Embed Size (px)
Citation preview
Teori Peluang
Sub-pokok Bahasan:
Kaidah Pencacahan
(Counting Rule)
MATERI SMA KELAS XI PROGRAM IPA SEMESTER 1
SAPTANA SURAHMAT Penyusun : 1
Target Kompetensi
1. Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan, dan sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah
Standar Kompetensi *
Kompetensi Dasar *
1.4 Menggunakan aturan perkalian, permutasi dan kombinasi dalam pemecahan masalah.
*) Dikutif dari Lampiran
Peraturan Mentri Nomor
22 Tahun 2006 tentang
Standar Isi Untuk Satuan
Pendidikan Dasar dan
Menengah.
Indikator
a. Menyusun aturan perkalian, permutasi dan kombinasi.
b. Menggunakan aturan perkalian, permutasi dan kombinasi.
c. Menentukan koefisien suku banyak mengguna-kan rumus binomial.
Indikator Pencapaian Kompetensi : Karakter peserta
didik yang diharap-
kan terbentuk :
• Rasa ingin tahu,
• Mandiri,
• Kreatif,
• Kerja keras,
• Pantang
menyerah,
• Disiplin,
• Demokratis.
Tujuan Pembelajaran
Tujuan Pembelajaran :
1) Dapat menyusun aturan perkalian, permutasi dan kombinasi secara induktif.
2) Dapat menyelesaikan masalah-masalah yang ber-hubungan dengan kejadian dengan menggunakan aturan perkalian, permutasi dan kombinasi.
3) Dapat menentukan koefisien suatu suku banyak secara tepat dengan menggunakan rumus binomial.
Karakter peserta
didik yang diharap-
kan terbentuk :
• Rasa ingin tahu,
• Mandiri,
• Kreatif,
• Kerja keras,
• Pantang
menyerah,
• Disiplin,
• Demokratis.
Peta Konsep
Kegiatan pembelajaran 1
Kaidah pencacahan (counting rule) adalah aturan-aturan
yang digunakan dalam menghitung banyaknya suatu
kejadian muncul.
Beberapa kaidah yang digunakan dalam pencacahan
adalah :
1. Filling slot (Aturan Pengisian Tempat)
2. Permutasi
3. Kombinasi
Berapa banyak ? Nomor kendaraan
dengan format
“H AAAA HH”
dapat dibuat.
Kaidah pencacahan
1 Filling Slot
Filling slot atau aturan pengisian tempat adalah metoda
mencacah banyaknya cara atau susunan yang didasarkan
pada ketentuan :
“bila suatu proses dapat dilakukan dalam beberapa tahap,
dimana tahap pertama dapat dilakukan dengan n1 cara,
tahap kedua dapat dilakukan dengan n2 cara, tahap
ketiga dapat dilakukan dengan n3 cara, dst., maka
banyaknya cara atau susunan keseluruhan dalam proses
tersebut adalah n1 n2 n3 ...”
n1
n2
n3
nk
dst.
n1 x n2 x n3 x ... x nk
cara
Bila saya mempunyai 5 buah
sweater dan 3 buah celana,
berapa cara saya dapat
menggunakan sweater dan
celana tersebut ??
Contoh 1 :
Kaidah pencacahan (Filling Slot)
Banyaknya cara menggunakan
sweater dan celana adalah :
5 x 3 = 15
Menentukan banyak pasangan berbeda dengan
menggunakan
diagram
Pe
nye
le
sa
ia
n :
Sweater
Celana
5
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Kaidah pencacahan (Filling Slot)
S1 S2 S3 S4 S5
C1
C2
C3
(C1S1) (C1S2) (C1S3) (C1S4) (C1S5)
(C2S1) (C2S2) (C2S3) (C2S4) (C2S5)
(C3S1) (C3S2) (C3S3) (C3S4) (C3S5)
5 cara
3 c
ara
Menentukan banyak pasangan berbeda
dengan menggunakan
Tabel
Sweater
Celana
5
3 Banyaknya cara menggunakan sweater
dan celana adalah : 5 x 3 = 15
Kaidah pencacahan (Filling Slot)
Kegiatan pembelajaran 1
Suatu panitia lomba marathon bermaksud menyusun
nomor untuk digunakan oleh seluruh peserta. Nomor
peserta tersebut dirancang terdiri dari tiga digit yang
setiap digitnya dapat diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9.
