PEFICA - Ejemplos - Bienvenidos · Deflexión de una viga con elementos ... La carpeta \ejemplos\ incluida en los medios ... de crear la matriz de rigidez de diferentes tipos de elementos

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Índice

Índice ........................................................................................................................... 1 Capítulo 1 Ejemplo paso a paso.................................................................................... 3

1.1. Descripción del problema ........................................................................... 3 1.2. Preproceso: Malla de elementos finitos ....................................................... 4 1.3. Proceso de cálculo ...................................................................................... 6 1.4. Obtención, organización y presentación de resultados................................14

Capítulo 2 Problemas unidimensionales de campo escalar ...........................................23 2.1. Deflexión de una viga con elementos unidimensionales lineales ................23 2.2. Deflexión de una viga con elementos unidimensionales cuadráticos...........29

Capítulo 3 Problemas bidimensionales de campo escalar .............................................33 3.1. Barra prismática sometida a torsión pura....................................................35

3.1.1. Descripción del problema y definición de la malla de elementos finitos .36 3.1.2. Proceso de cálculo y resultados obtenidos ..............................................37 3.1.3. Resultados con diferentes mallas de elementos finitos............................40

3.2. Infiltración del agua en suelos permeables .................................................47 3.3. Infiltración del agua en acuíferos ...............................................................50

Capítulo 4 Problemas de elasticidad bidimensional......................................................53 4.1. Formulación en elementos finitos...............................................................53 4.2. Implementación en el programa PEFiCA ...................................................56 4.3. Ejemplo de aplicación: ménsula de concreto ..............................................59 4.4. Ejemplo de aplicación: principio de Saint Venant ......................................62 4.5. Ejemplo de aplicación: estructura de drenaje..............................................65

Referencias..................................................................................................................69


Capítulo 1 Ejemplo paso a paso

Con el fin de preparar al usuario en el manejo del programa, este capítulo presenta la solu-ción de un problema de elasticidad bidimensional utilizando PEFiCA, en el cual se obtiene la distribución de esfuerzos en una lámina de aluminio con orificio en el centro sometida a presión uniforme en dos de sus caras.

Inicialmente se indica la geometría, las condiciones de contorno y las acciones externas aplicadas sobre la lámina, después se describe la construcción de la malla de elementos finitos, mostrando como se introduce en las hojas de cálculo las propiedades generales del problema, las coordenadas de los nudos, las conectividades de los elementos, las condicio-nes de borde y las fuerzas actuantes. El proceso de cálculo, compilado y ejecutado, se explica por tareas particulares realizadas por pequeños grupos de líneas de código. Entre las rutinas llamadas desde la macro principal están las instrucciones de postproceso dedica-das a la impresión de las matrices creadas y obtenidas en el proceso de cálculo y a la pre-sentación gráfica en mapas de colores de los resultados sobre la malla de elementos finitos.

Observación. La carpeta \ejemplos\ incluida en los medios de instalación del

programa PEFiCA contiene el ejemplo paso a paso, los ejemplos de aplicación y de

validación presentados en este documento. En particular el libro de Excel llamado

PEFICA-Ejemplo-Lamina.xls corresponde al ejemplo de la lámina sometida a ten-

sión con orificio en el centro descrito en este capítulo.

1.1. Descripción del problema

Una lámina cuadrada de L = 8.0 pul de lado, t = 0.1 pul de espesor y un orificio en el centro de diámetro d = 1 pul, está sometida a una carga distribuida por unidad de longitud

=xq 1.0 k/pul en dirección x como se indica en la Figura 1.1. La lámina esta hecha de aluminio cuyo módulo de Young y relación de Poisson son iguales a E = 10 000 k/pul2 y ν = 0.3, respectivamente.

El objetivo del problema es encontrar los desplazamientos, las deformaciones y los es-fuerzos sobre la lámina. En particular, se desea calcular la distribución del esfuerzo nor-mal xxσ en la línea AB (Figura 1.1).

Para el nivel de carga aplicado el material es elástico y las deformaciones son infinite-simales. De acuerdo con la geometría y las condiciones de carga se puede considerar éste problema como un estado plano de esfuerzos.

4 Capítulo 1. Ejemplo paso a paso

© Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2009

1.2. Preproceso: Malla de elementos finitos

Debido a que el problema es doblemente simétrico, se analiza una cuarta parte de la lámina, colocando restricciones en dirección x sobre la frontera AB y restricciones en y sobre la frontera CD, como se indica en la Figura 1.1. El tipo de elemento utilizado es el triangular lineal de elasticidad plana o también denominado elemento triangular de deformación cons-tante.

La teoría de la elasticidad establece que la concentración de esfuerzos ocurre en la ve-cindad del orificio, por lo tanto es necesario utilizar una red de elementos más densa alre-dedor de este.

Figura 1.1. Lámina sometida a tensión con orificio en el centro. Esquema descriptivo: (a) lámina completa, (b) región modelada, condiciones de carga y de borde.

Se construye una malla de 108 nudos y 176 elementos, introduciendo las coordenadas

de los nudos en la hoja de cálculo TB_XYZ (Figura 1.2) y las conectividades de los elemen-tos en la hoja de cálculo TB_ELE (Figura 1.3).

Figura 1.2. Lámina sometida a tensión con orificio en el centro. Hoja de cálculo TB_XYZ

xq

B

D

E

C

A

(b)

2L

2L

xqxq

A

B

C D

E

(a)

d

xq

B

D

E

C

A

(b)

xq

B

D

E

C

A

(b)

2L

2L

xqxq

A

B

C D

E

(a)

d

2L

2L

xqxq

A

B

C D

E

(a)

d

PEFiCA - Programa de elementos finitos a código abierto 5


Los nudos asociados a cada elemento deben numerarse en sentido anti-horario a partir del nudo inicial i presentado en la columna NI de la tabla TB_ELE. Al utilizar solo elemen-tos triangulares lineales el número máximo de nudos por elemento es de 3.

Las características generales de la malla, las propiedades mecánicas del material y los parámetros de dibujo están contenidos en la hoja TB_GEN mostrada en la Figura 1.4.

En un espacio bidimensional el campo de desplazamientos se describe por las compo-nentes de desplazamiento lineal en x y en y: xu y yu : por lo tanto, el número de grados de libertad por nudo es igual a 2.

Figura 1.3. Lámina sometida a tensión con orificio en el centro. Hoja de cálculo TB_ELE

Figura 1.4. Lámina sometida a tensión con orificio en el centro. Hoja de cálculo TB_GEN



área de código

explorador de proyectos

ventana de propiedades del objeto

ventana de inspección de variables

área de código

explorador de proyectos

ventana de propiedades del objeto

ventana de inspección de variables

1.3. Proceso de cálculo

El algoritmo de cálculo se escribe en el Editor de Visual Basic (VBE), como un grupo de subrutinas organizadas en módulos según su objetivo, por ejemplo, las rutinas encargadas de crear la matriz de rigidez de diferentes tipos de elementos finitos están contenidas en el módulo MdRG, mientras que, las rutinas que realizan las operaciones matriciales básicas se encuentran en el módulo MdMT.

Para acceder al código del programa desde la hoja de cálculo se hace clic de forma se-cuencial sobre el menú Herramientas > Macro > Editor de Visual Basic. Como resultado se activa la ventana del editor de Visual Basic mostrada en la Figura 1.5, en la cual se crean, editan, depuran y ejecutan las macros utilizadas sobre Microsoft Excel.

Figura 1.5. Editor de Visual Basic en Excel

El explorador de proyectos ubicado al lado izquierdo del VBE, presenta los objetos y los

módulos que hacen parte del libro de Excel. Está ventana se activa haciendo clic en el menú Ver > Explorador de proyectos. A la derecha del VBE se ubica el código escrito en un módulo específico, el cual se activa desde el menú Ver > Código.

El análisis por elementos finitos se realiza ejecutando la subrutina principal de cálculo PEFICA() ubicada en el módulo Md. En esta rutina se construye el procedimiento general invocando subrutinas que realizan tareas específicas.

Inicialmente se declaran las variables escalares y las matrices que se utilizarán durante el cálculo, en esto se recomienda describir cada variable mediante comentarios y separar la declaración de los escalares y las matrices, como se indica en la Figura 1.6. A continua-ción se lee la información general y la geometría del problema introducida en las hojas de cálculo TB_GEN, TB_XYZ y TB_ELE, mediante las líneas de código presentadas en la Figura 1.7.



'declaración de variables escalares

Dim NNUD As Integer, NELE As Integer, NGLE As Integer, NGLN As Integer, _

NNUE As Integer, NGLD As Integer, NGLC As Integer, NDIM As Integer, _

NMAE As Integer

Dim EYOU As Double, POIS As Double, ESPE As Double, PXEL As Double, _

PYEL As Double, LADO As Integer, SP As Double, TP As Double

Dim I As Integer, J As Integer, FILA As Integer, COLM As Integer, _

IELE As Integer, IDST As Integer

'NNUD número de nudos

'NELE número de elementos

'NGLE número de grados de libertad por elemento

'NGLN número de grados de libertad por nudo

:

:

'declaración de matrices

Dim ELE() As Integer, MGL() As Integer, INC() As Integer, MRE() As Integer, _

NUD() As Integer, LNU() As Integer, LEL() As Integer

Dim XYZ() As Double, KEL() As Double, KGL() As Double, FEL() As Double, _

FGL() As Double

Dim DGL() As Double, DGC() As Double, DGT() As Double, DXY() As Double

Dim DEL() As Double, BEL() As Double, EPE() As Double, CEL() As Double, _

STE() As Double, SXX() As Double, SPE() As Double, TPE() As Double

Dim NXX() As Double, FXY() As Double, VO() As Double, DNU() As Double, _

NAB() As Double, EAB() As Double

Dim GEM(10, 1) As Double, GRA() As Integer, TM1() As Double, TM2() As Double

Figura 1.6. Lámina sometida a tensión con orificio en el centro. Parte de la rutina PEFICA(). Declaración de variables.

'parámetros predefinidos

'posición inicial de la fila en la hoja TB_OUT

FILA = 2

COLM = 1

EDLIMH "TB_OUT" 'limpiar la hoja de salida

'leer parámetros generales

EDLECE "TB_GEN", 5, 2, NNUD 'número de nudos

EDLECE "TB_GEN", 6, 2, NELE 'número de elementos

EDLECE "TB_GEN", 7, 2, NGLN 'grados de libertad por nudo

EDLECE "TB_GEN", 8, 2, NNUE 'número de gl por elemento

EDLECE "TB_GEN", 9, 2, NDIM 'número de dimensiones

'leer geometría

EDLECR "TB_XYZ", 5, 2, XYZ(), NNUD, NDIM 'leer matriz de coord. nudos

EDLECI "TB_ELE", 5, 2, ELE(), NELE, NNUE 'leer matriz de conectividades

'(opcional) escribir geometría

EDIMPR "TB_OUT", "XYZ()", FILA, COLM, XYZ() 'escribir matriz de coord. nudos

EDIMPI "TB_OUT", "ELE()", FILA, COLM, ELE() 'escribir matriz de conectividades

'(opcional) dibujar geometría

'GRAFDE GRA() 'si no tiene parámetros de dibujo puede activar esta línea

EDLECI "TB_GEN", 33, 2, GRA(), 14, 1 'leer parámetros de dibujo

GRAGEO XYZ(), ELE(), GRA(), 2 'dibuja elementos

'leer propiedades mecánicas

EDLECE "TB_GEN", 12, 2, EYOU 'módulo de Young

EDLECE "TB_GEN", 13, 2, POIS 'relación de Poisson

EDLECE "TB_GEN", 14, 2, ESPE 'espesor

'matriz de restricciones

EDTABI "TB_RES", 5, 2, MRE(), NNUD, NGLN 'leer matriz de restricciones

EDIMPI "TB_OUT", "MRE()", FILA, COLM, MRE() 'escribir matriz de restric.

Figura 1.7. Lámina sometida a tensión con orificio en el centro. Parte de la rutina PEFICA(). Lectura de datos de las hojas de cálculo.



Después de ejecutadas estas instrucciones, se obtiene en pantalla el dibujo de la malla de elementos finitos mostrado en la Figura 1.8, donde se indican la posición y numeración de los nudos y los elementos. La línea al lado del número del elemento señala el nudo ini-cial del mismo.

Las condiciones de borde del problema de elasticidad corresponden a valores conocidos de los desplazamientos en puntos específicos. En este ejemplo en particular el desplaza-miento en dirección y es cero ( 0=yu ) sobre la línea CD (Figura 1.1) y en consecuencia, también lo es sobre los nudos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 92 y 105 mostrados en la Figura 1.8. En cambio, los nudos 17, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 90, 92, 105 y 106 (Figura 1.8) sobre la línea AB (Figura 1.1), tienen un desplazamiento 0=

xu .

La información relacionada con los grados de libertad conocidos mostrada en la Figura 1.9 se guarda en la hoja TB_RES. Allí se indica con el valor entero de 001 que el grado de libertad correspondiente es conocido y con 000 si es desconocido. La magnitud de los desplazamientos no hace parte de esta tabla, suponiendo por defecto que todo desplaza-miento conocido es igual a cero (restricción).

Figura 1.8. Lámina sometida a tensión con orificio en el centro. Malla de elementos finitos

La matriz de incidencias indica el código de cada grado de libertad asociado a cada uno

de los elementos. Con la información anterior se puede generar esta matriz así:

• Dada la ubicación de los grados de libertad conocidos, se establece la numeración de los grados de libertad de los nudos. Para tal caso, primero se numeran de forma



consecutiva los grados de libertad desconocidos agrupándolos y después se numeran los grados de libertad conocidos.

• Dada la matriz de conectividades de los elementos y la matriz de grados de libertad por cada nudo obtenida en el ítem anterior, se establecen los grados de libertad por cada elemento o matriz de incidencias.

Figura 1.9. Lámina sometida a tensión con orificio en el centro. Hoja de cálculo TB_RES

El algoritmo de cálculo correspondiente es el siguiente:

'construcción de la matriz de incidencias

NGLNUD MGL(), MRE() 'construir la matriz de grados de libertad por nudo

EDIMPI "TB_OUT", "MGL()", FILA, COLM, MGL() '(opcional) escribir la matriz

NGLELE INC(), MGL(), ELE() 'construir la matriz de gl por elemento

'o matriz de incidencias

'numero de grados de libertad

NGLC = MTSUCI(MRE()) 'número de grados de libertad conocidos

NGLD = NNUD * NGLN - NGLC 'número de grados de libertad desconocidos

Figura 1.10. Lámina sometida a tensión con orificio en el centro. Parte de la rutina PEFICA(). Construcción de la matriz de incidencias.

Con la geometría de la malla de elementos finitos descrita por la matriz de coordenadas, la matriz de conectividades de los elementos, la matriz de incidencias y las propiedades mecánicas del material se construye la matriz de rigidez de cada uno de los elementos y se ensambla la matriz de rigidez del sistema, de acuerdo con el siguiente código:



'matriz de rigidez de la estructura (submatriz de cálculo Kdd)

MTCONS KGL(), 0, NGLD, NGLD 'crea matriz de rigidez llena de ceros de tamaño

'(gl desconocidos)x(gl desconocidos)

For I = 1 To NELE

'crear matriz de rigidez del elemento

KTRIEL KEL(), XYZ(), ELE(), I, EYOU, POIS, ESPE

'ensamblaje de la matriz de rigidez del elemento

ENSAMK KGL(), KEL(), INC(), I

'(opcional) escribir matriz de rigidez de cada elemento

EDIMPR "TB_OUT", "KEL() elemento #" & I, FILA, COLM, KEL()

Next I

'(opcional) escribir matriz de rigidez del sistema

EDIMPR "TB_OUT", "KGL() (Kdd)", FILA, COLM, KGL()

Figura 1.11. Lámina sometida a tensión con orificio en el centro. Parte de la rutina PEFICA(). Creación de la matriz de rigidez

Los resultados preliminares del proceso pueden escribirse en cualquier hoja de cálculo, sin embargo se recomienda utilizar una sola hoja para tal fin. En este ejemplo la hoja de resultados de denomina TB_OUT.

Las instrucciones de impresión como EDIMPR y EDIMPI escriben los coeficientes de una matriz especificada con un formato especial. La Figura 1.12 y la Figura 1.13 muestran dicho formato el cual tiene las siguientes características:

• Cada matriz presenta un título identificador en color negro que termina con el tama-ño de la misma entre paréntesis.

