Upload
others
View
2
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
PEMBAHASAN TES KEMAMPUAN DASAR SAINS DAN TEKNOLOGI SBMPTN 2013 KODE 431
1. Persamaan lingkaran dengan pusat (β1,1) dan menyinggung garis 3π₯π₯ β 4π¦π¦ +12 = 0 adalah β¦ Sebelum menentukan persamaan lingkarannya, kita tentukan jari-jari lingkaran tersebut. Jari-jari lingkaran tersebut sama dengan jarak antara titik pusat (β1,1) dengan garis 3π₯π₯ β 4π¦π¦ + 12 = 0. Jarak antara titik (π₯π₯1,π¦π¦1) dengan garis yang memiliki persamaan πππ₯π₯ + πππ¦π¦ +ππ = 0 adalah,
π·π· =|πππ₯π₯1 + πππ¦π¦1 + ππ|
βππ2 + ππ2
Sehingga,
ππ =|3(β1) β 4(1) + 12|
οΏ½32 + (β4)2
=|β3 β 4 + 12|β9 + 16
=|5|β25
=55
= 1
Persamaan lingkaran yang memiliki titik pusat di (π₯π₯1,π¦π¦1) dan berjari-jari ππ dapat ditentukan dengan rumus,
(π₯π₯ β π₯π₯1)2 + (π¦π¦ β π¦π¦1)2 = ππ2 Sehingga persamaan lingkaran yang berpusat di (β1,1) dan memiliki jari-jari 1, dapat ditentukan sebagai berikut.
(π₯π₯ β π₯π₯1)2 + (π¦π¦ β π¦π¦1)2 = ππ2
βΊ οΏ½π₯π₯ β (β1)οΏ½2 + (π¦π¦ β 1)2 = 12
βΊ π₯π₯2 + 2π₯π₯ + 1 + π¦π¦2 β 2π¦π¦ + 1 = 1
βΊ π₯π₯2 + π¦π¦2 + 2π₯π₯ β 2π¦π¦ + 1 = 0
Jawaban A.
2. cot 105Β° tan 15Β° = β― Untuk menentukan hasil dari operasi hitung tersebut, kita dapat menggunakan sifat-sifat berikut:
cotπΌπΌ =cosπΌπΌsinπΌπΌ
tanπΌπΌ =sinπΌπΌcosπΌπΌ
2 sinπΌπΌ cosπ½π½ = sin(πΌπΌ + π½π½) + sin(πΌπΌ β π½π½) 2 cosπΌπΌ cosπ½π½ = sin(πΌπΌ + π½π½) β sin(πΌπΌ β π½π½)
Sehingga,
cot 105Β° tan 15Β° =cos 105Β°sin 105Β°
Γsin 15Β°cos 15Β°
=12 (2 cos 105Β° sin 15Β°)12 (2 sin 105Β° cos 15Β°)
=sin(105 + 15)Β° β sin(105 β 15)Β°sin(105 + 15)Β° + sin(105 β 15)Β°
=sin 120Β° β sin 90Β°sin 120Β° + sin 90Β°
=12β3 β 112β3 + 1
=12β3 β 112β3 + 1
Γ12β3 β 112β3 β 1
=34 β β3 + 1
34 β 1
=74 β β3
β 14
= β7 + 4β3
Jawaban A.
3. Enam anak, 3 laki-laki dan 3 perempuan, duduk berjajar. Peluang 3 perempuan duduk berdampingan adalah β¦ Untuk memahami permasalahan ini, perhatikan gambar berikut!
Karena 3 perempuan harus duduk berdampingan, kita dapat menganalogikan aturan ini sebagai pengelompokan, seperti tampak pada gambar di atas. Sehingga yang perlu kita acak hanyalah L1, L2, P, dan L3 dan diperoleh ππ44 kemungkinan. Akan tetapi pada kelompok tersebut terdapat 3 perempuan, sehingga apabila kita acak kita mempeoleh ππ33 kemungkinan. Sehingga peluangnya dapat ditentukan sebagai berikut:
ππ(π΄π΄) =ππ44 β ππ33
ππ66
=
4!(4 β 4)! β
3!(3 β 3)!