Tentukan banyaknya nomor peserta yang dapat dibuat
jika angka yang digunakan dalam nomor peserta
tersebut:
a. Boleh berulang.
b. Tidak boleh berulang.
Contoh 2 :
Kaidah pencacahan P
en
ye
le
sa
ia
n :
? ? ?
a. Boleh ada angka yang berulang
Dapat diisi oleh
10
angka berbeda (10 cara)
Dapat diisi oleh
10
angka berbeda (10 cara)
Dapat diisi oleh
10
angka berbeda (10 cara)
Nomor peserta marathon yang dapat dibuat adalah:
10 x 10 x 10 = 1000 buah
Digit pertama
Digit kedua
Digit ketiga
Kaidah pencacahan P
en
ye
le
sa
ia
n :
? ? ?
b. Tidak boleh ada angka yang berulang
Dapat diisi oleh
10 (semua angka boleh diguna-
kan)
Dapat diisi oleh
9
( Satu angka sudah
digunakan )
Dapat diisi oleh
8
( Dua angka sudah
digunakan )
Nomor peserta marathon yang dapat dibuat adalah :
10 x 9 x 8 = 720 buah
Kaidah pencacahan
Disk
usik
an
!
Misalkan terdapat tiga juta orang penduduk kota
Bandung yang memiliki kendaraan bermotor.
Apakah semua kendaraan yang dimiliki warga
Bandung tersebut dapat diberi nomor
kendaraan yang berbeda
Format nomor kenda-raan bermotor yang lazim digunakan :
H AAAA HH
(H : huruf, A : Angka)
Kaidah pencacahan
Untuk setiap n bilangan asli, didefinisikan:
n! = n × (n ‒ 1) × (n ‒ 2) × ... × 2 × 1
Untuk n = 0 didefinisikan 0! = 1
Notasi Faktorial Notasi faktorial
akan digunakan
dalam perhitungan
permutasi dan
kombinasi.
Notasi ini menggu-
nakan lambang “!”
sebagai simbolnya.
n! didefinisikan se-
bagai perkalian n
bilangan asli
pertama. Contoh 1 :
a. 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
b. 3!6! = (3 x 2 x 1)(6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 6 x 720 = 4320
c. 7!
5!
5!
5!
6 76 7 42
61 2 3 4 5
1 2 3 4
7
5
Kaidah pencacahan
Contoh 2 :
(n 1)!Diketahui 8. Tentukan nilai n.
(n 2)!
Jawab:
1 2 3 ... (n 2)
1 2 3
(n 1)! (n 1)
(n 2) ... (n! 2)
(n(n 2)!
(
)
n
1
2)!= n – 1
n – 1 = 8 n = 8 + 1 = 9
Kaidah pencacahan
Contoh 3 :
Jawab:
3 26 1
3
4
2
5
1
Ubah perkalian berikut ke dalam notasi faktorial
a. 6 x 5 x 4
b. 7 x 8 x 9 x 10 x 11
a. 6 x 5 x 4 = = 6!
3!
b. 7 x 8 x 9 x 10 x 11
7 8 9 106 11 1!
6!
1!
6!
Kaidah pencacahan
2 Permutasi
Contoh:
1. Permutasi dari unsur-unsur dalam ABC jika diambil
keseluruhan akan terdiri dari :
ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.
2. Permutasi dari huruf ABC jika diambil dua-dua akan
terdiri dari :
AB, AC, BA, BC, CA, CB.
Susunan berbeda yang dibentuk dari n unsur yang
diambil baik secara keseluruhan atau sebagian tanpa ada pengulangan disebut Permutasi.
Kaidah pencacahan
Untuk mengetahui banyak permutasi dari n unsur dapat
ditentukan dengan menggunakan kaidah filling slot.
Jika dari n unsur akan diambil r unsur, maka menurut
kaidah filling slot banyaknya susunan berbeda tanpa ada
pengulangan ditentukan dengan cara sbb. :
? ? ? ?