• Los rótulos en color gris C1, C2, …. y F1, F2, … indican el número de la colum-na y de la fila respectivamente.

• Los coeficientes positivos de la matriz se presentan en color azul, los negativos en color rojo y los coeficientes iguales a cero en color negro.

• Los coeficientes de matrices reales se escriben en notación científica con formato 0.0000E+00. En cambio, los coeficientes de matrices enteras se representan con formato 000.

La carga distribuida aplicada a la lámina se representa como una presión sobre el lado de los elementos de la malla vecinos a la línea DE (Figura 1.1).

La tabla TB_FUE presentada en la Figura 1.14, contiene los datos relacionados con las cargas distribuidas en el volumen de un elemento finito y las cargas distribuidas en un lado del mismo. Las columnas WX y WY de la tabla y las componentes

xw y yw de la Figura

1.15(a) indican las fuerzas de cuerpo o cargas por unidad de volumen aplicadas en las di-recciones x y y respectivamente. En cambio, las columnas PX y PY en la tabla y las com-ponentes

xp y yp en la Figura 1.15(b), representan las presiones o cargas por unidad de

área aplicadas sobre un lado del elemento.



Figura 1.12. Formato de impresión de matrices con términos enteros

Figura 1.13. Formato de impresión de matrices con términos reales

La columna LADO de la tabla establece el lado del elemento donde se aplica la presión. Como lo indica la Figura 1.15(b), el lado 1 corresponde al segmento ij, el lado 2 es el seg-mento jk y el lado 3 es el segmento ik, recordando que los nudos se numeran en sentido anti-horario a partir del nudo i.

Matriz de términos enteros

Título de matriz

Rótulos indicadores de

columnas de la matriz

Rótulos indicadores

de filas de la matriz

Coeficiente

entero positivo

Coeficiente

entero cero

Tamaño de matriz

Matriz de términos enteros

Título de matriz





Coeficiente

entero positivo

Coeficiente

entero cero

Tamaño de matriz

Título de matriz





Coeficiente real positivo

Coeficiente

real cero

Coeficiente

real negativo

Matriz de términos reales

Tamaño de matriz

Título de matriz





Coeficiente real positivo

Coeficiente

real cero

Coeficiente

real negativo

Matriz de términos reales

Tamaño de matriz



nudo i

nudo j

nudo k

yw

xw

(a)

y

lado 3

xp

lado 2

nudo i

nudo j

nudo k

lado 1

yp

lado 3 lado 2

nudo i

nudo j

nudo k

lado 1

x

(b)

nudo i

nudo j

nudo k

yw

xw

nudo i

nudo j

nudo k

yw

xw

(a)

y

lado 3

xp

lado 2

nudo i

nudo j

nudo k

lado 1

yp

lado 3 lado 2

nudo i

nudo j

nudo k

lado 1

x

(b)

y

lado 3

xp

lado 2

nudo i

nudo j

nudo k

lado 1

yp

lado 3 lado 2

nudo i

nudo j

nudo k

lado 1

x

(b)

Figura 1.14. Lámina sometida a tensión con orificio en el centro. Hoja de cálculo TB_FUE

Figura 1.15. Cargas aplicadas sobre un elemento triangular lineal: (a) carga distribuida sobre el volumen del elemento en dirección x y y, (b) carga por unidad de área distribuida sobre el lado 2 del elemento en dirección x y y.

Como ejemplo se presenta a continuación el procedimiento de asignación de cargas so-bre el elemento 20 de malla.

• Se identifica los elementos finitos cuyo lado coincide con la zona de aplicación de la carga, entre ellos el elemento 20 mostrado en color gris en la Figura 1.16(a).

• Observando la malla de elementos finitos (Figura 1.16(a)-(b)) y la tabla de nudos asociados a los elementos TB_ELE (Figura 1.16(c)), se establece el lado donde se aplica la carga. Para el elemento 20, la presión se aplica sobre el lado 2 (o lado jk), en dirección x.



(b)

(c)(a) D

E

pult

pulkqx

1.0

/1

=

=

lado 3

2/10 pulkpx =lado 2

nudo 1

nudo 10

lado 1

elem. 20

nudo 87 (inicial)

(d)

(b)

(c)(a) D

E

pult

pulkqx

1.0

/1

=

=

D

E

pult

pulkqx

1.0

/1

=

=

lado 3

2/10 pulkpx =lado 2

nudo 1

nudo 10

lado 1

elem. 20

nudo 87 (inicial)

lado 3

2/10 pulkpx =lado 2

nudo 1

nudo 10

lado 1

elem. 20

nudo 87 (inicial)

(d)

• En la tabla TB_FUE se escribe el valor de la presión aplicada 2/101.0)/1( pulkpulpulktqp

xx=== como lo indica la Figura 1.16(d).

Figura 1.16. Lámina sometida a tensión con orificio en el centro. Cargas aplicada sobre un ele-mento 20: (a) elementos finitos donde se aplica la carga, (b) carga por unidad de área distribuida sobre el lado 2 del elemento 20, (c) Nudos asociados al elemento 20 en la hoja de cálculo TB_ELE, (d) Fuerzas sobre el elemento 20 en la hoja de cálculo TB_FUE

A partir de la información contenida en la tabla TB_FUE, la matriz de coordenadas, la matriz de conectividades de los elementos, la matriz de incidencias y las propiedades me-cánicas del material se construye el vector de fuerzas de cada uno de los elementos y se ensambla el vector de fuerzas del sistema, de acuerdo con el código mostrado en la Figura 1.17.

En este caso, el vector de desplazamientos desconocidos corresponde a la solución del sistema de ecuaciones simultáneas de la forma [ ]

ddddfuK = dado que los desplaza-

mientos conocidos son iguales a cero. La instrucción SOCHLK presentada en la Figura 1.18 utiliza el método de Cholesky modificado para resolver de forma directa sistemas de ecua-ciones simultáneas con matrices simétricas. Un vector completo de desplazamientos [ ]T

cdnuuu ,= estará compuesto por los subvectores de desplazamientos desconocidos

d

u y conocidos T

cu 0= .



'vector de fuerzas de la estructura (subvector de cálculo Fd)

MTCONS FGL(), 0, NGLD, 1 'crea vector fuerzas lleno de ceros de tamaño

'(número de gl desconocidos)x(1)

For I = 1 To NELE

'leer cargas distribuidas en elementos

EDLECE "TB_FUE", 4 + I, 1, IELE 'numero de elemento

If IELE = 0 Then Exit For

EDLECE "TB_FUE", 4 + I, 4, PXEL 'carga por unidad de área en x

EDLECE "TB_FUE", 4 + I, 5, PYEL 'carga por unidad de área en y

EDLECE "TB_FUE", 4 + I, 6, LADO 'lado del elem donde se aplica la carga

'crear vector de fuerzas en el elemento

FTRIES FEL(), XYZ(), ELE(), IELE, ESPE, PXEL, PYEL, LADO

'ensamblaje del vector de fuerzas en el elemento

ENSAMV FGL(), FEL(), INC(), IELE

Next I

'(opcional) escribir vector de fuerzas del sistema

EDIMPR "TB_OUT", "FGL()", FILA, COLM, FGL()

Figura 1.17. Lámina sometida a tensión con orificio en el centro. Parte de la rutina PEFICA(). Creación del vector de fuerzas en el sistema.

1.4. Obtención, organización y presentación de resultados

Este vector se presenta ordenado según la numeración de los grados de libertad desconoci-dos, sin embargo, es posible mostrar las componentes en dirección x y y del vector de des-plazamiento de cada nudo de la estructura, ordenados según la numeración de los nudos. La rutina ORGLFU es la encargada de realizar este tipo de ordenamiento, el cual consiste en:

• Leer la matriz que contiene la numeración de los grados de libertad por nudo deno-minada en el ejemplo MGL() y el vector de desplazamientos de la estructura ordena-do de acuerdo con la numeración de los grados de libertad definido como DGT().

• Crear una tabla que contiene por cada fila, las componentes de desplazamiento en x y en y de cada nudo denominada en este ejemplo DXY(). En general, el número de filas de esta matriz corresponde al número de nudos de la estructura y la cantidad de columnas coincide con el número de grados de libertad posibles en cada nudo, al igual que en la matriz de grados de libertad por nudo MGL(). En elasticidad plana los grados de libertad en cada nudo corresponden a las dos componentes del vector de desplazamientos yx uu , .

• Como lo indica la Figura 1.19, la componente j del desplazamiento de un nudo i contenida en la tabla DXY() es igual al coeficiente del vector de desplazamientos FGL() en la fila correspondiente al grado libertad de la componente de desplaza-miento j en el nudo i indicada en la matriz MGL(). Es decir, DXY(I,J)=FGL((MGL(I,J),1).

• Si el número asignado a un grado de libertad en la matriz MGL() es igual a cero, el coeficiente correspondiente en la tabla DXY() también será igual a cero. Es decir, si MGL(I,J)=000 entonces DXY(I,J)=0.0000+E00.



'desplazamientos nodales en la estructura

SOCHLK KGL(), FGL(), DGL() 'solucionar sistema de ecuaciones

MTCONS DGC(), 0, NGLC, 1 'vector de desplazamientos conocidos

EDIMPR "TB_OUT", "DGL()", FILA, COLM, DGL() '(opcional) escribir desplaz

MTADJU DGT(), DGL(), DGC() 'construir vector de desplazamientos (desc y con)

ORGLFU DXY(), DGT(), MGL() 'ordenar desplazamientos en el formato

'(NUDO),(UX),(UY)

EDIMPR "TB_OUT", "DXY()", FILA, COLM, DXY() 'escribir desplazamientos

'dibujar deformada

MTPORE DXY(), 100#, TM1() 'multiplicar desplazamientos por un factor de exag.

MTSUMA XYZ(), TM1(), TM2() 'sumarle estos desplazamientos a las coord orig GRA(13,

1) = -1 'parámetro gráfico de numeración de elementos sin indicador

'de nudo inicial

GRAGEO TM2(), ELE(), GRA(), 2 'dibujar geometría deformada

Figura 1.18. Lámina sometida a tensión con orificio en el centro. Parte de la rutina PEFICA(). Cálculo de los desplazamientos de la estructura y obtención de la geometría deformada.

Figura 1.19. Construcción de la tabla de componentes de desplazamientos ordenados según la numeración de los nudos mediante la instrucción ORGLFU.

Para dibujar la geometría deformada se suman los valores de desplazamiento amplifica-

dos a las coordenadas originales de la estructura. La última línea en el código anterior ge-nera la Figura 1.20.

El campo de deformaciones se obtiene como la derivada del vector de desplazamiento con respecto a la posición. En el interior de un elemento finito, las componentes de la de-formación xyyyxx γεε ,, en un espacio bidimensional son iguales al producto entre la matriz de operadores diferenciales actuando sobre funciones de forma )(e

B y el vector de despla-zamientos en los nudos del elemento )(e

nU , en otras palabras [ ] )()()( ,, e

n

eT

xyyyxx

eUBε == γεε .

En general, la matriz )(eB establece el lugar en el interior del elemento donde se eva-

lúa tal deformación, sin embargo, en el elemento triangular lineal o elemento de deforma-ción constante la matriz )(e

B es independiente de la posición dentro del elemento.

Matriz de grados de libertad por nudo

desplazamientos ordenados por

grados de libertad


numeración de nudos

nudo

desplazamiento

en x en ygrado de libertad desplazamiento

nudo

grado de libertad que

representa el desplazamiento

en x en y

Matriz de grados de libertad por nudo


grados de libertad


numeración de nudos

nudo

desplazamiento

en x en ygrado de libertad desplazamiento

nudo

grado de libertad que

representa el desplazamiento

en x en y



grados de libertad

del elemento 1

nudo i =77

nudo j =86

nudo k =85

gl 137

gl 138

gl 156

gl 155gl 153

gl 154

matriz de incidencias

vector de desplazamientos de la estructura

vector de desplazamientos del elemento 1

grados de libertad

del elemento 1

nudo i =77

nudo j =86

nudo k =85

gl 137

gl 138

gl 156

gl 155gl 153

gl 154

grados de libertad

del elemento 1

nudo i =77

nudo j =86

nudo k =85

gl 137

gl 138

gl 156

gl 155gl 153

gl 154

matriz de incidencias

vector de desplazamientos de la estructura

vector de desplazamientos del elemento 1

Figura 1.20. Lámina sometida a tensión con orificio en el centro. Geometría deformada

Figura 1.21. Extracción del vector del desplazamientos en el elemento 1mediante la instrucción EXTRAV.



Las componentes de esfuerzo contenidas en el vector [ ]Txyyyxx

e σσσ ,,)( =σ son el resul-tado del producto entre matriz de constantes elásticas y el vector de componentes de la de-formación, es decir )()()( eee

εCσ = . 'calcular y dibujar esfuerzos

'

CELAPL CEL(), EYOU, POIS 'constantes elásticas del material

IDST = 1

'IDST =1 dibuja la componente de esfuerzo Sxx

'IDST =2 dibuja la componente de esfuerzo Syy

'IDST =3 dibuja la componente de esfuerzo Sxy

'IDST =4 dibuja esfuerzo principal Sp1


'IDST =6 dibuja esfuerzo de Von Mises

MTCONS SXX(), 0, NELE, NNUE 'crear tabla de esfuerzos por elemento

For I = 1 To NELE

'extraer vector de desplazamientos en el elemento I

EXTRAV DGT(), DEL(), INC(), I

'(opcional) escribir vector de desplazamiento del elemento I

EDIMPR "TB_OUT", "DEL() elem # " & I, FILA, COLM, DEL()

BTRIEL BEL(), XYZ(), ELE(), I 'crear la matriz B del elemento I

MTMULT BEL(), DEL(), EPE() 'calcular deformación en el elemento I

MTMULT CEL(), EPE(), STE() 'calcular esfuerzo en el elemento I

'(opcional) escribir vector de componentes de esfuerzo del elemento I

EDIMPR "TB_OUT", "STE() elem # " & I, FILA, COLM, STE()

For J = 1 To NNUE

Select Case IDST

Case 1 To 3 'esfuerzos Sxx, Syy, Sxy

SXX(I, J) = STE(IDST, 1)

Case 4 To 5 'esfuerzos principales Sp1, Sp2

TRPRIN STE(), SPE(), TPE()

SXX(I, J) = SPE(IDST - 3, 1)

Case 6 'esfuerzo de Von Mises

SXX(I, J) = TRVMIS(STE())

End Select

Next J

Next I

'componente de esfuerzo por elemento

'escribir componente de esfuerzo IDST por elemento

EDIMPR "TB_OUT", "SXX()", FILA, COLM, SXX()

'dibujar componente de esfuerzo IDST por elemento

GRAFIE XYZ(), ELE(), SXX(), GRA(), 7

'componente de esfuerzo por nudo

'calcular valores promedio de esfuerzo en los nudos

ORSONO NXX(), SXX(), ELE(), NNUD

'escribir componente de esfuerzo IDST por nudo

EDIMPR "TB_OUT", "NXX()", FILA, COLM, NXX()

'dibujar componente de esfuerzo promedio IDST por nudo

GRAFIF XYZ(), ELE(), NXX(), GRA(), 6

Figura 1.22. Lámina sometida a tensión con orificio en el centro. Parte de la rutina PEFICA(). Calculo de las componentes de esfuerzo en la estructura.

El vector de desplazamientos en los nudos de un elemento debe obtenerse del vector de

desplazamientos de la estructura obtenido en el apartado anterior, mediante un procedi-miento inverso al ensamblaje en el cual se extraen los coeficientes del vector de la estructu-



esfuerzos en elementos

triangulares linealesnudo i

nudo j

nudo k

xxσ

yyσ

xyσ

esfuerzo

constante

nudo i nudo j nudo k

vector esfuerzos de los

elementos 1,2 y 3

matriz de la componente de

esfuerzos xx por elemento

elemento

esfuerzos en elementos

triangulares linealesnudo i

nudo j

nudo k

xxσ

yyσ

xyσ

xxσ

yyσ

xyσ

esfuerzo

constante

nudo i nudo j nudo k

vector esfuerzos de los

elementos 1,2 y 3

matriz de la componente de

esfuerzos xx por elemento

elemento

ra ubicados en los grados de libertad asociados al elemento. La instrucción EXTRAV es-quematizada en la Figura 1.21 se encarga de esta tarea.

