Upload
others
View
3
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
PELABELAN PRODUCT CORDIAL PADA
GRAF MUSHROOM DAN GRAF GARENGPUNG
SKRIPSI
Faiz Muhammad Khan
NIM 1113094000002
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UIN SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA
2020 M /1441 H
i
PELABELAN PRODUCT CORDIAL PADA
GRAF MUSHROOM DAN GRAF GARENGPUNG
Skripsi
Diajukan kepada
Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatulah Jakarta
Fakultas Sains dan Teknologi
Untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan dalam
Memperoleh Gelar Sarjana Matematika (S.Mat)
Oleh
Faiz Muhammad Khan
NIM 1113094000002
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UIN SYARIF HIDAYATULLAH
JAKARTA
2020 M/1441 H
ii
iii
iv
v
PERSEMBAHAN DAN MOTTO
فإَ نِ مَعَِ الْعسُْرِ يسُْرًا
“Karenaِsesungguhnyaِbersama kesulitanِituِadaِkemudahan.”ِ- QS. Al - Insyirah: 5-
“skripsi ini saya persembahkan terkhusus untuk kedua orang tua saya yang tiada henti
terus bedoa untuk anak-anaknya dan tanpa perjuangan dan doa mereka apalah arti semua
perjuangan ini”
vi
ABSTRAK
Faiz Muhammad Khan, Pelabelan Product Cordial Pada Graf Mushroom dan Graf
Garengpung, dibawah bimbingan, Dr. Nur Inayah , M.Si dan Yudi Mahatma , M.Si
Suatu graf 𝐺 = (𝑉(𝐺), 𝐸(𝐺)) dikatakan memiliki pelabelan product cordial pada
𝐺 jika terdapat suatu fungsi pelabelan titik 𝑓: 𝑉(𝐺) → {0,1} yang menginduksi
pelabelan sisi 𝑓∗: 𝐸(𝐺) → {0,1} dengan 𝑓∗(𝑢𝑣) = 𝑓(𝑢) ⋅ 𝑓(𝑣), ∀𝑢𝑣 ∈ 𝐸(𝐺)
sehingga |𝑣𝑓(0) − 𝑣𝑓(1)| ≤ 1 dan |𝑒𝑓∗(0) − 𝑒𝑓∗(1)| ≤ 1. Graf 𝐺 yang memuat
pelabelan product cordial disebut graf product cordial. Pada skripsi ini, akan
dibahas tentang pelabelan product cordial pada graf mushroom 𝑀𝑟𝑚 dan graf
garengpung 𝐺𝑝(𝑚,𝑛).
Kata Kunci: Graf Product Cordial, Pelabelan Product Cordial, Graf Mushroom,
Graf Garengpung.
vii
ABSTRACT
A graph 𝐺 = (𝑉(𝐺), 𝐸(𝐺)) is side to home a product cordial labelling of 𝐺 if a
there exist function 𝑓: 𝑉(𝐺) → {0,1} induced an edge labelling 𝑓∗: 𝐸(𝐺) → {0,1}
given by 𝑓∗(𝑢𝑣) = 𝑓(𝑢). 𝑓(𝑣), ∀𝑢𝑣 ∈ 𝐸(𝐺) such that |𝑣𝑓(0) − 𝑣𝑓(1)| ≤ 1 and
|𝑒𝑓∗(0) − 𝑒𝑓∗(1)| ≤ 1. In this research we investigate whetner mushroom graph
𝑀𝑟𝑚 and garengpung graph 𝐺𝑝(𝑚,𝑛), are product cordial.
Keywords: Product Cordial Graph, Product Cordial Labelling, Mushroom Graph,
Garengpung Graph.
viii
KATA PENGANTAR
Bismillahirrahmaanirrahim
Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh
Alhamdulilah, segala puji-pujian dan rasa syukur khadirat Allah Yang Maha
Baik yang telah menganugerahkan penulis nikmat ilmu, kesempatan, dan hidayah-
Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi ini yang berjudul
“Pelabelan Product Cordial pada Graf Mushroom dan Graf Garengpung”
dengan baik dan lancar. Penulisan skripsi ini merupakan salah satu kewajiban
penulis sebagai tugas akhir untuk memperoleh gelar sarjana matematika (S.Mat).
Penulis berharap skripsi ini diridhoi oleh-Nya sehingga dapat diperoleh suatu nilai
kebaikan dan manfaat di dalamnya.
Dalam penulisan skripsi ini penulis sadar bahwa banyak pihak yang terlibat
baik secara langsung maupun tidak, sehingga skripsi ini dapat terselesaikan. Untuk
itu penulis menyampaikan rasa terima kasih yang mendalam kepada :
1. Prof. Dr. Lily Surraya Eka Putri, M.Env. Stud, selaku Dekan Fakultas Sains dan
Teknologi, Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta.
2. Dr. Summaina, M.Si, selaku Ketua Program Studi Matematika dan Irma Fauziah,
M.Si, selaku Sekretaris Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi,
Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta.
3. Dr. Nur Inayah, M.Si, selaku Pembimbing I dan Yudi Mahatma, M.Si, selaku
Pembimbing II, terima kasih atas segala ilmu, waktu, saran, dan bimbingannya
dalam penulisan skripsi ini.
4. Yanne Irene, M.Si, selaku Penguji I dan Wisnu Aribowo, M.Si, selaku Penguji II,
terima kasih atas masukan, kritik, dan saran yang telah diberikan kepada penulis
terhadap skripsi ini.
5. Seluruh dosen di Program Studi Matematika yang telah memberikan ilmunya
dengan penuh rasa sabar dan tanggung jawab.
ix
6. Kedua orang tua penulis yang selalu mendukung dari jauh, Bapak Drs. Jaharih dan
Ibu Khurotulِ ‘aini beserta Adik-adik penulis Do’aِ Helmaِ Azkia dan Azzah
Nizamah, meskipun jarak memisahkan namun segala doa, nasihat, kasih sayang,
dan dukungannya selalu sampai kepada penulis terutama selama penulisan skripsi
ini sehingga terselesaikan dengan baik.
7. Keluarga besar Bapak Kastarih dan Bapak H. Syakuri yang tak pernah Lelah
memberikan doa dan dukungannya kepada penulis.
8. Angga Saputra, Wahri Irawan dan Fajrul ahsan yang telah membantu penulis.
9. Seluruh teman-teman Matematika 2013 (cypress family), terima kasih atas
kebersamaan, semangat, dan saling mengingatkan untuk segera wisuda sejak kita
saling mengenal.
10. Teman-teman HIMATIKA, MACO, KOSAN, KMSGD JABODETABEK,
PERMAI-AYU DKI JAKARTA, RUMAH JURNAL TARBIYAH, seluruh
angkatan, dan KKN penulis juga berterima kasih untuk kebersamaan yang telah kita
lalui bersama.