Unsur
Ke - 1
Unsur
Ke - 2
Unsur
Ke - 3
Unsur
Ke - r ...
...
Dapat
diisi :
n
unsur
Dapat
diisi :
(n – 1)
unsur
Dapat
diisi :
(n – 2)
unsur
Dapat
diisi:
(n – r + 1)
unsur
Banyaknya susunan berbeda :
P(n, r) = n x (n – 1) x (n – 2) x ... x (n – r + 1)
Kaidah pencacahan
Jika bentuk P(n, r) = n x (n – 1) x (n – 2) x ... x (n – r + 1)
diubah ke bentuk notasi faktorial akan diperoleh :
P(n, r)
n n – 1 n – 2 ... n – (n r)!
(
1
n
r
r)!
n!
(n r)!
Kesimpulan :
Banyaknya susunan berbeda (permutasi) dari n unsur jika
diambil r unsur adalah :
Jika r = n, maka banyaknya susunan berbeda adalah
P(n) = n!
n!P(n, r)
(n r)!; dengan r < n
Kaidah pencacahan
Contoh 1:
Tentukan banyak permutasi yang disusun dari unsur-unsur
yang terdapat dalam “ABC”, jika :
1. Diambil keseluruhan
2. Diambil dua-dua
Jawab:
1. Diambil keseluruhan (n = 3)
Banyak permutasi : P(3) = 3! = 3 x 2 x 1 = 6 susunan,
yaitu : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.
2. Diambil dua-dua (n = 3, r = 2)
Banyak permutasi :
3! 3 2 1P(3, 2) 6
(3 2)! 1!susunan
yaitu : AB, AC, BA, BC, CA, CB.
Kaidah pencacahan
Contoh 2:
Dari 10 orang calon pengurus sebuah organisasi, akan
dipilih dua orang untuk menduduki jabatan ketua dan
wakil ketua. Tentukan banyaknya pasangan berbeda
yang dapat dipilih.
Jawab:
Banyak pasangan :
10!
(10 2)!P(10, 2)
10!
8!
8! 9 10
8!= 9 x 10 = 90
Dalam masalah ini, susunan AB dan BA dianggap ber-
beda. AB diartikan A sebagai ketua dan B sebagai wakil.
Sedangkan BA diartikan B sebagai ketua dan A sebagai
wakil. Dengan demikian masalah ini merupakan masalah
permutasi.
Kaidah pencacahan
Contoh 3:
Tentukan n jika diketahui P(n, 4) = 8 P(n – 1, 3).
Jawab:
(n 1)!
(n 1 3)!• P(n – 1, 3)
(n 3) (n 2) (n 1(n 4)!
(n
)
4)!= (n – 3)(n – 2)(n – 1)
n!
(n 4)!• P(n, 4)
(n 3) (n 2)(n 4)!
(n
(n 1) n
4)!
= (n – 3)(n – 2)(n – 1)n
• P(n, 4) = 8 P(n – 1, 3)
(n – 3)(n – 2)(n – 1)n = 8(n – 3)(n – 2)(n – 1)
(n 1)!
(n 4)!
n = 8
Kaidah pencacahan
Permutasi Dengan Beberapa Unsur Sama
Banyaknya permutasi n unsur yang mempunyai m1 unsur
jenis pertama, m2 unsur jenis kedua, m3 unsur jenis ketiga,
dan mk unsur jenis ke-k yang sama adalah:
1 2 3 k
1 2 3 k
n!P(n, m ,m ,m ,...,m )
m ! m ! m ! ... m !
Contoh 1:
Tentukan permutasi semua unsur dalam kata “BUKU”.
Kaidah pencacahan
Jawab :
Dalam kata “BUKU” terdapat satu unsur yang sama, yaitu
huruf “U”. Dalam hal ini terdapat dua huruf “U”.
Sehingga banyak permutasi semua unsur dalam kata
“BUKU” adalah :
4!
2!
32! 4
2!P(4, 2) = 12
1. BUKU 6. BUUK 11. UBUK 16. KBUU 21. UUBK
2. BUUK 7. UKBU 12. UBKU 17. KUUB 22. UUKB
3. BKUU 8. UKUB 13. KUBU 18. KUBU 23. UKBU
4. BKUU 9. UUBK 14. KUUB 19. UBUK 24. UKUB
5. BUKU 10. UUKB 15. KBUU 20. UBKU
Permutasi unsur-unsur dari kata “BUKU” selengkapnya
adalah :
Jumlah permutasi seluruhnya 24 susunan, namun
yang berbeda hanya 12 susunan.
Kaidah pencacahan
Contoh 2:
Tentukan permutasi semua unsur yang terdapat dalam
kata “LUMBALUMBA”.
Jawab :
Dalam kata “LUMBALUMBA” terdapat 10 unsur yang
mengandung beberapa unsur yang sama, yaitu huruf “L“
ada 2, huruf “U“ ada 2, huruf “M“ ada 2, huruf “B“ ada 2
dan huruf “A“ ada 2.
Banyak permutasi :
10!
2! 2! 2! 2! 2!P(10, 2,2,2,2,2)
2! 3 4
25 6
37 8
49 10
5
2! 2 2 2 2
= 3 x 2 x 5 x 3 x 7 x 4 x 9 x 5 = 113400
Kaidah pencacahan
Permutasi Siklis
Permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur
secara melingkar menurut arah putaran tertentu
disebut Permutasi Siklis.
Misalkan 3 buah huruf ABC diletakan secara melingkar.
(perhatikan gambar di samping ini).
Bila pembacaan dimulai dari huruf paling atas, akan diperoleh
6 susunan berbeda, yaitu ABC, ACB, BCA, BAC, CBA dan CAB.
Namun bila pembacaan menggunakan acuan tetap, misal
dimulai dari huruf “A”, maka akan diperoleh susunan ABC, ACB,
ABC, ACB, ACB dan ABC.
Dari susunan itu hanya dua buah saja yang berbeda, yaitu ABC
dan ACB.
Ketentuan inilai yang digunakan dalam permutasi siklis.
Susunan 3 buah huruf
ABC yang diletakan
secara melingkar
Kaidah pencacahan
Misalkan terdapat n unsur yang disusun secara melingkar.
Bila satu unsur dijadikan acuan, maka banyaknya permutasi
siklis dihitung dari sisanya, yaitu sebanyak (n – 1)! susunan.
PS(n) = (n – 1)!
Contoh 1:
Enam orang guru tengah mengadakan
rapat. Mereka duduk mengelilingi sebuah
meja bundar. Berapa banyak cara agar
guru-guru tersebut dapat duduk meling-
kar dengan urutan yang berbeda?
Jawab :
PS(6) = (6 – 1)! = 5! = 120 cara
Definisi :
Kaidah pencacahan
Contoh 2:
Dengan berapa cara empat anak laki-laki dan empat anak
perempuan dapat duduk mengelilingi sebuah meja bundar,
jika:
a. Anak laki-laki dan perempuan duduk secara berselang
seling.
b. Anak-anak duduk berkelompok sesuai jenis kelaminnya.
Jawab :
a. Banyak cara anak laki-laki duduk mengelilingi meja
bundar adalah PS(4)A = (4 – 1)! = 3! = 6 cara.
Banyak cara anak perempuan duduk mengelilingi meja
bundar adalah PS(4)B = (4 – 1)! = 6 cara.
Banyak cara anak laki-laki dan perempuan duduk me-
ngelilingi meja bundar secara berselang-seling adalah :
PS(4)A x PS(4)B = 6 x 6 = 36 cara.
Kaidah pencacahan
b. Banyak cara anak laki-laki dan perempuan duduk menge-
lilingi meja bundar dengan tetap berada dalam kelompok-
nya ditentukan sbb. :
P = Ps(2) x P(4) x (P4) = 1 x 24 x 24 = 1152 cara
• Susunan berbeda anak laki-laki duduk dalam kelom-
poknya dapat dilakukan dalam PL(4) = 4! = 24 cara.
• Susunan berbeda anak perempuan duduk dalam ke-
lompoknya dapat dilakukan dalam PP(4) = 4! = 24 cara.
