28), (1.29) a (1.30).Postupn¥ dostáváme

v(t) =

(−Rφ(t) sinφ(t), Rφ(t) cosφ(t),

b

ωφ(t)

), v(t) =

|φ(t)|ω

√R2ω2 + b2,

τ(t) =φ(t)

|φ(t)|

(−

Rω√R2ω2 + b2

sinφ(t),Rω

√R2ω2 + b2

cosφ(t),b

√R2ω2 + b2

),

s[0,t0] =

t0∫0

|φ(t)|ω

√R2ω2 + b2 dt.


P°i derivování i integrování se s absolutními hodnotami funkcí ²patn¥ po£ítá, nehled¥ k tomu,ºe derivace absolutní hodnoty z funkce nemusí obecn¥ existovat, p°estoºe derivace z funkcesamotné t°eba existuje. Proto si situaci zjednodu²me p°edpokladem, ºe úhel φ(t) s £asem stálenar·stá, tj. φ(t) > 0. Pak platí

τ(t) =

(−

Rω√R2ω2 + b2

sinφ(t),Rω

√R2ω2 + b2

cosφ(t),b

√R2ω2 + b2

),

s[0,t0] =

t0∫0

φ(t)

ω

√R2ω2 + b2 dt =

φ(t)

ω

√R2ω2 + b2.

Abychom zjistili délku jednoho závitu, musíme ur£it okamºik t0, ve kterém je poloha £ásticer(t0) = (R, 0, 2πb/ω). Tento okamºik je dán podmínkou

b

ωφ(t0) =

2πb

ω=⇒ φ(t0) = 2π.

Pak

s[0,t0] =2πb

ω

√R2ω2 + b2.

Pro délku závitu jsme skute£n¥ dostali stejný výsledek, jako p°i rovnom¥rném pohybu. Po-kra£ujme tedy výpo£tem sm¥°ujícím k získání k°ivosti. Platí

˙τ(t) =

(−

Rωφ(t)√R2ω2 + b2

cosφ(t), −Rωφ(t)

√R2ω2 + b2

sinφ(t), 0

)=⇒

n(t) =˙τ(t)

|τ(t)|= (− cosφ(t), − sinφ(t), 0) ,

ν(t) =

(b

√R2ω2 + b2

sinφ(t), −b

√R2ω2 + b2

cosφ(t), −Rω

√R2ω2 + b2

),

˙ν(t) = ν(t) =

(b ˙φ(t)

√R2ω2 + b2

cosφ(t),b ˙φ(t)

√R2ω2 + b2

sinφ(t), 0

), | ˙ν(t)| =

bφ(t)√R2ω2 + b2

,

κ(t) =|τ(t)|v(t)

=Rω2

R2ω2 + b2, γ(t) =

|ν(t)|v(t)

=bω

R2ω2 + b2.

Výsledky získané pro k°ivost a torzi se podle o£ekávání skute£n¥ shodují s p°ípadem rovnom¥r-ného pohybu. Pro úplnost vypo£teme je²t¥ te£né a normálové zrychlení zde jiº samoz°ejm¥shodu neo£ekáváme. Platí

aτ (t) = v(t)τ(t) =

√R2ω2 + b2

ωφ(t) τ(t) = (−Rφ(t) sinφ(t), Rφ(t) cosφ(t), bφ(t)) ,

an(t) = v2(t)κ(t)n(t) =(−Rφ2(t) cosφ(t), −Rφ2(t) cosφ(t), 0

).

Pro kontrolu vypo£t¥te vektorový sou£et te£ného a normálového zrychlení. Pokud jsme po£ítali

správn¥, m¥li byste dostat celkové zrychlení. To si samoz°ejm¥ musíte rovn¥º vypo£ítat jako

derivaci rychlosti. ♠

P°íklad 1.8. Te£né a normálové zrychlení pomocí r(t).

Vyjád°íme te£né a normálové zrychlení pomocí vektorové funkce r(t) a jejích derivací. Vyuºi-jeme výsledk· p°íkladu 1.6.

aτ =dv

dtτ =

˙r¨r

˙r2˙r, an = κv2 n =

¨r ˙r2 − ˙r( ˙r¨r)

˙r2

.

♠


1.3.5 Úhlové charakteristiky pohybu £ástice

Zvlá²t¥ jednoduchým a pro aplikace velmi uºite£ným p°ípadem pohybu je pohybpo kruºnici. V p°edchozích úvahách a p°íkladech jsme se jím jiº £áste£n¥ zabý-vali práv¥ proto, abychom co nejjednodu²eji vystihli charakteristiky k°ivo£aréhopohybu. Nyní pohyb po kruºnici rozebereme d·kladn¥ v jeho nejobecn¥j²í po-dob¥. P°i vhodné volb¥ soustavy sou°adnic je popsán parametrickými rovnicemitvaru

r(t) = (R cosφ(t), R sinφ(t), 0), (1.38)

kde φ(t) je libovolná funkce £asu. Tato funkce vyjad°uje úhlovou polohu hmot-ného bodu na kruºnici o polom¥ru R v okamºiku t.

r

t)y

( t)x

( t)ϕ

R

Ox

z

2e

e13

e

( t)v

( t)r

y

t)ω = ϕ.(t)( e3

v = ω+

(

Obr. 1.16: Pohyb po kruºnici

Úhel φ(t) je m¥°en jako kladný proti sm¥ru chodu hodinových ru£i£ek. Vzhledemk vazebním podmínkám kladeným na pohyb £ástice (x2(t) + y2(t) = R2, z(t) =0) je popis její polohy pomocí funkce φ(t) úplný. Úhlové poloze lze formáln¥p°isoudit vektorový charakter vztahem

φ(t) = φ(t)e3. (1.39)

Úhlová rychlost a úhlové zrychlení

Veli£iny

ω(t) = φ(t)e3 = (0, 0, φ(t)), (1.40)


ε(t) = φ(t)e3 = (0, 0, φ(t))

p°edstavují úhlovou rychlost a úhlové zrychlení.

P°i pohybu po kruºnici je popis pomocí úhlových veli£in jist¥ mimo°ádn¥ vý-hodný a jednoduchý. P°esto v²ak £asto pot°ebujeme znát, jaká je oby£ejnárychlost, resp. oby£ejné zrychlení £ástice pohybující se po kruºnici. Protonyní vyjád°íme rychlost a zrychlení pomocí úhlových veli£in, ale také naopak.Vzhledem k ur£ité pracnosti výpo£t· uvedeme pouze výsledné vztahy, jejichºodvození ponecháme pro druhé £tení.

Pro p°ípad znázorn¥ný na Obr. 1.16 je situace geometricky velmi názorná.Polohový vektor £ástice r(t) a její rychlost v(t) leºí v rovin¥ kruºnice, tj. v rovin¥xOy a jsou na sebe kolmé. Úhlová rychlost ω(t) je na tuto rovinu kolmá. Provelikosti vektor· r(t), v(t) a ω(t) platí v(t) = Rω(t) = r(t)ω(t). Je proto z°ejmé,ºe

v(t) = ω(t)× r(t) = −Rω(t)× n(t). (1.41)

Podobnou geometrickou úvahu provedeme i pro zrychlení. Vyjdeme ze vztahupro velikost rychlosti v(t) = Rω(t) a zderivujeme jej. Dostaneme v(t) = Rω(t).Pak

aτ (t) = v(t)τ(t) = Rω(t)τ(t), an(t) = ω2(t)R n(t).

Z denice pohyblivého reperu je z°ejmé, ºe τ = −ν × n, takºe je nakonec

aτ (t) = ω(t)ν(t)× (−Rn(t)) = ε(t)× (−Rn(t)) , an(t) = ω2(t)R n(t). (1.42)

Vektorovým vynásobením rychlosti (1.41), resp. te£ného zrychlení ze vztahu (1.42) vektoremn(t) zprava dostáváme

v(t)× n(t) = −R (ω(t)× n(t))× n(t) = Rω(t),

aτ (t)× n(t) = −R (ε(t)× n(t))× n(t) = Rε(t).

Naopak, vyjád°ení úhlové rychlosti, resp. úhlového zrychlení pomocí rychlosti,resp. te£ného zrychlení je následující:

ω(t) =v(t)× n(t)

R, ε(t) =

aτ (t)× n(t)

R. (1.43)

Vztah mezi oby£ejnými a úhlovými veli£inami je moºné také odvodit pomocí parametrickéhovyjád°ení trajektorie p°i obecn¥ nerovnom¥rném pohybu po kruºnici x2 + y2 = R2 leºící vsou°adnicové rovin¥ xOy. Je-li po£áte£ní úhel, který svírá polohový vektor £ástice s osou xnulový, má toto parametrické vyjád°ení tvar x(t) = R cosφ(t), y(t) = R sinφ(t), z(t) = 0.Platí

v(t) = (−Rφ(t) sinφ(t), Rφ(t) cosφ(t), 0) = ω(t)× r(t),

a(t) = (−Rφ(t) sinφ(t)−Rφ2(t) cosφ(t), Rφ(t) cosφ(t)−Rφ2 sinφ(t), 0) =


= (−Rφ(t) sinφ(t), Rφ(t) cosφ(t), 0) + (−Rφ2(t) cosφ(t), −Rφ2(t) sinφ(t), 0) =

= ε(t)× r(t) +v2(t)

Rn(t) =⇒

=⇒ aτ = ε(t)× r(t), an =v2(t)

Rn(t) = ω2(t)Rn(t).

Pomocí vztah· (1.43) zobecníme denice úhlové rychlosti a úhlového zrychlenína p°ípad libovolného k°ivo£arého pohybu:

ω(t) =v(t)× n(t)

R(t), ε(t) =

aτ (t)× n(t)

R(t). (1.44)

Toto zobecn¥ní je dáno moºností náhrady pohybu v innitezimáln¥ blízkém okolíkaºdého bodu na obecné trajektorii pohybem po p°íslu²né oskula£ní kruºnici.

P°íklad 1.9. Úhlové veli£iny pomocí r(t).

Podobn¥ jako v p°ípad¥ geometrických charakteristik trajektorie m·ºeme také úhlové kinema-tické veli£iny ω(t) a ε(t) vyjád°it p°ímo pomocí vektorové funkce r(t) a jejích derivací. Op¥tje t°eba trocha trp¥livosti p°i po£ítání. Platí

ω = κ v × n = ˙r ×¨r ˙r

2 − ˙r( ˙r¨r)√˙r2[ ˙r

2¨r2 − ( ˙r¨r)2]

√˙r2¨r

2 − ( ˙r¨r)2

( ˙r2)32

=˙r × ¨r

˙r2,

ε = κaτ × n =˙r( ˙r¨r)

˙r2

×¨r( ˙r

2)− ˙r( ˙r¨r)√

˙r2[ ˙r

2¨r2 − ( ˙r¨r)2]

√˙r2¨r

2 − ( ˙r¨r)2

( ˙r2)32

= (˙r × ¨r)˙r¨r

( ˙r2)2.

P°i výpo£tu jsme vyuºili výsledk· p°íklad· 1.6 a 1.8. ♠

1.3.6 Obrácená úloha: Od zrychlení k trajektorii I

V dosavadních úvahách jsme vycházeli ze znalosti trajektorie hmotného boduzadané parametricky vektorovou funkcí £asu r = r(t), z níº bylo moºné ur£itv²echny geometrické charakteristiky trajektorie i d·leºité kinematické veli£iny.V konkrétních fyzikálních situacích v²ak budeme postaveni p°ed úlohu práv¥opa£nou, jejímº cílem bude parametrické rovnice trajektorie teprve nalézt, ato na základ¥ vyjád°ení zrychlení v závislosti na poloze £ástice, její rychlostia na £ase. K závislosti uvedeného typu vede matematická formulace klí£ovýchzákon· mechaniky, tzv. pohybových zákon·, které uvád¥jí do souvislosti kinema-tické veli£iny charakterizující pohyb £ástice a její interakce s okolními objekty.P°esv¥d£íme se o tom ve t°etí kapitole. Matematicky nejjednodu²²í °e²ení obrá-cené úlohy odpovídá situacím, kdy pohybové zákony vedou k vyjád°ení zrychleníjako pouhé funkce £asu. V takových p°ípadech lze parametrické vyjád°ení tra-jektorie získat p°ímou integrací. I fyzikáln¥ jsou tyto situace reálné. P°edstavujínap°íklad pohyb £ástic v homogenních £asov¥ prom¥nných i neprom¥nných po-lích.


P°edpokládejme, ºe zrychlení je zadáno spojitou vektorovou funkcí £asu a =a(t). Rychlost £ástice je pak dána vektorovou funkcí v = v(t) vyhovující vztahu(1.19), tj. dv(t)

dt = a(t). Tato funkce není ur£ena jednozna£n¥. Vztah (1.19)chápaný jako rovnice pro neznámou vektorovou funkci v(t)má nekone£n¥ mnoho°e²ení navzájem se li²ících o konstantní vektor. Nech´ vp(t) je libovolné z t¥chto°e²ení, tzv. partikulární °e²ení rovnice (1.19). Pak vztah

v(t) = vp(t) + C , (1.45)

kde C je libovolný konstantní vektor, popisuje v²echny vektorové funkce, kterérovnici vyhovují a p°edstavuje její obecné °e²ení. Konkrétní fyzikální situaci, tj.pohybu £ástice po její trajektorii, v²ak musí odpovídat jednozna£n¥ ur£itý vektorC . Zjistit jej lze jen tehdy, je-li známa rychlost £ástice v n¥kterém okamºiku,nap°íklad pro t = 0 :

v(0) = v0 . (1.46)

Uvedený vztah p°edstavuje tzv. po£áte£ní podmínku pro °e²ení rovnice dv(t)dt =

a(t) . (Tato podmínka je vektorová a je ekvivalentní t°em podmínkám skalárním:vx(0) = v0x , vy(0) = v0y , vz(0) = v0z .) Dosazením po£áte£ní podmínky doobecného °e²ení (1.45) dostaneme C = v0 − vp(0) . Dané konkrétní situaci pakodpovídá partikulární °e²ení

v(t) = vp(t) − vp(0) + v0 . (1.47)

Postup vedoucí k nalezení parametrického vyjád°ení trajektorie je zcela analo-gický a vede k výsledku

r(t) = rp(t) − rp(0) + r0 , (1.48)

kde rp(t) je libovolná z vektorových funkcí vyhovujících rovnici dr(t)dt = v(t) a

r(0) = r0 p°edstavuje po£áte£ní polohu £ástice. Výsledky (1.47) a (1.48) °e²eníobrácené úlohy lze zapsat také ve tvaru

v(t) = v(0) +

t∫0

a(τ)dτ, (1.49)

r(t) = r(0) +

t∫0

v(τ) dτ = r(0) + v(0)t +

t∫0

τ∫0

a(τ ′) dτ ′

dτ, (1.50)

nebo obecn¥ji

v(t) = v(t0) +

t∫t0

a(τ) dτ , (1.51)


r(t)= r(t0) +

t∫t0

v(τ) dτ= r(t0) + v(t0)(t−t0) +t∫

t0

τ∫t0

a(τ ′) dτ ′

dτ. (1.52)

Je vid¥t, ºe pro nalezení parametrického vyjád°ení trajektorie ze známé £asovézávislosti zrychlení je t°eba zadat je²t¥ po£áte£ní rychlost a po£áte£ní polohu£ástice. Soubor údaj·

(r(t0), v(t0)) = (x(t0), y(t0), z(t0), vx(t0), vy(t0), vz(t0))

ur£uje po£áte£ní stav £ástice, soubor

(r(t), v(t)) = (x(t), y(t), z(t), vx(t), vy(t), vz(t))

charakterizuje mechanický stav £ástice v obecném okamºiku. Znalost vektorovéfunkce a(t) a po£áte£ního stavu umoº¬uje ur£it stav £ástice v libovolném oka-mºiku.

P°íklad 1.10. Pohyb v tíhovém poli Zem¥ obrácená úloha.

V²echny objekty nacházející se v homogenním tíhovém poli Zem¥ se pohybujís konstantním zrychlením g o velikosti g .

= 9, 81ms−2 , samoz°ejm¥ za p°edpo-kladu, ºe pohybu nejsou kladeny ºádné p°ekáºky a ºe zanedbáme i jeho brzd¥níokolním vzduchem. (Velikost tíhového zrychlení se v r·zných místech na zem-ském povrchu pon¥kud li²í. Denitoricky, tj. p°esn¥, je zavedeno tzv. normálnítíhové zrychlení g = 9, 80665ms−2 .) Je tedy a(t) = g . Pak podle (1.50) dostá-váme

r(t) = r(0) + v(0)t +1

2gt2 .

P°edstavu o konkrétním tvaru trajektorie získáme snadn¥ji, jestliºe zapí²emesloºky vektoru r(t) ve vhodn¥ zvolené soustav¥ sou°adnic, spjaté pro jednodu-chost s fyzikáln¥ £i geometricky význa£nými sm¥ry. Fyzikáln¥ význa£ným sm¥-rem je nepochybn¥ sm¥r tíhového zrychlení v daném míst¥ na povrchu Zem¥,svislý sm¥r. S ním spojíme osu z , zatímco sou°adnicovou rovinu yOz zvolímetak, aby v ní leºel vektor po£áte£ní rychlosti (tato volba není jednozna£ná,pokud je v(0) ∥ g ). Po£átek soustavy sou°adnic lze bez újmy na obecnostiinterpretace výsledk· volit tak, aby r(0) = 0 . Situaci ilustruje Obr. 1.17.


α

g

v0

O

x

y

z

Obr. 1.17: Volba soustavy sou°adnic p°i pohybu objektuv homogenním tíhovém poli Zem¥

Pakx(t) = 0 , y(t) = v0t cosα , z(t) = v0t sinα −

1

2gt2 .

Uvedené vztahy p°edstavují pro α = π2 ,

3π2 parametrické rovnice paraboly leºící

v sou°adnicové rovin¥ yOz s vrcholem

V =

[0 ,

v20g

sinα cosα ,v20g

sin2 α

],

pro α = π2 resp. α = 3π

2 je trajektorie p°ímková a pohybem je tzv. vrhsvislý vzh·ru, resp. vrh svislý dol·. Pro α = 0 a pro α = π jde o vrh vo-dorovný, v ostatních p°ípadech o vrh ²ikmý. Pro v0 = 0 hovo°íme o volnémpádu. Ozna£íme-li v0 velikost po£áte£ní rychlosti, pak

α = 0, π : r(t) =

(0 ,±v0t ,−

1

2gt2)

,

α =π

2,3π

2: r(t) =

(0 , 0 ,±v0t−

1

2gt2)

,

v0 = 0 : r(t) =

(0 , 0 ,−1

2gt2)

.

♠

P°íklad 1.11. Pohyb po cykloid¥ obrácená úloha.


Hmotný bod se pohybuje se zrychlením

a(t) = (−a0 cosωt , −a0 sinωt , 0) ,

kde ω [s−1] a a0 [ms−2] jsou kladné konstanty. V okamºiku t = 0 s je jeho rych-lost v(0) = v0 = (0, v0, 0) [m s−1] , v0 > 0 a poloha r(0) = r0 = (R, 0, 0) [m],R > 0. Najdeme parametrické vyjád°ení trajektorie hmotného bodu, ur£íme,o jakou k°ivku se jedná a zjistíme, za jakých p°edpoklad· se stane kruºnicí.Vyuºijeme vztah· (1.50):

v(t) =

t∫0

−a0 cosωτ dτ , v0 +

t∫0

−a0 sinωτ dτ , 0

=

=(−a0

ωsinωt ,

a0ω(cosωt− 1) + v0 , 0

).

r(t) =

R +

t∫0

−a0ω

sinωτ dτ ,

t∫0

a0ω[(cosωτ − 1) + v0] dτ , 0

=

=(R− a0

ω2+

a0ω2

cosωt ,(v0 −

a0ω

)t+

a0ω2

sinωt , 0)

.

Trajektorií hmotného bodu je tedy k°ivka leºící v sou°adnicové rovin¥ xOy .Úpravou jejího parametrického vyjád°ení

x = R − a0ω2

+a0ω2

cosωt , y =(v0 −

a0ω

)t +

a0ω2

sinωt

na tvar [x −

(R − a0

ω2

)]2+[y −

(v0 −

a0ω

)t]2

=a20ω4

získáme geometrickou p°edstavu o této k°ivce: Hmotný bod se v kaºdém oka-mºiku nachází na kruºnici o polom¥ru a0

ω2 , jejíº st°ed v²ak není pevný. Pohybujese rovnom¥rn¥ rychlostí o velikosti v0 − a0

ω po p°ímce o rovnici x = R − a0

ω2 .Situaci znázor¬uje následující obrázek, kde je trajektorie zakreslena pro hod-noty R = 3 cm, ω = π

2 s−1, a0 = π2

2 cm s−2 .= 4, 9 cm s−2, v0 = 3

2π cm s−1 .=

4, 7 cm s−1, v £asovém intervalu t ∈ [0, 3T ], kde T = 4 s je perioda funkcí sinωta cosωt. Pro t ≥ T se znázorn¥ný základní motiv opakuje.


16

12

8

4

3

0

210-1

Obr. 1.18: Pohyb hmotného bodu po cykloid¥

K°ivkou je cykloida. Podle konkrétní hodnoty v0 − a0

ω jde o cykloidu prostou,prodlouºenou nebo zkrácenou. V p°ípad¥ cykloidy prosté je v0 = 2a0

ω a velikostrychlosti pohybu st°edu kruºnice vs = v0− a0

ω = a0

ω je shodná s obvodovou rych-lostí bodu vobv = ω a0

ω2 = a0

ω , jako by se kruºnice valila po p°ímce p1 . V p°ípad¥prodlouºené cykloidy je vobv > vs , jako by kruºnice p°i valení podkluzovala, prozkrácenou cykloidu pak platí vobv < vs . K°ivka na Obr. 1.18 je cykloidou pro-dlouºenou. Trajektorie degeneruje v kruºnici, je-li v0− a0

ω = 0 . Hmotný bod sepak po ní pohybuje obvodovou rychlostí v0 , polom¥r kruºnice je r = a0

ω2 , veli-kost dost°edivého zrychlení je a0 = ωv0 , tj. a0 = ω2r, v0 = ωr . V posledníchvztazích poznáváme známé vzorce pro rovnom¥rný pohyb po kruºnici. V p°í-pad¥ volby R = a0

ω2 jde o kruºnici se st°edem v po£átku soustavy sou°adnic.♠

1.4 Popis pohybu r·znými pozorovateli kaºdýto vidí jinak

Konkrétní £íselné údaje, jimiº jsou reprezentovány události v £asoprostoru, jsouzávislé na volb¥ vztaºné soustavy. Vyvstává tak problém nalezení transforma£-ních vztah· mezi dv¥ma soubory údaj·

U = (x1, x2, x3, t)S , U = (x′1, x

′2, x

′3, t

′)S′ ,

1.4. POPIS POHYBU RZNÝMI POZOROVATELIKADÝ TOVIDÍ JINAK59

jimiº popisují jednu a tutéº událost U dva pozorovatelé ve vztaºných sousta-vách S a S ′ . Transforma£ními vztahy rozumíme vyjád°ení kterékoli z obou£tve°ic £íselných údaj· pomocí druhé, v závislosti na veli£inách charakterizu-jících vzájemný pohyb vztaºných soustav. Sledujeme-li v soustavách S a S ′posloupnost událostí v £ase, nap°íklad pohyb £ástice, je d·leºité znát i p°evodnívztahy mezi rychlostmi a zrychleními. Nerelativistický p°ístup k problematicetransforma£ních vztah· vychází z p°edstavy, ºe vzájemná rychlost objekt· nenínijak omezena. Je proto dob°e pouºitelný v p°ípadech, kdy jsou v²echny po-suzované rychlosti o n¥kolik °ád· men²í neº rychlost sv¥tla ve vakuu, která vp°írod¥ p°edstavuje rychlostní mez .

1.4.1 Okamºité ²í°ení interakce a absolutnost sou£asnosti

Jedním z pilí°· newtonovské mechaniky je p°edpoklad o neomezen¥ rychlém ²í-°ení vzájemného p·sobení objekt·, tzv. okamºitém ²í°ení interakce. Názorn¥ jejlze vyloºit nap°íklad pomocí p°edstavy dvou t¥les (popisovaných v téºe vztaºnésoustav¥ spojené s kterýmkoli z nich, nebo s libovolným t°etím t¥lesem), kterána sebe p·sobí na dálku prost°ednictvím gravita£ní £i elektromagnetické inter-akce. Informace o jakékoliv zm¥n¥ odehrávající se na jednom z t¥les dostihnedruhé z nich okamºit¥, tj. bez £asového zpoºd¥ní, a to bez ohledu na vzdálenostt¥les a charakter jejich vzájemného pohybu. Jestliºe tedy dv¥ události U1 aU2 nastanou ve vztaºné soustav¥ S spojené s prvým z obou t¥les sou£asn¥,tj. t1 = t2 , budou i pozorovatelem v soustav¥ S ′ zaznamenány jako sou£asné,tj. t′1 = t′2 . Sou£asnost událostí je proto v newtonovské mechanice absolut-ním pojmem. M¥°ení £asu v r·zných vztaºných soustavách se m·ºe li²it jedin¥rozdílností volby po£átku £asové osy, kterou lze odstranit vhodným se°ízenímhodin. Získávame tak d·leºitý transforma£ní vztah pro popis událostí r·znýmipozorovateli: Nech´ U = (x, y, z, t)S a U = (x′, y′, z′, t′)S′ . Pak p°i vhodnémse°ízení hodin je

t = t′ . (1.53)

Tento výsledek je matematickým zápisem skute£nosti, ºe £as plyne ve v²echvztaºných soustavách stejn¥. Lze mu p°isoudit roli parametru, spole£ného po-pisu d¥j· ve v²ech vztaºných soustavách. V dal²ích úvahách jiº budeme uºívatp°i ozna£ení £asu (jako nezávisle prom¥nné, jejímiº funkcemi jsou v²echny kine-matické veli£iny) spole£ného symbolu t bez ohledu na volbu vztaºné soustavy.

1.4.2 P°echod mezi soustavami sou°adnic jako geomet-rický problém

Výhradn¥ geometrickou £i algebraickou úlohou je nalezení transforma£ních vztah· pro p°echodmezi dv¥ma kartézskými soustavami sou°adnic, které jsou v·£i sob¥ nato£eny tak, ºe jejichvzájemná orientace je nezávislá na £ase. P°edpokládejme, ºe tyto soustavy mají spole£nýpo£átek, tj. S =< O; e1, e2, e3 > , S′ =< O; e′1, e

′2, e

′3 > . Kaºdý z vektor· e′1, e

′2, e

′3 lze

vyjád°it jako lineární kombinaci vektor· e1, e2, e3 a naopak, kaºdý z vektor· e1, e2, e3 jelineárn¥ závislý na vektorech e′1, e

′2, e

′3 . Existují tedy soubory reálných £ísel τiji,j∈1,2,3


a σiji,j∈1,2,3 tak, ºe platí

e′i =

3∑j=1

τij ej , ei =

3∑j=1

σij e′j , i ∈ 1, 2, 3 . (1.54)

T = (τij)i,j∈1,2,3 , resp. S = (σij)i,j∈1,2,3 jsou matice p°echodu od báze < e1, e2, e3 >

k bázi < e′1, e′2, e

′3 > v R3 , resp. matice opa£ného p°echodu. Protoºe báze < e1, e2, e3 >

i < e′1, e′2, e

′3 > , denující spolu s po£átkem O dv¥ kartézské soustavy sou°adnic, jsou or-

tonormální, platí pro prvky matic T a S tzv. relace ortogonality, vyplývající ze vztah·eiek = δik , e

′ie

′k = δik :

3∑j=1

τijτkj = δik ,3∑j=1

σijσkj = δik . (1.55)

Symbol δik p°edstavuje Kroneckerovo delta, nabývající hodnoty 1 pro i = k a hodnoty 0 proi = j. Prvky matic T a S mají názorný geometrický význam: Platí e′iek =

∑3j=1 τij ej ek =∑3

j=1 τijδjk = τik . Sou£asn¥ v²ak je

e′iek =| e′i || ek | cosφik = cosφik,

kde φik =≺ (e′iek) je úhel mezi vektory e′i a ek . Pak τik = cosφik a analogicky σik =cosφki . Je vid¥t, ºe matice T a S jsou navzájem transponované. (V obecném p°ípad¥, kdyna báze < e1, e2, e3 > a < e′1, e

′2, e

′3 > není kladen poºadavek ortonormálnosti, jsou matice

T a S navzájem inverzní.)Uvaºujme o hmotném bodu, jehoº pohyb je sledován pozorovateli ve vztaºných sousta-

vách S a S′ . Jeho okamºitá poloha je ur£ena polohovým vektorem r = r(t) o sloºkách(x1(t), x2(t), x3(t))S a (x′1(t), x

′2(t), x

′3(t))S′ vzhledem k soustavám S a S′ . Je tedy

r(t) =

3∑i=1

xi(t)ei , r(t) =

3∑j=1

x′j(t)e′j .

Úpravou nap°íklad prvého z obou vyjád°ení vektoru r(t) s vyuºitím vztah· (1.54) dostáváme:

r(t) =

3∑i=1

xi(t)ei =

3∑i=1

xi(t)

3∑j=1

σij e′j =

3∑j=1

(3∑i=1

xi(t)σij

)ej .

Odtud je z°ejmé, ºe

x′j(t) =3∑i=1

xi(t)σij , xj(t) =3∑i=1

x′i(t)τij . (1.56)

P°i interpretaci trojic sloºek (x) = (x1(t) x2(t) x3(t))S a (x′) = (x′1(t) x′2(t) x′3(t))S′ jako°ádkových matic m·ºeme uºít maticového zápisu vztah· (1.56), tj.

(x′) = (x)S , (x) = (x′)T . (1.57)

Ozna£me analogicky

v(t) =3∑i=1

vi(t)ei =3∑j=1

v′j(t)e′j , a(t) =

3∑i=1

ai(t)ei =3∑j=1

a′j(t)e′j

rychlost a zrychlení, vyjád°ené jako lineární kombinace vektor· e1, e2, e3 resp. e′1, e′2, e

′3 .

Nech´ (v) = (v1(t) v2(t) v3(t))S , (v′) = (v′1(t) v′2(t) v′3(t))S′ , (a) = (a1(t) a2(t) a3(t))S , (a

′) =(a′1(t) a′2(t) a′3(t))S′ jsou °ádkové matice tvo°ené sloºkami vektor· rychlosti a zrychlenívzhledem k soustavám S a S′ . Pak vzhledem k nezávislosti matic T a S na £ase získávámepro sloºky rychlosti a zrychlení transforma£ní vztahy stejného tvaru jako pro polohový vektor:

(v′) = (v)S , (v) = (v′)T , (a′) = (a)S , (a) = (a′)T . (1.58)


Vztahy tohoto typu platí pro sloºky libovolného vektoru vzhledem k soustavám S a S′ . Nazáklad¥ získaných výsledk· lze konstatovat, ºe £asov¥ neprom¥nné nato£ení sou°adnicovýchsoustav je fyzikáln¥ nepodstatné.

P°íklad 1.12. Sou°adnicové p°echody kartézské soustavy.

P°echod mezi kartézskými soustavami sou°adnic

S =< O; e1, e2, e3 >, S′ =< O′; e′1, e′2, e

′3 >

se spole£ným po£átkem a pravoto£ivými ortonormálními bázemi je zadán t¥mito údaji: φ11 =π3, φ12 = π

6, φ33 = π

4. Najdeme matici p°echodu T a konkrétní tvar transforma£ních vztah·

(1.56). P°edev²ím platí τij = cosφij , tj. τ11 = 12, τ12 =

√32, τ33 =

√2

2. V d·sledku relací

ortogonality (1.55) je τ211+τ212+τ

213 = 1 =⇒ τ13 = (1−( 1

2)2−(

√3

2)2)

12 = 0 , τ213+τ

223+τ

233 =

1 =⇒ τ23 = ±√

22

. Pak

T =

12

√3

20

τ21 τ22 ±√

22

τ31 τ32√

22

.

Relace ortogonality umoºní nalézt i zbývající prvky matice p°echodu:

1

2τ21 +

√3

2τ22 = 0 , τ221 + τ222 +

1

2= 1 ,

1

2τ31 +

√3

2τ32 = 0 , τ231 + τ232 +

1

2= 1 .

e²ením této soustavy rovnic a uváºením zbývajících relací ortogonality p°i rozhodování o zna-méncích odmocnin dostáváme pro matici T tyto moºnosti:

12

√3

20

−√

32√

21

2√

2−

√2

2

−√

32√

21

2√

2

√2

2

,

12

√3

20

−√

32√2

12√

2

√2

2

√3

2√2

− 12√

2

√2

2

,

12

√3

20

√3

2√

2− 1

2√

2−

√2

2

√3

2√

2− 1

2√

2

√2

2

,

12

√3

20

√3

2√2

− 12√

2

√2

2

−√

32√2

12√

2

√2

2

.

Z nich pouze prvé dv¥ vyhovují poºadavku, aby i báze < e′1, e′2, e

′3 > byla pravoto£ivá.

Vyplývá to ze skute£nosti, ºe u t¥chto moºností je detT = 1 , zatímco u zbývajících platídetT = −1 .) Úloha má tedy dv¥ °e²ení. V²imneme si podrobn¥ji prvého z nich:

T =

12

√32

0

−√

32√

21

2√2

−√

22

−√

32√

21

2√2

√2

2

, S = T transp =

12

−√

32√

2−

√3

2√

2

√3

21

2√

21

2√

2

0 −√

22

√2

2

.


Odpovídající transforma£ní vztahy mají tvar:

x′1(t)=12x1(t)+

√3

2x2(t),

x′2(t)=−√3

2√

2x1(t)+

12√

2x2(t)−

√2

2x3(t),

x′3(t)=−√3

2√

2x1(t)+

12√

2x2(t)+

√2

2x3(t),

x1(t)=12x′1(t)−

√3

2√

2x′2(t)−

√3

2√

2x′3(t),

x2(t)=√32x′1(t)+

12√

2x′2(t)+

12√

2x′3(t),

x3(t)=−√

22x′2(t)+

√2

2x′3(t).

Transforma£ní vztahy vyplývající z druhého °e²ení lze získat analogicky. ♠

1.4.3 Pohyb v r·zných vztaºných soustavách vektorováformulace

Nech´ pohyb hmotného bodu sledují dva pozorovatelé ve vztaºných soustaváchS =< O; e1, e2, e3 > , S ′ =< O′; e′1, e

′2, e

′3 > . Jakkoli je pohyb soustavy S ′

v·£i soustav¥ S obecný, vºdy je sloºen z translace, tj. pohybu po£átku O′

v·£i soustav¥ S , charakterizované vektorem R(t) = (X1(t), X2(t), X3(t))S ,a z rotace soustavy S ′ kolem bodu O′ , popsané úhlovou rychlostí ω(t) =

(ω1(t), ω2(t), ω3(t))S . Vektorové funkce R(t) a ω(t) , zadané jejich sloºkamivzhledem k soustav¥ S , povaºujeme za známé.

3

1e

2e

3e

O

e2

e1

m

O

r(t)

R ( )tS

S

ω( )t

r )t(

e

Obr. 1.19: Popis vzájemného pohybu vztaºných soustav

Z Obr. 1.19 plyne vztah mezi polohovými vektory r(t) a r′(t) :

r(t) = r′(t) + R(t) . (1.59)


Abychom nalezli vztah mezi rychlostmi hmotného bodu v(t) = (dr(t)/dt)S av ′(t) = (dr ′(t)/dt)S′ , p°edpokládejme nejprve, ºe pohyb soustavy S ′ vzhledemk S je £ist¥ rota£ní, tj. R(t) =

−−−→konst., a zjednodu²me situaci je²t¥ poºadavkem

R(t) = 0 . Uvaºujme o £ástici, která je vzhledem k soustav¥ S ′ v klidu, tj.v ′(t) = 0 . Vzhledem k pozorovateli v soustav¥ S tedy vektor r ′(t) rotuje spoluse soustavou S ′ kolem bodu O ≡ O′ úhlovou rychlostí ω(t) . ástice, sledovanáv soustav¥ S , se tedy v kaºdém okamºiku nachází na oskula£ní kruºnici sest°edem na sou°adnicové ose x′

3 a rovina oskula£ní kruºnice je k této ose kolmá(viz Obr. 1.20).

(

r

t∆=. ∆ s

∆ t= r sin α ∆ ϕ

∆ t =

r+ω=αsinrω=O

α

∆ s∆ r

r ( t)

r t+∆ t)

∆ϕ

ω

Obr. 1.20: K odvození transforma£ního vztahu mezi rychlostmi

Rychlost pohybu £ástice v soustav¥ S , (dr′(t)/dt)S , je pak podle (1.41) dánavztahem

v(t) =

(dr′(t)

dt

)S= ω(t) × r′(t) . (1.60)

Pokud bude rychlost £ástice v′(t) = (dr′(t)/dt)S′ vzhledem k soustav¥ S ′obecn¥ nenulová, pak(

dr′(t)

dt

)S=

(dr′(t)

dt

)S′

+ ω(t) × r′(t) , tj. (1.61)

v(t) = v′(t) + ω(t) × r′(t) . (1.62)

Poznámka: Rovnost (1.62) není jen transforma£ním vztahem mezi rychlostmi£ástice v(t) a v′(t) , m¥°enými v navzájem rotujících vztaºných soustavách S


a S ′ . Uvádí do souvislosti £asové derivace libovolného vektoru L(t) umíst¥néhove spole£ném po£átku O ≡ O′ obou soustav, vztaºené ke kaºdé z nich:(

dL(t)

dt

)S

=

(dL(t)

dt

)S′

+ ω(t) × L(t) . (1.63)

Vezmeme-li v úvahu i transla£ní pohyb soustavy S ′ vzhledem k S , popsanývektorovou funkcí R(t) , a ozna£íme-li V (t) =

(dR(t)/dt

)S, dostáváme nejo-

becn¥j²í p°ípad transforma£ního vztahu mezi rychlostmi v(t) a v′(t) hmotnéhobodu vzhledem k soustavám S a S ′ :

v(t) = v ′(t) + V (t) + ω(t) × r ′(t) . (1.64)

Výraz, o který se li²í rychlosti £ástice v obou soustavách,

vu(t) = V (t) + ω(t) × r ′(t) , (1.65)

souvisí se vzájemným pohybem soustav a nazývá se uná²ivá rychlost. Je sou£temuná²ivých rychlostí transla£ního a rota£ního pohybu, V (t) a ω(t)× r ′(t) .

Uºitím obecného vztahu (1.63) odvodíme nyní transforma£ní vztah pro zrych-lení:

a(t) =

(dv(t)

dt

)S=

(d

dt

[v ′(t) + V (t) + ω(t)× r′(t)

])S=

=

(dV

dt

)S

+

(dv′

dt

)S+

(dω

dt

)S× r′ + ω ×

(dr′

dt

)S=

= A+

(dv′

dt

)S′+ ω × v′+ε× r′+ω ×

(dr′

dt

)S′+ ω × (ω × r′)=

=

(dv′

dt

)S′

+ A + 2ω × v′ + ω × (ω × r′) + ε× r′ .

P°i úprav¥ jsme ozna£ili A(t) =(dV (t)/dt

)S

zrychlení transla£ního pohybu

soustavy S ′ vzhledem k S a ε(t) = (dω(t)/dt)S úhlové zrychlení rota£níhopohybu. Uv¥domíme-li si, ºe

a′(t) = (dv′(t)/dt)S′

je zrychlení sledované £ástice vzhledem k soustav¥ S ′ , dostáváme:

a(t) = a′(t) + au(t) , (1.66)

au = A(t) + 2ω(t)× v′(t) + ω(t)× (ω(t)× r′(t)) + ε(t)× r′(t) . (1.67)


Uná²ivé zrychlení au(t) je sou£tem zrychlení A(t) transla£ního pohybu sou-stavy S ′ vzhledem k S a zrychlení pohybu rota£ního, sloºeného z p°ísp¥vk·−aC = 2ω(t)× v′(t) , −aOD = ω(t)× (ω × r′(t)) a ε(t)× r′(t) . Výrazy

aC = −2ω(t)× v′(t), aOD = −ω(t)× (ω(t)× r′(t)) a aE = ε(t)× r ′(t)(1.68)

se nazývají Coriolisovo, odst°edivé a Eulerovo zrychlení.

P°íklad 1.13. Vzájemný pohyb vztaºných soustav £ástice na to£n¥.

P°edpokládejme, ºe soustava S ′ rotuje vzhledem k soustav¥ S stálou úhlovourychlostí ω kolem sou°adnicové osy x3 . Po£átky obou soustav a sou°adnicovéosy x3 a x′

3 trvale splývají, dvojice os x1 , x′1 a x2 , x

′2 splývaly v po£áte£-

ním okamºiku t = 0 . Hmotný bod se pohybuje podél osy x′1 stálou rychlostí

v′ vzhledem k soustav¥ S ′ , p°i£emº v okamºiku t = 0 prochází spole£nýmpo£átkem vztaºných soustav.

=O O

x x3 3

x x2 2=

ω O O

x x3 3

v t

v t

v t

0t

x2

x1

x2

x1ω

ω

x2 = sin ω

x1 = cosω

t

t

t

0t=

x1 1x

Obr. 1.21: K p°íkladu 1.13

Polohový vektor, rychlost a zrychlení hmotného bodu jsou ve vztaºné soustav¥S ′ vyjád°eny takto:

r ′(t) = (v′t, 0, 0)S′ , v ′(t) = (v′, 0, 0, )S′ , a ′(t) = (0, 0, 0)S′ .

Sloºky vektoru úhlové rychlosti jsou

ω = (0, 0, ω)S = (0, 0, ω)S′ .


Sloºky vektor· rychlosti v ′(t) a zrychlení a ′(t) , charakterizujících pohyb £ás-tice v soustav¥ S ′ , vztaºené k soustav¥ S jsou

v ′(t) = (v′ cosωt, v′ sinωt, 0)S , a′(t) = (0, 0, 0)S .

Poloha £ástice vzhledem k soustav¥ S je ur£ena vektorem

r(t) = r ′ = (v′t cosωt , v′t sinωt , 0)S .

Zatímco trajektorií £ástice v soustav¥ S ′ je p°ímka, v soustav¥ S je jí Ar-chimédova spirála. Polohu £ástice v n¥kterých okamºicích intervalu [0, T ] proT = 4, 0 s, v′ = 2, 0ms−1, ω = 2πT , v obou soustavách uvádí následující tabulka.

Tabulka 1.5: Pohyb £ástice v navzájem rotujících vztaºných sou-stavách

t 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

ωt 0,0 π4

π2

3π4

π 5π4

3π2

7π4

2π

x′ 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0

y′ 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

x 0,0√

22

0,0 − 3√2

2−4, 0 − 5

√2

20,0 7

√2

28,0

y 0,0√

22

2,0 3√

22

0, 0 − 5√

22

-6,0 − 7√

22

0,0

Trajektorie £ástice v soustav¥ S je znázorn¥na na Obr. 1.22. (Osa x je vodo-rovná a sm¥°uje doprava, osa y je svislá a sm¥°uje vzh·ru.)


43210-1

1

-20

-1

-2

-3

Obr. 1.22: Pohyb £ástice v navzájem rotujících vztaºnýchsoustavách

Vyjád°íme rychlost a zrychlení £ástice vzhledem k pozorovateli v soustav¥ Suºitím transforma£ních vztah· (1.62), (1.66) a (1.67). P°i výpo£tu musíme sa-moz°ejm¥ pracovat u v²ech vektor· s jejich sloºkami vztaºenými k jedné a téºesoustav¥ sou°adnic, a to soustav¥ S , vzhledem k níº rychlost v(t) a zrychlenía(t) £ástice m¥°íme.

v(t)= v ′(t)+ω×r,′(t)!(v ′ cosωt, v ′ sinωt, 0)S+(0, 0, ω)S×(v,′t cosωt, v′t sinωt, 0)S ,

v(t) = (v ′ cosωt− ωv,′t sinωt , v ′ sinωt+ ωv ′t cosωt , 0)S ,

a(t) = a ′(t) + 2ω × v ′(t) + ω × (ω × r ′(t)) =

= 2(0, 0, ω)S × (v′ cosωt, v′ sinωt, 0)S + (0, 0, ω)S × ((0, 0, ω)S×

×(v′t cosωt, v′t sinωt, 0)S) = (−2ωv′ sinωt, 2ωv′ cosωt, 0)S+

+(0, 0, ω)S × (−ωv′t sinωt, ωv′t cosωt, 0)S =

= (−2ωv′ sinωt− ω2v′t cosωt , 2ωv′ cosωt− ω2v′t sinωt , 0)S .

Derivováním vektorové funkce r(t) = (v′t cosωt, v′t sinωt, 0)S podle £asu zís-káme pro v(t) a a(t) stejné výsledky jako uºitím transforma£ních vztah·. ♠


1.4.4 Pohyb v r·zných vztaºných soustavách maticováformulace

Transforma£ní vztahy ve vektorovém tvaru pro polohu, rychlost a zrychlení £ástice vzhledemk r·zným vztaºným soustavám jsou velmi názorné. Pro praktické pouºití p°i p°epo£tech £ísel-ných údaj· zadávaných v r·zných vztaºných soustavách je v²ak t°eba je vyjád°it ve sloºkách.K tomu je velmi vhodné pouºít maticové formulace.

Uvaºme znovu vztaºné soustavy S =< O; e1, e2, e3 > , S′ =< O′; e′1, e′2, e

′3 > . Transla£ní

pohyb soustavy S′ vzhledem k S je op¥t popsán vektorem R(t) , jehoº vyjád°ení pomocísloºek vzhledem k soustav¥ S budeme interpretovat jako °ádkovou matici

(X) = (X1(t) X2(t) X3(t))S .

Pohyb rota£ní budeme namísto úhlovou rychlostí ω(t) charakterizovat pomocí matice p°e-chodu T (t) od báze < e1, e2, e3 > k bázi < e ′

1, e′2, e

′3 > . Pon¥vadº vektory e ′

1 , e′2 , e

′3 rotují

v·£i soustav¥ S úhlovou rychlostí ω(t) , jsou vzhledem k ní závislé na £ase. Tedy i prvkymatic T a S jsou funkcemi £asu.

Odvodíme nejprve souvislost mezi vektorem ω(t) a maticí p°echodu T (t) . Podle vztahu(1.63) platí (

de ′i

dt

)S= ω(t)× e ′

i (t) , i ∈ 1, 2, 3 , (1.69)

nebo´(de ′i (t)/dt

)S = 0 . Podle (1.54) s uváºením £asové závislosti prvk· matice T platí

e ′i (t) =

∑3j=1 τij(t)ej pro i ∈ 1, 2, 3 . Vzhledem k tomu, ºe τij(t) p°edstavuje j-tou sloºku

vektoru e ′i (t) v soustav¥ S , m·ºeme vztah (1.69) rozepsat do sloºek v·£i soustav¥ S takto:

τij(t) =3∑

k,l=1

ϵjklωk(t)τil(t) , i, j ∈ 1, 2, 3 .

Pro kaºdou hodnotu i ∈ 1, 2, 3 dostáváme postupn¥, jiº bez vypisování prom¥nné t :

τi1 = ω2τi3 − ω3τi2 , τi2 = ω3τi1 − ω1τi3 , τi3 = ω1τi2 − ω2τi1 .

Tyto vztahy lze zapsat pomocí maticového násobení:τ11 τ12 τ13

τ21 τ22 τ23

τ31 τ32 τ33

=

τ11 τ12 τ13

τ21 τ22 τ23

τ31 τ32 τ33

0 ω3 −ω2

−ω3 0 ω1

ω2 −ω1 0

,

odkud po ozna£ení

Ω(t) =

0 ω3(t) −ω2(t)

−ω3(t) 0 ω1(t)

ω2(t) −ω1(t) 0

(1.70)

dostávámeT (t) = T (t)Ω(t) . (1.71)

V p°ípad¥, ºe je známa matice p°echodu T (t) , která je nutn¥ regulární, lze ze vztahu (1.71)ur£it matici Ω(t) a vektorovou funkci ω(t) :

Ω(t) = T−1(t) T (t) .

Je-li naopak známa úhlová rychlost ω(t) , je nutno chápat vztah (1.71) jako t°i soustavydiferenciálních rovnic prvého °ádu pro trojice neznámých prvk· matice T (t), tj.

τi1(t), τi2(t), τi3(t), i ∈ 1, 2, 3.


P°íklad 1.14. P°íklad 1.13 jinak.

Uvaºujme o situaci popsané v p°íkladu 1.13, kde ω = (0, 0, ω)S . Pak

Ω(t) =

0 ω 0

−ω 0 0

0 0 0

,

odkudτi1 = −ωτi2 , τi2 = ωτi1 , τi3 = 0 , i ∈ 1, 2, 3 .

Obecné °e²ení této soustavy diferenciálních rovnic má tvar (ov¥°te zp¥tným dosazením):

τi1 = ai cosωt − bi sinωt , τi2 = bi cosωt + ai sinωt , τi3 = ci , i ∈ 1, 2, 3 ,

kde ai , bi , ci , i ∈ 1, 2, 3 , jsou libovolné reálné konstanty. Soustav¥ tedy vyhovuje kaºdámatice T (t) tvaru

T (t) =

a1 cosωt− b1 sinωt b1 cosωt+ a1 sinωt c1



.

Po£áte£ní podmínka, vyplývající se zadání p°íkladu 1.13 ur£uje prvky matice T (t) v okamºikut = 0 : T (0) = E (jednotková matice). Sou°adnicové osy soustav S =< O; e1, e2, e3 > , S′ =<O′; e′1, e

′2, e

′3 > totiº v okamºiku t = 0 splývají. Této po£áte£ní podmínce odpovídá následující

tvar matice T (t) (partikulární °e²ení soustavy rovnic (1.71)):

T (t) =

cosωt sinωt 0

− sinωt cosωt 0

0 0 1

.

Ov¥°te, ºe toto °e²ení souhlasí s výsledky p°íkladu 1.13, získanými na základ¥ geometrickép°edstavy. ♠

Na základ¥ vztah· (1.56), v nichº vezmeme v úvahu £asovou závislost matic p°echodu a zo-becníme je i na p°ípad transla£ního pohybu soustavy S′ vzhledem k S , m·ºeme s vyuºitím(1.71) získat transforma£ní vzorce pro sloºky rychlosti a zrychlení hmotného bodu v matico-vém vyjád°ení:

(x) = (x′)T + (X) =⇒ (x) = (x′)T + (x′)T + (X) = (x′)T + (x′)TΩ+ (X) ,

odkud(v) = (v′)T + (x′)TΩ + (V ) , (1.72)

(x) = (x′)T + (x′)T + (x′)TΩ+ (x′)TΩ+ (x′)T Ω + (X) =

= (x′)T + 2(x′)TΩ+ (x′)TΩ2 + (x′)T Ω + (X) ,

(a) = (a′)T + 2(v′)TΩ+ (x′)TΩ2 + (x′)T Ω + (A) . (1.73)

Uná²ivá rychlost a zrychlení mají tedy v maticovém vyjád°ení vzhledem k soustav¥ S tvar

(vu) = (x′)TΩ+ (V ) , (au) = 2(v′)TΩ+ (x′)TΩ2 + (x′)T Ω + (A) .

P°íklad 1.15. P°íklad 1.13 je²t¥ jinak.


Rychlost a zrychlení £ástice z p°íkladu 1.13 vzhledem k soustav¥ S vyjád°íme v maticovémformalismu. Vyuºijeme matic T (t) a Ω z p°edchozího p°íkladu 1.14. Podle vztahu (1.72) jerychlost v v soustav¥ S reprezentována °ádkovou maticí (v) :

(v′ 0 0)

cosωt sinωt 0

− sinωt cosωt 0

0 0 1

+ (v′t 0 0)

cosωt sinωt 0

− sinωt cosωt 0

0 0 1

0 ω 0

−ω 0 0

0 0 0

,

(v) = (v′ cosωt−ωv′t sinωt v′ sinωt+ωv′t cosωt 0)S .

Tento výsledek je v souhlasu s vyjád°ením rychlostí v(t) hmotného bodu vzhledem k vztaºnésoustav¥ S získaným v p°íkladu 1.13. Pro výpo£et zrychlení pot°ebujeme matice Ω2 a Ω.Dostaneme pro n¥

Ω2 =

−ω2 0 0

0 −ω2 0

0 0 0

, Ω =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

.

Pro zrychlení platí

(a) = 2(v′ 0 0)

cosωt sinωt 0

− sinωt cosωt 0

0 0 1

0 ω 0

−ω 0 0

0 0 0

+

+(v′t 0 0)

cosωt sinωt 0

− sinωt cosωt 0

0 0 1

−ω2 0 0

0 −ω2 0

0 0 0

=

(a) = (−2ωv′ sinωt−ω2v′t cosωt 2ωv′ cosωt−ω2v′t sinωt 0)S .

Výsledek op¥t souhlasí se záv¥rem p°íkladu 1.13. ♠

V p°íkladu 1.13 byl formulován problém nalezení trajektorie £ástice v soustav¥ S , bylo-liznámo zrychlení v soustav¥ S′ . Jednou z moºností, jak tento problém °e²it, je nalézt sloºkyrychlosti (v′) a polohového vektoru (x′) v soustav¥ S′ integrací známého zrychlení (a′) apoté pouºít transforma£ních vztah· (1.72). Tento postup byl zvolen p°i °e²ení p°íkladu 14. Jiný,ekvivalentní zp·sob vychází ze vztahu (1.73) pro sloºky zrychlení v soustav¥ S , v n¥mº je v²akt°eba °ádkové matice (v′) a (x′) vyjád°it uºitím transforma£ních vztah· pomocí (x) a (v) ,konkrétn¥ (x′)T = (x)−(X) , (v′)T = (v)−(V )−(x′)TΩ = (v)−(V )−((x)−(X))Ω . Získámetak soustavu diferenciálních rovnic druhého °ádu pro neznámé funkce x1(t) , x2(t) , x3(t) :

(a) = (a′)T + 2((v)− (V ))Ω + ((x)− (X))(Ω− Ω2) + (A) . (1.74)

P°íklad 1.16. Je²t¥ jednou k p°íkladu 1.13.

Odvodíme parametrické vyjád°ení trajektorie £ástice z p°íkladu 1.13 ve vztaºné soustav¥ Sp°ímo, na základ¥ rovnic (1.74): Ze zadání úkolu v p°íkladu 1.13 vyplývají tyto údaje: R(t) =

0 =⇒ V (t) = 0, A(t) = 0 ; ω(t) = (0, 0, ω)S =−−−→konst. =⇒ Ω = 0 (nulová matice); a′ = 0 .

Vztah (1.74) má pro tento p°ípad tvar:

(a) = 2(v)Ω − (x)Ω2 =⇒


=⇒ (x y z) = 2(x y z)

0 ω 0

−ω 0 0

0 0 0

− (x y z)

−ω2 0 0

0 −ω2 0

0 0 0

.

Získáváme soustavu rovnic

x+ 2ωy − ω2x = 0 , y − 2ωx− ω2y = 0 , z = 0 .

Po dopln¥ní této soustavy po£áte£ními podmínkami x(0) = 0 , x(0) = v′ , y(0) = 0 , y(0) =0 , z(0) = 0 , z(0) = 0 podle zadání p°íkladu 1.13 dostáváme její °e²ení:

r(t) = (v′t cosωt , v′t sinωt , 0)S .

♠

P°i praktických výpo£tech, zejména p°i °e²ení úloh z mechaniky v neinerciálních vztaºnýchsoustavách, je t°eba vyjád°it explicitn¥ sloºky zrychlení a′(t) vzhledem k soustav¥ S′ . ád-kovou matici (a′) m·ºeme získat vynásobením vztahu (1.73) maticí S zprava:

(a′) = (a)S − (A)S − 2(v′)TΩS − (x′)TΩ2S − (x′)T ΩS . (1.75)

Tento výsledek lze je²t¥ zjednodu²it uºitím vztah· pro matice T, S,Ω : Ozna£me jako Ω′

matici utvo°enou ze sloºek úhlové rychlosti ω vzhledem k soustav¥ S′ stejným zp·sobem,jakým byla denována matice Ω , tj. pro ω = (ω′

1, ω′2, ω

′3)S′ je

Ω′ =

0 ω′

3 −ω′2

−ω′3 0 ω′

1

ω′2 −ω′

1 0

.

Ze vztahu(

dei(t)dt

)S′

= −ω × ei(t) (soustava S rotuje v·£i soustav¥ S′ úhlovou rychlostí

−ω ) snadno odvodíme analogii vztahu (1.71):

S(t) = −S(t)Ω′(t) . (1.76)

Odtud transponováním T = Stransp = −(Ω′)transp Stransp = Ω′T , nebo´ matice Ω′ , stejn¥jako Ω , je antisymetrická. Uºitím vztah· (1.71) a (1.76) nakonec dostáváme

TΩS = T S = Ω′TS = Ω′ , TΩ2S = TΩS = Ω′TΩS = Ω′2 ,

Ω′ =d

dt(TΩS) = TΩS + T ΩS + TΩS = T ΩS +Ω′2 − TΩSΩ′ =⇒ T ΩS = Ω′ .

Dosazením za TΩS, TΩ2S a T ΩS do vztahu (1.75) pro (a′) pak dostaneme

(a′) = ((a)− (A))S − 2(v′)Ω′ − (x′)(Ω′2 + Ω′) . (1.77)

Poznámka: Tento výsledek m·ºeme získat také tak, ºe ve vztahu z (1.73) formáln¥ zam¥níme

(a) → (a′), (a′)T → (a)S , (A) → −(A)S , Ω → −Ω′ , (v)− (V ) → (v′) , (x)− (X) → (x′) .

1.4.5 Aplikace: Transla£ní pohyb vztaºných soustav, Ga-lileiova transformace

Omezení vzájemného pohybu vztaºných soustav na pohyb £ist¥ transla£ní p°ed-stavuje velice jednoduchou, av²ak z hlediska dal²ích úvah v oblasti newtonovskémechaniky významnou, situaci, jejíº studium p°ivedlo jiº v p°ednewtonovském


období Galilea Galileiho k pochopení klí£ové úlohy pojmu zrychlení v mechanicea k vyslovení my²lenky invariance zákon· mechaniky v·£i ur£itým typ·m p°e-chod· mezi vztaºnými soustavami. Transforma£ní vztahy pro polohový vektor,rychlost a zrychlení hmotného bodu, odpovídající této situaci, získáme okamºit¥z obecných vztah· (1.59), (1.64), (1.66 ) a (1.67), poloºíme-li v (1.64) a (1.67ω = 0 :

r(t)= r′(t)+R(t) , v(t)= v′(t)+V (t) , a(t)= a′(t)+A(t) . (1.78)

Pro ω(t) = 0 je vzájemné nato£ení sou°adnicových soustav spjatých s S aS ′ £asov¥ neprom¥nné a tedy fyzikáln¥ nepodstatné. Bez ztráty obecnosti úvahm·ºeme proto p°edpokládat, ºe dvojice sou°adnicových os xi, x′

i jsou trvalerovnob¥ºné. Pak z (1.78) plynou následující transforma£ní vztahy pro sloºkyvektor·:

xi = x′i +Xi , vi = v′i + Vi , ai = a′i +Ai , i ∈ 1, 2, 3 .

Velmi významným speciálním p°ípadem transla£ního pohybu soustavy S ′ vzhle-dem k S je pohyb rovnom¥rný p°ímo£arý. P°i n¥m je R(t) = R0 + V t , kdeR0 a V jsou konstantní vektory. Pak je V (t) = V , A(t) = 0 a vztahy (2.78)nabudou tvaru

r(t) = r′ + R0 + V t , v(t) = v′(t) + V , a(t) = a′(t) . (1.79)

D·leºitým poznatkem, patrným z t¥chto vztah·, je skute£nost, ºe zrychlení £ás-tice, jejíº pohyb je posuzován dv¥ma pozorovateli pohybujícími se navzájemrovnom¥rn¥ p°ímo£a°e, je vzhledem k ob¥ma stejné. P°i zápisu transforma£-ních vztah· (1.79) ve sloºkách bývá obvyklé uºití dal²ího fyzikáln¥ nepodstat-ného zjednodu²ení, jímº je splynutí sou°adnicových soustav < O; e1 , e2 , e3 >a < O′; e′1 , e

′2 , e

′3 > v po£áte£ním okamºiku t = 0 a volba spole£ného sm¥ru

sou°adnicových os x1 , x′1 podél fyzikáln¥ význa£ného sm¥ru, který je ur£en

rychlostí V .


=

x x2 2=

O O= x1 1x = x1

x1

r (t)

0t x2

x3 x3

x2

r )t(

Vt V

O O

0t=

x x3 3

Obr. 1.23: K ilustraci Galileiovy transformace

Pak je V = (V, 0, 0)S a vztahy (1.79) pro polohové vektory, dopln¥né transfor-ma£ní rovnicí t = t′ pro £asovou prom¥nnou, vedou k nejznám¥j²ímu tvaru tzv.Galileiovy transformace:

t = t′ , x1 = x′1 + V t′ , x2 = x′

2 , x3 = x′3 . (1.80)

P°íslu²né vztahy pro rychlosti pak dávají tzv. klasické pravidlo pro skládánírychlostí:

v1 = v′1 + V , v2 = v′2 , v3 = v′3 . (1.81)

1.4.6 Aplikace: Pohyb £ástice v laboratorní vztaºné sou-stav¥

V p°edchozích odstavcích jsme zavedli laboratorní vztaºnou soustavu pevn¥ spojenou s po-vrchem Zem¥. Tato soustava je neinerciální. Vzhledem k inerciální Galileiov¥ soustav¥, jejíºpo£átek je umíst¥n ve st°edu hmotnosti slune£ní soustavy a osy namí°eny ke stálicím, se spoluse Zemí pohybuje jednak po p°ibliºn¥ eliptické trajektorii kolem Slunce, jednak rotuje kolemzemské osy. Za dobu T = 24h 56min , která p°edstavuje periodu této rotace, urazí Zem¥ jenvelmi malý úsek své dráhy kolem Slunce, podél n¥jº se její rychlost m¥ní pouze zanedbateln¥.(Velikosti rychlosti v p°ísluní a odsluní se li²í asi o 3 procenta, zm¥na sm¥ru rychlosti za dobuT £iní asi 10.) Rotace Zem¥ kolem její osy je tedy zcela rozhodující p°í£inou neinerciálnostilaboratorní vztaºné soustavy.

