Upload
trandung
View
235
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
PELABELAN TOTAL AJAIB SISI KUAT
PADA GRAF SIKEL DENGAN TAMBAHAN ๐ ANTING
UNTUK ๐ โฅ ๐ DAN ๐ GANJIL
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana
Program Studi Pendidikan Matematika
Oleh:
Ayu Kristianna
091414050
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2013
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
i
PELABELAN TOTAL AJAIB SISI KUAT
PADA GRAF SIKEL DENGAN TAMBAHAN ๐ ANTING
UNTUK ๐ โฅ ๐ DAN ๐ GANJIL
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana
Program Studi Pendidikan Matematika
Oleh:
Ayu Kristianna
091414050
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2013
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iv
โIa membuat segala sesuatu indah pada waktunya, bahkan Ia memberikan
kekekalan dalam hati mereka.โ (Kolose 3:23)
Kupersembahkan karya ini untuk:
Tuhan Yesus Kristus, Sahabat dan Juru Selamat
yang selalu menyertai setiap langkahku
Orang tuaku terkasih, Bapak Yohanes Sumiran dan
Ibu Anastasia Sri Murwani atas segala kasih, doa,
dukungan, serta pengorbanan selama hidupku
Adik-adikku, Lukas Kris Pradikta dan
Ester Rina Apriliyani yang menjadi pemacu semangatku
Fr. Adrianus Wisnu W., OCSO, Ibu Inge Umboh, serta
seluruh keluarga besar yang telah mendukungku
Almamaterku โSMA Sedes Sapientiae Bedonoโ dan
โUniversitas Sanata Dharma Yogyakartaโ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
v
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini
tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan
dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, 20 Agustus 2013
Penulis,
Ayu Kristianna
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vi
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH
UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:
Nama : Ayu Kristianna
NIM : 091414050
Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada
Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:
Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat
Pada Graf Sikel dengan Tambahan ๐ Anting untuk ๐ โฅ ๐ dan ๐ Ganjil
Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas
Sanata Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain,
mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan
mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan akademis
tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya
selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.
Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.
Dibuat di Yogyakarta
Pada Tanggal : 20 Agustus 2013
Yang menyatakan,
(Ayu Kristianna)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vii
ABSTRAK
Ayu Kristianna, 2013. Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada Graf Sikel dengan
Tambahan ๐ Anting untuk ๐ โฅ ๐ dan ๐ Ganjil. Program Studi Pendidikan
Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma,
Yogyakarta.
Penelitian ini menyelidiki pelabelan total ajaib sisi kuat pada graf sikel
dengan tambahan ๐ anting untuk ๐ โฅ 3 dan ๐ ganjil. Tujuan dari penelitian ini
adalah meninjau apakah graf sikel dengan tambahan ๐ anting untuk ๐ โฅ 3 dan ๐
ganjil memenuhi pelabelan total ajaib sisi kuat, menentukan nilai konstanta ajaib
yang terbentuk, serta menentukan nilai label untuk masing-masing titik dan sisi.
Penelitian ini mengkaji beberapa buku, jurnal, dan hasil penelitian sebelumnya
untuk mendapatkan teori-teori yang mendukung.
Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa pelabelan total ajaib sisi kuat
berlaku pada graf sikel dengan tambahan ๐ anting untuk ๐ โฅ 3 dan ๐ ganjil
dengan nilai konstanta ajaib ๐ terletak pada interval 9๐+3
2โค ๐ โค
11๐+3
2. Nilai label
titik dan sisi untuk pelabelan total ajaib sisi kuat pada graf sikel dengan tambahan
๐ anting, ๐ โฅ 3 dan ๐ ganjil untuk ๐ =9๐+3
2 dan ๐ =
11๐+3
2 adalah sebagai
berikut:
a. Untuk ๐ =9๐+3
2
1) ๐ = 2๐ + 1, ๐ = 1, 3, 5, โฆ,
๐ค ๐ฃ๐ =
๐ + 1
2 ๐ = 1, 3, 5, โฆ , ๐
๐ + ๐ + 1
2 ๐ = 2, 4, 6, โฆ , ๐ โ 1
๐ค ๐ฃ๐+๐ =
3๐ + ๐ + 2
2 ๐ = 1, 3, 5, โฆ , ๐ โ 2
2 ๐ + 1 + ๐
2 ๐ = 2, 4, 6, โฆ , ๐ โ 1
๐ + 1 ๐ = ๐
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
๐ค ๐๐ ,๐+1 = 4๐ โ ๐ ๐ = 1, 2, 3, โฆ , ๐ โ 1
๐ค ๐1,๐ = 4๐ ๐ = ๐
๐ค ๐๐ ,๐+๐ = 3๐ โ ๐ ๐ = 1, 2, 3, โฆ , ๐ โ 13๐ ๐ = ๐
2) ๐ = 2๐ + 1, ๐ = 2, 4, 6, โฆ,
๐ค ๐ฃ๐ =
๐ + 1
2 ๐ = 1, 3, 5, โฆ , ๐
๐ + 1 + ๐
2 ๐ = 2, 4, 6, โฆ , ๐ โ 1
๐ค ๐ฃ๐+๐ = 2๐ โ ๐ + 1 ๐ = 1, 2, 3, โฆ , ๐
๐ค ๐๐ ,๐+1 = 4๐ โ ๐ ๐ = 1, 2, 3, โฆ , ๐ โ 1
๐ค ๐1,๐ = 4๐ ๐ = ๐
๐ค ๐๐ ,๐+๐ =
5๐ + ๐
2 ๐ = 1, 3, 5, โฆ , ๐
4๐ + ๐
2 ๐ = 2, 4, 6, โฆ , ๐ โ 1
b. Untuk ๐ =11๐+3
2
๐ค ๐ฃ๐ =
2๐ + ๐ + 1
2 ๐ = 1, 3, 5, โฆ , ๐
3๐ + ๐ + 1
2 ๐ = 2, 4, 6, โฆ , ๐ โ 1
๐ค ๐ฃ๐+๐ = ๐ โ ๐ ๐ = 1, 2, 3, โฆ , ๐ โ 1๐ ๐ = ๐
๐ค ๐๐ ,๐+1 = 3๐ โ ๐ ๐ = 1, 2, 3, โฆ , ๐ โ 1
๐ค ๐1,๐ = 3๐ ๐ = ๐
๐ค ๐๐ ,๐+๐ =
7๐ + ๐ + 2
2 ๐ = 1, 3, 5, โฆ , ๐ โ 2
6๐ + ๐ + 2
2 ๐ = 2, 4, 6, โฆ , ๐ โ 1
3๐ + 1 ๐ = ๐
Kata Kunci : graf, pelabelan graf, graf sikel dengan tambahan ๐ anting, pelabelan
total ajaib sisi kuat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ix
ABSTRACT
Ayu Kristianna, 2013. Strong Edge Magic Total Labeling on The Cycle Graph
with ๐ Extra Arms for ๐ โฅ ๐ and ๐ is Odd. Mathematics Education Study
Program. Mathematics and Science Education Department, Faculty of
Teachers Training and Education, Sanata Dharma University, Yogyakarta.
This research observed the strong edge magic total labeling on the cycle
graph with ๐ extra arms for ๐ โฅ 3 and ๐ is odd. The purpose of this research is to
observe whether the cycle graph with ๐ extra arms for ๐ โฅ 3 and ๐ is odd satisfy
the strong edge magic total labeling, to observe the value of magic constant, and
to find the labeling values for each vertex and edge. This research examined
several books, journals, and the result of previous researches to obtain the
supporting theories.
The result of this research show that the cycle graph with ๐ extra arms for
๐ โฅ 3 and ๐ is odd satisfy the strong edge magic total labeling with the value of
magic constant 9๐+3
2โค ๐ โค
11๐+3
2. The labeling values for each vertex and edge on
the strong edge magic total labeling on the cycle graph with ๐ extra arms, ๐ โฅ 3
and ๐ is odd for ๐ =9๐+3
2 and ๐ =
11๐+3
2 are shown as below:
a. For ๐ =9๐+3
2
1) ๐ = 2๐ + 1, ๐ = 1, 3, 5, โฆ,
๐ค ๐ฃ๐ =
๐ + 1
2 ๐ = 1, 3, 5, โฆ , ๐
๐ + ๐ + 1
2 ๐ = 2, 4, 6, โฆ , ๐ โ 1
๐ค ๐ฃ๐+๐ =
3๐ + ๐ + 2
2 ๐ = 1, 3, 5, โฆ , ๐ โ 2
2 ๐ + 1 + ๐
2 ๐ = 2, 4, 6, โฆ , ๐ โ 1
๐ + 1 ๐ = ๐
๐ค ๐๐ ,๐+1 = 4๐ โ ๐ ๐ = 1, 2, 3, โฆ , ๐ โ 1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
๐ค ๐1,๐ = 4๐ ๐ = ๐
๐ค ๐๐ ,๐+๐ = 3๐ โ ๐ ๐ = 1, 2, 3, โฆ , ๐ โ 13๐ ๐ = ๐
2) ๐ = 2๐ + 1, ๐ = 2, 4, 6, โฆ,
๐ค ๐ฃ๐ =
๐ + 1
2 ๐ = 1, 3, 5, โฆ , ๐
๐ + 1 + ๐
2 ๐ = 2, 4, 6, โฆ , ๐ โ 1
๐ค ๐ฃ๐+๐ = 2๐ โ ๐ + 1 ๐ = 1, 2, 3, โฆ , ๐
๐ค ๐๐ ,๐+1 = 4๐ โ ๐ ๐ = 1, 2, 3, โฆ , ๐ โ 1
๐ค ๐1,๐ = 4๐ ๐ = ๐
๐ค ๐๐ ,๐+๐ =
5๐ + ๐
2 ๐ = 1, 3, 5, โฆ , ๐
4๐ + ๐
2 ๐ = 2, 4, 6, โฆ , ๐ โ 1
b. For ๐ =11๐+3
2
๐ค ๐ฃ๐ =
2๐ + ๐ + 1
2 ๐ = 1, 3, 5, โฆ , ๐
3๐ + ๐ + 1
2 ๐ = 2, 4, 6, โฆ , ๐ โ 1
๐ค ๐ฃ๐+๐ = ๐ โ ๐ ๐ = 1, 2, 3, โฆ , ๐ โ 1๐ ๐ = ๐
๐ค ๐๐ ,๐+1 = 3๐ โ ๐ ๐ = 1, 2, 3, โฆ , ๐ โ 1
๐ค ๐1,๐ = 3๐ ๐ = ๐
๐ค ๐๐ ,๐+๐ =
7๐ + ๐ + 2
2 ๐ = 1, 3, 5, โฆ , ๐ โ 2
6๐ + ๐ + 2
2 ๐ = 2, 4, 6, โฆ , ๐ โ 1
3๐ + 1 ๐ = ๐
Key words : graph, graph labeling, cycle graph with ๐ extra arms, strong edge
magic total labeling
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xi
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala kasih, rahmat
dan berkat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul
โPelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada Graf Sikel dengan Tambahan ๐ Anting
untuk ๐ โฅ 3 dan ๐ Ganjilโ ini . Skripsi ini diajukan untuk memenuhi salah satu
syarat memperoleh gelar sarjana pendidikan pada Program Studi Pendidikan
Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas
Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.
Skripsi ini dapat tersusun berkat bimbingan dan bantuan dari berbagai pihak.
Oleh karena itu, pada kesempatan kali ini penulis menyampaikan terima kasih
kepada:
1. Bapak Dominikus Arif Budi Prasetyo, S.Si, M.Si. selaku Dosen Pembimbing
Akademik sekaligus dosen pembimbing skripsi atas dukungan dan bimbingan
selama studi terlebih selama proses penyusunan skripsi ini
2. Bapak Rohandi, Ph.D selaku Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Universitas Sanata Dharma
3. Bapak Drs. A. Atmadi, M.Si. selaku Ketua Jurusan Pendidikan dan Ilmu
Pengetahuan Alam, FKIP, Universitas Sanata Dharma
4. Bapak Dr. M. Andy Rudhito, S.Pd. selaku Kaprodi Pendidikan Matematika
5. Bapak Drs. Thomas Sugiarto, M.T. dan Bapak Sutrisno, M.Sc. selaku dosen
penguji skripsi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xii
6. Seluruh Dosen Program Studi Pendidikan Matematika yang telah banyak
memberikan ilmu pengetahuan dan bekal keterampilan sehingga penulis dapat
menyelesaikan studi dengan baik
7. Kedua orang tua penulis, Bapak Yohanes Sumiran dan Ibu Anastasia Sri
Murwani, Adik Lukas Kris Pradikta dan Ester Rina Apriliyani, Eyang Maria
Suyatmi, fr. Adrianus Wisnu W. OCSO, Ibu Inge Umboh, serta Dominico S.
Saputra yang telah memberikan dukungan dan doa
8. Teman-teman Program Studi Pendidikan Matematika Angkatan 2009, khususnya
Yasintha Rizky, Chintya Rudiyanto, Ryan Sanjaya, Endar Retnowati, Cicilia
Viranti, serta Th. Ridarta Intan P. yang telah berbagi hari-hari menyenangkan
serta semangat dan dukungan untuk terus maju
9. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu, atas bantuan dan saran
yang berguna selama penulisan skripsi ini
Penulis mengharapkan kritik dan saran guna kemajuan penelitian, khususnya
dalam bidang matematika. Akhir kata, penulis berharap kiranya skripsi ini dapat
bermanfaat bagi para pembaca.