6!(6 β 6)!
=4! β 3!
6!
=4 β 3 β 2 β 1 β 3 β 2 β 1
6 β 5 β 4 β 3 β 2 β 1
=144720
=15
Jawaban E. 4. Diketahui balok π΄π΄π΄π΄π΄π΄π·π·.πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ dengan π΄π΄π΄π΄ = 4, π΄π΄π΄π΄ = π΄π΄πΈπΈ = 2. Titik ππ tengah-
tengah π΄π΄π΄π΄, ππ titik tengah πΈπΈπΈπΈ, π π titik tengah π΄π΄πΈπΈ. Jarak ππ ke πππ π adalah β¦ Perhatikan gambar berikut!
Sebelum menentukan jarak antara ππ ke πππ π , kita tentukan dulu πππ π , ππππ, dan πππ π Menentukan Panjang π·π·π·π·οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½ Untuk menentukan πππ π , kita tentukan π΄π΄ππ terlebih dahulu. π΄π΄πποΏ½οΏ½οΏ½οΏ½ merupakan sisi miring dari segitiga siku-siku π΄π΄π΄π΄ππ. Sehingga,
π΄π΄ππ = οΏ½π΄π΄π΄π΄2 + π΄π΄ππ2
= οΏ½42 + 12
= β16 + 1
= β17
πππ π οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½ merupakan sisi miring dari segitiga siku-siku π΄π΄πππ π , sehingga
πππ π = οΏ½π΄π΄ππ2 + π΄π΄π π 2
= οΏ½β172
+ 12
= β17 + 1
= β18 = 3β2
Diperoleh πππ π = 3β2. Menentukan Panjang πΈπΈπ·π·οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½ Sebelum menentukan π π ππ, kita tentukan πΈπΈππ terlebih dahulu. Perhatikan bahwa πΈπΈπποΏ½οΏ½οΏ½οΏ½ merupakan sisi miring dari segitiga siku-siku πΈπΈπΈπΈππ, sehingga
πΈπΈππ = οΏ½πΈπΈπΈπΈ2 + πΈπΈππ2
= οΏ½22 + 22
= β4 + 4
= β8 = 2β2
Setelah itu, kita tentukan π π ππ. π π πποΏ½οΏ½οΏ½οΏ½ merupakan sisi miring dari segitiga siku-siku πΈπΈπ π ππ. Oleh karena itu,
π π ππ = οΏ½πΈπΈπ π 2 + πΈπΈππ2
= οΏ½12 + οΏ½2β2οΏ½2
= β1 + 8
= β9 = 3
Sehingga diperoleh π π ππ = 3. Menentukan Panjang π·π·πΈπΈοΏ½οΏ½οΏ½οΏ½ πππποΏ½οΏ½οΏ½οΏ½ merupakan sisi miring dari segitiga siku-siku πππΈπΈππ. Sehingga sebelum menentukan ππππ, kita tentukan terlebih dahulu πππΈπΈ. Panjang πππΈπΈοΏ½οΏ½οΏ½οΏ½ dapat ditentukan dengan menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku πππ΄π΄πΈπΈ.
πππΈπΈ = οΏ½πππ΄π΄2 + π΄π΄πΈπΈ2
= οΏ½12 + 22
= β1 + 4
= β5
Selanjutnya kita tentukan ππππ dengan menggunakan segitiga siku-siku πππΈπΈππ.
ππππ = οΏ½πππΈπΈ2 + πΈπΈππ2
= οΏ½β52
+ 22
= β5 + 4
= β9 = 3
Diperoleh ππππ = 3
Menentukan Jarak πΈπΈ dengan π·π·π·π·οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½ Untuk menentukan jarak ππ ke πππ π οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½, perhatikan segitiga πππππ π . Sebelumnya kita memperoleh πππ π = 3β2, π π ππ = 3, dan ππππ = 3. Sehingga segitiga tersebut merupakan segitiga sama kaki. Perhatikan gambar segitiga πππππ π berikut.
