Upload
vantu
View
221
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
PELABELAN TOTAL AJAIB SISI PADA GRAF RODA
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan
Program Studi Pendidikan Matematika
Oleh:
Petrus Tri Hariyadi
NIM :121414080
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2017
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
i
PELABELAN TOTAL AJAIB SISI PADA GRAF RODA
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan
Program Studi Pendidikan Matematika
Oleh:
Petrus Tri Hariyadi
NIM : 121414080
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2017
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
SKRIPSII
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iii
SKRIPSI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iv
HALAMAN PERSEMBAHAN
Orang yang berhasil adalah orang bodoh yang tetap berjuang,dan orang
yang tidak menghasilkan apapun adalah
orang bijak yang berhenti berjuang
Celica, Rmkar
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
v
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini
tidak memuat karya atau bagian dari karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan
dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, 24 Agustus 2017
Penulis
Petrus Tri Hariyadi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vi
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI
KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:
Nama : Petrus Tri Hariyadi
NIM : 12 1414 080
Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada
Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:
Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Roda
Dengan demikian saya memberikan kepada Universitas Sanata Dharma hak
untuk menyiapkan, mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelola dalam bentuk
pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikan di internet
atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya
maupun member royalty kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya
sebagai penulis.
Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya
Dibuat di Yogyakarta
Pada Tanggal: 24 Agustus 2017
Yang menyatakan,
(Petrus Tri Hariyadi)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vii
ABSTRAK
Petrus Tri Hariyadi. 2017. Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Roda. Skripsi.
Program Studi Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu
Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.
Pelabelan Total Ajaib Sisi atau Edge Magic Total Labelings (ETML)
merupakan pemetaan bijektif 𝜆 dari 𝑉(𝐺) ∪ 𝐸(𝐺) ke bilangan asli {1,2,3, … , 𝑣 +
𝑒} dengan 𝑣 = |V(G)| dan 𝑒 = |E(G)| sedemikian sehingga untuk setiap sisi
𝑣𝑖,𝑣𝑗 ∈ 𝐸(𝐺) berlaku, 𝜆(𝑣𝑖) + 𝜆(𝑣𝑖 , 𝑣𝑗) + 𝜆(𝑣𝑗) = 𝑘 untuk setiap konstanta ajaib
𝑘. Graf roda 𝑊1,𝑛 merupakan graf yang dibangun dengan operasi penggabungan
pada graf lengkap 𝐾1 dengan graf sikel 𝐶𝑛 , dinotasikan 𝑊1,𝑛 = 𝐾1 + 𝐶𝑛 . Pada
skripsi ini, graf roda 𝑊1,𝑛 akan disebut 𝑊𝑛 . Tujuan penelitian ini adalah (1)
mengetahui apakah pelabelan total ajaib sisi berlaku pada graf roda, (2) mengetahui
bagaimana rentang nilai konstanta ajaib 𝑘, dan (3) mengetahui cara memberikan
label sisi dan titik pada graf roda untuk nilai konstanta ajaib k.
Hasil penelitian ini adalah (1) pelabelan total ajaib sisi berlaku pada graf
roda 𝑊𝑛 jika (𝑛 ≢ 3(𝑚𝑜𝑑 4)) , (2) melalui perhitungan dasar dengan
mempertimbangkan struktur graf roda diperoleh rentang nilai kosntanta ajaib 𝑘
yaitu 11𝑛+17
4≤ 𝑘 ≤
25𝑛+7
4, dan (3) pelabelan dilakukan secara iteratif dengan
memberikan label titik tengah (𝑐) dan titik lainnya (𝑣) sehingga diperoleh label
untuk jari-jari (𝑒), dan pelabelan label sisi (𝑠). Ada banyak cara memberikan label
elemen pada graf roda sehingga dibutuhkan suatu algoritma untuk pelabelan pada
graf roda. Algoritma pelabelan disimulasikan melalui program MATLAB 7.1.
Kata kunci : pelabelan total ajaib sisi, graf roda
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
ABSTRACT
Petrus Tri Hariyadi. 2017. Edge-Magic Total Labelings on Wheel.
Undergradute Thesis. Mathematics Education Study, Faculty of Teacher
Training and Education Science, Sanata Dharma University, Yogyakarta.
Edge-magic total labeling is one-to-one function of 𝜆 from 𝑉(𝐺) ∪ 𝐸(𝐺)
into the integer {1,2,3, … , 𝑣 + 𝑒} with 𝑣 = |V(G)| and 𝑒 = |E(G)| if there is so that
for every 𝑣𝑖,𝑣𝑗 ∈ 𝐸(𝐺), 𝜆(𝑣𝑖) + 𝜆(𝑣𝑖 , 𝑣𝑗) + 𝜆(𝑣𝑗) = 𝑘 for every magic constant 𝑘.
Wheel 𝑊1,𝑛 is the join of 𝐾1 with 𝐶𝑛 , that is 𝑊1,𝑛 = 𝐾1 + 𝐶𝑛 . In this thesis, the
wheel 𝑊1,𝑛 is called 𝑊𝑛. The purpose of this thesis were (1) to know whether the
graph wheel has edge-,magic total labeling, (2) to know to interval magic constant
𝑘, and (3) to know how to label the elements of wheel with magic constant 𝑘.
The product of the research are (1) graph wheel has edge-magic total
labeling if (𝑛 ≢ 3(𝑚𝑜𝑑 4)), (2) with basic counting of computing which consider
to the structure of wheel, The feasiable range of magic constant 𝑘 is 11𝑛+17
4≤ 𝑘 ≤
25𝑛+7
4, and (3) labeling is started by attempting possible label for central vertex (𝑐)
and another vertex (𝑣), spoke edge (𝑒) and rim edge (𝑠) done iteratively. There are
many ways to label the element of wheel therefore a labeling algorithm of wheel is
needed.Labeling algorithm is simulated through the MATLAB 7.1 Program.
Keywords : edge-magic total labeling, wheel
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ix
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kepeda Tuhan Yang Maha Esa, karena
hanya dengan berkat dan karunia-Nya, serta campur tangan-Nya, penulis dapat
menyelesaikan skripsi yang berjudul “Pelabelan Total Ajaib Sisi pada Graf Roda”
dengan baik.
Pada kesempatan ini penulis juga mengucapkan rasa terima kasih
kepada:
1. Bapak Dominikus Arif Budi Prasetyo, S.Si., M.Si., selaku dosen
pembimbing yang sudah meluangkan waktu dan dengan sabar membimbing
penulis, sehingga skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik.
2. Bapak Dr. Hongki Julie, M.Si. selaku Ketua Program Studi Pendidikan
Matematika dan Dosen Pembimbing Akademik.
3. Bapak Drs. Sugiarto Pudjohartono, M.T. selaku Dosen Pembimbing
Akademik dari tahun 2012-2017.
4. Segenap Dosen JPMIPA yang telah membantu dan memberikan setelah
penulis menempuh kuliah, sehingga akhirnya penulis dapat menyelesaikan
studi.
5. Segenap Staf Sekretariat JPMIPA yang telah membantu dalam hal
administrasi kampus selama penulis melakukan studi.
6. Keluarga yaitu Bapak Supardi, Ibu Maria, Mas Eko dan Desi yang selalu
memberikan dukungan serta doa kepada penulis sehingga skripsi ini dapat
diselesaikan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
7. Segenap keluarga, terutama Mbah Cipto, Le Tar, Le Topik, Le To, Mbah
Nem, Le Yatno dan Mas Heri yang selalu memberikan semangat, motivasi,
serta inspirasi kepad penulis sehingga penulis mampu menyelesaikan studi.
8. Nataya, Veronica dan Bella yang memberikan semangat dan dukungan yang
sangat berarti bagi penulis selama menjalani studi.
9. Remon, Bintang, Andi, Jepri, Setya, Ricat, David, Gesta dan Fauzi yang
memberikan dukungan kepada penulis selama studi.
10. Semua teman dari program studi Pendidikan Matematika angkatan 2012
yang memberikan dukungan kepada penulis selama studi.
11. Seluruh anggota dari Menwa Ignatian Universitas Sanata Dharma yang
selalu memberikan hal-hal baru kepada penulis.
12. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang telah membantu
sehingga penulis dapat menyelesaikan studi.
Akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini dapat berguna bagi para
pembaca.
Penulis,
Petrus Tri Hariyadi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xi
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ............................................................................................... i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ..................................................... ii
HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................... iii
HALAMAN MOTTO ............................................................................................ iv
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ..................................................................v
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH .. vi
ABSTRAK ............................................................................................................ vii
ABSTRACT ........................................................................................................... viii
KATA PENGANTAR ........................................................................................... ix
DAFTAR ISI .......................................................................................................... xi
DAFTAR GAMBAR ........................................................................................... xiii
DAFTAR NOTASI .............................................................................................. xvi
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang ..................................................................................................... 1
B. Batasan Masalah .................................................................................................. 5
C. Rumusan Masalah ............................................................................................... 5
D. Tujuan Penelitian ................................................................................................ 5
E. Manfaat Penelitian .............................................................................................. 6
F. Metode Penelitian................................................................................................ 6
G. Sistematika Penulisan ......................................................................................... 7
BAB II KAJIAN PUSTAKA
A. Pengertian Graf .................................................................................................... 8
B. Jenis-jenis Graf .................................................................................................. 13
C. Pelabelan Graf ................................................................................................... 21
D. Dualitas Graf ...................................................................................................... 27
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xii
BAB III PELABELAN TOTAL AJAIB SISI PADA GRAF RODA
A. Perhitungan Dasar Pelabelan Total Ajaib Sisi .............................................. 28
B. Perhitungan Dasar Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Roda.................. 30
1. Batas Total Label Titik 𝑆𝑣 ...................................................................30
2. Batas Nilai Konstanta Ajaib k Untuk Setiap Graf Roda ......................31
3. Batas Nilai Titik Pusat c untuk Konstanta Ajaib k ..............................33
4. Pelabelan Titik dan Sisi Pada Graf Roda .............................................37
C. Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Roda ................................................... 38
1. Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Roda 𝑛 ≡ 0𝑚𝑜𝑑4 ....................39
2. Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Roda 𝑛 ≡ 1𝑚𝑜𝑑4 ....................40
3. Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Roda 𝑛 ≡ 2𝑚𝑜𝑑4 ....................41
4. Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Roda 𝑛 ≡ 3𝑚𝑜𝑑4 ....................42
BAB IV ALGORITMA PELABELAN TOTAL AJAIB SISI PADA GRAF RODA
A. Proses Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Roda ...................................... 44
B. Diagram Alir Pelabelan Total Ajaib Sisi pada Graf Roda ........................... 46
1. Bagian Input (Menginput nilai 𝑛 dan 𝑘) ..............................................47
2. Bagian Pengolahan (Program perulangan) ..........................................48
3. Bagian Output (Mengeluarkan hasil) ...................................................52
C. Deskripsi Algoritma Pelabelan Total Ajaib Sisi pada Graf Roda .............. 52
1. Bagian Input (Menginput nilai 𝑛 dan 𝑘) ..............................................52
2. Bagian Pengolahan (Program perulangan) ..........................................53
3. Bagian Output (Mengeluarkan hasil) ...................................................58
D. Simulasi Pelabelan Total Ajaib Sisi pada Graf Roda ................................... 58
E. Kekurangan pelabelan dengan menggunakan software MATLAB 7.1 ....... 63
F. Contoh Pemanfaatan Pelabelan Total Ajaib Sisi pada Graf Roda .............. 64
BAB V PENUTUP
A. Kesimpulan ........................................................................................................ 69
B. Saran ................................................................................................................... 70
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................71
LAMPIRAN ...........................................................................................................72
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
DAFTAR GAMBAR
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1.1 Diagram Alir Enkripsi dan Deskripsi ………………………... 2
Gambar 1.2 Proses Enkripsi dan Deskripsi sebuah pesan ………………… 2
Gambar 1.3 Pelabelan total ajaib sisi pada 𝑊6 dengan 𝑘 = 38 …………… 4
Gambar 2.1 Graf 𝐺1 dan 𝐺2………………………………………………… 8
Gambar 2.2 Bukan Graf …………………………………………………… 9
Gambar 2.3 Graf 𝐺3………………………………………………………... 9
Gambar 2.4 Graf 𝐺4………………………………………………………… 10
Gambar 2.5 Graf 𝐺5………………………………………………………... 11
Gambar 2.6 Graf Sederhana …..…………………………………………… 13
Gambar 2.7 Graf Tidak Sederhana
(a) graf ganda,
(b) graf semu ………………………………………………… 14
Gambar 2.8 Graf tidak berhingga ………………………………………… 15
Gambar 2.9 Graf tidak berarah …………………………………………… 16
Gambar 2.10 Graf berarah ………………………………………………….. 16
Gambar 2.11 Graf lengkap …………………………………………………. 17
Gambar 2.12 Graf sikel …………………………………………………….. 17
Gambar 2.13 Graf teratur …………………………………………………... 18
Gambar 2.14 Graf Lengkap 𝐾4 merupakan Graf Planar ……………………. 18
Gambar 2.15 Graf Lengkap 𝐾5 merupakan Graf Tidak Planar ……………... 19
Gambar 2.16 Operasi penggabungan graf ………………………………...... 20
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiv
Gambar 2.17 Graf roda …………………………………………………….. 20
Gambar 2.18 Penamaan elemen graf roda …………………………………. 21
Gambar 2.19 Label elemen graf roda ………………………………………. 22
Gambar 2.20 Pelabelan titik pada graf roda ………………………………... 22
Gambar 2.21 Pelabelan sisi pada graf roda ………………………………… 22
Gambar 2.22 Pelabelan total pada graf roda ……………………………….. 23
Gambar 2.23 Pelabelan total ajaib sisi pada graf roda 𝑊6 ………………… 25
Gambar 3.1 Pelabelan pada graf roda …………………………………….. 29
Gambar 3.2 Pelabelan pada graf roda …………………………………….. 34
Gambar 4.1 Diagram Alir Proses Pelabelan ………………………………. 46
Gambar 4.2 Diagram input nilai 𝑛 dan 𝑘 …………………………………. 47
Gambar 4.3 Diagram label 𝑐, 𝑣1 dan 𝑒1 …………………………………... 49
Gambar 4.4 Diagram label 𝑣, 𝑒 dan 𝑠1 sampai 𝑠𝑛−1 ……………………… 50
Gambar 4.5 Diagram label𝑠𝑛 …………………………………………….. 51
Gambar 4.6 Diagram output label 𝑐, 𝑣, 𝑒 dan 𝑠 …………………………… 52
Gambar 4.7 Tampilan awal pada 𝑐𝑜𝑚𝑚𝑎𝑛𝑑 𝑤𝑖𝑛𝑑𝑜𝑤 …………………… 58
Gambar 4.8 Tampilan input 𝑛 = 5 pada 𝑐𝑜𝑚𝑚𝑎𝑛𝑑 𝑤𝑖𝑛𝑑𝑜𝑤 …………… 59
Gambar 4.9 Tampilan hasil pelabelan dengan 𝑛 = 5 dan 𝑘 = 25 pada
𝑐𝑜𝑚𝑚𝑎𝑛𝑑 𝑤𝑖𝑛𝑑𝑜𝑤 …………………………………………. 59
Gambar 4.10 Tahap pertama ilustrasi hasil pelabelan ………………….…… 60
Gambar 4.11 Tahap kedua ilustrasi hasil pelabelan ………………………… 60
Gambar 4.12 Tahap ketiga ilustrasi hasil pelabelan ………………………… 61
Gambar 4.13 Tahap keempat ilustrasi hasil pelabelan ……………………… 62
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xv
Gambar 4.14 Tahap kelima ilustrasi hasil pelabelan ……………………….. 62
Gambar 4.15 Pelabelan total ajaib sisi pada 𝑊6 …………..………………… 64
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xvi
DAFTAR NOTASI
V(G) Himpunan titik di G
E(G) Himpunan sisi di G
𝑣𝑖 Titik ke-i
𝑣𝑖 , 𝑣𝑗 Sisi yang menghubungkan titik 𝑣𝑖 dengan 𝑣𝑗
𝑒𝑖 Sisi ke-i
Dalam graf roda berupa sisi pada jari-jari di mana 𝑒𝑖 bersisian dengan
𝑐 dan 𝑣𝑖
|𝑉(𝐺)| Order (banyaknya titik) pada G
|𝐸(𝐺)| Ukuran (banyaknya sisi) pada G
𝑑(𝑣𝑖) Degree (banyaknya sisi yang bersisian) pada titik 𝑣𝑖
𝐺 + 𝐻 Operasi penggabungan (Join) graf G dengan graf H
c Dalam graf roda berupa titik pusat
𝑠𝑖 Dalam graf roda berupa sisi pada sikel di mana 𝑠𝑖 bersisian dengan 𝑣𝑖
dan 𝑣𝑖+1
𝜆(𝑣𝑖) Label pada titik 𝑣𝑖
𝜆(𝑣𝑖 , 𝑣𝑗) Label pada sisi yang menghubungkan titik 𝑣𝑖 dengan 𝑣𝑗
𝑤𝑡(𝑣𝑖) Bobot pada titik 𝑣𝑖
𝑤𝑡(𝑣𝑖, 𝑣𝑗) Bobot pada sisi yang menghubungkan titik 𝑣𝑖 dengan 𝑣𝑗
𝑆𝑣 Jumlah semua label titik
𝑆𝑒 Jumlah semua label sisi
𝑆𝑤 Jumlah semua bobot sisi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Ada berbagai permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang dapat
dimodelkan dalam diagram titik dan garis. Titik merepresentasikan objek
permasalahan dan garis merepresentasikan hubungan antara objek. Permodelan
semacam ini secara khusus dipelajari dalam matematika pada pokok bahasan
graf.