Yogyakarta, 20 Agustus 2013
Penulis
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ....................................................................................... i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ............................................ ii
HALAMAN PENGESAHAN ......................................................................... iii
HALAMAN PERSEMBAHAN ..................................................................... iv
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ......................................................... v
PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH............. vi
ABSTRAK ...................................................................................................... vii
ABSTRACT ................................................................................................... ix
KATA PENGANTAR .................................................................................... xi
DAFTAR ISI ................................................................................................... xiii
DAFTAR GAMBAR ...................................................................................... xv
DAFTAR TABEL ........................................................................................... xvii
DAFTAR NOTASI ......................................................................................... xviii
BAB I PENDAHULUAN ............................................................................... 1
1.1. Latar Belakang ................................................................................. 1
1.2. Batasan Masalah ............................................................................... 5
1.3. Rumusan Masalah ............................................................................ 5
1.4. Tujuan ............................................................................................... 5
1.5. Manfaat Penelitian ............................................................................ 6
1.6. Metode Penelitian ............................................................................. 6
1.7. Sitematika Penulisan ........................................................................ 7
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiv
BAB II KAJIAN PUSTAKA DAN LANDASAN TEORI ............................ 9
2.1. Teori Graf ......................................................................................... 9
2.2. Pelabelan Graf .................................................................................. 22
2.3. Graf Sikel dengan Tambahan Satu Anting ...................................... 24
2.4. Graf Sikel dengan Tambahan Dua Anting ....................................... 25
2.5. Kerangka Berpikir ............................................................................ 27
BAB III HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN ................................ 28
3.1. Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada Graf Sikel dengan
Tambahan n Anting .......................................................................... 28
3.2. Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada ๐ถ๐ + ๐๐ด1 untuk ๐ โฅ 3 dan
๐ Ganjil dengan ๐ =9๐+3
2 .......................................................... 34
3.3. Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada ๐ถ๐ + ๐๐ด1 untuk ๐ โฅ 3 dan
๐ Ganjil dengan ๐ =11๐+3
2 ......................................................... 47
BAB IV PENUTUP ........................................................................................ 55
4.1. Kesimpulan ...................................................................................... 55
4.2. Saran ................................................................................................. 57
DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................... 58
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xv
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 1.1 Model Jembatan Kรถnigsberg................................................... 1
Gambar 1.2 Graf Model Jembatan Kรถnigsberg .......................................... 2
Gambar 1.3 Ilustrasi Kondisi Jalan Raya menggunakan Graf .................... 3
Gambar 2.1 Graf ......................................................................................... 10
Gambar 2.2 Bukan Graf .............................................................................. 10
Gambar 2.3 Graf ๐บ1 .................................................................................... 12
Gambar 2.4 Graf Sederhana ........................................................................ 14
Gambar 2.5 Graf Tak Sederhana................................................................. 15
Gambar 2.6 Graf Berhingga ........................................................................ 15
Gambar 2.7 Graf Tak Berhingga................................................................. 16
Gambar 2.8 Graf Tak Berarah..................................................................... 17
Gambar 2.9 Graf Berarah ............................................................................ 17
Gambar 2.10 Graf Lengkap .......................................................................... 18
Gambar 2.11 Graf Sikel ................................................................................ 19
Gambar 2.12 Graf Roda ................................................................................ 19
Gambar 2.13 Graf Teratur ............................................................................. 20
Gambar 2.14 Graf Planar .............................................................................. 20
Gambar 2.15 Graf Tak Planar ....................................................................... 21
Gambar 2.16 Graf Bidang ............................................................................. 21
Gambar 2.17 Graf Bipartit ............................................................................ 22
Gambar 2.18 Pelabelan Total Ajaib Sisi pada Graf ๐ถ4 dengan ๐ = 12 ........ 23
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xvi
Gambar 2.19 Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada Graf ๐ถ3 dengan ๐ = 9 . 24
Gambar 2.20 Graf Sikel dengan Tambahan Satu Anting ............................. 25
Gambar 2.21 Graf Sikel dengan Tambahan Dua Anting .............................. 26
Gambar 3.1 Graf Sikel dengan Tambahan ๐ Anting .................................. 28
Gambar 3.2 Ilustrasi Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada ๐ถ๐ + ๐๐ด1, ๐ โฅ 3,
๐ = 2๐ + 1, ๐ = 1, 3, 5,โฆ , ๐ =9๐+3
2 .................................... 42
Gambar 3.3 Ilustrasi Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada ๐ถ๐ + ๐๐ด1, ๐ โฅ 3
๐ = 2๐ + 1, ๐ = 2, 4, 6,โฆ , ๐ =9๐+3
2 ..................................... 43
Gambar 3.4 Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada ๐ถ7 + 7๐ด1, ๐ = 33 ....... 45
Gambar 3.5 Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada ๐ถ5 + 5๐ด1, ๐ = 24 ....... 46
Gambar 3.6 Ilustrasi Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada ๐ถ๐ + ๐๐ด1, ๐ โฅ 3,
๐ Ganjil, ๐ =11๐+3
2 ................................................................. 52
Gambar 3.7 Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada ๐ถ5 + 5๐ด1, ๐ = 29 ....... 54
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xvii
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 3.1 Interval Nilai c pada Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada
๐ถ๐ + ๐๐ด1 ...................................................................................... 32
Tabel 3.2 Nilai Label Titik dan Sisi pada Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada
๐ถ๐ + ๐๐ด1 untuk ๐ โฅ 3 dan ๐ Ganjil dengan ๐ =9๐+3
2 ............... 34
Tabel 3.3 Nilai Label Titik dan Sisi pada Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada
๐ถ๐ + ๐๐ด1 untuk ๐ โฅ 3 dan ๐ Ganjil dengan ๐ =11๐+3
2 ............ 47
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xviii
DAFTAR NOTASI
๐(๐บ) himpunan titik di ๐บ
๐ธ(๐บ) himpunan sisi di ๐บ
๐(๐บ) order (banyak titik) dari ๐บ
๐ธ(๐บ) size (banyak sisi) dari ๐บ
๐ฃ๐ titik ke-๐
๐๐ ,๐ sisi yang menghubungkan titki ke-๐ dan titik ke-๐
๐๐ฃ jumlah semua label titik
๐๐ jumlah semua label sisi
๐๐ค jumlah semua bobot sisi
๐ค(๐ฃ๐) label titik ๐ฃ๐
๐ค ๐๐ ,๐ label sisi ๐๐ ,๐
๐ค๐ก ๐๐ ,๐ bobot masing-masing sisi ๐๐ ,๐
๐ถ๐ graf sikel berorder ๐
๐ด1 anting pada graf
โ himpunan kosong
โช gabungan himpunan
โก akhir pembuktian
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Teori graf merupakan salah satu pokok bahasan yang memiliki banyak
terapan praktis hingga saat ini. Graf digunakan untuk merepresentasikan
objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Representasi
visual dari graf adalah dengan menyatakan objek sebagai noktah, bulatan,
atau titik (vertex), sedangkan hubungan antara objek dinyatakan dengan garis
atau sisi (edge).
Teori graf muncul pertama kali pada tahun 1736 ketika Leonhard Euler,
seorang matematikawan dari Swiss, mencoba mencari solusi dari
permasalahan Jembatan Kรถnigsberg. Sungai Pregel yang melalui kota
Kรถnigsberg membagi wilayah daratan pada kota tersebut menjadi empat
bagian dengan tujuh buah jembatan dibangun di atasnya seperti gambar
berikut.
Gambar 1.1 Model Jembatan Kรถnigsberg
Teka-teki Jembatan Kรถnigsberg mulai muncul pada abad XVII ketika
warga Kรถnigsberg memikirkan apakah mungkin untuk berjalan di seluruh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
wilayah Kรถnigsberg dengan melalui setiap jembatan hanya sekali. Teka-teki
tersebut menarik perhatian Euler yang kemudian merepresentasikan masalah
tersebut dalam sebuah diagram. Diagram tersebut terdiri dari empat titik A,
B, C, dan D yang merepresentasikan keempat wilayah daratan, serta tujuh
buah garis yang merepresentasikan jembatan, seperti terlihat pada gambar
berikut (Suryadi, 1996:3).
Gambar 1.2 Graf Model Jembatan Kรถnigsberg
Salah satu kajian yang banyak diteliti dan dikembangkan dalam teori graf
adalah pelabelan graf yang pertama kali diperkenalkan oleh Sedlรกฤek (1963),
kemudian Stewart (1966), serta Kotzig dan Rosa (1970). Hingga saat ini
pemanfaatan teori pelabelan graf sangat dirasakan peranannya, misalnya pada
sektor sistem komunikasi, transportasi, navigasi geografis, radar,
penyimpanan data komputer, dan pemancar frekuensi radio.
Pada sektor transportasi misalnya, pelabelan graf digunakan untuk
memantau arus dan kepadatan kendaraan di jalan. Graf yang digunakan
adalah graf berarah yang menunjukkan arah arus kendaraan yang telah diberi
label berupa lambang bilangan pada masing-masing titik dan sisinya. Label
pada titik menunjukkan banyak kendaraan yang melewati titik tersebut setiap
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
satuan waktu. Sementara itu, label pada sisi menunjukkan kapasitas efektif
jalan untuk dilalui sejumlah kendaraan setiap satuan waktu beserta presentase
dari kondisi arus sebenarnya dibandingkan kapasitas efektif jalan. Bila arus
kendaraan telah melebihi kapasitas efektif jalan, maka presentasenya akan
bernilai lebih dari 100%. Bila terjadi kepadatan di suatu titik, polisi dapat
berkoordinasi untuk mengalihkan sebagian kendaraan ke jalur yang belum
padat. Sistem ini diterapkan terutama pada kondisi tertentu seperti mudik
tahunan.
Gambar 1.3 Ilustrasi Kondisi Jalan Raya menggunakan Graf
Pelabelan pada suatu graf adalah suatu pemetaan bijektif yang
memetakan unsur-unsur graf (titik dan/atau sisi) dengan bilangan bulat
positif. Jika domain dari pelabelan adalah titik (vertex), maka pelabelan
tersebut dinamakan pelabelan titik (vertex labelling), jika domainnya adalah
sisi (edge), maka pelabelannya disebut pelabelan sisi (edge labelling),
sedangkan jika domainnya adalah titik dan sisi, maka pelabelannya disebut
pelabelan total (total labelling) (Wallis, 2001:11).
150
100
120
200
60
100
125
25
75/75%
160/125%
125/100%
75/100%
50/50%
120/50%
160/75%
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
Salah satu jenis pelabelan yang dikenal hingga saat ini adalah pelabelan
ajaib (magic labeling), yang dibagi menjadi dua yaitu pelabelan ajaib sisi
(edge magic labeling) dan pelabelan ajaib titik (vertex magic labeling). Pada
penelitian ini akan digunakan pelabelan ajaib sisi yaitu pemetaan bijektif
yang memetakan himpunan titik dan sisi pada himpunan bilangan bulat
{1, 2, 3, โฆ , ๐ + ๐ฃ} dengan ๐ menyatakan banyak titik dan ๐ฃ menyatakan
banyak sisi, sedemikian hingga bobot masing-masing sisinya sama/konstan.
Bobot sisi adalah jumlah dari label sisi dan label titik-titik yang bersisian
dengan sisi tersebut.
Penelitian mengenai pelabelan ajaib terus berkembang hingga kemudian
Wallis (2001:17) memperkenalkan istilah pelabelan total ajaib sisi kuat
(strong edge magic total labeling). Pelabelan ajaib sisi dikatakan kuat jika
himpunan titik-titiknya ๐ฃ1 , ๐ฃ2, ๐ฃ3, โฆ , ๐ฃ๐ dipetakan satu-satu dengan
himpunan bilangan bulat positif {1, 2, 3, โฆ , ๐ฃ} dengan ๐ฃ menyatakan banyak
titik pada graf tersebut. Graf yang memenuhi pelabelan total ajaib sisi kuat
dinamakan graf total ajaib sisi kuat.
Berdasarkan hasil penelitian sebelumnya, penulis mengembangkan hasil
penelitian yang berkaitan dengan graf total ajaib sisi kuat dengan menentukan
interval serta pola konstanta ajaib yang terbentuk pada graf sikel ๐ถ๐ dengan
tambahan ๐ anting, serta rumus pelabelan total ajaib sisi kuat pada graf sikel
๐ถ๐ dengan tambahan ๐ anting untuk nilai konstanta ajaib dengan pola
tertentu.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
1.2 Batasan Masalah
Pada tugas akhir ini, graf yang digunakan adalah graf yang berhingga,
sederhana, dan tak berarah, yaitu graf sikel ๐ถ๐ dengan tambahan ๐ anting
untuk ๐ โฅ 3 dan ๐ ganjil. Anting pada graf sikel ๐ถ๐ dibentuk dari ๐ buah
titik yang masing-masing dihubungkan dengan tepat satu titik pada graf sikel
๐ถ๐ oleh sebuah sisi. Titik-titik di luar graf sikel ๐ถ๐ berturut-turut dinamakan
๐ฃ๐+1 , ๐ฃ๐+2 , ๐ฃ๐+3 , โฆ , ๐ฃ2๐ . Sedangkan pelabelan yang digunakan adalah
pelabelan total ajaib sisi kuat (strong edge magic total labeling).