Zvolme inerciální vztaºnou soustavu S podle Obr. 1.24 a jako S′ ozna£me laboratornísoustavu (viz také Obr. 1.8).


SZ

1

x2

x

x3

místní rovnobezka

místní poledník

Obr. 1.24: Laboratorní vztaºná soustava spjatá s geometricky význa£nými sm¥ryna povrchu Zem¥

Ozna£me O′(0) polohu po£átku soustavy S′ v £ase t = 0 , Φ nech´ je zem¥piská ²í°ka místa,v n¥mº je tato soustava umíst¥na. Polom¥r Zem¥ je R0 . Vektory e ′

1 , e′2 , e

′3 tvo°í pravoto£ivou

ortonormální bázi spjatou se sférickými sou°adnicemi v bod¥ O′ , jsou tedy te£né k p°íslu²nýmsou°adnicovým k°ivkám procházejícím bodem O′ poledníku, rovnob¥ºce a paprsku OO′ .Platí tedy (p°i ozna£ení ω = 2π/T )

e ′1(t) = (cosωt sinΦ , sinωt sinΦ , − cosΦ)S ,e 2′ (t) = (− sinωt , cosωt , 0)S ,e ′3(t) = (cosωt cosΦ , sinωt cosΦ , sinΦ)S ,

T (t) =

cosωt sinΦ sinωt sinΦ − cosΦ

− sinωt cosωt 0

cosωt cosΦ sinωt cosΦ sinΦ

, S(t) = T (t)transp , (1.82)

ω = (0, 0, ω)S = (−ω cosΦ , 0 , ω sinΦ)S′ ,

Ω =

0 ω 0

−ω 0 0

0 0 0

, Ω′ =

0 ω sinΦ 0

−ω sinΦ 0 −ω cosΦ

0 ω cosΦ 0

,

R(t) = (R0 cosωt cosΦ , R0 sinωt cosΦ , R0 sinΦ)S ,

V (t) = (−ωR0 sinωt cosΦ , ωR0 cosωt cosΦ , 0)S ,

A(t) = (−ω2R0 cosωt cosΦ , −ω2R0 sinωt cosΦ , 0)S .


Uºitím (1.77) a s uváºením skute£nosti, ºe (v′) = (x′) a (a′) = (x′) pak dostáváme proneznámou vektorovou funkci r′(t) = (x′1(t) , x

′2(t) , x

′3(t))S′ soustavu diferenciálních rovnic

x′1 − 2x′2ω sinΦ− x′1ω2 sin2 Φ− x′3ω

2 cosΦ sinΦ =

= (a1 cosωt+ a2 sinωt) sinΦ− a3 cosΦ + ω2R0 sinΦ cosΦ ,

x′2 + 2x′1ω sinΦ + 2x′3ω cosΦ− x′2ω2 = −a1 sinωt+ a2 cosωt , (1.83)

x′3 − 2x′2ω cosΦ− x′1ω2 cosΦ sinΦ− x′3ω

2 cos2 Φ =

= (a1 cosωt+ a2 sinωt) cosΦ + a3 sinΦ + ω2R0 cos2 Φ .

Zrychlení £ástice a(t) = (a1(t) , a2(t) , a3(t))S lze povaºovat bu¤ za známou vektorovoufunkci £asu, nebo je lze vyjád°it prost°ednictvím polohy a rychlosti £ástice v soustav¥ Sa uºitím transforma£ních vztah· p°evést do S′ . e²it problém nalezení trajektorie £ásticev soustav¥ S′ je obtíºné, £i dokonce nesch·dné, jiº pro tak jednoduchý systém, jakým jematematické kyvadlo. Tímto problémem se budeme zabývat pozd¥ji. Nyní si v²imneme pouzenejjednodu²²ích p°ípad·, jimiº jsou klid a volný pád.

P°íklad 1.17. Volný pád v laboratorní soustav¥.

Volným pádem jsme nazvali pohyb hmotného bodu voln¥ vypu²t¥ného v okamºiku t = 0z vý²ky h nad zemským povrchem za p°edpokladu, ºe odpor okolního vzduchu proti pohybuobjektu je zanedbatelný. Vzhledem k inerciální soustav¥ S se takový hmotný bod pohybujese zrychlením g0 , gravita£ním, které lze v blízkosti zemského povrchu a v rozmezí malýchvzdáleností od bodu O′ pokládat za konstantní vektor kolmý k povrchu Zem¥, tj.

g0 = (0, 0,−g0)S′ = (−g0 cosωt cosΦ , −g0 sinωt cosΦ , −g0 sinΦ)S .

Poznámka: Sm¥r gravita£ního zrychlení p°i povrchu Zem¥ se na vzdálenosti 5km, m¥°enépodél kterékoli z hlavních kruºnic na zemské sfé°e, nap°. poledník· £i rovníku, zm¥ní mén¥neº o 0, 050 . Velikost gravita£ního zrychlení klesne o 1 procento své hodnoty na vzdálenosti30km od povrchu Zem¥. Rovnice (1.83) mají tvar:

x′1 − 2x′2ω sinΦ− x′1ω2 sin2 Φ− x′3ω

2 cosΦ sinΦ = ω2R0 sinΦ cosΦ ,

x′2 + 2x′1ω sinΦ + 2x′3ω cosΦ− x′2ω2 = 0 ,

x′3 − 2x′2ω cosΦ− x′1ω2 cosΦ sinΦ− x′3ω

2 cos2 Φ = −g0 + ω2R0 cos2 Φ .

Interpretace jejich pravých stran je velmi názorná. Vektor

g = (ω2R0 sinΦ cosΦ , 0 , −g0 + ω2R0 cos2 Φ)S′

je totiº sou£tem gravita£ního zrychlení g0 a odst°edivého zrychlení aOD = −ω × (ω × R0)p°i povrchu Zem¥. Vektor g nazýváme obvykle tíhovým zrychlením a spojujeme s ním svislý

sm¥r p°i zemském povrchu. (Je t°eba si uv¥domit, ºe takto denovaný svislý sm¥r se m¥ní,vzdalujeme-li se od povrchu Zem¥.) ♠

Sou°adnicové osy laboratorní vztaºné soustavy jsme v p°edchozích odstavcích spojili s ge-ometricky význa£nými sm¥ry: poledníkem, rovnob¥ºkou a paprskem, procházejícími danýmmístem na povrchu Zem¥. Tato volba soustavy sou°adnic je jist¥ geometricky velmi názorná.Fyzikáln¥ p°irozen¥j²í je v²ak sepjetí sou°adnicových os s fyzikáln¥ význa£nými sm¥ry, v na²emp°ípad¥ práv¥ se svislým sm¥rem p°i zemském povrchu. Tato volba odpovídá oto£ení soustavysou°adnic o úhel δ , který svírají vektory g0 a g , kolem osy x′2 , popsanému maticí p°echodu

T ′ =

cos δ 0 sin δ0 1 0

− sin δ 0 cos δ


ze soustavy S′ =< O′; e′1, e′2, e

′3 > do soustavy S′′ =< O′′; e′′1 , e

′′2 , e

′′3 > , kde e′′1 = e′1 cos δ+

e′3 sin δ , e′′2 = e′2 , e

′′3 = −e′1 sin δ + e′3 cos δ . Matice p°echodu T ′′ ze soustavy S do S′′ je

dána sou£inem T ′′ = TT ′ =⇒ S′′ = S′S , kde matice T , S jsou dány vztahy (1.82). Názorn¥je z°ejmé, ºe rovnice (1.83) lze snadno p°evést do soustavy S′′ zám¥nou £árkovaných veli£inza dvou£árkované a nahrazením úhlu Φ sou£tem Φ+ δ . Dostáváme tak soustavu rovnic

x′′1 − 2x′′2ω sin (Φ + δ)− x′′1ω2 sin2 (Φ + δ)− x′′3ω

2 cos (Φ + δ) sin (Φ + δ) = 0 ,

x′2 + 2x′1ω sin (Φ + δ) + 2x′3ω cos (Φ + δ)− x′2ω2 cos2 (Φ + δ) = 0 ,

x′3 − 2x′2ω cos (Φ + δ)− x′1ω2 cos (Φ + δ) sin (Φ + δ)− x′3ω

2 = −g ,kde

g =| g0 + a0 |= g0

√1−

2ω2R0

g0cos2 Φ+

ω4R20

g20cos2 Φ ,

cos δ =gg0

gg0=

1− ω2R0g0

cos2 Φ√1− 2ω2R0

g0cos2 Φ+

ω4R20

g20cos2 Φ

.

Poznámka: Vzhledem k hodnotám ω = 2πT−1 , T = 8.616×104 s , R0 = 6.371×106 m , g0 =9.833ms−2 je p°ísp¥vek odst°edivého zrychlení k výslednému zrychlení tíhovému velmi malý.P°i náhrad¥ g ≈ g0 se dopustíme chyby asi 0.03 procenta. Také úhel δ je velmi malý. Odhadjeho nejvy²²í hodnoty £iní asi 0.10 .

P°i po£áte£ních podmínkách r′′ = (0, 0, h)S′′ , v′′ = (0, 0, 0)S′′ , odpovídajících volnému vy-pu²t¥ní t¥lesa z vý²ky h nad zemským povrchem, má soustava diferenciálních rovnic pro x′1,x′2 x

′3 následující °e²ení:

x′′1 (t) =

[1

2gt2 +

(h−

g

ω2

)(cosωt+ ωt sinωt− 1)

]sin (Φ + δ) cos (Φ + δ) ,

x′′2 =(h−

g

ω2

)(ωt cosωt− sinωt) cos (Φ + δ) ,

x′′3 = h−1

2gt2 sin2 (Φ + δ) +

(h−

g

ω2

)(cosωt+ ωt sinωt− 1) cos2 (Φ + δ) .

Správnost pom¥rn¥ komplikovaného výsledku m·ºeme ov¥°it nap°íklad pro limitní p°ípadω → 0 nebo pro volný pád na pólu, odpovídající hodnotám Φ = π/2 , δ = 0 , kdy o£ekávámezjednodu²ení na tvar obvyklý pro parametrické vyjád°ení trajektorie volného pádu v inerciálnívztaºné soustav¥, tj. r′′ = (0 , 0 , h − 1

2g0t2)S′′ . P°i dosazení Φ = π/2 , δ = 0 dostáváme

tento výsledek okamºit¥. Pro ω → 0 vyuºijeme l'Hospitalova pravidla p°i výpo£tu limit

L1 = limω→0

cosωt+ ωt sinωt− 1

ω2= limω→0

−t sinωt+ t sinωt+ ωt2 cosωt

2ω=

1

2t2 ,

L2 = limω→0

ωt cosωt− sinωt

ω2= limω→0

t cosωt− ωt2 sinωt− t cosωt

2ω= 0

a op¥t dosp¥jeme k zjednodu²enému výsledku pro volný pád.

Zajímavá situace nastává pro Φ = 0 . Pak je i δ = 0 a g = g0(1 − ω2R0g0

) (volný pád narovníku). Pak

x′′1 = 0 , x′′2 =(h−

g

ω2

)(ωt cosωt− sinωt) , x′′3 = h+

(h−

g

ω2

)(cosωt+ ωt sinωt− 1) .

Odhadneme nyní, jak se odchýlí místo dopadu p°edm¥tu od po£átku O′ , nebude-li p°edm¥tpadat z p°íli² velké vý²ky. Zvolme h = 500m . Doba volného pádu v inerciální vztaºné soustav¥by byla τ0 =

√2h/g0

.= 10 s . Vzhledem k tomu, ºe ω

.= 7.3× 10−5 s−1 , je ωτ0

.= 7× 10−4

a místo funkcí cosωt , sinωt lze uºít prvých £len· jejich Taylorova rozvoje: cosωt ≈ 1 −12ω2t2 , sinωt ≈ ωt− 1

6ω3t3 . Pak

x′′3 ≈ h−1

2gt2(1−

hω2

g

).

1.5. POPIS POHYBU RZNÝMI POZOROVATELI II 77

Ozna£íme-li τ dobu pádu, ur£enou podmínkou x′′3 = 0 , je

τ =

√2h

g

1√(1− hω2

g)≈

√2h

g= τ0 =⇒ x′′2 ≈

1

3gωτ3

(1−

hω2

g

)≈

1

3gωτ3

.= 0, 25m.

Vidíme, ºe p°i pádu i z nep°íli² velké vý²ky zp·sobí neinerciálnost vztaºné soustavy m¥°itelnou

odchylku od o£ekávaného místa dopadu. Je t°eba si v²ak uv¥domit, ºe p°edchozí výpo£et

byl provád¥n bez uváºení skute£nosti, ºe p°edm¥t padá v odporujícím prost°edí (vzduchu).

Skute£ná odchylka místa dopadu od o£ekávané polohy bude men²í.

1.5 Popis pohybu r·znými pozorovateli II

Na rozdíl od nerelativistické p°edstavy je relativistický p°ístup p°i popisu pohybu hmotných

bod· v r·zných vztaºných soustavách zaloºen na existenci tzv. mezní rychlosti, která nem·ºe

být v ºádné ze vztaºných soustav p°ekro£ena a p°edstavuje maximální rychlost ²í°ení interakce

mezi objekty. Existence mezní rychlosti má celou °adu zajímavých, av²ak z hlediska newto-

novské mechaniky paradoxních, d·sledk·. je základním axiomem speciální teorie relativity,

do jejíhoº rámce náleºí i relativistická mechanika. Experimenty ukázaly, ºe mezní rychlostí je

rychlost ²í°ení sv¥tla ve vakuu, c = 3.0× 108ms−1 .

1.5.1 Existence mezní rychlosti a relativnost sou£asnosti.Michelson·v Morley·v experiment

Jiº samotný p°edpoklad o existenci mezní rychlosti implicitn¥ obsahuje poºadavek její nezá-vislosti na volb¥ vztaºné soustavy. Rozdílnost mezní rychlosti nap°íklad v r·zných inerciálníchsoustavách by umoº¬ovala tyto soustavy navzájem odli²it, v rozporu s homogenitou a izot-ropností £asoprostoru, £i neexistencí absolutního prostoru a £asu. Experimentální podkladk vyslovení p°edpokladu existence mezní rychlosti a jejímu ztotoºn¥ní s rychlostí ²í°ení sv¥tlave vakuu poskytuje Michelson·v Morley·v pokus (1887), který reprodukovateln¥ prokázalnezávislost rychlosti sv¥tla na volb¥ vztaºné soustavy. (P·vodním cílem Michelsonova Mor-leyova experimentu bylo prokázat optickou metodou tzv. absolutní pohyb Zem¥, tj. její pohybv·£i absolutnímu prostoru, jehoº existence byla v té dob¥ p°edm¥tem polemik.)

Schéma pokusu, p°i n¥mº bylo vyuºito interference sv¥tla, ukazuje Obr. 1.25.

Obr. 1.25: Schéma Michelsonova Morleyova experimentu.

íselné údaje, doprovázející následující popis experimentu, odpovídají jeho historickému pro-

vedení.

Monochromatické sv¥tlo o vlnové délce λ = 550nm ze sodíkové výbojky S dopadá na polo-

propustnou desku P pod úhlem 450. Paprsek p1 pro²lý deskou postupuje k zrcadlu Z1 , od

n¥hoº se odráºí a po £áste£ném odrazu na desce P dopadá do detektoru D (uorescen£ní

stínítko). Paprsek p2 , který se od desky P odrazil, dopadá na zrcadlo Z2 , odráºí se a po £ás-

te£ném pr·chodu deskou P rovn¥º dopadá do detektoru. Délky ramen PZ1 , PZ2 jsou l1, l2 ,

p°i£emº l1.= l2

.= 11m . Vzhledem k tomu, ºe mezi ob¥ma paprsky vzniká ur£itý fázový rozdíl


∆φ , objeví se na stínítku interferen£ní jev (p°i konkrétním uspo°ádání p°ístroje, tzv. Michel-

sonova interferometru, jehoº detaily nejsou pro na²e úvahy podstatné, se jedná o interferen£ní

krouºky.) Interferometr je v klidu vzhledem k vztaºné soustav¥ S′ pevn¥ spojené se Zemí.

Tato soustava, jiº lze pro ú£ely interpretace experimentu povaºovat za inerciální, se pohybuje

rychlostí V vzhledem k preferované vztaºné soustav¥ S , spjaté s absolutním prostorem.

(Pr·m¥rná velikost rychlosti pohybu Zem¥ kolem Slunce je V = 29, 8× 103ms−1 .)

Následující p°edpov¥di chování interferen£ního jevu vycházejí z p°edpokladu platnosti Ga-

lileiovy transformace (2.80) a z ní plynoucího klasického pravidla pro skládání rychlostí (2.81).

Ozna£me c rychlost ²í°ení sv¥telné vlny ve vakuu vzhledem k preferované absolutní vztaºné

soustav¥ S . Tato hodnota musí být samoz°ejm¥ konstantou díky homogenit¥ absolutního

£asu a homogenit¥ a izotropnosti absolutního prostoru . Postup sv¥telného paprsku pak lze

popsat rychlostí v = cτ , kde τ je jednotkový vektor ve sm¥ru ²í°ení paprsku. Rychlost po-

stupu paprsku v interferometru, tj. ve vztaºné soustav¥ Sprime , je pak v′ = v− V = cτ− V .

Pon¥vadº jsou úseky SP a PD pro oba sledované paprsky p1 , p2 spole£né, vzniká fázový

rozdíl ∆φ , který vede ke vzniku interferen£ního jevu, na úsecích PZ1P a PZ2P mezi zr-

cadly a polopropustnou deskou, p°i£emº ∆φ = 2πf∆t , kde f = c/λ je frekvence sv¥tla a

∆t = t1 − t2 je rozdíl dob, b¥hem nichº projde paprsek p1 úsek PZ1P a paprsek p2 úsek

PZ2P . Rychlost paprsku p1 na úseku PZ1 je v′(PZ1) = cτ(PZ1) − V = (c − V, 0, 0)S′ ,

na úseku Z1P pak v′(Z1P ) = cτ(Z1P )− V = (−c− V, 0, 0)S′ Doba, za kterou paprsek p1

projde od desky P k zrcadlu Z1 a zp¥t, je tedy

t1 =l1

c− V+

l1

c+ V=

2l1

c

1

1− V 2

c2

.

Rychlost paprsku p2 na úseku PZ2 je v′(PZ2) = cτ(PZ2) − V = (0, v′(PZ2), 0)S′ (pa-

prsek p2 postupuje podél osy x2 ). Platí v′(PZ2) =| cτ(PZ2) − V |=√c2 − V 2 , nebo´

vecv′(PZ2) ⊥ V (viz Obr. 1.25). Na úseku Z2P platí obdobn¥ v′(Z2P ) = cτ(PZ2)− V =

(0, v′(Z2P ), 0)S′ , odkud op¥t v′(Z2P ) =√c2 − V 2 . Doba postupu paprsku p2 od desky P

k zrcadlu Z2 a zp¥t je

t2 =2l2√

c2 − V 2=

2l2

c

1√1− V 2

c2

.

Fázový rozdíl mezi paprsky pak £iní

∆φ = 2πf(t1 − t2) =2πf

c

l1 − l2

√1− V 2

c2

1− V 2

c2

=2π

λp2(l1 − l2p) ,

kde jsme vyuºili skute£nosti, ºe λ = cf−1 a ozna£ili p =√

1− V 2

c2. P°i provedení experimentu

s interferometrem oto£eným kolem osy x′ o 90o si ramena l1 a l2 vym¥ní místa (viz Obr.

1.25). P°íslu²ný fázový rozdíl paprsk· p′1, p′2 je

∆φ′ = 2πf(t′1 − t′2) =2πf

c

l2 − l1

√1− V 2

c2

1− V 2

c2

=2π

λp2(l2 − l1p) .

Odli²nost interferen£ních jev· v obou polohách interferometru pak charakterizuje rozdíl δ =12(| ∆φ − ∆φ′ | . V p°ípad¥ rovnosti délek ramen interferometru, l1 = l2 , je ∆φ = ∆φ′


a interferen£ní jevy by se nem¥ly li²it. Uv¥domme se v²ak, ºe pro V.= 30 kms−1 je p

.=

1− 5× 10−9 . Realizovat rovnost délek ramen s touto p°esností není sch·dné, takºe z hlediska

p°esnosti stanovené hodnotou p bude vºdy jedno z ramen del²í. P°edpokládejme nap°íklad

l1 > l2 . Pak ∆φ = 0 . Vzhledem k hodnot¥ veli£iny p a k p°esnosti, s níº jsou v reálné

experimentální situaci denovány délky l1 a l2 , je z°ejmé, ºe p°i l1 > l2 bude jist¥ spln¥na

i nerovnost l1p > l2 a tedy ∆φ′ < 0 . Pak pro δ dostáváme

δ =1

2(∆φ+∆φ′) =

2π(1− p)

λp2(l1 + l2) ≈ 0.4π .

Díky tomuto rozdílu vzniká p°i zám¥n¥ ramen interferometru m¥°itelný posuv interferen£-

ního jevu o n = δπ

≈ 0.4 interferen£ního krouºku. Takový posuv v²ak nebyl ani p°i pe£livých

opakovaných m¥°eních zaznamenán. Záv¥r, vyplývající z negativního výsledku Michelsonova

Morleyova experimentu je z°ejmý: Pro sv¥tlo neplatí klasické pravidlo skládání rychlostí. Rych-

lost jeho ²í°ení ve vakuu je ve vztaºné soustav¥ S′ spojené se Zemí stejná jako ve vztaºné

soustav¥ S spojené se Sluncem. Není d·vod k pochybnostem, ºe výsledek pokusu by byl

stejný pro jakoukoliv jinou dvojici inerciálních soustav. ádnou inerciální vztaºnou soustavu

tedy nelze povaºovat mezi ostatními za preferovanou a je nutné vzdát se pojmu absolutního

prostoru.Poznámka: Lze namítnout, ºe pro p°ípad, ºe rychlost ²í°ení sv¥tla v soustav¥ S′ bude

opravdu c , nem·ºe p°i stejné délce ramen interferometru interferen£ní jev v·bec vzniknout,nebo´ t1 = t2 a ∆φ = 0 . P°esné shody délek ramen v²ak nelze docílit. Jiº jejich rozdílv rozmezí jedné vlnové délky zp·sobí m¥°itelný interferen£ní jev.

Zobecn¥ní výsledku Michelsonova Morleyova experimentu vede k vyslovení klí£ového

axiomu speciální teorie relativity, principu stálé rychlosti sv¥tla.

Princip stálé rychlosti sv¥tla

Rychlost sv¥tla ve vakuu je stejná ve v²ech inerciálních vztaºných soustavách a p°edstavujemezní rychlost ²í°ení interakce mezi objekty. Rychlost sv¥tla je jednou z tzv. univerzálníchkonstant. Její hodnota je stanovena denitoricky, tedy p°esn¥, jako:

c = 2.997 924 58 /ms−1 .

Existencí mezní rychlosti je samoz°ejm¥ poru²en klí£ový poºadavek newtonovské mechaniky

absolutnost sou£asnosti. P°esv¥d£me se o tom jednoduchým my²lenkovým experimentem (viz

Obr. 1.26)

Obr. 1.26: K relativnosti sou£asnosti

Vztaºná soustava S′ se pohybuje vzhledem k soustav¥ S rychlostí V = (V, 0, 0)S . Odpovída-jící si sou°adnicové osy jsou trvale rovnob¥ºné, tj. x1 ∥ x′1 , x2 ∥ x′2 , x3 ∥ x′3 . P°edokládejme,ºe p°i míjení po£átk· sou°adnicových soustav byly údaje na hodinách v obou soustavách vy-nulovány. Se soustavou S′ je pevn¥ spojen p°ístroj, sestávající ze zdroje sv¥tla S , umíst¥ného


v bod¥ O′ , a dvou detektor· D1 a D2 , umíst¥ných na ose x′1 symetricky vzhledem ke zdroji,tj. rD1 = (−l, 0, 0)S′ , rD2 = (l, 0, 0)S′ . Ozna£me následující události:

U0 ... vyslání sv¥telného signálu v okamºiku míjení po£átk·,

U1 ... p°íjem signálu detektorem D1 ,U2 ... p°íjem signálu detektorem D2 .

Vzhledem k tomu, ºe v²echny tyto události nastanou v místech leºících na ose x1 resp. x′1 ,tj. xj,2 = x′j,2 = 0 , xj,3 = x′j,3 = 0 pro j ∈ 0, 1, 2 , lze kaºdou z nich charakterizovat pouzedvojicí £íselných údaj·:

U1 = (tj , xj,1)S , U ′j = (t′j , x

′j,1)S′ , j ∈ 0, 1, 2 .

Situaci charakterizuje následující tabulka:

Tabulka 6: K relativnosti sou£asnosti

U0 U1 U2

S (0 , 0) (t1, x1,1) (t2, x2,1) t1 < t2

S′ (0 , 0) (t′1, −l) (t′2, +l) t′1 = t′2

Sv¥telný signál vyslaný v okamºiku t0 = t′0 = 0 v bod¥ O′ = O se ²í°í vzhledem k soustav¥ S′

rychlostí c , takºe jeho registraci v detektorech D1 a D2 , stejn¥ vzdálených od zdroje, dojdesou£asn¥, tj. t′1 = t′2 = τ ′ . Rychlost ²í°ení signálu je ov²em rovna c i vzhledem k soustav¥ S .V·£i pozorovateli v S se v²ak detektor D1 p°ibliºuje k místu, z n¥hoº byl signál vyslán (bodO ), zatímco detektor D2 se od tohoto místa vzdaluje. K registraci signálu detektorem D2

tedy dojde pozd¥ji, tj. t1 < t2 . Události U1 a U2 , které jsou v soustav¥ S′ sou£asné, jsoutedy v soustav¥ S zaznamenány s jistým £asovým odstupem. Pojem sou£asnosti tak ztrácíabsolutní význam.

Galileiovu transformaci (2.80) je nutno nahradit obecn¥j²ími p°evodními vztahy pro popisudálostí v r·zných vztaºných soustavách, které p°ejdou na tvar (2.80) p°i limitním p°echoduV → 0 , tj. pro uná²ivé rychlosti velmi malé ve srovnání s rychlostí sv¥tla.

1.5.2 Interval mezi událostmi a jeho invariantnost jako d·-sledek vlastností £asoprostoru

V rámci newtonovské mechaniky jsou obecné vlastnosti £asoprostoru, tj. homogenita £asu a ho-mogenita a izotropnost prostoru, matematicky vyjád°eny vztahy (2.10): r2 − r1 == r′2 − r′1 , t2 − t1 = t′2 − t′1 (viz odst. 2.2.1). P°inejmen²ím druhý z nich, vyjad°ující ab-solutnost sou£asnosti událostí, v²ak za p°edpokladu existence mezní rychlosti není spln¥n. Lzetedy o£ekávat i poru²ení prvého, který je matematickým zápisem absolutnosti prostorovéodlehlosti dvou událostí. D·sledkem principu stálé rychlosti sv¥tla je skute£nost, ºe £asovoua prostorovou odlehlost událostí nelze odd¥lit: Nech´ U1 , U2 jsou dv¥ libovolné události,popsané v inerciálních vztaºných soustavách S a S′ soubory údaj·

U1 . . . U1 = (t1, x1, y1, z1)S , U′1 = (t′1, x

′1, y

′1, z

′1)S′ ,

U2 . . . U2 = (t2, x2, y2, z2)S , U′2 = (t′2, x

′2, y

′2, z

′2)S′ .

(Ozna£ení prostorových sou°adnic jsme zjednodu²ili zápisem x, y, z místo d°ív¥j²ího x1, x2, x3 .

Interval mezi událostmi


Výraz

s12 =√c2(t2 − t1)2 − [(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2], (1.84)

utvo°ený z £asoprostorových sou°adnic obou událostí, se nazývá £asoprostorový interval (zkrá-

cen¥ interval) mezi událostmi U1 , U2 , vyjád°ený vzhledem k soustav¥ S .

Analogickým zp·sobem vypo£teme interval mezi t¥mito událostmi vzhledem k soustav¥ S′ .

V n¥kterých konkrétních situacích je pojem intervalu velmi názorný:

P°íklad 1.20.Název p°íkladu

Zvolme konkrétní události U1 a U2 takto:

U1 , . . . vyslání sv¥telného signálu zdrojem, U2 , . . . registrace signálu detektorem.

Je z°ejmé, ºe interval mezi t¥mito událostmi je, díky principu stálé rychlosti sv¥tla, nulový ve

v²ech vztaºných soustavách. Za dobu t2−t2 urazí sv¥tlo práv¥ vzdálenost√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2

mezi zdrojem a detektorem, tj.

c(t2 − t1) =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2 ,

c(t′2 − t′1) =√

(x′2 − x′1)2 + (y′2 − y′1)

2 + (z′2 − z′1)2 ,

odkuds12 = s′12 .

Pro obecn¥ zvolenou dvojici událostí m·ºe, podle konkrétní situace, nastat kterýkoli z p°ípad·

s212 > 0 , s212 = 0 , s212 < 0 , interval samotný tedy m·ºe být reálný a nenulový, nulový, £i ryze

imaginární. ♠Výsledek p°íkladu 1.20 p°iná²í d·leºité zobecn¥ní: Je-li interval mezi dv¥ma událostmi

nulový v kterékoli inerciální vztaºné soustav¥, nabývá nulové hodnoty ve v²ech inerciálních

soustavách. (V takovém p°ípad¥ lze totiº uvedené události spojit sv¥telným signálem.)Zabývejme se nyní otázkou vztahu mezi intervalem s12 mezi událostmi U1 a U2 , zji²t¥-

ným pozorovatelem ve vztaºné soustav¥ S a intervalem mezi týmiº událostmi, vyjád°enýmpozorovatelem v soustav¥ S′ . K odvození transforma£ního vztahu vyuºijeme obecných vlast-ností £asoprostoru homogenity a izotropnosti. P°edpokládejme, ºe ob¥ vztaºné soustavyjsou inerciální a jejich vzájemný vztah je charakterizován veli£inami V , τ , R0 , kde V jerychlost soustavy S′ vzhledem k S a U0 = (τ , R0)S = (τ, x0, y0, z0)S jsou £asoprostorovésou°adnice události U0 , která je v soustav¥ S′ vyjád°ena £tve°icí údaj· U ′

0 = (0, 0, 0, 0)S′ .(R0 je tedy poloha po£átku O′ soustavy S′ vzhledem k soustav¥ S v okamºiku, kdy ho-diny v soustav¥ S′ jsou vynulovány a τ je odpovídající údaj na hodinách v soustav¥ S ).Ozna£me jako U1 , U2 události, které jsou ve vztaºné soustav¥ S innitezimáln¥ blízké, tj.U1 = (t, x, y, z)S , U2 = (t + dt, x + dx, y + dy, z + dz)S , kde dt, dx, dy, dz jsou malé ve-li£iny prvého °ádu. Je z°ejmé, ºe události budou innitezimáln¥ blízké i v soustav¥ S′ , tj.U ′1 = (t′, x′, y′, z′)S′ , U ′

2 = (t′ + dt′, x′ + dx′, y′ + dy′, z′ + dz′)S′ , kde dt′, dx′, dy′, dz′ jsourovn¥º malé veli£iny prvého °ádu. Intervaly ds a ds′ , utvo°ené z £asoprostorových sou°adnicv obou soustavách stejným zp·sobem, musí proto být veli£inami téhoº °ádu. Spolu s d·sled-kem p°íkladu 1.20 vede tato skute£nost k p°edpokladu lineární závislosti mezi intervaly:

ds = f(τ, R0, V )ds′ ,

kde faktor úm¥rnosti f souvisí se vzájemným pohybem vztaºných soustav. Vzhledem k ho-mogenit¥ £asoprostoru v²ak tento faktor nem·ºe záviset na veli£inách τ a R0 a izotropnostprostoru jej £iní nezávislým i na sm¥ru rychlosti V . Je tedy pouze f = f(V ) a

ds = f(V )ds′ ,


Sou£asn¥ v²ak platí ids′ = f(V )ds ,

nebo´ se soustava S pohybuje v·£i S′ rychlostí −V a f(| −V |) = f(V ) . Z posledních dvou

rovností získáváme f2(V ) = 1 a

ds2 = ds′2 (1.85)

a díky linearit¥ vztahu mezi ds a ds′ i analogickou rovnost pro interval mezi dv¥ma libovol-

nými událostmi:

s212 = s′212 . (1.86)

Poslední rovnost je vyjád°ením invariantnosti intervalu a lze ji povaºovat za matematickouformulaci principu stálé rychlosti sv¥tla a bezprost°ední východisko pro odvození transforma£-ních vztah· mezi soubory £asoprostorových sou°adnic popisujících danou událost v r·znýchvztaºných soustavách.

P°íklad 21. Vztaºná soustava S′ se vzhledem k inerciální vztaºné soustav¥ calS po-hybuje transla£ním pohybem stálou rychlostí V . Dv¥ události U1 , U2 nastaly v po£átkusou°adnicové soustavy spojené s S′ v okamºicích t′ a t′ + dt′ . Je tedy

U1 . . . U1 = (t, x, y, z)S , U ′1 = (t′, 0, 0, 0)S′ ,

U2 . . . U2 = (t+ dt, x+ dx, y + dy, z + dz)S , U ′2 = (t′ + dt′, 0, 0, 0)S′ .

Platí ds′12 = cdt′ , ds12 =√c2dt2 − (dx2 + dy2 + dz2) = dt

√c2 − V 2 , nebo´ vektory R =

(x, y, z)S a R + dR = (x + dx, y + dy, z + dz)S p°edstavují polohu po£átku O′ vzhledem

k soustav¥ S v okamºicích t a t+dt m¥°ených samoz°ejm¥ na hodinách pevných v soustav¥

S , tj. V = (dxdt, dydt, dzdt

)S . Z poºadavku invariantnosti intervalu ds′12 = ds12 pak dostáváme

dt′ = dt

√(1−

V 2

c2

)(1.87)

a po integraci

∆t =∆t′√1− V 2

c2

. (1.88)

Rovnice (2.89) udává vztah pro £asový odstup nam¥°ený v soustav¥ S mezi dv¥ma událostmi,

které se odehrály v po£átku soustavy S′ s £asovým odstupem ∆t′ . (Vzhledem k soustav¥ Sdo²lo k událostem obecn¥ v r·zných místech.) Skute£nost, ºe ∆t > ∆t′ nazýváme dilatací

£asu.

Vztah (2.88) lze dokonce zobecnit i na p°ípady, kdy rychlost V není konstantní. P°ed-

pokládejme, ºe t′ p°edstavuje £as m¥°ený na hodinách H′ , které se vzhledem k inerci-

ální vztaºné soustav¥ S pohybují rychlostí V = V (t) , kde t je £as m¥°ený v S . Hodiny

H′ se vzhledem k soustav¥ S pohybují po trajektorii C , zadané parametricky vztahem

R = R(t) , t ∈ [t0, t0 + ∆t] . Je z°ejmé, ºe mezi v²emi inerciálními vztaºnými soustavami

existuje taková, jejíº po£átek splývá v okamºiku t ∈ [t0, t0 +∆t] s polohou hodin H′ a jejíº

rychlost je shodná s okamºitou rychlostí hodin v tomto okamºiku. Uvaºme v²echny inerciální

vztaºné soustavy rozloºené tímto zp·sobem podél trajektorie C hodin H′ . Pro kaºdou

z nich platí vztah (2.88), v n¥mº ov²em V = V (t) . Rozdíl £asových údaj· nam¥°ených hodi-

nami H′ samotnými v koncovém a po£áte£ním bod¥ jejich trajektorie získáme integrací:


∆t′ =

t0+∆t∫t0

√1−

V 2(t)

c2dt . (1.89)

Hodiny H′ spojené s ur£itým objektem ukazují tzv. vlastní £as tohoto objektu.

1.5.3 Nerovnosti pro intervaly a jejich interpretace, sv¥-telný kuºel

Relativnost sou£asnosti, jako d·sledek existence mezní rychlosti, vede k formulaci dal²ích

otázek souvisejících s problematikou £asového sledu událostí v r·zných vztaºných soustavách:

Je moºné, aby dv¥ události U1 a U2 , které ve vztaºné soustav¥ S nastaly s ur£itým £asovým

odstupem, byly v n¥které vztaºné soustav¥ S′ sou£asné? Za jakých podmínek? M·ºe událost

U1 v jedné vztaºné soustav¥ události U2 p°edcházet a v jiné ji následovat? Odpov¥di na

tyto a dal²í podobné otázky úzce souvisejí se znaménkem £tverce intervalu mezi uvaºovanými

událostmi.

Zvolme inerciální vztaºné soustavy S a S′ stejn¥ jako p°i výkladu my²lenkového pokusu

v odst. 2.5.1, tj. s trvale rovnob¥ºnými sou°adnicovými osami a po£átky O , O′ splývajícími

v okamºiku synchronizace hodin v obou soustavách, t = t′ = 0 . Spole£ný sm¥r os x , x′ je

zvolen rovnob¥ºn¥ s rychlostí V , jíº se soustava S′ pohybuje vzhledem k S , V = (V, 0, 0)S .

(Tuto volbu vztaºných soustav zachováme i v dal²ích £ástech odst. 2.5.)Uvaºujme o událostech U0 , U , které ve vztaºné soustav¥ S′ nastaly sou£asn¥: U ′

0 == (t′0, x

′0, y

′0, z

′0)S′ , U ′ = (t′0, x, y, z)S . Pro interval mezi nimi platí

s′2 = −(x′ − x′0)2 − (y′ − y′0)

2 − (z′ − z′0)2 < 0 .

Díky invariantnosti intervalu bude ov²em jeho kvadrát záporný v kaºdé vztaºné soustav¥.Ozna£íme-li U0 = (t0, x0, y0, z0)S , U = (t, x, y, z)S , je

s2 = c2(t− t0)2 − (x− x0)

2 − (y − y0)2 − (z − z0)

2 < 0 . (1.90)

Nerovností (2.90) je v soustav¥ S vymezena oblast £asoprostoru, v níº mohou leºet události,

které ve vhodn¥ vybrané vztaºné soustav¥ S′ nastanou sou£asn¥ s pevn¥ zvolenou událostí

U0 . . . U ′0 = (t′0, x

′0, y

′0, z

′0)S′ . Hranicí této oblasti je tzv sv¥telný kuºel, spjatý s událostí U0 ,

ur£ený rovnicí

(x− x0)2 + (y − y0)

2 + (z − z0)2 = c2(t− t0)

2 . (1.91)

Situace je velmi názorná pro události odehrávající se na ose x , tj. pro y = y′ = 0 , z =

z′ = 0 , y0 = y′0 = 0 , z0 = z′0 = 0 , p°ípadn¥ v rovinách xOy a x′O′y′ , resp. xOz a

x′O′z′ . V prvém z obou speciálních p°ípad· je totiº vztah (2.91) rovnicí dvojice r·znob¥ºek

c(t − t0) = ±(x − x0) , v druhém z nich p°edstavuje rovnici kuºelové plochy c(t − t0) =

±√

(x− x0)2 + (y − y0)2 resp. c(t− t0) = ±√

(x− x0)2 + (z − z0)2 (viz Obr. 1.27).

Obr. 1.27: Sv¥telný kuºel události U.

Nerovnost (2.90) je spln¥na pro události leºící vn¥ sv¥telného kuºele, jehoº vnit°ek je v obrázku

vyzna£en te£kováním. Ke kaºdé události U , pro niº je s2 < 0 , tj. která leºí vn¥ sv¥telného


kuºele spjatého s událostí U0 , existuje vztaºná soustava S′ , v níº jsou události U a U0

sou£asné. Naopak, pro události uvnit° sv¥telného kuºele události U0 , kde S2 > 0 , takovou

vztaºnou soustavu najít nelze. Kaºdá z takových událostí nastane ve v²ech vztaºných sou-

stavách bu¤ d°íve neº U0 (pro t < t0), nebo pozd¥ji (pro t > t0). Oblast £asoprostoru, pro

niº

c(t− t0) < −√

(x− x)02 + (y − y0)2 + (z − z0)2 , (1.92)

p°edstavuje absolutní minulost události U0 , oblast ur£ené nerovností

c(t− t0) > +√

(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 , (1.93)

její absolutní budoucnost. O intervalu, jehoº £tverec je kladný, hovo°íme jako o £asupodobném.Naopak, kaºdá z událostí U , pro niº je

−√

(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2 < c(t−t0) <√

(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2, (1.94)

mohou sice ve vhodn¥ zvolené vztaºné soustav¥ S′ nastat sou£asn¥ s událostí U0 , budou

v²ak od ní vºdy odd¥leny prostorov¥ (nemohou s ní nastat v ºádné vztaºné soustav¥ v tomtéº

míst¥). Oblast £asoprostoru vymezená nerovností (2.94) p°edstavuje absolutní prostorovou

odlehlost od události U0 . Interval, jehoº £tverec je záporný, se nazývá prostorupodobný.

P°edchozí diskuse vede mj. k záv¥ru, ºe mezi dv¥ma událostmi U0 a U , jejichº spojnice

v £asoprostoru leºí uvnit° sv¥telného kuºele, v principu nem·ºe existovat p°í£inná souvislost.

Jejich prostorová odlehlost je totiº vºdy v¥t²í neº vzdálenost, kterou urazí sv¥tlo, nejrychlej²í

nositel informace, za dobu t− t0 (viz události U0 , U1 ) v Obr. 1.27.

Otázky formulované v úvodu odstavce jsou dosavadními úvahami zodpov¥zeny jen £ás-

te£n¥. Zatím je z°ejmá pouze skuute£nost, ºe události, které nemohou nastat sou£asn¥ s udá-

lostí U0 v ºádné vztaºné soustav¥, leºí v kaºdé vztaºné soustav¥ uvnit° sv¥telného kuºele

události U0 , zatímco události, které by v n¥kterých vztaºných soustavách mohly p°edcházet

události U0 a v jiných ji následovat, vypl¬ují jeho vn¥j²ek. Denitivní vy°e²ení tohoto pro-

blému umoºní aº transforma£ní vztahy mezi £asoprostorovými údaji reprezentující události v

r·zných vztaºných soustavách.

1.5.4 Lorentzova transformaceVýchodiskem pro záskání transforma£ních vztah· mezi £tve°icemi £asoprostorových sou°asnicU = (t, x, z, y)S a U ′ = (t′, x′, y′, z′)S′ události U je op¥t invariantnost intervalu. Pon¥vadºje £tverec intervalu v kaºdé vztaºné soustav¥ kvadratickou formou v prom¥nných t− t0 , x−x0 , y−y0 , z−z0 , musí být transforma£ní vztahy mezi prom¥nnými lineární. Vzhledem k vý-b¥ru soustav S , S′ (viz odst. 2.5.3) lze volit U0 . . . U0 == (0, 0, 0, 0)S , U

′0 = (0, 0, 0, 0)S′ a platí y − y′, z = z′ . Ozna£me

(u) = (ct x) , (u′) = (ct′ x′) .

Lineární transforma£ní vztah mezi dvojicemi (ct, x)S a (ct′, x′)S′ pak lze vyjád°it maticovým

zápisem

(u) = (u′)P , P =

τ11 τ12

τ21 τ22

, (1.95)


kde P je matice p°echodu. Rovn¥º kvadrát intervalu mezi událostmi U a U0 lze vyjád°it

pomocí maticového násobení:

s2 = c2t2 − x2 = (ct x)

1 0

0 −1

ct

x

= (u)G(u)T , (1.96)

kde horní index T zna£í tramnspozici. Zcela analogické je vyjád°ení £tverce intervalu v sou-stav¥ S′ . Z rovnosti s2 = s′2 a ze vztahu (2.95) plyne:

(u′)G(u′)T = (u)G(u)T = (u′)PGPT (u′)T ,

odkudPGPT = G ⇒ GPT = P−1G .

Z poslední rovnosti je z°ejmé, ºe det P = ±1 . Na²í volb¥ soustav S , S′ odpovídá kladná z

obou hodnot, a tedy

P−1 =

τ22 −τ12

−τ21 τ11

, GPT =

τ11 τ21

−τ12 −τ22

, P−1G =

τ22 τ12

−τ21 −τ11

.

Porovnáním matic GPT a P−1G dostáváme

P =

τ11 τ12

τ12 τ11

, det P = τ211 − τ212 = 1 . (1.97)

Je z°ejmé, ºe prvky matice P budou záviset na rychlosti V . Poloha po£átku O′ soustavy

S′ je v okamºiku t ur£ena sou°adnicí x = V t . Událost U , popsaná v S′ £asoprostorovými

sou°adnicemi U ′ = (t′, 0, 0, 0)S′ , m? v S sou°adnice U = (t, V t, 0, 0)S . Dosazením do vztahu

(2.95) a vyuºitím (2.97) dostáváme

(ct V t) = (ct′ 0)

τ11 τ12

τ12 τ11

,

a kone£n¥

P =

1√

1−V 2

c2

V

c

√1−V 2

c2

V

c

√1−V 2

c2

1√1−V 2

c2

. (1.98)

Z (2.95) pak získáváme transforma£ní vztahy pro dvojice údaj· (ct, x)S a (ct′, x′)S′ . Dopl-

n¥ním o rovnosti z = y′ a z = z′ dostaneme tzv. Lorentzovu transformaci:

t =t′ + V

c2x′√

1− v2

c2

, x =V t′ + x′√1− v2

c2

, y = y′ , z = z′ . (1.99)

Limitní p°echod Vc

→ 0 ve vztahu (2.99) pak podle o£ekávání vede k transformaci Galileiov¥.

Maticový zápis tranforma£ních rovnic (2.99) (U) = (U ′)T m? tvar:


(t x y z) = (t′ x′ y′ z′)

1√1−V 2

c2

V√1−V 2

c2

0 0

V

c2√

1−V 2

c2

1√1−V 2

c2

0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

. (1.100)

P°íklad 22. P°edpokládejme, ºe událost U0 je ve vztaºné soustav¥ S′ zadána £aso-

prostorovými sou°adnicemi U ′0 = (t′0, x, 0, 0)S′ . Uºitím Lorentzovy transformace popí²eme v

soustav¥ S v²echny události, které jsou v S′ s událostí U0 sou£asné,tj. U ′ = (t′0, x′, 0, 0)S′ ,

kde x′ je libovolné. Podle (2.99) platí pro takové události U(t, x, 0, 0)S vztahy

t =t′0 + V

c2x′0√

1− v2

c2

, x =V t′0 + x′√1− v2

c2

.

Odtud vylou£ením prom¥nné x′ získáme rovnici

t =V

c2x+ t′0

√1−

V 2

c2⇒ t− t0 =

V

c2(x− x0) .

p°edstavující v rovin¥ tOx p°ímku (viz Obr. 1.28).

Obr. 1.28: K p°íkladu 1.xx.

Události sou£asné s U0 v soustav¥ S′ vypl¬ují v S′ p°ímku rovnob¥nou s osou x′ , zatímco

v S leºí na p°ímce o sm¥rnici V/c2 . Analogicky m·ºeme uvaºovat o událostech soumístných,

tj. t¥ch, které nap°íklad v S′ nastaly v bod¥ x′0 v r·zných okamºicích. Platí pro n¥ U ′ =

(t′, x′0, 0, 0)S′ ,

t =t′ + V

c2x′0√

1− v2

c2

, x =V t′ + x′0√1− v2

c2

.

t =x

V−x′0V

√1−

V 2

c2⇒ t− t0 =

x− x0

V.

Situace je rovn¥º znázorn¥na na Obr. 1.28.

Te£kováním v levé £ásti Obr. 1.28 vyzna£ena polorovina (T ′, x′) | t′ < t′0 , odpovída-jící událostem, které v soustav¥ S′ p°edcházely události U0 . Body reprezentující tyto události

v soustav¥ S vyplní rovn¥º polorovinu, omezenou v²ak jiº nikoli p°ímkou rovnob¥ºnou s osou

x , nýbrº p°ímkou o sm¥rnici v/c2 . Události leºící ve vy²rafované £ásti A této poloroviny v


soustav¥ S následovaly aº po události U0 , nebo´ pro n¥ platí t > t0 . V soustav¥ S′ jim

odpovídá op¥t vy²rafovaná £ást A′ poloroviny (t′, x′) | t′ < t0 .

A = (t, x) ∈ R×R | t0 < t < t0 +V

c2(x−x0) , A′ = (t′, x′) ∈ R×R | t′0 −

V

c2< t′ < t′0 .

1.5.5 Aplikace: kontrakce délek a dilatace £asu

Pojmy kontrakce délek a dilatace £asu jsou úzce spojeny s m¥°ením £asové a prostorové odleh-

losti událostí. S dilatací £asu jsme se setkali jiº v p°íkladu 21. Podle vztahu (2.88), odvozeného

v tomto p°íkladu, je £asový odstup ∆t = t2 − t1 mezi zapo£etím a skon£ením ur£itého d¥je

v obecn¥ zvolené inerciální vztaºné soustav¥ v¥t²í neº doba trvání tohoto d¥je ∆t′ = t′2 − t′1ve vztaºné soustav¥ S′ , v níº se d¥j odehrává na jednom míst¥, konkrétn¥

∆t =∆t′√1− V 2

c2

.

Tento výsledek, který jsme v p°íkladu 21 odvodili p°ímou aplikací invariantnosti intervalu,

lze samoz°ejm¥ získat i pouºitím Lorentzovy transformace, která z invariantnosti intervalu

vyplývá:

Nech´ U1 , U2 jsou události denované údaji U1 = (t1, x1, 0, 0)S , U′1 = (t′1, x

′1, 0, 0)S′ , U2 =

(t2, x2, 0, 0)S , u′2 = (t′2, x

′1, 0, 0)S′ , v soustav¥ S′ jsou tedy soumístné. Pak

∆t = t2 − t1 =t′2 + V

c2x′1√

1− V 2

c2

−t′1 + V

c2x′1√

1− V 2

c2

=t′2 − t′1√1− V 2

c2

=∆t′√1− V 2

c2

.

Poznámka: Nech´ t′2 > t′1 . V soustav¥ S se události odehrály ve vzdálenosti

∆x = x2 − x1 =V t′2 − x′1√1− V 2

c2

−V t′1 − x′1√1− V 2

c2

=V∆t′√1− V 2

c2

= V∆t .

Tento výsledek je v souhlasu s názornou p°edstavou.

Uvaºujme nyní naopak o událostech U1 , U2 , které se v soustav¥ S odehrály na r·znýchmístech, av²ak sou£asn¥ (nap°íklad sou£asné m¥°ení polohy konc· tuhé ty£e, slouºící k ur£eníjejí délky). Nech´ je pro jednoduchost

U1 = (t1, x1, 0, 0)S , U′1 = (t′1, x

′1, 0, 0)S′ , U2 = (t1, x2, 0, 0)S , U

′2(t

′2, x

′2, 0, 0)S′

. Toto zadání odpovídá situaci, kdy v soustav¥ S je provád¥no m¥°ení délky ty£e, která je

pevn¥ spojena se soustavou S′ , oba její konce se tedy v·£i S pohybují rychlostí V . Délka

ty£e je pak ∆x = x2 − x1 .

∆x = x2 − x1 =V t′2 − x′2√1− V 2

c2

−V t′1 − x′1√1− V 2

c2

=x′2 − x′1√1− V 2

c2

+V (t′2 − t′1)√

1− V 2

c2

=

∆x′√1− V 2

c2

+V√

1− V 2

c2

Vc2x2 − V t1√1− V 2

c2

−Vc2x2 − V t1√1− V 2

c2

=∆x′√1− V 2

c2

+V 2

c2∆x

1− V 2

c2

.


Odtud:

∆x = ∆x′

√1−

V 2

c2. (1.101)

Je vid¥t, ºe délka ∆x pohyblivé ty£e, m¥°ená v soustav¥ S , je krat²í, neº její vlastní délka∆x′ , m¥°ená v soustav¥ S , v níº je ty£ v klidu. Uvedený jev je znám pod názvem kontrakce

délek.

Poznámka: Ur£íme je²t¥ £asový interval ∆t′ = t′2 − t′1 , udávající v soustav¥ S £asovou

odlehlost m¥°ení poloh konc· ty£e, provedených pozorovatelem v soustav¥ S sou£asn¥, v

okamºiku t1 :

∆t′ = t′2 − t′1 =

Vc2x2 − t1√1− V 2

c2

−Vc2x1 − t1√1− V 2

c2

=V

c2∆x√1− V 2

c2

=V

c2∆x′

Rovn¥º tento výsledek je pom¥rn¥ názorný:Pozorovatel v soustav¥ S′ nem·ºe dostat infor-

maci o m¥°ení polohy konc· ty£e pozorovatelem v soustav¥ S rychleji neº prost°ednictvím

sv¥telného signálu. Signály vyslané sou£asn¥ pozorovatelem v soustav¥ S v okamºiku m¥°ení

poloh obou konc· ty£e jsou p°i p°íjmu v soustav¥ S′ £asov¥ posunuty tak, ºe p°íjem signálu

na vzdálen¥j²ím konci ty£e je proti o£ekávanému opoºd¥ní o dobu ∆τ ′ = ∆x′

c, zp·sobenému

omezenou rychlostí ²í°ení sv¥teln¥ho signálu, opoºd¥n je²t¥ o dobu ∆t′ = V∆τ ′

c= V

c2∆x′ ,

související s pohybem ty£e.

1.5.6 Aplikace: pravidlo pro skládání rychlostí

Vztahy mezi rychlostmi £ástice v = (dxdt, dydt, dzdt

)S a v′ = (dx′

dt′ ,dy′

dt′ ,dz′

dt′ )S′ ve vztaºných

soustavách S a S′ získáme z transforma£ního vztahu (2.100) derivací podle prom¥nné t :(1

dx

dt

dy

dt

dz

dt

)=

dt′

dt

(1

dx′

dt

dy′

dt

dz′

dt

)T ,

tj.

(1 vx vy vz) =dt′

dt(1 v′x v′y v′z)

1√1−V 2

c2

V√1−V 2

c2

0 0

V

c2√

1−V 2

c2

1√1−V 2

c2

0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

.

Odtud jiº dostáváme

dt′

dt=

√1− V 2

c2

1 +v′xVc2


a

(1 vx vy vz) =1

1 +v′xVc2

(1 v′x v′y v′z)

1√1−V 2

c2

V√1−V 2

c2

0 0

V

c2√

1−V 2

c2

1√1−V 2

c2

0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

.

(1.102)

Rozepsáním do sloºek získáme standardní zp·sob zápisu transforma£ních vztah· pro sloºky

rychlosti, p°edstavující tzv. pravidlo pro skládání rychlostí:

vx =v′x + V

1 +v′xVc2

, vy =v′y

√V 2

c2

1 +v′xVc2

, vz =v′z

√1− V 2

c2

1 +v′xVc2

. (1.103)

Jeho limitním p°ípadem pro V/c → 0 je klasické Galileiovo pravidlo (2.81). Pro V → c jevx → 0 , vy → 0 , vz → c , coº odpovídá rychlosti sv¥tla jakoºto rychlosti mezní.

P°íklad 23. Uvaºujme o £ástici pohybující se stálou rychlostí v resp. v′ vzhledem k

vztaºné soustav¥ S resp. S′ . Pro zjednodu²ení p°edpokládejme, ºe spole£ná sou°adnicová

rovina xOy , x′Oy′ obou soustav je zvolena tak, ºe vz = v′z = 0 . Pak lze ozna£it v =

(v cosΘ, v sinΘ, 0)S a v′ = (v′ cosΘ′, v′ sinΘ′, 0)S′ , kde Θ resp. Θ′ je úhel mezi vektorem v

a osou x , resp. vektorem v′ a osou x′ . £ástice je v soustav¥ S registrována detektorem, jehoº

osa svírá se sou°adnicocou osou x′ pot°ebný úhel Θ′ . Najdeme vztah mezi p°ijímacím úhlem

Θ′ a ?hlem Θ m¥°ením v soustav¥ S . Uºitím transforma£ních vztah· (2.103) dostáváme pro

vx = 0

tgΘ =vy

vx=

v′y

√1− V 2

c2

v′x + V=

v′ sinΘ′√

1− V 2

c2

v′ cosΘ′ + V.

Speciálním p°ípadem této situace je ²í°ení sv¥telného signálu, kdy v = v′ = c . Výsledek

tgΘ = tgΘ′

√1− V 2

c2

1 + Vc cosΘ′

lze interpretovat takto: Sv¥tlo p°icházející na Zemi ze vzdálené stálice je pozemským detekto-

rem p°ijímáno pod úhlem Θ′ (úhel mezi osou detektoru a sm¥rem pohybu Zem¥ vzhledem ke

stálici). V uvedeném sm¥ru tedy pozorovatel nebo detektor vidí sledovanou stálici. Vzhle-

dem k pozorovateli v soustav¥ S v²ak sv¥telný paprsek svírá se sm¥rem pohybu Zem¥ úhel Θ ,

ur£ený posledním vztahem. Uvedený jev se nazývá aberace sv¥tla. Pro V/c≪ 1 (p°i pohybu

Zem¥ vzhledem ke Slunci je tento pom¥r °ádov¥ 10−4) dostáváme p°ibliºn¥ vztah

tgΘ′ ≈ tgΘ

(1 +

V

c cosΘ′

),

a pro tzv. abera£ní úhel pak


∆Θ = Θ′ −Θ ≈ sin (Θ′ −Θ) = (tanΘ′ − tanΘ) cosΘ cosΘ′ ≈V

csinΘ ≈

V

csinΘ′ .

1.5.7 Aplikace: paradox dvoj£at

Známý paradox dvoj£at bývá obvykle formulován takto: Pozorovatelé A a B jsou dvoj£ata. A

cestuje ke vzdálené planet¥ v raket¥ letící (po odstartování a urychlení) stálou rychlostí V ,

zatímco B z·stává na Zemi. A dorazí k planet¥ a okamºit¥ odstartuje zp¥t k Zemi, p°i£emº se

pohybuje stejn¥ velkou rychlostí jako p°i p°íletu. Po p°istání na Zemi se ukáºe, ºe zatímco v

soustav¥ spojené se Zemí uplynula doba ∆τB , zm¥nil se údaj na hodinách v raket¥ o ∆τB .

P°itom podle vztahu (2.88), vyjad°ujícího dilataci £asu, je

∆τB =∆τA√1− V 2

c2

.

Dvoj£e na Zemi tedy zestárlo více, neº jeho bratr v raket¥. Paradoxní se jeví skute£nost, ºe

úvahu lze obrátit: Z hlediska pozorovatele A v raket¥ naopak cestuje jeho bratr B spole£n¥

se Zemí rychlostí −V , takºe

∆τA =∆τB√1− V 2

c2

.

Jako v²echny úvahy vedoucí k paradox·m je i tato chybná. Vychází totiº z p°edstavy dvou

inerciálních vztaºných soustav S a Sprime spojených se Zemí a s raketou. V takové situaci

by ov²em pozorovatelé A a B nikdy nem¥li moºnost porovnávat údaje na svých hodinách,

nebo´ by se neustále vzdalovali. Protoºe se v²ak pozorovatel A vrací na Zemi, jsou ve h°e t°i

vztaºné soustavy: Soustava S , spojená se Zemí, soustava S′ , spojená se vzdalující se raketou

a soustava S′′ , spojená s p°ibliºující se raketou p°i jejím návratu. Postavení pozorovatel·

A a B tak není symetrické, nebo´ B setrvává stále v téºe vztaºné soustav¥ S , zatímco A

je nejprve spojen se soustavou S′ a poté se soustavou S′′ . V dal²ích úvahách zanedbáme

skute£nost, ºe b¥hem start· a p°istání se pozorovatel B nachází ve skute£nosti v neinerciální

vztaºné soustav¥. Tato aproximace odpovídá zanedbateln¥ krátkému trvání start· a p°istání.

Ozna£me následující události:

U1 . . . start rakety,

U2 . . . p°istání rakety na planet¥ a její start zp¥t k Zemi,

U3 . . . p°istání rakety na Zemi.

Jednotlivé události je t°eba vyjád°it ve vztaºných soustavách S , S′ , S′′ . P°edpokládejme,

ºe odpovídající si sou°adnicové osy v²ech soustav jsou souhlasn¥ rovnob¥ºné s rychlostí V a

v okamºiku startu rakety ze Zem¥, kdy splývají po£átky O a O′ soustav S a S′ , dojde k

vynulování hodin v t¥chto soustavách, tj. t = t′ = 0 . Nech´ dále po£átky O′ , O′′ soustav

S′ , S′′ splývají v okamºiku obrátky rakety na planet¥, p°i£emº hodiny v soustav¥ S′′ jsou

p°i obrátce na°ízeny tak, aby ukazovaly týº údaj, jaký je práv¥ na hodinách soustavy S′ .

Vzhledem k tomu, ºe yová a zová sou°adnice událostí U1 , U2 , U3 jsou ve v²ech soustavách


nulové, zjednodu²íme popis událostí pouze na dva údaje £as a xovou sou°adnici:

U1 = (0 , 0)S , U ′1 = (0 , 0)S′ ,

U2,= (t2 , x2)S , U ′1 = (t′2 , 0)S′ , U ′′

2 = (t′′2 , 0)S′′ ,

U2,= (t2 , x2)S , U ′1 = (t′2 , 0)S′ .

Situaci v jednotlivých vztaºných soustavách znázor¬uje následující obrázek:

Obr. 1.29: Paradox dvoj£at

Události U1 a U2 jsou soumístné v soustav¥ S′ a události U2 a U3 v soustav¥ S′′ . Pro

odpovídající £asový intervaly lze pouºít vztahu pro dilataci £asu (2.88):

t2 =t′2√

1− V 2

c2

, t3 − t2 =t′′3 − t′2√1− V 2

c2

.

Vzhledem k symetrii (Obr. 1.30) je t3 = 2t2 .

Obr. 1.30: Popis k obrázku.

