Pembahasan Soal SIMAK-UI 2012 Matematika IPA Kode 521

Document

Pembahasan Soal

SIMAKUI 2012

SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA

Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS

Matematika IPA

Disusun Oleh :

Pak Anang

Bimbel SIMAKUI 2013 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 1

Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT

Pembahasan Soal SIMAKUI 2012

Matematika IPA Kode Soal 521

By Pak Anang (http://pak-anang . blogspot.com)

PETUNJUK A: Untuk soal nomor 1-11 pilihlah satu jawaban yang paling tepat.

1.

Misalkan T dan U bilangan bulat yang memenuhi sistem persamaan berikut:

\

T F TU E uU E tT F wU F v L r

6

6

T E tU L v

maka T F U

6

6

L ....

A.

Fx

B.

Fu

C.

0

D.

3

E.

6

Pembahasan:

Perhatikan bentuk sistem persamaan berikut:

T F TU E uU E tT F wU F v L r .....................(1)

6

6

T E tU L v...................................................................(2)

Persamaan (1) akan menjadi persamaan kuadrat dengan mensubstitusikan T atau U dari

persamaan (2).

T E tU L v T L v F tU U L t F

s

t

T

Dengan mudah dilihat bahwa substitusi T ke persamaan (1) lebih mudah daripada substitusi U,

karena tidak mengandung unsur pecahan.

Substitusi T L v F tU ke persamaan (1) akan diperoleh:

T F TU E uU E tT F wU F v L r

6

6

:

v F tU

;

6

F v F tU U E uU E t v F tU F wU F v L r

:

;

6

:

;

sx F sxU E vU F vU E tU E uU E z F vU F wU F v L r

6

6

6

vU E tU E uU F sxU F vU F vU F wU E sx E z F v L r

6

6

6

{U F t{U E tr L r

6

P

:

{U F tr

;:

U F s L r

;

{U F tr L r U F s L r

L

U L s

y

Karena T dan U adalah bilangan bulat, maka U L

64

=

tidak memenuhi (TM).

Sehingga, nilai U yang memenuhi adalah U L s, sehingga T L v F tU T L v F t s

:

;

L v F t

L t

Jadi, nilai T F U

6

6

L t

:

;

6

F s

:

;

6

L v F s L u

LOGIKA PRAKTIS:

Apabila T dan U adalah bilangan bulat, maka kemungkinan nilai T F U

6

6

adalah bilangan nol, atau

bilangan bulat ganjil. Jadi jelas jawaban A dan E bukan jawaban yang benar.


Halaman 2

2.

Misalkan B T L T F u

:

;

:

;

7

E T F t

:

;

6

E T F s . Maka sisa dari pembagian B T E t

:

;

:

;

oleh T F s

6

adalah ....

A.

Ft E wT

B.

F{ E svT

C.

w F tT

D.

sv F {T

E.

ss E s{T

Pembahasan:

Fungsi B T E t dapat diperoleh dengan mensubstitusikan T dengan T E t, sehingga:

:

;

B T L T F u

:

;

:

;

7

E T F t

:

;

6

E T F s B T E t L

:

;

:

;

k

:

T E t F u

;

o

7

E

k

:

T E t F t

;

o

6

E

k

:

T E t F s

;

o

B T E t L T F s

:

;

:

;

7

E T E T E s

6

:

;

Misal sisa pembagian dari B T E t oleh T F s adalah LT E M, maka menurut teorema pembagian

:

;

6

suku banyak bisa dirumuskan sebagai berikut:

B T E t L L T D T E O T B T E t L T F s D T E LT E M

:

;

:

;

:

;

:

;

:

;

:

6

;

:

;

:

;

B T E t L T E s

:

;

:

;:

T F s

;

S

@?5 @5

D T E LT E M

:

;

:

;

Dengan mensubstitusikan pembuat nol dari fungsi pembagi, maka akan diperoleh persamaan:

