Pendientes de Matemáticas I 1.NÚMEROS REALESiesvegadelprado.centros.educa.jcyl.es/sitio/upload/PendientesMATI.pdf · de vector director v(2,3), escribe las ecuaciones paramétricas,

Pendientes de Matemáticas I

1.NÚMEROS REALES

FRACCIONES

1. Calcula: a) 34−

14

·129

+2(1−13) b)

1

1−1

1−13

RADICALES

2. Introduce factores bajo el signo radical:

a) 3 √5 b) 2 ·√ 52 c) 2 xy · 3√ x

y2

a) Extrae factores del radical: √16 k 4 h5 b)

3√81 a3 b5

3. Suma y simplifica: a) 2√18−√50+√8 b) √27+3√12−√75

4. Racionaliza: a) 2

√5 b) 2

3√52 c) 3

2−√3 d) 1

2√3−√5

LOGARITMOS

5. Emplea la definición de logaritmo para hallar el valor de x en cada caso:a) log10(1000) = x b) log2(32) = x c) log2(1/8) = x

d) log3(x) = 5 e) logx(16) = 4

6. Calcula: a) log2128 b) log2(1/64) c) log3√3 d) log5( 5√5 )

7. Desarrolla: a) log(xy

k 2 ) b) log3√ x2

−1 c) ln(

1

e3)

8. Sabiendo que log2=0’301, calcula: a) log5√0 ' 02 b) log

(1

3√32)

NOTACIÓN CIENTÍFICA

9. Calcula: a) 5’37·108·3’04·10-5 b) 8’54·10-5+5’37·10-4

Departamento de Matemáticas. Instituto “Vega del Prado”. Valladolid


2. ÁLGEBRA

OPERACIONES CON POLINOMIOS

1. Efectúa el producto: (3x2-5x+7)(3x+2)

2. Aplica las identidades notables: a) (2+3k)2 b) (3t-1)2 c) (2a+5)(2a-5)

3. Realiza la división y aplica la relación fundamental D=d·c+r para la prueba: (x3-3x2+5x+2):(x-2)

4. Factoriza los polinomios aplicando las identidades notables:a) 16x2+40x+25 b) 4x2-12x+9 c) 4x2-1

5. Factoriza buscando raíces enteras: x3-2x2-5x+6

6. Extrae factor común y factoriza: x4+4x3-5x2

ECUACIONES

7. Resuelve la ecuación lineal: 1−

x+23

=2x−1

2−

5x+29

8. Resuelve las ecuaciones cuadráticas: a) 3x2-5x=0 b) 2x2-8=0 c) 3x2-15x+18=0

9. Resuelve las ecuaciones superiores: a) 6x4+5x3-15x2+4=0 b) x3-7x2+7x+15=0

10. Resuelve la ecuación bicuadrada: x4-5x2+6=0

11. Resuelve las ecuaciones racionales: a) 2xx+1

+x

x−1=3

b)

xx−2

+2x

x+2=

3

x2−4

12.Resuelve las ecuaciones con radicales: a) √ x+2= x b) √2x−3−√x−5=2

13. Resuelve las ecuaciones exponenciales: a) 4x+1=8 b) 2x-1+2x+2x+1=7

14. Resuelve las ecuaciones logarítmicas: a) log(3x+1)-log(2x-3) = log(2)

b) log(x)=log(2) +2log(x-3)

SISTEMAS DE ECUACIONES

15. Resuelve los siguientes sistemas:



a) { x + y ¿−13 x +5 y ¿−7} b) { 2 x −3 y ¿4

−4 x +6 y ¿11} c)

{3 x +4 y ¿16 x +8 y ¿2}

16. Interpreta gráficamente los sistemas del ejercicio anterior.

17.Escribe un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que sea

compatible determinado, otro que sea compatible indeterminado y otro que sea

incompatible.18. Obtén las soluciones paramétricas de los siguientes sistemas:

a) {3 x + y−2 z ¿42 x +3 y+ z ¿7} b) { x +2 y−z ¿3

2 x +4 y−2 z ¿5}

19. Resuelve los siguientes sistemas no lineales:

a) { x · y ¿8x+3 y ¿25} b¿{

1x

+1y

¿56

2 x +3 y ¿2}c ) {√ x+ y +2 ¿ x+1

2 x − y ¿5 } d) { x2+ y2

¿ 413 x −2 y ¿7 }

PROBLEMAS DE PLANTEAR

20. Un tren está compuesto de 20 vagones iguales y una locomotora cuya longitud

es los 13/15 de la longitud de un vagón. Si la longitud total del tren es de 313 m, calcula la longitud de cada vagón.