Dále je ∆τA = t′′3 = 2t′2 . Odtud pak

∆τB = t3 =2t′2√1− V 2

c2

=∆τA√1− V 2

c2

,

Uvaºujme nyní z hlediska pozorovatele v raket¥. Ozna£me U4 událost odpovídající obrátce

pozorovatele B vzhledem k raket¥.

U4 = (t4, 0)S , U ′4 = (t′4, x

′4)S′ .

p°i£emº ov²em t′4 = t′2 . Platí

x′4 = −V t′2 , t4 =t′4 + V

c2x′4√

1− V 2

c2

= t′2

√1−

V 2

c2,

∆t24 = t2 − t4 =t′2√

1− V 2

c2

− t′2

√1−

V 2

c2=

V 2

c2t′2√

1− V 2

c2

.

Pozorovatel A pak vypo£te dobu ∆τB jako dvojnásobek sou£tu £asových interval· t4 a ∆t24

(viz Obr. 1.30).

∆τB = 2(t4 +∆t24) = 2t′2√

1− V 2

c2

=∆τA√1− V 2

c2

.

Výsledek je stejný jako p°i výpo£tu z hlediska pozorovatele na Zemi. ádný paradox nevzniká.


1.6 ty°rozm¥rné vektory

Kapitola 2

Principy klasické mechaniky

V p°edchozí kapitole jsme denovali ve²keré pojmy, které jsou pot°ebné pro po-pis pohybu hmotných bod· (klasických £ástic), ve £tvrté kapitole jich pouºijemepro popis pohybu kontinua. Zp·sob, jakým jsme pojmy zavád¥li, jiº samoz°ejm¥p°edjímá postupy, které povedou v p°edpov¥dím pohybu na základ¥ znalosti in-terakcí £ástice nebo soustavy £ástic s okolními objekty a znalosti stavu £ásticenebo soustavy v daném okamºiku. Základem zji²t¥ní, ºe je skute£n¥ moºné zís-kat parametrické vyjád°ení trajektorie dané £ástice, tj. vektorovou funkci r(t)ur£ující její polohu v daném okamºiku, jsou experimentální zku²enosti. Ty umoº-nily formulovat základní principy neboli postuláty (matematik by je nazval t°ebaaxiomy) klasické mechaniky, z nichº (a samoz°ejm¥ z jejich matematické formu-lace) vyplývají v²echny zákonitosti, vztahy, rovnice, atd., jimiº se °ídí pohyb£ástic, jejich soustav, t¥les prost¥ objekt· makrosv¥ta. T¥mito principy jsouNewtonovy zákony. Jestliºe k nim p°idáme vztahy pro kvantitativní vyjád°ení in-terakce mezi makroskopickými objekty, máme v ruce skute£n¥ kompletní souborstavebních kamen· klasické newtonovské mechaniky. Dal²í je záleºitostí um¥nívytvo°it z nich stavbu, tj. základní principy matematicky formulovat a pouºítpro odvození dal²ích zákonitostí umoº¬ujících °e²ení obecných situací i konkrét-ních p°íklad·.

2.1 První Newton·v zákon a jak mu rozum¥t

Newtonovy zákony, a zejména první z nich, by Newton v dne²ních u£ebnicíchmoºná ani nepoznal. Kaºdý autor má svou interpretaci a formulaci, £i zjed-nodu²ující p°edpoklady. Sám Newton, jak ukazují historikové fyziky, dospívalk formulacím svých zákon· postupn¥ a dlouho. Jen pokud jde o první zákon,byl spokojen aº s jeho v po°adí devátou formulací.

93

94 KAPITOLA 2. PRINCIPY KLASICKÉ MECHANIKY

2.1.1 Newtonova formulace prvního zákona a souvisejícíotázky

Vyuºijeme výsledk· kvalikovaných historik· fyziky (u nás M. ernohorský)a vyloºíme si první Newton·v zákon p°ímo doslovným p°ekladem originálního la-tinského zn¥ní Newtonových Principií (I. Newton: Principia Mathematica Phi-losophiae Naturalis. Editio ultima. Sumptibus Societatis, Amstaelodami 1723.).

Poznámka: [1] M. ernohorský: Problém interpretace Newtonovy formulace prvního pohy-

bového zákona. Folia facultatis scientiarum naturalium Universitatis Purkynianae brunensis

20 (1979), Physica 28, opus 3, Univerzita J. E. Purkyn¥, Brno 1979, 5-32. [2] M. ernohor-

ský: Dev¥t Newtonových formulací prvního pohybového zákona: V: Pocta Newtonovi (Ed.: M.

ernohorský, M. Fojtíková). Odborná skupina Pedagogická fyzika FVS JSMF, Brno 1986,

36-52. [3] M. ernohorský: Newtonova transla£n¥-rota£ní formulace prvního zákona pohybu:

V: Ernst Mach: Fyzika losoe vzd¥lávání (Ed.: J. Musilová, P. Dub). Masarykova univer-

zita, Brno 2009.

Lex I První Newton·v zákon

Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter indirectum, nisi quatenus illud a viribus impressis cogitur statum suum mutare.

Kaºdé t¥leso setrvává ve svém stavu klidu, nebo rovnom¥rného pohybu v danémsm¥ru, ledaºe je nuceno vti²t¥nými silami sv·j stav zm¥nit.

teme-li pozorn¥, napadne nás hned n¥kolik otázek:

• V·£i jaké vztaºné soustav¥ posuzujeme klid, nebo rovnom¥rný pohyb v da-ném sm¥ru?

• ím se Newtonova zdánliv¥ archaická formulace li²í od standardní, nej-£ast¥ji pouºívané u£ebnicové T¥leso setrvává v klidu, nebo rovnom¥r-ném p°ímo£arém pohybu, dokud není vn¥j²ími silami nuceno tento stavzm¥nit?

• M·ºe t¥leso bez zásahu vn¥j²ích vliv· (v Newtonov¥ pojetí vti²t¥ných sil)setrvávat také v rovnom¥rném rota£ním pohybu?

• Co jsou to vti²t¥né (vn¥j²í) síly a co jsou to síly v·bec?

• Z kapitoly o kinematice víme, ºe rovnom¥rný p°ímo£arý pohyb hmotnéhobodu je totéº, co pohyb s nulovým zrychlením, v p°ípad¥ t¥lesa s ne-zanedbatelnými rozm¥ry bychom mohli mít na mysli pohyb jeho st°eduhmotnosti. Je tedy první zákon skute£n¥ nezávislým postulátem, nebo jepouhým d·sledkem zákona druhého? (Vzpome¬te na své znalosti ze st°ední²koly, nebo se podívejte na dal²í odstavec.)

2.1. PRVNÍ NEWTONV ZÁKON A JAK MU ROZUMT 95

2.1.2 Odpov¥di na otázky k prvnímu Newtonovu zákonu

Zde jsou odpov¥di na otázky z p°edchozího odstavce:

• Newton pracoval s pojmy absolutní £as, a co je pro jeho denici klidu arovnom¥rného pohybu v daném sm¥ru d·leºité, absolutní prostor. Tytoobjekty ov²em neexistují. Sou£asným absolutním vztaºným objektemje kterákoli inerciální vztaºná soustava. Invariatní v kaºdé vztaºné sou-stav¥, nejen inerciální, je z hlediska klasické nerelativistické mechaniky£asový interval

∆t = t2 − t1 = t′2 − t′1

a prostorový interval

|∆r| =√(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2 =

=√

(x′2 − x′

1)2 + (y′2 − y′1)

2 + (z′2 − z′1)2.

• Odli²nost spo£ívá ve slovních spojeních, která jsou v Newtonov¥ formulacinapsána kurzívou. Zejména rovnom¥rný pohyb v daném sm¥ru zahrnujei rovnom¥rnou rotaci, nikoli jen rovnom¥rný pohyb po p°ímce. Tato sku-te£nost je historickými studiemi prokázána mimo jakoukoli pochybnost.Dal²í d·leºitou drobností je p°edpoklad, ºe t¥leso ve svém stavu klidunebo rovnom¥rného pohybu v daném sm¥ru je, aby v n¥m mohlo setr-vávat. O t¥lesech, která v takovém stavu nejsou, první Newton·v zákonnepojednává.

• Odpov¥¤ na t°etí otázku je obsaºena nejen v p°esné Newtonov¥ formulaci,jejíº d·leºitost jsme zd·vodnili jiº druhou odpov¥dí, ale také ve výsled-cích experiment·. Budeme-li pohybující se t¥leso více a více opro²óvat odvn¥j²ích vliv· (pohyb vozíku s výbornými loºisky po speciáln¥ upravenélavici, pohyb vozíku po vzduchové lavici, kdy vzduchový pol²tá° eliminujet°ení, otá£ení lépe a lépe vyváºeného kola s co nejlépe namazanými loºisky,apod.), bude v pohybu, do kterého jsme je uvedli, setrvávat déle a déle. Jesamoz°ejmé, ºe reálná situace nikdy nebude dokonale odpovídat poºadav-k·m absence vti²t¥ných sil, pop°ípad¥ eliminaci jejich vlivu v tomtosmyslu je první Newton·v zákon abstrakcí.

• V kontextu prvního Newtonova zákona m·ºeme pojem vti²t¥né síly chápatkvalitativn¥, jako vliv okolních t¥les, interakce studovaného t¥lesa s okol-ními objekty, apod. Okolní objekty jednodu²e mohou zp·sobit, ºe t¥leso,které t°eba bylo vzhledem ke zvolené inerciální vztaºné soustav¥ ve stavuklidu, nebo rovnom¥rného pohybu v daném sm¥ru (rovnom¥rná translace,rovnom¥rná rotace, jejich sloºení), nebude v tomto stavu setrvávat. Pokudjde o sílu jako fyzikální veli£inu, která popisuje interakci objekt· kvanti-tativn¥, je její denice záleºitostí aº druhého Newtonova zákona.


• Pokud jsme se ztotoºnili s tvrzením, ºe první Newton·v zákon zahrnujei rovnom¥rnou rotaci t¥lesa, je z°ejmé, ºe není d·sledkem druhého zákona,který o rota£ním pohybu t¥lesa jako celku nepojednává (uvidíme za chvíli).

Poznámka: Ve prosp¥ch argumentace, ºe Newton m¥l ve svém prvním zákonu skute£n¥ na

mysli i rovnom¥rný rota£ní pohyb t¥lesa, sv¥d£í mj. jeho komentá° v rukopise Xa De Motu

Corporum, £asov¥ p°edcházejícím Principia. Latinské zn¥ní i p°eklad jsou p°evzaty z vý²e

citované práce [3] M. ernohorského.

Vi insita corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in linearecta nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum suum mutare. Motus autem uniformishic est duplex, progressivus secundum lineam rectam quam corpus centro suo aequabiliterlato describet et circularis circa axem suum quemvis qui vel quiescit vel motu uniformis latussemper manet positionibus suis prioribus paralellus.

Inherentní silou setrvává kaºdé t¥leso ve svém stavu klidu nebo rovnom¥rného pohybu pop°ímce, pokud není interak£ními silami p°inuceno onen stav m¥nit. Tento rovnom¥rný pohybje v²ak dvojí, postupný po p°ímce, kterou t¥leso opisuje svým rovnom¥rn¥ se pohybujícímst°edem, a rota£ní kolem ur£ité osy t¥lesa, která je bu¤ v klidu nebo pohybujíc se rovnom¥rn¥z·stává stále rovnob¥ºná se svými p°edchozími polohami.

Pojmu inherentní síla lze rovn¥º dát interpretaci odpovídající dne²nímu pohledu na klasickou

mechaniku. V tuto chvíli k ní v²ak nemáme pot°ebné zázemí a vrátíme se k ní pozd¥ji.

Pozd¥ji uvidíme, ºe setrvání t¥lesa v rovnom¥rném transla£ním, nebo rovno-m¥rném rota£ním pohybu, v£etn¥ moºnosti superpozice, lze interpretovat jakod·sledek spojení druhého a t°etího Newtonova zákona. Obnovuje se tedy otázka,zda první Newton·v zákon je nezávislým axiomem. P°i neexistenci absolutníhoprostoru ano. Lze jej totiº chápat jako existen£ní tvrzení p°edstavující sou£asn¥denici inerciální vztaºné soustavy, nap°íklad takto:

První Newton·v zákon

Existují vztaºné soustavy, zvané inerciální, v nichº t¥leso uvedené do stavuklidu, nebo rovnom¥rného pohybu v daném sm¥ru setrvává v tomto stavu, dokudnení interakcí s okolními objekty nuceno tento sv·j stav zm¥nit. Rovnom¥rnýmpohybem v daném sm¥ru se p°itom rozumí rovnom¥rný pohyb transla£ní, neborota£ní, nebo superpozice obou.

Jiná interpretace prvního Newtonova zákona, která se v²ak týká pouze hmot-ných bod·, m·ºe být následující: Kaºdé dva volné hmotné body jsou navzájemv klidu nebo v rovnom¥rném p°ímo£arém pohybu. Vztaºné soustavy, jejichº po-£átek a osy jsou spojeny s volnými hmotnými body, nazýváme inerciální. Tímtozp·sobem jsme také inerciální soustavy zavedli v kapitole 1. Bez empiricky pod-loºeného axiomu deklarujícího jejich existenci, jímº práv¥ první Newton·v zákonm·ºe být, by v²ak tento pojem byl prázdný.

2.2 Druhý Newton·v zákon a jeho dvojí £tení

První Newton·v zákon se týkal t¥les, která jsou od okolních vliv· opro²t¥na. Vy-plývá z n¥j, ºe t¥lesa, která budou okolním vliv·m naopak vystavena, nebudou

2.2. DRUHÝ NEWTONV ZÁKON A JEHO DVOJÍ TENÍ 97

obecn¥ setrvávat v·£i inerciálním vztaºným soustavám v klidu, nebo rovno-m¥rném pohybu v daném sm¥ru. Pro p°ípad translace to znamená, ºe hmotnýbod, resp. hmotný st°ed t¥lesa, nebude obecn¥ v klidu, nebo v rovnom¥rnémp°ímo£arém pohybu, rotace t¥lesa rovn¥º nebude obecn¥ rovnom¥rná. Rychlostbodu tedy nebude konstantní, a tedy jeho zrychlení nebude trvale nulové. Úh-lová rychlost rotujícího t¥lesa nebude konstantní, a tedy jeho úhlové zrychlenínebude trvale nulové. Na otázku, jak se tedy bude m¥nit rychlost hmotnéhobodu, rychlost st°edu hmotnosti t¥lesa, resp. úhlová rychlost t¥lesa, tj. jakébude zrychlení, resp. úhlové zrychlení, v²ak první zákon neodpovídá. Takovouodpov¥¤ dává druhý Newton·v zákon.

2.2.1 Newtonova formulace druhého zákona a souvisejícíotázky

Také druhý Newton·v zákon uvedeme nejprve v originálním latinském zn¥nís doslovným p°ekladem.

Lex II Druhý Newton·v zákon

Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae & sieri secundumlineam rectam qua vis illa imprimitur.

Def: Vis impressa est action in corpus exercita, ad mutandum ejus statum velquiescendi vel movendi uniformiter in directum.

Zm¥na hybnosti je úm¥rná vti²t¥né hybné síle a sleduje p°ímku, podél níº jetato síla vti²t¥na.

Def: Vti²t¥ná síla je p·sobení vykonávané na t¥leso za ú£elem zm¥ny jeho stavuklidu, nebo rovnom¥rného pohybu v daném sm¥ru.

Motus hybnost p°itom Newton denuje jako sou£in hmotnosti a rychlostit¥lesa. Hybnost je tedy vektorová veli£ina. Její derivace je obecn¥ ur£ena jakzm¥nou hmotnosti objektu, tak zm¥nou jeho rychlosti. P°i výpo£tech se zatímomezíme na situace, kdy studovaným t¥lesem je hmotný bod. Odpadne tak(ale jen prozatím) problém, co je t°eba rozum¥t pod pojmem motus v p°ípad¥rotujícího t¥lesa.

p(t) = m(t)v(t),dp

dt=

dm

dtv +m

dv

dt= mv +ma. (2.1)

V p°ípad¥ konstantní hmotnosti je derivace hybnosti £ástice rovna sou£inu jejíhmotnosti a jejího zrychlení.

Také p°i promý²lení této formulace, stejn¥ jako tomu bylo v p°ípad¥ prvníhozákona, se nabízí n¥kolik komentá°· a otázek.

• Zatímco v prvním zákonu jsme mohli pojem vti²t¥né síly chápat kvalita-tivn¥ jako p·sobení £i vliv okolních objekt· na udrºení £i neudrºení jistého


pohybového stavu t¥lesa (rovnom¥rného pohybu v daném sm¥ru), formu-lace druhého zákona jasn¥ sm¥°uje ke kvantitativnímu vyjád°ení. Pojmuhybná síla je p°inejmen²ím p°isouzen sm¥r.

• Jak ur£íme hybnou sílu, je-li studovaná £ástice £i t¥leso pod vlivem víceokolních objekt·?

• Samotné originální zn¥ní druhého zákona nazna£uje, ºe by zákon mohlslouºit k ur£ování zm¥n hybnosti £ástice (v p°ípad¥ její nem¥nné hmot-nosti dokonce p°ímo k ur£ování zrychlení). To znamená moºnost p°edpo-v¥d¥t pohyb £ástice, vypo£teme-li její polohu r(t) v závislosti na £ase. Abytakový p°ístup byl moºný, je t°eba znát hybnou sílu. Jak ji ur£íme?

• Newtonova denice hybné síly charakterizuje tuto sílu jako p·sobení na£ástici s cílem zm¥nit její hybnost. Je tedy hybná síla veli£ina, která jedenitoricky ur£ena jako derivace hybnosti, tj. je druhý Newton·v zákondenicí síly?

• Otázka, která se v souvislosti s p°edchozími dv¥ma vnucuje, zní: Nenídruhý Newton·v zákon denicí £i tvrzením v kruhu? Nepot°ebujemek ur£ení derivace hybnosti hybnou sílu a k zápisu hybné síly jako fyzikálníveli£iny £asový pr·b¥h zm¥n hybnosti?

Na tyto otázky postupn¥ odpovíme.

2.2.2 Odpov¥di na otázky k druhému Newtonovu zákonu

Zásadní otázkou z p°edchozího odstavce je, zda druhý Newton·v zákon denujesílu, nebo naopak, zda slouºí k ur£ení derivace hybnosti s tím, ºe hybnou sílumusíme zjistit jinak. M·ºe se zdát, ºe odpov¥di si musí proti°e£it. P°esto jemoºné, £i dokonce nutné, dívat se na druhý Newton·v zákon ob¥ma zp·soby.Pokusme se tedy na poloºené otázky odpov¥d¥t.

• Hybná síla vystupující v druhém zákonu, a´ jiº je konkrétn¥ denovánajakkoli, musí být fyzikální veli£inou, která kvantitativn¥ popisuje souhrnnývliv okolních objekt· na studovanou £ástici. Je to jistá vektorová veli£inaF , jejíº sm¥r je shodný se sm¥rem derivace hybnosti a jejíº velikost jeúm¥rná velikosti derivace hybnosti, tj.

dp

dt= kF .

Otázku, co je konstantou úm¥rnosti, vy°e²íme vhodnou volbou jednotektak, aby konstanta byla rovna jedné a bezrozm¥rná. Jednotkou hybnosti jekgm s−1, její derivace má jednotku kgm s−2, která je sou£asn¥ jednotkousíly nazývanou newton. Tedy 1N = 1kgm s−2.

• Souhrnný vliv okolních objekt· na pohyb studované £ástice by m¥l býtn¥jak poskládán z vliv· kaºdého z okolních objekt·, kdyby tento objekt


p·sobil na £ástici samostatn¥. Pro tuto chvíli p°epokládejme, ºe p·sobeníjednotlivého objektu na £ástici je stejné, jako kdyby tam dal²í okolní ob-jekty nebyly. Pro tento p°edpoklad zatím nemáme argumenty, získáme jev²ak v podob¥ t°etího Newtonova zákona. Ozna£me tedy hybné síly od-povídající objekt·m O1, O2 aº OK jako F1, F2 aº FK . Aniº známe jejichjednotlivá vyjád°ení, zdá se nejp°irozen¥j²í vypo£ítat souhrnný vliv v²echokolních objekt· jako vektorový sou£et hybných sil F1 aº FK . Tento zp·-sob stanovení souhrnného vlivu je rovn¥º potvrzován experimenty a £astobývá nazýván princip superpozice sil. Je tedy

F = F1 + F2 + · · ·+ FK =K∑

k=1

Fk. (2.2)

Sílu F pak nazýváme výsledná síla, nebo výslednice sil. Stále je²t¥ v²aknevíme, jakým zp·sobem vektor Fk kvantitativn¥ vyjad°uje vliv k-téhoobjektu na derivaci hybnosti studované £ástice.

• Abychom doplnili chyb¥jící £lánek úvahy o principu superpozice sil a zá-rove¬ odpov¥d¥li na t°etí a £tvrtou otázku p°edchozího odstavce, mu-síme v my²lenkovém experimentu (ideáln¥), nebo skute£ném experimentu(aproximativn¥) oprostit studovanou (testovací) £ástici od vlivu v²echokolních objekt·, krom¥ jediného, k-tého. Pak budeme £íst druhý Newto-n·v zákon zprava doleva, tj.

Fk =

(dp

dt

)k

, pop°ípad¥ jen Fk = mak.

Na základ¥ pozorování pohybu testovací £ástice ur£íme její zrychlení. Tonám umoºní zjistit závislost Fk nap°íklad na poloze testovací £ástice, najejí rychlosti, pop°ípad¥ explicitní závislost na £ase,

Fk = Fk(r, v, t).

Takovou závislost obvykle nazýváme silový zákon.

• Pokud uvedeným postupem, pop°ípad¥ jinými postupy, získáme pot°ebnésilové zákony, m·ºeme pak jiº £íst druhý Newton·v zákon zleva doprava,tj.

dp

dt= F1 + F2 + · · ·+ FK ,

kde kaºdý ze symbol· Fk jiº nyní p°edstavuje konkrétní zápis danéhosilového zákona, který je kvantitativním vyjád°ením vlivu k-tého objektuna studovanou £ástici. Tento zápis samoz°ejm¥ umoº¬uje vyjád°ení síly,jíº bude jiný okolní objekt p·sobit v obdobné situaci na jinou testovací£ástici.

• Druhý Newton·v zákon tedy rozhodn¥ není denicí £i tvrzením v kruhu ,nýbrº skute£n¥ zásadním fyzikálním principem, který má, dalo by se °íci,dv¥ tvá°e tvo°ící celkový obraz jednoho obli£eje .


P°íklad 2.1. Keplerovy zákony a Newton·v gravita£ní zákon.

Známým p°íkladem nalezení silového zákona je Newton·v gravita£ní zákon. Vý-chodiskem pro jeho ur£ení byly zákony o ob¥hu planet kolem Slunce formulovanéJohannem Keplerem na základ¥ astronomických pozorováni Tychona de Brahea £áste£n¥ jeho vlastních. lo tedy o skute£ný experiment interpretovaný v apro-ximaci modelu soustavy £ástic tvo°ené Sluncem a jednou (kteroukoli) planetou.Zopakujme nejprve stru£n¥ Keplerovy zákony, jak je známe ze st°ední ²koly. (Je-jich podrobného teoretického odvození vycházejícího jiº ze znalosti gravita£níhozákona a z Newtonových zákon· si v²imneme pozd¥ji.)

První Kepler·v zákon: Planety obíhají kolem Slunce po eliptických draháchblízkých kruºnicím, v jejichº spole£ném ohnisku je Slunce.

Druhý Kepler·v zákon: Plochy opsané pr·vodi£em planety za stejné £asovéúseky jsou shodné.

T°etí Kepler·v zákon: Pom¥r t°etí mocniny velké poloosy eliptické dráhyplanety a druhé mocniny její ob¥ºné doby je pro v²echny planet stejný.

Aniº bychom se pou²t¥li do studia skute£né historie tohoto problému, pokusmese o vlastní jednoduchou úvahu. Zjednodu²me model oproti Keplerovým vý-sledk·m je²t¥ více a uvaºujme o p°ípadu, kdy planeta obíhá kolem Slunce pokruºnici. ádná z planet slune£ní soustavy tomuto p°edpokladu sice p°esn¥ ne-vyhovuje, kruºnice je v²ak v Keplerových zákonech jednou z p°ípustných tra-jektorií.

MS( M

P(m)

)

Fg

Fg

a=a n

r

S( )

P(m)

Fg

Fg

2a

Obr. 2.1: Pohyb planety kolem Slunce a gravita£ní zákon

Ozna£me polom¥r kruºnice, po níº se planeta v na²em p°ibliºném modelu po-hybuje, jako r, periodu ob¥hu T a kruhovou frekvenci ω = 2π/T . Vzhledemk platnosti druhého Keplerova zákona je jasné, ºe pohyb planety po kruºnici


musí být rovnom¥rný (velikost úhlové rychlosti je tak rovna kruhové frekvenciomega). Te£né zrychlení planety je tedy nulové, normálové je ur£eno jedinou si-lou Fg, kterou na planetu p·sobí Slunce. Tato síla má sm¥r normály k trajektoriiplanety. (Indexem g p°edjímáme, ºe jde o sílu gravita£ní.) Platí

man = Fg =⇒ Fg = mω2r =4π2m

T 2r.

Sou£asn¥ je

r3

T 2= K = konst. =⇒ r

T 2=

K

r2=⇒ Fg = 4π2K

m

r2.

Konstanta K jiº podle t°etího Keplerova zákona nezávisí na charakteristikáchplanety. M·ºe v²ak záviset na centrálním t¥lese, Slunci. Jak tato závislost vy-padá, uvidíme, aº se k problému vrátíme po výkladu t°etího Newtonova zákona.♠

P°íklad 2.2. Impuls síly.

S druhým Newtonovým zákonem p°ímo souvisí jednoduchý pojem impulsu síly.P°edpokládejme, ºe na £ástici p·sobí pouze jediný objekt silou obecn¥ závislouna £ase, tj. F = F (t). Otázkou je, jakou zm¥nu hybnosti £ástice zp·sobí tatosíla v £asovém intervalu [α, β]. Z druhého Newtonova zákona p°ímo plyne

dp

dt= F (t) =⇒ ∆p([α, β]) =

β∫α

F (t) dt.

Veli£inu

I([α, β]) =

β∫α

F (t) dt (2.3)

nazýváme impuls síly F v intervalu [α, β]. P°edstavme si, ºe síla p·sobí podél

p°ímky, nap°íklad osy x.


)

βαt

Fx

I( α , β

Obr. 2.2: K pojmu impuls síly

Znázorníme-li její závislost na £ase gracky (viz Obr. 2.2), vidíme, ºe impuls v£asovém intervalu [α, β] odpovídá plo²e pod grafem. ♠

2.3 T°etí Newton·v zákon a jeho význam

První dva Newtonovy zákony vypovídaly o vlivu p·sobení (£i nep·sobení) okol-ních objekt· na daný testovací objekt (£ástici £i t¥leso) prost°ednictvím vti²-t¥ných sil. Ale kterýkoli z objekt· se m·ºe stát studovaným objektem a naopak,t¥leso, které jsme doposud chápali jako studované £i testovací, se v jiné úlozem·ºe stát objektem okolním. Je tedy logické o£ekávat, ºe vliv objekt· budevzájemný. Jak to se vzájemným p·sobením je, °íká t°etí Newton·v zákon.

2.3.1 Newtonova formulace t°etího zákona a podstata in-terakce

T°etí Newton·v zákon je z celé trojice pravd¥podobn¥ nejjednodu²²í a nejpo-chopiteln¥j²í. I tak v²ak má hluboký fyzikální význam. Vyloºíme si jej op¥t naoriginální latinské formulaci a jejím doslovném p°ekladu.

Lex III T°etí Newton·v zákon

Actioni centrariam semper & equalem esse reactionem: sive corporum duorumactiones in se mutuo semper esse equales in partes contrarias dirigi.

Akce je stále opa£ná a rovna reakci: neboli vzájemné p·sobení dvou t¥les jsoustále stejná a mí°í opa£nými sm¥ry.

Informace vyplývající z t°etího Newtonova zákona jsou velmi obsaºné a zdalekanezahrnují jen fakt, ºe

2.3. TETÍ NEWTONV ZÁKON A JEHO VÝZNAM 103

• P·sobí-li objekt A na objekt B silou FAB, p·sobí objekt B na objekt Asilou FBA, p°i£emº FBA = −FAB.

Zamyslíme-li se hloub¥ji, m·ºeme u£init také následující záv¥ry.

• Interakce, tj. vzájemné p·sobení objekt·, je dvou£ásticová. Znamená to,ºe síly akce a reakce, jimiº na sebe navzájem p·sobí objekty A a B, nejsouovlivn¥ny charakteristikami dal²ích objekt·, které mohou p·sobit jak naA, tak na B. Závisí tedy pouze na charakteristikách objekt· A a B sa-motných, a to jak na t¥ch, které si objekty nesou s sebou (hmotnosti,náboje), tak obecn¥ i na charakteristikách jejich mechanického stavu (po-lohy, rychlosti), pop°ípad¥ explicitn¥ na £ase.

• Interakce je okamºitá, ²í°í se tedy neomezen¥ rychle. Jestliºe se nap°íkladzm¥ní n¥která charakteristika objektu A, která vystupuje v silovém zá-konu, poznají oba objekty tuto zm¥nu vzájemného silového p·sobeníokamºit¥. Z tohoto hlediska m·ºe být terminologie akce a reakce pro laikypon¥kud zavád¥jící, nebo´ p°i b¥ºné interpretaci m·ºe vyvolávat dojem£asové následnosti nap°ed akce, potom reakce.

P°edchozí záv¥ry o dvou£ásticové a okamºité interakci jsou omezeny na oblastklasické (nerelativistické a nekvantové) mechaniky. V relativistické mechanice jenutné po£ítat s mezní rychlostí ²í°ení ve²kerých signál· (rychlost sv¥tla ve vakuuje denována p°esn¥ hodnotou c = 299792458ms−1 a je univerzální konstantou).V kvantové mechanice se zase naopak setkáme s mnoha£ásticovou, tzv. vým¥n-nou interakcí, jejíº existence vyplývá z principu nerozli²itelnosti mikro£ástic,který zp·sobí, ºe se jakákoli vým¥na £ástic mezi sebou nepozná.

2.3.2 Silové zákony a základní interakce

V tomto odstavci si v²imneme n¥kterých silových zákon·, které budeme v dal²ímvýkladu jiº b¥ºn¥ pouºívat. Pozornost budeme v¥novat také £ty°em základníminterakcím v p°írod¥ a jejich souvislosti s makroskopickými silovými zákony.

P°íklad 2.3. Newton·v gravita£ní zákon.Vra´me se k p°íkladu 2.1, v n¥mº jsme zjistili, ºe Slunce p·sobí na planetu silou,která sm¥°uje od planety ke Slunci a její velikost je p°ímo úm¥rná hmotnostiplanety a nep°ímo úm¥rná £tverci vzdálenosti mezi planetou a Sluncem, Fg =4π2K m

r2 . Konstanta K nezávisí na planet¥, ale na Slunci. Zapi²me tuto síluvektorov¥.

Fg = 4π2Km

r2

(− r

r

)= −4π2K

m

r3r,

kde r je polohový vektor planety v·£i Slunci, r0 = r/r je jednotkový vektorsm¥°ující od Slunce k planet¥. Podle t°etího Newtonova zákona v²ak planetap·sobí na Slunce silou −Fg, kterou v²ak m·ºeme vyjád°it také ve tvaru

−Fg = 4π2kM

r3r,


kde M je hmotnost Slunce a k je naopak konstanta, která závisí pouze naplanet¥. Vidíme, ºe platí Km = kM , tj. k

m = KM = p. Tento pom¥r uº nem·ºe

záviset ani na Slunci, ani na planet¥. Ozna£me κ = 4π2p. κ je rovn¥º univerzálníkonstanta. Platí

Fg = −κmM

r3r, κ = (6, 67428± 0, 00067) · 10−11 Nm2kg−2. (2.4)

g

O

x

y

z

M

m

rFg

F

Obr. 2.3: Interakce hmotných £ástic

Vztah (2.4), zvaný Newton·v gravita£ní zákon, vyjad°uje silový zákon popisujícíjednu ze základních interakcí v p°írod¥, gravita£ní.

V blízkosti povrchu Zem¥ (hmotnost MZ.= 5, 97 · 1024 kg, st°ední polom¥r

RZ.= 6, 37 · 106 m) p·sobí na £ástici gravita£ní síla

Fg = κmMZ

(RZ + h)2g0,

kde g0 je jednotkový vektor sm¥°ující z místa o vý²ce h nad povrchem ke st°eduZem¥. Pro vý²ky zanedbatelné v·£i polom¥ru Zem¥ a pro oblasti, jejichº vodo-rovné rozm¥ry jsou tak malé, ºe není t°eba zm¥nu sm¥ru spojnice daného místase st°edem Zem¥ zapo£ítávat, m·ºeme veli£inu

g = κMZ

R2Z

g0

povaºovat za konstantní vektor a gravita£ní sílu p°ibliºn¥ nahradit rovn¥º (od-povídajícím) konstantním vektorem

Fg = mg, g = κMZ

R2Z

.= 9, 81ms−2. (2.5)


Pole v malých plo²ných oblastech v blízkosti povrchu Zem¥ je p°ibliºn¥ homo-

genní, jeho intenzita je g. Zahrneme-li je²t¥ opravu, která bere v úvahu nei-nerciálnost laboratorní soustavy, tj. se zapo£te odst°edivé zrychlení, hovo°ímeo tíhovém zrychlení. Vztah (2.5) p°edstavuje silový zákon, který je aproximacígravita£ního zákona, vyhovující pro popis gravita£ního pole za vý²e uvedenýchomezujících podmínek. Pro zajímavost prove¤te t°eba odhad lineárního rozm¥ruoblasti v blízkosti povrchu Zem¥ na rovníku, v jehoº rámci se sm¥r gravita£níhozrychlení nezm¥ní o více neº jeden stupe¬. ♠

P°íklad 2.4. Coulomb·v zákon.Hmotné £ástice mohou být nositeli elektrického náboje. Krom¥ gravita£ní inter-akce dané hmotnostmi m a M na sebe tedy je²t¥ p·sobí silou související s jejichnáboji q a Q. Tato síla se °ídí Coulombovým zákonem

FC =1

4πε

qQ

r3r, ε = εrε0, ε0 = 8, 854187818) · 10−12 Fm−1. (2.6)

ε0 je permitivita vakua, jedná se o p°esnou (dohodnutou) hodnotu, εr je re-lativní permitivita prost°edí. Coulomb·v zákon je klí£ovým silovým zákonempopisujícím dal²í základní interakci v p°írod¥, elektromagnetickou.

m,q

O

x

y

zr

qQ 0

FC

M,Q

m,q

CF

O

x

y

zr

FC

F

qQ 0

C

M,Q

Obr. 2.4: Interakce nabitých £ástic

Vzhledem k tomu, ºe nositeli náboje mohou být pouze hmotné £ástice, nelzecoulombovskou interakci osamostatnit , vºdy se superponuje s interakcí gravi-ta£ní. Jaký je vliv gravita£ní interakce v p°ípad¥, ºe bychom cht¥li m¥°it coulom-bovskou sílu, m·ºeme odhadnout pomocí vzájemného gravita£ního a elektrosta-tického p·sobení t°eba elektronu a protonu. P°edpokládejme, ºe uvaºujeme


o t¥chto dvou elementárních £ásticích v atomu vodíku. Jejich st°ední vzdálenostje tak rovna Bohrovu polom¥ru a0 = (5, 2917720859± 0, 0000000036) · 10−11 m.Náboj elektronu i protonu, tzv. elementární náboj, je co do velikosti stejný, e =(1, 60217733±0, 00000049) ·10−19 C. Hmotnost elektronu je me = (9, 1093897±0, 0000054) · 10−31 kg, protonu mp = (1, 6726231± 0, 000001) · 10−27 kg. Pom¥rvelikostí gravita£ní a coulombovské síly vzájemného p·sobení je tedy (nezávislena vzdálenosti)

FC

Fg=

1

4πε0κ· e2

memp

.= 2, 3 · 1039.

Velikost gravita£ní interakce t¥chto £ástic je tedy v·£i interakci elektrostatickézcela zanedbatelná. ♠

P°íklad 2.5: Nabitá £ástice v magnetickém poli.Magnetické pole je popsáno vektorem magnetické indukce B = B(r, t). Silovép·sobení magnetického pole na nabitou £ástici pohybující se rychlostí v je dánomagnetickou Lorentzovou silou

FL = q(v × B). (2.7)

E

O

x

y

z

F

Eq

v

B

q (v+ B)

Obr. 2.5: ástice v elektrickém a magnetickém poli

Nabitá £ástice pohybující se v elektromagnetickém poli o intenzit¥ E a indukciB je urychlována silou

F = qE + q(v × B).

Konkrétní pohyb takové £ástice budeme studovat v dal²ím odstavci. ♠

P°íklad 2.6. Pruºná síla.Malé t¥lísko (hmotný bod) na vodorovné, resp. svislé pruºin¥ je znázorn¥no naObr. 2.6.


x

x 0

x 0

x 0

g

x0

FP= k x x 0

F = m gG

F = m gG

x0

FP= k x x 0

Ox

x

Ox

x

Ox

x 0

O O

xx

F

FP

P

O

x

x

Obr. 2.6: T¥lísko na pruºin¥

S koncem nenapjaté pruºiny spojíme po£átek O osy x sm¥°ující podél pruºiny.P°edpokládáme-li ºe deformace pruºiny je elastická, tj. protaºená nebo stla£enápruºina zaujme po uvoln¥ní op¥t p·vodní délku, m·ºeme p°edpokládat, ºe platíHooke·v zákon. Podle n¥j p·sobí nataºená £i stla£ená pruºina na t¥lísko silou,jejíº velikost je úm¥rná zm¥n¥ délky pruºiny a síla sm¥°uje proti této zm¥n¥.Platí tedy

Fp = −kx x0, (2.8)

kde x0 je jednotkový vektor ve sm¥ru kladné osy x. Konstanta k se nazývá tuhostpruºiny a ur£uje, jak velkou sílu pot°ebujeme k protaºení nebo stla£ení pruºinyo jednotku délky. V grafu (lineární) závislosti velikosti pruºné síly na zm¥n¥délky pruºiny tedy p°edstavuje sm¥rnici. Podobn¥ jako pruºiny se v ur£itémrozsahu silového p·sobení chovaj9 i r·zné záv¥sy (dráty, provázky, apod.) ♠

P°íklad 2.7. T°ecí a odporové síly.

Proti pohybu t¥les v reálných experimentech p·sobí t°ecí a odporové síly. I kdyºv¥t²inou závisí na rozm¥rech t¥lesa, lze je zapo£ítat zp·sobem, který stále umoº-¬uje pracovat s t¥lesem jako s hmotným bodem, pohybuje-li se pouze transla£-ním pohybem. Nejjednodu²²í silový zákon pro t°ecí sílu, jíº p·sobí na t¥lesopodloºka, po které je vle£eno, má tvar

Td = −fN v0, v0 =v

v, (2.9)

kde v0 je jednotkový vektor ve sm¥ru rychlosti t¥lesa, N je tlaková síla podloºkyna t¥leso a f je tzv. koecient dynamického t°ení. T°ecí síly jsou typickými si-lami závislými na rychlosti t¥lesa. Z vyjád°ení velikosti t°ecí síly by tato závislostsamoz°ejm¥ nebyla vid¥t, nebo´ velikost Td = fN na rychlosti nezávisí. Závis-lost na rychlosti je dána tím, ºe t°ecí síla sm¥°uje vºdy proti rychlosti. A´ se


t¥leso hne kamkoli, sm¥r síly Td se vºdy upraví do protism¥ru rychlosti. Ob-dobná situace je s odporovou silou, kterou p·sobí hmotné prost°edí, v n¥mºse t¥leso pohybuje (odpor vzduchu proti pohybu automobilu, fotbalového mí£e£i letící st°ely, odpor vody proti plující lodi nebo ponorce). Konkrétní situaceaproximativn¥ vcelku dob°e vystihuje n¥který z násedujících silových zákon·p°edstavujících Stokes·v resp Newton·v model odporové síly.

FS = −6πηrv, FN =1

2CSϱv2v0, (2.10)

kde η je charakteristika prost°edí, nazývaná dynamická viskozita, r je polom¥rkulového t¥lesa, S je ú£inný pr·°ez t¥lesa nejv¥t²í plocha jeho p°í£ného °ezu,tj. °ezu kolmého na sm¥r rychlosti pohybu, ϱ je hustota prost°edí, konstanta Czahrnuje vliv tvaru t¥lesa a ur£uje se empiricky, pro kouli je C = 0, 5.

v Fo

Fo

N

mg

v

Obr. 2.7: T°ení a odpor prost°edí

Stokes·v vztah platí pro t¥leso kulového tvaru a velmi malé rychlosti, Newton·vvztah vyhovuje i pro t¥lesa obecného tvaru. Pouºitelnost obou model· se takéli²í pro r·zné velikosti rychlosti, jakou se t¥leso pohybuje v odporující prost°edí.(Stokes·v vztah platí pro velmi malé rychlosti, Newton·v lépe odpovídá realis-tickým situacím. Konkrétn¥ji se t¥mto problém·m budeme v¥novat aº v kapitoleo proud¥ní tekutin.)

Pouze zdánliv¥ by k tomuto p°íkladu mohla pat°it otázka statického t°ení.Vyjád°ení statické t°ecí síly v²ak není silovým zákonem p°esv¥d£íme se o tomv p°íkladu 2.13. ♠

Silové zákony, jimº jsme se v¥novali v p°edchozích p°íkladech, i dal²í, na kterém·ºeme p°i °e²ení konkrétních situací narazit, p°edstavují v¥t²inou aproxima-tivní popis vzájemného p·sobení objekt· makrosv¥ta. Podstatou °ady z nichjsou v²ak interakce v oblasti mikrosv¥ta. V p°írod¥ se uplat¬ují £ty°i základnítypy interakcí: gravita£ní, elektromagnetická, slabá a silná. Aniº bychom se jimnyní podrobn¥ v¥novali jednotliv¥ £i v rámci úvah o snahách o jejich sjednocení,m·ºeme je velmi stru£n¥ charakterizovat.

2.4. NEWTONOVY ZÁKONY A POHYBOVÉ ROVNICE 109

• Gravita£ní interakce p°edstavuje vzájemné p·sobení jakýchkoli hmotnýchobjekt·. Podléhají jí univerzáln¥ v²echny objekty nesoucí hmotnost.

• Elektromagnetická interakce je vzájemné p·sobení objekt· nesoucích ná-boj, a to jak objekt· v klidu, tak pohyblivých.

• Slabá interakce se uplat¬uje p°edev²ím p°i jaderných reakcích (n¥kterétypy jaderného rozpadu).

• Silná interakce p·sobí na jaderné úrovni. P°edstavuje jednak vzájemnép·sobení kvark· tvo°ících protony a neutrony, jednak interakci proton·a neutron·, která drºí pohromad¥ atomové jádro.

P°ímou smyslovou zku²enost máme pouze s interakcí gravita£ní a elektromag-netickou. V newtonovské mechanice se s dal²ími dv¥ma typy interakce p°i °e²eníproblém· p°ímo nesetkáme, i kdyº samoz°ejm¥ p°ítomny jsou bez nich byneexistovaly objekty, které v mechanice studujeme. Je tedy z°ejmé, ºe v²echnysilové zákony uvedené v p°edchozích p°íkladech musíme um¥t p°i°adit bu¤ gra-vita£ní nebo elektromagnetické interakci. Gravita£ní interakci okamºit¥ rozpo-známe, týká se jí p°íklad 2.3. Ostatní silové zákony mají p·vod v interakcielektromagnetické. Skute£n¥ je existence pruºné síly i její vyjád°ení lineárnímsilovým zákonem projevem elektromagnetické interakce? Vysv¥tlení hledejmena mikroskopické úrovni. Atomy, jimiº je pruºina tvo°ena, interagují prost°ed-nictvím svých elektronových obal·. P°i nataºení nebo stla£ení pruºiny se m¥níst°ední vzdálenosti atom·, a to v souvislosti s celkovou (makroskopickou) zm¥-nou délky pruºiny. Zm¥na st°edních vzdáleností atom· znamená zm¥nu p°e-kryvu elektronových obal·, p°i£emº míra p°ekryvu elektronových obal· sou-visí s velikostí jejich vzájemného p·sobení. Lineární závislost makroskopickésíly na zm¥n¥ délky pruºiny dostaneme, zhruba °e£eno, v aproximaci malýchvýchylek jako první £len rozvoje obecn¥j²í funk£ní závislosti v mocninnou °adu.Stejnou, elektromagnetickou povahu mají t°ecí síly, odpor zdiva p°i zatloukáníh°ebíku, tlaková síla podloºky p·sobící na t¥leso, které na ní spo£ívá, tlaková sílav kapalin¥ vyjad°ující interakci jednotlivých £ástí, resp. objemových element·kapaliny, apod. V rámci mechaniky tedy m·ºeme v¥c zjednodu²it: Gravita£níinterakci hned poznáme, v²echno ostatní je intrakce elektromagnetická.

2.4 Newtonovy zákony a pohybové rovnice

V situaci, kdy máme k dispozici základní silové zákony, z nichº m·ºeme pomocíprincipu superpozice vytvo°it výslednici, tj. Newtonovu hybnou sílu , m·ºeme°e²it základní úlohu dynamiky. Na základ¥ interakcí testovací £ástice s okolnímiobjekty a se znalostí jejího mechanického stavu v po£áte£ním okamºiku vypo£-teme její trajektorii. Pak budeme v¥d¥t, kde se £ástice nacházela v okamºicíchminulých a kde se bude nacházet v okamºicích budoucích (samoz°ejm¥, pokudse v £asovém intervalu, v n¥mº ji sledujeme, nezm¥ní její interakce s okolím tak,ºe by výpo£et jiº neodpovídal).


2.4.1 Od interakcí ke zrychlení

Ur£it zrychlení £ástice v p°ípad¥, ºe na ni p·sobí jediná síla, není problém.Jednoduché je i °e²ení situace, kdy je vyjád°ení v²ech sil v závislosti na po-loze a rychlosti £ástice, pop°ípad¥ v explicitní závislosti na £ase známo dal²ípostup je pak otázkou metod °e²ení tzv. pohybových rovnic, které jsou mate-matickým zápisem druhého Newtonova zákona. Jsou v²ak p°ípady, kdy n¥kteréze sil, jimiº p·sobí okolní objekty na £ástici, jsou neznámé (£asto je znám jejichsm¥r, nikoli v²ak velikost). Nemusí tedy být zcela jednoduché pohybovou rov-nici sestavit. Zam¥°íme se nyní na °e²ení takových situací, od nejjednodu²²íchpo komplikovan¥j²í.

P°íklad 2.8. Pohyb po naklon¥né rovin¥ bez t°ení.Velice jednoduchým p°íkladem je pohyb malé kostky (hmotného bodu) o hmot-nosti m po naklon¥né rovin¥ o úhlu sklonu α umíst¥né v homogenním tíhovémpoli Zem¥ (tíhové zrychlení g) a p°ipevn¥né k vodorovné podloºce (Obr. 2.8).

α

F mg=G

F=mg+N

N

x

y

Obr. 2.8: Kostka na naklon¥né rovin¥

Uváºíme dv¥ situace: t°ení mezi kostkou a naklon¥nou rovinou je, resp. není za-nedbatelné. V kaºdém p°ípad¥ zanedbáme odpor vzduchu proti pohybu kostky.V první situaci, bez t°ení, p·sobí na kostku Zem¥ tíhovou silou FG = mg, na-klon¥ná rovina (podloºka) tlakovou silou N . Zatímco pro tíhovou sílu máme kdispozici silový zákon FG = mg, u tlakové síly podloºky pouze víme, ºe je kpodloºce kolmá. Její velikost p°edem neznáme.


Poznámka: Uv¥domme si hned u tohoto jednoduchého p°íkladu, jak je to s p·sobi²ti jednotli-vých sil v reálné situaci. Do kterého bodu v t¥lese máme umístit tíhovou sílu? Do kterého bodutlakovou sílu podloºky? Pokud t¥leso aproximujeme hmotným bodem, jsou p·sobi²t¥ v²echsil od okolních objekt· umíst¥na p°ímo v tomto bod¥. Ve skute£nosti v²ak p·sobí elementárnítíhová síla dFG = g dm = ϱg dV na kaºdý objemový element t¥lesa o hustot¥ ϱ, celková tíhovásíla je výslednicí (vektorovým sou£tem) elementárních sil. Výsledná tíhová síla má na t¥lesostejný pohybový ú£inek, transla£ní i rota£ní, jako v²echny elementární síly dohromady, je-liumíst¥na ve st°edu hmotnosti (nebo v bodech leºících na svislé p°ímce procházející st°edemhmotnosti touto otázkou se budeme zabývat v dal²ích kapitolách). Elementární tlaková síladN p·sobí na kostku v kaºdém plo²ném elementu dS její sty£né plochy s podloºkou, celkovátlaková síla je op¥t výslednicí elementárních tlakových sil. Existuje rovn¥º správný bod , dokterého je t°eba umístit výslednou tlakovou sílu, aby její pohybový ú£inek na t¥leso byl stejnýjako ú£inek v²ech elementárních tlakových sil dohromady. Situace je znázorn¥na na Obr.2.9.Umíst¥ní p·sobi²t¥ výsledné tíhové a výsledné tlakové síly má své fyzikální zd·vodn¥ní, projehoº pochopení je v²ak pot°ebná znalost d·leºitých d·sledk· druhého a t°etího Newtonovazákona impulsových v¥t. Proto se k tomuto problému vrátíme aº po jejich odvození.

S

dFG=ρgdV

Nd

Vd

d

Obr. 2.9: P·sobi²t¥ tíhových a tlakových sil

FG =

∫V

ϱg dV, N =

∫S

dN.

Kostku povaºujeme za hmotný bod, do kterého umístíme p·sobi²t¥ v²ech sil odokolních objekt·. Jako vztaºnou soustavu volíme soustavu laboratorní a pova-ºujeme ji za inerciální. Druhý Newton·v zákon má tvar

ma = mg + N .

K tomu, abychom tuto vektorovou rovnici mohli rozepsat do sloºek, pot°ebu-jeme je²t¥ specikovat soustavu sou°adnic. Její volba je libovolná, a proto jilze vybrat tak, aby byl výpo£et co nejjednodu²²í. Výhodné je volit n¥které osysoustavy rovnob¥ºné s fyzikáln¥ nebo geometricky význa£nými sm¥ry, pokud


takové úloha obsahuje. V na²em p°ípad¥ je fyzikáln¥ významný sm¥r ur£en tího-vým zrychlením, geometricky významný sm¥r pak naklon¥nou rovinou. S ob¥mat¥mito sm¥ry nem·ºeme sou°adnicové osy spojit, nebo´ nejsou kolmé. Je t°ebasi pro výpo£et vybrat jeden z nich. Zkusme postupn¥ obojí volbu, výsledkysamoz°ejm¥ musí vyjít shodn¥.

Nejprve zvolme osu x podél naklon¥né roviny (geometricky význa£ného sm¥ru).Osu y zvolme tak, aby vektor g leºel v rovin¥ xy. Osa z pak je kolmá na ro-vinu xy a orientována tak, aby osy x, y a z, práv¥ v uvedeném po°adí, tvo°ilypravoto£ivou soustavu. Zápis druhého Newtonova zákona ve sloºkách má tvar

max = mg sinα,

may = −mg cosα+N,

maz = 0.

T°etí rovnicí je p°ímo ur£ena z-ová sloºka zrychlení, ve zbývajících dvou nezávis-lých rovnicích v²ak jsou t°i neznámé, ax, ay a N . Soustava má tedy nekone£n¥mnoho °e²ení (jednu z neznámých lze volit libovoln¥ a dal²í dv¥ dopo£ítat). Ex-periment v²ak ukazuje, ºe poloºíme-li takovou kostku na hladkou naklon¥nourovinu, je její zrychlení ur£eno jednozna£n¥. Znamená to, ºe existuje je²t¥ dal²írovnice pro neznámé ax, ay a N , kterou jsme zatím nepouºili a ani jsme siji neuv¥domili. Tato rovnice jiº nesouvisí s druhým Newtonovým zákonem ten jsme vyuºili zcela. Je v²ak ur£ena poºadavkem, ºe kostka stále spo£ívá nanaklon¥né rovin¥. Tento poºadavek je matematicky vyjád°en v podob¥ vazebnípodmínky kladené na y-ovou sloºku polohového vektoru kostky, y(t) = 0. Odtuday = 0. e²ení soustavy má pak tvar

ax = g sinα, ay = 0, az = 0, N = mg cosα, a = g sinα.

Prove¤me výpo£et je²t¥ pro druhou moºnost volby soustavy sou°adnic. Osuy′ ztotoºn¥me s opa£ným sm¥rem ke sm¥ru tíhového zrychlení, osu x′ zvolmevodorovn¥ a osu z′ op¥t tak, aby soustava sou°adnic byla pravoto£ivá. Vektorovýtvar druhého Newtonova zákona je na volb¥ soustavy sou°adnic nezávislý, jehorozklad do sloºek je následující.

ma′x = N sinα,

ma′y = −mg +N cosα,

ma′z = 0.

Vazební podmínka má nyní tvar y′ = −x′ tgα, tj. a′y = −a′x tgα. e²ení soustavyje

a′x = g sinα cosα, a′y = g sin2 α, a′z = 0, N = mg cosα, a = g sinα.

Výsledky p°i obojí volb¥ soustavy sou°adnic jsou v souladu, jak jsme o£ekávali.

P°idejme nyní t°ecí sílu. Ta p·sobí proti pohybu kostky. Známe tedy její sm¥r,nikoli v²ak zatím její velikost.


T°ecí síla je podobn¥ jako tlaková vektorovým sou£tem elementárních sil, tj. T =∫S

dT . Jejich

p·sobi²t¥ jsou rozloºena ve sty£né plo²e kostky s podloºkou.

P°edpokládejme, ºe kostka jiº je v pohybu, takºe ve h°e je dynamická t°ecí síla.Pouºijme pro ni nejjednodu²²í silový zákon (2.9). Pro výpo£et zvolíme sou°ad-nicovou soustavu, v níº je osa x namí°ena podél naklon¥né roviny (první al-ternativa volby v p°edchozím výpo£tu). Druhý Newton·v zákon ve vektorovémtvaru

ma = mg + N + Td

rozloºíme do sloºek:

max = mg sinα−Nf,

may = −mg cosα+N,

maz = 0.

Vazební podmínka je stejná, jako p°i pohybu bez t°ení, vyplývá z ní tedy ay = 0.e²ení soustavy je

ax = g sinα− gf cosα, ay = 0, az = 0, N = mg cosα.

Zamysleme se nad tímto °e²ením. T°ecí sílu jsme namí°ili proti sm¥ru osyx, coº odpovídá pohybu kostky sm¥rem dol·. (Kdybychom zm¥nou po£áte£níchpodmínek uvedli kostku do pohybu sm¥rem vzh·ru, sm¥°ovala by t°ecí síla podélkladné osy x.) Co kdyº x-ová sloºka zrychlení bude záporná? V situaci, kdyjsme uvedli kostku do pohybu podél naklon¥né roviny sm¥rem dol· rychlostív0 = (v0, 0, 0) , to znamená, ºe se kostka brzdí. Její rychlost závisí na £asevztahem vx = v0 + (g sinα − gf cosα)t, vy = 0, vz = 0. Kostka se zastaví vokamºiku, kdy vy = 0, tj.

t0 =v0

gf cosα− g sinα.

V p°ípad¥, ºe v0 = 0, se kostka v·bec nerozjede. Bude na naklon¥né rovin¥ vklidu leºet. Zajímavou otázkou pak je, jak to je se silami, které na kostku p·sobí.P·sobícími silami jsou op¥t síla tíhová, síla tlaková a síla t°ecí, tentokrát v²akstatická. Pro tu ale nemáme silový zákon. Pom·ºe nám v²ak skute£nost, ºevýslednice sil, které p·sobí na kostku v klidu, musí být nulová.

mg + N + Ts = 0 =⇒ mg sinα− Ts = 0, −mg cosα+N = 0 =⇒

=⇒ N = mg cosα, Ts = mg sinα.

Statická t°ecí síla se tedy p°izp·sobila situaci . Její hodnota se nastavila tak,aby práv¥ vykompenzovala x-ovou sloºku sou£tu zbylých sil mg + N . Uspo°á-dejme nyní pokus tak, ºe budeme naklon¥nou rovinu, na níº kostka v klidu leºí,zvedat. Experiment °íká, ºe p°i ur£itém úhlu sklonu α0 se kostka dá do pohybu.Znamená to, ºe povrchové drsnosti, díky kterým se vzájemné p·sobení podloºkya kostky projevuje statickou t°ecí silou, jiº kostku neudrºely , velikost statické


t°ecí síly p°ekro£ila ur£itou mez Ts,max. Touto mezí, která závisí mj. na kvalit¥sty£ných ploch, je denován koecient statického t°ení f0:

Ts,max = Nf0 =⇒ f0 =Ts,max

N.

Koecient statického t°ení je veli£ina, která se ur£uje empiricky. Je v¥t²í neºkoecient dynamického t°eni, tj. f0 > f . Úhel sklonu naklon¥né roviny α0, p°ikterém se kostka dá do pohybu, je ur£en maximální p°ípustnou statickou t°ecísilou:

mg sinα0 = Nf0 =⇒ mg sinα0 = mgf0 cosα0 =⇒ tgα0 = f0.

e²me je²t¥ pohyb kostky pro p°ípad, ºe jí ud¥líme rychlost v0 = (−v0, 0, 0)sm¥rem vzh·ru po naklon¥né rovin¥. Dynamická t°ecí síla má nyní opa£ný sm¥rneº p°i pohybu kostky dol·. Druhý Newton·v zákon ve sloºkách má tvar

max = mg sinα+Nf, (2.11)

may = −mg cosα+N, (2.12)

maz = 0. (2.13)

S uváºením vazební podmínky y(t) = 0 =⇒ ay = 0 dostáváme °e²ení

ax = g(sinα+ f cosα), ay = 0, az = 0, N = mg cosα.

Závislost rychlosti na £ase je v(t) = (−v0 + axt, 0, 0). Rychlost kostky nabudenulové hodnoty v okamºiku

t′0 =v0

g(sinα+ f cosα).

Pokud je α > α0, rozjede se kostka sama op¥t dol·. V opa£ném p°ípad¥ se zastavía bude v klidu. Uv¥domte si, co nastane v takovém p°ípad¥: Zatímco dynamickát°ecí síla sm¥°ovala p°i brzd¥ní kostky dol·, bude statická t°ecí síla sm¥°ovatvzh·ru. Musí totiº kompenzovat pr·m¥t tíhové síly do sm¥ru naklon¥né roviny.Jinak by se kostka v klidu na naklon¥né rovin¥ neudrºela. Obr. 2.10 znázor¬uje£asový pr·b¥h x-ové sloºky t°ecí síly (ostatní její sloºky jsou nulové) pro r·znésituace popsané vý²e.


smer pohybu

TF

t=t0 ,

0v=

F=mg+N+T F=mg+N+T

T

F

t=t0 ,

0v=

mgf cosα

O x

y

=mg

N

F

α

Tx

0t

mgf cosα

sinα0mgf

O x

y

=mg

N

F

α

Tx

sinα0mgf

t

t0t

smer pohybu

Obr. 2.10-a: Kostka na naklon¥né rovin¥ se t°ením


0

αcosmgf

v0x

v0x

v0x

v0x= 0v 0 , f0 tgαb)

vx

t

Tx

t

αmgfsin

t0

∆t

0t

v0x= 0v 0 , f0 tgαa)

vx

t

v0x

Tx

t

αcosmgf

v0x= d)

vx

Tx

∆t

v0x= c)

vx

Tx

v0 0, α α 0

t

αmgfsin

αmgfcos

t

∆t

αmgfcos

αcosmgf

tt0

t0

tt0

v0 0, α α 0

t

Obr. 2.10-b: K p°íkladu 2.8 r·zné situace


♠

P°íklad 2.9. Kostka na pohyblivé naklon¥néo rovin¥.

Upravme nyní zadání p°edchozí úlohy tak, ºe naklon¥ná rovina o hmotnostiM nebude p°ipevn¥na k vodorovné podloºce, naopak po ní bude moci klouzatbez t°ení. Také kostka se po naklon¥né rovin¥ m·ºe pohybovat bez t°ení, ajako p°edtím zanedbáme odpor prost°edí. Úkolem je ur£it zrychlení kostky ai zrychlení naklon¥né roviny A. e²íme tedy pohyb soustavy tvo°ené dv¥mat¥lesy. Druhá Newton·v zákon proto musíme formulovat pro kaºdé z nich. VObr. 2.11 jsou zakresleny síly p·sobící na kostku i síly p·sobící na naklon¥nourovinu. Na kostku p·sobí Zem¥ tíhovou silou mg a naklon¥ná rovina tlakovousilou N .

P

x

y

N

N

mg

Mg

Obr. 2.11: Kostka a naklon¥ná rovina k p°íkladu 2.9

Na naklon¥nou rovinu p·sobí Zem¥ tíhovou silou Mg, kostka tlakovou silou −N(síly N a −N jsou akce a reakce) a vodorovná podloºka tlakovou silou P . DruhýNewton·v zákon pro jednotlivé £ástice má tvar

ma = mg + N , MA = Mg − N + P .

Soustavu sou°adnic zvolíme tentokrát tak, ºe osa x je vodorovná podle obrázku,osa y sm¥°uje proti tíhovému zrychlení a soustava tvo°ená osami x, y a z je


pravoto£ivá. P°edchozí vektorové rovnice mají následující vyjád°ení ve sloºkách:

max = −N sinα,

may = −mg +N cosα,

maz = 0 =⇒ az = 0,

MAx = N sinα,

MAy = −Mg −N cosα+ P,

MAz = 0 =⇒ Az = 0.