11. Seluruh pihak yang telah membantu penulis dalam penyusunan skripsi ini dengan
tanpa mengurangi rasa hormat yang tidak dapat penulis sebutkan satu-persatu.
Penulis menyadari dalam penulisan skripsi ini masih banyak kekurangan.
Untuk itu seluruh kritik dan saran yang membangun sangat penulis harapkan dalam
rangka saling mengingatkan dan menasehati dalam kebaikan demi kemajuan di
masa yang akan mendatang.
Wassalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh
Jakarta, Januari 2020
Penulis
x
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ........................................................................................... i
PENGESAHAN UJIAN ..................................................................................... ii
PERNYATAAN KEASLIAN ........................................................................... iii
PERNYATAAN PERSETUJUAN DAN PUBLIKASI .................................... iv
PERSEMBAHAN DAN MOTTO ..................................................................... v
ABSTRAK ......................................................................................................... vi
ABSTRACT ..................................................................................................... vii
KATA PENGANTAR ..................................................................................... viii
DAFTAR ISI ...................................................................................................... x
DAFTAR GAMBAR ........................................................................................ xii
BAB I PENDAHULUAN ................................................................................... 1
1.1 Latar Belakang....................................................................................... 1
1.2 Perumusan Permasalahan ....................................................................... 3
1.3 Pembatasan Permasalahan ..................................................................... 3
1.4 Tujuan Penulisan ................................................................................... 3
1.5 Manfaat Penulisan ................................................................................. 4
BAB II LANDASAN TEORI ............................................................................. 5
2.1 Fungsi .................................................................................................... 5
2.2 Graf ....................................................................................................... 5
2.2.1 Jenis – Jenis Graf ...................................................................... 7
2.2.2 Graf Mushroom 𝑀𝑟𝑚................................................................. 8
2.3 Pelabelan Product Cordial ..................................................................... 9
xi
BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN .......................................................... 11
3.1 Pelabelan Product Pordial pada Graf Mushroom 𝑀𝑟𝑚 ......................... 11
3.2 Graf Garengpung Gp(m,n) ...................................................................... 16
3.3 Pelabelan Product Cordial pada Graf Garengpung Gp(m,n) ................... 16
BAB IV KESIMPULANAN DAN SARAN ..................................................... 23
4.1 Kesimpulan.......................................................................................... 23
4.2 Saran ................................................................................................... 23
REFERENSI .................................................................................................... 23
xii
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1. 1. Ilustrasi Interaksi antar Keluarga....................................................2
Gambar 2. 1. Graf G1…...…………...……..…………………………………… 6
Gambar 2.2. (a) Graf Sederhana, (b) Graf Ganda, (c) Graf Umum........................7
Gambar 2.3. (a) Graf Tak-Berarah, (b) Graf Berarah................ ..........................8
Gambar 2.4. Graf Mushroom 𝑀𝑟𝑚……………...................................................9
Gambar 2.5. Pelabelan Product Cordial graf C7.................................................10
Gambar 3.1. Graf Mushroom 𝑀𝑟3………..…………………………………….12
Gambar 3.2. Graf Mushroom 𝑀𝑟4 ……...………………..……………………15
Gambar 3.3. Graf Garengpung 𝐺𝑝(𝑚,𝑛)….……..…………..………………...16
Gambar 3.4. Graf Garengpung 𝐺𝑝(3,3)…...………...………..………………...18
Gambar 3.5. Graf Garengpung 𝐺𝑝(4,4)…...…………...……..………………...19
Gambar 3.6. Graf Garengpung 𝐺𝑝(7,8)...………………..…...………………...21
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Teori graf adalah disiplin ilmu yang bekembang sangat pesat pada 25 tahun
belakangan. Ilmu ini pertama muncul pada tahun 1736 tatkala Euler mencoba
menyelesaikan sebuah masalah yang terkenal: Jembatan Konigsberg.
Leonhard Euler menulis sebuah artikel mengenai masalah ini dan juga
metode yang bersifat lebih umum untuk menyelesaikan masalah-masalah lain yang
sejenis. Artikelnya sangat penting, bukan saja bagi teori graf tapi juga bagi
matematika secara umum dan pengembangannya.
Teori graf kemudian digunakan dalam studi tentang jaringan listrik, kimia
organik, teka-teki, dan pewarnaan peta. Dewasa ini teori graf digunakan secara
masif dalam bidang sains modern dan teknik yang meliputi ilmu komputer, ekologi,
geografi, antropologi, genetika, fisika, elektronika, jaringan listrik, pemrosesan
informasi, arsitektur, dan desain [1].
Pada dasarnya graf adalah himpunan titik dinotasikan dengan 𝑉 dan sisi
dinotasikan dengan 𝐸. Himpunan titik tidak kosong namun himpunan sisi bisa saja
kosong [2]. Dalam kitab suci Al-Qur’an,ِsecaraِtersirat terdapat cukup banyak ayat
yang bila diperhatikan bersinggungan dengan teori graf. Salah satu ayat dalam Al-
Qur’anِyangِbersinggunganِdenganِteoriِgraf adalah surat An-Nisa ayat 1 sebagai
berikut:
“Haiِ sekalianِ manusia,ِ bertakwalahِ kepadaِ Tuhan-mu yang telah menciptakan
kamu dari seorang diri, dan dari padanya Allah menciptakan isterinya; dan dari pada
keduanya Allah memperkembangbiakkan laki-laki dan perempuan yang banyak.
Dan bertakwalah kepada Allah yang dengan (mempergunakan) nama-Nya kamu
saling meminta satu sama lain, dan (peliharalah) hubungan silaturrahim.
SesungguhnyaِAllahِselaluِmenjagaِdanِmengawasiِkamu.”
Ayat di atas menjelaskan tentang penciptaan manusia yang diciptakan oleh
Allah saling berpasang-pasangan untuk dapat saling mengenal, saling berinteraksi,
2
dan pada tujuan akhirnya adalah untuk saling mengasihi dan mempererat hubungan
silaturrahim. Secara teori graf, setiap laki-laki, perempuan dan keturunannya dapat
kita anggap sebagai titik dan proses interaksinya dapat kita anggap sebagai sisinya.
Gambar 1.1. Ilustrasi interaksi antar keluarga
Gambar 1.1 merupakan ilustrasi lima orang anggota keluarga. Setiap
anggota keluarga tersebut dapat kita ilustrasikan sebagai titik pada graf. Kelima
anggota keluarga tersebut saling berinteraksi satu sama lain dimana interaksi ini
dapat kita ilustrasikan sebagai sisi pada graf.
Salah satu cabang teori graf yang berkembang adalah konsep tentang
pelabelan atau lebih dikenal dengan istilah labeling, yaitu suatu pemetaan yang
membawa elemen-elemen graf ke bilangan-bilangan yang biasanya berupa
bilangan bulat positif atau non-negatif. Pilihan domain pelabelan yang paling lazim
digunakan adalah semua himpunan titik dan sisi yang disebut sebagai pelabelan
total, himpunan titik (pelabelan titik), atau himpunan sisi (pelabelan sisi) [3].