Representasi semacam ini dirasakan manfaatnya pada berbagai bidang
antara lain dalam perencanaan jalur transportasi, optimasi jaringan komunikasi,
model ikatan kimia, perencanaan alur pengunjung pameran, perancanaan
jaringan elekrik, dll.
Pelabelan graf merupakan kajian yang terdapat dalam teori graf yang
berkembang dan banyak diteliti. Kajian ini pertama kali diperkenalkan oleh
Sadlacek pada tahun 1963. Kemudian dikembangkan Steward pada tahun 1966
dan pada tahun 1970, Kotzig dan Rosa membahasnya dengan istilah valuation
dalam Wallis (2001). Pelabelan graf juga memiliki aplikasi yang cukup luas
dalam berbagai bidang seperti x-ray, kriptografi, sistem biometrik, radar
astronomi, desain sirkuit dan desain jaringan komunikasi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
Sebagai contoh dalam kriptografi penggunaan Mesin Enigma untuk
merubah sebuah pesan menjadi sebuah pesan acak (Enkripsi) dan merubah
pesan acak tersebut menjadi pesan yang sesungguhnya (Deskripsi) melalui
algoritma tertentu.
Gambar 1.1 Diagram Alir Enkripsi dan Deskripsi
Gambar 1.2 Proses Enkripsi dan Deskripsi sebuah pesan
Pada beberapa kasus, solusi dari permasalahan-permasalahan tersebut dapat
ditemukan dengan melakukan pelabelan pada sisi atau titiknya.
Pelabelan graf merupakan pelabelan yang memetakan setiap elemen graf ke
bilangan asli, beberapa jenis pelabelan menurut himpunan asalnya, yaitu
pelabelan titik (vertex labelings), pelabelan sisi (edge labeling) dan pelabelan
total (total labeling). Pelabelan titik merupakan pelabelan dengan himpunan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
asal berupa titik, pelabelan sisi merupakan pelabelan dengan himpunan asal
berupa sisi, sedangkan pelabelan total adalah pelabelan yang himpunan asalnya
adalah titik dan sisi.
Bila pelabelan yang dilakukan memenuhi suatu nilai tertentu, maka
pelabelan graf dibedakan menjadi dua yakni pelabelan ajaib (magic labeling)
dan pelabelan tidak-ajaib (antimagic labeling). Pada pelabelan ajaib, bobot
elemen graf yang dievaluasai memenuhi suatu nilai tertentu, nilai ini selalu tetap
untuk semua elemen yang dievaluasi dan disebut konstanta ajaib. Sedangkan
pada pelabelan tidak-ajaib, nilai bobot elemen graf yang dievaluasi berbeda satu
dengan yang lainnya.
Pada penerapan pelabelan, bobot elemen yang dievaluasi dapat berupa titik
maupun sisi, sehingga terdapat banyak penerapan yang dapat digunakan.
Pelabelan total ajaib sisi merupakan pelabelan yang memetakan setiap
himpunan sisi dan titik ke himpunan bilangan asli {1,2,3,…, e + v} di mana e
dan v secara beruntun menyatakan banyaknya sisi dan titik, sedemikian hingga
jumlahan dari label sisi dan titik yang bersisian sama/konstan. Wallis (2001).
Pelabelan graf tersebut dapat diterapkan untuk memecahkan suatu
permasalahan dengan menggunakan model tertentu, sehingga label pada setiap
elemen yang dievaluasi dapat terhubung. Pada penerapannya, pelabelan total
ajaib sisi pada graf roda dapat digunakan sebagai kode yang diterapkan pada
suatu kartu, dimana kartu tersebut dapat digunakan untuk menggunakan dua
buah akses antara lain berdasarkan label yang terdapat pada kartu sebagai akses
untuk membuka suatu ruangan dan berdasarkan nilai konstanta ajaib yang di
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
terapkan pada kartu tersebut sebagai akses untuk menggunakan lift pada suatu
bangunan bertingkat.
Gambar 1.3 Pelabelan total ajaib sisi pada 𝑊6 dengan 𝑘 = 38
Sebagai contoh pada lantai 6 sebuah bangunan, terdapat 12 ruangan berbeda
di mana setiap ruangan memiliki kodenya masing-masing. Ruangan tersebut
hanya dapat dibuka dengan menggunakan kartu yang memiliki kode yang sama.
Misalkan kode pada ruangan 601 adalah 160319 sedangkan pada ruangan 602
adalah 160517. Pada saat menggunakan lift dari kedua kartu tersebut langsung
terintegrasi dengan lantai 6 karena nilai konstanta ajaib yang diterapkan pada
kedua kartu tersebut adalah 38.
Dalam penelitiannya, Kristinawati (2015) telah membuktikan bahwa
pelabelan total ajaib dengan model roda dengan bobot elemen yang dievaluasi
adalah titik dapat diberikan label dengan batasan banyaknya titik pada sikel
terletak pada (3 ≤ 𝑛 ≤ 11).
Berdasarkan penelitaian yang telah dilakukan oleh Kristinawati, peneliti
tertarik untuk meneliti pelabelan total ajaib dengan roda sebagai modelnya.
Pada penelitian ini, bobot elemen yang akan dievaluasi adalah sisi.
8
12 18
3
17
15 9
13
11
6
2
16
1
7
5
19
4 10
14
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
B. Batasan Masalah
Pada skripsi ini akan dibahas graf roda 𝑊𝑛 dan pelabelan total ajaib sisi pada
suatu nilai konstanta ajaib k tertentu. Algoritma pelabelan disimulasikan
menggunakan program MATLAB 7.1 untuk suatu nilai konstanta ajaib k
tertentu.
C. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang dan batasan masalah di atas, rumusan masalah yang
akan dibahas dalam tugas akhir ini adalah
1. Apakah pelabelan total ajaib sisi berlaku pada graf roda?
2. Bagaimana rentang nilai konstanta ajaib yang terbentuk dalam pelabelan
total ajaib sisi pada graf roda?
3. Bagaimana cara memberikan label sisi dan titik pada graf roda untuk nilai
konstanta ajaib k?
D. Tujuan Penelitian
1. Mengetahui apakah pelabelan total ajaib sisi berlaku pada graf roda.
2. Mengetahui bagaimana rentang nilai konstanta ajaib yang terbentuk dalam
pelabelan total ajaib sisi pada graf roda.
3. Mengetahui cara memberikan label sisi dan titik pada graf roda untuk nilai
konstanta ajaib k.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
E. Manfaat Penelitian
Manfaat penelitian ini adalah
1. Menambah wawasan mengenai pelabelan total ajaib sisi pada graf roda dan
rentang nilai konstanta ajaib k yang terbentuk.
2. Dapat memberikan label sisi dan titik pada graf roda dengan menetukan
nilai konstanta ajaibnya.
F. Metode Penelitian
Penelitian dalam tugas akhir ini adalah penelitian pustaka (literature research)
yang mengacu pada buku Magic Graph oleh W. D. Walis (2001).
Penelitian ini menggunakan pendekatan kualitatif, sehingga pola pembahasan
dimulai dari hal-hal khusus (induktif) menuju pada sebuah generalisasi yang
bersifat umum (deduktif).
Secara garis besar langkah-langkah penelitian ini sebagai berikut:
1. Mengumpulkan literatur yang berhubungan dengan graf roda 𝑊𝑛.
2. Mempelajari graf roda 𝑊𝑛.
3. Menganalisa sifat-sifat pelabelan total ajaib sisi.
4. Menentukan apakah pelabelan total ajaib sisi berlaku pada roda 𝑊𝑛, dan
menentukan rentang nilai konstanta ajaibnya.
5. Menentukan cara memberikan label sisi dan titik pada graf roda untuk nilai
konstanta ajaib tertentu.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
G. Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan tugas akhir ini dibagi menjadi lima bagian, yakni
Bab I : Pendahuluan
Pada bab ini dijelaskan tentang latar belakang, rumusan masalah, pembatasan
masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, metode penelitian dan
sistematika penulisan.
Bab II : Kajian Pustaka
Pada bab ini dijelaskan tentang teori graf dasar, jenis-jenis graf, pelabelan graf
dan kerangka berpikir.
Bab III : Pelabelan Total Ajaib Sisi pada Graf Roda
Pada bab ini dianalisis menganai perhitungan dasar untuk menentukan nilai
konstanta ajaib, dan rentang konstanta ajaib berdasarkan struktur graf roda.
Bab IV : Algoritma Pelabelan Total Ajaib Sisi pada Graf Roda
Algoritma pelabelan total ajaib sisi pada graf roda dan simulasinya.
Bab V : Penutup
Pada bab ini dijelaskan kesimpulan dari pembahasan yang telah diuraikan pada
bab sebelumnya serta saran-saran yang berkaitan dengan pembahasan tersebut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
BAB II
KAJIAN PUSTAKA
A. Pengertian Graf
Dalam mempelajari graf, terdapat beberapa teori dasar untuk mendukung
pembuktian dan mempermudah pemahaman. Googaire dan Parmenter (1998)
mendefinisikan graf sebagai:
Definisi 2.1 Graf (Googaire dan Parmenter, 1998)
Graf adalah himpunan pasangan G = (V,E) di mana V(G) adalah himpunan
tak kosong dan himpunan pasangan elemen yang berbeda pada E(G).
Elemen V(G) disebut titik (vertex) dan elemen E(G) disebut sisi (edge). Jika
e ∈ E(G) maka e merupakan himpunan pasangan e = (𝑣𝑖, 𝑣𝑗 ) di mana
𝑣𝑖 , 𝑣𝑗 ∈ V(G) di mana 𝑣𝑖 dan 𝑣𝑗 disebut titik ujung dari e atau dengan kata
lain e =(𝑣𝑖, 𝑣𝑗) yang menghubungkan titik 𝑣𝑖 dan 𝑣𝑗 .
Chartrand dan Oellermann (1993) mengemukakan bahwa secara geografis
graf dapat digambarkan dengan sekumpulan titik pada bidang dimensi dua yang
dihubungkan dengan sekumpulan sisi.
(a) Graf 𝐺1 (b) Graf 𝐺2
Gambar 2.1 Graf
𝑣1
𝑣2
𝑣3
𝑣4 𝑣2 𝑣5
𝑒1 𝑣1
𝑒3
𝑒4 𝑒6
𝑒2
𝑣3 𝑣4 𝑒5
𝑣6
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
Gambar 2.2 Bukan Graf
Pada Gambar 2.2 bukan merupakan suatu graf karena tidak memenuhi
Definisi 2.1 yaitu V(G) himpunan kosong.
Dengan mendalami pengertian pada Definisi 2.1, himpunan di V(G) pada
sebuah graf bukanlah himpunan kosong sehingga dapat dipastikan terdapat
minimal sebuah unsur di V(G) pada sebuah graf. Banyaknya unsur yang
terdapat pada V(G) menentukan order dari graf tersebut.
Definisi 2.2 Order (Googaire dan Parmenter, 1998)
Banyaknya unsur di V(G) pada graf tersebut disebut order dari G
dilambangkan dengan |V(G)|.
Pada Gambar 2.1 (a), banyaknya unsur V(G) pada graf 𝐺1 adalah 4 sehingga
order dari graf 𝐺1 atau |V(G)| = 4
Berdasarkan Definisi 2.1 diketahui bahwa V(G) bukanlah himpunan kosong
sehingga |V(G)| lebih besar sama dengan satu. Antara satu unsur V(G) dengan
yang lainnya dimungkinkan adanya unsur E(G) yang menghubungkan dua buah
unsur V(G) seperti gambar dibawah ini.
Gambar 2.3 Graf 𝐺3
𝑣1
𝑣2
𝑣3
𝑣4
𝑣5
𝑒5
𝑒1
𝑒2 𝑒3
𝑒4
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
Dengan memperhatikan Gambar 2.3 graf 𝐺3, antara satu unsur V(G) dengan
yang lainnya ada yang dihubungkan melalui E(G) dan ada yang tidak. Titik 𝑣1
bertetangga dengan titik 𝑣2 dan 𝑣4 karena adanya unsur E(G) yaitu e yang
menghubungkan dua buah titik tersebut, tetapi titik 𝑣1 tidak bertetangga dengan
𝑣3 dan 𝑣5.
Definisi 2.3 Ketetanggaan (Munir, 2001)
Dua titik 𝑣𝑖 dan 𝑣𝑗 pada graf G dikatakan bertetangga bila terdapat sisi yang
menghubungkan kedua titik tersebut. e = (𝑣𝑖, 𝑣𝑗) ∈ E(G) di mana 𝑣𝑖 ≠ 𝑣𝑗 .
Gambar 2.4 Graf 𝐺4
Dengan adanya Definisi 2.3, diantara dua titik yang bertetangga pasti
terdapat sisi e yang menghubungkan kedua titik tersebut, tetapi tidak terdapat
batasan berapa banyaknya sisi yang menghubungkan kedua titik yang
bertetangga tersebut. Pada Gambar 2.4 graf 𝐺4 memiliki lebih dari satu sisi yang
menghubungkan kedua titik 𝑣1 dan 𝑣2 yaitu 𝑒4 dan 𝑒7.
Definisi 2.4 Sisi ganda (Munir, 2001)
Graf G dikatakan memiliki sisi ganda jika pada graf G tersebut terdapat titik
𝑣𝑖 dan 𝑣𝑗 yang dihubungkan oleh lebih dari satu sisi.
𝑣1
𝑣2
𝑣3
𝑣4
𝑒1
𝑒2 𝑒3
𝑒4 𝑒5
𝑒6
𝑒7
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
Dengan adanya Definisi 2.3, diantara dua titik yang bertetangga pasti
terdapat sisi e yang menghubungkan kedua titik tersebut, oleh sebab itu sisi e
akan bersisian dengan kedua titik tersebut. Sebagai contoh pada Gambar 2.4 sisi
𝑒1 bersisian dengan titik 𝑣1 dan 𝑣2, tetapi tidak bersisian dengan 𝑣4.
Definisi 2.5 Bersisian (Munir, 2001)
Untuk sembarang sisi 𝑒 = (𝑢, 𝑣) dikatakan 𝑒 bersisisan dengan titik 𝑢 dan
𝑒 bersisian dengan titik 𝑣.
Gambar 2.5 Graf 𝐺5
Dengan mendalami Definisi 2.5, di mana sebuah sisi dikatakan bersisian
dengan dua buah titik yang dihubungkan oleh sisi tersebut, tetapi tidak terdapat
batasan apakah kedua titik yang dihubungkan oleh sisi tersebut merupakan titik
yang berbeda. Seperti pada Gambar 2.5 graf 𝐺5 terdapat sebuah sisi 𝑒8 yang
menghubungkan sebuah dua buah titik yang sama yaitu 𝑣4 . Sisi yang
menghubungkan dua buah titik yang sama disebut gelang.
Definisi 2.6 Gelang (Munir, 2001)
Gelang (loop) merupakan sisi yang bersisian dengan dua buah titik yang
sama. Jika 𝑒 = (𝑢, 𝑢) maka 𝑒 adalah gelang.
𝑣1
𝑣2
𝑣3
𝑣4
𝑒1
𝑒2 𝑒3
𝑒4 𝑒5
𝑒6
𝑒7 𝑒8
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
Berdasarkan Definisi 2.5 sebuah titik bersisian dengan sebuah sisi jika sisi
tersebut menghubungkan dua buah titik namun tidak terdapat batasan mengenai
banyaknya sisi yang bersisian dengan titik tersebut, sehingga banyaknya sisi
yang bersisian dengan sebuah titik dapat dinyatakan derajat dari titik tersebut.