Soustava £ty° rovnic tvo°ená prvními dvojicemi rovnic uvedených soustav obsa-huje 6 neznámých ax, ay, Ax, Ay, N a P . Pot°ebujeme dv¥ vazební podmínky.První z nich je jednoduchá naklon¥ná rovina stále spo£ívá na vodorovnépodloºce, tj. Y (t) = 0 =⇒ Ay = 0. Druhá podmínka vychází ze skute£-nosti, ºe kostka stále spo£ívá na naklon¥né rovin¥. Znamená to, ºe relativnízrychlení arel = a − A kostky v·£i naklon¥né rovin¥ je s naklon¥nou rovi-nou trvale rovnob¥ºné (zrychlení kostky vzhledem k pozorovateli spojenémus naklon¥nou rovinou mí°í podél naklon¥né roviny). Vazební podmínka je tedy(ay − Ay)/(ax − Ax) = tgα. Získáváme tedy soustavu ²esti rovnic pro ²est ne-známých

max = −N sinα,

may = −mg +N cosα,

MAx = N sinα,

MAy = −Mg −N cosα+ P,

Ay = 0,

ay −Ay

ax −Ax= tgα.

Její °e²ení (prove¤te sami) je

ax = −Mg sinα cosα

M +m sin2 α, ay = − (m+M)g sin2 α

M +m sin2 α, az = 0,

Ax =mg sinα cosα

M +m sin2 α, Ay = 0, Az = 0,

N =mMg cosα

M +m sin2 α, P =

M(m+M)g

M +m sin2 α.

♠

P°íklad 2.10. Matematické kyvadlo.smallskip

Jednoduchým mechanickým modelem je matematické kyvadlo. Popsali jsme jejiº v p°íkladu 1.1 na Obr. 1.2. (Osy soustavy sou°adnic byly v p°íkladzu 1.1.


zna£eny x1, x2 a x3, zde pro jednoduchost x, y a z). Kulicka o hmotnosti m sepohybuje na vlákn¥ stálé délky l v rovin¥ xz, soustava má tedy jeden stupe¬volnosti a její okamºitá poloha je jednozna£n¥ popsána £asovou závislostí úhlovévýchylky φ = (t). Pomocí druhého Newtonova zákona sestavíme rovnice, z nichºlze závislost φ = (t) v principu získat. Do obrázku zakreslíme síly, jimiº zakuli£ku p·sobí její okolí.

mg

F=mg+T F=mg+T

T

ϕ

mg

T

ϕ

g

Obr. 2.12: Matematické kyvadlo

Zanedbáme-li odpor prost°edí proti pohybu kuli£ky, zbývá tíhová síla FG = mg,jíº na kuli£ku p·sobí Zem¥, a tahová síla vlákna T . Výslednici t¥chto dvou sil,Newtonovu hybnou sílu , ozna£me F = mg + T . V levé £ásti Obr. 2.12 jsouzakresleny síly mg a T , v pravé jejich výslednice F . Druhý Newton·v zákon mátvar

ma = mg + T .

Otázkou je nyní volba soustavy sou°adnic. Jednou z moºností je pouºít prorozklad vektor· pevné soustavy < O; x, y, z >. Pak

max = −T sinφ, may = −mg + T cosφ, maz = 0. (2.14)

Vazební podmínku x2 + y2 = l2 lze alternativn¥ vyjád°it takto:

x = l sinφ, y = −l cosφ,

pro rychlost a zrychlení pak dostaneme

vx = x = lφ cosφ, (2.15)

vy = y = lφ sinφ, (2.16)

v =√v2x + v2y =

√x2 + y2 = l|φ| = l|ω|. (2.17)


ax = x = −lφ2 sinφ+ lφ cosφ, (2.18)

ay = y = lφ2 cosφ+ lφ sinφ, (2.19)

a =√a2x + a2y =

√x2 + y2 = l

√φ4 + φ2 = l

√ω4 + ε2. (2.20)

Vyjád°ení sloºek zrychlení pomocí úhlové výchylky a jejích derivací dosadímedo (2.14). Vynásobíme-li první rovnici soustavy (2.14) cosφ, druhou sinφ ase£teme, vylou£íme tím T a dostaneme

lφ = −g sinφ =⇒ φ+

√g

lφ = 0. (2.21)

Získali jsme rovnici pro neznámou funkci φ(t). Krom¥ této funkce obsahuje rov-nice i její druhou derivaci. Rovnice pro neznámé funkce popisující trajektorii£ástice, resp. obecn¥ji mechanické soustavy, nazýváme pohybové rovnice. Nale-zení neznámé funkce je otázkou matematických postup· °e²ení tzv. oby£ejnýchdiferenciálních rovnic, které si ukáºeme v dal²ím odstavci. Pokud v na²í úlozeo kyvadle dokáºeme pozd¥ji ur£it funkci φ(t), pak s její znalostí m·ºeme zjistiti £asovou závislost velikosti tahové síly T (t).

Pokusme se je²t¥ vyjád°it druhý Newton·v zákon zp·sobem, který umoºnízna£né zjednodu²ení výpo£tu oproti p°edchozímu postupu. Pouºijme pro roz-klad vektorového tvaru druhého Newtonova zákona soustavy sou°adnic, která jep°irozeným zp·sobem spojena s trajektorií kuli£ky, pohyblivého reperu. Vektorbinormály bude v tomto p°ípad¥ vºdy soub¥ºný s osou z, a´ jiº souhlasn¥ nebonesouhlasn¥, a pr·m¥ty sil do binormály jsou tedy nulové. Pro zjednodu²enítedy budeme pracovat pouze v rovin¥ ur£ené jednotkovým vektorem te£ny τa jednotkovým vektorem hlavní normály n (viz Obr. 2.13).

nF

F

F

ϕ

g

mg

T

τ

τ

Obr. 2.13: Matematické kyvadlo je²t¥ jednou


Rozkladem vektorové rovnice p°edstavující druhý Newton·v zákon do sm¥rute£ny a hlavní normály dostaneme

maτ = −mg sinφ, man = T −mg cosφ. (2.22)

Te£né a normálové zrychlení aτ a an jsou dána vztahy (1.37) a (1.42), tj.

φ+ g sinφ, T = mg cosφ+mlφ2.

Výsledná síla F = mg + T má te£nou a normálovou sloºku ur£enou vztahy(2.22),

Fτ = maτ = −mg sinφ τ , Fn = man = (T −mg cosφ) n.

Síla F tedy mí°í do poloroviny ur£ené te£nou k trajektorii a bodem záv¥sukyvadla. Normálová sloºka zrychlení musí být totiº nenulová, nebo´ pohyb jek°ivo£arý. V p°ípad¥, ºe kuli£ka kmitá, tj. −φ0 ≤ φ(t) ≤ φ0, φ0 < 90o, jsouvýjimkou krajní body (body obratu) trajektorie. V nich má kuli£ka nulovourychlost a tedy i nulové normálové zrychlení. Výsledná síla je v bodech obratute£ná k trajektorii. ♠

P°íklad 2.11. Pohyb t¥lesa s prom¥nnou hmotností.Ve v²ech p°íkladech jsme dosud uvaºovali pouze o £ásticích s konstantní hmotností. DruhýNewton·v zákon je v²ak formulován obecn¥ji, p°ipou²tí i moºnost prom¥nné hmotnosti ob-jektu. Jako typický p°íklad se uvádí pohyb rakety, jejíº hmotnost klesá tím, ºe ji opou²t¥jíspálené plyny paliva. Pro jiné p°íklady nemusíme chodit daleko sta£í sledovat pohyb na-fouknutého nezavázaného pouóvého balónku. Jako p°íklad by mohl poslouºit t°eba i nákladníautomobil, jemuº se z korby sype písek. Uvaºme tedy moºnost, ºe hmotnost objektu se m¥nítak, ºe je známa rychlost hmotných element· ∆m , které se od základního objektu prom¥nnéhmotnosti m odpojují, resp. se k n¥mu p°ipojují, vzhledem k tomuto základnímu objektu.Ozna£me ji u a p°edpokládejme, ºe je konstantní (plyny opou²t¥jí raketu se stálou relativnírychlostí). Je-li rychlost základního objektu vzhledem k dané inerciální vztaºné soustav¥ v, jerychlost elementu ∆m v·£i téºe vztaºné soustav¥ v + u. Hmotný element ∆m a objekt m nasebe navzájem p·sobí interak£ními silami f a −f . P°edpokládejme, ºe dal²í síly na ºádnou£ást t¥lesa nep·sobí. Zm¥na hybnosti základního objektu za dobu ∆t je rovna odpovídajícímuimpulsu síly f , zm¥na hybnosti elementu ∆m impulsu síly −f .

(m+∆m)(v +∆v)−mv = f ∆t, −∆m(v + u) = −f ∆t.

Zanedbáme-li sou£in ∆m∆v a se£teme-li ob¥ rovnice, dostaneme

m∆v −∆mu = 0 =⇒ ∆v ∥ u.

Rychlost u elementu ∆m vzhledem k p·vodnímu t¥lesu mí°í na opa£nou stranu neº sepohybuje p·vodní t¥leso vzhledem k inerciální vztaºné soustav¥, je tedy v = (v), u = (−u).Pak

dm

m= −

dv

u=⇒ lnm = −

v

u+ C, C = konst.

K ur£ení integra£ní konstanty C pot°ebujeme op¥t jednu podmínku navíc. P°edpokládáme-li,ºe pro v = v0 je m = m0, vyjde C = lnm0 + v0

u. e²ení je tedy

lnm = −v

u+ lnm0 +

v0

u=⇒ m(v) = m0 exp (−

v − v0

u).

♠


2.4.2 Pohybové rovnice: Od zrychlení k trajektorii II

V p°edchozím odstavci jsme poprvé hovo°ili o pohybových rovnicích v souvislostis matematickým kyvadlem (p°íklad 2.10, vztah (2.21)). Pohybové rovnice jsouklí£ovým pojmem dynamiky. Jsou v podstat¥ matematickým zápisem druhéhoNewtonova zákona a p°edstavují obecn¥ soustavu rovnic pro neznámé funkce po-pisující trajektorii studované £ástice nebo soustavy £ástic. Uvaºujme o £ástici,na kterou p·sobí okolní objekty 1, 2, . . . , K silami F1, F2, . . ., FK . Jednotlivésíly jsou dány silovými zákony a obecn¥ závisí, jak jsme jiº zjistili v odstavci2.3.2, na poloze a rychlosti £ástice a také explicitn¥ na £ase. (P°íkladem expli-citní závislosti silového p·sobení na £ase m·ºe být st°ídavé elektrické pole mezideskami kondenzátoru, kde se testovací nabitá £ástice pohybuje.) Ozna£íme-liF =

∑Kk=1 Fk výslednici vý²e uvedených sil, zapí²eme druhý Newton·v zákon

takto

dp

dt= F (r, v, t), p°i konstantní hmotnosti ma = F (r, v, t).

Rychlost a zrychlení jsou v²ak derivacemi funkce r(t), která p°edstavuje para-metrické vyjád°ení trajektorie £ástice a kterou je t°eba °e²ením problému zjistit.Omezíme-li se na p°ípad konstantní hmotnosti £ástice, dostaneme vektorov¥ a vesloºkách

m(t) = F (r(t), ˙r(t), t),

max = Fx(x, y, z, x, y, z, t),

may = Fy(x, y, z, x, y, z, t), (2.23)

maz = Fz(x, y, z, x, y, z, t).

Vztahy (2.23) p°edstavují soustavu t°í diferenciálních rovnic pro neznámé funkcex(t), y(t) a z(t). Neznámé funkce závisí na jediné prom¥nné t, nazývají se protooby£ejné. Název diferenciální je dán skute£ností, ºe krom¥ neznámých funkcíobsahuje soustava i jejich derivace. Rovnice jsou druhého °ádu, nebo´ nejvy²²íderivace neznámých funkcí jsou druhého °ádu. Dal²í terminologie týkající se di-ferenciálních rovnic souvisí jiº s jejich konkrétním tvarem. e²ení konkrétníchsituací ukáºeme na p°íkladech, aniº bychom se zabývali samotnou matematic-kou metodikou °e²ení diferenciálních rovnic. (Zájemc·m o tuto problematikuposlouºí jakákoli u£ebnice matematické analýzy.)

P°íklad 2.12. Modely odporových sil.

Kapka ve tvaru malé kuli£ky o polom¥ru r padá ve vzduchu, který klade jejímupohybu odpor. P°edpokládejme, ºe kuli£kakapka je voln¥, tj. s nulovou rych-lostí, vypu²t¥na ve vý²ce h nad povrchem Zem¥. Vy²et°íme její pohyb jak prop°ípad, kdy je silovým zákonem pro odporovou sílu Stokes·v vzorec, tak prop°ípad Newtonova modelu (p°íklad 2.7, vztah (2.10)). Druhý Newton·v zákonmá tvar


ma = mg + Fo.

V laboratorní vztaºné soustav¥ zvolíme po£átek kartézské soustavy sou°adnicna povrchu Zem¥ pod bodem, ze kterého je kapka vypu²t¥na, osu x orientujemesouhlasn¥ s tíhovým zrychlením, osy y a z pak jiº zvolíme ve vodorovné rovin¥jakkoli. Po£áte£ní podmínky jsou tedy

r(0) = (−h, 0, 0), v(0) = ˙r(0) = (0, 0, 0).

V p°ípad¥ Stokesova modelu jsou pohybové rovnice kapky následující

mx = mg − 6πηrx, my = 0, mz = 0.

Integrací druhé a t°etí rovnice dostaneme

y(t) = Pyt+Qy, z(t) = Pzt+Qz,

kde Py, Qy, Pz a Qz jsou integra£ní konstanty. Vzhledem k zadaným po£áte£nímpodmínkám jsou nulové. Proto y(t) = 0, z(t) = 0. První rovnici upravíme

mx+ 6πηr

(x− mg

6πηr

)= 0

a ozna£íme ξ = mg6πηr − x, tj. ξ = −x. Pak

mξ + 6πηrξ = 0 =⇒ ξ

ξ= −6πηr

m=⇒

=⇒∫

dξ

ξ= −

∫6πηr

mdt =⇒ ln ξ = −6πηr

mt+ C.

Po£áte£ní podmínka pro rychlost x = 0 vede k po£áte£ní podmínce pro ξ. Platíξ(0) = mg

6πηr . Odtud dostaneme hodnotu integra£ní konstanty C = ln mg6πηr .

6πηr

mgξ = exp

(−6πηr

mt

)=⇒ x =

mg

6πηr

[1− exp

(−6πηr

mt

)].

Dal²í integrací získáme závislost x(t):

x =

∫mg

6πηr

[1− exp

(−6πηr

mt

)]dt =

mg

6πηr

[t+

m

6πηrexp

(−6πηr

mt

)]+D.

Integra£ní konstantu D ur£íme op¥t z po£áte£ní podmínky, kerá má tvar x(0) =−h. e²ení soustavy pohybových rovnic je tedy

x(t) =mg

6πηr

[t+

m

6πηrexp

(−6πηr

mt

)]−

[h+ g

(m

6πηr

)2], y(t) = 0, z(t) = 0.


Grafy závislostí polohy kapky x(t) a její rychlosti vx(t) = x(t) na £ase jsou naObr. 2.14-a a Obr. 2.14-b. (Vodorovná osa grafu, ozna£ená jako x, je £asová,na svislé ose s popisem y je poloha x(t), resp. rychlost vx(t) kapky). Polom¥rkapky je 1 mm, hustota vody je ϱ = 1000 kgm3, dynamická viskozita vzduchup°i teplot¥ 0 o C je η = 1, 7 · 10−5 Pa s. Graf je sestrojen v takovém rozsahu,aby bylo vid¥t, ºe se rychlost kapky pro t → ∞ blíºí jisté limitní hodnot¥. Tavyplývá ze vztahu pro x(t) a je rovna

vm =mg

6πηr. (2.24)

Nazývá se mezní rychlost. Na druhé stran¥ je vid¥t, ºe Stokes·v model odporovésíly není p°íli² realistický. Z grafu je vid¥t, ºe m¥la-li by se rychlost kapky blíºitmezní hodnot¥, museli bychom ji nechat padat z n¥kolikakilometrové vý²ky.Kapka by padala desítky sekund. Mezní rychlost pro zadané hodnoty £iní asivm

.= 1, 3 · 102ms−1. Tato hodnota není v praxi realistická, je p°íli² vysoká.

Proto v dal²í úvaze pouºijeme Newton·v model, který slibuje ú£inn¥j²í brzd¥níkapky díky závislosti odporové síly na kvadrátu rychlosti. Pohybové rovnice majípro tento p°ípad tvar

mx = mg − 1

2πr2Cϱx2, my = 0, mz = 0,

kde S = πr2. V²imn¥me si první rovnice podrobn¥ji. Tíhová síla je stále stejn¥velká, zatímco síla odporová roste se vzr·stající rychlostí, tentokrát kvadratickyna rozdíl od lineárního nár·stu v p°ípad¥ Stokesova modelu. V okamºiku, kdyse odporová síla vyrovná se silou tíhovou, je zrychlení nulové a t¥leso dosahujemezní rychlosti

vm =

√2mg

πr2Cϱ. (2.25)

Pro po£áte£ní podmínky y(0) = 0, y(0) = 0, z(0) = 0 a z(0) = 0 dostanemez druhé a t°etí pohybové rovnice y(t) = 0, z(t) = 0. M·ºeme se tedy zabývatjiº jen první rovnicí. Ozna£me v ní ξ = x. Po£áte£ní podmínka pro ξ je pakξ(0) = x(0) = 0. Úpravou rovnice, rozkladem na parciální zlomky a integracípostupn¥ dostaneme

2mx

πr2Cϱ(

2mgπr2Cϱ − ξ2

) = 1 =⇒ v2mgξ · 1

2vm

(1

vm + ξ+

1

vm − ξ

)= 1,

vm2g

∫ (1

vm + ξ+

1

vm − ξ

)dξ = t+ C

vm2g

ln

∣∣∣∣vm + ξ

vm − ξ

∣∣∣∣ = t+ C


Vzhledem k po£áte£ní podmínce ξ(0) = 0 je integra£ní C konstanta nulová.Dal²í úpravou dostaneme

vm + ξ

vm − ξ= exp

(2gt

vm

)=⇒ ξ(t) = vm

exp(

2gtvm

)− 1

exp(

2gtvm

)+ 1

= vm tgh

(gt

vm

).

P°edev²ím vidíme, ºe konstanta vm skute£n¥ p°edstavuje mezní rychlost, kterév²ak kapka reáln¥ nikdy nedosáhne. Jde totiº o limitní hodnotu rychlosti prot → ∞, limt→∞ ξ(t) = vm. Dal²í integrací výrazu pro ξ = x a s uváºenímpo£áte£ní podmínky x(0) = −h získáme závislost polohy kapky na £ase.

x =

∫vm tgh

(gt

vm

)dt = vm

∫ sinh(

gtvm

)cosh

(gtvm

) dt =v2mg

ln

[cosh

(gt

vm

)]− h.

Grafy polohy a rychlosti kapky v závislosti na £ase jsou na Obr. 2.14-c a Obr.2.14-d. (Význam popisu os je stejný jako na Obr. 2.14-a a Obr. 2.14-b.)

2000

x

0

-2000

80

-4000

-6000

6040200

Obr. 2.14-a: K p°íkladu 2.12 Stokes·v model poloha


x

806040200

y

140

120

100

80

60

40

20

0

Obr. 2.14-b: K p°íkladu 2.12 Stokes·v model rychlost

-5

-10

-15

-20

x

43210

y

0

Obr. 2.14-c: K p°íkladu 2.12 Newton·v model poloha


y

x

8

4

6

4

3

2

0210

Obr. 2.14-d: K p°íkladu 2.12 Newton·v model rychlost

Pro pád kulové kapky o polom¥ru r = 1mm ve vzduchu (C = 0, 5, ϱ =1, 3 kgm−3 p°i teplot¥ 0 o C a bez uváºení závislosti na vý²ce) je vm = 6, 3ms−1.Graf odpovídá pádu kapky z vý²ky h = 20m. Rovn¥º tato situace není zcelarealistická, kapka si totiº p°i pádu neuchová kulový tvar. Pokud bychom p°edpo-kládali, ºe zaujme tvar spí²e aerodynamický, bude hodnota konstanty C rovnaasi 3, 7 ·10−2. Pro tento p°ípad je vm = 23, 3ms−1. Aproximaci také p°edstavujekonstantní hustota vzduchu. Ve skute£nosti je závislá nejen na teplot¥, ale i navý²ce nad povrchem Zem¥. ♠

P°íklad 2.13.

Vra´me se k pohybové rovnici matematického kyvadla (2.21). Ozna£me v níΩ0 =

√g/l. Rovnice

φ+Ω20 sinφ = 0

má sice analytické °e²ení, jeho vyjád°ení v²ak není jednoduché. Rychlou p°ed-stavu o pr·b¥hu závislosti úhlové výchylky na £ase m·ºeme snadno získat prop°ípad malých výchylek, p°i nichº lze sinφ nahradit p°ímo úhlem φ v obloukovémí°e.

Funkci sinus lze totiº vyjád°it mocninnou °adou

sinφ = φ−1

3!φ3 +

1

5!φ5 − · · ·+

(−1)k

(2k + 1)!φ2k+1 + · · ·


a nahradit ji pro malé hodnoty φ pouze prvním £lenem. Relativní chyba tohoto odhadu jepak ur£ena podílem prvního £lenu zanedbaného zbytku °ady a hodnoty φ. Poºadujeme-linap°íklad, aby relativní chyba odhadu byla men²í neº 0, 01, dostaneme pro p°ípustný rozsahúhlových výchylek v obloukové mí°e vztah

φ3

6φ< 0, 01 =⇒ φ <

√0, 06

.= 0, 25.

To odpovídá hodnot¥ asi 14 o.

e²íme tedy rovnici v aproximativním tvaru

φ+Ω20φ = 0.

Jedná se o rovnici druhého °ádu, lineární (neznámá funkce a její derivace vystu-pují v rovnici lineárn¥), s konstantními koecienty (u neznámé funkce a jejíchderivací nestojí funkce, ale konstanty) a homogenní (na pravé stran¥ rovnice jenula). V²echna její reálná °e²ení (úhlová výchylka je reálnou funkcí £asu) jsouobsaºena v zápisu

φ(t) = a cosΩ0t+ b sinΩ0t, (2.26)

a a b jsou libovolné reálné konstanty. Jejich hodnoty je t°eba ur£it pomocípo£áte£ních podmínek, φ(0) = −φ0, ˙φ(0) = ω0. Dosazením t¥chto hodnot do°e²ení rovnice pro t = 0 dostáváme

φ0 = a, ω0 = bΩ0 =⇒ b =ω0

Ω0.

Pro dané po£áte£ní podmínky je °e²ením funkce

φ(t) = φ0 cosΩ0t+ω0

Ω0sinΩ0t.

e²ení je lineární kombinací funkcí kosinus a sinus prom¥nné Ω0t. Je tedy peri-odickou funkcí s periodou T = 2π

√l/g. Dv¥ mezní situace nastanou pro ω0 = 0

a φ0 = 0. Platí pro n¥

φ(t) = φ0 cosΩ0t, φ(t) =ω0

Ω0sinΩ0t.

Pohyb kyvadla je popsán £istou funkcí kosinus, resp. sinus.

Zam¥°me se na °e²ení rovnice podrobn¥ji. Úprava na tvar φ = −Ω20φ ukazuje, ºe °e²ením

je funkce, jejíº druhá derivace je aº na vynásobení konstantou rovna p·vodní funkci. Tuto

vlastnost mají goniometrické funkce sinus a kosinus a funkce exponenciální. P°edpokládáme

°e²ení v exponenciálním tvaru φ = expλt, koecient λ hledejme jeho dosazením do rovnice:

λ2 expλt+Ω20 expλt = 0 =⇒ λ2 +Ω2

0 = 0.

Získali jsme algebraickou rovnici pro λ, tzv. charakteristickou rovnici. Hodnoty

λ = ±iΩ0.


jsou charakteristické ko°eny diferenciální rovnice φ+Ω20φ = 0. Základem °e²ení jsou funkce

φ1(t) = exp (iΩ0), φ2(t) = exp (−iΩ0),

které tvo°í fundamentální systém °e²ení dané diferenciální rovnice. Rovnici vyhovuje také

kaºdá jejich lineární kombinace

φ(t) = C1φ1(t) + C2φ2(t) = C1 exp (iΩ0t) + C2 exp (−iΩ0t), (2.27)

kde C1 a C2 jsou libovolné obecn¥ komplexní konstanty. Podobn¥ jako v p°edchozích úlohách

mají význam integra£ních konstant. Vztah (2.27) obsahuje v²echna °e²ení rovnice. Fyzikální

smysl v²ak mají v na²í úloze pouze reálné funkce φ(t), tj. takové, které spl¬ují poºadavek

φ(t) = φ∗(t). Hv¥zdi£ka zna£í operaci komplexního sdruºení. Dostáváme omezení pro volbu

konstant

C1 exp (iΩ0t) + C2 exp (−iΩ0t) = C∗1 exp (−iΩ0t) + C∗

2 exp (iΩ0t) =⇒=⇒ (C1 − C∗

2 ) exp (2iΩ0t) = (C∗1 − C2).

Podotkn¥me, ºe d¥lení výraz· exponenciální funkcí je povoleno pro v²echna t, nebo´ expo-

nenciální funkce je vºdy nenulová. P°edchozí rovnost musí platit pro libovolné t. Vzhledem k

tomu, ºe na její levé stran¥ je nekonstantní funkce a na pravé konstanta, je moºné jí vyhov¥t

pouze pro C2 = C∗1 . Zapí²eme-li C1 ve tvaru A+iB, kde A, B ∈ R, je C2 = A− iB. Pouºijeme

Eulerova vztahu exp (iα) = cosα+ i sinα. Pro φ(t) dostaneme

φ(t) = 2A cosΩ0t− 2B sinΩ0t =⇒ φ(t) = a cosΩ0t+ b sinΩ0t, a = 2A, b = −2B.

Výsledek se shoduje s (2.26).

Podrobn¥j²í návody k matematickým metodám °e²ení diferenciálních rovnic lzenalézt v b¥ºné matematické literatu°e.

A je²t¥ jedna zajímavost: Periodu matematického kyvadla T = 2π√l/g jsme získali °e²ením

jeho pohybové rovnice. To bylo pon¥kud pracné. Charakter vztahu pro periodu v²ak m·ºemezískat tém¥° bez práce, pouºitím tzv. rozm¥rové analýzy. Je jasné, ºe perioda m·ºe závisetpouze na tíhovém zrychlení, hmotnosti kuli£ky a délce záv¥su. P°edpokládejme je v sou£inové,tvaru

T = gαlβmγ ,

kde α, β a γ jsou zatím neznámé exponenty. Musí v²ak být takové, aby výsledný rozm¥rvy²el v sekundách. Dostáváme tak poºadavek

s = mα+β s−2α kgγ

a odtud porovnáním γ = 0, α+ β = 0, −2α = 1, tj. α = −1/2, β = 1/2, γ = 0. Pro periodu

tedy vychází T ∼√l/g. Rozm¥rová analýza nám samoz°ejm¥ neumoºní ur£it konstantu 2π.

Pokud bychom touto metodou cht¥li zjistit tvar vztahu pro periodu ob¥hu tzv. kuºelového

kyvadla, vykonávajícího rovnom¥rný pohyb po kruºnici o polom¥ru r = l sinϑ ve vodorovné

rovin¥, kde ϑ je úhel mezi vláknem záv¥su a svislým sm¥rem, dostaneme samoz°ejm¥ týº typ

její závislosti na l a g. P°esný vztah v²ak má tvar T = 2π√l cosϑ/g. konstantu 2π

√cosϑ


rozm¥rovou nalýzou op¥t nezjistíme. Rozm¥rová analýza je uºite£ná pro orienta£ní zji²t¥ní

typu závislosti dané veli£iny a veli£inách ostatních, není v²ak zcela dokonalá.

P°íklad 2.14. ástice v magnetickém poli °e²ení.

ástice o hmotnosti m nese náboj q a pohybuje se v homogenním £asov¥ nepro-m¥nném magnetickém poli o indukci B(r, t) = B =

−−−→konst. V £ase t = 0 prochází

po£átkem soustavy sou°adnic rychlostí v0. e²ením pohybové rovnice zjistímejejí trajektorii. Uváºíme-li pouze vliv magnetického pole a v²echny ostatní vlivyzanedbáme, má druhý Newton·v zákon s pouºitím silového zákona (2.7) tvar

ma = q(v × B).

Zvolíme pravoto£ivou kartézskou soustavu sou°adnic tak, aby osa z sm¥°ovalasouhlasn¥ s vektorem B a osy x a y tak, aby vektor v0 leºel v sou°adnicovérovin¥ xy (Obr. 2.15). Pak v = (vx, vy, vz) = (x, y, z), B = (0, 0, B), v0 =(0, v0y, v0z) = (0, v0 cosα, v0 sinα).

α

B

v

x

y

z

0v0z

v0y

O

Obr. 2.15: Nabitá £ástice v magnetickém poli

Ve sloºkách rozepí²eme druhý Newton·v zákon takto:

mx = q(vyBz − vzBy) = qyB,

my = q(vzBx − vxBz) = −qxB, (2.28)

mz = q(vxBy − vyBx) = 0.


e²ením t°etí rovnice je funkce z(t) = Azt+Bz, z po£áte£ních podmínek z(0) =0 a vz(0) = z(0) = v0z = v0 sinα zjistíme integra£ní konstanty Az = v0 sinα,Bz = 0. e²ení zbývajících rovnic je moºné provést r·znými zp·soby. Neº se don¥kterého z nich pustíme, v²imn¥me si jedné zajímavosti: Vynásobíme-li prvnírovnici soustavy (2.28) x, druhou y a se£teme, dostaneme

(xx+ yy) = 0 =⇒ d

dt

(v2x + v2y

)= 0.

Pr·m¥t rychlosti do roviny xy je tedy konstantní. Protoºe i vz = Az = v0 sinα

je konstantní, je v =√

v2x + v2y + v2z = v0 = konst. Pohyb £ástice v magnetickémpoli je tedy rovnom¥rný. V²imn¥te si, ºe tento výsledek by byl stejný, i kdybymagnetické pole bylo £asov¥ prom¥nné a nehomogenní, tj. indukce magnetickéhopole závisela na poloze a na £ase.

Pro °e²ení rovnice zvolíme pon¥kud formální, ale nejrychlej²í postup. Druhourovnici soustavy (2.28) vynásobíme imaginární jednotkou (i) a p°i£teme k prvnírovnici. Dále ozna£íme ξ = x+ iy. Pak

ξ = −iωξ, ω =qB

m.

Dosazením se snadno p°esv¥d£íte, ºe této rovnici vyhovují v²echny funkce tvaru

ξ = K exp (−iωt).

K je libovolná komplexní konstanta.

Poznámka: Pro derivování komplexních funkcí platí stejná pravidla jako ufunkcí reálných, takºe ξ = −iω exp (−iωt). Z teorie diferenciálních rovnic plyne,ºe jiná °e²ení uº rovnice nemá.

Konstantu K ur£íme z po£áte£ní podmínky pro rychlost: ξ(0) = K = x(0) +iy(0) = iv0 cosα. Pak, po rozd¥lení ξ na reálnou a imaginární £ást x = vx ay = vy,

ξ(t) = iv0 cosωt·exp (−iωt) =⇒ vx(t) = v0 cosα sinωt, vy(t) = v0 cosα cosωt.

Dal²í integrací a vyuºitím po£áte£ních podmínek x(0) = 0, y(0) = 0, jiº získámefunkce x(t) a y(t), které spolu se z(t) tvo°í parametrické vyjád°ení trajektorie.

x(t) =

∫v0 cosα sinωt dt =

v0 cosα

ω(1− cosωt) ,

y(t) =

∫v0 cosα cosωt dt =

v0 cosα

ωsinωt,

z(t) = v0t sinα.

Uvaºme dva speciální p°ípady, kdy je po£áte£ní rychlost kolmá k magnetickéindukci (α = 0), resp. je s ní rovnob¥ºná (α = π/2). e²ení úlohy má pak tvar


x(t) =v0ω

(1− cosωt) , y(t) =v0ω

sinωt, z(t) = 0, resp.

x(t) = 0, y(t) = 0, z(t) = v0t.

0,001

0,002

0,0005

00,0015

-0,0005

-0,001

0,0010,00050

Obr. 2.16-a: Pozitron v magnetickém poli, v0 ⊥ B

0,001

0

0,0005

0-0,0005

-0,0005

-0,001

-0,001-0,0015-0,002

Obr. 2.16-b: Elektron v magnetickém poli, v0 ⊥ B


V p°ípad¥, ºe £ástice vletí do magnetického pole kolmo k indukci (Obr. 2.16),je její trajektorií kruºnice (

x− v0ω

)2+ y2 =

(v0ω

)2v rovin¥ xy, se st°edem v bod¥ S = (v0/ω, 0, 0), a polom¥rem R = v0/ω. ásticepo ní obíhá rovnom¥rn¥ s kruhovou frekvencí ω = qB/m, zvanou cyklotronováfrekvence. Pro elektron v magnetickém poli o indukci 0,1 T je tato frekvencezhruba 1, 8 · 1010 s−1, pro proton 9, 6 · 106 s−1.

Grafy na Obr. 2.16-a a Obr. 2.16-b jsou nakresleny pro £ástice s kladným,resp. záporným elementárním nábojem ±e .

= ±1, 6 ·10−19 C a hmotností m =.=

0, 91 · 10−30 kg (pozitron, resp. elektron) s po£áte£ní rychlostí v0 = (0, v0, 0),v0

.= 1, 9 · 107 ms−1 v magnetickém poli B = (0, 0, B), B = 0, 1T. Po£áte£ní

rychlost odpovídá urychení nap¥tím 1 kV. Pozitron obíhá v záporném smyslu(po sm¥ru hodinových ru£i£ek), elektron v kladném smyslu. ♠

P°íklad 2.15. ástice v elektrickém a magnetickém poli.

Vy°e²íme je²t¥ pon¥kud sloºit¥j²í úlohu, pohyb nabité £ástice v £asov¥ neprom¥nném a ho-mogenním elektrickém i magnetickém poli. Intenzitu elektrického pole ozna£me E, indukcimagnetického pole B. Oba tyto vektory jsou konstantní. Soustavu sou°adnic zvolme tak, abyvektor B sm¥°oval op¥t podél osy z a vektor E leºel v sou°adnicové rovin¥ yz. Jejich sloºkyjsou pak B = (0, 0, B) a E = (0, E cosα, E sinα).

0

B

v

v0y

x

y

z

O α

E

v0x

v0z

Obr. 2.17: Nabitá £ástice v elektrickém a magnetickém poli

Po£áte£ní podmínky jsou r(0) = (0, 0, 0), v(0) = (v0x, v0y , v0z) (viz Obr. 2.17). DruhýNewton·v zákon


ma = qE + q(v × B)

p°epí²eme do sloºek:

mx = qyB,

my = qE cosα− qxB, (2.29)

mz = qE sinα.

Integrací t°etí rovnice a uváºením po£áte£ních podmínek z(0) = 0 a z(0) = v0z dostanemez(t) = qE

2mt2 sinα + v0zt. Pro °e²ení soustavy prvních dvou rovnic pouºijeme tentokrát jiný

p°ístup, abychom poznali i jiné matematické postupy. Vyjád°íme z první rovnice y, zderivujemea dosadíme do druhé rovnice. P°itom stejn¥ jako v p°íkladu 2.14 ozna£íme ω = qB/m. Tatoúprava vede k rovnici

x(3) + ω2

(x−

E

Bcosα

)= 0 =⇒ ξ + ω2ξ = 0,

kde jsme ozna£ili ξ = x− EB

cosα. Obecné °e²ení této rovnice v²ak jiº známe. Je totiº formáln¥shodná s pohybovou rovnicí matematického kyvadla s malými výchylkami. Je tedy

ξ(t) = a cosωt+ b sinωt =⇒

=⇒ x(t) =E

Bcosα+ a cosωt+ b sinωt, y = −a sinωt+ b cosωt,

kde a a b jsou libovolné reálné konstanty (integra£ní konstanty). Pro vyjád°ení y jsme p°itompouºili druhé rovnice ze soustavy (2.29). Uplatn¥ním po£áte£ních podmínek pro rychlost,x(0) = v0x, y(0) = v0y, dostaneme a = v0x − E

Bcosα a b = v0y , tj. celkov¥ pro rychlost

x =E

Bcosα+

(v0x −

E

Bcosα

)cosωt+ v0y sinωt,

y = −(v0x −

E

Bsinα

)cosωt+ v0y sinωt,

z =qEt

msinα+ v0z .

Dal²í integrací a uplatn¥ním po£áte£ní podmínky pro polohu získáme parametrické rovnicetrajektorie £ástice. Jejich výsledný tvar je

x(t) =Et

Bcosα+

1

ω

(v0x −

E

Bcosα

)sinωt+

v0y

ω(1− cosωt) ,

y(t) = −1

ω

(v0x −

E

Bcosα

)(1− cosωt) +

v0y

ωsinωt, (2.30)

z(t) =qEt2

2msinα+ v0zt.

Parametrické rovnice trajektorie se zjednodu²í za speciálních podmínek. Pro p°ípad, kdy jsouelektrické a magnetické pole rovnob¥ºná, je α = π/2. Dal²ím zjednodu²ením je volba po£áte£nírychlosti. Zvolíme-li ji kolmou k ob¥ma polím, nap°íklad v0 = (0, v0, 0), mají parametrickérovnice trajektorie tvar

x(t) =v0

ω(1− cosωt), y(t) =

v0

ωsinωt, z(t) =

qE

2mt2.


Tato trajektorie je znázorn¥na v prvním grafu v Obr. 2.18 pro proton (m = 1, 67 · 10−27 kg,q = +1, 60·10−19 C), jehoº po£áte£ní rychlost odpovídá urychlení nap¥tím 10 kV a její velikosttedy rovna v0 = 1, 38 · 106 ms−1. Indukce magnetického pole je B = 0, 1 T, intenzita poleelektrického je E = 5 · 104 Vm−1. Cyklotronová frekvence je 9, 58 · 106 s−1.

0,250 0,2

2

0,1 0,15

4

0,05

6

0,10

8

-0,05 0,05-0,1 0

Obr. 2.18-a: Trajektorie nabité £ástice v magnetickém poli


0,20,15

0

-0,4

0,1

-0,2

0,2

0

0,050,4

0,2

0,4

0,60

0,8 -0,051 -0,1

Obr. 2.18-b: Trajektorie nabité £ástice v elektrickém a magnetickém poli

0,2

0,15

0,1

1

0,05

00,8

-0,05

-0,1

0,60,40,20

Obr. 2.18-c: Trajektorie nabité £ástice v elektrickém a magnetickém poli


00,0201

0,5

0,040,8

1

1,5

0,6 0,06

2

2,5

0,4 0,080,2 0,10

Obr. 2.18-d: Trajektorie nabité £ástice v elektrickém a magnetickém poli

Dal²í grafy na Obr. 2.18 odpovídají stejným hodnotám jako první graf, av²ak postupn¥situacím

• E ⊥ B, tj. α = 0, (tzv. zk°íºené elektrické a magnetické pole), v0 = (0, v0, 0), prosto-rov¥ znázorn¥ná rovinná trajektorie,

• týº p°ípad jako p°edchozí, trajektorie je v²ak znázorn¥na v rovin¥ xy, v níº leºí,

• E ⊥ B, tj. α = 0, v0 = (0, 0, v0).

♠

P°íklad 2.16 Tlumené a vynucené kmity.

Dal²ím p°íkladem tohoto odstavce je °e²ení problému tlumených kmit· a vynu-cených kmit·. Základním modelem je harmonický oscilátor (t¥lísko na pruºin¥z p°íkladu 2.6), jehoº pohyb je tlumen odporovou silou závislou lineárn¥ narychlosti Fo = −2γv, γ je kladná konstanta, pop°ípad¥ podporován perio-dicky prom¥nnou vynucující silou. Konstanta γ/m se nazývá koecient útlumu.Pohybové rovnice pro tyto p°ípady jsou

mx+ 2γx+ kx = 0, (2.31)

mx+ 2γx+ kx = F0 sinΩt. (2.32)

Nejprve °e²me rovnici (2.31). Její charakteristická rovnice má tvar

mλ2 + 2γλ+ k = 0


a její ko°eny jsou

λ1,2 =1

m

(−γ ±

√γ2 − km

).

Nyní rozli²íme t°i p°ípady. První z nich nastává, jestliºe γ2 > km. Ko°enycharakteristické rovnice jsou reálné a obecné °e²ení je popsáno vztahem

x(t) = e−γm t[Cet√

( γm )2− k

m +De−t√

( γm )2− k

m

].

Dochází k tzv. nadkritickému útlumu, výchylka t¥lesa se zmen²uje k nule, t¥lesose bez kmitání vrací do rovnováºné polohy. (Na základ¥ rozboru pr·b¥hu funkcex(t) sami sestrojte její graf a zejména pro²et°ete jeho chování pro t→∞). Situ-aci znázor¬uje Obr. 2.19. Je sestrojen pro po£áte£ní podmínky x(0) = 0, 00m,

x(0) = 1, 00m s−1, vlastní kruhovou frekvenci ω0 =√

km = 10, 0 s−1 a t°i

r·zné hodnoty koecientu útlumu, pro které podíl γm nabývá hodnot 16, 0 s−1,

13, 0 s−1, 10, 7 s−1. Taková situace by mohla odpovídat t°eba mechanickému os-cilátoru o hmotnosti m = 1kg na pruºin¥ o tuhosti k = 100Nm−1, který bykmital v n¥jaké vhodné kapalin¥.

x

3,5

1,4

3

2,5

1,2

2

1,5

1

1

0,5

0,80

0,60,40,20

Obr. 2.19: Nadkritický útlum

V p°ípad¥, ºe γ2 = km, má charakteristická rovnice jeden dvojnásobný reálnýko°en a moºné £asové závislosti výchylky jsou popsány obecným °e²ením

x(t) = (Ct+D)e−γtm .


T¥lísko se op¥t vrací do rovnováºné polohy, jak je vid¥t na Obr. 2.20. V tomtop°ípad¥ hovo°íme o tzv. kritickém útlumu, který p°edstavuje jakési rozhranímezi útlumem nadkritickým, o kterém jsme jiº mluvili, a podkritickým, o kterémbude °e£ za chvíli.

3,5

x

3

1,4

2,5

2

1,2

1,5

1

1

0,5

00,80,60,40,20

Obr. 2.20: Kritický útlum £erná k°ivka

Do Obr. 2.20 jsou také znovu zakresleny k°ivky nadkritického útlumu z Obr.2.19. Je vid¥t, ºe kritický útlum skute£n¥ p°edstavuje mezní p°ípad. Uv¥dommesi je²t¥ jednu d·leºitou skute£nost, kterou ukazují grafy. Poloha t¥líska se budesice k rovnováºné poloze velmi rychle blíºit, ke skute£nému návratu t¥lískado rovnováºné polohy v²ak fakticky nedojde nikdy (resp. dojde k n¥mu v ne-kone£ném £ase). Z praxe v²ak víme, ºe jakkoli málo tlumené kmity nakonecustanou. Jak je tedy moºné, ºe nám to nevychází ani p°i siln¥j²ím a siln¥j²ímtlumení? P°í£ina je v p°íli² zjednodu²eném modelu tlumení. Ve skute£nosti zá-visí odporová síla na rychlosti t¥líska sloºit¥ji neº lineárn¥. Kdybychom v²akpouºili nelineární model, nebyla by pohybová rovnice oscilátoru rovnicí lineárnía zase bychom m¥li problém s °e²ením. Op¥t se tedy p°esv¥d£ujeme, ºe vhodnávolba fyzikálního modelu je vºdy jistým kompromisem.

Poslední p°ípad nastává, jestliºe jsou ko°eny charakteristické rovnice kom-plexní, tj. γ2 < km. Obecné °e²ení je tvaru

x(t) = e−γtm [P cos(ωt) +Q sin(ωt)] ,


kde ω =√

km − ( γ

m )2. Jedná se o podkritický útlum, t¥lísko kmitá s kruhovoufrekvencí ω a amplituda výchylky klesá exponenciáln¥ s £asem. Ukazuje to Obr.2.21. V první £ásti obrázku je °e²ení pohybové rovnice pro stejné po£áte£ní pod-mínky, jaké jsme pouºili pro nadkritický a kritický útlum. Také vlastní kruhovoufrekvenci jsme zvolili stejnou. Jednotlivé grafy jsou zakresleny pro r·zné hod-noty podílu γ

m , konkrétn¥ 0, 5 s−1, 2, 0 s−1, 5, 0 s−1 a 7, 0 s−1. Pro názornost jezakreslena i k°ivka odpovídající kritickému útlumu, stejná jako na Obr. 2.20.Je dob°e vid¥t, jak se kmity se vzr·stající hodnotou γ

m blíºí kritickému útlumu,naopak p°i poklesu γ

m se blíºí netlumeným kmit·m (p°eru²ovaná k°ivka).

x

1,41,210,80,60,40,20

10

5

0

-5

-10

Obr. 2.21-a: Podkritický útlum te£kovan¥ netlumené kmity


x

1,41,210,80,60,40,20

10

5

0

-5

-10

Obr. 2.21-b: Tlumené kmity s obálkou

Tyto kmity p°edstavují pohyb netlumeného harmonického oscilátoru, jehoº koe-

cient útlumu je nulový. Oscilátor kmitá s vlastní kruhovou frekvencí ω0 =√

km

a jeho amplituda se s £asem nem¥ní. V druhé £ástiObr. 2.21-b je graf kmit· p°ipodkritickém útlumu s hodnotou γ

m = 2, 0 s−1. Jsou znázorn¥ny i exponenciálníobálky ± exp (−2t). Zkuste spo£ítat sou°adnice bod· dotyku obálek s k°ivkoupopisující kmity.

Diferenciální rovnice pro vynucené kmity (2.32) se od rovnic, které jsme zatím°e²ili, li²í nenulovou pravou stranou. Jedná se o rovnici nehomogenní, zatímcorovnice s nulovou pravou stranou je homogenní. Obecné °e²ení x(t) nehomo-genní rovnice získáme tak, ºe k obecnému °e²ení xh(t) odpovídající homogennírovnice, tj. té, kterou získáme anulováním pravé strany, p°i£teme libovolné (par-tikulární) °e²ení xp(t) nehomogenní rovnice. Odpovídající homogenní rovnice jeov²em pohybovou rovnicí tlumeného oscilátoru bez buzení a její °e²ení jiº známe.P°edpokládejme, ºe jde o p°ípad podkritického útlumu. e²ení na²í úlohy mátedy tvar

x(t) = exp(− γ

mt)(a cosωt+ b sinωt) + xp(t), ω =

√ω20 −

( γ

m

)2.

Zbývá tedy je²t¥ ur£it jakékoli °e²ení nehomogenní rovnice. Hledejme xp(t) vzobecn¥ném tvaru pravé strany, tj. xp(t) = P cosΩt + Q sinΩt. Neznámé kon-stanty P a Q je t°eba ur£it tak, aby funkce xp(t) vyhovovala rovnici (2.32).Dosazením a úpravou dostaneme


xp(t) =F0/m√

(ω20 − Ω2)2 +

(4γΩm

)2 sin (Ωt+ ϕ), tg ϕ = −2Ω(γ/m)

ω20 − Ω2

.

Pro velká t dochází k utlumení vlastních kmit· oscilátoru, který pak kmitá jiºs vynucující frekvencí Ω.

P°íklad 2.17 Trhání provázk·.

V základních p°edná²kách z mechaniky se s oblibou ukazuje demonstra£ní ex-periment, který se v¥t²inou interpretuje jako pokus dokumentující setrva£nostt¥les. Je uspo°ádán podle Obr. 2.22 takto: V tíhovém poli Zem¥ (tíhové zrych-lení g) je na provázku zav¥²eno pom¥rn¥ t¥ºké t¥leso o hmotnosti M . Na jehospodku visí dal²í provázek, který je volný. Oba provázky jsou stejné kvality (zestejného klubka) a mají zanedbatelnou hmotnost. Pokud za dolní provázek táh-neme zv¥t²ující se silou pomalu , pak p°i ur£itém tahu praskne horní provázek.Pokud dostate£n¥ velkou silou dolním provázkem trhneme, praskne dolní pro-vázek. Kvalitativn¥ se výsledky tohoto pokusu vysv¥tlují tak, ºe jsou zp·sobenysetrva£ností t¥lesa t¥leso se brání tomu, aby se dalo do pohybu, resp. snaºíse z·stat v klidu . Toto vysv¥tlení je ov²em velice hrubé, resp. nedostate£né, £idokonce nicne°íkající aº zavád¥jící. Pokud by totiº t¥leso p°i silovém p·sobenína dolní provázek z·stávalo v klidu, musela by tahová síla Fh horního provázkukompenzovat spole£ný ú£inek tíhové síly Mg a tahové síly Fd dolního provázku,tj. Fh = Mg + Fd. Platilo by tedy Fh > Fd a praskl by vºdy horní provázek.Známe-li Newtonovy zákony, m·ºeme chování soustavy p°esn¥ popsat.

V²imn¥me si nejprve, co se d¥je s provázkem. Ve skute£nosti není tuhý, alechová se jako pruºina. Zav¥²ením t¥lesa nebo p·sobením jiné síly se jeho délkam¥ní. Ozna£me tedy délky horního a dolního provázku v nenapjatém stavu jakolh a ld. Pruºné vlastnosti provázku popí²eme pomocí tahové síly, která vzniknev provázku p°i jeho prodlouºení (nebo zkrácení) o ∆l. Budeme p°edpokládat,ºe tato síla se °ídí Hookeovým zákonem. Její velikost je tedy p°ímo úm¥rnárelativní zm¥n¥ délky provázku a síla mí°í vºdy proti zm¥n¥ délky. Platí tedy

F = −k∆l

lx0,

kde k je konstanta (v newtonech) a x0 je jednotkový vektor ve sm¥ru, v n¥mº seprovázek prodluºuje. V p°ípad¥, ºe se provázek prodlouºí, je∆l > 0 a pruºná sílaje souhlasn¥ rovnob¥ºná s vektorem x0, p°i zkrácení provázku, kdy je ∆l < 0, jesíla s vektorem x0 rovnob¥ºná nesouhlasn¥. Zvolíme osu x tak, ºe vektor x0 budeur£ovat její kladnou orientaci. Po£átek osy x umístíme nakonec voln¥ visícíhohorního provázku, tj. v situaci, kdy jsme na n¥j je²t¥ nezav¥sili t¥leso. Volba jez°ejmá z Obr. 2.22.


2

Mg

Fh(Fh )0

Mg

Fd

x x x

O

l

dl

xr

h

(x t)

ld + 1 a2 0 t

Obr. 2.22: Trhání provázku uspo°ádání experimentu

V první £ásti obrázku je zakreslen pouze voln¥ visící horní provázek a volbaosy x v£etn¥ volby jejího po£átku. Druhá £ást znázor¬uje t¥leso zav¥²ené nahorním provázku v klidu, dolní provázek je nezatíºen. V této situaci je p·sobenítíhové síly Mg kompenzováno p·sobením tahové síly horního provázku (Fh)0 =−k xr

lhx0. T¥leso je ve statické rovnováºné poloze xr. Platí

Mg + (Fh)0 = 0 =⇒ xr =Mglhk

.

Ve t°etí £ásti obrázku je zachycena obecná poloha t¥lesa x(t) za p°edpokladu,ºe na konec dolního provázku p·sobíme dal²í silou Fd. Pro její £asový pr·-b¥h musíme zvolit vhodný model, který jednak bude dost jednoduchý, abychommohli snadno vy°e²it pohybovou rovnici t¥lesa, jednak bude umoº¬ovat vystih-nout pomalý tah , nebo trhnutí . Zvolme p°edstavu, ºe dolní konec dolníhoprovázku se pohybuje rovnom¥rn¥ zrychlen¥ se zrychlením a0 = a0 x0. Je²t¥neº sestavíme pohybovou rovnici t¥lesa, uv¥domme si, jaké jsou okamºité délkyprovázk·, je-li t¥leso v obecné poloze x. Budeme to pot°ebovat p°i vyjád°enítahových sil provázk·. Délka horního provázku je jednodu²e (x+ lh), jeho pro-dlouºení je tedy p°ímo rovno sou°adnici x, ∆lh = x. Sou°adnice dolního konce


dolního provázku v situaci, kdy je práv¥ je²t¥ nezatíºený, tj. v okamºiku t = 0, je(xr + ld). V okamºiku t je jiº dolní konec dolního provázku posunut o 1

2a0t2, má

tedy sou°adnici (xr+ld+12a0t

2). Horní konec dolního provázku má v²ak v tomtookamºiku sou°adnici x. Délka dolního provázku v okamºiku t je rovna rozdílusou°adnic jeho dolního a horního konce, tj. xr + ld + 1

2a0t2 − x. Prodlouºení

dolního provázku je tedy ∆ld = xr − x+ 12a0t

2. A nyní jiº sestavme pohybovourovnici t¥lesa. Krom¥ tíhové síly Mg na n¥ p·sobí tahové síly horního a dolníhoprovázku, Fh a Fd. Ozna£íme-li zrychlení t¥lesa jako a, m·ºeme zapsat druhýNewton·v zákon ve tvaru

Ma = Mg + Fh + Fd.

Pro tahové síly provázk· máme

Fh = − k

lhx x0, Fd =

k

ld

(xr − x+

1

2a0t

2

)x0.

Pohyb se podle p°edpokladu odehrává pouze ve sm¥ru osy x, takºe m·ºeme psát

Mx = Mg − k

lhx+

k

ld

(xr − x+

1

2a0t

2

).

Dal²í úpravou dostaneme diferenciální rovnici druhého °ádu

x+k

M

(1

lh+

1

ld

)x = g

(1 +

lhld

)+

ka02Mld

t2.

Tato rovnice je nehomogenní, s pravou stranou tvaru polynomu druhého stupn¥

f(t) = g

(1 +

lhld

)+

ka02Mld

t2.

Pro kompletní zadání po£áte£ní úlohy a získání konkrétní £asové závislosti po-lohy t¥lesa musíme je²t¥ p°ipojit po£áte£ní podmínky. V okamºiku t = 0 jepodle na²eho d°ív¥j²ího p°edpokladu t¥leso v rovnováºné poloze a má nulovourychlost. Po£áte£ní podmínky tedy jsou x(0) = xr = Mglh

k a x(0) = 0. Obecné°e²ení homogenní rovnice (s levou stranou shodnou s na²í rovnicí a s nulou napravé stran¥) je

xh(t) = a cosωt+ b sinωt, ω2 =k

M

(1

lh+

1

ld

), a, b ∈ R.

Partikulární °e²ení nehomogenní rovnice hledáme v zobecn¥ném tvaru pravéstrany, tj. jako polynom druhého stupn¥ xp(t) = A + Bt + Ct2. Dosazením dorovnice, v níº koecienty polynomu f(t) ozna£íme zkrácen¥ P , Q, tj. f(t) =P +Qt2, dostaneme pro A, B, C postupn¥

2C+ω2(A+Bt+Ct2) = P+Qt2 =⇒ (2C−P+ω2A)+ω2Bt+(ω2C−Q)t2 = 0,


C =Q

ω2, B = 0, A =

P

ω2− 2Q

ω4.

Obecné °e²ení nehomogenní rovnice je

x(t) = xh(t) + xp(t) = a cosωt+ b sinωt+

(P

ω2− 2Q

ω4+

Qt2

ω2

).

Uplatn¥ním po£áte£ních podmínek dostaneme hodnoty konstant a = 2Qω4 a b = 0.

e²ením úlohy je tedy funkce

x(t) =2Q

ω4cosωt+

(Mglhk

+Qt2

ω2− 2Q

ω4

).

Vyjád°íme je²t¥ tahové síly horního a dolního provázku.

Fh(t) = −Mg − ka02(lh + ld)

t2 − 2Qk

lhω4(cosωt− 1) ,

Fd(t) =ka0

2(lh + ld)t2 − 2Qk

ldω4(cosωt− 1) .

Po zp¥tném dosazení za Q a trp¥livé úprav¥ vyjád°íme nakonec tyto síly pomocíp·vodn¥ zadaných charakteristik soustavy.

Fh = −Mg − ka02(lh + ld)

t2 −Ma0lhld

(lh + ld)2(cosωt− 1)

Fd =ka0

2(lh + ld)t2 −Ma0

(lh

lh + ld

)2

(cosωt− 1)

Tyto vztahy jsou docela komplikované, ale rychlou orienta£ní kontrolu, ºe bymohly být správn¥, snadno provedeme. Z experimentu plyne, ºe v £ase t = 0,kdy je t¥leso v rovnováºné poloze x(0) = xr a má nulovou rychlost, musí býtvelikost tahové síly horního provázku rovna Fh(0) = Mg a tahová síla dolníhoprovázku nulová, Fd(0) = 0. Dosazením t = 0 do £asových závislostí t¥chto silzjistíme, ºe tomu tak opravdu je. Pr·b¥h tahových sil je znázorn¥n naObr. 2.23pro hodnoty M = 2kg, lh = 0, 3m, lh = 0, 2m, k = 3kN, g = 10ms−2 a prodv¥ hodnoty zrychlení a0, konkrétn¥ a0 = 2ms−2 (obrázek vlevo pomalýtah) a a0 = 20ms−2 (obrázek vpravo trhnutí).


20

0,060

0,040,020

y

x

100

0,1

80

60

0,08

40

Obr. 2.23-a: K p°íkladu 2.17 tahové síly provázk·, pozvolný tah

20

0,060

0,040,020

y

x

100

0,1

80

60

0,08

40

Obr. 2.23-b: K p°íkladu 2.17 trhnutí

Vztahy pro tahové síly platí samoz°ejm¥ pouze do okamºiku, neº n¥který z pro-vázk· praskne, tj. neº velikost tahové síly v n¥m p°ekro£í mez pevnosti. Pro ná²


p°íklad jsme zvolili mez pevnosti Fp = 40N. Jak pokus dopadne, z graf· p°ímovidíme. P°i pomalém tahu praskne nejprve horní provázek, p°i trhnutí dolní. (Vgrafu je znázorn¥n pr·b¥h velikostí tahových sil, tj. |Fh| a |Fd|.) ♠

2.4.3 Newtonovy zákony v neinerciálních soustavách

Podle výsledk· p°íkladu 1.13 se m·ºe zdát, ºe popis pohybu £ástice, resp. sou-stavy £ástic £i t¥lesa v neinerciální vztaºné soustav¥ je podstatn¥ sloºit¥j²í.V konkrétních situacích tomu tak v²ak m·ºe být práv¥ naopak. Takovou si-tuací je t°eba rota£ní pohyb tuhého t¥lesa (setrva£níku) kolem pevného bodu.V inerciální vztaºné soustav¥ m·ºe být takový pohyb pom¥rn¥ sloºitý, zejménau nesymetrického a nevyváºeného t¥lesa, v·£i pozorovateli pevn¥ spojenémus rotujícím t¥lesem je v²ak t¥leso dokonce v klidu. Abychom tyto situace do-kázali ú£inn¥ °e²it, musíme um¥t upravit Newtonovy zákony (pokud to budemoºné) pro p°ípad neinerciálních vztaºných soustav a také um¥t vztaºnou sou-stavu vhodn¥ vybrat. Nejjednodu²²í p°ípad neinerciální vztaºné soustavy je ta-ková, která se v·£i interciální soustav¥ pohybuje pouze transla£n¥ s uná²ivýmzrychlením A. Jak to vypadá s druhým Newtonovým zákonem v této vztaºnésoustav¥ ukáºeme na jednoduchém p°íkladu.

P°íklad 2.18. Pohybové rovnice v neinerciálních soustavách.

Po vodorovných kolejích se rozjíºdí nákladní vlak se zrychlením A. Uprost°edvagónu leºí na po£átku pohybu t¥ºká bedna o hmotnosti m, která m·ºe popodlaze klouzat bez t°ení. Pohyb bedny pozoruje pozorovatel (výprav£í) na ko-lejích (laboratorní = inerciální vztaºná soustava S =< O; x, y, z >) a pasaºérve vagónu (neinerciální vztaºná soustava S ′ =< O′; x′, y′, z′ >), p°i£emº stej-nojmenné osy obou soustav jsou trvale rovnob¥ºné. Ur£íme zrychlení bedny vobou vztaºných soustavách pouze na základ¥ dosavadní interpretace druhéhoNewtonova zákona (viz Obr. 2.24).

A

mg

x

y

zO

x

y

zO

N

Obr. 2.24: Druhý Newton·v zákon v neinerciální soustav¥


Úvaha výprav£ího = IVS: Zrychlení bedny v soustav¥ S ozna£me a. Nabednu p·sobí okolní t¥lesa takto: Zem¥ tíhovou silou mg, podlaha tlakovousilou N . Druhý Newton·v zákon pro zrychlení a má tvar

ma = mg + N , max = 0, may = −Mg +N, maz = 0.

Tyto rovnice spolu s vazební podmínkou y = 0 =⇒ ay = 0 vedou k teoretickémuvýsledku ateor = 0. Ze zku²enosti m·ºeme usoudit, ºe výsledek m¥°ení zrych-lení a bude ve shod¥ s výpo£tem, tj. aexp = 0, aniº bychom experiment samiprovád¥li.

Úvaha pasaºéra = NVS: Zrychlení bedny v soustav¥ S ′ ozna£me a′. Podletoho, co o Newtonových zákonech víme, je jasné, ºe na bednu p·sobí Zem¥tíhovou silou mg a podlaha kolmou tlakovou silou N . ádná dal²í t¥lesa, kteráby na bednu silov¥ p·sobila, v jejím v okolí nejsou (t°ení a odpor prost°edí jsmezanedbali). Pro zrychlení a′ platí

ma′ = mg + N , ma′x = 0, ma′y = −mg +N, ma′z = 0.

Vazební podmínka je y′ = 0 =⇒ a′y = 0. Odtud a′teor = 0, zatímco experimentukáºe a′exp = −A. Experiment je tedy v rozporu s výsledkem teoretické úvahy.