Karena πππππ π segitiga sama kaki, maka garis yang melewati ππ dan tegak lurus dengan πππ π οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½ membagi πππ π οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½ menjadi 2 bagian yang sama. Sehingga,
ππ = οΏ½ππππ2 β ππππ2
= οΏ½32 β οΏ½32β
2οΏ½2
= οΏ½9 β92
= οΏ½92
=3β2
=32β
2
Jadi, jarak titik ππ ke ruas garis πππ π adalah 3 2οΏ½ β2. Jawaban D.
5. Jika πΏπΏ(ππ) adalah luas daerah yang dibatasi oleh sumbu ππ dan parabola π¦π¦ =2πππ₯π₯ β π₯π₯2, 0 < ππ < 1, maka peluang nilai ππ sehingga πΏπΏ(ππ) β€ 9
16οΏ½ adalah β¦
Perhatikan bahwa: π¦π¦ = 2πππ₯π₯ β π₯π₯2 = π₯π₯(2ππ β π₯π₯). Sehingga grafik fungsi kuadrat tersebut terbuka ke bawah dan memotong sumbu ππ di π₯π₯ = 0 dan π₯π₯ = 2ππ, yang terletak di antara π₯π₯ = 0 dan π₯π₯ = 2. Sehingga luas yang dibatasi oleh parabola tersebut dengan sumbu ππ adalah,
πΏπΏ(ππ)
β€ οΏ½ 2πππ₯π₯ β π₯π₯22ππ
0πππ₯π₯
βΊ 916
β€ οΏ½πππ₯π₯2 β13π₯π₯3οΏ½
0
2ππ
βΊ 916
β€ οΏ½ππ(2ππ)2 β13
(2ππ)3οΏ½ β οΏ½ππ(0)2 β13
(0)3οΏ½
βΊ 916
β€ 4ππ3 β83ππ3
βΊ 916
β€43ππ3
βΊ 0 β€43ππ3 β
916
βΊ 0 β€ 64ππ3 β 27
Untuk menentukan nilai ππ, kita selesaikan persamaan 64ππ3 β 27 = 0 terlebih dahulu.
64ππ3 β 27 = 0
βΊ (4ππ)3 β 33 = 0
βΊ (4ππ β 3)((4ππ)2 + 4ππ β 3 + 32) = 0
βΊ (4ππ β 3)(16ππ2 + 12ππ + 9) = 0
Sehingga, selesaian dari persamaan tersebut adalah ππ = 34οΏ½ . Selanjutnya kita
lakukan uji titik untuk menentukan tanda dari πΏπΏ(ππ).
ππ =14βΉ πΏπΏ(ππ) = 64 οΏ½
14οΏ½
3
β 27 = β26 < 0
ππ =56βΉ πΏπΏ(ππ) = 64 οΏ½
56οΏ½
3
β 27 = 101
27β₯ 0
Sehingga tanda dari πΏπΏ(ππ) dapat digambarkan sebagai berikut.
Jadi peluang πΏπΏ(ππ) β₯ 0 adalah
ππ(π΄π΄) =1 β 3
41 β 0
=14
Jawaban E. 6. Diketahui π΄π΄(3, 0, 0), π΄π΄(0,β3, 0), dan π΄π΄(0, 0, 6). Panjang vektor proyeksi π΄π΄π΄π΄οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β ke
vektor π΄π΄π΄π΄οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β adalah β¦ Misalkan vektor proyeksi π΄π΄π΄π΄οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β ke vektor π΄π΄π΄π΄οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β adalah ππ, panjang ππ dapat ditentukan dengan rumus:
ππ =π΄π΄π΄π΄οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β β π΄π΄π΄π΄οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β
οΏ½π΄π΄π΄π΄οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β οΏ½
Untuk itu, kita tentukan π΄π΄π΄π΄οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β , π΄π΄π΄π΄οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β , dan οΏ½π΄π΄π΄π΄οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β οΏ½ terlebih dahulu.
