Upload
others
View
8
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
Penduga Selang / Interval Estimator
(Bagian II)
Dr. Kusman Sadik, M.Si
Departemen Statistika IPB, Genap 2018/2019
2
Solusi
X1, …, Xn ̴ N(θ, θ), berarti E(X) = θ dan Var(X) = θ,
maka 𝑋 ~𝑁(𝜃,𝜃
𝑛).
Diantara bentuk pivotnya (mengapa?) :
𝑋 − 𝜃
𝜃𝑛
= 𝑛(𝑋 − 𝜃)
𝜃~𝑁(0,1)
Selang kepercayaan (1 – α) dapat ditentukan sebagai
berikut:
𝑃 𝑎 < 𝑛(𝑋 − 𝜃)
𝜃< 𝑏 = 1 − 𝛼
3
𝑃 𝑎 < 𝑛(𝑋 − 𝜃)
𝜃< 𝑏 = 1 − 𝛼
Nilai a dan b yang menghasilkan selang terpendek adalah:
𝑃 −𝑍𝛼2
< 𝑛(𝑋 − 𝜃)
𝜃< 𝑍𝛼
2 = 1 − 𝛼
⇔ 𝑃 𝑛(𝑋 − 𝜃)
𝜃
2
< 𝑍𝛼2
2
= 1 − 𝛼
⇔ 𝑃 𝑛𝑋 2 − 2𝑛𝑋 𝜃 + 𝑛𝜃2 < 𝜃𝑍𝛼 2 2 = 1 − 𝛼
⇔ 𝑃 𝑛𝜃2 − 2𝑛𝑋 + 𝑍𝛼 2 2 𝜃 + 𝑛𝑋 2 < 0 = 1 − 𝛼
4
⇔ 𝑃 𝑛𝜃2 − 2𝑛𝑋 + 𝑍𝛼 2 2 𝜃 + 𝑛𝑋 2 < 0 = 1 − 𝛼
Selesaikan persamaan untuk 𝜃 sebagai fungsi kuadrat:
𝑃 𝑛𝜃2 − 2𝑛𝑋 + 𝑍𝛼 2 2 𝜃 + 𝑛𝑋 2 < 0 = 1 − 𝛼
⇔ 𝑛𝜃2 − 2𝑛𝑋 + 𝑍𝛼 2 2 𝜃 + 𝑛𝑋 2 = 0
⇔ 𝜃1,2 = 2𝑛𝑋 + 𝑍𝛼 2
2 ± 2𝑛𝑋 + 𝑍𝛼 2 2
2− 4 𝑛 (𝑛𝑋 2)
2𝑛
⇔ 𝜃1,2 =
2𝑛𝑋 + 𝑍𝛼 2 2 ± 4𝑛𝑋 𝑍𝛼 2
2 + 𝑍𝛼 2 4
2𝑛
5
⇔ 𝜃1,2 =
2𝑛𝑋 + 𝑍𝛼 2 2 ± 4𝑛𝑋 𝑍𝛼 2
2 + 𝑍𝛼 2 4
2𝑛
Jadi selang kepercayaan (1 – α) bagi θ adalah a < θ < b
dimana:
a =
2𝑛𝑋 + 𝑍𝛼 2 2 − 4𝑛𝑋 𝑍𝛼 2
2 + 𝑍𝛼 2 4
2𝑛
dan
b =
2𝑛𝑋 + 𝑍𝛼 2 2 + 4𝑛𝑋 𝑍𝛼 2
2 + 𝑍𝛼 2 4
2𝑛
6
7
Solusi untuk (a)
X ̴ Uniform(θ - ½, θ + ½), untuk mencari pivot bisa
digunakan konsep umum pada Tabel 9.2.1, misalkan cek
apakah Y = X - θ merupakan pivot?
Untuk hal tersebut harus dicari dulu fungsi kepekatan
peluang bagi peubah acak Y.
8
Perhatikan Teorema untuk transformasi peubah acak sebagai
berikut:
Misalkan X adalah p.a. dengan fkp fX(x) pada gugus S R, dan
didefinisikan fungsi h : S T sebagai tranformasi satu-satu (one-
to-one), sehingga inversnya x = h-1(y), y T. Anggap bahwa untuk
y T, turunan (dh-1(y))/dy ada, kontinu dan tidak sama dengan 0.
Maka fungsi kepekatan peluang bagi p.a. yang didefinisikan Y =
h(X) adalah:
fY(y) = dy
dxyhf X ))(( 1
, y T
9
fY(y) = dy
dxyhf X ))(( 1
, y T
Karena X ̴ Uniform(θ - ½, θ + ½), maka:
fX(x) = 1 , θ - ½ < x < θ + ½
Kemudian didefinisikan Y = X – θ, sehingga X = Y + θ. Fungsi
kepekatan peluang bagi peubah acak Y:
fY(y) = 21
211 ,1|1|)1())(( y
dy
dxyhf X
atau (Y = X – θ) ̴ Uniform(-½, ½)
Karena fY(y) tidak mengandung θ, maka Y = X – θ merupakan
pivot. 10
Berdasarkan pivot tersebut, selang kepercayaan (1 – α)
dapat ditentukan sebagai berikut:
𝑃 𝑎 < 𝑌 < 𝑏 = 𝑃 𝑎 < 𝑋 − 𝜃 < 𝑏 = 1 − 𝛼
𝑓(𝑋 − 𝜃)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 1𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝑏 − 𝑎 = 1 − 𝛼
Tentukan nilai a dan b berdasarkan persamaan di atas dan
merupakan selang terpendek, yaitu meminimumkan (b – a).
Karena Uniform, maka salah satu hubungan a dan b adalah
a = -b, sehingga:
𝑏 − 𝑎 = 𝑏 − −𝑏 = 1 − 𝛼
11
𝑏 − 𝑎 = 𝑏 − −𝑏 = 1 − 𝛼
𝑏 =1
2−𝛼
2
dan
𝑎 = −1
2+𝛼
2
Sehingga penduga selang bagi θ dengan koefisien
kepercayaan (1 – α) adalah:
−1
2+𝛼
2< 𝑋 − 𝜃 <
1
2−𝛼
2
12
−1
2+𝛼
2< 𝑋 − 𝜃 <
1
2−𝛼
2
⟺−𝑋 −1
2+𝛼
2< −𝜃 < −𝑋 +
1
2−𝛼
2
⟺ 𝑋 +1
2−𝛼
2> 𝜃 > 𝑋 −
1
2+𝛼
2
⟺ 𝑋−1
2+𝛼
2< 𝜃 < 𝑋 +
1
2−𝛼
2
13
Pada beberapa sebaran, selang kepercayaan bagi
penduga parameternya sulit diselesaikan, karena
transformasi sebarannya sulit diselesaikan.
Salah satu caranya adalah dengan melakukan
pendekatan terhadap koefisen kepercayaannya.
14
Pendekatan tersebut dapat dilakukan apabila jumlah
contoh (n) cukup besar, yaitu melalui Teorema Limit
Pusat (TLP).
𝑋 𝑛 − 𝐸(𝑋 𝑛)
𝑉𝑎𝑟(𝑋 𝑛) ~ 𝑁(0,1)
15
Berdasarkan contoh acak X1, X2, ..., Xn dari suatu sebaran
Binomial(1, p), tentukan selang kepercayaan bagi p dengan
pendekatan koefisien kepercayaan 1 - .
Untuk menentukan selang kepercayaan tersebut
diperlukan mengetahui 𝐸 𝑋 𝑛 dan 𝑉𝑎𝑟(𝑋 𝑛), dengan n
cukup besar.
Karena X menyebar Binomial(1, p), maka dapat
ditentukan bahwa 𝐸 𝑋 𝑛 = p dan 𝑉𝑎𝑟 𝑋 𝑛 = p(1-p)/n.
16
𝐸 𝑋 𝑛 = p dan 𝑉𝑎𝑟 𝑋 𝑛 = p(1-p)/n.
Berdasarkan TLP dapat ditentukan bahwa:
𝑋 𝑛 − 𝐸(𝑋 𝑛)
𝑉𝑎𝑟(𝑋 𝑛)=
𝑋 𝑛 − 𝑝
𝑝(1 − 𝑝)/𝑛= 𝑛(𝑋 𝑛 − 𝑝)
𝑝(1 − 𝑝)~ 𝑁(0,1)
𝑛(𝑋 𝑛 − 𝑝)
𝑋 𝑛(1 − 𝑋 𝑛)≅ 𝑁(0,1)
17
Selang kepercayaan bagi p dengan pendekatan koefisien
kepercayaan 1 - adalah:
𝑃 −𝑍𝛼2
< 𝑛 𝑋 𝑛 − 𝑝
𝑋 𝑛 1 − 𝑋 𝑛 < 𝑍𝛼
2 ≅ 1 − 𝛼
Sehingga selang kepercayaan bagi p dengan pendekatan
koefisien kepercayaan 1 - adalah:
𝑋 𝑛 − 𝑍𝛼2
. 𝑋 𝑛 1 − 𝑋 𝑛
𝑛< 𝑝 < 𝑋 𝑛 + 𝑍𝛼
2. 𝑋 𝑛 1 − 𝑋 𝑛
𝑛
18
Berdasarkan contoh acak X1, X2, ..., Xn dari suatu sebaran
Poisson(), tentukan selang kepercayaan bagi dengan
pendekatan koefisien kepercayaan 1 - .
Untuk menentukan selang kepercayaan tersebut
diperlukan mengetahui 𝐸 𝑋 𝑛 dan 𝑉𝑎𝑟(𝑋 𝑛), dengan n
cukup besar.
Karena X menyebar Poisson(), maka dapat ditentukan
bahwa 𝐸 𝑋 𝑛 = dan 𝑉𝑎𝑟 𝑋 𝑛 = /n.
19
Berdasarkan TLP dapat ditentukan bahwa:
𝑋 𝑛 − 𝐸(𝑋 𝑛)
𝑉𝑎𝑟(𝑋 𝑛)=𝑋 𝑛 −
/𝑛= 𝑛(𝑋 𝑛 − )
~ 𝑁(0,1)
𝑛(𝑋 𝑛 − )
𝑋 𝑛≅ 𝑁(0,1)
Selang kepercayaan bagi dengan pendekatan koefisien
kepercayaan 1 - adalah:
𝑃 −𝑍𝛼2
< 𝑛 𝑋 𝑛 −
𝑋 𝑛< 𝑍𝛼
2 ≅ 1 − 𝛼
20
𝑃 −𝑍𝛼2
< 𝑛 𝑋 𝑛 −
𝑋 𝑛< 𝑍𝛼
2 ≅ 1 − 𝛼
Sehingga selang kepercayaan bagi dengan pendekatan
koefisien kepercayaan 1 - adalah:
𝑋 𝑛 − 𝑍𝛼2
. 𝑋 𝑛𝑛
< < 𝑋 𝑛 + 𝑍𝛼2
. 𝑋 𝑛𝑛
21
22
1
23
2
24
3
25
4
26
1. Casella, B. and R.L. Berger. 2002. Statistical Inference,
2nd Edition. Duxbury.
2. Hogg, R., Mc Kean, and Craig, A. 2005. Introduction to
Mathematical Statistics, 6th Edition. Prentice Hall.
3. Pustaka lain yang relevan.
27
Bisa di-download di
kusmansadik.wordpress.com
28
29