Metode Numerik

(Pendahuluan)

Kajian Pokok Metode NumerikTujuan: Menyelesaikan suatu persamaan menggunakan model

matematika.

Pemodelan penyelesaian matematika berbasis software untuk mendukung perhitungan manual

Mempelajari software matematika “Scilab” untuk mengaplikasikan Metode Numerik

PENGANTAR NUMERIK

Masalah nyata

Model

matematika

Rumusan masalah

Solusi

Eksak

Pendekatan

Metode analitik vs Metode numerik

Metode analitik

- menghasilkan solusi eksak (galat = 0)

- menghasilkan solusi dalam bentuk fungsi matematika

Metode numerik

- menghasilkan solusi pendekatan

- menghasilkan solusi dalam bentuk angka

Peranan komputer dalam Metode Numerik

Mempercepat perhitungan tanpa membuat kesalahan

Mencoba berbagai kemungkinan yang terjadi akibat perubahan parameter

Contoh aplikasi : Scilab, Mathlab, Mathcad, Mathematica dll

Mengapa perlu belajar Metode Numerik

1. Alat bantu yang ampuh (tidak dapat diselesaikan secara analitik)

2. Memudahkan dalam memahami aplikasi program

3. Dapat membuat sendiri program komputer yang tidak dapat diselesaikan dengan program aplikasi

4. Menyederhanakan matematika yang lebih tinggi menjadi operasi matematika yang mendasar

Prinsip perhitungan dalam numerik

Penggunaan metode/algoritma yang tepat sesuai kasus

“tidak ada algoritma untuk segalanya”

Mencari solusi pendekatan yang diperoleh dengan cepat dan

error kecil

Penyajian bilanganBilangan ada 2:

1. Eksak

2. Tidak eksak Perhitungan matematika tidak eksak , e,

Perhitungan desimal yang berulang 0.3333….

Hasil perhitungan deret tak hingga e

Hasil pengukuran

Desimal dan angka signifikan Misal

x = 0.05 2 desimal 1 angka signifikan

x = 0.30 2 desimal 2 angka signifikan

Angka signifikan adalah angka 0 yang diabaikan untuk yang berada dibelakang sedangkan dihitung untuk angka 0 yang berada di depan

Alur perhitungan

Sumber-sumber galat :

Galat yang ada pada input :

Chopping error

Rounding error

Bilangan yang dimasukkan bukan bilangan eksak

Input Proses Output

Galat yang ada pada proses : Rambatan galat

Rumus/metode/algoritma tidak tepat

Kesalahan alat

Human error

Galat pada output : Chopping error

Rounding error

Misal x adalah nilai eksak dan x*

adalah nilai pendekatan maka galat

= x – x*

Galat absolut a = |x – x*|

Galat absolut relatif

x

xxr

*

Macam-macam galat

1. Chopping error

Galat yang terjadi akibat proses pemenggalan angka sesuai desimal yang diminta

Contoh.

x = 0.378456x103 dipenggal hingga tiga desimal

x* = 0.378x103

galat a = |x – x*| = |0.378456x103 – 0.378x103|

= 0.000456x103 = 0.456

2. Round off error

Galat yang terjadi akibat membulatkan suatu nilai

Contoh.

x = 0.378546x103 dibulatkan menjadi 3 desimal

x* = 0.379x103

galat a = |x – x*|

= |0.378546x103 – 0.379x103|

= 0.000454x103 = 0.454

3. Truncation error

Galat yang muncul akibat pemotongan proses hitung tak hingga, misal deret Taylor, deret MacLaurin

Contoh.

...!7!5!3

sin753

xxx

xx

!5!3sin

53 xxxx

Nested form

Nested form menjadikan operasi perhitungan lebih efisien dan dapat meminimalisasi galat

Contoh. f(x) = 3 + 2.5x + 5.35x2 – 4x3

f(0.25) = 4.521875 Nested form f(x) = 3 + x(2.5+x(5.35+x(-4)))

f(0.25)=3.896875

Galat yang terjadi 0.625

Hilangnya angka signifikan Hilangnya angka signifikan terjadi jika dua buah

bilangan yang hampir sama dibandingkan. Hilangnya angka signifikan sering berakibat fatal bagi perhitungan numerik

Contoh.

13 = 13.0000 6 a.s

6 a.s

0.0385 3 a.s

9615.12168

Penyelesaian Pendekatan

Masalah yang sulit dievaluasiFungsi yang “rumit”

Fungsi pendekatan dengan menyederhanakan fungsi

Informasi tentang fungsi dalam bentuk tabel nilai (hanya sebagian informasi yang diketahui)

Fungsi pendekatan dengan pendekatan nilai dari data

Scilab

Menu Bar

Tool Bar

Membuat Matriks

Matriks Kuadrat

Matriks Diagonal

Matriks Identitas

Determinan Matriks

Invers dan Size Matriks

Operator Aritmatika

SIMBOL KETERANGAN

+ Penjumlahan

- Pengurangan

* Perkalian

/ Pembagian

\ Pembagian kiri

^ Kuadrat

‘ Transpos Matriks

Operator Pembanding

SIMBOL KETERANGAN

== Sama dengan

< Lebih kecil dari

> Lebih besar dari

<= Lebih kecil atau sama dengan

>= Lebih besar atau sama dengan

<> Atau ~= Tidak sama dengan

Variabel Khusus

KONSTANTA

KHUSUS

KETERANGAN

%pi π = 3,1415927…

%i

%e e = 2,7182818…

%t dan %f True atau False (Boolean)

1

Menuliskan fungsi

Mendefinisikan persamaan pada jendela kerja

deff(‘(out1,out2,..)=modul(in1,in2,…)’,’persamaan’)

SciNotes

Menuliskan program yang akan disimpan berekstensi *.sce atau *.sci

Penggunaan SciNotes

Pemanggilan Fungsi pada Scilab

Program Penjumlahan Matriks

Program Determinan

Program Determinan Gauss Jordan

Program Eliminasi Gauss

Terima Kasih