Pembahasan OSN Tingkat Provinsi Tahun 2012 Jenjang · PDF fileTutur WidodoPembahasan OSP Matematika SMP Tahun 2012 Pembahasan OSN ... peluang terambil dua kartu ... Misalkan 2x = mdan

Tutur Widodo Pembahasan OSP Matematika SMP Tahun 2012

Pembahasan OSN Tingkat Provinsi Tahun 2012Jenjang SMP

Bidang Matematika

Bagian A : Soal Isian Singkat

1. Sebuah silinder memiliki tinggi 5 cm dan volume 20 cm2. Luas permukaan bolaterbesar yang mungkin diletakkan ke dalam silinder tersebut adalah ...Jawaban : 16 cmKarena bola berada dalam silinder maka jari - jari bola sama dengan jari - jari alassilinder. Misalkan jari - jari alas silinder adalah r. Karena tinggi silinder 5 cmdan volumenya 20 cm2 maka luas alas silinder = πr2 = 20

5 = 4 cm2. Padahal luaspermukaan bola = 4πr2 = 4 · 4 = 16 cm2.

2. Jumlah tiga buah bilangan adalah 19. Jika bilangan pertama dan bilangan keduamasing - masing dikurangi 1, maka diperoleh dua bilangan dengan rasio 1 : 3. Jikabilangan kedua dan bilangan ketiga masing - masing ditambah 3, maka diperolehdua bilangan dengan rasio 5 : 6. Selisih bilangan terbesar dan terkecil adalah ...Jawaban : 6Misalkan ketiga bilangan tersebut adalah a, b, c dengan a < b < c, maka diperoleh

a+ b+ c = 19 (1)

a− 1b− 1 = 1

3 ⇔ 3a = b+ 2 (2)

b+ 3c+ 3 = 5

6 ⇔ 5c = 6b+ 3 (3)

Dari ketiga persamaan di atas didapat

a+ b+ c = 19 ⇔ 15a+ 15b+ 15c = 285

⇔ 5(b+ 2) + 15b+ 3(6b+ 3) = 285

⇔ 38b = 266

⇔ b = 7

karena b = 7 maka a = 3 dan c = 9. Sehingga c− a = 9− 3 = 6.

3. Jika 1 + 14 + 1

9 + 116 + 1

25 + · · · = a, maka 19 + 1

25 + 149 + · · · = . . .

Jawaban :34a− 1

1


Misal N = 19 + 1

25 + 149 + · · · , maka

1 + 14 + 1

9 + 116 + 1

25 + · · · = a

1 + 14 + 1

16 + 136 + · · ·+ 1

9 + 125 + 1

49 + · · · = a

1 + 14

(1 + 1

4 + 19 + · · ·

)+N = a

1 + 14a+N = a

N = 34a− 1

4. Lima belas bilangan prima pertama dituliskan berturut - turut pada lima belaskartu. Jika semua kartu tersebut diletakkan dalam sebuah kotak dan kemudiandiambil secara acak dua buah kartu berturut - turut tanpa pengembalian, makapeluang terambil dua kartu dengan jumlah dua bilangan yang tertulis merupakanbilangan prima adalah ...Jawaban : 2

35

Pasangan bilangan prima yang jumlahnya juga merupakan bilangan prima di antaralima belas bilangan prima yang pertama adalah (2, 3), (2, 5), (2, 11), (2, 17), (2,29) dan (2, 41).

• Jika kartu pertama terambil angka 2 maka kartu kedua harus salah satu dari3, 5, 11, 17, 29 atau 41 sehingga peluangnya adalah 1

15 ·614 = 1

35.

• Jika kartu pertama terambil angka 3, 5, 11, 17, 29 atau 41 maka kartu keduaharus angka 2 sehingga peluangnya adalah 6

15 ·114 = 1

35.

Jadi, peluang terambil dua kartu dengan jumlah dua bilangan yang tertulis meru-pakan bilangan prima adalah 1

35 + 135 = 2

35.

5. Perhatikan gambar bangun datar setengah lingkaran dengan diameter AD danpusat lingkaran M berikut. Misalkan B dan C adalah titik - titik pada lingkaransedemikian sehingga AC⊥BM dan BD memotong AC di titik P . Jika besar∠CAD = s◦, maka besar sudut ∠CPD = ...

2


A M D

CB

P

Jawaban : 12s◦ + 45◦

∠AMB = 90◦ − s◦ dan ∠ADB = 12∠AMB = 45◦ − 1

2s◦.