Dado que la lámina esta conformada por un material homogéneo la matriz de constantes elásticas es la misma para todos los elementos finitos, y por esta razón en el código se defi-ne fuera del ciclo de los elementos.

Existen varias formas de organizar los resultados de esfuerzos de acuerdo con las canti-dades de interés en el problema. El código presentado en la Figura 1.22 calcula y dibuja un tipo de esfuerzo seleccionado con la variable IDST, tal como las componentes de esfuer-zos en el plano xyyyxx σσσ ,, , los esfuerzos principales 21 ,σσ o el esfuerzo de von Mises

vmσ . La matriz SXX() guarda los valores de una componente de esfuerzo en los nudos de ca-

da elemento finito. Como se observa Figura 1.23, el esfuerzo en un elemento triangular lineal es igual en sus tres nudos, lo cual es particular en este tipo de elementos. En general, la matriz de operadores diferenciales actuando sobre funciones de forma cambia con res-pecto a la posición en el interior del elemento, como en el elemento rectangular bi-lineal o el cuadrilateral isoparamétrico, en cuyo caso el algoritmo cambia un poco con respecto al indicado para elementos triangulares en la Figura 1.23.

Figura 1.23. Cálculo de la componente de esfuerzo xxσ en cada elemento triangular lineal (resul-

tado elemental).

Dado que los esfuerzos al igual que las deformaciones son el resultado de la derivación de las funciones de aproximación o campo de desplazamientos en el caso de problemas de elasticidad, la función de esfuerzos en la malla es discontinua en los nudos de los elemen-tos, es decir, los elementos que comparten un nudo común presentan valores diferentes de esfuerzo en el mismo. Para obtener una respuesta continua de los campos derivados se recurre a calcular el promedio entre los valores aportados por todos los elementos al nudo específico. La instrucción ORSONO calcula los valores nodales de esfuerzo a partir de la



nudo i nudo j nudo kelemento

nudo i nudo j nudo kelemento

calcular promedio vector de esfuerzos

promedio en los nudos

(resultado nodal)

matriz de esfuerzos en los elementos (resultado elemental)

matriz de conectividadeselementos finitos que

comparten el nudo 86

esfuerzo promedionudo

nudo i nudo j nudo kelemento nudo i nudo j nudo kelemento

nudo i nudo j nudo kelemento nudo i nudo j nudo kelemento

calcular promedio vector de esfuerzos

promedio en los nudos

(resultado nodal)

matriz de esfuerzos en los elementos (resultado elemental)

matriz de conectividadeselementos finitos que

comparten el nudo 86

esfuerzo promedionudo

matriz de esfuerzos por elemento SXX() y de la matriz de conectividades ELE(), como lo ilustra la Figura 1.24.

Las instrucciones GRAFIE y GRAFIF dibujan regiones de colores que describen la distri-bución del esfuerzo xxσ en los elementos y en los nudos respectivamente, como se muestra en la Figura 1.25. De la misma forma se pueden obtener los resultados para otras compo-nentes de esfuerzo, los esfuerzos principales o el esfuerzo de von Mises, tan solo cambian-do el valor del parámetro IDST. Para dibujar la distribución de esfuerzos promedio en los nudos mediante iso-líneas se escribe el número 3 en el último argumento de la instrucción GRAFIF (Figura 1.26).

Figura 1.24. Cálculo del esfuerzo xxσ promedio en el nudo 86 (resultado nodal).

Como fue planteado inicialmente, en el ejemplo se pretende mostrar la distribución de los esfuerzos normales en dirección x sobre la línea AB (Figura 1.1).

El código presentado en la Figura 1.27 obtiene los valores nodales promedio y los valo-res en los elementos que hacen parte del segmento AB. Allí la instrucción ORNLIN crea la lista de los nudos sobre la línea definida entre los nudos 25 (punto A) y 17 (punto B), y los ordena de acuerdo a su distancia con respecto al nudo 25. De forma similar la instrucción



(a)

(b)

(a)

(b)

ORELIN crea un listado de los elementos que comparten uno de sus lados con la línea espe-cificada anteriormente, en cuyo caso no se incluyen los elementos que tienen un solo nudo sobre la línea, como por ejemplo, los elementos 4, 13, 15, 118, 119, 120,121,150, 171,175.

Figura 1.25. Lámina sometida a tensión con orificio en el centro. Gráfico de regiones llenas de la

distribución del esfuerzo xxσ : (a) en los elementos (resultado elemental), (b) promedio en los

nudos (resultado nodal).

El resultado es una tabla donde en la primera columna se indican el número del elemen-to y en la segunda el número del nudo. Ambas instrucciones crean además una matriz que indica las distancias entre el nudo 25 y cada uno de los nudos contenidos en la línea.



Figura 1.26. Lámina sometida a tensión con orificio en el centro. Gráfico de iso-líneas de la distri-

bución del esfuerzo xxσ promedio en los nudos (resultado nodal).

A partir de las matrices obtenidas por los procedimientos anteriores se organiza una ta-bla de esfuerzo promedio en los nudos mostrada en la Figura 1.28(a) y una tabla de esfuer-zo en los elementos presentada en la Figura 1.28(b). Con estos datos se elabora la gráfica tipo dispersión de la Figura 1.28(c), la cual indica con línea discontinua los valores de es-fuerzo promedio en los nudos y con línea continua los esfuerzos en el interior de cada ele-mento finito. Los escalones de esta última función demuestran el valor constante del es-fuerzo en el interior de los elementos triangulares lineales.

'calculo de esfuerzo xx sobre la línea AB

'promedio en los nudos

ORNLIN LNU(), DNU(), XYZ(), 25, 17

EDIMPI "TB_OUT", " nudos el la linea AB", FILA, COLM, LNU()

EDIMPR "TB_OUT", "distancia de los nudos sobre la linea AB", FILA, COLM, DNU()

ORXYNU NAB(), NXX(), LNU()

EDIMPR "TB_OUT", "esfuerzo promedio en los nudos sobre la linea AB", _

FILA, COLM, NAB()

'en los lados de los elementos

ORELIN LEL(), DNU(), XYZ(), ELE(), 25, 17, 0, 1

EDIMPI "TB_OUT", " elementos con lado en la linea AB", FILA, COLM, LEL()

EDIMPR "TB_OUT", "distancia de los nudos sobre la linea AB", FILA, COLM, DNU()

ORXYNU EAB(), SXX(), LEL()

EDIMPR "TB_OUT", "esfuerzo promedio en los nudos sobre la linea AB", _

FILA, COLM, EAB()

Figura 1.27. Lámina sometida a tensión con orificio en el centro. Parte de la rutina PEFICA(). Cálculo del esfuerzo normal en x sobre la línea AB.



solución nodal

nudo dist (pul) sxx sxx/sm

017 3.5 9.6534E+00 0.9653

026 3.0 9.8531E+00 0.9853

027 2.5 1.0065E+01 1.0065

028 2.0 1.0278E+01 1.0278

029 1.5 1.0525E+01 1.0525

030 1.0 1.0942E+01 1.0942

031 0.8 1.1572E+01 1.1572

090 0.5 1.2594E+01 1.2594

106 0.3 1.5277E+01 1.5277

025 0.0 2.1579E+01 2.1579

solución elemental

elem nudo dist (pul) sxx sxx/sm

014 017 3.5 9.7521E+00 0.9752

014 026 3.0 9.7521E+00 0.9752

140 026 3.0 9.9647E+00 0.9965

140 027 2.5 9.9647E+00 0.9965

141 027 2.5 1.0173E+01 1.0173

141 028 2.0 1.0173E+01 1.0173

142 028 2.0 1.0401E+01 1.0401

142 029 1.5 1.0401E+01 1.0401

143 029 1.5 1.0693E+01 1.0693

143 030 1.0 1.0693E+01 1.0693

176 030 1.0 1.1236E+01 1.1236

176 031 0.8 1.1236E+01 1.1236

144 031 0.8 1.1997E+01 1.1997

144 090 0.5 1.1997E+01 1.1997

153 090 0.5 1.3289E+01 1.3289

153 106 0.3 1.3289E+01 1.3289

152 106 0.3 1.7173E+01 1.7173

152 025 0.0 1.7173E+01 1.7173

(a)

(b)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

0.9 1.1 1.3 1.5 1.7 1.9 2.1 2.3

esfuerzo normal en x / esfuerzo medio

dis

tancia

desd

e A

(pu

l)

punto A

nudo 25

punto B

nudo 17

(c)

solución nodal

solución elemental

solución nodal

nudo dist (pul) sxx sxx/sm

017 3.5 9.6534E+00 0.9653

026 3.0 9.8531E+00 0.9853

027 2.5 1.0065E+01 1.0065

028 2.0 1.0278E+01 1.0278

029 1.5 1.0525E+01 1.0525

030 1.0 1.0942E+01 1.0942

031 0.8 1.1572E+01 1.1572

090 0.5 1.2594E+01 1.2594

106 0.3 1.5277E+01 1.5277

025 0.0 2.1579E+01 2.1579

solución elemental

elem nudo dist (pul) sxx sxx/sm

014 017 3.5 9.7521E+00 0.9752

014 026 3.0 9.7521E+00 0.9752

140 026 3.0 9.9647E+00 0.9965

140 027 2.5 9.9647E+00 0.9965

141 027 2.5 1.0173E+01 1.0173

141 028 2.0 1.0173E+01 1.0173

142 028 2.0 1.0401E+01 1.0401

142 029 1.5 1.0401E+01 1.0401

143 029 1.5 1.0693E+01 1.0693

143 030 1.0 1.0693E+01 1.0693

176 030 1.0 1.1236E+01 1.1236

176 031 0.8 1.1236E+01 1.1236

144 031 0.8 1.1997E+01 1.1997

144 090 0.5 1.1997E+01 1.1997

153 090 0.5 1.3289E+01 1.3289

153 106 0.3 1.3289E+01 1.3289

152 106 0.3 1.7173E+01 1.7173

152 025 0.0 1.7173E+01 1.7173

(a)

(b)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

0.9 1.1 1.3 1.5 1.7 1.9 2.1 2.3


dis

tancia

desd

e A

(pu

l)

punto A

nudo 25

punto B

nudo 17

(c)

solución nodal

solución elemental

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

0.9 1.1 1.3 1.5 1.7 1.9 2.1 2.3


dis

tancia

desd

e A

(pu

l)

punto A

nudo 25

punto B

nudo 17

(c)

solución nodal

solución elemental

solución nodal

solución elemental

solución nodal

solución elemental

Figura 1.28. Lámina sometida a tensión con orificio en el centro. Distribución del esfuerzo normal en x sobre la línea AB: (a) tabla de resultados promedio en los nudos, (b) tabla de resultados en los elementos, (c) gráfica de nivel de esfuerzo versus distancia medida desde el punto A.

Capítulo 2 Problemas unidimensionales de campo

escalar

Este capítulo presenta los resultados obtenidos por el programa PEFiCA de un problema de Resistencia de Materiales definido por una ecuación diferencial parcial unidimensional de campo escalar de la forma (Segerlin 1984; Hughes 2000; Oñate & Zárate 2000):

Ω∈∀=+∂

∂xQ

xD 0

2

2φ (2.1)

donde )(xφ es un campo escalar en un dominio unidimensional Ω , y )(xD y )(xQ son parámetros de la ecuación diferencial, sin embargo se considera que conservan un valor constante )(eD y )(eQ en el interior de cada elemento finito.

Uno de los tipos de condiciones de borde más común corresponde a valores conocidos de )(xφ en un contorno Ω∂⊂Γφ , es decir

φφφ Γ∈∀= xx 0)( (2.2)

La anterior ecuación diferencial describe la deflexión de vigas como lo indican los ejemplos presentados a continuación.

2.1. Deflexión de una viga sometida a carga distribuida con elementos unidimensionales lineales

Una viga simplemente apoyada de longitud L=8.00 m está sometida a una carga distribuida parcial w=6 kN/m como se muestra en la Figura 2.1(a). La viga esta construida con un perfil W14x82 de acero cuyo módulo de elasticidad es E=200 GPa y está reforzada en la cuarta parte central con dos placas de 0.5 pulgadas de espesor (Figura 2.1(b)).

De acuerdo con la teoría de vigas (Timoshenko & Young 1965), la deflexión v se obtie-ne de la solución de una ecuación diferencial de la forma:

)()( 2

2

xMdx

vdxEI −= (2.3)

siendo )(xM la función momento flector mostrada en la Figura 2.1(c). El objetivo de este ejemplo es obtener la deflexión a lo largo de la viga resolviendo la

ecuación diferencial anterior mediante el método de los elementos finitos.

24 Capítulo 2. Problemas unidimensionales de campo escalar


x

yA

A’

A-A’

z

y

B

B’

B-B’

z

y

xxM 618)( −=

x1.03.0 1.0 3.0

)(xM

)8(6)( xxM −=

W14x82 W14x82+

2P0.5”273420 mkNEI AA ⋅=296480 mkNEIBB ⋅=

GPaE 200=mkNw 6=

(a)

(c)

(b)

x

yA

A’

A-A’

z

y

B

B’

B-B’

z

y

xxM 618)( −=

x1.03.0 1.0 3.0

)(xM

)8(6)( xxM −=

W14x82 W14x82+

2P0.5”273420 mkNEI AA ⋅=296480 mkNEIBB ⋅=

GPaE 200=mkNw 6=

(a)

(c)

(b)

1 43 9

10 3 5 7 11

010 =φ 011 =φ

1.0 1.0

4

1.0 1.0

6

2

2

1.0

8

1.00.5

1 9

0.5 0.5 0.5

65 87 10

)(kNmM

)( 2kNmEI

96 48073 42073 420

4.1258.250

19.50

25.50

4.501.50

9.0015.00

25.5021.00

(a)

(b)

(c)

1 43 9

10 3 5 7 11

010 =φ 011 =φ

1.0 1.0

4

1.0 1.0

6

2

2

1.0

8

1.00.5

1 9

0.5 0.5 0.5

65 87 10

)(kNmM

)( 2kNmEI

96 48073 42073 420

4.1258.250

19.50

25.50

4.501.50

9.0015.00

25.5021.00

(a)

(b)

(c)

Figura 2.1. Viga sometida a carga distribuida con elementos unidimensionales lineales: (a) es-quema general, (b) corte A-A’ y B-B’, (c) momento flector a lo largo de la viga.

El dominio de la viga se divide en 10 elementos finitos unidimensionales lineales co-

nectados entre sí por 11 nudos como lo indica la Figura 2.2(a). Las condiciones de borde del problema corresponden a valores conocidos de la deflexión en los nudos 10 y 11.

Figura 2.2. Viga sometida a carga distribuida con elementos unidimensionales lineales: (a) malla de elementos finitos, (b) rigidez de cada elemento finito y (c) momento flector constante aproxi-mado en cada elemento finito.

Los elementos finitos numerados del 1 al 4 y del 7 al 10 tienen una rigidez

EI=73420kNm2, mientras que la rigidez de los elementos 5 y 6 en el centro de la viga es

EI=96480kNm2, como se indica en la Figura 2.2(b).

Dado que el vector de términos independientes considera un valor constante de )(xM− en el dominio del elemento finito, es necesario suponer un valor medio del momento en cada elemento de la malla, como lo muestra la Figura 2.2(c).



(a) (b)

(c)

(a) (b)

(c)

Observación. En la carpeta \ejemplos\ se incluye la solución de este problema

con elementos unidimensionales lineales en el archivo PEFICA-1Dviga01.xls.

Los datos del problema se introducen en las celdas de las diferentes hojas de cálculo de acuerdo con el tipo de información. En la Figura 2.3 se ilustra las hojas de cálculo que contienen los datos generales del problema, las coordenadas de los nudos, las conectivida-des de los elementos y las propiedades )(eD y )(eQ de cada uno de ellos.

Figura 2.3. Viga sometida a carga distribuida con elementos unidimensionales lineales: (a) tabla de datos generales, (b) tabla de coordenadas de los nudos y (c) tabla de conectividades y propieda-des de cada elemento finito.