Definisi 2.7 Derajat (Munir, 2001)
Derajat (degree) titik v atau d(v) adalah banyaknya sisi yang bersisian dengan
titik v.
Jika 𝑑(𝑣𝑖) = 0 maka 𝑣𝑖 disebut titik terisolasi (isolated vertex).
Jika 𝑑(𝑣𝑖) = 1, maka 𝑣𝑖 disebut antingan (pendant vertex).
Pada sembarang gelang 𝑒 = (𝑣𝑖, 𝑣𝑖), 𝑑(𝑣𝑖) = 2.
Berdasarkan Gambar 2.5 diketahui bahwa:
𝑣1 bersisian dengan 𝑒1, 𝑒4 dan 𝑒7 sehingga 𝑑(𝑣1) = 3
𝑣2 bersisian dengan 𝑒1, 𝑒2 dan 𝑒5 sehingga 𝑑(𝑣2) = 3
𝑣4 bersisian dengan 𝑒3, 𝑒4, 𝑒5𝑒6, 𝑒7 dan gelang 𝑒8 sehingga 𝑑(𝑣3) = 7
Berdasarkan Definisi 2.3 di mana dua titik dikatakan bertetangga jika
terdapat sisi yang menghubungan kedua titik tersebut. Banyaknya sisi pada
sebuah graf menyatakan ukuran (size) dari graf tersebut.
Definisi 2.8 Ukuran (Googaire dan Parmenter, 1998)
Banyaknya unsur pada E(G) disebut ukuran (size) dari G dilambangkan
dengan |E(G)|.
Pada Gambar 2.1 (b), banyaknya unsur E(G) pada graf 𝐺2 adalah 6 sehingga
order dari graf 𝐺2 atau |E(G)| = 6
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
B. Jenis-jenis Graf
Dengan banyaknya kemungkinan bentuk graf, graf dapat dibagi menjadi
beberapa jenis. Berikut ini pembagian jenis graf menurut sifat-sifat yang
terdapat pada graf:
1. Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada suatu graf
Dengan banyaknya bentuk-bentuk graf, mungkin saja terdapat sisi
ganda pada graf tersebut sehingga graf dikelompokan menjadi dua yakni:
Definisi 2.9 Graf sederhana (Munir, 2001)
Graf sederhana merupakan graf yang tidak mengandung gelang maupun
sisi ganda. Berikut ini pada Gambar 2.6 merupakan contoh dari graf
sederhana.
Gambar 2.6 Graf sederhana
Definisi 2.10 Graf tidak sederhana (Munir, 2001)
Graf tidak sederhana merupakan graf yang mengandung gelang atau sisi
ganda.
𝑣1
𝑣2
𝑣3
𝑣4
𝑒1
𝑒2 𝑒3
𝑒4
𝑒5
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
Graf tidak sederhana dibedakan menjadi dua macam, yakni:
Gambar 2.7 Graf tidak sederhana
a. Graf ganda (𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑔𝑟𝑎𝑝ℎ) adalah graf yang mengandung sisi
ganda. Graf pada Gambar 2.7 (a) adalah contoh graf ganda.
b. Graf semu (𝑝𝑠𝑒𝑢𝑑𝑜𝑔𝑟𝑎𝑝ℎ) graf yang mengandung sisi ganda dan
gelang. Graf pada Gambar 2.7 (b) merupakan contoh graf semu.
Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada suatu graf,
peneliti akan meneliti mengenai graf sederhana.
2. Berdasarkan banyaknya titik pada suatu graf
Berdasarkan Definisi 2.1 di mana graf dikatakan benar sebuah graf jika
V(G) adalah himpunan tak kosong, tetapi tidak terdapat batasan banyaknya
himpunan yang terdapat V(G) berhingga ataupun tidak, sehingga
dimungkinkan graf dikelompokan menjadi dua macam, yakni:
Definisi 2.11 Graf berhingga (Munir, 2001)
Graf berhingga merupakan graf yang banyaknya titik berhingga.
Graf pada Gambar 2.7 merupakan contoh graf berhingga.
𝑣1
𝑣2
𝑣3
𝑣4
𝑒1
𝑒2 𝑒3
𝑒4 𝑒5
𝑒6
𝑒7 𝑣1
𝑣2
𝑣3
𝑣4
𝑒1
𝑒2 𝑒3
𝑒4 𝑒5
𝑒6
𝑒7 𝑒8
(a) Graf ganda (b) Graf semu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
Definisi 2.12 Graf tidak berhingga (Munir, 2001)
Graf tidak berhingga adalah graf yang banyak titik tidak berhingga.
Berikut ini pada Gambar 2.8 merupakan contoh dari graf tidak
berhingga.
Gambar 2.8 Graf tidak berhingga
Graf pada Gambar 2.8 merupakan contoh graf tidak berhingga karena
banyaknya titik pada Gambar 2.8 tidak berhingga.
Berdasarkan banyaknya titik pada suatu graf, peneliti akan meneliti
mengenai graf berhingga.
3. Berdasarkan arah pada sisi
Berdasarkan Definisi 2.3 di mana dua titik dikatakan bertetangga jika
terdapat sebuah sisi yang menghubungkan kedua titik tersebut, namun tidak
terdapat batasan mengenai arah pada sisi tersebut sehingga secara umum
graf dikelompokan menjadi dua jenis, yakni:
Definisi 2.13 Graf tidak berarah (Munir, 2001)
Graf tidak berarah adalah graf yang sisinya tidak memiliki arah sehingga
urutan pasangan titik yang dihubungkan tidak diperhatikan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
Gambar 2.9 Graf tidak berarah
Definisi 2.14 Graf berarah (Munir, 2001)
Graf berarah adalah graf yang setiap sisinya diberi arah, sehingga urutan
pasangan titik diperhatikan. Pada graf berarah (𝑣𝑖, 𝑣𝑗) berbeda dengan
(𝑣𝑗 , 𝑣𝑖) , sebab (𝑣𝑖 , 𝑣𝑗) 𝑣𝑖 adalah titik awal (𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑒𝑥) dan 𝑣𝑗
merupakan titik terminal (𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑒𝑥). Sementara pada (𝑣𝑗 , 𝑣𝑖)
berlaku sebaliknya. Sisi berarah pada graf berarah disebut busur (𝑎𝑟𝑐).
Berikut ini pada Gambar 2.10 merupakan contoh dari graf berarah.
Gambar 2.10 Graf berarah
Berdasarkan arah pada sisi, peneliti akan meneliti mengenai graf tidak
berarah.
Berdasarkan tiga jenis pengelompokan di atas, peneliti akan mengenai
tentang graf sederhana yang berhingga dan tidak tidak berarah.
𝑣1
𝑣2
𝑣3
𝑣4
𝑒1
𝑒2 𝑒3
𝑒4
𝑒5
𝑣1
𝑣2
𝑣3
𝑣4
𝑒1
𝑒2 𝑒3
𝑒4
𝑒5
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
Selain pengelompokan berdasarkan sifat-sifat di atas, terdapat beberapa
jenis graf sederhana khusus, antara lain:
1. Graf lengkap (𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑒 𝐺𝑟𝑎𝑝ℎ)
Graf lengkap adalah graf sederhana yang di mana setiap titiknya saling
bertetangga. Graf lengkap dengan 𝑛 buah simpul dilambangkan dengan 𝐾𝑛.
Gambar berikut ini merupakan contoh dari graf lengkap:
Gambar 2.11 Graf lengkap
2. Graf Sikel
Graf sikel 𝐶𝑛 merupakan graf sederhana yang setiap titiknya berderajat dua.
Graf sikel dengan 𝑛 buah simpul dilambangkan dengan 𝐶𝑛. Gambar berikut
ini merupakan contoh dari graf sikel:
Gambar 2.12 Graf sikel
𝐾1 𝐾2 𝐾3 𝐾4 𝐾5
𝐶3 𝐶4 𝐶5
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
3. Graf teratur (𝑅𝑒𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝐺𝑟𝑎𝑝ℎ)
Graf teratur adalah graf yang setiap titiknya memiliki derajat yang sama.
Graf lengkap 𝐾𝑛 adalah graf teratur berderajat (𝑛 − 1) . Graf sikel 𝐶𝑛
adalah graf teratur berderajat dua. Gambar berikut ini merupakan contoh
dari graf teratur:
Gambar 2.13 Graf teratur
4. Graf Planar (Planar Graph) dan Graf Bidang (Plane Graph)
Suatu graf disebut graf planar jika graf tersebut dapat digambarkan pada
bidang datar sedemikian sehingga tidak ada sisi yang berpotongan kecuali
di titik di mana keduanya bersisian. Graf planar yang digambarkan dengan
sisi-sisi yang tidak saling berpotongan dinamakan graf bidang. Suatu graf
mungkin saja planar meskipun biasanya digambarkan saling berpotongan,
karena graf tersebut dapat digambarkan dengan cara yang berbeda. Gambar
berikut ini akan memperjelas mengenai graf planar:
Gambar 2.14 Graf Lengkap 𝐾4 merupakan Graf Planar
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
Gambar 2.15 Graf Lengkap 𝐾5 merupakan Graf Tidak Planar
Penelitian dan perkembangan pokok bahasan graf, memunculkan beberapa
jenis graf baru. Graf tersebut diperoleh dengan melakukan operasi
penggabungan, penghapusan sisi atau titik (𝑒𝑑𝑔𝑒 𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑒𝑥 𝑑𝑒𝑙𝑒𝑡𝑖𝑛𝑔) pada
suatu graf.
Dua buah graf yang saling tidak terhubung dapat dibuat sebuah graf baru
dengan cara melakukan operasi penggabungan (Join).
Definisi 2.15 Penggabungan graf (Join) (Buckley & Lewinter, 2002)
Dua buah graf yang saling tidak terhubung (graf G dan graf H) dapat dibuat
sebuah graf baru dengan cara melakukan operasi penggabungan (Join).
Operasi penggabungan pada graf dapat dilakukan dengan cara menjadikan
setiap titik yang terdapat pada graf G bertetangga dengan setiap titik yang
terdapat pada graf H, dilambangkan dengan G + H.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
Berikut ini contoh operasi penggabungan pada graf:
Gambar 2.16 Operasi penggabungan graf
Graf roda 𝑊1,𝑛 merupakan graf yang dibangun dengan melakukan operasi
penggabungan pada graf lengkap 𝐾1 dengan graf sikel 𝐶𝑛 , dapat dinotasikan
𝑊1,𝑛 = 𝐾1 + 𝐶𝑛 . Selanjutnya pada skripsi ini, graf 𝑊1,𝑛 akan disebut 𝑊𝑛
dengan 𝑛 mengacu pada banyaknya titik padak graf sikel. Berikut ini beberapa
contoh graf roda 𝑊𝑛:
Gambar 2.17 Graf roda
Dengan memperhatikan cara terbentuknya, graf roda 𝑊𝑛 memiliki titik
(order) sebanyak (𝑛 + 1) dengan banyaknya sisi (size) yaitu 2𝑛 . Titik 𝑣1
sampai 𝑣𝑛 merujuk titik pada sikel. Sisi pada sikel mendapatkan label 𝑠1 sampai
𝑠𝑛. Sisi yang menghubungkan titik pusat dengan titik pada sikel disebut jari-
jari. Label jari-jari dapat dinyatakan pula dengan 𝑒𝑖 = {𝑐, 𝑣𝑖} untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛.
Pola penamaan secara grafis pada graf roda diperagakan pada gambar berikut.
𝑊3 𝑊4 𝑊5
(a) Graf 𝑃3 (b) Graf 𝑃5 (c) Graf (𝑃3
+ 𝑃5)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
Gambar 2.18 Penamaan elemen graf roda
Gambar 2.19 Label elemen graf roda
C. Pelabelan Graf
Dengan memperhatikan struktur yang terdapat pada suatu graf, graf tersebut
memiliki titik (order) sebanyak 𝑣 = |𝑉(𝐺)| dengan banyaknya sisi (size) yaitu
𝑒 = |𝐸(𝐺)|. Jika setiap elemen yang terdapat pada graf tersebut diberikan label,
maka banyaknya label yang akan diberikan pada graf tersebut sebanyak 𝑣 + 𝑒.
Pelabelan pada graf merupakan pelabelan yang memetakan setiap elemen pada
graf tersebut ke bilangan asli 1,2,3, … sebanyak elemen yang akan berikan label
pada graf tersebut.
Titik (𝑣)
Sisi (𝑠)
Jari-jari
(𝑒)
Titik tengah
(𝑐)
𝑣2
𝑣1
𝑣3
𝑣4
𝑣5 𝑣𝑛
𝑣𝑛−1
𝑣𝑛−2
𝑒1 𝑒2 𝑒3
𝑒4
𝑒5 𝑒𝑛
𝑒𝑛−1 𝑒𝑛−2
𝑠1 𝑠2
𝑠3
𝑠4 𝑠𝑛
𝑠𝑛−1
𝑠𝑛−2
𝑐
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
Berdasarkan Definisi 2.1 graf adalah himpunan pasangan G = (V,E) di mana
V(G) adalah himpunan tak kosong dan himpunan pasangan elemen yang
berbeda pada E(G), maka pelabelan graf merupakan pelabelan yang memetakan
setiap elemen pada graf ke bilangan asli. Pelabelan pada graf dibagi antara lain:
1. Pelabelan titik (𝑣𝑒𝑟𝑡𝑒𝑥 𝑙𝑎𝑏𝑒𝑙𝑖𝑛𝑔𝑠)
Pelabelan titik merupakan pelabelan yang himpunan asalnya titik.
Gambar 2.20 Pelabelan titik pada graf roda
2. Pelebelan sisi (𝑒𝑑𝑔𝑒 𝑙𝑎𝑏𝑒𝑙𝑖𝑛𝑔𝑠)
Pelabelan sisi merupakan pelabelan yang himpunan asalnya sisi.
Gambar 2.21 Pelabelan sisi pada graf roda
3. Pelabelan total (𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑙𝑎𝑏𝑒𝑙𝑖𝑛𝑔𝑠)
Pelabelan total merupakan pelabelan yang domainnya titik dan sisi.
Pada pelabelan total, banyaknya elemen titik yang akan diberikan label
sebanyak v dan benyaknya elemen sisi yang akan diberikan label sebanyak
e, sehingga banyaknya elemen yang akan diberikan label pada pelabelan
3
5
7
1
4
6
2
3
5
7 1
4
6
2
8
9
10
11
12
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
total sebanyak 𝑣 + 𝑒. Oleh sebab itu pemetaan total yang terdapat pada
suatu graf merupakan pemetaan 𝑉(𝐺) ∪ 𝐸(𝐺) ke bilangan asli 1,2, … , 𝑣 +
𝑒.
Pelabelan total pada graf merupakan pemetaan yang memetakan setiap
elemen yang terdapat pada graf tersebut ke ke bilangan asli 1,2,3, … , 𝑣 + 𝑒.
Pelabelan yang diberikan untuk setiap elemen pada graf berbeda satu
dengan yang lainnya dan setiap bilangan asli 1,2,3, … , 𝑣 + 𝑒 memiliki
prapeta pada 𝑉(𝐺) ∪ 𝐸(𝐺). Oleh sebab itu pelabelan pada graf merupakan
pemetaan yang bijektif.
Definisi 2.16 Pelabelan total pada graf (Wallis, 2001)
Pelabelan total pada suatu graf G adalah pemetaan bijektif 𝜆 dari
𝑉(𝐺) ∪ 𝐸(𝐺) ke bilangan asli 1,2, … , 𝑣 + 𝑒 , di mana 𝑣 = 𝑉(𝐺) dan
𝑒 = 𝐸(𝐺).
Gambar 2.22 Pelabelan total pada graf roda
Dengan adanya pelabelan total, di mana domainnya adalah titik dan sisi
maka dapat diperoleh bobot elemen di mana bobot elemen adalah hasil
penjumlahan label yang dievaluasi dengan label elemen yang bersisisan.
1
2 3
4
5
6 7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17 18
19
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
Definisi 2.17 Bobot titik (Stewart, 1966)
Bobot titik merupakan bobot yang diperoleh dari titik yang dievaluasi dan
semua sisi yang bersisian dengan titik tersebut.
Bobot titik x pada pelabelan 𝜆 dinyatakan sebagai berikut:
𝑤𝑡(𝑣𝑖) = 𝜆(𝑣𝑖) + ∑ 𝜆(𝑣𝑖, 𝑣𝑗)
∑ 𝜆(𝑣𝑖, 𝑣𝑗) adalah semua sisi yang bersisian dengan dengan titik 𝑣𝑖
Berdasarkan Gambar 2.22 bobot titik pada titik (16) adalah
𝑤𝑡(16) = 16 + 13 + 4 + 11
= 44
Definisi 2.18 Bobot sisi (Stewart, 1966)
Bobot sisi merupakan bobot yang diperoleh dari sisi dan dua buah titik
bertetangga di mana kedua titik tersebut dihubungkan oleh sisi tersebut.