1.3 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang dan batasan masalah di atas, rumusan masalah
yang akan dibahas dalam tugas akhir ini adalah:
1. Apakah pelabelan total ajaib sisi kuat berlaku pada graf sikel ๐ถ๐ dengan
tambahan ๐ anting untuk ๐ โฅ 3 dan ๐ ganjil? Bagaimana interval
konstanta ajaib yang terbentuk?
2. Bagaimana rumus untuk menentukan nilai label titik dan sisi pada
pelabelan total ajaib sisi kuat pada graf sikel ๐ถ๐ dengan tambahan ๐
anting untuk ๐ โฅ 3 dan ganjil dengan nilai konstanta ajaib berpola
tertentu?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
1.4 Tujuan Penelitian
1. Mengetahui apakah pelabelan total ajaib sisi kuat berlaku pada graf sikel
๐ถ๐ dengan tambahan ๐ anting untuk ๐ โฅ 3 dan ๐ ganjil, serta mengetahui
bagaimana interval dari konstanta ajaib yang terbentuk.
2. Mengetahui rumus untuk menentukan nilai label titik dan sisi pada
pelabelan total ajaib sisi kuat pada graf sikel ๐ถ๐ dengan tambahan ๐
anting untuk ๐ โฅ 3 dan ๐ ganjil untuk nilai konstanta ajaib dengan pola
tertentu.
1.5 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah:
1. Menambah jenis graf baru yang memenuhi pelabelan total ajaib sisi kuat
2. Menambah wawasan mengenai pelabelan total ajaib sisi kuat
3. Dapat memberi label pada graf sikel dengan tambahan ๐ anting dengan
menentukan nilai konstanta ajaibnya
1.6 Metode Penelitian
Penelitian yang digunakan dalam tugas akhir ini adalah penelitian pustaka
(literature research) yang mengacu pada buku Magic Graph oleh W. D.
Walis (2001).
Penelitian ini menggunakan pendekatan kualitatif, sehingga pola
pembahasan dimulai dari hal-hal khusus (induktif) menuju pada suatu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
generalisasi yang bersifat umum (deduktif). Secara garis besar langkah
penelitian ini sebagai berikut.
1. Mengumpulkan berbagai literatur yang berhubungan dengan topik
2. Mempelajari topik
3. Menganalisa sifat-sifat pelabelan total ajaib sisi kuat (strong edge magic
total labeling)
4. Membangun graf sikel dengan tambahan ๐ anting dan menganalisa sifat
graf tersebut
5. Menentukan apakah pelabelan total ajaib sisi kuat berlaku pada graf sikel
dengan tambahan ๐ anting untuk ๐ โฅ 3 dan ๐ ganjil, sekaligus
menentukan pola konstanta ajaib yang terbentuk
6. Menentukan rumus nilai label titik dan sisi pada graf sikel dengan
tambahan ๐ anting, ๐ โฅ 3 dan ๐ ganjil untuk nilai konstanta ajaib dengan
pola tertentu
1.7 Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan tugas akhir ini dibagi menjadi empat bagian:
BAB I : PENDAHULUAN
Pada bab ini dijelaskan mengenai latar belakang, rumusan masalah,
pembatasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, metode
penelitian, dan sistematika penulisan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
BAB II : KAJIAN PUSTAKA DAN LANDASAN TEORI
Pada bab ini dijelaskan mengenai teori graf dasar seperti definisi graf,
beberapa istilah dalam teori graf, jenis-jenis graf, pelabelan graf, graf sikel
dengan tambahan satu anting (๐ถ๐ + ๐ด1), serta graf sikel dengan tambahan
dua anting (๐ถ๐ + 2๐ด1).
BAB III : HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
Pada bab ini dianalisis mengenai sifat graf sikel dengan tambahan ๐
anting, pelabelan total ajaib sisi kuat pada graf tersebut, serta rumus nilai
label masing-masing titik dan sisi pada graf tersebut, khususnya untuk ๐ โฅ 3
dan ๐ ganjil untuk nilai konstanta ajaib dengan pola tertentu.
BAB IV : PENUTUP
Pada bab ini dijelaskan kesimpulan dari pembahasan yang telah diuraikan
pada bab sebelumnya serta saran-saran yang berkaitan dengan pembahasan
tersebut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
BAB II
KAJIAN PUSTAKA DAN LANDASAN TEORI
2.1. Teori Graf
1. Pengertian Graf
Definisi 2.1.1 (Goodaire dan Parmenter, 1998:329)
Graf adalah himpunan pasangan terurut ๐บ = (๐, ๐ธ) di mana ๐(๐บ)
himpunan tak kosong dan ๐ธ(๐บ) adalah himpunan pasangan elemen yang
berbeda di ๐(๐บ). Elemen ๐(๐บ) disebut titik (vertex) dan elemen ๐ธ(๐บ)
disebut sisi (edge). Jadi, jika ๐ โ ๐ธ(๐บ), maka e merupakan himpunan
pasangan ๐ = (๐ฃ๐ , ๐ฃ๐ ), di mana ๐ฃ๐ โ ๐ฃ๐ , ๐ฃ๐ , ๐ฃ๐ โ ๐(๐บ). Selanjutnya, ๐ฃ๐
dan ๐ฃ๐ disebut titik ujung dari e, atau dengan kata lain ๐ = (๐ฃ๐ , ๐ฃ๐ )
menghubungkan titik ๐ฃ๐ dan ๐ฃ๐ . Selanjutnya sisi ๐ = (๐ฃ๐ , ๐ฃ๐ ) dinotasikan
dengan ๐๐ ,๐ di mana sisi tersebut merupakan sisi yang sama dengan sisi
๐ = (๐ฃ๐ , ๐ฃ๐) yang dinotasikan dengan ๐๐ ,๐ .
Banyaknya unsur di ๐(๐บ) disebut order dari G dilambangkan
dengan ๐(๐บ) dan banyaknya unsur di ๐ธ(๐บ) disebut ukuran (size) dari
๐บ dilambangkan dengan ๐ธ(๐บ) . Secara geometris graf dapat
digambarkan sebagai sekumpulan titik pada bidang dimensi dua yang
dihubungkan dengan sekumpulan sisi (Chartrand dan Oellermann,
1993:3).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
Contoh:
Gambar 2.1 Graf
Pada Gambar 2.1 gambar (a) merupakan graf dengan ๐(๐บ) = 7 dan
๐ธ(๐บ) = 8, sedangkan gambar (b) merupakan graf dengan ๐(๐บ) = 6
dan ๐ธ(๐บ) = 0.
Gambar 2.2 Bukan Graf
Gambar 2.2 bukan merupakan graf karena tidak memenuhi definisi 2.1.1
yaitu ๐ ๐บ = โ .
2. Beberapa Istilah dalam Graf
Berikut diberikan definisi berdekatan (adjacent) yang digunakan
untuk menjelaskan jenis-jenis graf khususnya graf lengkap (complete
graph).
(a) (b)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
Definisi 2.1.2 (Munir, 2001:191)
Misal terdapat dua titik ๐ฃ๐ dan ๐ฃ๐ pada graf G, dua titik tersebut
dikatakan berdekatan (adjacent) bila terdapat sebuah sisi yang
menghubungkan kedua titik tersebut. Dapat ditulis dengan notasi
๐ = (๐ฃ๐ , ๐ฃ๐ ) โ ๐ธ(๐บ) di mana ๐ฃ๐ โ ๐ฃ๐ .
Berikut diberikan definisi bersisian (incident) yang digunakan untuk
menjelaskan derajat sebuah titik, graf sikel dan graf planar, pelabelan
total ajaib sisi, serta sifat pada graf sikel dengan tambahan ๐ anting.
Definisi 2.1.3 (Munir, 2001:191)
Diberikan graf G dan ๐ฃ๐ , ๐ฃ๐ โ ๐ ๐บ , jika terdapat sebuah sisi yang
menghubungkan ๐ฃ๐ dengan ๐ฃ๐ , dinotasikan ๐ = (๐ฃ๐ , ๐ฃ๐ ) โ ๐ธ(๐บ) maka
dikatakan bahwa e bersisian (incident) dengan titik ๐ฃ๐ dan ๐ฃ๐ .
Berikut diberikan definisi derajat (degree) sebuah titik yang
digunakan untuk menjelaskan jenis-jenis graf khususnya graf teratur.
Definisi 2.1.4 (Chartrand dan Oellermann, 1993:6)
Derajat (degree) sebuah titik ๐ฃ๐ pada graf G yang dituliskan dengan
deg(๐ฃ๐) menyatakan banyak sisi yang bersisian dengan ๐ฃ๐ , dengan kata
lain banyak sisi yang memuat ๐ฃ๐ sebagai titik ujung. Titik dengan derajat
nol disebut titik terisolasi (isolated vertex).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
Berikut diberikan definisi sisi ganda (multiple edge) yang digunakan
untuk menjelaskan jenis-jenis graf khususnya graf sederhana dan graf
tak sederhana.
Definisi 2.1.5 (Munir, 2001:181)
Jika terdapat beberapa sisi berbeda pada graf yang menghubungkan
pasangan titik yang sama maka graf tersebut dikatakan mempunyai sisi
ganda (multiple edge).
Berikut diberikan definisi sisi ganda (multiple edge) yang digunakan
untuk menjelaskan jenis-jenis graf khususnya graf sederhana dan graf
tak sederhana.
Definisi 2.1.6 (Munir, 2001:181)
Jika terdapat sebuah sisi pada graf yang berawal dan berakhir pada satu
titik maka graf tersebut dikatakan memiliki gelang (loop).
Berikut diberikan contoh untuk memperjelas Definisi 2.1.2, 2.1.3,
2.1.4, 2.1.5, dan 2.1.6.
Contoh :
Gambar 2.3 Graf ๐บ1
๐ฃ1
๐ฃ2 ๐ฃ3
๐ฃ4 ๐ฃ7
๐ฃ5 ๐ฃ6
๐1
๐9
๐3
๐5
๐2
๐6
๐8
๐4
๐7
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
Graf ๐บ1 memuat himpunan titik ๐ ๐บ1 = {๐ฃ1 , ๐ฃ2, ๐ฃ3, ๐ฃ4, ๐ฃ5,๐ฃ6, ๐ฃ7} dan
himpunan sisi ๐ธ ๐บ1 = ๐1 , ๐2, ๐3, ๐4, ๐5,๐6 , ๐7 , ๐8 , ๐9 .
(i) Pada graf ๐บ1, pasangan titik ๐ฃ2 dan ๐ฃ3 serta titik ๐ฃ2 dan ๐ฃ5
merupakan titik-titik yang adjacent karena terhubung langsung oleh
sebuah sisi yaitu sisi ๐2 dan sisi ๐8, sedangkan titik ๐ฃ2 dan ๐ฃ4
bukan merupakan titik-titik yang adjacent karena tidak terdapat sisi
yang menghubungkan ๐ฃ2 dan ๐ฃ4.
(ii) Pada graf ๐บ1, sisi ๐1 incident dengan titik ๐ฃ1 dan ๐ฃ2 karena ๐1
menghubungkan ๐ฃ1 dan ๐ฃ2, tetapi tidak terdapat sisi yang incident
dengan titik ๐ฃ1dan ๐ฃ3 karena tidak ada sisi yang menghubungkan
kedua titik tersebut.
(iii) Pada graf ๐บ1, deg(๐ฃ3) = 4, deg(๐ฃ5) = 4, deg(๐ฃ1) = 2, ๐ฃ7 disebut
isolated vertex karena deg(๐ฃ7) = 0.
(iv) Graf ๐บ1 memuat multiple edge yaitu sisi ๐6 dan ๐7 karena dua sisi
tersebut menghubungkan pasangan titik yang sama yaitu ๐ฃ5 dan ๐ฃ6,
serta memuat loop yaitu ๐ฃ3, ๐3, ๐ฃ3 dimana sisi ๐3 berawal dan
berakhir di satu titik yaitu titik ๐ฃ3.
3. Jenis-jenis Graf
Graf dikelompokkan berdasarkan sifat-sifatnya, antara lain
berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda, berdasarkan banyaknya
titik, serta berdasarkan orientasi arah pada sisinya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada suatu graf,
graf dikelompokkan menjadi dua jenis (Munir, 2001:182), yaitu:
a. Graf Sederhana (Simple Graph)
Graf sederhana adalah graf yang tidak mengandung gelang maupun
sisi-ganda.
Contoh:
Gambar 2.4 Graf Sederhana
b. Graf Tak Sederhana (Unsimple Graph)
Graf tak sederhana adalah graf yang mengandung sisi ganda atau
gelang atau keduanya. Graf tak sederhana dibagi menjadi dua
macam, yaitu graf ganda (multigraph) dan graf semu (pseudograph).
Graf ganda adalah graf yang mengandung sisi ganda. Graf semu
adalah graf yang mengandung sisi ganda dan gelang.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
Contoh :
Gambar 2.5 Graf Tak Sederhana
Pada Gambar 2.5, (a) merupakan graf ganda karena memiliki sisi
ganda, sedangkan (b) merupakan graf semu karena selain memiliki
sisi ganda juga memiliki gelang.