π΄π΄π΄π΄οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β = (0 β 3, 0 β 0, 6 β 0) = (β3, 0, 6) π΄π΄π΄π΄οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β = (0 β 3,β3 β 0, 0 β 0) = (β3,β3, 0)
οΏ½π΄π΄π΄π΄οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β οΏ½ = οΏ½(β3)2 + (β3)2 + 02 = β9 + 9 = β18 = 3β2 Sehingga,
ππ =(β3 β β3) + (0 β β3) + (6 β 0)
3β2=
93β2
=3β2
2
Jawaban C 7. Jika sinπΌπΌ + sinπ½π½ = β2π΄π΄ dan cosπΌπΌ + cosπ½π½ = β2π΄π΄, maka cos(πΌπΌ β π½π½) = β―
Perhatikan bahwa, (sinπΌπΌ + sinπ½π½)2 = sin2 πΌπΌ + 2 sinπΌπΌ sinπ½π½ + sin2 π½π½ (cosπΌπΌ + cosπ½π½)2 = cos2 πΌπΌ + 2 cosπΌπΌ cosπ½π½ + cos2 π½π½
Karena sin2 πΌπΌ + cos2 πΌπΌ = 1, sin2 π½π½ + cos2 π½π½ = 1, dan 2 sinπΌπΌ sinπ½π½ + 2 cosπΌπΌ cosπ½π½ = 2(sinπΌπΌ sinπ½π½ + cosπΌπΌ cosπ½π½) = 2 cos(πΌπΌ β π½π½)
Maka,
(sinπΌπΌ + sinπ½π½)2 + (cosπΌπΌ + cosπ½π½)2 = 1 + 2 cos(πΌπΌ β π½π½) + 1
βΊ β2π΄π΄2
+ β2π΄π΄2 = 2 + 2 cos(πΌπΌ β π½π½)
βΊ 2π΄π΄ + 2π΄π΄ = 2 + 2 cos(πΌπΌ β π½π½)
βΊ 2 cos(πΌπΌ β π½π½) = 2π΄π΄ + 2π΄π΄ β 2
βΊ cos(πΌπΌ β π½π½) = π΄π΄ + π΄π΄ β 1
Jawaban A. 8. Transformasi ππ merupakan pencerminan terhadap garis π¦π¦ = 4π₯π₯ dilanjutkan
pencerminan terhadap garis π¦π¦ = βπ₯π₯ 4οΏ½ . Matriks penyajian ππ adalah β¦ Transformasi sembarang titik oleh tranformasi ππ sama dengan pencerminan titik tersebut terhadap titik (0, 0), karena π¦π¦ = 4π₯π₯ dan π¦π¦ = βπ₯π₯ 4οΏ½ saling tegak lurus dan berpotongan di (0, 0). Sehingga,
ππ = οΏ½β1 00 β1οΏ½
Jawaban E. 9. Diketahui πΈπΈ(π₯π₯) = πππ₯π₯3 β 3(1 + ππ)π₯π₯2 β 3π₯π₯. Jika πΈπΈβ²β²(π₯π₯) habis dibagi π₯π₯ β 1, maka
kurva π¦π¦ = πΈπΈ(π₯π₯) tidak mempunyai titik ekstrim lokal jika β¦ Diketahui bahwa πΈπΈβ²β²(π₯π₯) habis dibagi π₯π₯ β 1. Sekarang kita tentukan turunan kedua fungsi πΈπΈ tersebut.