T L Fs B s L FL E M ....................................... (1)

:

;

T L s B u L L E M............................................... (2)

:

;

Padahal B T E t L T F s

:

;

:

;

7

E T E T E s , sehingga:

6

:

;

B s L B Fs E t L

:

;

:

;

k

:

Fs F s

;

o

7

E Fs

:

;

6

E

k

:

Fs E s L Ft

;

o

:

;

7

E s E r L Fz E s L Fy

B u L B s E t L s F s

:

;

:

;

:

;

7

E s

:

;

6

E s E s L r E s E t L u

:

;

Dengan mensubstitusi B s L Fy dan B u L u serta mengeliminasi M pada persamaan (1) dan (2)

:

;

:

;

akan diperoleh:

FL E M L

Fy

L E M L

u

FtL

L Fsr

L L

Fsr

Ft

L L w

Substitusi L L w ke persamaan L E M L u menghasilkan:

L E M L u w E M L u

M L u F w

M L Ft

Jadi, sisa pembagian dari B T E t oleh T F s adalah wT F t.

:

;

6

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS ada di halaman berikutnya!


Halaman 3

TRIK SUPERKILAT:

B T L T F u

:

;

:

;

7

E T F t

:

;

6

E T F s B T E t L T F s

:

;

:

;

:

;

7

E T E T E s

6

:

;

B T E t L T F tT E vT

:

;

7

6

B T E t L T F T

:

;

7

?5

:

.

;

E T FtT E t

6

?6 ?5

:

.

;

F t E vT

B T E t L T T F s E T F t T F s F t E vT

:

;

:

6

;

:

6

;

B T E t L T F t

:

;

:

;:

T F s E wT F t

6

;


:

;

6

LOGIKA PRAKTIS

S

B T L T F u

:

;

:

;

7

E T F t

:

;

6

E T F s B T E t L T F s

:

;

:

;

:

;

7

E T E T E s

6

:

;

B T E t L T F tT E vT

:

;

7

6

T

F

t

T F s

6

T

7

F tT E vT

6

T

7

F

T

F tT E wT

6

F tT

6

E t

wT F t


:

;

6


Halaman 4

3.

Nilai-nilai T yang memenuhi T F t Q s F tT adalah ....

A.

Semua bilangan riil

B.

T R Fs T Q

5

6

C.

Fs Q T Q

5

6

D.

T Q Fs T R s

E.

T Q

5

6

T R s

Pembahasan:

Perhatikan pertidaksamaan pada soal melibatkan harga mutlak, ingat lagi definisi nilai mutlak:

s F tT L ^

s F tT T Q

s

t

F s F tT T P

:

;

s

t

Jadi, kita harus memisah pertidaksamaan tersebut menjadi dua bentuk, yaitu:

Bentuk pertama,

Untuk T Q , maka:

5

6

T F t Q s F tT T E tT Q s E t

uT Q u

T Q

u

u

T Q s

Bentuk kedua,

Untuk T P , maka:

5

6

T F t Q F s F tT

:

;

T F t Q Fs E tT

T F tT Q Fs E t

FT Q Fs

T R

Fs

Fs

T R s

Jadi, karena penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah T Q s atau T R s, maka penyelesaian

pertidaksamaan tersebut adalah T L semua bilangan riil.


Halaman 5

4.

Misalkan T

5

dan T

6

adalah akar-akar persamaan kuadrat T F tG F G F s T E uG E v L r dan

6

:

6

;

:

;

kedua akar itu bilangan bulat dengan G konstan. Jika T G T

5

6

merupakan 3 suku pertama barisan

geometri, maka jumlah J suku pertama dari barisan tersebut adalah ....

A.

F

5

6

:

Fs

;

E

5

6

B.

F

5

6

:

Fs

;

F

5

6

C.

5

6

:

Fs

;

E

5

6

D.

F Fs

:

;

E.