Pelabelan graf memainkan banyak peran vital dalam bidang ilmu
pengetahuan. Beberapa contoh dari bidang tersebut adalah astronomi, teori
pengkodean, x-ray crystallography, radar, dan manajemen database [4]. Pelabelan
graf juga bermanfaat untuk beberapa area dalam ilmu komputer dan jaringan
komputer [5]. Banyak variasi pelabelan yang ada di dalam teori graf ini salah satu
di antaranya adalah pelabelan product cordial.
Pada perkembangannya banyak yang membahas tentang pelabelan product
cordial. Misalnya, Vadya dan Kanani telah membahas tentang pelabelan product
3
cordial pada beberapa graf yang terkait dengan graf lingkaran yaitu graf union dan
graf shadow [6]. Vaidya dan Barasara mempelajari pelabelan product cordial pada
beberapa graf baru yaitu pada graf 𝐹𝑛, satu chord pada graf 𝐶𝑛, dan dua chord pada
graf 𝐶𝑛 [7]. Kemudian Gao dkk mempelajari pelabelan product cordial pada graf
𝑃𝑛+1𝑚 [8].
Pelabelan product cordial yang ada dalam skripsi ini diterapkan pada graf
mushroom dan graf garengpung. Berdasarkan penjabaran yang sudah dijelaskan
penulis tertarik untuk mempelajari dan membahas secara mendalam mengenai
product cordial pada graf mushroom 𝑀𝑟𝑚 dan graf garengpung 𝐺𝑝(𝑚,𝑛). Pelabelan
tersebut memiliki suatu pola kasus ganjil dan genap yang diberikan dalam
pembuktian pada teorema yang diberikan. Pola yang sudah ada tersebut dapat
digunakan sebagai langkah dalam menghasilkan suatu persamaan.
1.2 Perumusan Permasalahan
Berdasarkan latar belakang masalah yang telah dipaparkan maka dapat
dirumuskan permasalahan yang akan dikaji dalam skripsi ini yaitu, bagaimanakah
pelabelan product cordial pada graf mushroom 𝑀𝑟𝑚 dan graf garengpung 𝐺𝑝(𝑚,𝑛).
1.3 Pembatasan Permasalahan
Pada penulisan kali ini penulis hanya akan membahas mengenai bagaimana
mengkonstruksi pelabelan poduct cordial pada graf Mushroom 𝑀𝑟𝑚 dan graf
garengpung 𝐺𝑝(𝑚,𝑛) dimana 𝑚 ≤ 𝑛.
1.4 Tujuan Penulisan
Mengkonstruksi pelabelan, membentuk pola dan menunjukan bahwa graf
mushroom 𝑀𝑟𝑚 dan graf garengpung 𝐺𝑝(𝑚,𝑛) dapat dilabeli dengan pelabelan
product cordial.
4
1.5 Manfaat Penulisan
Salah satu manfaat dalam penulisan skripsi ini adalah untuk menambah
wawasan terkhusus bagi penulis dan pembaca pada umumnya mengenai graf,
terutama mengenai pelabelan product cordial.
5
BAB II
LANDASAN TEORI
Dalam bab ini akan membahas mengenai definisi dan macam – macam graf,
definisi pelabelan product cordial serta definisi graf yang akan dilabeli.
2.1 Fungsi
Diberikan himpunan tidak kosong 𝐴 dan 𝐵. Suatu fungsi 𝑓 dari 𝐴 ke 𝐵
adalah penetapan tepat satu anggota 𝐵 ke setiap anggota 𝐴 yang ditulis 𝑓(𝑎) = 𝑏
dengan 𝑏 ∈ 𝐵 yang dipasangkan oleh fungsi 𝑓 ke 𝑎 ∈ 𝐴. Jika 𝑓 adalah fungsi dari
𝐴 ke 𝐵, ditulis 𝑓: 𝐴 → 𝐵 [2].
Jika 𝑓 adalah fungsi dari 𝐴 ke 𝐵, maka dapat dikatakan bahwa 𝐴
merupakan domain dan 𝐵 merupakan kodomain dari 𝑓. Jika 𝑓(𝑎) = 𝑏, maka dapat
dikatakan bahwa 𝑏 adalah image (bayangan) dari 𝑎 dan 𝑎 merupakan preimage
dari 𝑏. Range atau nama lain dari image dari 𝑓 adalah himpunan semua bayangan
dari anggota 𝐴 [2].
Bergantung pada bayangan, fungsi dapat dikelompokan menjadi menjadi
tiga kelompok, yaitu fungsi injektif, fungsi surjektif, dan fungsi bijektif [2].
Berikut adalah penjelasan mengenai ketiga kelompok fungsi tersebut.
1. Fungsi 𝑓 dikatakan fungsi injektif jika dan hanya jika 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏)
berakibat 𝑎 = 𝑏 untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴.
2. Sebuah fungsi 𝑓 dari 𝐴 ke 𝐵 dikatakan fungsi surjektif jika dan hanya jika
untuk setiap anggota 𝑏 ∈ 𝐵 terdapat 𝑎 ∈ 𝐴 sehingga 𝑓(𝑎) = 𝑏 .
3. Fungsi 𝑓 dikatakan fungsi bijektif jika 𝑓 merupakan fungsi yang injektif
dan surjektif. Fungsi bijektif juga disebut korespondensi satu-satu.
2.2 Graf
Graf 𝐺 = (𝑉(𝐺), 𝐸(𝐺) didefinisikan sebagai suatu sistem yang terdiri atas
dua himpunan, yaitu himpunan tak kosong 𝑉(𝐺) yang elemennya disebut titik dan
himpunan (mungkin kosong) 𝐸(𝐺) ⊆ 𝑉2 = {(𝑢, 𝑣)|𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉, 𝑢 ≠ 𝑣}. Setiap
elemen di 𝐸(𝐺) disebut sisi. [9].
6
Gambar 2.1. Graf 𝑮𝟏
Gambar 2.1 diatas Graf 𝐺1 memiliki jumlah titik |𝑉(𝐺)| = 4 dan jumlah
sisi |𝐸(𝐺)| = 5, yaitu :
𝑉 = {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4} dan 𝐸 = {(𝑣1𝑣2), (𝑣2𝑣3), (𝑣3𝑣4), (𝑣4𝑣1), (𝑣2𝑣4)}.
Teori graf memiliki beberapa istilah yang sering digunakan. Dibawah ini
didefinisikan beberapa istilah yang sering dipakai.