♠

Otázkou je kde je chyba v úvaze pozorovatele spojeného s vagónem. (P°edpod-kládáme, ºe experiment je v po°ádku.) Z hlediska newtonovské mechaniky jev¥c jasná druhý Newton·v zákon platí v inerciálních vztaºných soustavách.Abychom se pouºívání druhého Newtonova zákona nemuseli pro neinerciálnísoustavy vzdát, pokusíme se jej opravit nap°íklad tím, ºe k silám, jimiº p·sobína testovací £ástici reálné okolní objekty, které m·ºeme jasn¥ specikovat a po-p°ípad¥ i p°i°adit jejich p·sobení jednotlivé konkrétní silové zákony, p°idámeformáln¥ dal²í pomyslnou sílu F ∗, která kompenzuje vliv neinerciálnosti sou-stavy. Opravený druhý Newton·v zákon pro bednu formulovaný pasaºérem zp°íkladu 2.18 tedy bude vypadat takto:

ma′ = mg+N+F ∗, max = F ∗x , may = −mg+N+F ∗

y , maz = F ∗z . (2.33)

Aby, p°i vazební podmínce ay = 0, vy²lo výpo£tem a′teor = A a bylo tak do-saºeno shody s experimentem, je t°eba poloºit F ∗ = −A. Síla F ∗ zaji²újícíopravu druhého Newtonova zákona pro neinerciální soustavy, je tedy záporn¥vzatým sou£inem hmotnosti studované £ástice a uná²ivého zrychlení, které s £ás-ticí ov²em nijak nesouvisí. V interpretaci, která sílu F ∗ povaºuje za formálníkonstrukci, se tato síla nazývá ktivní, n¥kdy také, nep°íli² vhodn¥, setrva£ná.

Poznámka: Poznamenejme, ºe interpretace síly F ∗ jako ktivní není jedinámoºná. Podle principu ekvivalence vysloveného A. Einsteinem nelze objektivn¥


zjistit, zda se pozorovatel nachází v neinerciální vztaºné soustav¥, nebo v do-date£ném gravita£ním poli. V na²em textu budeme pouºívat interpretace bliº²ínewtonovskému pojetí ktivní síly. Ob¥ pojetí v²ak dávají stejné výsledky.

Získaný výsledek m·ºeme snadno zobecnit a vyjád°it ktivní sílu pro p°ípadobecné neinerciální vztaºné soustavy takto:

F ∗ = −mau = −m(A+ 2ω × v ′ + ω × (ω × r ′) + ε× r ′

). (2.34)

Vektor au je uná²ivé zrychlení dané vztahem (1.67). Vektory

F ∗t = −mA, F ∗

C = −2mω × v′, F ∗OD = −mω × (ω × r ′), F ∗

E = −mε× r′

p°edstavují postupn¥ ktivní sílu transla£ní, Coriolisovu, odst°edivou a Eulerovu,v souladu s terminologií vztahu (1.68).

P°íklad 2.19. Pohybové rovnice v neinerciálních soustavách £ástice nato£n¥.Modikujme pon¥kud zadání p°íkladu 1.13. Vztaºná soustava S =< O; x, y, z >je inerciální, soustava S ′ =< O; x′, y′, z′ >, která v·£i ní rotuje stálou úhlovourychlostí ω = (0, 0, ω), je neinerciální. Jde o nejjednodu²²í p°ípad rota£níhopohybu neinerciální soustavy rovnom¥rnou rotaci. Po£átky soustav trvalesplývají, z-ové osy rovn¥º. V okamºiku t = 0 splývaly i osy x-ové a y-ové. P°ed-pokládejme dále, ºe na £ástici, pro kterou platí po£áte£ní podmínky r(0) = 0,v(0) = v0 = (v0, 0, 0) (v soustav¥ S) nep·sobí ºádné okolní objekty. Ur£íme jejítrajektorii v soustav¥ S ′ p°ímo aplikací opraveného druhého Newtonova zá-kona. Podle n¥j je výslednice sil p·sobících na £ástici z hlediska soustavy S ′ dánapouze ktivními silami, pro n¥º v tomto konkrétním p°ípad¥ platí, vektorov¥ apoté ve sloºkách

F ∗t = 0, F ∗

C = −2m ω × v′, FOD = −mω × (ω × r ′), F ∗E = 0,

F ∗ = m(2ωy′ + ω2x, −2ωx′ + ω2y, 0

).

Pohybové rovnice £ástice jsou

x′ − 2ωy′ − ω2x′ = 0,

y′ + 2ωx′ − ω2y′ = 0,

z′ = 0.

Druhou rovnici vynásobenou imaginární jednotkou (i) p°i£teme k první rovnicia po substituci ξ = x′ + iy′ dostaneme soustavu

ξ + 2ωiξ − ω2ξ = 0, z′ = 0.

Jejím °e²ením a s uváºením po£áte£ních podmínek (v obou soustavách jsoupo£áte£ní podmínky stejné) dostaneme postupn¥:


• Charakteristická rovnice: λ2 + 2iω − ω2 = 0.

• Charakteristické ko°eny: λ1 = λ2 = −iω.

• Fundamentální systém °e²ení: ξ1(t) = exp (−iωt), ξ2(t) = t exp (−iωt).

• Obecné °e²ení: ξ(t) = (A+Bt) exp (−iωt).

• Po£áte£ní podmínky: ξ(0) = 0, ξ(0) = v0.

• Integra£ní konstanty: A = 0, B = v0.

• Partikulární °e²ení: ξ(t) = v0t exp (−iωt), tj. x′(t) = Re ξ(t) = v0t cosωt,y′(t) = Im ξ(t) = −v0t sinωt.

• z′(t) = 0.

Parametrické vyjád°ení trajektorie £ástice je

x′(t) = v0t cosωt,

y′(t) = −v0t sinωt,z′(t) = 0.

Výsledek m·ºeme snadno porovnat s výsledkem p°íkladu 1.13, zam¥níme-li ωza −ω (vysv¥tlete). ♠

P°íklad 2.20. Matematické kyvadlo v laboratorní soustav¥.

Ukáºeme je²t¥ podstatu °e²ení pohybu matematického kyvadla ve vztaºné soustav¥ spojené srotující Zemí. Se Zemí spojujeme laboratorní vztaºnou soustavu, kterou v¥t²inou povaºujemeza inerciální. Tento p°ístup je v²ak pouze aproximativní a v reálných experimentech jsouodchylky od inerciálnosti m¥°itelné. Nap°íklad velikost odst°edivého zrychlení na rovníku je

aOD = ω2RZ =

(2π

T

)2

RZ.= 0, 034ms−2,

coº je dne²ními prost°edky zcela jist¥ hodnota m¥°itelná, p°estoºe £iní pouze 3 promile tího-vého zrychlení.

Kyvadlo kmitající v tíhovém poli rotující Zem¥ se nazývá Foucaultovo. Zvolme soustavu sou-°adnic na zemském povrchu stejn¥ jako naObr. 1.8, tj. tak, ºe po£átek spojíme s místem danézem¥pisné ²í°ky (na zem¥pisné délce výpo£et nezávisí zd·vodn¥te), osu x namí°íme podélmístního poledníku (zem¥pisná délka Λ), osu y podél místní rovnob¥ºky (zem¥pisná ²í°ka Φ)a osu z radiáln¥, tj. volíme ji jako spojnici st°edu Zem¥ s daným místem na povrchu sm¥°u-jící od st°edu k povrchu. Úhlová rychlost rotující Zem¥ v této soustav¥ sou°adnic má sloºkyω = (ω cosΦ, 0, ω sinΦ). Na kuli£ku kyvadla p·sobí síly dané okolními objekty, tj. gravita£nísíla a tahová síla vlákna. Ozna£íme-li φ okamºitou úhlovou výchylku kyvadla vzhledem k osez a β úhel, který svírá pr·m¥t síly T do vodorovné roviny s místním poledníkem, získámesloºky t¥chto sil:

mg = (0, 0, −mg), T = (T sinφ cosβ, T sinφ sinβ, T cosφ),

Dále je t°eba zapo£íst síly ktivní. Z nich s uplatní síla odst°edivá a Coriolisova. Sílu souvisejícís translací ob¥hem Zem¥ kolem Slunce m·ºeme proti nim zanedbat, Eulerova síla jenulová, nebo´ rotace Zem¥ je rovnom¥rná.

2.5. PRÁCE A MECHANICKÁ ENERGIE 151

F ∗OD = ω × (ω × r ′), F ∗

C = 2ω × v ′.

Zápis druhého Newtonova zákona má tedy tvar

ma ′ = mg + T −mω × (ω × r ′)− 2mω × v ′.

Rozepsáním do sloºek dostaneme pohybové rovnice Foucaultova kyvadla. ♠

Nabízí se je²t¥ otázka, jak je to s platností ostatních Newtonových zákon· v nei-nerciálních soustavách, kdyº druhý zákon v nich v podstat¥ neplatí. Jde o zákont°etí, nebo´ z pohledu prvního zákona není taková otázka na míst¥. P°i interpre-taci síly F ∗ jako ktivní, resp. formální z hlediska opravy druhého Newtonovazákona, je z°ejmé, ºe se síla F ∗ neuplat¬uje p°i interakci objekt·, neexistuje kní tedy reakce. Fiktivní síla p·sobí na kaºdé t¥leso, které sledujeme v nei-nerciální vztaºné soustav¥, av²ak nesouvisí se vzájemným p·sobením t¥les. Proktivní síly tedy nelze formulovat ºádnou obdobu t°etího Newtonova zákona.

2.5 Práce a mechanická energie

Práce a energie jsou pojmy b¥ºn¥ pouºívané jak v b¥ºném ºivot¥, tak v °ad¥odborných disciplín. V tomto odstavci je zavedeme jako fyzikální veli£iny. Bu-deme hovo°it o práci síly po k°ivce, pop°ípad¥ o práci síly po dráze, nebo téºo dráhovém ú£inku síly, a o mechanické energii. Pojem práce síly pro dráze jedob°e známý pro nejjednodu²²í p°ípad konstantní sílu a p°ímkovou dráhu. Vtéto situaci, znázorn¥né na Obr. 2.25, je práce denována jako skalární sou£insíly F a vektoru posunutí ∆r, tj.

A = F ∆r = Fs cosφ, kde s = |∆r|. (2.35)


ϕ

r∆

y

x

z

O

(αr )(βr )

p

F=konst.

Obr. 2.25: Práce konstantní síly po p°ímce

Je samoz°ejmé, ºe F je v daném p°ípad¥ n¥která ze sil, které na £ástici p·sobí.Není to výslednice. ástice se totiº m·ºe pohybovat po p°ímce jen tehdy, je-li normálová sloºka jejího zrychení, a tedy i normálová sloºka výslednice sil,kterými na £ástici p·sobí její okolí, nulová.

P°estoºe vztah (2.35) vystihuje jen velmi speciální p°ípad, plyne z n¥j úplnézobecn¥ní denice práce.

2.5.1 Práce síly po k°ivce

P°edpokládejme, ºe se £ástice pohybuje po oblouku s parametrickým vyjád°ením(1.11), tj.

C : r = r(t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ [α, β].

Protoºe jde o fyzikální situaci, m·ºeme dále p°edpokládat, ºe funkce x(t), y(t)a z(t) mají z matematického hlediska v²echny vlastnosti, které budeme provýpo£et pot°ebovat, p°edev²ím ºe mají derivaci (oblouk je hladký a ºe existujeintegrál (1.20), vyjad°ující jeho délku (oblouk je rektikovatelný). Sílu, o jejíºpráci po k°ivce (oblouku) C se budeme zajímat, ozna£me F . Znovu zd·razn¥me,ºe se jedná o n¥kterou (kteroukoli si vybereme) ze sil p·sobících na £ástici. Tatosíla m·ºe obecn¥ záviset na poloze a rychlosti £ástice, ale i explicitn¥ na £ase,tj. F = F (r, v, t). Práci síly F po k°ivce C denujeme jako integrál

AC =

β∫α

F (r(t), v(t), t) v(t) dt. (2.36)

Jist¥ je na míst¥ otázka, jak jsme práv¥ k této denici dosp¥li. Východiskem je denice prácekonstatní síly po p°ímce (2.35) a my²lenka d¥lení oblouku pouºitá v odstavci 1.3.3 pro vyjá-d°ení délky obecného oblouku.


j

(trj)

(trj+1

)

r∆ j

y

x

z

O

t=β

t= tj+1

t=α

t= t

Obr. 2.26: K definici práce síly po k°ivce

Zvolme d¥lení D = t0, t1, . . . , tn, α = t0 < t1 < . . . < tn = β, £asového intervalu [α, β].Je-li toto d¥lení dostate£n¥ jemné, m·ºeme v kaºdém z interval· [tj , tj+1] povaºovat sílu Fza konstatní a nahradit ji silou v po£áte£ním okamºiku tohoto intervalu, tj.

F (r(t), v(t), t).= F (r(tj), v(tj), tj) , t ∈ [tj , tj+1].

V intervalu [tj , tj+1], tj. mezi body r(tj) a r(tj+1), vykoná síla F elementární práci p°ibliºn¥

∆Aj.= F (r(tj), v(tj), tj)∆r(tj) = F (r(tj), v(tj), tj)

r(tj+1)− r(tj)

tj+1 − tj∆tj , ∆tj = tj+1 − tj .

Celková práce je pak dána sou£tem v²ech elementárních prací,

AC =

n−1∑j=0

∆Aj.=

n−1∑j=1

F (r(tj), v(tj), tj)r(tj+1)− r(tj)

tj+1 − tj∆tj .

Obdobn¥ jako p°i odvození vztahu (1.22) provedeme limitní p°echod k nulové norm¥ d¥leníD, ν(D) → 0 a dosp¥jeme k integrálu

AC =

β∫α

F (r(t), v(t), t) v(t) dt, zkrácen¥ AC =

β∫α

F v dt.

Zna£íme jej

AC =

∫C

F dr =

∫C

Fx dx+ Fy dy + Fz dz (2.37)

a hovo°íme o k°ivkovém integrálu druhého typu z vektorové funkce F po k°ivce C. (Výraz(1.20), vyjad°ující délku oblouku, p°edstavoval integrál prvého typu.)

P°íklad 2.21. Práce odporových sil.

Uvaºujme o kapce z p°íkladu 2.12. Kapka se pohybuje se v homogenním gravi-ta£ním poli Zem¥ (tíhové zrychlení je g) a v odporujícím prost°edí se Stokesovouodporovou silou. Zajímá nás, jakou práci vykoná tíhová síla b¥hem pádu kapky a


jaká bude práce síly odporové. Pohyb kapky jsme v p°íkladu 2.12 vy°e²ili v úpl-nosti, známe proto parametrické vyjád°ení její trajektorie. Známe také závislostjejí rychlosti na £ase, kterou budeme pro výpo£et práce pot°ebovat,

x(t) =mg

6πηr

[1− exp

(−6πηr

mt

)]= vm

[1− exp

(− gt

vm

)], vm =

mg

6πηr.

Nejprve ur£íme práci gravita£ní síly. Kapka padá z vý²ky h nad povrchem Zem¥po dobu T . v souladu s ozna£ením v p°íkladu 2.12 je x(0) = −h a x(T ) = 0.Podle deni£ního vztahu (2.36) vykoná gravita£ní síla b¥hem pádu práci

Ag =

T∫0

Fg v dr =

T∫0

mg x dt = mg (x(T )− x(0)) = mgh.

Odporová síla vykoná práci

Ao =

T∫0

Fov dr =

T∫0

−6πηr x2 dt = −mg

vm

T∫0

[1− exp

(− gt

vm

)]2dt =

= T − 2vmg

[1− exp

(− gt

vm

)]+

vm2g

[1− exp

(−2gt

vm

)].

V²imn¥me si jedné zajímavosti: Práce gravita£ní síly závisí pouze na vý²ce,z níº kapka padá a nikoli na tom, jak dlouho jí pád trvá. Dopa pádu T sejist¥ li²í pro r·zné hodnoty polom¥ru kapky a dynamické viskozity prost°edí.Je to náhoda? Z°ejm¥ ne. I kdyby se kapka pohybovala k zemi po jakékolitrajektorii r(t) = (x(t), y(t), z(t)), bude práce gravita£ní síly p°i dané vý²ce hstále Ag = mgh. Skute£n¥, platí

Ag =

T∫0

mg ˙r dt = mg

T∫0

xdt = mg (x(0)− x(T )) = mgh.

Pro práci síly Fg = mg je tedy skute£n¥ rozhodující výchozí vý²ka kapky naspovrchem Zem¥, nikoli zp·sob, jakým se kapka dostala na zem. ♠

V dal²ím odstavci uvidíme, ºe homogenní gravita£ní pole má z hlediska výpo£tupráce speciální tvar je tzv. konzervativní.

2.5.2 Konzervativní síly a potenciální energie

P°íklad 2.21 nazna£uje, ºe v p°ípad¥ ºe síla F , jejíº práci po dané trajektoriipo£ítáme, závisí na rychlosti, pop°ípad¥ je²t¥ explicitn¥ na £ase, bude výsledekzáviset nejen na tvaru oblouku (k°ivky), po n¥mº se £ástice pohybuje, ale i najeho konkrétní parametrizaci. Z hlediska fyziky jsou zajímavé situace, kdy síla


závisí pouze na poloze £ástice, F = F (r). V p°ípad¥ takové závislosti hovo°ímeo silovém poli, z matematického hlediska jde o vektorové pole.

P°íklad 2.22. Práce silového pole po k°ivce prakticky.ástice se pohybuje v rovin¥ v silovém poli

F (r) = (F1(x, y), F2(x, y)) =(ax2y, b(y − x)

), a = 1Nm−3, b = 1Nm−1.

Veli£iny a a b jsou jednotkové rozm¥rové konstanty (zaji²újí, aby veli£ina Fbyla zadána v newtonech. K°ivkou, po které se d¥je pohyb £ástice, je parabola orovnici y = x2 s po£áte£ním bodem A = (0, 0) a koncovým bodem B = (1, 1).Zjistíme, jaká bude práce síly F p°i r·zných parametrizacích trajektorie. P°ipo-me¬me, ºe r·zné parametrizace, kdy parametrem je £as, z fyzikálního hlediskaznamenají, ºe r·zné £ástice projdou po téºe geometrické k°ivce obecn¥ v r·zných£asových intervalech a r·zn¥ rychle.

2

A 1

1

y

x

U:y=x

B

P:y=x

Obr. 2.27: K výpo£tu práce síly po k°ivce

Zvolme nap°íklad parametrizaci paraboly ve tvaru

P1 : r(t) = (x(t), y(t)) =(u1t, u2t

2), u1 = 1ms−1, u2 = 1ms−2, t ∈ [0, 1] s.

Veli£iny u1 a u2 jsou, podobn¥ jako u sloºek síly, rozm¥rové konstanty, jejichºhodnota je rovna jedné. Práce síly F po této trajektorii je podle (2.36)

AP1 =

1∫0

F v dt =

1∫0

(F1(x(t), y(t))x(t) + F2(x(t), y(t))y(t)) dt =

=

1∫0

(t4 · 1 + (t2 − t) · t

)dt =

11

30J.


Zkusme nyní jinou parametrizaci paraboly, t°eba

P2 : r(t) = (x(t), y(t)) =(v1√t− 1, v2(t− 1)

),

v1 = 1ms−3/2, v2 = 1ms−1, t ∈ [1, 2] s.

Tato parametrizace znamená, ºe £ástice prob¥hne po parabole s bodu A dobodu B v £asovém intervalu [1, 2] s, obecn¥ s jinou rychlostí neº v p°edchozímp°ípad¥. Op¥t po£ítejme práci síly F :

AP2 =

2∫1

F v dt =

2∫1


=

2∫1

((t− 1)2

2√t− 2

+ ((t− 1)−√t− 1)

)dt =

=1

5(t− 1)5/2 +

1

2(t− 1)2 − 2

3(t− 1)3/2

∣∣∣∣21

=11

30J.

Výsledek je pro ob¥ parametrizace stejný. Zkusme je²t¥ zcela obecnou parame-trizaci paraboly,

P : r(t) = (x(t), y(t)) =(x(t), x2(t)

), v(t) = (x(t), 2x(t)x(t)) ,

x(α) = 0, x(β) = 1, t ∈ [α, β].

AP =

β∫α

F v dt =

β∫α


=

β∫α

(x4(t)x(t) + 2x(t)x(t)(x2(t)− x(t))

)dt =

1∫0

(u4 + 2u3 − 2u2

)du =

11

30J.

P°i výpo£tu integrálu jsme pouºili substituci u = x4(t). Stejný výsledek vede khypotéze, ºe op¥t nejde o náhodu práce silového pole F (r) po k°ivce nezávisína konkrétní parametrizaci této k°ivky. ♠Nezávislost práce silového pole na parametrizaci k°ivky snadno dokáºeme. Zvolme dv¥ r·znéparametrizace k°ivky C,

C1 : r(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [α1, β2],

C2 : ¯r(τ) = (x(τ), y(τ)), τ ∈ [α2, β2],

kdex(t) = x(τ) = x[φ(t)], y(t) = y(τ) = y[φ(t)],

φ : [α1, β1] ∋ t −→ τ = φ(t) ∈ [α2, β2], φ(α1) = α2, φ(β1) = β2,

p°i£emº zobrazení φ je prosté (pro libovolné dv¥ r·zné hodnoty t1, t2 ∈ [alpha1, β1] je φ(t1) =φ(t1)) a zobrazuje interval [α1, β1] na interval [α2, β2]. Ozna£me x′(τ), resp. y′(τ) derivacifunkcí x(τ) a y(τ) podle prom¥nné τ . Podle pravidla pro derivace sloºené funkce platí

x(t) = x′[φ(t)]φ(t), y(t) = y′[φ(t)]φ(t).


Po£ítejme práci silového pole F po trajektorii C1,tj. p°i parametrizaci x = x(t), y = y(t):

AC1 =

β1∫α1

(F1(x(t), y(t)) x(t) + F2(x(t), y(t)) y(t)) dt =

=

β1∫α1

(F1(x(φ(t)), y(varphi(t))) x

′[φ(t)] φ(t) + F2(x(φ(t)), y(φ(t))) y′[φ(t)] φ(t)

)dt.

P°edchozí výraz pro AC1 jsme získali doazením x(t) = x[φ(t)], y(t) = y[φ(t)] a pouºitímpravidla pro derivaci sloºené funkce. Zdánliv¥ komplikovaný integrál zjednodu²íme pouºitímsubstituce τ = φ(t). Dostáváme pak

AC1 =

β2∫α2

(F1(x(τ), y(τ)) x

′(τ) + F2(x(τ), y(τ)) y′(τ)

)dτ = AC2 .

Práce p°i obou parametrizacích oblouku C je stejná.

Jak tomu bude v p°ípad¥, ºe body, mezi nimiº se £ástice pohybuje v danémsilovém poli spojíme jinou k°ivkou? O£ekáváme, ºe obecn¥ se práce vykonanétýmº silovým polem po r·zných k°ivkách budou li²it £ástice p°ece v silovémpoli projde jinou mnoºinu bod·. Ov¥°íme to rovn¥º na p°íkladu.

P°íklad 2.23. Závisí práce na tvaru k°ivky?Vra´me se k p°íkladu 2.22 a spojme body A a B pro jednoduchost nap°íkladúse£kou. Víme jiº, ºe p°i výpo£tu práce nezáleºí na parametrizaci, zvolme jiproto co nejjednodu²²í:

U : [0, 1] ∋ t −→ r(t) = (x(t), y(t)) = (t, t), v = (1, 1).

Pak

AU =

1∫0

F v dt =

1∫0

(t3 dt) =1

4J.

Skute£n¥, práce vy²la jinak, jak jsme o£ekávali. ♠

P°íklad 2.24. ... nebo nezávisí?Uvaºme v²ak jiné silové pole, nap°íklad

F (x, y) = (3ax2y2, 2bx3y), a = 1Nm−4, b = 1Nm−4,

a a b jsou zase rozm¥rové konstanty. Vypo£teme práci tohoto silového pole poparabole i po úse£ce z p°íkladu 2.22. Zvolme op¥t nejjednodu²²í parametrizace(za rozm¥rové konstanty rovnou dosazujeme hodnotu 1) a po£ítejme práci:

P : r = (x(t), y(t)) = (t, t2), U : r = (x(t), y(t)) = (t, t), t ∈ [0, 1]

AP =

1∫0

(3t2 · t4 · 1 + 2t3 · t2 · 2t) dt =1∫

0

7t6 dt = 1J,


AU =

1∫0

(3t2 · t2 · 1 + 2t3 · t · 1) dt =1∫

0

5t4 dt = 1J.

Zda se v tomto p°ípad¥ jedná o náhodný výsledek, musíme teprve prov¥°it. ♠

P°edchozí p°íklady navodily otázku, zda existují silová pole s natolik speciálnímivlastnostmi, ºe jejich práce bude záviset pouze na po£áte£ním a koncovém boduk°ivky, po níº se p·sobi²t¥ síly (tj. sledovaná £ástice) pohybuje, ne v²ak na tvaruk°ivky samotné. Taková pole existují a nazývají se konzervativní pozd¥jiuvidíme, ºe to souvisí se zákonem zachování energie.

V p°íkladu 2.21 jsme vid¥li, ºe práce konstantní síly mg charakterizujícíhomogenní gravita£ní pole nezávisela na tvaru k°ivky, po které se pohybovala£ástice. Homogenní silové pole je tedy konzervativní, bez ohledu na to, jaké jepovahy. D·kaz je jednoduchý a p°esn¥ reprodukuje postup z p°íkladu 2.21: Je-liF = konst., pak práce této síly po k°ivce s po£áte£ním bodem rα = r(α) akoncovým bodem rβ = r(β) je

A =

∫C

F dr = F

β∫α

v(t) dt = F (rβ − rα).

Situaci názorn¥ ukazuje Obr. 2.28. Platí v n¥m pro jakékoli rozd¥lení k°ivky Cna úseky

n−1∑j=1

F ∆rj = Fn−1∑j=1

∆rj = F (rα − rβ).

−F

F

F

FF F

y

x

z

O

t= αt= β

∆ rj

αr rβ

rβ rα

Obr. 2.28: Práce homogenního silového pole


Homogenní silové pole m·ºeme za jistých okolností povaºovat za p°ibliºnou ná-hradu skute£ného silového pole v dostate£n¥ malých prostorových oblastech.V p°ípad¥ gravita£ní interakce je silové pole, jíº p·sobí na £ástici o hmotnostim £ástice o hmotnosti M (nap°íklad Slunce na planetu) ur£eno Newtonovýmgravita£ním zákonem

Fg = −κmM

r2r0 = −κmM

r

r3.

Jedná se o centrální silové pole interak£ní síla má stále sm¥r spojnice obou£ástic, sm¥°uje do centra M .

Ukáºeme, ºe kaºdé centrální silové pole je konzervativní. Obecn¥ je tvaru

F = ±F (r)r0, kde r0 =r

r(2.38)

je jednotkový vektor ve sm¥ru polohového vektoru r, znaménko plus, resp. minusse uplatní, je-li síla F odpudivá, resp. p°itaºlivá, viz vztahy (2.4), resp. (2.6). Vý-po£et práce centrálního pole pom·ºe geometricky názorn¥ p°iblíºit Obr. 2.29.

Poznámka: Obrázek vychází op¥t z p°edstavy d¥lení skute£né k°ivky, po kterése pohybuje £ástice (p·sobi²t¥ dané centrální síly), na malé úseky, v nichº lzeskute£ný oblouk mezi dv¥ma body nahradit úse£kou. Vektor posunutí ∆rj vj-tém úseku, ur£ený touto úse£kou, je sou£tem vektoru ∆ϱj , p°edstavujícíhoposunutí v radiálním sm¥ru, a vektoru ∆sj , p°edstavujícího posunutí ve sm¥rup°ibliºn¥ kolmém k radiálnímu sm¥ru. Míra aproximace je dána velikostí j-téhokroku d¥lení k°ivky. V Obr. 2.29 je nep°esnost dob°e vid¥t vektory ∆sja ∆ϱj v n¥m kolmé nejsou. P°i zjem¬ování d¥lení se v²ak p°ibliºné vztahy igeometrické relace zp°es¬ují a v limit¥ ν(D)→ 0 se stávají p°esnými.


0F(r )

∆ ∆ ρ + s∆=rj j j ∆ρ = ∆ r r 0j j j

∆ sj Fj

C

rα

rM

βt=β

t=α

j ∆ rj∆ρj

∆sj

Fj∆ rj = F

j∆ρj = + F

j∆ r r

jj

Obr. 2.29: Práce centrálního silového pole

Platí

AC =

∫C

F dr =

∫C

±F (r)r0 dr =

β∫α

±F (r(t))r0(t)dr(t)

dt=

=

β∫α

±F r0(rr0 + r ˙r0

)dt =

β∫α

±F r dt =

rβ∫rα

±F (r) dr.

P°i úprav¥ jsme vyuºili skute£nosti, ºe vektory r0 a ˙r0 jsou navzájem kolmé.Jedinou integra£ní prom¥nnou se po této úprav¥ stala vzdálenost £ástice m odcentra prom¥nná r ∈ [rα, rβ ]. Integrál ur£ující práci je tedy jednoduchýmur£itým (Riemannovým) integrálem. Ozna£íme jako −U(r) primitivní funkci kfunkci ±F (r) a funkci U(r) nazveme potenciální energie £ástice m v centrálnímsilovém poli (buzeném centrem M). Platí

−U(r) =

rβ∫rα

±F (r) dr. (2.39)

Výpo£et i výsledek odpovídají obrázku 2.29. Ve v²ech bodech kaºdé z vyzna-£ených sfér je velikost centrální síly F (r) stejná. Pro elementární práci v i-témúseku k°ívky C p°i libovolném d¥lení intervalu [α, β] platí

∆Aj.= F (rj)∆rj = F (rj) (∆ϱj +∆sj) .


Význam vektor· ∆ϱj a ∆sj je z°ejmý z obrázku Platí

∆ϱj = ∆rj r0j , ∆sj ⊥ r0j .

Pak∆Aj =

.= ±F (rj)(r

0r0)∆rj = ±F (rj)∆rj ,

AC.=

n−1∑j=0

±F (ri)∆ri, AC =

β∫α

±F (r) dr.

Centrální síla koná práci jen p°i centrálních (radiálních) posunutích. P°i posu-nutích kolmých k radiálnímu sm¥ru práci nekoná, nebo´ je na taková posunutíkolmá Kaºdý vektor posunutí se v²ak dá rozloºit na posunutí radiální a posunutík n¥mu kolmé.

Potenciální energie, jakoºto záporn¥ vzatá primitivní funkce k ±F (r), je ur-£ena aº na konstantu. Pro ur£itost je nutné hodnotu konstanty zvolit. Obvyklýzp·sob jejího ur£ení spo£ívá ve volb¥ tzv. hladiny nulové potenciální energie.Tím rozumíme volbu ur£ité hodnoty r0, jíº p°isoudíme nulovou potenciální ener-gii. Mnoºina bod·, které této vzdálenosti odpovídají, tvo°í kulovou plochu sest°edem v po£átku soustavy sou°adnic (v n¥m je umíst¥na £ástice M)

P°íklad 2.25. Gravita£ní potenciální energie.Z p°edchozích výsledk· vyplývá, ºe gravita£ní pole buzené £ásticí o hmotnostiM je konzervativní, nebo´ je centrální. Vypo£teme potenciální energii £ástice ohmotnosti m v tomto poli. Platí

−Ug(r) =

∫Fg dr = −κmM

∫dr

r2=

κmM

r+C =⇒ Ug(r) = −

κmM

r+konst..

Nulovou hladinu potenciální energie m·ºeme zvolit v libovolné vzdálenosti.Vzhledem k tomu, ºe gravita£ní síla slábne se £tvercem vzdálenostir a pro r →∞se její velikost asymptoticky blíºí nule, jeví se p°irozené zvolit nulovou hladinupotenciální energie v nekone£nu , tj. tak, aby platilo limr→∞ Ug(r) = 0. Toodpovídá nulové hodnot¥ integra£ní konstanty. Potenciální energii Vg vztaºenouna jednotkovou hmotnost £ástice nazýváme gravita£ní potenciál,

Ug = −κmM

r, Vg = −κM

r. (2.40)

Mnoºina bod· konstatního potenciálu K = (x, y, z) ∈ R2 |Vg(x, y, z) = V0 =konst. se nazývá ekvipotenciální plocha. Je to kulová plocha se st°edem v po-£átku soustavy sou°adnic a s polom¥rem κM/V0. ♠

P°íklad 2.26. Potenciánlí energie priºiny.Také pruºná síla (2.8), jíº podle Hookeova zákona p·sobí napjatá, nebo stla-£ená pruºina na t¥leso, které je na ní uchyceno, je konzervativní. Vypo£temeodpovídající potenciální energii.


1

x 0

FP= k x x 0

x 0Ox

Ox

x

, x 0 =

Obr. 2.30: Potenciální energie pruºiny

Platí

Up(x) = −∫

Fp dx = −∫(−kx) dx =

1

2kx2 + konst. (2.41)

Zvolíme-li hladinu nulové potenciální energie v bod¥ x = 0, tj. nenapjaté pruºin¥p°isoudíme energii nulovou, vyjde integra£ní konstanta rovna nule. ♠

Zjistíme nyní obecné podmínky pro to, aby silové pole bylo konzervativní. Pro jednoduchostop¥t uvaºujme o silovém poli v rovin¥ F (r) = (F1(x, y), F2(x, y)), na trojrozm¥rný p°ípadF (r) = (F1(x, y, z), F2(x, y, z), F3(x, y, z)) výsledek snadno zobecníme. Budeme pot°ebo-vat nové pojmy z matematiky parciální derivaci a úplný diferenciál funkce dvou a víceprom¥nných. Uvaºujme o funkci dvou prom¥nných f(x, y). Jejími parciálními derivacemi vbod¥ (a, b) rozumíme limity (pokud existují)

∂f(x, y)

∂x

∣∣∣∣a,b

= limx→a

f(x, b)− f(a, b)

x− a,

∂f(x, y)

∂x

∣∣∣∣a,b

= limy→b

f(a, y)− f(a, b)

y − b. (2.42)

pro jednoduchost zápisu budeme zna£it

∂f(x, y)

∂x

∣∣∣∣a,b

=∂f(a, b)

∂x,

∂f(x, y)

∂y

∣∣∣∣a,b

=∂f(a, b)

∂y.

Samoz°ejm¥, tento zápis neznamená, ºe bychom nap°ed dosadili do funk£ního p°edpisu bod(a, b) a terpve potom derivovali vy²la by nula. Pro vy£íslení parciálních derivací v konkrétn¥zadaném bod¥ (a, b) je musíme nejprve vypo£ítat v obecném bod¥ (x, y) a terpve potomdosadit bod (a, b).

Geometricky jsou parciální derivace velmi názorné, podobn¥ jako oby£ejná derivace funkcejedné prom¥nné (viz Obr. 2.31.) Jsou to sm¥rnice te£en vedených bodem (a, b, f(a, b)) nagrafu funkce f(x, y) ke k°ivkám C1, resp. C2 které vzniknou jako °ezy grafu rovinami o rovnicíchy = b, resp. x = a.


y

O

x

y

z

q

p xf (a,b (

(a,b

C1

C2

αβ

(

Obr. 2.31: Geometrický význam parciálních derivací

Z denice parciálních derivací je z°ejmé, ºe jejich praktický výpo£et se provádí tak, ºe p°iderivování podle prom¥nné x zacházíme s prom¥nnou y jako s konstantou a naopak.

Jsou-li parciální derivace funkce f(x, y) denovány nap°íklad na jisté otev°ené podmno-ºin¥ M deni£ního oboru této funkce, vznikají funkce

fx : M ∋ (x, y) −→ fx(x, y) =∂f(x, y)

∂x, fy : M ∋ (x, y) −→ fy(x, y) =

∂f(x, y)

∂y.

Jejich parciální derivace (na mnoºin¥, na níº existují)

fxx(x, y) =∂fx(x, y)

∂x=∂2f(x, y)

∂x2, fxy(x, y) =

∂fx(x, y)

∂y=∂2f(x, y)

∂y∂x,

fyx(x, y) =∂fy(x, y)

∂x=∂2f(x, y)

∂x∂y, fyy(x, y) =

∂fy(x, y)

∂y=∂2f(x, y)

∂y2

jsou parciální derivace druhého °ádu funkce f(x, y), atd. Jsou-li tzv. smí²ené derivace fxya fyx spojité, jsou si rovny. Stejnou vlastnost mají smí²ené derivace vy²²ích °ád· nenípodstatné, v jakém po°adí podle jednotlivých prom¥nných derivujeme, rozhodující je pouzeto, kolikrát jsme podle kaºdé z prom¥nných derivovali.

Podobn¥ jako u funkcí jedné prom¥nné m·ºe být funkce více prom¥nných sloºená. Uva-ºujme pro jednoduchost op¥t o funkcích dvou prom¥nných, konkrétn¥F (u, v) a u = φ(x, y),v = ψ(x, y). Sloºená funkce f(x, y) prom¥nných x a y z nich vzniká dosazením φ(x, y aψ(x, y) (tzv. vnit°ních sloºek) za u a v do funk£ního p°edpisu F (u, v) (tzv. vn¥j²í sloºky),

f(x, y) = F [φ(x, y), ψ(x, y)].

Vnit°ní sloºky mohou samoz°ejm¥ být funkcemi obecn¥ n prom¥nných a také vnit°ních sloºekm·ºe být obecný po£et, nap°íklad m, F = F (y1, . . . , ym), yα = φj(x1, . . . , xn), 1 ≤ α ≤ m.Sloºená funkce pak má tvar

f(x1, . . . , xn) = F (φ1(x1, . . . , xn), . . . , φm(x1, . . . , xm)),

parciální derivací sloºené funkce f(x1, . . . , xn) v bod¥ a = (a1, . . . , , an) podle prom¥nné xj ,1 ≤ j ≤ n, je limita

fj(a1, . . . , an) =∂f(x1, . . . , xn)

∂xj

∣∣∣∣a

= limxj→aj

f(a1, . . . , xj , . . . , an)− f(a1, . . . , aj , . . . , an)

xj − aj.


Podobn¥ jako u sloºené funkce jedné prom¥nné je v²ak t°eba um¥t tuto limitu vyjád°it pomocíparciálních derivací vnit°ních sloºek a parciálních derivací vn¥j²í sloºky. Ukáºeme my²lenkupostupu, který vede k tzv. °et¥zovému pravidlu. Upravujme zlomek za limitou v p°edcho-zím vztahu pro p°ípad, ºe vn¥j²í sloºka i sloºky vnit°ní budou funkcemi dvou prom¥nných,tj. F = F (u, v), u = φ(x, y), v = ψ(x, y). Po£ítejme derivaci sloºené funkce f(x, y) =F [φ(x, y), ψ(x, y)] v bod¥ (a, b) podle prom¥nné x. Ozna£me u = φ(x, b), v = ψ(x, b),u0 = φ(a, b), v0 = ψ(a, b). Platí

f(x, b)− f(a, b)

x− a=F (φ(x, b), ψ(x, b))− F (φ(a, b), ψ(a, b))

x− a=

=F (φ(x, b), ψ(x, b))− F (φ(a, b), ψ(x, b))

x− a+F (φ(a, b), ψ(x, b))− F (φ(a, b), ψ(a, b))

x− a=

=F (φ(x, b), ψ(x, b))− F (φ(a, b), ψ(x, b))

x− a+F (φ(a, b), ψ(x, b))− F (φ(a, b), ψ(a, b))

x− a=

F (u, v)− F (u0, v)

u− u0

φ(x, b)− φ(a, b)

x− a+F (u0, v)− F (u0, v0)

v − v0

ψ(x, b)− φ(a, b)

x− a.

P°edpokládejme, ºe pro vnit°ní i vn¥j²í sloºky existuje parciální derivace podle x v bod¥ (a, b)a vn¥j²í sloºka má parciální derivace podle prom¥nných u a v dokonce spojité. Prove¤melimitní p°echod x→ a. Platí

limx→a

φ(x, b)− φ(a, b)

x− a=∂φ(a, b)

∂x, lim

x→a

ψ(x, b)− ψ(a, b)

x− a=∂ψ(a, b)

∂x.

Funkce φ(x, b), ψ(x, b) s prom¥nnou y zaxovanou na hodnot¥ b jsou fakticky funkcemi kednéprom¥nné x. Z existence jejich derivace podle této prom¥nné proto plyne jejich spojitost, tj.limx→a φ(x, b) = φ(a, b), limx→a ψ(x, b) = ψ(a, b). Pro x → a je proto také u → u0 av → v0. Dále je

limu→u0

F (u, v)− F (u0, v)

u− u0=∂F (u0, v)

∂u, lim

v→v0

F (u0, v)− F (u0, v0)

v − v0=∂F (u0, v0)

∂v.

Protoºe je funkce Fu(u, v) (parciální derivace vn¥j²í sloºky podle prom¥nné u) v bod¥ (u0, v0)spojitá, platí

limv→v0

∂F (u0, v)

∂v=∂F (u0, v0)

∂v.

A to uº byl poslední krok k odvození pravidla pro derivaci sloºné funkce. Dostali jsme

∂f(a, b)

∂x=∂F (u0, v0)

∂u

∂φ(a, b)

∂x+∂F (u0, v0)

∂v

∂ψ(a, b)

∂x,

a podobn¥ pro parciální derivaci podle y,

∂f(a, b)

∂y=∂F (u0, v0)

∂u

∂φ(a, b)

∂y+∂F (u0, v0)

∂v

∂ψ(a, b)

∂y.


Pravidlo nej£ast¥ji zapisujeme zjednodu²en¥, bez vyzna£ování bod·, v nichº se mají derivacevy£íslit,

∂f

∂x=∂F

∂u

∂u

∂x+∂F

∂v

∂v

∂x,

∂f

∂y=∂F

∂u

∂u

∂y+∂F

∂v

∂v

∂y. (2.43)

K formulaci obecných podmínek konzervativnosti silového pole pot°ebujeme vedle parciálníchderivací je²t¥ dal²í matematický pojem úplný diferenciál funkce více prom¥nných. Pod-statu denice vyjasníme na funkci jedné prom¥nné a poté ji formulujeme pro funkci dvouprom¥nných. Zobecn¥ní na funkci více prom¥nných je pak jiº velice snadné. Na Obr. 2.32 jeznázorn¥n schematický hladký graf funkce y = f(x) v okolí bodu a.

−

(a+h)

f (a)

f (a+h ) f (a)

O

y=f

x

(x)

a a+h

α h tgα

χ (a,h)f

Obr. 2.32: Diferenciál funkce jedné prom¥nné

Na obrázku je vid¥t, ºe p°ír·stek funkce f(x) mezi body a a a+ h, f(a+ x)− f(a) je sloºenze dvou p°ísp¥vk· p°ír·stku na te£n¥ d(a)(h) = h tgα = f ′(a)h a veli£iny χ(a, h),

f(a+ x)− f(a) = f ′(a)h+ χ(a, h).

Pokud se p°ír·stek h bude zmen²ovat a limit¥ blíºit k nule, bude klesat k nule i hodnotakaºdého z obou p°ísp¥vk·. Prír·stek na te£n¥ se m¥ní lineárn¥, p°ír·stek χ(a, h) záleºí natvaru funkce. V p°ípad¥, ºe chod χ(a, h) → 0 bude rychlej²í neº lineární, tj.

limh→0

χ(a, h)

h= 0,

je intuitivn¥ jasné, ºe p°ír·stek funkce m·ºeme nahradit p°ír·stkem na te£n¥, a to tím lépe,£ím je h men²í. V takovém p°ípad¥ °íkáme, ºe je funkce f(x) v bod¥ a diferencovatelná a výraz

d(a)(h) = h tgα = f ′(a)h (2.44)

se nazývá úplný diferenciál funkce f(x) v bod¥ a. Pokud má funkce f(x) v bod¥ a derivaci,pak je vztah pro p°ísp¥vek χ(a, h) automaticky spln¥n. Skute£n¥,

χ(a, h)

h=f(a+ h)− f(a)

h− f ′(a) =⇒ lim

h→0

χ(a, h)

h= limh→0

(f(a+ h)− f(a)

h− f ′(a)

)= 0.

Úplný diferenciál má i názorný geometrický význam. Koecient f ′(a) je totiº sm¥rnice te£nyke grafu funkce v bod¥ a, rovnice te£ny je

y − f(a, b) = f ′(a)(x− a).


Názornou situaci zobecníme na p°ípad funkce dvou a více prom¥nných. Funkce f(x, y) senazývá diferencovatelná v bod¥ (a, b) svého deni£ního oboru, jestliºe existují £ísla A a B afunkce χ((a, b), (h, k)) tak, ºe platí

f(a+ h, b+ k)− f(a, b) = Ah+Bk + χ((a, b), (h, k)), lim(h,k)→(0,0)

χ((a, b), (h, k))√h2 + k2

= 0.

Jsou-li p°edchozí vztahy spln¥ny, tj. je-li funkce v daném bod¥ diferencovatelná, jsou £ísla Aa B parciálními derivacemi funkce f(x, y) v bod¥ (a, b) a výraz

df(a, b)(h, k) =∂f(a, b)

∂xh+

∂f(a, b)

∂yk (2.45)

se nazývá úplný diferenciál funkce f(x, y) v bod¥ (a, b). e jsou £ísla A a B práv¥ parciálnímiderivacemi funkce f(x, y) vyplývá z existence limity

0 = lim(h,k)→(a,b)

χ((a, b), (h, k))√h2 + k2

= lim(h,k)→(a,b)

[f(a+ h, , b+ k)− f(a, b)

√h2 + k2

−Ah+Bk√h2 + k2

.

]

Tuto limitu m·ºeme po£ítat postupn¥ ,

0 = lim(h,k)→(a,b)

χ((a, b), (h, k))√h2 + k2

= limh→0

[limk→0

χ((a, b), (h, k))√h2 + k2

]=

= limh→0

[f(a+ h, b)− f(a, b)

|h|−A

h

|h|

],

odkud

A =∂f(a, b)

∂x, a podobn¥, p°i opa£ném po°adí výpo£tu limity, B =

∂f(a, b)

∂y.

Úplný diferenciál funkce p°edstavuje lineární p°ísp¥vek k jejímu p°ír·stku a p°ibliºn¥lze jeho hodnotou nahradit hodnotu skute£ného p°ír·stku. Geometrická interpretace úplnéhodiferenciálu je obdobná jako u funkce jedné prom¥nné. Vztah

y − f(a, b) =∂f(a, b)

∂x(x− a) +

∂f(a, b)

∂y(y − b)

je rovnicí te£né roviny vedené bodem (a, b, f(a, b)) na grafu funkce f(x, y).

P°íklad 2.27. Diferenciály sou°adnicových funkcí.

Uvaºujme o tzv. sou°adnicových funkcích, p°i°azujících bodu (x, y) jeho jednotlivé sou°adnice

f1(x, y) = x(x, y) = x, f2(x, , y) = y(x, y) = y

a spo£ítejme jejich úplný diferenciál. Pro libovolný bod (x, y) platí

f1(x, y)

∂x= 1,

f1(x, y)

∂y= 0,

f2(x, y)

∂x= 0,

f2(x, y)

∂y= 1,

dx(x, y)(h, k) = h, dy(x, y)(h, , k) = k.

♠


Úplný diferenciál libovolné diferencovatelné funkce proto m·ºeme zapsat pomocí diferenciál·sou°adnicových funkcí ve tvaru

df(x, y) =∂f(x, y)

∂xdx+

∂f(x, y)

∂ydy, zkrácen¥ df =

∂f

∂xdx+

∂f

∂ydy. (2.46)

Po del²í matematické vsuvce se vra´me k problému nezávislosti práce síly na tvaru k°ivky, poníº se pohybuje její p·sobi²t¥. P°edpokladádejme, ºe sloºky rovinné síly F (r) = (F1(x, y), F2(x, y))nejsou nezávislé, ale jsou odvozeny z jedné spole£né kmenové funkce f(x, y) takto:

F1(x, y) =f(x, y)

∂x, F2(x, y) =

f(x, y)

∂y.

Je-li parametrické vyjád°ení k°ivky C dáno funkcemi x = x(t), y = y(t), t ∈ [α, β], je prácesíly F po této k°ivce rovna podle vztahu (2.36)

AC =

∫C

F dr =

β∫α

[∂f(x(t), y(t))

∂xx(t) +

∂f(x(t), y(t))

∂yy(t)

]dt.

Podle pravidla pro derivaci sloºené funkce je z°ejmé, ºe integrand je derivací funkce F (t) =f(x(t), y(t)), tj.

AC =

β∫α

F (t) dt = F (β)− F (α) = f(x(β), y(β))− f(x(α), y(α)) = f(r(β))− f(r(α)),

kde r(α), resp. r(β) je po£áte£ní, resp. koncový bod k°ivky C. Tvar k°ivky tedy nemá vlivna hodnotu vykonané práce. Silové pole F (r), jehoº sloºky jsou parciálními derivacemi jistéfunkce f(r), je proto konzervativní. Platí také obrácené tvrzení kaºdé konzervativní vek-torové pole je odvozeno od jisté kmenové funkce pomocí parciálních derivací. Vektor ur£enýparciálními derivacemi funkce f(r) se nazývá gradient funkce f . Podobný záv¥r platí pro funkcit°í prom¥nných silové pole F (r) = (F1(x, y, z), F2(x, y, z), F3(x, y, z)) je konzervativnípráv¥ kdyº existuje funkce f(r) = f(x, y, z) taková, ºe platí

F (r) =

(∂f(x, y, z)

∂x,∂f(x, y, z)

∂y,∂f(x, y, z)

∂z

)= grad f(r). (2.47)

Výraz pro elementární práci síly F (r) je v takovém p°ípad¥ úplným diferenciálem kmenovéfunkce f(r),

δA = F1 dx+ F2 dy + F3 dz =∂f(x, y, z)

∂xdx+

∂f(x, y, z)

∂ydy +

∂f(x, y, z)

∂zdz.

Funkce U(r) = −f(r) se podobn¥ jako v p°ípad¥ centrálního silového pole nazývá potenciální

energie. Vzniká je²t¥ jeden problém. Jak podle sloºek zadané síly poznáme, zda jsou parciálnímiderivacemi n¥jaké vhodné funkce? Samoz°ejm¥ m·ºeme postupovat tak, ºe budeme kmenovoufunkci rovnou hledat. Zvolíme v²ak jednodu²²í zp·sob, který umoºní o existenci kmenovéfunkce rozhodnout p°edem. P°edpokládejme, ºe rovinné silové pole F (r) je konzervativní, tj.

F1(x, y) =∂f(x, y)

∂x, F2(x, y) =

∂f(x, y)

∂y,

a derivujme sloºku F1 podle y a sloºku F2 podle x. Dostaneme

∂F1(x, y)

∂y=∂2f(x, y)

∂y∂x,

∂F2(x, y)

∂x=∂2f(x, y)

∂x∂y.


Smí²ené parciální derivace jsou v²ak (za p°edpokladu jejich spojitosti) zám¥nné. Nutnou aposta£ující podmínkou pro konzervativnost rovinného silového pole je

∂F1(x, y)

∂y=∂F2(x, y)

∂x,

pro prostorové silové pole pak

∂F3(x, y)

∂x−∂F2(x, y)

∂3= 0,

∂F1(x, y)

∂z−∂F3(x, y)

∂x= 0,

∂F2(x, y)

∂x−∂F1(x, y)

∂y= 0.

(2.48)

Vektorové pole

rot F (r) =

(∂F3(x, y)

∂x−∂F2(x, y)

∂z,∂F1(x, y)

∂z−∂F3(x, y)

∂x,∂F2(x, y)

∂x−∂F1(x, y)

∂y

)se nazývá rotace vektorového pole F . Vrátíme-li se k p°íkladu 2.24, vidíme, ºe silové pole

F (r) = (3x2y2, 2x3y) je konzervativní, nebo´ je gradientem kmenové funkce f(x, y) = x2y2.

Odpovídá potenciální energii U(x, y) = −x3y2 + konst. (kmenové funkce se mohou li²it o

integra£ní konstantu).

P°ipome¬me, ºe homogenní silové pole, centrální silové pole i silové pole po-pisující pruºnou sílu jsou pouze speciálními p°ípady konzervativních silovýchpolí.

P°íklad 2.28. Práce Lorentzovy síly.

Uvaºujme je²t¥ o práci magnetického pole o obecn¥ zadané indukci B(r, t).Odpovídající Lorenzova síla p·sobící na nabitou £ástici je dána vztahem (2.7),F = q(v)× B, není vektorovým polem ve smyslu matematické denice závisítotiº na rychlosti a v nejobecn¥j²ím p°ípad¥ i explicitn¥ na £ase. Pro její práciplatí

AC =

∫C

q(v × B) dr = q

β∫α

(v × B)v dt = 0.

Vzhledem k tomu, ºe magnetická síla je vºdy kolmá k rychlosti, je její elemen-tární, a tedy i celková práce po jakékoli k°ivce nulová. ♠

2.5.3 Kinetická energie

Denici veli£iny zvané kinetická energie zná nepochybn¥ kaºdý, kdo se v n¥jaképodob¥ setkal s fyzikou. Pro £ástici o hmotnosti m a rychlosti v, resp. prosoustavu N £ástic o hmotnostech mj a rychlostech vj je dána vztahem

Ek =1

2mv2, resp. Ek =

N∑j=1

1

2mjv

2j .

Jaké fyzikální d·vody v²ak vedou k zavedení nové veli£iny práv¥ tímto zp·spo-bem? V p°edchozím odstavci jsme denovali a po£ítali práci libovolné ze sil,


p·sobících na £ástici p°i jejím pohybu po trajektorii. Otázka, jakou práci vyko-nají dohromady v²echny síly p·sobící na £ástici, má jednoduchou odpov¥¤ se£teme práci jednotlivých sil. Ukáºe se v²ak, ºe tato procedura povede práv¥k zavedení kinetické energie. P°edpokládejme, ºe na £ástici o hmotnosti m po-hybující se po trajektorii C s parametrickým vyjád°ením x = x(t), y = y(t),z = z(t), t ∈ [α, β] p·sobí síly F1, F2 aº FK . Jejich celková práce je

AC =

∫C

F1 dr + · · ·+∫C

FK dr =K∑

γ=1

∫C

Fγ dr.

V²echny integrály mají týº integra£ní obor a stejnou integra£ní prom¥nnou r,m·ºeme je proto snadno se£íst:

AC =

∫C

K∑γ=1

dr =

β∫α

Fγ(r(t)

v(t) dt.

Sou£et sil ov²em p°edstavuje jejich výslednici, a ta je podle druhého Newtonovazákona rovna sou£inu hmotnosti a zrychlení £ástice. Platí proto

AC =

β∫α

ma(t)v(t) dt =

β∫α

mv(t) ˙v dt =1

2mv2(t)

∣∣∣∣βα

=1

2mv2(β)− 1

2mv2(α).

Získali jsme zajímavý výsledek zatímco práce jednotlivých sil p·sobících na£ástici obecn¥ závisí na tom, po jaké konkrétní trajektorii se £ástice pohybuje,tj. jakými mechanickými stavy prochází (závislost mizí ve speciálních p°ípadech v konzervativních silových polích), je práce, kterou vykonají v²echny síly do-hromady závislá pouze na rychlostech odpovídajících po£áte£nímu a koncovémustavu, a to bez ohledu a konkrétní typ a vyjád°ení jednotlivých sil tvo°ících vý-slednici. Tento silný výsledek má fyzikální podstatu je d·sledkem platnostidruhého Newtonova zákona. Veli£inu, jejíº hodnoty v koncovém a po£áte£nímstavu ur£ují práci vykonanou v²emi silami p·sobícími na £ástici, nazýváme ki-netická energie £ástice. Platí

Ek =1

2mv2, AC =

K∑γ=1

∫C

Fγ dr = ∆Ek = Ek(2)− Ek(1), (2.49)

kde Ek(1), resp. Ek(2) je kinetická energie £ástice v po£áte£ním, resp. koncovémstavu (odpovídajícím po£áte£ním, resp. koncovému bodu trajektorie).

P°íklad 2.29. Zachování mechanické energie.

Uvaºujme o £ástici, která se pohybuje po trajektorii C v konzervativním silovémpoli F (r) a jiné síly na ni nep·sobí. Potenciální energii odpovídající danémusilovému poli ozna£me U(r). Po£áte£ní stav £ástice ozna£me (r1, v1) a koncový


(r2, v2), tj. pro t ∈ [α, β] je s ohledem na d°ív¥j²í zna£ení r(α) = r1, v(α) = v1,r(β) = r2, v(β) = v2. Podle denice kinetické energie platí

Ek(2)− Ek(1) =

∫C

F dr = −U(r)|21 = U(r1)− U(r2) =⇒

=⇒ Ek(1) + U(r1) = Ek(2) + U(r2) =⇒ Ek + U(r) = konst. (2.50)

P°i pohybu £ástice v homogenním gravita£ním poli Zem¥ o tíhovém zrychleníg, resp. v centrálním gravita£ním poli vytvá°eném t¥lesem o hmotnosti M mávztah (2.50) tvar, který si sami snadno odvodíte,

1

2mv2 +mgh = E0, resp.

1

2mv2 − κ

mM

r= E0, E0 = konst.,

kde h je vý²ka £ástice nad povrchem Zem¥, r je vzdálenost £ástice od centra M(obvykle po£átku soustavy sou°adnic). ♠

Vztah (2.50), odvozený v p°edchozím p°íkladu, je formáln¥ velmi jednoduchý,má v²ak zna£ný fyzikální i praktický význam:

Zákon zachování mechanické energie v konzervativním poli

Sou£et kinetické a potenciální £ástice v konzervativním silovém poli, tj. mecha-nická energie, je stálý. Kinetická energie se m¥ní na úkor energie potenciální.

Vztah (2.50) je nejjednodu²²í, a ne zcela p°esnou podobou zákona zachovánímechanické energie. Aproximativní p°ístup spo£ívá v tom, ºe p°edpokládáme,ºe silové pole F (r) není nijak ovlivn¥no tím, ºe se v n¥m pohybuje testovací£ástice . P°esn¥ vzato je silové pole vytvá°eno okolními £ásticemi, které na testo-vací £ástici silov¥ p·sobí. Toto p·sobení je v²ak podle t°etího Newtonova zákonavzájemné. Uváºíme-li nejjednodu²²í p°ípad, centrální silové pole, m¥li bychomp°i p°esných úvahách respektovat skute£nost, ºe díky vzájemnému ovliv¬ování£ástic m a M je vztaºná soustava spjatá s M ve skute£nosti neinerciální. Mírajejí neinerciálnosti, a tedy i míra nep°esnosti vztahu (2.50), je dána pom¥remhmotností m a M . Podrobn¥ se budeme tomuto problému v¥novat v odstavci3.1.4.

Kapitola 3

Mechanika soustav £ástic

V p°edchozí kapitole jsme se zabývali pohybem t¥lesa modelovaného hmotnýmbodem (a nazývaného téº £ásticí) a p°í£inami tohoto pohybu. Formulovali jsmezákladní principy mechaniky Newtonovy zákony a odvodili jejich d·leºitéd·sledky týkající se práv¥ pohybu jedné £ástice. V této kapitole budou ob-jekty, jejichº pohyby studujeme, jiº obecn¥j²í. P·jde o t¥lesa s nezanedbatel-nými rozm¥ry, a to jak s diskrétním, tak se spojitým rozloºením hmotnosti. Vodstavci 1.1 jsme denovali rozloºení hmotnosti pro diskrétní p°ípad jako soubormi, ri, kde index i ∈ 1, . . . , N £ísluje jednotlivé hmotné body, z nichº jet¥leso sloºeno. Pro spojitý p°ípad charakterizovala rozloºení hmotnosti hustotat¥lesa ϱ(r). Základní charakteristiky spjaté s rozloºením hmotnosti, celkovouhmotnost, polohu st°edu hmotnosti (a pro druhé £tení také tenzor momentusetrva£nosti), jsme rovn¥º denovali v odstavci 1.1.

Základními zákony, jimiº se °ídí pohyb t¥les, jsou tzv. impulsové v¥ty. Jakov²echno jsou samoz°ejm¥ d·sledkem základních princip· Newtonových zá-kon·. Odvodíme je jak v obecné podob¥ a aplikujeme je na p°ípad speciálníhotypu t¥les, která b¥hem pohybu nem¥ní své rozloºení hmotnosti, tzv tuhát¥lesa neboli setrva£níky.

3.1 Impulsové v¥ty a zákony zachování

Uvaºujme o soustav¥ N hmotných bod· (£ástic). Rozloºení hmotnosti v tétosoustav¥ je v kaºdém okamºiku popsáno souborem mi, ri (viz Obr. 1.1).Hmotnosti £ásticmi povaºujme za konstantní, polohové vektory ri jsou vztaºenyvzhledem i interciální vztaºné soustav¥. Je samoz°ejmé, ºe pro kaºdou £ásticisoustavy platí Newtonovy zákony. Abychom je mohli aplikovat, je t°eba popsatv²echny síly, jimiº na kaºdou £ástici p·sobí objekty, které tvo°í její okolí. Tytoobjekty lze rozt°ídit do dvou kategorií:

• objekty náleºející zvolené soustav¥ £ástic, tj. p°ímo samy £ástice danésoustavy,

171

172 KAPITOLA 3. MECHANIKA SOUSTAV ÁSTIC

• objekty mimo tuto soustavu, pro jednoduchost p°edpokládejme, ºe sejedná o K hmotných bod· (£ástic) o konstatních hmotnostech Mγ , γ ∈1, . . . , K, a polohových vektorech Rγ .

Situaci znázor¬uje Obr. 3.1.

−

r

rRK

Fextiγ

Fiint

Fiint

Fextiγ

x

y

z1m

im

mN

1

i

N

O

m jjrj

KM

M2

M1

M

R2

Rγ

γ

r

j

Obr. 3.1: Popis silového p·sobení v soustav¥ £ástic

Popi²me nyní silové p·sobení na i-tou £ástici soustavy.