∠CPD = ∠CAD + ∠ADB

= s◦ + 45◦ − 12s◦

= 12s◦ + 45◦

6. Lima angka yakni 1, 2, 3, 4, dan 5 dapat disusun semuanya tanpa pengulanganmenjadi 120 bilangan berbeda. Jika bilangan - bilangan tersebut diurutkan dariyang terkecil ke yang terbesar, maka bilangan yang menempati urutan ke- 75 adalah...Jawaban : 41325Perhatikan,

• Jika angka pertama adalah 1 maka bilangan yang terbentuk ada 4! = 24



Oleh karena itu, banyak bilangan yang dimulai dengan angka 1, 2, atau 3 adalah24 + 24 + 24 =72. Selanjutnya mudah dilihat bahwa bilangan ke- 73 adalah 41235,bilangan ke-74 yaitu 41253 dan bilangan ke-75 ialah 41325.

7. Diketahui 1 + k habis dibagi 3, 1 + 2k habis dibagi 5, dan 1 + 8k habis dibagi 7.Jika k adalah bilangan bulat positif maka nilai terkecil untuk k adalah ...Jawaban : 62Dari keterangan pada soal kita punya,

k = 3x+ 2

2k = 5y + 4

8k = 7z + 6

untuk suatu bilangan bulat x, y, z.

3


Substitusikan persamaan pertama ke persamaan kedua diperoleh,

2(3x+ 2) = 5y + 4 ⇔ 6x+ 4 = 5y + 4

⇔ 6x = 5y

karena 5 tidak membagi 6 maka haruslah 5 membagi x. Dengan demikian x = 5muntuk suatu bilangan bulat m. Substitusikan x = 5m ke pers. pertama, diperolehk = 3(5m) + 2 = 15m + 2. Selanjutnya substitusikan nilai k = 15m + 2 ke pers.ketiga, didapat

8(15m+ 2) = 7z + 6 ⇔ 120m+ 16 = 7z + 6

⇔ 120m = 7z − 10

⇔ m = 7z − 119m− 7− 3

⇔ m+ 3 = 7z − 119m− 7

perhatikan ruas kanan habis dibagi 7 sehingga ruas kiri juga harus habis dibagi 7.Dengan kata lain m + 3 = 7n ⇔ m = 7n − 3 dengan n merupakan bilanganbulat. Substitusikan nilai m = 7n− 3 ke k = 15m+ 2 sehingga didapat

k = 15(7n− 3) + 2 = 105n− 43

karena k adalah bilangan bulat positif maka nilai terkecil dari k yaitu 62 diperolehketika n = 1.

8. Jika p = 20102+20112 dan q = 20122+20132, maka nilai sederhana dari√

1− 2(p+ q) + 4pqadalah ...Jawaban : 16184525Misalkan n = 2010 maka didapat

p = n2 + (n+ 1)2 = 2n2 + 2n+ 1 dan q = (n+ 2)2 + (n+ 3)2 = 2n2 + 10n+ 13

sehingga diperoleh

2p− 1 = 2(2n2 + 2n+ 1)− 1 = 4n2 + 4n+ 1 = (2n+ 1)2

dan2q − 1 = 2(2n2 + 10n+ 13)− 1 = 4n2 + 20n+ 25 = (2n+ 5)2

4


Selanjutnya kita peroleh√

1− 2(p+ q) + 4pq =√

(2p− 1)(2q − 1)

=√

(2n+ 1)2(2n+ 5)2

= (2n+ 1)(2n+ 5)

= 4021 · 4025

= 16184525

9. Jika a dan b adalah penyelesaian dari persamaan kuadrat 4x2 − 7x − 1 = 0, makanilai dari 3a2

4b− 7 + 3b2

4a− 7 adalah ...

Jawaban : −2116

Dengan rumus jumlah dan hasil kali akar - akar persamaan kuadrat diperoleh,

a+ b = 74 dan ab = −1

4

Selain itu karena a adalah penyelesaian dari persamaan kuadrat 4x2 − 7x − 1 = 0kita peroleh,

4a2 − 7a− 1 = 0 ⇔ a(4a− 7)− 1 = 0 ⇔ 4a− 7 = 1a

demikian pula 4b− 7 = 1b.

Oleh karena itu didapat

3a2

4b− 7 + 3b2

4a− 7 = 3a2

1b

+ 3b2

1a

= 3a2b+ 3ab2

= 3ab(a+ b)

= 3(−1

4

)(74

)= −21

16

10. Pada gambar berikut, kedua ruas garis putus - putus yang sejajar membagi persegimenjadi tiga daerah yang luasnya sama. Jika jarak kedua garis putus - putus terse-but adalah 1 cm, maka luas persegi adalah ... cm2.