Bobot sisi 𝑥𝑦 pada pelabelan 𝜆 dinyatakan sebagai berikut
𝑤𝑡(𝑣𝑖 , 𝑣𝑗) = 𝜆(𝑣𝑖,) + (𝑣𝑖 , 𝑣𝑗) + 𝜆(𝑣𝑗)
Berdasarkan Gambar 2.22 bobot titik pada sisi (4) adalah
𝑤𝑡(4) = 4 + 16 + 12
= 32
Berdasarkan hasil bobot elemen graf yang dievaluasi, bobot elemen
memiliki hasil yang beragam, tetapi berdasarkan hasil tersebut pelabelan graf
dapat dibagi menjadi dua jenis yaitu sama dan tidak sama.
Definisi 2.19 Pelabelan ajaib (Wallis, 2001)
Pelabelan ajaib (magic labelings) adalah suatu pelabelan di mana bobot
setiap elemen yang dievaluasi sama.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
Definisi 2.20 Pelabelan tak-ajaib (Wallis, 2001)
Pelabelan tak-ajaib ( antimagic labelings) adalah suatu pelabelan bobot
elemen yang dievaluasi tidak sama.
Berdasarkan jenis pelabelan graf dan bobot elemen graf yang dievaluiasi,
peneliti akan meneliti mengenai pelabelan ajaib dengan bobot elemen yang
dievaluasi adalah sisi.
Berdasarkan himpunan asal, bobot dan elemen graf yang dievaluasi terdapat
pelabelan total ajaib sisi (𝑒𝑑𝑔𝑒 − 𝑚𝑎𝑔𝑖𝑐 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑙𝑎𝑏𝑒𝑙𝑖𝑛𝑔𝑠) (𝐸𝑀𝑇𝐿)
Pelabelan total ajaib sisi merupakan pemetaan bijektif 𝜆 dari 𝑉(𝐺) ∪
𝐸(𝐺) ke bilangan asli {1,2,3, … , 𝑣 + 𝑒} dengan 𝑣 = |𝑉(𝐺)| dan 𝑒 =
|𝐸(𝐺)| sedemikian sehingga untuk setiap sisi 𝑥𝑦 ∈ 𝐸(𝐺) berlaku 𝜆(𝑥) +
𝜆(𝑥𝑦) + 𝜆(𝑦) = 𝑘 untuk setiap konstanta ajaib 𝑘 (Wallis, 2001).
Pelabelan total ajaib sisi, adalah pemetaan di mana setiap elemen (sisi
dan titik) diberikan label bilangan asli 1,2,3, … sampai sejumlah titik dan
sisi dari graf. Label-label ditempatkan sedemikian sehingga setiap sisi pada
graf tersebut memiliki bobot yang sama. Bobot sisi diperoleh dengan
menjumlahkan label sisi dan dievaluasi dengan dua buah label titik yang
bersisian dengan sisi tersebut.
Gambar 2.23 Pelabelan total ajaib sisi pada graf roda 𝑊6
1
2 3
4
5
6 7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17 18
19
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
Pada Gambar 2.23 graf roda 𝑊6 memiliki konstanta ajaib 32. Setiap sisi
pada 𝑊6 memiliki bobot yang sama. Sebagai contoh sisi dengan label 1
bertetangga dengan titik berlabel 12 dan 19, sehingga bobot sisinya adalah:
Sisi berlabel 1 memiliki bobot 𝑤𝑡(1) = 1 + 12 + 19 = 32
Sisi berlabel 14 memiliki bobot 𝑤𝑡(14) = 14 + 12 + 6 = 32
Sisi berlabel 2 memiliki bobot 𝑤𝑡(2) = 2 + 12 + 18 = 32
Sisi berlabel 15 memiliki bobot 𝑤𝑡(15) = 15 + 12 + 5 = 32
Sisi berlabel 4 memiliki bobot 𝑤𝑡(4) = 4 + 12 + 16 = 32
Sisi berlabel 17 memiliki bobot 𝑤𝑡(17) = 17 + 12 + 3 = 32
Sisi berlabel 7 memiliki bobot 𝑤𝑡(7) = 7 + 19 + 6 = 32
Sisi berlabel 8 memiliki bobot 𝑤𝑡(8) = 8 + 6 + 18 = 32
Sisi berlabel 9 memiliki bobot 𝑤𝑡(9) = 9 + 18 + 5 = 32
Sisi berlabel 11 memiliki bobot 𝑤𝑡(11) = 11 + 5 + 16 = 32
Sisi berlabel 13 memiliki bobot 𝑤𝑡(13) = 13 + 16 + 3 = 32
Sisi berlabel 10 memiliki bobot 𝑤𝑡(10) = 10 + 3 + 19 = 32
Berdasarkan penelitiannya, Wallis menyatakan sebuah graf G di mana
banyaknya sisi pada graf G genap, 𝑣 + 𝑒 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑 4) dan untuk setiap titik
pada graf G berderajat ganjil maka graf G tersebut tidak memiliki pelabelan
total ajaib sisi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
D. Dualitas Graf
Googaire dan Parmenter (1998) menyatakan sebuah graf tertentu dapat
dibentuk pelabelan baru dari pelabelan yang ada.
Suatu pelabelan 𝜆 dual dengan pelabelan 𝜆′ didefiniskan sebagai
𝜆′(𝑥𝑖) = (𝑣 + 𝑒 + 1) − 𝜆(𝑥) untuk sembarang titik 𝑥𝑖
𝜆′(𝑥𝑦) = (𝑣 + 𝑒 + 1) − 𝜆(𝑥𝑦) untuk sembarang sisi 𝑥𝑦
Dengan demikian pelabelan 𝜆′ merupakan pelabelan dari 𝑉(𝐺) ∪ 𝐸(𝐺) ke
bilangan positif {1,2,3, … , 𝑣 + 𝑒} dan pelabelan 𝜆′ disebut dual dari pelabelan
𝜆 . Pada pelabelan 𝜆 , bobot elemen yang dievaluasi dinyatakan sebagai
konstanta ajaib 𝑘.
Pada pelabelan 𝜆′, bobot elemen dievaluasi diperoleh dengan
𝑘′ = 𝜆′(𝑥) + 𝜆′(𝑥𝑦) + 𝜆′(𝑦)
= ((𝑣 + 𝑒 + 1) − 𝜆(𝑥)) + ((𝑣 + 𝑒 + 1) − 𝜆(𝑥𝑦)) + ((𝑣 + 𝑒 + 1) − 𝜆(𝑦))
= 3(𝑣 + 𝑒 + 1) − (𝜆(𝑥) + 𝜆(𝑥𝑦) + 𝜆(𝑦))
= 3(𝑣 + 𝑒 + 1) − 𝑘
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
BAB III
PELABELAN TOTAL AJAIB SISI PADA GRAF RODA
A. Perhitungan Dasar Pelabelan Total Ajaib Sisi
Berdasarkan Definisi 2.16, Definisi 2.18 dan Definisi 2.19, pelabelan total
ajaib sisi pada graf merupakan pemetaan bijektif 𝜆 dari 𝑉(𝐺) ∪ 𝐸(𝐺) ke
bilangan asli 1,2, … , 𝑣 + 𝑒, di mana 𝑣 = 𝑉(𝐺) dan 𝑒 = 𝐸(𝐺), di mana untuk
setiap sisi (𝑣𝑖, 𝑣𝑗) berlaku
𝜆(𝑣𝑖) + 𝜆(𝑣𝑖, 𝑣𝑗) + 𝜆(𝑣𝑗) = 𝑘
(3.1)
untuk setiap nilai konstanta k. Dengan kata lain, 𝑤𝑡(𝑣𝑖, 𝑣𝑗) = 𝑘 untuk setiap
sisi yang terdapat pada graf tersebut. Selanjutnya 𝑘 disebut dengan nilai
konstanta ajaib dari graf 𝐺. Wallis (2001).
Pada pelabelan ajaib, nilai konstanta ajaib 𝑘 akan ditentukan lebih dahulu.
Melalui perhitungan dasar akan diperoleh batas nilai kostanta ajaib 𝑘, sehingga
dapat ditentukan suatu pelabelan untuk nilai konstanta ajaib 𝑘. Misalkan 𝑀 =
𝑣 + 𝑒, 𝑆𝑒 adalah jumlah seluruh label sisi dan 𝑆𝑣 adalah jumlah seluruh label
titik dengan setiap label adalah bilangan bulat 1,2,3, … , 𝑀 sehingga jumlah
semua label adalah
𝑆𝑒 + 𝑆𝑣 = ∑ 𝑖
𝑀
𝑖=1
=𝑀(𝑀 + 1)
2
(3.2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
Gambar 3.1 Pelabelan pada graf roda
Pada pelabelan total ajaib sisi khususnya pada roda, label sisi dihitung
sebanyak satu kali dan label titik dihitung sebanyak tiga kali kecuali untuk label
titik pusat (c) dihitung sebanyak 𝑛-kali. Berdasarkan persamaan (3.1) sehingga
diperoleh
𝑆𝑤 = 𝑒1 + 𝑒2 + ⋯ + 𝑒𝑛 + 𝑠1 + 𝑠2 + ⋯ + 𝑠𝑛 + 3𝑣1 + 3𝑣2 + ⋯ + 3𝑣𝑛 + 𝑛𝑐
= (𝑒1 + 𝑒2 + ⋯ + 𝑒𝑛 + 𝑠1 + 𝑠2 + ⋯ + 𝑠𝑛) +
3𝑣1 + 3𝑣2 + ⋯ + 3𝑣𝑛 + 3𝑐 + (𝑛 − 3)𝑐
= 𝑆𝑒 + 3(𝑣1 + 𝑣2 + ⋯ + 𝑣𝑛 + 𝑐) + (𝑛 − 3)𝑐
= 𝑆𝑒 + 3Sv + (n − 3)c
2𝑛𝑘 = (𝑆𝑒 + 𝑆𝑣) + 2𝑆𝑣 + (n − 3)c
=𝑀(𝑀 + 1)
2+ 2𝑠𝑣 + (n − 3)c
𝑘 =
𝑀(𝑀+1)
2+ 2𝑠𝑣 + (n − 3)c
2n
(3.3)
Berdasarkan persamaan tersebut maka label titik perlu diketahui lebih
dahulu sementara label sisi dapat ditentukan dengan mengurangkan nilai
konstanta ajaib dengan label titik yang bersisian dengan sisi tersebut.
𝑣2
𝑣1
𝑣3
𝑣4
𝑣5
𝑣𝑛
𝑣𝑛−1
𝑣𝑛−2
𝑒1 𝑒2 𝑒3
𝑒4
𝑒5 𝑒𝑛
𝑒𝑛−1 𝑒𝑛−2
𝑠1 𝑠2
𝑠3
𝑠4 𝑠𝑛
𝑠𝑛−1
𝑠𝑛−2
𝑐
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
Untuk kepentingan pelabelan, batas 𝑆𝑣 perlu ditentukan. Batas bawah
diperoleh dengan memberikan label terkecil sebanyak 𝑣 titik dan batas atas
diperoleh dengan memberikan label terbesar, sehingga
∑ 𝑖
𝑣
𝑖=1
≤ 𝑆𝑣 ≤ ∑ 𝑖
𝑣+𝑒
𝑖=𝑒+1
∑ 𝑖
𝑣
𝑖=1
≤ 𝑆𝑣 ≤ (𝑒 + 1) + (𝑒 + 2) + ⋯ + (𝑣 + 𝑒)
∑ 𝑖
𝑣
𝑖=1
≤ 𝑆𝑣 ≤ (1 + 2 + ⋯ + (𝑣 + 𝑒)) − (1 + 2 + ⋯ + 𝑒)
∑ 𝑖
𝑣
𝑖=1
≤ 𝑆𝑣 ≤ ∑ 𝑖
𝑣+𝑒
𝑖=1
− ∑ 𝑖
𝑒
𝑖=1
(3.4)
B. Perhitungan Dasar Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Roda
1. Batas Total Label Titik 𝑆𝑣
Berdasarkan persamaan (3.3) untuk kepentingan pencarian nilai konstanta
ajaib 𝑘, batas total label 𝑆𝑣 perlu ditentukan terlebih dahulu. Berdasarkan
persamaan (3.4) diperoleh
∑ 𝑖
𝑣
𝑖=1
≤ 𝑆𝑣 ≤ ∑ 𝑖
𝑣+𝑒
𝑖=1
− ∑ 𝑖
𝑒
𝑖=1
𝑣(𝑣 + 1)
2≤ 𝑆𝑣 ≤
(𝑣 + 𝑒)(𝑣 + 𝑒 + 1)
2−
𝑒(𝑒 + 1)
2
(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)
2≤ 𝑆𝑣 ≤
(3𝑛 + 1)(3𝑛 + 2)
2−
2𝑛(2𝑛 + 1)
2
(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)
2≤ 𝑆𝑣 ≤
9𝑛2 + 9𝑛 + 2
2−
4𝑛2 + 2𝑛
2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)
2≤ 𝑆𝑣 ≤
5𝑛2 + 7𝑛 + 2
2
(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)
2≤ 𝑆𝑣 ≤
(𝑛 + 1)(5𝑛 + 2)
2
𝑆𝑣 =(𝑛+1)(𝑛+2)
2+ 𝑎, di mana 𝑎 adalah
0 ≤ 𝑎 ≤(𝑛 + 1)(5𝑛 + 2)
2−
(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)
2
0 ≤ 𝑎 ≤(𝑛 + 1)((5𝑛 + 2) − (𝑛 + 2))
2
0 ≤ 𝑎 ≤(𝑛 + 1)4𝑛
2
0 ≤ 𝑎 ≤ 2𝑛(𝑛 + 1)
0 ≤ 𝑎 ≤ 2𝑛2 + 2𝑛
𝑆𝑣 =(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)
2+ 𝑎, 0 ≤ 𝑎 ≤ 2𝑛2 + 2𝑛, 𝑎 ∈ ℤ
(3.5)
2. Batas Nilai Konstanta Ajaib k Untuk Setiap Graf Roda
Batas nilai konstanta ajaib 𝑘 yang diperoleh dari perhitungan dasar
menunjukan adanya pelabelan pada graf roda. Perhitungan dasar
memberikan batas nilai kosntanta ajaib 𝑘 yang memungkinkan pada suatu
graf secara umum. Sementara, setiap graf memiliki struktur yang berbeda-
beda, sehingga memungkinkannya ditemui beberapa permasalahan untuk
graf roda 𝑊𝑛 sehingga untuk nilai 𝑛 tertentu tidak dapat diberikan label,
atau adanya suatu nilai kosntanta ajaib 𝑘 yang tidak memiliki pelabelan, dll.
Dengan demikian perlu adanya perhitungan khusus untuk menentukan batas
nilai kosntanta ajaib.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
Berdasarkan persamaan (3.3) dan (3.5) diperoleh
𝑘 =
𝑀(𝑀+1)
2+ 2𝑆𝑣 + (𝑛 − 3)𝑐
2𝑛
=
(3𝑛+1)(3𝑛+2)
2+ 2 (
(𝑛+1)(𝑛+2)
2+ 𝑎) + (𝑛 − 3)𝑐
2𝑛
=
9𝑛2+9𝑛+2
2+ 2 (
𝑛2+3𝑛+2
2+ 𝑎) + (𝑛 − 3)𝑐
2𝑛
=
9𝑛2+9𝑛+2
2+
2𝑛2+6𝑛+4
2+ 2𝑎 + (𝑛 − 3)𝑐
2𝑛
=
11𝑛2+15𝑛+6
2+ 2𝑎 + (𝑛 − 3)𝑐
2𝑛, 0 ≤ 𝑎 ≤ 2𝑛2 + 2𝑛, 𝑎 ∈ ℤ
(3.6)
Berdasarkan persamaan (3.6) diperoleh batas nilai kosntanta ajaib 𝑘 terkecil
dapat diperoleh jika𝑎 = 0 dan 𝑐 = 1 sehingga
𝑘𝑡𝑒𝑟𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙 =
11𝑛2+15𝑛+6
2+ 2𝑎 + (𝑛 − 3)𝑐
2𝑛
=
11𝑛2+15𝑛+6
2+ 2 ∙ 0 + (𝑛 − 3)1
2𝑛
=
11𝑛2+15𝑛+6
2+ (𝑛 − 3)
2𝑛
=
11𝑛2+15𝑛+6
2+
2𝑛−6
2
2𝑛
=11𝑛2 + 17𝑛
4𝑛
=11𝑛 + 17
4
(3.7)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
Berdasarkan persamaan (3.6) diperoleh batas nilai kosntanta ajaib 𝑘
terbesar dapat diperoleh jika 𝑎 = 2n2 + 2n dan 𝑐 = 3𝑛 + 1 sehingga
𝑘𝑡𝑒𝑟𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 =
11𝑛2+15𝑛+6
2+ 2𝑎 + (𝑛 − 3)𝑐
2𝑛
=
11𝑛2+15𝑛+6
2+ 2(2n2 + 2n) + (𝑛 − 3)(3𝑛 + 1)
2𝑛
=
11𝑛2+15𝑛+6
2+
8n2+8n
2+ 3𝑛2 − 8𝑛 − 3
2𝑛
=
19𝑛2+23𝑛+6
2+
6𝑛2−16𝑛−6
2
2𝑛
=25𝑛2 + 7𝑛
4𝑛
=25𝑛 + 7
4
(3.8)
Sehingga untuk setiap graf roda 𝑊𝑛, konstanta ajaib 𝑘 yang memenuhi
adalah
11𝑛 + 17
4≤ 𝑘 ≤
25𝑛 + 7
4
(3.9)
3. Batas Nilai Titik Pusat c untuk Konstanta Ajaib k
Pada graf roda terdapat titik sebanyak 𝑛 + 1 dan sisi sebanyak 2𝑛
sehingga banyaknya pelabelan yang akan terjadi pada graf roda sebanyak
3𝑛 + 1. Pada skripsi ini pelabelan pada graf roda mengacu pada titik pusat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
sebagai pusat, sisi yang bersisian dengan pusat sebagai jari-jari, dan titik
lainnya yang bertetangga dengan titik pusat.