• Silové p·sobení £ástic první kategorie vnit°ní síly: Na i-tou £ástici sou-stavy p·sobí j-tá £ástice soustavy silou F int

ji , kde j ∈ 1, . . . , N, p°i£emºplatí F int

ji = −F intij (t°etí Newton·v zákon) a F int

ii = 0 (£ástice sama nasebe nep·sobí).

• Silové p·sobení £ásti druhé kategorie vn¥j²í síly: Na i-tou £ástici sou-stavy p·sobí γ-tá £ástice jejího okolí silou F ext

γi , kde γ ∈ 1, . . . , K.(Podle t°etího Newtonova zákona p·sobí i-tá £ástice soustavy na γ-tou£ástici okolí silou F ext

iγ = −F extγi . Tato síla v²ak p·sobí na soustavu tvo°ící

okolí, takºe do formulace druhého Newtonova zákona pro na²i soustavunebude zapo£tena.)

Pohybová rovnice i-té £ástice soustavy má tvar

dpidt

=N∑j=1

F intji (rji, vji, t) +

K∑γ=1

F extγi (ri − Rγ , vi − Vγ , t),

3.1. IMPULSOVÉ VTY A ZÁKONY ZACHOVÁNÍ 173

mi¨ri =

N∑j=1

F intji (rji, ˙rji, t) +

K∑γ=1

F extγi (ri − Rγ , ˙ri −

˙Rγ , t), i ∈ 1, . . . , N.

(3.1)M·ºe se zdát, ºe nyní jiº sta£í zapsat silové zákony popisující jednotlivé interakcea °e²it soustavu N vektorových rovnic o N neznámých vektorových funkcích ri.Tato p°edstava je sice principiáln¥ správná, ale nerealizovatelná. P°ekáºky jsouzejména následující

• Museli bychom znát £asový vývoj stavu £ástic okolí, tj. £asové závislostiRγ(t) (rychlosti Vγ(t) bychom získali derivováním).

• Museli bychom znát soubor po£áte£ních podmínek ri(0), vi(0) pro v²echny£ástice soustavy.

• Je známo a dokázáno, ºe analyticky lze °e²it nanejvý² tzv. problém dvout¥les. Pro N ≥ 3 je nutné p°istoupit k numerickému °e²ení.

• Pro v¥t²í po£et £ástic m·ºe být i numerické °e²ení nesch·dné pro velkounáro£nost na kapacitu pam¥ti po£íta£e nebo a výpo£etní £as.

Z vý²e uvedených d·vod·, ale i z obecného hlediska má smysl pokusit se deno-vat veli£iny, které se vztahují nikoli k jednotlivým £ásticím, ale k soustav¥ jakocelku, a sledovat jejich £asový vývoj. Jsou jimi celková hybnost, celkový momenthybnosti, a pop°ípad¥ i celková mechanická energie, pokud jsou síly p·sobící vsoustav¥ konzervativní. Problematikou t¥chto globálních veli£in se zabývajínásledující odstavce.

3.1.1 První impulsová v¥ta

Celkovou hybnost soustavy denujeme p°irozeným zp·sobem jako vektorový sou-£et hybností v²ech £ástic,

p0 =N∑i=1

pi = p1 + p2 + · · ·+ pN . (3.2)

Pro její £asovou derivaci platí

˙p0(t) =d

dt

N∑i=1

˙pi =N∑i=1

N∑j=1

F intji +

K∑γ=1

F extγi

=

=

N∑i=1

N∑j=1

F intji +

N∑i=1

K∑γ=1

F extγi = F int + F ext.

Poznámka: Pro t¥leso se spojit¥ porm¥nnou hmotností je celková hybnost rov-n¥º sou£tem hybností jednotlivých hmotných element· t¥lesa, tj. integrálem

p0(t) =

∫V

ϱ(r, t)v(t) dV.


Zdá se, ºe jsme neobjevili nic nového £asová derivace celkové hybnosti sou-stavy je rovna výslednici v²ech sil, které p·sobá na £ástice soustavy, a to jakzevnit° , tak zvenku . P°ece se v²ad dá p°edchozí vztah zjednodu²it, uv¥domíme-li si platnost t°etího Newtonova zákona. Jako F int =

∑Ni=1

∑Nj=1 F

intji (modrá

suma) jsme ozna£ili výslednici vnit°ních sil, p·sobích na £ástice soustavy. S£ításe p°es v²echny dvojice index· i, j ∈ 1, . . . , N. S kaºdou dvojicí pevn¥ zvo-lených index· i a j je v sou£tu obsaºena jak síla F int

ji , tak síla F intij . Platí v²ak

F intij + F int

ji = 0, proto F int = 0. Derivace celkové hybnosti je proto rovna vý-slednici vn¥j²ích sil p·sobících na £ástice soustavy. Pouºitím druhého a t°etíhoNewtonova zákona jsme tak dostali nový výsledek, který má charakter odvoze-ného tvrzení první impulsovou v¥tu:

První impulsová v¥ta

asová derivace celkové hybnosti soustavy £ástic je rovna výslednici vn¥j²ích sil,tj. t¥ch, jimiº na £ástice soustavy p·sobí její okolí. Platí

dp0dt

= F ext, (3.3)

kde F ext je výslednice (vektorový sou£et) v²ech vn¥j²ích sil.

První impulsová v¥ta má formáln¥ tvar druhého Newtonova zákona: P°edstavmesi náhradní £ástici, jejíº hmotnost je m0 =

∑Ni=1 a hybnost je rovna celkové

hybnosti soustavy, tj. p0. P·sobí-li na tuto £ástici její okolí silami tak, ºe jejichvýslednice je F ext, bude druhý Newton·v zákon zapsán úpln¥ stejn¥ jako prvníimpulsová v¥ta pro soustavu, kterou náhradní £ástice z hlediska celkové hybnostizastupuje. Jde v²ak o formální shodu v první impulsové v¥t¥ je, jak víme,obsaºen i t°etí Newton·v zákon, díky n¥muº se neuplatní vnit°ní síly soustavy.

Denujme je²t¥ vcelku p°irozeným zp·sobem rychlost náhradní £ástice jakopodíl její hybnosti a hmotnosti,

v0 =p0m0

=m1v1 + · · ·+mN vN

m1 + · · ·+mn,

resp.

v0 =p0m0

=

∫V

ϱv dV∫V

ϱ dV

pro t¥leso s diskrétním, resp. spojitým rozloºením hmotnosti. Podobný vztahjsme jiº vid¥li v odstavci 1.1. Konkrétn¥ ²lo o vztah (1.2) pro polohu st°eduhmotnosti soustavy. Integrací práv¥ zavedeného vztahu pro rychlost náhradní£ástice dostaneme její polohu ve tvaru

r0 =m1r1 + · · ·+mN rN

m1 + · · ·+mn+ konst.,


coº je polohový vektor st°edu hmotnosti aº na konstantní vektor. Náhradních£ástic z hlediska první impulsové v¥ty je tedy nekone£n¥ mnoho. Pro volbukonkrétní z nich nemáme zatím dal²í kritérium, proto zvolme za integra£ní kon-stantu nulový vektor a náhradní £ástici ztotoºn¥me se st°edem hmotnosti. Vdal²ích odstavcích uvidíme, ºe tato volba má i d·leºitý fyzikální význam.

Zvlá²tní situace nastává, jestliºe se v²echny vn¥j²í síly, jimiº okolí p·sobína soustavu, navzájem kompenzují jejich výslednice je nulová. Podle prvníimpulsové v¥ty je pak derivace celkové hybnosti nulová a celková hybnost kon-stantní. Soustava se °ídí zákonem zachování hybnosti. Konstatní je samoz°ejm¥i rychlost v0, st°ed hmotnosti soustavy se pohybuje rovnom¥rn¥ p°ímo£a°e.

Poznámka: Jiº v tuto chvíli m·ºeme usuzovat na zvlá²tní význam st°edu hmot-nosti zatímco pohyb jednotlivých £ástic m·ºe být i p°i nulové výslednici vn¥j-²ích sil obecný, je pohyb st°edu hmotnosti jako náhradní £ástice z hlediskaprvní impulsové v¥ty rovnom¥rný a p°ímo£arý. P°íkladem m·ºe být t°eba tuhét¥leso (viz odstavec 1.1.2) umíst¥né na stojanu spo£ívajícím t°eba na stole arotující kolem pevné osy za idealizovaných podmínek, kdy rotace není brzd¥nat°ením (setrva£ník): vn¥j²ími silami jsou tíhové síly, tlakové síly podloºky a po-p°ípad¥ statické t°ecí síly, které se kompenzují, st°ed hmotnosti t¥lesa je v klidua jednotlivé hmotné elementy t¥lesa opisují kruºnice.

Nejjednodu²²í situace, p°i níº se zachovává celková hybnost soustavy, je taková,kdy okolí nep·sobí na £ástice soustavy v·bec ºádnými silami. Taková soustavase nazývá izolovaná a hovo°íme o zákonu zachování hybnosti izolované soustavy.

3.1.2 Druhá impulsová v¥ta

V p°edchozím odstavci jsme se uvád¥li p°íklad, kdy st°ed hmotnosti soustavyje v klidu, soustava v²ak rotuje kolem n¥jaké osy. V takové situaci se jednotlivé£ástice pohybují nap°íklad po kruºnicích (je-li soustava tuhá). Víme, ºe kine-matickou veli£inou charakterizující takový pohyb je úhlová rychlost. Co v²akje odpovídající veli£inou dynamickou? Tato otázka sm¥°uje k nalezení analogiemezi dvojicí rychlosthybnost a dvojicí úhlová rychlosthledaná dynamickáveli£ina . Touto veli£inou je moment hybnosti. Je denován formáln¥ stejn¥ jakomoment síly, který známe z praxe: budeme-li se nap°íklad snaºit oto£it t¥ºkédve°e v zatuhlých pantech, nebude rozhodující jen to, jakou silou na dve°e p·-sobíme, ale také na umíst¥ní jejího p·sobi²t¥ vzhledem k ose otá£ení (spojnicipant·). Denici momentu síly, resp. momentu hybnosti vzhledem k pevnémuvztaºnému bodu O ve zvolené inerciální soustav¥ p°ibliºuje Obr. 3.2.


r

O

F

O

r

p

Obr. 3.2: Momenty vektorových veli£in

Moment hybnosti £ástice vzhledem k bodu O, resp. moment síly vzhledem kbodu O jsou denovány vztahy

ℓ = r × p, M = r × F , (3.4)

kde význam veli£in je z°ejmý zObr. 3.2: r je polohový vektor £ástice o hybnostip, resp. polohový vektor p·sobi²t¥ síly F vzhledem k vztaºnému bodu O.

Celkový moment hybnosti soustavy N £ástic s rozloºením hmotnosti mi, ri orychlostech vi denujeme, podobn¥ jako u hybnosti, jako sou£et jedno£ásticovýchmoment· hybnosti, vztaºených samoz°ejm¥ k témuº bodu O, k n¥muº vztahu-jeme celkový moment hybnosti,

ℓ0 =N∑i=1

ri × pi =N∑i=1

ri ×mivi = r1 ×m1v1 + · · ·+ rN ×mN vN . (3.5)

Zajímáme se op¥t o jeho £asovou zm¥nu, tj.

˙ℓ0 =

d

dt

N∑i=1

ri ×mivi =

N∑i=1

d

dt(ri ×mivi) =

=N∑i=1

˙ri × (pi) + ri × ˙pi =N∑i=1

ri ×

N∑j=1

F intji +

K∑γ=1

F extγi

=

=

N∑i=1

N∑j=1

F intji +

N∑i=1

K∑γ=1

F intγi = M int + Mext.

P°i výpo£tech jsme vzali v úvahu skute£nost, ºe ˙ri = vi, a proto je vektorovýsou£in ˙ri × pi = ˙vi ×mivi nulový. Veli£ina M int p°edstavuje vektorový sou£etv²ech moment· sil p·sobících uvnit° soustavy, tj. výsledný moment vnit°níchsil, Mext je sou£tem moment· sil, jimiº na £ástice soustavy p·sobí její okolí, tj.výsledný moment vn¥j²ích sil.


Poznámka: Pro p°ípad t¥lesa s diskrétním rozloºením hmotnosti platí

ℓ0(t) =

∫V

r × ϱ(r, t)v(t) dV.

Podobn¥ jako v p°edchozím odstavci se nyní zam¥°íme na zji²t¥ní, zda t°etíNewton·v zákon, týkající se vzájemného silového p·sobení £ástic, povede kn¥jakému zjednodu²ení výrazu pro výsledný moment vnit°ních sil. Výraz pron¥j podrobn¥ji rozepí²eme, s uváºením jiº d°íve konstatované skute£nosti, ºeF intii = 0:

M int =N∑i=1

N∑j=1

F intji =

=(r1 × F int

12 + · · · r1 × F int1N

)+ · · ·+

(rN × F int

N1 + · · · rN × F intN,N−1

)=

=(r1 × F int

21 + r2 × F int12

)+ · · ·+

(rN−1 × F int

N,N−1 + rN × F intN−1,N

)=

=N∑i=1

N∑j=1,j<i

(ri × F int

ji + rj × F intij

)=

=

N∑i=1

N∑j=1,j<i

(ri × F int

ji − rj × F intji

)=

N∑i=1

N∑j=1,j<i

(ri − rj)× F intji .

Vzájemné p·sobení £ástic je v²ak centrální, a proto jsou vektory ri − rj a F intji

rovnob¥ºné. Jejich vektorový sou£in je nulový a celkový moment vnit°ních silrovn¥º. Výsledkem je dal²í odvozené tvrzení druhá impulsová v¥ta:

Druhá impulsová v¥ta

asová derivace celkového momentu hybnosti soustavy £ástic je rovna výsled-nému momentu vn¥j²ích sil, tj. t¥ch, jimiº na £ástice soustavy p·sobí její okolí.Platí

dℓ0dt

= Mext, (3.6)

kde Mext je výsledný moment v²ech vn¥j²ích sil (vektorový sou£et jednotlivýchmoment· vn¥j²ích sil).

V p°ípad¥, ºe jsou kompenzovány momenty vn¥j²ích sil, tj. výsledný momentvn¥j²ích sil p·sobících na soustavu je nulový, je nulová i derivace celkovéhomomentu hybnosti a celkový moment hybnosti se zachovává. Tento výsledekp°edstavuje zákon zachování momentu hybnosti soustavy £ástic. Podobn¥ jakov p°ípad¥ zákona zachování hybnosti je nejjednodu²²ím soustavou, jejíº celkovýmoment hybnosti se zachovává, izolovaná soustava (na £ástice soustavy nep·sobí


v·bec ºádné vn¥j²í síly). Pak hovo°íme o zákonu zachování momentu hybnostiizolované soustavy.

Obecn¥ je moºné, aby se celková hybnost soustavy nezachovávala a celkovýmoment hybnosti ano, moºná je i opa£ná situace. Uvidíme to v následujícíchp°íkladech. V p°ípad¥ izolované soustavy platí oba zákony zachování, zachováváse tedy jak její celková hybnost, tak její celkový moment hybnosti.

P°íklad 3.1. Hybnost a moment hybnosti p°i volném pádu.

Hmotný bod o hmotnosti m se pohybuje v homogenním gravita£ním poli Zem¥g volným pádem (odpor prost°edí zanedbáváme). Vypo£teme derivaci jeho hyb-nosti a momentu hybnosti. Zvolme soustavu sou°adnic nejprve obecn¥, podleObr. 3.3 vlevo.

(0)

(tr )

)(tF

x

yO

q

(0)z

z

(0)x

y

Obr. 3.3: Moment hybnosti voln¥ padajícího t¥lesa

Podle impulsových v¥t platí

˙p = mg,˙ℓ = r ×mg,


odkud jednoduchou integrací dostaneme

p(t) = (0, 0, −mgt) , ℓ(t) = (ℓ1(0)−mgt y(0), ℓ2(0) +mgt x(0), ℓ3(0)) .

Vektor hybnosti £ástice se s £asem m¥ní, moment hybnosti vzhledem k obecn¥zvolenému vztaºnému bodu rovn¥º. Okamºitou polohu £ástice zjistíme integracírychlosti. Dostaneme o£ekávanou závislost

r(t) =

(x(0), y(0), z(0)− 1

2gt2).

Volbou vztaºného bodu v kterékoli poloze na p°ímce q, po níº £ástice padá kzemi, docílíme toho, ºe moment hybnosti £ástice bude konstantní, nebo´ p°itakové volb¥ vztaºného bodu je moment tíhové síly (a sou£asn¥ tedy i celkovýmoment vn¥j²ích sil) trvale nulový. Dokonce platí ℓ(0) = 0, a tedy i ℓ(t) = 0. ♠

P°íklad 3.2. Hybnost a moment hybnosti p°i rota£ním pohybu.Homogenní válec rotuje kolem své geometrické osy a je roztá£en dvojicí lannavinutých na jeho obvodu (Obr. 3.4).

z

rr

F

F

yO

Obr. 3.4: Moment hybnosti rotujícího válce

P°edpokládejme, ºe lana po obvodu válce neklouºou a p·sobí na válec silami F a−F . Pro jednoduchost zvolme vztaºný bod O na ose válce v rovin¥ ur£ené silamiF a −F . P·sobi²t¥ sil jsou v bodech poloºených na obvodu válce symetrickyv·£i jeho ose. Podle obrázku zvolme také soustavu sou°adnic, osa x je souhlasn¥rovnob¥ºná s osou rotace válce. Polohový vektor p·sobi²t¥ síly F je r, polohovývektor p·sobi²t¥ síly −F je −r. Podle první, resp. druhé imlulsové v¥ty platí

˙p = F + (−F ) = 0,˙ℓ = r × F + (−r)× (−F ) = 2r × F = (0, 0, 2Fr).


Celková hybnost válce se zachovává, celkový moment hybnosti v závislosti na

£ase dostaneme integrací vektoru ˙ℓ, tj. ℓ(t) = ℓ1(0), ℓ2(0), ℓ3(0) + 2Frt), a p°i

volb¥ ℓ(0) = 0 pak ℓ(t) = (0, 0, 2Frt). ♠

3.1.3 St°ed hmotnosti a jeho význam

S pojmem st°edu hmotnosti jsme se setkali jiº dvakrát. Nejprve v odstavci 1.1,kde jsme jej zavedli pro t¥leso s diskrétním, resp. spojitým rozloºením hmot-nosti vztahem (1.2), resp. (1.7), podruhé v odstavci 3.1.1 v souvislosti s celkovouhybností t¥lesa a s ní spojenou rychlostí náhradní £ástice . P°i integraci tétorychlosti se objevila (vektorová) integra£ní konstanta, kterou jsme zvolili nulo-vou. Touto volbou, pro niº jsme ov²em nem¥li ºádný fyzikální d·vod, docílilijsme jí v²ak shody vztahu pro polohu náhradní £ástice s polohou st°edu hmot-nosti. Pro takovou volbu v²ak fyzikální d·vody existují. Jejich podstata spo£íváv druhé impulzové v¥t¥, pop°ípad¥ v momentové rovnováze.

P°íklad 3.3. Náhradní p·sobi²t¥ homogenní tíhové síly.

Soustava N £ástic je umíst¥na v homogenním tíhovém poli o tíhovém zrychleníg (viz Obr. 3.5).

SHmd =ρ(r )dV

Gd =g dm

GG

G

x

y

z

O

G

SH

0r

r

=mg

x

y

z

O

r1

m1

1

2

m2

ri

mi

i

mN

r

G

0

=mg

Obr. 3.5: T¥leso v homogenním tíhovém poli

V levé £ásti obrázku je t¥leso s diskrétním rozloºením hmotnosti (soustavaN £ástic o hmotnostech mi a polohových vektorech ri, i = 1, 2, . . . , N). Najednotlivé £ástice p·sobí tíhové pole silami Gi = mig. Celková tíhová síla je


G =∑N

i=1 mig. Z hlediska první impulsové v¥ty m·ºeme soubor jednotlivýchsil nahradit silou G, tj.

˙p =N∑i=1

mig = G

Vzniká otázka, do kterého bodu je t°eba umístit náhradní sílu G, aby jejíú£inek z hlediska druhé impulsové v¥ty byl stejný, jako ú£inek v²ech díl£ích silGi. Znamená to najít p·sobi²t¥ náhradní síly tak, aby její moment vzhledem kevztaºnému bodu O byl stejný, jako výsledný moment v²ech díl£ích sil vzhledemk tomuto bodu, tj.

r0 × G =N∑i=1

ri × Gi =⇒ r0 ×mg =N∑i=1

ri ×mig.

Úpravou posledního vztahu dostaneme

r0 × g =m1r1 + · · ·+mN rN

m× g,

ve sloºkách v soustav¥ sou°adnic zvolené podle Obr. 3.5, v níº je g = (0, 0, −g)pak

(−gy0, gx0, 0) =

(−m1y1 + · · ·+mNyN

m1 + · · ·+mNg,

m1x1 + · · ·+mNxN

m1 + · · ·+mNg, 0

),

tj.

x0 =m1x1 + · · ·+mNxN

m1 + · · ·+mN, y0 =

m1y1 + · · ·+mNyNm1 + · · ·mN

, z0 libovolné.

Obdobné úvahy pro p°ípad t¥lesa se spojit¥ rozloºenou hmotností vedou k vý-sledku

x0 =1

m

∫V

x ϱ(r) dV, y0 =1

m

∫V

y ϱ(r) dV, z libovolné.

P·sobi²t¥ výslednice tíhových sil tedy m·ºe být zvoleno kdekoli na svislé p°ímceprocházející st°edem hmotnosti t¥lesa, daným vztahy (1.2), resp. (1.7).

Vzpomeneme-li si na experimentální st°edo²kolský zp·sob ur£ování p·sobi²t¥výslednice tíhových sil zemského gravita£ní, které je v blízkosti povrhu Zem¥ vevelmi dobrém p°iblíºení homogenní, m·ºe nás práv¥ získaný výsledek pon¥kudp°ekvapit. Toto p·sobi²t¥, nazývané t¥ºi²t¥m, jsme ur£ovali pomocí t¥ºnic. T¥º-nice se získaly tak, ºe se t¥leso zav¥silo na ²¬·ru v libovolném bod¥ záv¥su Z,napjatá ²¬·ra pak p°edstavovala t¥ºnici. Sta£ilo najít dv¥ t¥ºnice a t¥ºi²t¥m byljejich pr·se£ík.


SH

mg

T

mg

T

t1

Z1

tt1

2

Z2

Z1

SH

Obr. 3.6: Experimentální zji²t¥ní t¥ºi²t¥

Je takový postup v·bec správný? Musí se dv¥ t¥ºnice v·bec protnout? Co kdybyto byly mimob¥ºky. A musí se t°i a více t¥ºnic r·zných sm¥r· protnout v je-diném bod¥? Odpov¥¤ na tyto otázky je jednoduchá a dokumnetuje ji Obr.3.6. Zav¥síme-li t¥leso na ²¬·ru v obecném bod¥, ustaví se v rovnováze tak, ºecelková tíhová síla je kompenzována tahovou silou ²¬·ry a moment tahové sílyvzhledem ke st°edu hmotnosti t¥lesa je nulový, nebo´ i výsledný moment v²echelementárních tíhových sil vzhledem je st°edu hmotnosti je nulový (krom¥ silmusí být kompenzovány také momenty). Bod záv¥su a st°ed hmotnosti tedy leºína t¥ºnici. Kaºdá t¥ºnice tak musí procházet st°edem hmotnosti.

♠

V p°íkladu 3.3 jsme si £áste£n¥ objasnili fyzikální význam st°edu hmotnostit¥lesa jako náhradního p·sobi²t¥ výslednice elementárních tíhových sil p·-sobících na t¥leso. Ve h°e v²ak stále z·stává jistá libov·le - umíst¥ní tohotop·sobi²t¥ na p°ímce procházející st°edem hmotnosti a rovnob¥ºné s tíhovýmzrychlením není jednozna£né. Nyní uvedeme fyzikální argumentaci, která jiº kjednozna£né volb¥ povede. Tato argumentace spo£ívá v druhé impulsové v¥t¥.Uv¥domme si, ºe jsme ji formulovali v inerciální vztaºné soustav¥. V neinerci-ální soustav¥, kde se uplat¬ují ktivní síly, bude o dost sloºit¥j²í, a to i pro takspeciální p°ípad, jakým je tuhé t¥leso uvidíme to v odstavci 3.2. Poloºmesi v²ak otázku, zda by t°eba nebylo moºné zvolit takovou neinerciální vztaº-nou soustavu pohybující se vzhledem k inerciální soustav¥ pouze transla£nímpohybem, v níº by formulace druhé implusové v¥ty dopadla formáln¥ stejn¥ jakov soustav¥ inerciální. Nepochybn¥ lze tu²it, ºe odpov¥¤ bude souviset se st°e-dem hmotnosti. Skute£n¥, lze ukázat, ºe v neinerciální vztaºné soustav¥ spojenése st°edem hmotnosti t¥lesa, která v·£i inerciálním vztaºným soustavám konápouze transla£ní pohyb s uná²ivým zrychlením A, má druhá impulsová v¥tastejný tvar jako v soustavách inerciálních.

Vra´me se k Obr. 1.19, na n¥mº jsou znázorn¥ny vztaºné soustavy S =< O; e1, e2, e3 >a S′ =< O′; e ′

1, e′2, e

′3 >. P°edpoklad, ºe uná²ivé zrychlení soustavy S′ vzhledem k S X je

pouze transla£ní, umoº¬uje volit e1 = e ′1, e2 = e ′

2 a e3 = e ′3. Pro polohový vektor i-té £ástice


platí vztah (1.59), tj. ri = r ′i+R. Postupn¥ vyjád°íme moment hybnosti soustavy, jeho derivaci

a výsledný moment vn¥j²ích sil p·sobících na soustavu pomocí £árkovaných veli£in r ′i , v

′i , a

′i .

Ozna£ení R, V a A má stejný význam jako v odstavci 1.4.3. Platí

ℓ0 =N∑i=1

ri ×mivi =N∑i=1

(r ′i + R)×mi(v

′i + V ) =

=N∑i=1

r ′i ×miv

′i +

(N∑i=1

mir′i × V

)+ R

N∑i=1

miv′i +mR× V .

dℓ0

dt=

dℓ ′0dt

+

(N∑i=1

miv′i

)× V +

(N∑i=1

mir′i

)× A+ V ×

(N∑i=1

miv′i

)+

= R×(N∑i=1

mia′i

)+mV × V + R×mA =

=dℓ ′0dt

+

(N∑i=1

mir′i

)× A+ R×

(N∑i=1

mia′i

)+ R×mA,

Mext =N∑i=1

ri × F exti =N∑i=1

(r ′i + R

)× F exti = (Mext) ′ + R× F ext.

V p°edchozím výpo£tu jsme ozna£ili

ℓ′0 =N∑i=1

r ′i ×miv

′i , Mext =

N∑i=1

r ′i × F exti ,

kde F exti je výslednice vn¥j²ích sil p·sobících na i-tou £ástici. Dosadíme-li výsledky do první

impulsové v¥ty ˙ℓ0 = Mext a uv¥domíme-li si platnost první impulsové v¥ty

˙p0 = F ext, tj.N∑i=1

mi

(a ′i + A

)=

N∑i=1

F exti ,

(pochopiteln¥ vzhledem k inerciální vztaºné soustav¥ S), dostaneme

dℓ ′0dt

= (Mext) ′ +

(N∑i=1

mir′i

)× A. (3.7)

Poºadujeme-li v²ak formáln¥ stejný tvar druhé impulsové v¥ty také v soustav¥ S′, musíme jivolit tak, aby platilo (

N∑i=1

mir′i

)× A = 0. (3.8)

V úvahu p°ipadají tyto moºnosti:

• Uná²ivé zrychlení A je libovolné a platí

N∑i=1

mir′i = 0 =⇒

N∑i=1

mi

(ri − R

)= 0 =⇒ R =

m1r1 + · · ·+mN rN

m1 + · · ·+mN= r0.

• Uná²ivé zrychlení A je nulové, tj. A = 0.


• Uná²ivé zrychlení A je trvale rovnob¥ºné s vektorem∑Ni=1mir

′i , takºe spl¬uje rovnici

A = K ·N∑i=1

mir′i =⇒ ¨

R+KR =

N∑i=1

miri,

kde K je n¥jaká konstanta.

Druhá moºnost je nevyhovující, nebo´ pro A = 0 by soustava S′ byla také interciální a tak

na²e otázka nezní. t°etí moºnost je naopak velmi speciální, vyºadovala by znalost £asových

závislostí ri(t) a °e²ení diferenciální rovnice druhého °ádu pro neznámou vektorovou veli£inu

R(t) s volnou konstantou K. Jako rozumná se proto jeví pouze první moºnost. Znamená, ºe ve

vztaºné soustav¥ S′, která je spojena se st°edem hmotnosti sledované soustavy £ástic, av²ak

nerotuje v·£i inerciálním vztaºným soustavám (uná²ivé zrychlení je pouze transla£ní), lze s

druhou impulsovou v¥tou pracovat p°esn¥ stejným zp·sobem, jako v soustav¥ inerciální.

Význam st°edu hmotnosti lze po v²ech úvahách shrnout takto:

St°ed hmotnosti

St°ed hmotnosti t¥lesa s diskrétním, nebo spojitým rozloºením hmotnosti mátyto vlastnosti:

• Je váºeným pr·m¥rem poloh £ástic, resp. objemových element· t¥lesa viz vztahy (1.2), resp. (1.7).

• Je moºným p·sobi²t¥m výslednice elementárních tíhových sil, p·sobícíchna £ástice, resp. elementy t¥lesa v homogenním tíhovém poli. Výslednicetíhových sil umíst¥ná do st°edu hmotnosti (obecn¥ji do libovolného boduna p°ímce tímto bodem procházející a rovnob¥ºné s tíhových zrychlením)má na t¥leso stejný pohybový ú£inek z hlediska impulsových v¥t, jako sou-bor v²ech elementárních tíhových sil p·sobících na £ástice, resp. elementyt¥lesa.

• Ve vztaºné soustav¥ s ním spojené, která v²ak v·£i inerciálním soustavámnerotuje (její p°ípadná neinerciálnost je dána pouze transla£ním uná²i-vým zrychlením), má druhá impulsová v¥ta stejný tvar jako v soustaváchinerciálních.

Jednou z d·leºitých rolí st°edu hmotnosti je úloha náhradního p·sobi²t¥ tí-hových sil. Proto se £asto nazývá t¥ºi²t¥m. Tento název není p°íli² vhodný význam st°edu hmotnosti je, jak jsme se p°esv¥d£ili, dalekosáhlej²í a obecn¥j²í.T¥ºi²t¥m bychom právem nazvali náhradní p·sobi²t¥ gravita£ních sil z hlediskajejich pohybového ú£inku na t¥leso podle první a druhé impulsové v¥ty (po-kud takový bod, resp. body, v·bec existují). V p°ípad¥ centrálního gravita£níhopole vytvá°eného jedním hmotným objektem, nebo gravita£ního pole vytvá°e-ného superpozicí gravita£ních polí od v¥t²ího po£tu hmotných objekt·, v²akt¥ºi²t¥ není obecn¥ shodné se st°edem hmotnosti.

V souvislosti s p°edchozími úvahami o st°edu hmotnosti a homogenním silovémpoli se nabízí obecn¥j²í otázka: P°edpokládejme, ºe na soustavu £ástic p·sobí


okolí vn¥j²ími silami. Výslednici vn¥j²ích sil p·sobících na i-tou £ástici ozna£meF exti , výslednici v²ech vn¥j²ích sil p·sobících na soustavu pak F ext, jako obvykle.

P°ipome¬me, ºe platí

F exti =

K∑γ=1

Fγi, F ext =N∑i=1

F exti =

N∑i=1

K∑γ=1

F extγi .

Je moºné najít bod O′ tak, aby výslednice F ext s p·sobi²t¥m v tomto bod¥m¥la na t¥leso z hlediska druhé impulsové v¥ty stejný ú£inek, jako mají v²echnyvn¥j²í síly dohromady? Odpov¥d¥t na tuto otázku znamená najít bod O′ tak,aby výsledný moment v²ech vn¥j²ích sil vzhledem k n¥mu byl nulový, neboekvivalentn¥, aby moment síly F ext umíst¥né v tomto bod¥ vypo£tený vzhledemk jistému vztaºnému bodu O byl shodný s výsledným momentem vn¥j²ích silvzhledem k témuº vztaºnému bodu. Ozna£íme-li OO′ = r = (x, y, z), pak tentopoºadavek znamená

r × F ext = Mext =N∑i=1

ri × F exti ,

kde ri je polohový vektor i-té £ástice vzhledem k bodu O. Ozna£íme-li známésloºky výsledného momentu vn¥j²ích sil Mext = (Mext

1 , Mext2 , Mext

3 ) a známésloºky výslednice vn¥j²ích sil vecF = (F ext

1 , F ext2 , F ext

3 ), dostaneme z p°edcho-zího poºadavku soustavu t°í rovnic o t°ech neznámých sloºkách vektoru r, tj. x,y a z,

yF ext3 − zF ext

2 = Mext1 ,

zF ext1 − xF ext

3 = Mext2 ,

xF ext2 − yF ext

1 = Mext3 .

Matice a roz²í°ená matice této soustavy rovnic jsou0 F ext

3 −F ext2 | Mext

1

−F ext3 0 F ext

1 | Mext2

F ext2 −F ext

1 0 | Mext3

.

Snadno zjistíme, ºe determinant matice soustavy je bez ohledu na konkrétníhodnoty sloºek síly F ext nulový, takºe její hodnost je men²í neº t°i. Hodnostmatice roz²í°ené je obecn¥ rovna t°em (sloºky výsledného momentu vn¥j²ích silnejsou voleny nijak speciáln¥). V obecném p°ípad¥ tedy soustava nemá °e²enía správné p·sobi²t¥ síly F tedy neexistuje. V p°ípad¥, ºe vn¥j²í síly p·sobícína t¥leso jsou dány pouze homogenním tíhovým polem, tj. jejich volba je do-konce velmi speciální, je hodnost matice soustavy i matice roz²í°ené shodná arovna dv¥ma (vra´te se k této situaci a tvrzení ov¥°te). Soustava má nekone£n¥


mnoho °e²ení, která tvo°í jednorozm¥rný anní prostor, p°ímku. Dimenze pro-storu °e²ení je totiº rovna rozdílu po£tu neznámých a hodnosti soustavy vizliteraturu z lineární algebry.

V souvislosti s p°edchozím záv¥rem, ºe náhradní p·sobi²t¥ výslednice sil z hlediska druhéimpulsové v¥ty nemusí existovat, bude zajímavé vrátit se k otázce, zda v·bec existuje t¥ºi²t¥

pro p°ípad, kdy gravita£ní pole není homogenní. V p°ípad¥, kdy gravita£ní pole je vytvá°enojediným objektem o hmotnosti M , který lze povaºovat za hmotný bod umíst¥ný v po£átkusoustavy sou°adnic O, je situace jednoduchá. Protoºe v takovém p°ípad¥ jsou v²echny gra-vita£ní síly, jimiº objekt M p·sobí na £ástice, resp. hmotné elementy soustavy, centrální, jedokonce moment kaºdé z nich vzhledem k bodu O nulový. Nulový je pak i celkový momentt¥chto sil. A co kdybychom momenty vztahovali k jinému bodu, nap°íklad O′, jehoº polohovývektor vzhledem k O je R? P°i standardním ozna£ení polohového vektoru i-té £ástice soustavyvzhledem k bodu O, resp. O′ symbolem ri, resp. r ′

i dostaneme pro výsledný moment Mg resp.M ′g vzhledem k bodu O, resp. O′

0 = Mg =N∑i=1

ri ×(−κmiM

r3iri

)=

N∑i=1

(r ′i + R

)×(−κmiM

r3iri

)=

=N∑i=1

r ′i ×

(−κmiM

r3iri

)+ R×

N∑i=1

(−κmiM

r3iri

)= M ′

g + R× Fg .

V p°ípad¥ t¥lesa se spojit¥ rozloºenou hmotností má p°edchozí výpo£et tvar

0 = Mg =

∫V

r ×(−κϱM

r3r

)dV =

∫V

(r ′ + R

)×(−

κϱM

|r ′ + R|3(r ′ + R)

)dV =

=

∫V

r ′ ×(−

κM

|r ′ + R|3(r ′ + R)

)dV + R×

∫V

(−κM

r3r

)dV = M ′

g + R× Fg ,

kde ϱ je hustota t¥lesa. Z p°edchozích výpo£t· vyplývá (−R)×Fg = M ′. Poºadavku náhradníhop·sobi²t¥ gravita£ní síly vyhovuje jak bod O, jehoº polohový vektor vzhledem k bodu O′ je−R, tak v²echny dal²í body, pro jejichº polohové vektory s vzhledem k bodu O′ platí

R× Fg = s× Fg =⇒ (s− R)× Fg = 0 =⇒ (s− R) ∥ Fg .

Tyto body tvo°í p°ímku. Situace je tedy obdobná jako v p°ípad¥ homogenního tíhového pole.

Pokud je v²ak gravita£ní pole tvo°eno více obecn¥ rozmíst¥nými objekty, máme co do £in¥ní

s obecnou situací, kdy náhradní p·sobi²t¥ nenajdeme. (Vzhledem k moºnosti obecného

umíst¥ní objekt· vytvá°ejících pole nepom·ºe ani fakt, ºe jde o superpozici centrálních polí.)

3.1.4 Dvou£ásticová izolovaná soustava

V odstavci 3.1.2 jsme pomocí impulsoových v¥t odvodili zákon zachování hyb-nosti a zákon zachování momentu hybnosti obecn¥ N -£ásticové izolované sou-stavy. Tyto zákony zachování platí i pro t¥leso se spojitým rozloºením hmot-nosti. Nyní se zam¥°íme na izolovanou soustavu sloºenou z pouhých dvou £ástic,takzvaný problém dvou t¥les. Izolovanost soustavy znamená absenci vn¥j²ího si-lového p·sobení na jednotlivé £ástice, ve h°e je tedy pouze vnit°ní silové p·so-bení, tj. vzájemné p·sobení £ástic podle t°etíhoi Newtonova zákona. Ukáºeme,ºe pro takovou soustavu lze za p°edpokladu, ºe silové pole jejich vzájemnéhop·sobení je konzervativní, denovat mechanickou energii a k zákon·m zacho-vání hybnosti a momentu hybnosti p°idat je²t¥ zákon zachování této veli£iny. A


to uº budeme mít dostate£né prost°edky k tomu, abychom nap°íklad pro gra-vita£ní, nebo elektrostatickou interakci vy°e²ili problém dvou t¥les kompletn¥,tj. nap°íklad nalezli trajektorii planety pohybující se kolem Slunce (Keplerovyzákony), nebo trajektorii nabité alfa-£ástice v poli jádra (rozptyl £ástic na jád°ea ú£inný pr·°ez). Poznamenejme, ºe zatímco problém dvou£ásticové izolovanésoustavy je pln¥ °e²itelný analyticky, tak°íkajíc tuºkou na papí°e , o problémut°í a více t¥les to neplatí. Tam je t°eba sáhnout k °e²ení numerickému. Pro p°í-pad Slune£ní soustavy, která zahrnuje osm planet a mnoºství dal²ích t¥les, protoanalytické °e²ení sch·dné není. Pro získání základní p°edstavy o ob¥hu jednot-livé planety kolem Slunce v²ak lze vliv ostatní t¥les ve slune£ní soustav¥ v prvníaproximaci zanedbat (pop°ípad¥ jej pozd¥ji zapo£íst pomocí tzv. poruchovéhopo£tu tímto problémem se ov²em zabývat nebudeme).

Na Obr. 3.7 je znázorn¥na dvou£ásticová izolovaná soustava tvo°ená t¥lesy(hmotnými body) o hmotnostech m a M . Jsou vyzna£eny polohové vektory rma rM i rychlosti vm a vM obou £ástic vzhledem k inerciální vztaºné soustav¥ S.Pohyb soustavy sledujeme v £asovém intervalu [α, β], v n¥mº se £ástice pohybujípo k°ivkách Cm a CM . Vzájemné silové p·sobení je centrální a je popsáno silovýmpolem F (r), kde r = rm − rM je polohový vektor £ástice m vzhledem k £ásticiM .

F

rM

r

x

y

z

O

Cm

CM

Sm

M

t=β

t= αt= α

t=β

mrF−

Obr. 3.7: Dvou£ásticová izolovaná soustava

Podle výsledk· z odstavce 2.5.2 je centrální silové pole konzervativní, existujek n¥mu tedy potenciální energie U(r). Této skute£nosti za chvíli s výhodouvyuºijeme. Nejprve v²ak co nejvíce vyt¥ºíme z impulsových v¥t, resp. ze zákonazachování hybnosti a zákona zachování momentu hybnosti. Platí

˙p0 = ˙pm + ˙pM = mam +MaM = 0, =⇒ aM = −m

Mam.


Nej£ast¥j²í situací je studium pohybu £ástice m (nap°íklad planeta) vzhledemk pozorovateli spojenému s £ásticí M (nap°íklad Slunce). (Vztaºná soustavaspojená s M je ov²em neinerciální.) Relativní zrychlení je

a = am − aM =(1 +

m

M

)am =

(1 +

m

M

) F

m=⇒ mM

m+Ma = F .

P°i ozna£ení µ = mMm+M má poslední vztah formáln¥ tvar druhého Newtonova

zákona pro £ástici o hmotnosti µ zvané redukovaná hmotnost soustavy, na niºp·sobí síla F . Zrychlení této pomyslné £ástice odpovídá relativnímu zrychlení£ástice m vzhledem k M .

D·sledkem druhé impulsové v¥ty je zákon zachování momentu hybnosti

ℓ0 = rm ×mvm + rM ×MvM = konst.

Vyjád°íme moment hybnosti soustavy rovn¥º pomocí relativních veli£in, rela-tivní polohy r a relativní rychlosti v. e²ením soustavy rovnic

mvm +MvM = p0, v = vm − vM

vyjád°íme rychlosti vm a vM pomocí relativní rychlosti v a celkové (konstantní)hybnosti p0:

vm =p0 −mv

m+M, vm =

p0 +Mv

m+M. (3.9)

Pro celkový moment hybnosti soustavy pak dostaneme

ℓ0 = rm × vm + rM × vM =

= rm ×m(p0 +Mv)

m+M+ rM ×

M(p0 −mv)

m+M=

=mrm +MrM

m+M× p0 + (rm − rM )× mM

m+Mv,

ℓ0 = r0 × p0 + r × µv = r × µv. (3.10)

Poslední rovnost platí p°i volb¥ takové inerciální vztaºné soustavy S, jejíº po£á-tek splývá v £ase t = 0 se st°edem hmotnosti soustavy tvo°ené £ásticemi m a M ,tj. s koncovým bodem vektoru r0(0). Pak je totiº r0× p0 = v0t×(m+M)v0 = 0.Vidíme, ºe se op¥t objevuje redukovaná hmotnost. Ze zákona zachování mo-mentu hybnosti vyplývají d·leºité vlastnosti trajektorie £ástice m vzhledem k£ástici M . Moment hybnosti ℓ0 = r × µv je konstantní, jeho sm¥r vzhledem k(kterékoli) inerciální vztaºné soustav¥ se nem¥ní. Pevná proto z·stává i rovinatvo°ená vektory r a v. Pohyb £ástice m vzhledem k M je tedy pohybem ro-vinným, její trajektorie je rovinná k°ivka. Pro velikost momentu hybnosti platíℓ0 = rv sinα, kde α je úhel mezi vektory r a v. Zavedeme-li plo²nou rychlostpohybu £ástice m vzhledem k M vztahem w = 1

2 r × v , vidíme, ºe její velikostp°edstavuje plochu opsanou pr·vodi£em r £ástice m za jednotku £asu (viz téºObr. 2.1). Tato plocha je ov²em konstantní, nebo´ ℓ0 = 2µw = konst.


Poznámka: Nap°íklad pro pohyb planety m kolem Slunce M jsme tak získali£ást prvního Keplerova zákona (planeta obíhá kolem Slunce po rovinné k°ivce)a druhý Kepler·v zákon (plochy opsané pr·vodi£i planety za stejný £as jsoushodné). Zbývá pak jen odvodit zbytek prvního Keplerova zákona, tj. najít kon-krétní tvar trajektorie planety, a t°etí Kepler·v zákon, který musí vyplývat zjejího parametrického vyjád°ení. Získáním parametrického vyjád°ení trajektorieplanety vzhledem ke Slunci se budeme zabývat v p°íkladu 3.4.

Pro dvou£ásticovou izolovanou soustavu platí také zákon zachování mechanickéenergie. Po£ítejme zm¥nu kinetické energie soustavy v £asovém intervalu [α, β]

∆Ek =

(1

2mv2m(β) +

1

2Mv2M (β)

)−(1

2mv2m(α) +

1

2Mv2M (α)

)=

=

(1

2mv2m(β)− 1

2mv2m(α)

)+

(1

2Mv2M (β)− 1

2Mv2M (α)

).

Uv¥domme si, ºe zm¥na kinetické energie £ástice se d¥je na úkor práce v²ech sil,které na £ástici p·sobí. V na²em p°ípad¥ je tedy zm¥na kinetické energie £ásticem dána prací síly F po k°ivce Cm, zm¥na kinetické energie £ástice M naopakprací síly −F po k°ivce CM (odstavce 2.5.2 a 2.5.3).

δEk =

∫Cm

F (r) drm +

∫CM

(−F (r)) drM =

β∫α

F (r(t) (vm(t)− vM (t)) dt =

=

β∫α

F (r(t))v(t) dt =

∫C

F (r) dr,

kde C = Cm−CM je trajektorie £ástice m vzhledem k M . Její parametrické vyjá-d°ení je dáno vektorovou funkcí £asu r(t) = rm(t)− rM (t). Je-li silové pole F (r)konzervativní (centrální silové pole konzervativní je), pak jeho práce nezávisína tvaru k°ivky, po které se p·sobi²t¥ síly F pohybuje, a existuje potenciálníenergie U(r), pro kterou platí

−U(r(β)) + U(r(α)) =

∫C

F (r) dr.

Nakonec dostáváme(1

2mv2m(β) +

1

2Mv2M (β)

)+U(r(β)) =

(1

2mv2m(α) +

1

2Mv2M (α)

)+U(r(α)) =⇒

1

2mv2m +

1

2Mv2M + U(r) = konst. (3.11)

P°edchozí vztah p°edstavuje zákon zachování mechanické energie dvou£ásticovéizolované soustavy.Mechanickou energií soustavy rozumíme sou£et její kinetickéenergie a potenciální energie U(r).


Poznámka: V²imn¥te si, ºe zatímco kinetická energie soustavy je sou£tem ki-netických energií jednotlivých £ástic, potenciální energie je veli£inou charakteri-zující soustavu jeko celek - nelze ji roztrhnout na p°ísp¥vky p°íslu²né jednot-livým £ásticím. Souvisí s veli£inou r, která popisuje vzájemnou polohu £ástic konguraci soustavy. Proto se téº nazývá kongura£ní energií soustavy .

Zákon zachování mechanické energie je pro výpo£ty velmi uºite£ný, ve tvaru(3.11) v²ak není výhodný. Obsahuje totiº rychlosti vm a vM £ástic vzhledem kinerciální vztaºné soustav¥ S, zatímco by bylo t°eba vyjád°it kinetickou energiisoustavy pomocí vzájemné rychlosti £ástic v. Rychlosti £ástic jsme v²ak jiº po-mocí vzájemné rychlosti vyjád°ili ve vztahu (3.9). Sta£í proto do (3.11) dosadit.Dostaneme postupn¥

Ek =1

2m

(p0 +Mv

m+M

)2

+1

2M

(p0 −mv

m+M

)2

=

=p20

2(m+M)+

1

2

mM

m+Mv2 =

p202(m+M)

+1

2µv2.

e se op¥t objevila redukovaná hmotnost, jist¥ uº není p°ekvapením. A nenítaké p°ekvapením, ºe se kinetická energie formáln¥ rozpadla na dva p°ísp¥vky kinetickou energii p2

0

2(m+M) =12 (m+M)v20 , kterou lze p°isoudit st°edu hmot-

nosti, a kinetickou energii 12µv

2, která p°íslu²í vzájemnému pohybu £ástic.Zákon zachování mechanické energie dvou£ásticové izolované soustavy m·-

ºeme nyní p°epsat do tvaru obsahujícího pouze relativní veli£iny polohu r arychlost v £ástice m vzhledem k M :

1

2

mM

m+Mv2 + U(r) = E0 = konst., (3.12)

p°i£emº do konstanty E0 na pravé stran¥ jsme skryli i konstantní p°ísp¥vek kinetickou energii st°edu hmotnosti soustavy.

Dvou£ásticová izolovaná soustava zákony zachování

Zákon zachování hybnosti: Celková hybnost dvou£ásticové izolované sou-stavy p0 se s £asem nem¥ní,

mvm +MvM = p0, p0 je konstantní vektor.

Zákon zachování momentu hybnosti: Celkový moment hybnosti ℓ0 dvou-£ásticové izolované soustavy se s £asem nem¥ní,

rm ×mvm + rM ×MvM = r0 × p0 + r × µv = ℓ0, ℓ0 je konstantní vektor.


Zákon zachování mechanické energie: Mechanická energie dvou£ásticovéizolované soustavy E0 se s £asem nem¥ní,

1

2

mM

m+Mv2 + U(r) = E0, E0 je konstanta.

Hmotnosti £ástic soustavy jsou m a M , jejich rychlosti vzhledem k inerciálnívztaºné soustav¥ jsou vm a vM , vzájemná poloha a vzájemná rychlost jsouur£eny vektory r a v.

P°íklad 3.4. Zákon zachování energie v gravita£ním poli.

Uvaºujme o soustav¥ s gravita£ní interakcí, tj.

Fg ((r)) = −κmM

r2

(− r

r

), U(r) = U(r) = −κmM

r,

viz vztahy (2.4) a (2.40). Zákon zachování mechanické energie pro takovou sou-stavu má podle (3.12) tvar

1

2

mM

m+Mv2 − κmM

r= E0. (3.13)

Tomuto zákonu by m¥la vyhovovat i situace, kdy se n¥jaký objekt £ástice ohmotnosti m pohybuje v gravita£ním poli Zem¥ M . P°ipomeneme-li si v²akzákon zachování mechanické energie £ástice m v tíhovém poli Zem¥, jak jsme jejpouºívali t°eba na st°ední ²kole, uvidíme odli²nost. Pracovali jsme se vztahem

1

2mv2 +mgh = konst., (3.14)

kde ve h°e v·bec není redukovaná hmotnost soustavy £ásticeZem¥ a potenciálníenergie je p°ímo úm¥rná vzdálenosti h £ástice od povrchu Zem¥. Který vztah jetedy správný? A m·ºeme v·bec se st°edo²kolským vzorcem (3.14) pracovat?Ukáºeme, ºe se jej nemusíme vzdát, nebo´ je p°ibliºným vyjád°ením p°esn¥j²íhovztahu (3.13), p°i£emº pro dvojici £ásticeZem¥ je tato aproximace velice dobráa pro praktické výpo£ty naprosto dosta£ující.

Výraz pro redukovanou hmotnost soustavy m·ºeme vhodn¥ upravit a posou-dit první £leny jeho Taylorova rozvoje podle prom¥nné ξ = m

M v okolí hodnotyξ = 0 :

µ =mM

m+M=

m

1 + mM

=m

1 + ξ≈ m

(1− ξ + 2ξ2 − · · ·

).

Zanedbáme-li v²echny £leny rozvoje v výjimkou nultého, tj. poloºíme-li µ ≈ m,dopustíme se relativní chyby zhruba ξ = m

M . Ta je ov²em zcela zanedbatelná,vezmeme-li v úvahu n¥jakou typickou hmotnost objektu v blízkosti povrchuZem¥, t°eba m = 5kg. Hmotnost Zem¥ je zhruba M = 5 · 1024 kg, relativníchyba náhrady redukované hmotnosti p°ímo hmotností £ástice m je tedy °ádu10−24.


V²imn¥me si nyní potenciální energie. Vzdálenost £ástice m od st°edu Zem¥vyjád°íme jako sou£et její vý²ky nad zemským povrchem a polom¥ru Zem¥,r = R + h, upravíme vhodn¥ výraz pro potenciální energii a op¥t pouºijemejeho Taylor·v rozvoj. Prom¥nnou bude pom¥r ξ = h

R , st°edem rozvoje pakhodnota ξ = 0. Dostaneme

U(r) = −κmM

r= −κmM

R

1

1 + ξ≈ κmM

R

(1− ξ + 2ξ2 − · · ·

).

Tentokrát zanedbáme £leny rozvoje s výjimkou nultého a prvního. Kdybychompouºili jen nultý £len, jako jsme to ud¥lali u redukované hmotnosti, vy²la bypotenciální energie konstantní a zákon zachování mechanické energie by bylvlivem velké chyby pouºité aproximace poru²en. V první aproximaci platí

U(r) ≈ −κmM

R

(1− h

R

)= −κmM

R+

κmM

R2h = −κmM

R+mgh,

kde g = κMR2 je gravita£ní zrychlení u povrchu Zem¥. Výraz −κmM

R m·ºemezahrnout do konstanty na pravé stran¥ zákona zachování mechanické energie.

Pouºitím obou aproximací nahrazení redukované hmotnosti hmotností ma p°ibliºného vyjád°ení potenciální energie dostaneme zákon zachování mecha-nické energie ve tvaru

1

2mv2 +mgh = konst.

Jednoduchý st°edo²kolský vzorec je opravdu jen aproximativním vyjád°enímp°esn¥j²í verze zákona zachování mechanické energie dvou£ásticové izolovanésoustavy. ♠

P°íklad 3.5. Zp¥t ke Keplerovým zákon·m.

N¥které záv¥ry obsaºené v Keplerových zákonech jsme v p°edchozích obecnýchúvahách o dvou£ásticové izolované soustav¥ získali bez jakéhokoli p°edpokladuo konkrétním vyjád°ení vzájemného silového p·sobení £ástic (s výjimkou p°ed-pokladu konzervativnosti), pouze na základ¥ impulsových v¥t, vztahu mezi ki-netickou energií a prací sil p·sobících na £ástice, a samoz°ejm¥ p°edpokladuo izolovanosti soustavy. P°ipome¬me jedním ze záv¥r· byla skute£nost, ºetrajektorií £ástice m vzhledem k M je rovinná k°ivka, druhým pak Kepler·vzákon ploch. Tyto výsledky jsou nezávislé na konkrétním typu konzervativníinterakce F , resp. odpovídající potenciální energie U(r). Aplikujeme-li získanéobecné výsledky na dvou£ásticovou izolovanou soustavu s gravita£ní interakcí,dostaneme analytické vyjád°ení trajektorie planety kolem Slunce a z n¥j odvo-díme zbývající tvrzení Keplerových zákon· pohyb planet po elipsách (obecn¥pohyb t¥les slune£ní soustavy po kuºelose£kách) a pro p°ípad eliptických drahkonstantnost podílu t°etí mocniny velké poloosy a druhé mocniny ob¥ºné doby.

Protoºe je pohyb planety rovinný, m·ºeme zvolit soustavu sou°adnic tak, abysou°adnicová rovina xy splývala s rovinou dráhy planety a osa z byla na tuto


rovinu kolmá a ukazovala sm¥r momentu hybnosti soustavy. Pro dal²í výpo£tybude vhodné pouºít polárních sou°adnic

x = r cosφ, y = r sinφ, z = 0,

x = r cosφ− rφ sinφ, y = r sinφ+ rφ cosφ, z = 0.

Do polárních sou°adnic p°evedeme jak zákon zachování momentu hybnosti, takzákon zachování mechanické energie soustavy. Pro jednoduchost op¥t pouºijemep°ímo hmotnosti £ástice m místo redukované hmotnosti. Relativní chyba takovéaproximace bude tentokrát, nap°íklad pro Zemi, m

M

.= 2, 5 · 10−6. Platí

ℓ0 = m (0, 0, xy − xy) =(0, 0, mr2φ

), ℓ0 = mr2φ =⇒ φ =

ℓ0mr2

,

Ek =1

2m(x2 + y2 + z2

)=

1

2m(r2 + r2φ2

).

Zákon zachování mechanické energie má v polárních sou°adnicích tvat

1

2m(r2 + r2φ2)− κmM

r= E0.

Dosadíme-li do n¥j za φ = ℓ0mr2 ze zákona zachování momentu hybnosti, dosta-

neme

m

2

(r2 +

ℓ20m2r2

)− κmM

r= E0,

1

2mr2 +

(−κmM

r+

ℓ202mr2

)= E0. (3.15)

Poslední vztah má zajímavou interpretaci. P°edstavuje zákon zachování mecha-nické energie pro pomyslnou £ástici, jejíº pohyb je v závislosti na £ase popsánjedinou sou°adnicí r = r(t) a odehrává se v jakémsi efektivním potenciálovémpoli sloºeném z gravita£ní potenciální energie a dodate£ného £lenu, konkrétn¥

Uef(r) = −κmM

r+

ℓ202mr2

.

Schematický graf této funkce je na Obr. 3.8.


r

(r)

r

efU

E00

0=E

0E00

rmin max

Obr. 3.8: Efektivní potenciální energie planety v poli Slunce

Obrázek je z fyzikálního hlediska velmi názorný. Protoºe výraz 12mr2 je vºdy

nezáporný, m·ºe se pohyb uskute£nit jen pro takové hodnoty vzdálenosti r, prokteré je nezáporný výraz E0−Uef(r). Je-li celková mechanická energie soustavyzáporná, musí vzdálenost £ástice m od M leºet v ur£itém intervalu [rmin, rmax].Trajektorií £ástice m je v takovém p°ípad¥ uzav°ená kuºelose£ka elipsa. Je-lihodnota E0 rovna minimální hodnot¥ efektivní potenciální energie, je p°ípustnápouze jediná vzdálenost, ozna£me ji R. V tomto p°ípad¥ se jedná o rovnom¥rnýpohyb po kruºnici, dost°edivá síla je realizována silou gravita£ní,

mv2kR

=κmM

R2=⇒ vk =

√κM

R.

Získaná rychlost vk se nazývá kruhová. Pokud bychom uvaºovali o um¥lé druºiciZem¥, která se má pohybovat po kruhové dráze t¥sn¥ nad povrchem Zem¥,dostaneme (pro hodnoty κ = 6, 67 · 10−11 Nm2 kg−2, M = 5, 97 · 1024 kg,R = 6, 37 · 106 ) vk = 7, 9 · 103 ms−1 .

= 8km s−1. V daném konkrétním p°í-pad¥ nazýváme tuto hodnotu kruhové rychlosti první kosmickou rychlostí.

Na základ¥ jednoduchých fyzikálních úvah, které jsme práv¥ provedli, m·-ºeme pro speciální p°ípad kruhového pohybu ur£it pro zadané ℓ0 hodnotu Ra také minimální hodnotu efektivní potenciální energie Uef,min, aniº bychomvy²et°ovali pr·b¥h funkce Uef (r). Platí

ℓ0 = mvR, a1

2mv2 − κmM

R= Uef,min =⇒

=⇒ R =ℓ20

κm2M, v =

κmM

ℓ0, Uef,min = −κ2m3M2

2ℓ20.


Pro E0 ≥ 0 je mnoºina p°ípustných vzdáleností omezená pouze zdola, vzdále-nost tedy m·ºe nabývat v²ech hodnot od jistého minima rmin do nekone£na,r ∈ [rmin, ∞). K°ivka, po které se £ástice m pohybuje vzhledem k M , jiº neníuzav°ená. Pro E0 = 0 je to parabola, pro E0 > 0 hyperbola. Pro E0 = 0 mázákon zachování mechanické energie tvar

1

2mv2 − κmM

r= 0.

Efektivní potenciální energie se anuluje pro

Uef (r1) = 0 =⇒ −κmM

r1+

ℓ20mr21

=⇒ r1 =ℓ20

κm2M=

R

2.

Pro rychlost ve vzdálenosti r1 platí

1

2mv2p −

κmM

r1=⇒ vp =

κmM√2

ℓ0= vk

√2.

Rychlost vp se nazývá parabolická. Má jasný fyzikální význam, vyplývajícíz grafu efektivní potenciální energie na Obr. 3.8. Je-li p°i E0 = 0 £ástice mnekone£n¥ daleko od £ástice M , má nulovou kinetickou i potenciální energii.Ve vzdálenosti r1, kdy je nulová efektivní potenciální energie je nejblíºe k £ás-tici M , potenciální energie je záporná a má nejv¥t²í moºnou absolutní hodnotuκmMr1

. Ta je kompenzována nejv¥t²í moºnou kinetickou energií 12mv2p. Vzhledem

k platnosti zákona zachování mechanické energie je z°ejmé, ºe aby potenciálníéenergie vzrostla z hodnoty −κmM

r1na nulu, tj, aby se £ástice m vzdálila od M do

nekone£na a odpoutala se z jejího vlivu, musí kinetická energie sníºit z hodnoty12mv2p na nulu. Takovou rychlost je t°eba ud¥lit nap°íklad um¥lé druºici Zem¥,aby se vzdálila z dosahu jejího gravita£ního pole a mohla cestovat po Slune£nísoustav¥. Její hodnotu snadno ur£íme z jiº d°íve stanovené první kosmické rych-losti, vp

.= 11, 2 km s−1 a n¥kdy ji nazýváme druhá kosmická rychlost. Rychlost

pot°ebná pro to, aby objekt opustil slune£ní soustavu, se nazývá t°etí kosmickárychlost. Zkuste si ji dosazením p°íslu²ných £íselných hodnot do p°edchozíchvypo£ítat.

P°ejd¥me k °e²ení diferenciální rovnice (3.15). Je to rovnice se separovatelnými prom¥nnými:

r =

√2

m(E0 − Uef(r)) ⇒

r√2m

√E0 −

(−κmM

r+

ℓ202mr2

) = 1.

Abychom rovnou mohli dostat polární rovnici trajektorie, budeme hledat vzdálenost r jakofunkci úhlu φ. Uváºením platnosti vztahu r(t) = r′(φ)φ(t) (pravidlo pro derivování sloºenéfunkce) a op¥tovným vyjád°ením φ ze zákona zachování momentu hybnosti (??) získámenakonec diferenciální rovnici

r′ ℓ0mr2√

2m

√E0 −

(−κmM

r+

ℓ202mr2

) = 1.


P°i integraci tohoto vztahu se standardn¥ postupuje pomocí substituce

w = r−1 a poté u =ℓ20√

2mE0ℓ20 + κ2m4M2

(w −

κm2M

ℓ20

).

Úpravy jsou sice nep°íjemné, ale jsou rutinní. Pokuste se o n¥ podrobn¥ op¥t v rámci cvi£ení,zde uvedeme jen n¥které mezivýsledky.

−ℓ0w′√

2mE0 − ℓ20

(w2 − 2κm2M

ℓ20w + κ2m4M2

ℓ40

)+ κ2m4M2

ℓ20

= 1

−ℓ40w

′√2mE0ℓ20 + κ2m4M2

√1− ℓ40

2mE0ℓ20+κ

2m4M2

(w − κm2M

ℓ20

)2= 1

−u′

√1− u2

= 1 =⇒ arccosu = φ+ C,

arccos

ℓ20√2mE0ℓ20 + κ2m4M2

(w −

κm2M

ℓ20

) = φ+ C

(1

r−κm2M

ℓ20

)=

√2mE0ℓ20 + κ2m4M2

ℓ20cos (φ+ C).

Po£átek m¥°ení úhlu φ m·ºeme pro jednoduchost zvolit tak, aby konstanta C byla nulová.Dále si uv¥domme, ºe dráha planety bude eliptická v p°ípad¥, ºe p°ípustné p°ípustné hodnotyjejí vzdálenosti od Slunce leºí v omezeném intervalu (rmin, rmax). Tomu podle Obr. 3.8odpovídá záporná hodnota mechanické energie E0. Ozna£íme-li

p =ℓ20

κm2M, ε =

√1−

2|E0|ℓ20κ2m3M2

,

p°i£emº je vid¥t, ºe platí ε < 0, dostanemep

r= 1 + ε cosφ.

Dostali jsme polární rovnicí elipsy (viz literaturu), jejíº kartézská rovnice je

(x+ e)2

a2+y2

b2= 1.

Pouºitím vztah· pro charakteristiky elipsy, tj. poloosy a, b, excentricitu e = εa a parametr p(hodnota p > 0, pro kterou bod (−e, p) leºí na elipse), zji²újeme, poloosy této elipsy jsou

a =κmM

2|E0|, b =

ℓ0√2m|E0|

.

Slunce stojí v levém ohnisku této elipsy, které splývá s po£átkem soustavy sou°adnic.Zbývá je²t¥ odvodit t°etí Kepler·v zákon. Ob¥ºná doba planety kolem Slunce je podílem

obsahu elipsy πab a plo²né rychlosti planety w = ℓ02m

,

T =2mπab

ℓ0=

2πam

ℓ0

ℓ0√2m|E0|

=2πa3/2m√κm2M

,

T 2 =4π2a3

κM=⇒

a3

T 2=κM

4π2.

Získali jsme t°etí Kepler·v zákon. Podíl t°etí mocniny velké poloosy eliptické trajektorie pla-

nety a druhé mocniny její ob¥ºné doby je pro v²echny planety slune£ní soustavy stejný a závisí

krom¥ univerzálních konstant pouze na hmotnosti Slunce.


Záv¥ry týkající se pohybu planet kolem Slunce, které jsme p°ed chvílí u£inili,samoz°ejm¥ platí pro jakoukoli dvou£ásticovou izolovanou soustavu s gravita£níinterakcí. Vºdy je jen t°eba zváºit, jaké aproximace s ohledem na pom¥r hmot-ností £ástic soustavy si m·ºeme dovolit. P°íkladem dobré vyuºitelnosti výsledk·,jak jsme uº vid¥li, je t°eba situace, kdy se n¥jaká druºice pohybuje kolem Zem¥.M·ºe jít o M¥síc, nebo o druºici um¥lou. Uv¥domme si je²t¥, ºe °adu informacío pohybu soustavy jsme na£erpali z grafu efektivní potenciální energie Uef (r),aniº bychom podrobn¥ pro²et°ovali její pr·b¥h, nebo °e²ili pohybovou rovnice£ástice m vzhledem k M . ♠

P°íklad 3.6. Sráºky £ástic.

Typickou úlohou související s zákonitostmi pohybu dvou£ásticové izolované sou-stavy je úloha o sráºkách £ástic. P°edstavme si ji jako t°eba v podob¥ hrykule£níku modikované tak, ºe namísto dvou koulí stejných hmotností, z nichºjedna zpo£átku stojí, se budou sráºet koule r·zných po£áte£ních hmotností m1

a m2 a po£áte£ních rychlostí v1 a v2. Zjednodu²ením oproti b¥ºné kule£níkovéh°e pak bude p°edpoklad, ºe sráºka je p°ímá a st°edová, tj. rychlosti v1 a v2jsou rovnob¥ºné a leºí na spojnici st°ed· koulí. (P°ipus´me, ºe p°i tomto zjed-nodu²ení by kule£níková hra byla nudná, poslouºí nám v²ak alespo¬ pro zcelazákladní p°edstavu o problematice sráºek.)

Úkolem je zjistit rychlosti koulí u1 a u2 bezprost°edn¥ po sráºce. Námitku, ºesoustava tvo°ená koulemi není izolovaná je t°eba uznat koule jsou v kontaktus podloºkou a se Zemí. Tíhová síla je v²ak kompenzována silou tlakovou a ºádnáz nich nekoná p°i pohybu koulí práci. Statická t°ecí síla, jíº podloºka na koulerovn¥º p·sobí, práci také nekoná, valivý odpor m·ºeme v krati£kém £asovémintervalu, kdy sráºka probíhá, zanedbat, stejn¥ jako odpor prost°edí. I kdyº tedynení soustava izolovaná, platí v ní jak zákon zachování hybnosti (v²echny vn¥j²ísíly p·sobící na soustavu se bu¤ kompenzují, nebo jsou zanedbatelné, neboje jejich p·sobení tak krátkodobé, ºe nezp·sobí významnou zm¥nu hybnosti),tak zákon zachování momentu hybnosti (momenty hybnosti vzhledem ke st°eduhmotnosti soustavy jsou p°i p°ímé st°edové sráºce nulové). Jde nyní o to, zdase zachovává mechanická energie soustavy. Pokud je podloºka, po které se koulepohybují, vodorovná, je potenciální energie p°i vhodné volb¥ nulové hladinytrvale nulová a °e²íme tedy jen otázku zachování kinetické energie soustavy.Odpov¥¤ záleºí na typu sráºky z hlediska práce vykonané vnit°ními silami vsoustav¥ (t¥mito silami na sebe navzájem p·sobí koule v £asovém intervalu, vn¥mº probíhá sráºka). V zásad¥ t°ídíme sráºky na

• pruºné, p°i nichº je výsledná práce vnit°ních sil nulová (jde nap°íklad opruºné síla) a kinetická energie soustavy se p°i sráºce nezm¥ní,

• nepruºné, kdy nenulová práce vnit°ních sil zp·sobí pokles celkové kinetickéenergie soustavy.

Zvlá²tním p°ípadem nepruºné sráºky je sráºka dokonale nepruºná, p°i níº dojdeke spojení t¥les, která se tak nakonec pohybují spole£nou rychlostí.


Zabývejme se nejprve pruºnou sráºkou. Pro ni platí

m1v1 +m2v2 = m1u1 +m2u2,1

2m1v

21 +

1

2m2v

22 =

1

2m1u

21 +

1

2m2u

22.

Protoºe je sráºka p°ímá, m·ºeme osu x soustavy sou°adnic zvolit podél spojnicest°ed· koulí (a sm¥r· v²ech rychlostí) a místo s vektory po£ítat vºdy s jejich je-dinou sloºkou - x-ovou. e²ením vý²e uvedené soustavy rovnic získáme výslednérychlosti. Úprava rovnic:

m1(v1 − u1) = m2(u2 − v2),

m1(v21 − u2

1) = m2(u22 − v22),

m1(v1 − u1) = m2(u2 − v2),

v1 + u1 = u2 + v2

u1 =m1 −m2

m1 +m2v1 +

2m2

m1 +m2v2,

u2 =2m1

m1 +m2v1 −

m1 −m2

m1 +m2v2.

Pro dokonale nepruºnou sráºku platí

m1v1 +m2v2 = (m1 +m2)u =⇒ u =m1v1 +m2v2m1 +m2

P°íkladem dokonale nepruºné sráºky je sráºka st°ely s balistickým kyvadlem(viz Obr. 3.9).

0g

v0

m

l

M

l

m+M

ϕ

Obr. 3.9: Balistické kyvadlo

3.2. ROVNOVÁHA A POHYB TUHÝCH TLES 199

Kyvadlo je bedna o hmotnosti M zav¥²ená na provaze délky ℓ v homogennímgravita£ním poli Zem¥. P°edpokládáme, ºe délka provazu je stálá (provaz nenípruºný). Do bedny vlétne st°ela rychlostí v0 a uvázne v ní. Kyvadlo se vychýlío maximální úhel φ0. Úkolem je ur£it rychlost st°ely.

Sráºka je dokonale pruºná a platí p°i ní zákon zachování hybnosti

mv0 +M 0 = (m+M)v,

kde v je spole£ná rychlost kyvadla se st°elou. Samoz°ejm¥, kinetická energiesoustavy p°i této sráºce se nezachovává,

1

2mv20 =

1

2(m+M)v2.

P°i kmitech kyvadla platí zákon zachování mechanické energie

1

2(m+M)v2 = (m+M)gℓ(1− cosφ0).

e²ením soustavy rovnic dostaneme

v0 =m+M

m

√2gℓ(1− cosφ0).

Snadno také ur£íme energiovou ztrátu práci A vykonanou odporovými silami(vnit°ní síly soustavy) p°i brzd¥ní st°ely v bedn¥. Platí

A =1

2mv20 −

1

2(m+M)v2 =

1

2mv20

M

m+M,

A12mv20

=M

m+M.

P°i velkém pom¥ru hmotností kyvadla a st°ely M/m je ztráta mechanické ener-gie vysoká. ♠

3.2 Rovnováha a pohyb tuhých t¥les

Tuhé t¥leso, a´ jiº s diskrétním, nebo spojitým rozloºením hmotnosti je vd¥£nýmmodelem umoº¬ujícím nejen dob°e pochopit impulsové v¥ty, ale také je aplikovatv °ad¥ praktických situací, kdy se vlastnosti studovaných mechanických soustavmodelu tuhého t¥lesa blíºí. Jedná se nap°íklad o pohyb setrva£ník·, £ástí stroj· atechnických za°ízení obecn¥, statickou rovnováhu objekt· (stavby a jejich £ásti),apod. O tuhém t¥lese jsme se zmínili v odstavci 1.1.2, nyní jeho denici stru£n¥zrekapitulujeme.

Tuhým t¥lesem s diskrétním rozloºením hmotnosti mi, ri, i = 1, . . . , N ro-zumíme soustavu £ástic, jejichº vzájemné vzdálenosti jsou s £asem nem¥nné,tj.

|ri − rj | = konst.

pro libovolnou dvojici index· i a j.


Tuhým t¥lesem se spojitým rozloºením hmotnosti rozumíme takové t¥leso, pron¥º existuje vztaºná soustava, v níº je hustota t¥lesa nezávislá na £ase, tj. ϱ =ϱ(r), kde r je polohový vektor bodu v t¥lese vzhledem k této vztaºné soustav¥.Hovo°íme o vztaºné soustav¥ pevné v t¥lese.

Obecný pohyb tuhého t¥lesa lze vºdy popsat jako sloºení £ist¥ transla£ního po-hybu, p°i n¥mº se v²echny £ástice, resp. objemové elementy pohybují stejnourychlostí v(t), a £ist¥ rota£ního pohybu kolem pevné osy, resp. kolem pevnéhobodu, p°i n¥mº lze pohyb kaºdé £ástice popsat pomocí úhlové rychlosti ω(r)stejné pro v²echny £ástice. (Situace je obdobná jako v odstavci 1.4, kdy jsmepohyb jedné vztaºné soustavy v·£i druhé také rozkládali na £ist¥ transla£ní a£ist¥ rota£ní. Vztaºná soustava p°itom m·ºe reprezentovat tuhé t¥leso.) V tomtoodstavci se budeme zabývat mechanikou tuhých t¥les postupn¥ od nejjednodu²-²ích situací, kdy je tuhé t¥leso vzhledem ke zvolené vztaºné soustav¥ v klidu(statická rovniváha t¥les) po nejsloºit¥j²í p°ípad rotace setrva£níku kolem pev-ného bodu. Ur£itý mezistupe¬ p°edstavuje rotace tutého t¥lesa kolem pevnéosy. Tento p°ípad pohybu je velmi názorný a p°es svou jednoduchost p°iná²íinformace podstatné pro hlub²í pochopení problematiky pohybu t¥les. ist¥transla£ním pohybem tuhého t¥lesa se zvlá²´ zabývat nebudeme jedná se omimo°ádn¥ jednoduchou situaci, kdy sta£í studovat pouze pohyb st°edu hmot-nosti t¥lesa. Ten zastupuje pohyb v²ech £ástí t¥lesa a °ídí se první impulsovouv¥tou.

3.2.1 Rovnováha tuhých t¥les

P°edpokládejme, ºe tuhé t¥leso sledujeme v jisté inerciální vztaºné soustav¥.Zajímáme se o situace, kdy je t¥leso (a tedy kaºdá jeho £ást) vzhledem k tétovztaºné soustav¥ v klidu. Nutným, i kdyº nikoli posta£ujícím poºadavkem prozaji²t¥ní klidu t¥lesa je spln¥ní podmínek statické rovnováhy, vycházejících zpoºadavku nem¥nnosti celkové hybnosti a celkového momentu hybnosti t¥lesa.Nutnými podmínkami statické rovnováhy jsou proto silová a momentová rovno-váha

F ext = 0, Mext = 0, (3.16)

kde F ext, resp. Mext je výslednice vn¥j²ích sil p·sobících na t¥leso, resp. jejichvýsledný moment. Pro t¥leso s diskrétním, resp. spojitým rozloºením hmotnostilze podmínky (3.16) zapsat podrobn¥ji takto:

K∑γ=1

N∑i=1

F extγi = 0,

K∑γ=1

N∑i=1

Mextγi =

N∑i=1

ri ×K∑

γ=1

F extγi = 0,

resp. ∫V

F ext(r, t) dt = 0,

∫V

r × Mext(r, t) dt = 0.

Integra£ním oborem v druhé sad¥ vztah· je objem t¥lesa V . Praktické pouºitípodmínek rovnováhy nejlépe ukáºeme na jednoduchých p°íkladech.


P°íklad 3.7. Rovnováha tuhých t¥les jednoduchý ºeb°ík.

Kaºdý jist¥ n¥kdy zkou²el op°ít ºeb°ík o st¥nu a moºná se setkal se situací, kdyºeb°ík sklouzl po podlaze a po st¥n¥ a spadl. Zku²enost °íká, ºe taková situacenastane, je-li úhel θ, který svírá ºeb°ík s podlahou p°íli² velký. A nikdo by sejist¥ nepokou²el op°ít ºeb°ík o kluzkou st¥nu, kdyby i podlaha byla kluzká (na-p°íklad ledová plocha). Zku²enost totiº op¥t napovídá, ºe by se to nepoda°ilo.Dokáºeme tyto situace vysv¥tlit? Je t°eba si uv¥domit, jaké síly p·sobí na ºeb°íkop°ený a st¥nu. Pom·ºe obrázekObr. 3.10. V jeho levé £ásti jsou zakresleny sílyp·sobící na ºeb°ík o hmotnosti m stojící na kluzké podlaze a op°ený a kluzkoust¥nu. P·sobí na n¥j tíhová síla mg umíst¥ná ve st°edu hmotnosti ºeb°íku (prohomogenní ºeb°ík v polovin¥ jeho délky), tlaková síla st¥ny N1 kolmá je st¥n¥ atlaková síla podlahy N2 kolmá k podlaze. Takový ºeb°ík bychom museli p°idr-ºovat dal²í silou, nap°íkad F , která by kompenzovala tlakovou sílu st¥ny. Jinakby nebylo moºné docílit silové rovnováhy.

y

mg mg

x

zO

Θ

l

N2

1N

F

x

zO

Θ

l

N2

1N

T2

T1

y

Obr. 3.10: Statická nerovnováha a rovnováha ºeb°íku

V pravé £ásti obrázku pomáhají ºeb°ík udrºet v rovnováze t°ecí síly T1 a T2,jimiº na ºeb°ík p·sobí st¥na a podlaha. Pokusme se pro situaci vlevo ur£itpro zadaný úhel θ p°ídavnou sílu F . Momenty sil m·ºeme vyjád°it vzhledemk libovolnému vztaºnému bodu pevnému v dané inerciální vztaºné soustav¥.Zvolme jej tak, aby po£ítání bylo co nejjednodu²²í, tj. aby co nejvíce moment·sil bylo v·£i n¥mu nulových. Tuto vlastnost má nap°íklad bod O, v n¥mº p·sobí


síly N2 a F , jejich momenty vzhledem k vodu O jsou nulové. Podmínky silovéa momentové rovnováhy mají tvar

mg + N1 + N2 + F = 0, Mmg + MN1+ MN2

+ MF = 0,

Ve sloºkách platí

mg = (0, −mg, 0), N1 = (N1, 0, 0), N2 = (0, N2, 0), F = (−F, 0, 0),

Mmg =

(0, 0, mg

ℓ

2cos θ

), MN1

= (0, 0, −N1ℓ sin θ) ,

MN2= (0, 0, 0), MF = (0, 0, 0).

Podmínky rovnováhy ve sloºkách tak mají tvar

N1 − F = 0,

−mg +N2 = 0, (3.17)

mgℓ

2cos θ −N1ℓ sin θ = 0.

Z rovnic (3.17) je vid¥t, ºe pokud bychom na ºeb°ík nep·sobili dodate£nou silouF , mohla by být první z rovnic spln¥na jen pro N1 = 0. Pak by ov²em nemohlabýt spln¥na t°etí rovnice. Bez p·sobení dodate£né síly nem·ºeme situaci v levé£ásti obrázku Obr. 3.10 v·bec realizovat. Z rovnic (3.17) m·ºeme velikostdodate£né síly (umíst¥né v bod¥ O a vodorovné) snadno zjistit, snadné je iur£ení tlakové síly N2:

F =mg

2 tg θ=

mg

2cotg θ, N2 = mg.

P°edchozí vztahy jsou velmi názorné. Tlaková síla N2 musí stále kompenzovatsílu tíhovou, dodate£ná síla F má pr·b¥h kotangenty, tj. klesající funkce úhluθ. Op°ít ºeb°ík pod velmi malým úhlem θ je skoro nemoºné pot°ebovalibychom k tomu velikou sílu. Nap°íklad pro m = 5, 0 kg, g = 9, 8m s−2 a θpostupn¥ 5o, 20o, 45o, 60o a 85o pot°ebujeme p·sobit silou 560N, 135N, 49, 0N,28, 3N, 4, 29N. Pro θ = 90o je F = 0N ºeb°ík by mohl sám stát ve svislépoloze. Taková rovnováha by ov²em nebyla stabilní, p°i sebemen²ím výkyvu, tj.p°i jakkoli malé zm¥n¥ úhlu θ by ºeb°ík spadl.

Situace v pravé £ásti obrázku zahrnuje také statické t°ecí síly. M·ºeme se protopokusit najít podmínky rovnováhy ºeb°íku bez dodate£né síly F . Ve vektorovémtvaru jsou následující:

mg + N1 + N2 + T1 + T2 = 0, Mmg + MN1+ MN2

+ MT1+ MT2

= 0,

ve sloºkách pak

N1 − T2 = 0,

−mg +N2 + T1 = 0, (3.18)

mgℓ

2cos θ −N1ℓ sin θ − T1ℓ cos θ = 0 =⇒ mg − 2T1 − 2N1 tg θ.


V této soustav¥ t°í rovnic je v²ak p¥t neznámých, N1, N2, T1, T2 a tg θ. V tétopodob¥ má soustava nekone£n¥ mnoho °e²ení. Vyjád°íme je t°eba pomocí tg θ aT2. Dostaneme

N1 = T2,

N2 =1

2mg + T2 tg θ, (3.19)

T1 =1

2mg − T2 tg θ.

e²ení je t°eba omezit dal²ími podmínkami. T°ecí síly jsou totiº statické, jejichnejv¥t²í p°ípustná velikost je proto dána p°íslu²nou tlakovou silou a statickýmkoecientem t°ení (viz odstavec 2.4.1). Ozna£íme-li statický koecient t°ení meziºeb°íkem a st¥nou, resp. podlahou, fs,1, resp fs,2, platí nerovnosti

T1 ≤ N1 fs,1, T2 ≤ N2 fs,2.

Dosadíme-li do první z obou nerovností za T1 ze t°etí rovnice soustavy (3.19),místo T2 dosadíme N1 a vyuºijeme druhé nerovnosti, dostaneme

1

2mg −N1 tg θ ≤ N1fs,1 =⇒ N1 ≥

mg

2(fs,1 + tg θ).

Vynásobením druhé rovnice soustavy (3.19) koecientem fs,2 a vyuºitím druhéz vý²e uvedených nerovností získáme postupn¥

N2fs,2 =1

2mgfs,2 + T2fs,2 tg θ ≤

1

2mgfs,2 +N2f

2s,2 tg θ =⇒

N2fs,2 (1− fs,2 tg θ) ≤1

2mgfs,2.

Celkov¥ pak

mg

2(fs,1 + tg θ)≤ N1 ≤ N2 fs,2 ≤

mg fs,22(1− fs,2 tg θ)

=⇒ 1− fs,1fs,22fs,2

≤ tg θ

pro 1− fs,2 tg θ > 0. Naproti tomu v p°ípadech, kdy 1− fs,2 tg θ ≤ 0, je nerov-nost N2fs,2 (1− fs,2 tg θ) ≤ 1

2mgfs,2 spln¥na vºdy, a proto jsme omezeni pouzepodmínkou

1

fs,2≤ tg θ <∞.

Protoºe vºdy platí 1−fs,1fs,22fs,2

≤ 1fs,2

, je úhel θ ve výsledku omezen podmínkou

1− fs,1fs,22fs,2

≤ tg θ <∞ =⇒ arctg1− fs,1fs,2

2fs,2≤ θ <

π

2.

Protoºe koecienty t°ení jsou kladné, lze poºadované nerovnosti vºdy pro n¥jakýinterval úhl· θ splnit. Dokonce je lze splnit i pro fs,1 = 0. eb°ík lze ke st¥n¥


p°istavit vºdy, je-li nenulový koecient statického t°ení mezi st¥nou a podlahou.V tabulkách m·ºeme najít hodnoty koecient· statického t°ení pro r·zné kom-binace materiál·. eb°ík bývá v¥t²inou d°ev¥ný, podlaha a st¥ny v n¥kterýchp°ípadech také. Pr·m¥rná hodnota koecientu statického t°ení uvád¥ná v ta-bulkách pro kombinaci d°evod°evo je 0,65. Pro p°ípustný interval úhl· θ pakvychází nerovnost

1− 0, 652

2 · 0, 65< tg θ <∞ =⇒ 0, 45 < tg θ <∞ =⇒ 24o < θ < 90o.

Úhel sklonu ºeb°íku m·ºe být v principu i rovný 90o, rovnováha v²ak op¥tnebude stabilní, obdobn¥ jako v p°ípad¥ bez t°ení. ♠

V souvislosti s p°edchozím p°íkladem nás m·ºe napadnout je²t¥ jeden problém:Volba vztaºného bodu pro výpo£et moment· sil je libovolná. Výsledný momentv²ech vn¥j²ích sil p·sobících na t¥leso musí být v rovnováze nulový vzhledemke kaºdému vztaºnému bodu pevnému v interciální soustav¥. R·znými výb¥ryvztaºných bod· bychom tedy mohli dostat °adu r·zných rovnic pro rovnováhumoment·. Pro hledané veli£iny tedy m·ºeme získat libovoln¥ mnoho rovnic.Není to p°ekáºka? Jist¥ hned dokáºeme odpov¥d¥t tyto rovnice budou závislé.Ukáºeme to obecn¥. Zvolme dva vztaºné body O a O′, jejichº vzájemná polohaje dána vektorem OO′ = R. Podle ozna£ení, které jsme pouºívali v odstavci 3.1,p·sobí γ-tá £ástice okolí na i−tou £ástici t¥lesa silou F ext

iγ , γ = 1, , 2, . . . , K, i =1, 2, . . . , N . Polohový vektor p·sobi²t¥ této síly vzhledem k bodu O ozna£mejako obvykle ri, polohový vektor téhoº p·sobi²t¥ vzhledem k O′ jako r ′

i . Platí

ri = r ′i + R.

Výsledný moment vn¥j²ích sil vzhledem k bodu O ozna£me Mext, vzhledem kbodu O′ pak (Mext)′. Platí

Mext =

N∑i=1

ri ×K∑

γ=1

F extiγ =

N∑i=1

r ′i ×

K∑γ=1

F extiγ + R×

N∑i=1

K∑γ=1

F extiγ .

Vzhledem k poºadavku silové rovnováhy je sou£et v²ech vn¥j²ích sil p·sobícíchna t¥leso, a tedy druhý s£ítanec v p°edchozím výrazu, nulový. První s£ítanecp°edstavuje moment v²ech vn¥j²ích sil vzhledem k bodu O′, platí tedy (Mext)′ =

Mext.

P°íklad 3.8. Rovnováha tuhých t¥les dvojitý ºeb°ík.Pro procvi£ení je²t¥ jeden p°íklad, tentokrát se ²taemi. Homogenní dvojitýºeb°ík délky ℓ o celkové hmotnosti 2m stojí n vodorovné podlaze tak, ºe v sní svírá úhel θ. Ramena ºeb°íku jsou spojena provazem uchyceným v jejichst°edech. Na levém rameni ºeb°íku stojí £lov¥k ve vzdálenosti £tvrtiny délkyramene od jeho dolního konce. T°ení mezi ºeb°íkem a podlahou je zanedbatelné.Situaci ukazuje Obr. 3.11.


x

mgl4

Mg

N2

N1

−TT

−F

F

z

y

OΘ

A

l l

Obr. 3.11: Statická rovnováha dvojitého ºeb°íku

Úkolem je ur£it síly T a −T , jimiº p·sobí napjatý provaz na ramena ºeb°íkua síly F a −F , jimiº na sebe navzájem p·sobí ramena ºeb°íku v bod¥ A. Sou-°adnicové osy zvolme stejn¥ jako v p°edchozím p°íkladu a podle obrázku takéozna£me síly p·sobící na ºeb°ík. Podminka silové rovnováhy celého ºeb°íku mátvar

2mg +Mg + N1 + N2 = 0

(víte, pro£ se v ní nevyskytují síly T , −T , F a −F? Protoºe jsou x-ové a z-ovésloºky sil vystupujících v podmínce rovnováhy nulové, je zápis ve sloºkách velmijednoduchý:

−2mg −Mg +N1 +N2 = 0.

Za vztaºný bod pro výpo£et moment· sil zvolme t°eba bod O. Sou£et moment·vn¥j²ích sil vzhledem k tomuto bodu (stejn¥ jako ke kterémukoli jinému pevnémubodu v inerciální vztaºné soustav¥) je nulový,

Mext = MMg + M(l)mg + M

(p)mg + MN1

+ MN2= 0,

kde M (l)mg, resp. M

(p)mg je moment tíhové síly p·sobící na levé, resp. pravé rameno

ºeb°íku.V podmínce op¥t nevystupují momenty sil T , −T , F a −F . Pro£? Promomenty platí

MMg =

(0, 0,

7Mgℓ

8cos θ

), M

(l)mg =

(0, 0,

3mgℓ

2cos θ

),


M(p)mg =

(0, 0,

mgℓ

2cos θ

),

MN1= (0, 0, −2N1ℓ cos θ) , MN2

= 0.

z-ová sloºka podmínky momentové rovnováhy vede po vykrácení cos θ ne tvar

7Mgℓ

8+

3mgℓ

2+

mgℓ

2− 2N1ℓ = 0 =⇒ N1 = mg +

7

8Mg.

Velikost síly N2 jiº snadno vypo£teme z podmínky silové rovnováhy,

N2 = mg +1

8Mg.

nyní se hodí odpov¥d¥t na otázky týkající se sil T , −T , F a −F . Tyto síly anijejich momenty se v podmínkách rovnováhy pro celý ºeb°ík neuplatnily, protoºez hlediska ºeb°íku jako celku jsou silami vnit°ními. Z hlediska jednolivých £ástíºeb°íku, nap°íklad ramen, v²ak budou silami vn¥j²ími. Protoºe je ºeb°ím v rov-nováze, ke v rovnováze kaºdá jeho £ást, tedy i jednotlivá ramena. Nap°íklad propravé rameno platí

mg + N2 − T − F = 0 =⇒ N2 −mg − Fy = 0, −T + Fx = 0,

M(p)mg + MN2

+ M−F + M−T = 0 =⇒

=⇒ mgℓ

2cos θ +

Tℓ

2sin θ − Fxℓ sin θ − Fyℓ cos θ = 0.

Z rovnic silové rovnováhy ve sloºkách a na základ¥ jiº znalosti velikosti síly N2

dostaneme Fx = T , Fy = 18Mg. Dosazení do podmínky momentové rovnováhy

umoºní získat sloºky sil T a F :

T =

((1

4M +m

)g cotg θ, 0

), F =

(−(1

4M +m

)g cotg θ,

1

8Mg

).

Pokuste se napsat a °e²it podmínky rovnováhy pro levé rameno ºeb°íku vý-sledky by m¥ly být shodné. ♠

3.2.2 Tenzor J jako p°evodník mezi úhlovou rychlostí amomentem hybnosti

V odstavci 1.1 jsme denovali tenzor momentu setrva£nosti pon¥kud formáln¥. Zatím on¥m víme pouze to, ºe jakýmsi zp·sobem, av²ak odli²n¥ od popisu pomocí dvojic mi, ri,resp. pomocí hustoty, charakterizuje rozloºení hmotnosti v t¥lese. Jaký fyzikální význam ta-ková charakteristika má, zatím není jasné. Uvidíme, ºe pro p°ípad tuhého t¥lesa souvisí sevztahem mezi momentem hybnosti a úhlovou rychlostí t¥lesa. Uvaºujme o £ist¥ rota£ním po-hybu t¥lesa. Jeho st°ed hmotnosti je tedy v klidu vzhledem k jisté inerciální vztaºné soustav¥.Zvolme její po£átek O práv¥ ve st°edu hmotnosti (viz Obr. 3.12).


o

t) (t)ri(t)

oskulacnikruznice

A i (t)

(t)

(t)

iS

O SH

.

ω vi

il

li,li,

.

(

Obr. 3.12: K rota£nímu pohybu tuhého t¥lesa

Z p°edpokladu, ºe je t¥leso tuhé, bezprost°edn¥ vyplývá, ºe úhlová rychlost je v kaºdém oka-mºiku spole£ná pro v²echny jeho £ástice, resp. hmotné elementy. Ozna£me ji ω(t). V danémokamºiku se kaºdá £ástice nachází na své oskula£ní kruºnici, úhlová rychlost je kolmá koskula£ní rovin¥ viz odstavce 1.3.3 a 1.3.5. St°edy oskula£ních kruºnic leºí na p°ímce kolméke v²em (navzájem rovnob¥ºným) oskula£ním rovinám a procházející bodem O, ω(t) je sm¥-rovým vektorem této p°ímky. Tuto p°ímku nazýváme okamºitou osou rotace. V Obr. 3.12 jeozna£ena jako o(t). Pro okamºitou rychlost i-té £ástice platí

vi(t) = ω(t)× (−−→SiAi) = ω(t)×

(ri(t)−

−−→OSi

)= ω(t)× ri(t).

Pro celkový moment hybnosti t¥lesa ℓ0 vzhledem k bodu O platí (jiº bez vypisování argumentut a s vyuºitím vztahu a× (b× c) = (ac)b− (ab)c)

ℓ0 =

N∑i=1

ri ×mivi =

N∑i=1

miri × (ω × ri) =

N∑i=1

[mi(ri ri) ω −mi(ri ω) ri] .

Vektor ℓ0 vyjád°íme ve sloºkách ve zvolené soustav¥ sou°adnic < O; x, y, z. Ozna£me ℓ0 =(ℓ1, ℓ2, ℓ3). Platí

ℓ1 =

N∑i=1

[mi(x

2i + y2i + z2i )ω1 −mi(xiω1 + yiω2 + ziω3)xi

]=

=

(N∑i=1

mi(y2i + z2i )

)ω1 +

(−

N∑i=1

mixiyi

)ω2 +

(−

N∑i=1

mixizi

)ω3,

ℓ2 =N∑i=1

[mi(x

2i + y2i + z2i )ω2 −mi(xiω1 + yiω2 + ziω3)yi

]=

=

(−

N∑i=1

mixiyi

)ω1 +

(N∑i=1

mi(x2i + z2i )

)ω2 +

(−

N∑i=1

miyizi

)ω3,

ℓ3 =N∑i=1

[mi(x

2i + y2i + z2i )ω3 −mi(xiω1 + yiω2 + ziω3)zi

]=

=

(−

N∑i=1

mixizi

)ω1 +

(−

N∑i=1

miyizi

)ω2 +

(N∑i=1

mi(x2i + y2i )

)ω3.


Kaºdá ze sloºek momentu hybnosti t¥lesa je tedy lineární kombinací sloºek úhlové rychlosti.Ze vztah· (1.4) je vid¥t, ºe koecienty t¥chto lineárních kombinací jsou práv¥ sloºky tenzorumomentu setrva£nosti,

ℓ1 = J11ω1 + J12ω2 + J13ω3,

ℓ2 = J12ω1 + J22ω2 + J23ω3, (3.20)

ℓ3 = J13ω1 + J23ω2 + J33ω3,

nebo maticov¥

(ℓ1 ℓ2 ℓ3) = (ω1 ω2 ω3)

J11 J12 J13

J12 J22 J23

J13 J23 J33

. (3.21)

Tenzor momentu setrva£nosti funguje jako symetrický lineární operátor, který vektor·m úh-

lové rychlosti p°i°azuje vektory momentu hybnosti. Zapojíme-li do hry znalosti z lineární

algebry, uv¥domíme si, ºe pro takový symetrický lineární operátor vºdy existuje taková sou-

stava sou°adnic < O; x′, y′, z′ >, v níº má matice reprezentující tento operátor diagonální

tvar. Hodnoty v diagonále ozna£me J1, J2 a J3. Souvislost mezi maticemi J a J je dána

tzv. podobnostní transformací J = TJT−1, kde T je matice p°echodu od ortonormální báze

spojené se soustavou sou°adnic < O; x, y, z > k ortonormální bázi spojené se soustavou

< O; x′, y′, z′ >. Osy soustavy < O; x′, y′, z′ > jsou hlavní osy tenzoru momentu setrva£-

nosti.

3.2.3 Rotace tuhého t¥lesa kolem pevné osy

Pevnou osou p°i rotaci tuhého t¥lesa rozumíme jakoukoli p°ímku o, která jenepohyblivá v jisté inerciální vztaºné soustav¥, a vzhledem k níº t¥leso pouzerotuje úhlovou rychlostí ω(t), jejíº sm¥r nezávisí na £ase. Vzpome¬me si na vlast-nosti st°edu hmotnosti t¥lesa a uv¥domme si, ºe pevnou osu m·ºeme spojittaké se st°edem hmotnosti: bude to p°ímka, která prochází st°edem hmotnostia je pevná ve vztaºné soustav¥, jejímº po£átkem je nap°íklad práv¥ st°ed hmot-nosti, a která v·£i inerciálním vztaºným soustavám nerotuje (její sou°adnicovéosy jsou trvale rovnob¥ºné se sou°adnicovými osami jisté inerciální soustavy).

Je z°ejmé, ºe p°i rotaci tuhého t¥lesa kolem pevné osy o se v²echny jeho£ástice, resp. hmotné elementy pohybují po kruºnicích leºících v rovinách kol-mých k ose o, jejichº st°edy leºí na této ose. Úhlová rychlost ω(t) je spole£ná prov²echny £ástice toto významné zjednodu²ení popisu pohybu vyplývá práv¥ zp°edpokladu, ºe t¥leso je tuhé. Situaci pro tuhé t¥leso s diskrétním rozloºenímhmotnosti vystihuje Obr. 3.13, z n¥hoº je také z°ejmé ozna£ení pot°ebnýchveli£in: i-tá £ástice o hmotnosti mi se pohybuje po kruºnici Ki o polom¥ru qi,kruºnice leºí v rovin¥ kolmé k ose o a její st°ed Si leºí na této ose. Polohovývektor ri je sou£tem vektoru si leºícího v ose rotace a vektoru qi, který je k oserotace kolmý, ri = si + qi. Úhlová rychlost ω (obecn¥ závislá na £ase) má sm¥rosy rotace. Vztaºným bodem pro výpo£et moment· je bod O. Pro rychlost i-té£ástice, i = 1, . . . , N , platí (viz odstavec 1.3.5)

vi = ω × qi = ω × (ri − si) = ω × ri, nebo´ si ∥ ω.


.

ω

si

ri

qi

mN

m1

qi

qi

d

o

m i

0o

O

oKi

.iS

vim i

m2 SH

..

Obr. 3.13: Rotace tuhého t¥lesa kolem pevné osy

Vypo£teme moment hybnosti t¥lesa vzhledem k bodu O. Platí

ℓ0 =

N∑i=1

ri ×mivi =

N∑i=1

mi(si + qi)× (ω × qi).

Pomocí vztahu pro dvojitý vektorový sou£in

a× (b× c) = (ac)b− (ab)c

m·ºeme výraz upravit do tvaru

ℓ0 =

N∑i=1

mi

(si qi) ω + (si ω) qi + (qi)

2 ω + (ω qi) qi

=⇒

ℓ0 =

(N∑i=1

miq2i

)ω + ω

(N∑i=1

−misi qi

). (3.22)

P°i poslední úprav¥ jsme vyuºili skute£nosti, ºe si ⊥ qi, ω ⊥ qi, ω ∥ si, tj.

si qi = 0, qi ω = 0, si ω = ω si.

Pro t¥leso se spojitým rozloºením hmotnosti se moment hybnosti vyjád°í ana-logicky (místo sou£t· budou integrály p°es objem t¥lesa),

ℓ0 =

∫V

ϱq2 dV

ω + ω

∫V

−ϱs q dV

. (3.23)

V²imn¥me si podrobn¥ji geometrického významu vztah· (3.22) a (3.23) vy-sv¥tlíme si jej nap°íklad na prvním z obou vztah·. První s£ítanec je vektor


rovnob¥ºný s úhlovou rychlostí omega, tj. rovnob¥ºný s osou rotace. Druhýs£ítanec je lineární kombinací vektor· qi, i = 1, , . . . , N , s koecienty misiω.V²echny vektory qi jsou v²ak kolmé k ose rotace, proto i jakákoli jejich lineárníkombinace je rovn¥º vektorem kolmým k ose rotace. Vztah (3.22) tak p°edsta-vuje rozklad celkového momentu hybnosti t¥lesa do sm¥ru osy rotace a do rovinykolmé k ose rotace,

ℓ0 = ℓ0,∥+ ℓ0,⊥, ℓ0,∥ = Jo ω, Jo =N∑i=1

miq2i , ℓ0,⊥ = −ω

N∑i=1

misi qi, (3.24)

p°i£emº veli£ina

Jo =N∑i=1

miq2i (3.25)

je moment setrva£nosti t¥lesa vzhledem k ose o. Velkou výhodou je skute£nost,ºe se moment setrva£nosti tuhého t¥lesa vzhledem k pevné ose s £asem nem¥ní.I kdyº se totiº b¥hem rotace m¥ní sm¥r vektor· qi, z·stává kaºdá £ástice tuhéhot¥lesa stále stejn¥ daleko od osy, a proto q2i = konst. pro v²echna i = 1, . . . , N .Druhou impulsovou v¥tu pro tuhé t¥leso m·ºeme zapsat ve velmi p°ehlednémtvaru, zapí²eme-li její vyjád°ení pro oba pr·m¥ty pr·m¥t do osy rotace apr·m¥t do roviny kolmé k ose rotace,

dℓ0dt

= Mext ⇔d ℓ0,∥

dt= Mext

∥ ,d ℓ0,⊥dt

= Mext⊥ , tj.

Joε = Mext∥ , −ω

N∑i=1

misi ˙qi = Mext⊥ . (3.26)

Tento zápis druhé impulsové v¥ty je velmi výhodný pro praktické °e²ení úloh,zejména v situacích, kdy je hmotnost t¥lesa vzhledem k ose rotace rozloºenasymetricky, tj. kdyº se výrazy misi qi kompenzují, takºe je ℓ0,⊥ = 0. Velmijednoduchým p°íkladem takové situace je dvou£ásticová soustava s £ásticemi ohmotnostechm1 am2 leºících ve vzdálenostech q1 a q2 od této osy, p°i£emº platíq1q2

= m2

m1, speciáln¥ pro dv¥ stejn¥ hmotné £ástice umíst¥né stejn¥ daleko od osy

rotace. Dal²ími p°íklady jsou geometricky symetrická homogenní t¥lesa rotujícíkolem osy své geometrické symetrie válce, kuºely, koule, apod. V takovýchp°ípadech ov²em musí být Mext

⊥ = 0, jinak by nemohla být spln¥na podmínka˙

ℓ0,⊥ = Mext⊥ .

V p°ípad¥ t¥lesa se symetrickým rozloºením hmotnosti vzhledem k ose rotacese druhá impulsová v¥ta redukuje jen na pr·m¥t do osy rotace, který lze chápatnap°íklad jako rovnici pro neznámé úhlové zrychlení. Její pouºití za chvíli uká-ºeme na p°íkladech. Vektor ℓ0,∥ se n¥kdy, nep°íli² vhodn¥, nazývá momentemhybnosti t¥lesa vzhledem k ose o, vektor Mext

∥ výsledným momentem vn¥j²íchsil vzhledem k této ose.


Uvaºujme nyní o situaci, kdy t¥leso m·ºe rotovat vzhledem k r·zným osám rov-nob¥ºným s osou o. Jedna z nich má zvlá²tní význam. Je to ta, která procházíst°edem hmotnosti t¥lesa. Známe-li totiº moment setrva£nosti t¥lesa vzhledem ktéto speciální ose, ozna£me ji nap°íklad o0, m·ºeme moment setrva£nosti vzhle-dem k libovolné ose o s ní rovnob¥ºné, tj. o ∥ o0, vypo£ítat pomocí momentusetrva£nosti vzhledem k ose o0 a vzdálenosti d obou os. S vyuºitím pravé £ástiObr. 3.13 vyjád°íme moment setrva£nosti Jo:

Jo =N∑i=1

miq2i =

N∑i=1

mi(qi)2 =

N∑i=1

mi(q′i + d)2 =

=N∑i=1

mi(q′i)

2 +

(N∑i=1

miq′i

)d+ d2

N∑i=1

mi.

Uv¥domme si, co znamená výraz∑N

i=1 miq′i , který vystupuje v prost°edním

s£ítanci: Vektor

r ′0 =

∑Ni=1 mir

′i∑N

i=1 mi

je nulový, nebo´ je to polohový vektor st°edu hmotnosti t¥lesa vzhledem kest°edu hmotnosti t¥lesa (r ′

i , i = 1, . . . , N jsou polohové vektory £ástic vzhle-dem je st°edu hmotnosti, r ′

i = ri− r0). Platí proto také∑N

i=1 mir′i = 0. Vektor∑N

i=1 miq′i je ov²em pr·m¥tem vektoru

∑Ni=1 mir

′i do roviny kolmé k ose rotace,

je proto také nulový. Pro momenty setrva£nosti Jo a Jo0 vzhledem k rovnob¥º-ným osám o a o0, z nichº osa o0 prochází st°edem hmotnosti t¥lesa, získávámeSteinerovu v¥tu

Jo = Jo0 +md2, (3.27)

kde d je vzdálenost osy o od osy o0.

V odstavci 1.1 jsme si denovali tenzor momentu setrva£nosti, reprezentovaný v dané sou-stav¥ sou°adnic maticí t°etího °ádu. K jeho zadání jsme tedy pot°ebovali dev¥t veli£in Jij , znichº pouze ²est bylo nezávislých, nebo´ tato matice byla symetrická, Jij = Jji, i, j = 1, 2, 3.Najednou máme co do £in¥ní se skalární veli£inou momentem setrva£nosti vzhledem k ose.Takových os ov²em m·ºe být nekone£n¥ mnoho, stejn¥ jako hodnot momentu setrva£nostivzhledem k nim. Není to v rozporu s úvahami o tenzoru momentu setrva£nosti? Ukáºeme, ºenikoliv moment setrva£nosti vzhledem k libovolné ose o zadané v dané soustav¥ sou°adnict°eba bodem A = (xA, yA, zA) a jednotkovým vektorem o = (o1, o2, o3), je moºné jedno-zna£n¥ vyjád°it pomocí bodu A, vektoru o a tenzoru momentu setrva£nosti zadaného v danésoustav¥ sou°adnic. Protoºe uº známe vztah mezi momenty setrva£nosti vzhledem ke dv¥marovnob¥ºným osám, z nichº jedna prochází st°edem hmotnosti t¥lesa (p°ed chvílí odvozenáSteinerova v¥ta (3.27)), sta£í jiº uvaºovat pouze o osách r·zných sm¥r· procházejících práv¥st°edem hmotnosti. Tenzor momentu setrva£nosti J v soustav¥ sou°adnic S =< O; x, y, z >s po£átkem O ve st°edu hmotnosti t¥lesa je reprezentován maticí J = (Jij), i, j = 1, 2, 3. Promoment hybnosti t¥lesa platí vztah (3.21), tj.

ℓi =

3∑j=1

Jijωj , i = 1, 2, 3.

Po£ítejme pr·m¥t momentu hybnosti do osy o. Uvaºme p°i tom, ºe ω = ωo:

ℓ0,∥ = (ℓ0 o) o =1

ω2

(ℓ0 ω

)ω =⇒


Jo =1

ω2

3∑i,j=1

Jijωiωj =3∑

i,j=1

Jijoioj . (3.28)

Tento výsledek ve spojení se Steinerovou v¥tou jiº umoº¬uje ur£it moment setrva£nosti t¥lesavzhledem k jakékoli ose rotace pomocí zadání této osy a tenzoru momentu setrva£nosti vzhle-dem k soustav¥ sou°adnic spojené se st°edem hmotnosti t¥lesa. Nejjednodu²²í zp·sob zadánítenzoru momentu setrva£nosti je samoz°ejm¥ v soustav¥ sou°adnic spojené nejen se st°edemhmotnosti jako po£átkem, ale také se sou°adnicovými osami ve sm¥ru hlavních os tenzorumomentu setrva£nosti. V takové soustav¥ sou°adnic se vztah (3.28) zjednodu²í na tvar

Jo = J1 o21 + J2 o

22 + J3 o

23.

K fyzikálnímu významu tenzoru momentu setrva£nosti v diagonálním tvaru se vrátíme je²t¥

v odstavci 3.2.4.

V následujících n¥kolika p°íkladech si ukáºeme aplikaci záv¥r· týkajících se ro-tace tuhého t¥lesa kolem pevné osy, k nimº jsme p°ed chvílí dosp¥li.

P°íklad 3.9. Závaºí na kladce.

ist¥ rota£ním pohybem tuhého t¥lesa kolem pevné osy je nap°íklad rotacepevné kladky p°i pohybu závaºí zav¥²ených na lan¥ vedeném p°es tuto kladku(viz Obr. 3.14).


−T

mg

T1

T2

mkg

F

mkr

g

m

M

1 −T

Mg

2

Obr. 3.14: Pevná kladka se závaºími

Soustava na obrázku je umíst¥na v homogenním tíhovém poli Zem¥ (tíhovézrychlení je jako obvykle g). Hmotnosti závaºí jsou m a M , m < M , hmotnostkladky je mk, její polom¥r je r. Kladku povaºujme za homogenní tuhé t¥leso,její hmotnost je rozloºena symetricky vzhledem k ose otá£ení. P°edpokládejmedále, ºe lano po kladce neklouºe, je dokonale ohebné a má pevnou délku, aºe odporové síly p·sobící jak proti pohybu t¥les, tak proti otá£ení kladky lzezanedbat. Zku²enost samoz°ejm¥ °íká, ºe p°i pohybu soustavy byde t¥º²í t¥lesoklesat se zrychlením. Dokáºeme je spo£ítat? Ozna£me jako a1, resp. a2 zrychlenízávaºí m, resp. M , a jako ε úhlové zrychlení kladky (zrychlení st°edu hmotnosti


kladky je nulové to je vazební podmínka, s kterou m·ºeme po£ítat jiº odza£átku °e²ení úlohy). V Obr. 3.14 jsou vyzna£eny síly, kterými na jednotlivát¥lesa soustavy (ob¥ závaºí a kladku) p·sobí jejich okolí.

• Na levé závaºí p·sobí Zem¥ tíhovou silou mg a lano tahovou silou T1.

• Na pravé závaºí p·sobí Zem¥ tíhovou silou Mg a lano tahovou silou T2.

• Na kladku p·sobí lano tahovými silami −T1 a −T2 na stran¥ levého, resp.pravého závaºí a osa v bod¥ záv¥su silou F . Silové dvojice T1 a −T1,resp. T2 a −T2 p°edstavují akci a reakci (lano zprost°edkovává vzájemnép·sobení klady a závaºí).

Poznámka: P·sobení lana na kladku je pon¥kud sloºit¥j²í, nebo´ lano je napí-náno po celé své délce a na kladku tedy p·sobí elementárními silami v kaºdémbod¥ svéko kontaktu s ní. Výsledné silové p·sobení lana na kladku v²ak lze po-psat silami −T1 a −T2 umíst¥nými podle obrázku v bodech, v nichº se lano odkladky za£íná odchylovat.

Druhý Newton·v zákon pro závaºí a první impulsová v¥ta pro kladku majítvar (pro kladku s uváºením skute£nosti, ºe zrychlení jejího st°edu hmotnosti jenulové).

ma1 = mg + T1,

Ma2 = Mg + T2,

0 = mkg + F − T1 − T2.

Druhou impulsovou v¥tu pro kladku formulujeme vzhledem k jejímu st°eduhmotnosti. Jak jsme jiº konstatovali p°i formulaci p°edpoklad· úlohy, je hmot-nost kladky symetricky rozloºena vzhledem k ose její rotace (v Obr. 3.14 pro-mítnuté do bodu záv¥su kladky). Moment hybnosti kladky má tedy sm¥r osyrotace. Také momenty sil p·sobících na kladku mají tento sm¥r (momenty sil−T1 a −T2), nebo jsou nulové (moment tíhové síly Mg a síly F ). Rovnice (3.26)pro úhlové zrychlení má tvar

Joε = M−T1+ M−T2

+ MMg + MF .

Pohyby závaºí se odehrávají pouze ve svislém sm¥ru (chápeme jako p°edem sta-novenou vazební podmínku). Zvolme sm¥r a orientaci osy x svisle dol·. Vektoryzrychlení a sil mají nenulovou jedinou sloºku, x-ovou. Úhlové zrychlení a nenu-lové momenty sil mají, jak jsme jiº konstatovali, sm¥r osy rotace. Zvolme osu zve sm¥ru osy rotace a orientujme ji kladn¥ sm¥rem dop°edu. Pokud závaºí Mklesá, jak ukazuje obrázek, tj. pro M > m, má úhlové zrychlení kladky sloºkyε = (0, 0, −ε). Pro sloºky z vý²e uvedených rovnic vyplývá

ma1,x = mg − T1,

Ma2,x = Mg − T2,

0 = mkg − F + T1 + T2,

−Joε = −rT2 + rT1.


Tato soustava £ty° rovnic ov²em obsahuje p°íli² mnoho neznámých. Jsou jimia1,x, a2,x, ε, T1, T2 a F . Pro n¥které z neznámých v²ak platí vazební podmínky.Zrychlení a1 a a2 jsou stejn¥ velká, ale opa£n¥ orientovaná, jejich velikost jerovna obvodovému zrychlení kladky a. Platí proto

−a1,x = a2,x = a,

ε =a

r.

e²ením poslední soustavy ²esti rovnic, uváºením vztahu pro moment setrva£-nosti Jo = 1

2mkr2 dostaneme (°e²ení podrobn¥ prove¤te)

a =M −m

M +m+ 12mk

g,

T1 = mg +m(M −m)

M +m+ 12mk

g,

T2 = Mg − M(M −m)

M +m+ 12mk

g,

F = (mk +M +m)g − (M −m)2

M +m+ 12mk

g.

V²imn¥me si je²t¥ situace, kdy je hmotnost kladky zanedbatelná, mk = 0. Pakje zanedbatelný i její moment setrva£nosti, Jo = 0. Jaké m·ºeme £ekat v tomtop°ípad¥ výsledky? Dostaneme je samoz°ejm¥ dosazením do vztah·, které jsmezískali °e²ením úlohy pro obecný p°ípad, m·ºeme v²ak také n¥které z nich ale-spo¬ kvalitativn¥ odhadnout :

• Má-li kladka nulový moment setrva£nosti, pak by p°i jakkoli malém mo-mentu sil, které ji roztá£ejí, bylo úhlové zrychlení neomezen¥ velké. Protomusí být T1 = T2 = T .

• Shodné taºné síly −T1 a −T2 tahají kladku dol·, síla F nahoru. Tíhovásíla je nulová. Proto F = 2T .

• Soustavu závaºí bez kladky bychom si mohli ekvivalentn¥ p°edstavit i jakozávaºí na rovném lan¥, p°i£emº síla Mg by soustavu tahala dop°edu, sílamg dozadu. Výsledná síla o velikosti Mg −mg by ud¥lovala zrychlení acelé soustav¥ o hmotnosti M +m, tj. a = M−m

M+mg.

• Uvaºujeme-li o kaºdém ze závaºí zvlá²´, vidíme, ºe závaºí m ud¥luje jehozrychlení (velikost a, sm¥r vzh·ru) síla o velikosti T −mg mí°ící vzh·ru,proto ma = T−mg. Podobn¥ pro závaºí M platí Ma = Mg−T . Zrychlenía v²ak jiº máme, takºe snadno ur£íme velikost taºných sil T = 2mM

M+mg.

Tyto výsledky snadno ov¥°íme, dosadíme-li do °e²ení obecné situace mk = 0 aJo = 0 (prove¤te). ♠


Typickým p°íkladem rota£ního pohybu t¥lesa kolem pevné osy je valení. Valí sesudy, odvalují se kola automobilu jednodu²e °e£eno, valivý pohyb je velmi£astý i v praxi. Samoz°ejm¥ je na po°adu otázka: jaký rota£ní pohyb kolem pevnéosy? Vºdy´ p°i valení dochází vºdy i k pohybu posuvnému, a je-li tento pohybzrychlený (t°eba p°i valení sudu s kopce) neexistuje ºádná vztaºná soustava, vníº by osa rotace byla pevná. Vzpome¬me si v²ak na jeden z význam· st°eduhmotnosti (odstavec 3.1.3.) Druhou impulsovou v¥tu pro dané t¥leso jsme mohlivztahovat nejen k inerciální vztaºné soustav¥, ale i k vzzaºné soustav¥, kteráv·£i inerciálním soustavám nerotovala, byla v²ak spojena se st°edem hmotnostit¥lesa. Této vlastnosti st°edu hmotnosti vyuºijeme i nyní. Osa rotace valícíhose t¥lesa bude procházet práv¥ st°edem hmotnosti. e²ení takového valivéhopohybu si ukáºeme v následujícím p°íkladu.

P°íklad 3.10. Valení tuhých t¥les.Na²ím úkolem bude ur£it zrychlení homogenního válcového t¥lesa, které se valípo naklon¥né rovin¥ o úhlu sklonu α v tíhovém poli Zem¥ (Obr. 3.15).

Og

mg

T

N

α

x

y

z

Obr. 3.15: Valení rota£ních t¥les

P°edpokládejme, ºe p°i valení t¥leso neprokluzuje (na p°íklad¥ t°eba rozjíºd¥jí-cího se automobilu to znamená, ºe se kola p¥kn¥ odvalují, nehrabou). Vzhle-dem k pozorovateli v neinerciální vztaºné soustav¥ spojené s osou válcovéhot¥lesa, av²ak takové, ºe její osy v·£i inerciálním soustavám nerotují, p·sobí nat¥leso tíhová síla mg umíst¥ná ve st°edu hmotnosti t¥lesa O, tlaková síla na-klon¥né roviny N ta p·sobí ve sty£ném bod¥ naklon¥né roviny s t¥lesem astatická t°ecí síla T p·sobící rovn¥º v tomto bod¥. Statická t°ecí síla zabra¬ujesmýkání t¥lesa po podloºce. Protoºe je vztaºná soustava neinerciální, je t°ebavzít v úvahu je²t¥ ktivní sílu F ∗ = −ma, kde a je uná²ivé zrychlení. To je rovnozrychlení st°edu hmotnosti t¥lesa vzhledem k inerciálním vztaºným soustavám.Vztáhneme-li druhou impulsovou v¥tu k bodu O a uváºíme-li, ºe rozloºení hmot-nosti t¥lesa je vzhledem k jeho ose symetrické, m·ºeme impulsové v¥ty zapsatve tvaru

mg + N + T −ma = 0, Joε = MT .


Momenty tíhové a tlakové síly vzhledem k bodu O jsou totiº nulové. Stejnévektorové rovnice dostaneme, napí²eme-li, na rozdíl od p°edchozí volby, prvníimpulsovou v¥tu vzhledem k (libovolné) inerciální vztaºné soustav¥. Ve h°e paknebude ktivní síla, zato st°ed hmotnosti t¥lesa se bude v·£i inerciální soustav¥pohybovat se zrychlením a. Z8pis první impulsové v¥ty má tvar

ma = mg + N + T ,

zápis druhé impulsové v¥ty z·stává stejný. Soustavu sou°adnic zvolíme podleobrázku a ve sloºkách m·ºeme psát

ma = mg sinα− T,

0 = −mg cosα+N,

−Joε = −Tr.

Získaná soustava t°í rovnic obsahuje £ty°i neznámé. Máme k dispozici n¥jakouvazební podmínku? Ano je to poºadavek valení bez klouzání, pomocí n¥hoºur£íme vztah mezi úhlovým zrychlením a zrychlením st°edu hmotnosti. Obecn¥jsou sice tyto veli£iny nezávislé: p°edstavíme-li si nap°íklad auto rozjíºd¥jící sena zledovat¥lém parkovi²ti, musíme p°ipustit, ºe p°i p°idání plynu se kola mohouvelmi razantn¥ rozto£it (zna£né úhlové zrychlení kol), zatímco v·z se skoro ne-pohne (malé zrychlení st°edu hmotnosti). P°i poctivém odvalování v²ak budezrychlení st°edu hmotnosti stejn¥ velké jako obvodové zrychlení aobv = a. Nadruhé stran¥ v²ak je obvodové zrychlení vyjád°eno pomocí úhlového vztahemaobv = rε, kde r je polom¥r válcového t¥lesa. K soustav¥ t°í rovnic m·ºeme tedyp°idat rovnici £tvrtou,

a = rε.

e²ení soustavy jiº je snadné, výsledky následují:

a =mr2

mr2 + Jog sinα,

N = mg cosα,

T =mgJo sinα

mr2 + Jo.

Z výsledného vztahu pro zrychlení st°edu hmotnosti t¥lesa vidíme, ºe £ím jemoment setrva£nosti v¥t²í (hmotnost t¥lesa je rozloºena dále od jeho osy), tímje t¥leso lín¥j²í , jehi zrychlení je men²í. Kdybychom tedy poloºili na vrcholnaklon¥né roviny t°i válce o stejné hmotnosti m a stejném vn¥j²ím polom¥rur, z nichº jeden by byl plný (moment setrva£nosti Jo = 1

2mr2), druhý dutý ovnit°ním polom¥ru r′ (moment setrva£nosti Jo = 1

2m(r2 + r′ 2)) a t°etí prstenec(moment setrva£nosti Jo = mr2. V závodech na naklon¥né rovin¥ by zvít¥zilplný válec, druhé místo by získal válec dutý a prohrál by prstenec. Zkuste zjistit,jak by na tom byla koule, jejíº moment setrva£nosti je Jo = 2

5mr2. ♠


Dal²í typickou úlohu, v níº se jedná o valení bez klouzání, tj. sloºení posuvnéhoa otá£ivého pohybu s vazební podmínkou, ukazuje dal²í p°íklad. Nejde v²ak ovalení po pevné podloºce, ale o odmotávání lanka navinutého na cívce.

P°íklad 3.11. Cívka na lan¥ jojo.

Známá hra£ka jojo p°edstavuje tuhou homogenní cívku o vnit°ním polom¥ru ra vn¥j²ím polom¥ru R. Ur£íme, s jakým zrychlením se pohybuje st°ed hmotnosticívky a jakou silou je napínáno svislé lanko. Sou£asn¥ zjistíme, jaké veli£iny jekrom¥ polom¥r· cívky je²t¥ nutné zadat, aby bylo moºné úlohu vy°e²it. P°ed-pokládejme, ºe jojo voln¥ vypustíme z ruky. Sm¥r jeho otá£ení ukazuje Obr.3.16 vlevo.

Na cívku o hmotnosti M p·sobí tíhová síla FG = Mg s p·sobi²t¥m ve st°eduhmotnosti cívky a tahová síla lanka T , jejíº p·sobi²t¥ m·ºeme umístit do bodu,v n¥mº se svislá £ást lanka dostává do kontaktu s cívkou (viz Obr. 3.16). (Veskute£nosti je p·sobení lanka na cívku sloºit¥j²í, jak jsme vyloºili v poznámcev p°íkladu 3.9.)

rR

r

Mg

T

Mg

T

g R

Obr. 3.16: Cívka na pevném lan¥ jojo

Vztaºnou soustavu spojíme se st°edem hmotnosti cívky, sm¥r a orientaci sou-°adnicové osy x zvolíme svisle dol·. Ostatní sloºky sil jsou nulové, takºe se zdá,ºe volbu dal²ích sou°adnicových os nebudeme pot°ebovat. Ne tak docela bezexplicitního p°ipomínání jejich volby se obejdeme, aº budeme mít v °e²ení po-dobných úloh dostate£nou praxi. Za chvíli uvidíme, pro£. Zvolme osu y tak, aby


v obrázku sm¥°ovala vpravo a osu z podél osy rotace cívky, tj. kolmo k nákresu,tak, aby sm¥°ovala dop°edu. Zápis první a druhé impulsové v¥ty má tvar

ma = FG + T ,

Jε = MFG+ MT .

kde J je moment setrva£nosti cívky vzhledem k ose její geometrické symetrie.Moment tíhové síly je nulový, moment tahové síly má sm¥r osy rotace a je ori-entován dop°edu, tj. v kladném sm¥ru osy z. Pro x-ovou sloºku první impulsovév¥ty, resp. z-ovou sloºku druhé impulsové v¥ty (ostatní sloºky sil, resp. moment·jsou nulové) tak platí

Ma = Mg − T, (3.29)

−Jε = −Tr, (3.30)

kde a, resp. ε je velikost zrychlení st°edu hmotnosti válce a = (a, 0, 0), resp.velikost úhlového zrychlení ε = (0, 0, −ε). Máme tak dv¥ rovnice pro t°i ne-známé, a, ε a T . Budeme proto muset p°ijmout n¥jaké dodate£né p°edpoklady vazební podmínky. P°edpokládáme-li jako obvykle, ºe lanko je nepruºné,je obvodové zrychlení otá£ivého pohybu cívky rovno velikosti zrychlení jejíhost°edu hmotnosti (tuto podmínku jsme uplatnili jiº p°i °e²ení p°edchozího p°í-kladu). Z ní vyplývá vztah mezi zrychlením st°edu hmotnosti cívky a úhlovýmzrychlením

ε =a

r, (3.31)

Z rovnic (3.29), (3.30) a (3.31) jiº dostáváme výsledky

a =Mgr2

J +Mr2, T =

MgJ

J +Mr2.

Z výsledk· vidíme, ºe je nutné znát hmotnost joja, jeho vnit°ní polom¥r a jehomoment setrva£nosti. Dokázali byste moment setrva£nosti dokázali vypo£ítat?A pro£ jsme zadávali vn¥j²í polom¥r cívky R, kdyº ve výsledku nevystupuje?Promyslete, jak by se °e²ení této jednoduché úlohy zkomplikovalo, kdybychomupustili od p°edpokladu, ºe lanko má stále svislý sm¥r?

Pohyb joja , který jsme práv¥ vy°e²ili, je ov²em jednodu²²í neº pohyb p°i sku-te£ném zacházení s touto hra£kou. Víme, ºe p°i hraní není lanko na pevnémzáv¥su, ale drºíme je v ruce, takºe tahová síla m·ºe být a také v praxi je pro-m¥nná. Jojo jezdí nahoru a dol· v tom spo£ívá obliba této hra£ky. Zkusmepopsat nejjednodu²²í situaci, kdy se jojo vrátí. Tato situace nastane i p°i pev-ném záv¥su, kdyº se lanko pevn¥ p°ipojené k cívce upln¥ rozmotá, cívka se stáleto£í jedním sm¥rem a lanko se na ni za£ne op¥t navíjet viz pravou £ást Obr.3.16. Vektorový zápis impulsových v¥t je stejný jako p°i pohybu cívky sm¥remdol·. orientace momentu tahové síly je v²ak nyní opa£ná, a proto úhlové zrych-lení ε sm¥°uje dop°edu, ve sm¥ru kladné osy z, tj. ε = (0, 0, ε). Rota£ní pohybi pohyb st°edu hmotnosti se zpomalují, vektor zrychlení st°edu hmotnosti má


sloºky a = (a, 0, 0). P°itom stále platí vazební podmínka (3.31). Zápis impul-sových v¥t ve sloºkách je shodný se situací, kdy se cívka pohybuje dol·, platírovnice (3.29), (3.30) a (3.31), shodné je proto i °e²ení. ♠

Následující p°íklad je obdobný, je v²ak pon¥kud obtíºn¥j²í.

P°íklad 3.12. Jojo na kladce.

P°es válcovou kladku o hmotnosti mk a polom¥ru rk je lankem spojen kvádro hmotnosti m a válec o hmotnosti M a polom¥ru R. Lanko je navinuto naobvod válce. P°edpokládáme, ºe je nepruºné, má zanedbatelnou hmotnost asvislý sm¥r, po obvodu válce neklouºe. T¥lesa jsou tuhá a homogenní, k odporuvzduchu nep°ihlíºíme. Ur£íme zrychlení st°edu hmotnosti válce, zrychlení kvádrua v²echny síly p·soobící na soustavu. Podobn¥ jako u joja p°edpokládejme, ºesoustavu pouze uvolníme z klidu, v n¥mº ji drºíme dodate£nými silami.

Neº zformulujeme impulsové v¥ty, uv¥domíme si, jaké síly na jednotlivá t¥lesap·sobí (viz Obr. 3.17).


F

mg

T1 T

2

mkg

mkr

g

m

1

k

M

R

Mg

−T−T

2

Obr. 3.17: Cívka na lan¥ vedeném p°es kladku

Na kvádr p·sobí tíhová síla mg umíst¥ná v jeho st°edu hmotnosti a tahová sílalanka T1 v bod¥ uchycení lanka. (V p°ípad¥ kvádru, který v této úloze m·ºemepokládat za hmotný bod, nebo´ jeho pohyb je pouze transla£ní, specikujemep·sobi²t¥ sil pouze pro úplnost.) Na válec p·sobí tíhová síla Mg umíst¥ná vjeho st°edu hmotnosti a tahová síla lanka T2 podle obrázku (viz téº komentá° v


poznámce v p°íkladu 3.9). Na kladku p·sobí v jejím st°edu hmotnosti tíhová sílamkg, po stranách jejího obvodu tahové síly lanka −T1 a −T2 a v bod¥ záv¥sutahová síla F . Napí²eme druhý Newton·v zákon (první impulsovou v¥tu) prokvádr a ob¥ impulsové v¥ty pro válec a kladku. Soustavu sou°adnic zvolíme jakoobvykle osu x sm¥rem dol·, osu y doprava a osu z dop°edu. Vztaºným bodempro výpo£et moment· v p°ípad¥ kladky bude bod jejího záv¥su (p°esn¥ji který-koli bod záv¥sné osy, která je sou£asn¥ osou rotace kladky), vztaºným bodempro výpo£et moment· v p°ípad¥ válce bude kterýkoli bod na jeho geometrickéose, která je zárove¬ osou jeho rotace. První impolsovou v¥tu formulujeme prov²echna t¥lesa v interciální vztaºné soustav¥. Platí

ma = mg + T1,

MA = Mg + T2,

Jε = MMg + MT2= MT2

, (3.32)

0 = mkg − T1 − T2 + F ,

Jkεk = Mmk g + M−T1+ M−T2

+ MF = M−T1+ M−T2

.

V p°edchozích rovnicích je pro moment setrva£nosti válce vzhledem j jeho osepouºito symbolu J , moment setrvva£nosti kladky vzhledem k její ose je ozna£enJk. Platí

J =1

2Mr2, Jk =

1

2mkr

2k.

Sou°adnicové zápisy uvedeme jiº jen pro ty sloºky rovnic, které nejsou a priorinulové,

max = mg − T1,

MAx = Mg − T2,

Jεz = −RT2, (3.33)

0 = mkg + T1 + T2 − F,

Jk(εk)z = −rkT2 + rkT1.

Podobn¥ jako v p°edchozích situacích pot°ebujeme vazební podmínky, nebo´p°edchozí soustava p¥ti rovnic obsahuje sedm neznámých, ax, Ax, εz, (εk)z, T1,T2 a F . Z poºadavku, aby lanko po kladce neklouzalo, plyne vazba mezi zrych-lením kvádru a úhlovým zrychlením kladky. Lanko nemá klouzat ani po válci,takºe velikost relativního zrychlení jeho st°edu hmotnosti vzhledem k lanku,které se z válce odvíjí, je rovna obvodovému zrychlení p°i jeho rotaci. Toto re-lativní zrychlení je arel = A − (−a) = A + a (zrychlení t¥lesa m je a, takºezrychlení bod· svislého nepruºného lanka na prot¥j²í stran¥ je −a).

εk =a

rk, ε =

|A+ a|R

.

V pohybových rovnicích (3.33) v²ak nevystupují velikosti zrychlení a úhlovýchzrychlení, ale jejich sloºky. Ur£íme jejich znaménka. Moment tahové síly T2,


který podle t°etí z vektorových rovnic (3.32) ur£uje úhlové zrychlení ε, sm¥°ujedozadu. Proto je εz < 0, tj. ε = (0, 0, −ε). Pro ur£ení znaménka sloºky (εk)zmusíme p°edpokládat sm¥r urychlování otá£ivého pohybu kladky. Rozeberemev²echny moºné situace.

Situace 1. Dejme tomu, ºe se kladka roztá£í po sm¥ru hodinových ru£i£ek.Pak její úhlové zrychlení sm¥°uje dozadu, tj. (εk)z = −εk. V takovém p°ípad¥sm¥°uje zrychlení t¥lesa m vzh·ru, tj. ax = −a, a zrychlení válce dol·, Ax = A.Velikost relativního zrychlení arel je A − a. Po dosazení za εz a (εk)z z vazeb-ních podmínek, dosazení za momenty setrva£nosti a malé úprav¥ dostáváme p¥trovnic pro p¥t neznámých, a, A, T1, T2 a F :

−ma = mg − T1,

MA = Mg − T2,1

2M(A− a) = T2,

1

2mka = T2 − T1.

e²ením této soustavy dostaneme

A = 2gmk +m+M

3mk + 6m+ 2M,

a = 2gM − 3m

3mk + 6m+ 2M,

T1 = mg3mk + 4M

3mk + 6m+ 2M, (3.34)

(3.35)

T2 = Mgmk + 4m

3mk + 6m+ 2M,

F = mkg + T1 + T2.

Z výsledk· vidíme, ºe p°edpoklad o sm¥ru roztá£ení kladky je správný pro M ≥3m. Prove¤me je²t¥ orienta£ní kontrolu správnosti na²ich výsledk· nejdeo skute£nou dokonalou kontrolu, ale o pouºití pon¥kud sloºit¥j²ích výslednýchvztah· pro jisté mezní situace, v nichº dokáºeme správnost výsledk· odhadnout.

• Nekone£n¥hmotná kladka, tj. mk →∞: Jedná se o situaci, kdy s kladkunep·jde ani hodn¥ velkými silami rozto£it. O£ekáváme, ºe zrychlení kvádrubude nulové, síla napínající lanko, na n¥mº kvádr visí, bude rovna −mg,zrychlení válce bude rovno zrychlení joja z p°edchozího p°íkladu, jehoºmoment setrva£nosti je 1

2MR2, tj. A = 23 g. A skute£n¥, ze vztah· (3.34)

snadno ur£íme limity

limmk→∞

a = 0, limmk→∞

A =2

3g, lim

mk→∞T1 = mg,


jejichº hodnoty potvrzují ná² odhad.

• Nekone£n¥hmotný kvádr, tj.m→∞: O£ekaváme, ºe takový kvádr budepadat s tíhovým zrychlením, nebo´ tahová síla lanka T1 nem·ºe nekone£n¥velkou tíhovou sílu mg nijak ovlivnit. Lanko na stran¥ válce se pohybujese zrychlením −g a st°ed hmotnosti válce by m¥l v·£i lanku padat sezrychlením 2

3 g. M¥lop by proto v limit¥ vyjít A = 13 g. Výsledný moment sil

−T1 a −T2 by m¥l být takový, aby kladku rozto£il s obvodovým zrychlenímg, tj. (T1 − T2) =

12mkg. Výpo£et limit ukáºe, ºe

limm→∞

a = g, limm→∞

A =1

3g, lim

m→∞(T1−T2) =

g

6(3mk+4M)−2Mg

3=

1

2mkg.

Odhad se op¥t ukázal správným.

• Nehmotná kladka, tj.mk = 0: Nehmotná kladka by m¥la nulový momentsetrva£nosti. Proto musí být výsledný moment sil, které ji roztá£ejí, nulový,jinak by její úhlové zrychlení bylo neomezen¥ velké. V limit¥ mk → 0 byproto m¥l rozdíl velikostí sil T1 a T2 vyjít nulový. Uº pouhým dosazenímmk = 0 dostaneme

T1 = T2 =2mM

3m+Mg.

Op¥t jsme o£ekávaný výsledek potvrdili.

• Nakonec si je²t¥ v²imn¥me p°ípadu, kdy 3m = M . Ze vztah· pro °e²ení(3.34) dostáváme

a = 0, A =2

3g, T1 = T2 = mg.

Tento výsledek znamená, ºe se soustava chová jako jojo na pevném záv¥su kvádr vlevo vyvaºuje soustavu práv¥ tak, ºe je v klidu, kladka se neto£í(pop°ípad¥ se kvádr pohybuje rovnom¥rn¥ a kladka se rovnom¥rn¥ otá£í).

Situace 2. Pokud M ≥ 3m nerovnost není spln¥na, musíme uváºit opa£ný sm¥rroztá£ení kladky. Závaºí (kvádr) se pak zrychluje sm¥rem dol·, tj. ax = a. Bodysvislého lanka na stran¥ válce se pohybují se zrychlením −a. Úhlové zrychleníkladky má sm¥r kladné osy z, tj. (εk)z = εk = a

rk. Úhlové zrychlení válce je op¥t

orientováno ve sm¥ru záporné osy z, souhlasn¥ s momentem MT2tahové síly T2,

jehoº orientace je stejná jako v p°echozím p°ípad¥. Obvodové zrychlení válceje a + A, vazební podmínka má tvar ε = a+A

R . Zapí²eme pohybové rovnice vesloºkách a vy°e²íme je, rozbor fyzikálního významu výsledk· ponecháme £tená°i.

První £ty°i z pohybových rovnic (3.33) budou mít po dosazení vazebníchpodmínek a moment· setrva£nosti tvar

ma = mg − T1,

MA = Mg − T2,1

2M(a+A) = T2,

1

2mka = T1 − T2.


Jejich °e²ením je shodné s (3.34) az na vztah pro a, kde je nyní v £itateli výraz3m−M . ♠

P°íklad 3.13. Fyzické a reversní kyvadlo.

Pohybem tuhého t¥lesa kolem pevné osy je také kmitavý pohyb tzv. fyzickéhokyvadla. Jde o soustavu znázorn¥nou na Obr. 3.18.

2

mg

F

g

O

SH

lϕ

O

O1

2

m

=l l1+l

Obr. 3.18: Fyzické a reversní kyvadlo

Na kyvadlo p·sobí tíhová síla mg, kterou, jak víme z odstavce 3.1.3, m·ºemeumístit do st°edu hmotnosti kyvadla, a tahová síla záv¥su F v bod¥ O. Osarotace je kolmá k rovin¥, v níº kyvadlo kmitá. Její polohu je vhodné zvolit tak,aby procházela bu¤ bodem O, nebo st°edem hmotnosti. První volba výpo£etzna£n¥ zjednodu²í, nebo´ v bod¥ O p°ímo p·sobí F . Usnadn¥ní spo£ívá v tom,ºe moment této zatím neznámé síly vzhledem k bodu O je nulový. Pohybovourovnici kyvadla pak dostaneme ze samotné druhé impulsové v¥ty, p°i jejíº for-mulaci nesmíme zapomn¥t, ºe moment setrva£nosti kyvadla vzhledem k ose ose °ídí Steinerovou v¥tou, Jo = JoSH +mℓ2. Symbolem ℓ jsme ozna£ili vzdále-nost bodu O od st°edu hmotnosti. Druhá impulsová v¥ta má tvar Joε = MMg.Zvolíme-li osu z soustavy sou°adnic kolmo k rovin¥ kmit· kyvadla a namí°íme-liji nap°íklad dop°edu, dostaneme pro jedinou nenulovou sloºku vektor· na levéa pravé stran¥ p°edchozí vektorové rovnice (z-ovou) vztah(

JoSH +mℓ2)ε = −mgℓ sinφ,


kde φ je úhlová výchylka kyvadla, vyzna£ená rovn¥º v obrázku. Pro malé kmityvyuºijeme aproximace sinφ

.= φ, podobn¥ jako jsme to provedli u matematic-

kého kyvadla. Dostaneme pohybovou rovnici, jejíº °e²ení uº dokáºeme rovnounapsat a ur£it periodu kmit· kyvadla (viz odstavec 2.4.2):

φ+mgℓ

JoSH +mℓ2φ = 0, ω2 =

mgℓ

JoSH +mℓ2, T = 2π

√JoSH

+mℓ2

mgℓ. (3.36)

Matematické kyvadlo je samoz°ejm¥ speciálním p°ípadem obecné situace, mo-ment setrva£nosti vzhledem k ose procházející kuli£kou kyvadla (hmotným bo-dem je nulový). Dosazením JoSH = 0 do vztah· (3.36) skute£n¥ dostanemeodpovídající vztahy pro matematické kyvadlo, jak jsme je odvodili v p°íkladu2.10.

Problém fyzického kyvadla jsme v²ak je²t¥ nevy°e²ili v úplnosti. Je je²t¥t°eba ur£it £asový pr·b¥h síly, jíº p·sobí na kyvadlo záv¥s. K tomu sta£í formu-lovat první impulsovou v¥tu. Ozna£me jako obvykle zrychlení st°edu hmotnostikyvadla a. Platí ma = mg + F . K rozkladu do sloºek pouºijeme, jak je u po-hybu pokruºnici zvykem (a st°ed hmotnosti se po kruºnici pohybuje), te£nu anormálu. Pak

mat = −mg sinφ+ Ft =⇒ Ft = mℓε+mg sinφ =JoSH

mg sinφ

JoSH+mℓ2

man = −mg cosφ+ Fn =⇒ Fn = mφ2ℓ+mg cosφ,

kde φ(t) získáme °e²ením pohybové rovnice (v aproximaci malých výchylek,kterou také m·ºeme pouºít p°i vyjád°ení sloºek síly F ).

A je²t¥ pro po°ádek a procvi£ení ov¥°me, ºe vztáhneme-li druhou impulsovouv¥tu k ose prochájící st°edem hmotnosti kyvadla, dostaneme stejné výsledky.Úhlové zrychlení ε popisuje £istou rotaci, proto bude vzhledem k ob¥ma osámstejné. Druhá impulsová v¥ta má tvar

JoSHε = MF =⇒ JoSH

ε = −Ftℓ.

Dosadíme-li za Ft z první impulsové v¥ty (viz vý²e), dostaneme

JoSHε = −JoSH

mgℓ sinφ

JoSH +mℓ2=⇒ (JoSH

+mℓ2)ε+mgℓ sinφ = 0,

a to je o£ekávaná pohybová rovnice (3.36).

Pohyb fyzického kyvadla se vyzna£uje zajímavostmi. Dejme tomu, ºe si p°edemur£íme, s jakou periodou má kyvadlo kmitat a budeme hledat, jak daleko odst°edu hmotnosti umístit záv¥s. Znamená to, ºe vztah pro periodu uvedenýv (3.36) chápeme jako rovnici pro neznámou ℓ. Tato rovnice je kvadratická.Pro zjednodu²ení zápisu v ní ozna£me moment setrva£nosti JoSH jednodu²epísmenem J . Platí

T = 2π

√J +mℓ2

mgℓ=⇒ ℓ2 − gT 2

4π2ℓ+

J

m= 0.


Ze známých vztah· pro ko°eny x1 a x2 kvadratické rovnice x2 + px + q = 0,x1 + x2 = −p, x1x2 = q dostaneme

ℓ1 + ℓ2 =gT 2

4π2, ℓ1ℓ2 =

J

m.

Z výsledk· je vid¥t, ºe kolem libovolné osy rovnob¥ºné s osou o0 a vedenéve vzdálenosti ℓ1 nebo ℓ2 od osy o0 bude kyvadlo kmitat s periodou T . Tétovlastnosti je vyuºito u tzv. reversního kyvadla. Je znázorn¥no v pravé £ástiObr.3.18. Body záv¥su O1 a O2 mají pevnou vzdálenosti ℓ v praxi jsou realizoványb°ity, které se umisújí do záv¥sného l·ºka. Závaºí m je posuvné, pomocí jehoposuv· lze posouvat st°ed hmotnosti kyvadla tak, aby doba kmitu vzhledem kosám o1 a o2 byla stejná. Ze vztahu mezi periodou T , a vzdáleností ℓ = ℓ1+ℓ2, tj.mezi veli£inami, které lze zm¥°it s pom¥rn¥ dobrou p°esností (p°i standardníchtechnickém provedení kyvadla cca 0, 1%), m·ºeme ur£it tíhové zrychlení,

ℓ =gT 2

4π2=⇒ g =

4π2ℓ

T 2,

rovn¥º s dobrou relativní p°esností, °ádu 0, 5%. ♠

P°íklad 3.14. Pr·jezd zatá£kou.Obvyklá a zna£n¥ zjednodu²ená otázka, jak rychle smí je²t¥ motocyklista pro-jet plochou kruhovou zatá£kou o daném polom¥ru R, aby nedostal smyk, sev u£ebnicích £asto °e²í pro aproximaci motocyklisty hmotným bodem. Tak toodpovídá nákresu v levé £ásti Obr. 3.19. Úvaha bývá následující: Na motocy-klistu p·sobí tíhová síla mg, tlaková síla podloºky N a statická t°ecí síla Ts. Zap°edpokladu, ºe pr·jezd zatá£kou je rovnom¥rný, je výslednice t¥chto sil práv¥pot°ebnou silou dost°edivou, tj.

mv2

Rn = mg + N + Ts,

kde n je jednotkový vektor hlavní normály k trajektorii. Z této rovnice je z°ejmé,ºe tíhová a tlaková síla se kompenzují a statická t°ecí síla sama p°edstavujedost°edivou sílu. Platí

N = mg,mv2

R= Ts.

Aby nedo²lo ke smyku, nesmí hodnota Ts, závislá na rychlosti, p°ekro£it maxi-mální p°ípustnou velikost Ts,max = Nfs = mgfs, kde fs je koecient statickét°ecí síly. Podmínka omezující rychlost má proto nakonec tvar

v ≤√gRfs

.= 14, 6m s−1, resp. 11, 7m s−1

pro pr·jezd zatá£kou o polom¥ru R = 40m na suchém (fs = 0, 55), resp.mokrém (fs = 0, 35) asfaltu. Pro tíhové zrychlení jsme pouºili hodnotu g =9, 8m s−2 a protoºe jde o hodnoty, které nemají být p°ekro£eny, zaokrouhlovalijsme výsledky dol·. Mokrou zatá£ku tak projede motorista bezpe£n¥ zhruba £ty-°icítkou (p°esn¥ji 42 kmh−1), v suché zatá£ce m·ºe jet padesátkou (52 kmh−1).


(Z výsledk· je hned vid¥t, pro£ zku²ení °idi£i zatá£ku tzv. °eºou . Zv¥t²ují tímpolom¥r k°ivosti zatá£ky a mohou tak jet rychleji.)

Zdá se, ºe jezdce na motorce m·ºeme modelovat hmotným bodem a druhouimpulsovou v¥tu ani nepot°ebujeme. Ta v²ak tato úvaha správná, £i p°esná?

N

z

y

N+TS

S

L

θ

O

T TS

mgmg

N

Obr. 3.19: Pr·jezd plochou zatá£kou poprvé

P°i sledování závod· na ploché dráze i p°i pozorování motocyklist· na oby£ejnésilnici vidíme, ºe se motorista v zatá£ce naklání. Model hmotného bodu ne-bude z°ejm¥ tak zcela výstiºný. Situaci ukazuje Obr. 3.19 vpravo. Za soustavu(t¥leso) povaºujeme jezdce a motorkou a p°edpokládáme, ºe toto modelové t¥-leso je tuhé. Aplikace první impulsové v¥ty nás p°ivede ke stejnému výsledkupro omezení rychlosti, jako jsme získali pro hmotný bod. Druhá impulsová v¥taumoºní zjistit úhel sklonu θ. Jednoduchý postup ur£ení tohoto úhlu, který na-jdeme ve standardních u£ebnicích, vychází z poºadavku, aby p°ímka, v níº leºísou£et vázaných vektor· N a Ts, procházela st°edem hmotnosti t¥lesa. Tím jezaji²t¥no, ºe výsledný moment vn¥j²ích sil p·sobících na t¥leso je nulový. Proúhel θ dostaneme p°ímo z obrázku vztah

tg θ =N

Ts=

mg

Ts=

gR

v2≥ 1

fs.

Z výsledku je vid¥t, ºe p°i rychlej²ím pr·jezdu zatá£kou musí být stroj vícenaklon¥n, úhel sklonu v²ak nesmí klesnout pod jistou mezní hodnotu statickýmkoecientem t°ení. Projíºdí-li motocyklista zatá£ku práv¥ maximální p°ípustnourychlostí, je tangenta úhlu sklonu rovna p°evrácené hodnot¥ tohoto koecientu.Jízd¥ na suchém asfaltu odpovídá zhruba úhel 61o, na mokrém 71o.

Poloºme si v²ak znovu otázku, zda p°edchozí, oproti modelu hmotného boduz°esn¥ný p°ístup, je zcela správný, pop°ípad¥ je-li jiº nyní dostate£n¥ p°esný.Jedna z nep°esností je vid¥t okamºit¥ skute£ný polom¥r kruºnice, po které


se pohybuje st°ed hmotnosti t¥lesa, není R, nýbrº R − L2 cos θ, kde L je délka

t¥lesa za p°edpokladu jeho nahrazení modelem ty£e. v praxi je ov²em délka Lzanedbatelná vzhledem k R, takºe výsledek je v rozumné aproximaci v po°ádku.Závaºn¥j²í je v²ak chyba fve fyzikální úvaze: Základem pro stanovení úhlu ná-klonu motocyklisty byl poºadavek, aby výsledný moment p·sobících vn¥j²ích silvzhledem ke st°edu hmotnosti byl nulový. Podle druhé impulsové v¥ty by to zna-menalo, ºe se moment hybnosti t¥lesa (jak víme, tvo°eného jezdcem na motorce)nem¥ní. Tak tomu ale ve skute£nosti není t¥leso, které m·ºeme modelovatt°eba homogenní a tuhou naklon¥nou ty£í délky L, se zárove¬ otá£í kolem svisléosy procházející st°edem hmotnosti (b¥hem jednoho pr·jezdu po celé kruºnicio polom¥ru R by se kolem této osy oto£ilo jednou). Výsledky, které jsme zís-kali, v²ak nejsou úpln¥ ²patné v praktických situacích, kdy rozm¥ry t¥lesa(konkrétn¥ vý²ka jezdce na motorce) jsou zanedbatelné vzhledem k polom¥ruzatá£ky, jsou dobrou aproximací skute£nosti.

Pokud se s p°edchozím konstatováním o aproximativních výsledcích nespokojíme, m·ºeme zjis-

tit, jaký vliv na n¥ mají vý²e zmín¥né chyby. Pro podrobn¥j²í popis pohybu zvolme vztaºnou

soustavu S podle Obr. 3.20.

θvA

vA

ωtω

xy

S z

P

S R S

0P

A0

0O

y

x

S0

R− L2

A

O

Obr. 3.20: Pr·jezd plochou zatá£kou podruhé

Po£átek soustavy sou°adnic O je ve st°edu hmotnosti t¥lesa. Osa z je svislá a osa y mí°í vpravo,jak je vyzna£eno jiº v Obr. 3.19. Osa x sm¥°uje dop°edu. Jestliºe v okamºiku t = 0 má bodkontaktu t¥lesa s podloºkou sou°adnice (0, 0, 0), pak v okamºiku t svírá pr·vodi£ p·dorysnéhopr·m¥ru bodu O s osou y úhel φ = ωt. Tato soustava, spojená se st°edem hmotnosti t¥lesa,je neinerciální, vzhledem k inerciálním soustavám v²ak nerotuje. Spl¬uje proto poºadavekpro formulaci druhé impulsové v¥ty ve formáln¥ stejném tvaru jako v soustav¥ interciální (vizodstavec 3.1.3). V levé £ásti Obr. 3.10 je prostorový nákres, v pravé £ásti p·dporys. Pozor navýznam symbol· v obrázcích. V bod¥ A je obecný hmotný element ty£e, vzhledem k soustav¥S má polohový vektor

rA = (ϱA cos θ sinωt, ϱA cos θ cosωt, ϱA sin θ), kde ϱA = OA ∈(−L

2,L

2

).


Okamºitá rychlost tohoto elementu vzhledem k soustav¥ S je

vA = (ωϱA cos θ cosωt, −ωϱA cos θ sinωt, 0), kde ϱA cos θ = O0A0.

Rychlost st°edu hmotnosti vzhledem k inerciální vztaºné soustav¥ ozna£íme jako v p°edchozích

úvahách v. (V Obr. 3.20 není zakreslena, aby se v n¥m nemíchala ozna£ení vektor· vzhledem

k r·zným vztaºným soustavám.)První impulsovou v¥tu musíme samoz°ejm¥ formulovat vzhledem k inerciální vztaºné

soustav¥. Platí, obdobn¥ jako v p°edchozích úvahách,

mv2

R− ℓ2cos θ

n = mg + N + Ts =⇒

mv2

R− L2cos θ

= Ts, N = mg, (3.37)

zp°esn¥ní spo£ívá v tom, ºe jsme vzali v úvahu skute£ný polom¥r kruºnice, po které se pohybuje

st°ed hmotnosti t¥lesa.Nyní formulujeme druhou impulsovou v¥tu vzhledem k neinerciální vztaºné soustav¥ S.

Moment hybnosti elementu vzhledem k této soustav¥ je

dℓA = rA × vA dmA = sS(ωϱ2A sin θ cos θ sinωt, ωϱ2A sin θ cos θ cosωt, −ωϱ2A cos2 θ

)dϱA,

kde s je hustota ty£e a S její pr·°ez. Moment hybnosti celé ty£e pak snadno vypo£temeintegrací podle prom¥nné ϱA v intervalu (−L/2, L/2),

ℓ =1

12mL2ω

(sin θ cos θ sinωt, , sin θ cos θ cosωt, − cos2 θ

).

Derivováním podle £asu dostaneme

dℓ

dt=

1

12mL2ω2 (sin θ cos θ cosωt, − sin θ cos θ sinωt, 0) .

Síly Ts a N , které p°ispívají do druhé impulsové v¥ty nenulovými momenty, mají v soustav¥S sloºky

Ts = (Ts sinωt, Ts cosωt, 0) , N = (0, 0, N) = (0, 0, mg) .

Jejich výsledný moment vzhledem k bodu O je, samoz°ejm¥ op¥t v soustav¥ S,

M = OP × Ts + OP × N, OP = −L

2(cos θ sinωt, cos θ cosωt, sin θ) ,

M =L

2(−mg cos θ cosωt+ Ts sin θ cosωt, mg cos θ sinωt− Ts sin θ sinωt, 0) .

Porovnáme-li sloºky vektor· ˙ℓ a M , v souladu s platností druhé impulsové v¥ty, dostáváme

nakonec1

6mω2L sin θ cos θ = −mg cos θ + Ts sin θ. (3.38)

Dosazením za Ts z rovnice (3.37) a za ω ze vztahu v = ω(R− L

2cos θ

)do (3.38) a po úprav¥

dostanememv2 sin θ

R− L2cos θ

(1−

1

6

L cos θ

R− L2cos θ

)= mg cos θ. (3.39)

Touto rovnicí je v principu ur£en úhel naklon¥ní motocyklisty p°i dané rychlosti v, která jesamoz°ejm¥ omezena podmínkou

Ts ≤ Nfs =⇒ v2 ≤ gfs

(R−

L

2cos θ

).

Pokud úhel θ neznáme, je jist¥j²í dodrºet pro rychlost podmínku v2 ≤ gfs(R− L2). Vzhledem

k tomu, ºe hodnota L je v praxi zanedbatelná vzhledem k polom¥ru zatá£ky, dostáváme pro


omezení rychlosti v podstat¥ totéº, jako v nejjednodu²²ím p°ípad¥, kdy jsme motocyklistu na-

hradili hmotným bodem. e²it zapeklitou rovnici (3.39) vzhledem k neznámému úhlu θ není

rozumn¥ sch·dné. Pouºijeme-li op¥t aproximaci, která odpovídá praktickým situacím, m·ºeme

hodnotu L/2 ve jmenovatelích zlomk· v této rovnici zase zanedbat, stejn¥ jako m·ºeme uvnit°

závorky zanedbat hodnotu 16

L cos θR−(L/2) cos θ

vzhledem k jedni£ce. Pro úhel θ dostáváme v této

aproximaxi stejný výsledek jako kdyº jsme pominuli fakt, ºe se motocyklista otá£í i kolem své

osy. Zdá se, ºe jsme za cenu komplikací p°i po°ádných výpo£tech nic nezískali. Není to tak

docela pravda porozum¥li jsme lépe impulsovým v¥tám a ud¥lali si jasno, co je správné

a p°esné a co je prakticky p°ijatelná aproximace. V dal²í £ásti úlohy budeme °e²it pr·jezd

klopenou zatá£kou jiº p°ímo v této aproximaci.

Úloha o pr·jezdu klopenou zatá£kou je jen jednoduchým zobecn¥ním p°edchozíúlohy s plochou zatá£kou. Obr. 3.21 op¥t názorn¥ ukazuje situaci. Úhel klopenízatá£ky jsme ozna£ili α.

θ

nO

N+TS

Nz

y

α

mg

TS

Obr. 3.21: Pr·jezd klopenou zatá£kou

První impulsová v¥ta má tvar

mv2

Rn = mg + Ts + N ,

ve sloºkách

mv2

R= Ts cosα+N sinα, 0 = −mg +N cosα− Ts sinα.

e²ením této soustavy vzhledem k neznámým Ts a N dostaneme

Ts =mv2

Rcosα−mg sinα, N =

mv2

Rsinα+mg cosα.


Omezení rychlosti vyplývá op¥t z podmínky

Ts ≤ Ts,max = Nfs =⇒ mv2

Rcosα−mg sinα ≤

(mv2

Rsinα+mg cosα

)fs =⇒

v2 ≤ gRsinα+ fs cosα

cosα− fs sinα, tj. v ≤

√gR

sinα+ fs cosα

cosα− fs sinα, tgα ≤ 1

fs.

Na Obr. 3.22 je graf závislosti maximální p°ípustné rychlosti na úhlu klopenízatá£ky pro g = 9, 8m s−2, R = 40m a fs = 0, 55 (guma na suchém asfaltu).

Obr. 3.22: Pr·jezd klopenou zatá£kou maximální rychlost jakofunkce úhlu klopení

Pro α = 0 dostáváme stejný výsledek jako pro plochou zatá£ku, coº jsme po-chopiteln¥ o£ekávali.

Zbývá ur£it úhel θ. Pouºijeme op¥t aproximaci, kdy jezdce na motorce na-hrazujeme ty£í, jejíº délka je zaneedbatelná oproti polom¥ru zatá£ky. V tétoaproximaci poºadujeme nulovost výsledného momentu sil Ts a N vzhledem kest°edu hmotnosti t¥lesa. Dostaneme, stejn¥ jako u ploché zatá£ky, vztah

tg θ =N

Ts,

dosadit v²ak musíme hodnoty Ts a N vypo£tené pro klopenou zatá£ku, tj.

tg θ =mv2 sinα+mgR cosα

mv2 cosα−mgR sinα.

Zatímco u ploché zatá£ky nebylo moºné, aby se jezdec nenaklonil, tj. nedalo sedocílit hodnoty θ = 90o, v p°ípad¥ pr·jezdu klopenou zatá£kou to moºné je.Tato situace nastane pro mv2 cosα−mgR sinα, tj. p°i rychlosti v =

√gR tgα.

Dal²í diskusi výsledk· úlohy jiº prove¤te sami. ♠

3.2.4 Rotace tuhého t¥lesa kolem pevného boduV p°edchozím odstavci jsme se zabývali rota£ním pohybem tuhého t¥lesa v p°ípad¥, ºe p°i

n¥m z·stávala celá p°ímka (pevná osa) v klidu. V p°ípad¥ rotace kolem pevného bodu budepevný jeden bod, ozna£me jej O. Do n¥j umístíme po£átek vztaºné soustavy (tj. i soustavysou°adnic). Popis obecného rota£ního pohybu t¥lesa je jiº pom¥rn¥ sloºitý. Rotaci kolem pevnéosy jsme mohli popsat snadno v inerciální vztaºné soustav¥, nebo´ díky existenci pevné osy,a tedy pevného sm¥ru úhlové rychlosti t¥lesa, se zápis druhé impulsové v¥ty p°irozeným zp·-sobem rozpadl na pr·m¥t do osy a pr·m¥t do roviny k této ose kolmé. V p°ípad¥ obecnérotace je samoz°ejm¥ takový rozklad op¥t moºný, pro praktické výpo£ty v²ak nijak uºite£ný,nebo´ okamºitá osa rotace se s £asem neustále m¥ní. M·ºeme v²ak stále vyuºít skute£nosti,ºe úhlová rychlost ω(t) je spole£ná v²em £ásticím, resp. hmotným element·m t¥lesa toplyne z p°edpokladu, ºe je t¥leso tuhé. Tento p°edpoklad zaji²úje moºnost zvolit vztaºnousoustavu takzvan¥ pevnou v t¥lese, v·£i níº budou v²echny £ástice t¥lesa v klidu (pozorovatel


spojený s touto soustavou nezaznamená ºádný pohyb). Potíº je v tom, ºe taková soustavabude neinerciální, a my máme druhou impulsovou v¥tu k dispozici zatím pouze v soustav¥inerciální. Tento nedostatek je t°eba napravit. Nejvýhodn¥j²í soustavou pevnou v t¥lese jesoustava, jejíº po£átek je, jak jiº bylo °e²eno, v pevném bod¥ O a sou°adnicovými osami jsouhlavní osy tenzoru momentu setrva£nosti. Výhoda takové volby je dvojí: v soustav¥ spojenépevn¥ s tuhým t¥lesem má tenzor momentu setrva£nosti £asov¥ neprom¥nné sloºky, v sou-stav¥ sou°adnic spojené s jeho hlavními osami má dokonce diagonální tvar viz odstavec3.2.2. Ozna£me tuto výhodnou soustavu S ′, inerciální soustavu spojenou s pevným bodemozna£me S. A bude-li to t°eba, zjednodu²íme si úvahy je²t¥ tím, ºe za pevný bod O zvolímest°ed hmotnosti t¥lesa. V soustav¥ S má moment hybnosti t¥lesa sloºky ℓS = (ℓ1, ℓ2, ℓ3),v soustav¥ S ′ sloºky ℓS ′ = (ℓ′1, ℓ

′2, ℓ

′3). Úhlová rychlost ω(t), kterou t¥leso rotuje vzhledem

k soustav¥ S je v soustav¥ S ′ vyjád°ena sloºkami ω = (ω′1, ω

′2, ω

′3). Pro derivaci momentu

hybnosti podle £asu v soustav¥ S a S ′ platí vztah typu (1.63), tj.(dℓ

dt

)S

=

(dℓ

dt

)S ′

+ ω × ℓS ′ . (3.40)

Formulaci druhé impulsové v¥ty máme k dispozici pouze pro inerciální vztaºné soustavy, po-p°ípad¥ pro speciální neinerciální soustavy takové, které jsou spojeny se at°edme hmotnostit¥lesa a jejich osy vzhledem k interciálním soustavám nerozují. Pot°ebujeme v²ak pohybovourovnici pro moment hybnosti t¥lesa vztaºený k inerciální soustav¥ S, ale ve sloºkách zapsanýv soustav¥ S ′. Abychom jej získali, musíme do druhé impulsové v¥ty dosadit pravou stranutransforma£ního vzorce (3.40), tj.(

dℓ

dt

)S ′

+ ω × ℓS ′ = MextS ′ . (3.41)

Zápisem MextS ′ se rozumí, ºe výsledný moment vn¥j²ích skute£ných sil rozepisujeme do sloºek

v soustav¥ S ′. Ve sloºkách pak dostaneme trv. Eulerovy rovnice

ℓ′1 + ω′2ℓ

′3 − ω′

3ℓ′2 = (Mext)′1

ℓ′2 + ω′3ℓ

′1 − ω′

1ℓ′3 = (Mext)′2 (3.42)

ℓ′3 + ω′1ℓ

′2 − ω′

2ℓ′1 = (Mext)′3

(3.43)

Pro sloºky momentu hybnosti platí

ℓ′1 = J1ω′1, ℓ′2 = J2ω

′2, ℓ′1 = J3ω

′3.

(Hned je vid¥t výhodnost volby soustavy spojené s hlavními osami tenzoru momentu setr-va£nosti t¥lesa.) Dosazením do rovnic (3.42) dostaneme soustavu diferenciálních rovnic prosloºky úhlové rychlosti

J1ω′1 + (J3 − J2)ω

′2ω

′3 = (Mext)′1,

J2ω′2 + (J1 − J2)ω

′1ω

′3 = (Mext)′2, (3.44)

J3ω′3 + (J2 − J1)ω

′1ω

′2 = (Mext)′3.

V dal²ím rozboru vyuºijeme moºné symetrie rozloºení hmotnosti t¥lesa. Ta je dána diagonál-ním tvarem tenzoru momentu setrva£nosti. Moºnosti jsou tyto:

• Kulový setrva£ník hmotnost t¥lesa je rozloºena tak, ºe J1 = J2 = J3 = J . Ty-pickým p°íkladem kulového setrva£níku je skute£ná homogenní koule s pevným bodemO v hmotném st°edu. Symetrie rozloºení její hmotnosti je shodná se symetrií geome-trickou. V²echny p°ímky vycházející z bodu O jsou rovnocenné a mohou slouºit jakohlavní osy tenzoru momentu setrva£nosti.


• Symetrický setrva£ník hmotnost t¥lesa je rozloºena tak, ºe J1 = J2 = J3. Typic-kým p°íkladem symetrického setrva£níku je jakékoli homogenní rota£ní t¥leso (válec,kuºel, ozdobný sloup, ...) op¥t s pevným bodem O v hmotném st°edu. Symetrie rozlo-ºení hmotnosti je zase shodná se symetrií geometrickou. Jednou z hlavních os tenzorumeometu setrva£osti takového t¥lesa je osa jeho geometrické symetrie, v²echny p°ímkyvycházející z bodu O a leºící v rovin¥ kolmé ke geomnettrické ose jsou rovnocenné amohou slouºit jako dal²í hlavní osy tenzoru momentu setrva£nosti.

• Asymetrický setrva£ník hmotnost t¥lesa je rozloºena obecn¥, hodnoty J1, J2 a J3

jsou navzájem r·zné.

V dal²ím budeme nadále p°edpokládat, ºe pevným bodem t¥lesa je jeho st°ed hmotnosti.

Podle první impulsové v¥ty tato situace nastane práv¥ tehdy, je-li výslednice vn¥j²ích sil p·-

sobících na t¥leso nulová. V p°ípad¥, ºe je také výsledný moment vn¥j²ích sil p·sobících na

t¥leso nulový, mluvíme o volném setrva£níku, nep°íli² vhodn¥ téº nazývaném setrva£níkem

bezsilovým. Ukáºeme si p°íklady pohybu volných setrva£ník·.

P°íklad 3.15. Volný kulový setrva£ník

Eulerovy rovnice pro kulový setrva£ník jsou tak triviální, ºe jsou v podstat¥ nezajímavé. Toplatí zejména pro volný setrva£ník. Z rovnic (3.44) dostaneme

˙ω = 0 =⇒ ω(t) =−−−→konst..

Volný kulový setrva£ník tedy rotuje stálou úhlovou rychlostí, která mu jednou byla ud¥lena.

Jedná se proto o rovnom¥rnou rotaci kolem pevné osy. P°ipomíná to originální Newtonovu

formulaci jeho prvního zákona? Nepochybn¥ právem. ♠

P°íklad 3.16. Volný symetrický setrva£ník

Eulerovy rovnice pro volný symetrický setrva£ník jsou jiº zajímav¥j²í. Rovnice (3.44) pro n¥jmají tvar

J1ω′1 + (J3 − J1)ω

′2ω

′3 = 0,

J1ω′2 + (J1 − J3)ω

′1ω

′3 = 0, (3.45)

J3ω′3 = 0.

Z t°etí rovnice je hned vid¥t, ºe t°etí sloºka úhlové rychlosti je konstantní, ozna£me ji ω′3 = ω0.

Zbylé dv¥ rovnice

J1ω′1 + (J3 − J1)ω

′2ω0 = 0,

J1ω′2 + (J1 − J3)ω

′1ω0 = 0

uº snadno vy°e²íme. Upravíme-li je na tvar

ω′1 +

(J3 − J1

J1ω0

)ω′2 = 0,

ω′2 −

(J3 − J1

J1ω0

)ω′1 = 0,

vidíme, ºe jsme uº n¥co podobného °e²ili v kapitole 2. °e²ení má tvar

ω1(t) = A cosΩt+B sinΩt, ω2(t) = −B cosΩt+A sinΩt, Ω =J3 − J1

J1ω0,

A a B jsou integra£ní konstanty, které je t°eba ur£it z po£áte£ních podmínek. Pro velikostúhlové rychlosti platí

ω =√A2 +B2 + ω2

0 = konst, (ω′1)

2 + (ω′2)

2 = A2 +B2 = konst.


Vektor ω(t) tedy vzhledem k pozorovateli v soustav¥ S ′ opisuje rota£ní kuºelovou plochu K′

s osou z′ a úhlem ϑ mezi libovolnou povrchovou p°ímkou a osou, p°i£emº

tg ϑ =

√A2 +B2

ω0.

Pro moment hybnosti setrva£níku pak dostáváme

ℓ′1 = J1 (A cosΩt+B sinΩt) ,

ℓ′2 = J1 (−B cosΩt+A sinΩt) ,

ℓ′3 = J3ω0,

ℓ =√

J 21 (A

2 +B2) + J 23 ω

20 .

Vektor momentu hybnosti také vzhledem k pozorovateli v S opisuje rota£ní kuºelovou plochuK′′ s osou z′, pro vrcholový úhel θ platí

tg θ =J1

J3

√A2 +B2

ω0=

J1

J3tg ϑ.

Vypo£teme je²t¥ úhel ϕ mezi vektory ω a ℓ. Platí

cosϕ =ω · ℓωℓ

=J1(A2 +B2) + J3ω2

0

ωℓ= konst.

Vzhledem k tomu, ºe setrva£ník je volný, tj. Mext = 0, je moment hybnosti ℓ konstatní

vzhledem k inerciálním soustavám, tj. také vzhledem k soustav¥ S! V této soustav¥ je to tedy

pevn¥ daný vektor, který lze chápat jako vázaný vektor umíst¥ný ve st°edu hmotnosti t¥lesa

O (pevný bod) a leºící v p°ímce p, která je v soustav¥ S v klidu. P°ed chvílí jsme v²ak zjistili,

ºe úhel ϕ mezi vektory ω a ℓ je konstantní. Vektor ω tedy opisuje vzhledem k pozorovateli v

inerciální vztaºné soustav¥ S rota£ní kuºelovou plochu K, jejíº osou je p°ímka p a vrcholovým

úhlem je úhel ϕ. Situaci znázor¬uje Obr. 3.23.

0

lω l

SHOSHO

z

K

K

S

q

p

φυθ

z

q

p

φυθ

S.

.

S1

S2

OS

ω

ω

Obr. 3.23: Volný symetrický setrva£ník k problému regulární precese


Kuºelová plocha K′ se valí po kuºelové plo²e K. Osa z′, která je pevná v t¥lese a p°edstavujetedy pevný sm¥r pro pozorovatele v soustav¥ S′, p°i tomto valení rotuje vzhledem k soustav¥S tak, ºe svírá stálý úhel θ = ϑ + ϕ s pevným sm¥rem p. P°ímka, ve které leºí vektor ω jespole£noou povrchovou p°ímkou kuºelových ploch K′ a K. Kruºnice k′ a k vyzna£ené v Obr.3.23 mají spole£nou te£nu, osy z′, p a sty£ná povrchová p°ímka kuºelových ploch K′ a K leºív kaºdém okamºiku v jedné rovin¥. Osa z′ obíhá kolem pevné p°ímky p stejnou úhlovourychlostí (ozna£me ji Ωp), jako vektor ω. Vykonává takzvanou regulární precesi. Vzhledem kodvalování kuºelových ploch K′ a K jsou veli£iny ω a Ωp vázány vztahy patrnými z Obr.3.23: obvodová rychlost rotace bodu S kolem okamºité p°ímky q, v níº leºí vektor ω je shodnás obvodovou rychlostí rotace bodu S vzhledem k pevné p°ímce p, tj.

ω0ω sinϑ = ω0Ωp sin θ, =⇒

ω sinϑ = Ωp sin θ =⇒ Ωp = ω0J3

J1

√1 +

J 21 (A

2 +B2)

J3ω20

.

Za p°edpokladu takové volby po£áte£ních podmínek, která vede k malým hodnotám A a B vporovnání s ω0 lze s£ítanec tvaru zlomku pod odmocninou zanedbat oproti jedni£ce. Pak

Ωp.= ω0

J3

J1= Ω

J3

|J3 − J1|.

Regulární precesi m·ºeme experimentáln¥ ukázat nap°íklad na setrva£níku sestrojeném z

bicyklového kola rotujícího v loºisku kolem pevné ty£e, která je podep°ena na stojanu tak,

aby kolo bylo vyváºeno. V této podob¥ jde o typickou rotaci tuhého t¥lesa kolem pevné osy.

Po krátkou dobu ∆t zap·sobíme na ty£ (nap°íklad úderem shora) dodate£nou silou s nenulo-

vým momentem. Moment hybnosti soustavy se tím oproti p·vodní hodnot¥ ℓ(0) sice zm¥ní o

jisté ∆ℓ, av²ak poté, co dodate£ná síla p°estane p·sobit, se bude moment hybnosti soustavy

op¥t zachovávat, a to na hodnot¥ ℓ = ℓ(0) + ∆ℓ. Soustava bude vykonávat precesní pohyb

uvidíme, jak ty£ opisuje kuºelovou plochu, jejíº osou bude jistá pevná p°ímka p. ♠

Kapitola 4

Mechanika tekutin

4.1 Statická rovnováha tekutin

4.1.1 Podmínky rovnováhy

4.1.2 Tlak a jeho rozloºení v tekutin¥

4.2 Pohyb tekutin

4.2.1 Popis pohybu kontinua

Jednoduchost popisu pohybu t¥lesa s diskrétním rozloºením hmotnosti (sou-stavy £ástic) spo£ívala v moºnosti opat°it kaºdou £ástici t¥lesa jejím iden-tika£ním znakem celo£íselnou hodnotou indexové prom¥nné i . V²echnyveli£iny související s i-tou £ásticí byly p°íslu²ným indexem rovn¥º ozna£eny:mi, ri(t), vi(t), . . . . V p°ípad¥ kontinua, t¥lesa se spojitým rozloºením hmot-nosti, kdy neuvaºujeme o hmotných bodech, ale spojit¥ navazujících hmot-ných elementech, nelze diskrétního indexového zna£ení pouºít. Vzniká problémvolby identika£ního znaku hmotného elementu. Tato volba souvisí se dv¥mazákladními metodami popisu pohybu kontinua.

První z nich, v praktických p°ípadech mén¥ vyuºívaná, je metoda popisu pomocí trajektorií

Lagrangeova. Identika£ním znakem konkrétního elementu, pohybujícího se po ur£ité trajek-torii Cξ , je jeho polohový vektor ξ = (ξ1, ξ2, ξ3) v okamºiku t = 0 . Parametrické vyjád°enítrajektorie Cξ pak p°edstavuje vektorová funkce £ty° prom¥nných

Cξ : rξ = r(ξ, t) = (x1(ξ1, ξ2, ξ3, t), x2(ξ1, ξ2, ξ3, t), x3(ξ1, ξ2, ξ3, t)), (4.1)

kde r(ξ, 0) = ξ . Rychlost hmotného elementu je dána vztahem

vξ = v(ξ, t) =∂r(ξ, t)

∂t=

=

(∂x1(ξ1, ξ2, ξ3, t)

∂t,∂x2(ξ1, ξ2, ξ3, t)

∂t,∂x3(ξ1, ξ2, ξ3, t)

∂t

). (4.2)

237

238 KAPITOLA 4. MECHANIKA TEKUTIN

Obrázek 4.2-1: Popis pohybu kontinuaLagrangeova metoda

Druhá z metod, Eulerova, je p°i °e²ení problém· mechaniky kontinua b¥ºn¥j²í.Vyuºívá popisu pohybu hmotných element· pomocí proudnic. Identika£ním zna-kem hmotného elementu je polohový vektor r místa v prostoru, v n¥mº sehmotný element nachází práv¥ v okamºiku t , pohybový stav elementu je zadánjeho rychlostí jako vektorovou funkcí £ty° prom¥nných

v = v(r, t) = (v1(x1, x2, x3, t), v2(x1, x2, x3, t), v3(x1, x2, x3, t)) . (4.3)

Funkce (4.3) p°edstavuje z matematického hlediska £asov¥ prom¥nné vektorovépole v R3 . (Pro pevn¥ zvolený okamºik t0 odpovídá kaºdému bodu r v pro-storu práv¥ jeden vázaný vektor v(r, t0) .) Integrální k°ivky tohoto vektorovéhopole, jejichº parametrické vyjád°ení r = r(s, t0) vyhovuje rovnici

dr(s, t0)

ds= v[r(s), t0] , (4.4)

vytvá°ejí obraz proudnic rychlostního pole v(r, t0) v pevn¥ zvoleném okamºikut0 . (Parametr s zde nemá význam £asu.) Kaºdým bodem prostoru procházív okamºiku t0 práv¥ jedna proudnice. Jednotlivé proudnice jsou odli²eny svýmipo£áte£ními body, odpovídajícími hodnot¥ s = 0 , tj. r(0, t0) = ζ . Koncovébody vektor· ζ vytvá°ejí plochu S . Tu lze, jakoºto dvojrozm¥rný útvar, popsatdv¥ma prom¥nnými. Proto hovo°íme o obrazu proudnic v prostoru jako o dvoj-parametrické soustav¥ k°ivek. Vektor v(r, t0) je te£ným vektorem k proudniciprocházející bodem r .

Obrázek 4.2-2: Popis pohybu kontinuaEulerova metoda

Obecn¥ je obraz proudnic v kaºdém okamºiku jiný. Pro kaºdý okamºik t jsouproudnice °e²ením rovnice (4.3), v níº zam¥níme t0 za t .

P°íklad 4.2-1. V pevn¥ zvoleném okamºiku t je vektorové pole rychlostí v ro-vin¥ R2 zadáno vztahem v(r) = (v1(x1, x2), v2(x1, x2)) = (2 , 3x1) . Najdemeobraz proudnic v tomto okamºiku:

dr(s)

ds= v(r) =⇒ dx1(s)

ds= 2 ,

dx2(s)

ds= 3x1.

e²ením p°edchozí soustavy rovnic dostáváme parametrické vyjád°ení proudnicv okamºiku t:

x1(s) = 2s + A , x2(s) = 3s2 + 3As + B,

4.2. POHYB TEKUTIN 239

kde A,B jsou libovolné konstanty. Vylou£ením parametru s obdrºíme kartézskérovnice v²ech proudnic:

x2 =3

4x21 + Q,

kde Q = B− 34A

2 je libovolná konstanta. Proudnice v rovin¥ tedy vytvá°ejí jed-noparametrickou soustavu k°ivek, v na²em p°ípad¥ parabol. Parametrem k°ivekje veli£ina Q .

Obrázek 4.2-3: Jednoparametrická soustava proudnic v rovin¥

Popis pohybu kontinua v okolí daného bodu prostoru lze vºdy rozloºit na t°inezávislé p°ísp¥vky: pohyb transla£ní, rota£ní a deforma£ní.

Jednotlivé p°ípady nyní popí²eme odd¥len¥.

P°i £ist¥ transla£ním pohybu je r = r(ξ, t) = ξ + u(t) , kde vektor posunutí u(t) je nezávislýna p·vodní poloze hmotného elementu. Pak

v(r, t) = v(ξ, t) =∂r(ξ, t)

∂t=

du(t)

dt,

nezávisle na ξ . Obrazem proudnic v daném okamºiku t je soustava rovnob¥ºných £ar, jejichºhustota (po£et £ar protínajících jednotkovou plochu na n¥ kolmou) je úm¥rná velikosti vektoruv . Platí

v(x1 + dx1, x2 + dx2, x3 + dx3)− v(x1, x2, x3) = 0 =⇒∂vj

∂xk= 0 , j, k ∈ 1, 2, 3. (4.5)

Obrázek 4.2-4: Soustava proudnic v okamºiku t p°i transla£ním a rota£nímpohybu kontinua

P°edstavme si nyní kontinuum jako tuhé t¥leso vykonávající £ist¥ rota£ní pohyb úhlovourychlostí ω(t) . Pak

v(r, t) = ω(t)× r = (ω2(t)x3 − ω3(t)x2, ω3(t)x1 − ω1(t)x3, ω1(t)x2 − ω2(t)x1).

Obecn¥ platí

vj(x1 + dx1, x2 + dx2, x3 + dx3, t) − vj(x1, x2, x3, t) =3∑k=1

∂vj

∂xkdxk , j, k ∈ 1, 2, 3.

Vzhledem ke konkrétnímu tvaru vektorové funkce v(r, t) v p°ípad¥ rota£ního pohybu je

v1(x1 + dx1, x2 + dx2, x3 + dx3, t) − v1(x1, x2, x3, t) = −ω3(t)dx2 + ω2(t)dx3,

v2(x1 + dx1, x2 + dx2, x3 + dx3, t) − v2(x1, x2, x3, t) = −ω1(t)dx3 + ω3(t)dx1,

v3(x1 + dx1, x2 + dx2, x3 + dx3, t) − v3(x1, x2, x3, t) = −ω2(t)dx1 + ω1(t)dx2.

Z p°edchozích vztah· je vid¥t, ºe pro £ist¥ rota£ní pohyb kontinua platí

∂vj

∂xk+

∂vk

∂xj= 0, j, k ∈ 1, 2, 3. (4.6)

240 KAPITOLA 4. MECHANIKA TEKUTIN

Vyjád°íme nyní rozdíl v(r + dr, t)− v(r, t) obecn¥:

vj(r + dr, t) = vj(r, t) +3∑k=1

∂vj(r, t)

∂xkdxk =

= vj(r, t) +

3∑k=1

1

2

(∂vj(r, t)

∂xk−

∂vk(r, t)

∂xj

)dxk + (4.7)

+3∑k=1

1

2

(∂vj(r, t)

∂xk+

∂vk(r, t)

∂xj

)dxk , j ∈ 1, 2, 3 .

(P°i úprav¥ výrazu∑3k=1

∂vj∂xk

dxk jsme vyuºili formálního zápisu veli£iny Cjk =∂vj∂xk

ve

tvaru Cjk = 12(Cjk+Ckj)+

12(Cjk−Ckj) .) Interpretace výraz· na pravé stran¥ p°echozí rov-

nice je následující (viz vztahy (4.5) a (4.6)). len vj(r, t) odpovídá transla£nímu pohybu, £len∑3k=1

12

(∂vj(r,t)

∂xk− ∂vk(r,t)

∂xj

)dxk rota£nímu pohybu a £len

∑3k=1

12

(∂vj(r,t)

∂xk+

∂vk(r,t)∂xj

)dxk

zbývá na pohyb deforma£ní. Soubory veli£in

Ajk(r, t) =1

2

(∂vj(r, t)

∂xk−

∂vk(r, t)

∂xj

), Bjk(r, t) =

1

2

(∂vj(r, t)

∂xk+

∂vk(r, t)

∂xj

)jsou sloºkami kartézských tenzor· druhého °ádu. Tenzor A je antisymetrický, nebo´ Ajk =

−Akj , tenzor B je symetrický, protoºe Bjk = Bkj . B se nazývá tenzor rychlosti deformace.

vj(r + dr, t) = vj(r, t) +3∑k=1

Ajkdxk +3∑k=1

Bjkdxk .

Pohyb kontinua se nazývá ustáleným (stacionárním) proud¥ním, jestliºe je vek-torové pole v £asov¥ neprom¥nné, tj. v = v(r) . V takovém p°ípad¥ je obrazproudnic v kaºdém okamºiku stejný. Znamená to, ºe kaºdý element kontinua,který se octne v míst¥ o polohovém vektoru r , musí nabýt rychlosti v , která jetomuto místu p°i°azena vektorovou funkcí v = v(r) , a to bez ohledu na okamºik,v n¥mº se element v uvaºovaném míst¥ nachází. Ze skute£nosti, ºe vektor rych-losti elementu je v kaºdém okamºiku te£ný k jeho trajektorii a sou£asn¥ k proud-nici, která v daném okamºiku prochází bodem trajektorie, v n¥mº element práv¥je, vyplývá, ºe ve stacionárním p°ípad¥ splývají trajektorie s proudnicemi. Je-jich parametrické vyjád°ení je °e²ením vektorové rovnice (4.4), v níº parametrs získává význam £asu, tj. s = t , a závislost na t0 mizí. Vektorové po£áte£nípodmínky mají tvar rξ(0) = ξ a partikulární °e²ení rovnice (4.4),tj. jednotlivétrajektorie, lze zapsat jako vektorové funkce £ty° prom¥nných: rξ(t) = r(ξ, t) .

4.2.2 Pohyb ideálních tekutin

4.2.3 Pohyb reálných tekutin

Kapitola 5

Soustavy mnoha £ástic a

zákonitosti jejich chování

5.1 Zákony termodynamiky

5.2 Makroskopické veli£iny a st°ední hodnoty

5.3 xxxxx

241

Documents

P°edmluva - physics.muni.czjanam/download/Nastrahy-text-2.pdf · a jejich aplikací £asto ani registroatv a i odborník je jen t¥ºko sta£í vst°ebáat.v Supravodi£e, nanostruktury,