Berdasarkan banyak titik pada suatu graf, maka secara umum graf
dapat dikelompokkan menjadi dua jenis (Munir, 2001:183), yaitu :
a. Graf Berhingga (Finite Graph)
Graf berhingga adalah graf yang banyak titiknya berhingga.
Contoh:
Gambar 2.6 Graf Berhingga
b. Graf Tak Berhingga (Infinite Graph)
Graf tak berhingga adalah graf yang banyak titiknya tidak berhingga.
(a) (b)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
Contoh :
Gambar 2.7 Graf Tak Berhingga
Berdasarkan orientasi arah pada sisi, maka secara umum graf
dikelompokkan menjadi dua jenis (Munir, 2001:183), yaitu :
a. Graf Tak Berarah (Undirected Graph)
Graf tak berarah adalah graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi
arah. Pada graf tak berarah, urutan pasangan titik yang dihubungkan
oleh sisi tidak diperhatikan. Jadi (๐ฃ๐ , ๐ฃ๐ ) dan (๐ฃ๐ , ๐ฃ๐) adalah sisi yang
sama.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
Contoh:
Gambar 2.8 Graf Tak Berarah
b. Graf Berarah (Directed Graph/Diagraph)
Graf berarah adalah graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah.
Pada graf berarah (๐ฃ๐ , ๐ฃ๐ ) dan (๐ฃ๐ , ๐ฃ๐) menyatakan dua sisi yang
berbeda ((๐ฃ๐ , ๐ฃ๐ ) โ (๐ฃ๐ , ๐ฃ๐)). Pada sisi (๐ฃ๐ , ๐ฃ๐ ) titik ๐ฃ๐ dinamakan
titik asal (initial vertex) dan titik ๐ฃ๐ dinamakan titik terminal
(terminal vertex), sedangkan pada sisi (๐ฃ๐ , ๐ฃ๐) titik ๐ฃ๐ dinamakan
titik asal (initial vertex) dan titik ๐ฃ๐ dinamakan titik terminal
(terminal vertex).
Contoh :
Gambar 2.9 Graf Berarah
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
Terdapat beberapa jenis graf sederhana khusus (Munir, 2001:205) antara
lain:
a. Graf Lengkap (Complete Graph)
Graf lengkap adalah graf sederhana yang setiap titiknya berdekatan
atau terhubung langsung oleh satu sisi. Graf lengkap dengan n buah
titik dilambangkan dengan Kn. Banyak sisi pada sebuah graf lengkap
yang terdiri dari n buah titik adalah ๐(๐ โ 1)/2.
Contoh :
Gambar 2.10 Graf Lengkap
Gambar 2.12 menunjukkan graf lengkap ๐พ1, ๐พ2, ๐พ3, ๐พ4 dan ๐พ5
dengan banyak titik masing-masing 1, 2, 3, 4, dan 5.
b. Graf Sikel (Cycle Graph)
Graf sikel merupakan graf sederhana yang setiap titiknya
mempunyai dua sisi yang bersisian. Graf sikel dengan n titik
dilambangkan dengan ๐ถ๐ .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
Contoh:
Gambar 2.11 Graf Sikel
Gambar 2.11 menunjukkan graf sikel ๐ถ3, ๐ถ4 , ๐ถ5 dan ๐ถ6 dengan
banyak titik masing-masing 3, 4, 5, dan 6.
c. Graf Roda (Wheels Graph)
Graf roda merupakan graf yang diperoleh dengan cara
menambahkan satu titik pada graf sikel ๐ถ๐ , dan menghubungkan titik
baru tersebut dengan semua titik pada graf sikel tersebut.
Contoh:
Gambar 2.12 Graf Roda
d. Graf Teratur (Regular Graph)
Graf teratur merupakan graf yang setiap titiknya mempunyai derajat
yang sama. Apabila derajat setiap titik pada graf teratur adalah r,
maka graf tersebut dinamakan graf teratur berderajat r. Banyak sisi
pada graf teratur dengan n titik adalah 1
2๐๐ sisi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
Contoh :
Gambar 2.13 Graf Teratur
Gambar 2.13 menunjukkan graf teratur dengan ๐ = 2 dan ๐ = 3.
e. Graf Planar (Planar Graph) dan Graf Bidang (Plane Graph)
Suatu graf disebut graf planar jika graf tersebut dapat digambarkan
pada bidang datar sedemikian sehingga tidak ada sisi-sisinya yang
berpotongan kecuali di titik di mana keduanya bersisian. Namun,
suatu graf mungkin saja planar meskipun biasanya digambarkan
dengan sisi yang saling berpotongan, karena graf tersebut dapat
digambarkan dengan cara berbeda di mana sisi-sisinya tidak saling
berpotongan. Graf planar yang digambarkan dengan sisi-sisi yang
tidak saling berpotongan disebut graf bidang.
Contoh:
Gambar 2.14 Graf Lengkap ๐พ4 merupakan Graf Planar
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
Gambar 2.15 Graf Lengkap ๐พ5 merupakan Graf Tak Planar
Gambar 2.16 Semua Graf Sikel dan Graf Lengkap ๐พ1, ๐พ2, ๐พ3
merupakan Graf Bidang
f. Graf Bipartit (Bipartite Graph)
Suatu graf sederhana G disebut bipartit jika mempunyai himpunan
titik V yang dapat dipartisi menjadi dua himpunan tak kosong yang
tak beririsan ๐1 dan ๐2 sedemikian hingga setiap sisi hubung dalam
graf menghubungkan suatu titik di ๐1 dengan titik di ๐2, atau tak ada
sisi hubung di dalam G yang menghubungkan dua titik di ๐1 maupun
di ๐2.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
Contoh:
Gambar 2.17 Graf Bipartit
Dari Gambar 2.17 kedua graf adalah graf bipartit karena setiap sisinya
menghubungkan dua titik dari himpunan yang berbeda.
2.2. Pelabelan Graf (Graf Labeling)
Pelabelan graf adalah pemetaan bijektif yang memetakan elemen dari
graf tersebut (titik dan/atau sisi) dengan bilangan bulat positif. Terdapat
beberapa macam pelabelan graf berdasarkan domainnya, yaitu pelabelan
titik (vertex labeling) yang domainnya himpunan titik, pelabelan sisi (edge
labeling) yang domainnya himpunan sisi, serta pelabelan total (total
labeling) yang domainnya titik dan sisi.
Bobot adalah jumlahan dari label-label pada setiap elemen graf. Pada
pelabelan graf terdapat dua jenis pelabelan menurut jumlah dari setiap
bobotnya yaitu pelabelan ajaib (magic labeling) dan pelabelan tak ajaib
(antimagic labeling). Pelabelan ajaib adalah suatu pelabelan yang bobot
masing-masing titik atau sisinya sama/konstan, sedangkan pelabelan tak
ajaib adalah suatu pelabelan yang bobot masing-masing titik atau sisinya
berbeda.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
Pada penelitian ini akan digunakan pelabelan total ajaib sisi kuat (strong
edge magic total labeling).
Definisi 2.2.1 (Wallis, 2001:17)
Pelabelan total ajaib sisi adalah pemetaan bijektif ๐ค dari ๐ธ(๐บ) โช ๐(๐บ) ke
bilangan bulat positif 1, 2, 3, โฆ , ๐ + ๐ฃ, dengan ๐ = ๐ธ(๐บ) dan ๐ฃ = ๐(๐บ) ,
jika terdapat konstanta c sedemikian sehingga untuk setiap sisi ๐๐ ,๐ dan
semua titik ๐ฃ๐ dan ๐ฃ๐ yang bersisian dengan sisi ๐๐ ,๐ berlaku:
๐ค(๐ฃ๐) + ๐ค ๐๐ ,๐ + ๐ค(๐ฃ๐ ) = ๐
dengan ๐ค(๐๐ ,๐ ) adalah label sisi ๐๐ ,๐ , ๐ค(๐ฃ๐) dan ๐ค(๐ฃ๐ ) adalah label titik yang
bersisian dengan sisi ๐๐ ,๐ . Dengan kata lain ๐ค๐ก(๐๐ ,๐ ) = ๐ untuk setiap sisi sisi
๐๐ ,๐ , dengan ๐ค๐ก(๐๐ ,๐ ) adalah bobot masing-masing sisi ๐๐ ,๐ . Bilangan c
disebut konstanta ajaib (magic constant) dari ๐บ.
Contoh:
Gambar 2.18 Pelabelan Total Ajaib Sisi pada Graf ๐ถ4 dengan ๐ = 12
Pada Gambar 2.18 bobot setiap sisi konstan, yaitu 12. Bobot ๐1,2 adalah
1 + 5 + 6 = 12, bobot ๐2,3 adalah 6 + 4 + 2 = 12, bobot ๐3,4 adalah
2 + 7 + 3 = 12, dan bobot ๐1,4 adalah 1 + 8 + 3 = 12. Jadi contoh
5
8
2
6
3
1
4
7
๐ฃ2
๐ฃ4 ๐ฃ1
๐ฃ3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
pelabelan pada Gambar 2.20 disebut pelabelan total ajaib sisi pada ๐ถ4
dengan ๐ = 12.
Definisi 2.2.2 (Wallis, 2001:17)
Pelabelan total ajaib sisi dikatakan kuat (strong) jika label-label titiknya
merupakan bilangan bulat positif 1, 2, 3, โฆ , ๐ฃ, ๐ฃ = ๐(๐บ) .
Contoh:
Gambar 2.19 Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada Graf ๐ถ3 dengan ๐ = 9
Pada Gambar 2.19 ๐(๐บ) = 3 dan bobot setiap sisi konstan yaitu 9.
Bobot ๐1,2 adalah 1 + 6 + 2 = 9, bobot ๐2,3 adalah 2 + 4 + 3 = 9, dan
bobot ๐1,3 adalah 3 + 5 + 1 = 9. Karena bobot setiap sisi konstan dan label-
label titiknya adalah 1, 2, 3 maka contoh pelabelan pada Gambar 2.21
disebut pelabelan total ajaib sisi kuat pada ๐ถ3 dengan ๐ = 9.
2.3. Graf Sikel (Cycle Graph) dengan Tambahan Satu Anting
Graf sikel merupakan graf sederhana yang setiap titiknya berderajat dua,
atau graf dengan lintasan tertutup. Graf sikel dengan n titik dilambangkan
dengan ๐ถ๐ .
Graf sikel dengan tambahan satu anting merupakan pengembangan
bentuk dari graf sikel ๐ถ๐ dengan menambahkan satu titik diluar ๐ถ๐ dan
5
6
4
3
1 2 ๐ฃ1 ๐ฃ2
๐ฃ3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
sebuah sisi yang menghubungkan titik tersebut dengan ๐ถ๐ . Graf sikel
dengan tambahan satu anting dilambangkan dengan ๐ถ๐ + ๐ด1 (Septian,
2011:27).
Contoh:
Gambar 2.20 Graf Sikel dengan Tambahan Satu Anting
Setiap graf sikel dengan tambahan satu anting (๐ถ๐ + ๐ด1) mempunyai
๐, ๐ ๐๐ด๐๐ฟ (vertex antimagic total labeling) dengan ๐ โฅ 3 dan ๐ โค 8
untuk semua ๐ โฅ 3. Jika label sisi adalah himpunan bilangan bulat positif
{1, 2, 3, โฆ , ๐ + 1} dan label titik adalah himpunan bilangan bulat positif
{๐ + 2, ๐ + 3, โฆ , 2๐ + 2} maka nilai ๐ adalah ๐(5โ๐)
2+ 4. Untuk ๐ โฅ 3 dan
๐ ganjil, ๐ = 1, 3, 5; untuk ๐ โฅ 3 dan ๐ genap, ๐ = 2, 4; sedangkan
๐ = 6, 7, 8 tidak memenuhi untuk semua ๐ โฅ 3. Pada graf sikel dengan
tambahan satu anting (๐ถ๐ + ๐ด1) terdapat 2๐ + 4, 1 ๐๐ด๐๐ฟ dan ๐ +
4, 3 ๐๐ด๐๐ฟ untuk ๐ โฅ 3 dan ๐ ganjil (Septian, 2011:56).
2.4. Graf Sikel (Cycle Graph) dengan Tambahan Dua Anting
Graf sikel dengan tambahan dua anting merupakan pengembangan dari
graf sikel ๐ถ๐ dengan menambahkan dua titik diluar ๐ถ๐ dan dua sisi yang
(a) ๐ถ4 + ๐ด1 (b) ๐ถ5 + ๐ด1 (c) ๐ถ6 + ๐ด1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
menghubungkan masing-masing titik tersebut dengan ๐ถ๐ . Graf sikel dengan
tambahan satu anting dilambangkan dengan ๐ถ๐ + 2๐ด1 (Yuliyanto, 2012:26).
Contoh:
Gambar 2.21 Graf Sikel dengan Tambahan Satu Anting
Graf sikel dengan tambahan dua anting (๐ถ๐ + 2๐ด1) memenuhi pelabelan
total ajaib sisi kuat dengan nilai konstanta ajaib ๐ terletak pada interval
5๐+9
2< ๐ <
5๐+17
2. Untuk nilai konstanta ajaib ๐ =
5๐+13
2, nilai label untuk
masing-masing titik dan sisi adalah sebagai berikut:
๐ค ๐ฃ1 =๐ + 1
2
๐ค ๐ฃ2 = 2
๐ค ๐ฃ๐ =
๐ + 4 + ๐
2 ๐ = 3, 5, 7, โฆ , ๐
๐ + 1
2 ๐ = 4, 6, 8, โฆ , ๐ โ 1
๐ค ๐ฃ๐+1 = 1
๐ค ๐ฃ๐+2 =๐ + 5
2
๐ค ๐1,2 = 2๐ + 3
๐ค ๐๐ ,๐+1 = 2๐ + 3 โ ๐ ๐ = 2, 3, 4, โฆ , ๐ โ 1
๐ค ๐1,๐ = ๐ + 3
(a) ๐ถ4 + 2๐ด1 (b) ๐ถ6 + 2๐ด1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
๐ค ๐1,๐+1 = 2๐ + 4
๐ค ๐2,๐+2 = 2๐ + 2 (Yuliyanto, 2012:71).
2.5. Kerangka Berpikir
Sejauh ini telah dipelajari teori terkait definisi tentang graf, pelabelan
graf, serta hasil dari penelitian sebelumnya. Berdasarkan apa yang telah
dipelajari tersebut akan diselidiki apakah pelabelan total ajaib sisi kuat
(strong edge magic total labeling) berlaku pada graf sikel dengan
tambahan ๐ anting, ๐ โฅ 3, ๐ ganjil dan akan ditentukan interval nilai
konstanta ajaib c, serta akan diselidiki bagaimana rumus nilai label titik
dan sisi pada pelabelan total ajaib sisi kuat pada graf sikel dengan
tambahan ๐ anting, ๐ โฅ 3 dan ๐ ganjil untuk nilai konstanta ajaib ๐
dengan pola tertentu.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
BAB III
HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
3.1. Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat (Strong Edge Magic Total Labeling)
pada Graf Sikel dengan Tambahan ๐ Anting
Graf sikel dengan tambahan n anting merupakan pengembangan dari
graf sikel ๐ถ๐ dengan menambahkan n buah titik diluar ๐ถ๐ yang masing-
masing dihubungkan dengan tepat satu titik pada ๐ถ๐ oleh sebuah sisi. Graf
sikel dengan tambahan n anting dilambangkan dengan ๐ถ๐ + ๐๐ด1.
Gambar 3.1 Graf Sikel dengan Tambahan n Anting
Pada ๐ถ๐ + ๐๐ด1 terdapat ๐ buah titik dan ๐ buah sisi pada ๐ถ๐ serta ๐
buah titik di luar ๐ถ๐ dan ๐ buah sisi yang yang masing-masing
menghubungkan sebuah titik di luar ๐ถ๐ dengan tepat satu titik pada ๐ถ๐ .
Titik dan sisi yang menjadi anting pada graf sikel tersebut merupakan titik
ke ๐ + 1, ๐ + 2, ๐ + 3, โฆ , 2๐, serta garis ke ๐ + 1, ๐ + 2, ๐ + 3, โฆ , 2๐,
sehingga banyak titik dan sisi pada ๐ถ๐ + ๐๐ด1 adalah 4๐.
(a) ๐ถ4 + 4๐ด1 (b) ๐ถ๐ + ๐๐ด1
๐๐ ,2๐
๐ฃ8
๐ฃ4 ๐ฃ3 ๐7
๐ฃ1 ๐ฃ2
๐ฃ6
๐ฃ5 ๐1,2
๐2,3
๐3,7 ๐3,4
๐1,4
๐1,5
๐3,4
๐2,6
๐ฃ2
๐ฃ3
๐ฃ2๐
๐ฃ2๐โ1
๐ฃ๐+1
๐ฃ๐+3
๐ฃ๐+2
๐ฃ๐โ1
๐ฃ๐
๐ฃ1
๐1,๐+1
๐2,๐+2
๐2,3
๐ฃ1,2
๐3,๐+3
๐1,๐
๐๐โ1,2๐โ1
๐๐โ1,๐
๐1,2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
Pada ๐ถ๐ + ๐๐ด1 bobot setiap sisi yang dilambangkan dengan ๐ค๐ก(๐๐ ,๐ )
ditentukan dengan rumus berikut:
๐ค๐ก ๐๐ ,๐ =
๐ค(๐ฃ๐) + ๐ค ๐๐ ,๐+1 + ๐ค(๐ฃ๐+1)
๐ค(๐ฃ๐) + ๐ค ๐๐ ,1 + ๐ค(๐ฃ1)
๐ค(๐ฃ๐) + ๐ค ๐๐ ,๐+๐ + ๐ค(๐ฃ๐+๐)
Pada pelabelan total ajaib sisi pada ๐ถ๐ + ๐๐ด1 terdapat n label titik yang
dihitung tiga kali karena bersisian dengan tepat tiga sisi yaitu label titik
๐ฃ1 , ๐ฃ2 , ๐ฃ3, โฆ , ๐ฃ๐ , dan n label titik yang dihitung satu kali karena bersisian
dengan tepat satu sisi yaitu label titik ๐ฃ๐+1 , ๐ฃ๐+2 , ๐ฃ๐+3, โฆ , ๐ฃ2๐ , sedangkan
semua label sisi dihitung satu kali. Akibatnya:
๐๐ค = ๐๐ + 3 ๐ค(๐ฃ๐)
๐
1
+ ๐ค ๐ฃ๐
2๐
๐+1
๐๐ค = ๐๐ + ๐ค ๐ฃ๐
2๐
1
+ 2 ๐ค(๐ฃ๐)
๐
1
๐๐ค = ๐๐ + ๐๐ฃ + 2 ๐ค(๐ฃ๐)
๐
1
dengan ๐๐ค merupakan jumlah semua bobot sisi, ๐๐ merupakan jumlah
semua label sisi, dan ๐๐ฃ merupakan jumlah semua label titik.
Berdasarkan Definisi 2.2.1, karena banyak titik dan sisi pada ๐ถ๐ + ๐๐ด1
adalah 4๐, akibatnya label titik dan sisi untuk graf tersebut adalah
1, 2, 3, โฆ , 4๐. Sedangkan banyak sisinya adalah 2๐, akibatnya ๐๐ค = 2๐. ๐
atau penjumlahan berulang nilai konstanta ajaib ๐ sebanyak 2๐:
๐๐ค = ๐๐ + ๐๐ฃ + 2 ๐ค(๐ฃ๐)
๐
1
๐ = 1, 2, 3, โฆ , ๐ โ 1
๐ = 1, 2, 3, โฆ , ๐
๐ = ๐
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
2๐. ๐ = (1 + 2 + 3 + โฏ + 4๐) + 2 ๐ค(๐ฃ๐)
๐
1
2๐๐ = 2๐ 4๐ + 1 + 2 ๐ค ๐ฃ๐
๐
1
โฆ (๐. ๐)
Berdasarkan Definisi 2.2.2, label titik dari ๐ฃ1, ๐ฃ2, ๐ฃ3, โฆ , ๐ฃ2๐ adalah
1, 2, 3, โฆ , 2๐, dan berdasarkan persamaan (3.1) hasil perhitungan
ditentukan dari yaitu jumlah nilai label titik ๐ฃ1 , ๐ฃ2, ๐ฃ3, โฆ , ๐ฃ๐ .
Terdapat tiga kemungkinan memilih ๐ buah label untuk ๐ฃ1 , ๐ฃ2, ๐ฃ3 , โฆ , ๐ฃ๐
yaitu:
1. Jika dipilih ๐ buah label dengan susunan 1,2,3, โฆ , ๐ maka akan
menghasilkan jumlah nilai label dengan nilai terkecil.
2. Jika dipilih ๐ buah label dengan susunan ๐ + 1, ๐ + 2, ๐ + 3, โฆ ,2๐
maka akan menghasilkan jumlah nilai label dengan nilai
terbesar.
3. Jika dipilih ๐ sebarang bilangan dari 1, 2, 3, โฆ , 2๐ maka akan
menghasilkan jumlah nilai label dengan nilai antara yang
terkecil dan yang terbesar.
Berdasarkan tiga kemungkinan di atas, diperoleh hasil sebagai berikut:
1) Jika ๐ฃ1 , ๐ฃ2, ๐ฃ3, โฆ , ๐ฃ๐ diberi label 1,2,3, โฆ , ๐, akibatnya:
๐ค ๐ฃ๐
๐
1
= 1 + 2 + 3 + โฏ + ๐
๐ค ๐ฃ๐
๐
1
=๐
2 ๐ + 1 โฆ (๐. ๐)
๐ค ๐ฃ๐
๐
1
( ๐ค ๐ฃ๐
๐
1
)
( ๐ค ๐ฃ๐
๐
1
)
( ๐ค ๐ฃ๐
๐
1
)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
Substitusi persamaan (3.2) ke persamaan (3.1):
2๐๐ = 2๐ 4๐ + 1 + 2.๐
2(๐ + 1)
๐ =2๐ 4๐ + 1 + ๐(๐ + 1)
2๐
๐ =2 4๐ + 1 + (๐ + 1)
2
๐ =9๐ + 3
2
2) Jika ๐ฃ1 , ๐ฃ2, ๐ฃ3, โฆ , ๐ฃ๐ diberi label ๐ + 1, ๐ + 2, ๐ + 3, โฆ ,2๐,
akibatnya:
๐ค ๐ฃ๐
๐
1
= ๐ + 1 + ๐ + 2 + ๐ + 3 + โฏ + 2๐
๐ค ๐ฃ๐
๐
1
=๐
2 3๐ + 1 โฆ (๐. ๐)
Substitusi persamaan (3.3) ke persamaan (3.1):
2๐๐ = 2๐ 4๐ + 1 + 2.๐
2(3๐ + 1)
๐ =2๐ 4๐ + 1 + ๐(3๐ + 1)
2๐
๐ =2 4๐ + 1 + (3๐ + 1)
2
๐ =11๐ + 3
2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
3) Jika ๐ฃ1 , ๐ฃ2, ๐ฃ3, โฆ , ๐ฃ๐ diberi label ๐ sebarang bilangan dari
1, 2, 3, โฆ , 2๐, akibatnya:
9๐ + 3
2โค ๐ โค
11๐ + 3
2
Dari kemungkinan 1) , 2) dan 3) diperoleh nilai konstanta ajaib c terletak
pada interval:
9๐ + 3
2โค ๐ โค
11๐ + 3
2 โฆ ๐. ๐
Tabel 3.1 berikut menyatakan hubungan antara nilai n dan konstanta
ajaib c yang terbentuk pada pelabelan total ajib sisi kuat pada ๐ถ๐ + ๐๐ด1.
Tabel 3.1 Interval Nilai c pada Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada
๐ถ๐ + ๐๐ด1
n ganjil n genap
n interval nilai c kemungkinan
nilai c n interval nilai c
kemungkinan
nilai c
3 15 โค ๐ โค 18 15, 16, 17, 18 4 19,5 โค ๐ โค 23,5 20, 21, 22, 23
5 24 โค ๐ โค 29 24, 25, 26, 27,
28, 29 6 28,5 โค ๐ โค 34,5
29, 30, 31, 32, 33, 34
7 33 โค ๐ โค 40 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40
8 37,5 โค ๐ โค 45,5 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45
9 42 โค ๐ โค 51 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49,
50, 51 10 46,5 โค ๐ โค 56,5
47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54,
55, 56
11 51 โค ๐ โค 62 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62
12 55,5 โค ๐ โค 67,5 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67
13 60 โค ๐ โค 73
60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71
72, 73
14 64,5 โค ๐ โค 78,5
65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76,
77, 78
โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ
Pada skripsi ini akan dibahas pelabelan total ajaib sisi kuat pada
๐ถ๐ + ๐๐ด1 untuk ๐ โฅ 3 dan n ganjil dengan nilai konstanta ajaib ๐ =9๐+3
2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
dan ๐ =11๐+3
2. Peneliti tidak melakukan penelitian untuk pelabelan total
ajaib sisi kuat pada ๐ถ๐ + ๐๐ด1 untuk ๐ genap, maupun pelabelan total ajaib
sisi kuat pada ๐ถ๐ + ๐๐ด1 untuk ๐ ganjil dengan pola yang lain, misalnya
untuk nilai konstanta ajaib dengan nilai 9๐+5
2,
9๐+7
2,
9๐+9
2, โฆ ,
11๐+1
2,
11๐+3
2.
Teorema 3.1
Graf sikel dengan tambahan n anting memenuhi pelabelan total ajaib sisi
kuat untuk ๐ โฅ 3 dan ๐ ganjil dengan nilai konstanta ajaib terletak pada
interval 9๐+3
2โค ๐ โค
11๐+3
2.
Bukti:
Berdasarkan Definisi 2.2.2, label titik dari ๐ฃ1, ๐ฃ2, ๐ฃ3, โฆ , ๐ฃ2๐ adalah
1, 2, 3, โฆ , 2๐, dan berdasarkan persamaan (3.1) hasil perhitungan
ditentukan dari yaitu jumlah nilai label titik ๐ฃ1 , ๐ฃ2, ๐ฃ3, โฆ , ๐ฃ๐ .
Terdapat tiga kemungkinan memilih ๐ buah label untuk ๐ฃ1 , ๐ฃ2, ๐ฃ3 , โฆ , ๐ฃ๐
yaitu:
1) Jika dipilih ๐ buah label dengan susunan 1,2,3, โฆ , ๐ akibatnya
.
2) Jika dipilih ๐ buah label dengan susunan ๐ + 1, ๐ + 2, ๐ + 3, โฆ ,2๐
akibatnya .
3) Jika dipilih ๐ sebarang bilangan dari 1, 2, โฆ , 2๐ akibatnya
๐ค ๐ฃ๐
๐
1
๐ =9๐ + 3
2
๐ =11๐ + 3
2
9๐ + 3
2โค ๐ โค
11๐ + 3
2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
Dari 1), 2), dan 3) diperoleh bahwa nilai konstanta ajaib pada
pelabelan total ajaib sisi kuat pada graf sikel dengan tambahan ๐
anting untuk ๐ โฅ 3 dan ๐ ganjil terletak pada interval
โก
3.2. Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada ๐ช๐ + ๐๐จ๐ untuk ๐ โฅ ๐ dan n
Ganjil dengan ๐ =๐๐+๐
๐
Dalam penelitian ini diambil salah satu pola pelabelan yang
memenuhi pelabelan total ajaib sisi kuat pada ๐ถ๐ + ๐๐ด1 untuk ๐ โฅ 3 dan ๐
ganjil dengan nilai konstanta ajaib ๐ =9๐+3
2 seperti yang ditunjukkan pada
tabel 3.2 berikut.
Tabel 3.2 Nilai Label Titik dan Sisi pada Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat
pada ๐ถ๐ + ๐๐ด1 untuk ๐ โฅ 3 dan ๐ Ganjil dengan ๐ =9๐+3
2
3 5 7 9 11 13 โฆ
1 1 1 1 1 1 1 โฆ
2 3 4 5 6 7 8 โฆ
3 2 2 2 2 2 2 โฆ
4 5 6 7 8 9 โฆ
5 3 3 3 3 3 โฆ
6 7 8 9 10 โฆ
7 4 4 4 4 โฆ
8 9 10 11 โฆ
9 5 5 5 โฆ
10 11 12 โฆ
11 6 6 โฆ
12 13 โฆ
13 7 โฆ
โฆ
โฆ
๐ ๐ฃ๐
9๐ + 3
2โค ๐ โค
11๐ + 3
2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
3 5 7 9 11 13 โฆ
๐ + 1 6 10 12 18 18 26 โฆ
๐ + 2 5 9 9 17 13 25 โฆ
๐ + 3 4 8 13 16 19 24 โฆ
๐ + 4
7 10 15 14 23 โฆ
๐ + 5
6 14 14 20 22 โฆ
๐ + 6
11 13 15 21 โฆ
๐ + 7
8 12 21 20 โฆ
๐ + 8
11 16 19 โฆ
๐ + 9
10 22 18 โฆ
๐ + 10
17 17 โฆ
๐ + 11
12 16 โฆ
๐ + 12
15 โฆ
๐ + 13
14 โฆ
โฆ
โฆ
3 5 7 9 11 13 โฆ
1,2 11 19 27 35 43 51 โฆ
2,3 10 18 26 34 42 50 โฆ
3,4 17 25 33 41 49 โฆ
4,5 16 24 32 40 48 โฆ
5,6 23 31 39 47 โฆ
6,7 22 30 38 46 โฆ
7,8 29 37 45 โฆ
8,9 28 36 44 โฆ
9,10 35 43 โฆ
10,11 34 42 โฆ
11,12 41 โฆ
12,13 40 โฆ
โฆ
โฆ
1, ๐ 12 20 28 36 44 52 โฆ
3 5 7 9 11 13 โฆ
1, ๐ + 1 8 13 20 23 32 33 โฆ
2, ๐ + 2 7 11 19 19 31 27 โฆ
3, ๐ + 3 9 14 18 24 30 34 โฆ
4, ๐ + 4 12 17 20 29 28 โฆ
5, ๐ + 5 15 16 25 28 35 โฆ
๐ ๐๐ ,๐+1
๐ ๐๐ ,๐+๐
๐ ๐ฃ๐
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
3 5 7 9 11 13 โฆ
6, ๐ + 6 15 21 27 29 โฆ
7, ๐ + 7 21 26 26 36 โฆ
8, ๐ + 8 22 25 30 โฆ
9, ๐ + 9 27 24 37 โฆ
10, ๐ + 10 23 31 โฆ
11, ๐ + 11 33 38 โฆ
12, ๐ + 12 32 โฆ
13, ๐ + 13 39 โฆ
โฆ
โฆ
Dari tabel di atas, pelabelan total ajaib sisi kuat pada ๐ถ๐ + ๐๐ด1 untuk
๐ โฅ 3 dan ๐ ganjil dengan nilai konstanta ajaib ๐ =9๐+3
2 dapat dibagi
menjadi dua pola pelabelan yaitu untuk ๐ = 2๐ + 1, ๐ = 1, 3, 5, โฆ dan
๐ = 2๐ + 1, ๐ = 2, 4, 6, โฆ dengan rumus sebagai berikut:
1. Nilai label titik dan sisi untuk ๐ = 2๐ + 1, ๐ = 1, 3, 5, โฆ
๐ค ๐ฃ๐ =
๐ + 1
2 ๐ = 1, 3, 5, โฆ , ๐
๐ + ๐ + 1
2 ๐ = 2, 4, 6, โฆ , ๐ โ 1
๐ค ๐ฃ๐+๐ =
3๐ + ๐ + 2
2 ๐ = 1, 3, 5, โฆ , ๐ โ 2
2 ๐ + 1 + ๐
2 ๐ = 2, 4, 6, โฆ , ๐ โ 1
๐ + 1 ๐ = ๐
๐ค ๐๐ ,๐+1 = 4๐ โ ๐ ๐ = 1, 2, 3, โฆ , ๐ โ 1
๐ค ๐1,๐ = 4๐ ๐ = ๐
๐ค ๐๐ ,๐+๐ = 3๐ โ ๐ ๐ = 1, 2, 3, โฆ , ๐ โ 13๐ ๐ = ๐
๐ ๐๐ ,๐+๐
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
Berikut ditunjukkan bahwa bobot masing-masing sisi pada ๐ถ๐ + ๐๐ด1,
๐ โฅ 3, ๐ = 2๐ + 1, ๐ = 1, 3, 5, โฆ dengan pola pelabelan di atas adalah
konstan yaitu 9๐+3
2.
i) Untuk ๐ = 1, 3, 5, โฆ , ๐ โ 2
๐ค๐ก ๐๐ ,๐+1 = ๐ค(๐ฃ๐) + ๐ค ๐๐ ,๐+1 + ๐ค(๐ฃ๐+1)
=๐ + 1
2+ 4๐ โ ๐ +
๐ + (๐ + 1) + 1
2
=๐ + 1
2+
8๐ โ 2๐
2+
๐ + (๐ + 1) + 1
2
=8๐ + ๐ + ๐ โ 2๐ + ๐ + 1 + 1 + 1
2
=9๐ + 3
2
ii) Untuk ๐ = 2, 4, 6, โฆ , ๐ โ 1
๐ค๐ก ๐๐ ,๐+1 = ๐ค(๐ฃ๐) + ๐ค ๐๐ ,๐+1 + ๐ค(๐ฃ๐+1)
=๐ + ๐ + 1
2+ 4๐ โ ๐ +
๐ + 1 + 1
2
=๐ + ๐ + 1
2+
8๐ โ 2๐
2+
๐ + 1 + 1
2
=๐ + 8๐ + ๐ โ 2๐ + ๐ + 1 + 1 + 1
2
=9๐ + 3
2
iii) Untuk ๐ = ๐
๐ค๐ก ๐๐ ,1 = ๐ค(๐ฃ๐) + ๐ค ๐๐ ,1 + ๐ค(๐ฃ1)
=๐ + 1
2+ 4๐ +
1 + 1
2 , ๐ = ๐
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
=๐ + 1
2+
8๐
2+
2
2
=๐ + 8๐ + 1 + 2
2
=9๐ + 3
2
iv) Untuk ๐ = 1, 3, 5, โฆ , ๐ โ 2
๐ค๐ก ๐๐ ,๐+๐ = ๐ค(๐ฃ๐) + ๐ค ๐๐ ,๐+๐ + ๐ค(๐ฃ๐+๐)
=๐ + 1
2+ 3๐ โ ๐ +
3๐ + ๐ + 2
2
=๐ + 1
2+
6๐ โ 2๐
2+
3๐ + ๐ + 2
2
=6๐ + 3๐ + ๐ โ 2๐ + ๐ + 1 + 2
2
=9๐ + 3
2
v) Untuk ๐ = 2, 4, 6, โฆ , ๐ โ 1
๐ค๐ก ๐๐ ,๐+๐ = ๐ค(๐ฃ๐) + ๐ค ๐๐ ,๐+๐ + ๐ค(๐ฃ๐+๐)
=๐ + ๐ + 1
2+ 3๐ โ ๐ +
2 ๐ + 1 + ๐
2
=๐ + ๐ + 1
2+
6๐ โ 2๐
2+
2๐ + 2 + ๐
2
=๐ + 6๐ + 2๐ + ๐ โ 2๐ + ๐ + 1 + 2
2
=9๐ + 3
2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
vi) Untuk ๐ = ๐
๐ค๐ก ๐๐ ,๐+๐ = ๐ค(๐ฃ๐) + ๐ค ๐๐ ,๐+๐ + ๐ค(๐ฃ๐+๐)
=๐ + 1
2+ 3๐ + ๐ + 1 , ๐ = ๐
=๐ + 1
2+
6๐
2+
2๐ + 2
2
=๐ + 6๐ + 2๐ + 1 + 2
2
=9๐ + 3
2
2. Nilai label titik dan sisi untuk ๐ = 2๐ + 1, ๐ = 2, 4, 6, โฆ
๐ค ๐ฃ๐ =
๐ + 1
2 ๐ = 1, 3, 5, โฆ , ๐
๐ + 1 + ๐
2 ๐ = 2, 4, 6, โฆ , ๐ โ 1
๐ค ๐ฃ๐+๐ = 2๐ โ ๐ + 1 ๐ = 1, 2, 3, โฆ , ๐
๐ค ๐๐ ,๐+1 = 4๐ โ ๐ ๐ = 1, 2, 3, โฆ , ๐ โ 1
๐ค ๐1,๐ = 4๐ ๐ = ๐
๐ค ๐๐ ,๐+๐ =
5๐ + ๐
2 ๐ = 1, 3, 5, โฆ , ๐
4๐ + ๐
2 ๐ = 2, 4, 6, โฆ , ๐ โ 1
Berikut ditunjukkan bahwa bobot masing-masing sisi pada ๐ถ๐ + ๐๐ด1,
๐ โฅ 3, ๐ = 2๐ + 1, ๐ = 2, 4, 6, โฆ dengan pola pelabelan di atas adalah
konstan yaitu 9๐+3
2.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
i) Untuk ๐ = 1, 3, 5, โฆ , ๐ โ 2
๐ค๐ก ๐๐ ,๐+1 = ๐ค(๐ฃ๐) + ๐ค ๐๐ ,๐+1 + ๐ค(๐ฃ๐+1)
=๐ + 1
2+ 4๐ โ ๐ +
๐ + (๐ + 1) + 1
2
=๐ + 1
2+
8๐ โ 2๐
2+
๐ + (๐ + 1) + 1
2
=8๐ + ๐ + ๐ โ 2๐ + ๐ + 1 + 1 + 1
2
=9๐ + 3
2
ii) Untuk ๐ = 2, 4, 6, โฆ , ๐ โ 1
๐ค๐ก ๐๐ ,๐+1 = ๐ค(๐ฃ๐) + ๐ค ๐๐ ,๐+1 + ๐ค(๐ฃ๐+1)
=๐ + ๐ + 1
2+ 4๐ โ ๐ +
๐ + 1 + 1
2
=๐ + ๐ + 1
2+
8๐ โ 2๐
2+
๐ + 1 + 1
2
=๐ + 8๐ + ๐ โ 2๐ + ๐ + 1 + 1 + 1
2
=9๐ + 3
2
iii) Untuk ๐ = ๐
๐ค๐ก ๐๐ ,1 = ๐ค(๐ฃ๐) + ๐ค ๐๐ ,1 + ๐ค(๐ฃ1)
=๐ + 1
2+ 4๐ +
1 + 1
2 , ๐ = ๐
=๐ + 1
2+
8๐
2+
2
2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
=๐ + 8๐ + 1 + 2
2
=9๐ + 3
2
iv) Untuk ๐ = 1, 3, 5, โฆ , ๐
๐ค๐ก ๐๐ ,๐+๐ = ๐ค(๐ฃ๐) + ๐ค ๐๐ ,๐+๐ + ๐ค(๐ฃ๐+๐)
=๐ + 1
2+
5๐ + ๐
2+ 2๐ โ ๐ + 1
=๐ + 1
2+
5๐ โ ๐
2+
4๐ โ 2๐ + 2
2
=5๐ + 4๐ + ๐ + ๐ โ 2๐ + 1 + 2
2
=9๐ + 3
2
v) Untuk ๐ = 2, 4, 6, โฆ , ๐ โ 1
๐ค๐ก ๐๐ ,๐+๐ = ๐ค(๐ฃ๐) + ๐ค ๐๐ ,๐+๐ + ๐ค(๐ฃ๐+๐)
=๐ + ๐ + 1
2+
4๐ + ๐
2+ 2๐ โ ๐ + 1
=๐ + ๐ + 1
2+
4๐ + ๐
2+
4๐ โ 2๐ + 2
2
=๐ + 4๐ + 4๐ + ๐ + ๐ โ 2๐ + 1 + 2
2
=9๐ + 3
2
Teorema 3.2
Graf sikel dengan tambahan n anting memenuhi pelabelan total ajaib sisi
kuat untuk ๐ โฅ 3 dan ๐ ganjil dengan konstanta ajaib ๐ =9๐+3
2.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
Bukti:
Perhatikan ilustrasi pelabelan berikut yang dikonstruksi berdasarkan
pola pelabelan pada kasus 1 dan 2 di atas.
Gambar 3.2 Ilustrasi Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat
pada ๐ถ๐ + ๐๐ด1, ๐ โฅ 3, ๐ = 2๐ + 1, ๐ = 1, 3, 5, โฆ , ๐ =9๐+3
2
๐ฃ2๐โ2
๐ฃ2๐โ1
๐ฃ๐+1
๐ฃ๐
๐ฃ1
๐ฃ2
๐ฃ๐+3
๐ฃ2๐ ๐ฃ๐+2
๐ฃ๐+4
๐ฃ๐โ2 ๐ฃ4
๐ฃ๐โ1 ๐ฃ3
1
2
๐ + 3
2
2๐ โ 1
2
๐ + 1
2
๐ + 5
2
๐
3๐ + 3
2
3๐ + 1
2
๐ + 1
3๐ + 5
2
๐ + 2
๐ + 3 2๐
3๐ โ 1
4๐ โ 2 3๐ + 1
4๐ 4๐ โ 1
4๐ โ 3
3๐ โ 2
3๐ โ 3
3๐ โ 4 2๐ + 2
3๐
2๐ + 1
3๐ + 2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
Gambar 3.3 Ilustrasi Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat
pada ๐ถ๐ + ๐๐ด1, ๐ โฅ 3, ๐ = 2๐ + 1, ๐ = 2, 4, 6, โฆ , ๐ =9๐+3
2
Pada kedua konstruksi di atas dapat dilihat bahwa label titik ๐ค(๐ฃ๐)
adalah bilangan bulat positif 1, 2, 3, โฆ , 2๐ dengan label titik ๐ฃ1 , ๐ฃ2, ๐ฃ3, โฆ , ๐ฃ๐
adalah 1, 2, 3, โฆ , ๐, sedangkan label sisi ๐ค(๐๐ ,๐ ) adalah bilangan bulat positif
2๐ + 1, 2๐ + 2, โฆ , 4๐. Bobot pada masing-masing sisi konstan yaitu 9๐+3
2
(pembahasan pada halaman 36-41). Hal ini memenuhi syarat kasus 1 pada
Teorema 3.1, sehingga terbukti bahwa graf sikel dengan tambahan n anting
5๐ + 1
2
4๐ โ 1
-1 1
4๐ 1
๐ + 3
2
2 ๐
๐ + 1
2
2๐
2๐ โ 1 ๐ + 1
2๐ โ 2 ๐ + 2
4๐ โ 2
-1 1
5๐ โ 1
2
5๐ + 3
2
2๐ + 1 3๐
๐ฃ๐+1
๐ฃ1
๐ฃ๐ ๐ฃ2
๐ฃ๐โ1 ๐ฃ3
๐ฃ๐+3
๐ฃ2๐
๐ฃ2๐โ1
๐ฃ๐+2
3๐ + 1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
memenuhi pelabelan total ajaib sisi kuat untuk ๐ โฅ 3 dan ๐ ganjil dengan
konstanta ajaib ๐ =9๐+3
2. โก
Contoh:
Pelabelan total ajaib sisi kuat pada ๐ถ๐ + ๐๐ด1 untuk ๐ = 7, ๐ =9(7)+3
2 = 33.
๐ค ๐ฃ1 =1 + 1
2= 1
๐ค ๐ฃ2 =7 + 2 + 1
2= 5
๐ค ๐ฃ3 =3 + 1
2= 2
๐ค ๐ฃ4 =7 + 4 + 1
2= 6
๐ค ๐ฃ5 =5 + 1
2= 3
๐ค ๐ฃ6 =7 + 6 + 1
2= 7
๐ค ๐ฃ7 =7 + 1
2= 4
๐ค ๐ฃ8 =3(7) + 1 + 2
2= 12
๐ค ๐ฃ9 =2 8 + 2
2= 9
๐ค ๐ฃ10 =3(7) + 3 + 2
2= 13
๐ค ๐ฃ11 =2 8 + 4
2= 10
๐ค ๐ฃ12 =3(7) + 5 + 2
2= 14
๐ค ๐ฃ13 =2 8 + 6
2= 11
๐ค ๐ฃ14 = 7 + 1 = 8
๐ค ๐1,2 = 4 7 โ 1 = 27
๐ค ๐2,3 = 4 7 โ 2 = 26
๐ค ๐3,4 = 4 7 โ 3 = 25
๐ค ๐4,5 = 4 7 โ 4 = 24
๐ค ๐5,6 = 4 7 โ 5 = 23
๐ค ๐6,7 = 4 7 โ 6 = 22
๐ค ๐1,7 = 4 7 = 28
๐ค ๐1,8 = 3 7 โ 1 = 20
๐ค ๐2,9 = 3 7 โ 2 = 19
๐ค ๐3,10 = 3 7 โ 3 = 18
๐ค ๐4,11 = 3 7 โ 4 = 17
๐ค ๐5,12 = 3 7 โ 5 = 16
๐ค ๐6,13 = 3 7 โ 6 = 15
๐ค ๐7,14 = 3 7 = 21
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
Gambar 3.4 Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada ๐ถ7 + 7๐ด1, ๐ = 33
Pelabelan total ajaib sisi kuat pada ๐ถ๐ + ๐๐ด1 untuk ๐ = 5, ๐ =9(5)+3
2 = 24.
๐ค ๐ฃ1 =1 + 1
2= 1
๐ค ๐ฃ2 =5 + 2 + 1
2= 4
๐ค ๐ฃ3 =3 + 1
2= 2
๐ค ๐ฃ4 =5 + 4 + 1
2= 5
๐ค ๐ฃ5 =5 + 1
2= 3
๐ค ๐ฃ6 = 2 5 โ 1 + 1 = 10
๐ค ๐ฃ7 = 2 5 โ 2 + 1 = 9
๐ค ๐ฃ8 = 2 5 โ 3 + 1 = 8
๐ค ๐ฃ9 = 2 5 โ 4 + 1 = 7
12
11
8
13
9
10 14
1
2
5
3
4
6
7
20
26 22
28 27
25
24
19
18
17 16
21
15
๐ฃ๐+1
๐ฃ๐
๐ฃ1
๐ฃ2
๐ฃ๐+3 ๐ฃ2๐โ1
๐ฃ2๐ ๐ฃ๐+2
๐ฃ๐+5 ๐ฃ๐+4
๐ฃ5 ๐ฃ4
๐ฃ6 ๐ฃ3
23
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
๐ค ๐ฃ10 = 2 5 โ 5 + 1 = 6
๐ค ๐1,2 = 4 5 โ 1 = 19
๐ค ๐2,3 = 4 5 โ 2 = 18
๐ค ๐3,4 = 4 5 โ 3 = 17
๐ค ๐4,5 = 4 5 โ 4 = 16
๐ค ๐1,5 = 4 5 = 20
๐ค ๐1,6 =5(5) + 1
2= 13
๐ค ๐2,7 =4(5) + 2
2= 11
๐ค ๐3,8 =5(5) + 3
2= 14
๐ค ๐4,9 =4(5) + 4
2= 12
๐ค ๐5,10 =5(5) + 5
2= 15
Gambar 3.5 Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada ๐ถ5 + 5๐ด1, ๐ = 24
13
19
-1 1
20 1
4
2 5
3
10
9 6
8 7
18
-1 1
17
-1 1 12 14
11 15
๐ฃ๐+1
๐ฃ1
๐ฃ๐ ๐ฃ2
๐ฃ4 ๐ฃ3
๐ฃ๐+3
๐ฃ2๐
๐ฃ๐+4
๐ฃ๐+2
16
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
3.3. Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada ๐ช๐ + ๐๐จ๐ untuk ๐ โฅ ๐ dan n
Ganjil dengan ๐ =๐๐๐+๐
๐
Dalam penelitian ini diambil salah satu pola pelabelan yang memenuhi
pelabelan total ajaib sisi kuat pada ๐ถ๐ + ๐๐ด1 untuk ๐ โฅ 3 dan ๐ ganjil
dengan nilai konstanta ajaib ๐ =11๐+3
2 seperti yang ditunjukkan pada tabel
3.3 berikut.
Tabel 3.3 Nilai Label Titik dan Sisi pada Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat
pada ๐ถ๐ + ๐๐ด1 untuk ๐ โฅ 3 dan ๐ Ganjil dengan ๐ =11๐+3
2
3 5 7 9 11 13 โฆ
1 4 6 8 10 12 14 โฆ
2 6 9 12 15 18 21 โฆ
3 5 7 9 11 13 15 โฆ
4
10 13 16 19 22 โฆ
5
8 10 12 14 16 โฆ
6
14 17 20 23 โฆ
7
11 13 15 17 โฆ
8
18 21 24 โฆ
9
14 16 18 โฆ
10
22 25 โฆ
11
17 19 โฆ
12
26 โฆ
13
20 โฆ
โฆ
โฆ
๐ + 1 2 4 6 8 10 12 โฆ
๐ + 2 1 3 5 7 9 11 โฆ
๐ + 3 3 2 4 6 8 10 โฆ
๐ + 4
1 3 5 7 9 โฆ
๐ + 5
5 2 4 6 8 โฆ
๐ + 6
1 3 5 7 โฆ
๐ + 7
7 2 4 6 โฆ
๐ + 8
1 3 5 โฆ
๐ + 9
9 2 4 โฆ
๐ ๐ฃ๐
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
3 5 7 9 11 13 โฆ
๐ + 10
1 3 โฆ
๐ + 11
11 2 โฆ
๐ + 12
1 โฆ
๐ + 13
13 โฆ
โฆ
โฆ
3 5 7 9 11 13 โฆ
1,2 8 14 20 26 32 38 โฆ
2,3 7 13 19 25 31 37 โฆ
3,4 12 18 24 30 36 โฆ
4,5 11 17 23 29 35 โฆ
5,6
16 22 28 34 โฆ
6,7
15 21 27 33 โฆ
7,8
20 26 32 โฆ
8,9
19 25 31 โฆ
9,10
24 30 โฆ
10,11
23 29 โฆ
11,12
28 โฆ
12,13
27 โฆ
โฆ
โฆ
1, ๐ 9 15 21 27 33 39 โฆ
3 5 7 9 11 13 โฆ
1, ๐ + 1 12 19 26 33 40 47 โฆ
2, ๐ + 2 11 17 23 29 35 41 โฆ
3, ๐ + 3 10 20 27 34 41 48 โฆ
4, ๐ + 4
18 24 30 36 42 โฆ
5, ๐ + 5
16 28 35 42 49 โฆ
6, ๐ + 6
25 31 37 43 โฆ
7, ๐ + 7
22 36 43 50 โฆ
8, ๐ + 8
32 38 44 โฆ
9, ๐ + 9
28 44 51 โฆ
10, ๐ + 10
39 45 โฆ
11, ๐ + 11
34 52 โฆ
12, ๐ + 12
46 โฆ
13, ๐ + 13
40 โฆ
โฆ
โฆ
๐ ๐๐ ,๐+1
๐ ๐๐ ,๐+๐
๐ ๐ฃ๐
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
Dari tabel di atas, pelabelan total ajaib sisi kuat pada ๐ถ๐ + ๐๐ด1 untuk
๐ โฅ 3 dan ๐ ganjil dengan nilai konstanta ajaib ๐ =11๐+3
2 memiliki nilai
label titik dan sisi dengan rumus sebagai berikut:
๐ค ๐ฃ๐ =
2๐ + ๐ + 1
2 ๐ = 1, 3, 5, โฆ , ๐
3๐ + ๐ + 1
2 ๐ = 2, 4, 6, โฆ , ๐ โ 1
๐ค ๐ฃ๐+๐ = ๐ โ ๐ ๐ = 1, 2, 3, โฆ , ๐ โ 1๐ ๐ = ๐
๐ค ๐๐ ,๐+1 = 3๐ โ ๐ ๐ = 1, 2, 3, โฆ , ๐ โ 1
๐ค ๐1,๐ = 3๐ ๐ = ๐
๐ค ๐๐ ,๐+๐ =
7๐ + ๐ + 2
2 ๐ = 1, 3, 5, โฆ , ๐ โ 2
6๐ + ๐ + 2
2 ๐ = 2, 4, 6, โฆ , ๐ โ 1
3๐ + 1 ๐ = ๐
Berikut ditunjukkan bahwa bobot masing-masing sisi pada ๐ถ๐ + ๐๐ด1
untuk ๐ โฅ 3 dan ๐ ganjil dengan pola pelabelan di atas adalah konstan
yaitu 11๐+3
2.
i) Untuk ๐ = 1, 3, 5, โฆ , ๐ โ 2
๐ค๐ก ๐๐ ,๐+1 = ๐ค(๐ฃ๐) + ๐ค ๐๐ ,๐+1 + ๐ค(๐ฃ๐+1)
=2๐ + ๐ + 1
2+ 3๐ โ ๐ +
3๐ + (๐ + 1) + 1
2
=2๐ + ๐ + 1
2+
6๐ โ 2๐
2+
3๐ + (๐ + 1) + 1
2
=2๐ + 6๐ + 3๐ + ๐ โ 2๐ + ๐ + 1 + 1 + 1
2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
=11๐ + 3
2
ii) Untuk ๐ = 2, 4, 6, โฆ , ๐ โ 1
๐ค๐ก ๐๐ ,๐+1 = ๐ค(๐ฃ๐) + ๐ค ๐๐ ,๐+1 + ๐ค(๐ฃ๐+1)
=3๐ + ๐ + 1
2+ 3๐ โ ๐ +
2๐ + ๐ + 1 + 1
2
=3๐ + ๐ + 1
2+
6๐ โ 2๐
2+
2๐ + ๐ + 1 + 1
2
=3๐ + 6๐ + 2๐ + ๐ โ 2๐ + ๐ + 1 + 1 + 1
2
=11๐ + 3
2
iii) Untuk ๐ = ๐
๐ค๐ก ๐๐ ,1 = ๐ค(๐ฃ๐) + ๐ค ๐๐ ,1 + ๐ค(๐ฃ1)
=2๐ + ๐ + 1
2+ 3๐ +
2๐ + 1 + 1
2 , ๐ = ๐
=2๐ + ๐ + 1
2+
6๐
2+
2๐ + 2
2
=3๐ + 6๐ + 2๐ + 1 + 2
2
=11๐ + 3
2
iv) Untuk ๐ = 1, 3, 5, โฆ , ๐ โ 2
๐ค๐ก ๐๐ ,๐+๐ = ๐ค(๐ฃ๐) + ๐ค ๐๐ ,๐+๐ + ๐ค(๐ฃ๐+๐)
=2๐ + ๐ + 1
2+
7๐ + ๐ + 2
2+ ๐ โ ๐
=2๐ + ๐ + 1
2+
7๐ + ๐ + 2
2+
2๐ โ 2๐
2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
=2๐ + 7๐ + 2๐ + ๐ + ๐ โ 2๐ + 1 + 2
2
=11๐ + 3
2
v) Untuk ๐ = 2, 4, 6, โฆ , ๐ โ 1
๐ค๐ก ๐๐ ,๐+๐ = ๐ค(๐ฃ๐) + ๐ค ๐๐ ,๐+๐ + ๐ค(๐ฃ๐+๐)
=3๐ + ๐ + 1
2+
6๐ + ๐ + 2
2+ ๐ โ ๐
=3๐ + ๐ + 1
2+
6๐ + ๐ + 2
2+
2๐ โ 2๐
2
=3๐ + 6๐ + 2๐ + ๐ + ๐ โ 2๐ + 1 + 2
2
=11๐ + 3
2
vi) Untuk ๐ = ๐
๐ค๐ก ๐๐ ,๐+๐ = ๐ค(๐ฃ๐) + ๐ค ๐๐ ,๐+๐ + ๐ค(๐ฃ๐+๐)
=2๐ + ๐ + 1
2+ 3๐ + 1 + ๐ , ๐ = ๐
=2๐ + ๐ + 1
2+
6๐ + 2
2+
2๐
2
=2๐ + ๐ + 6๐ + 2๐ + 1 + 2
2
=11๐ + 3
2
Teorema 3.3
Graf sikel dengan tambahan n anting memenuhi pelabelan total ajaib sisi
kuat untuk ๐ โฅ 3 dan ๐ ganjil, dengan konstanta ajaib ๐ =11๐+3
2.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
Bukti:
Perhatikan ilustrasi pelabelan berikut yang dikonstruksi berdasarkan
pola pelabelan di atas.
Gambar 3.6 Ilustrasi Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat
pada ๐ถ๐ + ๐๐ด1, ๐ โฅ 3, ๐ Ganjil, ๐ =11๐+3
2
Pada konstruksi di atas dapat dilihat bahwa label titik ๐ค(๐ฃ๐) adalah
bilangan bulat positif 1, 2, 3, โฆ , 2๐ dengan label titik ๐ฃ1 , ๐ฃ2 , ๐ฃ3, โฆ , ๐ฃ๐ adalah
๐ + 1, ๐ + 2, ๐ + 3, โฆ ,2๐, sedangkan label sisi ๐ค(๐๐ ,๐ ) adalah bilangan bulat
positif 2๐ + 1, 2๐ + 2, โฆ , 4๐. Bobot pada masing-masing sisi konstan yaitu
3๐ โ 1
2
2๐
๐ฃ๐+1
๐ฃ๐
๐ฃ1
๐ฃ2
๐ฃ๐+3
๐ฃ2๐ ๐ฃ๐+2
๐ฃ๐+4
๐ฃ๐โ2 ๐ฃ4
๐ฃ๐โ1 ๐ฃ3
๐ฃ2๐โ2
2๐ + 2 3๐ + 5
2
๐ โ 1
๐ โ 4
๐ โ 3
๐ โ 2 ๐
2
1
๐ + 1
3๐ + 1
2
๐ + 2
3๐ + 3
2
7๐ + 3
2
3๐ โ 2 2๐ + 1
3๐ 3๐ โ 1
3๐ โ 3
๐ฃ2๐โ1
3๐ + 2
7๐ + 5
2
3๐ + 3 4๐
3๐ + 1
7๐ + 1
2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
11๐+3
2 (pembahasan pada halaman 49-51). Hal ini memenuhi syarat kasus 2
pada Teorema 3.1, sehingga terbukti bahwa graf sikel dengan tambahan n
anting memenuhi pelabelan total ajaib sisi kuat untuk ๐ โฅ 3 dan ๐ ganjil
dengan konstanta ajaib ๐ =11๐+3
2. โก
Contoh:
Pelabelan total ajaib sisi kuat pada ๐ถ๐ + ๐๐ด1, ๐ = 5, ๐ =11(5)+3
2= 29.
๐ค ๐ฃ1 =2 5 + 1 + 1
2= 6
๐ค ๐ฃ2 =3(5) + 2 + 1
2= 9
๐ค ๐ฃ3 =2 5 + 3 + 1
2= 7
๐ค ๐ฃ4 =3(5) + 4 + 1
2= 10
๐ค ๐ฃ5 =2 5 + 5 + 1
2= 8
๐ค ๐ฃ6 = 5 โ 1 = 4
๐ค ๐ฃ7 = 5 โ 2 = 3
๐ค ๐ฃ8 = 5 โ 3 = 2
๐ค ๐ฃ9 = 5 โ 4 = 1
๐ค ๐ฃ10 = 5
๐ค ๐1,2 = 3 5 โ 1 = 14
๐ค ๐2,3 = 3 5 โ 2 = 13
๐ค ๐3,4 = 3 5 โ 3 = 12
๐ค ๐4,5 = 3 5 โ 4 = 11
๐ค ๐1,5 = 3 5 = 15
๐ค ๐1,6 =7(5) + 1 + 2
2= 19
๐ค ๐2,7 =6(5) + 2 + 2
2= 17
๐ค ๐3,8 =7(5) + 3 + 2
2= 20
๐ค ๐4,9 =6(5) + 4 + 2
2= 18
๐ค ๐5,10 = 3 5 + 1 = 16
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
Gambar 3.7 Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada ๐ถ5 + 5๐ด1, ๐ = 29
19
14
-1 1
15 6
9
7 10
8
4
3 5
2 1
13
-1 1
12
-1 1 18 20
17 16
๐ฃ๐+1
๐ฃ1
๐ฃ๐ ๐ฃ2
๐ฃ4 ๐ฃ3
๐ฃ๐+3
๐ฃ2๐
๐ฃ๐+4
๐ฃ๐+2
11
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
BAB 1V
PENUTUP
4.1. Kesimpulan
Berdasarkan hasil dari penelitian yang telah dilakukan, dapat
disimpulkan bahwa:
1. Pelabelan total ajaib sisi kuat berlaku pada graf sikel dengan tambahan n
anting untuk ๐ โฅ 3 dan ๐ ganjil dengan nilai konstanta ajaib c terletak
pada interval 9๐+3
2โค ๐ โค
11๐+3
2.
2. Nilai label titik dan sisi untuk pelabelan total ajaib sisi kuat pada graf
sikel dengan tambahan n anting untuk ๐ โฅ 3 dan ๐ ganjil dengan nilai
konstanta ajaib ๐ =9๐+3
2 dan ๐ =
11๐+3
2 adalah sebagai berikut:
a. Untuk ๐ =9๐+3
2
1) ๐ = 2๐ + 1, ๐ = 1, 3, 5, โฆ,
๐ค ๐ฃ๐ =
๐ + 1
2 ๐ = 1, 3, 5, โฆ , ๐
๐ + ๐ + 1
2 ๐ = 2, 4, 6, โฆ , ๐ โ 1
๐ค ๐ฃ๐+๐ =
3๐ + ๐ + 2
2 ๐ = 1, 3, 5, โฆ , ๐ โ 2
2 ๐ + 1 + ๐
2 ๐ = 2, 4, 6, โฆ , ๐ โ 1
๐ + 1 ๐ = ๐
๐ค ๐๐ ,๐+1 = 4๐ โ ๐ ๐ = 1, 2, 3, โฆ , ๐ โ 1
๐ค ๐1,๐ = 4๐ ๐ = ๐
๐ค ๐๐ ,๐+๐ = 3๐ โ ๐ ๐ = 1, 2, 3, โฆ , ๐ โ 13๐ ๐ = ๐
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
2) ๐ = 2๐ + 1, ๐ = 2, 4, 6, โฆ,
๐ค ๐ฃ๐ =
๐ + 1
2 ๐ = 1, 3, 5, โฆ , ๐
๐ + 1 + ๐
2 ๐ = 2, 4, 6, โฆ , ๐ โ 1
๐ค ๐ฃ๐+๐ = 2๐ โ ๐ + 1 ๐ = 1, 2, 3, โฆ , ๐
๐ค ๐๐ ,๐+1 = 4๐ โ ๐ ๐ = 1, 2, 3, โฆ , ๐ โ 1
๐ค ๐1,๐ = 4๐ ๐ = ๐
๐ค ๐๐ ,๐+๐ =
5๐ + ๐
2 ๐ = 1, 3, 5, โฆ , ๐
4๐ + ๐
2 ๐ = 2, 4, 6, โฆ , ๐ โ 1
b. Untuk ๐ =11๐+3
2
๐ค ๐ฃ๐ =
2๐ + ๐ + 1
2 ๐ = 1, 3, 5, โฆ , ๐
3๐ + ๐ + 1
2 ๐ = 2, 4, 6, โฆ , ๐ โ 1
๐ค ๐ฃ๐+๐ = ๐ โ ๐ ๐ = 1, 2, 3, โฆ , ๐ โ 1๐ ๐ = ๐
๐ค ๐๐ ,๐+1 = 3๐ โ ๐ ๐ = 1, 2, 3, โฆ , ๐ โ 1
๐ค ๐1,๐ = 3๐ ๐ = ๐
๐ค ๐๐ ,๐+๐ =
7๐ + ๐ + 2
2 ๐ = 1, 3, 5, โฆ , ๐ โ 2
6๐ + ๐ + 2
2 ๐ = 2, 4, 6, โฆ , ๐ โ 1
3๐ + 1 ๐ = ๐
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
4.2. Saran
Untuk penelitian selanjutnya dapat dikembangkan hasil dari penelitian
ini antara lain:
1. Penelitian untuk menyelidiki pola pelabelan total ajaib sisi kuat pada
graf sikel dengan tambahan n anting, ๐ โฅ 3 dan ๐ ganjil untuk nilai
konstanta ajaib 9๐+3
2< ๐ <
11๐+3
2.
2. Penelitian untuk menyelidiki pelabelan total ajaib sisi kuat pada graf
sikel dengan tambahan n anting untuk ๐ โฅ 3 dan ๐ genap.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
DAFTAR PUSTAKA
Chartrand, Gary & Ortrud R. Oellermann. 1993. Applied and Algorithmic Graph
Theory. New York: McGraw-Hill, Inc.
Goodaire, Edgar G., & Michael M. Parmenter. 1998. Discrete Mathematics with
Graph Theory. New York: Prentice-Hall, Inc.
Munir, Rinaldi. 2001. Matematika Diskrit. Bandung: Penerbit Informatika.
Septian, Cosmas W. 2011. Pelabelan Total Tak Ajaib Titik pada Graf Sikel
dengan Tambahan Satu Anting. Skripsi Pendidikan Matematika.
Yogyakarta: Universitas Sanata Dharma.
Suryadi H. S. 1996. Edisi I. Cetakan V. Teori Graf Dasar. Jakarta: Penerbit
Gunadarma.
Wallis, W. D. 2001. Magic Graph. New York: Hamilton Printing.
Yuliyanto, Benedictus D. 2012. Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada Graf Sikel
dengan Tambahan Dua Anting. Skripsi Pendidikan Matematika.
Yogyakarta: Universitas Sanata Dharma.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI