ŠPELA BLATNIK - k. diplomska naloga - Kopija€¦ · ZAHVALA Hvala mentorjema za usmerjanje, nasvete, strokovno pomoč in vso pozitivno energijo, ki sem jo bila deležna pri nastajanju

UNIVERZA NA PRIMORSKEM

PEDAGOŠKA FAKULTETA

DIPLOMSKA NALOGA

ŠPELA BLATNIK

KOPER 2016

UNIVERZA NA PRIMORSKEM

PEDAGOŠKA FAKULTETA

Visokošolski strokovni študijski program

prve stopnje Predšolska vzgoja

Diplomska naloga

MATEMATIKA V PREDŠOLSKEM OBDOBJU S

POUDARKOM NA SPOZNAVANJU VSEBIN

MATEMATIKE PREKO IGER

Špela Blatnik

Koper 2016

Mentor: izr. prof. dr. Darjo Felda

Somentorica:

dr. Sanela Mešinović, viš. pred.

ZAHVALA

Hvala mentorjema za usmerjanje, nasvete, strokovno pomoč in vso pozitivno

energijo, ki sem jo bila deležna pri nastajanju diplomske naloge.

Zahvala gre tudi družini, ki me je ves čas študija podpirala, spodbujala, mi nudila

pomoč in nasvete. Hvala tudi vsem ostalim, ki so mi pomagali in mi stali ob strani pri

nastajanju diplomske naloge.

Hvala!

IZJAVA O AVTORSTVU

Podpisana Špela Blatnik, študentka visokošolskega strokovnega študijskega

programa prve stopnje Predšolska vzgoja,

izjavljam,

da je diplomska naloga z naslovom Matematika v predšolskem obdobju s

poudarkom na spoznavanju vsebin matematike preko iger

– rezultat lastnega raziskovalnega dela,

– so rezultati korektno navedeni in

– nisem kršila pravic intelektualne lastnine drugih.

Podpis:______________________

V Kopru, dne _________________

IZVLEČEK

Matematika tako kot druga področja črpa svoja dognanja iz izkušenj. Te so za

otroka najpomembnejše, saj se iz njih največ nauči in skozi njih spoznava svet okoli

sebe.

Diplomska naloga predstavlja seznanjanje otrok z matematiko preko različnih iger

na zabaven, prijeten in poučen način.

V teoretičnem delu je predstavljena matematika v predšolskem obdobju, česa so

otroci sposobni pri določeni starosti in kako lahko odrasli spodbujamo njihovo

zanimanje ter dovzetnost za nove izkušnje, znanja. Predstavljena sta vloga vzgojitelja

pri načrtovanju matematičnih dejavnosti in pomen spodbudnega okolja za otroka.

Poleg tega predstavljamo tudi igro, njene značilnosti, njen pomen za otroka in vrste

iger. Na koncu teoretičnega dela so podrobneje predstavljene vsebine predšolske

matematike, saj je njihovo poznavanje osnova za izvedbo in razumevanje praktičnega

dela diplomske naloge, kjer so predstavljene štiri igre, izdelane glede na vsebine

predšolske matematike. Pri ustvarjanju iger so pomagali tudi otroci, ki smo jih pozneje

opazovali pri igri, ob tem pa smo si beležili rezultate. Cilj in namen naloge je bil,

otrokom približati matematiko in matematične vsebine na prijeten način in jih spodbuditi

k matematičnemu mišljenju. Pri tem smo bili pozorni na otrokovo aktivnost,

motiviranost pri posamezni igri in na to, ali posamezni otrok razume pravila iger. Ves

čas smo bili pozorni tudi na težave, ki so jih imeli otroci pri igranju določene igre, in si

beležili, koliko otrok je bilo uspešnih, koliko jih je potrebovalo pomoč ipd. Ugotavljali

smo tudi, ali sta razumevanje iger in uspešnost pri zaključku igre pogojena s starostjo

otrok. Ugotovili smo, da je matematiko lahko približati otrokom preko igre, da so otroci

dovzetni za nova spoznanja in da se moramo odrasli le potruditi prikazati stvari na njim

trenutno aktualen in zanimiv način.

Ključne besede: matematika v vrtcu, predšolsko obdobje, otrok, matematične

dejavnosti, igra, vsebine predšolske matematike, vzgojiteljica.

ABSTRACT

Mathematics in preschool with a focus on exploring mathematical content through

games

Like in any other field, mathematical findings are based on experience. Experience

is also the best way for children to learn about and explore the world around them.

This thesis deals with the way children explore mathematics through various

games in an amusing, pleasant and instructive way. The theoretical part presents

mathematics in preschool, the abilities of children at a certain age, and how adults can

encourage their interest and positive disposition towards new experience and

knowledge. It touches on the role of preschool teachers in planning mathematical

activities and points to the importance of an encouraging learning environment.

Moreover, it presents play, its characteristics and types, and importance for children.

The theoretical part concludes with a detailed presentation of mathematical topics for

preschool, which is the foundation for the implementation and understanding of the

practical part of the thesis. The practical part outlines four games that were designed in

line with mathematical topics for the preschool period. We invited the children to be

involved in the preparation of the games. We monitored them during the activities and

took notes of the results. The purpose of the task was to acquaint the children with

mathematical content in a pleasant way while encouraging their mathematical thinking.

In this respect, we devoted special attention to their engagement, motivation for

individual games, and their understanding of game rules. In addition, we observed the

issues they encountered during the games and recorded the number of children who

were successful, who needed help etc. Another goal was to determine whether their

age affects the level of understanding and success. Our findings indicate that games

can help children explore mathematics and that they are keen on acquiring knowledge.

Adults, however, should make an effort to present certain elements of a topic in an

adequate and interesting manner.

Keywords: mathematics in kindergarten, preschool period, child, mathematical

activities, play, preschool mathematics content, preschool teacher.

KAZALO VSEBINE

1 UVOD ..................................................................................................................... 1

2 TEORETIČNI DEL .................................................................................................. 2

2.1 Matematika v predšolskem obdobju ................................................................. 2

2.1.1 Vloga vzgojitelja pri načrtovanju matematičnih dejavnosti ...................... 2

2.1.2 Matematično okolje ................................................................................ 3

2.1.3 Matematika v kurikulumu za vrtce .......................................................... 3

2.1.4 Vsebine predšolske matematike ............................................................ 5

2.2 Igra .............................................................................................................11

2.2.1 Vrste otroške igre .................................................................................12

3 PRAKTIČNI DEL ...................................................................................................14

3.1 Opredelitev problema, namen in cilji ...............................................................14

3.2 Raziskovalni vzorec ........................................................................................14

3.3 Raziskovalna vprašanja ..................................................................................14

3.4 Metode dela ....................................................................................................15

3.5 Opis in izvedba matematičnih iger ter razprava in evalvacija posamezne igre 15

3.5.1 Polži v gredici .......................................................................................15

3.5.2 Barvni kamenčki ...................................................................................18

3.5.3 Sladoledna lučka ..................................................................................22

3.5.4 Na travniku ...........................................................................................26

3.6 Odgovori na raziskovalna vprašanja ...............................................................30

4 SKLEPNE UGOTOVITVE ......................................................................................32

5 LITERATURA IN VIRI ............................................................................................33

KAZALO PREGLEDNIC

Preglednica 1: Uspešnost otrok pri igri polži v gredici ..................................................17

Preglednica 2: Uspešnost otrok pri igri barvni kamenčki ..............................................21

Preglednica 3: Uspešnost otrok pri igri sladoledna lučka (lažja različica igre) ..............24

Preglednica 4: Uspešnost otrok pri igri sladoledna lučka (težja različica igre)..............25

Preglednica 5: Uspešnost otrok pri igri na travniku s štetjem do 5 ...............................28

Preglednica 6: Uspešnost otrok pri igri na travniku s štetjem do 10 .............................29

KAZALO SLIK

Slika 1: Otroka pri igri s polži štejeta ............................................................................17

Slika 2: Grafični prikaz uspešnosti otrok pri igri polži v gredici .....................................18

Slika 3: Igra z barvnimi kamenčki ustvarjamo vzorce ...................................................19

Slika 4: Otrok polaga kamenčke glede na dani vzorec ................................................20

Slika 5: Otrok nadaljuje vzorec ....................................................................................20

Slika 6: Grafični prikaz uspešnosti otrok pri igri barvni kamenčki .................................22

Slika 7: Otrok vstavlja like na lažjo igralno ploščo ........................................................23

Slika 8: Otrok like postavlja na težjo igralno ploščo .....................................................23

Slika 9: Grafični prikaz uspešnosti otrok pri igri sladoledna lučka (lažja različica

igre) ..............................................................................................................25

Slika 10: Uspešnost otrok pri igri sladoledna lučka (težja različica igre) .......................26

Slika 11: Otrok šteje pred oblikovanjem prikaza ..........................................................28

Slika 12: Otrok oblikuje stolpčni prikaz ........................................................................28

Slika 13: Grafični prikaz uspešnosti otrok pri igri na travniku s štetjem do 5 ................29

Slika 14: Grafični prikaz uspešnosti otrok pri igri na travniku s štetjem do 10 ..............30

Blatnik, Špela (2016): Matematika v predšolskem obdobju s poudarkom na spoznavanju vsebin

matematike preko iger. Diplomska naloga. Koper: UP PEF.

1

1 UVOD

Predšolska doba ima poseben pečat v otrokovi dobi razvoja, saj imajo otroci

določene meje v razvoju, vzgojitelji pa morajo biti pozorni na otrokove potrebe in

njihovo razvijanje ter otrokom morajo ponuditi dejavnosti, ki jim bodo koristile v razvoju.

Pri usvajanju matematičnih znanj ima veliko otrok težave, zato bi morali otrokom

matematiko približati na njim prijeten način. Kaj otroku veliko pomeni, pri čem se počuti

prijetno, doživlja veselje in ali je notranje motiviran? Vse to zagotovo doživlja pri igri.

Igra je beseda, ki jo najpogosteje povezujemo z besedami: otrok, otroštvo, aktivnost.

Otrok potrebuje igro, saj se z njo vse začne. Skozi igro spoznava svet okoli sebe,

raziskuje, pridobiva izkušnje in se uči. Igra je torej dejavnost, pri kateri se naravno

prepletajo različna področja otrokovega razvoja.

Najprimernejši način zgodnjega poučevanja matematike je igranje z otrokom.

Odrasli se vključi v otrokovo igro, tako da jo obogati z matematičnimi cilji. Vendar je

pozoren na to, da se igra nadaljuje in da pobuda za igro ostane otrokova. Kolikor je

mogoče, prevzame vlogo enakopravnega igralca otroku. Pozoren pa je tudi na

otrokove uporabljene matematične besede, ki jih uporabi tudi sam. V igri in po njej

odrasli daje dovolj časa, da otrok sam pride do nove izkušnje (Marjanovič Umek,

2001).

Otrok se z matematiko srečuje ves čas, ob vsakodnevni rutini, ko šteje, koliko

otrok je v vrtcu, nabira naravne materiale in opazuje njihove oblike, opazuje vzorce na

oblačilih, se igra s peskom in vodo, shranjuje igrače v zaboje, ureja igrače po velikosti,

na sprehodu uporablja besedi levo in desno, polni lončke ipd.

Otroci potrebujejo dejavnosti, ki jih same po sebi motivirajo za raziskovanje,

spoznavanje in učenje. Tudi matematične vsebine je treba otrokom približati na igriv in

njim prijeten način.



2

2 TEORETIČNI DEL

2.1 Matematika v predšolskem obdobju

Otrok se v vsakdanjem življenju že zelo zgodaj sreča z matematiko. Števila, oblike,

orientacija v prostoru in merjenje so vsebine, ki jih srečuje na vsakem koraku. Otrok si

vsebine iz matematike tudi precej priredi. Tako na primer trileten otrok »šteje«: ena,

dve, tri, pet, sedem, enajst in je s svojim »štetjem« zadovoljen ter ga vedno znova

uporablja na enak način (Hodnik Čadež, 2002).

Otroka začnemo že zelo zgodaj sistematično seznanjati s »pravo« matematiko

(naštevamo števila v pravilnem vrstnem redu, seznanjamo ga z velikostnimi odnosi:

večji, manjši, enak, z različnimi oblikami, z orientacijo v prostoru ipd.). Pri tem

upoštevamo otrokove izkušnje, predznanja, njegove interese in potrebe. Pomembno je

organizirati »matematične situacije«, ki so blizu otrokovemu realnemu življenju.

Spodbudno dejstvo pri učenju matematike otrok je, da se ti ob reševanju realnih

matematičnih problemov učijo o matematičnih pojmih in strategijah (Hodnik Čadež,

2002).

Otroci naj bodo aktivno vključeni v načrtovanje in izvajanje vsakodnevnih

dejavnosti v vrtcu (npr. praznovanje rojstnega dneva, priprava na izlet …) in vzgojitelj

naj z otroki kritično ovrednoti tudi izvedbo dejavnosti. Potem bodo otroci strategijo,

načrt, izvedbo in vrednotenje sposobni prenašati na reševanje matematičnih problemov

(Hodnik Čadež, 2002).

Matematika v vrtcu ni nič novega. Otroci v vrtcih imajo veliko priložnosti

sodelovanja pri različnih matematičnih dejavnostih in dobiti odgovore na svoja

matematična vprašanja. Otrok v vrtcu pridobiva matematična znanja in izkušnje pri

vsakodnevnih spontanih dejavnostih in pri posebej načrtovanih dejavnostih, s katerimi

vzgojiteljica ustvari pogoje za doseganje ciljev na področju matematike (npr. igranje

trgovine, beleženje rezultatov pri tekmovanjih – gibanje, sledenje pravljičnih števil 3, 5,

7 ob branju pravljice, razdeljevanje pribora, umivanje zob – spredaj, zadaj, zgoraj,

spodaj) (Marjanovič Umek, 2001).

2.1.1 Vloga vzgojitelja pri načrtovanju matematičnih dejavnosti

Vzgojitelj ima pri matematičnih dejavnostih zelo pomembno vlogo, saj (Bahovec,

2009):

– mora iskati zvezo med matematiko in vsakdanjim življenjem otroka v vrtcu in

doma,



3

– mora opazovati razvoj otroka in se odločati o zahtevnosti dejavnosti, ki jih

ponuja posameznemu otroku,

– mora opazovati otroka pri igri, da mu lahko v najprimernejšem trenutku (glede

na njegov razvoj in njegovo zanimanje) pomaga razširiti matematično znanje;

– se mora z otrokom zelo veliko pogovarjati; v pogovoru lahko uporablja

matematične izraze, opiše možen način reševanja problema, šteje ipd.;

– otroku omogoči, da sam spozna, da je rešitev napačna, in ustvari situacijo, v

kateri otrok pride do pravilne rešitve oz. mišljenja;

– otroke spodbuja k opravljanju zahtevnejših nalog;

– otroku omogoča, da predmete prijema in jih spozna v igri.

2.1.2 Matematično okolje

Spodbudno okolje je pomemben dejavnik v otrokovem razvoju, saj je tisto okolje, ki

otroku nudi prostor, čas in sredstva za samostojno raziskovanje in učenje. Odrasli pa

smo tisti, ki ga z otrokom sooblikujemo. Otrok, ki bo v procesu aktivno udeležen, bo

notranje motiviran in pridobljeno znanje bo še trdnejše.

Otroku je treba poiskati in nastaviti ustrezne igrače na dostopna mesta, npr.:

– vse, kar nastopa v mnogih koščkih: kocke, gumbi, storži, sestavljanke,

– stvari, na katerih so številke: telefon, denar, družabne igre,

– stvari, s katerimi lahko gradimo, sestavljamo: kocke, mivka, pesek.

Sporočila iz okolja otroku pomagajo razumeti, na kakšen način je matematika del

vsakdanjega življenja (Marjanovič Umek, 2001).

2.1.3 Matematika v kurikulumu za vrtce

Otrok se v vsakodnevnem življenju že zelo zgodaj srečuje z matematiko, saj ima

npr. pregled nad svojimi igračami, oblačili, vsakdanjimi predmeti, ki jih prešteva, meri,

primerja, razvršča, grupira, prikazuje s simboli, jih poimenuje in »prešteje«, opisuje, se

o njih pogovarja. Matematika vključuje najrazličnejše dejavnosti v vrtcu, ki otroka

spodbujajo, da z igro ali pri vsakodnevnih opravilih pridobiva izkušnje, spretnosti in

znanja o tem, kaj je veliko, kaj majhno, česa je več in česa manj, v čem so si stvari

različne in v čem podobne, kaj je celota in kaj del, kakšne oblike so, kaj je notri in kaj

zunaj, kaj je zdaj, prej in potem, kaj so simboli itn.

Otrok ob pridobljenih izkušnjah in znanju spoznava, da lahko nekatere naloge in

vsakodnevne probleme reši učinkoviteje, če uporablja matematične strategije mišljenja.

Vesel je, ko najde rešitev, zato praviloma išče nove situacije, ki so vsakič znova izziv



4

za preizkušanje njegove rešitve problema in potrditve njegovega načina in smeri

razmišljanja.

»Kurikulum za vrtce navaja obvezujoče cilje, ki so pri matematiki zaradi didaktičnih

namenov zapisani ločeno po področjih. V vsakdanji praksi v vrtcu pa se tako pri

vsakodnevnih dejavnostih kot pri posebej načrtovanih dejavnostih med seboj prepletajo

in povezujejo.« (Marjanovič Umek, 2001, str. 180).

Globalni cilji (Bahovec, 2009):

– seznanjanje z matematiko v vsakdanjem življenju,

– razvijanje matematičnega izražanja,

– razvijanje matematičnega mišljenja,

– razvijanje matematičnih spretnosti,

– doživljanje matematike kot prijetne izkušnje.

Cilji (Bahovec, 2009):

– Otrok rabi imena za števila.

– Otrok od poimenovanja posamičnih predmetov postopno preide na štetje in

razlikovanje med številom in števnikom.

– Otrok zaznava prirejanje 1-1 in prireja 1-1.

– Otrok razvija miselne operacije, ki so osnova za seštevanje, odštevanje.

– Otrok rabi simbole, s simboli zapisuje dogodke in opisuje stanje.

– Otrok spoznava grafične prikaze, jih oblikuje in odčitava.

– Otrok spoznava odnos med vzrokom in posledico.

– Otrok se seznanja z verjetnostjo dogodkov in rabi izraze za opisovanje

verjetnosti dogodka.

– Otrok išče, zaznava in uporablja različne možnosti rešitve problema.

– Otrok preverja smiselnost dobljene rešitve problema.

– Otrok spoznava simetrijo, geometrijska telesa in like.

– Otrok spoznava prostor, njegove meje, zunanjost, notranjost.

– Otrok rabi izraze za opisovanje položaja predmetov in se nauči orientacije v

prostoru.