5


Jawaban : 13Perhatikan gambar berikut!

y

x

A B

CD

E

F

Misalkan panjang sisi persegi adalah a. Misalkan pula CE = x dan BE = y.Berdasarkan keterangan soal luas jajar genjang AECF adalah 1

3a2. Padahal kita

tahu pula luas jajar genjang AECF = x · 1 = x, maka didapat x = 13a

2. Demikianpula pada 4EBC berlaku

Luas 4EBC = 13a

2

12 ·BE ·BC = 1

3a2

12 · y · a = 1

3a2

y = 23a

Selanjutnya dengan dalil pythagoras pada 4EBC didapat,

y2 + a2 = x2 ⇔(2

3a)2

+ a2 =(1

3a2)2

⇔ 49a

2 + a2 = 19a

4

⇔ 139 = 1

9a2

⇔ a2 = 13

6


Jadi, luas persegi adalah 13 cm2.

Bagian B : Soal Uraian

1. Tentukan semua bilangan real x yang memenuhi persamaan berikut :

2x + 3x − 4x + 6x − 9x = 1

Jawaban :Misalkan 2x = m dan 3x = n maka persamaan pada soal equivalen dengan

m+ n−m2 +mn− n2 = 1 ⇔ m2 + n2 −mn−m− n+ 1 = 0

dengan sedikit manipulasi diperoleh persamaan

12((m− n)2 + (m− 1)2 + (n− 1)2

)= 0

sehingga m = n = 1 atau dengan kata lain 2x = 3x = 1 yang hanya dipenuhi jikadan hanya jika x = 0.Jadi, satu - satunya penyelesaian persamaan pada soal adalah x = 0.

2. Pada gambar berikut, sembilan lingkaran kecil dalam lambang olimpiade akan diisimasing - masing dengan bilangan 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, atau 9. Tentukan pengisiantersebut sehingga jumlah bilangan di dalam setiap lingkaran besar adalah 14.

Jawaban :Misalkan penyelesaian dari soal adalah seperti pada gambar di bawah ini:Kita tahu bahwa a+ b+ c+ d+ e+ f + g+h+ i = 45 dan karena jumlah di dalam

7


setiap lingkaran besar adalah 14, kita peroleh

(a+ b) + (b+ c+ d) + (d+ e+ f) + (f + g + h) + (h+ i) = 5 · 14

b+ d+ f + h+ 45 = 70

b+ d+ f + h = 25

Selain itu, a + b = h + i = 14. Padahal dari sembilan bilangan tersedia yangjumlahnya 14 hanya 5 + 9 dan 6 + 8. Dengan memperhatikan b + d + f + h = 25,maka yang mungkin adalah b = 9 dan h = 6 (dalam hal ini jika b = 6 dan h = 9sama saja karena simetris). Karena b = 9 dan h = 6 berarti d + f = 10. Darisisa angka yanga ada, yang jumlahnya 10 hanya 3 + 7 maka diperoleh d = 3 danf = 7. Angka - angka sisanya yaitu a, c, e, g, h menyesuaikan agar diperoleh jumlah14 pada lingkaran besar. Salah satu penyelesaiannya adalah seperti berikut :

3. Diketahui4ABC dengan AB = 25 cm, BC = 20 cm dan AC = 15 cm. Jika titik Dterletak pada sisi AB sedemikian sehingga perbandingan luas 4ADC dan 4ABC

8


adalah 14 : 25, tentukan panjang CD.Jawaban :Perhatikan sketsa di bawah ini!

A

B

C

D

E

Tarik garis CE yaitu garis tinggi 4ABC dari titik E. Sehingga diperoleh

12 · AC ·BC = 1

2 · AB · CE

15 · 20 = 25 · CE

CE = 12

Kemudian dengan pythagoras pada 4ACE diperoleh AE = 9.Selain itu ingat juga bahwa

AD

AB= Luas 4ADC

Luas 4ABC = 1425

sehinggaAD = 14

25 · AB = 1425 · 25 = 14

Oleh karena itu, DE = AD − AE = 14 − 9 = 5 cm. Perhatikan juga 4CDEadalah segitiga siku - siku. Dengan demikian dengan dalil pythagoras pada 4CDEdidapat CD = 13.