El procedimiento para resolver una ecuación diferencial de campo unidimensional me-

diante el método de los elementos finitos esta explicado en algunas de las referencias rela-cionadas con el tema (Segerlin 1984; Hughes 2000; Oñate & Zárate 2000). Parte del códi-go escrito en la subrutina PEFICA()se presenta en la Figura 2.4. Algunos resultados par-ciales como la matriz de rigidez y el vector de términos independientes del sistema se ilus-tran en la Figura 2.5.

De la solución de la ecuación diferencial de campo unidimensional se obtienen los valo-res del desplazamiento vertical o deflexión en los nudos de la malla de elementos finitos, los cuales se indican en la Figura 2.6 y representan de forma gráfica en la Figura 2.7(a). La derivada de la deflexión con respecto a la posición, la cual corresponde al ángulo de giro de la viga, se puede calcular a partir del producto entre la matriz de operadores actuando sobre las funciones de forma y el vector de valores nodales en el interior de cada elemento. El resultado mostrado en la Figura 2.7(b) pone en evidencia la discontinuidad de la deriva-da de la función de aproximación en los nudos, cuando los elementos finitos tienen conti-nuidad C0 (Oñate & Zárate 2000).



:

:

'matriz de coordenadas de los nudos

EDLECR "TB_XYZ", 5, 2, XYZ(), NNUD, 1

'matriz de conectividades = matriz de incidencias

EDLECI "TB_ELE", 5, 2, INC(), NELE, NGLE

'parametros D y Q del elemento

EDLECR "TB_ELE", 5, 8, DEL(), NELE, 1

EDLECR "TB_ELE", 5, 9, QEL(), NELE, 1

'longitud de cada elemento

ReDim LEL(NELE, 1)

For IELE = 1 To NELE

LEL(IELE, 1) = XYZ(INC(IELE, 2), 1) - XYZ(INC(IELE, 1), 1)

Next IELE

'escribir en hoja de salida los datos de entrada

EDIMEI "TB_OUT", "NNUD", FILA, COLM, NNUD

EDIMEI "TB_OUT", "NELE", FILA, COLM, NELE

EDIMEI "TB_OUT", "NGLT", FILA, COLM, NGLT

EDIMEI "TB_OUT", "NGLD", FILA, COLM, NGLD

EDIMPI "TB_OUT", "INC()", FILA, COLM, INC()

EDIMPR "TB_OUT", "LEL()", FILA, COLM, LEL()

EDIMPR "TB_OUT", "DEL()", FILA, COLM, DEL()

EDIMPR "TB_OUT", "QEL()", FILA, COLM, QEL()

'matriz de rigidez del sistema

MTCONS KGL(), 0, NGLT, NGLT


'matriz de rigidez del elemento

KUNID2 KEL(), DEL(IELE, 1), LEL(IELE, 1)

EDIMPR "TB_OUT", "KEL() - " & IELE, FILA, COLM, KEL()

ENSAMK KGL(), KEL(), INC(), IELE

Next IELE

EDIMPR "TB_OUT", "KGL()", FILA, COLM, KGL(), 1

'vector de fuerzas del sistema

MTCONS FGL(), 0, NGLT, 1


'vector de fuerzas del elemento

FUNID2 FEL(), QEL(IELE, 1), LEL(IELE, 1)

EDIMPR "TB_OUT", "FEL() - " & IELE, FILA, COLM, FEL()


Next IELE


'solución del sistema de ecuaciones simultaneas

MTSUBM KGL(), KAA(), 1, 1, NGLD, NGLD

MTSUBM FGL(), FAA(), 1, 1, NGLD, 1

SOCHLK KAA(), FAA(), DAA()

'deflexión viga formato GL

MTCONS DBB(), 0, NGLC, 1

MTADJU DGL(), DAA(), DBB()

EDIMPR "TB_OUT", "DGL()", FILA, COLM, DGL()

'grafica de la deflexion

EDIMPR "TB_GRA", "XYZ()", 5, 1, XYZ()

EDIMPR "TB_GRA", "DGL()", 5, 4, DGL()

'derivadas de la deflexión

ReDim TDR(2 * NELE, 1)


EXTRAV DGL(), DEE(), INC(), IELE, NGLE

BUNID2 BEL(), LEL(IELE, 1)

MTMULT BEL(), DEE(), DER()

TDR(2 * IELE - 1, 1) = DER(1, 1)

TDR(2 * IELE, 1) = DER(1, 1)

Next IELE

EDIMPR "TB_OUT", "TDR()", FILA, COLM, TDR()

Figura 2.4. Viga sometida a carga distribuida con elementos unidimensionales lineales: parte de la rutina PEFICA().



KGL() (11x11)

C1 C2 C3 C4

F1 2.9368E+05 -1.4684E+05 0.0000E+00 0.0000E+00

F2 -1.4684E+05 2.2026E+05 -7.3420E+04 0.0000E+00

F3 0.0000E+00 -7.3420E+04 1.4684E+05 -7.3420E+04

F4 0.0000E+00 0.0000E+00 -7.3420E+04 1.6990E+05

F5 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 -9.6480E+04

F6 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

F7 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

F8 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

F9 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

F10 -1.4684E+05 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

F11 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

C5 C6 C7 C8

F1 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

F2 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

F3 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

F4 -9.6480E+04 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

F5 1.9296E+05 -9.6480E+04 0.0000E+00 0.0000E+00

F6 -9.6480E+04 1.6990E+05 -7.3420E+04 0.0000E+00

F7 0.0000E+00 -7.3420E+04 1.4684E+05 -7.3420E+04

F8 0.0000E+00 0.0000E+00 -7.3420E+04 2.2026E+05

F9 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 -1.4684E+05

F10 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

F11 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

C9 C10 C11

F1 0.0000E+00 -1.4684E+05 0.0000E+00

F2 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

F3 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

F4 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

F5 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

F6 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

F7 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

F8 -1.4684E+05 0.0000E+00 0.0000E+00

F9 2.9368E+05 0.0000E+00 -1.4684E+05

F10 0.0000E+00 1.4684E+05 0.0000E+00

F11 -1.4684E+05 0.0000E+00 1.4684E+05

FGL() (11x1)

C1

F1 -3.0938E+00

F2 -1.1813E+01

F3 -2.2500E+01

F4 -2.5500E+01

F5 -2.3250E+01

F6 -1.8000E+01

F7 -1.2000E+01

F8 -5.6250E+00

F9 -1.5000E+00

F10 -1.0313E+00

F11 -3.7500E-01

Figura 2.5. Viga sometida a carga distribuida con elementos unidimensionales lineales: matriz de rigidez y vector de términos independientes del sistema escritos en la hoja de resultados TB_OUT.



x (m)

v (m

mx 1

03)

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0

θ(r

ad

x 1

03)

(a)

(b)-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0

x (m)

v (m

mx 1

03)

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0

x (m)

v (m

mx 1

03)

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0

θ(r

ad

x 1

03)

(a)

(b)-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0

DGL() (11x1)

C1

F1 -4.6186E-04

F2 -9.0265E-04

F3 -1.6233E-03

F4 -2.0376E-03

F5 -2.0885E-03

F6 -1.8985E-03

F7 -1.4035E-03

F8 -7.4519E-04

F9 -3.7770E-04

F10 0.0000E+00

F11 0.0000E+00

TDR() (20x1)

C1

F1 -9.2372E-04

F2 -9.2372E-04

F3 -8.8158E-04

F4 -8.8158E-04

F5 -7.2069E-04

F6 -7.2069E-04

F7 -4.1424E-04

F8 -4.1424E-04

F9 -5.0927E-05

F10 -5.0927E-05

F11 1.9006E-04

F12 1.9006E-04

F13 4.9491E-04

F14 4.9491E-04

F15 6.5836E-04

F16 6.5836E-04

F17 7.3497E-04

F18 7.3497E-04

F19 7.5540E-04

F20 7.5540E-04

Figura 2.6. Viga sometida a carga distribuida con elementos unidimensionales lineales: deflexión en los nudos y derivada de la deflexión en los elementos presentados en la hoja de resultados TB_OUT.

Figura 2.7. Viga sometida a carga distribuida con elementos unidimensionales lineales: (a) de-flexión en función de x y (b) derivada de la deflexión o ángulo de giro en función de x.



20 6 10 14 21

020 =φ 021 =φ

8 124 162 18

1 7 11 159 135 173 19

n. extremos

n. intermedios

1 2 9 1043 65 87

20 6 10 14 21

020 =φ 021 =φ

8 124 162 18

1 7 11 159 135 173 19

n. extremos

n. intermedios

1 2 9 1043 65 87

2.2. Deflexión de una viga sometida a carga distribuida con elementos unidimensionales cuadráticos

A continuación se describe la solución del problema anterior utilizando elementos unidi-mensionales cuadráticos.

El dominio de la viga se divide en 10 elementos finitos unidimensionales cuadráticos y 21 nudos como lo indica la Figura 2.8(a). Las condiciones de borde del problema corres-ponden a valores conocidos de la deflexión en los nudos 20 y 21.

La magnitud de las propiedades EID e =)( y MQ e −=)( de cada elemento unidimen-sional cuadrático corresponden a los mismos valores definidos para los elementos unidi-mensionales lineales del Apartado anterior indicados en la Figura 2.2(b) y (c).

Observación. En la carpeta \ejemplos\ se incluye la solución de este problema

con elementos unidimensionales cuadráticos en el archivo PEFICA-1Dviga02.xls.

Figura 2.8. Viga sometida a carga distribuida con elementos unidimensionales cuadráticos: malla de elementos finitos.

A diferencia del código del ejemplo anterior, las subrutinas de creación de matrices

elementales cambian. La Figura 2.9 muestra una parte de la rutina principal PEFI-CA()donde las letras en negrita indican las instrucciones propias de elementos unidimen-sionales cuadráticos.

La deflexión en cada nudo y el ángulo de giro en cada elemento se ilustran en la Figura 2.11. Al igual que en el ejemplo anterior, se observa la discontinuidad de la derivada de la función de aproximación en los nudos de los extremos de los elementos.

:

:

'matriz de rigidez del sistema



'matriz de rigidez del elemento unidimensional cuadrático

KUNID3 KEL(), DEL(IELE, 1), LEL(IELE, 1)

EDIMPR "TB_OUT", "KEL() - " & IELE, FILA, COLM, KEL()


Next IELE

EDIMPR "TB_OUT", "KGL()", FILA, COLM, KGL(), 1

'vector de fuerzas del sistema



'vector de fuerzas del elemento unidimensional cuadrático

FUNID3 FEL(), QEL(IELE, 1), LEL(IELE, 1)

EDIMPR "TB_OUT", "FEL() - " & IELE, FILA, COLM, FEL()



x (m)

v (m

mx 1

03)

θ(r

ad

x 1

03)

(a)

(b)

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0

x (m)

v (m

mx 1

03)

θ(r

ad

x 1

03)

(a)

(b)

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0


Next IELE


:

:

'derivadas de la deflexión

ReDim TDR(2 * NELE, 1)


EXTRAV DGL(), DEE(), INC(), IELE, NGLE

'nudo inicial i

BUNID3 BEL(), 0#, LEL(IELE, 1)


TDR(2 * IELE - 1, 1) = DER(1, 1)

'nudo final k

BUNID3 BEL(), 1#, LEL(IELE, 1)


TDR(2 * IELE, 1) = DER(1, 1)

Next IELE

Figura 2.9. Viga sometida a carga distribuida con elementos unidimensionales cuadráticos: parte de la rutina PEFICA().

Figura 2.10. Viga sometida a carga distribuida con elementos unidimensionales cuadráticos: (a) deflexión en función de x y (b) derivada de la deflexión o ángulo de giro en función de x.

Al comparar los resultados del problema utilizando una malla de 10 elementos finitos

lineales y otra malla de 10 elementos finitos cuadráticos, se observa que la deflexión es casi la misma como lo muestra la Figura 2.11. Sin embargo, haciendo un acercamiento entre



-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0

-2.1

-2.0

-1.9

-1.8

2.5 3.0 3.5 4.0 4.5

x (m)

v (

mm

x 1

03)

elem. lineales

elem. cuadráticos-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0

-2.1

-2.0

-1.9

-1.8

2.5 3.0 3.5 4.0 4.5

x (m)

v (

mm

x 1

03)

elem. lineales

elem. cuadráticos

elem. lineales

elem. cuadráticos

2.5m y 4.5m del extremo izquierdo de la viga se aprecia una pequeña diferencia en el valor máximo de la deflexión.

Figura 2.11. Viga sometida a carga distribuida con elementos unidimensionales cuadráticos: (a) deflexión en función de x y (b) derivada de la deflexión o ángulo de giro en función de x.


Capítulo 3 Problemas bidimensionales de campo escalar

Este capítulo presenta los resultados obtenidos por el programa PEFiCA de algunos pro-blemas de Mecánica de sólidos y de fluidos definidos por una ecuación diferencial parcial bidimensional de campo escalar denominada en ocasiones ecuación bidimensional de Pois-

son (Segerlin 1984; Oñate & Zárate 2000) Sea ),( yxφ un campo escalar en un dominio bidimensional Ω , la ecuación de Poisson

se puede expresar de la forma:

( ) Ω∈∀=+−∂

∂+

∂

∂yxQG

yD

xD yx ,0

2

2

2

2

φφφ

(3.1)

Los parámetros xD , yD , G y Q de la ecuación diferencial dependen de (x,y), sin embar-go, se considera que conservan un valor constante )(e

xD , )(eyD , )(eG y )(eQ en el interior de

cada elemento finito. El tipo de condición de borde más común corresponde a valores co-nocidos de ),( yxφ en un contorno Ω∂⊂Γφ , es decir

( ) φφφ Γ∈∀= yxyx ,),( 0 (3.2)

La solución de la ecuación diferencial anterior mediante el método de los elementos fi-nitos se expresa matricialmente de la forma:

fK =Φ (3.3)

La matriz de rigidez del sistema K y el vector de fuerzas f se obtienen del proceso de ensamblaje de las matrices de rigidez y de los vectores de fuerzas de los elementos, respec-tivamente así:

)(

1

)(

1

, ene

e

ene

e

ffKK AA==

== (3.4)

La matriz de rigidez del elemento finito )(eK está definida como la suma de las siguien-

tes dos integrales en el dominio del elemento,

∫∫ ΩΩ+=+=

)()(

)()()()()()()()()(ee

dAGdA eTeeeeTee

G

e

D

e NNBDBKKK (3.5)

Asimismo, el vector de términos independientes o vector de fuerzas del elemento )(ef

corresponde a una integral en el área de la forma:

34 Capítulo 3. Problemas bidimensionales de campo escalar


∫Ω=)(

)()()(e

dAQ Teee Nf (3.6)

Siendo )(eN la matriz de funciones de forma del elemento y )(eB la matriz de operado-

res diferenciales aplicados sobre las funciones de forma, es decir:

∂

∂=∇= )(

)()()(

e

y

e

xee

N

NNB (3.7)

La matriz diagonal )(eD mostrada a continuación, contiene los parámetros )(e

xD y )(e

yD de la ecuación diferencial en el interior del elemento finito,

= )(

)()(

0

0e

y

e

xe

D

DD (3.8)

El vector de valores nodales del sistema Φ se puede dividir en un subvector de valores nodales desconocidos αΦ y un subvector de valores nodales conocidos βΦ dado por las condiciones de borde del problema, de tal manera que la Ecuación (3.3) de puede reescribir como:

=

−

Φ

Φ

0

0

f

f

KK

KK

β

α

β

α

βββα

αβαα (3.9)

Donde la matriz de rigidez K se ha dividido en las submatrices βααβαα KKK ,, y ββK , de acuerdo con el número de valores nodales desconocidos y conocidos del sistema. Por las mismas razones el vector de fuerzas f está conformado por los subvectores αf y βf . En consecuencia la ecuación anterior corresponde a dos ecuaciones matriciales de la forma:

=−Φ+Φ

=−Φ+Φ

0fKK

0fKK

ββββαβα

αβαβααα (3.10)

Despejando el vector de valores nodales desconocidos de la primera expresión se tiene que:

( )βαβαααα Φ−=Φ − KfK 1 (3.11)

Las cantidades de interés en el interior de cada elemento finito, como la función de aproximación y sus derivadas, se calculan de la siguiente manera. Primero se extrae el vector de valores nodales del elemento )(eΦ a partir del vector de valores nodales del sis-tema Φ y de acuerdo con la información de la tabla de incidencias. Después se evalúa la función de aproximación en los puntos (x,y) del interior del elemento de la forma:

)()()( ),(),(),( eee yxyxyx Ω∈∀Φ= Nφ (3.12)

Finalmente, las derivadas de la función de aproximación del elemento con respecto a x y a y se calculan en cada punto (x,y) como:



)()()( ),(),(),( eee yxyxyx Ω∈∀Φ=∇ Bφ (3.13)

Cada uno de los siguientes apartados presentan la simulación numérica de diferentes problemas físicos gobernados por la Ecuación (3.1).

3.1. Barra prismática sometida a torsión pura

A continuación se describe la solución de un problema particular de la mecánica de sólidos mediante el método de los elementos finitos, en el cual se obtiene la distribución de esfuer-zos cortantes en toda sección transversal de una barra prismática sometida a torsión pura.

El objetivo del problema es encontrar la distribución de esfuerzos cortantes sobre la sección transversal de la barra mediante el método semi-inverso de Saint-Venant (Timoshenko & Goodier 1970; Ortiz 1998). Este método es una simplificación del pro-blema de elasticidad tridimensional en la cual el comportamiento de la barra se obtiene en el dominio bidimensional de la sección transversal.

Sea ),( yxφ la denominada función de Prandtl cuyas derivadas determinan los esfuerzos cortantes en la sección transversal de la barra como:

xyzyzx

∂

∂−=

∂

∂=

φσ

φσ ; (3.14)

y su integral en el área de la sección transversal establece la magnitud del momento tor-sor actuante M de la forma:

∫=A

dAM φ2 (3.15)

Se cumple la siguiente ecuación diferencial bidimensional de campo,

012

12

12

2

2

2

=+∂

∂

+

∂

∂

yx

φ

µθ

φ

µθ (3.16)

donde µ es el módulo de elasticidad a cortante y θ es el ángulo de torsión por unidad de longitud. Las condiciones de borde corresponden a un valor de cero de la función de Prandtl en el contorno externo de la sección transversal Ω∂⊂Γφ , es decir:

φφ Γ∈∀= ),(0),( yxyx (3.17)

El método semi-inverso de Saint-Venant en general es aplicable a cualquier geometría de la sección transversal de la barra (Timoshenko & Goodier 1970; Segerlin 1984; Ortiz 1998).

A partir de la relación entre la momento torsor aplicado M y el ángulo de torsión por unidad de longitud θ , se puede despejar la constante torsional J de la sección transversal de tal forma que:



0.150.15

0.2

50.2

5

M

L

(a)

(b)

261086 mkNG ×=

mkNM ⋅= 50

material: concretosección

transversal

x

y

z

x

y

zxσ

zyσ

0.150.15

0.2

50.2

5

M

L

(a)

(b)

261086 mkNG ×=

mkNM ⋅= 50

material: concretosección

transversal

x

y

z

x

y

zxσ

zyσ

µθθ

MJGJM =→= (3.18)

3.1.1. Descripción del problema y definición de la malla de elementos finitos para una barra de sección rectangular

Una barra prismática de acero está sometida a un par de momentos torsores M = 50 kN·m aplicados en sus extremos como lo indica la Figura 3.1. La sección transversal de forma rectangular tiene una base de 0.30m y una altura de 0.50m, y el módulo de elasticidad al corte del material es de µ = 8 600 000 kN/m2. Debido a la doble simetría de la barra se analiza la cuarta parte superior derecha de la sec-ción transversal como lo indica la Figura 3.2(a). Las condiciones de borde corresponden a valores de φ iguales a cero en el lado AC y BC del dominio modelado.

Observación La carpeta \ejemplos\ incluida en los medios de instalación del

programa PEFiCA contiene un libro de Excel con cada problema resuelto. El ar-

chivo PEFICA-TorsionRectangular12.xls corresponde a la simulación de una

barra prismática de sección transversal rectangular sometida a torsión pura con

una malla de 12 elementos finitos, presentada a continuación. Los resultados del

mismo problema con diferentes mallas de elementos finitos fueron obtenidos con la

rutina principal del archivo PEFICA-TorsionRectangular.xls.

Figura 3.1. Barra prismática sometida a torsión pura: (a) sección transversal, (b) perspectiva de la barra.

Se construye la malla de 20 nudos y 12 elementos finitos rectangulares bilineales de

0.05m por 0.05m, presentada en la Figura 3.2(b). Los nudos de color negro indican los valores nodales desconocidos, en cambio los nudos de color blanco representan los valores nodales conocidos e iguales a cero que representan las condiciones de borde del problema.



0.05 0.05 0.05

0.0

50.0

50.0

50.0

5

0=φ

x

y0.150.15

0.2

50.2

5

(a)

(b)

O A

B C

O A

B C

0.05 0.05 0.05

0.0

50.0

50.0

50.0

5

0=φ

x

y

0.05 0.05 0.05

0.0

50.0

50.0

50.0

5

0=φ

x

y0.150.15

0.2

50.2

5

(a)

0.150.15

0.2

50.2

5

(a)

(b)

O A

B C

O A

B C

Figura 3.2. Barra prismática sometida a torsión pura: (a) sección transversal rectangular, ejes de simetría y dominio discretizado, (b) malla de 12 elementos finitos rectangulares bilineales sobre la cuarta parte de la sección transversal.

3.1.2. Proceso de cálculo y resultados obtenidos para una barra de sección rectangular

La información del problema se introduce en diferentes hojas de cálculo. Las propiedades generales están en la hoja TB_GEN, mientras que las coordenadas de los nudos y las conecti-vidades de los elementos de la malla están ubicadas en las hojas TB_XYZ y TB_ELE respecti-vamente. Con estos datos y mediante la instrucción GRAGEO se genera el gráfico de la geometría de la malla mostrado en la Figura 3.4(a).

El proceso de cálculo está escrito en la rutina PEFICA() del módulo Md en el Entorno de

visual Basic para Aplicaciones y contiene las siguientes tareas:

• Calcular los valores nodales de la función sφ resolviendo la ecuación diferencial parcial (3.16) para un valor supuesto de sθ mediante el método de los elementos fi-nitos.

• Con la Ecuación (3.15), calcular el momento torsor supuesto sM sobre la sección transversal de la barra, sumando el volumen definido por el producto entre el área y el promedio de valores nodales en cada uno de los elementos finitos. Tal volumen representa la integral de la función sφ en el área discretizada. Al considerar una



cuarta parte de la sección transversal, el volumen obtenido se debe multiplicar por 4 para indicar el valor de la integral de sφ en toda la sección.

• Calcular el factor de corrección como el cociente entre el momento torsor real dado en el enunciado del problema y el momento torsor supuesto obtenido de la forma

sMMc = .

• Obtener los valores nodales de la función de Prandtl real corrigiendo los valores de la función de Prandtl supuestos de la forma scφφ = .

• Evaluar las primeras derivadas de la función de Prandtl real en el interior de cada elemento y establecer el valor de las componentes de esfuerzo cortante como lo in-dica la Ecuación (3.14) denominado valor o resultado elemental. En elementos rectangulares bilineales como los utilizados para este ejemplo, las primeras deriva-das de φ son variables con respecto a ( )yx, , por tal razón se evalúan x∂∂φ y

y∂∂φ en puntos especiales del elemento como en las coordenadas de sus nudos y el centro del mismo.

• Calcular el valor promedio de las componentes de esfuerzo sobre los nudos de la malla a partir de los valores obtenidos en el interior de cada elemento. Las canti-dades obtenidas mediante este proceso de suavizado se denominan valores o resul-

tados nodales.

En la hoja de cálculo TB_OUT se imprimen las tablas de coordenadas de los nudos XYZ() y conectividades de la malla ELE()y como resultados la función de Prandtl FIR(), los valo-res elementales TAO()y nodales TAS()de las componentes de esfuerzo cortante sobre la sección transversal.

La Figura 3.3 muestra la parte de la hoja TB_OUT con el resultado elemental y nodal de una componente de esfuerzo en las tablas TAO() y TAS(). La primera tabla contiene en cada fila la componente de esfuerzo cortante zyσ en los cuatro nudos de un elemento finito y en la segunda tabla se presentan el valor promedio sobre los nudos de la misma compo-nente de esfuerzo.

Mediante las instrucciones de generación de gráficos de representaron los siguientes re-sultados del problema:

• La función de Prandtl se ilustra mediante un gráfico de iso-líneas sobre la cuarta parte de la sección transversal como se muestra en la Figura 3.4(b). Las líneas de nivel describen la analogía de la membrana asociada a la función de Prandt. Ade-más, se observa que las líneas están mas cerca en los elementos del contorno lo cual nos indica que sus derivadas son mayores en esta zona.

• La distribución de la componente de esfuerzo cortante zxσ en una cuarta parte de la sección se representa mediante los gráficos de regiones llenas mostrados en la Figura 3.5. El resultado elemental indicado en la Figura 3.5(a) corresponde a los valores de la componente de esfuerzo en el interior del elemento y por tal razón se



observan saltos de la gama de colores entre elemento y elemento. El resultado no-dal indicado en la Figura 3.5(b) corresponde a los valores promedios sobre los nu-dos de la componente de esfuerzo suavizados con las funciones de forma de los elementos. La componente de esfuerzo cortante zxσ adquiere un valor máximo ne-gativo de -4610 kN/m2 en la mitad del lado superior.

• La distribución de la componente de esfuerzo cortante zyσ en una cuarta parte de la sección se representa mediante dos gráficos de regiones llenas. La Figura 3.6(a) muestra el resultado en el interior de cada elemento, en cambio la Figura 3.6(b) in-dica el resultado promedio en los nudos. La componente de esfuerzo cortante zyσ adquiere su valor máximo positivo en la mitad del lado derecho ubicada en el nudo 13 de la malla. La tabla TAS()de la Figura 3.3 muestra que el valor máximo de es-fuerzo es de 5209 kN/m2 y coincide con dicho nudo.

TAO():esfuerzo Szy - Resultado elemental (12x4)

C1 C2 C3 C4

F1 9.4529E+02 9.4529E+02 8.8991E+02 8.8991E+02

F2 2.9377E+03 2.9377E+03 2.7850E+03 2.7850E+03

F3 5.2089E+03 5.2089E+03 4.9987E+03 4.9987E+03

F4 8.8991E+02 8.8991E+02 7.1047E+02 7.1047E+02

F5 2.7850E+03 2.7850E+03 2.2865E+03 2.2865E+03

F6 4.9987E+03 4.9987E+03 4.3022E+03 4.3022E+03

F7 7.1047E+02 7.1047E+02 4.0103E+02 4.0103E+02

F8 2.2865E+03 2.2865E+03 1.3228E+03 1.3228E+03

F9 4.3022E+03 4.3022E+03 2.8819E+03 2.8819E+03

F10 4.0103E+02 4.0103E+02 0.0000E+00 0.0000E+00

F11 1.3228E+03 1.3228E+03 0.0000E+00 0.0000E+00

F12 2.8819E+03 2.8819E+03 0.0000E+00 0.0000E+00

TAS():esfuerzo Szy - Resultado nodal (20x1)

C1

F1 9.4529E+02

F2 1.9415E+03

F3 4.0733E+03

F4 8.8991E+02

F5 1.8374E+03

F6 3.8919E+03

F7 7.1047E+02

F8 1.4985E+03

F9 3.2944E+03

F10 4.0103E+02

F11 8.6190E+02

F12 2.1023E+03

F13 5.2089E+03

F14 4.9987E+03

F15 4.3022E+03

F16 2.8819E+03

F17 0.0000E+00

F18 0.0000E+00

F19 0.0000E+00

F20 0.0000E+00

Figura 3.3. Barra prismática sometida a torsión pura. Parte de la hoja de cálculo TB_OUT que indica los valores elementales y nodales de la componente de esfuerzo cortante

zyσ en kN/m2.



1.0

P E F i C AC AC AC A1.0

P E F i C AC AC AC A

1.0



(a) (b)

1.0





1.0





(a) (b)

1.0





(a) (b)

1.0













(a) (b)

Figura 3.4. Barra prismática sometida a torsión pura. Gráficas de PEFiCA: (a) geometría, (b) fun-ción de Prandtl.

3.1.3. Resultados con diferentes mallas de elementos finitos para una barra de sección rectangular

La distribución de esfuerzos cortantes obtenida con la malla de 12 elementos finitos es sa-tisfactoria, sin embargo la aproximación puede mejorar mediante análisis con mallas de elementos finitos más pequeños. A continuación se presentan los resultados del mismo problema utilizando mallas de 12, 48, 108, 192 y 300 elementos finitos rectangulares bili-neales.

Figura 3.5. Barra prismática sometida a torsión pura. Distribución de esfuerzos cortantes en x: (a) resultado elemental, (b) resultado nodal.



1.0



1.0



(a) (b)

1.0



1.0







1.0





(a) (b)

Figura 3.6. Barra prismática sometida a torsión pura. Distribución de esfuerzos cortantes en y: (a) resultado elemental, (b) resultado nodal.

:

'parámetros generales, propiedades y geometría

'--------------------------------------------------------------------------



'crear la geometria (malla)

EDLECR "TB_GEN", 17, 2, GEM(), 6, 1 'parametros de generación de malla

GEMARE GEM(), XYP(), ELP(), NNUD, NELE, NNUE, NDIM 'generar malla

'crear tabla de condiciones de borde

ReDim MRE(NNUD, 1)

'línea AC

EDLECR "TB_GEN", 24, 2, XLN(), 2, 2 'ubicación condiciones de borde línea AC

ORNLIX CBAC(), TM1(), XYP(), XLN(), 0.00001 'identificar nudos en la línea AC

PBDEMI CBAC(), NF, NC

For I = 1 To NF

MRE(CBAC(I, 1), 1) = 1

Next I

'línea BC

EDLECR "TB_GEN", 26, 2, XLN(), 2, 2 'ubicación condiciones de borde en BC

ORNLIX CBBC(), TM1(), XYP(), XLN(), 0.00001 'identificar nudos sobre BC

PBDEMI CBBC(), NF, NC

For I = 1 To NF

MRE(CBBC(I, 1), 1) = 1

Next I

'reorganizar la numeración de los nudos

NGLNUD MGL(), MRE(), 1

ReDim XYZ(NNUD, NDIM)

For I = 1 To NNUD

For J = 1 To NDIM

XYZ(MGL(I, 1), J) = XYP(I, J)

Next J

Next I

NGLELE ELE(), MGL(), ELP()

:

Figura 3.7. Barra prismática sometida a torsión pura. Parte de la rutina PEFICA() que incluye la instrucción GEMARE.



El programa PEFiCA cuenta con una instrucción capaz de generar mallas de elementos finitos rectangulares bilineales sobre regiones rectangulares indicando el número de ele-mentos en las direcciones x y y. Utilizando dicha instrucción se modelo la barra prismática sometida a torsión con 5 mallas diferentes conservando la relación de aspecto de sus ele-mentos. La Figura 3.7 muestra parte de la rutina PEFICA() incluyendo la instrucción de generación de malla GEMARE.

La malla 1 corresponde a una cuadrícula de 12 elementos finitos distribuidos en 3 co-lumnas de elementos en la dirección x por 4 columnas de elementos en la dirección y, la malla 2 tiene 48 elementos cuadrados de 0.025m de lado, distribuidos en 6 columnas de elementos en x y 8 filas de elementos en dirección y; la malla 3 tiene 108 elementos cua-drados de 0.01667m de lado, distribuidos en una cuadrícula de 9 por 12; la malla 4 tiene 192 elementos cuadrados de 0.0125m de lado, distribuidos en una cuadrícula de 12 por 16 y la malla 5 tiene 300 elementos cuadrados de 0.0100m de lado, distribuidos en una cuadrícu-la de 15 por 20.

La Figura 3.8 ilustra la distribución de esfuerzos cortantes promedio en los nudos de las 5 mallas de elementos finitos obtenida con las instrucción gráfica del programa GRAFIF. En la primera fila se muestra la distribución del esfuerzo zyσ en 2/ mkN cuyo valor máxi-mo ocurre en el extremo inferior derecho de cada una de las mallas. En la segunda fila se ilustra el esfuerzo zxσ en la malla y se indica su valor máximo, el cual está ubicado en el extremo superior izquierdo de cada malla.

Comparando los resultados de las 4 primeras mallas con la malla más fina se obtiene un error en el valor del esfuerzo cortante máximo del 12% en la malla 1, del 6% en la malla 2, del 3% en la malla 3 y del 1% en la malla 4. Lo anterior demuestra que la solución del problema es convergente a medida que los elementos finitos son más pequeños.

Figura 3.8. Barra prismática sometida a torsión pura. Distribución de esfuerzos cortantes para 5 mallas de elementos finitos.

Malla 1 12 elems.

5209

-4606

)/( 2mkNzyσ

1.0


1.0


Malla 2 48 elems.

Malla 3 108 elems.

Malla 4 192 elems.

Malla 5 300 elems.

)/( 2mkNzxσ

5621

-4982

5790

-5144

5937

-5287

5881

-5232

Malla 1 12 elems.

5209

-4606

)/( 2mkNzyσ

1.0


1.0


Malla 2 48 elems.

Malla 3 108 elems.

Malla 4 192 elems.

Malla 5 300 elems.

)/( 2mkNzxσ

5621

-4982

5790

-5144

5937

-5287

5881

-5232



)/( 2mkNzxσ

)/( 2mkNzyσ

),( yxφ

0.90

1.20

0.90

0.30

0.30

0.30

(a) (b)

(c)(d)

)/( 2mkNzxσ

)/( 2mkNzyσ

),( yxφ

0.90

1.20

0.90

0.30

0.30

0.30

0.90

1.20

0.90

0.30

0.30

0.30

(a) (b)

(c)(d)

3.1.4. Simulación numérica de barras sometidas a torsión pura con otras secciones transversales

Mediante el mismo procedimiento presentado anteriormente se predice la distribución de esfuerzos cortantes en barras sometidas a torsión pura para cualquier forma de la sección transversal. A continuación se presentan los resultados obtenidos en barras con dos sec-ciones transversales diferentes sometidas a un momento torsor de 120 kN-m, cuyo módulo de elasticidad a cortante del material es de 8 600 000 kN/m2.

Se simuló numéricamente una barra sometida a torsión pura de sección transversal en forma de zeta mediante una malla de 364 nudos y 618 elementos triangulares lineales mos-trados en la Figura 3.9(a). Las condiciones de borde del problema establecen que la fun-ción de Prandtl es igual a cero en el contorno de la sección.

De la solución numérica de la ecuación diferencial se obtiene la función de Prandtl en los nudos de la malla y en el interior de cada elemento como se muestra en la Figura 3.9(b). A partir de las derivadas de las funciones de aproximación de calcula la distribución de los esfuerzos cortantes zyσ y zxσ como lo indica la Figura 3.9(c) y la Figura 3.9(d), respecti-vamente. Se concluye que el esfuerzo cortante máximo es igual 1760 kN/m2 y que la cons-tante torsional J de la sección transversal evaluada con la Ecuación (3.18) es igual 0.02027 m4.

Figura 3.9. Barra prismática sometida a torsión pura de sección transversal tipo zeta: (a) geometría y malla de elementos finitos, (b) función de Prandtl, (c) y (d) distribución de la componente de



)/( 2mkNzxσ)/( 2mkNzyσ

),( yxφ0.60

0.30(a) (b)

(c)(d)

)/( 2mkNzxσ)/( 2mkNzyσ )/( 2mkNzyσ

),( yxφ0.60

0.30

0.60

0.30(a) (b)

(c)(d)

esfuerzos cortantes en y y en z, respectivamente. Finalmente se modeló una barra de sección transversal hexaédrica tubular mostrada en

la Figura 3.10(a), mediante una malla de 378 nudos y 648 elementos triangulares lineales, y considerando como condiciones de borde que la función de Prandtl es igual a cero en el contorno externo de la sección.

Al igual que el ejemplo anterior, se obtuvo la función de Prandtl y la distribución de es-fuerzos cortantes zyσ y zxσ en la sección transversal, como lo muestran la Figura 3.10(b), la Figura 3.10(c) y la Figura 3.10(d), respectivamente. El esfuerzo máximo es igual a 1760 kN/m2 y está ubicado en las caras superior e inferior de la sección (Figura 3.10(d)). La constante torsional J de la sección corresponde a 0.04733 m4.

Figura 3.10. Barra prismática sometida a torsión pura de sección transversal hexagonal tubular: (a) geometría y malla de elementos finitos, (b) función de Prandtl, (c) y (d) distribución de la compo-nente de esfuerzos cortantes en y y en z, respectivamente.


programa PEFiCA incluye un libro de Excel con cada problema resuelto. Los ar-

chivos PEFICA-TorsionZeta.xls y PEFICA-TorsionHexagonal.xls contienen la

simulación numérica de barras sometidas a torsión pura para dos tipos de sección



transversal diferentes. La subrutina principal de estos archivos mostrada en la

Figura 3.11 y en la Figura 3.12, permite obtener la distribución de esfuerzos cor-

tantes para cualquier sección transversal.

Public Sub PEFICA()

:

'parámetros generales, propiedades y geometría





EDLECE "TB_GEN", 8, 2, NNUE 'número de grados de libertad por elemento


NPOI = NNUE

'leer tablas de geometría

EDLECR "TB_XYZ", 5, 2, XYZ(), NNUD, NDIM 'coordenadas de los nudos

EDLECI "TB_ELE", 5, 2, ELE(), NELE, NNUE 'conectividades del elemento

EDIMPR "TB_OUT", "XYZ()", FILA, COLM, XYZ()

EDIMPI "TB_OUT", "ELE()", FILA, COLM, ELE()

'dibujar geometría

GRAGEO XYZ(), ELE(), GRA(), 2

'leer propiedades del problema

EDLECE "TB_GEN", 12, 2, ELAG 'módulo elástico a cortante

EDLECE "TB_GEN", 13, 2, MTOR 'momento torsor real

ANGS = 1# 'ángulo de giro por unidad de longitud sup

'parámetros de la ecuación diferencial

DECD = 1 / (2 * ELAG * ANGS)

QECD = 1#

'tabla de indicadores de los GL conocidos

EDTABI "TB_RES", 5, 2, MRE(), NNUD, NGLN 'leer tabla

EDIMPI "TB_OUT", "MRE()", FILA, COLM, MRE() 'escribir tabla completa

'numeración de grados de libertad y matriz de incidencias


NGLNUD MGL(), MRE(), 1 'construir la matriz de GL por nudo





NGLT = NNUD * NGLN 'número de grados de libertad

NGLD = NGLT - NGLC 'número de grados de libertad desconocidos

MTCONS DBB(), 0#, NGLC, 1 'matriz de valores nodales conocidos

'valores nodales supuestos de la función de Prandtl

'matriz de rigidez de la estructura



KTRIAN KEL(), XYZ(), ELE(), IELE, DECD, DECD, 0#


Next IELE

'vector de terminos independientes en los elementos



FTRIAN FEL(), XYZ(), ELE(), IELE, QECD


Next IELE

'submatriz Kaa y subvector Fa


MTSUBM FGL(), FAA(), 1, 1, NGLD, 1

'solucionar sistema de ecuaciones

SOCHLK KAA(), FAA(), DAA()

'vector de valores nodales completo supuesto

MTADJU DIS(), DAA(), DBB()

EDIMPR "TB_OUT", "DIS()", FILA, COLM, DIS()

Figura 3.11. Barra prismática sometida a torsión pura. Rutina PEFICA() de uso general para cual-quier forma de sección transversal con elementos triangulares lineales (primera parte)



'momento torsor supuesto

'---------------------------------------------------------------------------

'construir tabla de función de Prandtl por elemento

MTOS = 0


EXTRAV DIS(), DEL(), INC(), IELE 'extraer el vector de valores nodales

'calcular promedio para elementos triangulares lineales

DELE = (DEL(1, 1) + DEL(2, 1) + DEL(3, 1)) / 3

'calcular el area del elemento

AELE = ELATRI(XYZ(), ELE(), IELE)

MTOS = MTOS + DELE * AELE

Next IELE

MTOS = 2 * MTOS

'----------------------------------------------------------------------------

'valores nodales reales de la función de Prandtl

'----------------------------------------------------------------------------

'factor de corrección y ángulo de torsión por unidad de longitud real

ALFA = MTOR / MTOS

ANGR = ANGS * ALFA

'ángulo de torsión por unidad de longitud

EDIMER "TB_OUT", "ANGR", FILA, COLM, ANGR

'constante torsional

JCON = MTOR / (ELAG * ANGR)

EDIMER "TB_OUT", "JCON", FILA, COLM, JCON

'valores nodales reales de la función de Prandtl

MTPORE DIS(), ALFA, DIR()

'organizar y dibujar función de Prandtl

ORGLFU DXY(), DIR(), MGL()

EDIMPR "TB_OUT", "DIR()", FILA, COLM, DIR()

TITU = "Función de Prandtl"

GRAFIF XYZ(), ELE(), DXY(), GRA(), 3, TITU

'esfuerzos cortantes sobre la sección transversal

'---------------------------------------------------------------------------

For IDST = 1 To 2

'IDST =1 dibuja la componente de esfuerzo Szy

'IDST =2 dibuja la componente de esfuerzo Szx

'calcular y dibujar esfuerzos

MTCONS TAO(), 0, NELE, NPOI


EXTRAV DIR(), DEL(), INC(), IELE

BTRIAN BEL(), XYZ(), ELE(), IELE

MTMULT BEL(), DEL(), TAE() 'esfuerzos cortantes [-Szy ; Szx]

For IPOI = 1 To NPOI

Select Case IDST

Case 1 'Szy

TAO(IELE, IPOI) = -TAE(IDST, 1)

LBST = "esfuerzo Szy"

Case 2 'Szx

TAO(IELE, IPOI) = TAE(IDST, 1)

LBST = "esfuerzo Szx"

End Select

Next IPOI

Next IELE

'titulo del grafico

'componente de esfuerzo en el interior de los elementos

EDIMPR "TB_OUT","TAO():" & LBST & " - Resultado elemental",FILA,COLM,TAO()

'dibujar componente de esfuerzo IDST por elemento

GRAFIE XYZ(), ELE(), TAO(), GRA(), 7, TITU

'componente de esfuerzo promedio en los nudos o resultado nodal

ORSONO TAS(), TAO(), ELE(), NNUD

EDIMPR "TB_OUT", "TAS():" & LBST & " - Resultado nodal", FILA, COLM, TAS()

TITU = LBST & " - Resultado nodal"

'dibujar componente de esfuerzo IDST por nudo

GRAFIF XYZ(), ELE(), TAS(), GRA(), 6, TITU

Next IDST

End Sub

Figura 3.12. Barra prismática sometida a torsión pura. Rutina PEFICA() de uso general para cual-quier forma de sección transversal con elementos triangulares lineales (segunda parte)



18.00

2.00

4.00

8.00

1.00presa

roca impermeable

suelotablestaca

81

11.50

18.00

2.00

4.00

8.00

1.00presa

roca impermeable

suelotablestaca

81

11.50

3.2. Infiltración del agua en suelos permeables

A continuación se describe la solución de un problema particular de la mecánica de fluidos mediante el método de los elementos finitos, en el cual se obtiene la cabeza piezométrica del agua infiltrada en un suelo permeable. La ecuación fundamental del flujo bidimensio-nal de agua en suelos es de la forma (Segerlin 1984):

02

2

2

2

=∂

∂+

∂

∂

yk

xk yx

φφ (3.19)

donde φ es la cabeza piezométrica medida desde una línea de referencia, y xk y yk son las permeabilidades del suelo en dirección x y y respectivamente. Las condiciones de bor-de generalmente corresponden a valores conocidos de la cabeza piezométrica y a regiones de infiltración nula.

Una presa impermeable divide el agua manteniendo una cabeza piezométrica de 8.00m a la izquierda y 1.00m a la derecha como lo muestra la Figura 3.13. El agua se infiltra a una tasa hmkk yx /8.1== en un suelo permeable limitado por un lecho inclinado de roca impermeable y por la misma presa. Se desean obtener las líneas de igual cabeza piezomé-trica del agua en el suelo.


programa PEFiCA contiene el archivo PEFICA-Infiltracion.xls que correspon-

de al ejemplo de infiltración en suelos permeables presentado esta sección.

Figura 3.13. Infiltración del agua en suelos permeables. Esquema descriptivo del suelo bajo una presa.

El dominio del problema modelado es el suelo permeable 18.00m a la izquierda y

12.00m a la derecha de la presa, y limitado abajo por la roca impermeable como lo indica la Figura 3.14. Se construye una malla de 353 elementos triangulares lineales y 210 nudos, con valores nodales conocidos =φ 8.00m y =φ 1.00m como condiciones de borde.



18.0018.00 12.00

2.00

4.00

18.00

12.00

8.00 1.00presa

roca impermeable

suelotablestaca

8.001.00

=φ =φ

18.0018.00 12.00

2.00

4.00

18.00

12.00

8.00 1.00presa

roca impermeable

suelotablestaca

8.001.00

=φ =φ

1.0





Figura 3.14. Infiltración del agua en suelos permeables. Malla de elementos finitos y condiciones de borde.

Figura 3.15. Infiltración del agua en suelos permeables. Líneas de igual cabeza piezométrica.

El código mostrado en la Figura 3.16 y escrito en el programa, permite obtener las lí-

neas de igual cabeza piezométrica en el suelo que se ilustran en la Figura 3.15.



:





EDLECE "TB_GEN", 8, 2, NNUE 'número de gl por elemento


'leer geometría

EDLECR "TB_XYZ", 5, 2, XYZ(), NNUD, NDIM 'leer matriz de coord. nudos

EDLECI "TB_ELE", 5, 2, ELE(), NELE, NNUE 'leer matriz de conectividades

'(opcional) escribir geometría

EDIMPR "TB_OUT", "XYZ()", FILA, COLM, XYZ() 'escribir matriz de coord. nudos

EDIMPI "TB_OUT", "ELE()", FILA, COLM, ELE() 'escribir matriz de conectividades

'(opcional) dibujar geometría

'GRAFDE GRA() 'si no tiene parámetros de dibujo puede activar esta línea

EDLECI "TB_GEN", 33, 2, GRA(), 14, 1 'leer parámetros de dibujo

GRAGEO XYZ(), ELE(), GRA(), 2 'dibuja elementos

Debug.Print "dibujar geometría"

'leer propiedades mecánicas

EDLECE "TB_GEN", 12, 2, KPEX 'coeficiente de permeabilidad en x

EDLECE "TB_GEN", 13, 2, KPEY 'coeficiente de permeabilidad en y

'tabla de indicadores de los GL conocidos

EDTABI "TB_RES", 5, 2, MRE(), NNUD, NGLN 'leer tabla

EDIMPI "TB_OUT", "MRE()", FILA, COLM, MRE() 'escribir tabla completa

'tabla de valores de los GL conocidos

EDTABR "TB_RES", 5, 4, MRV(), NNUD, NGLN 'leer tabla

EDIMPR "TB_OUT", "MRV()", FILA, COLM, MRV() 'escribir tabla completa


NGLNUD MGL(), MRE(), 1 'construir la matriz de grados de libertad por nudo





NGLT = NNUD * NGLN 'número de grados de libertad

NGLD = NGLT - NGLC 'número de grados de libertad desconocidos

Debug.Print "construcción de la matriz de incidencias"

'condiciones de borde: construir vector de valores nodales conocidos

ORFUGL TM1(), MRV(), MGL()

MTSUBM TM1(), DBB(), NGLD + 1, 1, NGLC, 1

EDIMPR "TB_OUT", "DBB()", FILA, COLM, DBB() 'escribir tabla completa

'matriz de rigidez



KTRIAN KEL(), XYZ(), ELE(), IELE, KPEX, KPEY, 0#


Next IELE

'submatriz Kaa y Kab


MTSUBM KGL(), KAB(), 1, NGLD + 1, NGLD, NGLC

'Kaa*Da=-Kab*Db+Fa siendo Fa=0

MTMULT KAB(), DBB(), TM1()

MTPORE TM1(), -1, TM2()

SOCHLK KAA(), TM2(), DAA() 'solucionar sistema de ecuaciones

Debug.Print "ensamblaje y solución del sistema de ecuaciones. " & Time

'vector de valores nodales completo

MTADJU DGL(), DAA(), DBB()

EDIMPR "TB_OUT", "DGL()", FILA, COLM, DGL()

'organizar y dibujar función de aproximación

ORGLFU DXY(), DGL(), MGL()

EDIMPR "TB_OUT", "DXY()", FILA, COLM, DXY()

GRAFIF XYZ(), ELE(), DXY(), GRA(), 0

:

Figura 3.16. Infiltración del agua en suelos permeables. Parte de la rutina PEFICA().



2000 m

1500 m

3000 m

2000 m

3000 m

200 m=φ

200 m=φ

impermeable

impermeable

Sumidero

Q= 1500 m3/día

2000 m

1500 m

3000 m

2000 m

3000 m

200 m=φ

200 m=φ

impermeable

impermeable

Sumidero

Q= 1500 m3/día

3.3. Infiltración del agua en acuíferos

A continuación se describe la solución de un problema de la mecánica de fluidos mediante el método de los elementos finitos, en el cual se obtiene el nivel del agua en un acuífero confinado por fronteras impermeables. La ecuación que describe el fenómeno es de la forma (Segerlin 1984):

02

2

2

2

=+∂

∂+

∂

∂Q

yk

xk yx

φφ (3.20)

Figura 3.17. Infiltración del agua en acuíferos. Esquema descriptivo.

donde φ es el nivel del agua medido desde una línea de referencia, Q es el caudal de sa-

lida de un sumidero y xk y yk son las permeabilidades del suelo en dirección x y y respec-tivamente. Las condiciones de borde generalmente corresponden a valores conocidos del nivel del agua y a contornos impermeables.

Un acuífero tiene un sumidero con un caudal de salida de 1500m3/día y está confinado por dos contornos impermeables en los costados norte y sur, como lo indica la vista en planta de la Figura 3.17. La permeabilidad del acuífero en dirección x y y es 15.0 m/día y el nivel del agua en los costados este u oeste es igual a 200m. Se desean obtener las curvas de nivel del agua en el acuífero.


programa PEFiCA contiene el archivo PEFICA-Acuífero.xls que corresponde al

ejemplo de infiltración del agua en acuíferos presentado esta sección.

El dominio del problema se dividió en 196 elementos triangulares lineales, nudos 119 y 15 valores nodales conocidos del nivel del agua φ =200m, como lo indica la Figura 3.18. El caudal de salida está ubicado en el nudo 64 de la malla.



1.0


1.0


1.0


1.0


Figura 3.18. Infiltración del agua en acuíferos. Malla de elementos finitos.

Utilizando un código similar al presentado en la Figura 3.16, se obtiene la cabeza pie-

zométrica en los nudos de la malla, a partir de los cuales se trazan las líneas de igual cabeza piezométrica o curvas de nivel del agua en el interior del acuífero. La Figura 3.19 muestra el gráfico de iso líneas generado por el programa, donde se observa la reducción de la cabe-za piezométrica desde los extremos laterales hacia el sumidero.

Figura 3.19. Infiltración del agua en acuíferos. Curvas de nivel del agua.


Capítulo 4 Problemas de elasticidad bidimensional

Este capítulo describe la formulación, implementación y aplicación del método de los ele-mentos finitos en el cálculo de los desplazamientos, las deformaciones y los esfuerzos en sólidos en condición plana de esfuerzos y de deformaciones, sometidos a fuerzas estáticas puntuales o distribuidas, cuyo material es elástico lineal isótropo (Zienkiewicz 1980; Seger-lin 1984; Weaver & Johnson 1984; Cook, Malkus et al. 1989; Oñate & Zárate 1995; Hug-hes 2000; Oñate & Zárate 2000).

4.1. Formulación en elementos finitos

El campo de las deformaciones infinitesimales corresponde al gradiente simétrico del cam-po de los desplazamientos [ ]Tvu=u , por lo tanto las componentes de deformación son las primeras derivadas de las componentes de desplazamiento. En problemas definidos en un espacio bidimensional en el plano xy la deformación es igual a:

∂+∂

∂

∂

=

∂∂

∂

∂

=

→∇=

vu

v

u

v

u

xy

y

x

xy

y

x

xy

yy

xx

s 0

0

γ

ε

ε

uε (4.1)

La ecuación anterior se denomina relación deformación infinitesimal – desplazamiento. Las componentes de la deformación εεεε y de esfuerzo σσσσ contenidas en un plano xy están

definidas mediante matrices columna de la forma:

[ ]Txyyyxx γεε=ε (4.2)

[ ]Txyyyxx σσσ=σ (4.3)

La ecuación constitutiva de un material elástico lineal isótropo relaciona al esfuerzo y la deformación en cada punto material y en cada instante de tiempo, de la forma:

εDσ = (4.4)

Siendo D la matriz constitutiva elástica que depende del módulo de Young E y de la re-lación de Poisson ν del material. En condición plana de esfuerzos la ecuación constitutiva corresponde a:

54 Capítulo 4. Problemas elasticidad bidimensional


−−

=

xy

yy

xx

xy

yy

xxE

γ

ε

ε

ν

ν

ν

νσ

σ

σ

)1(00

01

01

121

2 (4.5)

En cambio, la ecuación constitutiva para condición plana de deformaciones se puede expresar como:

−

−

−

−+=

xy

yy

xx

xy

yy

xxE

γ

ε

ε

ν

νν

νν

ννσ

σ

σ

)21(00

0)1(

0)1(

)21)(1(21

(4.6)

En cuerpos deformables, el trabajo virtual hecho por las fuerzas reales se puede dividir en dos partes: el trabajo virtual hecho por las fuerzas internas denominado trabajo virtual

interno y el trabajo virtual realizado por las fuerzas externas llamado trabajo virtual exter-

no (Oñate & Zárate 1995). Sea un cuerpo de volumen V y de superficie de contorno V∂ , sujeto a fuerzas de cuerpo

por unidad de volumen b, a fuerzas de superficie por unidad de área p y a fuerzas puntuales

)(nf aplicadas sobre el contorno Vt ∂⊂Γ . Las condiciones de borde sobre el cuerpo co-rresponden a valores conocidos del desplazamiento real ∗= uu en los puntos materiales que hacen parte de un contorno definido Vu ∂⊂Γ .

El campo del desplazamiento virtual )(xuδ , definido como una variación del desplaza-miento, corresponde a una función cualquiera que cumple con la condición de borde de la forma:

uΓ∈∀= x0xu )(δ (4.7)

El trabajo virtual externo, es aquel realizado por las fuerzas reales externas b, p y )(nf mientras se presenta un desplazamiento virtual uδ . En cambio, el trabajo virtual interno

es igual al trabajo por unidad de volumen realizado por el esfuerzo asociado a desplaza-mientos virtuales σu Ts )( δ∇ o densidad de energía de deformación, integrado en el volumen del sólido.

El principio de los trabajos virtuales establece que un cuerpo está en equilibrio si y solo si, el trabajo virtual realizado por todas las acciones internas y externas es nulo, es decir:

∑∫∫∫=Γ

++=∇r

n

n

T

n

V

TT

V

Ts dVdSdV

t1

)()()( xfxubupuσu δδδδ (4.8)

donde )(n

xuδ y )(n

xf son los vectores de desplazamiento virtual y de fuerza puntual de una partícula ubicada en la posición

nx .

La ecuación anterior es válida para todo campo de desplazamientos virtuales que cum-pla con las condiciones de borde cinemáticas dadas en la Ecuación (4.7). Para problemas bidimensionales los vectores de fuerzas de superficie p, fuerzas de cuerpo b y desplaza-miento virtual uδ son de la forma:



[ ] [ ] [ ]TT

yx

T

yx vubbpp δδδ === ubp ,, (4.9)

Sea un sólido cuyo volumen V es aproximadamente igual a suma de m subdominios de cada elemento finito )(eV , el principio de los trabajos virtuales se puede expresar de la for-ma:

∑∑ ∫∫∑ ∫== Γ=

+

+=∇

r

n

n

T

n

m

e V

e

T

ee

T

e

m

e V

e

T

e

s

et

e

dVdSdV11

)()()()(1

)()( )()()()()(

xfxubupuσu δδδδ (4.10)

donde los vectores )(ep , )(eb , )(eσ y )(euδ , corresponden a las fuerzas de superficie, a las fuerzas de cuerpo, a los esfuerzos y a los desplazamientos virtuales respectivamente en el interior del elemento finito (e).

El desplazamiento de todo punto en el dominio de un elemento finito cuya matriz de funciones de forma es )(xN

e se expresa en términos de los valores nodales del desplaza-

miento e

aδ como:

)()()()( )()( e

eee V∈∀= xaxNxu (4.11)

La deformación es igual al operador diferencial actuando sobre el vector desplazamien-to, es decir:

)()()()()()()( )()()()( e

eeee

s

e

s

e V∈∀=∇=∇= xaxBaxNxuxεεεε (4.12)

Siendo )()( e

s

e NB ∇= el operador diferencial actuando sobre las funciones de forma. De igual forma, el desplazamiento virtual y el operador diferencial actuando sobre el

desplazamiento virtual en un elemento finito son iguales a:

)()()()()()( , eee

s

eee aBuaNu δδδδ =∇= (4.13)

Sustituyendo las expresiones anteriores y la ecuación constitutiva de la forma

)()()( eee εDσ = en la Ecuación (4.10), se obtiene lo siguiente:

)(

1)()()()()(

)(1

)()()()(

)()(

)(

nTm

e V

e

T

ee

T

e

T

e

e

m

e V

ee

T

e

T

e

ee

e

dVdS

dV

fabNpNa

aBDBa

δδ

δ

+

+

=

∑ ∫∫

∑ ∫

= Γ

=

(4.14)

donde aδ y )(nf corresponden a los vectores de desplazamiento virtual y de fuerza en

todos los nudos de la malla de elementos finitos. En la ecuación anterior primera integral indicada entre paréntesis se definen como la

matriz de rigidez del elemento )(eK , la cual tiene la siguiente expresión para problemas

bidimensionales:



∫=)(

)()()()(

eV

ee

T

e

e dVBDBK (4.15)

El segundo paréntesis que corresponde a la suma de dos integrales, se define como el vector de fuerzas de cuerpo y de superficie )(e

f . Para problemas bidimensionales éste vec-tor es de la forma:

∫∫ +=Γ )()(

)()()()()(

eeV

e

T

ee

T

e

e dVdS bNpNf (4.16)

De acuerdo a lo anterior y sustituyendo las ecuaciones (4.15) y (4.16) en la Ecuación (4.10) se tiene que:

0)(

1

)()()(

1

)()( =−−∑∑

==

nTm

e

eT

ee

m

e

eT

e fafaaKa δδδ (4.17)

La ecuación anterior se puede escribir en términos de los vectores de desplazamientos virtual aδ y real a del sólido, es decir incluyendo todos los grados de libertad de la malla de elementos finitos, de tal forma que:

0=− faKaa TT δδ (4.18)

Cancelando el factor común Taδ de la expresión anterior, se tiene que:

0fKa =− (4.19)

donde K es la matriz de rigidez del sólido obtenida del ensamblaje de las matrices de ri-gidez de los elementos, de la forma:

=

=

)(

1)(

em

e

KK A (4.20)

y f es el vector de fuerzas del sólido resultante del ensamblaje de los vectores de fuerza de cada uno de los elementos finitos más el vector de fuerzas aplicadas en los nudos de la malla, es decir:

)()(

1)(

nem

e

fff +

=

=A (4.21)

4.2. Implementación en el programa PEFiCA

La problema de elasticidad bidimensional con elementos finitos formulado en el apartado anterior, se puede resolver escribiendo y compilando un código en la rutina principal de PEFiCA. Las instrucciones necesarias para la solución de cada etapa del problema son sub-rutinas preescritas del programa.



La rutina principal del procedimiento de cálculo es común para los ejemplos de aplica-ción presentados en los siguientes apartados. Este código permite obtener los desplaza-mientos, las deformaciones y los esfuerzos en sólidos sometidos a cargas puntuales y distri-buidas, modelados mediante mallas de elementos finitos triangulares lineales.

La rutina principal presenta los resultados en matrices o tablas escritas en la hoja de cál-culo de salida y en gráficas de iso líneas y de regiones llenas. El código presentado a con-tinuación hacen parte de la rutina PEFICA() que permite la solución de problemas de elasti-cidad bidimensional.

:


NGLNUD MGL(), MRE() 'construir la matriz de grados de libertad por nudo



'o matriz de incidencias



NGLD = NNUD * NGLN - NGLC 'número de grados de libertad desconocidos

Debug.Print "construcción de la matriz de incidencias"

'------------------------------------------------------------------------

'matriz de rigidez de la estructura (submatriz de cálculo Kdd)

MTCONS KGL(), 0, NGLD, NGLD 'crea matriz de rigidez llena de ceros de tamaño

For i = 1 To NELE

'crear matriz de rigidez del elemento

KTRIEL KEL(), XYZ(), ELE(), i, EYOU, POIS, ESPE, TPBI

'ensamblaje de la matriz de rigidez del elemento

ENSAMK KGL(), KEL(), INC(), i

Next i

'-------------------------------------------------------------------------

'vector de fuerzas de la estructura (subvector de cálculo Fdd)

'vector de fuerzas distribuidas en los elementos FGE()

'crea vector fuerzas lleno de ceros de tamaño (número de gl desconocidos)x(1)

MTCONS FGE(), 0, NGLD, 1

For i = 1 To NELE

'leer cargas distribuidas en elementos

EDLECE "TB_FUE", 4 + i, 1, IELE 'numero de elemento

If IELE = 0 Then Exit For

EDLECE "TB_FUE", 4 + i, 4, PXEL 'carga por unidad de área en x

EDLECE "TB_FUE", 4 + i, 5, PYEL 'carga por unidad de área en y

EDLECE "TB_FUE", 4 + i, 6, LADO 'lado del elem donde se aplica la carga

'crear vector de fuerzas en el elemento

FTRIES FEL(), XYZ(), ELE(), IELE, ESPE, PXEL, PYEL, LADO

'ensamblaje del vector de fuerzas en el elemento

ENSAMV FGE(), FEL(), INC(), IELE

Next i

'vector de fuerzas en los nudos

EDTABR "TB_FUN", 5, 2, FXY(), NNUD, NGLN 'leer tabla de fuerzas en los nudos

'EDIMPR "TB_OUT", "FXY()", FILA, COLM, FXY() '(opcional) escribir

ORFUGL TM1(), FXY(), MGL() 'crea vector fuerzas en nudos organizado por GL

MTSUBM TM1(), FGN(), 1, 1, NGLD, 1 'crear subvector de fuerzas (Fdd)

'suma el vector de fuerzas equivalentes a las distribuidas en los elementos

'mas el vector de fuerzas en los nudos FGN()

MTSUMA FGE(), FGN(), FGL()

'--------------------------------------------------------------------------

'desplazamientos nodales en la estructura

SOCHLK KGL(), FGL(), DGL() 'solucionar sistema de ecuaciones

MTCONS DGC(), 0, NGLC, 1 'vector de desplazamientos conocidos

'EDIMPR "TB_OUT", "DGL()", FILA, COLM, DGL() '(opcional) escribir desplaz

MTADJU DGT(), DGL(), DGC() 'construir vector de desplazamientos (desc y con)

ORGLFU DXY(), DGT(), MGL() 'ordenar desplazamientos en el formato

'(NUDO),(UX),(UY)

EDIMPR "TB_OUT", "DXY()", FILA, COLM, DXY() 'escribir desplazamientos

'dibujar deformada

MTPORE DXY(), FDEF, TM1() 'multiplicar desplazamientos por un factor de exag.



MTSUMA XYZ(), TM1(), TM2()

GRAGEO TM2(), ELE(), GRA(), 2 'dibujar geometría deformada

'---------------------------------------------------------------------------

'dibujar componentes del desplazamiento

'IDUR = 1 dibuja componente de desplazamiento ux

'IDUR = 2 dibuja componente de desplazamiento uy

MTSUBM DXY(), URG(), 1, IDUR, NNUD, 1

GRAFIF XYZ(), ELE(), URG(), GRA(), 3 'dibujar desplazamientos

'--------------------------------------------------------------------------

'calcular y dibujar esfuerzos o deformaciones

CELAPL CEL(), EYOU, POIS, TPBI 'constantes elásticas del material

'indicador de la componente de esfuerzo o deformación

'IDST =1 dibuja la componente de esfuerzo Sxx

'IDST =2 dibuja la componente de esfuerzo Syy

'IDST =3 dibuja la componente de esfuerzo Sxy



'IDST =6 dibuja esfuerzo de Von Mises

'IDST =11 dibuja la componente de deformación Exx

'IDST =12 dibuja la componente de deformación Eyy

'IDST =13 dibuja la componente de deformación Exy

'IDST =14 dibuja deformación principal Ep1

'IDST =15 dibuja deformación principal Ep2

MTCONS SXX(), 0, NELE, NNUE 'crear tabla esfuerzos o deform por elemento

For i = 1 To NELE

'extraer vector de desplazamientos en el elemento I

EXTRAV DGT(), DEL(), INC(), i

BTRIEL BEL(), XYZ(), ELE(), i 'crear la matriz B del elemento I

MTMULT BEL(), DEL(), EPE() 'calcular deformación en el elemento I

If IDST > 10 Then

'dibujar componente de deformación

MTCOPI EPE(), STE() 'utilice la matriz STE() para la deformación

IDSG = IDST - 10

Else

'dibujar componente de esfuerzo

MTMULT CEL(), EPE(), STE() 'calcular esfuerzo en el elemento I

IDSG = IDST

End If

For J = 1 To NNUE

Select Case IDSG

Case 1 To 3 'esfuerzos o deformaciones Sxx, Syy, Sxy

SXX(i, J) = STE(IDSG, 1)

Case 4 To 5 'esfuerzos o deformaciones principales Sp1, Sp2

TRPRIN STE(), SPE(), TPE()

SXX(i, J) = SPE(IDSG - 3, 1)

Case 6 'esfuerzo de Von Mises

SXX(i, J) = TRVMIS(STE())

End Select

Next J

Next i

'componente de esfuerzo o deformación por elemento

'escribir componente de esfuerzo o deformación IDST por elemento

EDIMPR "TB_OUT", "SXX()", FILA, COLM, SXX()

'dibujar componente de esfuerzo o deformación IDST por elemento

GRAFIE XYZ(), ELE(), SXX(), GRA(), 7

Debug.Print "dibujar componente de esfuerzo o deformación IDST por elemento"

'componente de esfuerzo por nudo

'calcular valores promedio de esfuerzo o deformación en los nudos

ORSONO NXX(), SXX(), ELE(), NNUD

'escribir componente de esfuerzo o deformación IDST por nudo

EDIMPR "TB_OUT", "NXX()", FILA, COLM, NXX()

'dibujar componente de esfuerzo o deformación promedio IDST por nudo

GRAFIF XYZ(), ELE(), NXX(), GRA(), 6

'----------------------------------------------------------------------------

Figura 4.1. Problema de elasticidad bidimensional. Parte de la rutina PEFICA().



0.40columna

0.35

0.20

0.20

0.30

0.20

t = 0.40

ménsula

armadura

xy

(a) (b)

2500 kN/m2

0.20 0.10

dominio

modelado

100 kN

placa de

apoyo

0.40columna

0.35

0.20

0.20

0.30

0.20

t = 0.40

ménsula

armadura

xy

xy

(a) (b)

2500 kN/m2

0.20 0.10

dominio

modelado

100 kN

placa de

apoyo

Observación Los archivos PEFICA-Mensula.xls, PEFICA-SVenant.xls y PEFI-

CA-Edrenaje.xls de la carpeta \ejemplos\ incluida en los medios de instalación

contienen la rutina principal de procedimiento común PEFICA(), con la cual se

pueden resolver diferentes problemas de elasticidad bidimensional.

4.3. Ejemplo de aplicación: ménsula de concreto sometida a una carga distribuida

La ménsula de una columna de concreto cuyas dimensiones se presentan en la Figura 4.2(a), soporta una reacción vertical de 100 kN dada por el extremo de una armadura como lo ilustra la Figura 4.2(b). La carga vertical se distribuye en una placa de apoyo de 0.10m por 0.40m ubicada a 0.20m de la cara interior de la columna. El concreto tiene un módulo de Young de 20.0 × 106 kN/m2 y una relación de Poisson de 0.25.

El dominio modelado contiene el volumen de la ménsula y de un tramo de columna 0.20m por encima y por debajo de la ménsula.

Figura 4.2. Ménsula de concreto sometida a una carga distribuida: (a) geometría, cargas y condi-ciones de borde del dominio modelado, (b) esquema del sistema estructural.

El problema se simplifica a una condición plana de esfuerzos de dominio bidimensional

en el plano xy con espesor de 0.40m, el cual se subdivide en 303 elementos triangulares lineales conectados entre sí por 179 nudos (Figura 4.3(a)). Las condiciones de borde co-rresponden a desplazamientos restringidos en ambas direcciones sobre los extremos supe-rior e inferior de la columna. La carga distribuida se aplica sobre uno de los lados de los elementos finitos 1 y 3.

Observación Este ejemplo está contenido en el archivo PEFICA-Mensula.xls de

la carpeta \ejemplos\ incluida en los medios de instalación.



2500 kN/m2

1 3

(a) (b)

2500 kN/m2

1 3

2500 kN/m2

1 3

(a) (b)

(b)

)(mv

(a)

)(mu

(b)

)(mv

(a)

)(mu

El primero de los resultados del problema es el desplazamiento de cada uno de los nu-

dos de la malla. La Figura 4.3(b) ilustra la geometría deformada exagerada de la ménsula y la Figura 4.4 muestra las curvas de igual desplazamiento en las direcciones x y y.

Figura 4.3. Ménsula de concreto sometida a una carga distribuida: (a) malla de elementos finitos, (b) geometría deformada.

Figura 4.4. Ménsula de concreto sometida a una carga distribuida: (a) curvas de igual desplaza-miento en dirección x, (b) curvas de igual desplazamiento en dirección y.

A partir de los desplazamientos nodales se calcularon las deformaciones en el interior

de cada elemento con la Ecuación (4.12). El valor promedio en los nudos de la deforma-ción longitudinal en dirección x mostrada en la Figura 4.5(a), establece que la deformación máxima de extensión es de 8.49 × 10-5 en la intersección entre la cara superior de la ménsu-



)/( 2mkNxxσxxε

(a) (b)

)/( 2mkNxxσxxε

(a) (b)

)/( 2mkNyyσ )/( 2

mkNxyσ

(a) (b)

)/( 2mkNyyσ )/( 2

mkNxyσ

(a) (b)

la y la columna, y que la deformación máxima de contracción es igual a -4.83 × 10-5 en la intersección entre la cara inferior de la ménsula y la columna.

El esfuerzo en el interior de cada elemento se obtiene del producto entre la matriz cons-titutiva elástica y el vector de deformaciones indicado en la Ecuación (4.5). La Figura 4.5(b) muestra la distribución de la componente de esfuerzo normal en dirección x, donde se observa que los valores máximo de tracción y compresión son de 1730 kN/m2 y -1170 kN/m2, respectivamente.

Figura 4.5. Ménsula de concreto sometida a una carga distribuida: (a) distribución de la deforma-ción longitudinal en dirección x, (b) distribución del esfuerzo normal en dirección x.

De la misma forma se obtienen las distribuciones de las componentes de esfuerzo nor-

mal en la dirección y y cortante en el plano xy como lo indica la Figura 4.6. Finalmente, se calculan los esfuerzos principales 21,σσ , los cuales se ilustran en la Figura 4.7.

Figura 4.6. Ménsula de concreto sometida a una carga distribuida: (a) distribución del esfuerzo normal en dirección y, (b) distribución del esfuerzo cortante en el plano xy.



)/( 22 mkNσ)/( 2

1 mkNσ

(a) (b)

)/( 22 mkNσ)/( 2

1 mkNσ

(a) (b)

b/2b/2

b/4

b/2

bh/2

h/2

P

P

d

x

y

(a) 0.20

010

0.10

0.10

0.20

P/2=1kN

(b)b/2b/2

b/4

b/2

bh/2

h/2

P

P

d

x

y

(a)b/2b/2

b/4

b/2

bh/2

h/2

P

P

d

x

y

(a) 0.20

010

0.10

0.10

0.20

P/2=1kN

(b)0.20

010

0.10

0.10

0.20

P/2=1kN

(b)

Figura 4.7. Ménsula de concreto sometida a una carga distribuida: (a) distribución del esfuerzo normal en dirección y, (b) distribución del esfuerzo cortante en el plano xy.

4.4. Ejemplo de aplicación: principio de Saint Venant

Con el fin de demostrar el principio de concentración de esfuerzos de Saint Venant (Timoshenko & Goodier 1970; Ortiz 1998), se analizó una lámina de acero de base b = 0.40m por una altura h = 2.5b =1.00m, la cual está sometida a la carga puntual P = 2 kN en el extremo superior mostrada en la Figura 4.8(a). El acero tiene un módulo de Young de 200.0 × 106 kN/m2 y una relación de Poisson de 0.25.

Figura 4.8. Principio de Saint Venant: (a) geometría de una lámina sometida a una carga puntual P, (b) malla de elementos finitos y condiciones de borde.



)(mv

(b)(a)

)(mv

(b)(a)

)(mv

(b)(a)

Se desea obtener la distribución del esfuerzo normal en dirección y sobre tres cortes horizontales a las distancias de b/4, b/2 y b desde la cara superior.

Observación Este ejemplo está contenido en el archivo PEFICA-SVenant.xls de


En virtud de la doble simetría del problema se modeló la cuarta parte de la lámina indi-cada en la Figura 4.8(a). Los ejes de simetría establecen que el desplazamiento vertical sobre el eje horizontal y el desplazamiento horizontal sobre el eje vertical están restringi-dos, como se muestra en la Figura 4.8(b). El dominio modelado está divido en 499 ele-mentos triangulares lineales conectados entre sí por 284 nudos, dispuestos de tal manera que los cortes donde se desea evaluar el esfuerzo normal correspondan con los nudos de la malla.

Figura 4.9. Principio de Saint Venant: (a) geometría deformada, (b) curvas de igual desplazamien-to en dirección y.

Después de obtenido los desplazamientos en los nudos, el programa dibuja la geometría

deformada del modelo mostrada en la Figura 4.9(a) y las curvas de igual componente de desplazamiento en dirección y indicada en la Figura 4.9(b).

La distribución del esfuerzo normal en dirección y calculado en el dominio, se dibuja mediante el gráfico iso líneas de esfuerzo presentado en la Figura 4.11(a). Allí se observa



)/( 2mkNyyσ(a)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

d=b/4

d=b/2

d=b

d>>b

med

yy

σ

σ

x (m) (b)

)/( 2mkNyyσ(a)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

d=b/4

d=b/2

d=b

d>>b

med

yy

σ

σ

x (m)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

d=b/4

d=b/2

d=b

d>>b

med

yy

σ

σ

x (m) (b)

que a pesar que el esfuerzo bajo la carga puntual es teóricamente infinito, el resultado nu-mérico obtenido con esta malla es de 8.65 × 103 kN/m2.

:

'calculo de esfuerzo yy sobre cortes

For i = 1 To 3

EDLECE "TB_GEN", 19 + i, 2, NIZQ 'nudo a la izquierda del corte

EDLECE "TB_GEN", 19 + i, 3, NDER 'nudo a la derecha del corte

'Syy promedio en los nudos

ORNLIN LNU(), DNU(), XYZ(), NIZQ, NDER

EDIMPI "TB_OUT", " nudos sobre el corte " & i, FILA, COLM, LNU()

EDIMPR "TB_OUT", "distancia de los nudos sobre el corte " & i,_

FILA, COLM, DNU()

ORXYNU NAB(), NXX(), LNU()

EDIMPR "TB_OUT", "esfuerzo promedio en los nudos sobre el corte " & i, _

FILA, COLM, NAB()

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Figura 4.10. Principio de Saint Venant. Parte de la rutina PEFICA().

Figura 4.11. Principio de Saint Venant: (a) curvas de igual esfuerzo normal en dirección y, (b) distribución del esfuerzo normar en dirección y sobre tres cortes horizontales.

Al final del código común de cálculo se adicionan las líneas de comando mostradas en

la Figura 4.10, con las cuales se obtiene la distribución de esfuerzos en dirección y sobre tres cortes horizontales, la Figura 4.11(a) presenta gráficamente dichos resultados. Se ob-serva que el esfuerzo normal toma un valor máximo sobre el eje de la carga aplicada 2.59 veces mayor al esfuerzo medio sobre el corte a b/4, 1.44 veces mayor al esfuerzo medio sobre el corte a b/2 y 1.03 veces mayor al esfuerzo medio sobre el corte a b. Por lo tanto se demuestra que la distribución del esfuerzo normal es aproximadamente igual al esfuerzo



3.00

5.20

3.003.003.00

w

3.00

3.00

5.20

3.003.003.00

w

3.00

medio para distancias superiores a el ancho b con respecto al punto de aplicación de la car-ga.

4.5. Ejemplo de aplicación: estructura de drenaje

La estructura de drenaje hecha de concreto soporta una fuerza distribuida uniforme de w = 5000 kN/m

2 en su cara superior como lo muestra la Figura 4.12. El material tiene un tiene un módulo de Young de 20.0 × 106 kN/m2 y una relación de Poisson de 0.3. Se desea obte-ner la distribución de esfuerzos principales en la estructura (Weaver & Johnson 1984).

Figura 4.12. Estructura de drenaje. Esquema descriptivo de geometría y cargas aplicadas.

Observación Este ejemplo está contenido en el archivo PEFICA-Edrenaje.xls de


Figura 4.13. Estructura de drenaje: (a) malla de elementos finitos y condiciones de borde, (b) geometría deformada.

(b)

w

3.00 3.00

5.20

(a) (b)

w

3.00 3.00

5.20

w

3.00 3.00

5.20

(a)



)(mv

(b)

)(mu

(a)

)(mv

(b)

)(mu

(a)

)/( 21 mkNσ

(a) (b)

)/( 21 mkNσ

(a) (b)

El problema se simplifica a una condición plana de deformaciones con un espesor unita-rio. Dada la simetría del problema se modela la mitad del sólido indicada en la Figura 4.12. El dominio modelado se subdivide en 479 elementos triangulares lineales conecta-dos entre sí por 281 nudos como lo indica la Figura 4.13(a).

A partir de los desplazamientos nodales obtenidos se dibuja la geometría deformada del modelo (Figura 4.13(b)) y el campo de las componentes de desplazamiento en las direccio-nes x y y (Figura 4.14).

Figura 4.14. Estructura de drenaje. Curvas de igual desplazamiento: (a) componente en dirección x, (b) componente en dirección y.

Después de obtenidas las componentes esfuerzo xyyyxx σσσ ,, del elemento se calculan

los esfuerzos principales 21,σσ mediante la instrucción TRPRIN del programa. La Figura 4.15 y Figura 4.16 muestra la distribución de los esfuerzos principales en la malla obtenido como el valor promedio en los nudos o valor suavizado y como el valor en el interior de cada elemento o valor no suavizado. Los esfuerzos máximos a tracción y a compresión observados del valor promedio en los nudos son de 7.25 × 103 kN/m2 y -16.8 × 103 kN/m2 respectivamente.

Figura 4.15. Estructura de drenaje. Distribución del primer esfuerzo principal: (a) valor promedio en los nudos, (b) valor en el interior de los elementos.



)/( 22 mkNσ

(a) (b)

)/( 22 mkNσ

(a) (b)

Figura 4.16. Estructura de drenaje. Distribución del segundo esfuerzo principal: (a) valor prome-dio en los nudos, (b) valor en el interior de los elementos.


Referencias

Cook, R., Malkus, D. & Plesha, M. (1989). Concepts and applications of finite elements

analysis. New York, John Wiley & Son. Hughes, T. J. R. (2000). The finite element method. New York, Dover. Oñate, E. & Zárate, F. (1995). Cálculo de estructuras por el método de los elementos fini-

tos. Barcelona, Centro Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería. Oñate, E. & Zárate, F. (2000). Introducción al método de los elementos finitos. Barcelona,

Centro Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería. Ortiz, L. (1998). Elasticidad. Madrid, Mc Graw Hill. Segerlin, L. (1984). Applied Finite Element Analysis. New York, Jhon Wiley & Son. Timoshenko, S. P. & Goodier, J. (1970). Theory of Elasticity, Mc Graw Hill. Timoshenko, S. P. & Young, D. H. (1965). Theory of Structures, Mcgraw-Hill College. Weaver, J. & Johnson, C. (1984). Finite elements for structural analysis. New Jersey, Pren-

tice Hall. Zienkiewicz, O. (1980). El método de los elementos finitos. Barcelona, Editorial Reverté.

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