Jalan dari 𝑣0 ke 𝑣𝑛 dengan panjang 𝑛 adalah barisan hingga
𝑣0, 𝑒0, 𝑣1, 𝑒1 … 𝑣𝑛−1, 𝑒𝑛−1, 𝑣𝑛 dari titik-titik dan sisi-sisi di 𝐺 sedemikian sehingga
𝑣𝑖𝑣𝑖+1 adalah sisi di 𝐺 untuk setiap 𝑖 < 𝑛. Lintasan adalah suatu jalan yang semua
titiknya berbeda. Titik 𝑢 dikatakan terhubung dengan titik 𝑣 jika terdapat lintasan
dari 𝑢 ke 𝑣 di 𝐺. Graf 𝐺 dikatakan terhubung jika setiap dua titik berbeda yang
terhubung [10].
Sisi dan titik dalam graf mempunyai hubungan yang biasa dikenal dengan
bertetangga dan beririsan, jika 𝑒 = (𝑢𝑣) adalah sebuah sisi dari 𝐺, maka 𝑢 dan 𝑣
adalah titik yang bertetangga yang dihubungkan oleh sisi 𝑒. Dalam hal ini berarti
titik 𝑢 dan sisi 𝑒 (begitu juga titik 𝑣 dan sisi 𝑒) dapat dikatakan bersisian satu sama
lain, sedangkan sisi berbeda yang bersisian dengan titik yang sama disebut sisi
yang bertetangga [11].
Derajat titik pada graf 𝐺 dinotasika dengan 𝑑(𝑣) adalah jumlah sisi yang
bersisian dengan titik 𝑣 [12]. Berdasarkan gambar 2.1 dapat diperoleh untuk
7
derajat titik graf 𝐺1 sebagai berikut :
𝑑(𝑣1) = 2 𝑑(𝑣2) = 3 𝑑(𝑣3) = 2 𝑑(𝑣4) = 3.
Pada graf 𝐺 juga terdapat derajat sisi. Derajat sebuah sisi 𝑒 = 𝑢𝑣 dari 𝐺
didefinisikan dengan 𝑑(𝑒) = 𝑑(𝑢𝑣) = 𝑑(𝑢) + 𝑑(𝑣) − 2 [13]. Berdasarkan
gambar 2.1 dapat diperoleh juga untuk derajat sisi graf 𝐺1sebagai berikut:
1. 𝑑(𝑣1𝑣2) = 𝑑(𝑣1) + 𝑑(𝑣2) − 2 = 2 + 3 − 2 = 3
2. 𝑑(𝑣2𝑣3) = 𝑑(𝑣2) + 𝑑(𝑣3) − 2 = 3 + 2 − 2 = 3
3. 𝑑(𝑣3𝑣4) = 𝑑(𝑣3) + 𝑑(𝑣4) − 2 = 2 + 3 − 2 = 3
4. 𝑑(𝑣4𝑣1) = 𝑑(𝑣4) + 𝑑(𝑣1) − 2 = 3 + 2 − 2 = 3
2.2.1 Jenis – jenis Graf
Graf dapat dikelompokkan menjadi beberapa kategori bergantung pada
pengelompokannya. Pengelompokan graf dapat dilihat berdasarkan ada atau
tidaknya sisi ganda berdasarkan orientasi arah pada sisi [14].
Berdasarkan ada atau tidaknya sisi ganda pada suatu graf, maka secara
umum graf dapat dikelompokan menjadi dua jenis yaitu graf sederhana dan graf
tak sederhana. Graf sederhana adalah graf yang tidak mengandung sisi ganda
ataupun gelang, sedangkan graf tak sederhana adalah graf yang mengandung sisi
ganda dan jika mengandung sisi loop disebut graf semu, sisi loop adalah sisi yang
menghubungkan sebuah titik dengan dirinya (titik itu) sendiri. Graf yang terbentuk
dari sebuah sisi ganda dan loop disebut graf umum [14].
Gambar 2.2. (a) Graf Sederhana, (b) Graf Ganda, (c) Graf Umum
Berdasarkan orientasi arah dapat dikelompokkan menjadi dua jenis yaitu
8
graf tak-berarah dan graf berarah. Graf tak-berarah adalah graf yang tidak
memiliki orientasi arah. Graf berarah adalah graf yang memiliki orientasi arah.
Geraf berarah 𝐺 terdiri dari himpunan titik 𝑉(𝐺) dan himpunan sisi 𝐸(𝐺) dan suatu
fungsi 𝜓 yang memetakan setiap sisi dalam 𝐸(𝐺) ke suatu pasangan berurutan titik
(𝑣𝑖, 𝑣𝑗). Jika 𝑒𝑘 adalah suatu sisi dalam 𝐺, maka 𝑣𝑖 disebut titik awal 𝑒𝑘 dan 𝑣𝑗
disebut titik akhir 𝑒𝑘, dengan arah sisi adalah dari 𝑣𝑖 ke 𝑣𝑗 [12].
Gambar 2.3. (a) Graf Tak-Berarah, (b) Graf Berarah
Berdasarkan gambar 2.3(b) dapat dilihat bahwa 𝑉 = {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4} dan
𝐸 = {𝑒1, 𝑒2, 𝑒3, 𝑒4}. Fungsi 𝜓 memetakan sisi-sisi graf 𝐺 dengan pasangan titik-
titik graf 𝐺 sebagai berikut : 𝜓 (𝑒1) = {𝑣1, 𝑣2}, 𝜓 (𝑒2) = {𝑣2, 𝑣3}, 𝜓 (𝑒3) =
{𝑣3, 𝑣4}, 𝜓 (𝑒4) = {𝑣4, 𝑣1}, 𝜓 (𝑒4) = {𝑣4, 𝑣2}.
2.2.2 Graf Mushroom 𝑴𝒓𝒎
Graf Mushroom 𝑀𝑟𝑚 didefinisikan untuk 𝑚 himpunan bilangan asli adalah
graf yang himpunan titik nya 𝑉 = {𝑣𝑖, 𝑤, 𝑢𝑖 | 𝑖 = 1,2,3, . . . , 𝑚} dan himpunan
sisi nya E = {𝑤𝑣𝑖 | 𝑖 = 1,2, … , 𝑚} ∪ {𝑤𝑢𝑖 | 𝑖 = 1,2, … , 𝑚} ∪ {𝑣𝑖𝑣𝑖+1 | 𝑖 =
1,2, … , 𝑚}. Ilustrasi graf mushroom 𝑀𝑟𝑚 dapat dilihat pada gambar 2.1.
9
Gambar 2.4. Graf Mushroom 𝑀𝑟𝑚
2.3 Pelabelan Product Cordial
Graf product cordial mungkin merupakan versi yang lebih lemah dari graf
gracefull dan graf harmonious. Pelabelan product cordial muncul berawal dari
suatu kegagalan dalam membuktikan dugaan bahwa pelabelan gracefull dan
harmonious berlaku untuk semua tree. Pelabelan product cordial dapat diterapkan
untuk beberapa graf famili, seperti graf siklus, graf komplit, dan sebagainya [15].