21. Un edificio consta de planta baja cuya altura es 2’80 m, cinco pisos de la misma

altura y una buhardilla de altura 6/5 de la de los pisos. Si la altura total del edificio es 18’30 m, calcula la altura de cada piso.

22. De un depósito de gasolina se extraen los 3/5 de su contenido; después la mitad

de lo que ha quedado, restando 300 l. ¿Cuál es la capacidad del depósito?23.En un test de 50 preguntas, cada cuestión bien contestada vale 5 puntos y cada

respuesta incorrecta resta 2 puntos. Un alumno obtuvo un total de 124 puntos. ¿Cuántas fueron las respuestas correctas?

24.Se han vendido 84 artículos a dos precios distintos: 36 € y 45 €. En total se han

obtenido por la venta 3105 €. ¿Cuántos artículos de cada clase se han vendido?25.En una reunión de 156 personas hay el doble número de españoles que de

franceses y el triple número de italianos que de españoles y franceses juntos.

¿Cuántas personas hay de cada nacionalidad?



3. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

1. Resuelve el triángulo ABC, rectángulo en C, siendo a=15cm y B=48º.2. Para determinar la altura de un poste nos hemos alejado 10 m de su base y

hemos medido el ángulo que forma la visual al punto más alto con la horizontal, resultando 42º. ¿Cuál es la altura del poste?

3. Resuelve el triángulo ABC, conociendo a=10cm, b=12cm y c=14cm.4. Resuelve el triángulo ABC, conociendo a=8cm, b=11cm y A=38º.5. Resuelve el triángulo ABC, conociendo a=7cm, b=12cm y C=47º.6. Un barco B pide socorro y se reciben sus señales en dos estaciones de radio

A y C que distan entre sí 40 km. Desde las estaciones se miden los siguientes ángulos: BAC=48º y BCA=50º. ¿A qué distancia de cada estación se encuentra el barco?

7. Un avión A vuela entre dos ciudades B y C que distan 100 km. Las visuales desde el avión a B y a C forman ángulos de 25º y 37º con la horizontal, respectivamente. ¿A qué altura vuela el avión?

8. Calcula la altura de la luz de un faro sobre un acantilado cuya base es inaccesible, si desde un barco se toman las siguientes medidas:

• El ángulo que forma la visual hacia la luz con el horizonte es 25º.• Si nos alejamos 300 m, el ángulo que forma dicha visual es 15º.



4. FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS

1. Sabiendo que sen(x)=0’6 y que x es un ángulo del primer cuadrante, calcula: a) sen(2x) b) tg(x/2) c) cos(30º-x)

2. Si tg(α)=-5/3 y π/2< α< π, calcula: a) sen(π/2- α) b) cos(π/2- α) c) tg(900º+ α)

3. Sabemos que cos(x)=-0’7 y sen(x)>0. Calcula: a) sen(x) b) cos(π+x) c) cos(2x)

d) tg(x/2) e) sen(π/2- x) f) cos(π/2- x)4. Resuelve las ecuaciones trigonométricas:

a) 2cos2(x)+cos(x)-1=0b) 2sen2(x)-1=0c) sen(3x)-sen(x)=0d) sen(π-x)=cos(3π/2- x)+cos(π)

5. NÚMEROS COMPLEJOS

1. Efectúa las siguientes operaciones: a) (2+3i)+(4+2i)(3-i) b) (2+i)(3-2i)-3(4-2i)

c) 3+2 i2+i d)

4+i1−2 i e)

2+3 ii

2. Escribe en forma polar los siguientes números complejos: a) 1+√3i b)

√3+ i c) -1+i d) -3

3. Escribe en forma binómica: a) 3 π/6 b) 5120º c) 390º d) 13π/4

4. Efectúa las operaciones y da el resultado en las formas polar y binómica: a)

2250º·330º b) 6180º:360º c) (1−√3 i)5

5. Halla las raíces sextas de 1. Represéntalas gráficamente.

6. Resuelve la ecuación: z3+27=0

7. Calcula: 4√−8+8√3 i

6. VECTORES

1. Dados los vectores u(2,4) y v(-3,1), obtén: a) 3u b) u+v c) 2u-v

2. Representa gráficamente los vectores del ejercicio anterior.



3. Calcula el producto escalar u·v.

4. Halla k para que el vector w(1,k) sea perpendicular al vector u.

5. Obtén la norma (módulo) de los vectores u y v.

6. Calcula el ángulo que forman los vectores u y v.

7. GEOMETRÍA ANALÍTICA

1. A partir de la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto A(4,-1) y tiene de vector director v(2,3), escribe las ecuaciones paramétricas, continuas, implícita o general y explícita.

2. A partir de la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos A(3,1) y B(-1,4), escribe sus otras ecuaciones.

3. Halla el ángulo que forman las rectas: r≡ {x=1−3ty=2+t y s≡

x−22

=y+1−3

4. Calcula la distancia del punto P(3,-4) a la recta r≡x+2

4=

y−13 .

5. Sea la recta r≡x+2y-5=0, halla la recta que pasa por el punto P(4,1) y es: a) perpendicular a r b) paralela a r.

6. Escribe la ecuación de la recta r que pasa por el punto A(3,-2) y tiene pendiente ½. Determina todas las rectas paralelas a r.

7. Dada la recta r≡y=3x-1 y el punto P(3,-2), halla la recta s que pasa por P y es perpendicular a r.

8. Estudia la posición relativa de las rectas: r≡3x-2y+5=0, s≡6x-4y+1=0, t≡6x+y-1=0. En el caso que se corten, obtén el punto de intersección.

9. Dados los puntos A(1,3) y B(-2,2), determina el punto medio M del segmento AB y el simétrico A’ de A respecto de M.



8. LUGARES GEOMÉTRICOS

LUGARES GEOMÉTRICOS

1. Define mediatriz de un segmento como lugar geométrico. Halla la ecuación de la

mediatriz del segmento de extremos A(3,-2) y B(1,5). 2. Comprueba, en el ejercicio anterior, que la mediatriz de un segmento es una

recta perpendicular al segmento y que pasa por su punto medio.3. Define bisectriz de un ángulo como lugar geométrico. Halla las ecuaciones de

las bisectrices del ángulo definido por las rectas r≡x-2y+3=0 y s≡4x+y-5=0.

CÓNICAS

4. Define la circunferencia como lugar geométrico. ¿Cuáles son sus elementos?

5. Halla la ecuación de la circunferencia de centro O(1,2) y radio 4.

6. Determina la posición relativa de la circunferencia x2+y2=18 y las rectas:

a) y=x b) y=3 c) y=-x+2. Representa gráficamente cada caso.7. Define la elipse como lugar geométrico. ¿Cuáles son sus elementos?

8. Una elipse tiene de focos F’(-4,0) y F(4,0) y su constante es 2a=12. Determina

sus elementos y escribe su ecuación. Representación gráfica.



9. Dada la elipse x−1

9+

y+14

=1 , determina sus elementos. Representación

gráfica.10. Define la hipérbola como lugar geométrico. ¿Cuáles son sus elementos?

11. Una hipérbola tiene de focos F’(-8,0) y F(8,0) y su constante es 2a=10.

Determina sus elementos y escribe su ecuación. Representación gráfica.

12. Dada la hipérbola x−316

−y+54

=1 , determina sus elementos. Representación

gráfica.13. Define la parábola como lugar geométrico. ¿Cuáles son sus elementos?

14. Una parábola tiene de foco F(2,0) y de directriz x=-2. Determina sus elementos

y escribe su ecuación. Representación gráfica.15. Dada la parábola y2=16x, determina sus elementos. Representación gráfica.

9. FUNCIONES ELEMENTALES

RECTAS

1. Las siguientes expresiones corresponden a rectas. Indica qué clase de función

son y represéntalas gráficamente:a) y=x+2 b) y=2x-1 c) y=-2x+1 d) x=2 e) y=-1

PARÁBOLAS

2. Las siguientes expresiones corresponden a parábolas. Indica qué clase de

función son y represéntalas gráficamente:a) y=x2+1 b) y=(x-1)2 c) y=-(x+1)2 d) y=x(x-2) e) y=(x-2)(x+3)

CÚBICAS



3. Las siguientes expresiones corresponden a cúbicas. Indica qué clase de función

son y represéntalas gráficamente:a) y=x3-2 b) y=(x-2)3 c) y=2x3 d) y=x(x-2)(x+3)

HIPÉRBOLAS

4. Las siguientes expresiones corresponden a hipérbolas. Indica qué clase de

función son y represéntalas gráficamente:

a) y = 1x b) y =

1x−1 c) y =

1x+1 d) y =

5x

OBSERVAR UNA GRÁFICA

5. Observa las gráficas que hay a la vuelta de la página y:a) Escribe la expresión analítica de las funciones representadasb) Comenta las propiedades que se deducen de cada gráfica


c

b

aa


10. LÍMITES Y CONTINUIDAD

CÁLCULO DE LÍMITES


f

ed

lkj

i

hg


1. Calcula: a) límx→+∞

3x2+2x

6 x2− x b) límx→+∞

x3−2x

2x−1 c) límx→+∞

3 x2+x

x3+2x+2

2. Calcula: a) límx→2

x2+2x+36x b) límx→2

x3+2

x2−4 c) límx→2

x−2

x2−4

3. Calcula: a) límx→+∞ (3 x2+2x+1

−x2+3

x ) b) límx→1 ( x2−xx−1

−x

x−1)

ESTUDIO DE LA CONTINUIDAD

4. Estudia gráfica y analíticamente la continuidad de las siguientes funciones:

a) f(x)= {x+1, si x ≤ 2x2

+1, si x>2 b) g(x)= {−x+2, si x ≤ 1

1x

, si x>1

DETERMINACIÓN DE ASÍNTOTAS

5. Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa la curva respecto de cada

una de ellas: a) y=3x+1x−2 b) y=

x2

x2−1 c) y=

x3+1x2

INTERPRETAR UNA GRÁFICA

6. Describe el comportamiento de las funciones cuyas gráficas son:



11. LAS DERIVADAS Y SUS APLICACIONES

CÁLCULO DE DERIVADAS

1. Obtén la derivada de las funciones: a) y= x4-5x2+3x-1 b) y=(x3-x)ex c) y=

x3+2x

x2+1 d) y=

ln (x)sen (x ) e) y=3xtg(x) f) y= √ x

2. Obtén la derivada de las funciones: a) y=(x3-2x)4 b) y= √ x2+5x c) y=

e x3+x

d) y= ln (x2

)

x e) y=sen(x3-x2) f) y= √cos (x3)

ESTUDIO DE LA DERIVABILIDAD

3. Sea la función f(x)= {x , si x≤ 1x2 , si x>1 . Dibuja su gráfica y estudia su derivabilidad.

RECTA TANGENTE

4. Halla la recta tangente a la curva y=x3-3x en el punto de abscisa x=1.

5. Halla la recta tangente a la curva y=x2-6x+5 que sea paralela a la recta y=2x+5.

6. Determina las rectas tangentes horizontales de la curva y=13

x3−

12

x2−1 .

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES

7. Considera las siguientes funciones polinómicas: a) y=-x2+2x+3 b) y=x3+2x2-5x-6

c) y=x3+3x. Represéntalas gráficamente siguiendo estos pasos: 1º) Determina sus puntos de corte con los ejes. 2º) Traza aproximadamente su gráfica. 3º) Mejora este esquema obteniendo los extremos relativos.


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