• Susunan berbeda kelompok laki-laki dan perempuan
duduk mengelilingi meja bundar dapat dilakukan
dalam Ps(2) = (2 – 1)! = 1 cara.
Banyak cara anak laki-laki dan perempuan duduk mengelilingi
meja bundar dengan tetap berada dalam kelompoknya adalah:
Kaidah pencacahan
3 Kombinasi
Definisi
Kombinasi r dari n unsur, ditulis C(n, r), adalah himpun-
an n unsur yang tiap kelompok terdiri dari k < n unsur,
urutan tidak diperhatikan dan unsur-unsur dalam tiap
kelompok tidak berulang.
Bila dalam permutasi susunan ABC, BCA dan ACB meru-
pakan susunan berbeda, maka pada kombinasi ketiga
susunan itu dianggap sama atau ABC = BCA = ACB.
Banyaknya kombinasi r dari n unsur dapat dihitung dengan
menggunakan rumus:
n!C(n, r)
(n r)!r!; dengan r n
Kaidah pencacahan
Contoh 1:
Tentukan banyaknya kombinasi 4 unsur yang diambil dari 6
unsur berbeda.
Jawab :
Banyak kombinasi :
6!C(6, 4)
(6 4)!4!
6!
2!4!
4! 5 6
(1 2)4!= 15
Kaidah pencacahan
Contoh 2:
Suatu pertemuan dihadiri oleh 15 orang undangan.
Jika mereka saling berjabat tangan, tentukan
banyaknya jabatan tangan yang terjadi.
Jawab :
Banyak jabatan tangan :
15!C(15, 2)
(15 2)!2!
15!
13!2!
13! 14 15
13! (1 2) 105
Kaidah pencacahan
Binomial Newton adalah cara menguraikan bentuk
binom (a + b)n dengan menggunakan rumus
kombinasi.
Binomial Newton
Di SMP Anda telah mempelajari cara menjabarkan bentuk perpang-katan berikut : (a + b)0 = 1 (a + b)1 = a + b (a + b)2 = a2+ 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a + b)4 = a4+ 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
Untuk pangkat 4, Anda masih dapat menjabarkannya.
Bagaimana menjabarkan
(a + b)15
?
Rumus Binomial Newton :
n
n n i i
i 0
(a b) C(n,i)a b
Contoh 1:
Dengan menggunakan Binomial Newton uraikan bentuk :
a. (a + b)3
b. (2x – y)4
Sir Isaac Newton
Kaidah pencacahan
Jawab :
3
3 3 i i
i 0
C(3,i)(a b) a b
= C(3,0)a3b0 + C(3,1)a2b1 + C(3,2)a1b2 + C(3,3)a0b3
a.
= 1a3b0 + 3a2b1 + 3a1b2 + 1a0b3
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Kaidah pencacahan
Jawab :
b. (2x – y)4
4
4 i i
i 0
(2x) ( y)C(4,i)
4 0 0 4 1 1 4 2 2
4 3 3 4 4 4
(2x) ( y) (2x) ( y) (2x) ( y)
(2x) (
C(4,0) C(4,1) C(4,2)
C(4,3) C(4,y) (4) 2x) ( y)
= 1(2x)4(1) + 4(2x)3(-y) + 6(2x)2(-y)2 + 4(2x)(-y)3 + 1(2x)0(-y)4
= 16x4 – 4(8x3)y + 6(4x2)y2 – 4(2x)y3 + y4
= 16x4 – 32x3y + 24x2y2 – 8xy3 + y4
= 24 x4 + 4(23 x3)(-y) + 6(22x2)(-y)2 + 4(2x)(-y)3 + 1(2x)0(-y)4
Penutup
Anda sudah mempelajari teori tentang kaidah-kaidah
pencacahan. Agar pemahaman anda semakin baik,
berlatihlah menyelesaikan beragam soal.
Bila sudah siap, anda bisa melanjutkan pembelajaran
ke bagian-2 yang membahas tentang teori peluang.
Jauh lebih terhormat anda melakukan banyak kesalahan setelah mencoba,
daripada yakin bisa dan benar tanpa melakukan apapun.