5

6

:

Fs

;

F

5

6

Pembahasan:

Akar-akar persamaan kuadrat T F tG F G F s T E uG E v L r adalah T dan T

6

:

6

;

:

;

5

6

dimana T T

5

6

adalah bilangan bulat serta G konstan.

= L s > L F tG F G F s ? L uG E v

:

6

;

:

;

Dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar diperoleh:

T T L

5

6

?

=

T T L

5

6

:

uG E v

;

s

T T L uG E v :s;

5

6

:

;

Dengan memandang bahwa T G T

5

6

adalah 3 suku pertama barisan geometri, maka kuadrat suku

tengah adalah perkalian dari suku pertama dan suku terakhir, sehingga diperoleh:

G

6

L T T t

5

6

:

;

Dengan mensubstitusi persamaan (1) dan (2) diperoleh:

G

6

L uG E v

G F uG F v L r

6

:

G E s

;:

G F v L r

;

P

G F v L r G E s L r

G L v

G L Fs

Kasus pertama,

Jika G L v, maka:

T F t v

6

:

:

;

6

F v F s T E u v E v L r

:

;

;

:

:

;

;

T F tyT E sx L r

6

K

M

& L > F v=? L ty

6

:

;

6

F v s

:

;:

sx L xxw

;

& P r &

S

Berarti untuk kasus pertama ini tidak memenuhi syarat T T adalah bilangan bulat.

5

6

Kasus kedua,

Jika G L Fs, maka:

T F t Fs

6

:

:

;

6

F Fs F s T E u Fs E v L r

:

;

;

:

:

;

;

T F tT E s L r

6

:

T F s

;

6

L r

T L T L s

5

6


Halaman 6

Sehingga, substitusi T T pada persamaan (2) akan menghasilkan:

5

6

G

6

L T T

5

6

G

6

L s

:

;: ;

s

G

6

L s

G F s L r

6

G E s

:

;:

G F s L r

;

G L Fs G L s

Dengan mudah kita memilih G L Fs sebagai pilihan yang tepat, mengingat di semua opsi jawaban

mengandung unsur Fs

:

;

Jadi barisan geometri yang dimaksud adalah s Fs s Fs

Hal ini berarti bahwa suku pertama = L s dan rasio barisan N L Fs.

Jadi, jumlah J suku pertama barisan geometri tersebut adalah:

5

L

= N

:

F s

;

N F s

L

s

::

Fs

;

F s

;

:

Fs F s

;

L

::

Fs

;

F s

;

Ft

L F

s

t

:

Fs

;

E

s

t


Halaman 7

5.

Dalam segitiga #$%, #$

,,,,,&

L =&, #%

,,,,,&

L >. Jika titik ) adalah titik berat segitiga #$% maka #)

,

&

,,,,,&

L ....

A.

5

:

k=& E >o

,

&

B.

5

8

k=& E >o

,

&

C.

5

7

k=& E >o

,

&

D.

6

7

k=& E >o

,

&

E.

7

8

k=& E >o

,

&

Pembahasan:

Misalkan titik & adalah titik tengah garis #$

,,,,,&

, sehingga #&

,,,,,&

adalah salah satu garis berat segitiga. Dan

titik ) adalah titik berat segitiga, yaitu titik perpotongan semua garis berat segitiga.

Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut:

Jika #$

,,,,,&

L =& dan #%

,,,,,&

L >, maka:

,

&

$%

,,,,,&

L $#

,,,,,&

E #%

,,,,,&

L F=& E >

,&

Sehingga,

#&

,,,,,&

L #$

,,,,,&

E $&

,,,,,,&

#&

,,,,,&

L #$

,,,,,&

E

s

t

$%

,,,,,&

L =& E

s

t

kF=& E >o

,

&

L =& F

s

t

=& E

s

t

>

,&

L

s

t

=& E

s

t

>

,&

L

s

t

k=& E >o

,

&

Perhatikan bahwa titik ) membagi #&

,,,,,&

sehingga #)

,,,,,&

)&

,,,,,&

L t s, sehingga:

#)

,,,,,&

L

t

u

#&

,,,,,&

L

t

u

F k=& E >oG L

s

t

,

&

s

u

k=& E >o

,

&

B

C

A

D

G

B

C

A

D

G


Halaman 8

6.