πΈπΈβ²(π₯π₯) = 3πππ₯π₯2 β 6(1 + ππ)π₯π₯ β 3 πΈπΈβ²β²(π₯π₯) = 6πππ₯π₯ β 6(1 + ππ)
πΈπΈβ²β²(π₯π₯) habis dibagi π₯π₯ β 1 artinya πΈπΈβ²β²(1) = 0. Sehingga,
πΈπΈβ²β²(1) = 0
βΊ 6ππ β 1 β 6(1 + ππ) = 0
βΊ 6ππ β 6 β 6ππ = 0
βΊ 6ππ = 6ππ β 6
βΊ ππ = ππ β 1
Dengan mensubstitusi ππ = ππ β 1 ke persamaan fungsi, diperoleh πΈπΈ(π₯π₯) = πππ₯π₯3 β 3πππ₯π₯2 β 3π₯π₯
Kurva π¦π¦ = πΈπΈ(π₯π₯) tidak mempunyai titik ekstrim lokal jika turunan pertamanya hanya memiliki paling banyak 1 akar.
πΈπΈβ²(π₯π₯) = 0
βΊ 3πππ₯π₯2 β 6πππ₯π₯ β 3 = 0
Sehingga akar dari turunan pertama πΈπΈ paling banyak 1, maka π·π· β€ 0.
π·π· β€ 0
βΊ (β6ππ)2 β 4 β 3ππ β (β3) β€ 0
βΊ 36ππ2 + 36ππ β€ 0
βΊ ππ2 + ππ β€ 0
βΊ ππ(ππ + 1) β€ 0
Sehingga, β1 β€ ππ β€ 0. Jawaban B.
10. Banyak bilangan ratusan dengan bilangan pertama dan terakhir mempunyai selisih 3 dan tidak ada angka yang sama adalah β¦ Bilangan-bilangan yang memiliki selisih 3 adalah 0 dan 3, 1 dan 4, 2 dan 5, 3 dan 6, 4 dan 7, 5 dan 8, 6 dan 9, serta kebalikannya kecuali 0 dan 3. Sehingga banyaknya bilangan yang memiliki selisih 3 adalah 13.
Bilangan ratusan terdiri dari 3 bilangan, maka banyaknya kemungkinan bilangan kedua adalah 10 β 2 = 8. Sehingga, banyaknya kemungkinan bilangan ratusan yang memenuhi syarat tersebut adalah 13 Γ 8 = 104.
Jawaban β 11. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva π¦π¦ = 2 β π₯π₯2 dan π¦π¦ = |π₯π₯| adalah β¦
Perhatikan bahwa, Fungsi π¦π¦ = |π₯π₯| dapat juga didefinisikan sebagai berikut:
π¦π¦ = οΏ½βπ₯π₯, π₯π₯ < 0π₯π₯, π₯π₯ β₯ 0
Sehingga kita tentukan terlebih dahulu titik perpotongan antara grafik fungsi π¦π¦ = 2 β π₯π₯2 dan π¦π¦ = |π₯π₯|. Titik potong pertama, untuk ππ < ππ Titik potongnya dapat ditentukan dengan mensubstitusikan persamaan π¦π¦ di kedua fungsi tersebut.
2 β π₯π₯2 = βπ₯π₯
βΊ π₯π₯2 β π₯π₯ β 2 = 0
βΊ (π₯π₯ β 2)(π₯π₯ + 1) = 0
Diperoleh π₯π₯ = 2 atau π₯π₯ = β1. Karena π₯π₯ < 0, kita pilih π₯π₯ = β1 Titik potong kedua, untuk ππ β₯ ππ Sama seperti sebelumnya, titik potongnya dapat ditentukan dengan mensubstitusikan persamaan π¦π¦ di kedua fungsi tersebut.
2 β π₯π₯2 = π₯π₯
βΊ π₯π₯2 + π₯π₯ β 2 = 0
βΊ (π₯π₯ + 2)(π₯π₯ β 1) = 0
Diperoleh π₯π₯ = β2 atau π₯π₯ = 1. Karena π₯π₯ β₯ 0, kita pilih π₯π₯ = 1 Menentukan luas Selanjutnya kita tentukan luasnya.
πΏπΏ = οΏ½2 β π₯π₯2 β (βπ₯π₯)0
β1
πππ₯π₯ + οΏ½ 2 β π₯π₯2 β π₯π₯1
0
πππ₯π₯
βΊ = 2 οΏ½βπ₯π₯2 + π₯π₯ + 20
β1
πππ₯π₯
Jawaban A. 12. β«4 sin2 π₯π₯ cos2 π₯π₯ πππ₯π₯ = β―
Perhatikan bahwa 2 sin π₯π₯ cos π₯π₯ = sin 2π₯π₯, maka
οΏ½ 4 sin2 π₯π₯ cos2 π₯π₯ πππ₯π₯ = οΏ½(2 sin π₯π₯ cos π₯π₯)2πππ₯π₯
= οΏ½ sin2 2π₯π₯ πππ₯π₯
= οΏ½1 β cos 4π₯π₯
2πππ₯π₯
=12π₯π₯ β
18
sin 4π₯π₯ + π΄π΄
Jawaban B 13. Diketahui ππ(π₯π₯) = 1
3οΏ½ π₯π₯3 + π₯π₯2 β 3π₯π₯ + 13. Jika ππ(π₯π₯) = ππ(1 β π₯π₯), maka kurva ππ naik pada selang β¦ Pertama, kita tentukan fungsi ππ.
ππ(π₯π₯) = ππ(1 β π₯π₯)
= 13οΏ½ (1 β π₯π₯)3 + (1 β π₯π₯)2 β 3(1 β π₯π₯) + 13
= 13οΏ½ (1 β 3π₯π₯ + 3π₯π₯2 β π₯π₯3) + 1 β 2π₯π₯ + π₯π₯2 β 3 + 3π₯π₯ + 13
= β13π₯π₯3 + 2π₯π₯2 +
343
Kurva naik ketika turunan pertamanya lebih dari atau sama dengan 0.
ππβ²(π₯π₯) β₯ 0
βΊ βπ₯π₯2 + 4π₯π₯ β₯ 0
βΊ π₯π₯(4 β π₯π₯) β₯ 0
Sehingga, 0 β€ π₯π₯ β€ 4. Jawaban D.
14. limπ₯π₯β0
π₯π₯ tanπ₯π₯π₯π₯ sinπ₯π₯βcosπ₯π₯+1
= β―
Limit dari soal tersebut dapat ditentukan sebagai berikut
limπ₯π₯β0
π₯π₯ tan π₯π₯π₯π₯ sin π₯π₯ β cos π₯π₯ + 1
= limπ₯π₯βππ
π₯π₯ tan π₯π₯π₯π₯2
π₯π₯ sin π₯π₯π₯π₯2 β οΏ½cos π₯π₯ β 1
π₯π₯2 οΏ½
= limπ₯π₯βππ
tan π₯π₯π₯π₯
sin π₯π₯π₯π₯ β οΏ½cos π₯π₯ β 1
π₯π₯2 οΏ½
= lim
π₯π₯βππ
tan π₯π₯π₯π₯
sin π₯π₯π₯π₯ β οΏ½
β2 sin2 12 π₯π₯
π₯π₯2 οΏ½
= limπ₯π₯βππ
1
1 +12 β
12 β 2 sin 1
2 π₯π₯ sin 12 π₯π₯
12 π₯π₯ β
12 π₯π₯
=
1
1 + 12 β
12
=
1
1 + 14
=1
32οΏ½
=23
Jawaban D. 15. Jika π₯π₯4 + (ππ β 10)π₯π₯3 + πππ₯π₯2 + 24π₯π₯ β 15 = ππ(π₯π₯)(π₯π₯ β 1) dengan ππ(π₯π₯) habis
dibagi π₯π₯ β 1, maka nilai ππ adalah β¦ Diketahui π₯π₯4 + (ππ β 10)π₯π₯3 + πππ₯π₯2 + 24π₯π₯ β 15 = ππ(π₯π₯)(π₯π₯ β 1) dan ππ(π₯π₯) habis dibagi π₯π₯ β 1, artinya π₯π₯4 + (ππ β 10)π₯π₯3 + πππ₯π₯2 + 24π₯π₯ β 15 habis dibagi (π₯π₯ β 1)(π₯π₯ β 1). Dengan menggunakan cara Horner kita dapat memperoleh,