PEMODELAN PERSAMAAN DIFERENSIAL

ARUS LALU LINTAS

` BAB I PENDAHULUAN 1.1 LATAR BELAKANG Berkembangnya suatu kota umumnya akan diikuti dengan meningkatnya jumlah penduduk, baik itu disebabkan oleh tingkat kelahiran yang tinggi atau tingginya arus urbanisasi. Meningkatnya jumlah penduduk di suatu kota dapat menjadi faktor yang menyebabkan jumlah pengguna kendaraan bermotor semakin meningkat, misalnya DKI Jakarta yang merupakan ibukota negara. Kota ini memiliki tingkat kepadatan penduduk yang sangat tinggi, akibatnya pengguna kendaraan bermotor di DKI Jakarta dari tahun ke tahun semakin meningkat. Hal ini menyebabkan DKI Jakarta memiliki berbagai masalah terutama kemacetan lalu lintas. 1.2 RUMUSAN MASALAH Sesuai dengan apa yang telah diuraikan dalam latar belakang penelitian ini, maka masalah yang akan ditelaah dalam laporan ini adalah Apakah tingkat kepadatan dan arus lalu lintas suatu jalan raya pada waktu tertentu dapat dicari menggunakan persamaan diferensial?. 1.3 TUJUANy

Sebagai alat bantu untuk menyelesaikan masalah-masalah yang berhubungan dengan lalu lintas.

y

Untuk menyelesaikan persamaan traffic flow dengan menggunakan persamaan differensial.

y y

Untuk mengetahui tingkat kepadatan suatu jalan dalam kurun waktu tertentu. Untuk memahami dan menjelaskan sifat-sifat arus lalu lintas.

BAB II ISI 2.1 PERMODALAN MATEMATIS Untuk membuat pemodelan ini, harus membuat asumsi dan idealisasi terlebih dahulu. Asumsi dan idealisasi pada pemodelan masalah traffic flow antara lain : 1. Diasumsikan jalan raya tak berhingga 2. Didefinisikan (x,t) = kepadatan mobilV(x, t) $

Catatan :y y y (x > panjang satu mobil V(x, t) = 1 (ada 1 modil pada jarak x saat t) V(x, t) = 0 tidak ada mobil pada jarak x saat t

3. Diasumsikan tidak terdapat kecelakaan Prinsip konservasi mobil, tingkat banyaknya mobil pada [a,b] adalah sama dengan tingkat mobil masuk pada interval [a,b] dikurangi tingkat mobil keluar pada interval [a,b] tersebut. 4. Didefinisikanq(x, t) = flux mobil (arus mobil) u(x, t) = kecepatan mobil pada jarak x saat t u(x, t) ! V(x, t).u(x, t)q ! cars lane.tim e

Proses Pemodelan Matematis Dalam pemodelan traffic flow ini diambil satu segmen jalan raya antara a dan b. Banyaknya mobil pada segmen tersebut saat t adalah :

n(t,a,b) =

V x, t dxa

b

....(A5.1)

Sehingga perubahan banyaknya mobil :dn b xV ! dx dt xt a

....(A5.2)

Berdasarkan prinsip konservasi mobil :dn xq ! q ( a, t ) q (b, t ) ! dx dt xx ab

....(A5.3)

Sehingga dari (A5.2) dan (A5.3) diperoleh :b

xt a

xp

xq dx ! 0 xx

....(A5.4)

Karena a,b sembarang maka :

Sehingga persamaan kontinuitas dimensi 1 adalah :

Penyelesaian Eksak Pandang peersamaan diferensial parsil dan syarat batas berikut:

xV xq ! 0 0