Dalam segitiga #$%, diketahui sudut berhadapan dengan sisi = > ?. Jika > P ? maka

?

>

L ....

A.

qgl

-

.

:

?

;

amq

-

.

: ;

B.

amq

-

.

:

?

;

qgl

-

.

: ;

C.

r_l

-

.

:

?

;

qgl

-

.

: ;

D.

r_l

-

.

:

?

;

r_l

-

.

: ;

E.

r_l

-

.

:

?

;

amr

-

.

: ;

Pembahasan:

Perhatikan gambar di samping!

Pada #$%, berlaku aturan sinus yang nilai perbandingannya

merupakan dua kali panjang jari-jari lingkaran luar segitiga,

yaitu:

=

L

>

L

?

L t4

Dari aturan sinus bisa diperoleh kesamaan berikut:

>

L t4 > L t4

?

L t4 ? L t4

Sehingga, substitusikan > L t4 dan ? L t4 ke persamaan pada soal,

> F ?

> E ?

L

t4 F t4

t4 E t4

L

t4 F

:

;

t4 E

:

;

L

F

E

L

t

s

t

:

E

;

s

t

:

F

;

t

s

t

:

E

;

s

t

:

F

;

L

s

t

:

E

;

s

t

:

E

;

s

t

:

F

;

s

t

:

F

;

L

s

t

:

E

;

s

t

:

F

;

L

s

t

:

szr F

;

s

t

:

F

;

L F{r F

s

t

: ;

G

s

t

:

F

;

L

s

t

: ;

s

t

:

F

;

L

s

t

:

F

;

s

t

: ;

A

B

C

=

>

?


Halaman 9

7.

Jika P P F s

6

:

6

;:

s F P E P F P E

6

7

;

L T, dengan

6

O P Q , maka nilai dari P

adalah ....

A.

s F T F s

:

;

6

B.

F s F T F s

:

;

6

C.

F s E T F s

:

;

6

D.

F

5

5

? ?5

:

;

.

E.

5

5

> ?5

:

;

.

Pembahasan:

Perhatikan!

P P F s

6

:

6

;

aqa ?5@amr

.

.

:

s F P E P F P E

6

7

;

@5 @? qgl

@

5

?

L T

P P l

6

6

s

s E P

p L T

P

6

P

6

P

6

l

s

s E P

p L T

P l

6

s

s E P

p L T

:

s F P l

6

;

s

s E P

p L T

:

s F P

;:

s E P l

;

s

s E P

p L T

:

s F P L T

;

s F T L P

Karena

6

O P Q berarti P berada di kuadran II, artinya nilai P negatif.

Sehingga, bentuk P dapat diperoleh dari P dengan menggunakan identitas trigonometri:

P E P L s P L s F P

6

6

6

6

P L F s F P

6

:

P II P

;

L F s F s F T

:

;

6

:

s F T

:

;

6

L T F s

:

; ;

6

L F s F T F s

:

;

6


Halaman 10

8.

\?

tT F

vT E ty L ....

6

A.

F

B.

Ft

C.

r

D.

v

E.

Pembahasan:

Ingat bentuk limit tak hingga bentuk F adalah salah satu limit bentuk tak tentu.

Sekarang periksa nilai limit berikut dengan mensubstitusikan nilai T pada fungsi limit terlebih

dahulu, apakah menghasilkan sebuah limit bentuk tak tentu?

\?

tT F

vT E ty L t F F

6

:

;

v F

:

;

6

E ty

L F F

L F F

L F

Karena nilai limit tidak menyebabkan limit menjadi limit bentuk tak tentu, maka nilai limit tersebut

adalah F.


Halaman 11

9.

Diberikan B T L T. Jika B

:

;

6

: ;

T

menyatakan turunan pertama dari B T , maka

:

;

\

D DB @T E A F B :T;E L ....

5

A.

tT

B.

tT

C.

t tT

D.

t T

E.

Ft T

Pembahasan:

Perhatikan bentuk limit pada soal!

\

D \B lT E

s

D

p F B

: ;

T

`

L D \

s

D

L

s

D L

s

s

D

M

5

\

5

s

s

D

\B lT E

s

D

p F B

: ;

T

`

l

s

L rp

5

\4

DB @T E

s

D

A F B

: ;

T

E

s

D

mB

\4

< :

B

T E D F B T

;

:

;=

D

L B

: ;

T

q

B

: ;

T

Sehingga penyelesaian limit tersebut adalah turunan kedua dari fungsi B T .

:

;

Jadi,

B T L T

:

;

6

\

D \B lT E

s

D

p F B

: ;

T

` L B

: ;

T

L

@

6

@T

6

:

T

6

;

L

@

@T

:

t T T

;

L t

@

@T

:

T T

;

L t k T T E T F T o

:

;

L t T F T

:

6

6

;

L t tT

TRIK SUPERKILAT:

B T L T

:

;

6

B T L

:

;

s

t

F

s

t

tT

B

: ;

T

L F tT

B

: ;

T

L t tT


Halaman 12

10.

Jika diketahui garis singgung parabola U L uT E =T E s, pada titik T L Ft membentuk sudut

6

terhadap sumbu T sebesar x . Luas daerah yang dibatasi oleh garis lurus U L F{T F w{ dan

:

;

parabola tersebut adalah ....

A.

r

B.

5

6

C.

s

D.

u

E.

Pembahasan:

Gradien garis singgung parabola U L uT E =T E s pada titik T L Ft bisa diperoleh dari nilai

6

turunan pertama dari kurva pada titik tersebut, sehingga:

B T L uT E =T E s B

:

;

6

: ;

T

L xT E = I L B

:

Ft

;

I L x Ft E =

:

;

I L Fst E =

.................

(1)

Garis singgung tersebut membentuk sudut terhadap sumbu T sebesar x , sehingga:

:

;

L x L x

:

;

Padahal gradien garis singgung dari sebuah kurva juga merupakan nilai dari , dimana adalah

sudut yang dibentuk oleh garis singgung dengan sumbu T, sehingga diperoleh:

I L I L x

................................

................................

.............................

(2)

Dengan mensubstitusi persamaan (1) ke persamaan (2) akan diperoleh:

Fst E = L x = L x E st

= L sz

Jadi, dengan mensubstitusi nilai = L sz, maka persamaan parabola tersebut adalah:

U L uT E szT E s

6

Sehingga, untuk mencari luas daerah yang dibatasi oleh U L uT E szT E s dan sebuah garis lurus,

6

U L F{T F w{ maka gunakan rumus cepat TRIK SUPERKILAT berikut:

Luas daerah yang hanya dibatasi kurva dan garis lurus adalah:

.

L

& &

x=

6

dimana,

& L > F v=?.

6

& adalah nilai diskriminan dari persamaan kuadrat =T E >T E ? yang diperoleh dengan

6

mensubstitusi persamaan garis ke persamaan kurva.

Jadi, substitusi U L F{T F w{ pada kurva, akan diperoleh:

F{T F w{ L uT E szT E s

6

r L uT E szT E s F F{T F w{

6

:

;

r L uT E szT E s E {T E w{

6

r L uP T E ty T E xr

6

Sehingga, nilai & adalah:

& L > F v=? & L ty

6

:

;

6

F v u

:

;:

xr

;

L yt{ F ytr

L {

Jadi, luas daerah tersebut adalah:

.

L

& &

x=

6

L

{ {

x u

:

;

6

L

{ u

x {

L

u

x

L

s

t


Halaman 13

11.

Diberikan bidang empat # $%& dengan $% tegaklurus $& dan #$ tegaklurus bidang $%&. Jika

$% L $& L = t cm, dan #$ L = cm, maka sudut antara bidang #%& dan $%& sama dengan ....

A.

:

B.

8

C.

7

D.

7

8

E.

6

Pembahasan:

Perhatikan bidang segiempat # $%& di samping!

$% c $& #$ c $%&

$% L $& L = t cm

#$ L = cm

Maka besar sudut antara bidang #%& dan $%& dapat

ditentukan dengan membuat menentukan titik potong

kedua bidang terlebih dulu.

Ternyata garis potong kedua bidang tersebut adalah

terletak pada ruas garis &%.

Sudut antara bidang bidang #%& dan $%& adalah

sudut yang dibentuk oleh dua garis pada masing-

masing bidang yang tegak lurus dengan garis potong,

Misal ' adalah titik tengah &%, maka sudut antara

bidang bidang #%& dan $%& adalah sudut yang

dibentuk oleh ruas garis #' dengan ruas garis '$.

Jadi,

L #%& $%& L #' '$

:

;

:

;

Perhatikan bidang alas $%& yang merupakan segitiga siku-siku sama kaki. Apabila bidang alas kita

perluas sehingga menjadi sebuah persegi $%&(, sehingga &% adalah salah satu diagonal persegi.

&% L

$% E $&

6

6

L

k= to E k= to L

6

6

t= E t=

6

6

L

v=

6

L t=

Dan dengan mudah kita mengetahui bahwa:

&' L '% L $' L

s

t

&% &' L '% L $' L

s

t

:

t=

;

&' L '% L $' L =

Jadi, besar sudut dengan mudah ditentukan dari nilai tangen sudut , dimana nilai tangen sudut

adalah perbandingan antara ruas garis #$ dengan ruas garis $':

L

#$

$'

L

=

=

L s

L s

:

;

L vw

L

v

#

%

$

&

'


Halaman 14

PETUNJUK C: Untuk soal nomor 12

12.

Persamaan kuadrat T F LMT E L E M

6

6

6

L r akar-akarnya T

5

dan T

6

dengan tT T L w T E T

5

6

:

5

6

;

.

Pernyataan berikut yang BENAR untuk hubungan antara L dan M adalah ....

(1) L L M

(2) L L tM

(3) L L M E t

(4) tL L M

Pembahasan:

Dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat maka dari

persamaan kuadrat T F LMT E L E M

6

6

6

L r akan diperoleh:

T E T L F

5

6

>

=

T E T L F

5

6

:

FLM

;

s

T E T L LM

5

6

T T L

5

6

?

=

T T L

5

6

:

L E M

6

6

;

s

T E T L L E M

5

6

6

6

Sehingga tT T L w T E T

5

6

:

5

6

;

bisa dinyatakan menjadi:

tT T L w T E T

5

6

:

5

6

;

t L E M

:

6

6

;

L w LM

:

;

tL E tM F wLM L r

6

6

tL F wLM E tM

6

6

L r

:

L F tM

;:

tL F M L r

;

P

L F tM L r tL F M L r

L L tM tL L M

Sehingga diperoleh hubungan antara L dan M, yaitu L L tM atau M L tL

Untuk download rangkuman materi, kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT dalam

menghadapi SIMAK-UI, UM STIS, SBMPTN, SNMPTN, OSN serta kumpulan pembahasan soal SIMAK-UI,

SNMPTN, UM STIS, UMB PTN, OSN ataupun yang lainnya jangan lupa untuk selalu mengunjungi

http://pak-anang . blogspot.com.

Terimakasih,

Pak Anang.

Documents

Pembahasan Soal SIMAK-UI 2012 Matematika IPA Kode 521