Pelabelan product cordial itu sendiri mempunyai suatu aturan
kombinatorik, yaitu aturan dasar menambah dan mengalikan atau menambah saja.
Mengenai aturan kombinatorik dengan aturan dasar mengalikan, jumlah setiap
bagian titik yang dapat dituliskan dalam bentuk persamaan baik untuk bagian yang
berlabel 0 ataupun yang berlabel 1 sesuai dengan aturan bentuk pola fungsi yang
sudah ditentukan [7].
Aturan tersebut diterapkan pada pelabelan titik dan sisi. Aturan pelabelan
titik akan menghasilkan label sisi dengan mengoperasikan setiap titik yang hadir
pada sisi tersebut
Pelabelan biner titik pada graf 𝐺 yang menginduksi pelabelan sisi
𝑓∗: 𝐸(𝐺) → {0,1}, dengan 𝑓∗(𝑒 = 𝑢𝑣) = 𝑓(𝑢)𝑓(𝑣) dimana 𝑓∗ adalah pelabelan
sisi pada 𝐺 dengan perkalian titik 𝑢 dikali titik 𝑣 disebut pelabelan product cordial
atau pelabelan product cordial titik.
10
Suatu graf 𝐺 disebut pelabelan product cordial jika |𝑣𝑓(1) − 𝑣𝑓(0)| ≤ 1
dan |𝑒𝑓∗(1) − 𝑒𝑓∗(0)| ≤ 1 dengan 𝑣𝑓(𝑗) adalah banyaknya titik pada 𝐺 yang
berlabel 𝑗 atas 𝑓 dan 𝑒𝑓∗(𝑗) adalah banyaknya sisi pada 𝐺 yang berlabel 𝑗 atas 𝑓
dengan 𝑗 = 0,1. Suatu graf 𝐺 dengan pelabelan product cordial disebut graf
product cordial. [7]
Sebagai ilustrasi dari definisi definisi di atas, perhatikan graf lingkaran 𝐶7
pada gambar 1. Dapat dilihat bahwa 𝑣𝑓(0) = 3, 𝑣𝑓(1) = 4, 𝑒𝑓∗(0) = 4, 𝑒𝑓∗(1) =
3, sehingga |𝑣𝑓(1) − 𝑣𝑓(0)| ≤ 1 dan |𝑒𝑓∗(1) − 𝑒𝑓∗(0)| ≤ 1. Jadi, graf lingkaran 𝐶7
merupakan graf product cordial [7].
Gambar 2.5. Pelabelan product cordial graf 𝐶7
11
BAB III
HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1 Pelabelan Product Cordial Pada Graf Mushroom 𝑴𝒓𝒎
Pada subbab kali ini penulis akan mengkonstruksi suatu persamaan untuk
melakukan pelabelan product cordial dari graf mushroom 𝑀𝑟𝑚 dan dijabarkan pada
teorema berikut.
Teorema 3.1 𝑀𝑟𝑚 adalah Product Cordial
Bukti: Misalkan 𝑀𝑟𝑚 adalah graf mushroom untuk 𝑚 bilangan asli.
Definisikan 𝑓: 𝑉(𝑀𝑟𝑚) → {0,1}, dengan 𝑚 akan dibagi dalam dua kasus.
Kasus 1. Untuk 𝑚 ganjil
Pembahasan :
𝑓(𝑤) = 1
𝑓(𝑢𝑖) = 1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚−1
2
𝑓(𝑢𝑖) = 0, 𝑚+1
2≤ 𝑖 ≤ 𝑚
𝑓(𝑣𝑖) = 1, 1 ≤ 𝑖 ≤𝑚+1
2
𝑓(𝑣𝑖) = 0, 𝑚+3
2≤ 𝑖 ≤ 𝑚
Dengan pelabelan 𝑓 di atas untuk 𝑚 ganjil pada graf mushroom 𝑀𝑟𝑚 memenuhi
definisi pelabelan product cordial dengan :
|𝑣𝑓(1) − 𝑣𝑓(0)| ≤ 1 dan |𝑒𝑓∗(1) − 𝑒𝑓∗(0)| ≤ 1
Maka diperoleh bahwa:
12
𝑣𝑓(1) = 𝑚 + 1
𝑣𝑓(0) = 𝑚
𝑒𝑓∗(1) = 3𝑚−1
2
𝑒𝑓∗(0) = 3𝑚−1
2
Sehingga :
|(𝑚 + 1) − 𝑚| ≤ 1 dan |(3𝑚−1)
2−
(3𝑚−1)
2| ≤ 1
Berikut adalah contoh ilustrasi pelabelan product cordial pada graf mushroom
𝑀𝑟𝑚 untuk 𝑚 = 3, dijabarkan sebagai berikut.
𝑓(𝑤) = 1
𝑓(𝑢𝑖) = 1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 3−1
2= 1
𝑓(𝑢𝑖) = 0, 3+1
2= 2 ≤ 𝑖 ≤ 3
𝑓(𝑣𝑖) = 1, 1 ≤ 𝑖 ≤3+1
2= 2
𝑓(𝑣𝑖) = 0, 3+3
2= 3 ≤ 𝑖 ≤ 3
Berdasarkan ilustrasi pelabelan tersebut, kita dapat membentuk graf mushroom
𝑀𝑟3 dengan pelabelan cordial yang telah diperoleh dari contoh ilustrasi yang
penulis lakukan dan ditunjukan oleh gambar 3.1.
Gambar 3.1. Graf Mushroom 𝑀𝑟3
13
Selanjutnya penulis akan menghitung banyaknya label pada titik dan sisi
menggunakan aturan pelabelan product cordial dan membandingkan perhitungan
tersebut dengan melihat hasil ilustrasi di gambar 3.1. dan diperoleh:
𝑣𝑓(1) = 𝑚 + 1 = 3 + 1 = 4 , terlihat dari gambar 3.1. banyaknya titik dengan
label 1 sesuai dengan perhitungan yaitu sebanyak 4 buah.
𝑣𝑓(0) = 𝑚 = 3 , terlihat dari gambar 3.1. banyaknya titik dengan label 0 sesuai
dengan perhitungan yaitu sebanyak 3 buah.
𝑒𝑓∗(1) = 3𝑚−1
2=
3.3−1
2= 4 , terlihat dari gambar 3.1. banyaknya sisi dengan label
1 sesuai dengan perhitungan yaitu sebanyak 4 buah.
𝑒𝑓∗(0) = 3𝑚−1
2=
3.3−1
2= 4 , terlihat dari gambar 3.1. banyaknya sisi dengan label
0 sesuai dengan perhitungan yaitu sebanyak 4 buah
Sehingga |4 − 3| = 1 ≤ 1 dan |4 − 4| = 0 ≤ 1.
Jadi, untuk graf mushroom 𝑀𝑟3 merupakan graf product cordial.
Kasus 2. Untuk 𝑚 genap.
Pembahasan :
𝑓(𝑤) = 1
𝑓(𝑢𝑖) = 1, 1 ≤ 𝑖 ≤𝑚
2
𝑓(𝑢𝑖) = 0, 𝑚+2
2≤ 𝑖 ≤ 𝑚
𝑓(𝑣𝑖) = 1, 1 ≤ 𝑖 ≤𝑚
2
𝑓(𝑣𝑖) = 0, 𝑚+2
2≤ 𝑖 ≤ 𝑚
Dengan pelabelan 𝑓 di atas untuk 𝑚 genap, graf mushroom 𝑀𝑟𝑚 memenuhi definisi
pelabelan product cordial dengan:
|𝑣𝑓(1) − 𝑣𝑓(0)| ≤ 1 dan |𝑒𝑓∗(1) − 𝑒𝑓∗(0)| ≤ 1
14
Maka diperoleh bahwa:
𝑣𝑓(1) = 𝑚 + 1
𝑣𝑓(0) = 𝑚
𝑒𝑓∗(1) =3𝑚−2
2
𝑒𝑓∗(0) = 3𝑚
2
Sehingga:
|(𝑚 + 1) − 𝑚| ≤ 1 dan |(3𝑚−2)
2−
(3𝑚)
2| ≤ 1
Berikut adalah contoh ilustrasi pelabelan product cordial pada graf mushroom 𝑀𝑟𝑚
untuk 𝑚 = 4, dijabarkan sebagai berikut.
𝑓(𝑤) = 1
𝑓(𝑢𝑖) = 1, 1 ≤ 𝑖 ≤4
2= 2
𝑓(𝑢𝑖) = 0, 4+2
2= 3 ≤ 𝑖 ≤ 4
𝑓(𝑣𝑖) = 1, 1 ≤ 𝑖 ≤4
2= 2
𝑓(𝑣𝑖) = 0, 4+2
2= 3 ≤ 𝑖 ≤ 4
Berdasarkan ilustrasi pelabelan tersebut, kita dapat membentuk graf mushroom 𝑀𝑟4
dengan pelabelan cordial yang telah diperoleh dari contoh ilustrasi yang penulis
lakukan dan ditunjukan oleh gambar 3.2.
15
Gambar 3.2. Graf Mushroom 𝑀𝑟4
Selanjutnya penulis akan menghitung banyaknya label pada titik dan sisi
menggunakan aturan pelabelan product cordial dan membandingkan perhitungan
tersebut dengan melihat hasil ilustrasi di gambar 3.2. dan diperoleh:
𝑣𝑓(1) = 𝑛 + 1 = 4 + 1 = 5 , terlihat dari gambar 3.2. banyaknya titik dengan label
1 sesuai dengan perhitungan yaitu sebanyak 5 buah.
𝑣𝑓(0) = 𝑛 = 4 , terlihat dari gambar 3.2. banyaknya titik dengan label 0 sesuai
dengan perhitungan yaitu sebanyak 4 buah..
𝑒𝑓∗(1) = 3𝑛−2
2=
3.4−2
2= 5 , terlihat dari gambar 3.2. banyaknya sisi dengan label
1 sesuai dengan perhitungan yaitu sebanyak 5 buah..
𝑒𝑓∗(0) = 3𝑛
2=
3.4
2= 6 , terlihat dari gambar 3.2. banyaknya sisi dengan label 0
sesuai dengan perhitungan yaitu sebanyak 6 buah.
Sehingga |5 − 4| = 1 ≤ 1 dan |5 − 6| = −1 ≤ 1.
Jadi, untuk graf mushroom 𝑀𝑟4 merupakan graf product cordial.
Berdasarkan ilustrasi yang telah dilakukan untuk graf 𝑚𝑢𝑠ℎ𝑟𝑜𝑜𝑚 𝑀𝑟𝑚,
dapat disimpulkan untuk tiap kasus pada graf Mushroom 𝑀𝑟𝑚 memenuhi definisi
dari product cordial yaitu |𝑣𝑓(0) − 𝑣𝑓(1)| ≤ 1 dan |𝑒𝑓∗(0) − 𝑒𝑓∗(1)| ≤ 1. Oleh
karena itu graf Mushroom 𝑀𝑟𝑚 adalah graf product cordial.
16
3.2 Graf Garengpung Gp(m,n)
Pada pembahasan ini dikenalkan definisi dari sebuah graf, graf tersebut
penulis beri nama graf garengpung yang di notasikan dengan Gp. Graf
garengpung Gp untuk 𝑚, 𝑛 himpunan bilangan asli adalah graf yang himpunan
titik nya
𝑉 = {𝑢𝑗 , 𝑤0 , 𝑤1, 𝑤2, 𝑣𝑖 | 𝑗 = 1,2,3, . . . , 𝑚, 𝑖 = 1,2,3, . . . , 𝑛} dan himpunan sisi
nya
𝐸 = {𝑤0𝑤1, 𝑤0𝑤2, 𝑤1𝑤2} ∪ {𝑤1𝑢𝑗 | 𝑗 = 1,2, . . . , 𝑚} ∪ {𝑤2𝑣𝑖 | 𝑖 = 1,2, . . . , 𝑛}
Ilustrasi graf garengpung Gp dapat dilihat pada gambar 3.3.
Gambar 3.3. Graf Garengpung Gp(m,n)
3.3 Pelabelan product cordial pada graf Garengpung Gp(m,n)
Pada subbab kali ini penulis akan mengkonstruksi suatu persamaan untuk
melakukan pelabelan product cordial dari graf garengpung 𝐺𝑝(𝑚,𝑛) dan dijabarkan
pada teorema berikut.
Teorema 3.2 𝐺𝑝(𝑚,𝑛) adalah product cordial
Bukti: Misalkan 𝐺𝑝 adalah graf garengpung untuk 𝑚, 𝑛 bilangan asli.
Definisikan 𝑓: 𝑉(𝐺𝑝) → {0,1}, dimana 𝑚, 𝑛 akan dibagi dalam dua kasus.
Kasus 1. Untuk 𝑚 ≤ 𝑛 dimana 𝑚, 𝑛 ganjil atau 𝑚, 𝑛 genap
17
Pembahasan :
𝑓(𝑤𝑖) = 1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 3
𝑓(𝑢𝑖) = 0, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚
𝑓(𝑣𝑖) = 1, 1 ≤ 𝑖 ≤𝑛+𝑚 −2
2
𝑓(𝑣𝑖) = 0, 𝑛+𝑚
2≤ 𝑖 ≤ 𝑛
Dengan pelabelan 𝑓 di atas, graf garengpung 𝐺𝑝(𝑚,𝑛) memenuhi definisi pelabelan
product cordial dengan:
|𝑣𝑓(1) − 𝑣𝑓(0)| ≤ 1 dan |𝑒𝑓∗(1) − 𝑒𝑓∗(0)| ≤ 1
Maka diperoleh bahwa:
𝑣𝑓(1) =𝑚+𝑛+4
2
𝑣𝑓(0) =𝑚+𝑛+2
2
𝑒𝑓∗(1) = 𝑚+𝑛+4
2
𝑒𝑓∗(0) = 𝑚+𝑛+2
2
Sehingga:
|(𝑚+𝑛+4)
2−
(𝑚+𝑛+2)
2| ≤ 1 dan |
(𝑚+𝑛+4)
2−
(𝑚+𝑛+2)
2| ≤ 1
Berikut adalah ilustrasi pelabelan product cordial pada graf garengpung
𝐺𝑝(𝑚,𝑛)untuk 𝑚 = 3 dan 𝑛 = 3 yang akan dijabarkan sebagai berikut.
𝑓(𝑤𝑖) = 1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 3
𝑓(𝑢𝑖) = 0, 1 ≤ 𝑖 ≤ 3
𝑓(𝑣𝑖) = 1, 1 ≤ 𝑖 ≤3+3−2
2
18
𝑓(𝑣𝑖) = 0, 3+3
2≤ 𝑖 ≤ 3
Berdasarkan ilustrasi pelabelan tersebut, kita dapat membentuk graf garengpung
𝐺𝑝(3,3) dengan pelabelan product cordial yang telah diperoleh dari contoh ilustrasi
yang penulis lakukan dan ditunjukan oleh gambar 3.4.
Gambar 3.4. Graf Garengpung Gp(3,3)
Selanjutnya penulis akan menghitung banyaknya label pada titik dan sisi
menggunakan aturan pelabelan product cordial dan membandingkan perhitungan
tersebut dengan melihat hasil ilustrasi di gambar 3.4. dan diperoleh:
𝑣𝑓(1) =𝑚+𝑛+4
2 =
3+3+4
2= 5 , terlihat dari gambar 3.4. banyaknya titik dengan
label 1 sesuai dengan perhitungan yaitu sebanyak 5 buah.
𝑣𝑓(0) =𝑚+𝑛+2
2=
3+3+2
2 = 4 , terlihat dari gambar 3.4. banyaknya titik dengan
label 0 sesuai dengan perhitungan yaitu sebanyak 4 buah..
𝑒𝑓∗(1) = 𝑚+𝑛+4
2 =
3+3+4
2 = 5 , terlihat dari gambar 3.4. banyaknya sisi dengan
label 1 sesuai dengan perhitungan yaitu sebanyak 5 buah..
𝑒𝑓∗(0) = 𝑚+𝑛+2
2 =
3+3+2
2 = 4 , terlihat dari gambar 3.4. banyaknya sisi dengan
label 0 sesuai dengan perhitungan yaitu sebanyak 4 buah..
Sehingga |5 − 4 = 1| ≤ 1 dan |5 − 4| = 1 ≤ 1.
Jadi, untuk graf garengpung 𝐺𝑝(3,3) merupakan graf product cordial.
19
Berikut adalah ilustrasi pelabelan product cordial pada graf garengpung
𝐺𝑝(𝑚,𝑛) untuk 𝑚 = 4 dan 𝑛 = 4 yang akan dijabarkan sebagai berikut.
𝑓(𝑤𝑖) = 1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 3
𝑓(𝑢𝑖) = 0, 1 ≤ 𝑖 ≤ 4
𝑓(𝑣𝑖) = 1, 1 ≤ 𝑖 ≤4+4−2
2
𝑓(𝑣𝑖) = 0, 4+4
2≤ 𝑖 ≤ 4
Berdasarkan ilustrasi pelabelan tersebut, kita dapat membentuk graf garengpung
𝐺𝑝(4,4) dengan pelabelan product cordial yang telah diperoleh dari contoh ilustrasi
yang penulis lakukan dan ditunjukan oleh gambar 3.5.
Gambar 3.5. Graf Garengpung Gp(4,4)
Selanjutnya penulis akan menghitung banyaknya label pada titik dan sisi
menggunakan aturan pelabelan product cordial dan membandingkan perhitungan
tersebut dengan melihat hasil ilustrasi di gambar 3.5. dan diperoleh:
𝑣𝑓(1) =𝑚+𝑛+4
2 =
4+4+4
2= 6 , terlihat dari gambar 3.5. banyaknya titik dengan
label 1 sesuai dengan perhitungan yaitu sebanyak 6 buah.
20
𝑣𝑓(0) =𝑚+𝑛+2
2=
4+4+2
2 = 5 , terlihat dari gambar 3.5. banyaknya titik dengan
label 0 sesuai dengan perhitungan yaitu sebanyak 5 buah.
𝑒𝑓∗(1) = 𝑚+𝑛+4
2 =
4+4+4
2 = 6 , terlihat dari gambar 3.5. banyaknya sisi dengan
label 1 sesuai dengan perhitungan yaitu sebanyak 6 buah.
𝑒𝑓∗(0) = 𝑚+𝑛+2
2 =
4+4+2
2 = 5 , terlihat dari gambar 3.5. banyaknya sisi dengan
label 0 sesuai dengan perhitungan yaitu sebanyak 5 buah.
Sehingga |6 − 5| = 1 ≤ 1 dan |6 − 5| = 1 ≤ 1.
Jadi, untuk graf garengpung 𝐺𝑝(4,4) merupakan graf product cordial.
Kasus 2. Untuk 𝑚 < 𝑛 dimana 𝑚 ganjil 𝑛 genap atau 𝑚 genap 𝑛 ganjil
Pembahasan :
𝑓(𝑤𝑖) = 1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 3
𝑓(𝑢𝑖) = 0, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚
𝑓(𝑣𝑖) = 1, 1 ≤ 𝑖 ≤𝑛+𝑚 −3
2
𝑓(𝑣𝑖) = 0, 𝑛+𝑚−1
2≤ 𝑖 ≤ 𝑛
Dengan pelabelan 𝑓 di atas, graf garengpung 𝐺𝑝(𝑚,𝑛) memenuhi definisi pelabelan
product cordial dengan:
|𝑣𝑓(1) − 𝑣𝑓(0)| ≤ 1 dan |𝑒𝑓∗(1) − 𝑒𝑓∗(0)| ≤ 1
Maka diperoleh bahwa:
𝑣𝑓(1) =𝑚+𝑛+3
2
𝑣𝑓(0) =𝑚+𝑛+3
2
𝑒𝑓∗(1) = 𝑚+𝑛+3
2
21
𝑒𝑓∗(0) = 𝑚+𝑛+3
2
Sehingga:
|(𝑚+𝑛+3)
2−
(𝑚+𝑛+3)
2| ≤ 1 dan |
(𝑚+𝑛+3)
2−
(𝑚+𝑛+3)
2| ≤ 1
Berikut adalah ilustrasi pelabelan product cordial pada graf garengpung
𝐺𝑝(𝑚,𝑛) untuk 𝑚 = 7 dan 𝑛 = 8 yang akan dijabarkan sebagai berikut.
𝑓(𝑤𝑖) = 1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 3
𝑓(𝑢𝑖) = 0, 1 ≤ 𝑖 ≤ 7
𝑓(𝑣𝑖) = 1, 1 ≤ 𝑖 ≤8+7−2
2
𝑓(𝑣𝑖) = 0, 8+7−1
2≤ 𝑖 ≤ 8
Berdasarkan ilustrasi pelabelan tersebut, kita dapat membentuk graf garengpung
𝐺𝑝(7,8) dengan pelabelan product cordial yang telah diperoleh dari contoh ilustrasi
yang penulis lakukan dan ditunjukan oleh gambar 3.6.
Gambar 3.6. Graf Garengpung Gp(7,8)
22
Selanjutnya penulis akan menghitung banyaknya label pada titik dan sisi
menggunakan aturan pelabelan product cordial dan membandingkan perhitungan
tersebut dengan melihat hasil ilustrasi di gambar 3.6. dan diperoleh:
𝑣𝑓(1) =𝑚+𝑛+3
2 =
7+8+3
2= 9 , terlihat dari gambar 3.6. banyaknya titik dengan
label 1 sesuai dengan perhitungan yaitu sebanyak 9 buah.
𝑣𝑓(0) =𝑚+𝑛+3
2=
7+8+3
2 = 9 , terlihat dari gambar 3.6. banyaknya titik dengan
label 0 sesuai dengan perhitungan yaitu sebanyak 9 buah.
𝑒𝑓∗(1) = 𝑚+𝑛+3
2 =
7+8+3
2 = 9 , terlihat dari gambar 3.6. banyaknya sisi dengan
label 1 sesuai dengan perhitungan yaitu sebanyak 9 buah.
𝑒𝑓∗(0) = 𝑚+𝑛+3
2 =
7+8+3
2 = 9 , terlihat dari gambar 3.6. banyaknya sisi dengan
label 0 sesuai dengan perhitungan yaitu sebanyak 9 buah.
Sehingga |9 − 9| = 0 ≤ 1 dan |9 − 9| = 0 ≤ 1.
Jadi, untuk graf garengpung 𝐺𝑝(7,8) merupakan graf product cordial.
Berdasarkan ilustrasi yang telah dilakukan untuk graf garengpung 𝐺𝑝(𝑚,𝑛)
dapat disimpulkan untuk tiap kasus pada graf garengpung 𝐺𝑝(𝑚,𝑛) memenuhi
definisi dari product cordial yaitu |𝑣𝑓(0) − 𝑣𝑓(1)| ≤ 1 dan |𝑒𝑓∗(0) − 𝑒𝑓∗(1)| ≤ 1.
Oleh karena itu graf garengpung 𝐺𝑝(𝑚,𝑛) adalah graf product cordial.
23
BAB IV
KESIMPULAN DAN SARAN
4.1 Kesimpulan
Berdasarkan hasil pembuktian, maka dapat diperoleh Teorema, Teorema
3.1 dan teorema 3.2 menyatakan bahwa graf mushroom 𝑀𝑟𝑚 dan graf garengpung
𝐺𝑝(𝑚,𝑛) memuat pelabelan product cordial maka graf mushroom 𝑀𝑟𝑚 dan graf
garengpung 𝐺𝑝(𝑚,𝑛) adalah graf product cordial.
4.2 Saran
Penulisan skripsi ini terbatas pada pelabelan product cordial pada graf
mushroom 𝑀𝑟𝑚 dan graf garengpung 𝐺𝑝(𝑚,𝑛) selanjutnya dapat dikembangkan
lebih banyak lagi untuk graf yang lainnya.
24
REFERENSI
[1] H. Muhammad Yahya, "Matematika Diskrit", Bandung: IKIP Bandung Press,
1998.
[2] Kenneth H. Rosen, "Discrete Mathematics and Its Applications", New York
McGraw-Hill: RPK Editorial Services, 2007.
[3] W. Wallis, P. Shoubridge, M. Kraetz and D. Ray, "Graph distance using graph
union". Patern Recognition Latter, no. 22, pp. 701-704, 2001.
[4] R. Ponraj, S. Sathis Narayanan and R. Kala, "Difference Cordial Labeling Of
Subdivision Of Snake Graphs", Universal Journal Of Applied Mathematics,
no. 2(1), pp. 40-45, 2014.
[5] S. K. Vaidya and N. Shah, "Some New Result On Prime Cordial Labeling",
Research Article. Hindawi Publishing Corporation, no. 9, p. 9, 2014.
[6] S. K. Vaidya and K. K. Kanani, "Some cycle Related Product Cordial
Graphs", International Journal Of Algorithms, Computing and Mathematics,
vol. 3, no. 1, pp. pp. 109-116, 2010.
[7] S. K. Vaidya and C. M. Barasara, "Product Cordial Labelling For Some New
Graphs", Journal Of Mathematics Research, vol. 2, no. 2, pp. 206-211, 2011.
[8] Z. Ghao, G. Sun, Y. Sun, Y. Meng and G. Lau, "Product Cordial and Total
Product Cordial Labeling Of Pn+1m , " Journal of Discrete Mathematics, 2015.
[9] E. K. Lloyd, A. Bondy and U. S. R. Murty, "Graph Theory with Application,"
Math Gaz, vol. 62, no. 419, p. 63, 1978.
[10] N. Hartsfield and G. Ringel, "Pearl in Graph Theory Comprehensive
Introduction", San Diego: Academic Press Limited, 1990.
[11] Chartrand, dkk, "Applied and Algoritmatic Graph Theory", Mac Graw-Hill:
New york, 2005.
[12] M. Jong Jek Siang, "Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada ilmu
komputer", Yogyakarta: ANDI, 2006.
[13] S. K.Vaidya and R. M. Pandit, "Edge Domination in Various Snake Graphs,"
Math Soft Comput, vol. 7, no. 1, p. 43, 2017.
[14] R. J. Wilson, "Pengantar Teori Graf ", Jakarta: Erlangga, 2010.
25
[15] I. Cahit, "Cordial Graph : A Weaker Version Of Gracefull and Harmonious
Graphs," ARS Combinatoria 23(1987), pp. 201-208, no. 23, pp. 201-208,
1987.
[16] B. Harianto, "Pelabelan Product Cordial Pada Graf Dragonfly," PROSIDING
SENAMAS SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA INDOMS WILAYAH
SULAWESI 2017, vol. 1, no. 1, pp. pp. 96-100, 2017.