– Otrok klasificira in razvršča.

– Otrok spoznava razlike med merjenjem in štetjem ter različne in skupne

lastnosti snovi in objektov, ki jih merimo, in posameznih objektov, ki jih štejemo.

– Otrok se seznanja s strategijami merjenja dolžine, površine in prostornine z

merili in enotami.



5

2.1.4 Vsebine predšolske matematike

Matematiko v predšolskem obdobju delimo na naslednja področja.

– logika in jezik,

– geometrija z merjenjem,

– obdelava podatkov,

– števila.

2.1.4.1 Logika in jezik

Nameni logike in jezika so razvijanje otrokovega logičnega mišljenja, spodbujanje

otrokovega kognitivnega razvoja in uporaba lepega ter natančnega besednega

izražanja.

Vsebine logike in jezika so:

– razvrščanje,

– urejanje,

– relacije

– vzorci ali zaporedja.

Razvrščanje

To je proces oblikovanja skupin glede na dano značilnost oziroma značilnosti.

Otroci lahko razvrščajo igrače glede na material (lesene, plastične, plišaste), glede na

barvo, obliko, namembnost … Proces razvrščanja je pomemben zato, ker z njim otroke

spodbujamo k opazovanju, med elementi določene skupine vzpostavimo nek red,

elementi pa s tem postanejo števni.

Razvrščanje predmetov, rastlin, živali, oseb in pojmov največkrat prikažemo z

različnimi diagrami. V predšolskem obdobju sta najpogostejša in tudi najprimernejša

diagrama za razvrščanje Carrollov in drevesni diagram, uporabljamo pa tudi Euler-

Vennov diagram. Prva dva se od slednjega razlikujeta po tem, da prikazujeta

razvrščanje glede na izbrano značilnost oziroma njeno zanikanje. Tako lahko igrače

razvrstimo v drevesni diagram na plišaste in tiste, ki niso plišaste, enako jih glede na

značilnosti razvrstimo v Carrollov diagram. Pri Euler-Vennovem diagramu pa pri

razvrščanju igrač glede na material dobimo več podmnožic (podmnožice plišastih,

lesenih, plastičnih idr. igrač). Pri omenjenih diagramih značilnosti predstavljamo s

slikopisom, ki je predšolskemu otroku edini razumljiv (Hodnik Čadež, 2002).



6

Urejanje

Urejanje rečemo vsem dejavnostim, ki se končajo tako, da nastane med razsutimi

objekti nek red (Marjanovič Umek, 2001). Množico elementov lahko uredimo glede na

intenzivnost vrednosti določene spremenljivke (od najmanjšega do največjega, od

najdebelejšega do najtanjšega …). S posameznim elementom dane množice lahko

določimo mesto, ki ga opredelimo z vrstilnim števnikom (prvi, drugi, tretji …). Skupino

otrok lahko uredimo po velikosti od najmanjšega do največjega ali obratno. Pri urejanju

otrok najprej uporabi igrače, ki jih jemlje v roke, pozneje ureja tudi objekte, ki jih ne

more prijeti in prestaviti, npr. slike v knjigi, otroke na igrišču. Za matematiko je urejanje

pomembno, ker razvija abstraktno mišljenje. Otrok urejanje in razvrščanje potrebuje,

ker ga silita misliti na matematični način (Hodnik Čadež, 2002).

Relacije

Z relacijami vzpostavimo med elementi dveh skupin nekakšen odnos. Če imamo

na primer množico domačih živali in množico različnih vrst hrane, potem med elementi

teh dveh skupin lahko vzpostavimo relacijo: se hrani s/z. Pri odnosih in relacijah

uporabljamo puščični diagram; to je prikaz s črtami in za otroke je zelo pomembno, da

ga znajo oblikovati, prebrati in ga uporabljati v različnih situacijah. Ta prikaz je namreč

zelo koristen, ko se začnemo ukvarjati s pojmi manj, več, enako. Če imamo na primer

množico dečkov in množico žog, se lahko vprašamo, ali ima vsak deček svojo žogo.

Otrok ugotovi, katerih je več, tako da vsakemu dečku dodeli eno žogo. Če kateri ostane

brez nje, potem je žog manj kot dečkov. Pri tovrstnih dejavnostih se otrok seznanja s

prirejanjem enega enemu, to pa je osnova za štetje, ki ga opredelimo kot povratno

enolično prirejanje elementov preštevane množice v množico prvih nekaj naravnih

števil (Hodnik Čadež, 2002).

Vzorci

Vzorci so sestavljeni iz dveh ali več elementov, ki se ponavljajo v danem

zaporedju. Velikokrat se ta matematična vsebina pojavlja tudi v predšolskem obdobju,

običajno z navodilom »nadaljuj«. Vzorec je lahko sestavljen iz različnih elementov, na

primer: rdeča žoga, modra žoga, rdeča žoga, modra žoga … Vzorec je dobro definiran

takrat, ko se enota ponovi vsaj dvakrat.

Glede na objekte v vzorcu ločimo (Hodnik Čadež, 2002):

– vzorce iz konkretnih predmetov,

– grafični vzorci (štampiljke),

– vzorce iz simbolnih elementov (1, 3, 1, 3 …),



7

– poznamo tudi gibalne (ples), ritmične (tlesk, plosk, tlesk, plosk …) in glasovne

vzorce (mijav, hov, mijav, hov …),

– glede na težavnostno stopnjo pa ločimo: lažje (AB, ABC) in težje (ABCD,

ABBC) vzorce.

2.1.4.2 Geometrija z merjenjem

Pri geometriji se otrok seznanja z geometrijskimi oblikami, predvsem

tridimenzionalnimi, z risanjem črt, tudi z liki in s simetrijo (Hodnik Čadež, 2002).

Vsebine geometrije z merjenjem so:

– orientacija v prostoru,

– geometrijska telesa,

– geometrijski liki,

– simetrija,

– merjenje.

Orientacija v prostoru

Otrok začne hitro opazovati in raziskovati prostor okoli sebe. Kljub temu da lahko

sam spozna vse kotičke, pa se sam od sebe ne more naučiti izrazov za opisovanje

položaja predmetov. Otroka spodbujamo, da se orientira v prostoru, najprej glede na

sebe, nato glede na druge osebe, tudi predmete, pozneje pa ugotavlja relacije med

posameznimi predmeti in osebami. Pri tem uporablja izraze, kot so: proti, nad, pod,

levo, desno, zgoraj, spodaj, skozi, v … (Hodnik Čadež, 2002).

Otrok lahko izraze za opis položaja sliši že zelo kmalu. Namesto »Glej, tukaj je tvoj

medvedek«, rečemo »Glej, tvoj medvedek se je skril za škatlo« ali »Glej, tvoj

medvedek je na desni strani škatle« (Marjanovič Umek, 2001).

Geometrijska telesa

Pri spoznavanju oblik sledimo načelu od telesa k točki, kar pomeni, da postopoma

prehajamo z večjih dimenzij na manjše. Otrok se najprej srečuje s predmeti, ki ga

obkrožajo, išče predmete, ki so si med seboj podobni, spoznava lastnosti geometrijskih

teles, telesa izdeluje in odtiskuje ploskve geometrijskih teles. Za otroka je bolje, če

najprej sreča telesa ter njihove lastnosti in sliši njihova imena, šele potem pa like in

njihova imena. Telesa lahko prime in otiplje njihove ploskve, ki so liki, robove, ki so

daljice, in vogale, ki so točke (Marjanovič Umek, 2001).

Najpogostejše oblike, ki otroka obkrožajo in jih srečuje vsak dan, so krogla (modeli

so žoga, kepica sladoleda …), kocka (igralna kocka, leseni gradniki …), valj (cev, sod



8

…), kvader (omara, blok …). Bistvena lastnost geometrijskih teles, ki jo odkrivamo s

predšolskim otrokom, je ta, da so nekatera telesa okrogla, druga pa oglata. Otrok to

izkušnjo lahko pridobiva na različne načine, npr. telesa kotali po klancu, piha vanje in

jih poskuša na pognati v gibanje, opazuje sledi geometrijskih teles, ki smo jih prej

namočili v barvo, telesa občuti v roki, si jih povalja po dlani, posluša, kako »ropotajo«,

ko jih kotalimo, ipd.

Geometrijski liki

Z natančnim opazovanjem teles preidemo na like. Telesa uporabimo kot štampiljke

in jih odtiskujemo v peskovnik ali na papir. Tako preusmerimo otrokovo pozornost na

posamezno ploskev telesa, značilno za določen lik. Na splošno si pod pojmom lik

predstavljamo kakršen koli omejen del ravnine, otrok pa na začetku prepoznava samo

nekatere pravilne like, npr. krog, kvadrat, pravokotnik in trikotnik (Cotič, Hodnik Čadež,

Manfreda Kolar in Mutić, 1999).

Simetrija

Simetrične reči nas obdajajo od rojstva in se nam zdijo lepe, ker so takšne. Če je

nek predmet simetričen, znamo uganiti, kakšen je tisti njegov del, ki ga ne vidimo.

Otroku znanje simetrije ne pomeni znati določiti simetralo simetričnemu predmetu, pač

pa uporablja posledice simetrije. Otrok zgodaj ve, kako mora nadaljevati nedokončano

risbo na drugi strani, da bo simetrična. Tudi simetrijo otrok najprej spoznava v svoji

okolici, v predmetih, ki ga obkrožajo, šele nato izdeluje simetrične oblike iz papirja

oziroma na papirju. Pomembna je osna simetrija, v predšolskem obdobju sta to

največkrat barvna osna simetrija in izrezovanje simetričnih oblik ob pregibu papirja.