Gambar 3.2 Pelabelan pada graf roda
Berdasarkan gambar di atas, untuk semua 𝑖, total label 𝑒𝑖 + 𝑣𝑖 dalam
pelabelan total ajaib sisi pada graf roda adalah sama yaitu 𝑘 − 𝑐 di mana 𝑘
merupakan nilai konstanta ajaib dan 𝑐 merupakan label untuk titik pusat.
Karena untuk semua 𝑖 total label 𝑒𝑖 + 𝑣𝑖 sama maka pasangan label
𝑒𝑖 + 𝑣𝑖 terkecil dapat diperoleh dari label bilangan asli mulai dari 1 sampai
2𝑛 yang saling berpasangan yaitu {𝑖, 2𝑛 + 1 − 𝑖}. Dengan cara yang sama,
pasangan label 𝑒𝑖 + 𝑣𝑖 terbesar diperoleh dari label bilangan asli mulai dari
𝑛 + 2 sampai 3𝑛 + 1 yang saling pasangan yaitu {𝑛 + 1 + 𝑖, 3𝑛 + 2 − 𝑖},
Untuk setiap nilai konstanta ajaib 𝑘 terdapat batasan untuk label titik
pusat c pada graf roda. Label titik pusat c terkecil diperoleh dengan
mengurangi nilai konstanta ajaib 𝑘 dengan jumlahan dari pasangan label
𝑒𝑖 + 𝑣𝑖 terbesar, sehingga label titik pusat 𝑐 terkecil adalah
𝑐𝑡𝑒𝑟𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙 = 𝑘 − ((𝑛 + 1 + 𝑖) + (3𝑛 + 2 − 𝑖))
= 𝑘 − (4𝑛 + 3)
Misalkan nilai kosntanta ajaib 𝑘 yang digunakan merupakan nilai
konstanta ajaib terkecil, sehingga
𝑣𝑛
𝑣1 𝑣2
𝑣3 𝑐
𝑠1
𝑠2 𝑠𝑛
𝑒𝑛
𝑒1 𝑒2
𝑒3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
𝑐𝑡𝑒𝑟𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙 = 𝑘 − (4𝑛 + 3)
=11𝑛 + 17
4− (4𝑛 + 3)
=11𝑛 + 17
4−
4
4(4𝑛 + 3)
=11𝑛 + 17
4−
16𝑛 + 12
4
=−5𝑛 + 5
4
= 1,25 − 1,25𝑛
Untuk 𝑛 = 4 sehingga label 𝑐𝑡𝑒𝑟𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙
𝑐𝑡𝑒𝑟𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙 = 1,25 − 1,25𝑛
= 1,25 − 1,25 ∙ 4
= 1,25 − 5
= −3,75
Berdasarkan persamaan di atas, koefisien dari 𝑛 bernilai negatif
sehingga semakin besar nilai 𝑛 maka semakin besar pula label negatif untuk
label 𝑐𝑡𝑒𝑟𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙. Label yang terdapat pada pelabelan total ajaib adalah label
dengan bilangan asli sehingga diperlukan batasan bahwa untuk setiap label
merupakan bilangan asli (𝑐 ≥ 1) sehingga
𝑐𝑡𝑒𝑟𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙 = 𝑘 − (4𝑛 + 3), 𝑐 ≥ 1
(3.10)
Dengan cara yang sama, label titik pusat 𝑐 terbesar dapat diperoleh
dengan mengurangi nilai konstanta ajaib 𝑘 dengan jumlahan dari pasangan
label 𝑒𝑖 + 𝑣𝑖 terkecil, sehingga label titik pusat 𝑐 terbesar adalah
𝑐𝑡𝑒𝑟𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 = 𝑘 − ((𝑖) + (2𝑛 + 1 − 𝑖))
= 𝑘 − (2𝑛 + 1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
Misalkan nilai kosntanta ajaib 𝑘 yang digunakan merupakan nilai
konstanta ajaib terbesar, sehingga
𝑐𝑡𝑒𝑟𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 = 𝑘 − (2𝑛 + 1)
=25𝑛 + 7
4− (2𝑛 + 1)
=25𝑛 + 7
4−
4
4(2𝑛 + 1)
=25𝑛 + 7
4−
8𝑛 + 4
4
=17𝑛 + 3
4
= 4,25𝑛 + 0,75
= (3𝑛 + 1) + (1,25𝑛 − 0,25)
Untuk 𝑛 = 4 sehingga label 𝑐𝑡𝑒𝑟𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟
𝑐𝑡𝑒𝑟𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 = (3𝑛 + 1) + (1,25𝑛 − 0,25)
= (3𝑛 + 1) + (1,25 ∙ 4 − 0,25)
= (3𝑛 + 1) + (5 − 0,25)
= (3𝑛 + 1) + 4,75
Berdasarkan persamaan di atas, semakin besar nilai 𝑛 maka semakin
besar pula label untuk label 𝑐𝑡𝑒𝑟𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 , tetapi label untuk label 𝑐𝑡𝑒𝑟𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟
sudah melebihi batas pelabelan yang ada pada graf roda 𝑊𝑛 yaitu (3𝑛 + 1),
sehingga diperlukan batasan bahwa label maksimum untuk setiap label di
mana label 𝑐 juga termasuk yaitu (3𝑛 + 1) sehingga batas untuk label 𝑐
adalah (𝑐 ≤ 3𝑛 + 1) sehingga
𝑐𝑡𝑒𝑟𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 = 𝑘 − (2𝑛 + 1), 𝑐 ≤ 3𝑛 + 1
(3.11)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
Sehingga untuk setiap nilai konstanta ajaib 𝑘, label titik pusat 𝑐 yang
memenuhi adalah
𝑘 − (4𝑛 + 3) ≤ 𝑐 ≤ 𝑘 − (2𝑛 + 1), 𝑐 ≥ 1, 𝑐 ≤ 3𝑛 + 1 (3.12)
4. Pelabelan Titik dan Sisi Pada Graf Roda
Pelabelan titik dan sisi dalam pelabelan ajaib sisi pada graf roda dibagi
menjadi dua, yaitu
a. Pelabelan untuk pasangan label titik (𝑣) dan sisi pada jari-jari (𝑒) yang
terdapat pada graf roda
Pelabelan untuk pasangan label titik dan sisi adalah himpunan bilangan
pasangan berurut yang memungkinkan di mana (𝑣, 𝑒) = {𝑖, 𝑘 − 𝑐 − 𝑖}
b. Pelabelan untuk sisi 𝑠𝑖𝑘𝑒𝑙 (𝑠) pada graf roda
Pelabelan untuk sisi (𝑠) himpunan bilangan yang memungkinkan di
mana bukan titik pusat (𝑠) = {1 ≤ 𝑖 ≤ 3𝑛 + 1, 𝑖 ≠ 𝑐}
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
C. Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Roda
Pada pelabelan total ajaib sisi untuk graf roda ditemukan banyak cara
memperoleh nilai konstanta ajaib 𝑘, tetapi setiap graf memiliki struktur yang
berbeda-beda, sehingga memungkinkannya ditemui beberapa permasalahan
untuk nilai 𝑛 tertentu sehingga graf roda tidak dapat diberikan label, atau
adanya suatu nilai kosntanta ajaib 𝑘 yang tidak memiliki pelabelan, dll.
Berdasarkan persamaan (3.6) nilai konstanta ajaib pada pelabelan total ajaib
sisi dapat diperoleh yaitu:
𝑘 =
11𝑛2+15𝑛+6
2+ 2𝑎 + (𝑛 − 3)𝑐
2𝑛, 0 ≤ 𝑎 ≤ 2𝑛2 + 2𝑛
=11𝑛2 + 15𝑛 + 6
4𝑛+
2𝑎 + (𝑛 − 3)𝑐
2𝑛
=8𝑛2 + 12𝑛 + 3𝑛2 + 3𝑛 + 6
4𝑛+
2𝑎 + (𝑛 − 3)𝑐
2𝑛
= (2𝑛 + 3) +3𝑛2 + 3𝑛 + 6
4𝑛+
2𝑎 + (𝑛 − 3)𝑐
2𝑛
= (2𝑛 + 3) +3
4
𝑛2 + 𝑛 + 2
𝑛+
2𝑎 + (𝑛 − 3)𝑐
2𝑛
(3.13)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
1. Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Roda (𝑛 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑4))
𝑛 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑4)𝑛 = 4ℎ, ℎ ∈ ℕ
Berdasarkan persamaan (3.13) sehingga
𝑘 = (2𝑛 + 3) +3
4
𝑛2 + 𝑛 + 2
𝑛+
2𝑎 + (𝑛 − 3)𝑐
2𝑛
= (2(4ℎ) + 3) +3
4
(4ℎ)2 + (4ℎ) + 2
4ℎ+
2𝑎 + ((4ℎ) − 3)𝑐
2(4ℎ)
= (8ℎ + 3) +3
4
16ℎ2 + 4ℎ + 2
4ℎ+
2𝑎 + (4ℎ − 3)𝑐
8ℎ
= (8ℎ + 3) +48ℎ2 + 12ℎ + 6
16ℎ+
2𝑎 + (4ℎ − 3)𝑐
8ℎ
= (8ℎ + 3) + 3ℎ +12ℎ + 6
16ℎ+
2𝑎 + (4ℎ − 3)𝑐
8ℎ
= (11ℎ + 3) +6ℎ + 3
8ℎ+
2𝑎 + (4ℎ − 3)𝑐
8ℎ
= (11ℎ + 3) +6ℎ + 2𝑎 + 3 + (4ℎ − 3)𝑐
8ℎ
∀ 𝑎, 𝑐, ℎ di mana
0 ≤ 𝑎 ≤ 2𝑛2 + 2𝑛, 𝑎 ∈ ℤ, 1 ≤ 𝑐 ≤ 3𝑛 + 1, 𝑐 ∈ ℕ dan ∀ℎ ∈ ℕ
8ℎ menghasilkan suatu bilangan asli genap,
6ℎ + 2𝑎 + 3 + (4ℎ − 3)𝑐 menghasilkan suatu bilangan asli genap jika 𝑐
merupakan label dengan bilangan asli ganjil
Oleh sebab itu ∃𝑎, 𝑐, ℎ sehingga dapat ditemukan sebuah nilai konstanta
ajaib 𝑘 jika label 𝑐 merupakan label dengan bilangan asli ganjil.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
2. Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Roda (𝑛 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑4))
𝑛 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑4)𝑛 = 4ℎ + 1, ℎ ∈ ℕ
Berdasarkan persamaan (3.13) sehingga
𝑘 = (2𝑛 + 3) +3
4
𝑛2 + 𝑛 + 2
𝑛+
2𝑎 + (𝑛 − 3)𝑐
2𝑛
= (2(4ℎ + 1) + 3) +3
4
(4ℎ + 1)2 + (4ℎ + 1) + 2
4ℎ + 1+
2𝑎 + ((4ℎ + 1) − 3)𝑐
2(4ℎ + 1)
= (8ℎ + 2 + 3) +3
4
(16ℎ2 + 8ℎ + 1) + 4ℎ + 3
4ℎ + 1+
2𝑎 + (4ℎ − 2)𝑐
8ℎ + 2
= (8ℎ + 5) +3
4
16ℎ2 + 12ℎ + 4
4ℎ + 1+
𝑎 + (2ℎ − 1)𝑐
4ℎ + 1
= (8ℎ + 5) +3(4ℎ2 + 3ℎ + 1)
4ℎ + 1+
𝑎 + (2ℎ − 1)𝑐
4ℎ + 1
= (8ℎ + 5) +12ℎ2 + 9ℎ + 3
4ℎ + 1+
𝑎 + (2ℎ − 1)𝑐
4ℎ + 1
= (8ℎ + 5) +(12ℎ2 + 7ℎ + 1) + 2ℎ + 2
4ℎ + 1+
𝑎 + (2ℎ − 1)𝑐
4ℎ + 1
= (8ℎ + 5) + (3ℎ + 1) +2ℎ + 2
4ℎ + 1+
𝑎 + (2ℎ − 1)𝑐
4ℎ + 1
= (11ℎ + 6) +2ℎ + 𝑎 + 2 + (2ℎ − 1)𝑐
4ℎ + 1
∀ 𝑎, 𝑐, ℎ di mana
0 ≤ 𝑎 ≤ 2𝑛2 + 2𝑛, 𝑎 ∈ ℤ, 1 ≤ 𝑐 ≤ 3𝑛 + 1, 𝑐 ∈ ℕ dan ∀ℎ ∈ ℕ
4ℎ + 1 menghasilkan suatu bilangan asli ganjil
Oleh sebab itu ∃𝑎, 𝑐, ℎ sehingga dapat ditemukan sebuah nilai konstanta
ajaib 𝑘.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
3. Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Roda (𝑛 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑4))
𝑛 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑4)𝑛 = 4ℎ + 2, ℎ ∈ ℕ
Berdasarkan persamaan (3.13) sehingga
𝑘 = (2𝑛 + 3) +3
4
𝑛2 + 𝑛 + 2
𝑛+
2𝑎 + (𝑛 − 3)𝑐
2𝑛
= (2(4ℎ + 2) + 3) +3
4
(4ℎ + 2)2 + (4ℎ + 2) + 2
4ℎ + 2+
2𝑎 + ((4ℎ + 2) − 3)𝑐
2(4ℎ + 2)
= (8ℎ + 4 + 3) +3
4
(16ℎ2 + 16ℎ + 4) + 4ℎ + 4
4ℎ + 2+
2𝑎 + (4ℎ − 1)𝑐
8ℎ + 4
= (8ℎ + 7) +3
4
16ℎ2 + 20ℎ + 8
4ℎ + 2+
2𝑎 + (4ℎ − 1)𝑐
8ℎ + 4
= (8ℎ + 7) +3(4ℎ2 + 5ℎ + 2)
4ℎ + 2+
2𝑎 + (4ℎ − 1)𝑐
8ℎ + 4
= (8ℎ + 7) +12ℎ2 + 15ℎ + 6
4ℎ + 2+
2𝑎 + (4ℎ − 1)𝑐
8ℎ + 4
= (8ℎ + 7) +(12ℎ2 + 14ℎ + 4)(ℎ + 2)
4ℎ + 2+
2𝑎 + (4ℎ − 1)𝑐
8ℎ + 4
= (8ℎ + 7) + (3ℎ + 2) +ℎ + 2
4ℎ + 2+
2𝑎 + (4ℎ − 1)𝑐
8ℎ + 4
= (11ℎ + 9) +2ℎ + 2𝑎 + 4 + (4ℎ − 1)𝑐
8ℎ + 4
∀ 𝑎, 𝑐, ℎ di mana
0 ≤ 𝑎 ≤ 2𝑛2 + 2𝑛, 𝑎 ∈ ℤ, 1 ≤ 𝑐 ≤ 3𝑛 + 1, 𝑐 ∈ ℕ dan ∀ℎ ∈ ℕ
8ℎ + 4 menghasilkan suatu bilangan asli genap
2ℎ + 2𝑎 + 4 + (4ℎ − 1)𝑐 menghasilkan suatu bilangan asli genap jika 𝑐
merupakan label dengan bilangan asli genap
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
Oleh sebab itu ∃𝑎, 𝑐, ℎ sehingga dapat ditemukan sebuah nilai konstanta
ajaib 𝑘 jika label 𝑐 merupakan label dengan bilangan asli genap.
4. Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Roda (𝑛 ≡ 3(𝑚𝑜𝑑4))
Enomoto, dkk (1998) meneliti bahwa pada graf roda sampai 𝑛 = 29
menemukan suatu pelabelan untuk graf jika 𝑛 ≢ 3(𝑚𝑜𝑑4) , hal ini
diperkuat oleh Fukuchi (2001) yang membuktikan dugaan tersebut.
Pembuktian untuk membuktikan bahwa tidak terdapat pelabelan untuk
𝑛 ≡ 3(𝑚𝑜𝑑4) antara lain:
𝑛 ≡ 3(𝑚𝑜𝑑4)𝑛 = 4ℎ + 3, ℎ ∈ ℕ
Berdasarkan persamaan (3.13) sehingga
𝑘 = (2𝑛 + 3) +3
4
𝑛2 + 𝑛 + 2
𝑛+
2𝑎 + (𝑛 − 3)𝑐
2𝑛
= (2(4ℎ + 3) + 3) +3
4
(4ℎ + 3)2 + (4ℎ + 3) + 2
4ℎ + 3+
2𝑎 + ((4ℎ + 3) − 3)𝑐
2(4ℎ + 3)
= (8ℎ + 6 + 3) +3
4
(16ℎ2 + 24ℎ + 9) + 4ℎ + 5
4ℎ + 3+
2𝑎 + 4ℎ𝑐
8ℎ + 6
= (8ℎ + 9) +3
4
16ℎ2 + 28ℎ + 14
4ℎ + 3+
2𝑎 + 4ℎ𝑐
8ℎ + 6
= (8ℎ + 9) +3
2
8ℎ2 + 14ℎ + 7
4ℎ + 3+
2𝑎 + 4ℎ𝑐
8ℎ + 6
= (8ℎ + 9) +24ℎ2 + 42ℎ + 21
8ℎ + 6+
2𝑎 + 4ℎ𝑐
8ℎ + 6
= (8ℎ + 9) +24ℎ2 + 42ℎ + 18 + 3
8ℎ + 6+
2𝑎 + 4ℎ𝑐
8ℎ + 6
= (8ℎ + 9) + (3ℎ + 3) +3
8ℎ + 6+
2𝑎 + 4ℎ𝑐
8ℎ + 6
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
= (11ℎ + 12) +3 + 2𝑎 + 4ℎ𝑐
8ℎ + 6
∀ 𝑎, 𝑐, ℎ di mana
0 ≤ 𝑎 ≤ 2𝑛2 + 2𝑛, 𝑎 ∈ ℤ, 1 ≤ 𝑐 ≤ 3𝑛 + 1, 𝑐 ∈ ℕ dan ∀ℎ ∈ ℕ
3 + 2𝑎 + 4ℎ𝑐 menghasilkan suatu bilangan asli ganjil, dan
8ℎ + 6 menghasilkan suatu bilangan asli genap
Oleh sebab itu untuk ∀𝑎, 𝑐, ℎ tidak dapat ditemukan sebuah bilangan
bulat untuk
3 + 2𝑎 + 4ℎ𝑐
8ℎ + 6
Oleh sebab itu untuk setiap 𝑛 tidak ada pelabelan total ajaib sisi pada
graf roda jika 𝑛 ≡ 3(𝑚𝑜𝑑4).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
BAB IV
ALGORITMA PELABELAN TOTAL AJAIB SISI PADA GRAF RODA
Pelabelan total ajaib sisi pada graf roda memperhatikan urutan label yang
digunakan, sehingga munculnya banyak cara memberikan label. Bila satu label
elemen diganti, maka label elemen yang lain akan berubah. Dengan pelabelan yang
dapat berubah-ubah diperlukan perangkat yang dapat membantu proses pelabelan
tersebut. Perangkat tersebut dapat dirancang dengan memanfaatkan aplikasi yang
berkembang di bidang komputasi. Rancangan perangkat dinyatakan dalam suatu
algoritma pelabelan. Selanjutnya algoritma tersebut disimulasikan dalam suatu
program.
Secara umum, ide pelabelan total ajaib sisi adalah dengan memberikan label
titik dan sisi secara berulang sampai semua sisi memiliki bobot yang sama. Label
titik (𝑣) ditentukan secara acak dan berbeda sedangkan untuk pelabelan sisi jari-jari
( 𝑒 ) mengikuti urutan pasangan label (𝑣, 𝑒 ) sedangkan label sisi pada 𝑠𝑖𝑘𝑒𝑙
diperoleh dengan mengurangkan nilai konstanta ajaib 𝑘 dengan total label titik
yang bersisian dengan sisi pada 𝑠𝑖𝑘𝑒𝑙 tersebut. Perulangan ini dilakukan sampai
semua sisi memiliki bobot yang sama.
A. Proses Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Roda
Pada proses pelabelan, label titik, sisi jari-jari, sisipada 𝑠𝑖𝑘𝑒𝑙 secara
berturut-turut dinotasikan 𝑣, 𝑒, 𝑠 dengan indeks 1,2,3, … , 𝑛 . Berikut ini
variabel-variabel yang digunakan dalam proses pelabelan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
Tabel 4.1 Variabel yang Digunakan dalam Pelabelan
Variabel Keterangan
𝑛 Indeks pada graf roda 𝑊𝑛, menyatakan banyaknya titik pada 𝑠𝑖𝑘𝑒𝑙, nilai
diinputkan oleh pengguna
𝑘 Konstanta ajaib dalam pelabalen, nilai diinputkan oleh pengguna
𝑐 Titik pusat, variabel yang memuat titik pusat
𝑣 Titik pada 𝑠𝑖𝑘𝑒𝑙, variabel yang memuat label-label titik, dalam proses
pelabelan memiliki keluaran dalam bentuk matriks 𝑣 = [𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛]
𝑒 Sisi jari-jari, variabel yang memuat label-label sisi, dalam proses
pelabelan memiliki keluaran dalam bentuk matriks 𝑒 = [𝑒1, 𝑒2, … , 𝑒𝑛]
𝑠 Sisi pada 𝑠𝑖𝑘𝑒𝑙, variabel yang memuat label-label sisi, dalam proses
pelabelan memiliki keluaran dalam bentuk matriks 𝑠 = [𝑠1, 𝑠2, … , 𝑠𝑛]
𝑀 Matriks 𝑀 , variabel yang memuat label-label yang terdapat dalam
pelabelan 𝑀 = [1,2,3, … ,3𝑛 + 1]
𝑘𝑐 Matriks kc, variabel yang memuat label-label yang memungkinkan
sebagai titik pusat
𝐴 Matriks 𝐴, variabel yang memuat label-label yang terdapat pada matriks
𝑀 kecuali variabel titik pusat 𝑐
𝐵 Matriks B, variabel yang memuat pasangan yang memenuhi persyaratan
sebagai variabel untuk 𝑣 dan 𝑒
𝐶 Matriks 𝐶 , variabel yang memuat label-label yang belum digunakan
dalam pelabelan, anggota matriks 𝐶 selalu diperbaharui
𝐷 Matriks 𝐷 , variabel yang memuat label-label pasangan yang belum
digunakan dalam pelabelan, anggota matriks 𝐷 selalu diperbaharui
𝑎, 𝑏, 𝑑, 𝑝𝑠
Variabel sementara pada perulangan, 𝑎 untuk label titik, 𝑏 untuk label
sisi pada jari-jari, 𝑑 untuk label sisi pada 𝑠𝑖𝑘𝑒𝑙 , 𝑝𝑠 untuk pasangan
dengan 𝑑
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
B. Diagram Alir Pelabelan Total Ajaib Sisi pada Graf Roda
Gagasan proses pelabelan pada graf roda perlu dikembangkan sehingga
diperoleh program yang sesuai. Gagasan tersebut dibangun secara bertahap,
meliputi membangun diagram alir atau 𝑓𝑙𝑜𝑤𝑐ℎ𝑎𝑟𝑡 , membangun algoritma
proses pelabelan, dan membahas algoritma pelabelan ke bahasa pemprograman
MATLAB 7.1.
Dalam pemprograman ini dibagi menjadi beberapa bagian yang membahas
alir pelabelan pada graf roda. Rancangan proses pelabelan graf roda tampak
pada gambar. Pada diagram alir tersebut terdapat beberapa bagian pelabelan.
Gambar 4.1 Diagram Alir Proses Pelabelan
Mulai
Selesai
Masukan :
nilai n
Masukan
nilai k
𝑛 ≢ 3(𝑚𝑜𝑑 4)
𝑘𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑘 ≤ 𝑘𝑚𝑎𝑥
Pelabelan Pertama
Pelabelan Kedua - n
Pelabelan Terakhir
Keluaran :
Label
𝑐, 𝑣, 𝑒, 𝑠
A
Benar
Benar
Benar
Benar
Salah
Salah
Salah
Salah
A
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
Dalam proses pelabelan pada graf roda dibagi menjadi tiga bagian utama
yaitu :
1. Bagian Input (Menginput nilai 𝑛 dan 𝑘)
Proses pelabelan diawali dengan menginput nilai 𝑛. Berdasarkan nilai 𝑛
diperoleh batas nilai kostanta ajaib 𝑘, yang kemudian batas nilai ajaib 𝑘
tersebut ditampilkan, sehingga pengguna dapat menginput nilai kostanta
ajaib 𝑘 yang diinginkan. Pada bagian ini diperoleh nilai 𝑛 dan nilai 𝑘 serta
matriks M yang memuat label yang akan digunakan pada pelabelan total
ajaib sisi pada graf roda yaitu 𝑀 = [1 2 3 … 3𝑛 + 1]yang akan digunakan
untuk mencari label-label lain pada pelabelan total ajaib sisi pada graf roda.
Gambar 4.2 Diagram input nilai 𝑛 dan 𝑘
Mulai
Masukan :
nilai n
Masukan
nilai k
𝑛 ≢ 3(𝑚𝑜𝑑 4)
𝑘𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑘 ≤ 𝑘𝑚𝑎𝑥
A
Benar
Benar
Salah
Salah
𝑀 = [1 2 … 3𝑛 + 1]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
2. Bagian Pengolahan (Program perulangan sampai seluruh label diberikan
label)
Berdasarkan nilai konstanta ajaib 𝑘 diperoleh batas untuk label titik
pusat 𝑐. Untuk setiap label titik pusat 𝑐 dapat dibuat sebuah matriks 𝐴 di
mana label yang terdapat pada merupakan label pada matriks 𝑀 kecuali
untuk label titik pusat 𝑐 tidak terdapat pada matriks 𝐴. Selain Matriks 𝐴,
Diperlukan sebuah matriks lain yaitu matriks 𝐵 di mana label pada matriks
𝐵 terdiri dari label yang hanya memenuhi syarat untuk menjadi pasangan
label (𝑣, 𝑒).
Setelah diperoleh matriks 𝐴 dan matriks 𝐵, diperlukan matris lain yang
akan digunakan dalam proses pembuktian yaitu matris 𝐶 yang merupakan
salinan dari matriks 𝐴 dan matriks 𝐷 yang merupakan salinan dari matriks
𝐵.
a. Pada pelabelan pertama, label 𝑎 diperoleh secara acak dari label yang
terdapat pada matriks 𝐷. Berdasarkan label 𝑎 dapat ditemukan label 𝑏
di mana label 𝑏 merupakan pasangan label 𝑎 yang juga terdapat pada
matriks 𝐷. Label 𝑎 akan diinput kedalam label 𝑣 sebagai 𝑣1 dan label 𝑏
akan diinput kedalam label 𝑒 sebagai 𝑒1. Setelah dilakukan input label
𝑎 dan 𝑏 kedalam 𝑣 dan 𝑒 , matriks 𝐶 dan matriks 𝐷 diperbaharui
dengan menghilangkan elemen yang telah dipergunakan pada proses
pelabelan pertama.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
Gambar 4.3 Diagram label 𝑐, 𝑣1 dan 𝑒1
b. Pada pelabelan kedua sampai dengan ke-𝑛 dapat digunakan cara yang
sama dengan tambahan pelabelan 𝑑 di mana label 𝑑 diperoleh dari hasil
pengurangan nilai konstanta ajaib 𝑘 dengan jumlah label titik yang
bersisian dengan sisi pada 𝑠𝑖𝑘𝑒𝑙 tersebut. Setelah diperoleh label 𝑑
diperlukan label lain yaitu label 𝑝𝑠 di mana label 𝑝𝑠 merupakan label
yang memastikan apakah label d merupakan salah satu label yang
terdapat pada matriks 𝐷. Label d akan diinput sebagai label 𝑠 sebagai
𝑠𝑖−1. Jika label 𝑑 bukan salah satu dari label yang terdapat pada matriks
𝐶, maka pelabelan akan kembali diulangi dari proses pelabelan yang
bagian pertama. Setelah label 𝑎, 𝑏 dan 𝑑 diinput dalam 𝑣, 𝑒 dan 𝑠 ,
A
𝑘 − (4𝑛 + 3) ≤ 𝑐 ≤ 𝑘 − (2𝑛 + 1)
𝐴 = 𝑀 di mana tidak ada label 𝑐
𝐵 = Matriks di mana memuat pasangan (𝑣, 𝑒)
𝐶 = 𝐴
𝐷 = 𝐵
𝑎 = 𝐷 (𝑟𝑎𝑛𝑑𝑝𝑒𝑟𝑚(𝑛𝑢𝑚𝑒𝑙(𝐷)))
𝑏 = 𝑘 − 𝑐 − 𝑎
𝑣𝑖 = 𝑎
𝑒𝑖 = 𝑏
𝐶 = 𝑠𝑒𝑡𝑑𝑖𝑓𝑓(𝐶, [𝑎 𝑏])
𝐷 = 𝑠𝑒𝑡𝑑𝑖𝑓𝑓(𝐷, [𝑎 𝑏])
B
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
matriks C diperbaharui dengan menghilangkan elemen 𝑎, 𝑏 dan 𝑑 yang
telah dipergunakan, serta matriks 𝐷 diperbaharui dengan
menghilangkan 𝑎, 𝑏 dan 𝑑 serta 𝑝𝑠 di mana 𝑎, 𝑏 dan 𝑑 merupakan label
yang telah dipergunakan dan 𝑝𝑠 merupakan pasangan dari label 𝑑.
Gambar 4.4 Diagram label 𝑣, 𝑒 dan 𝑠1 sampai 𝑠𝑛−1
c. Pada pelabelan terakhir yaitu pelabelan ke-(𝑛 + 1) adalah pelabelan
yang memastikan 𝑑 di mana label 𝑑 diperoleh dari hasil pengurangan
nilai konstanta ajaib 𝑘 dengan jumlah label titik yang bersisian dengan
sisi pada 𝑠𝑖𝑘𝑒𝑙 tersebut yaitu 𝑑 = 𝑘 − (𝑣𝑛 + 𝑣1) sama dengan label
𝑛𝑢𝑚𝑒𝑙(𝐶) ≠ 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑙(𝑠𝑒𝑡𝑑𝑖𝑓𝑓(𝐶, 𝑑))
B
Benar
Salah
A
𝑎 = 𝐷 (𝑟𝑎𝑛𝑑𝑝𝑒𝑟𝑚(𝑛𝑢𝑚𝑒𝑙(𝐷)))
𝑏 = 𝑘 − 𝑐 − 𝑎
𝑣𝑖 = 𝑎
𝑒𝑖 = 𝑏
𝑑 = 𝑘 − (𝑣𝑖 + 𝑣𝑖−1)
𝑝𝑠 = 𝑘 − 𝑐 − 𝑑
𝐷 = 𝑠𝑒𝑡𝑑𝑖𝑓𝑓(𝐷, [𝑎 𝑏])
Dari 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 𝑣𝑖 = 𝑎
𝑒𝑖 = 𝑏
𝑠𝑖−1 = 𝑑 𝐶 = 𝑠𝑒𝑡𝑑𝑖𝑓𝑓(𝐶, [𝑎 𝑏 𝑑])
𝐷 = 𝑠𝑒𝑡𝑑𝑖𝑓𝑓(𝐷, [𝑎 𝑏 𝑑 𝑝𝑠])
C
Diulangi Dari 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛
𝑖 = 𝑛 + 1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
yang tersisa pada matriks 𝐶. Jika label 𝑑 sama dengan label yang tersisa
pada matriks 𝐶 maka label 𝑑 diinput kedalam 𝑠 sebagai 𝑠𝑛 dan jika
label 𝑑 tidak sama dengan label yang tersisa pada matriks 𝐶 , maka
pelabelan akan diulangi dari proses pelabelan bagian pertama.
Gambar 4.5 Diagram label.𝑠𝑛
Berdasarkan tiga bagian dalam proses pelabelan, diketahui bahwa
pelabelan tersebut tidak akan pernah berhenti sebelum pelabelan tersebut
menemukan pelabelan yang benar, baik pelabelan tersebut benar-benar ada
maupun tidak, sehingga diperlukan batasan perulangan yang mencakup
ketiga bagian pelabelan tersebut sehingga proses pelabelan tidak dilakukan
secara terus menerus.
𝑑 = 𝐶
C
Benar
Salah
A
𝑑 = 𝑘 − (𝑣𝑛 + 𝑣1)
𝑠𝑛 = 𝑑
D
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
3. Bagian Output (Mengeluarkan hasil)
Dari proses yang dilakukan pada bagian kedua, jika proses yang
dilakukan menghasilkan pelabelan yang benar maka hasil label 𝑐, 𝑣, 𝑒 dan 𝑠
akan ditampilkan, tetapi jika proses yang dilakukan tidak menemukan suatu
pelabelan yang benar sampai dengan batas tertentu, maka akan ditampilkan
pemberitahuan bahwa proses yang telah dilakukan tidak mendapatkan label
yang sesuai dengan nilai konstanta akaib 𝑘
Gambar 4.6 Diagram output label 𝑐, 𝑣, 𝑒 dan 𝑠
C. Deskripsi Algoritma Pelabelan Total Ajaib Sisi pada Graf Roda
Pada sub-bab ini akan dibahas algoritma pelabelan pada pelabelan total
ajaib sisi pada graf roda. Diagram alir yang telah dibuat, selanjutnya
dikembangkan dalam algoritma pelabelan.
1. Bagian Input (Menginput nilai 𝑛 dan 𝑘)
Langkah 1 : Input nilai 𝑛
Langkah 2 : Membaca nilai.
Selesai
Keluaran :
Label
𝑐, 𝑣, 𝑒, 𝑠
D
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
Jika 𝑛 ≡ 3(𝑚𝑜𝑑 4) kembali ke langkah 1
Langkah 3 : Mencari batas nilai konstanta ajaib yang memungkinkan, di
mana batas nilai 𝑘 adalah 𝑘𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑘 ≤ 𝑘𝑚𝑎𝑥.
𝑘𝑚𝑖𝑛 = 𝑐𝑒𝑖𝑙 (11𝑛+17
4) dan 𝑘𝑚𝑎𝑥 = 𝑓𝑙𝑜𝑜𝑟 (
25𝑛+7
4).
Langkah 4 : Menampilkan batas nilai kostanta ajaib 𝑘
Langkah 5 : Input nilai kostanta ajaib 𝑘
Langkah 6 : Membaca nilai kostanta ajaib 𝑘
Jika tidak dalam batas kembali ke langkah 5
Langkah 7 : Membuat matriks 𝑀 di mana variabel yang memuat label-
label yang terdapat dalam pelabelan 𝑀 = [1 2 3 … 3𝑛 + 1]
2. Bagian Pengolahan (Program perulangan sampai seluruh label diberikan
label)
a. Pada pelabelan pertama
Langkah 1 : Mencari batas label titik pusat 𝑐 yang memungkinkan di
mana label 𝑐 yang memungkinkan adalah 𝑘 − (4𝑛 +
3) ≤ 𝑐 ≤ 𝑘 − (2𝑛 + 1)
Langkah 2 : Menampilkan 𝑘𝑐 di mana 𝑘𝑐 matriks yang berisi label
yang memungkinkan sebagai label titik 𝑐
Langkah 3 : Memilih salah satu label dari matriks 𝑘𝑐 yang akan
dipergunakan sebagai nilai pusat 𝑐
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
Langkah 4 : Membuat matriks 𝐴 di mana variable yang memuat
label-label yang memuat label pada matriks 𝑀 kecuali
label yang dipergunakan sebagai label titik pusat 𝑐
𝐴 = 𝑠𝑒𝑡𝑑𝑖𝑓𝑓(𝑀, 𝑐)
Langkah 5 : Membuat matriks B di mana variable yang memuat
label-label yang memungkinkan sebagai pasangan (𝑣, 𝑒)
𝑓𝑜𝑟 𝑖 = 1:1
2(𝑘 − 𝑐 − 1)
𝐵 = [𝐵; 𝑖; 𝑘 − 𝑐 − 𝑖]
𝑒𝑛𝑑
𝑡𝑒𝑚𝑝 = [𝑠𝑒𝑡𝑑𝑖𝑓𝑓(𝐴, 𝐵), 𝑐]
𝑡𝑒𝑚𝑝 = [𝑡𝑒𝑚𝑝; (3𝑛 + 2) − 𝑡𝑒𝑚𝑝]
𝐵 = 𝑠𝑒𝑡𝑑𝑖𝑓𝑓(𝐵, 𝑡𝑒𝑚𝑝)
Langkah 6 : Membuat matriks 𝐶 di mana matriks 𝐶 merupakan
duplikat dari matriks 𝐴
Langkah 7 : Membuat matriks 𝐷 di mana matriks 𝐷 merupakan
duplikat dari matriks 𝐵
Langkah 8 : Membuat label 𝑧 di mana label 𝑧 merupakan banyaknya
perulangan yang akan terjadi.
𝑧 = 0
Langkah 9 : Membuat perulangan dari 𝑖 = 1 sampai 𝑛 + 1
Langkah 10 : Memperbaharui label 𝑧 sebanyak perulangan yang terjadi
𝑧 = 𝑧 + 1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
Langkah 11 : Memilih salah satu label dari matriks 𝐷 yang akan
dipergunakan sebagai label 𝑎
𝑎 = 𝐷 (𝑟𝑎𝑛𝑑𝑝𝑒𝑟𝑚(𝑛𝑢𝑚𝑒𝑙(𝐷)))
𝑎 = 𝑎(1)
Langkah 12 : Membuat label 𝑏 di mana label 𝑏 adalah pasangan label
𝑎
𝑏 = 𝑘 − 𝑐 − 𝑎
Langkah 13 : Menginput label 𝑎 dan 𝑏 ke dalam label 𝑣 dan 𝑒 ke 𝑖
𝑣(𝑖) = 𝑎
𝑒(𝑖) = 𝑏
Langkah 14 : Memperbaharui matriks 𝐶 dan 𝐷 karena berdapat label
yang telah dipergunakan
𝐶 = 𝑠𝑒𝑡𝑑𝑖𝑓𝑓(𝐶, [𝑎 𝑏])
𝐷 = 𝑠𝑒𝑡𝑑𝑖𝑓𝑓(𝐷, [𝑎 𝑏])
b. Pada pelabelan kedua
Langkah 1 : Memilih salah satu label dari matriks 𝐷 yang akan
dipergunakan sebagai label 𝑎
𝑎 = 𝐷 (𝑟𝑎𝑛𝑑𝑝𝑒𝑟𝑚(𝑛𝑢𝑚𝑒𝑙(𝐷)))
𝑎 = 𝑎(1)
Langkah 2 : Membuat label 𝑏 di mana label 𝑏 adalah pasangan label
𝑎
𝑏 = 𝑘 − 𝑐 − 𝑎
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
Langkah 3 : Menginput label 𝑎 dan 𝑏 ke dalam label 𝑣 dan 𝑒 ke 𝑖
𝑣(𝑖) = 𝑎
𝑒(𝑖) = 𝑏
Langkah 4 : Membuat label 𝑑 di mana 𝑑 merupakan hasil
pengurangan nilai konstanta 𝑘 dengan jumlah label titik
yang bersisian dengan sisi pada 𝑠𝑖𝑘𝑒𝑙
𝑑 = 𝑘 − (𝑣𝑖 + 𝑣𝑖−1)
Langkah 5 : Mengecek apakah label d merupakan salah satu label
yang terdapat pada matriks 𝐶
𝑛𝑢𝑚𝑒𝑙(𝐶) = 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑙(𝑠𝑒𝑡𝑑𝑖𝑓𝑓(𝐶, 𝑑))
Jika maka pelabelan kembali pada bagian pengolahan
pelabelan pertama langkah 9
Langkah 6 : Membuat label 𝑝𝑠 di mana label 𝑝𝑠 merupakan pasangan
label 𝑑
𝑝𝑠 = 𝑘 − 𝑐 − 𝑑
Langkah 7 : Menginput label 𝑎, 𝑏 dan 𝑑 ke dalam label 𝑣, 𝑒 ke 𝑖 dan
𝑠 ke 𝑖 − 1
𝑣(𝑖) = 𝑎
𝑒(𝑖) = 𝑏
𝑠(𝑖 − 1) = 𝑑
Langkah 8 : Memperbaharui matriks 𝐶 dan 𝐷 karena berdapat label
yang telah dipergunakan
𝐶 = 𝑠𝑒𝑡𝑑𝑖𝑓𝑓(𝐶, [𝑎 𝑏 𝑑])
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
𝐷 = 𝑠𝑒𝑡𝑑𝑖𝑓𝑓(𝐷, [𝑎 𝑏 𝑑 𝑝𝑠])
Langkah 1 − 8 diulangi sampai nilai 𝑖 = 𝑛
c. Pada pelabelan terakhir
Langkah 1 : Membuat label 𝑑 di mana 𝑑 merupakan hasil
pengurangan nilai konstanta 𝑘 dengan jumlah label titik
yang bersisian dengan sisi pada 𝑠𝑖𝑘𝑒𝑙
𝑑 = 𝑘 − (𝑣𝑛 + 𝑣1)
Langkah 2 : Mengecek apakah label d sama dengan matriks 𝐶
𝑡𝑓 = 𝑑 == 𝐶
Jika 𝑡𝑓 = 0 maka pelabelan kembali pada bagian
pengolahan pelabelan pertama langkah 9
Jika 𝑡𝑓 = 1 maka diperoleh pelabelan total ajaib sisi
untuk graf roda-𝑛 dengan konstanta 𝑘
Langkah 3 : Jika nilai z melebihi batasan yang telah ditentukan maka
𝑡𝑓 = 2 untuk melanjutkan pencarian dengan label titik
pusat yang lain
Pelabelan kembali pada bagian pengolahan pelabelan
pertama langkah 3
Langkah 4 : Menginput label 𝑑 ke dalam label 𝑠 ke 𝑛
𝑠(𝑛) = 𝑑
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
3. Bagian Output (Mengeluarkan hasil)
Langkah 1 : Jika 𝑡𝑓 = 1 maka menampilkan hasil pelabelan total ajaib
sisi yang diperoleh
Jika 𝑡𝑓 = 0 maka akan ditampilkan untuk pelabelan total
ajaib sisi pada graf roda 𝑊𝑛 dengan konstanta ajaib 𝑘 belum
ditemukan
D. Simulasi Pelabelan Total Ajaib Sisi pada Graf Roda
Algoritma yang dibuat dapat dibahasakan dengan bahasa pemprograman.
Salah satu software yang dapat digunakan adalah MATLAB 7.1. Proses
pelabelan total ajaib sisi pada graf roda menggunakan nilai 𝑛 dan 𝑘 sebagai
𝑖𝑛𝑝𝑢𝑡 dan 𝑜𝑢𝑡𝑝𝑢𝑡 dari program ini beruapa matriks 𝑐, 𝑣, 𝑒 dan 𝑠 dengan
elemen berupa label.
Algoritma pelabelan yang disusun diterjemahkan menggunakan software
MATLAB 7.1. Program pelabelan tital ajaib sisi pada graf roda ketika
dipergunakan maka pada 𝑐𝑜𝑚𝑚𝑎𝑛𝑑 𝑤𝑖𝑛𝑑𝑜𝑤 akan muncul tampilan berikut.
Gambar 4.7 Tampilan awal pada 𝑐𝑜𝑚𝑚𝑎𝑛𝑑 𝑤𝑖𝑛𝑑𝑜𝑤
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
Selanjutnya, diinputkan nilai 𝑛 . Misal nilai 𝑛 yang diinputkan adalah 5,
maka pada 𝑐𝑜𝑚𝑚𝑎𝑛𝑑 𝑤𝑖𝑛𝑑𝑜𝑤 akan muncul tampilan berikut.
Gambar 4.8 Tampilan input 𝑛 = 5 pada 𝑐𝑜𝑚𝑚𝑎𝑛𝑑 𝑤𝑖𝑛𝑑𝑜𝑤
Selanjutnya, diinputkan niilai kosntanta ajaib 𝑘 yang sesuai dengan batas
yang diberikan. Misal nilai kostanta ajaib 𝑘 yang diinputkan adalah 25, maka
pada 𝑐𝑜𝑚𝑚𝑎𝑛𝑑 𝑤𝑖𝑛𝑑𝑜𝑤 akan muncul tampilan berikut.
Gambar 4.9 Tampilan hasil pelabelan dengan 𝑛 = 5 dan 𝑘 = 25 pada
𝑐𝑜𝑚𝑚𝑎𝑛𝑑 𝑤𝑖𝑛𝑑𝑜𝑤
Berdasarkan hasil pelabelan yang diperoleh dari 𝑐𝑜𝑚𝑚𝑎𝑛𝑑 𝑤𝑖𝑛𝑑𝑜𝑤, dapat
dibuat sebuah graf yang mengilustrasikan hasil pelabelan tersebut. Adapun
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
tahapan untuk memberikan label berdasarkan hasil pelabelan yang diperoleh
dari 𝑐𝑜𝑚𝑚𝑎𝑛𝑑 𝑤𝑖𝑛𝑑𝑜𝑤 antara lain:
1. Buatlah graf roda 𝑊𝑛
Gambar 4.10 Tahap pertama ilustrasi hasil pelabelan
2. Berikan label untuk titik pusat berdasarkan hasil yang diperoleh pada
𝑐𝑜𝑚𝑚𝑎𝑛𝑑 𝑤𝑖𝑛𝑑𝑜𝑤
Berdasarkan hasil pada 𝑐𝑜𝑚𝑚𝑎𝑛𝑑 𝑤𝑖𝑛𝑑𝑜𝑤 pada Gambar 4.9, label
untuk titik pusat c adalah 2 sehingga
Gambar 4.11 Tahap kedua ilustrasi hasil pelabelan
2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
3. Berikan label untuk titik (v) pada sikel berdasarkan hasil yang diperoleh
pada 𝑐𝑜𝑚𝑚𝑎𝑛𝑑 𝑤𝑖𝑛𝑑𝑜𝑤
Berdasarkan hasil pada 𝑐𝑜𝑚𝑚𝑎𝑛𝑑 𝑤𝑖𝑛𝑑𝑜𝑤 yang terdapat pada
Gambar 4.9, label untuk titik pada 𝑠𝑖𝑘𝑒𝑙 terletak pada kolom pertama yaitu
8, 11, 13, 7 dan 14.
Cara memberikan label untuk titik (𝑣𝑖) pada sikel adalah dengan
memberikan label secara berurutan sehingga untuk ∀𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ,
𝑣𝑖 bertetangga dengan 𝑣1−1 dan 𝑣𝑖+1.
Gambar 4.12 Tahap ketiga ilustrasi hasil pelabelan
4. Berikan label untuk jari-jari (e) berdasarkan hasil yang diperoleh pada
𝑐𝑜𝑚𝑚𝑎𝑛𝑑 𝑤𝑖𝑛𝑑𝑜𝑤
Berdasarkan hasil pada 𝑐𝑜𝑚𝑚𝑎𝑛𝑑 𝑤𝑖𝑛𝑑𝑜𝑤 yang terdapat pada
Gambar 4.9, label untuk jari-jari (𝑒𝑖) terletak pada kolom kedua yaitu 15,
12, 10, 16 dan 9.
Cara memberikan label untuk jari-jari adalah dengan memberikan label
secara berurutan sehingga untuk ∀𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑒𝑖 bersisian dengan 𝑣𝑖 dan
𝑐.
8
11
13 7
14 2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
Gambar 4.13 Tahap keempat ilustrasi hasil pelabelan
5. Berikan label untuk sisi (s) pada sikel berdasarkan hasil yang diperoleh pada
𝑐𝑜𝑚𝑚𝑎𝑛𝑑 𝑤𝑖𝑛𝑑𝑜𝑤
Berdasarkan hasil pada 𝑐𝑜𝑚𝑚𝑎𝑛𝑑 𝑤𝑖𝑛𝑑𝑜𝑤 yang terdapat pada
Gambar 4.9, label untuk sisi (𝑠𝑖) pada 𝑠𝑖𝑘𝑒𝑙 terletak pada kolom ketiga
yaitu 6, 1, 5, 4 dan 3.