4. Dari hasil sensus diketahui bahwa penduduk suatu kota tak lebih dari 10000 orangdan anak - anak 20% lebih banyak daripada penduduk dewasa. Jika anak laki -laki 10% lebih banyak daripada anak perempuan, serta di antara penduduk dewasaterdapat 15% lebih banyak perempuan. Tentukan jumlah terbesar yang mungkindari penduduk kota tersebut.Jawaban :Misalkan,

• N : jumlah seluruh penduduk

• D : jumlah penduduj dewasa

9


• A : jumlah penduduk anak - anak

• DL : jumlah laki - laki dewasa

• DP : jumlah perempuan dewasa

• AL : jumlah anak laki - laki

• AP : jumlah anak - anak perempuan

Selanjutnya berdasarkan keterangan pada soal diperoleh :A = D+ 0, 2D = 1, 2D tetapi karena A+D = N maka N = A+D = 1, 2D+D =2, 2D, sehingga

D = 12, 2N dan A = 1, 2

2, 2N

Dengan cara yang sama diperoleh AL = AP + 0, 1AP = 1, 1AP tetapi karena AL +AP = A maka A = AL + AP = 1, 1AP + AP = 2, 1AP sehingga

AP = 12, 1 · A = 1

2, 1 ·1, 22, 2N = 20

77N

AL = 1, 1AP = 1, 1 · 12, 1 · A = 1, 1 · 1

2, 1 ·1, 22, 2N = 2

7N

Demikian pula dengan cara yang sama diperoleh :DP = DL + 0, 15DL = 1, 15DL tetapi karena DL +DP = D maka D = DL +DP =DL + 1, 15DL = 2, 15DL sehingga

DL = 12, 15 ·D = 1

2, 15 ·1

2, 2N = 10011 · 43N

DP = 1, 15 · 12, 15 ·D = 1, 15 · 1

2, 15 ·1

2, 2N = 11511 · 43N

Karena AL, AP , DL dan DP merupakan bilangan bulat positif maka haruslah N

merupakan kelipatan dari 7 · 11 · 43 = 3311. Karena N < 10000 maka nilai Nterbesar yang mungkin adalah N = 3 · 3311 = 9933.Jadi, banyak penduduk terbesar yang mungkin di kota tersebut adalah 9933.

5. Diketahui sebuah bilangan rasional positif kurang dari 1 yang dinyatakan dalam pec-ahan biasa dalam bentuk paling sederhana. Jika hasil kali pembilang dan penyebutdari bilangan rasional tersebut adalah 20! = 1 · 2 · 3 · 4 · · · · · · 20. Tentukan semuabilangan yang dimaksud.Jawaban :Misalkan bilangan rasional yang dimaksud adalah a

bdengan a < b dan FPB(a, b) =

1 serta ab = 20! Perhatikan karena FPB(a, b) = 1 maka keduanya tidak memilikifaktor prima yang sama. Selain itu kita punya 20! = 218 ·38 ·54 ·72 ·11 ·13 ·17 ·19. Se-lanjutnya untuk mempermudah penulisan, misalkan a1 = 218, a2 = 38, a3 = 54, a4 =72, a5 = 11, a6 = 13, a7 = 17 dan a8 = 19. Ada lima kasus yang mungkin yaitu :

10


i. ab

= 18∏

n=1an

Untuk kasus ini banyaknya kemungkinan jelas hanya 1.

ii. ab

=

min

ai,8∏

n=1n6=i

an

max

ai,8∏

n=1n6=i

an

Untuk kasus ini banyaknya kemungkinan ada sebanyak C81 = 8.

iii. ab

=

min

aiaj,8∏

n=1n6=i,j

an

max

aiaj,8∏

n=1n6=i,j

an


iv. ab

=

min

aiajak,8∏

n=1n 6=i,j,k

an

min

aiajak,8∏

n=1n 6=i,j,k

an


v. ab

=

min

aiajakal,8∏

n=1n 6=i,j,k,l

an

max

aiajakal,8∏

n=1n 6=i,j,k,l

an

Untuk kasus ini banyaknya kemungkinan ada sebanyak C84

2! = 35.

Oleh karena itu bilangan rasional yang dimaksud ada sebanyak 1+8+28+56+35 =128.

11


Disusun oleh : Tutur WidodoApabila ada saran, kritik maupun masukan

silakan kirim via email [email protected]

Terima kasih.My Webblog : http://mathematic-room.blogspot.com

12

Documents

Pembahasan OSN Tingkat Provinsi Tahun 2012 Jenjang · PDF fileTutur WidodoPembahasan OSP Matematika SMP Tahun 2012 Pembahasan OSN ... peluang terambil dua kartu ... Misalkan 2x = mdan