Veliko priložnosti za spoznavanje simetrije nudijo tudi risanje, prepisovanje in

opazovanje ljudi in predmetov v ogledalu (Marjanovič Umek, 2001).

Merjenje

Otrok se z merjenjem seznanja tako, da:

– klasificira in razvršča glede na dolžino, maso, prostornino, površino;

– spoznava razlike med merjenjem in štetjem;

– spoznava skupne lastnosti snovi in objektov, ki jih merimo, in posameznih

objektov, ki jih štejemo;

– se seznanja s strategijami merjenja z merili in enotami.

V predšolskem obdobju merimo dolžino, površino, maso in prostornino, njihovo

merjenje pa vpeljemo v štirih metodičnih korakih (primerjanje količin, merjenje z

relativno enoto, merjenje s konstantno nestandardno enoto, merjenje s standardno



9

enoto). Pri merjenju v predšolskem obdobju največkrat uporabljamo relativne merske

enote (lahko kar del otrokovega telesa, npr. dlan za merjenje širine mize, stopalo za

merjenje igralnice …), saj je uvodno merjenje namenjeno pridobivanju osnovnih veščin

merjenja, kamor sodita izbira ustrezne merske enote in pravilno merjenje. Pri merjenju

z relativno mersko enoto dobimo različne rezultate. Če merimo npr. dolžino mize z

dlanmi, bo tisti, ki ima večjo dlan, manjkrat položil dlan ob rob mize. Prav zato, ker pri

merjenju z relativno enoto dobimo različne rezultate, se lahko odločimo za merjenje s

konstantno mersko enoto. Npr. otrokom razdelimo enako dolge slamice, paličice ipd. S

standardno enoto (meter, decimeter, centimeter …) pa otrok posebej ne seznanjamo,

razen če za to pokažejo zanimanje (Hodnik Čadež, 2002).

2.1.4.3 Obdelava podatkov

Vsebine iz obdelave podatkov so za otroka koristne, saj si z zbiranjem,

prikazovanjem in interpretiranjem podatkov pridobiva veščine, ki so v današnjem

življenju nujne. S temi vsebinami ga med drugim že začenjamo pripravljati za kritično

vrednotenje informacij. Otrok pri obdelavi podatkov (Bahovec, 2009):

– spoznava grafične prikaze, jih oblikuje in odčitava;

– rabi simbole, s simboli zapisuje dogodke in opisuje stanje;

– spoznava odnos med vzrokom in posledico;

– seznanja se z verjetnostjo dogodkov in rabi izraze za opisovanje verjetnosti

dogodka;

– išče, zaznava in uporablja različne možnosti rešitve problema;

– preverja smiselnost dobljene rešitve problema.

Vsebine obdelave podatkov so:

– prikazi,

– uvod v verjetnost,

– preproste kombinatorične situacije.

Prikazi

To so na splošno vsa zapisana in narisana obvestila, sporočila, razporedi,

seznami, ki vsebujejo besedilo, kakšno črto, okrajšavo, znak ali puščice. Znanje

simbolov in prikazov za otroka ni nič posebno težkega, so pa dobra pomoč za razvoj

abstraktnega mišljenja. Ob izdelovanju prikazov in izmišljanju simbolov se otrok uči

uporabiti vse znane podatke. V pogovoru o tem, kaj je na prikazu, pa ugotovi, kako iz

urejenih podatkov npr. izpeljati rešitev naloge.



10

Prikaz je najbolj splošno berljiv zapis in predstavitev zbranih podatkov, ki ga lahko

bere kdorkoli, ne da bi za to moral obvladati jezik, ker prikaz in njegova sporočilnost

nista vezana na govorno in jezikovno področje. Med prikaze sodijo preglednice, figurni

prikazi in prikazi s stolpci ali vrsticami. Najbolj pogosto uporabljen prikaz je prikaz s

stolpci ali vrsticami in zajema prirejanje, štetje ter sestavljanje.

Uvod v verjetnost

Pomembno je, da se z otroki pogovarjamo, kaj je bolj mogoče in kaj nemogoče, kaj

se lahko zgodi in kaj ne. Otrok se že v prvem letu življenja uči razumeti vzrok in

posledico, z vsakodnevnimi dejavnostmi pa velikokrat vadi poznavanje posledic svojih

dejanj, npr. to, da se avtomobilček odpelje, če ga potisne. Čim hitreje otrok pridobi

izkušnje in znanje o povezavi med vzrokom in posledico, bolje se bo znašel v svojem

svetu. V verjetnost sodijo vsa dogajanja, ki se pri danih pogojih zgodijo ali pa se ne

zgodijo, torej vse tisto, kar se včasih zgodi, včasih pa ne, kar napovedujemo ali

ugibamo, ko ne vemo, kaj se bo res zgodilo. Besede mogoče, včasih in najbrž ne mu

pomagajo, ker ga naučijo dopuščati, da gredo stvari svojo pot in jih ni mogoče vnaprej

napovedati. Besed za napovedovanje verjetnosti se otrok ne nauči samih zase, ampak

jih prepoznava v govoru in opazuje njihove posledice (Marjanovič Umek, 2001).

Preproste kombinatorične situacije

Kombinatorika se ukvarja z vprašanjem, na koliko načinov je možno razporediti,

preurediti oziroma izbrati določeno množico elementov.

Z dejavnostmi iz kombinatorike v predšolskem obdobju želimo:

– razviti sposobnost opazovanja,

– razviti občutek za relacijo enakosti oziroma neenakosti,

– ustvariti red med neurejenostjo,

– iskati sorodne ali enake vzorce in postavljati predpostavke o zakonitostih,

opaziti strukturo sistema.

Poznamo tri ravni vpeljevanja v preproste kombinatorične situacije: konkretno,

slikovno in simbolno. V predšolskem obdobju jih vpeljujemo skozi igro in na konkretni

ravni. Otroci rešujejo le preproste kombinatorične situacije, ki izhajajo iz življenjskih

situacij. Otrokom moramo omogočiti preizkušanje, saj se iz tega veliko naučijo. Sicer

pa ima vzgojitelj pomembno vlogo pri sistematičnem reševanju problema.

Kombinatorične situacije lahko ponazorimo s tremi prikazi: s preglednico, s

kombinatoričnim drevesom ali s puščičnim prikazom.



11

2.1.4.4 Števila

Otrok v predšolskem obdobju veliko šteje, rad tudi zapisuje številke, ugotavlja

največje možno število in se pohvali, da zna šteti do največjega števila. Vendar otrok

dejansko šteje šele takrat, ko usvoji vsa štiri načela štetja, ki so naslednja:

– nobenega elementa pri štetju ne smemo izpustiti in nobenega šteti dvakrat;

– naravna števila so urejena (vedno štejemo ena, dve, tri, štiri …);

– štetje je neodvisno od narave predmetov, ki jih štejemo;

– štetje je neodvisno od vrstnega reda (ni važno, kje začnemo šteti preštevance;

če bomo prešteli vse, bomo dobili število preštevancev).

Otrok pri štetju uporablja različne strategije, in sicer:

– šteje s premikanjem preštevancev (ti predmeti so lahko postavljeni v vrsti,

krogu, gruči …): otrok šteje igrače, ki jih lahko prime in premakne;

– šteje z dotikanjem preštevancev: otrok šteje stvari, ki se jih lahko dotakne, ne

more pa jih premakniti, npr. slike v knjigi, pike na kocki, dominah;

– šteje s pogledom na preštevance: otrok šteje stvari, ki jih vidi, ne more pa se jih

dotakniti, npr. oddaljene hiše;

– šteje po spominu: otrok šteje po spominu, npr. koliko članov ima družina.

Števila in štetje sta dve ločeni znanji, ki se pri otroku običajno povežeta v skupen

sistem pri petih letih starosti. Števila so osnova, brez katere ni mogoča niti osnovna

komunikacija z majhnim otrokom. Najpogostejši številski vzorci, ki jih uporabljamo, so

dve roki, dve nogi, pet prstov itd. Otrok se imena za števila uči ob pesmicah, rimah in

poslušanju odraslega. Števila ponavlja najprej kot eno besedo, pozneje pa loči med

posameznimi besedami za števila in si s tem širi besedišče. Običajno to še ni štetje, in

sicer vse do takrat, dokler ob izgovarjanju števila pravilno ne kaže preštetih stvari,

vsako prešteje le enkrat in nobenega ne izpusti. (Marjanovič Umek, 2001)

2.2 Igra

»Igra je dejavnost, ki sama sebe krepi in nagrajuje.« (Heckhausen, 1989; Hunt,

1965, v Marjanovič Umek in Zupančič, 2001, str. 7)

Igra je beseda, ki jo verjetno najpogosteje povezujemo z besedama otrok, otroštvo

ipd. Pojem igra se uporablja vsakdanje in tako neopredeljeno, da lahko izgubi svoj

pravi pomen. Poznamo vrsto definicij o tem, kaj igra je, in prav toliko teorij o igri.

Otroška igra je dejavnost, ki se izvaja zaradi nje same, ki spremeni odnos do

realnosti in je notranje motivirana, svobodna in odprta. Za otroka je igra prijetna

izkušnja, ne glede na to, za katero vrsto otroške igre gre. Način in vsebina igre pa



12

dajeta prostor, znotraj katerega so prepoznavna zelo različna področja kurikula. V igri

se v otrokovih dejavnostih prepletajo in povežejo različna področja, kar je za razvojno

stopnjo in način učenja v tem starostnem obdobju smiselno in strokovno utemeljeno

(Bahovec, 2009).

Otroška igra je univerzalna dejavnost, ki se spreminja glede na otrokovo starost,

vsebino, čas in okolje, oz. igra je dialog med domišljijo in resničnostjo, med preteklostjo

in prihodnostjo, med konkretnostjo in abstraktnostjo, med varnostjo in tveganjem

(Marjanovič Umek in Fekonja Peklaj, 2008).

2.2.1 Vrste otroške igre

V literaturi najdemo zelo različne klasifikacije igralne aktivnosti, odvisne pa so od

pristopa posameznega avtorja do pojava igre. Pri nas se je po zaslugi Topoličiča

uveljavila klasifikacija, ki deli igro na štiri zaokrožene vsebinske celote, ki so naslednje

(Marjanovič Umek in Zupančič, 2001):

– funkcijska igra: vključuje npr. prijemanje, metanje, tek, tipanje, vtikanje,

vzpenjanje;

– domišljijska oz. simbolna igra: vključuje različne simbolne dejavnosti, vključno z

igro vlog;

– dojemalna igra: gre za dejavnosti, kot so npr. poslušanje, opazovanje,

posnemanje, branje;

– ustvarjalna igra: vključuje npr. pisanje, risanje, oblikovanje, gradnjo,

pripovedovanje …

Funkcijska igra

To je ena izmed prvih vrst igre v otrokovem razvoju. Pomaga mu razvijati njegove

gibalne sposobnosti v dejavnostih, kot so metanje in zlaganje kock, preskakovanje vrvi

ipd. Te dejavnosti se večkrat ponavljajo z različnimi naključnimi variacijami, njihovi

rezultati pa v otroku zbujajo zadovoljstvo (Labinowicz, 2010).

Pri funkcijski igri gre za ponavljajoče se gibe mišic s predmeti ali brez njih, ki

temeljijo na otrokovi potrebi po aktiviranju lastnega telesa. Otrok ponavlja in posnema

glasove ter tako postavlja osnovo za jezikovno artikulacijo. Funkcijska igra vključuje

tudi tekanje in skakanje, nalaganje in podiranje, rokovanje s predmeti ali materiali. V

funkcijski igri otrok preizkuša svoje zaznavno-gibalne sheme, to pa mu daje občutek

zadovoljstva. Otrok v prvih dveh letih starosti preizkuša svoje razvijajoče gibalne in

zaznavne funkcije, kar Piaget imenuje zaznavno-gibalna igra. Hkrati otrok tudi

neposredno manipulira s predmeti in jih raziskuje, npr. njihove zaznavne značilnosti (se



13

sveti, je mehek), njihove funkcije in odzivanja na manipulacijo (zvončklja, če ga trese,

če ga spusti, se kotali), kar Piaget poimenuje tudi raziskovalna igra (Marjanovič Umek

in Zupančič, 2001).

Simbolna igra

To je oblika igre, ki temelji na posnemanju. Simbolna igra nima nikakršnih pravil ali

omejitev. Ena izmed oblik simbolne igre je posploševanje prvih vzorcev miselne

predstave na nove predmete: medtem ko si otrok domišlja, da telefonira, v telefoniranje

vključi tudi punčko. Druge predmete, npr. čevelj, pa uporabi za telefon.

V otrokovih izkušnjah je lahko kar koli namesto česar koli drugega. Igra tako lahko

postane ustvarjalna izkušnja, v kateri otrok stvarnost opira na svoje lastne želje, pri tem

pa vključuje tudi svoje socialne izkušnje, podoživlja svoja zadovoljstva in rešuje

konflikte (Labinowicz, 2010).

Dojemalna igra

Dejavnosti, ki opisujejo dojemalno igro (Marjanovič Umek in Zupančič, 2001):

– otrok poimenuje, kar vidi, poimenuje predmete zunanje realnosti ali glasovno

opisuje, kar počne;

– otrok sledi navodilom, torej izvaja neko dejavnost na pobudo ali zahtevo

drugega, odgovarja na vprašanja;

– otrok daje navodila, svoje pobude ali zahteve, zastavlja vprašanja;

– otrok dojema relacije, kar pomeni, da razume odnose med prvinami, ki jih spaja

ali so spojene v igralnem kontekstu.

Ustvarjalna igra

Ustvarjalno igro lahko deloma primerjamo s konstrukcijsko igro. V njej otrok

uporablja predmete (npr. kocke, lego kocke) ali materiale (npr. pesek, plastelin), da bi z

njimi oz. iz njih nekaj naredil, sestavil, ustvaril. Za to vrsto igre je značilno, da si je otrok

že sposoben določene stvari predstavljati, si zamisliti temo in se za krajši ali daljši čas

osredotočiti na rdečo nit svoje igre (Marjanovič Umek in Zupančič, 2001).



14

3 PRAKTIČNI DEL

3.1 Opredelitev problema, namen in cilji

Otrok se z matematiko srečuje že zelo zgodaj, šteje predmete, jih meri, ureja,

razvršča, jih opisuje ipd. Da bi otrokovo notranjo motiviranost za učenje povečali,

moramo opazovati posameznika in nuditi dejavnosti, ki mu pomagajo razširiti

matematično znanje. Najprimernejši način zgodnjega poučevanja matematike je igranje

z otrokom. Zato smo pripravili štiri igre, preko katerih otroci spoznavajo matematične

pojme in vsebine matematike. Pri tem smo bili pozorni na njihovo motiviranost,

razumevanje navodil in poteka iger, in sicer glede na starost otrok.

Namen diplomske naloge je približati vsebine matematike otrokom na igriv,

zabaven, prijeten, poučen način in jih motivirati za raziskovanje osnovnih matematičnih

pojmov.

Pri izvajanju dejavnosti smo bili pozorni na otrokovo razumevanje navodil oz. pravil

iger, samostojnost otrok pri igri, vztrajnost in doseganje zastavljenih ciljev. Želeli smo

ugotoviti, kolikšno je zanimanje otrok za igre matematičnega značaja, ali se bodo pri

različno starih otrocih pokazale razlike pri razumevanju navodil iger, ali bodo otroci

vztrajni pri igrah ali bodo potrebovali pomoč in koliko pomoči potrebujejo do zaključka

posamezne igre.

Cilji:

– preko iger približati otrokom matematične vsebine,

– pripraviti in otrokom predstaviti ustrezne igre za spoznavanje različnih področij

matematike,

– opazovati otroke med igro in preveriti njihovo razumevanje matematičnih vsebin

preko iger.

3.2 Raziskovalni vzorec

Dejavnosti smo izvajali v Vrtcu Ribnica. Matematične igre smo se igrali v dveh

skupinah, in sicer v skupini otrok, starih 3 do 4 leta, in v skupini otrok, starih 4 do 5 let.

V raziskovanje je bilo vključenih devet posameznikov – trije otroci, stari 3 leta, trije

otroci, stari 4 leta, in trije otroci, stari 5 let.

3.3 Raziskovalna vprašanja

Da bi dosegli namen in cilj diplomske naloge, smo si zastavili naslednja

raziskovalna vprašanja:

– Ali bodo imeli otroci težave pri razumevanju navodil iger?



15

– Ali bodo otroci dovolj motivirani za učenje oz. spoznavanje matematike preko

iger?

– Ali bo razumevanje matematičnih iger odvisno od starosti otrok?

– Ali bodo igre otroke spodbudile k nadaljnjemu raziskovanju matematičnih

pojmov in vsebin?

3.4 Metode dela

Da bi dosegli cilje diplomske naloge, smo najprej pregledali strokovno literaturo,

saj smo le tako lahko pripravili matematične igre, s katerimi so otroci spoznavali

matematične vsebine. Otroci iz vrtčevske skupine so se igrali z izdelanimi igrami in

preko njih spoznavali matematične pojme in vsebine matematike. Otroke smo med igro

opazovali in si beležili njihove komentarje. Uporabili smo deskriptivno metodo

opazovanja. Otroke smo med igro tudi fotografirali. Zbrane podatke smo zatem

analizirali in interpretirali.

3.5 Opis in izvedba matematičnih iger ter razprava in evalvacija

posamezne igre

V šolskem letu 2015/2016 smo načrtovali in skupaj z otroki izdelali štiri igre, s

katerimi so otroci spoznali nekatere matematične pojme, kot so vzorci, prikazi, števila

in geometrijski liki.

3.5.1 Polži v gredici

Načrt

Matematično področje: števila.

Globalni cilji:

– razvijanje matematičnega mišljenja,



Operativni cilji:

– otrok rabi imena za števila,

– otrok od poimenovanja posamičnih predmetov postopno preide na štetje in

razlikovanje med številom in števnikom (ena solata, dve solati …),

– otrok razvija miselne operacije, ki so osnova za seštevanje.

Igro sestavljajo: igralna plošča, štirje polži in dve igralni kocki.

Igra je s prilagoditvami primerna za otroke, stare od 3 do 6 let.



16

Število igralcev: dva.

Igralna plošča je narejena iz papirja in filca, kar je otrokom prijetno na otip.

Navodila

Igro začne otrok, ki vrže največje število na eni igralni kocki. Otrok vrže igralni

kocki, prešteje dobljene pike in se s polžem premakne naprej za toliko solat, kolikor pik

je dobil na igralnih kockah. Igra se konča, ko prvi otrok pride na konec gredice, kjer ga

čaka prijatelj polž.

Igro se prilagodi glede na otrokovo starost, njegove predhodne izkušnje in

razumevanje igre. Otroci, stari do 4 leta, igrajo igro z eno igralno kocko, medtem ko jo

starejši otroci igrajo z dvema igralnima kockama.

Izvedba

Igro smo otrokom predstavili, jim razložili navodila igre, za boljše in hitrejše

razumevanje smo potek igre tudi demonstrirali. Da bi otroke še bolj motivirali, smo se

igro igrali individualno. Tako je vsak otrok dobil priložnost usvojiti pravila in namen igre

na zabaven, igriv način. Ko smo se prepričali, da so otroci dovolj motivirani in da večina

otrok razume potek igre, smo igranje prepustili otrokom.

Pred začetkom igranja sta si otroka najprej izbrala vsak svojega polža, s katerim

se bosta sprehajala po gredici, in prijatelja polža, ki bo čakal na koncu vrste s solatami.

Opazili smo, da je bila to dobra motivacija za otroka, saj sta komaj čakala, da postavita

polža na igralno ploščo. Otroka sta se sama dogovorila, kdo bo začel z igro. Igra je

potekala tekoče, otroka sta bila aktivna, kazala sta navdušenje, zanimanje in veselje.

Ob igri pa je iz ust otrok nastajala zgodbica: »Zgodba o dveh polžih, ki gresta k

prijateljema skozi gredo, polno slastnih, zelenih solat.« Proti koncu igre sta otroka

štela, koliko solat morata še pojesti, pri tem pa pazila, da ne bi katero od solat pojedel

njegov prijatelj polž.

Tako je igra, pri kateri je glavni cilj in namen štetje, postala povod za sestavljanje

zgodb. Igro so igrali vsi izbrani otroci, po en par, drug za drugim. Med tem smo

opazovali njihovo držo, mimiko, bili smo pozorni na njihovo komunikacijo s soigralcem

ob igri ipd.



17

Slika 1: Otroka pri igri s polži štejeta

Evalvacija

Otroke je igra vizualno zelo pritegnila. Opazili smo, da so jim všeč polži, izdelani iz

naravnih polžjih hišic. Vsi zastavljeni cilji so bili doseženi. Otroci so uporabljali imena za

števila, šteli so solate in razvijali miselne operacije, ki so osnova za seštevanje. Otroci

so pri igri bili sproščeni, veseli in igrivi. Ob premikanju polžev, štetju solat in štetju pik

na kockah so nastajale zanimive zgodbe. Zanimivo je bilo tudi to, kako so otroci šteli.

Eden od otrok je ob premikanju polža štel solate z besedami ham, ham, ham … in

pravilno »preštel« toliko solat, kolikor pik je dobil na igralnih kockah. Pri takem štetju

vemo, da otrok ne razume le pojma število, ampak zna šteti, razume štetje, poleg tega

pa zna biti pri tem še ustvarjalen.

Med izvedbo igre polži v gredici smo opazovali, koliko otrok je pri igri potrebovalo

pomoč (pojasnilo navodil za igro, spodbujanje, pomoč pri štetju), koliko jih je bilo

samostojnih in koliko otrok ni razumelo navodil za igro oziroma koliko otrokom kljub

pomoči ni uspelo zaključiti igre.

Preglednica 1: Uspešnost otrok pri igri polži v gredici

Brez pomoči S pomočjo Kljub pomoči ni

zaključil igre

Otrok, star 3 leta X






Otrok, star 5 let X

Otrok, star 5 let X

Otrok, star 5 let X



18

Otroci, stari 3 leta, so igro zaključili z našo pomočjo. Potrebovali so spodbudo in

pomoč pri štetju, spremljanje njihovega štetja in premikanja polža. Dva štiriletnika sta

igro hitro usvojila in jo zaključila brez pomoči. Eden štiriletnik je potreboval spodbudo.

Tudi otroci, stari 5 let, so igro usvojili brez težav in jo z velikim navdušenjem ter

ustvarjalno zaključili brez naše pomoči.

Slika 2: Grafični prikaz uspešnosti otrok pri igri polži v gredici

3.5.2 Barvni kamenčki

Načrt

Matematično področje: logika in jezik.

Globalna cilja:

– doživljanje matematike kot prijetne izkušnje,

– razvijanje matematičnega mišljenja.

Operativni cilji:

– otrok razvija logično mišljenje,

– otrok prepozna vzorec,

– otrok nadaljuje vzorec.

Število igralcev: od eden do trije.

Starost otrok: od 3 do 6 let.

Igro sestavljajo: barvni kamenčki in kartončki z vzorci.

0

1

2

3

4

Otroci, stari 3leta

Otroci, stari 4leta

Otroci, stari 5let

Brez pomoči

S pomočjo

Kljub pomoči ni zaključiligre



19

Slika 3: Igra z barvnimi kamenčki

Navodila

Otrok si izbere kartonček, pove, kakšne barve vidi na njem, v škatli poišče

kamenček enake barve in ga položi na prvi krogec, pove naslednjo barvo s kartončka,

poišče kamenček enake barve in ga postavi na naslednji krogec. Vzorec nadaljuje

poleg kartončka. Igra je od začetka namenjena individualnemu delu z otroki, pozneje,

ko otroci obvladajo navodila in namen igre, se jih lahko igra več.

Izvedba

Otroci so bili že med nastajanjem igre navdušeni, z veliko vnemo so barvali

kamenčke in čakali na trenutek, ko se bodo z njimi lahko igrali. Igro smo otrokom

predstavili tako, da smo jim najprej pokazali le škatlo s kamenčki različnih barv in jim

prepustili, da se s kamenčki igrajo po svoje. Njihovo igro smo skrbno opazovali. Najprej

so kamenčke zlagali v različne oblike, s njimi so obložili rob mize, sestavili kačo, prosto

razporedili kamenčke po okrogli mizi, nato pa je eden od otrok dal pobudo, da

kamenčke razporedijo po barvi. Tako so naredili skupino rdečih, rumenih, zelenih,

oranžnih, modrih in vijoličnih kamenčkov. Opazili smo, da je zanimanje za igro dovolj

veliko, da jim pokažemo še kartončke z vzorci. Spet smo jim prepustili igro s kamenčki

in kartončki. Eden od otrok je kamenčke začel polagati na kartončke, pri tem pa je bil

pozoren na barvne krogce. Kamenčke je polagal na oblikovani vzorec – rdeči

kamenček je položil na rdeči krog, rumeni kamenček pa na rumeni krog (Slika 4).



20

Slika 4: Otrok polaga kamenčke glede na dani vzorec

Nato smo otrokom pokazali šal z rumenimi in zelenimi črtami, ki so si sledile v

zaporedju. Na šal z vzorcem smo položili kamenčke enakih barv in na tak način

otrokom približali pomen pojma vzorec in s tem tudi dosegli namen in cilj igre.

Otroke smo spodbudili k ponovnemu zlaganju kamenčkov na barvne krogce, k

prepoznavanju vzorcev, poimenovanju barv, predvsem pa k nadaljevanju vzorcev

(Slika 5).

Slika 5: Otrok nadaljuje vzorec

Evalvacija

Igra je otroke pritegnila zaradi živahnih barv kamenčkov, ki so jih barvali sami. Da

bi otroke dobro motivirali, smo se odločili, da jim igro predstavimo po delih. Kamenčki

različnih barv so jim vzbudili zanimanje; z njimi so ustvarjali različne oblike, jih

razvrščali in opazovali. To je bil naš namen, saj smo želeli, da so pozorni na različne

barve, da s kamenčki najprej na svoj način ustvarjajo, jih raziskujejo in se z njimi

poigrajo. Postopoma smo otroke pripeljali do pojma vzorec. S pomočjo šala s črtami,

postavljenimi v zaporedje, in postavljanjem kamenčkov enakih barv na črte so otroci

razumeli pomen pojma vzorec, kar pa je osnova za razumevanje navodil za igro. Po

postavljanju kamenčkov na šal v določenem zaporedju smo otrokom ponudili kartončke

s krogci, postavljenimi v strukturiran vzorec. Otroci so bili dobro motivirani, večina jih je



21

razumela navodila za igro, s tem pa smo dosegali tudi zastavljene cilje. Otroci so

prepoznali vzorce, razumeli pomen pojma vzorec, nadaljevali vzorce in ob igri razvijali

logično mišljenje.

Pri igri smo otroke skrbno opazovali in si beležili, kako so uspešni pri razumevanju

navodil in izvedbi igre ter ali so dosegli zastavljene cilje oziroma v kolikšni meri so cilji

pri posamezniku doseženi. Nekateri otroci so potrebovali več časa za razumevanje

igre. Z navdušenjem so polagali kamenčke na krogce, nadaljevanje vzorca pa je

nekaterim predstavljalo težavo, saj kamenčkov niso polagali naprej od kartončka, torej

vzorca niso nadaljevali. S spodbujanjem, opazovanjem ostalih otrok, ki so razumeli

pomen vzorca, in opazovanjem vzorcev na oblačilih so vsi otroci prepoznali

posamezne vzorce in jih nadaljevali.

Med igro z barvnimi kamenčki smo opazovali, koliko otrok je pri igri potrebovalo

pomoč (pojasnilo navodil za igro, spodbujanje, pomoč pri štetju), koliko jih je bilo

samostojnih in koliko jih ni razumelo navodil za igro oziroma koliko otrokom kljub

pomoči ni uspelo zaključiti igre.

Preglednica 2: Uspešnost otrok pri igri barvni kamenčki


zaključil igre







Otrok, star 5 let X

Otrok, star 5 let X

Otrok, star 5 let X

Dva triletnika sta igro hitro usvojila, eden triletnik pa je igro usvojil z našo pomočjo,

potreboval je usmerjanje pri nadaljevanju vzorca. Enak rezultat je bil tudi pri otrocih,

starih 4 leta, medtem ko so petletniki igro hitro usvojili in bili zelo ustvarjalni pri

nadaljnjem ustvarjanju vzorcev.



22

Slika 6: Grafični prikaz uspešnosti otrok pri igri barvni kamenčki

3.5.3 Sladoledna lučka

Načrt

Matematično področje: geometrija z merjenjem.

Globalna cilja:



Operativna cilja:

– otrok spoznava like,

– otrok prepozna obris lika.

Igralci: eden.

Starost otrok: od 3 do 6 let.

Igro sestavljajo: igralna plošča (sladoledna lučka) in lonček z liki.

Navodila

Otrok izrezane like iz lončka pravilno postavi na igralno ploščo tja, kjer so obrisi

likov.

Izvedba

Igra je namenjena individualnemu delu. Izdelali smo dve igralni plošči, ki smo ju

poimenovali sladoledni lučki; ena je namenjena otrokom, starim 3 do 4 leta, druga pa

otrokom, starim 5 do 6 let. Prva igralna plošča je sestavljena iz treh osnovnih likov

(kroga, trikotnika in kvadrata), medtem ko je druga igralna plošča sestavljena iz štirih

0

1

2

3

4

Otroci, stari 3leta

Otroci, stari 4leta

Otroci, stari 5let

Brez pomoči

S pomočjo




23

osnovnih likov (kroga, kvadrata, trikotnika in pravokotnika). Pri drugi igri smo želeli, da

poleg polaganja likov na njihove obrise otroci ugotavljajo tudi, kaj nastane, če skupaj

položimo dva trikotnika, kaj nastane, če skupaj položimo dva pravokotnika, in kaj

nastane, če like zlagamo enega tik zraven drugega.

Slika 7: Otrok vstavlja like na lažjo igralno ploščo

Slika 8: Otrok like postavlja na težjo igralno ploščo

Igro z liki smo predstavili vsakemu otroku posebej. Otrokom nismo dajali posebnih

napotkov pri igri, naša navodila so bila kratka, in sicer so se glasila: »Izrezane like iz

lončka postavi na obrise likov, ki so na sladoledni lučki.« Nato smo otroke prepustili

raziskovanju, opazovanju, primerjanju, poskušanju in jih pri tem opazovali.

Evalvacija

Igra je namenjena spoznavanju likov na zabaven način, prepoznavanju obrisov in

pravilnemu umeščanju likov na igralno ploščo. Otroci so se zabavali, primerjali oblike

likov, raziskovali, iskali like in jih postavljali na njihove obrise. Pri polaganju likov na

obrise smo jih opazovali, spodbujali in jim zastavljali vprašanja, ki so jih vodila k

razmišljanju.

Vprašanja in odgovori otrok:

Vprašanje: »Koliko krogov si položil na sladoledno lučko?«



24

Odgovori otrok: »Tri«, »Dva majhna in enega velikega«, »Tri kroge rumene

barve«.

Vprašanje: »So vsi krogi enake velikosti?«

Odgovori otrok: »Ne, eden je večji«, »Ne, ta dva sta enaka«, »Ne, eden je velik«.

Vprašanje: »Kaj nastane, ko skupaj položiš dva trikotnika?«

Odgovori: »Skupaj se držita« …

Igra je otrokom predstavljala izziv, ob pogledu na zapolnjene prostorčke z barvnimi

liki pa so bili navdušeni in še bolj motivirani za nadaljnjo raziskovanje in poizkušanje.

Vsak otrok se je najprej seznanil z lažjo različico igre, ko je razumel navodila in

uspešno izpolnil prvo igralno ploščo z liki, smo mu dali na voljo težjo igro z več

različnimi liki manjše velikosti in v bolj strnjeni obliki.

Otroci so osnovne like, kot so trikotnik, krog, kvadrat in pravokotnik poznali, zato

jim igra ni predstavljala težav, bila jim je izziv, saj so morali prepoznati obrise likov in jih

umestiti na igralno ploščo. Otroci so like različno postavljali na igralno ploščo. Nekateri

so najprej položili kroge, nato kvadrate, nekateri pa so like polagali na ploščo

naključno.

V Preglednici 3 je prikazano, koliko otrok je pri igri potrebovalo pomoč (pojasnilo

navodil za igro, spodbujanje, pomoč pri štetju), koliko jih je bilo samostojnih in koliko

otrok ni razumelo navodil za igro oz. koliko otrokom kljub pomoči ni uspelo zaključiti

igre.

Preglednica prikazuje uspeh oz. neuspeh otrok pri zlaganju likov na lažjo igralno

ploščo:

Preglednica 3: Uspešnost otrok pri igri sladoledna lučka (lažja različica igre)


zaključil igre







Otrok, star 5 let X

Otrok, star 5 let X

Otrok, star 5 let X



25

Slika 9: Grafični prikaz uspešnosti otrok pri igri sladoledna lučka (lažja različica igre)

Interpretacija preglednice oz. grafa:

Otroci, stari 4 in 5 let, so brez težav pravilno zapolnili igralno ploščo z liki. Lažja

različica igre jih je le še bolj motivirala za razporejanje likov v naslednjo igralno ploščo.

Le en otrok, star 3 leta, je potreboval spodbudo za dokončno razporeditev likov.

Težave je imel pri polaganju kvadratov enega poleg drugega.

Preglednica 4 prikazuje uspešnost otrok pri zlaganju likov na težjo igralno ploščo.

Preglednica 4: Uspešnost otrok pri igri sladoledna lučka (težja različica igre)


zaključil igre







Otrok, star 5 let X

Otrok, star 5 let X

Otrok, star 5 let X

0

1

2

3

4

Otroci stari 3 leta Otroci stari 4 leta Otroci stari 5 let

Brez pomoči

S pomočjo

Kljub pomoči



26

Slika 10: Uspešnost otrok pri igri sladoledna lučka (težja različica igre)


Petletniki so tudi na težjo igralno ploščo z velikim navdušenjem pravilno umestili

like. Otrok, star 3 leta, in dva štiriletnika pri igri niso imeli težav. Otrok, star 4 leta, in

dva triletnika so pri postavljanju likov na težjo igralno ploščo potrebovali pomoč.

Triletnika in štiriletnik so potrebovali veliko spodbujanja pri postavljanju likov na težjo

obliko igralne plošče, saj je likov veliko, so manjši in postavljeni en zraven drugega. Za

dopolnitev te igralne plošče mora imeti otrok dobro razvito finomotoriko in mora biti

vztrajen.

3.5.4 Na travniku

Načrt

Matematično področje: obdelava podatkov.

Globalna cilja:



Operativni cilji:

– otrok spozna grafične prikaze,

– otrok bere podatke iz prikaza,

– otrok dopolni stolpčni prikaz,

– otrok šteje.

Igro sestavljajo: dve sliki, lončki z rožami in metulji, dva prikaza s stolpci.

Igralci: eden.

Igra je primerna za otroke, stare: od 3 do 6 let.

0

1

2

3

4

Otroci stari 3 leta otroci stari 4 leta otroci stari 5 let

Brez pomoči

S pomočjo

Kljub pomoči



27

Navodila

Otrok individualno šteje metulje in rože enake barve in glede na prešteto vstavlja

metulje oz. rože v stolpčni prikaz. Npr.: otrok se odloči, da bo najprej preštel rdeče

metulje. Ugotovi, da sta na sliki dva metulja rdeče barve. Iz lončka vzame dva rdeča

metulja in ju položi v stolpčni prikaz za metulje. Otrok mora biti pozoren, v kateri

stolpec postavlja metulje enake barve. Ko je izpolnjen celotni prikaz z metulji, na enak

način šteje in oblikuje še prikaz za rože. Igro konča, ko prešteje vse metulje oz. rože in

izpolni oba stolpčna prikaza.

Izvedba

Igro smo otrokom predstavili individualno, saj smo želeli otrokom zagotoviti

priložnost, da usvojijo navodila za igro. Z demonstracijo so posamezniki kmalu

razumeli potek, navodila in cilje igre. Pred oblikovanjem stolpčnih prikazov so si

nekateri otroci okoli prikaza pripravili lončke z rožami in metulji, jih razvrstili po barvi

ipd. Ko so si igro pripravili na svoj način, so začeli s štetjem metuljev oz. rož.

Postopoma so glede na barvo oblikovali stolpčni prikaz. Vsi otroci so glasno šteli in z

veliko natančnostjo umeščali metulje oz. rože v prikaz, mi pa smo medtem otrokovo

štetje in oblikovanje prikaza ves čas spremljali in bili pozorni na posebnosti.

Kot je vidno na spodnji fotografiji (Slika 8), je nekaj otrok, preden so rože oz.

metulje položili v posamezni stolpec, štelo metulje oz. rože izven prikaza; polagali so jih

na mizo in glasno šteli. Sami sebe so preverjali, ali so prešteli pravilno. Šele nato ko so

bili prepričani v rezultat, so posamezne metulje oz. rože položili v stolpčni prikaz (Slika

9). Igra je pri nekaterih trajala dalj časa, kot smo načrtovali, a so bili izredno natančni in

previdni pri oblikovanju prikaza. Ko so prikaz uspešno oblikovali, smo jim zastavili

vprašanja, kot so, kateri stolpec je najvišji, kateri stolpec je najnižji, katerih rož je

največ, katerih najmanj. Nekateri otroci, predvsem starejši, so le pogledali prikaz in

odgovorili na vprašanja, mlajši pa so bili pri odgovarjanju previdnejši. Metulje oz. rože

so ponovno prešteli in šele nato povedali odgovor.

Igra je prilagojena starosti otrok. Igra vsebuje dve sliki, ena z rožami in metulji do

števila 5, druga do števila 10. Pri izvedbi dejavnosti smo bili pozorni na otrokovo

razumevanje in motiviranost, glede na opaženo pa smo se odločili ponuditi otrokom

zahtevnejšo sliko s štetjem do 10.



28

Slika 11: Otrok šteje pred oblikovanjem prikaza

Slika 12: Otrok oblikuje stolpčni prikaz

Evalvacija

V Preglednici 5 je prikazano, koliko otrok je pri igri potrebovalo pomoč (pojasnilo

navodila za igro, spodbujanje, pomoč pri štetju), koliko jih je bilo samostojnih in koliko

jih ni razumelo navodil igre oziroma koliko otrokom kljub pomoči ni uspelo zaključiti

igre.

Preglednica 5 prikazuje uspešnost otrok pri oblikovanju stolpčnega prikaza s

štetjem do 5.

Preglednica 5: Uspešnost otrok pri igri na travniku s štetjem do 5


zaključil igre









29


zaključil igre

Otrok, star 5 let X

Otrok, star 5 let X

Otrok, star 5 let X

Slika 13: Grafični prikaz uspešnosti otrok pri igri na travniku s štetjem do 5


Vsi otroci so uspešno oblikovali stolpčni prikaz. Pri tem so potrebovali nekaj

usmerjanja in spodbude pri oblikovanju prikaza. Dva otroka, stara 5 let, in en otrok, star

4 leta, pa so prikaz oblikovali brez naše pomoči.

Preglednica 6 prikazuje uspešnost otrok pri oblikovanju stolpčnega prikaza s

štetjem do 10.

Preglednica 6: Uspešnost otrok pri igri na travniku s štetjem do 10


zaključil igre

Otrok star 3 leta X

Otrok star 3 leta X

Otrok star 3 leta X

Otrok star 4 leta X

Otrok star 4 leta X

Otrok star 4 leta X

Otrok star 5 let X

0

1

2

3

4

Otroci, stari 3 leta Otroci, stari 4 leta Otroci, stari 5 let

Brez pomoči

S pomočjo

Kljub pomoči



30


zaključil igre

Otrok star 5 let X

Otrok star 5 let X

Slika 14: Grafični prikaz uspešnosti otrok pri igri na travniku s štetjem do 10


Težja različica igre s štetjem do 10 je otrokom predstavljala večji izziv. Nekatere

otroke je to le še spodbudilo in dodatno motiviralo k oblikovanju stolpčnega prikaza,

nekaterim pa je bil izziv prezahteven. Dva triletnika prikaza nista dokončno oblikovala,

naloga je bila zanju prezahtevna. En triletnik je prikaz uspešno oblikoval z našo

pomočjo, a je potreboval veliko spodbude. Otroci, stari 4 leta, so prikaz oblikovali s

pomočjo vzgojitelja. Dva otroka, stara 5 let, sta uspešno in pravilno oblikovala stolpčni

prikaz brez pomoči, eden pa z malo pomoči in dodatne spodbude. Za otroke, stare 3

leta, je bila težja oblika igre prezahtevna, otrokom, starim 4 leta, pa je med igro

popustila motivacija.

3.6 Odgovori na raziskovalna vprašanja

Raziskovalno vprašanje 1: Ali bodo imeli otroci težave pri razumevanju navodil za

igre?

Otroci niso imeli večjih težav pri razumevanju navodil za igre. Navodila za igre smo

jim predstavili z demonstracijo in na tak način so vsi otroci hitro usvojili navodila in

potek iger.

0

1

2

3

4

Otroci, stari 3leta

Otroci, stari 4leta

Otroci, stari 5let

Brez pomoči

S pomočjo




31

Raziskovalno vprašanje 2: Ali bodo otroci dovolj motivirani za učenje oz.

spoznavanje matematike skozi igro?

Otroci so bili zelo motivirani za učenje oz. spoznavanje matematike skozi igro.

Njihova največja motivacija pa je bila želja, da bi se čimprej igrali z igrami, ki smo jih

izdelali skupaj.

Raziskovalno vprašanje 3: Ali bo razumevanje matematičnih iger odvisno od

starosti otrok?

Vsi otroci so ne glede na starost razumeli navodila in potek igre. Mlajši otroci so

sicer potrebovali več spodbujanja in nadzora pri sami igri in na začetku so se radi igrali

z odraslo osebo, a ko so popolnoma usvojili igro, so se igrali s svojimi vrstniki.

Raziskovalno vprašanje 4: Ali bodo igre otroke spodbudile k nadaljnjemu

raziskovanju matematičnih pojmov in vsebin?

Otroci so pri prosti igri začeli uporabljati matematične pojme, ki so jih spoznali

skozi igre. Iz kock so sestavljali vzorce, barvne kroge smo nalepili na blazino tako, da

je nastal določen vzorec, dogovarjali so se, kako bodo uredili žogice (urejali so jih

glede na barvo in velikost), veliko več so glasno šteli, primerjali, kdo je večji in kdo

manjši, znali so poimenovati like in bili so bolj spretni pri obdelavi podatkov, branju in

urejanju prikazov.



32

4 SKLEPNE UGOTOVITVE

Za diplomsko delo o matematičnih igrah smo se odločili, ker je matematika kot

področje v vrtcih velikokrat zapostavljena. V diplomskem delu je prikazano, kako smo z

matematiko lahko ustvarjalni. Z otroki smo izdelali štiri igre, vezane na vsebine

predšolske matematike. Igra je namreč dejavnost, pri kateri tako malčki kot otroci

preživijo večino časa, skozi njo pa se razvijajo in učijo. Naš cilj je bil otrokom približati

matematične vsebine, jim predstaviti ustrezne igre za spoznavanje različnih področij

matematike in jih pri tem opazovati ter preveriti njihovo razumevanje matematičnih

vsebin preko igre.

Otroke je treba seznanjati z matematiko že v predšolskem obdobju. Približati jo je

treba na enostaven, prijeten način, ki bo otroke le še bolj motiviral za raziskovanje

matematike. Velikokrat slišimo otroka, ki se igra in tako »šteje« npr. pike na obleki:

ena, dve, štiri, šest, tri … Otroci so za matematiko velikokrat že notranje motivirani, mi

kot vzgojitelji jih moramo le opaziti in jih še dodatno spodbuditi k raziskovanju in

spoznavanju matematike.

Otroke vedno navdušijo stvari, ki jih izdelajo sami, kar je dobra motivacija za

nadaljnje delo. Zato smo tudi mi vključili otroke v izdelavo iger. Vse štiri igre smo

izdelali skupaj, se o igrah pogovarjali, sprejemali smo predloge o dopolnitvi igre ipd.

Otroci so bili že med izdelavo iger nad njimi navdušeni in opaziti je bilo, da komaj

čakajo na igro.

Skupaj z otroki smo prišli do novih spoznanj, novih izkušenj, skupaj smo

spoznavali matematične pojme, kot so liki, trikotnik, krog, kvadrat, pravokotnik, vzorec,

stolpčni prikaz, števila, štetje; se seznanili s posameznimi področji matematike in

postali še bolj motivirani za raziskovanje matematike. Igre so otrokom razširile obzorja,

saj so pridobljene izkušnje in znanja začeli uporabljati v prosti igri. Opaziti je bilo, da so

postali bolj pozorni npr. pri pripravljanju mize na število krožnikov, like in telesa opazijo

pri vsakodnevnih predmetih, vzorce iščejo na oblekah, glasno štejejo, primerjajo, kdo je

večji ali manjši, velikokrat jih opazimo, kako iščejo povezave med vsakodnevno rutino

in matematiko.



33

5 LITERATURA IN VIRI

Bahovec, E. D. (2009). Kurikulum za vrtce: predšolska vzgoja v vrtcih. Ljubljana:

Ministrstvo za šolstvo in šport: Zavod Republike Slovenije za šolstvo.

Cotič, M., Hodnik Čadež, T., Manfreda Kolar, V. in Mutić, S. (1999). Prvo srečanje z

geometrijo, Priročnik. Ljubljana: DZS.

Hodnik Čadež, T. (2002). Cicibanova matematika: priročnik za vzgojitelja. Ljubljana:

DZS.

Labinowicz, E. (2010). Izvirni Piaget: mišljenje, učenje, poučevanje. Ljubljana: DZS.

Marjanovič Umek, L. (2001). Otrok v vrtcu: priročnik h kurikulu za vrtce. Maribor:

Založba Obzorja.

Marjanovič Umek, L. in Fekonja Peklaj, U. (2008). Sodoben vrtec: možnosti za otrokov

razvoj in zgodnje učenje. Ljubljana: Znanstvenoraziskovalni inštitut Filozofske

fakultete.

Marjanovič Umek, L. in Zupančič, M. (ur.) (2001). Psihologija otroške igre: od rojstva do

vstopa v šolo. Ljubljana: Znanstveni inštitut Filozofske fakultete.

Documents

ŠPELA BLATNIK - k. diplomska naloga - Kopija€¦ · ZAHVALA Hvala mentorjema za usmerjanje, nasvete, strokovno pomoč in vso pozitivno energijo, ki sem jo bila deležna pri nastajanju