Cara memberikan label untuk sisi pada sikel adalah dengan memberikan
label secara berurutan sehingga untuk ∀𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑠𝑖 bersisian dengan
𝑣𝑖 dan 𝑣𝑖+1.
Gambar 4.14 Tahap kelima ilustrasi hasil pelabelan
Berdasarkan ilustrasi pada Gambar 4.10, bobot setiap sisi sebagai berikut
𝑤𝑡(15) = 8 + 15 + 2 = 25
𝑤𝑡(12) = 11 + 12 + 2 = 25
𝑤𝑡(10) = 13 + 10 + 2 = 25
𝑤𝑡(16) = 7 + 16 + 2 = 25
8
11
13 7
14 9
15
12
10 16
2
8
11
13 7
14 9
15
12
10 16
2
3 6
5
4 1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
𝑤𝑡(9) = 14 + 9 + 2 = 25
𝑤𝑡(6) = 8 + 6 + 11 = 25
𝑤𝑡(1) = 11 + 1 + 13 = 25
𝑤𝑡(5) = 13 + 5 + 7 = 25
𝑤𝑡(4) = 7 + 4 + 14 = 25
𝑤𝑡(3) = 14 + 3 + 8 = 25
E. Kekurangan pelabelan dengan menggunakan software MATLAB 7.1
Simulasi pelabelan yang dilakukan program pelabelan dengan 𝑠𝑜𝑓𝑡𝑤𝑎𝑟𝑒
MATLAB 7.1 memiliki beberapa kelemahan, antara lain
1. Tidak adanya kepastian apakah untuk graf roda 𝑊𝑛 dengan nilai kosntanta
ajaib 𝑘 memiliki sebuah pelabelan total ajaib sisi.
2. Dalam menjalankan perintah perulangan dibutuhkan sebuah batasan, agar
perulangan tersebut tidak terus berulang, hal tersebut mengakibatkan ada
kemungkinan suatu pelabelan total ajaib sisi pada graf roda 𝑊𝑛 untuk nilai
konstanta ajaib 𝑘 yang sebenarnya ada namun karena pembatasan
perulangan sehingga mengakibatkan hasil tersebut tidak muncul.
3. Banyaknya kemungkinan cara memberikan label tiap elemen sehingga
membuhtuhkan waktu yang cukup lama untuk menjalankan perintah.
4. Semakin tinggi nilai 𝑛 yang diinputkan maka semakin lama pula waktu
yang diperlukan untuk menjalankan perintah.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
F. Contoh Pemanfaatan Pelabelan Total Ajaib Sisi pada Graf Roda
1. Penerapan kartu sebagai kode akses pembuka ruangan dan lift
Pada sebuah banguan bertingkat (contoh: hotel), bangunan tersebut pasti
memiliki banyak ruangan, baik yang terdapat pada lantai dasar sampai
dengan lantai yang tertinggi. Setiap ruangan diperlukan sebuah kunci, baik
kunci yang seperti biasa maupun kunci yang berupa sebuah kartu. Pelabelan
total ajaib sisi pada graf roda dapat diterapkan dalam penerapan label
sebagai kode akses dari ruangan-ruangan yang ada di hotel tersebut.
Gambar 4.15 Pelabelan total ajaib sisi pada 𝑊6 dengan 𝑘 = 38
Pada lantai 6 pada sebuah bangunan hotel memiliki 12 ruangan berbeda
di mana setiap ruangan memiliki kodenya masing-masing. Ruangan
tersebut hanya dapat dibuka dengan menggunakan kartu yang memiliki
kode yang sama.
Misalkan kode pada ruangan 601 adalah 160319 sedangkan pada
ruangan 602 adalah 160517. Pada saat menggunakan lift dari kedua kartu
tersebut hanya memiliki akses untuk lantai 6 karena nilai konstanta ajaib
yang diterapkan pada kedua kartu tersebut adalah 38 yang diintegrasikan
8
12 18
3
17
15 9
13
11
6
2
16
1
7
5
19
4 10
14
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
untuk akses untuk lantai 6 dan pada lantai 6 hanya memiliki akses untuk
ruangannya masing-masing.
2. Penerapan password untuk masuk pada sistem internet
Pada jaman modern, kebutuhan untuk terhubung dengan dunia luar
bukan lagi termasuk kebutuhan sekunder, tetapi sudah menjadi kebutuhan
primer. Oleh sebab itu, para penyedia jasa yang saling berlomba-lomba
untuk menawarkan berbagai promo berdasarkan kebutuhan pelanggan.
Penyedia jasa tersebut akan membagi kebutuhan pelanggan tersebut dalam
beberapa tingkatan, baik untuk kelas bawah, kelas menengah maupun kelas
atas, sehingga terdapat banyak pilihan yang dapat ditawarkan kepada
pelanggan. Pelabalan total ajaib sisi dapat diterapkan sebagai kode akses
masuk (password) untuk membedakan setiap tingkatan pelayanan ketika
hendak menggunakan layanan dari penyedia jasa tersebut.
Setiap password merepresentasikan pelabelan dan nilai konstanta ajaib
k merepresentasikan tingkatan pelayanan. Hal ini dapat diterapkan untuk
mengefisienkan sistem pemberian kode. Antara satu buah password dengan
yang lainnya berbeda tetapi memiliki pengelompokan yang sama untuk
tingkat pelayanan jika nilai konstanta ajaib k-nya sama.
Sebagai contoh pada pelabelan total ajaib sisi pada graf roda 𝑊102 di
mana nilai konstanta ajaib yang 512.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
Graf roda 𝑊102 dengan nilai kostanta ajaib 𝑘 = 512 diperoleh ketika
nilai pusat c adalah 204 dan label-label lainnya seperti yang terdapat pada
tabel berikut ini:
Tabel 4.2 Label 𝑣𝑖 , 𝑒𝑖 dan 𝑠𝑖 pada 𝑊102 dengan 𝑘 = 512 dan 𝑐 = 204
i Titik
(𝑣𝑖)
Jari-
Jari
(𝑒𝑖)
Sisi
(𝑠𝑖)
i Titik
(𝑣𝑖)
Jari-
Jari
(𝑒𝑖)
Sisi
(𝑠𝑖)
1 307 001 103 27 294 014 129
2 102 206 104 28 089 219 130
3 306 002 105 29 293 015 131
4 101 207 106 30 088 220 132
5 305 003 107 31 292 016 133
6 100 208 108 32 087 221 134
7 304 004 109 33 291 017 135
8 099 209 110 34 086 222 136
9 303 005 111 35 290 018 137
10 098 210 112 36 085 223 138
11 302 006 113 37 289 019 139
12 097 211 114 38 084 224 140
13 301 007 115 39 288 020 141
14 096 212 116 40 083 225 142
15 300 008 117 41 287 021 143
16 095 213 118 42 082 226 144
17 299 009 119 43 286 022 145
18 094 214 120 44 081 227 146
19 298 010 121 45 285 023 147
20 093 215 122 46 080 228 148
21 297 011 123 47 284 024 149
22 092 216 124 48 079 229 150
23 296 012 125 49 283 025 151
24 091 217 126 50 078 230 152
25 295 013 127 51 282 026 153
26 090 218 128 52 077 231 155
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
i Titik
(𝑣𝑖)
Jari-
Jari
(𝑒𝑖)
Sisi
(𝑠𝑖)
i Titik
(𝑣𝑖)
Jari-
Jari
(𝑒𝑖)
Sisi
(𝑠𝑖)
53 280 028 156 78 063 245 181
54 076 232 157 79 268 040 182
55 279 029 158 80 062 246 183
56 075 233 159 81 267 041 184
57 278 030 160 82 061 247 185
58 074 234 161 83 266 042 186
59 277 031 162 84 060 248 187
60 073 235 163 85 265 043 188
61 276 032 164 86 059 249 189
62 072 236 165 87 264 044 190
63 275 033 166 88 058 250 191
64 071 237 167 89 263 045 192
65 274 034 168 90 057 251 193
66 070 238 169 91 262 046 194
67 273 035 170 92 056 252 195
68 069 239 171 93 261 047 196
69 272 036 172 94 055 253 197
70 068 240 173 95 260 048 198
71 271 037 174 96 054 254 199
72 067 241 175 97 259 049 200
73 270 038 176 98 053 255 201
74 066 242 177 99 258 050 202
75 269 039 178 100 052 256 179
76 065 243 203 101 281 027 180
77 244 064 205 102 051 257 154
Antara satu pelanggan dengan yang lain akan medapatkan password yg
berbeda, sebagai contoh password untuk Pelanggan A adalah 204307001,
sedangkan password untuk Pelanggan B adalah 204102206. Kedua pelanggan
tersebut mendapatkan tingkat pelayanan yang sama dikarenakan faktor dari
nilai konstanta ajaib k yang ditetapkan pada password tersebut sama yaitu 512
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
Pelabelan total ajaib sisi dengan penerapan penggunaan password tidak
terbatas pada pelayanan internet, tetapi dapat diterapkan untuk hal lainnya,
seperti token pada pulsa seluler, token pulsa listrik, dll.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
BAB V
PENUTUP
A. Kesimpulan
Dari pembahasan yang terdapat pada skripsi ini, dapat diambil beberapa
kesimpulan antara lain sebagai berikut:
1. Pelabelan total ajaib sisi berlaku pada graf roda 𝑊𝑛.
2. Nilai kosntanta ajaib 𝑘 pada pelabelan total ajaib sisi pada graf roda 𝑊𝑛
berada pada
11𝑛 + 17
4≤ 𝑘 ≤
25𝑛 + 7
4
3. Pelabelan total ajaib sisi graf roda 𝑊𝑛 dapat ditemukan pelabelannya jika
𝑛 ≢ 3(𝑚𝑜𝑑4).
4. Pelabelan total ajaib sisi pada graf roda 𝑊𝑛 di mana 𝑛 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 4) dapat
ditemukan pelabelannya jika label 𝑐 merupakan label dengan bilangan asli
ganjil.
5. Pelabelan total ajaib sisi pada graf roda 𝑊𝑛 di mana 𝑛 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑 4) dapat
ditemukan pelabelannya jika label 𝑐 merupakan label dengan bilangan asli
genap.
6. Pelabelan total ajaib sisi pada graf roda 𝑊𝑛 dapat dilakukan secara iteratif
yakni dengan memberi label pada titik tengah, titik pada sikel, jari-jari dan
sisi pada sikel dengan label yang tersedia. Algoritma pelabelan dibangun
dan disimulasikan dengan menggunakan MATLAB 7.1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
B. Saran
1. Penelitian selanjutnya dapat membahas Pelabelan Total Tidak – Ajaib Sisi
atau Pelabelan Total Tidak – Ajaib Titik.
2. Penggunaan bahasa pemprograman yang lain yang dapat meningkatkan
kecepatan dalan proses pencarian label.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
DAFTAR PUSTAKA
Buckley, Fred & Marty Lewinter. (2002). A Friendly Introduction to Graph Theory.
New York : Pearson Education, Inc.
Chartrand, Gari & Ortrud R. Oellermann. (1993). Applied and Algorithmic Graph
Theory. New York : McGraw-Hill, Inc.
Fathoni, Zain. (2011). Penggunaan Audentifikasi Sidik Jari untuk Pengaman
Transaksi ATM. Bandung, 053.
Fukuchi, Y. (2001). Edge Magic Labelings of Wheel Graphs. Tokyo J.Math.
Gallian, J.A. (2016). A Dynamic Survey of Graph Labelings. The Electronic Journal
of Combinatorics, #DS6.
Goodaire, Edgar G. & Michael M. Parmenter. (1998). Discrete Mathematicswith
Graph Theory. New York : Inc.
Kristinawati, A.M. (2015), “Pelabelan Total Ajaib Titik Pada Graf Roda”, Skripsi
Matematika. Yogyakarta : Universitas Sanata Dharma.
Munir, Rinaldi. (2001). Matematika Diskrit. Bandung : Informatika Bandung.
Stewart, B.M. (1966). Magic Graphs. Canad J.Math.
Wallis, W.D. (2001). Magic Graph. New York : Birkhauser.
Yuliyanto, B.D. (2012), “Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat Pada Graf Sikel Dengan
Tambahan Dua Anting”,Skripsi Matematika. Yogyakarta : Universitas
Sanata Dharma.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
LAMPIRAN
1. Listing Program
clear all clc disp('========================================================='); disp('========== Programan Pelabelan Total Ajaib Sisi ========='); disp('========================================================='); disp(' Program ini untuk menentukan Pelabelan Total Ajaib Sisi '); disp('========== pada graf roda Wn di mana n~=3(mod 4) ========'); disp('========================================================='); disp(' ');
%Bagian Input
%Input nilai n n=input('Masukan nilai n = '); while mod(n,4)==3 disp('Nilai n yang anda masukan merupakan 3(mod)4'); disp('Silakan diulangi');disp(' '); n=input('Masukan Nilai n = '); end M=1:3*n+1;
%Batas nilai ajaib k kmin=ceil((11*n+17)/4); kmax=floor((25*n+7)/4);
%Input nilai ajaib k fprintf('Batas konstanta magic k pada n = %d',n);disp(' '); fprintf('Nilai k terkecil adalah %d',kmin); fprintf(' dan Nilai k terbesar adalah %d',kmax);disp(' '); tf=0; while tf==0 k=input('Masukan nilai konstanta ajaib k = '); if k<kmin disp('Nilai yang anda masukan kurang dari batas k, silakan
diulangi');disp(' '); elseif k>kmax disp('Nilai yang anda masukan melebihi dari batas k,
silakan diulangi');disp (' '); else tf=1; end end
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
%Bagian Proses
tic; %Batas nilai pusat cmin=k-(4*n+3); cmax=k-(2*n+1); if cmin<1 cmin=1; end
if cmax>3*n+1 cmax=3*n+1; end
kc=cmin:cmax;
if mod(n,4)==0 for i=1:length(kc) if mod(kc(i),2)==0 kc(i)=0; end end kc=unique(kc); kc=setdiff(kc,0); elseif mod(n,4)==2 for i=1:length(kc) if mod(kc(i),2)==1 kc(i)=0; end end kc=unique(kc); kc=setdiff(kc,0); end disp('nilai c yang memenuhi'); disp(kc); fprintf('Pencarian magic graf dengan n = %d',n); fprintf(' dengan nilai k = %d',k);disp(' ');
%Proses perulangan untuk menentukan nilai variabel pada graf roda for j=1:length(kc) %Data awal c=kc(j); fprintf('Proses untuk nilai c = %d',c);disp(' '); A=setdiff(M,c); B=1; for i=1:(1/2)*(k-c-1) B=[B;i;k-c-i]; end y=setdiff(B,A); B=setdiff(B,[y k-c-y]); B=unique(B); B=setdiff(B,[c k-2*c]); tf=0; z=0;
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
74
while tf==0 C=A; D=B; i=0; z=z+1; if length(D)<2*n break else i=1; end while i<=n+1 if i==1 a=D(randperm(numel(D))); v(i)=a(1); e(i)=k-c-v(i); D=setdiff(D,[v(i) e(i)]); C=setdiff(C,[v(i) e(i)]); elseif i<n+1 a=D(randperm(numel(D))); a=a(1); b=k-c-a; v(i)=a; e(i)=b; d=k-v(i)-v(i-1);s(i-1)=d; if numel(C)==numel(setdiff(C,d)) break end ps=k-c-d; D=setdiff(D,[a b d ps]); C=setdiff(C,[a b d]); f=length(D); if f<2*(n-i) break end elseif i==n+1 s(n)=k-v(1)-v(n); if s(n)==C tf=1; end end i=i+1; end if z==(factorial(n-1))*2^(n); tf=2; end end if tf==1 break else tf=0; end end
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
75
%Bagian Output %Menampilkan output berhasil atau tidaknya if tf==0 fprintf('Setelah proses perulangan sebanyak %d',z);disp(' kali
untuk setiap nilai c yang memungkinkan'); fprintf('Tidak ditemukan magic grap pada n = %d',n);disp(' '); fprintf('Dengan nilai magic k = %d',k);disp(' '); elseif tf==1 clc H=[v;e;s];H=H'; disp('=======Programan Pelabelan Total Ajaib Sisi ======'); disp('=================================================='); disp(' Program ini untuk menentukan Pelabelan Total Ajaib Sisi
'); disp(' '); fprintf('Dengan n = %d',n); fprintf(' dan konstanta ajaib = %d',k);disp(' ');
fprintf('Diperoleh label titik tengah c = %d',c);fprintf('
dengan');disp(' '); disp('label titik, jari-jari, sisi adalah');disp(H); fprintf('Hasil diperoleh setelah proses perulangan sebanyak
%d',z);disp(' kali'); end
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI